Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 9

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1 Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 9 (Turbomáquinas: Análise dimensional e diagrama de Cordier) EXERCÍCIO 1 Considere as turbinas do tipo Francis do aproveitamento hidroeléctrico de Cahora Bassa (Moçambique). As características nominais são: altura de queda H=103.5 m, velocidade de rotação N=107.1 rpm e potência P=415 MW. O diâmetro da roda é de D=6.56 m. (Nota: despreze em primeira aproximação os efeitos devidos à variação do número de Reynolds e aos factores de escala.) 1. Cálcule o caudal nominal sabendo que o rendimento é de η = 93% 2. Cálcule a velocidade de rotação, a potência e o caudal nominal de um modelo reduzido da turbina à escala de 1/20 que se pretende ensaiar em laboratório com uma altura de queda disponível de H m = 22 m. EXERCÍCIO 2 Foram efectuados ensaios com um modelo reduzido dum hélice marítimo (diâmetro de 300 mm), tendo-se medido um rendimento máximo de η = 65% para uma velocidade de rotação de 250 rpm e uma relação de avanço de /ND = 0.8. Nestas condições, a força de propulsão medida foi de 890 N. Pretende-se instalar o protótipo do hélice com 1.5 m de diâmetro num navio com velocidade de 30 nós (55.6 km/h). Em condições de rendimento máximo, cálcule: 1. A velocidade de rotação do hélice no protótipo. 2. A força de propulsão. 3. A potência absolvida pelo veio. (Nota: despreze em primeira aproximação os efeitos devidos à variação do número de Reynolds e aos factores de escala.) EXERCÍCIO 3 Considere uma bomba com a qual se pretende transportar água dum rio (nível de superfície livre 0 m) para uma albufeira duma barragem sobre-elevada (nível 123 m). As curvas carecterísticas da bomba a 975 rpm estão representadas na figura Ex.3, em que Q é o caudal e H a altura de elevação, e η o rendimento. As perdas de carga nas condutas (expressas em metro de altura de coluna de ǵua) são 9.0Q 2 na conduta de compressão e 1.0Q 2 na conduta de aspiração (Q em m 3 /s). A temperatura da água é de 20 o C.

2 2 Figura 1: Ex.3: Curva característica da bomba do exerício Cálcule o caudal debitado 2. Cácule aproximadamente o diâmetro do rotor da bomba (admita que se trata de uma bomba de um andar, com rotor de entrada simples). 3. Cálcule a potência absorvida pela bomba sabendo que esta roda a 975 rpm. EXERCÍCIO 4 Considere um ventilador radial utilizado para assegurar o escoamento de ar (ρ = 1.2 kg/m 3 ) numa instalação industrial em que a entrada e a saída estão à pressão atnosférica. A perda de carga total na instalação é dada (em Pa) por 360Q 2 (sendo Q o caudal volúmico em m 3 /s). As curvas características do ventilador à velocidade de rotação de 2900 rpm estão representadas na figura Ex.4 em que H é a altura de elevação (em m) e η é o redimento (despreze as perdas mecânicas). (Nota: despreze em primeira aproximação os efeitos devidos à variação do número de Reynolds e aos factores de escala.) 1. Cálcule o caudal debitado e a potência absorvida pelo ventilador quando está montado na instalação referida e roda a 2900 rpm.

3 3 Figura 2: Ex.4: Curva característica do ventilador do exerício Suponha que, para accionamento do ventilador, dispõe duma potência máxima de 15 kw. Cálcule a velocidade máxima a que pode accionar o ventilador na mesma instalação sem exceder aquela potência. Cálcule o correspondente valor do caudal.

4 4 SOLUÇÕES Ex.1: A partir da expressão para a potência noveio da turbina P = ηρqgh, temos: Q = P/ηρgH = /( ) = m 3 /s. O modelo e o protótipo são máquinas geométricamente semelhantes, e por isso também dinâmicamente semelhantes. Consequentemente, os coeficientes adimensi gh onais são iguais no modelo e no protótipo. Do coeficiente de altura temos gh m N 2 m D2 m, donde N m = N ( D D m ) Hm H = de caudal vem: Q = Qm ND 3 N md, donde Q m 3 m = Q ( ) ( ) 3 ( N m Dm N D = N 2 D 2 = = rpm. Do coeficiente ) ( ) =, donde m 3 /s. Finalmente, do coeficiente de potência vem P = Pm ρn 3 D 5 ρnm 3 D5 m P m = P ( ) 5 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 3 D m Nm D N = = = kw. Ex.2: O modelo e o protótipo são geometricamente semelhantes de modo que os grupos adimensionais são iguais para o modelo do hélice e para o hélice instalado no navio. Uma vez que no modelo temos ( ) = 0.8, a velocidade ND m de avanço no modelo é m = 0.8 (250π/30) 0.3 = 6.3 m/s. A velocidade de rotação no protótipo pode obter-se assim de ( ) = ( ), e vale N = N ND m ND p = ( ) ( ) p N Vav Dm m m D = 250 (15.4/6.3) (0.3/1.5) = rpm. A força de propulsão pode obter-se igualando os coeficientes de for a: ( F ( ) F ρn 2 D 4 ) 2 ( ρn 2 D 4 ), donde se obtém F ( ) 2 ( ) 4 ( p = F N D m m N m D m = Uma vez que a potência é igual ao momento vezes a velocidade angular P = LN p = ) 4 = 133 kn. temos de cálcular o momento angular aplicado no hélice do navio. A partir da definição do rendimento η = F Vav F Vav podemos escrever L = = = LN ηn π/ Nm, donde P = LN = π/30 = 3.16 MW. Ex.3: O caudal debitado Q corresponde ao caudal no ponto de funcionamento que se obtém fazendo a intersecção entre a altura de elevação da bomba H bomba (Q) e da instalação H inst (Q): no ponto de funcionamento ( temos H bomba (Q) = H inst (Q). Para a instalação temos H = z 2 z 1 + U 2 fl + K ) = Q 2 +1Q 2 = 2g D Q 2. Para a bomba temos de achar as constantes a e b tais que H bomba = a bq 2. Da curva com as carecterísticas da bomba temos (Q, H) = (0, 142), donde 142 = a b(0) 2 e a = 142; de (Q, H) = (1, 125) temos 125 = 142 b1 2, donde b = = 17, logo H bomba = Q 2. No ponto de funcionamento, de H bomba (Q) = H inst (Q) obtermos Q 2 = Q 2, ou seja Q = = m 3 /s. A altura de elevação para o ponto de funcionamento pode agora obter-se de H inst (Q = 0.839) ou de H bomba (Q = 0.839) = (0.839) 2 = 130 m. A partir deste valor podemos estimar o diametro da máquina pelo diagrama de

5 5 cordier. A velocidade específica é Ω = próximo do rendimento máximo vem: Ω = [ ] NQ (gh) 3/4 [. Considerando que estamos η max ] = valor tipico 975 (2π/60) ( ) 3/4 de uma bomba radial. Através do diagrama de Cordier tiramos, para Ω = 0.40, um diâmetro específico de = D(gH)1/4 Q 1/2 = 7.0, donde D = Q 1/2 /(gh) 1/4 = 7 (0.839) 1/2 /( ) 1/4 = 1.07 m. A potência obtêm-se de P = ρqgh/η. Da figura Ex.3 vem η = 0.87 para Q = m 3 /s, donde P = /0.87 = 1.2 MW. Ex.4: Começamos por obter a curva da instalação H inst = p = 360Q2 = ρg Q 2 (m). Para o ventilador temos H vent (Q) = a bq 2. Usando 2 pontos da curva característica do ventilador, por exemplo (Q, H) = (1, 335) e (Q, H) = (3, 240), obtemos duas equações para a e b: 335 = a b(1 2 ) e 240 = a b(3 3 ), de onde se tira a = e b = A curva característica para o ventilador é então H vent = Q 2. O ponto de funcionamento consiste no ponto onde H vent (Q) = H inst (Q), o que é equivalente a Q 2 = 30.6Q 2, de onde vem Q = = m3 /s. Para este valor de caudal a figura Ex.4 mostra que o rendimento é η = 0.78 e a altura de elevação é H = 255 m. A potência é então P = ρqgh/η = /0.78 = 11.0 kw. A mesma máquina noutro ponto de funcionamento 2 absorve uma potência P 2 que se relaciona com a potência no primeiro ponto 1 (pontos dinâmicamente semelhantes) através de P ρn 3 1 D5 1 = P 2 ρn 2 2 D5 2, ou seja P 1 N 3 1 = P 2 N 3 2, donde N 2 = 3 P2 P 1 N 3 1 = 11 (2900)3 = 3215 rpm. Por sua vez o caudal entre os dois pontos obedece à ( ) relação Q 2 Q 1 = N 2 N 1, donde Q 2 = Q N2 1 N 1 = = m3 /s.