Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 8

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1 Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 8 (Física e modelação de escoamentos turbulentos) EXERCÍCIO 1 Considere a erupção vulcanica do Eyjafjallajokull na Islândia em Abril de Imagens de satélite mostram que no dia 19 de Abril a pluma turbulenta se elevava a 4.5 km de altitude e a dimensão dos maiores turbilhões era da ordem dos 10 m. Tome a viscosidade cinemática do gás igual a 10 5 m 2 /s. 1. Tendo em conta que a velocidade média no centro da pluma vulcânica era da ordem dos 240 km/h estime a taxa de dissipação da pluma (Note que em rigor a taxa de dissipação varia com a localizacção na pluma.) 2. Cálcule a escala de Taylor média para esta pluma e confirme que neste escoamento a lei da taxa de dissipação é aplicável. 3. Estime a dimensão caracteristica dos mais pequenos turbilhões neste escoamento. 4. Estime a razão entre as escalas de tempo e as escalas de velocidade caracteristicas do movimento dos maiores e dos mais pequenos turbilões na pluma vulcânica, τ η /τ 0 e u η /u Suponha que se pretende fazer uma simulação numérica resolvendo todas as escalas existentes neste escoamento. O domínio computacional escolhido engloba toda a pluma numa caixa de dimensão cúbica e lados L = 4.5km. Estime a ordem de grandeza do número de graus de liberdade para simular este problema, considerando que se pretende simular 1 dia de erupção. 6. Resolva a alínea anterior considerando agora o caso onde se pretendem simular todas as escalas desde os maiores turbilhões até aos turbilhões de dimensão igual à 10 vezes a escala de Taylor (uma simulação das grandes escalas fina), ou até aos turbilhões de dimensão igual à 1/6 da escala dos maiores turbilhões (uma simulação das grandes escalas grosseira). EXERCÍCIO 2 Use a lei da taxa de dissipação para fazer uma estimativa grosseira da potência dos 2 motores instalados nos novos submarinos Alemães tipo U214 adquiridos pelo governo Português. Os submarinos têm um comprimento de cerca de L = 65 m e uma largura de b = 6.3 m. Quando totalmente submersos

2 2 a velocidade máxima é de cerca de 20 nós. Use as propriedades da água salgada (ρ = kg/m 3 e µ = (N.s)/m 2 ). EXERCÍCIO 3 Compare as escalas de tempo características de um processo de difusão de um campo escalar para escoamentos laminares e escoamentos para escoamentos turbulentos. Como exemplo considere a difusão de calor numa sala com dimensão linear característica L em que é instalado um aquecedor eléctrico. A evolução do campo de temperatura na sala é governado pela equação θ t + u θ j = γ 2 θ (1) x j x j x j onde θ é a temperatura, u j a velocidade e γ é a difusividade térmica, a qual se supõe constante. 1. Mostre que a escala da tempo associada à difusão molecular de calor é T m L2 γ. 2. Mostre que a escala da tempo associada ao processo de difusão turbulenta é T t L, onde u é a velocidade caracteristica da agitação turbulenta. u 3. Mostre que o resultado anterior poderia ter sido obtido usando uma simples equação de difusão θ/ t = γ t d 2 θ/ x j x j e o conceito de viscosidade turbulenta γ T ul 4. Discuta o significado da relação entre o tempo caracteristico das difusões molecular e turbulenta Tm T t γ. Nota: para os gases a condutividade de ul calor γ é da mesma ordem de grandeza que a viscosidade cinemática. 5. Obtenha os tempos caracteristicos de difusão molecular e da difusão turbulenta de calor para este problema para uma sala de L = 5 m e considere que a energia cinética turbulenta é gerada por impulsão no aquecimento dá origem a uma velocidade caracteristica de u 0.5 cm/s. Para o ar γ 0.20 cm 2 /s. EXERCÍCIO 4 Considere o escoamento de um rio com velocidade de aproximação U que atravessa os pilares de apoio de uma ponte. Os pilares têm uma dimensão caracteristica D e estão separados de uma distãncia l entre si e geram turbulência no rio que pode ser caracterizada por uma velocidade u 0 = ( u 2 ) 1/2 das fluctuações de velocidade imediatamente a montante dos pilares. Considere que as esteiras dos vários pilares interagem por forma que rapidamente se tem u 2 = v 2 = w 2 imediatamente a jusante dos pilares de forma que os termos de transporte difusivo podem ser desprezados.

3 3 1. Simplifique a equação de transporte de energia cinética turbulenta para este problema. 2. Use o modelo de k ɛ para estimar a taxa de decaimento das fluctuações de velocidade e da taxa de dissipação depois da ponte, du 2 /dx e dε/dx. Comece por simplificar as equações de transporte de k e de ε neste caso e resolva estas equações para obter a taxa de decaimento da turbulencia a jusante dos pilares da ponte. 3. Obtenha a lei de decaimento de Kolmogorov u 2 (t) t 10/7 e l(t) t 2/7 (considerada uma boa aproximação aos resultados medidos em laboratório) e compare o resultado com o resultado da alínea anterior. Kolmogorov usou a invariância do integral de Loitsiansky I que supõe I = u 2 l 5 = Cons te. durante o decaimento da turbulência. 4. Use o resultado anterior para estimar a intensidade da turbulência a L = 30 m da ponte, sabendo que o rio se aproxima dos pilares com U = 8 m/s, e que estes têm um diâmetro igual a D = 1 m. SOLUÇÕES Ex.1: Para uma camada de corte livre (jacto) temos uma intensidade de turbulência típica de I 20 30%. Tomando para este caso I = u 2 /u = 0.30 u 2 = ui = = 20 m/s, onde se usou u = 240 km/h temos u = = 240/3.6 = 66.7 m/s. Podemos aplicar a lei da taxa de dissipação para obter uma estimativa da taxa de dissipação com estes valores ε u 3 /l = 20 3 /10 = 800 m 2 /s 3. A escala de Taylor pode agora obter-se (supondo que neste caso u 2 v 2 w 2 ) de λ 2 = 15νu 2 /ε = /800 = , donde λ = m. O número de Reynolds baseado na escala de Taylor é Re λ = u λ/ν = / = , logo o escoamento é turbulento e a lei da taxa de dissipação é aplicável. A micro-escala de Kolmogorov é η = (ν 3 /ε) 1/4 = ((10 5 ) 3 /800) 1/4 = Os mais pequenos turbilhões existentes no escoamento têm dimensões (e.g. o raio) desta ordem de grandeza. De facto temos (m) ou seja η λ l 0. A razão entre as escalas de tempo e velocidade entre os maiores e menores turbilões do escoamento pode obter-se de τ η /τ 0 = Re 1/2 0 e u η /u 0 = Re 1/4 0, respectivamente. Uma vez que número de Reynolds caracteristico das grandes escalas é Re 0 = u 0 l 0 /ν = 20 10/10 5 = substituindo valores temos τ η /τ 0 = ( ) 1/2 = e u η /u 0 = ( ) 1/4 = ou seja tudo acontece muito mais depressa ao nível dos mais pequenos turbilhões e.g. os tempos caracteristicos de rotação dos mais pequenos turbilhões são 4 ordens de

4 4 grandeza mais pequenos do que dos maiores turbilhões do vulcão. Para um dominio computacional com dimensão L 3 temos de ter um número de pontos igual a N = N x N y N z = ( ) L 3. x Para uma simulação numérica directa temos de ter x η, donde N = ( ) 3 = , um custo computacional em termos de memória impossível de suportar hoje em dia e durante as próximas décadas. Para uma simulação das grandes escalas fina temos x 10λ, donde, N = ( ) = , um custo computacional 1 muito elevado mas possível com os maiores recursos computacionais existentes hoje em dia. Para uma simulação das grandes escalas grosseira temos x l/6 donde N = ( ) (10/6) = , uma simulação requerendo ainda alguns dias de cálculo nos maiores computadores. Compreende-se porque não foi possível prever atempadamente a evolução da concentração de poeiras vulcânicas durante a erupção do Eyjafjallajokull. Ex.2: É possível fazer esta estimativa usando a lei da taxa de dissipação se forem feitas cuidadosamente as aproximações necessárias. A potência será dada por P ot ερv ol, onde Vol é o volume de fluído deslocado pelo submarino. Começamos por obter o volume do submarino considerando que se trata de um cilindro e usando os dados fornecidos pelo construtor temos: V ol = πd2 L = 4 π 4 (6.3)2 65 = 2026 m 3. A taxa de dissipação obtem-se através de ε u 3 0/l 0, onde u 0 e l 0 são caracteristicas dos maiores turbihões. Ora o submarino é um corpo fuselado pelo que os maiores turbilhões são originados nas camadas limites turbulentas no casco do submarino. Calculemos a espessura da camada de corte no fim do submarino δ(l): O número de Reynolds no fim do submarino é Re L = UL/ν = / = , onde se converteu a velocidade em m/s (U = 20 nós = = m/s - cerca de 37km/h). Aplicando a relação para a espessura da camada limite turbulenta desde o inicio temos δ(l) = /( ) 1/7 = 0.57 m. Para termos uma dimensão tipica dos maiores turbilhões no escoamento podemos tomar l 0 δ, mas uma vez que δ cresce ao longo do casco, tomemos um valor médio, digamos l 0 δ(l)/2 = 0.57/2 = m. Para obter u 0 temos em conta que num escoamento parietal I = u 2 /u 10%. Usando este valor temos u 0 = = m/s, pelo que a taxa de dissipação média no escoamento é ε = u 3 0/l 0 = /0.287 = m 2 /s 3. A potência pode agora ser estimada através de P ot ερv ol = = Watts, ou seja, 7.88 MW. Cada um dos dois motores dos submarinos tipo 214 terá então cerca de 3.94 MW. De facto a estimativa neste caso é muito próxima do valor real dado pelo construtor ( 3.96 MW por motor). Ex.3: Este exercício ilustra como a análise dimensional e conceitos de fenomelogia da turbulência permitem obter estimativas úteis em engenharia. Se apenas

5 5 existe difusão molecular podemos aproximar a equação de θ por (uma vez que u j = 0) θ/ t = γ 2 θ/ x j x j. Se T m é o tempo caracteristico do processo de difusão molecular de calor t T m e x L, temos θ/ t = γ θ/( x) 2, ou seja 1/T m = γ/l 2, donde T m L 2 /γ. Se apenas existir difusão turbulenta temos análogamente θ/ t u j θ/ x j. Se T t é o tempo caracteristico do processo de difusão turbulenta de calor vem θ/ t = u θ/ x, onde u é uma velocidade caracteristica da turbulência na sala, ou seja 1/T t = u/l, donde T t L/u. Se se tivesse usado o conceito de viscosidade turbulenta teriamos: θ/ t = γ T 2 θ/ x j x j onde γ T é a difusividade turbulenta (neste problema os coeficientes de difusão de calor e de quantidade de movimento são semelhantes). Usando γ T ul obtemos o mesmo resultado que na alínea anterior, isto é θ/ t = γ T θ/( x) 2 = (ul) θ/( x) 2, donde T t L/u, como anteriormente. A razão das escalas de tempo da difusão molecular e turbulenta é T m /T t = L2 /γ = L/u γ/(ul) = ( 1. No problema em questão a difusão de calor é da ordem de ul γ ) grandeza da difusão de momento i.e. ν γ, pelo que T m /T t = Re, onde Re é o número de Reynolds. Usando valores temos: T m L 2 /γ = 5 2 / = s > 300h i.e. para aquecer a sala apenas por difusão molecular são necessárias cerca de 300 h. Por outro lado T t L/u = 5/ = 100 s 1.7 min, ou seja a turbulência, mesmo que de pequêna intensidade leva a uma muito mais rápida difusão de calor na sala. Ex.4: A equação de transporte de k fica reduzida a U dk dx num referencial com velocidade de transporte constante igual a U. As equações do modelo de k ε reduzem-se neste caso a dk dt = ε, ou seja dk dt = ε = ε e a dε dt = c 2ε ε2 k. Este sistema de equações pode resolver-se dando k(t) = k 0 (1 + t/τ) n, onde n = (c 2ε 1) 1 = 1.08 e τ = nk 0 /ε 0. Como se pode constatar o modelo de k ε dá k(t) t 1.08 o que não compara particularmente bem com o valor mais correcto obtido por Kolmogorov k(t) t 1.4. Pare o problema em questão podemos usar a lei de decaimento de Kolmogorov. O tempo que decorre até a massa de fluido imediatamente a jusante dos pilares chegar a L = 30 m é t = L/U = 30/8 = 3.75 s. Tomando como intensidade de turbulência gerada nos pilares um valor tipico de camdas de corte livres I = 0.30 temos u 0 = u 2 = = 2.4 m/s, donde a energia cinética turbulenta inicial (i.e. imediatamente a jusante dos pilares) é k 0 = 3 2 u2 0 = = 8.64 m 2 /s 2. Aplicando a lei de Kolmogorov obtemos k(t = 3.75) = k 0 t 1.4 = = m 2 /s 2, pelo que a intensidade da turbulência a 30 m da ponte é I = u 2 /U = 0.90/8 = 0.11 onde se usou u 2 2k. 3