Estática dos Fluidos. Prof. Dr. Marco Donisete de Campos

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1 UFMT- UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CUA - CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA ICET - INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL Estática dos Fluidos Prof. Dr. Marco Donisete de Camos mcamos@ufmt.br

2 Introdução Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente quando uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é alicada. A ausência de movimento relativo (e, or conseguinte, de deformação angular) imlica a ausência de tensões de cisalhamento. Portanto, os fluidos tanto em reouso quanto em movimento de coro rígido, são caazes de suortar aenas tensões normais.

3 Introdução (cont.) As forças normais transmitidas or fluidos são imortantes em muitas situações ráticas. Usando os rincíios da hidrostática, odemos calcular as forças sobre objetos submersos, desenvolver instrumentos ara a medição de ressão e deduzir roriedades da atmosfera e dos oceanos. Os rincíios da hidrostática também odem ser emregados ara determinar as forças desenvolvidas elos sistemas hidráulicos em alicações como rensas industriais ou freios de automóveis.

4 Equação Básica da Estática dos Fluidos Alicamos a segunda lei de Newton a um elemento de fluido diferencial de massa dm ρd, com lados dx, dy e dz. O elemento fluido é estático em relação ao sistema estacionário de coordenadas retangulares.

5 Dois tios genéricos de forças odem ser alicadas a um fluido: forças de camo e forças de suerfície. A única força de camo que ode ser considerada na maioria dos roblemas de engenharia é decorrente da gravidade. Para um elemento de fluido diferencial, a força de camo é df gdm g d, B sendo g esecífica e o vetor da gravidade local, é a massa d o volume do elemento.

6 Em coordenadas cartesianas, d dxdydz, de modo que df B g dxdydz. Em um fluido estático, nenhuma tensão de cisalhamento ode estar resente. Então,a única força de suerfície é a ressão.

7 A ressão é um camo escalar, =(x,y,z); a ressão varia com a osição do fluido. A força líquida da ressão ode ser avaliada somando-se todas as forças que atuam nas seis faces do elemento fluido. Seja a ressão no centro, O, do elemento. Para determinar a ressão em cada uma das seis faces do elemento, utilizamos um desenvolvimento em série de Taylor da ressão em torno do onto O.

8 A ressão na face esquerda do elemento diferencial é L y ( y L y) y ( dy 2 ) y dy 2.

9 A ressão na face direita do elemento diferencial é R y ( y R y) y dy 2.

10 Note que os termos de ordem mais elevada são omitidos orque desaarecem no rocesso subseqüente do desenvolvimento. Cada força de ressão é um roduto de três termos. O rimeiro é a magnitude da ressão. A magnitude é multilicada ela área da face ara dar a magnitude da força de ressão, e um vetor unitário é introduzido ara dar o sentido. A força de ressão atua contra a face. Uma ressão ositiva corresonde a uma tensão normal de comressão.

11 Elemento diferencial de fluido e as ressões na direção y

12 As forças de ressão nas outras faces do elemento são obtidas do mesmo modo. Combinando todas essas forças, obtemos a força suerficial total agindo sobre o elemento. ) î (dydz)( dx x ) (dydz)(î dx x F d S 2 2 ) ĵ (dxdz)( dy y ) ĵ (dxdz)( dy y 2 2 ). kˆ (dxdy )( dz z ) (dxdy )(kˆ dz z 2 2

13 dydz Forças agindo no elemento infinitesimal em reouso no referencial xyz

14 Reagruando e simlificando termos, obtemos: ) î (dydz)( dx x ) (dydz)(î dx x F d S 2 2 ) ĵ (dxdz)( dy y ) ĵ (dxdz)( dy y 2 2 ). kˆ (dxdy )( dz z ) (dxdy )(kˆ dz z 2 2 dxdydz. kˆ z ĵ y î x F d S

15 df S x î y ĵ z kˆ dxdydz. O termo entre arênteses é denominado gradiente da ressão e ode ser escrito como grad ou. Em coordenadas retangulares grad î x ĵ y kˆ z î x ĵ y kˆ z.

16 grad î x ĵ y kˆ z î x ĵ y kˆ z. O gradiente ode ser visto como um oerador vetorial; tomando-se o gradiente de um camo escalar, obtém-se um camo vetorial. Assim, a equação acima ode ser reescrita como df S grad dx dy dz dx dy dz.

17 Combinando as formulações desenvolvidas ara as forças de suerfície e de camo a fim de obter a força total atuando sobre um elemento fluido, temos df df S df (- g)dx B (- g)d, dy dz ou, or unidade de volume, df d - g.

18 Para uma artícula fluida, a segunda lei de Newton fornece df a Para um fluido estático, dm a 0. a d. Então, df d a 0.

19 Substituindo na equação obtemos, df d df d a - 0 g - g 0.

20 - g 0. Força de ressão resultante or unidade de volume em um onto Força de camo resultante or unidade de volume em um onto

21 - g 0. Note que esta equação é vetorial, o que significa que é equivalente a três equações de comonentes que devem ser satisfeitas individualmente. As equações de comonente são: - g x x 0 - g 0 y y - g 0 z z direção x direção y direção z

22 - g 0, - g 0, - g x y z x y z Estas equações descrevem a variação de ressão em cada uma das três direções dos eixos coordenados num fluido estático. Para simlificálas, escolhe-se um sistema de coordenadas no qual o vetor gravidade esteja alinhado com um dos seus eixos. Se o sistema for escolhido como o eixo z aontando ara cima na direção vertical, então 0 g x 0, g y 0, g z -g.

23 Dessa forma, as equações de comonentes - g 0, - g 0, - g x y z x y z tornam-se 0 x 0, y 0, - z g Isto significa que a ressão é, neste caso, indeendente das coordenadas x e y; deende de z aenas. Então, visto que é uma função de uma só variável, odemos usar uma derivada total no lugar da derivada arcial..

24 Assim, a equação z g reduz-se a d dz g -.

25 A equação d dz g - é a relação básica ressão altura da estática dos fluidos. Está sujeita às seguintes restrições: (1) Fluido estático (2) A gravidade é a única força de camo (3) O eixo z é vertical e ara cima

26 Antes de considerarmos casos esecíficos com tratamento analítico imediato, é imortante notar que os valores de ressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. Se o nível de referência for o vácuo, as ressões são denominadas absolutas.

27 A maioria dos medidores de ressão indica uma diferença de ressão a diferença entre a ressão medida e a do ambiente (usualmente a ressão atmosférica). Os níveis de ressão medidos em relação à ressão atmosférica são denominados ressões manométricas.

28 Assim, manométrica absoluta atmosférica. Pressões absolutas devem ser emregadas em todos os cálculos com equações de gás ideal ou com outras equações de estado.

29 A Atmosfera Padrão Inexistem medidas de ressão numa grande faixa de altitudes e ara condições ambientais esecíficas (temeratura e ressão de referência). Assim, uma atmosfera adrão foi desenvolvida ara ser utilizada no rojeto de aviões, mísseis e esaçonaves e também ara comarar o comortamento destes equiamentos numa condição adrão. A atmosfera americana adrão atual é baseada no documento ublicado em 1962, revisado em 1976, utilizado também como adrão em vários outros aíses.

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31 Variação de Pressão num Fluido Estático A variação de ressão em qualquer fluido em reouso é descrita ela relação básica ressãoaltura d dz g. Embora g ossa ser definido como o eso esecífico,, foi escrito g na equação acima ara enfatizar que ambos devem ser considerados variáveis. Ao integrá-la ara determinar a distribuição de ressão, deve-se fazer considerações sobre as variações de e g.

32 Variação de Pressão num Fluido Estático (cont.) Para a maioria das situações ráticas da engenharia, a variação em g é desrezível. A variação em g recisa ser incluída aenas ara situações em que se calcula com muita recisão a mudança de ressão numa diferença de altitude muito grande. A menos que esecificado de outra forma, suõe-se que g seja constante com a elevação em qualquer local dado.

33 Líquidos Incomressíveis: Manômetros Para um fluido incomressível, é constante. Daí, considerando a aceleração da gravidade constante, temos d dz g cte. Para determinar a variação de ressão, integramos e alicamos as condições de contorno aroriadas. Caso a ressão no nível de referência, z o, seja designada or o, então a ressão no nível z é encontrada or integração:

34 z o d gdz z o ou o g( z z o ) g( z o z ).

35 Para líquidos, é conveniente colocar a origem do sistema de coordenadas na suerfície livre (nível de referência) e medir distâncias ara baixo a artir da suerfície livre como sendo ositivas. Com h medido ositivo ara baixo, temos: ou z o z h gh. o Isto significa que a diferença de ressão entre dois ontos num fluido estático ode ser determinada medindo-se a diferença de elevação entre eles.

36 Os disositivos utilizados com esse roósito são chamados de manômetros.

37 A ressão atmosférica ode ser obtida or um barômetro, no qual a altura de uma coluna de mercúrio é medida. A altura medida ode ser convertida em unidades de engenharia usandose a equação anterior e dados de densidade relativa do mercúrio.

38 ****Consideremos um manômetro de tubo em U. Como a erna direita do tubo está aberta ara a atmosfera, as medições de h 1 e h 2 ermitirão a determinação da ressão manométrica em A.

39 Alicando a equação gh o entre A e B e entre B e C, obtemos: A B ) 1 B A g( z z gh 1 1 e B C ) 2 C B g( z z gh 2 2 Somando essas duas equações, temos: A C gh gh Note que c = atm e, daí, A = C = A manométrica..

40 Se a massa esecífica 1 for desezível comarada com 2, então A manométrica = 2 gh 2. Note que as ressões em B e B são iguais, ois se encontram na mesma elevação num volume contínuo do mesmo fluido.

41 Os manômetros são aarelhos simles e baratos usados com freqüência ara medir ressões. Como a mudança do nível do líquido é muito equena ara equenas diferenças de ressão, o manômetro de tubo em U ode dificultar leituras mais recisas. A sensibilidade do manômetro é definida como a razão entre a deflexão observada no líquido manométrico e a diferença de nível equivalente no tubo em U com água, ara uma dada diferença de ressão alicada. A sensibilidade ode ser aumentada or modificação no rojeto do manômetro ou elo uso de dois líquidos imiscíveis com massas esecíficas ligeiramente diferentes.

42 A sensibilidade de um manômetro de tubo inclinado, denotada or s, é dada ela exressão: s L h e SG l 1 sen d D 2

43 A sensibilidade de um manômetro de tubo inclinado, denotada or s, é dada ela exressão: s L h e SG l 1 sen d D 2 Assim, ara aumentar a sensibilidade, todos os arâmetros devem ser feitos tão equenos quanto ossível. Portanto, o rojetista deve escolher um líquido manométrico e dois arâmetros geométricos ara comletar um rojeto.

44 Líquido Manométrico: deve ter a menor densidade relativa ossível ara aumentar a sensibilidade. Além disso, deve ser seguro, i.é, não-tóxico e não-inflamável, ser imiscível com o fluido cuja ressão esteja sendo medida, sofrer erda mínima or evaoração e desenvolver m menisco satisfatório. Também, aresentar tensão suerficial relativamente baixa e aceitar tingimento ara melhorar sua visibilidade.

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48 Relação de Diâmetros: O diâmetro mínimo do tubo, d, deve ser maior que 6 mm ara evitar o efeito cailar excessivo. O máximo diâmetro do reservatório, D, é limitado elo tamanho do manômetro. Se D é fixado em 60 mm, de forma que d/d é 0,1, então (D/d) 2 =0,01, e a sensibilidade cresce ara 0,99, bem erto do valor máximo atingível 1,0.

49 Os gráficos mostram o efeito da relação de diâmetros sobre a sensibilidade ara um manômetro de reservatório vertical com um líquido manométrico de densidade relativa igual a 0,1.

50 Note que d/d=1 corresonde a um manômetro de tubo em U normal. Sua sensibilidade é igual a 0,5 orque metade da diferença de altura na coluna do líquido aarece em cada lado do manômetro.

51 A sensibilidade dobra ara 1,0 quando d/d se aroxima de zero orque a maior arte da variação no nível do líquido ocorre no tubo de medida.

52 Ângulo de Inclinação: O gráfico mostra o efeito de inclinação na sensibilidade ara d/d=0. A sensibilidade aumenta raidamente quando o ângulo de inclinação é reduzido ara valores abaixo de 30 o. Um limite rático é estabelecido em torno de 10 o. Para ângulos menores o menisco torna-se indistinto e a leitura do nível fica difícil.

53 CONCLUSÃO: Combinando os melhores valores (SG=0,8; d/d = 0,1 e =10 o, obtém-se uma sensibilidade de 6,81 ara o manômetro. Fisicamente, esta é a razão entre a deflexão observada no líquido e a altura de coluna de água equivalente. Portanto, a deflexão no tubo inclinado é amliada 6,81 vezes comarada a uma coluna de água vertical. Com a melhora da sensibilidade, uma equena diferença de ressão ode ser lida com maior recisão que em um manômetro de água, ou uma menor diferença de ressão ode ser lida com a mesma recisão.

54 Para a análise em um manômetro de múltilos líquidos é necessário: (i) Quaisquer dois ontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma ressão; (ii) A ressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido.

55 Exemlo 3.3

56 Exemlo 3.3