Dinâmica Não-Linear, Instabilidade e Controle de Sistemas Estruturais com Interação Modal

Transcrição

1 iego Orlando inâmica Não-Linear, Instabilidade e Controle de Sistemas Estrtrais com Interação Modal Tese de otorado Tese aresentada como reqisito arcial ara obtenção do títlo de otor elo Programa de Pós- Gradação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estrtras. Orientadores: Palo Batista Gonçalves Gisee Rega Stefano Lenci Rio de Janeiro, maio de 00

2 iego Orlando inâmica Não-Linear, Instabilidade e Controle de Sistemas Estrtrais com Interação Modal Tese aresentada como reqisito arcial ara obtenção do títlo de otor elo Programa de Pós-Gradação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Arovada ela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Palo Batista Gonçalves Presidente/Orientador eartamento de Engenharia Civil - PUC-Rio Prof. Carlos Edardo Nigro Mazzilli USP - SP Prof. Marcelo Amorim Savi COPPE/UFRJ Prof. Ral Rosas e Silva PUC-Rio Prof. eane de Mesqita Roehl PUC-Rio Prof. José Egênio Leal Coordenadora Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 07 de maio de 00

3 Todos os direitos reservados. É roibida a rerodção total o arcial do trabalho sem atorização da niversidade, do ator e do orientador. iego Orlando Grado-se em Engenharia Civil ela Universidade de Passo Fndo UPF, em janeiro de 004. Ingresso no mrado em Engenharia Civil da PUC-Rio em março de 004, atando na área de Instabilidade e inâmica das Estrtras. Em 006, continando na mesma linha de esqisa, inicio o crso de dotorado na PUC-Rio. Orlando, iego Ficha Catalográfica inâmica não-linear, instabilidade e controle de sistemas rtrais com interação modal / iego Orlando ; orientadores: Palo Batista Gonçalves, Gisee Rega, Stefano Lenci f. : il. color.; 30 cm Tese otorado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, eartamento de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 00. Incli bibliografia. Engenharia civil Teses.. Acolamento modal. 3. Sensibilidade a imerfeições. 4. Integridade dinâmica. 5. Modos não-lineares. I. Gonçalves, Palo Batista. II. Rega, Gisee. III. Lenci, Stefano. IV. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. eartamento de Engenharia Civil. V. Títlo. C: 64

4 edico e trabalho como minha mais sadosa homenagem aos mes ais, Wilson Orlando e Melânia Maria Orlando, or todo amor e carinho. Ao me irmão Thiago Orlando, elo amor e amizade.

5 Agradecimentos Agradeço a vida, e àqeles qe assam fazendo-a valer à ena. Ao rofessor Palo Batista Gonçalves elas conversas, elo constante axílio, ela aciência e or sa amizade. Aos rofessores Gisee Rega e Stefano Lenci, essoas sensacionais, com qal tive o razer de conviver e arender mito. Aos rofessores qe articiaram da comissão examinadora. As essoas qe me enderam as mãos qando mais recisei no eríodo qe assei na Itália, Irmãs Adelaide e Adriana obrigado. Jntamente ni-se a Família Thomson, qe não somente me enderam as mãos, mas também abriram sa casa. Jack, Rosa, Olivia e Hannah, hoje, vocês fazem arte de minha família. Aos grandes amigos Henriqe Marek, Edardo Mattos, Erblai Mattos Jnior, Cleiton Batista Silvério, André Gimarães e Osmar Cervieri, qe mesmo longe semre me incentivaram e aoiaram. Aos amigos Patrício e Jliana Pires, Walter Menezes, Thiago Pecin, André Müller, Frederico e Renata Alves, Edardo Pasqetti, Magns Meira, Joabson Alves, Jlio e Gisele Holtz, Patrícia Cnha, Fernando Ramires e Alexandre el Savio obrigado elo incentivo e aoio. Aos amigos e comanheiros da sala 609, em esecial José Silvre, João Pantoja, Christiano Teixera, João Krase, Pal Antezana e Jean Agilera. Aos rofessores, engenheiros e amigos Zacarias Chamberlain e Gilnei Artr rehmer elo constante aoio e incentivo. Aos demais rofessores do deartamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. A Cnq e a Caes elo aoio financeiro, sem os qais e trabalho não oderia ser realizado. Por fim, a todos aqeles qe contribíram na realização da Tese.

6 Resmo Orlando, iego; Gonçalves, Palo Batista; Rega, Gisee; Lenci, Stefano. inâmica Não-Linear, Instabilidade e Controle de Sistemas Estrtrais com Interação Modal. Rio de Janeiro, Tese de otorado - eartamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. O objetivo da tese de dotorado é dar a inflência do acolamento de modos de flambagem no comortamento ático e articlarmente no comortamento dinâmico não-linear de elementos rtrais sscetíveis a flambagem. Para isto, sam-se dois modelos discretos conhecidos or se comlexo comortamento não-linear: o modelo de Agsti e m modelo de torre aiada com dois gras de liberdade. Inicialmente da-se a abilidade dos dois modelos erfeitos, inclindo a obtenção de todos os caminhos de eqilíbrio ré- e ós-críticos e o efeito das imerfeições na caacidade de carga da rtra e na abilidade dos diversos caminhos de eqilíbrio. O objetivo da análise é entender como as diversas solções ós-críticas instáveis e as imerfeições inflenciam a geometria da serfície de energia otencial, o contorno do vale otencial ré-crítico e a integridade da rtra frente a inevitáveis ertrbações externas. A segir da-se o comortamento dos modelos em vibração livre. Aós a identificação das freqüências natrais, dos modos lineares de vibração e das ressonâncias internas, da-se, com o objetivo de entender a dinâmica dos modelos, sando as ferramentas da mecânica Hamiltoniana, a geometria da região segra qe circnda a osição de eqilíbrio ré-crítica, cja abilidade se deseja reservar, e as variedades invariantes dos ontos de sela qe definem a região. Ainda, no contexto da análise das vibrações livres, determinam-se todos os modos não-lineares de vibração, sa abilidade e sa relação freqüência-amlitde. Estes modos não-lineares áveis e instáveis, qe srgem em virtde do acolamento modal e das simetrias dos modelos, controlam e exlicam a sa dinâmica sob vibração forçada. Com base nesses resltados, da-se o comortamento dos modelos sob ma excitação de base, através de m do sistemático de bifrcações globais e locais, e a integridade das solções áveis através da evolção e ratificação das bacias de atração e das medidas de integridade dinâmica. Finalmente da-se como amentar a segrança da

7 rtra através do controle das bifrcações globais homoclínicas e heteroclínicas. A resente tese revela m conjnto de comortamentos qe são tíicos dos dois modelos e qe odem ser entendidos como fenômenos característicos de rtras qe exibem acolamento modal. Assim, a rincial contribição de trabalho reside na identificação de algmas características e asectos articlares dessa classe de rtras, assnto inédito na literatra. Palavras-chave Acolamento modal, sensibilidade a imerfeições, integridade dinâmica e modos não-lineares.

8 Abstract Orlando, iego; Gonçalves, Palo Batista; Rega, Gisee; Lenci, Stefano. Nonlinear ynamics, Instability and Control of Strctral Systems with Modal Interaction. Rio de Janeiro, Tese de otorado - eartamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. The aim of this thesis is to stdy the inflence of coled bckling modes on the static and articlarly on the nonlinear dynamic behavior of strctral comonents liable to bckling. For this, two discrete two degrees of freedom models known for their comlex nonlinear behavior are selected: the well-known Agsti s model and a simlified model of cable-stayed tower. Initially, the stability analysis of the erfect models is condcted, inclding the identification of all re- and ost-critical eqilibrim aths, and the effect of imerfections on the load caacity of the strctre and stability of the varios eqilibrim aths. The rose of this analysis is to nderstand how the varios nstable ost-critical soltions and imerfections inflence the geometry of the otential energy srface, the contor of the re-bckling otential well and the integrity of the strctre nder the inevitable external distrbances. Then the behavior of the models in free vibration is invigated, inclding the identification of the natral freqencies, linear vibration modes and ossible internal resonance. To nderstand the dynamics of the models, the geometry of the safe region srronding the re-bckling eqilibrim osition and the invariant manifolds of saddle oints that define this region are obtained sing the tools of Hamiltonian mechanics. Also, as art of the free vibrations analysis, all stable and nstable nonlinear vibration modes and their freqency-amlitde relations are obtained. These nonlinear stable and nstable modes, which arise de to modal coling and the symmetries of the models, control and exlain the dynamics of the model nder forced vibration. Based on these reslts, we stdy the behavior of the models sbjected to a base excitation throgh a systematic stdy of the global and local bifrcations, and the integrity of stable soltions throgh the evoltion and stratification of the basins of attraction and dynamic integrity measres. Finally, we stdy how to increase the safety of the strctre throgh the control of global homoclinic and heteroclinic bifrcations. This thesis identifies a nmber of

9 behaviors that are tyical of the two models and can be nderstood as characteristic henomena of strctres exhibiting modal coling. Ths the main contribtion of this work is to identify certain characteristics and articlar asects of this class of strctres, a first contribtion to this research area. Keywords Modal coling, imerfection sensitivity, dynamic integrity and nonlinear modes.

10 Smário Introdção 35.. Objetivo 40.. Organização do Trabalho 4 Formlação do Problema 43.. Modelo de Agsti Energia Cinética Energia Potencial Total Amortecimento Fnção de Lagrange Eqações de Movimento 49.. Modelo de Torre Estaiada Energia Cinética Energia Potencial Total Amortecimento Fnção de Lagrange Eqações de Movimento 53 3 Análise Estática Modelo de Agsti Modelo Perfeito Caminhos Pós-Críticos Serfícies de Energia Inflência da Rigidez Relativa das Molas Caminhos Pós-Críticos Serfícies de Energia Modelo com Imerfeição Geométrica Caminhos Não-Lineares de Eqilíbrio Serfícies de Energia Modelo de Torre Estaiada Modelo Perfeito 66

11 3... Caminhos Pós-Críticos Serfícies de Energia Inflência da Rigidez Relativa das Molas Caminhos Pós-Críticos Serfícies de Energia Modelo com Imerfeição Geométrica Caminhos Não-Lineares de Eqilíbrio Serfícies de Energia 85 4 Análise inâmica Vibração Livre Modelo de Agsti Freqüências Natrais Princíio da Conservação de Energia Variedades Invariantes dos Pontos de Sela Modos Não-Lineares de Vibração Modelo Perfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Modelo com Imerfeição Geométrica 4.. Modelo de Torre Estaiada Freqüências Natrais Princíio da Conservação de Energia Variedades Invariantes dos Pontos de Sela Modos Não-Lineares de Vibração Modelo Perfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Modelo com Imerfeição Geométrica 63 5 Análise inâmica Vibração Forçada Introdção Fronteiras de Escae iagramas de Bifrcação Bacias de Atração e Integridade inâmica Modelo de Agsti Modelo Perfeito 80

12 5... Inflência da Rigidez Relativa das Molas Modelo com Imerfeição Geométrica Modelo de Torre Estaiada Modelo Perfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Modelo com Imerfeição Geométrica 38 6 Controle da Erosão das Bacias de Atração Introdção Medidas de Integridade Redção da Integridade Controle da Integridade Eqações de Movimento esacoladas Modelo de Agsti Modelo de Torre Estaiada Formlação do Controle Bifrcações Globais Controle a artir da Adição de Ser-Harmônicos Controle Ótimo Alicação do Controle Ótimo Modelo de Agsti Modelo Perfeito Modelo com Imerfeição Geométrica Modelo de Torre Estaiada 83 7 Conclsões e Sgões Conclsões Sgões 9 8 Referências Bibliográficas 9

13 Lista de Figras Figra.: Modelo de Agsti. 43 Figra.: Modelo de Agsti imerfeito. 44 Figra.3: Modelo simlificado de torre aiada. 49 Figra 3.: Caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti erfeito. 56 Figra 3.: Projeções dos caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti erfeito. 56 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total. Modelo de Agsti erfeito. 58 Figra 3.4: Caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 59 Figra 3.5: Projeções dos caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 60 Figra 3.6: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 6 Figra 3.7: Cortes nas serfícies de energia otencial total ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 6 Figra 3.8: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e ψ 0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 63 Figra 3.9: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e ψ 0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 63 Figra 3.0: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 64 Figra 3.: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 64 Figra 3.: Variação da carga limite onto de bifrcação com as grandezas qe definem a imerfeição, φ e ψ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 65 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.9 e φ.

14 Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 66 Figra 3.4: Comortamento do modelo de torre aiada em fnção do ânglo Thomson & Gasar, Figra 3.5: Caminhos ós-críticos ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 3.6: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 3.7: Caminhos ós-críticos ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 3.8: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 3.9: Caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito. 73 Figra 3.0: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito. 73 Figra 3.: Serfícies de energia otencial total ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 74 Figra 3.: Serfícies de energia otencial total ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. 75 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito. 76 Figra 3.4: Caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 78 Figra 3.5: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 79 Figra 3.6: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.7 e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 80 Figra 3.7: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 83

15 Figra 3.8: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 83 Figra 3.9: Variação da carga limite onto de bifrcação com as grandezas qe definem a imerfeição, φ e ψ, ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 84 Figra 3.30: Serfícies de energia otencial total ara φ, λ 0.7 e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 85 Figra 4.: Configrações do modelo de Agsti. 88 Figra 4.: Variação da maior freqüência natral com o arâmetro de rigidez α, ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 93 Figra 4.3: Variação das freqüências natrais com os arâmetros ψ e φ, ara λ 0.9. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 93 Figra 4.4: Seções das bacias de atração conservativas em 3 θ xθ xdθ /dt, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti. 97 Figra 4.5: Seções das bacias de atração conservativas em 3 dθ /dtxdθ /dt xθ, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti. 97 Figra 4.6: Seções das bacias de atração conservativas em, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti. 98 Figra 4.7: Projeções das variedades invariantes dos ontos de sela, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 99 Figra 4.8: Projeções em lanos de fase da reosta no temo do rimeiro onto sela ertrbado, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 00 Figra 4.9: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano θ xθ, ara α.5, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 0 Figra 4.0: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano θ xθ, ara ψ 0, φ, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 0

16 Figra 4.: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo, ara ψ 45, φ, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 0 Figra 4.: Seções de Poincaré ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 09 Figra 4.3: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 0 Figra 4.4: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. Figra 4.5: Seções de Poincaré dos ontos PS, PQ e PC, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 3 Figra 4.6: Coordenadas axiliares, Modelo de Agsti erfeito. 4 Figra 4.7: Relações freqüência-amlitde ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 5 Figra 4.8: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados instáveis dos ontos de sela PS, PS, PS e PS, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. 6 Figra 4.9: Seções de Poincaré com 5 % da energia do onto de sela, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 8 Figra 4.0: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 8 Figra 4.: Comortamento dos ontos P, P, P3 e P4, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 9 Figra 4.: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares áveis desacolados, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 0

17 Figra 4.3: Seções de Poincaré ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 3 Figra 4.4: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 4 Figra 4.5: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano θ xdθ /dt, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 4 Figra 4.6: Relação freqüência-amlitde do modo acolado ável do onto P0, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 5 Figra 4.7: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 5 Figra 4.8: Seção de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela no lano θ xθ, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 6 Figra 4.9: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 7 Figra 4.30: Coordenadas axiliares considerando ψ 45. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 8 Figra 4.3: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares nãosimilares áveis acolados dos ontos P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 9 Figra 4.3: Relação freqüência-amlitde dos modos não-lineares similares áveis acolados dos ontos P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 30 Figra 4.33: Variação das freqüências natrais em fnção de rigidez α,

18 ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 39 Figra 4.34: Variação das freqüências natrais com os arâmetros ψ e φ, ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 39 Figra 4.35: Seções das bacias de atração conservativas em 3 x xd /dt, ara ω.0/s, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada. 43 Figra 4.36: Seções das bacias de atração conservativas em, ara ω.0/s, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada. 44 Figra 4.37: Projeções das variedades invariantes dos ontos de sela, ara λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 45 Figra 4.38: Projeções da reosta no temo do rimeiro onto sela ertrbado, ara λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 46 Figra 4.39: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara α 0.8, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 46 Figra 4.40: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo, ara α.8, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 47 Figra 4.4: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara ψ 0, φ, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 48 Figra 4.4: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara ψ 90, φ, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 48 Figra 4.43: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 50 Figra 4.44: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0, P, P, P3, P4, P, P, P3 e P4, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0

19 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 5 Figra 4.45: Coordenadas axiliares. Modelo de torre aiada erfeito. 5 Figra 4.46: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 53 Figra 4.47: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados instáveis dos ontos de sela PS, PS e PS, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 54 Figra 4.48: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares nãosimilares áveis acolados associados aos ontos P3, P4, P3 e P4, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 54 Figra 4.49: Relação freqüência-amlitde dos modos não-lineares similares áveis acolados dos ontos P, P, P e P, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. 55 Figra 4.50: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 57 Figra 4.5: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P3, P4, P e P, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 58 Figra 4.5: Relações freqüência-amlitde do modo desacolado instável do onto de sela PS0, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 59 Figra 4.53: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares acolados áveis, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez

20 relativa das molas. 59 Figra 4.54: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 60 Figra 4.55: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0, P, P, P, P, P3, P4 e P5, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 6 Figra 4.56: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, P0, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 6 Figra 4.57: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares acolados áveis, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 6 Figra 4.58: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 67 Figra 4.59: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 67 Figra 4.60: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados associados aos ontos P, P, P e P, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 68 Figra 4.6: Seções de Poincaré ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 69 Figra 4.6: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P P, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e

21 ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 70 Figra 4.63: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 70 Figra 4.64: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear acolado ável associado ao onto P P, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 7 Figra 5.: Forma como os mltilicadores de Floqet odem ltraassar o círclo de raio nitário região de abilidade. 74 Figra 5.: Bifrcação do tio itchfork, sercrítica e sbcrítica. 75 Figra 5.3: Bifrcação do tio nó-sela. 75 Figra 5.4: Bifrcação or dlicação de eríodo, sercrítica e sbcrítica. 75 Figra 5.5: Bifrcação do tio Hof, sercrítica e sbcrítica. 76 Figra 5.6: Exemlo de diagrama de bifrcação. 77 Figra 5.7: Vista serior ilstrativa do Modelo de Agsti. 78 Figra 5.8: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 8 Figra 5.9: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 8 Figra 5.0: Crvas de ressonância ara F 0.0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 83 Figra 5.: Crvas de ressonância e as relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares, ara F 0.0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 84 Figra 5.: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. 85

22 Figra 5.3: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 86 Figra 5.4: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.03, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 86 Figra 5.5: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 88 Figra 5.6: Resostas no temo ara dois níveis de carregamento, considerando diferentes condições inicias θ, dθ /dt, θ, dθ /dt, ara Ω /3 e ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 88 Figra 5.7: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 89 Figra 5.8: Seções das bacias de atração no lano θ xdθ /dt, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.55, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 90 Figra 5.9: Seções das bacias de atração no lano θ xdθ /dt, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, F 0., ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 9 Figra 5.0: Seções das bacias de atração no lano θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 9 Figra 5.: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 9 Figra 5.: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos F esc 0.07 acolado e desacolado. 93 Figra 5.3: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 94

23 Figra 5.4: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.4, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 95 Figra 5.5: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 95 Figra 5.6: Seções das bacias de atração nos lanos θ xdθ /dt e θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 96 Figra 5.7: Seções das bacias de atração e variedades dos ontos de sela no lano xd/dt, modelo desacolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 97 Figra 5.8: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 98 Figra 5.9: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara ϕ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos vales F esc e F esc Figra 5.30: iagramas de bifrcação, modelo acolado, ara Ω 0.3, ϕ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito F esc Figra 5.3: Variação da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω /3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. 00 Figra 5.3: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 0 Figra 5.33: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 0

24 Figra 5.34: Crvas de ressonância ara F 0.0, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 03 Figra 5.35: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 04 Figra 5.36: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 05 Figra 5.37: iagramas de bifrcação, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas F esc Figra 5.38: Seções das bacias de atração nos lanos θ xdθ /dt, θ xdθ /dt e θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 06 Figra 5.39: Variação da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω /3, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 07 Figra 5.40: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 08 Figra 5.4: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 09 Figra 5.4: Crvas de ressonância ara F 0.0, φ, ψ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 09 Figra 5.43: Crvas de ressonância ara F 0.0, φ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 0 Figra 5.44 Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, φ,

25 ψ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Figra 5.45: Comaração do comortamento na região de ressonância fndamental entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45, modelo acolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Valores mínimos F esc erfeito e F esc imerfeito. Figra 5.46: Seções das bacias de atração no lano xd/dt, modelo desacolado, ara Ω 0.306, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti. 3 Figra 5.47: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.306, ϕ 45, φ, ψ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 4 Figra 5.48: Comaração da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, na ressonância fndamental entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45, modelo acolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ Figra 5.49 Vista serior ilstrativa do modelo de torre aiada. 5 Figra 5.50: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 5.5: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 8 Figra 5.5: Crvas de ressonância ara F 0.0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 9 Figra 5.53: Crvas de ressonância ara valores crescentes de F, ϕ 0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 9 Figra 5.54: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. 0 Figra 5.55: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.00, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre

26 aiada erfeito. Figra 5.56: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. Figra 5.57: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. Figra 5.58: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 3 Figra 5.59: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. 4 Figra 5.60: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 5 Figra 5.6: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 6 Figra 5.6: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 5.63: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, modelo acolado, ara Ω , ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Figra 5.64: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara ϕ 0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos vales F esc e F esc Figra 5.65 Fronteiras de abilidade escae ara α <, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência

27 da rigidez relativa das molas. 30 Figra 5.66: Crvas de ressonância ara F 0.0, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 30 Figra 5.67: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 3 Figra 5.68: iagrama de bifrcação ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas F esc Figra 5.69: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, modelo acolado, ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 33 Figra 5.70: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 33 Figra 5.7: Fronteiras de abilidade escae ara α >, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 34 Figra 5.7: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 35 Figra 5.73: Crvas de ressonância ara F 0.0, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 36 Figra 5.74: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das

28 molas valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. 36 Figra 5.75: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara α.8, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 37 Figra 5.76: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 90, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 38 Figra 5.77: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 39 Figra 5.78: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 40 Figra 5.79: Crvas de ressonância ara F 0.005, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 40 Figra 5.80: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 4 Figra 5.8: iagramas de bifrcação ara Ω , ϕ 0, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica F esc Figra 5.8: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, ara Ω , ϕ 0, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 4 Figra 5.83: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω , ϕ 45, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 43

29 Figra 6.: Ilstração de alicação do método de controle roosto or Lenci & Rega. 49 Figra 6.: Variedades e erfil da energia otencial ara Ω /3 e λ 0.9. Modelo erfeito desacolado. 68 Figra 6.3: Ilstração de ma órbita heteroclínica. 68 Figra 6.4: Órbita heteroclínica ara Ω /3 e λ 0.9. Modelo erfeito desacolado. 69 Figra 6.5: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental ara λ 0.9 e ξ 0.0. Modelo erfeito desacolado. 70 Figra 6.6: iagramas de bifrcação ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. 7 Figra 6.7: Variedades invariantes associadas às fronteiras de abilidade ara F , Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. 7 Figra 6.8: Medidas de integridade GIM e IF ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. 73 Figra 6.9: Bacias de atração ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. 74 Figra 6.0: Variedades e erfil da energia otencial ara 0, Ω /3 e λ 0.9. Modelo desacolado com imerfeição geométrica. 75 Figra 6.: Ilstração de ma órbita homoclínica. 76 Figra 6.: Órbita homoclínica ara 0, Ω /3 e λ 0.9. Modelo com imerfeição geométrica. 76 Figra 6.3: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental ara 0, λ 0.9 e ξ 0.0. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. 78 Figra 6.4: iagramas de bifrcação ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e

30 υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. 79 Figra 6.5: Fronteiras de abilidade ara F 0.056, 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, o modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. 80 Figra 6.6: Medidas de integridade GIM e IF ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. 80 Figra 6.7: Bacias de atração ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. 8 Figra 6.8: Comaração das medidas de integridade GIM e IF do modelo erfeito original e controlado com o modelo imerfeito original e controlado. 8 Figra 6.9: Variedades e erfil da energia otencial ara Ω e λ 0.7. Modelo erfeito desacolado. 84 Figra 6.0: Órbita homoclínica ara Ω e λ 0.7. Modelo erfeito desacolado. 84 Figra 6.: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental ara λ 0.7 e ξ 0.0. Modelo erfeito desacolado. 85 Figra 6.: iagramas de bifrcação ara Ω , λ 0.7 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F.6050 e υ otimo π. Modelo erfeito desacolado. 86 Figra 6.3: Medidas de integridade GIM e IF ara Ω , λ 0.7 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F.6050 e υ otimo π. Modelo erfeito desacolado. 87 Figra 6.4: Bacias de atração ara Ω , λ 0.7 e ξ 0.0, modelo original e ara o modelo controlado 4F / F.6050 e υ otimo π. Modelo erfeito desacolado. 88

31 Lista de Tabelas Tabela 4.: Freqüências natrais e modos lineares de vibração. Modelo de Agsti. 9 Tabela 4.: Freqüências natrais e modos lineares de vibração. Modelo de torre aiada. 38 Tabela 5.: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti erfeito. 80 Tabela 5.: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 00 Tabela 5.3: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 07 Tabela 5.4: Freqüências natrais ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada erfeito. 7 Tabela 5.5: Freqüências natrais ara α <, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 9 Tabela 5.6: Freqüências natrais ara α >, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. 34 Tabela 5.7: Freqüências natrais ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. 38 Tabela 6.: Resltados nméricos dos roblemas de otimização com o amento do número de ser-harmônicos no caso de controle one-side. 66 Tabela 6.: Resltados nméricos dos roblemas de otimização com o amento do número de ser-harmônicos no caso de controle global. 66

32 Lista de Símbolos C, C i, constante igal o menor qe à energia associada aos ontos de sela dos modelos; arâmetros de amortecimento, exressos elas taxas de amortecimento, ξ i ; b t, excitação harmônica de base; H, E, vetor qe reresenta a arte não ertrbada do sistema; arcela de amortecimento; F, amlitde da excitação harmônica de base, F F l ; h Fcr, cont Fcr, valor teórico da interseção homo/heteroclínica ara ma excitação harmônica; valor teórico da interseção homo/heteroclínica ara ma excitação harmônica com controle adição de ser-harmônicos; F b, magnitde do deslocamento de base; F i, amlitde da excitação dos ser-harmônicos de ordem i; F esc, amlitde crítica, carga de escae; g, g, aceleração da gravidade; vetor qe reresenta a arte ertrbada do sistema; hom G, controle de ma órbita homoclínica; het G, controle de ma órbita heteroclínica; GIM, H, medida global de integridade; Hamiltoniano dos modelos; h, nível de energia adotado, H h. h j, arâmetros de controle; IF, k i, l, L, fator de integridade; constantes de rigidez das molas; comrimento da colna; fnção de Lagrange; L, arcela do otencial gravitacional das cargas externas; b

33 LIM, m, medida de integridade local; massa concentrada na extremidade livre da colna; M m, fnção de Melnikov; P, eso da massa concentrada na extremidade livre da colna, P mg ; Pcr i, t, T,, i, i0, cargas críticas dos modelos; temo; arcela da energia cinética; coordenada axiliar, ara desacolar os modelos; grandezas i modelo de torre aiada; senθ, qe reresentam os gras de liberdade do i arcelas da imerfeição geométrica do modelo de torre aiada, resectivamente, nas direções dos gras de liberdade i ; b t, arcela da excitação harmônica de base na direção x ; i, deslocamentos dinâmicos, deformações devidas ao movimento; i, rotações áticas; h, órbita do sistema homoclínica - hom o heteroclínica - het ; Ti, rotações totais; Si, deformações áticas; U, arcela da energia interna de deformação; v, coordenada axiliar, ara desacolar os modelos; v b t, arcela da excitação harmônica de base na direção y ; V, α, arcela da energia otencial total; relação entre as constantes de rigidez, k i ; α i j, termos qe simlificam a formlação do controle;, ânglo qe define a osição das molas do modelo de torre aiada; deslocamento vertical total de m medido em relação à configração Δ, indeformada da colna erfeita; Δ, deslocamento vertical da carga na colna imerfeita; f Δ 0, deslocamento vertical de m devido à imerfeição geométrica; Δ L, i variação de comrimento das molas do modelo de torre aiada; ε, arâmetro adimensional qe mede a amlitde da ertrbação;

34 γ i, deformações das molas nas direções θ i ; λ, relação λ P Pcr ;, cr λ carga crítica, qando λ P Pcr ; λ, lim carga ática limite; ω, freqüência não-linear dos modelos, elo movimento; ω e, freqüência da excitação harmônica de base; ω i, freqüências natrais dos modelos; ω, freqüência natral de m êndlo simles; Ω, Ω ω e ω ; Ω ω ω ; Ω i, i i φ, φ i, ϕ, ϕ i, inclinação da colna modelo com imerfeição geométrica; arcelas da imerfeição geométrica do modelo de Agsti, resectivamente, nas direções dos gras de liberdade θ i ; ânglo no lano de base; x y qe defini a direção da excitação harmônica ânglos formados entre a colna em ma osição arbitrária e, resectivamente, os eixos x, y e z ; ψ, θ i, ânglo no lano imerfeita ne lano; x y qe define a direção da rojeção da barra rotações imostas nas molas, gras de liberdade do Modelo de Agsti; θ i, deslocamentos dinâmicos, deformações devidas ao movimento; θ i, rotações áticas; θ Ti, rotações totais; θ Si, deformações das molas sob carregamento ático; τ, τ ω e t ; ν j, ânglo de fase entre os ser-harmônicos; ξ i, taxas de amortecimento;, seção qe define o maa de Poincaré.

35 Introdção A bsca or rtras mais econômicas tem levado a sistemas rtrais cada vez mais leves e, conseqüentemente, a elementos rtrais mais esbeltos. Qando se amenta a esbeltez de m dado elemento rtral, o se mecanismo de colaso ode sofrer significativas mdanças qalitativas. Por exemlo, à medida qe ma colna se torna mais esbelta, em vez da rína ocorrer or se atingir à caacidade de carga da seção, a ode ocorrer or erda de abilidade e conseqüente aarecimento de grandes deflexões. Assim, ara se rojetar ma rtra esbelta, deve-se sar o chamado critério de abilidade. Em elementos rtrais esbeltos, a não-linearidade geométrica é mito imortante e dá origem a vários fenômenos qe não são encontrados em sistemas lineares. Estes fenômenos inclem a existência de múltilas configrações de eqilíbrio áveis e instáveis e de ontos de máximo e mínimo ao longo do caminho não-linear de eqilíbrio ontos limite onde a rtra ode exibir saltos dinâmicos. A comreensão do fenômeno de flambagem em sistemas rtrais assa ela determinação da carga de flambagem carga crítica e modo crítico, da solção ré-flambagem solção fndamental e das solções ós-flambagem solções ós-críticas e solções secndárias, Croll & Walker 97. A edra fndamental da análise rtral moderna ós-flambagem é o trabalho de Koiter 967, onde se mostra a inflência de imerfeições geométricas iniciais no comortamento ós-flambagem de sistemas rtrais, na caacidade de carga da rtra e na reosta rtral não-linear. A teoria inicial ós-flambagem de Koiter foi osteriormente detalhada e alicada or, entre otros, Chilver 97, Croll & Walker 97 e Thomson & Hnt 973 na Inglaterra e Bdiansky 974 e Htchinson 974 nos Estados Unidos. Estes trabalhos são à base da moderna teoria de abilidade rtral El Naschie, 990; Bazant & Cedolin, 99. O rincial mérito da teoria consiste em

36 36 exlicar como a análise ós-flambagem ode ajdar no entendimento do comortamento não-linear de rtras sscetíveis a flambagem. Isto é articlarmente imortante na análise de sistemas sjeitos a bifrcação simétrica instável e assimétrica. Nes sistemas, ara cargas inferiores à carga teórica de flambagem tem-se, sostamente, qe o sistema á em ma configração segra, já qe o eqilíbrio, segndo ma análise local da abilidade, é ável. Contdo isso não é comletamente verdade. O sistema ode flambar ara níveis de carga mito inferiores à carga crítica devido ao efeito simltâneo de imerfeições iniciais e ertrbações dinâmicas. Para níveis de carregamento inferiores à carga crítica tais sistemas exibem mais de m onto de eqilíbrio, sendo a osição de eqilíbrio ável ré-flambagem rodeada or ontos de sela, ontos de eqilíbrio instável, qe definem a fronteira do vale otencial ré-flambagem. Assim se as ertrbações ltraassarem a fronteira do vale ré-flambagem, a resosta ode divergir ara ma nova osição de eqilíbrio o ara infinito. Ne caso a rtra erde a abilidade ara cargas inferiores à carga crítica da rtra. Esta região segra decresce com o amento da carga ática e se torna nla no onto crítico, assim a carga crítica é aenas m limite serior da caacidade de carga da rtra. As imerfeições diminem a carga teórica de flambagem e ao mesmo temo mdam a toologia da energia otencial do sistema, diminindo a região segra e mdando conseqüentemente se comortamento dinâmico não-linear e sa abilidade global Gonçalves et al, 007. Estrtras sjeitas a bifrcação simétrica instável o assimétrica são conhecidas como rtras sensíveis a imerfeições. O entendimento do comortamento global de sistemas rtrais com vários gras de liberdade com comortamento ós-crítico instável é articlarmente imortante, ois tais sistemas odem ainda aresentar acolamento modal, o seja, a interação de diferentes modos com cargas de flambagem mito róximas o igais, levando ao srgimento de novos e ineserados caminhos de eqilíbrio. Existem mitas rtras ara as qais a diferença entre as cargas críticas associadas a diferentes modos de flambagem é mito eqena o nla. Tais rtras aresentam freqüentemente o fenômeno de acolamento modal o interação modal. Essencialmente, o qe acontece é qe das solções ós-críticas distintas, cada ma delas associada a m modo de flambagem, emergem de dois

37 37 ontos críticos qe são mito róximos o coincidentes. Em virtde da nãolinearidade, odem srgir novas solções ós-críticas associadas a solções acoladas com comortamento mitas vezes distinto do comortamento associado às solções desacoladas Agsti, 964; Chilver & Johns, 969; Croll & Walker, 97; Thomson & Hnt, 984; Bazant & Cedolin, 99, mdando sbstancialmente o comortamento da rtra. O acolamento modal é m fenômeno de grande imortância na análise da abilidade de rtras, articlarmente no do da abilidade de lacas, cascas, erfis de chaa dobrada a frio e algns órticos, como mostram os trabalhos de Bazant & Cedolin 99, Brbak & Hellesland 007, Chen & Y 006, inis et al 007, Kiymaz 005, Kolakowski 007, Qin et al 007 e Tvergaard 973, dentre otros. Um caso extremo é a casca cilíndrica sob comressão axial, qe ode exibir ara certas geometrias m número infinito de cargas de flambagem coincidentes Brsh & Almroth, 975; El Naschie, 990; Pignataro et al, 99; Thomson & Hnt, 984. Em algns casos, a solção segra ré-flambagem ode ser circndada or vários ontos de sela, condzindo a várias bifrcações locais e globais e, conseqüentemente, a ma toologia comlexa no esaço de fase. O comortamento de tio de rtra ode tornar-se ainda mais comlexo se hover freqüências natrais coincidentes o qase coincidentes, levando o sistema a ma ossível ressonância interna el Prado, 999; e Gonçalves & el Prado, 005. Mitas das solções aresentadas na literatra, em virtde da solção modal adotada, necessitam considerar m número elevado de modos ara se obter a convergência do caminho ós-crítico Yamaki, 984. Entretanto, vários dos nas últimas décadas revelam qe, desde qe sejam retidos os modos corretos qe exressam o necessário acolamento modal e a conseqüente qebra de simetria, odem-se constrir modelos simlificados com m número razoavelmente eqeno de gras de liberdade qe sejam caazes de descrever qalitativamente e qantitativamente o comortamento não-linear de sistemas rtrais. Contribições ne sentido foram aresentadas or Batista 979, Antonini 98, Cowell & Hnt 985, Hnt et al 986, Gonçalves 987, Santee 988 e el Prado 00.

38 38 Na literatra se dacam dois modelos simlificados qe reresentam ma grande classe de roblemas rtrais com interação modal. O rimeiro é o modelo clássico de Agsti 964. O do detalhado de modelo ode ser encontrado em Croll & Walker 97, Bazant & Cedolin 99, el Prado 999 e Raftoyiannis & Konadis 000, dentre otros. Já o segndo, é m modelo discreto de torre aiada cjo comortamento ático foi extensamente dado or Thomson e colaboradores Thomson & Gasar, 977; Thomson & Hnt, 984; Thomson & Stewart, 987. Otros modelos simlificados qe exibem acolamento modal odem ser encontrados em El Naschie 990, Hansen 977, Hnt et al. 979, Sohianoolos 007 e Teng & Hong 006. Em articlar, o modelo de Agsti reresenta ma grande classe de roblemas qe aresentam acolamento modal, ois aresenta das cargas críticas igais associadas a dois modos de flambagem distintos. Qando considerados desacolados, esses modos levam a m comortamento ós-crítico ável bifrcação simétrica ável. Porém, qando se considera o acolamento entre os dois modos, as solções ós-críticas desacoladas tornam-se instáveis e srgem novas solções ós-críticas instáveis qe assam a delimitar as oscilações da rtra no vale ré-flambagem. Embora existam mitos trabalhos blicados sobre acolamento modal na resença de cargas áticas, sa inflência no comortamento dinâmico tem sido objeto de ocos dos, sendo a ma área qe recisa ser mais esqisada devido à sa imortância na engenharia rtral. A análise da instabilidade dinâmica, aesar de sa grande imortância técnica, tem recebido oca atenção na literatra. Na verdade oco se conhece ainda hoje sobre o comortamento não-linear e erda de abilidade de rtras sob cargas dinâmicas. No âmbito da dinâmica não-linear de sistemas com interação modal e sjeitos a bifrcações instáveis, a região segra da solção fndamental é delimitada elas órbitas dos ontos de sela das solções ós-flambagem e corresonde ao vale otencial ré-flambagem. O objetivo do rojeto rtral é reservar a integridade da configração ré-flambagem. Porém, mitas vezes, a identificação da região segra não é trivial, articlarmente qando se tem a resença de imerfeições geométricas e ertrbações dinâmicas. Assim, ara qantificar a integridade dinâmica des sistemas, é necessária ma análise aramétrica da evolção das regiões segras bacias segras de atração no

39 39 esaço de fase Lansbry & Thomson, 99; Rega & Lenci, 005; Soliman & Gonçalves, 003. Para sistemas conservativos, a análise da região segra é realizada sando-se as ferramentas e conceitos da mecânica Hamiltoniana Arnold, 989; Greenwood, 003; Meirovitch, 003. Conforme aresentado anteriormente, o desenvolvimento da teoria da abilidade elástica no último séclo condzi à identificação de várias rtras com interação modal sjeitas a bifrcações instáveis, mas, somente recentemente, devido ao desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos não-lineares Palis & de Melo, 978; Moon, 99; Nayfeh & Balashandran, 995, El Naschie, 990; Thomson & Stewart, 987, a definição do fator de integridade e a análise da integridade das rtras se tornaram ossíveis. O conceito de fator de integridade e o do da evolção de bacias de atração foi inicialmente introdzido or Thomson e colaboradores Soliman & Thomson, 989. Recentemente Rega & Lenci 005 aresentaram ma revisão dos rinciais conceitos e medidas de integridade existentes na literatra. Uma forma de atenar a erosão e manter a integridade dinâmica da região segra desses sistemas é alicar mecanismos de controle de integridade, qe ossibilitem eliminar o ao menos retardar o início da erosão das bacias segras. entre as técnicas de controle da erosão de bacias de atração, daca-se aqela qe modifica a excitação harmônica do sistema através da adição de ma excitação aramétrica Lenci & Rega, 003a, retardando a ocorrência das bifrcações globais resonsáveis ela erosão e ratificação das bacias de atração. Está técnica foi inicialmente roosta or Shaw 990, qe adiciono m serharmônico à excitação. Posteriormente Lenci & Rega 998a, 998b consideraram todos os ser-harmônicos, de modo qe a forma da excitação desse variar de maneira arbitrária. A forma da excitação, definida como excitação ótima or Lenci & Rega 998a, 998b, ermite amentar o valor crítico da excitação referente à bifrcação global, o seja, retardar o início da erosão da bacia segra. A teoria e imlementação de método de controle, jntamente com os detalhes das simlações nméricas ara vários sistemas dinâmicos não-lineares são aresentados or Lenci & Rega em ma série de trabalhos Lenci & Rega, 998a, 998b, 000, 003a, 003b, 003c, 004a, 004b, 005.

40 40 Uma característica sal de rtras com acolamento modal é a existência de diversas simetrias Hnt et al, 986. Estas simetrias levam não só à coincidência de cargas críticas, mas também à coincidência de freqüências natrais, levando a ressonâncias internas, e à existência de mais modos de vibração qe o número de gras de liberdade, os chamados modos não-lineares de vibração. O conceito de modos não-lineares, aresentado inicialmente or Rosenberg 96, 96, 966, é considerado como ma extensão dos modos lineares, e tem se tornado ma ferramenta útil na análise de vibrações nãolineares. e acordo com Rosenberg, os modos não-lineares são movimentos síncronos qe aresentam ma relação bem definida entre as coordenadas generalizadas, isto é, todas as coordenadas generalizadas exectam movimentos de mesmo eríodo, assando ela osição de eqilíbrio e alcançando ses deslocamentos máximos simltaneamente. O conceito original de modos nãolineares aresentado or Rosenberg foi modificado or Shaw e Pierre 99 qe definiram m modo não-linear como m movimento em vibração livre qe se realiza em ma variedade bidimensional invariante inserida no esaço de fase do sistema. Como as variedades são invariantes, isso significa qe, se as condições iniciais ão em ma dessas variedades, o movimento corresondente ermanece na variedade. A vantagem dessa definição é qe ela incorora a definição de Rosenberg como m caso articlar e é aroriada ara sistemas conservativos e não-conservativos. Vakakis tem também contribído bastante ara o entendimento dos modos não-lineares e sa alicação em engenharia Vakakis, 99; Vakakis, 997. Otras contribições imortantes inclem os trabalhos de Nayfeh 995, Manevitch 00 e Adrianov 008. No Brasil, devem-se dacar os trabalhos de Mazzilli e colaboradores na determinação de modos não-lineares, sando o método dos elementos finitos Mazzilli & Baracho Neto, Objetivo Esta tese á inserida na linha de esqisa em Instabilidade e inâmica das Estrtras do eartamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Pretende-se, com essa esqisa, fornecer ma contribição ara área de instabilidade dinâmica de sistemas rtrais sjeitos ao fenômeno de acolamento modal.

41 4 O objetivo da tese de dotorado é invigar a inflência da interação de modos de flambagem no comortamento dinâmico não-linear de rtras e identificar características articlares do comortamento dinâmico não-linear da classe de roblemas. Para isto, são sados dois modelos simlificados qe exibem forte acolamento de modos de flambagem: o modelo de Agsti e m modelo de torre aiada... Organização do Trabalho O resente trabalho constiti-se de sete caítlos, inclindo e de introdção, onde são aresentados conceitos básicos, revisão bibliográfica e objetivos da tese. No caítlo, aresenta-se a formlação matemática tilizada ara descrever o comortamento dinâmico não-linear dos modelos de Agsti e de torre aiada. São aresentadas as formlações ara a análise ática e dinâmica, considerando a inflência da rigidez relativa das molas e o efeito de imerfeições geométricas. O caítlo 3 mostra ma análise minciosa da abilidade ática dos modelos em do, com ênfase na inflência do acolamento modal e das imerfeições nos caminhos de eqilíbrio ré- e ós-críticos em sa abilidade e na toologia da serfície de energia otencial, qe governa o comortamento dinâmico da rtra. No caítlo 4, aresenta-se o comortamento dinâmico dos modelos em vibração livre. Inicialmente são determinadas as freqüências natrais e os modos lineares de vibração, e verifica-se a ossível existência de ressonância interna. A segir, da-se, sando-se o rincíio da conservação da energia, a inflência do acolamento modal e das imerfeições na região segra ré-flambagem e determinam-se as variedades invariantes dos ontos de sela qe definem a fronteira do vale otencial ré-flambagem. Finalmente, são identificados os modos não-lineares e a relação freqüência-amlitde associada a cada modo, informações fndamentais ara a comreensão da dinâmica sob vibração forçada. No caítlo 5, aresenta-se o comortamento dinâmico dos modelos sob vibração forçada, gerada or ma excitação de base. A inflência do acolamento

42 4 modal e das imerfeições na segrança dos modelos é dada através das fronteiras de abilidade, das bifrcações associadas a as fronteiras, da evolção das bacias de atração e dos fatores de integridade associados a as bacias. O caítlo 6 mostra a alicação do método de controle roosto or Lenci & Rega 998a, 998b aos modelos em do, e inviga-se a eficiência do controle na redção da erosão das bacias segras. Finalmente, no Caítlo 7, são aresentadas as conclsões, bem como algmas sgões ara trabalhos ftros.

43 Formlação do Problema.. Modelo de Agsti O rimeiro modelo a ser analisado é classicamente conhecido como Modelo de Agsti, Agsti 964. Na literatra encontram-se diversos dos sobre a abilidade do modelo de Agsti sob carga ática vertical, dentre es se dacam Croll & Walker 97, Pignataro et al. 99, Bazant & Cedolin 99, el Prado 999 e Raftoyiannis & Konadis 000. A Figra. aresenta o modelo de Agsti e as variáveis qe o caracterizam. z z m Δ l ϕ 3 θ ϕ k k vb t y ϕ θ y b t x ϕ b t x a Modelo indeformado b Modelo deformado Figra.: Modelo de Agsti. O modelo é constitído de ma barra rígida rotlada na extremidade inferior e livre na extremidade serior, com os deslocamentos laterais rritos or das molas lineares rotacionais qe se encontram inicialmente em dois lanos erendiclares e giram com a rória barra. A rtra á sbmetida a ma excitação harmônica de base, b t, cja direção é definida or m ânglo ϕ, a artir do eixo x. O deslocamento imosto na excitação de base b t é

44 44 decomosto em das comonentes, b t na direção x e v b t na direção y. A extremidade serior ossi ma massa concentrada qe reresenta m carregamento axial vertical. Na Figra. l é o comrimento da barra, m é a massa concentrada na extremidade livre da barra, k e k são os coeficientes de rigidez das molas, resectivamente nos lanos x z e y z, e θ e θ reresentam as rotações imostas nas molas, k e k, formando o comlemento dos cossenos diretores, sendo e os dois gras de liberdade do sistema, Δ é o deslocamento vertical do too da barra e ϕ, ϕ e ϕ 3 são os ânglos formados entre a colna em ma osição arbitrária e, resectivamente, os eixos x, y e z. z z φ γ φ γ γ φ φ φ ϕ 0 ϕ 0 y ϕ ϕ y ψ x a Configração inicial indeformada Figra.: Modelo de Agsti imerfeito. x b Configração final deformada Considera-se, ainda, na formlação do roblema a inflência da rigidez relativa das molas e a ossível existência de imerfeições geométricas. Com a introdção da imerfeição geométrica a configração inicial indeformada do sistema é definida elos ânglos φ e ψ, onde φ reresenta a inclinação da barra e ψ é o ânglo no lano x y qe define a direção da rojeção da colna imerfeita ne lano, como mostra a Figra.a. A configração final deformada é aresentada na Figra.b. Os ânglos φ e φ são as arcelas da imerfeição geométrica, resectivamente nas direções dos gras de liberdade θ e

45 45 θ. Os ânglos γ e γ reresentam resectivamente as deformações das molas nas direções θ e θ. A artir das Figras. e., ode-se escrever qe: ϕ φ γ θ, θ φ γ.a, b, c 3, φ γ e, observando a Figra.a, tem-se as relações geométricas: l cosϕ 0 lsenφ cosψ ϕ 0 arccos senφ cosψ.a l cosϕ 0 lsenφsenψ ϕ 0 arccos senφ sinψ.b π φ 0 ϕ.c π φ 0 ϕ.d... Energia Cinética A energia cinética devida à massa concentrada é dada or: T m x& y& z&.3 onde x&, y& e z& são as comonentes de velocidade referentes aos deslocamentos x, y e z da massa m. a Figra.b, tem qe os deslocamentos de m são: x l cosϕ b, y l cosϕ vb, z l cosϕ3.4a, b, c Para reresentar o sistema com aenas dois gras de liberdade é necessário exressar z em fnção de ϕ e ϕ. Nesse contexto, sabe-se qe a relação trigonométrica entre os cossenos diretores, ϕ, ϕ e ϕ 3, é:

46 46 cos ϕ cos ϕ cos ϕ3.5 e, conseqüentemente, tem-se: z l.6 cos ϕ cos ϕ Analisando a Figra.b, observa-se qe: ϕ π θ, ϕ π θ.7a, b Assim, tem-se qe os deslocamentos da massa m são dados or: x lsenθ.8a b y lsenθ.8b v b z l.8c sen θ sen θ Por fim, derivando.8 em relação ao temo e sbstitindo as comonentes de velocidades na exressão.3, obtém-se a energia cinética em termos dos gras de liberdade θ e θ : l T m l & θ cosθ & b & θ cosθ senθ & θ cosθ senθ cos θ cos θ l & θ cosθ v& b.9... Energia Potencial Total A energia otencial total é dada ela soma da arcela da energia interna de deformação e a arcela do otencial gravitacional das cargas externas.

47 47 Considerando a colna imerfeita e tilizando as exressões., tem-se qe a arcela da energia interna de deformação, U, e a arcela do otencial gravitacional das cargas externas, L, são: U k θ φ k θ φ.0a L PΔ.0b f onde P é o eso da massa concentrada, P mg, e g é a aceleração da gravidade. A variável Δ f reresenta o deslocamento vertical da carga na colna imerfeita e ode ser calclado como a diferença entre o deslocamento vertical total de m medido em relação à configração indeformada da colna erfeita osição de referência, Δ, e o deslocamento vertical de m, Δ 0, devido à imerfeição geométrica, isto é, Δ f Δ Δ0. Estas arcelas são dadas or: Δ l z l l.a sen θ sen θ Δ0 l l sen φ sen φ.b Assim, a energia otencial total do sistema imerfeito ode ser escrita em termos dos gras de liberdade θ e θ como: V U L Pl k θ φ k θ φ sen φ sen φ sen θ sen θ...3. Amortecimento O amortecimento á resente em todos os sistemas dinâmicos. Entretanto é difícil a descrição real da força de amortecimento, embora seja ossível a admissão de modelos ideais de amortecimento, qe mitas vezes resltam em

48 48 rognósticos satisfatórios da resosta. entre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, roorcional à velocidade do sistema, condz a m tratamento matemático simles. A resença do agente amortecedor mda as características do movimento, assando-se a ter m movimento amortecido o até sem caráter oscilatório. Para se considerar o amortecimento, adiciona-se ao fncional de energia a arcela de trabalho das forças não-conservativas: E C & θ C & θ.3 onde C i são os arâmetros de amortecimento qe odem ser exressos em termos das taxas de amortecimento, ξ i, e das freqüências natrais do modelo, Meirovitch, 975. Considerando m sistema em vibração livre, os valores de ξ i determinam o caráter oscilatório do sistema. Se os arâmetros ξ <. 0 têm-se m movimento oscilatório sbamortecido, qando ξ >. 0 o movimento é seramortecido. Para ξ.0 tem-se o caso crítico. i i i ω i..4. Fnção de Lagrange Com base nas exressões da energia cinética.9, da energia otencial total. e do amortecimento.3, tem-se qe a fnção de Lagrange do modelo de Agsti, L T E V, é dada or: k L m l & θ cosθ & l Pl & θ cosθ senθ & θ cosθ senθ θ φ k θ φ cos θ cos θ b l & θ cosθ v& sen φ sen φ sen θ sen θ b C & θ C & θ.4

49 Eqações de Movimento As eqações de movimento são obtidas derivando-se a eqação diferencial de Eler-Lagrange qe, em termos de m conjnto de coordenadas generalizadas q i θ e θ, são dadas or: d dt T T V E q& q q q& i i i i Modelo de Torre Estaiada O segndo modelo analisado na tese é m sistema simlificado de torre aiada. O se comortamento ático foi dado em detalhes or Thomson e colaboradores ver, or exemlo, Thomson & Gasar, 977; Thomson & Hnt, 984; Thomson & Stewart, 987. O modelo e as variáveis qe o caracterizam são aresentados na Figra.3. z m l k x l b t ϕ b t vb t k y k3 Figra.3: Modelo simlificado de torre aiada. O modelo é constitído or ma barra rígida rotlada na extremidade inferior e livre na extremidade serior, sendo qe na extremidade serior é

50 50 alicada ma carga axial vertical reresentada elo eso da massa concentrada, m. Os deslocamentos laterais ão rritos or três molas lineares, inclinadas inicialmente a 45. A rimeira mola, de rigidez k, localiza-se no lano y z, enqanto as demais, k e k 3, ão localizadas simetricamente em relação ao eixo y, sendo sas osições definidas elo ânglo. Como no modelo de Agsti, Figra.b, o resente modelo á sob a ação de ma excitação harmônica de base b t. Os ânglos θ e θ reresentam os comlementos dos cossenos diretores e Δ é o deslocamento vertical do too da barra. ϕ, ϕ e ϕ 3 são os ânglos entre a colna inclinada e, resectivamente, os eixos x, y e z. No resente modelo são tilizadas as mesmas relações geométricas derivadas ara o modelo de Agsti, ois, como se observa nas Figras.a e.3, tem-se ara os dois modelos o mesmo sistema de referência. Assim, as exressões. e. são sadas ara a introdção da imerfeição geométrica na formlação.... Energia Cinética A energia cinética do segndo modelo é dada ela exressão.3. Observando a Figra.b, ode-se verificar qe os deslocamentos da massa m são: l b l b x senθ.6a l vb l v b y senθ.6b sen sen l z l θ θ.6c onde considera-se, ara simlificação, as variáveis axiliares senθ e senθ, qe são adotadas como os gras de liberdade do segndo modelo. erivando.6 com relação ao temo e sbstitindo as comonentes de velocidades em.3, obtém-se a energia cinética em termos dos gras de liberdade e :

51 5 T l& l& m l& & l& v& b b.7... Energia Potencial Total Com o axilio das exressões., tem-se qe a energia interna de deformação, U, e o otencial gravitacional das cargas externas, or: L, são dadas U kδl kδl k3δl3.8a L PΔ.8b f onde Δ L, Δ L e Δ L reresentam a variação de comrimento das molas e Δ 3 f é a diferença entre o deslocamento vertical total de m medido em relação à configração indeformada da colna erfeita osição de referência, Δ, e o deslocamento vertical de m, Δ 0, devido à imerfeição geométrica, isto é, Δ f Δ Δ 0. A variação de comrimento das molas, Δ L, Δ L e Δ L, e o deslocamento 3 vertical da massa m, Δ f, são dados, com base na Figra., or: Δ L.9a l 0 l ΔL l ΔL l 3 l sen sen l sen 0 sen cos cos 0 Δ f Δ Δ 0 cos 0 cos Δ l l e 0 Δ 0 l l b.9c.9d

52 5 onde 0 0 sen sen ϕ π φ.0a 0 0 sen sen ϕ π φ.0b Assim, a energia otencial total do sistema, L U V, é dada or: cos sen cos sen cos sen cos sen Pl l k l k l k V...3. Amortecimento O trabalho das forças de amortecimento é dado or: C C E & &...4. Fnção de Lagrange A artir das arcelas de energia cinética.7, de energia otencial total. e do trabalho das forças de amortecimento., obtém-se a fnção de Lagrange, a saber:

53 cos sen cos sen cos sen cos sen Pl l k l k l k C C l l v l l m V E T L b b & & & & & & & & Eqações de Movimento As eqações de movimento são obtidas como no modelo de Agsti, o seja, derivando-se a eqação diferencial de Eler-Lagrange exressão.5 em termos de m conjnto de coordenadas generalizadas i q e.

54 3 Análise Estática 3.. Modelo de Agsti A análise ática, aresentada a segir, mostra a inflência das diferentes variáveis qe governam o comortamento do modelo, com ênfase na inflência da rigidez relativa das molas e nos efeitos das imerfeições geométricas iniciais Modelo Perfeito Partindo da exressão. e assmindo qe φ φ 0, tem-se a energia otencial total ara o modelo erfeito: V kθ kθ Pl sen θ sen θ 3. erivando-se em fnção das coordenadas generalizadas, θ e θ, tem-se o sistema de eqações não-lineares de eqilíbrio: cosθsenθ k θ Pl 0 3.a sen θ sen θ cosθ senθ k θ Pl 0 3.b sen θ sen θ O sistema homogêneo 3. admite semre a solção trivial: θ θ 0, ara todo P 3.3 qe corresonde ao ado indeformado solção fndamental de eqilíbrio.

55 55 or: Existem também das solções desacoladas caminhos secndários, dadas θ 0, θ 0 k θ Plsenθ 0 3.4a θ 0, θ 0 k θ Plsenθ 0 3.4b qe descrevem os caminhos ós-críticos do sistema desacolado. Têm-se, ainda, as solções não-lineares acoladas qe são obtidas através das exressões 3. qando θ 0 e θ 0. A solção de sistema de eqações fornece dois caminhos ós-críticos adicionais, sendo es simétricos e instáveis. A artir das eqações de eqilíbrio linearizadas sen θ θ e cos θ e resolvendo o roblema de atovalor resltante, têm-se as das cargas críticas, qe são: i i i k Pcr l 3.5a k Pcr l 3.5b Admitindo qe k k k tem-se qe Pcr Pcr Pcr k / l. Ne caso, as das cargas críticas coincidem e todos os qatro caminhos ós-críticos emergem do mesmo onto de bifrcação. Por fim, dividindo as exressões 3. or k obtêm-se as eqações de eqilíbrio adimensionalizadas qe serão tilizadas a segir, a saber: cosθsenθ θ λ 0 3.6a sen θ sen θ cosθ senθ θ λ 0 3.6b sen θ sen θ onde λ P Pcr.

56 Caminhos Pós-Críticos A Figra 3. mostra o caminho fndamental de eqilíbrio θ θ 0, qe é ável até a carga crítica ática λ. 0 e os qatro caminhos ós-críticos cr ossíveis: dois caminhos instáveis ascendentes, corresondentes às solções desacoladas exressões 3.4, e dois caminhos instáveis descendentes, localizados a ± 45 do eixo θ, referentes às solções acoladas exressões 3.. Uma melhor comreensão das diversas solções é dada ela Figra 3., qe mostra os caminhos ós-críticos rojetados em três lanos ortogonais. Figra 3.: Caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti erfeito. a Plano θ xλ b Plano θ xλ c Plano θ xθ Figra 3.: Projeções dos caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti erfeito.

57 Serfícies de Energia Aresentam-se na Figra 3.3 as serfícies de energia otencial total, exressão 3., ara λ 0. 9 e λ. 5. Verifica-se, na Figra 3.3a, qe, ara níveis de carregamento inferiores a carga crítica ática λ. 0, a serfície de energia exibe m onto de mínimo PMi, corresondente à solção fndamental de eqilíbrio, e qatro ontos de sela PS, corresondentes às solções acoladas instáveis. Em fnção do acolamento modal, ara cargas inferiores à carga crítica existe a ossibilidade de erda de abilidade desde qe as ertrbações excedam os limites da região em torno da configração fndamental limitada elos ontos de sela. Esta região, qe constiti a bacia de atração da solção fndamental de eqilíbrio, decresce à medida qe o carregamento cresce e torna-se zero no onto de bifrcação λ. 0. Se não hovesse o acolamento modal, a solção fndamental seria ável ara qalqer carregamento abaixo do crítico, indeendente do nível de ertrbação, isto é, a bacia de atração seria todo esaço de condições iniciais. O acolamento redz sbstancialmente o conjnto de ossíveis condições iniciais qe levam a rtra a retornar, aós ma ertrbação, à configração fndamental de eqilíbrio cja abilidade se deseja reservar. Para níveis de ertrbações qe ltraassem a fronteira de abilidade, tem-se qe a rtra diverge ara o infinito, sendo e fenômeno denominado escae, o qe caracteriza ma instabilidade dinâmica. Tem-se, ortanto, qe o acolamento modal tem m efeito negativo sobre o gra de abilidade da rtra. Este exemlo ilstra de maneira clara a imortância de se dar a ossibilidade do acolamento modal e ses efeitos no comortamento ático e dinâmico de elementos rtrais sscetíveis a flambagem. Observa-se ara níveis de carga seriores à carga crítica ática, Figra 3.3b, a existência de m onto de máximo PMa, qe corresonde à solção fndamental de eqilíbrio - qe se torno instável - e qatro ontos de sela PS relativos às solções desacoladas. Constata-se, ainda, qe, ara es níveis de carregamentos, não existe nenhma configração ável. É interessante observar qe, ao considerar o resente modelo com aenas m gra de liberdade, erdendo a abilidade em m lano qe contém a colna e ma das molas Thomson & cr cr

58 58 Hnt, 984; el Prado, 999, tem-se, como em na colna de Eler, ma bifrcação simétrica ável, o seja, o caminho desacolado aqi obtido é ável. Entretanto, a existência do acolamento torna-o instável. Isto mostra qe o desconhecimento do acolamento modal e sa não consideração na modelagem odem levar a resltados errôneos e erigosos. a λ 0.9 b λ.5 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total. Modelo de Agsti erfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Para demonstrar a inflência da rigidez relativa das molas no modelo, admite-se ma eqena diferença entre as constantes de rigidez das das molas, o seja, k k. Na análise ática o qe mda em relação ao modelo erfeito é qe o sistema assa a aresentar dois ontos de bifrcação distintos cjas cargas críticas são dadas em 3.5. Ne caso é necessária a introdção de m novo arâmetro, a saber: α k k. ividindo as exressões 3. do modelo erfeito or k, obtêm-se as eqações de eqilíbrio adimensionalizadas, a saber: cosθsenθ αθ λ 0 3.7a sen θ sen θ cosθ senθ θ λ 0 3.7b sen θ sen θ

59 59 onde λ P Pcr Caminhos Pós-Críticos A Figra 3.4 mostra a solção fndamental e os caminhos ós-críticos ara α.05 e α. 50. O caminho fndamental de eqilíbrio θ θ 0 ara 0 P Pcr e o trecho inicial do caminho ós-crítico desacolado associado a k são áveis. Os demais caminhos ós-críticos são instáveis. a α.05 b α.50 Figra 3.4: Caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Observa-se, ainda, qe os caminhos acolados emergem de ma bifrcação secndária ao longo do caminho ós-crítico e qe os mesmos se afastam da bifrcação rimária à medida qe α amenta, tornando o trecho inicial do caminho ós-crítico desacolado associado a k ável até a interseção com tais caminhos. Essa interseção é ma bifrcação do tio sbcrítica e, or isso, o sistema aresenta ainda os qatro ontos de sela ara carregamentos inferiores ao crítico, como no caso erfeito. Mantendo k constante e amentando k, α cresce e a carga de bifrcação associada a k amenta, enqanto a carga crítica associada a k mantém-se constante. Para m valor de α sficientemente grande, k grande, o sistema

60 60 comorta-se como m sistema de m gra de liberdade com bifrcação simétrica ável. Mostram-se na Figra 3.5 as rojeções em três lanos ortogonais da solção fndamental e dos caminhos ós-críticos ara os casos em do. a. Plano θ xλ a. Plano θ xλ a.3 Plano θ xθ a α.05 b. Plano θ xλ b. Plano θ xλ b.3 Plano θ xθ b α.50 Figra 3.5: Projeções dos caminhos ós-críticos. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas Serfícies de Energia As crvas de nível das serfícies de energia otencial ara α. 05 e α.50, considerando λ 0. 9, são aresentadas na Figra 3.6. Verifica-se qe o amento de α faz a crvatra no lano θ crescer, o seja, qanto maior for à magnitde de α, menor é a amlitde de oscilação na direção θ. Porém, a magnitde de α não interfere no lano θ, como mostram as Figras 3.7a e 3.7b, onde são aresentadas diversas seções das serfícies de energia otencial.

61 6 a α.05 b α.50 Figra 3.6: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a Corte - θ 0.0 b Corte - θ 0.0 Figra 3.7: Cortes nas serfícies de energia otencial total ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas Modelo com Imerfeição Geométrica erivando a energia otencial total do modelo de Agsti com imerfeição geométrica inicial, exressão., em relação às coordenadas generalizadas θ e θ, obtém-se o sistema de eqações de eqilíbrio: cosθsenθ k θ φ Pl 0 3.8a sen θ sen θ cosθ senθ k θ φ Pl 0 3.8b sen θ sen θ

62 6 Ao contrário do modelo erfeito, as eqações 3.8 não admitem solção trivial, θ θ 0, ois a colna descarregada já aresenta ma inclinação inicial. Com isso, os caminhos não-lineares de eqilíbrio obtidos da solção de 3.8 são em geral solções não-lineares acoladas. Têm-se somente dois casos articlares de solções desacoladas, qe são: θ φ 0, θ φ k θ φ Plsenθ 0 3.9a 0 θ φ 0, θ φ k θ φ Plsenθ 0 3.9b 0 Admitindo qe k k k e dividindo as exressões 3.8 or k, obtêm-se as eqações de eqilíbrio adimensionalizadas, o seja: cosθsenθ θ φ λ 0 3.0a sen θ sen θ cosθsenθ θ φ λ 0 3.0b sen θ sen θ onde λ P Pcr, sendo Pcr a carga crítica do sistema erfeito Caminhos Não-Lineares de Eqilíbrio Inicialmente são aresentados nas Figras 3.8 e 3.9 os caminhos nãolineares de eqilíbrio ara φ e ψ 0. Com esses arâmetros verifica-se qe φ e φ 0, exressões., o seja, o sistema ossi somente ma inclinação inicial na direção de θ. Para esse caso o sistema aresenta ma eqação desacolada no lano θ, exressão 3.9a, qe fornece m caminho nãolinear desacolado. O trecho inicial desse caminho, qe margeia a solção fndamental do sistema erfeito, é ável até a interseção com m dos caminhos não-lineares acolado. Os demais caminhos srgem devido ao acolamento modal e são todos instáveis.

63 63 Figra 3.8: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e ψ 0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. a Plano θ xλ b Plano θ xλ c Plano θ xθ Figra 3.9: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e ψ 0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Os caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ com valores de ψ diferentes de zero com exceção de ψ 90,80, 70 ela simetria com ψ 0, a saber: ψ 5 e ψ 45, são aresentados nas Figras 3.0 e 3.. Para valores não-nlos de ψ o sistema não aresenta caminhos desacolados. O caminho qe srge róximo ao onto de eqilíbrio ático do modelo erfeito corresonde à configração inicial descarregada, qe se sita róximo à solção fndamental do sistema erfeito, é ável até atingir m onto de máximo corresondente à carga limite, λ lim, qando se torna instável. A carga limite, nesses casos, corresonde a ma bifrcação nó-sela.

64 64 a ψ 5 b ψ 45 Figra 3.0: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. a. Plano θ xλ a. Plano θ xλ a.3 Plano θ xθ a ψ 5 b. Plano θ xλ b. Plano θ xλ b.3 Plano θ xθ b ψ 45 Figra 3.: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica.

65 65 Para todos esses casos, verifica-se qe, se o sistema for carregado qase aticamente a artir de zero, os caminhos não-lineares de eqilíbrio do sistema imerfeito margeiam o caminho fndamental do sistema erfeito, aresentando inicialmente eqenas deflexões laterais. Porém, qando o valor da carga ática se aroxima do valor da carga crítica do sistema erfeito, assa-se a ter grandes deflexões laterais. Ao se considerar ma imerfeição negativa, tem-se qe os resltados nada mais são qe m eselhamento das resostas aqi aresentadas. Na Figra 3. aresenta-se a variação da carga limite onto de bifrcação com o amento da magnitde da imerfeição geométrica, φ, ara diferentes valores de ψ. Tomando-se como referência a magnitde da carga crítica do sistema erfeito, λ. 0, verifica-se qe o amento da imerfeição dimini a cr caacidade de carga da rtra e qe esse efeito é maior qanto maior for ψ, sendo qe a máxima sensibilidade a imerfeições ocorre ara ψ 45, qando o acolamento modal é máximo. Figra 3.: Variação da carga limite onto de bifrcação com as grandezas qe definem a imerfeição, φ e ψ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica Serfícies de Energia Mostram-se na Figra 3.3 as crvas de nível das serfícies de energia otencial dos diferentes casos em do, ara λ Constata-se qe em todos os casos tem-se m onto de mínimo e qatro ontos de sela.

66 66 Vale dacar qe, na análise dinâmica, o sistema imerfeito não oscila em torno da osição de eqilíbrio fndamental do modelo erfeito θ θ 0 e sim dos ontos de mínimos, qe corresondem às osições áveis de eqilíbrio ático. a ψ 0 b ψ 5 c ψ 45 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.9 e φ. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 3.. Modelo de Torre Estaiada Na análise ática aresentada a segir mostra-se a inflência dos arâmetros do sistema e das imerfeições no comortamento da torre aiada Modelo Perfeito Partindo da energia otencial total., considerando 0, temse a energia otencial total do modelo erfeito, a saber: 0 0 V k k l k3 l Pl l l l l sen sen cos cos 3.

67 67 Segindo Thomson & Gasar 977, admite-se qe a rigidez da segnda e terceira molas são igais, o seja, K k k υ 3 onde υ é ma constante ositiva, e qe a rigidez da rimeira mola é dada or K k υ. Assim, ode-se reescrever 3. como: cos sen cos sen Pl l l l l k l l k V 3. erivando 3. em relação às coordenadas generalizadas e, obtêmse as eqações de eqilíbrio: 0 cos sen cos sen cos sen cos sen sin Pl l k 3.3a 0 cos sen cos sen cos sen cos sen cos Pl l k l k 3.3b

68 68 Essas eqações de eqilíbrio admitem a solção trivial: 0, ara todo P 3.4 qe corresonde ao ado indeformado solção fndamental de eqilíbrio. Existe também a solção desacolada caminho secndário: k l Pl cos 0, 0 cos 0 cos kl 3.5 qe descreve o caminho ós-crítico do sistema desacolado ao longo da coordenada generalizada. O sistema não aresenta m caminho ós-crítico desacolado ao longo da coordenada generalizada. Há, ainda, as solções nãolineares acoladas qe são obtidas considerando-se 0 em 3.3. erivando a energia otencial total 3. ela segnda vez e sando a solção fndamental, 0, chega-se às exressões: k lsen P 0 3.6a k l kl cos P 0 3.6b onde 3.6a é a exressão obtida derivando a energia otencial das vezes em relação à coordenada generalizada e 3.6b é a exressão obtida derivando a energia otencial das vezes em relação à coordenada generalizada. As otras derivadas segndas são nlas. A artir das eqações 3.6, tem-se qe às cargas críticas são dadas or: Pcr klsen 3.7a

69 69 Pcr kl kl cos 3.7b Para qe Pcr Pcr, considera-se k υk e k υ K, obtendo-se a artir de 3.7: 3.8a 4sen υ Kl Pcr 3.8b 4 Como υ não ode ser ma qantidade negativa, deve-se reseitar a seginte rrição Thomson & Gasar, 977: k 35 Homeoclinal 8 k y Anticlinal 90 Monoclinal k3 64 x 45 Homeoclinal 0 a Vista serior do modelo b Variação de Figra 3.4: Comortamento do modelo de torre aiada em fnção do ânglo Thomson & Gasar, 977. Segndo Thomson & Gasar 977 e Thomson & Hnt 984, e sistema exibe diferentes tios de comortamento em fnção do ânglo. Nesse contexto, através dos dos das terceiras e qartas derivadas da energia

70 70 otencial total, aresentados naqeles trabalhos, ode-se conclir qe o modelo ossi três comortamentos distintos, como ilstra a Figra 3.4. Para < e < 35 8, tem-se eqações diferenciais arciais hierbólicas caso homeoclinal, ara < < 90 64, tem-se eqações diferenciais arciais hierbólicas caso monoclinal e ara < < 8 90, tem-se eqações diferenciais arciais elíticas caso anticlinal. ividindo as eqações 3.3 or Pcr e tilizando as exressões 3.8a, k υk e K k υ, obtêm-se as eqações de eqilíbrio adimensionais: 0 cos sen cos sen cos sen cos sen sen λ 3.0a 0 sen 4 cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos λ 3.0b onde Pcr P / λ Caminhos Pós-Críticos Com base na formlação anterior, obtém-se a solção fndamental e os caminhos ós-críticos do segndo modelo ara os três casos dacados monoclinal, homeoclinal e anticlinal.

71 Comortamento Monoclinal O comortamento monoclinal é ilstrado nas Figras 3.5 e 3.6 considerando 75. Verifica-se qe a solção fndamental de eqilíbrio é ável até a carga crítica ática λ. 0, e qe o caminho ós-crítico cr desacolado ao longo da coordenada generalizada é instável. Ne caso o sistema não aresenta as solções ós-críticas acoladas. Figra 3.5: Caminhos ós-críticos ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. a Plano xλ b Plano xλ c Plano x Figra 3.6: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito.

72 Comortamento Homeoclinal As Figras 3.7 e 3.8 mostram o comortamento do sistema considerando o caso homeoclinal 50. Para essa configração, o sistema aresenta a solção fndamental ável no trecho 0 P Pcr. A solção ós-crítica desacolada é ável entre o onto de bifrcação corresondente à carga crítica e a bifrcação nó-sela qe corresonde a m onto limite de carregamento, sendo os otros trechos instáveis. As das solções ós-críticas acoladas são simétricas e instáveis. Figra 3.7: Caminhos ós-críticos ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. a Plano xλ b Plano xλ c Plano x Figra 3.8: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito.

73 Comortamento Anticlinal Na Figra 3.9 aresentam-se os caminhos ós-críticos ara o caso anticlinal, adota-se 0. O caminho fndamental de eqilíbrio é ável no trecho 0 P Pcr e, devido ao acolamento modal, todos os caminhos óscríticos são instáveis. A Figra 3.0 mostra os caminhos ós-críticos rojetados em três lanos ortogonais. Figra 3.9: Caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito. a Plano xλ b Plano xλ c Plano x Figra 3.0: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito.

74 Serfícies de Energia As serfícies de energia aresentadas a segir são obtidas diretamente do fncional de energia otencial total do modelo, eqação 3. e ão de acordo com aqelas aresentadas or El Naschie 990 ara as serfícies de catástrofe Comortamento Monoclinal Aresentam-se na Figras 3. as serfícies de energia otencial ara o caso monoclinal com 75, considerando λ 0. 7 e λ. 5. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.: Serfícies de energia otencial total ara 75 - caso monoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. Observa-se na Figra 3.a qe, ara níveis de carregamento inferiores à carga crítica ática, a serfície de energia aresenta m onto de mínimo, qe é corresondente a solção fndamental PMi, e m onto de sela corresondente à solção desacolada PS. Verifica-se, como no rimeiro modelo, qe, em virtde das solções ós-críticas instáveis ara λ < λcr, existe a ossibilidade de erda de abilidade ara cargas inferiores à carga crítica qando as ertrbações excedem os limites do vale otencial ré-crítico. Para cargas áticas seriores à carga crítica, Figra 3.b, nota-se a existência de m onto de máximo, dado ela solção fndamental de eqilíbrio PMa e m onto de sela PS.

75 Comortamento Homeoclinal As serfícies de energia otencial total ara o caso homeoclinal, 50, considerando λ 0. 7 e λ. 5, são aresentadas na Figra 3.. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.: Serfícies de energia otencial total ara 50 - caso homeoclinal. Modelo de torre aiada erfeito. Verifica-se qe, ara carga inferiores à carga crítica, a serfície de energia exibe m onto de mínimo corresondente à solção fndamental de eqilíbrio PMi, m onto de máximo referente a solção desacolada PMa e dois ontos de sela corresondentes às solções acoladas PS. Para cargas inferiores à carga crítica existe a ossibilidade de erda de abilidade desde qe as ertrbações excedam os limites do vale otencial ré-crítico, cja fronteira é limitada elos dois ontos de sela. Para carregamentos seriores à carga crítica o sistema aresenta m onto de máximo, corresondente à solção fndamental de eqilíbrio PMa, m onto de mínimo referente à solção desacolada PMi e três ontos de sela, m relativo à solção desacolada e dois relativos às solções acoladas PS.

76 Comortamento Anticlinal A Figra 3.3 mostra as serfícies de energia otencial ara o caso anticlinal com 0, considerando λ 0. 7 e λ. 5. a λ 0.7 b λ.5 Figra 3.3: Serfícies de energia otencial total ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada erfeito. Constata-se na Figra 3.3a qe, ara níveis de carregamentos inferiores ao crítico, a serfície de energia exibe m onto de mínimo corresondente à solção fndamental de eqilíbrio PMi e três ontos de sela, m corresonde a solção desacolada e dois relativos às solções acoladas PS. Nota-se qe, novamente, ara as cargas inferiores à carga crítica existe a ossibilidade de erda de abilidade desde qe as ertrbações excedam os limites da região em torno da configração fndamental limitada elos três ontos de sela. A Figra 3.3b mostra a serfície da energia otencial total considerando λ. 5, ortanto ara ma carga serior à carga crítica. Nota-se ne caso a existência de m onto de máximo PMa, corresondente à solção fndamental de eqilíbrio - qe se torno instável - e três ontos de sela PS Inflência da Rigidez Relativa das Molas Admite-se ne caso ma eqena diferença entre as constantes de rigidez k e k, o seja, k k Pcr Pcr, ara demonstrar a inflência da rigidez

77 77 relativa das molas. Na análise ática o qe mda em relação ao modelo erfeito é qe o sistema assa a aresentar dois ontos de bifrcação. Essa sitação somente é valida ara 0. Assim é necessária a introdção de m novo arâmetro, α, ara exressar a diferença entre as constantes das molas, k e k considera-se k k3. Esse arâmetro é introdzido no sistema através da grandeza: α 3. 4sen υ a saber: Assim, ode-se obter as cargas críticas associadas ao sistema com 0, Pcr Kl Pcr α 3.a 4 Kl 3.b α 4 Por fim, tem-se qe as eqações de eqilíbrio adimensionalizadas em fnção da carga crítica do modelo erfeito tomam a forma: α sen λ sen sen sen sen 0 cos cos cos cos 3.3a

78 78 0 sen 4 cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos λ α α 3.3b 3... Caminhos Pós-Críticos As Figras 3.4 e 3.5 mostram o caminho fndamental e os caminhos óscríticos ara α e 4. α, considerando 0. Para < α, tem-se qe o caminho fndamental é ável ara 0 Pcr P e qe os caminhos óscríticos são todos instáveis, Figra 3.4a. Para > α, verifica-se qe a solção fndamental no trecho 0 Pcr P e o caminho ós-crítico associado a k solção desacolada, até a interseção com m dos caminhos acolados, são áveis, Figra 3.4b. Sendo qe as solções ós-críticas acoladas são instáveis. a α 0.76 b α.4 Figra 3.4: Caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

79 79 a. Plano xλ a. Plano xλ a.3 Plano x a α 0.76 b. Plano xλ b. Plano xλ b.3 Plano x b α.4 Figra 3.5: Projeções dos caminhos ós-críticos ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas Serfícies de Energia Aresentam-se na Figra 3.6 as crvas de nível das serfícies de energia otencial ara α e α. 4, considera-se λ 0. 7 e 0. Observa-se qe em ambos os casos o sistema aresenta, como no modelo erfeito, m onto de mínimo, referente à solção fndamental, e três ontos de sela, referentes à solção desacolada e às solções acoladas. Qando a rigidez relativa das molas, α, dimini gradativamente, as oscilações vão se rringindo à direção de eixo lano d / dt, ois a rigidez da mola k qe á localizada no eixo lano d / dt amenta. Verifica-se exatamente o contrário qando a rigidez relativa das molas amenta, o seja, as oscilações se rringem ao eixo, ois k dimini, e k e k 3 amentam.

80 80 a α 0.76 b α.4 Figra 3.6: Serfícies de energia otencial total ara λ 0.7 e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas Modelo com Imerfeição Geométrica Partindo da exressão., qe reresenta a energia otencial total da torre aiada com imerfeição geométrica, e derivando em fnção das coordenadas generalizadas, e, obtém-se o seginte sistema de eqações de eqilíbrio: } } 0 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen Pl l k 3.4a

81 8 } } 0 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos Pl l k l k 3.4b As eqações 3.4 não mais admitem solção trivial 0. As solções não-lineares são salmente acoladas, com exceção do seginte caso articlar: 0 0, cos cos cos cos 0 0 Pl l k l k 3.5 Por fim, odem-se obter as eqações de eqilíbrio adimensionais, qe são tilizadas no decorrer da análise ática. Lembrando qe K k υ e K k υ, tem-se:

82 8 } } 0 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen λ 3.6a } } 0 sen 4 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos λ 3.6b onde Pcr P λ e Pcr reresenta a carga crítica do sistema erfeito Caminhos Não-Lineares de Eqilíbrio São aresentados nas Figras 3.7 e 3.8 os caminhos não-lineares de eqilíbrio considerando φ com 0 ψ e 90 ψ 0.

83 83 a ψ 0 b ψ 90 Figra 3.7: Caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. a. Plano xλ a. Plano xλ a.3 Plano x a ψ 0 b. Plano xλ b. Plano xλ b.3 Plano x b ψ 90 Figra 3.8: Projeções dos caminhos não-lineares de eqilíbrio ara φ e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

84 84 Nos caminhos não-lineares ara ψ 0 observa-se qe o trecho inicial do caminho não-linear acolado mais róximo a solção fndamental do sistema erfeito é ável até atingir ma carga limite, λ lim onto de máximo corresondente à carga limite - bifrcação nó-sela. Os demais caminhos nãolineares acolados são todos instáveis. Sitação similar é encontrada ara todos os valores ψ, com exceção de dois casos, a saber: ψ 90 e ψ 80. Para ψ 90, o sistema aresenta ma eqação desacolada ao longo do eixo, exressão 3.5, qe fornece m caminho não-linear desacolado. O trecho inicial desse caminho, qe margeia a solção fndamental do sistema erfeito, é ável até a interseção com m dos caminhos acolados bifrcação sbcrítica. Os caminhos acolados são todos instáveis. Na Figra 3.9 aresenta-se a variação da carga limite λ lim com o amento da magnitde da imerfeição geométrica, ara diferentes valores de ψ. Tomando-se como referência a carga crítica do sistema erfeito, λ. 0, verifica-se qe o amento da imerfeição leva a ma erda da caacidade de carga e qe a maior sensibilidade a imerfeições ocorre ara ψ 45. cr Figra 3.9: Variação da carga limite onto de bifrcação com as grandezas qe definem a imerfeição, φ e ψ, ara 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

85 Serfícies de Energia A Figra 3.30 mostra as crvas de nível das serfícies de energia otencial ara φ com ψ 0 e ψ 90, considerando λ 0. 7 e 0. Verificase qe em todos os casos tem-se m onto de mínimo e três ontos de sela. a ψ 0 b ψ 90 Figra 3.30: Serfícies de energia otencial total ara φ, λ 0.7 e 0 - caso anticlinal. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

86 4 Análise inâmica Vibração Livre A análise dinâmica em vibração livre ermite comreender o comortamento não-linear e a abilidade global das rtras aqi analisadas, fornecendo informações fndamentais ara o entendimento do comortamento das mesmas sob vibração forçada. 4.. Modelo de Agsti Partindo da exressão.5, considerando qe & v& 0 e qe as constantes de amortecimento são nlas, têm-se as eqações de movimento, em termos das coordenadas generalizadas θ e θ, qe regem o comortamento do modelo de Agsti em vibração livre, a saber: b b && 4 4 θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 3 && θ cosθsenθ cosθ senθ cos θsenθ cosθ senθ 3 4 cosθsenθ cos θ senθ & θ cosθsenθ cos θ cosθ senθ cos θ & θ cosθ senθ cosθ senθ cos θ cos θsenθ cos θ cos θ senθ cosθ cos θ senθ 4 & θ & θ cos θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ cos sen ω θ θ α θ φ ω cos θ λ sen sen θ θ 4 4 cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 0 4.a

87 87 && 4 4 θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 3 && θ cosθsenθ cosθ senθ cos θsenθ cosθ senθ 3 4 cosθsenθ cos θ senθ & θ cos θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ & θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ cos θ senθ cos θ cos θ senθ cos θ cosθ senθ 4 & θ & θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ cos θ cos sen ω θ θ θ φ ω cos θ λ sen sen θ θ 4 4 cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 0 4.b onde se adotam as segintes variáveis axiliares: λ P Pcr, P mg, α, α ω λ ml k k k, k ml λ e ω g l, sendo ω a freqüência natral de m êndlo simles. As eqações de movimento são ω adimensionalizadas em fnção de Pcr k l Freqüências Natrais Para se obter as freqüências natrais do sistema é necessário tilizar como referência a configração de eqilíbrio ático do sistema imerfeito imerfeição geométrica, tomando-se como coordenadas generalizadas os deslocamentos dinâmicos, θ i. Assim, recisa-se obter a variação das arcelas de energia entre a configração ática e a ertrbada. A Figra 4. aresenta as configrações do sistema e sas rinciais variáveis. a Figra 4. têm-se as relações: Rotação ática θ φ θ e θ φ θ 4.a S S Rotação total θ φ θ θ e θ φ θ θ 4.b T S T S onde θ S e θ S são as deformações das molas sob carregamento ático e θ e θ são as deformações devidas ao movimento.

88 88 z z z φ θ S θ φ φ θ θ θ T θ T ϕ 0 ϕ 0 x ϕ es ϕ es x ϕ ϕ x y y y a Imerfeição geométrica b Rotação ática c Rotação total Figra 4.: Configrações do modelo de Agsti. Tomando como coordenadas generalizadas os deslocamentos dinâmicos θ e θ, a arcela de energia cinética toma a forma: T ml cos θ θ & θ θ & θ cos θ θ sen θ θ & θ cos θ θ sen θ θ & θ cos θ cos θ θ cos θ θ 4.3 ois T ml x& y& z& e x lsen θ θ, y lsen θ θ θ θ sen θ θ z l. sen e A variação da energia otencial total é dada ela diferença entre a energia otencial da configração de eqilíbrio ático e da configração ertrbada. Assim, com base na Figra 4. e observando as exressões 4., tem-se qe a variação da energia interna de deformação, gravitacional das cargas externas, Δ U Δ L, são dados or:, e a variação do otencial U k k θ θ θ θ θ θ Δ S S S S 4.4a ΔL Pl sen sen θ sen θ θ θ sen θ θ 4.4b

89 89 A artir das eqações não-lineares de movimento, exressão.5, em termos das coordenadas generalizadas θ i, e tilizando os dois rimeiros termos das séries de Taylor das eqações não-lineares, chega-se ao sistema de eqações de movimento linearizado: ml k θ θ cos θ cos θ cos θ cos θ θ θ S cos sen θ cosθ Pl θ senθ sen θ sen θ sen θ cosθ && θ ml senθ senθ sen θ sen θ cosθ cosθ senθ cosθ cos θ cos θ sen θ cos sen θ sen θ 3 0 θ sen θ 3 senθ & θ 4.5a ml k θ θ cos θ cos θ cos θ cos θ θ θ S cos sen θ cosθ θ Pl senθ sen θ sen θ sen θ cosθ && θ senθ senθ sen θ sen θ ml cosθ cosθsenθ cosθsenθ cos θ cos θ sen θ cos sen θ sen θ 3 0 θ sen θ 3 & θ 4.5b Vale dacar qe as arcelas das eqações de movimento 4.5 referentes às arcelas das eqações de eqilíbrio ático são nlas, ois se toma como referência a configração de eqilíbrio do modelo imerfeito. As eqações de eqilíbrio ático do modelo imerfeito são: φ θ S cos φ θ S φ θ sen φ θ sen k θ S Pl 0 4.6a sen S S

90 90 φ θ S cos φ θ S φ θ sen φ θ sen k θ S Pl 0 4.6b sen S S A artir das eqações 4.5 e 4.6, chega-se às eqações de movimento linearizadas finais, qe são: ax & θ ax θ ax & θ ax θ 0 4.7a 3 4 ax & θ ax θ ax & θ ax θ 0 4.7b onde, ax cos θ cos θ cos θ cos θ 4.8a ax ax α cos θ sen θ cos θsen θ ω 4.8b λ sen θ sen θ sen θ sen θ 3 ax ax 4 3 cosθsenθ cosθ cos θ cos θ ω cosθ senθ cosθ senθ senθ sen θ 3 sen θ 4.8c 4.8d cos θ sen θ cos θsen θ ω 4.8e λ sen θ sen θ sen θ sen θ 5 3 Os deslocamentos áticos, θ e θ, são as coordenadas dos ontos de mínimo obtidos na análise ática ara o modelo com imerfeição geométrica. As arcelas θ S e θ S são calcladas a artir das exressões 4.. Admitindo como solções ara as coordenadas generalizadas θ j i t je ω j θ, tem-se qe as freqüências natrais do modelo de Agsti são dadas, considerando a inflência da rigidez relativa das molas e a imerfeição geométrica, or:

91 9 ω ax ω ax { ax ax 3 ax ax3 } 4 ax 3 ax ax var { ax ax 3 ax ax3 } 4 ax 3 ax ax var ax ax ax ax a 4.9b onde, var 4ax 4ax ax 4 3 ax 3 ax ax ax 5 ax 4ax ax 5 ax ax 5 ax ax 4 ax 3 4ax ax ax ax 4 5 ax 4.0 A Tabela 4. aresenta as freqüências natrais e os modos lineares de vibração ara o modelo erfeito, ara o modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas e ara o modelo com imerfeição geométrica. Para o modelo erfeito têm-se das freqüências natrais igais, enqanto qe no modelo qe considera a inflência da rigidez relativa das molas as freqüências natrais são distintas e deendem do arâmetro α. Verifica-se qe, ara o modelo erfeito e aqele qe considera a inflência da rigidez relativa das molas, o sistema linear é desacolado. Para o caso erfeito, a mltilicidade dos atovalores é igal ao número de variáveis indeendentes. Portanto ode-se constrir ma base com dois atovetores nitários ortogonais coincidindo com os eixos x e y, como acontece também no caso em qe se considera o modelo com a inflência da rigidez relativa das molas Figra 4.. Assim, ao vibrar em m dado modo, aenas ma das molas sofre deformação. Qando se tem ma imerfeição geométrica e se considera θ o θ nlo, o seja, qando se adota ψ 0, 90,80, 70, tem-se qe na direção da imerfeição o modo é desacolado e na otra direção o modo é acolado. Para o modelo com imerfeição geométrica e valores de ψ diferentes dos citados acima, o sistema aresenta atovetores ortogonais qe formam m dado ânglo com os eixos x e y, ocorrendo deformação das das molas qando a rtra vibra em m dado modo.

92 9 Tabela 4.: Freqüências natrais e modos lineares de vibração. Modelo de Agsti. Modelo de Agsti Freqüências Natrais Modos Perfeito Considerando a inflência da rigidez relativa das molas ω ω λ 0 0 ω ω λ 0 ω ω λ α ω ω λ 0 Imerfeição Geométrica Exressão 4.9b Exressão 4.9a mod mod onde mod ax ax mod ax ax 4 ax ax 3 ax 4 ax ax ax 3 ax ax 5 ax 3 ax 5 ax 3 ax ax ax ax ax ax ax ax ax 4 3 ax 3 ax 3 ax ax 3 ax ax ax ax ax ax ax ax 3 ax 3 var ax var var var 4.a 4.b Considerando θ θ 0 e α em 4.9, têm-se as freqüências e natrais do modelo erfeito, qe são igais, ois k k k Pcr Pcr Pcr k / l. Tem-se, ortanto, ma ressonância interna :. Qando se considera a inflência da rigidez relativa das molas, θ θ 0 e α, verifica-se qe o sistema assa aresentar das freqüências natrais distintas. Uma das freqüências a maior assa a deender

93 93 diretamente de α, relação entre as constantes das molas, e a otra se mantém constante e igal à freqüência do modelo erfeito. A variação da maior freqüência com α é aresenta na Figra 4.. Observa-se qe as das freqüências se distanciam gradativamente com o amento de α. Figra 4.: Variação da maior freqüência natral com o arâmetro de rigidez α, ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a Primeira freqüência b Segnda freqüência Figra 4.3: Variação das freqüências natrais com os arâmetros ψ e φ, ara λ 0.9. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Ao se considerar ma imerfeição geométrica inicial, θ 0 e α,, θ verifica-se qe o sistema aresenta das freqüências natrais distintas e deendentes diretamente da imerfeição. A Figra 4.3 mostra a variação das freqüências natrais do modelo imerfeito com a magnitde da imerfeição

94 94 inclinação da colna, φ, e sa direção, ψ. Observa-se qe ma das freqüências exressão 4.9a torna-se maior qe a freqüência do sistema erfeito à medida qe φ cresce e qe a maior variação ocorre ara ψ 45, Figra 4.3b. Já a otra freqüência exressão 4.9b é semre menor qe a freqüência do modelo erfeito, orém com ma variação mais acentada em relação à rimeira ara m dado valor de ψ, Figra 4.3a Princíio da Conservação de Energia Adimensionalizando as exressões da energia cinética.9 e da energia otencial total., tem-se: ω T T ml V V ml & θ & θ cosθ senθ & θ cosθ senθ cos θ cos θ ω α λ cos θ & θ cos θ θ φ θ φ ω λ sen φ sen φ sen θ sen θ 4.a 4.b Assim a fnção de Lagrange o Lagrangiano adimensional é dada or: L θ, & θ T V & θ cosθsenθ & θ cosθ senθ ω α θ φ ω λ ω i i θ φ & θ cos θ cos θ cos sen φ sen φ sen θ sen θ θ & θ cos θ λ 4.3 onde θ i são as coordenadas generalizadas, & θ i as velocidades generalizadas, & L θ i i, as forças generalizadas e L i i generalizadas. θ & as qantidades de movimento

95 95 O sistema de eqações de Lagrange 4. é eqivalente ao sistema de n eqações de rimeira ordem, conhecidas como eqações de Hamilton, a saber: H H &, & i θi, i, 4.4 θ i i onde H é o Hamiltoniano, qe, com base na dla transformação de Legendre, ode ser escrito como H & θ & L 4.5 θ Assim, ara o modelo de Agsti, obtém-se: H ω α λ ω senθsenθ cosθ cosθ θ φ θ φ senθsenθ cosθ cosθ senθsenθ cosθsenθ cosθ cosθ senθsenθ cosθ senθ cosθ cosθ ω λ cos sen φ sen φ sen θ sen θ θ senθsenθ cosθ cosθ senθsenθ cosθ cosθ cos θ cos θ cos θ 4.6 Esta exressão mostra a eqivalência das eqações de Lagrange e Hamilton Arnold, 989. Para m sistema mecânico onde o Lagrangiano é dado ela eqação 4.3, e T é ma fnção qadrática das velocidades generalizadas, o Hamiltoniano, H, é a energia total do sistema, isto é, H T T V T V. Se o sistema mecânico é m sistema conservativo, isto é, se todas as forças generalizadas são obtidas ela derivação de ma fnção otencial qe é ma fnção das coordenadas generalizadas e não aenas ma fnção exlícita do temo, então a energia total do sistema é constante.

96 96 Partindo dessas definições, tem-se qe o rincíio da conservação de energia é dado or: T θ & θ V θ C, 4.7 i i i Tomando-se a constante C igal à energia associada aos ontos de sela qe se encontram na fronteira do vale otencial, obtém-se a solção analítica da serfície qe define a fronteira da região de abilidade da osição de eqilíbrio ré-crítica no esaço de fase. O hiervolme de qatro dimensões delimitado or a serfície é denominado bacia de atração conservativa. Este hiervolme decresce em todos os lanos com o amento da carga e torna-se nlo qando a carga atinge o valor crítico. Qalqer conjnto de condições iniciais no interior da serfície leva o sistema a ma reosta oscilatória não amortecida em torno do onto fixo ável solção ré-crítica, sendo, ortanto, ável no sentido de Lianov. Esta serfície define as amlitdes máximas de vibração dos deslocamentos e das velocidades qe o sistema ode sorta sem qe a resosta divirja ara o infinito. Na imossibilidade de se visalizar a geometria da região de qatro dimensões, aresentam-se na Figra 4.4 seções em 3 θ θ d / dt, θ considerando λ 0. 9 e ω.0 s. A Figra 4.5 aresenta otras seções em 3. / A bacia de atração conservativa do modelo erfeito, Figra 4.4a, mostra a serfície conservativa claramente delimitada elos qatro ontos de sela. Verifica-se na região a resença de várias simetrias. Alterando a rigidez relativa das molas, α. 5, tem-se ma qebra da simetria entre as coordenadas generalizadas, orém a bacia segra contina sendo delimitada or qatros ontos de sela, Figra 4.4b. A introdção da imerfeição geométrica no sistema rovoca diversos efeitos em se comortamento. Verifica-se qe a região segra dimini consideravelmente, redzindo significativamente o conjnto de condições iniciais qe levam o sistema a oscilar no entorno do onto fixo ável, solção ré-crítica. Otro efeito marcante é a alteração das conexões entre os ontos de sela. Qando ψ 0,90,80, 70 e φ 0, a região segra assa a ser delimitada or dois ontos de sela. Qando ψ 0,90,80, 70 e φ 0 ver Figra 4.4d ara ψ 45 e φ, a bacia segra é delimitada or m único onto de sela.

97 97 a Modelo erfeito b Modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas α.5 c Modelo com imerfeição geométrica d Modelo com imerfeição geométrica ψ 0 e φ ψ 45 e φ Figra 4.4: Seções das bacias de atração conservativas em 3 θ xθ xdθ /dt, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti. b Modelo com imerfeição geométrica a Modelo erfeito ψ 0 e φ Figra 4.5: Seções das bacias de atração conservativas em 3 dθ /dtxdθ /dt xθ, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti.

98 98 Várias seções em considerando λ 0. 9 e ω.0 s são aresentadas / na Figra 4.6. Observa-se claramente o decréscimo sensível da região segra com o tio e nível das imerfeições iniciais. a Plano θ xθ b Plano θ xdθ /dt c Plano θ xdθ /dt d Plano dθ /dtxdθ /dt Figra 4.6: Seções das bacias de atração conservativas em, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti.

99 Variedades Invariantes dos Pontos de Sela As fronteiras de abilidade são definidas elas variedades invariantes dos ontos de sela com menor nível de energia, o seja, elos atovalores e atovetores associados a cada onto de sela qe delimita a bacia de atração conservativa. O traçado das variedades invariantes é ossível através da identificação dos ontos fixos instáveis no esaço fase. O onto fixo instável é denominado onto de sela e as das crvas qe o intercetam são as chamada variedades invariantes, áveis e instáveis. A variedade ável fornece a fronteira das bacias de atração e a variedade instável fornece o caminho até o onto atrator, no caso de sistema amortecido. a Plano θ xθ b Plano θ xdθ /dt c Plano θ xdθ /dt d Plano dθ /dtxdθ /dt Figra 4.7: Projeções das variedades invariantes dos ontos de sela, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito.

100 00 Partindo das coordenadas dos ontos de sela do modelo erfeito e tilizando o critério dinâmico de abilidade, obtêm-se ses resectivos atovalores e atovetores. A Figra 4.7 mostra rojeções em diversos lanos das variedades invariantes de cada onto de sela ara o modelo erfeito considerando λ 0. 9 e ω.0 / s. Observa-se nessas figras qe as variedades invariantes aresentam variações lineares no lano dos deslocamentos e no lano das velocidades. Observam-se dois conjntos indeendentes de variedades contidos em lanos simétricos a 45 e 45 do eixo θ. Os ontos de sela localizados ao longo dos eixos a 45 e 45 do eixo θ são conectados or órbitas heteroclínicas. Um onto é dito heteroclínico se ele á na variedade instável de m onto de sela e essa variedade é tangente à variedade ável de otro onto de sela. A órbita ercorrida elo onto heteroclínico conecta dois ontos de sela e é denominada órbita heteroclínica. Tomando as coordenadas do rimeiro onto de sela do sistema erfeito aqele qe ossi os deslocamentos θ e θ ositivos com ma eqena ertrbação na direção do atovetor qe define a variedade instável como condição inicial e integrando as eqações de movimento, obtém-se a resosta do sistema no domínio do temo, Figra 4.8. Verifica-se, ela Figra 4.8a, qe as oscilações se rringem ao lano das variedades dos ontos de selas. a Plano θ xθ b Plano θ xdθ /dt Figra 4.8: Projeções em lanos de fase da reosta no temo do rimeiro onto sela ertrbado, ara λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito.

101 0 e Considerando a inflência da rigidez relativa das molas α. 5, λ 0. 9 ω.0 / s verifica-se a qebra de simetria do sistema, isso faz com qe as variedades não mais fiqem contidas em m lano, como mostra a Figra 4.9a, e a resosta no temo obtida imondo-se ma eqena ertrbação a m dos ontos de sela mostra m comortamento extremamente comlexo, como mostra a Figra 4.9b. a Variedades invariantes b Resosta no temo Figra 4.9: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano θ xθ, ara α.5, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a Variedades invariantes b Resosta no temo Figra 4.0: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano θ xθ, ara ψ 0, φ, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. O mesmo se observa qando se considera o efeito de ma imerfeição geométrica inicial. Mostram-se na Figra 4.0a as variedades dos dois ontos de

102 0 sela qe definem a bacia de atração conservativa ara ψ 0 e φ. Na Figra 4.0b verifica-se qe as oscilações rovenientes de ma eqena ertrbação dada a m onto de sela desenvolvem-se na região do esaço definida elas variedades. Na Figra 4. mostra-se o comortamento das variedades invariantes ara o sistema considerando ma imerfeição geométrica inicial com ψ 45 e φ. Observa-se, como mostrado na Figra 4.6a, qe nesse caso aenas m onto de sela delimita a bacia conservativa através de sas variedades. Verifica-se qe as variedades aresentam ma variação linear no lano dos deslocamentos e das velocidades e qe a órbita definida elas variedades é homoclínica. Uma órbita é dita homoclínica qando ma variedade instável qe arte de m onto de sela coincide com a variedade ável ne onto, formando ma órbita fechada. a Variedades - lano θ xθ b Resosta no temo - lano θ xθ c Variedades - lano θ xdθ /dt d Resosta no temo - lano o θ xdθ /dt Figra 4.: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo, ara ψ 45, φ, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica.

103 Modos Não-Lineares de Vibração O teorema da serosição é a edra fndamental da teoria de sistemas lineares Boivin et al., 995. Este teorema ermite a análise modal em sistemas dinâmicos lineares com base no conceito de modos lineares de vibração. Em contraartida, é recisamente a forma de recombinação das coordenadas modais qe falta ara os sistemas dinâmicos não-lineares. Conseqüentemente, ma serosição das reostas modais individais não ode ser feita ara m sistema rtral não-linear. Em sistemas lineares, elo rincíio de serosição, m modelo dinâmico em larga escala ode ser redzido a m modelo de menor dimensão, reresentado elos modos de vibração dominantes, tilizando as ferramentas sais da análise modal, ois os modos são dinamicamente indeendentes. Porém, ara sistemas não-lineares, as ferramentas não são diretamente alicáveis e deve-se sar otra forma ara comreender e analisar a dinâmica dos sistemas não-lineares. O conceito aresentado or Rosenberg 96 de modos não-lineares é considerado como ma extensão dos modos lineares, e tem se tornado ma ferramenta útil na análise de vibrações não-lineares. e acordo com Rosenberg, os modos não-lineares são movimentos síncronos qe aresentam ma relação bem definida entre as coordenadas generalizadas, isto é, todas as coordenadas generalizadas exectam movimentos de mesmo eríodo, assando ela osição de eqilíbrio e alcançando ses deslocamentos máximos simltaneamente. Esses conceitos são formalizados segndo as definições: efinição Rosenberg 96, 966 Um sistema conservativo atônomo discreto de n gras de liberdade descrito or m conjnto de eqações na forma & x i fi x, x,..., xn i,,..., n 4.8 onde x i reresenta os deslocamentos medidos a artir de m ado de eqilíbrio, e as fnções não-lineares f i são as forças qe agem sobre o sistema, á oscilando em m modo, se ele á vibrando em níssono, o seja:

104 04 O movimento de todas as coordenadas é eriódico e de mesmo eríodo, isto é: x t x t T, i,,..., n. 4.9 i i onde o eríodo T é ma constante; Existe m temo t t0 em qe todas as massas assam ela osição de eqilíbrio, o seja: x t 0 x, i,,...,. 4.0 i 0 i n 3 Todas as coordenadas alcançam ses valores extremos no mesmo instante de temo, o seja, existe m temo t t t0 no qal todas as velocidades tornam-se nlas, isto é: x& i t 0, i,,..., n Para m r [,,..., n] fixo, em qalqer instante de temo as coordenadas do sistema devem ser relacionadas or eqações fncionais da forma: x i P x, i,,..., n. i r 4. i r onde P i é chamado de fnção modal ara o modo não-linear r. Sendo assim, em m modo, as oscilações de todas as coordenadas odem ser arametrizadas or ma única coordenada, já qe, segndo o conceito de Rosenberg 96, a todas elas exectam movimentos eriódicos não necessariamente harmônico com o mesmo eríodo; b todas elas assam or sas osições de eqilíbrio ático ao mesmo temo, e c todas elas atingem ses deslocamentos máximos ao mesmo temo. Assim, a ossibilidade de definir as osições de todas as massas or meio de qalqer ma delas ermite ma redção de ordem mito eficiente ara o roblema como m todo.

105 05 O modo linear ode ser, or essa definição, visto como m caso articlar do modo não-linear, onde as fnções modais na exressão 4. são fnções lineares. Rosenberg também define dois tios de modos não-lineares, similar e nãosimilar: efinição Rosenberg 96, 966 Se as linhas modais corresondentes ao modo não-linear forem retas tem-se qe o modo é similar. No caso geral onde as linhas modais são crvas, o modo é não-similar. Portanto, qando m sistema se movimenta em m modo similar, esse movimento ocorre ao longo de ma linha reta assando ela osição de eqilíbrio no esaço n -dimensional do sistema, ao asso qe o movimento não-similar ocorre ao longo de ma crva no mesmo esaço. O movimento do modo similar qe ocorre em m sistema em vibração livre ode ser matematicamente reescrito como: x c x, i,,..., n; i r; c 4.3 i ir r rr sendo qe essas relações lineares devem ser satisfeitas elas coordenadas x i ara todos os temos, onde c ir são n qantidades escalares desconhecidas. Tem-se, ainda qe as eqações 4.3 caracterizam m atovetor qe define a forma lanar das variedades manifold invariantes. O modo linear é m caso articlar de modo similar. Esse conceito original de modos não-lineares foi modificado nos últimos anos. Shaw e Pierre 99 roseram ma definição dos modos não-lineares, na qal não somente os deslocamentos generalizados, mas também as velocidades devem ser consideradas. e acordo com eles m modo não-linear é m movimento em vibração livre qe se realiza em ma variedade bidimensional invariante inserida no esaço de fase do sistema. Como as variedades são invariantes, isso significa qe, se as condições iniciais ão em ma dessas variedades, o movimento corresondente ermanece na variedade. A vantagem dessa definição é qe ela incorora a definição de Rosenberg como m caso

106 06 articlar e é aroriada ara sistemas conservativos e não-conservativos. Formalmente es conceitos odem ser exressos or: efinição 3 Shaw e Pierre, 994 Uma variedade invariante de m sistema dinâmico é m sbconjnto S do esaço de fase, tal qe se m conjnto de condições iniciais for dado em S, a solção ermanece em S ao longo de todo o temo. e acordo com a definição 3, a variedade invariante de m modo não-linear é ma serfície bidimensional no esaço de fase do sistema. Esta variedade deve conter o onto de eqilíbrio e ser tangente ao corresondente ato-esaço do sistema linearizado Jiang et al., 005. Nessa formlação m ar de coordenadas, deslocamento-velocidade, é escolhido como coordenadas governantes, caracterizando o movimento modal não-linear individal qe ocorre em tal variedade. Assim todos os gras de liberdade rantes são descritos como coordenadas deendentes, comostas da mesma forma or ares de coordenadas, deslocamento-velocidade. Estes conceitos odem ser reescritos formalmente ela definição: efinição 4 Shaw e Pierre, 994, e Shaw et al., 999 Um modo ara m sistema não-linear é m movimento qe ocorre em ma variedade bidimensional invariante no esaço de fase do sistema. Esta variedade assa através do onto de eqilíbrio ável de interesse e, nesse onto, é tangente ao ato-esaço bidimensional do sistema linearizado. Na variedade, o sistema dinâmico é governado or ma eqação de movimento envolvendo m ar de variáveis de ado, o seja, comorta-se como m sistema de m gra de liberdade. Uma forma eficiente de se determinar nmericamente a existência dos modos não-lineares são os maas de Poincaré. Segndo Vakakis 99, a alicação dos maas de Poincaré ara o do da dinâmica não amortecida de sistemas discretos foi aresentada inicialmente or Month 979, 980. Nessas referências, técnicas de aroximação dos maas de Poincaré são aresentadas. Alicando tais técnicas, ode-se determinar analiticamente o flxo global do sistema dinâmico sficientemente róximo ao modo, e assim obter-se ma descrição comleta e mais detalhada dos modos não-lineares e de sa abilidade. Os resltados nas seções anteriores mostram qe a energia otencial nãolinear dos modelos aqi analisados é altamente distorcida qando comarada com

107 07 a do sistema linearizado. Assim o nível de energia, associado a m dado conjnto de condições iniciais tem ma notável inflência nas vibrações do sistema ertrbado. Na exressão 4.7 ode-se observar qe no onto de eqilíbrio ável a energia total é nla. Qando o nível de energia amenta e aroxima-se do relativo aos ontos de sela associados à fronteira de escae, a comlexidade da vibração livre do sistema amenta consideravelmente. Fixando a energia total do sistema, ode-se rringir o flxo do sistema dinâmico a ma fronteira tridimensional isoenergética. Isso é obtido qando se fixa H h, exressão 4.7, onde h é m nível de energia adotado. Se a fronteira tridimensional isoenergético, é cortada or m lano bidimensional e se o flxo é transversal a e lano Gckenheimer e Holmes, 984; Vakakis, 99, a seção transversal resltante é bidimensional e define o maa de Poincaré. Para comreender o comortamento do sistema, foram escolhidos dois lanos ara reresentar os maas de Poincaré, a saber: θ d θ / dt e θ d θ / dt. Para obter tais maas de Poincaré tem-se qe os resectivos lanos de corte e as resectivas seções de Poincaré,, são definidas or: Π { θ } {, > 0 } { H h } 0 θ 0 & θ 4.4a Π { θ } {, > 0 } { H h } 0 θ 0 & θ 4.4b A rrição qanto ao sinal da velocidade, & θ em 4.4a e & θ em 4.4b, se deve ao fato de qe o maa de Poincaré deve reservar a sa orientação Gckenheimer & Holmes, 984; Vakakis, Modelo Perfeito Considerando o modelo erfeito, ψ φ 0 e α, e sando as exressões 4. e 4.7, ara avaliar H h, tem-se qe as condições iniciais de & θ e & θ, corresondentes aos ares iniciais θ,θ & e θ &,θ, são dadas, resectivamente, or:

108 08 & ω θ ± & θ θ ω cos h θ 4.5a λ & ω θ ± & θ θ ω cos h θ 4.5b λ onde somente as velocidades ositivas são consideradas. A região ocada ela seção de Poincaré nos lanos em do θ d θ / dt e θ d θ / dt é definida elo conjnto de ontos ara os qais & θ e & θ sejam ositivos. Os limites das regiões são obtidos ela condição de qe o radicando em 4.5 seja nlo, o qe leva a: ω θ θ ω θ h & cos 4.6a λ ω θ θ ω θ h & cos 4.6b λ A dinâmica dentro das regiões é obtida ela integração das eqações 4. ara as condições iniciais de θ,θ & qe satisfaçam as rrições em θ e & θ, e ara as condições iniciais de θ,θ & qe satisfaçam as rrições em θ e & θ. A vibração livre de m sistema corresondente a m modo é m movimento eriódico e, ortanto, a seção de Poincaré de m modo é m único onto e sa abilidade ode ser determinada examinando-se as trajetórias corresondentes às condições iniciais na vizinhança do onto. Se o onto corresondente a m modo aarece como m centro, rodeado de crvas fechadas, o modo é orbitalmente ável. Ao contrário, se o onto aarenta ser ma sela, então o modo é orbitalmente instável. Uma crva fechada reresenta a interseção de m toro invariante com a seção de Poincaré. Na Figra 4. aresentam-se as seções de Poincaré ara m nível de energia igal a 5% da energia dos ontos de sela baixo, 50% da energia dos ontos de sela médio e ara o nível de energia dos ontos de sela alto, valor extremo, considerando λ 0. 9 e ω.0 s. /

109 09 a. Plano θ xdθ /dt a 5 % da energia do onto de sela a. Plano θ xdθ /dt b. Plano θxdθ /dt b 50 % da energia do onto de sela b. Plano θ xdθ /dt c. Plano θxdθ /dt c. Plano θ xdθ /dt c Energia do onto de sela Figra 4.: Seções de Poincaré ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito.

110 0 É interessante observar como a região onde a dinâmica a confinada, Figra 4., coincide com as seções bidimensionais da região segra réflambagem, Figra 4.6. Para maiores magnitdes de h, a resosta associada a qalqer conjnto não trivial de condições iniciais diverge ara o infinito. a. Plano fase a Ponto P0 a. Resosta no temo b. Plano fase b. Resosta no temo b Ponto P0 Figra 4.3: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. Qando o nível de energia é nlo as seções de Poincaré nos lanos θ d θ / dt e θ d θ / dt se redzem a m onto. O onto 0.0, 0.0 na seção de Poincaré θ d θ / dt reresenta o modo de vibração linear desacolado no lano

111 θ d θ / dt e o onto 0.0, 0.0 na seção de Poincaré θ d θ / dt reresenta o modo de vibração linear desacolado no lano θ d θ / dt. Para níveis de energia baixos e médios verifica-se a existência de movimentos qase-eriódicos reresentados elas crvas fechadas em torno da origem, ontos P0 θ θ& 0 e P0 θ & θ 0, resectivamente Figras 4.a e 4.b, qe, corresondem aos modos de vibração não-lineares desacolados, resectivamente, no lano θ d θ / dt, Figra 4.3a, e no lano θ d θ / dt, Figra 4.3b, qe emergem natralmente dos modos lineares. Contdo, verifica-se ara níveis baixos e médios de energia o srgimento de das selas e dois novos centros, qe corresondem a qatro novos modos de vibração, dois instáveis e dois áveis. Os dois modos áveis ontos P e P Figra 4.b., e ontos P e P Figra 4.b. corresondem aos modos não-lineares qe srgem do acolamento modal, com o sistema vibrando com θ e θ em fase P e P e com θ e θ fora de fase ontos P e P, como se ode verificar na Figra 4.4. Já as selas ontos PS e PS Figra 4.b., e PS e PS Figra 4.b. reresentam os dois modos acolados de vibração instáveis qe dividem os centros resentes nas seções de Poincaré. A nomenclatra Pij denota o onto i da seção em θ j. Em virtde da simetria do modelo de Agsti erfeito, os modos não-lineares aarecem semre aos ares e reresentam o mesmo tio de oscilação. O terceiro nível de energia corresonde ao nível de energia dos qatro ontos de sela, Figra 4.6a, e é o maior nível de energia com significado ara análise da abilidade. Na Figra 4.c ma grande comlexidade dinâmica é observada no interior dessas regiões, com m conjnto difso de ontos qe indicam ma dinâmica caótica. Na Figra 5.5 mostra-se o comortamento das seções de Poincaré ara algns ontos esecíficos, a saber: PS, PQ e PC. Como mencionado anteriormente o onto PS reresenta m onto de sela e sa seção de Poincaré é exatamente a fronteira qe delimita as solções áveis. O onto PQ reresenta o comortamento de m movimento qase-eriódico em torno de m onto fixo qe corresonde a m modo de vibração e, or fim, o onto PC mostra o comortamento ara m onto ertencente a ma região de caos. Como

112 observado na literatra sobre sistemas dinâmicos Hamiltonianos Vakakis, 99, o caos srge inicialmente na vizinhança de m onto de sela e, aos ocos, vai reenchendo todo o esaço de fase à medida qe cresce o nível de energia. a. Plano fase - P e P a. Temo - P a.3 Temo - P a Pontos P e P b. Plano fase - P e P b. Temo - P b.3 Temo - P b Pontos P e P Figra 4.4: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito.

113 3 a Ponto PS 50% da energia da sela b Ponto PQ 50% da energia da sela c Ponto PC energia da sela Figra 4.5: Seções de Poincaré dos ontos PS, PQ e PC, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. Os modos não-lineares, decorrentes dos ontos P P é igal e P P é igal, qe srgem devido ao acolamento modal do sistema são similares, ois, como se verifica na Figra 4.4, tais modos aresentam ma relação linear entre as coordenadas θ e θ. É imortante observar qe es dois modos não-lineares áveis ão contidos nos lanos das variedades dos ontos de sela, Figras 4.6a e 4.7a. Nesse contexto, verifica-se qe o modelo de Agsti erfeito ode ser desacolado em m dos lanos das variedades dos ontos de sela, o seja, ode-se reresentar o modelo erfeito através de m modelo redzido com m gra de liberdade. Mas, ara isso, faz-se necessário obter-se a fnção linear qe reresenta o modo similar, exressão 4.3. Percebe-se qe os ontos de sela qe ossem os deslocamentos com sinais igais localizam-se em ma diagonal a 45 do eixo θ e qe aqeles qe ossem sinais oostos ficam sobre a diagonal de 45 do eixo θ. A artir dessa observação, ode-se alicar ma mdança de coordenadas qe ermite obter as eqações de movimento desacoladas, nos eixos axiliares e v, o seja, as eqações nos lanos das variedades dos ontos de sela, como mostra a Figra 4.6.

114 4 θ θ Figra 4.6: Coordenadas axiliares, Modelo de Agsti erfeito. v Observando a Figra 4.6, ode-se dedzir qe as fnções lineares qe reresentam os modos similares são: θ, & & θ, θ e & & θ, considerando v v& a θ v, & v& v θ, θ e & v& θ, considerando & b sendo qe as exressões 4.7a fornecem a eqação de movimento desacolada no lano d / dt e as exressões 4.7b fornecem a eqação de movimento desacolada no lano v dv / dt. Assim, sbstitindo nas arcelas de energia do modelo de Agsti erfeito as exressões 4.7a, e adotando como coordenada generalizada, obtém-se a eqação de movimento desacolada no lano d / dt, a saber: cos sen ml cos && cos sen cos Pl 0 sen & k 4.8 e forma similar obtém-se a eqação no lano v dv / dt.

115 5 Na Figra 4.7 aresentam-se as relações freqüência-amlitde ara o modelo de Agsti erfeito. A Figra 4.7a mostra a relação não-linear, freqüência-amlitde, qe reresenta o comortamento dos modos não-lineares desacolados áveis qe srgem dos modos lineares freqüência linear e tornam-se não-lineares elo movimento do sistema, sendo qe tais modos aresentam m comortamento hardening, o seja, com ganho de rigidez. O comortamento de θ é igal ao de θ. Já a Figra 4.7b aresenta a relação não-linear qe reresenta o comortamento dos modos não-lineares similares áveis qe srgem devido ao acolamento modal do sistema, onde se observa m comortamento softening, o seja, com erda de rigidez. O comortamento de v é igal ao de. Para o modelo erfeito tem-se ressonância interna :, sendo ne exemlo ω ω / 3. Todas as crvas têm início ne valor. a Modo não-linear ável desacolado b Modo não-linear similar ável ara o modelo erfeito com GL acolado ara o modelo erfeito com GL Figra 4.7: Relações freqüência-amlitde ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito. Mostra-se na Figra 4.8 as relações freqüência-amlitde geradas elos ontos de sela PS, PS, PS e PS. Observa-se qe os ontos de sela são movimentos eriódicos resltantes do acolamento de dois modos de vibração, decorrente da ressonância interna do sistema. Ne caso, como mostram Jiang et al. 005, o comortamento é bem mais comlexo. Ne caso, a dedção da variedade invariante qe contem e movimento deve ser obtida sando-se como sementes tantos ares de coordenadas deslocamento-velocidade qantos forem os

116 6 modos envolvidos na vibração mlti-mode invariant manifold. No resente caso, onde se observa a interação de dois modos, têm-se dois ares de coordenadas e a variedade invariante tem qatro dimensões. Ne caso cada coordenada ode aresentar ma relação freqüência-amlitde diferente, bem como diferentes freqüências de vibração. Essas relações foram obtidas através da determinação direta da relação freqüência-amlitde ela reosta no temo, tendo como condições iniciais as coordenadas dos ontos de sela da seção de Poincaré ara níveis crescentes de energia. Como foram determinados ocos ontos as crvas dos modos instáveis são aroximadas. Estas relações oderiam também ser obtidas através do chamado shooting method, jntamente com técnicas de continação Silva, 008. a Modos instáveis - PS e PS b Modos instáveis - PS e PS Figra 4.8: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados instáveis dos ontos de sela PS, PS, PS e PS, ara ω ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti erfeito.

117 Inflência da Rigidez Relativa das Molas Qando se considera a inflência da rigidez relativa das molas, φ ψ 0 e α, tem-se qe as condições iniciais & θ e & θ, referentes, resectivamente, aos ares iniciais θ,θ & e θ,θ &, são dadas or: & αω θ ± & θ θ ω cos h θ 4.9a λ & ω θ ± & θ θ ω cos h θ 4.9b λ e, com isso, tem-se qe os limites dessas regiões são dados or: α ω θ θ ω θ h & cos 4.30a λ ω θ θ ω θ h & cos 4.30b λ A Figra 4.9 mostra as seções de Poincaré ara 5% da energia dos ontos de sela associados a essa sitação, considerando α. 3, λ 0. 9 e ω.0 s. / A diferença de rigidez relativa entre as molas casa ma erda de simetria do sistema e, conseqüentemente, faz o sistema aresentar das cargas críticas e das freqüências natrais distintas, o seja, desaarece o acolamento qe gera os modos similares. Ne caso as freqüências natrais são: ω / 3 e ω / 3. Tem-se ois ma ressonância interna :. Para m nível de energia baixo verifica-se, como no modelo erfeito, a existência de movimentos qase-eriódicos no entorno da origem, ontos P0 θ θ& 0 e P0 θ & θ 0, Figras 4.9a e 4.9b. O onto P0 corresonde ao modo de vibração não-linear desacolado no lano θ d θ / dt, Figra 4.0a, e o onto P0 corresonde ao modo não-linear desacolado no

118 8 lano θ d θ / dt, Figra 4.0b, ambos os modos emergem natralmente dos modos lineares. a Plano θ xdθ /dt b Plano θ xdθ /dt Figra 4.9: Seções de Poincaré com 5 % da energia do onto de sela, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a Plano fase - P0 b Plano fase - P0 Figra 4.0: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Observando a Figra 4.9b, verifica-se o srgimento de qatro selas e novos qatro centros, qe se referem a novos modos de vibração: qatros modos áveis centros P, P, P3 e P4, qe corresondem aos modos acolados não-lineares qe srgem do acolamento modal, e qatro selas, qe se referem aos modos acolados instáveis. Para níveis mais altos de energia acima de 50% do

119 9 nível de energia dos ontos de sela o centro desaarece e toda a região delimitada elo rincíio de conservação de energia é tomada elo caos, verificando-se ma grande comlexidade dinâmica. a Plano fase - P e P3 b Plano fase - P e P4 c Seção de Poincaré - P e P3 d Seção de Poincaré - P e P4 e Reosta no temo - P Figra 4.: Comortamento dos ontos P, P, P3 e P4, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

120 0 Os modos não-lineares gerados elos ontos P, P, P3 e P4 são acolados, e, como se constata nas Figras 4.a e 4.b, exibem ma variação não-linear entre as coordenadas θ e θ. Observa-se elas Figras 4.c e 4.d qe os ontos P e P3 e os ontos P e P4 são solções sb-harmônicas de ordem. A artir da reosta no temo do onto P, Figra 4.e, verifica-se qe a coordenada θ vibra com a freqüência ω / 3 e a coordenada θ vibra com a freqüência ω / 3, o mesmo comortamento se observa ara os ontos P, P3 e P4. Ne caso o movimento eriódico é regado ela ressonância :, e o movimento ocorre em ma variedade invariante com qatro dimensões. Aresentam-se na Figra 4. as relações freqüência-amlitde ara o modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Verifica-se qe as relações não-lineares, qe reresentam o comortamento dos modos não-lineares desacolados, aresentam m comortamento hardening, o seja, ganho de rigidez. A eqena diferença no gra de não-linearidade entre os modos associados a θ e θ é devida à magnitde de α. A relação freqüência-amlitde associada à menor freqüência ω / 3 ermanece igal à do modelo erfeito, enqanto a relação associada a ω / 3, aresenta m menor gra de nãolinearidade. Figra 4.: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares áveis desacolados, ara α.3, ω /3, ω /3, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

121 Modelo com Imerfeição Geométrica Qando se introdz a imerfeição geométrica deve-se artir das exressões 4.3 e 4.4, assim, tem-se qe as condições iniciais & θ e & θ, corresondentes aos ares iniciais θ &, θ e θ &, θ, são dados, resectivamente, or: & θ cos θ cos θ θ cos θ θ ω cos θ θ cos θ θ cos θ θ cos θ cos θ ± & θ cos θ ω θsen θ cos θ θ sen θ sen θ cos θ cos θ cos θ cos θ θcos θ sen θ & θ θ cos θ θ θ cos θ sen θ & θ θ cos θ θ h cos θ θ & θ cos θ θ θ & θ ω θ θ S θ S cos θ λ cos θ cos θ θ cos θ sen θ θ sen sen θ sen θ cos θ cos θ cos cos θ ± sen θcos cos sen θ cos sen θ cos θ θ θ θ θ θ sen θ θ & θ θ cos θ θ cos θ θ sen θ θ & θ cos θ θ θ θ h cos θ θ & θ cos θ θ sen θ θ & θ ω θ θ S θ S cos θ θ λ cos sen θ cos sen θ sen θ θ 4.3a 4.3b

122 As seções de Poincaré são delimitadas or: h cos ω λ h θ θ θ S θ S ω sen θ cos ω λ θ θ θ & θ sen θ θ θ S θ S ω sen θ θ & θ sen θ cos θ θsen θ θ & θ cos θ θ cos θ sen θ cos θ θ cos θ θ sen θ sen θ sen θ sen θ θ & θ cos θ θ 4.3a 4.3b As seções de Poincaré ara diferentes níveis de energia, considerando ψ 0, φ, λ 0. 9 e ω.0 s, são aresentadas na Figra 4.3. Ne / caso as freqüências natrais são: ω 0. 3 e ω Verifica-se, qando se observa a seção de Poincaré 4.3a considerando 0% da energia dos resectivos ontos de sela, a existência do onto P0 no lano θ dt, qe reresenta dθ / m modo acolado ável. Ne caso, as coordenadas θ e θ vibram com diferentes freqüências, sendo a freqüência θ aroximadamente igal ao dobro da freqüência de θ. O lano de fase da resosta ara 0 % da energia do onto de sela é mostrado na Figra 4.4a. Este modo srge da resença da imerfeição inicial φ na direção de θ ψ 0 lano, e converge ara o modo desacolado no θ dt qando φ 0. Na seção de Poincaré no lano dθ / dθ / θ dt observa-se a existência do onto P0, qe reresenta o modo nãolinear desacolado ável no lano θ dt, roveniente do modo linear dθ / em virtde do fato de ψ 0, como mostra as Figras 4.4b.

123 3 a. Plano θ xdθ /dt a 0 % da energia do onto de sela a. Plano θ xdθ /dt b. Plano θ xdθ /dt b. Plano θ xdθ /dt b 50 % da energia do onto de sela Figra 4.3: Seções de Poincaré ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Para 50% da energia do onto de sela, Figra 4.3b., observa-se o srgimento de ma sela e dois centros modos acolados, P e P. A sela srge de ma bifrcação itchfork Hamiltoniana do modo acolado P0, dando origem aos dois modos acolados P e P. Na seção de Poincaré do lano θ dt verifica-se qe o modo não-linear desacolado P0 contina dθ / ável ara esse nível de energia e qe as das novas solções resentes, P e P, se referem aos modos acolados P e P, orindos da bifrcação de P0.

124 4 a Plano fase - P0 b Plano fase - P0 Figra 4.4: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P0, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. As Figras 4.5 e 4.6 mostram as relações freqüência-amlitde ara o modelo com imerfeição geométrica, considerando ψ 0, φ, λ 0. 9 e ω.0 / lano s. Verifica-se na Figra 4.5 qe o modo não-linear desacolado no θ dt, roveniente do onto P0, aresenta m comortamento dθ / hardening. Este modo á associado à freqüência natral ω A Figra 4.6 mostra o comortamento do modo não-linear acolado referente ao onto P0. Verifica-se qe o comortamento é do tio hardening e qe a relação entre a coordenada θ e a coordenada θ aresenta ma grande não-linearidade. Figra 4.5: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano θ xdθ /dt, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica.

125 5 a Modo acolado ável b Relação não-linear entre θ e θ Figra 4.6: Relação freqüência-amlitde do modo acolado ável do onto P0, ara ψ 0, φ, ω 0.3, ω 0.353, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Na Figra 4.7 mostram-se as seções de Poincaré ara ma imerfeição geométrica inicial com ψ 45 e φ, considerando 50% da energia do resectivo onto sela. Nessa sitação o sistema não aresenta nenhm modo nãolinear desacolado. Ne caso tem-se qe ω e ω a Plano θ xdθ /dt b Plano θ xdθ /dt Figra 4.7: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica.

126 6 Para e nível de energia e em níveis inferiores verifica-se a existência de dois centros, qe corresondem a dois modos áveis, P e P Figra 4.7a, e P e P Figra 4.7b. Os modos áveis corresondem aos modos normais não-lineares qe ocorrem devido ao acolamento modal com o sistema vibrando com θ e θ em fase, ontos P e P Figra 4.9a, e com θ e θ fora de fase, ontos P e P Figra 4.9b. A sela qe divide as solções P e P na seção de Poincaré do lano θ dt e as solções P e P na seção de Poincaré do lano dθ / θ dθ / dt ode ser observada na seção de Poincaré do lano θ θ, Figra 4.8. Para a seção se considera { 0} {& θ, & > 0} { H h} Π θ & com 0 θ. O onto PS refere-se à sela qe divide os ontos P, P, P3 e P4 qe são referentes aos qatro centros resentes na Figra 4.7, o seja, os ontos P, P, P e P há ma sela similar na seção oosta, as das selas são conectadas or qatro órbitas heteroclínicas. Para níveis seriores de energia verifica-se ma grande comlexidade dinâmica, com m conjnto difso de ontos qe indicam ma dinâmica caótica. Figra 4.8: Seção de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela no lano θ xθ, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. O modo não-linear denotado elos ontos P Figra 4.7a e P Figra 4.7b é similar como se observa na Figra 4.9a, o seja, ossi ma variação linear no lano dos deslocamentos, sendo e o lano das variedades

127 7 invariantes do onto sela, Figra 4.a. Já o modo não-linear associado aos P e P é não-similar, como se verifica na Figra 4.9b. Este modo rovém do modo similar do modelo erfeito aresentado na Figra 4.4b., e converge ara e modo qando φ 0. a Plano fase - P e P b Plano fase - P e P Figra 4.9: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Partindo-se das constatações anteriores, tem-se qe o modelo de Agsti com imerfeição geométrica, considerando ψ 45, ode ser desacolado no lano relativo ao modo similar lano qe contem a imerfeição, o seja, ode ser redzido a m modelo de gra de liberdade. Mas, ara isso, faz-se necessário obter a fnção linear qe reresenta o modo similar, exressão 4.3. Percebe-se qe o onto de sela e sas variedades, Figra 4.6a, ão localizadas em ma diagonal a 45 do eixo θ. Assim, ode-se alicar ma mdança de coordenadas qe ermite obter a eqação de movimento desacolada no lano axiliar d / dt, como mostra a Figra 4.30.

128 8 θ 45 θ Figra 4.30: Coordenadas axiliares considerando ψ 45. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Observando a Figra 4.30, ode-se dedzir qe as fnções lineares qe reresentam o modo similar são: θ, & & θ, θ e & & θ 4.33a S S 0 0 θ, θ, θ S, θ S, φ e φ 4.33b Assim, sbstitindo nas arcelas de energia do modelo de Agsti com imerfeição geométrica, referência original, às exressões 4.33a, e adotando como coordenada generalizada, obtém-se a eqação de movimento desacolada no lano d / dt, a saber: cos sen ml cos && cos sen cos Pl 0 sen & k

129 9 Para se obter a eqação de movimento desacolada tendo como referência a configração de eqilíbrio ático do sistema imerfeito, devem-se sbstitir as relações 4.33b jntamente com as relações θ, & & θ, θ e & & θ 4.35 nas arcelas de energia do modelo de Agsti com imerfeição geométrica e, adotando como coordenada generalizada, obter a eqação de movimento desacolada no lano d dt. / A Figra 4.3 aresenta a relação freqüência-amlitde relativa ao modo não-linear não-similar ável ontos P e P. Verifica-se qe devido à simetria do sistema as coordenas θ e θ mostram o mesmo comortamento, o seja, ão oscilando com a mesma freqüência. Este modo á associado à freqüência natral ω Figra 4.3: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares não-similares áveis acolados dos ontos P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. A Figra 4.3 mostra a relação não-linear freqüência-amlitde qe reresenta o comortamento do modo não-linear similar qe srge no devido ao acolamento modal do sistema ontos P e P, obtida a artir do modelo com GL, exressão Ambos os modos aresentam m comortamento

130 30 softening, em concordância com o sistema erfeito, Figra 4.7b. Este modo á associado à freqüência natral ω Figra 4.3: Relação freqüência-amlitde dos modos não-lineares similares áveis acolados dos ontos P e P, ara ψ 45, φ, ω 0.30, ω 0.36, λ 0.9 e ω.0/s. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. 4.. Modelo de Torre Estaiada Partindo das eqações.5, assmindo qe & v& 0 e qe as constantes de amortecimento são nlas, têm-se as eqações de movimento, em termos das coordenadas generalizadas e, qe regem o comortamento do modelo de torre aiada aresentadas na seqüência. Considera-se qe k k3, k υk e k υ K. As eqações ão adimensionalizadas em fnção da carga crítica do sistema erfeito, Pcr Kl / 4. Além disso, adotam-se as varáveis axiliares: υ α / 4sen, λ P / Pcr, P mg, α k / k, ω / λ K ml e / ω g l. b b /

131 3 0 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen ω λ αω & & & & && && 4.36a 0 sen 4 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos ω λ αω λ ω λ αω & & & & && && 4.36b

132 Freqüências Natrais Como no modelo anterior, ara se obter as freqüências natrais é necessário tilizar como referência a configração de eqilíbrio ático do sistema imerfeito, tomando-se como coordenadas generalizadas os deslocamentos dinâmicos, i. Assim, ode-se definir em termos das variáveis do roblema: Rotação ática 0 0 S S e 0 0 S S 4.37a Rotação total T e T 4.37b onde S e S são as deformações áticas, e e são as deformações dinâmicas. A arcela de energia cinética é dada or ml T & & & & & & & & 4.38 ois

133 33 z y x ml T & & & 4.39a sen l l x θ θ 4.39b sen l l y θ θ 4.39c sen sen l l z θ θ θ θ 4.39d Com base na Figra 4. e observando as exressões 4.37, tem-se qe a variação da energia interna de deformação, U Δ, e a variação do otencial gravitacional das cargas externas, L Δ, são: 3 3 rig l k rig l k rig l k U Δ 4.40a Δ z Pl L 4.40b onde cos sen cos sen cos sen cos sen rig 4.4a

134 34 rig 3 sen cos sen cos sen cos 0 sen cos b rig c A variação da energia otencial total é dada or Δ V ΔU ΔL. Utilizando a eqação de Lagrange em termos das coordenadas generalizadas i, obtêm-se as eqações de movimento. Linearizando o sistema, tem-se: ax ax & ax ax & ax 0 4.4a 3 4 & ax ax & ax 0 4.4b onde, ax 4.43a

135 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos sen ax ω λ ω 4.43b 3 ax 4.43c cos sen sen cos sen cos cos sen sen cos sen cos ax ω λ ω 4.43d

136 36 0 4ω sen ax 5 λ 0 sen 3 sen ω cos λsen cos ω sen cos sen cos cos sen cos sen cos 0 sen sen sen 0 0 cos sen 0 cos 0 sen sen 3 3 sen sen cos 0 cos 3 cos 0 3 cos cos 3 cos cos 0 cos 4.43e Os deslocamentos áticos, e, são as coordenadas dos ontos de mínimo obtidos na análise ática ara o modelo com imerfeição geométrica. As arcelas S e S são calcladas a artir das exressões 4.37.

137 37 Admitindo como solções ara as coordenadas generalizadas as das freqüências natrais do modelo são dadas or: j ti ω j e, j ω ax ω ax { ax ax 3 ax ax3 } 4 ax 3 ax ax var { ax ax 3 ax ax3 } 4 ax 3 ax ax var ax ax ax ax a 4.44b onde, var 4ax 4ax ax 4 3 ax 3 ax ax ax 5 ax 5 4ax ax ax ax 5 ax ax 4 ax 3 4ax ax ax ax 4 5 ax 4.45 As freqüências natrais e os modos lineares de vibração ara o modelo erfeito, ara o modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas e ara o modelo com imerfeição geométrica são aresentados na Tabela 4.. Admitindo 0 e α obtêm-se as freqüências natrais do modelo erfeito, qe são igais, ois k k3, k υk, k υ K, υ α / 4sin e 0, e com isso Pcr Pcr Pcr Kl / 4. Considerando a inflência da rigidez relativa das molas, o seja, 0 e α, o modelo assa a aresentar das freqüências natrais distintas, deendentes diretamente da magnitde de α. Na Figra 4.33 aresenta-se a variação das freqüências natrais em fnção do arâmetro qe reresenta a rigidez relativa das molas, α. Os valores extremos de α, mínimo e máximo, são ditados ela magnitde de λ, como se constata na Tabela 4.. Fora de intervalo não há freqüências reais. Os atovetores são similares a aqeles derivados ara o modelo de Agsti.

138 38 Tabela 4.: Freqüências natrais e modos lineares de vibração. Modelo de torre aiada. Modelo de torre Freqüências Natrais Modos aiada Perfeito Considerando a inflência da rigidez relativa das molas ω ω λ 0 0 ω ω λ α ω ω λ 0 α 0 ω ω λ Imerfeição Geométrica Exressão 4.44b Exressão 4.44a mod mod onde: mod ax ax mod ax ax 4 ax ax 3 ax ax 4 ax ax 3 ax ax 5 3 ax ax ax ax 5 3 ax ax ax ax 5 ax ax 4 ax ax ax ax 3 ax ax 3 3 ax ax ax ax ax ax ax ax 3 ax 3 ax var var var var 4.46a 4.46b

139 39 a Primeira freqüência b Segnda freqüência Figra 4.33: Variação das freqüências natrais em fnção de rigidez α, ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Considerando agora ma imerfeição geométrica inicial, 0 e α, verifica-se qe o sistema aresenta das freqüências natrais distintas e deendentes diretamente da magnitde e direção da imerfeição. Mostra-se na Figra 4.34 a variação das freqüências natrais do modelo imerfeito em fnção dos dois arâmetros qe caracterizam a imerfeição, a magnitde φ e direção ψ. a Primeira freqüência b Segnda freqüência Figra 4.34: Variação das freqüências natrais com os arâmetros ψ e φ, ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

140 40 Observa-se qe ma das freqüências exressão 4.44a torna-se maior qe a freqüência do sistema erfeito qando φ cresce, ara qalqer valor de ψ, aresentando a maior variação ara 45 ψ. A otra freqüência exressão 4.44b é semre menor qe a freqüência do modelo erfeito, decrescendo com φ, ocorrendo à maior variação ara 45 ψ. O modelo imerfeito só aresenta freqüências reais qando o valor da carga λ é menor qe o valor de lim λ associado aos valores de φ e ψ, como ilstra a Figra Princíio da Conservação de Energia Adimensionalizando as exressões da energia cinética.7 e da energia otencial total., tem-se: ml T T & & & & 4.47a cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen ml V V ω λ αω α λ ω 4.47b A fnção de Lagrange do modelo de torre aiada é aresentada na seqüência, i são as coordenadas generalizadas, i & as velocidades generalizadas, i i L &, as forças generalizadas e i i L & as qantidades de movimento generalizadas.

141 cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen, V T L i i ω λ αω α λ ω θ θ & & & & & 4.48 A fnção de Hamilton tem a forma: [ ] cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen H ω λ αω α λ ω 4.49

142 4 Tomando-se a constante C igal ao nível de energia fornecido elas coordenadas de m dos ontos de sela associados à fronteira de abilidade da osição de eqilíbrio ré-crítica, obtém-se a solção analítica da serfície qe define a região, exressão 4.7. A Figra 4.35 mostra as seções da fronteira de abilidade em 3 d / dt, ara λ 0. 7, 0 e ω.0 s. / Na Figra 4.35a observa-se claramente qe a bacia de atração conservativa do sistema erfeito é delimitada elos três ontos de sela. Considerando a inflência da rigidez relativa das molas verifica-se ma acentada redção na região segra do sistema. Para α < α 0. 8, Figra 4.35b, o sistema aresenta dois ontos de sela delimitando a bacia segra, já ara α > α. 8, Figra 4.35c se verifica qe a bacia segra assa a ser delimitada or m onto de sela. Qando se considera o efeito de ma imerfeição geométrica, constata-se qe a região segra dimini consideravelmente, redzindo significativamente o conjnto de condições iniciais qe levam o sistema a oscilar em torno do onto fixo ável, solção ré-crítica. Para ψ 0 e φ a região segra é delimitada or m onto de sela e ara ψ 90 e φ a bacia segra é delimitada or dois ontos de sela. ω.0 / Seções em ara diversas condições, considerando λ 0. 7, 0 e s, são aresentadas na Figra Verifica-se claramente a erosão da bacia segra em virtde das imerfeições. Essa região segra define as amlitdes máximas dos deslocamentos e das velocidades as qais o sistema ode ser sbmetido sem qe erca a abilidade.

143 43 a Modelo erfeito b Modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas α 0.8 c Modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas α.8 d Modelo com imerfeição geométrica e Modelo com imerfeição geométrica ψ 0 e φ ψ 90 e φ Figra 4.35: Seções das bacias de atração conservativas em 3 x xd /dt, ara ω.0/s, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada.

144 44 a Plano x b Plano xd /dt c Plano xd /dt d Plano d /dtxd /dt Figra 4.36: Seções das bacias de atração conservativas em, ara ω.0/s, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada Variedades Invariantes dos Pontos de Sela Partindo das coordenadas dos ontos de sela do modelo erfeito e tilizando o critério dinâmico de abilidade, obtêm-se os atovalores e os resectivos atovetores associados a cada onto de sela. A Figra 4.37 mostra o comortamento das variedades invariantes dos ontos de sela do modelo erfeito, através de rojeções em diversos lanos ara λ 0. 7, 0 e ω.0 s. /

145 45 a Plano x b Plano xd /dt c Plano xd /dt d Plano d /dtxd /dt Figra 4.37: Projeções das variedades invariantes dos ontos de sela, ara λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. Verifica-se qe no lano dos deslocamentos e das velocidades as variedades aresentam variações lineares. Observa-se, ainda, qe as variedades ão em três lanos igalmente esaçados, cada m contendo m onto de sela e a origem. Este comortamento se deve à trílice simetria do modelo erfeito. Constata-se qe em cada m des lanos o sistema exibe ma órbita homoclínica. Tomando as coordenadas do rimeiro onto de sela do sistema erfeito aqele qe ossi 0 e adicionando ma eqena ertrbação na direção do vetor qe define a variedade instável, obtém a resectiva órbita homoclínica. A Figra 4.38 mostra das rojeções da órbita.

146 46 a Plano b Plano d /dt Figra 4.38: Projeções da reosta no temo do rimeiro onto sela ertrbado, ara λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. Considerando a inflência da rigidez relativa das molas com α 0. 8, verifica-se qe as variedades não mais ão contidas em m lano, mas em ma serfície crva imersa no esaço de fase, Figra 4.39a. A resosta no domínio do temo tendo como condições iniciais a coordenadas ertrbadas de ma das selas, Figra 4.39b, aresenta m comortamento com forte acolamento, reenchendo a órbita toda da fronteira de abilidade vide Figra 4.35e. a Variedades invariantes b Resosta no temo Figra 4.39: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara α 0.8, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Para o sistema considerando a inflência da rigidez relativa das molas com α.8, como mostrado nas Figras 4.35c e 4.36a, a fronteira de abilidade á associada a m único onto de sela. A Figra 4.40 mostra rojeções das

147 47 variedades e da resosta no domínio do temo do sistema ertrbado. Verifica-se qe as variedades invariantes aresentam ma variação linear no lano dos deslocamentos e das velocidades e qe a órbita definida elas variedades é homoclínica. a Variedades - lano x b Resosta no temo - lano x c Variedades - lano xd /dt d Resosta no temo - lano xd /dt Figra 4.40: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo, ara α.8, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. As Figras 4.4 e 4.4 ilstram o comortamento do sistema considerando ma imerfeição geométrica com, resectivamente, ψ 0 e φ, e ψ 90 e φ. Verifica-se qe, em ambos os casos, as variedades ão em ma serfície crva no esaço 4.

148 48 a Variedades invariantes b Resosta no temo Figra 4.4: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara ψ 0, φ, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. a Variedades invariantes b Resosta no temo Figra 4.4: Projeções das variedades invariantes e da reosta no temo no lano x, ara ψ 90, φ, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica Modos Não-Lineares de Vibração Com o intito de identificar os modos não-lineares de vibração da torre aiada, foram escolhidos dois lanos ara os maas de Poincaré, a saber: d / dt e d / dt. Assim, tem-se qe os resectivos lanos de corte e as resectivas seções de Poincaré,, são definidas or: Π { } {, > 0 } { H h } 0 0 & 4.50a

149 49 { } 0 Π { } { } > h H 0, 0 & 4.50b Modelo Perfeito Para o modelo erfeito, 0 ψ φ e α, ode-se avaliar h H através das exressões 4.7 e 4.47 ara m dado nível de energia h. As condições iniciais de & e &, corresondentes, resectivamente, aos ares iniciais, & e, &, são dadas or: sen cos sen cos sen ± h ω λ ω & & & 4.5a cos sen sen sen 4 ± h ω λ ω λ ω & & & 4.5b onde somente as velocidades ositivas são de interesse, sendo a fronteira dessas regiões dadas or: sen cos sen cos sen h ω λ ω & & 4.5a

150 50 h & ω ω λsen & sen ω λ sen cos 4.5b Ne caso, tem-se ma ressonância interna :, sendo ω ω Integrando as exressões 4.36 ara as condições iniciais, & no interior da região definida or 4.5a e imondo as rrições ara e &, obtém-se a seção de Poincaré no lano d / dt. e forma similar, integrando as exressões 4.36 ara as condições iniciais, & no interior da região definida or 4.5b e com base nas rrições de e &, obtêm-se a seção de Poincaré no lano d / dt. Mostram-se na Figra 4.43 as seções de Poincaré considerando 50% da energia dos resectivos ontos de sela. Qando o nível de energia é nlo tem-se qe a seção transversal seção de Poincaré se redz a m onto qe corresonde no lano d / dt ao modo de vibração não-linear desacolado no lano d / dt. No modelo de torre aiada o sistema não aresenta modos nãolineares desacolados no lano d / dt. a Plano xd /dt b Plano xd /dt Figra 4.43: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito.

151 5 Para níveis baixos e médios de energia tem-se m onto, P0, na origem & 0. 0, Figra 4.43a, qe reresenta o modo de vibração não-linear desacolado no lano d / dt, cja relação freqüência-amlitde é mostrada na Figra Verifica-se, também, no lano d / dt, Figra 4.43a, a resença de seis otros modos de vibração, dois acolados instáveis PS e PS selas e qatro áveis P, P, P3 e P4 centros, qe srgem devido à forte não-linearidade do sistema. Já no lano d / dt, Figra 4.43b, observa-se a resença de cinco modos, m instável PS sela e qatro áveis P, P, P3 e P4 centros. a Plano fase - P0 b Plano fase - P3, P4, P3 e P4 c Plano fase - P e P d Plano fase - P e P Figra 4.44: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0, P, P, P3, P4, P, P, P3 e P4, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito.

152 5 Através de ma análise no domínio do temo constata-se qe os ontos P e P Figra 4.43a, e P e P Figra 4.43b corresondem a dois modos não-lineares similares, com o sistema vibrando com e em fase P e P e com e fora de fase P e P, como mostram, resectivamente, as Figras 4.44c e 4.44d. Já os ontos P3 e P4 Figra 4.43a, e P3 e P4 Figra 4.43b corresondem a m modo não-similar, como se verifica na Figra 4.44b. O sistema ode ser desacolado nos três lanos qe contêm as variedades dos ontos de sela e qe corresondem aos lanos qe contêm os modos nãolineares similares, o seja, ode ser redzido a m modelo de m gra de liberdade. Estes lanos têm a direção do eixo e os eixos localizados a 30 e 50 do eixo, Figra Figra 4.45: Coordenadas axiliares. Modelo de torre aiada erfeito. Observando a Figra 4.45, ode-se dedzir qe as fnções lineares qe reresentam o modo desacolado no lano d / dt e os modos similares são: 0, & 0, e & & onto P0 4.53a 3 3, & &, e & & ontos P e P 4.53b 3 3, & &, e & & ontos P e P 4.53c

153 53 Assim, sbstitindo as exressões 4.53b, nas arcelas de energia do modelo de torre aiada erfeito e adotando como coordenada generalizada, obtém-se a eqação de movimento desacolada no lano d / dt, a saber: && ml kl & kl Pl A Figra 4.46 mostra a relação não-linear, freqüência-amlitde, ara o modo não-linear desacolado qe srge do modo linear no lano exibindo e m comortamento softening. d / dt, Figra 4.46: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. A Figra 4.47 aresenta o comortamento associado aos ontos de sela PS, PS e PS Figra 4.43, qe ossem o mesmo comortamento. Já a Figra 4.48 mostra o comortamento dos modos não-similares associados aos ontos P3, P4, P3 e P4.

154 54 Figra 4.47: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados instáveis dos ontos de sela PS, PS e PS, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. Figra 4.48: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares não-similares áveis acolados associados aos ontos P3, P4, P3 e P4, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito. Por fim, a Figra 4.49 mostra a relação não-linear qe reresenta o comortamento dos dois modos similares, relativos aos ontos P, P, P e P da Figra Comarando a Figra 4.49 com a Figra 4.46, verifica-se qe o modo não-linear desacolado no lano d / dt ossi o mesmo comortamento dos modos não-lineares similares, o qe é eserado em virtde da trílice simetria do modelo.

155 55 Figra 4.49: Relação freqüência-amlitde dos modos não-lineares similares áveis acolados dos ontos P, P, P e P, ara ω ω 0.655, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada erfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Considerando a inflência da rigidez relativa das molas, 0 ψ φ e α, tem-se qe as condições iniciais de & e &, referentes resectivamente aos ares iniciais, & e, &, são: sen cos sen cos sen ± h ω λ αω & & & 4.55a cos sen sen sen 4 ± h ω λ αω α λ ω & & & 4.55b

156 56 As seções de Poincaré são limitadas or: sen cos sen cos sen h ω λ αω & & 4.56a cos sen sen sen h ω λ αω α λ ω & & 4.56b Na Figra 4.50 têm-se as seções de Poincaré ara 50% da energia do onto de sela associado a a sitação, considerando 8 0. α, 7 0. λ, 0 e s /.0 ω. Ne caso, têm-se das freqüências natrais distintas, sendo 0.44 ω e ω. Tem-se, ois, ressonância interna :. A introdção de ma rigidez relativa das molas diferente casa ma erda de simetria do sistema e, conseqüentemente, faz com qe o sistema não aresente mais os modos nãolineares similares. O onto central no lano dt d / qe reresentava no modelo erfeito, Figra 4.43, o modo não-linear desacolado no lano dt d /, agora asso a ser ma sela PS0 e reresenta m modo desacolado instável. Os centros resentes nas seções de Poincaré, ontos P, P, P3 e P4 na Figra 5.50a e ontos P e P na Figra 5.50b, reresentam modos não-lineares acolados áveis.

157 57 a Plano xd /dt b Plano xd /dt Figra 4.50: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Pode-se analisar as características dos centros resentes na Figra 4.50 através de ma análise no domínio do temo, Figra 4.5. Verifica-se nos lanos de fase ma variação não-linear entre as coordenadas e. Os ontos P e P e os ontos P3 e P4 no lano d / dt reresentam, resectivamente, das solções sb-harmônicas de ordem dois, como mostram as seções de Poincaré aresentadas nas Figras 4.5c e 4.5d. Estas solções corresondem a, resectivamente, os ontos P e P no lano d / dt. A Figra 4.5e mostra qe no onto P a coordenada a vibrando com ma freqüência qe é o dobro da freqüência da coordenada. O mesmo comortamento é verificado ara os demais ontos. A Figra 4.5 mostra a relação freqüência-amlitde qe reresenta o modo desacolado instável roveniente do onto de sela PS0, Figra 4.50a. Veja qe e modo tem o mesmo comortamento do modo desacolado do modelo erfeito, Figra A Figra 4.53 aresenta as relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares acolados áveis dos centros resentes na Figra 4.50.

158 58 a Plano fase - P, P e P b Plano fase - P3, P4 e P c Seções de Poincaré - P, P e P d Seções de Poincaré - P3, P4 e P e Reosta no temo P Figra 4.5: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P3, P4, P e P, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

159 59 Figra 4.5: Relações freqüência-amlitde do modo desacolado instável do onto de sela PS0, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a Pontos P, P e P b Pontos P3, P4 e P Figra 4.53: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares acolados áveis, ara α 0.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

160 60 As seções de Poincaré ara 50% da energia do onto sela, considerando α.8, λ 0. 7, 0 e ω.0 s, o seja, ara α >, são aresentadas / na Figra As das freqüências natrais são ω e ω Temse, ois, ressonância interna :. Para essa sitação, como no modelo erfeito, tem-se qe, qando o nível de energia é nlo, a seção de Poincaré se redz a m onto no lano lano d / dt. d / dt, e esse onto reresenta o modo linear desacolado no a Plano xd /dt b Plano xd /dt Figra 4.54: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Para 50% de energia e também ara níveis inferiores verifica-se a existência de movimentos qase-eriódicos no entorno do onto P0, qe é referente à origem & 0. 0, Figra 4.54a, corresondendo ao modo de vibração nãolinear desacolado ável no lano d / dt, como se constata nas Figras 4.55a e Os demais centros, ontos P e P Figra 4.54a, e ontos P, P, P3, P4 e P5 Figra 4.54b, qe srgem devido ao acolamento modal e a forte não-linearidade, são referentes a modos acolados áveis, qe aresentam no lano de fase ma relação não-linear entre as coordenadas e, como se observa na Figra Os ontos P e P4 e os ontos P3 e P5

161 6 reresentam solções sb-harmônicas de ordem dois, qe são reresentadas no lano d / dt, resectivamente, elos ontos P e P. a Plano fase - P0 c Plano fase - P, P, P, P3, P4 e b Plano fase - P P5 Figra 4.55: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0, P, P, P, P, P3, P4 e P5, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. A Figra 4.56 mostra a relação freqüência-amlitde do modo não-linear desacolado ável no lano d / dt. A Figra 4.57 aresenta o comortamento dos modos não-lineares acolados áveis do onto P Figra 4.57a e dos ontos P, P, P, P3, P4 e P5 Figra 4.57b.

162 6 Figra 4.56: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, P0, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. a. Modo acolado P a. Relação entre e - P b Pontos P, P, P, P3, P4 e P5 Figra 4.57: Relações freqüência-amlitde dos modos não-lineares acolados áveis, ara α.8, ω 0.44, ω 0.88, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

163 Modelo com Imerfeição Geométrica Para essa análise faz-se necessário tilizar como referência a configração de eqilíbrio ático do sistema imerfeito, o seja, artir das exressões 4.38 e Assim, tem-se qe as condições iniciais de & e &, corresondentes aos ares de condições iniciais, & e, &, são dados, resectivamente, or: 4 a c a b b ± & 4.57a 4 a c a b b ± & 4.57b sendo a 4.58a b & & 4.58b

164 64 ex sen h c ω λ ω & & & & 4.58c cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen ex 4.58d a 4.58e

165 65 b & & 4.58f ex sen ex sen h c ω λ ω λ ω & & & & 4.58g cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos cos sen ex 4.58h

166 ex 4.58i As seções de Poincaré são delimitadas or: ex sen h ω λ ω & & & & 4.59a ex sen ex sen h ω λ ω λ ω & & & & 4.59b Aresentam-se na Figra 4.58 as seções de Poincaré ara 50% da energia do resectivo onto de sela, considerando 0 ψ, φ, 7 0. λ, 0 e s /.0 ω. Ne caso têm-se das freqüências distintas, sendo ω e ω. Verifica-se qe o sistema não aresenta nenhm modo desacolado e

167 67 nenhm modo similar. Qando se observa as seções de Poincaré verifica-se a existência de dois modos acolados áveis, ontos P e P Figra 4.58a e ontos P e P Figra 4.58b. A Figra 4.59 mostra os lanos de fase dos ontos P, P, P e P, onde se observa ma relação não-linear entre as coordenadas. a Plano xd /dt b Plano xd /dt Figra 4.58: Seções de Poincaré com 50 % da energia do onto de sela, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. a Plano fase - P e P b Plano fase - P e P Figra 4.59: Comortamento no domínio do temo dos ontos P, P, P e P, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Para os ontos P e P as coordenadas ão em fase, e ara P e P, fora de fase. Estes centros srgem do acolamento de modos não-lineares com

168 68 cada coordenada vibrando com ma freqüência de vibração. Isto significa qe há dois osciladores não-lineares associados a cada centro. A Figra 4.60 aresenta as relações freqüência-amlitde associadas às coordenadas qe contribem ara cada movimento eriódico identificado nas seções de Poincaré. a Pontos P e P b Pontos P e P Figra 4.60: Relações freqüência-amlitde dos modos acolados associados aos ontos P, P, P e P, ara ψ 0, φ, ω 0.609, ω 0.697, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Aresentam-se na Figra 4.6 as seções de Poincaré ara diferentes níveis de energia, considerando ψ 90, φ. Para e caso têm-se das freqüências natrais distintas, sendo ω 0. 6 e ω Observa-se na seção de Poincaré do lano d / dt, ara m nível baixo de energia 5% h sela, a resença de m centro, P0, na origem & 0. 0, qe corresonde ao

169 69 modo de vibração não-linear desacolado ável no lano d / dt, como se observa na Figras 4.6a. A corresondente relação freqüência-amlitde é aresentada na Figra Para o nível médio de energia 50% h sela o onto P0 torna-se ma sela qe seara as novas solções P e P, qe corresondem a modos acolados áveis, Figra 4.6b.. a. Plano xd /dt a 5 % da energia do onto de sela a. Plano xd /dt b. Plano xd /dt b. Plano xd /dt b 50 % da energia do onto de sela Figra 4.6: Seções de Poincaré ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Na seção de Poincaré d dt, considerando m baixo nível de / energia, verifica-se o srgimento do centro P qe corresonde a m modo acolado, odendo-se observar qe e onto ainda a resente ara 50% da

170 70 energia do onto de sela, P Figra 4.6b., onde se verifica também resença do centro P qe corresonde ao modo acolado associado aos ontos P e P. Os lanos de fase das solções eriódicas identificadas nas seções de Poincaré mostrados na Figra 4.6 odem ser observados na Figra 4.6. a Plano fase P0 b Plano fase - P P Figra 4.6: Comortamento no domínio do temo dos ontos P0 e P P, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Por fim, aresenta-se a relação freqüência-amlitde qe reresenta o modo não-linear desacolado ável no lano d dt na Figras 4.63 e a / relação freqüência-amlitde qe reresenta o modo não-linear acolado ável, corresondente ao onto P, Figra Figra 4.63: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear ável desacolado no lano xd /dt, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

171 7 a Modo acolado b Relação não-linear entre e Figra 4.64: Relação freqüência-amlitde do modo não-linear acolado ável associado ao onto P P, ara ψ 90, φ, ω 0.6, ω 0.693, λ 0.7, 0 e ω.0/s. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

172 5 Análise inâmica Vibração Forçada 5.. Introdção O resente caítlo aresenta m do detalhado dos dois modelos sob vibração forçada, no caso, ma excitação harmônica de base. Para isso, obtêm-se as fronteiras de abilidade, identificando assim as rinciais regiões de ressonância dos modelos, os diagramas de bifrcações elos métodos da continação e da força brta, as bacias de atrações e as medidas de integridade, o qe ermite, jntamente com os resltados dos caítlos 3 e 4, ma comreensão do comortamento dinâmico dos modelos Fronteiras de Escae Com o intito de comreender o comortamento e a segrança dos modelos sob vibração forçada, obtêm-se inicialmente as fronteiras de abilidade no esaço dos arâmetros de controle da excitação harmônica, qe são a freqüência da excitação, ω e, a amlitde da excitação, F, e a direção da excitação, ϕ. Para ma dada freqüência e direção da excitação, obtém-se, com base no método da força brta e considerando como arâmetro de controle a magnitde da força, o diagrama de bifrcação até se atingir o valor de escae F esc, qe reresenta a maior magnitde de força com solção ável em ma rtra carregada de forma qase ática. O temo de integração ara cada sitação é variável, o seja, deende do temo qe o sistema leva ara atingir a fase ermanente da resosta aós cada incremento de F. Ao se variar a freqüência de excitação nm dado intervalo, qe incli necessariamente as freqüências natrais do sistema e ses rimeiros múltilos e sbmúltilos, obtém-se ara cada valor de ϕ ma crva no esaço F verss ω e, denominada fronteira de escae. Abaixo de tais crvas têmse as condições qe garantem ma resosta ável qando o carregamento varia

173 73 de ma maneira qase acionária e acima, as condições qe levam o sistema a divergir escae. Este rocedimento ermite identificar as regiões rinciais de ressonância iagramas de Bifrcação Um diagrama de bifrcação é a reresentação gráfica do comortamento qalitativo das órbitas em fnção de m arâmetro de controle. Através de m diagrama de bifrcação odem-se identificar as solções de eqilíbrio, as órbitas eriódicas, qase-eriódicas e caóticas de m dado sistema, bem como os valores do arâmetro de controle onde ocorrem mdanças qalitativas no comortamento do sistema, ontos de bifrcação. Ao se variar m dos arâmetros de controle do sistema, a solção eriódica ode erder sa abilidade, sendo qe o tio de bifrcação associada à erda de abilidade deende da maneira ela qal os mltilicadores de Floqet associados aos ontos fixos do maa de Poincaré da órbita deixam o círclo de raio nitário. A teoria dos mltilicadores de Floqet não é aqi aresentada. Em Thomson & Stewart 993 encontra-se m do abrangente e detalhado não somente da teoria, mas também da natreza dos mltilicados de Floqet e das bifrcações. As bifrcações aqi analisadas são locais, devido à natreza dos mltilicadores de Floqet, sendo qe tais se caracterizam or serem contínas o descontínas catastróficas. No caso das contínas, o movimento do sistema evoli ara otro movimento enqanto o arâmetro de controle varia de ma maneira qase acionária. As bifrcações descontínas odem ser erigosas, ois o sistema salta ara otro atrator, qe ode ar no infinito, enqanto o arâmetro de controle varia de ma maneira qase acionária. As solções eriódicas odem exibir, considerando aenas os casos encontrados no resente trabalho, os segintes tios de bifrcação: Bifrcação or qebra de simetria itchfork; Bifrcação or dobra cíclica nó-sela; Bifrcação or dlicação de eríodo Fli; Bifrcação de Hof secndária o de Neimark Hof.

174 74 As bifrcações do tio itchfork e nó-sela ocorrem qando m atovalor real deixa o círclo nitário através do onto, como ilstrado na Figra 5.a. A bifrcação or dlicação de eríodo ocorre qando o atovalor real deixa o círclo nitário através do onto, como indicado na Figra 5.b. Por fim, a bifrcação do tio Hof ocorre qando m ar de atovalores comlexos ltraassa o círclo de raio nitário, vide Figra 5.c. Im Im Im Re Re Re a b c Conjgado comlexo Figra 5.: Forma como os mltilicadores de Floqet odem ltraassar o círclo de raio nitário região de abilidade. A bifrcação do tio itchfork ode ser dividida em das categorias: sercrítica e sbcrítica. No caso de ma bifrcação sercrítica, tem-se localmente, de m lado do onto de bifrcação, m ramo de ontos fixos áveis e do otro lado, dois ramos de ontos fixos áveis e m ramo de ontos fixos instáveis, Figra 5.a. Em ma bifrcação sbcrítica, localmente tem-se, de m lado do onto de bifrcação, dois ramos de ontos fixos instáveis mais m ramo de ontos fixos áveis e, do otro lado, m ramo de ontos fixos instáveis, Figra 5.b. A bifrcação sercrítica é caracterizada or ser contína, enqanto a sbcrítica, or ser descontína o catastrófica. A bifrcação itchfork dá origem a das solções distintas e imlica em ma qebra de simetria da resosta. Qando a bifrcação é do tio nó-sela, o ramo de solções eriódicas áveis e o ramo das solções eriódicas instáveis são criados o drídos mtamente no onto de bifrcação, Figra 5.3. Esta sitação é basicamente descontína o catastrófica.

175 75 eslocamento o Velocidade P P' P'' eslocamento o Velocidade P Parâmetro de Controle Parâmetro de Controle a Sercrítica b Sbcrítica Figra 5.: Bifrcação do tio itchfork, sercrítica e sbcrítica. eslocamento o Velocidade P Parâmetro de Controle Figra 5.3: Bifrcação do tio nó-sela. A bifrcação or dlicação de eríodo acontece qando m mltilicador de Floqet deixa o círclo nitário através de. Na bifrcação, o ramo de solções áveis qe existia antes da bifrcação, torna-se m ramo de solções eriódicas instáveis aós a bifrcação. Um ramo de solções áveis de eríodo dobrado é criado se a bifrcação for sercrítica Figra 5.4a, enqanto m ramo de solções instáveis de eríodo dobrado é drído se a bifrcação for sbcrítica Figra 5.4b. a mesma forma qe na bifrcação do tio itchfork, a bifrcação sercrítica é contína e bifrcação sbcrítica descontína. eslocamento o Velocidade P P eslocamento o Velocidade P Parâmetro de Controle Parâmetro de Controle a Sercrítica b Sbcrítica Figra 5.4: Bifrcação or dlicação de eríodo, sercrítica e sbcrítica.

176 76 Finalmente a bifrcação do tio Hof de ma solção eriódica é caracterizada or introdzir ma nova freqüência a artir do onto de bifrcação. A nova solção ode ser eriódica o qase-eriódica, deendendo da relação entre a nova freqüência e a freqüência da solção qe existia antes da bifrcação. Novamente, a bifrcação ode ser sercrítica o sbcrítica. Em ambas as bifrcações o ramo das solções áveis eriódicas qe existia antes da bifrcação Hof contina como m ramo de solções instáveis eriódicas aós a bifrcação. Se a bifrcação for sercrítica, m ramo de solções eriódicas o qase-eriódicas áveis é criado, Figra 5.5a, mas, se a bifrcação for sbcrítica, m ramo de solções instáveis é drído, Figra 5.5b, o qe reresenta ma bifrcação descontína. eslocamento o Velocidade P eslocamento o Velocidade P Parâmetro de Controle Parâmetro de Controle Velocidade P eslocamento Velocidade P eslocamento Parâmetro de Controle Parâmetro de Controle a Sercrítica b Sbcrítica Figra 5.5: Bifrcação do tio Hof, sercrítica e sbcrítica. No qe diz reseito aos diagramas de bifrcação, tem-se qe as linhas contínas reresentam as solções áveis e as linhas tracejadas reresentam as solções instáveis. O escae reresenta a maior magnitde do arâmetro de controle qe ossí solção eriódica ável, o seja, o último onto eriódico ável antes da comleta erosão de todas as bacias de atração e a solção última corresonde à última solção ável com a variação do arâmetro de controle não necessariamente igal ao valor de escae. A Figra 5.6 mostra m tíico

177 77 diagrama de bifrcação dos sistemas aqi analisados onde são identificados os diversos tios de bifrcação. eslocamento o Velocidade licação - sercrítica P' Nó-sela B P P P4 Parâmetro de Controle Nó-sela A Solção última Escae Figra 5.6: Exemlo de diagrama de bifrcação Bacias de Atração e Integridade inâmica Em termos ráticos, as informações sobre os limites de abilidade e os diagramas de bifrcação não são sficientes ara avaliar a segrança de ma dada rtra. Assim, a fim de avaliar a segrança dos modelos, se analisa a evolção e a erosão das bacias de atração em fnção da variação da amlitde da força. A definição ara a bacia de atração aqi emregada é: o conjnto de todas as condições iniciais no esaço de fase qe são atraídas elos ontos fixos áveis do vale otencial ré-crítico qando t. A instabilidade é considerada como o escae do vale otencial ré-crítico. Na imossibilidade de mostrar as bacias de atração dos modelos acolados no esaço de fase, ois tais ertencem a m esaço de fase de qatro dimensões os modelos acolados ossem GL, todas as bacias de atração dos modelos acolados são mostradas através de seções transversais de das dimensões. Por exemlo, ma bacia de atração no lano obtida considerando θ & θ θ d θ / dt é ma seção transversal A avaliação da segrança e integridade de m sistema dinâmico não-linear é m assnto de grande imortância teórica e rática na engenharia. Uma forma de invigar a integridade dinâmica é através da análise da evolção das bacias de atração das diferentes solções. Assim, tem-se qe a segrança de m sistema não-linear mecânico o rtral deende não só da abilidade de sas

178 78 solções, mas também da integridade da bacia no entorno de cada solção, sendo qe a erosão total de ma dada bacia corresonde à falha do sistema. entre as formas roostas na literatra ara medir a integridade das bacias segras, a medida de integridade local LIM roosta or Soliman & Thomson 989 mostra-se como ma medida adeqada ara sistemas com vários gras de liberdade, ois ode ser facilmente obtida através da integração nmérica do esaço de fase de n dimensões sando-se m sistema de coordenadas esféricas. A medida de integridade local reresenta a distância mínima, na seção de Poincaré, do onto atrator até o limite da bacia de atração. Segndo Rega & Lenci 005, á definição tem a vantagem de não inclir qalqer região fractal e concentrar o do na arte comacta da bacia segra. 5.. Modelo de Agsti Com o intito de exlicitar os rinciais arâmetros do modelo de Agsti sob vibração forçada, se aresenta na Figra 5.7a ma vista serior do modelo com a direção da força F sinτ definida elo ânglo ϕ, jntamente com a reresentação das molas rotacionais k e k. Já a Figra 5.7b aresenta ma vista serior do modelo qando se considera ma imerfeição geométrica inicial, sendo a identificada elo ânglo φ, qe mede a inclinação inicial da colna com relação à osição vertical, e o ânglo ψ, qe define a osição da rojeção da colna no lano x y. sela sela senφ senφ cosψ k k y senφ y sela ϕ sela F senτ ψ senφ senφ sinψ x x a ireção da força e osição das molas. b Posição da extremidade serior. Modelo erfeito. Modelo com imerfeição geométrica. Figra 5.7: Vista serior ilstrativa do Modelo de Agsti.

179 79 Partindo das exressões.5, em termos das coordenadas generalizadas θ e θ, tem-se qe as eqações de movimento qe regem o comortamento do modelo de Agsti em vibração forçada são: && 4 4 θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 3 && θ cosθsenθ cosθ senθ cos θsenθ cosθ senθ 3 4 cosθsenθ cos θ senθ & θ cosθsenθ cos θ cosθ senθ cos θ & θ cosθ senθ cosθ senθ cos θ cos θsenθ cos θ cos θsenθ cosθ cos θ senθ 4 & θ & θ cos θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ ξ α & θ Ω λω θ φ Ω 4 4 cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 4 F cosϕsenτ cosθ cos θ cos θ cos θ 4 cos θ cos θ cos θ ξ Ω 4 cos θ cos θ cos θ & θ λω θ φ Ω cosθsenθ cos θ sen θ sen θ && 4 4 θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 3 && θ cosθsenθ cosθ senθ cos θsenθ cosθ senθ 3 4 cosθsenθ cos θ senθ & θ cos θ cosθsenθ cos θ cosθ senθ & θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ cos θ senθ cos θ cos θsenθ cos θ cosθsenθ 4 & θ & θ cosθ senθ cos θ cosθ senθ cos θ 4 4 cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 4 Fsenϕsenτ cosθ cos θ cos θ cos θ cosθ senθ cos θ sen θ sen θ 5.a 5.b As eqações de movimento 5. são adimensionalizadas em fnção de Pcr k l. Nessas eqações adotam-se as segintes variáveis axiliares: λ P Pcr, P mg, k k α, α ω λ ml k, k ml λ, ω

180 80 C i ml ξ iω, l ω g, F Fb l, τ ω e t, Ω ω e ω, Ω ω ω e Ω ω b ω. As arcelas referentes à excitação de base são dadas or: F cosϕsen ω t e v F senϕsen ω t b e b b e, onde e ω é a freqüência da excitação. Nessas exressões F b é a magnitde do deslocamento de base. Para a análise dinâmica em vibração forçada do modelo de Agsti considera-se, sem erda de generalidade, qe λ 0. 9, ω. 0 e ξ ξ Modelo Perfeito As das freqüências natrais do modelo de Agsti erfeito são mostradas na Tabela 5. vide Tabela 4.. Tem-se, ortanto, ma ressonância interna :. Tabela 5.: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti erfeito. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω Perfeito 3 3 A Figra 5.8 mostra, ara diferentes valores da direção da excitação de base, ϕ, as fronteiras de abilidade escae. Para cada valor da freqüência de excitação, Ω ω e ω, obtém-se a carga máxima qe a rtra ode sortar qando a força cresce qase aticamente, F esc. Cabe ressaltar qe, aós cada incremento de carga, se dá ma eqena ertrbação em todas as coordenadas a fim de ativar ossíveis acolamentos modais. Nota-se qe todas as crvas aresentam m comortamento semelhante, com a resença de das regiões críticas onde a carga de escae atinge mínimos locais. Estas regiões encontram-se à direita e à esqerda da freqüência natral ω e ω ω, região da ressonância fndamental. Não são observadas ressonâncias sb- o ser-harmônicas relevantes. O valor da carga de escae mínima deende sensivelmente do valor de ϕ, como mostra a Figra 5.9, onde se aresenta a variação da carga de escae em fnção de ϕ ara três valores da freqüência de excitação Ω. Este rocedimento nmérico não garante qe a carga obtida corresonda à carga onde ocorre a comleta erosão da bacia de atração. Isto só é verdadeiro qando o escae é

181 8 determinado, isto é, se não mais existem otras solções áveis no vale otencial ara o nível de carregamento considerado. Como mostrado or Soliman & Thomson 989, 99, se no rimeiro onto de bifrcação catastrófica nó-sela o sbcrítica existem otras solções no interior do vale otencial, o escae se torna indeterminado. eendendo das condições iniciais, se odem obter diferentes solções. Portanto, no resente rocedimento nmérico, deendendo do valor do incremento da carga e da ertrbação nas condições iniciais, ode-se ter o não escae em certas regiões. y x a Crvas de escae Valores mínimos vales b ireção da excitação F esc ϕ 0 e F esc ϕ 5 Figra 5.8: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Figra 5.9: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito.

182 8 O comortamento do modelo na região da ressonância fndamental é decorrente da interação entre os modos não-lineares de vibração ilstrados na Figra 4.7. Isto ode ser comreendido através das crvas de ressonância mostradas na Figra 5.0 ara F 0. 0 e diversos valores de ϕ. Qando ϕ 0 tem-se m comortamento tíico de m sistema com ganho de rigidez hardening. Ne caso o comortamento dinâmico é controlado elo modo nãolinear desacolado qe srge natralmente do modo linear no lano θ d θ / dt, Figra 4.7a, indeendente da ertrbação inicial, θ & θ Para ϕ já se observa ma eqena articiação da coordenada θ, em articlar em ma eqena região em torno de Ω / 3. Para ϕ 30 se observa a resença de m segndo ico de ressonância qe exibe m comortamento com erda de rigidez softening. Este comortamento se torna dominante à medida qe ϕ cresce, como se observa nos resltados obtidos ara ϕ 43 e ϕ 45. Este comortamento é ditado elo modo não-linear similar ilstrado na Figra 4.7b, qe aresenta m forte comortamento softening. A inflência dos modos nãolineares na resosta do sistema sob vibração forçada na região de ressonância fndamental fica mais clara observando a Figra 5., qe aresenta ma serosição das crvas de ressonância jntamente com as relações freqüênciaamlitde obtidas ara os modos não-lineares, Figra 4.7. A interação de dois modos não-lineares com comortamento distintos m hardening otro softening exlica a existência das das regiões críticas observadas na Figra 5.8, bem como a variação da carga de escae com ϕ. Nota-se ne exemlo qe, sem a identificação dos modos ramente não-lineares, imossíveis de se obter em ma análise linear clássica, seria difícil comreender e exlicar o comortamento do sistema na região de ressonância fndamental.

183 83 a ϕ 0 b ϕ c ϕ 30 d ϕ 43 e ϕ 45 Figra 5.0: Crvas de ressonância ara F 0.0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito.

184 84 Figra 5.: Crvas de ressonância e as relações freqüência-amlitde dos modos nãolineares, ara F 0.0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Uma das alicações dos modos não-lineares é a dedção de modelos de ordem redzida. Para cada modo não-linear, assim como na análise modal clássica, ode-se dedzir m oscilador não-linear com m gra de liberdade cjo movimento á contido em ma variedade bidimensional invariante no esaço de fase do sistema. Como visto no caítlo 4 item 4..4., tem-se qe, ara o modelo de Agsti erfeito, as variedades bidimensionais invariantes no esaço de fase do sistema são serfícies qe contêm m dos modos de vibração, o seja, o lano θ d θ / dt ϕ 0 o ϕ 80 e o lano θ d θ / dt ϕ 90 o ϕ 70 ara os modos não-lineares desacolados, e o lano axiliar d / dt ϕ 45 o ϕ 5 o v dv / dt ϕ 35 o ϕ 35 ara os modos nãolineares similares acolados. Inicialmente, da-se o comortamento acolado e desacolado do modelo de Agsti erfeito considerando ϕ 0, o seja, ara a direção de excitação coincidente com o modo não-linear desacolado no lano θ d θ / dt. Para o caso acolado, admite-se qe o sistema ode ser ertrbado nas coordenadas θ e & θ ertrbação transversal à variedade invariante do modo. Para o caso desacolado, imõe-se qe o sistema não ode ser ertrbado em tais direções, o seja, θ & θ A Figra 5. mostra as fronteiras de abilidade ara as das sitações. Verifica-se qe há ma grande diferença entre

185 85 as magnitdes de F esc nos dois casos e qe o acolamento modal redz drasticamente a magnitde da carga de escae. Figra 5.: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. Este fenômeno ode ser mais bem observado através do comortamento das crvas de ressonância à medida qe a magnitde da força amenta. Verifica-se na Figra 5.3 qe, ara eqenas magnitdes de F F 0. 0, a resosta acolada e desacolada aresentam o mesmo comortamento, ois na sitação acolada as coordenadas θ e & θ ermanecem nlas, não sendo ativada a interação modal. O seja, qalqer ertrbação em θ o & θ tende a zero. Já ara m carregamento ligeiramente serior F 0. 03, como mostra a Figra 5.4, o efeito do acolamento modal já começa a aarecer ara m eqeno trecho de freqüências de excitação. Como se observa na Figra 5.4a., srgem dois ontos de bifrcação no ramo ressonante da resosta e, entre es ontos, as coordenadas θ e & θ, qe eram nlas, são ativadas elo acolamento modal, como se observa na Figra 5.4a., tornando-se instável a solção desacolada. Verifica-se qe, qando maior é a magnitde da carga, maior é o trecho de freqüências de excitação com a resença de acolamento modal.

186 86 a Acolado b esacolado Figra 5.3: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. a. θ max x Ω a Acolado a. θ max x Ω b esacolado Figra 5.4: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.03, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito.

187 87 A grande diferença entre as magnitdes de F esc do sistema acolado e do desacolado, Figra 5., ode ser entendida, também, através dos digramas de bifrcação em fnção do arâmetro da carga F, ara diferentes valores de Ω. Nes, verifica-se qe, tanto ara o modelo acolado qando ara o modelo desacolado, há ma mdança significativa no comortamento do sistema qando se consideram ertrbações em θ o & θ, sendo qe tais mdanças exlicam os diversos vales obtidos nas Figras 5.8 e 5.. Na Figra 5.5 aresentam-se os diagramas de bifrcação considerando o sistema em ressonância fndamental, o seja, Ω / 3. Tanto ara o caso acolado como ara o desacolado verifica-se a resença inicial de ma solção de eríodo m, P, qe se torna instável através de ma bifrcação do tio itchfork sercrítica, dando origem a das novas solções de eríodo m, P e P. Logo aós a bifrcação, ocorre m amento acentado das amlitdes de vibração, o qe leva ao escae. Embora os diagramas aresentem a mesma seqüência de bifrcações, verifica-se qe a bifrcação no caso acolado acontece ara m valor bem inferior àqele do caso desacolado, o qe exlica a diminição da carga de escae. Este fenômeno ocorre devido à ativação do acolamento modal, o seja, as coordenadas θ e & θ deixam de ser nlas a artir do onto de bifrcação, Figra 5.5a., e crescem raidamente, levando o sistema ao escae. Este comortamento é ilstrado na Figra 5.6, onde se aresenta a resosta no temo ara magnitdes de carga ligeiramente inferior e serior à carga de bifrcação do modelo acolado. Por exemlo, assmindo como condições iniciais do sistema acolado as coordenadas ertrbadas de m onto fixo referente a m carregamento antes da bifrcação itchfork, F 0. 68, Figra 5.6a, ao se ertrbar a coordenada θ θ 0. 0 sa amlitde converge ara zero. Para ma força ligeiramente serior à carga de bifrcação, F 0.65, aós ma eqena ertrbação em θ, a coordenada cresce exonencialmente divergência e converge ara ma solção ável, onde se observa ma qebra de simetria, Figra 5.6b.

188 88 a. θ x F a Acolado F esc a. θ x F b esacolado F esc θ 0.0 Figra 5.5: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. a Antes - F 0.68 b eois - F 0.65 C.I , 0.666, 0.0, 0.0 C.I , 0.67, 0.0, 0.0 Figra 5.6: Resostas no temo ara dois níveis de carregamento, considerando diferentes condições inicias θ, dθ /dt, θ, dθ /dt, ara Ω /3 e ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. As bifrcações observadas no modelo acolado e desacolado variam com a freqüência de excitação Ω. Na Figra 5.7 são aresentados os resltados ara Ω 0.4 e Ω Em todos os casos o decréscimo da carga de escae F esc se deve à excitação da coordenada θ, o qe torna a solção desacolada instável.

189 89 a. Acolado - Ω 0.4 F esc a. esacolado - Ω 0.4 F esc.6370 b. Acolado - Ω 0.55 F esc 0.33 b. esacolado - Ω 0.55 F esc.60 Figra 5.7: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. A fim de se avaliar a segrança da rtra, aresenta-se m do da integridade das solções eriódicas ara ma variação aramétrica da amlitde da força, através das bacias de atração e da medida de integridade dinâmica LIM. Na Figra 5.8 aresentam-se as bacias de atração ara Ω com F 0.07 e F 0. 3, considerando tanto o caso acolado como o desacolado. Tem-se ma solção ável ara o caso acolado enqanto qe, ara o caso desacolado, se tem das solções áveis vide Figra 5.7b. Ne último caso, a área escra corresonde às condições iniciais qe convergem ara a solção P e a área clara corresonde às condições iniciais qe convergem ara a solção P. A área branca corresonde, em ambos os casos, ao escae região insegra. Observa-se qe o acolamento modal casa ma diminição considerável da região segra. A nvem de ontos ao redor das bacias indica o caráter fractal das fronteiras das bacias de atração.

190 90 a. Acoladoc a F 0.07 a. esacolado b. Acolado b. esacolado a F 0.3 Figra 5.8: Seções das bacias de atração no lano θ xdθ /dt, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.55, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. A Figra 5.9 aresenta ma comaração entre as bacias de atração do modelo acolado e desacolado, ara Ω / 3 e F 0.. Novamente, observa-se a grande redção da região segra em virtde do acolamento global. Na Figra 5.0 se odem observar as seções das bacias de atração no lano θ θ ara dois níveis de carregamento. Verifica-se na Figra 5.0a qe, ara m carregamento bem inferior ao valor da carga de bifrcação, Figra 5.5a, o sistema mostra ma grande gama de condições iniciais com θ 0. 0 qe levam a ma solção ável. Porém, ara m carregamento m oco inferior ao do onto de bifrcação, Figra 5.0b, o sistema aresenta oqíssimas condições iniciais

191 9 com θ 0. 0 qe convergem ara a solção ável. Ne caso, a bacia raticamente se resme aos ontos ao longo do eixo θ. a Acolado b esacolado Figra 5.9: Seções das bacias de atração no lano θ xdθ /dt, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, F 0., ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. a F 0. b F 0.6 Figra 5.0: Seções das bacias de atração no lano θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Por fim, a Figra 5. aresenta ma comaração entre as medidas de integridade local, LIM, da solção eriódica P do modelo acolado e do desacolado ara Ω / 3 e ϕ 0. O modelo desacolado aresenta ma crva de integridade com o erfil denominado or Thomson de over Cliff Thomson

192 9 & Stewart, 993; Soliman & Thomson, 989, 99, onde inicialmente a LIM decresce vagarosamente com o amento da carga e cai drasticamente ara zero qando se aroxima do valor crítico onto de bifrcação. Para o modelo acolado, além do decréscimo no valor inicial da medida de integridade, verificase ma diminição acentada desde o início, com ma qeda qase qe linear até certo onto a artir do qal a bacia se torna qase nla e tende lentamente a zero. Figra 5.: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. O otro ossível modelo desacolado localiza-se no lano axiliar d / dt o, alternativamente, no lano v dv / dt qando a direção da excitação é de ϕ 45, o seja, no lano das variedades de dois ontos de sela e do modo não-linear similar ver Caítlo 4. As fronteiras de escae considerando o modelo acolado e desacolado são aresentadas na Figra 5.. Observa-se qe o sistema desacolado não sofre inflência do modo nãolinear desacolado hardening, mas somente do modo não-linear acolado softening qe ertence a esse lano axiliar d / dt. Por isso a menor magnitde de F esc localiza-se à esqerda da ressonância fndamental. Já ara o caso acolado o sistema mostra a inflência dos dois modos, aarecendo, como no caso anterior, m segndo vale em torno de Ω 0. 4.

193 93 Figra 5.: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos F esc 0.07 acolado e desacolado. Na Figra 5.3 mostra-se, de ma forma mais clara, o comortamento dessas das regiões de ressonância através de ma análise minciosa dos diagramas de bifrcação, obtidos elo método da continação, com a variação de Ω. Com isto, tem-se ma visão clara da seqüência de bifrcações qe antecede o escae em cada caso. As seqüências de bifrcações qe caracterizam o rimeiro vale são características de m sistema com comortamento softening, enqanto as seqüências de bifrcações qe caracterizam o segndo vale são características de m sistema com comortamento hardening Thomson & Stewart, 993; Soliman & Thomson, 989, 99. Ne caso, verifica-se qe m modelo não-linear redzido com m gra de liberdade, baseado na teoria dos modos não-lineares, seria válido aenas na vizinhança do rimeiro vale. Tem-se assim qe a dedção de modelos redzidos deve ser feita com bastante cidado em sistemas qe aresentem ossíveis acolamentos entre os diversos modos não-lineares de vibração, como nesse caso onde há ma ressonância interna :.

194 94 a Acolado Valores mínimos vales F esc 0.07 e F esc b esacolado Valor mínimo F esc 0.07 Figra 5.3: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. A significativa diferença entre os valores de escae ara Ω 0. 4, Figra 5.3, ode ser comreendida observando os diagramas de bifrcação em fnção da magnitde da carga ara o sistema acolado e desacolado, Figra 5.4. O modelo acolado aresenta ma solção ável de eríodo m, P, qe desaarece em virtde de ma bifrcação nó-sela, dando origem a ma solção instável, qe, osteriormente, através de otra bifrcação nó-sela origina a solção ável de eríodo m, P, qe se torna instável através de ma bifrcação itchfork sbcrítica. Ne caso o escae ocorre no onto de sela A. Já o modelo desacolado ossi ma solção P qe ermanece ável até m elevado valor

195 95 do carregamento e torna-se instável através de ma bifrcação itchfork sercrítica, dando origem às solções áveis de eríodo m, P e P, ocorrendo o escae aós a erda de abilidade das solções. a Acolado F esc 0.70 b esacolado F esc Figra 5.4: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.4, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Para Ω / 3 verifica-se, através da Figra 5.5, qe os diagramas de bifrcação em fnção da magnitde da carga F, tanto do modelo acolado como do desacolado, aresentam o mesmo comortamento. Ne caso o modelo desacolado com GL ode ser sado ara se dar a dinâmica da rtra. a Acolado F esc b esacolado F esc Figra 5.5: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Com o intito de avaliar a segrança do modelo considerando ϕ 45, mostra-se na Figra 5.6 as seções das bacias de atração do modelo acolado nos lanos θ d θ / dt e θ θ ara Ω / 3 e magnitdes crescentes de F. Constata-se qe, com o amento de F, a bacia aresenta ma acentada erosão e ratificação em virtde de ma bifrcação global heteroclínica.

196 96 a F 0.0 b F 0. Figra 5.6: Seções das bacias de atração nos lanos θ xdθ /dt e θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. A Figra 5.7 aresenta as bacias de atração jntamente com as variedades dos ontos de sela ara valores crescentes de F obtidas com o modelo desacolado. As linhas escras reresentam as variedades áveis dos ontos de sela e as linhas claras reresentam as variedades instáveis dos ontos de sela. Observa-se qe ara F 0. já ocorre à bifrcação global e qe a comlexa fronteira e a acentada erosão da bacia de atração se devem ao número infinito de crzamentos entre as das variedades aós a bifrcação heteroclínica Thomson & Stewart, 993; Soliman & Thomson, 989 e 99. Cabe ressaltar qe as bacias no lano θ d θ / dt observadas na Figra 5.6 são as rojeções das bacias da Figra 5.7 a 45.

197 97 a. Bacia de atração a F 0.0 a. Fronteira de abilidade b. Bacia de atração b. Fronteira de abilidade b F 0. Figra 5.7: Seções das bacias de atração e variedades dos ontos de sela no lano xd/dt, modelo desacolado, ara Ω /3, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. Comletando a análise do modelo de Agsti erfeito com ϕ 45, aresentam-se das comarações das medidas de integridade LIM, entre o modelo acolado e o desacolado na Figra 5.8, ma ara Ω / 3 e otra ara Ω Verifica-se qe ara Ω / 3, Figra 5.8a, as medidas LIM aresentam o mesmo comortamento ara a solção P, corroborando o fato de qe o modelo de Agsti ode ser desacolado nesse lano axiliar d / dt nessa faixa de freqüência. Já ara Ω 0. 4, observa-se m comortamento diverso entre as medidas de integridade LIM do modelo acolado e desacolado. Verifica-se qe a

198 98 comleta comreensão do modelo é necessária ara evitar resltados errôneos, ois, como se verifica na Figra 5.3, o acolamento modal gera regiões de instabilidade extremamente erigosas no modelo acolado qe não aarecem no modelo desacolado. Isto indica, ainda, qe o modelo desacolado não reresenta com fidelidade o modelo acolado em toda a faixa de freqüência considerada. a Ω /3 b Ω 0.4 Figra 5.8: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito. O comortamento do modelo de Agsti erfeito ara valores de ϕ entre 0 e 45, lanos qe não odem ser desacolados, é dado a segir. Na Figra 5.9 aresenta-se a fronteira de escae no entorno da ressonância fndamental, bem como m maeamento de todas as bifrcações locais qe ocorrem antes do escae considerando ϕ.

199 99 Figra 5.9: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara ϕ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito valores mínimos vales F esc e F esc Observa-se qe o comortamento dinâmico do modelo é bastante comlexo, exibindo ma grande variedade de bifrcações, inclindo bifrcações do tio Hof e solções caóticas dentro do vale otencial, como ilstra o diagrama de bifrcação ara ϕ e Ω 0. 3, Figra Figra 5.30: iagramas de bifrcação, modelo acolado, ara Ω 0.3, ϕ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito F esc Os resltados ara diversos valores de ϕ entre 0 e 45, direções qe não odem ser desacolados, mostram ma grande riqeza de fenômenos orindos do acolamento dos diversos modos de vibração não-lineares, indicando ser o do da dinâmica não-linear de rtras com forte acolamento modal ma romissora área de esqisa. Por otro lado, a integridade da classe de rtras é bastante redzida em virtde do acolamento, levando a ma severa e contína degradação da bacia desde o início do carregamento, como demonstram

200 00 os resltados aresentados na Figra 5.3, onde se aresenta a variação da medida de integridade dinâmica LIM da solção P ara diversos valores de ϕ. Figra 5.3: Variação da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω /3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti erfeito Inflência da Rigidez Relativa das Molas Para se dar o comortamento do modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas, consideram-se dois valores de α qe geram além da ressonância fndamental, ressonância interna : α. 3 e ressonância interna :3 α. 8. As freqüências natrais ara es valores de α são aresentadas na Tabela 5.. As fronteiras de escae ara o modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas são aresentas na Figra 5.3 no lano F Ω ara diferentes valores de ϕ. esc Tabela 5.: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω α α.8 3

201 y 0 5 x 45 a. Crvas de escae Valores mínimos vales F esc ϕ 45 e F esc ϕ 5 a α.3 ressonância interna : a. ireção da excitação y 0 5 x 45 b. Crvas de escae Valores mínimos vales b. ireção da excitação F esc 0.00 ϕ 90 e F esc ϕ 0 b α.8 ressonância interna :3 Figra 5.3: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Verifica-se na Figra 5.3a, obtida ara α. 3, qe existem das regiões rinciais de ressonância, ma em torno de ω e ω e a segnda na vizinhança de ω e ω. Esta segnda região, qe corresonde à ressonância interna : e ω ω, aresenta as menores cargas de escae ara a maioria dos valores de ϕ. Na Figra 5.3b, ara α. 8, verifica-se qe a região mais crítica ocorre na vizinhança da freqüência natral ω e ω, qe corresonde à ressonância interna :3 ω e 3ω. Estes resltados mostram qe a existência de ressonância interna é extremamente imortante na abilidade de m sistema sob vibração forçada.

202 0 Comarando-se as das figras, verifica-se qe, na rimeira região de ressonância, ω e ω, à medida qe α amenta, o valor de F esc amenta rogressivamente. Na Figra 5.33 mostra-se, através de m gráfico em coordenadas olares, a variação de F esc com a direção da excitação ϕ ara α.3 e ω e ω Figra 5.33a e ω e ω Figra 5.33b. Os resltados são comarados com aqeles obtidos ara α. Verifica-se qe a direção da excitação ϕ tem ma grande inflência na carga de escae. a Ressonância fndamental ω e ω b Ressonância fndamental ω e ω Figra 5.33: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Pela Figra 5.3, constata-se qe as magnitdes mais baixas de F esc, ara qalqer ϕ, ão localizadas ligeiramente à direta das ressonâncias fndamentais ω ω e e e ω ω. Isso se deve ao caráter da relação freqüência-amlitde dos dois modos não-lineares desacolados qe, como mostrado na Figra 4., são do tio hardening. Isto se ode observar de forma clara através da Figra 5.34 qe mostra as crvas de ressonância ara α. 3 ressonância interna :, F 0. 0 e diversos valores de ϕ nas das regiões rinciais de ressonância jntamente com as relações freqüência-amlitde. Para esse nível de carregamento F 0. 0 a inflência dos modos não-lineares acolados é mito eqena,

203 03 orém, ara níveis seriores de carregamento, as crvas de ressonância começam a aresentar icos referentes a tais modos. Figra 5.34: Crvas de ressonância ara F 0.0, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Com base nos resltados do Caítlo 4, tem-se qe o sistema imerfeito ode ser facilmente desacolado nos lanos qe contêm os modos não-lineares similares desacolados, o seja, nos lanos θ d θ / dt e θ d θ / dt, qando a excitação coincide com m des lanos. Na Figra 5.35a comara-se o comortamento do sistema acolado com o desacolado ara ϕ 0, considerando α. 30. Já na Figra 5.35b mostra-se o comortamento acolado e desacolado, considerando ϕ 90 e α. 3. Verifica-se, como no modelo erfeito, ma grande diferença nos valores de F esc entre o modelo acolado e o desacolado. Uma melhor comreensão dos dois vales qe aarecem na Figra 5.3a, associados às das regiões rinciais de ressonância e qe aresentam as menores magnitdes de F esc, ode ser obtida com m maeamento de todas as bifrcações qe ocorrem antes do escae nos diagramas de bifrcação obtidos em fnção da magnitde da excitação F ara cada valor da freqüência de excitação Ω. Na Figra 5.36a são aresentados os resltados ara α. 3 e ϕ 75 na região de ressonância fndamental da rimeira freqüência e na Figra 5.36b ara α. 3 e ϕ 5 na região de ressonância associada à segnda freqüência. Verifica-se qe as bifrcações são características de sistemas com ganho de rigidez. Nota-se

204 04 também qe o modelo imerfeito aresenta m comortamento dinâmico bem mais simles qe o modelo erfeito, ocorrendo ocas bifrcações antes do escae e aenas róximo ao fndo do vale F esc mínimo. Como ilstração, mostra-se na Figra 5.37 o diagrama de bifrcação ara α. 3, ϕ 45 e Ω /3. O diagrama de bifrcação mostra qe, na condição, o sistema aresenta ma solção de eríodo m, P, qe ermanece ável até a bifrcação itchfork sbcrítica. a ϕ 0 Valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado b ϕ 90 Valores mínimos F esc 0.06 acolado e F esc desacolado Figra 5.35: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

205 05 a ϕ 75 Valor mínimo vale F esc b ϕ 5 Valor mínimo vale F esc Figra 5.36: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Figra 5.37: iagramas de bifrcação, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas F esc 0.35.

206 06 Avaliando a evolção das bacias de atração à medida qe F cresce, Figra 5.38, verifica-se a resença de ma acentada erosão ara eqenos níveis de carregamento. a F 0.0 b F 0.08 Figra 5.38: Seções das bacias de atração nos lanos θ xdθ /dt, θ xdθ /dt e θ xθ, modelo acolado, ara Ω /3, ϕ 45, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Finalmente, mostra-se na Figra 5.39 a variação da medida de integridade dinâmica local LIM da solção P dos modelos imerfeitos acolados, considerando Ω / 3 e α. 3. Com exceção do lano ϕ 90 or simetria também ϕ 70, as crvas de integridade aresentam m comortamento similar, o seja, com ma erosão inicial mais acentada e deois mais save até o valor de escae, qe mda ligeiramente se valor de caso ara caso. Já a crva de integridade ara ϕ 90 aresenta inicialmente ma erosão save e qase linear com ma qeda brsca do LIM qando o valor do carregamento aroxima-se do valor crítico over cliff.

207 07 Figra 5.39: Variação da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω /3, α.3, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti considerando a inflência da rigidez relativa das molas Modelo com Imerfeição Geométrica O comortamento do modelo de Agsti com imerfeição geométrica é aresentado na Figra Adota-se ma colna com inclinação inicial φ e diversos valores do ânglo qe define a rojeção da colna no lano x y, ψ. Na Tabela 5.3 são aresentadas as freqüências natrais ara ψ 0 e ψ 45. Tabela 5.3: Freqüências natrais ara λ 0.9. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω φ e ψ φ e ψ Considerando φ e ψ 0 imerfeição geométrica na direção do eixo x, Figra 5.40a, verifica-se qe a região crítica se encontra no entorno das ressonâncias fndamentais do sistema, o seja, ara ω ω ω ω. Entretanto e e e das otras regiões de ressonâncias são observadas na vizinhança da região dos ser-harmônicos de ordem dois, ω ω ω ω. O mesmo se observa ara e e e φ e ψ 45 imerfeição nas das direções, Figra 5.40b.

208 08 Imerfeição geométrica y 0 5 x 45 a. Crvas de escae Valores mínimos vales F esc ϕ 45 e F esc ϕ 0 a φ e ψ 0 a. ireção da excitação Imerfeição geométrica y x b. Crvas de escae Valores mínimos vales b. ireção da excitação F esc ϕ 5 e F esc ϕ 0 b φ e ψ 45 Figra 5.40: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Na Figra 5.4 tem-se, em coordenadas olares, a variação de F esc com a direção da excitação ϕ ara as regiões das ressonâncias fndamentais ara ma inclinação da colna φ e diversos valores do ânglo ψ. O acolamento modal reslta máximo ara ψ 45,35, 5, 35, qando se verificam as menores magnitdes de F esc. Verifica-se também qe há ma grande variação de F esc com a direção da excitação ϕ e qe a variação deende do valor de ψ.

209 09 a Ressonância fndamental ω e ω b Ressonância fndamental ω e ω Figra 5.4: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. As crvas de ressonância considerando a imerfeição geométrica com φ, ψ 0 e diversos valores de ϕ são mostradas na Figra 5.4, onde se tem a variação de θ e max max θ com Ω. Verifica-se qe o modelo imerfeito aresenta ma interação modal entre o modo não-linear desacolado, lano θ d θ / dt, Figra 4.5, e o modo não-linear acolado, Figra 4.6, sendo ambos do tio hardening. Figra 5.4: Crvas de ressonância ara F 0.0, φ, ψ 0, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica.

210 0 A Figra 5.43 mostra as crvas de ressonância ara φ, considerando ψ 30 Figra 5.43a e ψ 45 Figra 5.43b e diversos valores de ϕ. Em articlar, ara ψ 45, verifica-se a interação entre os modos não-lineares acolados, modo similar no eixo axiliar d / dt Figra 4.3 e o modo nãosimilar, Figra 4.3, sendo ambos do tio softening, o seja, com erda de rigidez. a ψ 30 b ψ 45 Figra 5.43: Crvas de ressonância ara F 0.0, φ, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. O do dos modos de vibração, caítlo 4, mostra qe no caso de imerfeição geométrica com ψ 45, o sistema ode ser desacolado no lano axiliar d / dt através do modo não-linear similar contido ne lano qando

211 ϕ 45. Ne contexto, aresenta-se a segir ma comaração entre o modelo acolado e o desacolado ara φ, ψ 45 e ϕ 45 ressonâncias fndamentais, Figra 5.44., nas regiões das a Acolado Valor mínimo vale F esc b esacolado Valor mínimo vale F esc Figra 5.44 Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 45, φ, ψ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Verifica-se qe o sistema aresenta o mesmo comortamento ara os dois casos, acolado e desacolado, diferente do modelo erfeito onde o efeito da interação modal é sentido de forma mais forte nesse lano, ϕ 45, Figra 5.3. Porém as magnitdes de F esc se redzem consideravelmente qando se comara

212 as fronteiras de escae entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45, Figra Mostra-se assim qe, como no caso ático, a carga de escae aresenta ma grande sensibilidade a imerfeições geométricas. Por exemlo, ara Ω 0. 5, o valor de F esc decresce de ara , o seja, há ma redção de 80.94% no valor de F esc. Figra 5.45: Comaração do comortamento na região de ressonância fndamental entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45, modelo acolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Valores mínimos F esc erfeito e F esc imerfeito. Na Figra 5.46 são comaradas as seções das bacias de atração no lano d / dt ara o modelo desacolado considerando o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45 ara ϕ 45, Ω e valores crescentes de F. Verifica-se a grande erosão das bacias em virtde da imerfeição geométrica e do incremento na magnitde da carga.

213 3 a. Modelo erfeito a. Modelo imerfeito φ e ψ 45 a F 0.0 b. Modelo erfeito b. Modelo imerfeito φ e ψ 45 b F 0.05 Figra 5.46: Seções das bacias de atração no lano xd/dt, modelo desacolado, ara Ω 0.306, ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti. A medida de integridade LIM ara o modelo com imerfeição geométrica, considerando φ, ψ 45, ϕ 45 e Ω , é aresentada na Figra Verifica-se qe o modelo acolado e o desacolado mostram o mesmo comortamento. Portanto, nessa sitação, o sistema ode ser desacolado. Uma comaração entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45 ara ω ω, Figra 5.48, mostra claramente o efeito e negativo da imerfeição geométrica na caacidade de carga e integridade do sistema, ois se observa qe a medida LIM se redz consideravelmente na resença da imerfeição.

214 4 Figra 5.47: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado e desacolado, ara Ω 0.306, ϕ 45, φ, ψ 45, λ 0.9 e ξ ξ 0.0. Modelo de Agsti com imerfeição geométrica. Figra 5.48: Comaração da medida de integridade local da bacia de atração, LIM, na ressonância fndamental entre o modelo erfeito e com imerfeição geométrica φ e ψ 45, modelo acolado, ara ϕ 45, λ 0.9 e ξ ξ Modelo de Torre Estaiada Mostram-se na Figra 5.49 os rinciais arâmetros do modelo de torre aiada sob vibração forçada. A Figra 5.49a aresenta ma visão serior do modelo, exlicitando a direção da excitação de base F sinτ dada elo ânglo ϕ, jntamente com a osição das molas k, k e k 3 e a localização ilstrativa dos ontos de sela do modelo erfeito. Na Figra 5.49b mostra-se a configração do

215 5 modelo imerfeito, sendo a imerfeição geométrica inicial definida, como no caso anterior, elos ânglos φ e ψ. k sela k sela 0 k3 x 0 0 ϕ sela k y F senτ senφ 0 senφ senφ cosψ 0 senφ senφ senψ k3 x ψ k y a ireção da força e osição das molas. b Posição da extremidade serior. Modelo erfeito Modelo com imerfeição geométrica. Figra 5.49 Vista serior ilstrativa do modelo de torre aiada. Partindo das exressões.5, em termos das coordenadas generalizadas e, tem-se qe as eqações de movimento qe regem o comortamento do modelo de torre aiada em vibração forçada aresentadas na seqüência. Considera-se, como no Caítlo 4, qe k k3, k υk e k υ K. As eqações são adimensionalizadas em fnção da carga crítica do sistema erfeito, Pcr Kl / 4. Além disso, definem-se as segintes variáveis axiliares: υ α / 4sin, λ P / Pcr, P mg, K / ml ω / λ, Ci ml ξ iω, F Fb l, Ω ω e ω, Ω ω ω, Ω ω ω, τ ω e t e ω g / l, sendo F b a magnitde do deslocamento de base e ω e a freqüência da excitação. As arcelas referentes à excitação de base são dadas or: F cosϕsen ω t v b ω t F senϕsen. b e b b e Para a análise dinâmica em vibração forçada do modelo de torre aiada considera-se qe λ 0. 7, 0, ω. 0 e ξ ξ 0. 0 constantes de amortecimento. e

216 sen cos cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen F Ω Ω Ω τ ϕ ξ λ α & & & & & && && 5.a sen sen sen 4 cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen cos F Ω Ω Ω Ω Ω τ ϕ ξ λ α λ λ α & & & & & && && 5.b

217 Modelo Perfeito As freqüências natrais do modelo de torre aiada erfeito são aresentadas na Tabela 5.4. As fronteiras de escae são aresentadas na Figra 5.50 ara diversos valores de ϕ. Como no modelo de Agsti erfeito, o modelo de torre aiada erfeito á em ressonância interna :, ois ω ω, e conseqüentemente esse efeito torna natralmente a região no entorno da freqüência ω e ω ω a mais crítica. Contdo ma sitação similar é verificada na região de ressonância ser-harmônica de ordem dois ω e ω ω. Tabela 5.4: Freqüências natrais ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada erfeito. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω Perfeito y x 45 a Crvas de escae Valores mínimos vales b ireção da excitação F esc ϕ 0 45 e F esc ϕ 90 Figra 5.50: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. A variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ gráfico em coordenadas olares ara três valores da freqüência de excitação, Ω ω ω, ω ω, é mostrada na Figra 5.5. Verifica-se qe as menores e, 3 magnitdes de escae ocorrem qando o sistema á na ressonância fndamental.

218 8 Figra 5.5: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. As magnitdes mais baixas de F esc ão localizadas no entorno da ressonância fndamental ω e ω ω. Na região observa-se ma forte interação entre os modos de vibração não-lineares. Os modos não-lineares resentes no modelo de torre aiada erfeito são: a m modo similar com comortamento softening Figras 4.46 acolado e 4.49 desacolado, b m modo instável acolado gerado elos ontos de sela Figra 4.47 e c m modo não-similar acolado com comortamento hardening Figra Isto é ilstrado, de ma forma clara, na Figra 5.5, qe mostra as crvas de ressonância ara F 0. 0 jntamente com as relações freqüência-amlitde dos modos relevantes associados a e caso. Este comortamento também ode ser observado na Figra 5.53, qe mostra as crvas de ressonância ara ϕ 0 e valores crescentes da magnitde do carregamento.

219 9 a ϕ 0 b ϕ 45 Figra 5.5: Crvas de ressonância ara F 0.0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. Figra 5.53: Crvas de ressonância ara valores crescentes de F, ϕ 0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. Retomando as informações da análise dinâmica em vibração livre, caítlo 4, verifica-se qe o modelo de torre aiada erfeito ode ser desacolado nos

220 0 lanos qe contêm as molas lineares, o seja, no lano d / dt ϕ 90 o ϕ 70, modo não-linear desacolado, e nos lanos axiliares d / dt localizados o em ϕ 30 o em ϕ 50 o em ϕ 0 o em ϕ 330, modos não-lineares similares acolados. Comara-se, inicialmente, o comortamento acolado e o desacolado do modelo ara ϕ 90, lano qe contém m dos ontos de sela e o modo nãolinear similar desacolado. As fronteiras de escae ara a sitação são aresentadas na Figra 5.54, onde se observa ma diferença entre os dois modelos em diversas regiões, sendo a carga de escae obtida com o modelo acolado igal o menor qe a do modelo desacolado. Figra 5.54: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. Pode-se observar e fenômeno através das crvas de ressonância aresentadas nas Figras 5.55 e Para F 0. 00, o modelo acolado e o desacolado aresentam o mesmo comortamento e são dominados elo modo desacolado softening no lano d / dt, Figra Contdo à medida qe F cresce, cresce a inflência do acolamento modal, como mostra a Figra 5.56 obtida ara F 0. 0, ocorrendo à interferência do modo não-similar hardening. Ne caso srgem ao longo do ramo ressonante da resosta dois ontos de bifrcação. Entre es dois ontos o deslocamento é diferente de zero,

221 indicando qe ne trecho o modelo desacolado não é mais caaz de descrever o comortamento do sistema dinâmico. a Acolado b esacolado Figra 5.55: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.00, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. a. max x Ω a Acolado a. max x Ω b esacolado Figra 5.56: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito.

222 Como no modelo de Agsti, Figra 5.4a., o acolamento modal no modelo de torre aiada mda o comortamento do diagrama de bifrcação da coordenada, Figra 5.56a., ois sa ativação faz com qe as coordenadas e &, qe eram nlas, interajam com o sistema, Figra 5.56a. ara ma eqena faixa de freqüência onde o acolamento a resente. a Acolado Valores mínimos vales F esc e F esc b esacolado Valor mínimo vale F esc Figra 5.57: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. As diferenças entre as cargas de escae, F esc, do modelo acolado e do desacolado também odem ser comreendidas através dos diagramas de

223 3 bifrcação. Uma comaração das fronteiras de escae entre o modelo acolado e o desacolado é aresentada na Figra 5.57, através de ma análise detalhada de todas as bifrcações qe ocorrem no entorno da região da ressonância fndamental, considerando ϕ 90. Como se ode observar, tal como no modelo de Agsti erfeito, aarece m novo vale associado a otro modo de vibração não-linear, o qe, novamente, comromete o modelo não-linear redzido com m gra de liberdade na região. A seqüência de bifrcações qe caracteriza o rimeiro vale é característica de m sistema com comortamento softening modo não-linear similar desacolado, Figra 4.46, enqanto a seqüência de bifrcações associada ao segndo vale é característica de m sistema com comortamento hardening modo não-linear não-similar acolado, Figra Para comreender melhor o efeito do acolamento modal, aresentam-se na Figra 5.58 os diagramas de bifrcação do modelo acolado e desacolado ara ω e ω e ϕ 90. a. x F a Acolado F esc a. x F b esacolado F esc 0.33 Figra 5.58: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito.

224 4 O caso desacolado, Figra 5.58b, mostra ma solção eriódica de eríodo m, P, qe se torna instável através de ma bifrcação or dlicação de eríodo, dando origem a ma solção de eríodo dois, P. Já o sistema acolado, Figra 5.58a, aresenta a solção eriódica P, qe é semelhante àqela do sistema desacolado até o onto de bifrcação itchfork sercrítico, onde srgem das solções de eríodo m, P e P, qe ermanecem áveis até o escae. Observa-se qe o acolamento modal mda a seqüência de bifrcações, e dimini drasticamente a carga de escae. A segir, comara-se o comortamento do sistema acolado com o do desacolado considerando ϕ 30, o seja, no lano das variedades de m dos ontos de sela e do modo não-linear similar acolado Caítlos 3 e 4. As fronteiras de escae ara ambos os casos são aresentadas na Figra Novamente, verifica-se a existência de diferenças entre as cargas de escae obtidas elos dois modelos em várias regiões. Figra 5.59: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. É interessante observar, Figra 5.60, a grande diferença entre as crvas de ressonância do caso acolado e do desacolado ara F No caso desacolado, Figra 5.60b, o sistema aresenta aenas a inflência do modo similar com comortamento softening. Já na sitação acolada, Figra 5.60a, o sistema mostra ma forte interação modal entre os modos não-lineares acolados,

225 5 modo similar acolado softening e modo não-similar hardening, jntamente com o modo instável acolado associado ao onto de sela Figra a. max x Ω a Acolado a. max x Ω b esacolado Figra 5.60: Crvas de ressonância, modelo acolado e desacolado, ara F 0.0, ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. A Figra 5.6 mostra ma comaração das fronteiras de escae entre o modelo acolado e o desacolado, através de ma análise detalhada de todas as bifrcações qe ocorrem em torno da região da ressonância fndamental ω ω ω. Observa-se m comortamento semelhante àqele mostrado na e Figra 5.57, sendo qe a jstificativa da resença dos dois vales no caso acolado é a mesma daqela sitação.

226 6 a Acolado Valores mínimos vales F esc e F esc b esacolado Valor mínimo vale F esc Figra 5.6: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. Os diagramas de bifrcação ara ω e ω e ϕ 30, aresentados na Figra 5.6, mostram qe o modelo acolado exibe inicialmente ma solção de eríodo m, P, qe logo se torna instável através de ma bifrcação itchfork, dando origem a das novas solções de eríodo m, P e P. Já o modelo desacolado exibe inicialmente ma solção de eríodo m, qe se torna instável através de ma bifrcação or dlicação de eríodo.

227 7 a. x F a Acolado F esc a. x F b esacolado F esc Figra 5.6: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito. a F 0.0 b F 0.04 Figra 5.63: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, modelo acolado, ara Ω , ϕ 30, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito.

228 8 Na Figra 5.63 mostram-se as bacias de atração ara o modelo acolado na ressonância fndamental ω e ω ara ϕ 30, com valores crescentes da magnitde da carga. Como a bifrcação na sitação ocorre ara ma magnitde mito eqena, verifica-se qe ara F 0. 0 o sistema já aresenta das bacias referentes às solções de eríodo m, P e P, Figra 5.63a. Aós m eqeno incremento no carregamento, F 0. 04, nota-se ma grande erosão da bacia de atração das das solções, sendo as constitídas or ma nvem difsa de ontos. Ne caso a medida de integridade é raticamente zero. O comortamento do modelo nas demais direções de excitação, ϕ, ara as qais não é ossível se obter modelos desacolados, é dado a segir. Para o modelo com ϕ 0 observa-se na região em torno da ressonância fndamental, Figra 5.64, a resença de dois vales ligados a resença de diferentes modos de vibração não-lineares, cada vale caracterizado or diferentes tios de bifrcação. Como nas Figras 5.57a e 5.6a, orém de forma mais intensa, essa sitação mostra qe a seqüência de bifrcações no rimeiro vale mostra ma característica softening modos não-lineares similares, desacolado e acolado, enqanto a seqüência de bifrcações no segndo vale aresenta ma característica hardening modo não-linear não-similar acolado. Figra 5.64: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara ϕ 0, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada erfeito valores mínimos vales F esc e F esc

229 Inflência da Rigidez Relativa das Molas Para o modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas decidi-se, como no modelo de Agsti, dar o comortamento do sistema ara valores de α qe façam com qe o sistema eja em ressonância interna. As freqüências natrais são mostradas na Tabela 5.5 ara α 0. 76, ressonância interna :3, e α 0. 8, ressonância interna :. A Figra 5.65 mostra as fronteiras de escae ara es dois casos. Observa-se em ambos os casos qe as fronteiras de escae são bastante comlexas, aresentando diversos mínimos locais. Para α a região mais crítica ocorre em torno de ω ω 3ω e e ara α 0. 8 a região mais crítica ocorre em torno de ω e ω ω. Otro comortamento imortante a ser observado é a grande variação das crvas com o valor da direção da excitação, ϕ, com mdanças notáveis no número e localização dos mínimos locais. Na Figra 5.66 aresentam-se as crvas de ressonância jntamente com as relações freqüência-amlitde dos modos de vibração não-lineares ara α 0. 8 e F Para a região de ressonância verifica-se a interação modal entre os modos não-lineares acolados Figra 4.53 jntamente com o modo instável desacolado Figra 4.5 gerado ela sela resente na seção de Poincaré da Figra Este modo instável gera m ico de solções instáveis, Figra 5.66 lano max Ω. O início do trecho instável é comandado elos modos nãolineares acolados. Tabela 5.5: Freqüências natrais ara α <, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω α α

230 30 y x 45 a. Crvas de escae. Valores mínimos vales a. ireção da excitação F esc ϕ 90 e F esc ϕ 0 a α 0.76 ressonância interna :3 90 y x 45 b. Crvas de escae. Valores mínimos vales b. ireção da excitação F esc ϕ 90 e F esc ϕ 45 b α 0.8 ressonância interna : Figra 5.65 Fronteiras de abilidade escae ara α <, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Figra 5.66: Crvas de ressonância ara F 0.0, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

231 3 O entendimento dos vales resentes na Figra 5.65 e a inflência da direção da excitação ϕ odem ser obtidos através de ma análise criteriosa dos diagramas de bifrcação em fnção do arâmetro da carga F ara diferentes valores de Ω. Na Figra 5.67 observam-se os resltados ara α 0. 8 na região de ressonância fndamental da segnda freqüência, considerando das direções de carregamento, a saber: ϕ 45 e ϕ 90. a ϕ 45 Valor mínimo vale F esc b ϕ 90 Valor mínimo vale F esc Figra 5.67: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

232 3 Nota-se qe há variações no cenário de bifrcações qe exlicam a variação de comortamento com ϕ. eve-se observar na Figra 5.67b qe, ara ϕ 90, há ma faixa de freqüências onde a carga de escae se redz raticamente a zero em virtde de ma bifrcação or dlicação de eríodo sbcrítica qe ocorre ara eqenos valores de F, mostrando ser a ma sitação extremamente erigosa. Já ara ϕ 45, Figra 5.67a, tem-se na região ma bifrcação or dlicação de eríodo sercrítica, o qe eleva a caacidade de carga do sistema, como mostra a Figra 5.68 através do diagrama de bifrcação ara α 0. 8, ϕ 45 e ω e ω Ω Figra 5.68: iagrama de bifrcação ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas F esc O rocesso de erosão da bacia de atração ara e exemlo é ilstrado na Figra 5.69 e a variação da medida de integridade dinâmica LIM, na Figra Verifica-se qe a solção P desaarece sbitamente onde nasce à solção de eríodo dois, P, qe inicialmente aresenta o mesmo nível de integridade da solção P. Porém a integridade se redz de forma qase linear com o amento da magnitde do carregamento até atingir o onto crítico qe corresonde à comleta erosão da bacia de atração.

233 33 a F b F 0.0 Figra 5.69: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, modelo acolado, ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Figra 5.70: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω 0.88, ϕ 45, α 0.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Estda-se, agora, a inflência da rigidez relativa das molas ara valores de α >. São consideradas das sitações, a saber: α. 8, ressonância interna :, e α. 4, ressonância interna :3. As freqüências natrais ão aresentadas na Tabela 5.6 e as fronteiras de escae na Figra 5.7. Qando

234 34 α.8 tem-se qe os menores valores de F esc encontram-se na região em torno de ω e 3ω, e ara α. 4 a sitação crítica ocorre na região em torno de ω e 4ω. Tabela 5.6: Freqüências natrais ara α >, λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω α α y x 45 a. Crvas de escae. Valores mínimos vales a. ireção da excitação F esc ϕ 45 e F esc ϕ 0 a α.8 ressonância interna : y x 45 b. Crvas de escae. Valores mínimos vales b. ireção da excitação F esc ϕ 0 e F esc ϕ 0 b α.4 ressonância interna :3 Figra 5.7: Fronteiras de abilidade escae ara α >, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas.

235 35 O valor da carga de escae mínima deende sensivelmente do valor de ϕ, como mostra a Figra 5.7, onde se aresenta a variação da carga de escae em fnção de ϕ ara três valores de α α 0.8,.0,. 8 nas rinciais regiões de ressonâncias fndamentais. Nota-se qe, em ambos os casos, a menor carga de escae, indeendente do valor de ϕ, ocorre ara o modelo erfeito α. 0. Verifica-se ara a ressonância fndamental, ω e ω, qe ara α 0. 8 os maiores valores de escae ão na direção do segndo gra de liberdade, ois a rigidez associada ao segndo gra de liberdade é maior qe aqela associada ao rimeiro gra de liberdade. Já ara α. 8 verifica-se exatamente o contrário, ois a rigidez associada ao rimeiro gra de liberdade é maior. Na ressonância fndamental da segnda freqüência observa-se qe todos os valores de escae se redzem, em virtde da ressonância interna :. a Ressonância fndamental ω e ω b Ressonância fndamental ω e ω Figra 5.7: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. As crvas de ressonância ara α. 8 e F 0. 0, Figra 5.73, mostram qe o sistema sofre ma interação modal entre o modo similar desacolado, softening Figra 4.56, com os dois modos não-lineares acolados Figra 4.57.

236 36 Figra 5.73: Crvas de ressonância ara F 0.0, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Pelas informações obtidas nos Caítlos 3 e 4, verifica-se qe, ara valores de α >, o sistema ode ser desacolado qando ϕ 90 o ϕ 70. Assim, aresenta-se na Figra 5.74 o comortamento acolado e desacolado do modelo considerando a inflência da rigidez relativa das molas ara α. 8, considerando ϕ 90. Observa-se qe os dois modelos aresentam raticamente o mesmo resltado, exceto em torno de ω e ω ω. A diferença entre os dois modelos ode ser entendida através dos diferentes cenários de bifrcação observados na Figra Figra 5.74: Fronteiras de abilidade escae, modelo acolado e desacolado, ara ϕ 90, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando

237 37 a inflência da rigidez relativa das molas valores mínimos F esc acolado e F esc desacolado. a Acolado Valor mínimo vale F esc b esacolado Valor mínimo vale F esc 0.43 Figra 5.75: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado e desacolado, ara α.8, ϕ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas. Na Figra 5.76 comaram-se os diagramas de bifrcação do modelo acolado e desacolado ara α. 8, ϕ 90 e ω e ω Ω Verifica-se qe o modelo acolado e o desacolado aresentam o mesmo comortamento. Inicialmente, aresentam a solção de eríodo m, P, qe acaba em ma bifrcação or dlicação de eríodo, dando origem à solção P, qe acaba em otra bifrcação or dlicação de eríodo dando origem à solção P.

238 38 Os resltados mostram a grande inflência da ressonância interna no comortamento do sistema, gerando m forte acolamento entre es modos. a Acolado F esc b esacolado F esc Figra 5.76: iagramas de bifrcação, modelo acolado e desacolado, ara Ω , ϕ 90, α.8, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada considerando a inflência da rigidez relativa das molas Modelo com Imerfeição Geométrica A Figra 5.77 mostra o efeito qe a imerfeição geométrica casa nas fronteiras de abilidade do modelo de torre aiada. São considerados dois casos, a saber: φ e ψ 0, e φ e ψ 90 os casos em do são mostradas na Tabela As freqüências natrais ara Tabela 5.7: Freqüências natrais ara λ 0.7 e 0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Caso Primeira Freqüência - Ω Segnda Freqüência - Ω φ e ψ φ e ψ Nos dois casos as crvas aresentam m comortamento similar àqelas do modelo erfeito. Em todos os casos a região crítica encontra-se no entorno das ressonâncias fndamentais do sistema, o seja, ara ω ω ω ω, como e e e indicado na Figra 5.77, sendo qe também se verifica ma sitação similar na região das ressonâncias rinciais de ordem dois, ω ω ω ω e e e.

239 39 Imerfeição geométrica 90 y x 45 a. Crvas de escae. Valores mínimos vales F esc ϕ 45 e F esc ϕ 90 a φ e ψ 0 a. ireção da excitação Imerfeição geométrica 90 y x b. Crvas de escae. Valores mínimos vales b. ireção da excitação F esc ϕ 0 e F esc ϕ 45 b φ e ψ 90 Figra 5.77: Fronteiras de abilidade escae ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. A variação da carga de escae com ϕ e com a imerfeição nas regiões de ressonância ω ω ω e ω é aresentada na Figra Observa-se qe, ara e e a ressonância fndamental ω e ω, o sistema aresenta ma grande variação da caacidade de carga com ϕ ara os dois tios de imerfeição. Já ara a sitação de ressonância fndamental ω e ω observa-se qe o sistema aresenta ma diminição dos valores de F esc, ara todas as imerfeição e direções da força de excitação, ϕ.

240 40 a Ressonância fndamental ω e ω b Ressonância fndamental ω e ω Figra 5.78: Variação da carga de escae, F esc, com a direção da excitação, ϕ, gráfico em coordenadas olares ara λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Figra 5.79: Crvas de ressonância ara F 0.005, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Novamente, os valores mais baixos são jstificados elos modos de vibração não-lineares e da interação dos mesmos. Isto é verificado na Figra 5.79, qe aresenta as crvas de ressonância e as relações freqüência-amlitde ara φ, ψ 90 imerfeição somente em ma direção e F Observa-se qe nessa sitação o sistema aresenta a interação do modo similar desacolado

241 4 com comortamento softening Figra 4.63 e o modo não-linear acolado Figra Para comreender os vales resentes na Figra 5.77, aresentam-se na Figra 5.80 as bifrcações ara das direções da força de excitação, ϕ 0 e ϕ 90, nas regiões de ressonância do sistema com φ e ψ 90. a ϕ 0 Valores mínimos vales F esc e F esc b ϕ 90 Valores mínimos vales F esc e F esc 0.00 Figra 5.80: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental, modelo acolado, ara φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica. Comletando e do aresenta-se, a segir, a análise do sistema considerando ϕ 0 e Ω ω e ω, ara a imerfeição com φ e ψ 90. Na Figra 5.8 mostra-se o diagrama de bifrcação e verifica-se qe o

242 4 sistema aresenta ma solção de eríodo m, P, qe se torna instável através de ma bifrcação itchfork sercrítica. A Figra 5.8 mostra o rocesso de erosão das bacias de atração. Por fim, aresenta-se na Figra 5.83 a variação da medida de integridade local LIM da solção P com F. Figra 5.8: iagramas de bifrcação ara Ω , ϕ 0, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica F esc a F b F 0.0 Figra 5.8: Seções das bacias de atração nos lanos xd /dt, xd /dt e x, ara Ω , ϕ 0, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

243 43 Figra 5.83: Medida de integridade local da bacia de atração, LIM, modelo acolado, ara Ω , ϕ 45, φ, ψ 90, λ 0.7, 0 e ξ ξ 0.0. Modelo de torre aiada com imerfeição geométrica.

244 6 Controle da Erosão das Bacias de Atração 6.. Introdção A alicação da teoria clássica de sistemas dinâmicos consiste na identificação dos atratores, na sa evolção através das bifrcações locais e globais, e na constrção dos diagramas de bifrcação e das bacias de atração, com o objetivo final de caracterizar a resosta salmente comlexa do sistema. Estes conceitos ão bem abelecidos. entre os novos tóicos de esqisa em dinâmica não-linear, ode-se dacar a invigação da integridade de sistemas dinâmicos. Ne contexto, daca-se o fenômeno de erosão da bacia segra devido à enetração de atratores erigosos e bifrcações globais. Partindo dos trabalhos de Thomson e colaboradores Thomson, 989; Soliman & Thomson, 989, tem-se qe os atratores devem ar imersos em ma bacia de atração comacta sem a resença de erosão ara ma alicação rática segra. e fato, a erosão da bacia segra constiti m ado crítico ara a rtra, odendo levá-la a ma falha inevitável. Estas sitações exigem ma invigação detalhada da erosão das bacias de atração, assim como se ossível controle, o qe constiti o objetivo de caítlo Medidas de Integridade O conjnto de condições iniciais qe levam a ma resosta segra é a definição mais recisa da medida de integridade, ma qão qe foi de certa forma sbimada no assado, e ainda á longe de ser trivial. Na verdade, vários ontos ão envolvidos na sa correta definição e devem ser cidadosamente levados em consideração Rega & Lenci, 005. Para m do coerente e reciso de ma medida de integridade é necessário ter em mente o conceito reciso de bacia segra. entre as rinciais definições de bacia segra, a mais intitiva, e a qe é tilizada ne trabalho, é:

245 45 o conjnto de todas as condições iniciais no esaço de fase qe são atraídas elos ontos fixos ertencentes a m dado vale otencial qando t, isto é, a nião da bacia clássica de atração de todos os atratores de m dado vale otencial. Está definição roorciona diversas vantagens, as rinciais são: a as bacias de atração assam a ser delimitas elas variedades invariantes fronteiras de abilidade e assim ode-se avaliar sa evolção através da teoria clássica de sistemas dinâmicos, e b as bacias de atração odem ser calcladas or meio de técnicas nméricas amlamente difndidas na literatra. Ne contexto, Rega & Lenci 005 dacam três medidas de integridade emregadas ara avaliar a evolção da erosão das bacias segras, a saber: a medida global de integridade GIM, a medida local de integridade LIM e o fator de integridade IF. A segir são definidas as medidas GIM e IF. A medida LIM foi devidamente aresentada no caítlo 5. A medida global de integridade GIM é definida como a magnitde normalizada do hiervolme área em da bacia segra. Tal medida é ma roriedade do vale otencial e não dos atratores externos. O termo normalizada significa qe a magnitde da bacia segra corresonde ao valor do hiervolme ocado ela bacia divido or m dado valor de referência. O fator de integridade IF, introdzido or Lenci & Rega 003b, é definido como o raio normalizado da maior hieresfera inscrita na bacia segra. As vantagens de se tilizar a medida são: a é obtida sem grandes cstos comtacionais, b é ma roriedade do vale otencial e c elimina as regiões fractais da avaliação da integridade do sistema. Porém, em comaração com a medida LIM, o IF ode serimar a integridade nos casos eseciais em qe o onto atrator ossi ma forte excentricidade em relação ao onto central da bacia segra comacta Redção da Integridade As medidas de integridade são medidas qantitativas de segrança dos sistemas dinâmicos. São tilizadas ara se invigar analiticamente, o nmericamente, a confiabilidade de ma dada rtra erante a variação de ses arâmetros e na resença de ertrbações. e m onto de vista rático, m

246 46 imortante arâmetro é a amlitde da excitação. Ao se analisar a variação de ma das medidas de integridade em fnção da amlitde de excitação, tem-se o denominado erfil de erosão, qe é mito útil na avaliação do nível de segrança de ma dada rtra. A erosão ode ser dada através da análise das variedades invariantes dos ontos de sela associados às fronteiras das bacias de atração e de sa evolção. Ne contexto daca-se o do das bifrcações globais, ois a é a chave dos mecanismos de erosão Rega & Lenci, 008. As fronteiras de abilidade obtidas elas variedades invariantes dos ontos de sela odem fornecer dois tios de órbitas. Qando ma variedade instável qe arte de m onto de sela coincide com a variedade ável ne onto, formando ma órbita fechada, diz-se qe a órbita é homoclínica. Um onto é dito heteroclínico se ele á na variedade instável de m onto de sela e essa variedade é tangente à variedade ável de otro onto de sela. A órbita ercorrida elo onto heteroclínico conecta dois ontos de sela e é denominada órbita heteroclínica. Para sistemas ertrbados, tem-se qe, qando a excitação atinge ma amlitde crítica, as variedades áveis e instáveis se intercetam. Esta interseção reresenta ma bifrcação, qe ode ser homoclínica o heteroclínica, deendo da sitação em análise. Este fenômeno é definido como ma bifrcação global. Ne contexto, tem-se qe a redção de integridade é geralmente controlada elas bifrcações globais. Elas ermitem qe as bacias de otros atratores qe circndam a bacia em do enetrem na bacia segra e redzam a sa magnitde. Isto acontece através de diferentes mecanismos toológicos, qe são extremamente comlexos e odem envolver bifrcações globais secndárias. A erosão acaba com a comleta drição da bacia segra e com o aarecimento de otros regimes dinâmicos Rega & Lenci, 008. Como se verifica nos comentários recedentes, a determinação da amlitde crítica da excitação associada à bifrcação global, homo- o heteroclínica, é de sma imortância no do da integridade, ois é ne onto qe se inicia ma série de fenômenos dinâmicos indesejados, em esecial a erosão da bacia segra, o qe leva o sistema a sa inevitável falha. As bifrcações homo/heteroclínicas odem ser determinadas através do critério de Melnikov. Este método ermite

247 47 obter analiticamente a amlitde crítica da excitação associada à bifrcação global. O método de Melnikov Gckenheimer & Holmes, 983; Wiggins, 988; Wiggins, 990 é adeqado ara dar á classe de roblemas, ois se odem obter informações a reseito do sistema ertrbado tilizando-se a informação contida nas solções do sistema não ertrbado Alberto & Bretas, Controle da Integridade A erosão da bacia segra é claramente m evento indesejado, e a ossibilidade de se controle, o ao menos a sa redção, é de grande interesse teórico e rático. Vários métodos foram roostos nos últimos anos com a finalidade, m resmo des métodos é encontrando em Lenci & Rega 003a, 003b. Uma idéia comm em vários trabalhos é se controlar e/o evitar a bifrcação global. Na verdade, a remoção da bifrcação global certamente acarretaria no fim do conjnto invariante caótico criado elo mecanismo da ferradra de Smale, reglarizando os limites da bacia e redzindo o caos transiente e imrevisível. Além disso, eliminaria, diminiria o qebraria diretamente o atrator caótico, elo deslocamento da colisão inevitável das variedades áveis e instáveis, qe é a resonsável elos diversos fenômenos indesejados. Finalmente, a remoção não só ode reglarizar a dinâmica, mas também ode melhorar otras erformances do sistema, tais como o escae do vale otencial, se e existir Lenci & Rega, 003a. entre as diversas técnicas existentes, aqela qe consiste em modificar a excitação do sistema através da adição de ma excitação ser-harmônica aresenta-se como ma técnica de baixo csto comtacional e bastante viável. Com o objetivo de eliminar o caos, á técnica foi inicialmente roosta or Shaw 990, qe adiciono m ser-harmônico à excitação. Posteriormente Lenci & Rega 998a, 998b consideraram todos os ser-harmônicos, de modo qe a forma da excitação desse variar de maneira arbitrária. A forma da excitação, definida como excitação ótima or Lenci & Rega 998a, 998b, ermite amentar o valor da amlitde crítica da excitação referente à bifrcação global, tanto homoclínica qanto heteroclínica. Isto é obtido através da

248 48 formlação e resolção adeqada de m roblema de otimização. A teoria e a imlementação do método de controle jntamente com os detalhes das simlações nméricas de vários sistemas dinâmicos não-lineares são aresentadas or Lenci & Rega em ma série de trabalhos Lenci & Rega, 998a, 998b, 000, 003a, 003b, 003c, 004a, 004b, 005. O método roosto or Lenci & Rega consiste na identificação da forma da excitação eriódica qe ermite evitar, de ma maneira ótima, a interseção das variedades áveis e instáveis, e consiste nos segintes assos:. determinação da bifrcação homo/heteroclínica amlitde crítica da excitação elo método de Melnikov;. do da deendência da bifrcação homo/heteroclínica à forma da excitação; 3. formlação e resolção do roblema matemático de otimização, qe consiste na determinação da excitação teórica ótima qe maximiza a distância entre as variedades áveis e instáveis ara ma amlitde fixa de excitação o, eqivalentemente, a amlitde crítica onde ocorre a bifrcação global; 4. imlementação nmérica da excitação ótima, necessária ara confirmar as revisões teóricas e ara verificar a viabilidade e erformance da técnica de controle. Basicamente, o método de controle roosto or Lenci & Rega ode ser comreendido observando-se a seqüência de ilstrações aresentadas na Figra 6.. Adota-se, or exemlo, m oscilador com gra de liberdade qe aresenta ma órbita homoclínica, Figra 6.a, ara o sistema conservativo, verifica-se qe a variedade ável tangencia a variedade instável no mesmo onto de sela. Qando se introdz ma ertrbação, somente amortecimento, verifica-se ela Figra 6.b qe a variedade ável assa a delimitar a bacia de atração segra e a variedade instável converge ara o onto atrator. Contdo, qando se adiciona também ma excitação harmônica o sistema começa a oscilar e isso faz com qe as variedades também oscilem, tanto a ável como a instável, Figra 6.c. À medida qe se amenta a amlitde da excitação tem-se or conseqüência qe as amlitdes de oscilação amentam e qando a amlitde da excitação chega a ma amlitde crítica acontece à indesejada interseção entre a variedade ável e

249 49 a instável como se verifica ela Figra 6.d, sendo qe e é o qe se deseja evitar. Adicionando ser-harmônicos na excitação harmônica do sistema, como roõem o método de controle, tem-se qe a freqüência da excitação amenta e a amlitde de excitação dimini, isso faz com qe a variedade ável se distancie da variedade instável o vice-versa, como se constata observando a Figra 6.e. a Sistema conservativo órbita homoclínica b Sistema ertrbado somente amortecimento c Sistema ertrbado amortecimento e excitação harmônica d Sistema ertrbado amortecimento e excitação harmônica amlitde crítica e Sistema com controle amortecimento, excitação harmônica e ser-harmônicos Figra 6.: Ilstração de alicação do método de controle roosto or Lenci & Rega. Este método se aresenta como ma ferramenta interessante do onto de vista rático, ois roorciona o controle de sistemas dinâmicos não-lineares baseando-se em ma formlação analítica através do método de Melnikov. Porém, o método de controle desenvolvido or Lenci & Rega somente é alicável a

250 50 sistemas com m gra de liberdade, ois a teoria de Melnikov é limitada e não ode ser endida a sistemas de n gras de liberdade. Assim, e método de controle não ode ser alicado aos modelos acolados em do. Contdo, o método ode ser tilizado, sem rrições, ara os modelos desacolados, obtidos a artir dos modos não-lineares. Inicialmente, é aresentada a formlação das eqações de movimento dos modelos desacolados, segindo os conceitos exostos nos caítlos anteriores. A segir, mostra-se o desenvolvimento da formlação tanto ara a obtenção da bifrcação global qanto ara a determinação da excitação ótima. Por fim, aresenta-se a alicação do método de controle aos modelos desacolados. 6.. Eqações de Movimento esacoladas 6... Modelo de Agsti Como se constata nos caítlos anteriores o modelo de Agsti ode ser desacolado qando excitado nas direções ϕ 45,35, 5, 35. Nes casos tanto os modos não-lineares similares qanto as variedades dos ontos de sela ão contidas em m único lano. Porém, vale recordar, qe os lanos desacolados não reresentam com fidelidade o modelo acolado ara todos os valores de freqüência da excitação. Para e do considera-se ϕ 45. Partindo da arcela de energia cinética.9, da arcela da energia otencial total. e da arcela de amortecimento.3, obtêm-se as arcelas de energia do modelo desacolado através da exressão 4.33, a saber: T T ml ω e & cos F cos τ & sen cos cos 6.a V V ml ω e λω 0 Ω sen 0 sen 6.b

251 5 E E ml ωe ξ & Ω 6.c As arcelas de energia do modelo desacolado são adimensionalizadas em fnção da carga crítica do sistema erfeito, Pcr k l k k k. Nas eqações 6. adotam-se as segintes variáveis axiliares: λ P Pcr, P mg, k ml ω λ, C ml ξω C C, ω g l, F Fb l, τ ω e t, Ω ω e ω, Ω s ωs ω. Nas exressões F b é a magnitde do deslocamento de base as arcelas referentes à excitação de base são dadas or: b F sen ω t e v F sen ω t b e b b e, ois ϕ 45, ω e é a freqüência da excitação e ω s é a freqüência natral do modelo desacolado. A eqação de movimento do modelo desacolado é obtida sando a eqação de Lagrange em termos da coordenada generalizada, sendo a dada or: d T T V E 0 dτ & & 6. Assim, a artir de 6. e 6., tem-se a seginte eqação de movimento desacolada: cos sen ξ && & & cos cos Ω λω sen cos Fsen τ cos Ω sen Esta eqação de movimento reresenta tanto o modelo erfeito desacolado como o modelo com imerfeição geométrica com ψ 45.

252 Modelo de Torre Estaiada Os resltados aresentados nos caítlos anteriores mostram qe esse modelo ode ser desacolado qando a direção da excitação coincide com o lano de ma das molas. Assim, tem-se qe tal modelo ode ser desacolado nos lanos ϕ 30, 90, 50, 0, 70, 30. Estes lanos contêm as variedades dos ontos de sela e os modos não-lineares similares. Contdo, como no modelo anterior, vale lembrar qe os lanos desacolados não reresentam com fidelidade o modelo acolado ara todos os valores de freqüência da excitação. No resente do desacola-se o sistema no lano ϕ 30. As arcelas de energia cinética.7, energia otencial total. e amortecimento. ara o modelo desacolado são dadas, com o axílio da exressão 4.53b e considerando 0, or: V 3λΩ T V ml T & ml ωe ωe λω & F cos τ E E ml ωe ξ & Ω Ω 6.4a 6.4b 6.4c Considera-se qe k k3, k υk e k υ K. As arcelas de energia do modelo desacolado são adimensionalizadas em fnção da carga crítica do sistema erfeito, Pcr Kl / 4. Além disso, definem-se as variáveis: υ α / 4sen, λ P / Pcr, mg P, Kl / ml 4ω / λ, C ml ξω C C, ω g / l, F Fb l, τ ω e t, Ω ω e ω e Ω s ωs ω, onde F b é a magnitde do deslocamento de base, ω e é a freqüência da excitação e ω s é a freqüência natral do modelo desacolado. As arcelas referentes à excitação de base são dadas or: F sen ω t e v F sen ω t b b 3 e b b e, ois ϕ 30.

253 53 Assim, adotando como coordenada generalizada, tem-se a seginte eqação de movimento desacolada do modelo erfeito: sen 3 τ λ λ ξ F Ω Ω Ω Ω & & && Formlação do Controle As eqações de movimento 6.3 e 6.5 odem ser reescritas, resectivamente, na forma: 0 cos sen sen cos sen cos sen cos cos 0 Ω Ω Ω F τ ε ξ ε λ & & && 6.6a 0 sen 3 Ω Ω Ω Ω τ ε ξ ε λ λ F & & && 6.6b onde ε é m arâmetro adimensional qe mede a amlitde da ertrbação. Para os modelos em do, a introdção da ertrbação se dá através do coeficiente de amortecimento e da amlitde da excitação. A resença de arâmetro ε nas eqações de movimento ermite a detecção do efeito das ertrbações nas variedades invariantes. Isto é feito através do método clássico de Melnikov Melnikov, 963. Este é m método de ertrbação qe ermite calclar, em ma rimeira aroximação, a distância entre as variedades áveis e instáveis.

254 54 A teoria e comrovação da eficiência do método de Melnikov não são tratadas no resente trabalho, contdo a teoria e as formlações necessárias ara tilização do método são aresentadas nos trabalhos de Gckenheimer & Holmes 983, Wiggins 988 e Wiggins 990. Inicialmente deve-se definir a fnção de Melnikov qe é dada or: M m H g, τ m dτ 6.7 h h onde o vetor H reresenta a arte não ertrbada do sistema, o vetor g reresenta a arte ertrbada do sistema e h reresenta a órbita do sistema homoclínica - hom o heteroclínica - het. O argmento m da fnção de Melnikov é geralmente dado or m τ 0 ν 0, onde τ 0, ν 0 é ma arametrização das variedades áveis e instáveis em. Em articlar, τ 0 é m arâmetro do temo ao longo da órbita em ma dada seção fixa de Poincaré e ν 0 é a fase entre das seções de Poincaré consectivas. Assim, ν 0 reresenta a medida da distância entre as variedades em ma dada seção fixa de Poincaré, enqanto τ 0 reresenta a medida da distância das variedades ao longo do temo ara m onto fixo do esaço de fase não ertrbado. A segir, obtém-se, ara determinação das bifrcações globais, a fnção de Melnikov 6.7 ara os modelos desacolados e, osteriormente, a formlação ara a determinação do controle ótimo Bifrcações Globais Antes de calclar a fnção de Melnikov, é reciso determinar os vetores H e g. Para isto, inicialmente, é determinada a órbita homo/heteroclínica do sistema conservativo. Com o roósito de generalizar a formlação, define-se, no caso conservativo, qe v V exressão 6.b o 6.4b e t & T, & exressão 6.a o 6.4a, ois ε 0, F 0 e ξ 0. Está generalização ermite

255 55 qe a formlação ossa ser emregada ara ambos os modelos desacolados. Assim, tem-se qe a energia do sistema conservativo é dada or: h t & v 6.8 Através da exressão 6.8 ode-se determinar a órbita homo/heteroclínica ara o sistema não ertrbado. Exlicitando a velocidade em 6.8 e fazendo a searação de variáveis, tem-se qe & h h v h t h dh dτ & h d & h h dτ 6.9 saber: Integrando-se 6.9, obtém-se o temo em fnção da coordenada h, a lim τ h dh 6.0 lim & h Na eqação 6.0 os valores lim e lim deendem do fato da órbita ser homoclínica o heteroclínica. Para obter os vetores H e g é necessário, rimeiramente, determinar o Hamiltoniano do sistema conservativo. O Hamiltoniano dos modelos desacolados ode ser obtido a artir do Lagrangiano, qe é dado or: L, & T, & V L, & t & v 6. Por definição, a qantidade de movimento em termos do Lagrangiano é: * * L t & & 6. & t Com base na dla transformação de Legendre, tem-se qe a fnção Hamiltoniana, H, ode ser escrita como:

256 56,, * * L H & & 4, * * v t H 6.3 A eqação de Lagrange, exressões 6.6, é eqivalente ao sistema de n eqações de rimeira ordem, conhecidas como eqações de Hamilton, a saber: 4 * * v t v t t H t H & & & & 6.4a 6.4b Ao se igalar a força generalizada em termos do Hamiltoniano, &, à força generalizada em termos do Lagrangiano, * &, obtém-se: * & & t t v t & & & & 0 t v t t & & & 6.5 O seja, chega-se à eqação de movimento 6.6, considerando 0 ε, 0 F e 0 ξ. Adicionando à exressão 6.5 os termos de amortecimento e força, 0 ε, a eqação de movimento, válida ara dois modelos desacolados, toma a forma: 0, t F t C t v t t τ ε ε & & & & 6.6 onde Ω C & & ξ igal ara os dois modelos desacolados e sin var, τ τ i F F, onde cos var ara o modelo de Agsti e var ara o modelo de torre aiada. efinida a eqação de movimento qe reresenta o comortamento dos modelos desacolados, exressão 6.6, ode-se obter as eqações de Hamilton tomando m caminho inverso ao anterior. Partindo da exressão 6.6,

257 57 lembrando qe * & & e * t t & && &, obtém-se a arcela da força generalizada em termos do Hamiltoniano, a saber: 0, τ ε ε F C v t t & & & & 6.7a, τ ε ε F C v t & & & 6.7b Assim, tem-se qe as eqações de Hamilton ara o sistema ertrbado são: { { & & & & &, 0 g H g H F C v t g H g H τ ε ε ε 6.8a 6.8b A artir das eqações ode-se obter o vetor não ertrbado, H, e o vetor ertrbado, g, dos modelos desacolados, a saber: v t H H T & & H 6.9a [ ], 0 τ ε F C g g T & g 6.9b efinidos os vetores H e g, obtém-se a fnção de Melnikov. A segir, aresentam-se as assagens ara se obter a fnção de Melnikov em sa forma final. Partindo da exressão 6.7, tem-se: τ d g H g H m M 6.0 Sbstitindo os termos dos vetores H e g, obtém-se: τ τ ε d F C m M h h h, & & 6.

258 58 A segir, tilizando as exressões C & ξ& Ω e F, τ F var sin τ, tem-se: i ξ M m & ε & h h εf vari sen τ m dτ 6. Ω Searando as arcelas da integral, chega-se a: ξ M m ε & dτ εf i h τ m dτ Ω h var & sen 6.3 Assmindo qe sen τ m sen τ cos m cos τ sen m, tem-se: ξ 443 & M m ε hdτ εf cos m var 4 44 & i hsen τ dτ Ω εfsen m var 444 & i h cos τ dτ 4443 α α 3 α 6.4 Utilizando os termos α i, ode-se escrever qe: ξ M m ε α εf cos m α εfsen m α3 6.5 Ω A eqação 6.5 ode ser reescrita, mltilicando e dividindo os dois últimos termos or α3 α, na forma: ξ M m ε α εf α α3 Ω α α3 cos m sen m α α3 α α3 6.6

259 59 Sabendo qe sen η cos m cos ηsen m sen η m, e definindo 3 sen η α α α e 3 3 cos η α α α, chega-se à exressão final da fnção de Melnikov, a saber: ξ 3 M m ε α εf α α3 sen η m 6.7 Ω Teorema: se existe m m ara o qal a fnção de Melnikov é nla isto é, se m M m 0 então o sistema aresenta interseção homo/heteroclínica, o seja, ma bifrcação global. A artir do teorema, obtém-se: sen η ξα Ω m 6.8 F α α3 o seja: se F se F ξα α ξα α Ω α Ω α 3 3 < tem solção interseção > não tem solção 6.9a 6.9b Por fim, tem-se o valor teórico da interseção homo/heteroclínica, h Fcr, qe reresenta a magnitde da carga, F, onde ocorre a rimeira bifrcação global, a saber: ξα Ω h Fcr 6.30 α α 3 A determinação dos arâmetros α i é aresentada osteriormente na alicação do método de controle, item 6.4, jntamente com a definição da órbita homo/heteroclínica.

260 Controle a artir da Adição de Ser-Harmônicos O método de controle roosto or Lenci & Rega tem or base a adição de ser-harmônicos à excitação do sistema dinâmico, a fim de se obter ma excitação ótima qe elimine, o ao menos retarde, a rimeira bifrcação global. Com base ne rocedimento, tem-se qe a excitação toma a forma: n F j F, τ F vari sen τ j vari sen jτ ν j 6.3 j F onde o termo adicional define o somatório de ser-harmônicos até a ordem n, e ν j define o ânglo de fase entre os ser-harmônicos. A segir mostra-se a dedção da fnção de Melnikov considerando os ser-harmônicos. Partindo-se da exressão ε C F, τ M m & & dτ 6.3 h h h tilizando a exressão 6.3 e sabendo qe C & ξ& Ω, obtém-se ξ M m & hε & Ω n j j Fj vari sen jτ F h εf jm ν j dτ var sen τ m i 6.33 Searando os termos da integral, tem-se: ξ M m ε hdτ εf i h Ω & var & n Fj τ m j jτ jm ν sen sen j dτ j F 6.34

261 6 Admitindo qe sen cos cos sen sen j j j jm j jm j jm j ν τ ν τ ν τ, tem-se: Ω n j j h i j j h i n j j h i j j h i h d j jm F F j F d m F d j jm F F j F d m F d m M 3 3 cos var sen cos var sen sen var cos sen var cos & & & & 443 & α α α α α τ τ ν ε τ τ ε τ τ ν ε τ τ ε τ ξ ε 6.35 Utilizando os termos j i α, ode-se escrever qe: Ω n j j j n j j j j jm F F j m j jm F F j m F m M 3 3 sen sen cos cos α ν α α ν α ε α ξ ε 6.36 A eqação 6.36 ode ser reescrita na forma: Ω n j j j n j j j j jm F F j m j jm F F j m F m M sen sen cos cos α α α ν α α α α α α ν α α α α α ε α ξ ε 6.37 Como 3 sen α α α η e 3 3 cos α α α η, tem-se:

262 6 Ω sen cos sen j jm j jm F F j m F m M j j n j j α ν α ν α α η α α ε α ξ ε 6.38 A Eqação 6.38 ode ser reescrita na forma: Ω sen cos sen j j j jm j j j jm j j F F j m F m M j j n j j α α α ν α α α ν α α α α η α α ε α ξ ε 6.39 Como sen sen cos cos sen j j j j j j jm jm jm ν η ν η ν η, 3 sen j j j j α α α η e 3 3 cos j j j j α α α η, tem-se qe: Ω n j j j j jm j j F F j m F m M sen sen ν η α α α α η α α ε α ξ ε 6.40 efinindo 3 3 α α α α j j F F j h j j e n j j j h j jm m m sen sen ν η η γ, chega-se à exressão final da fnção de Melnikov, considerando a introdção de ser-harmônicos na excitação, a saber:

263 63 ξ M m ε α εγ m F α α Ω Imondo qe no caso crítico M m 0, tem-se qe: F ξα Ω γ m α α Assim, não há interseção se: F ξα α Ω { m } m > max m [0, ] γ α 3 π 6.43 o seja, F < ξα Ω α α m 3 Fcr G Fcr cont h Fcr m h m Fcr cont 6.44 O objetivo do método de controle, como se observa na exressão 6.44, é obter m valor de m <, sendo qe o menor valor ossível de m fornece o valor ótimo Fcr cont, o seja, o controle ótimo. Para ma órbita homoclínica a exressão 6.44 é sficiente ara garantir qe o sistema não aresente interseção, ois, como o sistema aresenta m único onto de sela, é necessário somente evitar a interseção o tangência entre a variedade ável e a instável do referido onto de sela. Para ma órbita heteroclínica a exressão 6.44 não é sficiente, ois o sistema aresenta dois ontos de sela. O seja, é necessário controlar a interseção do ramo serior e do ramo inferior, isto articlarizado ara o caso em do m vale otencial delimitado or dois ontos de sela, Figra 6.. A exressão 6.44 garante ara ma órbita heteroclínica somente qe a interseção do ramo

264 64 inferior não ocorrerá. Para se identificar a otra ossível interseção, a exressão 6.44 ode ser reescrita como: minf max m [0,π ]{ γ m } G inf cont inf h inf Fcr 6.45 Fcr m inf Por simetria, ode-se definir qe o ramo serior é dado or: ms min m [0,π ]{ γ m } G s cont s Fcr 6.46 Fcr m h s s As exressões 6.45 e 6.46 garantem qe a órbita heteroclínica não aresenta interseção tanto no ramo inferior como no serior. Perante as articlaridades tem-se qe o método de controle deve levar em conta a natreza do sistema. Ne contexto, Lenci & Rega sgerem dois tios de controle, a saber: controle nilateral one-side e controle global. O controle one-side é indicado ara órbitas homoclínicas, ois consege aenas controlar m ramo da órbita. Qando alicado a órbitas heteroclínicas verifica-se qe, somente m ramo da órbita é controlado, sendo qe o ramo não controlado aresenta a bifrcação global antes da bifrcação teórica associada. Assim, qando somente ma órbita homoclínica recisa ser controlada, o roblema de otimização ode ser escrito na forma: max hom { G } h, ν ela variação dos coeficientes de j j Forier h j e ν j, ara j,3,... n 6.47 onde hom G G, exressão Já o controle global controla simltaneamente o ramo serior e inferior het G inf e G s de ma órbita heteroclínica. Se a condição G Ginf Gs, o seja, { γ m } min { γ } max m [ 0,π ] m [0, π ] m, é satisfeita, o controle global ode ser escrito como o seginte roblema de otimização:

265 65 het { G } max h ν ela variação dos coeficientes de j, j Forier h j e ν j, ara j,3,... n obedecendo a rrição { γ m } min { γ } max m 0,π ] m [0, π ] [ m 6.48 A resolção dos roblemas de otimização 6.47 e 6.48 fornece os valores ótimos de h j e ν j. Uma vez determinados esses valores, qe deendem do tio da órbita e da qantidade de ser-harmônicos, ode-se alicar o método de controle aos modelos desacolados, sendo qe a magnitde da carga de cada serharmônico é dada or: j Fj h j F α α α 3 j α 3 j Controle Ótimo Os roblemas 6.47 e 6.48 são indeendentes do sistema e da excitação de fato, não deendem de F, Ω e ξ e, elo menos em rincíio, odem ser resolvidos sem nenhma referência ao sistema mecânico considerado. Aesar da simlificação, sa resolção não ode ser obtida analiticamente, e, assim, é necessária ma aroximação nmérica. A resolção nmérica dos roblemas 6.47 e 6.48 já foi dada e é aresentada or Lenci & Rega 003a, 003b, 003c, 005. Os coeficientes ótimos de Forier, h j e ν j, ara m número j crescente de ser-harmônicos, são aresentados nas Tabelas 6. e 6., resectivamente, ara o controle one-side e o controle global. Os valores aqi aresentados ara os coeficientes h j são os mesmos aresentados nos trabalhos de Lenci & Rega. Já os valores dos coeficientes ν j foram determinados a artir da resolção dos roblemas de otimização, exressões 6.47 e 6.48, e são esecíficos ara os casos aqi em do.

266 66 Tabela 6.: Resltados nméricos dos roblemas de otimização com o amento do número de ser-harmônicos no caso de controle one-side. j hom G j h, ν h 3, ν 3 h 4, ν 4 h 5, ν , π , π , , π , , π , π , , π , , π, 0, π, 0 Como se observa na Tabela 6., as solções globais ótimas não têm serharmônicos ares. Assim, a solção do roblema de otimização 6.48 é dada or n / h j sin η j j m ν j j γ m sin η m 6.50 o seja, ela sbclasse de excitações simétricas, onde a condição { γ m } min { γ } max m [ 0, ] m [0, ] m é trivialmente satisfeita. π π Tabela 6.: Resltados nméricos dos roblemas de otimização com o amento do número de ser-harmônicos no caso de controle global. j het G j h 3, ν 3 h 5, ν 5 h 7, ν 7 h 9, ν , π , π , , π 0.000, , π , π 0.557, , π , , π , , π 0., 0 As colnas de ganhos h G j nas Tabelas 6. e 6. ermitem observar qe, em geral, os ganhos amentam qando se amenta o número de ser-harmônicos. Entretanto, os ganhos do controle global são menores qe aqeles do controle one-side, concordando com as exectativas teóricas Lenci & Rega, 005. A

267 67 diferença é qantitativamente significativa, de onde se ode conclir qe os controles one-side são mito mais flexíveis do onto de vista teórico. A contra artida da boa roriedade é qe eles reqerem maiores amlitdes ara os ser-harmônicos. Assim, o controle one-side exige mais disêndio de energia. Na última linha de cada tabela, aresentam-se, ara comaração, os valores dos coeficientes h j considerando m número infinito de ser-harmônicos. Estes valores reresentam os limites seriores das solções ótimas Alicação do Controle Ótimo Com base na formlação desenvolvida anteriormente da-se, a segir, o controle dos modelos desacolados em do Modelo de Agsti Modelo Perfeito Partindo da exressão 6.8 e considerando qe 0 0, tem-se a exressão final do sistema conservativo do modelo erfeito desacolado, a saber: & sen cos h, & & cos cos sen λω Ω 6.5 Utilizando o rincíio da conservação de energia, obtém-se a fronteira de abilidade da osição de eqilíbrio ré-crítica bacia de atração conservativa, Figra 6.a. Já o comortamento da energia otencial V, exressão 6.b é mostrado na Figra 6.b.

268 68 a Bacia de atração conservativa b Energia Potencial Figra 6.: Variedades e erfil da energia otencial ara Ω /3 e λ 0.9. Modelo erfeito desacolado. Verifica-se qe a fronteira da bacia de atração conservativa é definida or dois ontos de sela, qe ão localizados nos ontos de maior energia otencial e qe limitam o vale otencial ré-crítico. O seja, a fronteira de abilidade do modelo erfeito desacolado é delimitada or das órbitas heteroclínicas. Para m vale otencial delimitado or das selas, a exressão qe reresenta a órbita heteroclínica em fnção do temo deve tender ara o infinito nos ontos sela e ser nla ara τ 0, como ilstra a Figra 6.3. sela sela τ Figra 6.3: Ilstração de ma órbita heteroclínica. Assim, a exressão 6.0, qe reresenta agora a órbita heteroclínica, toma a forma:

269 69 τ het dhet 6.5 & het Na Figra 6.4 tem-se a variação da coordenada het em fnção do temo. Figra 6.4: Órbita heteroclínica ara Ω /3 e λ 0.9. Modelo erfeito desacolado. Em virtde de a fnção ser ímar, ara alicar o método de controle, é necessário tilizar aenas metade da fnção 6.5, o seja: τ het dhet & het d Uma vez determinada à eqação da órbita heteroclínica e lembrando qe d het & het τ e var cos são dadas or:, tem-se qe as fnções α, α j e α 3 j het d α dhet 6.54a _ sela _ sela het & het dτ & sela & het het _ & _ sela het α j _ sela cos cos het het sen j het _ sela 0 & sen jτ dτ d & het het d het 6.54b

270 70 α j 3 _ sela cos cos het het cos j het _ sela 0 & cos jτ dτ d & het het d het 6.54c Para obter α e α 3 tem-se qe j arcela da excitação harmônica. Com todos os arâmetros definidos, ode-se alicar o método de controle. Porém, inicialmente, são determinados os valores das bifrcações globais heteroclínicas ara a região de ressonância fndamental do sistema através da exressão 6.30, Figra 6.5. A exressão 6.30 é sficiente ara determinar a bifrcação heteroclínica, ois é valida a rrição 6.48 relativa a ma órbita heteroclínica simétrica Fcr h h inf h s Fcr Fcr. Figra 6.5: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental ara λ 0.9 e ξ 0.0. Modelo erfeito desacolado. Observa-se qe a bifrcação heteroclínica acontece, como eserado, ara m valor inferior ao valor de escae do sistema. Ne onto se iniciam os fenômenos dinâmicos indesejados qe levam a erosão da bacia. Na ratégia de controle adota-se m ser-harmônico de ordem três na excitação harmônica do modelo, com isso, a eqação de movimento toma a forma:

271 7 cos sen && & cos cos sen cos ξ & Ω Ω sin F cos 3 F sen τ 9 cos F λω sen3τ ν Os valores ótimos referentes a á sitação são dados na Tabela 6., o seja, h 3otimo e ν 3 otimo π, qe, ela exressão 6.49, fornece 9F 3 / F Para exemlificação, define-se Ω , λ 0. 9 e ξ 0. 0, sitação onde se observa o menor valor de escae sitação mais erigosa - ver Figra 6.5. Ne caso, constata-se, a artir da exressão 6.30, qe a magnitde da carga h h inf s onde ocorre a bifrcação heteroclínica é F Fcr Fcr Qando se considera o controle com os valores ótimos, verifica-se, através das exressões 6.45 o 6.46, qe a bifrcação assa a ocorrer ara cont cont inf s F Fcr Fcr , o seja, tem-se m ganho de aroximadamente 5.47%, como se mostra na Tabela 6.. A comrovação do ganho qe roorciona o método de controle é aresentada a segir através da análise dos diagramas de bifrcação, das fronteiras de abilidade variedades invariantes, das medidas de integridade e das bacias de atração. Verifica-se nos diagramas de bifrcação em fnção do arâmetro da carga, Figra 6.6, qe, inicialmente, ambos aresentam a solção de eríodo m, P, qe desaarece através de ma bifrcação nó-sela. Aós otra bifrcação nó-sela srge a solção ável P ara o sistema sem controle e P e P ara o sistema controlado, qe se tornam instáveis aós ma bifrcação itchfork qe dá origem a das solções áveis qe ermanecem até o momento do escae. Ne caso o escae acontece rimeiro ara o modelo controlado.

272 7 a Modelo original b Modelo controlado Figra 6.6: iagramas de bifrcação ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. Embora se constate qe o valor final de escae seja menor ara o modelo controlado, verifica-se através das variedades invariantes mostradas na Figra 6.7 qe ara a bifrcação teórica, F , o modelo original aresenta a bifrcação heteroclínica, como eserado, mas o mesmo não acontece ara o modelo controlado, o seja, a ratégia de controle retardo a interseção entre as variedades áveis e instáveis do sistema. a Modelo original b Modelo controlado Figra 6.7: Variedades invariantes associadas às fronteiras de abilidade ara F , Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado. O ganho qe a ratégia de controle roorciona, cerca de 5,47%, é observado de ma forma mais clara qando se confrontam as medidas de integridade GIM e IF do modelo original e o modelo controlado, mostradas na Figra 6.8.

273 73 Considera-se na medida de integridade GIM a soma de toda a área comacta em, o seja, toda a área comacta bacia da segra. Já a medida IF considera o raio do maior circlo inscrito dentro da mesma região segra. Em ambas as medidas de integridade, GIM e IF qe foram normalizadas em fnção das magnitdes GIM e IF ara F 0, verifica-se o indisctível ganho qe a adição do ser-harmônico de ordem 3 rovoca no modelo erfeito desacolado, o seja, constata-se qe a erosão da bacia segra no modelo controlado inicia-se mais tarde. Isto amenta a margem de segrança da rtra, amentado a magnitde das ertrbações qe ode sofrer a rtra sem qe erca sa abilidade. a Medida de integridade GIM b Medida de integridade IF Figra 6.8: Medidas de integridade GIM e IF ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado.

274 74 Observando as bacias de atração mostradas na Figra 6.9, ode-se comreender melhor o efeito do controle. Verifica-se ara F qe em ambas as sitações não há erosão. Qando F constata-se qe começa a erosão da bacia do modelo original enqanto a bacia do modelo controlado á ainda intacta. Já ara F observa-se o inicio da erosão da bacia do modelo controlado, sendo qe a erosão da bacia do modelo original já á bem acentada. a. Modelo original a F 0.06 a. Modelo controlado b. Modelo original b F b. Modelo controlado c. Modelo original c. Modelo controlado c F 0.07 Figra 6.9: Bacias de atração ara Ω 0.465, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 9F 3 / F.579 e υ 3otimo π. Modelo erfeito desacolado.

275 Modelo com Imerfeição Geométrica A exressão final do sistema conservativo ara o modelo desacolado com imerfeição geométrica é dada ela exressão 6.8, a saber: Ω Ω sen sen cos cos sen cos, 0 0 h λ & & & 6.56 Usando o rincíio da conservação de energia, determina-se a fronteira de abilidade da osição de eqilíbrio ré-crítica bacia de atração conservativa, Figra 6.0a, e da exressão 6.b, obtém-se o erfil da energia otencial, Figra 6.0b. Verifica-se qe a bacia de atração conservativa é limita elas variedades de m onto de sela, o seja, tem-se qe a fronteira de abilidade do modelo desacolado com imerfeição é delimitada or ma órbita homoclínica. a Bacia de atração conservativa b Energia Potencial Figra 6.0: Variedades e erfil da energia otencial ara 0, Ω /3 e λ 0.9. Modelo desacolado com imerfeição geométrica.

276 76 A fnção qe descreve a variação da órbita homoclínica em fnção do temo deve ser igal ao limite da órbita ara τ 0 e tender ara o qando o temo cresce, como ilstrado na Figra 6.. sela limite τ Figra 6.: Ilstração de ma órbita homoclínica. A artir da exressão 6.0 e da Figra 6., verifica-se qe a fnção qe reresenta ma órbita homoclínica deve ser divida em das artes, a saber: τ hom dhom, ara < τ a limite & hom τ hom dhom, ara 0 <τ < 6.57b limite & hom Figra 6.: Órbita homoclínica ara 0, Ω /3 e λ 0.9. Modelo com imerfeição geométrica.

277 77 A Figra 6. mostra a variação da coordenada hom em fnção do temo, obtida através das exressões Com a órbita homoclínica, exressões 6.57, e lembrando qe d & τ & e var cos, tem-se qe as τ dhom hom, d dhom hom fnções α, α j e α 3 j são dadas or: hom α limite _ sela & & hom hom dτ d hom 0 & _ sela limite hom & dτ hom d 0 hom & hom dτ 6.58a α j 0 limite _ sela α j 3 0 limite _ sela var & hom sen jτ dτ var & homsen jτ dτ var & homsen jτ dτ 0 d _ sela hom var j d sen hom var sen j limite limite & hom var & hom cos jτ dτ var & hom cos jτ dτ var & hom cos jτ dτ 0 d _ sela hom var j d cos hom var cos j limite limite & hom limite limite d & d & hom hom hom hom d d hom hom 6.58b 6.58c Para se entender o efeito do controle, comara-se na Figra 6.3 a carga associada à bifrcação homoclínica na região de ressonância fndamental, dada ela exressão 6.30, com as fronteiras de abilidade. Como eserado, as bifrcações homoclínicas acontecem ara valores inferiores aos valores de escae. Porém, comarando com modelo erfeito, Figra 6.5, observa-se qe as cargas das bifrcações homoclínicas são sbstancialmente redzidas e ão mais róximas das cargas de escae qe no caso erfeito, o seja, a resença da imerfeição geométrica torna natralmente o modelo mais sensível, ois, logo aós a bifrcação homoclínica, ocorre ma acentada erosão segida de escae.

278 78 Figra 6.3: Maeamento das bifrcações locais na região de ressonância fndamental ara 0, λ 0.9 e ξ 0.0. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. A ratégia de controle consiste na adição de m ser-harmônico de ordem dois à excitação harmônica. Ne caso tem-se a eqação de movimento: cos sen && & cos cos sen cos ξ & Ω Ω sen F cos F sen τ 4 cos F λω 0 senτ ν 6.59 Os valores ótimos na sitação são dados na Tabela 6., o seja, h otimo e ν otimo π. Assim, ela exressão 6.49, tem-se qe 4F / F Para demonstrar a alicação do controle, considera-se, Ω 0. 54, λ 0.9 e ξ Na sitação ocorre o menor valor de escae sitação mais erigosa, Figra 6.3. Usando a exressão 6.30, verifica-se qe a bifrcação h homoclínica acontece ara F Fcr Com a adição do controle cont constata-se qe a bifrcação assa a ocorrer ara F Fcr

279 79 exressão 6.44, o seja, tem-se m ganho de aroximadamente 4.4%, como se constata na Tabela 6.. Através da análise nmérica, ode-se constatar a eficiência do método de controle. Na Figra 6.4 aresentam-se os diagramas de bifrcação em fnção do arâmetro da carga. Pode-se observar qe os diagramas ossem comortamentos similares àqeles do modelo erfeito, Figra 6.6. Nota-se, orém, ma redção nas cargas de bifrcação devido à introdção da imerfeição, e qe o modelo controlado aresenta ma carga de escae ligeiramente inferior à do modelo original imerfeito. a Modelo original b Modelo controlado Figra 6.4: iagramas de bifrcação ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. Aesar de fato negativo, o método de controle mostra ganhos indisctíveis no comortamento do modelo imerfeito. Mostram-se na Figra 6.5 as variedades áveis e instáveis do onto de sela associado à fronteira de abilidade. Verifica-se qe no modelo original imerfeito a interseção das variedades ocorre ara F bifrcação homoclínica, Figra 6.5a. Já o modelo controlado com a adição do ser-harmônico não aresenta interseção ara e nível de carregamento. A Figra 6.6 mostra ma comaração entre as medidas de integridade GIM e IF do modelo original e do modelo controlado. Verifica-se m amento de cerca de 4.4% na carga onde começa o rocesso de erosão, amentando a margem de segrança da rtra. Como no modelo erfeito, as medidas foram normalizadas em fnção das magnitdes GIM e IF ara F 0 do modelo sem controle.

280 80 a Modelo original b Modelo controlado Figra 6.5: Fronteiras de abilidade ara F 0.056, 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, o modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado. a Medida de integridade GIM b Medida de integridade IF Figra 6.6: Medidas de integridade GIM e IF ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado.

281 8 Esse ganho ode ser verificado no comortamento das bacias de atração, Figra 6.7. A erosão do modelo original começa ara F 0. 09, enqanto qe a erosão do modelo controlado começa somente ara F qando a erosão do modelo original já á bastante acentada. a. Modelo original a F 0.09 a. Modelo controlado b. Modelo original b F b. Modelo controlado c. Modelo original c. Modelo controlado c F Figra 6.7: Bacias de atração ara 0, Ω 0.54, λ 0.9 e ξ 0.0, modelo original e modelo controlado 4F / F e υ otimo π. Modelo com imerfeição geométrica desacolado.

282 8 Por fim, aresenta-se na Figra 6.8 ma comaração entre as medidas de integridade, GIM e IF, do modelo erfeito original e controlado e do modelo com imerfeição geométrica original e controlado. No modelo erfeito considera-se Ω , λ 0. 9 e ξ 0. 0, e ara o controle 9F 3 / F.5799 e ν 3 otimo π. Já no modelo imerfeito considera-se, Ω 0. 54, λ 0. 9 e ξ 0. 0, e ara o controle 4F / F e 0 ν otimo π. As medidas de integridade foram normalizadas em fnção das magnitdes GIM e IF ara F 0 do modelo erfeito. a Medida de integridade GIM b Medida de integridade IF Figra 6.8: Comaração das medidas de integridade GIM e IF do modelo erfeito original e controlado com o modelo imerfeito original e controlado.