Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 10

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1 Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 10 (Turbomáquinas: Análise dimensional, curvas de instalação e cavitação) EXERCÍCIO 1 Resolva o exercício 7 das folhas do Prof. António Falcão, Turbomáquinas, Secção de Folhas da AEIST. Pode consultar a solução detalhada nessas folhas. EXERCÍCIO 2 Uma bomba é usada para bombear água entre dois reservatórios através de uma conduta na qual a perda de carga é H inst z + aq 2 (m), onde z é o desnível entre os dois reservatórios (em metros) e a 85 s 2 /m 5. As caracteristicas da bomba podem ser aproximadas pela curva H bomba Q 111Q 2 (m). Cálcule o caudal escoado Q e a altura de elevação da bomba H bomba para: 1. Um desnível de z 15 m usando apenas uma bomba. 2. Um desnível de z 15 m usando duas bombas idênticas montadas em paralelo. 3. Um desnível de z 25 m usando duas bombas idênticas montadas em série. EXERCÍCIO 3 Considere que pretende transportar água entre dois reservatórios e que para o efeito dispõe de duas bombas geométricamente semelnates (bombas 1 e 2) que podem operar em condições nominais η η max. O diâmetro e velocidade de rotação das duas bombas são D m e D m, e N rpm e N rpm, respectivamente. Qual das duas bombas pode ser colocada a um nível mais alto em relação ao reservatório de aspiração sem entrar em cavitação? EXERCÍCIO 4 Considere as turbinas Kaplan da central hidro-eléctrica das Três Marias (Brasil). As caracteristicas de cada turbina são as seguintes: diâmetro da roda D 4.65 m, altura de queda disponível H 50 m, velocidade de rotação N rpm, potência ao veio P 67 MW. 1. Sabendo que o rêndimento das turbinas é de 93%, determinte o caudal escoado.

2 2 Figura 1: Ex.5.: Curva característica da bomba do exerício Cálcule a velocidade específica e o diâmetro específico das turbinas e verifique que o diâmetro das mesmas dado pelo diagrama de Cordier consiste numa boa aproximação ao valor real. 3. Qual a altura da linha de água em relação à posição das turbinas para que estas não entrem em cavitação, sabendo que a perda de carga no difusor é de Z diff Q 2 (m)? Tome para a pressão atmosférica P atm kpa e para a tensão máxima do vapor à temperatura da água P v 2.45 kpa. EXERCÍCIO 5 Uma bomba radial foi ensaiada com água (temperatura 20 o C) à velocidade de rotação de 1500 rpm e obtiveram-se as curvas características apresentadas na figura Ex.5, em que H é a altura de elevação (em metros), Q o caudal volúmico (m 3 /s), e h i H si (m). Pretende-se utilizar a mesma bomba (mas não necessáriamente à mesma velocidade de rotação) para assegurar a circulação de água num permutador de calor em circuito fechado. As características da instalação são as seguintes: perdas de carga na conduta de aspiração (em metros): 600Q 2 (Q em m 3 /s). perdas de carga na conduta de compressão (incluindo o permutador): 2000Q 2 (Q em m 3 /s). nível da bomba em relação à superfície livre do reservatório: 1 m. 1. Calcule a velocidade de rotação a que deve girar a bomba para que o caudal

3 3 elevado seja de m 3 /s (admitindo ausência de cavitação). 2. Calcule a temperatura máxima da água na bomba para que não haja cavitação sabendo que a pressão atmosférica é P atm Pa e tome ρ 1000 kg/m 3. Nota: use a curva h i (Q) da figura Ex.5. SOLUÇÕES Ex.2: No caso de se usar apenas uma bomba com um desnível de z 15 m a curva da instalação é H inst Q 2. O ponto de funcionamento é obtido através de H bomba (Q ) H inst (Q ) Q 111Q Q 2 195Q Q Q ( ) / (2 195) 0.23 m 3 /s, e a altura de elevação resultante será H H inst 15+85(0.23) m. Usando duas bombas iguais em paralelo o caudal resultante na instalação é igual ao dobro do caudal que atravessa cada uma das bombas. Assim, se o caudal total (resultante) se designar por Q temos H bomba (Q ) H inst (Q ) ( ) ( ) Q Q Q Q Q Q ( ) / ( ) 0.29 m 3 /s, e a altura de elevação resultante será H H inst (0.29) m. Usando agora as duas bombas mas em série a altura de elevação resultante é duplicada i.e. H serie 2 H bomba 2 ( Q 111Q 2 ) Q 222Q 2, onde Q é o caudal escoado para esta situação. Para um desnível de z 25 m a curva da instalação é H inst Q 2. O caudal escoado obtém-se uma vez mais fazendo H bomba (Q ) H inst (Q ) 25+85Q Q 222Q 2 307Q Q Q ( ) / (2 307) 0.30 m 3 /s, e a altura de elevação resultante será H H inst (0.30) m. Ex.3: Máquinas geometricamente semelhantes têm o mesmo coeficiente de caudal e consequentemente têm também o mesmo coeficiente de altura ( ) gh 1 N 1 2D2 1 ( ) gh2 N, donde H 2 2 2D2 2 H 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 N 2 D2 N 1 D Por outro lado semelhança geométrica implica que as [ máquinas ] têm[ a mesma] velocidade específica, D e logo o mesmo diâmetro específico: 1 (gh 1 ) 1/4 D 2 (gh 2 ) 1/4 donde se tira Q 2 Q 1/2 1 Q 1/2 Q 1 2 ( ) 2 ( ) 1/2 ( ) 2 D2 H1 D 1 H (14.95) 1/ A velocidade específica de aspiração em condições critcas de cavitação é S iη NQ1/2. Uma vez que para bombas (gh si ) 3/4 se tem S iη 3 (igual para as duas bombas), vem H si(2) H si(1) ( ) 4/3 ( ) N 2 Q2 2/3 N 1 Q 1 ) 4/3 (15.45) 2/3 15. Uma vez que para não haver cavitação temos de ter (

4 4 H s > H si, e como H si(2) > H si(1) a bomba 1 pode ser colocada a uma distancia (altura) da águam maior do que a bomba 2. Ex.4: O caudal escoado tira-se imediatamente de Q P/(ηρgH) /( ) [ ] m 3 /s. [ ] 163.6(π/30)149.9 A velocidade específica é Ω 1/2 2.01, valor que NQ 1/2 (gh) 3/4 η max ( ) 3/4 está perto dos valores de Ω que caracterizam turbinas Kaplan. Do diagrama de Cordier tiramos 2.0, donde o diâmetro é D [ ] [ ] Q 1/2 (gh) /2 1/4 ( ) 5.2 1/4 m, valor próximo do valor do diâmetro das turbinas (D 4.65 m). A velocidade [ específica ] de aspiração em condições nominais, no inicio da cavitação NQ é S iη 1/2. Uma vez que para turbinas temos sempre S (gh si ) 3/4 iη 4, vem H si ( ) NQ 1/2 4/3 ( ) 4/3 S iη g N 3/4 S iη Q 2/3 1 ( ) 163.6π/30 4/3 g / m. Ora a altura 9.81 de aspiração disponível é H s Patm ρg de ter H s > H si e s > H si + Pv e s Pv ρg e para não haver cavitação temos Patm ρg ρg ( ) m, ou seja e s < 9.72 m i.e. a roda da turbina tem de ser colocada num nível de pelo menos 9.72 m abaixo do nível da água. Ex.5: Começamos por obter o caudal que se escoa na situação que não nos interessa mas para a qual temos dados, e que corresponde ao ponto de funcionamento (ponto 1) que se obtém se se usar a bomba a N rpm. A curva da instalação é H inst z + ( )Q 2 (m), com z 1 m. Podemos aproximar a curva caracetristica da bomba para N rpm, supondo que esta pode ser aproximada por H bomba a bq 2. Usando os pontos d gráfico (Q, H) (0, 22) e (Q, H) (0.10, 20) vem a 22 e b 200 i.e. H bomba Q 2. O ponto de funcionamento que teriamos se ligassemos a bomba à velocidade de 1500 rpm é obtida através de H bomba H inst Q Q 2, donde Q m3 /s. Como queremos funcionar para Q m 3 /s temos de usar informação de pontos dinâmicamente semelhantes. Para o ponto 2 podemos calcular H 2 a partir da curva da instalação: H (0.08) m. Tomemos uma parábola que passa pelo ponto 2 e também por outro ponto (ponto 1), sendo que o ponto 2 está na curva da bomba para a velocidade N 2 (que não conhecemos), e o ponto 1 está na curva da bomba para N 1 (conhecida 1500 rpm). Os pontos 1 e 2 são dinâmicamente semelhantes e por isso estão sobre uma parábola H kq 2. A constante pode ser obtida usando os dados do ponto 2: k H 2 /Q / Podemos agora calcular as coordenadas do ponto 1: H 1 kq 2 1 H bomba Q Q 2 1, donde Q 1 22/( ) m 3 /s, e H (0.0863) m. Usando os dados dos pontos 1 e 2 obtemos( N 2 ) tendo em conta ( que ) estes pontos são dinâmicamente semelhantes: N 1 N Q2 2 Q rpm. Do gráfico tiramos H si 3 m. Para impedir cavitação temos de ter H s > H si

5 5 Patm Pv e ρg ρg s Z s > H si. As perdas de carga na conduta de aspiração são Z s 600Q m, e uma vez que o desnível é e s 1 m a tensão do vapor tira-se de pv > P ρg v < kpa. Usando as tabelas e fazendo uma interpolação linear tiramos T (P v 24.38) 63 o C.