Escoamentos Compressíveis. Aula 03 Escoamento unidimensional

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1 Escoamentos Comressíveis Aula 03 Escoamento unidimensional

2 3. Introdução 4 de outubro de 947: Chuck Yeager a bordo do Bell XS- torna-se o rimeiro homem a voar a velocidade suerior à do som. 6 de março de 948: durante um mergulho, o caitão Chuck Yeager atinge ach,45 durante um mergulho com o Bell XS-.

3 3. Introdução Escoamento unidimensional: Todas as roriedades do escoamento são funções de uma única dimensão esacial. A área da seção transversal é constante. ecanismos físicos envolvidos: Ondas de choque normais. Trocas térmicas. Atrito. 3

4 3. Introdução Ondas de choque em um cone de nariz ontiagudo em ângulo de ataque. Onda de choque sobre o módulo de comando da Aollo. odelo em túnel de vento com α33º no túnel de vento Langley (Nasa), ara ar ionizado com densidade variável a ach 8. 4

5 3. Introdução Comaração entre os escoamentos unidimensional e quase-unidimensional. Ondas de choque em um túnel de vento ara um modelo do ônibus esacial (sace shuttle) 5

6 3. Introdução Choques normais: Proriedades na região do nariz de um coro rombudo movendo-se a velocidades suersônicas. Tomada de ar do motor de alguns aviões a jato. 6

7 3. Introdução Trocas térmicas: Efeito da queima de combustível em um motor a jato. Atrito: Análise do escoamento de um gás através de tubulações longas. 7

8 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Considerações: Área da seção transversal ao escoamento constante. Regime ermanente. Ausência de forças de coro. 8

9 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Equação da continuidade: S ρ ρ r r V, d S ρ S u t V r r V, d S 0 A ρ u A ρ u ρ u ρdv 0 9

10 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Equação do momentum: S ( r r ) r ( ρv ) ρ V, d S V S S V r, t r r dv r ( ) ρ V d S V r, r S V ρ r f r d S ( ) ρ V d S u ( d S ) S dv x S r d S 0

11 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Equação do momentum: ( u A) u ρ ( u A) u ( A A) ρ ρ u ρ u

12 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Equação da energia: V t q& ρ dv V ρ e S V r r d S, V dv S V r ρ r f r r dv,v ( ) V ρ V, d S e Q& r r V, d S ( ) V ρ V, d S e S S r r

13 3 3. Equações governantes de escoamentos unidimensionais Equação da energia: u u e u u u e u A Q ρ ρ & u e u e A u Q ρ ρ ρ & u h q u h

14 3.3 Velocidade do som e número de ach Equação da continuidade: ( ρ dρ) ( a da) ρ a a ρ da dρ 4

15 3.3 Velocidade do som e número de ach Equação do momentum: ( d) ( ρ dρ) ( a da) ρa d a ρ da a dρ da d a a dρ ρ a ρ d dρ a a ρ 5

16 3.3 Velocidade do som e número de ach a d d ρ As variações que ocorrem através de uma onda sonora são equenas, sendo os efeitos irreversíveis desrezíveis. a ρ s 6

17 3.3 Velocidade do som e número de ach a ρ s υ s υ υ ( υ) ( υ ) s s υ τ a υ τ s Nota-se que ara um escoamento incomressível, a velocidade do som deveria ser infinita 7

18 3.3 Velocidade do som e número de ach Para um gás caloricamente erfeito: γ υ const ρ s γ ρ a γ R T 8

19 3.4 Definição de arâmetros de escoamento Proriedades características: seriam as roriedades de dado escoamento se o mesmo fosse acelerado ou desacelerado isentroicamente até o número de ach unitário. Proriedades de estagnação (ou totais): seriam as roriedades de dado escoamento desacelerado isentroicamente até que sua velocidade seja nula. 9

20 3.4 Definição de arâmetros de escoamento Número de ach característico: Velocidade de estagnação do som: a γ R 0 T 0 * V a * assa esecífica total: ρ 0 0 R T 0 0

21 3.5 Formas alternativas da equação da energia Considerando-se um gás em que não haja adição de calor: u h h Para um gás caloricamente erfeito: u T T 0 γ

22 3.5 Formas alternativas da equação da energia Outras relações úteis: ( ) 0 γ γ γ ( ) 0 γ γ ρ ρ 0 * 0 * γ T T a a

23 3.5 Formas alternativas da equação da energia ρ ρ ( γ ) Para o ar em condições adrão * 0 * 0 γ γ γ ( γ ) ( γ,40) : T T * 0 0,833; * 0 0,58; ρ ρ * 0 0,634 3

24 3.5 Formas alternativas da equação da energia Relação entre número de ach real e característico: Relações: * * *, se <, se < >, se > [( ) ] * γ ( γ ) * γ, se γ 4

25 3.6 Escoamentos comressíveis e incomressíveis Considere um elemento de fluido inicialmente em reouso, que seja acelerado isentroicamente a alguma velocidade V e número de ach. Nesse caso, a densidade ode ser estimada ela relação: ρ 0 ρ γ ( γ ) 5

26 3.6 Escoamentos comressíveis Para γ,40: e incomressíveis 6

27 3.7 Relações ara choques normais Ocorrem frequentemente como arte de muitos camos de escoamentos suersônicos. Por definição, uma onda de choque normal é erendicular ao escoamento. Corresonde a uma região muito fina (esessura da ordem de oucas vezes o livre caminho médio molecular, da ordem de micrômetros). 7

28 3.7 Relações ara choques normais À frente da onda (montante), o escoamento é suersônico; atrás (jusante), é subsônico. Solução da natureza ara um roblema relacionado à roagação de distúrbios no escoamento. 8

29 3.7 Relações ara choques normais 9

31 3.7 Relações ara choques normais A resença de um coro em um escoamento é roagada através de ondas sonoras. À montante da onda, o escoamento não ossui nenhum conhecimento da resença do coro. À jusante, como o escoamento é subsônico, as linhas de corrente variam raidamente ara comensar o obstáculo. 3

32 3.7 Relações ara choques Hióteses: normais Considerar as ondas de choque como descontinuidades através das quais as roriedades do escoamento raidamente se modificam. Todas as roriedades a montante (índice ) são conhecidas. Não há trocas térmicas enquanto o escoamento atravessa a onda (caso adiabático). 3

33 3.7 Relações ara choques normais Hióteses: Gás caloricamente erfeito. 33

34 3.7 Relações ara choques normais Sistema de equações: ρ u ρ u ρ u ρ u u h h u ρ R T h c T 34

35 3.7 Relações ara choques normais Relação de Prandtl: * a u u da qual se obtém: * * γ [( ) ] γ ( γ ) 35

36 3.7 Relações ara choques normais O número de ach a jusante de um choque é função aenas do número de ach a montante. Quando, tem-se. Nesse caso, o choque normal é infinitamente fraco, sendo denominado Onda de ach. ( γ ) ( γ) ; 36

37 3.7 Relações ara choques normais As roriedades do escoamento odem ser obtidas a artir do número de ach a montante do choque: ρ ρ u u ( ) γ ( ) γ γ γ ( ) 37

38 T T 3.7 Relações ara choques normais h ( ) ( ) γ γ h γ ( ) γ Para gases termicamente erfeitos, as relações aresentadas não são válidas, ois as roriedades a jusante deendem também da temeratura a montante. No caso de um gás quimicamente reativo, também é necessário o conhecimento da ressão a montante. 38

39 3.7 Relações ara choques normais Casos-limite ara gás caloricamente erfeito, γ, 40 lim γ 0,378 γ lim ρ ρ γ γ 6 lim ; lim T T 39

40 3.7 Relações ara choques normais atematicamente, as relações obtidas são válidas ara qualquer regime de velocidades; fisicamente, aenas no caso de escoamentos suersônicos tais relações odem ser emregadas. Para mostrar tal fato, é necessário utilizar a segunda lei da termodinâmica, que origina a seguinte exressão: 40

41 4 3.7 Relações ara choques normais Nesse caso, a variação de entroia só será ositiva se o escoamento a montante for suersônico. ( ) ( ) ( ) ( ) γ γ γ γ γ γ ln ln R c s s

42 3.7 Relações ara choques normais O aumento de entroia é originado elos efeitos viscosos (atrito e condução de calor). Como as variações de roriedades ocorrem em distâncias muito equenas, os gradientes originados são elevados e os efeitos viscosos se tornam imortantes. 4

43 3.7 Relações ara choques normais Proriedades totais ou de estagnação: 43

44 3.7 Relações ara choques normais Proriedades totais ou de estagnação: T 0 T 0 A temeratura total é constante através da onda de choque ex ( s s ) A ressão total diminui ao se atravessar a onda de choque R 44

46 3.7 Relações ara choques normais edição da velocidade em um escoamento comressível: Como no caso de escoamentos incomressíveis, são necessárias as ressões estática e obtida através de um tubo de Pitot. As fórmulas emregadas ara a obtenção da velocidade, contudo, diferem de acordo com o regime de velocidades. 46

47 3.7 Relações ara choques normais edição da velocidade em um escoamento comressível: Escoamento subsônico. 47

48 Relações ara choques normais edição da velocidade em um escoamento comressível: Escoamento subsônico. ( ) 0, γ γ γ ( ) γ γ γ 0, ( ) γ γ γ 0, a u

49 3.7 Relações ara choques normais edição da velocidade em um escoamento comressível: Escoamento suersônico. 49

50 3.7 Relações ara choques normais edição da velocidade em um escoamento comressível: Escoamento suersônico: fórmula de Rayleigh ara tubo de Pitot. 0, 4 ( γ ) γ ( γ ) γ ( γ ) γ γ γ 50

51 3.8 Equação de Hugoniot Comaração entre a onda de choque e um disositivo termodinâmico ara comressão de um gás. As variações através de uma onda de choque são exressas aenas em termos de variáveis uramente termodinâmicas, sem referências a velocidades ou a números de ach. 5

52 3.8 Equação de Hugoniot e e ( ) ( υ υ ) Relação geral que vale ara todos os tios de gases (erfeitos, reativos...). Relação funcional: f (, υ υ ), 5

53 Equação de Hugoniot Curva de Hugoniot: υ υ υ u υ υ γ γ υ υ γ γ Para gás caloricamente erfeito:

54 3.9 Escoamento unidimensional Exemlos: com trocas térmicas turbojatos (ou turborreatores), durante o rocesso de combustão. escoamentos suersônicos em cavidades da dinâmica de gases moderna. lasers químicos (calor efetivamente fornecido or reações químicas e desativação da energia vibracional molecular). gás que absorve um intenso raio de radiação (túneis de vento aquecidos or laser). 54

55 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Hióteses: Gás caloricamente erfeito. 55

56 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Equações governantes: ρ u ρ u ρ u ρ u u h q h u ρ R T h c T 56

57 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Utilizando o conceito de temeratura de estagnação: outras relações: ( ) T 0 T 0 c q γ γ γ γ T T

58 Escoamento unidimensional com trocas térmicas γ γ ρ ρ ( ) 0 0 γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ 0 0 T T

59 Esocamento unidimensional com trocas térmicas Emregando as condições ara : * γ γ * γ γ T T γ γ ρ ρ *

60 3.9 Esocamento unidimensional com trocas térmicas Emregando condições ara e de estagnação: 0 * 0 γ γ ( γ ) γ γ ( γ ) T T 0 * 0 ( γ) ( γ ) [ ( ) ] γ 60

61 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Nota-se que ara um dado escoamento, não imortando as roriedades locais de escoamento, as condições ara são constantes. Deve-se observar que nesse caso, suõe-se que a quantidade de calor fornecida seja suficiente ara que o escoaemento asse a ser sônico. 6

62 3.9 Escoamenoto unidimensional com trocas térmicas 6

63 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Curva de Rayleigh: 63

64 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Curva de Rayleigh (adição de calor): Para escoamentos suersônicos: O número de ach diminui. A ressão aumenta. A temeratura aumenta. A temeratura total diminui. A ressão total diminui. A velocidade diminui. 64

65 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Curva de Rayleigh (adição de calor): Para escoamentos subsônicos: O número de ach aumenta. A ressão diminui. A temeratura aumenta ara < γ e diminui ara > γ. A temeratura total aumenta. A ressão total diminui. A velocidade aumenta. 65

66 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas No caso de um escoamento suersônico, o fornecimento de calor move o onto referente às condições de saída do gás ara mais róximas do onto de escoamento sônico na curva de Rayleigh. Quando o fornecimento de calor é tal que o escoamento na saída do gás é sônico, tem-se um escoamento bloqueado. 66

67 3.9 Escoamento unidimensional com trocas térmicas Qualquer fornecimento de calor acima do eserado ara as condições de escoamento bloqueado farão com que haja uma revisão drástica do escoamento a montante da região de trocas térmicas. Caso o escoamento a montante fosse suersônico, será transformado em subsônico. 67

68 3.0 Escoamento unidimensional Hióteses: com atrito Escoamento unidimensional de fluido viscoso comressível em duto de área transversal constante. Regime ermanente. Escoamento adiabático. Ausência de ondas de choque. 68

69 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Equação da consevação do momentum: r r, S ( ) ρ V d S u ( ρ d S) S Alicando ao volume de controle cilíndrico a seguir: x S τ w d S 69

70 Escoamento unidimensional com atrito Como resultado da integração ara o volume de controle, tem-se: ln 4 x x D dx f γ γ γ γ

71 7 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Outras relações: ( ) ( ) 0 0 T T T T T T γ γ ( ) ( ) γ γ ( ) ( ) γ γ ρ ρ

72 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Relações com roriedades de estagnação e/ou ara : 0 0 ( γ ) ( γ ) ( γ ) [ ( γ ) ] T T * γ ( ) γ 7

73 Escoamento unidimensional com atrito ( ) * γ γ ( ) * γ γ ρ ρ ( ) ( ) ( ) [ ] * 0 0 γ γ γ γ

74 3.0 Escoamento unidimensional com atrito * Considerando-se L ara x 4 f D L * γ γ ln γ ( ) γ ( ) γ sendo o coeficiente de atrito dado or: f L L * * f dx 0 74

75 3.0 Escoamento unidimensional Curva de Fanno: com atrito 75

76 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Curva de Fanno: Para escoamento suersônico: O número de ach diminui. A ressão aumenta. A temeratura aumenta. A ressão total diminui. A velocidade diminui. 76

77 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Curva de Fanno: Para escoamento subsônico: O número de ach aumenta. A ressão diminui. A temeratura diminui. A ressão total diminui. A velocidade aumenta. 77

78 3.0 Escoamento unidimensional com atrito No caso de um escoamento suersônico, o crescimento do comrimento da região com atrito move o onto referente às condições de saída do gás ara mais róximas do onto de escoamento sônico na curva de Fanno. Quando o comrimento da região com atrito é tal que o escoamento na saída do gás é sônico, tem-se um escoamento bloqueado. 78

79 3.0 Escoamento unidimensional com atrito Qualquer aumento do comrimento do duto com atrito, acima do eserado ara as condições de escoamento bloqueado farão com que haja uma revisão drástica do escoamento a montante da região de atrito. Caso o escoamento a montante fosse suersônico, será transformado em subsônico. 79