UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes

Transcrição

1 Comaração entre Newton e kgf; oundal e lbf: Newton kg m/s kgf kg 9,8 m/s oundal lbm ft/s lbf lbm,74 ft/s Comaração entre slug e lbm; UTM e kg: lbf slug ft / s lbf lbm UTM kg,74 kgf s m / kgf 9,8m / s ft / s Princíio da homogeneidade dimensional Exercício : É a equação a d v0 t dimensionalmente homogênea? t a aceleração (L/T ) d distância (L) t temo (T) v 0 velocidade (L/T) Resosta: L a T d L t T v0 L t T A equação é dimensionalmente consistente (ou homogênea). Exercício : Qual a dimensão do termo h f (erdas) na seguinte forma da equação da energia? v v + + z + + h f z + g γ g γ 0

2 z e z altura (L) v e v velocidade (L/T) e ressão (força/área) γ - eso esecífico (eso/volume) Resosta: Como força m a área [ ] L eso m g [ ] M L T volume [ ] L Então z [ ]L v g M L γ M L F A M L T [ ] γ M L T [ ] [ ] M L T eso volume L M L T [ ] [ ] M L T L ( L T ) [ ] L T [ ] L L T T T [ ]L L T Logo h f (erdas) tem dimensão de comrimento (L). Hiótese do contínuo Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular dos fluidos, aesar de todos serem comostos de moléculas em movimento constante. No entanto, na maior arte das alicações de engenharia, é de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de moléculas. São estes efeitos macroscóicos que odemos erceber e medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente divisível, um contínuo. O conceito de CONTINUUM é a base da Mecânica dos Fluidos clássica e como a Mec. Flu. consiste fundamentalmente na alicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é evidentemente imraticável alicar essas leis ara cada molécula do fluido.

3 Por exemlo: a velocidade em um onto do esaço é indefinida em um meio molecular, ois seria zero o temo todo exceto quando uma molécula ocuasse exatamente esse onto, e aí seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das artículas na vizinhança do onto. Esse dilema é evitado se for considerada a velocidade em um onto como sendo a média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do onto, ou seja dentro de uma equena esfera com raio grande se comarado com a distância média entre as moléculas. Procura-se então os valores médios (relativos ao esaço e temo) das grandezas que caracterizam o comortamento de orções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal maneira que seja então ossível a alicação daquelas leis, mediante hióteses restritivas e extraolação adequadas. O significado atribuído à maioria das roriedades deendem da existência do CONTINUUM no sistema considerado. Por exemlo: o significado da ressão em um tanque fechado é freqüentemente exlicado como a força total or unidade de área alicada na arede do tanque, devido aos imactos contínuos das moléculas sobre as aredes. Uma dada massa de gás contida em um volume constante e sujeito a uma temeratura constante, aresenta semre a mesma ressão. Esta conhecida lei começa a erder seu significado quando o volume considerado assa a conter uma quantidade de massa tão equena que aenas algumas moléculas se encontram resentes. Se a ressão é ainda definida como acima, com o número muito reduzido de moléculas, o seu valor irá deender da robabilidade das moléculas se chocarem com a arede num determinado instante. Deste modo a ressão não será contínua (constante) variando de temo em temo. O mesmo argumento é valido ara volumes muito equenos de substâncias diversas onde somente algumas moléculas estão resentes. Cabe então uma ergunta: Até que magnitude, um volume contendo uma certa substância ode ser considerado um contínuo? Ou o que é a mesma coisa: Qual o menor número de moléculas de uma substância que deve conter um dado volume ara que este seja considerado um contínuo? O contínuo é dito existir num dado volume de uma substância quando o volume contém um número de moléculas suficiente ara que os efeitos médios das moléculas nas roriedades, dentro do volume, sejam constantes ou variem continuamente com o temo e a dimensão do volume.

4 Em um contínuo a molécula não tem significado; a menor divisão ermissível da substância é um volume contendo um número considerável de moléculas. A teoria do CONTINUUM deixa de ser válida semre que a distância média entre as colisões das moléculas -Teoria Cinética Molecular (aroximadamente 6, x 0-6 olegadas, ara o ar nas CNTP) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menor dimensão relevante característica do roblema. Em face do exosto, conclui-se que ara os gases rarefeitos (or exemlo: escoamento hiersônico e tecnologia de alto vácuo), a hiótese do contínuo não se alica, devendo então os roblemas articulares serem estudados no onto de vista microscóico, com o auxílio da Teoria Cinética Molecular. Ilustração: Considere um mol de gás nas CNTP. O volume ocuado será,4 litros e, o número de moléculas do gás será o rório número de Avogrado ou seja, 6,0 x 0. Assim, o volume corresondente a um cubo com um milésimo de milímetro de aresta (valor suficientemente equeno ara em um grande número de alicações na Engenharia ser associado a um onto), conterá,685 x 0 7 moléculas, que corresonde a um número suficientemente elevado ara que sejam significativos os valores médios estatísticos das suas roriedades, ou o que em outras alavras significa a validade da hiótese do contínuo. A figura que se segue reresenta esquematicamente o que foi exlanado anteriormente: P Variação da roriedade devido a flutuações em Escala Molecular CONTINUUM Escala Molecular Fig. Influência do volume nas roriedades dos fluidos V Volume do fluido

5 Proriedades Físicas dos Fluidos Certas roriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos fluidos e rocessos de transorte de quantidade de movimento, calor e massa. Entre estas roriedades ode-se incluir: densidade calor esecífico tensão suerficial condutividade térmica difusividade mássica viscosidade Estas roriedades são funções da ressão e da temeratura a que estão submetidos os fluidos. Os valores dessas roriedades têm sido medido or diversos esquisadores e os resultados odem ser encontrados em Hand Books como or exemlo o Perry, sob a forma de ábacos, tabelas ou correlações emíricas. Massa esecífica: A massa esecífica de um fluido é definida como sua massa or unidade de volume, ou seja, reresenta a massa do fluido contida num volume unitário: M L [ ] Exemlo: Para água a 4 o C e ressão de atm. g / cm Matematicamente a massa esecífica em um onto do fluido é dada or: δ m lim V V δ V onde δ m é a massa do fluido nas vizinhanças do onto considerado δ V é o volume ou seja, a massa de um equeno volume δ V circundando um onto. δ V é o volume mínimo em torno do onto ara o qual é alicável a teoria do contínuo. Volume esecífico: υ s O volume esecífico ocuado ela unidade de massa do fluido. υ s é o inverso da massa esecífica, ou seja é o volume 4

6 υ υ s s Peso esecífico: γ L M [ ] [ ] M L O eso esecífico γ de uma substância é o seu eso or unidade de volume. Pode ser obtido elo roduto da massa esecífica ela aceleração da gravidade. Demonstração: γ g F m a eso m g V eso volume ( volume ) γ massa g volume M L L T eso volume M L T L massa volume [ ] [ ] [ ] M L T g γ g Observação: γ H O HO Porque γ e ossuem o mesmo valor numérico? 0 0 F gc kg kgf / m kg / m m g m g c 9,8 kgf s γ 9,8 kgf kg s m m 9,8 s kgf γ kg 5

7 γ 0 kg m kgf kg γ 0 kgf m Exemlo: Um certo líquido tem uma massa esecífica de,5 slug/ft. Determinar o eso esecífico e o volume esecífico do líquido sobre a terra e sobre a lua. A aceleração da gravidade na lua é 5,47 ft/s. Dados: massa esecífica do líquido:,5 slug/ft Solução: aceleração da gravidade na lua: 5,47 ft/s. eso eso esecífico g Definições básicas: volume volume esecífico υs slug ft lbf s lbf γ terra g terra,5, 48, ft s slug ft ft γ υ lua s slug ft lbf s lbf g lua,5 5,47 7,0 ft s slug ft ft ( terra) lua terra,5 slug ft 0,667 ft slug υs ( lua) 0,667 ft slug,5 slug ft o resultado é o mesmo orque massa indeende de g. Densidade Relativa: d (adimensional) Refs. Proriedades físicas da água Crane A-6 Relação densidade-temeratura ara óleos derivados do etróleo Crane A-7 Densidade e eso esecífico de vários líquidos Crane A-7 Proriedades físicas dos gases Crane A-8 Densidade de combustíveis gasosos Crane A-8 Peso esecífico e densidade de gases e vaores Crane A-0 Crane, ágina -, Conversão de d(60f/60f) ara grau API e grau Baumé. 6

8 É a relação entre a massa esecífica de um fluido e a massa esecífica da água a 4 o C e atm. de ressão (ou 5 o C 60 o F) d f HO f o ( 4 C e atm. ) f - qualquer líquido a uma temeratura esecificada. A densidade relativa é também conhecida como gravidade esecífica ois, também reresenta a relação entre o eso esecífico da substância em questão e o eso esecífico da água nas condições citadas acima. d f γf γ f f γ g H O HO f g g g H O γ HO γ f o ( 4 C e atm. ) - qualquer líquido a uma temeratura esecificada. Exemlo: Hg,6 g cm d Hg H O g cm,6 Pressão de vaor: v Os líquidos evaoram or causa de moléculas que escaam ela suerfície livre. As moléculas de vaor exercem uma ressão arcial no esaço, conhecida como ressão de vaor. Se o esaço acima do líquido for confinado, deois de um certo temo o número de moléculas de vaor atingindo a suerfície do líquido e condensando é exatamente igual ao número de moléculas que escaam em qualquer intervalo de temo, e existe equilíbrio. Como este fenômeno deende da atividade molecular a qual é função da temeratura, a ressão de vaor de um líquido deende da temeratura e aumenta com a mesma. Quando a ressão acima da suerfície de um líquido iguala-se à ressão de vaor do mesmo, ocorre a ebulição. Em muitas situações, nos escoamentos de líquidos é ossível que ressões bastante baixas aareçam em certas regiões do sistema. Em tais circunstâncias, as 7

9 ressões odem ser iguais ou menores que a ressão de vaor; quando isto ocorre, o líquido se evaora muito raidamente. Uma bolsa de vaor, ou cavidade, que se exande raidamente, é formada e normalmente se desloca de seu onto de origem e atinge regiões de escoamento onde a ressão é maior que a ressão de vaor, ocorrendo o colaso da bolsa. Este é o fenômeno da CAVITAÇÃO. Esta formação e extinção de bolhas de vaor afeta o desemenho das bombas e turbinas hidráulicas e ode erodir artes metálicas na região de cavitação. Tensão suerficial: σ Da exeriência ode ser observada a tendência que tem as suerfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma elícula ou camada de líquido esecial. Exemlos:. formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de forças externas;. sustentação de uma equena agulha na suerfície da água em reouso. O efeito da tensão suerficial se manifesta em suerfícies curvas, exigindo diferenças de ressões entre os lados côncavo e convexo da suerfície, ara manter o equilíbrio de forças, e conseqüentemente dando origem a uma série de fenômenos bastante interessantes. A força de tensão suerficial (necessária ara manter o citado equilíbrio) está associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com a distância entre as moléculas e ode ser desrezada ara os gases. No interior dos líquidos as forças intermoleculares se comensam entre si mas, ara as moléculas da suerfície existem forças que evitam que elas se searem. Estas forças são resonsáveis or manter, or exemlo, uma bolha de sabão sem se arrebentar, bem como or manter a ressão da coluna de líquido de um cailar. Tensão suerficial é então a força de coesão necessária, obtida ela divisão da energia de suerfície ela unidade de comrimento da elícula em equilíbrio. Energia de suerfície trabalho or unidade de área, necessário ara trazer as moléculas à suerfície. Tensão suerficial ode ser definida também como a força or unidade de comrimento de qualquer linha na suerfície livre, necessária ara manter a suerfície junta através desta linha. F σ L A tensão suerficial ( σ ) deende da suerfície livre do líquido e das suas vizinhanças. 8

10 Cailaridade: A atração cailar é causada ela tensão suerficial e ela relação entre a adesão líquido-sólido e a coesão do líquido. Um líquido que molha o sólido tem uma adesão maior que a coesão. A ação da tensão suerficial neste caso obriga o líquido a subir dentro de um equeno tubo vertical que esteja arcialmente imerso nesse líquido. Calor esecífico: É definido como a quantidade de calor necessária ara elevar de o (um grau) a temeratura de um coro. O calor esecífico é a caacidade térmica de um coro or unidade de massa. O calor esecífico é uma roriedade característica da substância que indeende do sistema de unidades utilizado mas deende da temeratura da substância e da água de referência. onde Em geral, a água a 5 o C é tomada como referência. Matematicamente a caacidade térmica é exressa or: d q C d T C caacidade térmica d q - o calor necessário ara elevar a temeratura do coro de d T Pela termodinâmica sabe-se que: d q d u + d υ onde u é a energia interna or unidade de massa é a ressão υ é o volume esecífico Se a substância for aquecida a volume constante tem-se: d υ 0 e d q d u Deste modo, u C V T υ 9

11 ou seja, a caacidade térmica é dada ela variação da energia interna com a temeratura. C P Se a substância é aquecida a ressão constante: q u υ + T T T Como: h u + onde h é a entalia υ Diferenciando a equação anterior, tem-se: sendo d h d u + d υ + υ d cons tan te d 0 e tem-se: d h d u + d υ h T Logo Derivando em relação a T: u T C υ + T h T As dimensões de calor esecífico são as de energia or unidade de massa e unidade de variação de temeratura. Energia [ ] Massa [ ] M M L T Temeratura [ ]θ C V [ ] C [ ] C [ ] C [ ] L T θ M L T M θ V Para gases erfeitos verifica-se que: C CV R 40

12 Exemlo: Calor esecífico do benzeno entre 40 e 80 o F C 0,4 BTU lbm o F Tensão em um onto: Grandezas escalares, vetoriais e tensoriais: tios: Como já foi visto, as roriedades de um camo de escoamento odem ser de três a) Grandeza escalar é aquela que requer aenas a esecificação de seu valor numérico ara que seja erfeitamente determinada. Exemlo: temeratura b) Grandeza vetorial é aquela que, em adição ao seu valor numérico, requer também uma comleta esecificação da sua direção. As grandezas vetoriais devem ser somadas de acordo com a regra do aralelogramo. Em geral, valores associados com as direções dos eixos coordenados são necessários ara esecificar uma grandeza vetorial. Estes três valores são chamados comonentes escalares de um vetor. Exemlo: velocidade c) Grandeza tensorial é de natureza física mais comlexa e requer 9 ou mais comonentes escalares ara a sua esecificação. Precisa de direções mais o módulo. Exemlo: tensão de cisalhamento τ Escalares e vetores são considerados um caso articular de tensores. Escalar é um tensor de ordem zero. Vetor é um tensor de ordem um. O número de comonentes escalares necessário ara definir um tensor é dado ela seguinte relação: Número de comonentes de um tensor de ordem i i Assim: Escalar: ordem 0 Vetor: ordem Tensor de a ordem: ordem 9 4

13 Camos escalares, vetoriais e tensoriais: A alavra camo descreve a distribuição contínua de uma grandeza escalar, vetorial ou tensorial que são, or sua vez, descritas or funções contínuas das coordenadas esaciais e do temo. Assim, odemos descrever a temeratura de todos os ontos de um coro em qualquer temo, or um camo escalar exresso matematicamente or: T T ( x, y, z, t) Um camo vetorial, como or exemlo um camo de velocidades é dado or: V V x, ( y, z, t) No entanto ode-se usar camos escalares que descrevem o valor das comonentes do vetor velocidade na direção de cada eixo coordenado: V V V x y z Vx Vy V ( x, y, z, t) ( x, y, z, t) ( x, y, z, t) z Esta mesma técnica ode ser estendida ara os camos tensoriais onde 9 ou mais camos escalares são usados ara descrever os comonentes do tensor. Camo de velocidade: Na secção anterior, vimos que a suosição do continuum conduziu à reresentação de camo das roriedades do fluido. Analisamos esecificamente o camo de massa esecífica. Semre que trabalhamos com fluidos em movimento, estamos necessariamente ligados à descrição de um camo de velocidades. A velocidade em qualquer onto de um camo de fluxo é definida da seguinte forma: em um dado instante de temo, o camo de velocidade V é uma função das coordenadas do esaço x, y, z, ou seja: V V x, ( y, z) A velocidade em um dado onto no camo de fluxo ode, no entanto, variar de um instante de temo ara outro. Então a reresentação comleta do camo de velocidade é dada or: V V( x, y, z, t) Se as roriedades de um onto no camo não variam com o temo, o fluxo é chamado de estacionário (regime ermanente). Matematicamente, esta definição é escrita: η t 0 η η x, y, z reresenta qualquer roriedade do fluido. onde ( ) ou ( x, y, z ) t 0 4

14 V 0 V V x, y, z t No fluxo estacionário, as roriedades odem variar de onto ara onto, orém devem ermanecer constantes com o temo em um dado onto. ou ( ) Fluxos uni, bi e tridimensionais: Vimos que a exressão geral ara o camo de velocidade, indica que o referido camo é uma função das três coordenadas e do temo. Tal camo de fluxo é chamado tridimensional (e é também não estacionário) orque o valor da velocidade em qualquer onto do fluxo deende das três coordenadas requeridas ara localizar o onto no esaço. Nem todos os fluxos são tridimensionais. Considerando or exemlo, o fluxo de água através um longo tubo reto de seção transversal constante. or: ara A um onto distante da entrada do tubo, a distribuição de velocidade ode ser dada u u max r R u 0 r 0 u u max r X u r R R r q COORDENADAS CILÍNDRICAS: (x, r, q) Como o camo de velocidade é uma função somente de r, ou seja é indeendente das coordenadas x e q, este é um fluxo unidimensional. Um fluxo é classificado em uni, bi ou tridimensional, deendendo do número de coordenadas no esaço, requeridas ara esecificar o camo de velocidade Exemlo de um fluxo bidimensional fluxo entre duas aredes retas divergentes e infinitas em extensão (direção z). Se o canal é considerado infinito na direção z, o camo de velocidades deverá ser idêntico em todos os lanos erendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o camo de 4

15 velocidade é uma função somente das coordenadas x e y e or isto o fluxo é considerado bidimensional. y z x A comlexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de dimensões do escoamento. O caso mais simles é o fluxo unidimensional. Exemlo: (ágina 0, Fox) Um camo de velocidade é dado or: V y i + As unidades de velocidade são ft/s e y é dado em ft. a) Dizer se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. b) Determinar as comonentes da velocidade u, v, w no onto (,,0) Resosta: a) Como o camo de velocidade é função de somente uma coordenada do esaço ele é UNIDIMENSIONAL. b) O camo de velocidade é V u i + v j + w k Como V y i + u y v w 0 No onto (,,0): U () ft/s u 4 ft/s V ft/s W 0 Camo de tensões: j Tensões em um meio resultam de forças atuando em alguma orção do meio. O conceito de tensões fornece uma maneira conveniente de descrever os modos elos quais as forças agindo sobre os limites (fronteiras) do meio são transmitidas através do meio. Desde que força e área são ambas quantidades vetoriais, o camo de tensões não será um camo vetorial. Em geral, nove quantidades são requeridas ara esecificar o estado da tensão em um fluido e ortanto a tensão é uma quantidade tensorial de segunda ordem. j 44

16 Forças de suerfície e de camo: Forças de suerfície e de camo são encontradas no estudo da mecânica dos fluidos do CONTINUUM. Forças de suerfície incluem todas as forças agindo sobre a eriferia de um meio através de contato direto. Forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido são denominadas forças de camo. As forças gravitacional e eletromagnética são exemlos de forças de camo que ocorrem em um fluido. A força de camo gravitacional agindo sobre um elemento de volume, d υ, é dada or g dυ, onde é a massa esecífica e g é a aceleração gravitacional local. Assim, a força de camo gravitacional or unidade de volume é camo gravitacional or unidade de massa é g. Exemlo.: (ágina, Fox) A distribuição de uma força de camo é dada como: B a x i + b j g e a força de lbf or unidade de massa (slug) de material e atuando sobre este. A massa esecífica do material é dada or: c x + e z z y x onde x, y e z são dados em ft; a 0 lbf/slug ft, b 5 lbf/slug, c slug/ft 4 e e slug/ft 6. Qual é a força de camo resultante sobre o material na região mostrada acima? Resosta: A força de camo or unidade de massa é B. 45

17 Multilicando-a ela massa or unidade de volume ( ) unidade de volume B. Assim, a força de coro, F B df B B d B dυ onde x ft; y ft; z ft υ x y z d F B υ x y z x 0 y 0 z 0, sobre um elemento de volume d υ é: B dz dy dx ( c x + e z ) ( a x i b j) dz dy dx FB + 0 x y z 0 0 { a ( c x + e x z ) i + b ( c x e z ) j } dz dy dx FB , resulta na força or F F F B B B Integrando inicialmente em relação a z e substituindo os limites, temos: x y 4 4 a c x z + e x z i + b c x z + e z j dy dx Integrando em seguida em relação a y e substituindo os limites, vem: x 4 4 a y c x z + e x z i + b y c x z + e z Finalmente, integrando em relação a x e substituindo os limites, resulta: a y c x z + e x 8 z 4 i + b y Substituindo os valores numéricos, temos: c x z + e x 4 z j dx 4 j F B lbf 0 ft slug ft 5 lbf slug ft slug slug ft 4 ft 4 slug 6 8 ft ( ft) ft + ( ft) ( ft) slug 6 4 ft 4 ( ft) ft + ft ( ft) j 4 i + F B 70 i + 60 j lbf Embora reconhecidamente artificial este roblema é incluído ara:. ilustrar o cálculo de uma força de camo, e. revisar o rocedimento ara calcular integrais trilas sobre um volume. 46