MODELOS DE VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS

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1 Universidade Federal de Pernambco UFPE Centro de Tecnologia e Geociências Deartamento de Engenharia Civil MODELOS DE VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS or Marlon de Barros Cavalcanti Dissertação sbmetida ao Coro Docente do Crso de Pós-Gradação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Pernambco, como arte dos reqisitos necessários à obtenção do Gra de Mestre em Ciências em Engenharia Civil. Orientador: Bernardo Horowitz Recife, Pernambco Brasil Março de 005

2 C167m Cavalcanti, Marlon de Barros Modelos de verificação à flexão de estrtras rotendidas / Marlon de Barros Cavalcanti. Recife : O Ator, 005. xvi, 7 folhas. : il. ; tab. e fig. Dissertação (mestrado) Universidade Federal de Pernambco. CTG. Ciências em Engenharia Civil, 005. Incli bibliografia. 1. Engenharia civil (Estrtras).. Estrtras de concreto rotendido Flexão. 3. Estrtras de concreto rotendido Protensão. 4. Estrtras de concreto rotendido Hierestáticos. I. Títlo UFPE 64 CDD (.ed.) BCTG/005-11

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4 ii AGRADECIMENTOS Agradeço a Des, a mes ais, em esecial minha mãe, dona Maria Jandira, ao orientador e amigo Prof Bernardo Horowitz, ao aoio do CNPq e UFPE, ao Eng Projetista Hmberto Jstiniano Vieira elo aoio na elaboração do exemlo do qinto caítlo e, a todos qe comõe o Deartamento de Engenharia Civil da UFPE, inclindo fncionários, estdantes e rofessores, dentre eles a Profª Maria do Carmo Sobral, Prof Palo Régis, Prof Ézio Rocha e Prof José Inácio, qe em mito contribíram ara a elaboração da resente Dissertação.

5 iii MENSAGEM Canção do Exedicionário (Estribilho) Por mais terras qe e ercorra, Não ermita Des qe e morra Sem qe volte ara lá; Sem qe leve or divisa Esse "V" qe simboliza A vitória qe virá... Letra: Gilherme de Almeida Música: Sartaco Rossi

6 iv RESUMO No cálclo da caacidade ortante de estrtras rotendidas a rotensão ode ser considerada tanto como resistência qanto como carga. Tem-se, ortanto, o Modelo 1 qe considera os cabos como arte integrante da seção, onde a oeração de rotensão indz deformação imosta corresondente ao ré-alongamento das armadras ativas. Alternativamente, tem-se o Modelo qe considera a rotensão como caso de carregamento externo, comosto or sistema ato-eqilibrante de forças nas ancoragens e transversais no concreto. Aós ativação da aderência os cabos de rotensão são considerados no cálclo como armadra convencional, aenas deslocando o eixo das deformações ara levar em conta o ré-alongamento. Aesar do Modelo 1 ser mais tilizado no dimensionamento de vigas continas e estar consagrado na NBR-6118, ele ossi o inconveniente do srgimento de esforços adicionais denominados efeitos hierestáticos de rotensão, qe recisam ser considerados na verificação a rtra. O cálclo dos efeitos hierestáticos de rotensão é relativamente simles no caso de vigas continas, orém torna-se comlexo no caso de órticos e grelhas e inviável no caso de lajes e cascas. Já no Modelo não há necessidade do cálclo dos efeitos hierestáticos, orém as seções forçosamente terão qe ser verificadas a flexão comosta. Para comarar os resltados dos modelos são aresentados dois exemlos de vigas, m exemlo de órtico e m exemlo de laje de tableiro de viadto analisado tilizando-se analogia de grelha. No exemlo de viga isostática, exressões literais atestam a eqivalência dos modelos. Os demais exemlos são tratados nmericamente.

7 v ABSTRACT In the comtation of the strength caacity of restressed strctres concrete restressing may be viewed as strength or load. Model 1 considers restressing strands as integral art of the cross section where restressing oeration indces imosed deformations corresonding to restraining. Alternatively, Model considers restressing as external loading, comosed of a self-eqilibrating system of forces on the anchorages and transversely on concrete. After transfer restressing strands are considered as conventional reinforcement in comtations excet that the deformation axis is dislaced to take into accont re-elongation. In site of Model 1 being the most commonly sed in designing of continos beams and officially adoted by NBR 6118 it has the inconvenience of the mandatory consideration of additional secondary effects known as hyerstatic moments which mst be taken into accont in ltimate strength analysis. The comtation of secondary effects is simle for continos beams bt becomes more involved in cases of frames and grids and infeasible in cases of lates and shells. In Model there is no need to comte secondary effects bt the cross section mst be verified for combined axial force and bending moment. In order to comare reslts from the models two beam examles are resented, one examle of a statically indeterminate frame and finally an examle of a restressed bridge deck is resented sing grillage analogy. The static determinate beam examle is treated literally to formaly demonstrate the eqivalence between models. The remaining examles are treated nmerically.

8 vi SUMÁRIO Lista de Figras...viii Lista de Tabelas...xi Lista de Fotos...xii Lista de Símbolos..xiii CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Descrição do Problema Objetivos Aresentação...3 CAPÍTULO MODELOS DE VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE VIGAS PROTENDIDAS.1 Introdção...5. Modelo Modelo Cargas Eqivalentes de Protensão Simlificação das Cargas Eqivalentes de Protensão Exemlos Exemlo Modelo Modelo Eqivalência dos Modelos de Verificação Exemlo Modelo Modelo Comaração dos Modelos de Verificação...3

9 vii CAPÍTULO 3 RESISTÊNCIA ÚLTIMA DE SEÇÕES PROTENDIDAS 3.1 Introdção Estado Limite Último de Flexão Segndo a NBR Caracterização do Estado Limite Último Rotinas de Cálclo ara Verificação de Seções Protendidas Rotina 1 Cálclo do Momento Último de Projeto elo Modelo Rotina Cálclo do Momento Último de Projeto elo Modelo Exemlo...33 CAPÍTULO 4 PÓRTICOS PROTENDIDOS 4.1 Introdção Exemlo Modelo Modelo...40 CAPÍTULO 5 LAJES PROTENDIDAS 5.1 Introdção Modelagem or Grelha Exemlo Carregamento Hióteses de Carregamento Modelo Modelo...65 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES...69 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

10 viii LISTA DE FIGURAS Caítlo 1 Figra 1.1 Momento fletor hierestático casado or reação hierestática...1 Figra 1. Efeitos hierestáticos da rotensão (esforço normal e momento fletor)... Caítlo Figra.1 Pórtico rotendido; a) momento hierestático; b) esforço normal...6 Figra. Diagrama tensão-deformação tilizado no modelo...8 Figra.3 Forças devidas a rotensão; a) sobre o cabo; b) sobre o concreto...9 Figra.4 Caso geral...10 Figra.5 Viga isostática rotendida do exemlo Figra.6 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo...13 Figra.7 Solicitações sobre a viga no modelo...14 Figra.8 Modelos de consideração da rotensão; a) modelo 1; b) modelo...15 Figra.9 Viga hierestática rotendida do exemlo...17 Figra.10 Detalhes da seção transversal do exemlo...17 Figra.11 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo...18 Figra.1 Reação hierestática na seção B-B...0 Figra.13 Diagramas; a) P e ; b) M _...0 Figra.14 Protensão como carregamento externo; a) cargas; b) momentos e reações... Caítlo 3 Figra 3.1 Diagrama tensão-deformação arábola-retânglo idealizado ara concreto...7 Figra 3. - Diagrama tensão-deformação ara armadras; a) assiva; b) ativa...7 Figra 3.3 Domínios do estado limite último (ELU) de ma seção transversal...8

11 ix Figra 3.4 Gráfico das fnções eriódicas do arâmetro D na seção considerada...9 Figra 3.5 Variável ε 4a...30 Figra 3.6 Seção transversal genérica com armadra dla...30 Figra 3.7 Flxograma das rotinas 1 e...3 Figra 3.8 Rotina Figra 3.9 Rotina...34 Caítlo 4 Figra 4.1 Pórtico hierestático rotendido...35 Figra 4. Traçado do cabo no órtico e localização das seções analisadas...36 Figra 4.3 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo...36 Figra 4.4 Ilstração do método da flexibilidade...38 Figra 4.5 Protensão como carregamento externo; a) cargas; b) diagramas e reações...41 Caítlo 5 Figra 5.1 Laje modelada or grelha e elementos finitos...44 Figra 5. Segmento de viga sjeito à torção...45 Figra 5.3 Conjnto de elementos de grelha ara o exemlo...47 Figra 5.4 Momentos fletores na direção X...47 Figra 5.5 Momentos fletores na direção Z...48 Figra 5.6 Momentos torsores na direção XZ...48 Figra 5.7 Vão da laje hierestática rotendida...51 Figra 5.8 Seção transversal da laje...51 Figra 5.9 Conjnto de elementos de grelha tilizado...5 Figra 5.10 Área de inflência dos nós...56 Figra 5.11 Carregamento de mltidão e veíclo...56 Figra 5.1 Distribição das cargas do veíclo nas eças transversais...57 Figra 5.13 Linhas de inflência das seções consideradas da laje...58 Figra 5.14 Hiótese 1 de carregamento das cargas do veíclo...58 Figra 5.15 Hiótese de carregamento das cargas do veíclo...59

12 x Figra 5.16 Momento resistente último da orção externa na seção Figra 5.17 Momento resistente último da orção interna na seção Figra Momento resistente último da orção externa na seção Figra Momento resistente último da orção interna na seção

13 xi LISTA DE TABELAS Caítlo Tabela.1 Dados nméricos ara o exemlo...0 Tabela. Resltados ara o modelo Tabela.3 Resltados ara o modelo...3 Caítlo 3 Tabela 3.1 Corresondência entre os domínios do ELU e D...9 Caítlo 4 Tabela 4.1 Dados nméricos ara o exemlo do órtico...39 Tabela 4. Resltados ara o modelo Tabela 4.3 Resltados ara o modelo...41 Caítlo 5 Tabela 5.1 Dados nméricos ara o exemlo...46 Tabela 5. Resltados das roriedades geométricas e carga nodal...46 Tabela 5.3 Saídas do rograma de análise estrtral ara os dois métodos...49 Tabela 5.4 Coordenadas e força efetiva de rotensão do cabo nos segmentos do vão...50 Tabela 5.5 Razão de rigidez a torção...53 Tabela 5.6 Síntese das roriedades geométricas...54 Tabela 5.7 Resmo do valor das cargas alicadas aos nós...57 Tabela 5.8 Resmo dos valores dos esforços normais...60 Tabela 5.9 Resmo dos valores ara o modelo Tabela 5.10 Resmo dos valores ara o modelo...65

14 xii LISTA DE FOTOS Caítlo 5 Foto 5.1 Moldagem das céllas...54 Foto 5. Armação da laje...54 Foto 5.3 Concretagem da laje...54 Foto 5.4 Macaco de rotensão...54

15 xiii LISTA DE SÍMBOLOS Romanas Minúsclas a Profndidade do bloco de comressão no concreto b inf Largra da mesa inferior da seção b s Largra da mesa serior da seção cob cob s d d v Distância do baricentro da armadra ativa à face adjacente da eça Distância do baricentro da armadra assiva à face adjacente da eça Altra útil Diâmetro da célla e Excentricidade f cd Resistência à comressão do concreto de cálclo f ck Resistência à comressão do concreto característica f td Resistência à tração do aço de armadra ativa de cálclo f tk Resistência à tração do aço de armadra ativa característica f yd Resistência ao escoamento do aço de armadra ativa de cálclo f, f Resistência ao escoamento do aço de armadra ativa y yk f syd Resistência ao escoamento do aço de armadra assiva de cálclo f sy, f syk Resistência ao escoamento do aço de armadra assiva h q q s s v w y Altra da seção da laje Carregamento niformemente distribído da rotensão Carregamento niformemente distribído do estado limite último Largra Esaçamento entre centróides de céllas adjacentes Carga eqivalente niformemente distribída Distância da fibra considerada ao baricentro da seção y inf Distância do CG a fibra inferior

16 xiv y min Distância da armadra inferior ao CG da eça y max Distância da armadra serior ao CG da eça y s Distância do CG a fibra serior Romanas Maiúsclas A c A A s A si A ss Área da seção de concreto Área da seção de aço da armadra ativa Área da seção de aço da armadra assiva Área da seção de aço da armadra assiva inferior Área da seção de aço da armadra assiva serior D Parâmetro adimensional E, E c Módlo de elasticidade do concreto E cs E E s F F c F F s G H I c, I Módlo de deformação secante do concreto Módlo de elasticidade do aço da armadra ativa Módlo de elasticidade do aço da armadra assiva Carga concentrada Resltante das tensões de comressão no concreto Resltante da tensão de tração do aço de rotensão Resltante da tensão de tração do aço da armadra assiva Módlo de cisalhamento Altra da seção da viga Momento de inércia da eça J Constante de torção L Comrimento do vão M c P + g, Momento fletor devido a rotensão mais eso rório da eça M g Momento devido a carregamento externo ermanente M hi Momento hierestático de rotensão M iso Momento isostático de rotensão

17 xv M q Momento devido a carregamento externo móvel M q1 Momento fletor devido a carregamento externo nitário M qe Momento fletor devido a carregamento externo M q Momento total devido a rotensão Mr Momento resistente de rojeto M s Momento solicitante M Momento resistente último N hi Esforço normal hierestático N iso Esforço normal isostático N tot Esforço normal total N c P + g, Esforço normal devido a rotensão mais eso rório da eça P P k Força efetiva de rotensão Força de rotensão reresentativa en Profndidade do eixo netro R Reação no aoio T Momento torsor X, Y, Z Sistema de eixos cartesianos Gregas δ ε ε 0 ε c ε b ε t ε ε s Deslocamento Deformação Deformação da fibra assando elo CG da seção Deformação do concreto na fibra de too da eça Deformação da fibra na base da seção Deformação da fibra no too da seção Deformação do aço de rotensão Deformação do aço de armadra assiva ε c Deformação do concreto no nível do aço de rotensão

18 xvi ε, P Deformação do aço de rotensão ela ação da força de rotensão ε Deformação do concreto ao nível do baricentro das armadras ativas c, P+ g ε Pré-alongamento ε i (D) Deformação corresondente à fibra extrema de aço tracionado ε s (D) Deformação corresondente à fibra extrema de concreto comrimido φ ϕ κ λ γ c γ f γ γ s σ c σ σ s υ Crvatra da seção Coeficiente de imacto Crvatra Coeficiente de majoração de carregamento externo móvel Coeficiente de onderação da resistência do concreto Coeficiente de onderação dos esforços Coeficiente de onderação da rotensão Coeficiente de onderação da armadra assiva Tensão de comressão no concreto Tensão de tração no aço de rotensão Tensão de tração no aço da armadra assiva Coeficiente de Poisson

19 1 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA As normas internacionais rocedem à verificação de eças rotendidas segndo dois tios de modelos, onde a rotensão ode ser considerada tanto como deformação imosta corresondente ao ré-alongamento das armadras ativas, como carregamento externo comosto or sistema ato-eqilibrante de forças. A rotensão considerada como deformação imosta acarreta ara as estrtras hierestáticas o srgimento de esforços externos denominados efeitos hierestáticos, devidos à restrição a livre deformação das eças e qe recisam ser levados em consideração na verificação à rtra. Para a viga hierestática mostrada na Fig. 1.1, a restrição corresonde à reação no aoio central ( R hi ), devida exclsivamente a ação da rotensão, qe ocasiona o srgimento dos momentos hierestáticos ( M hi ) cjo diagrama esta indicado na Fig A Fig. 1. mostra esforço normal hierestático ( N hi ) corresondente à reação horizontal dos ilares do órtico a deformação axial imosta à viga ela rotensão, o qe também ocasiona momentos hierestáticos. A Fig. 1.1 trata de m roblema de flexão simles, enqanto a Fig. 1. envolve flexão comosta na análise da eça rotendida. Figra 1.1 Momento fletor hierestático casado or reação hierestática

20 Figra 1. Efeitos hierestáticos da rotensão (esforço normal e momento fletor) A rotensão considerada como carregamento externo consta de sistema atoeqilibrante de forças nas ancoragens e transversais no concreto. Aós a aderência, os cabos de rotensão são considerados como armação assiva convencional, aenas levando em consideração o ré-alongamento. Na verificação à rtra, esta consideração forçosamente envolve momento fletor e esforço normal na análise da seção considerada, tratando-se ortanto de flexão comosta. As normas eroéias ermitem a tilização de qalqer das das considerações de rotensão. Já a norma brasileira e a americana não comentam exlicitamente, orém, como tilizam diretamente o conceito de momento hierestático de rotensão há indicação imlícita da rotensão considerada como deformação imosta. Na análise de estrtras hierestáticas rotendidas alicando a rotensão como carregamento externo, não há a necessidade de se comtar os efeitos hierestáticos da rotensão. Isto simlifica a verificação, ma vez qe os esforços de rotensão são diretamente obtidos das saídas dos rogramas de análise. Esta última observação é articlarmente imortante no caso de estrtras mais comlexas qe vigas contínas, tais como órticos e grelhas. A verificação de eças rotendidas segndo normas internacionais é baseada em valores reresentativos da força de rotensão e valores de cálclo da força de rotensão. As normas eroéias e a NBR 6118 (ABNT, 003) indicam três valores reresentativos ara a força de rotensão: valor médio, P m, valores característicos serior e inferior,

21 3 P k s e P k inf. Já o ACI (00) somente contemla nicamente o valor médio, P m. Exceto na NBR 6118, as normas são nânimes em esecificar P m como o valor a ser tilizado nas verificações de caacidade resistente da eça como m todo. O valor de cálclo da força de rotensão é dado elo se coeficiente de onderação, γ, mltilicado elo valor reresentativo da rotensão. No qe se refere ao fator de onderação da força de rotensão ara a verificação do estado limite último, todas as normas exceto a NBR 6118 esecificam γ = 1. Na alínea da NBR 6118 é esecificado γ = 0. 9 ara ações favoráveis e γ = 1. ara ações desfavoráveis. As normas eroéias esecificam valor mínimo de 1 ara γ sendo qe o valor máximo somente deverá ser tilizado em verificações locais, o em estados limites de instabilidade no caso de rotensão externa. 1. OBJETIVOS O rincial objetivo deste trabalho é exor ma metodologia onde não se faz necessário o cálclo dos efeitos hierestáticos da rotensão, tomada como carregamento externo. É também objetivo comarar resltados com a metodologia sal de tomar a rotensão como resistência, ma vez qe as normas modernas fazem com qe essa visão dal da rotensão: qer como resistência, qer como carga, forneçam o mesmo resltado. Otro objetivo deste trabalho é contribir no rocesso de entendimento da norma brasileira, NBR 6118, no qe se refere a este tema qanto ao valor adeqado de γ. 1.3 APRESENTAÇÃO Este trabalho está dividido em seis caítlos. Este rimeiro aresenta introdção do roblema a ser estdado além de citar os rinciais objetivos do trabalho. O segndo caítlo descreve as formas de consideração da rotensão na verificação de vigas rotendidas e demonstra sa eqivalência. Para isso são sados dois exemlos, ma viga isostática, tratada de forma literal ara demonstrar formalmente a eqivalência entre os modelos de verificação e, ma viga hierestática, tratada nmericamente ara facilitar sa exosição.

22 4 O terceiro caítlo trata das rescrições normativas na consideração da rotensão e caracteriza o estado limite último de flexão segndo a NBR Neste caítlo é aresentada descrição das rotinas de cálclo desenvolvidas com o software Mathcad 000 Professional (MathSoft, 000), ara a verificação de seções rotendidas no estado limite último de flexão, onde as deformações das fibras extremas corresondentes ao estado limite último foram exressas em fnção de m único arâmetro adimensional, D. O qarto caítlo aresenta m exemlo de órtico hierestático rotendido, onde a rotensão é tratada tanto como deformação imosta, como carregamento externo, mostrando de forma nmérica a eqivalência dos modelos. Neste exemlo, ode-se visalizar o srgimento do esforço normal hierestático de rotensão, resonsável ela diminição do valor do esforço normal de rotensão. O qinto caítlo aresenta m exemlo nmérico de tableiro de viadto hierestático rotendido, modelado or analogia de grelha, onde a rotensão é tratada como carregamento externo e os momentos hierestáticos devido a rotensão são extraídos dos momentos totais devido a rotensão do rograma de análise adotado. Os esforços normais hierestáticos devidos a rotensão são calclados alicando o Princíio de St Venant. Faz-se também ma breve abordagem ao estdo de lajes tilizando-se Modelagem or Grelha e Método dos Elementos Finitos. O último caítlo aresenta as conclsões do trabalho, além de sgestões ara trabalhos ftros associados a este tema.

23 5 CAPÍTULO MODELOS DE VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE VIGAS PROTENDIDAS.1 INTRODUÇÃO Os efeitos da rotensão odem ser considerados tanto como ações como resistência casada or ré-deformação e ré-crvatra (CEN, 003). Assim tem-se dois ossíveis modelos de verificação, a saber: Modelo 1: Considera os cabos como arte integrante da seção, onde a oeração de rotensão introdz deformação imosta corresondente ao ré-alongamento das armadras ativas. Modelo : Considera a rotensão como carregamento externo comosto or sistema ato-eqilibrante de forças nas ancoragens e transversais no concreto. Aós ativação da aderência, os cabos de rotensão são considerados como armação assiva convencional, aenas levando em consideração o réalongamento. Definimos o ré-alongamento ε como a deformação da armadra ativa corresondente ao estado convencional de netralização. Chama-se estado convencional de netralização o obtido a artir da sitação em qe existem aenas os esforços devidos a rotensão, acrescentando-se solicitações qe tornem nlas as tensões no concreto em toda a seção transversal considerada (VERÍSSIMO, 1999). O réalongamento, ε, assim definido é a diferença entre as deformações do aço e concreto qe é constante ao longo da vida útil da eça, sendo então a característica básica da oeração de rotensão (COLLINS e MITCHELL, 1991).. MODELO 1 Nesse modelo a rotensão é tratada como força interna. Em estrtras isostáticas a deformação imosta ela rotensão não gera nenhm esforço externo adicional. Porém, nas estrtras hierestáticas as restrições à deformação acarretam o srgimento

24 6 de esforços externos denominados efeitos hierestáticos da rotensão qe recisam ser levados em consideração na verificação à rtra. Este é o modelo mais commente tilizado elos rojetistas brasileiros e reconizado ela nova NBR 6118 (ABNT, 003), alínea No caso de vigas carregadas transversalmente, a verificação à flexão no estado limite último e de serviço envolve m roblema de flexão simles. O cálclo dos efeitos hierestáticos é relativamente simles no caso de vigas contínas, orém torna-se mais comlexo no caso de órticos e grelhas (ver Fig..1), e inviável no caso de lajes e cascas. Figra.1 Pórtico rotendido; a) momento hierestático; b) esforço normal Os rogramas comerciais de análise estrtral inclem a consideração da rotensão através das cargas externas eqivalentes. Portanto, os esforços resltantes da análise corresondem aos efeitos totais da rotensão, isostáticos mais hierestáticos. A obtenção dos diagramas de efeitos hierestáticos de rotensão somente ode ser obtida sbtraindo-se dos esforços totais os esforços isostáticos de rotensão conforme a eqação: M hi onde, = M M (.1) q iso M q = momento total devido a rotensão na seção considerada; M iso = momento isostático de rotensão; M hi = momento hierestático de rotensão. Como as restrições

25 7 à deformação da eça são somente alicadas nos aoios, o diagrama do momento hierestático de rotensão entre dois aoios consectivos é ma linha reta. A deformação total no aço de rotensão é dada or: ε = ε + ε (.) c onde, ε - deformação total do aço de rotensão. ε c - deformação do concreto no nível do aço de rotensão. ε - ré-alongamento. O valor do ré-alongamento do cabo devido à oeração de rotensão é comosto de das artes, como mostrado a segir. = ε, P + ε c, P+ g ε (.3) onde, P ε, P = (.4) E A corresonde a deformação do aço ela ação da força de rotensão P, no temo t = 0 e dentro do limite do rimeiro trecho linear do diagrama tensão-deformação ara os aços de rotensão, e, N M 1 ε (.5) E c, P+ g c, P+ g c, P g e Ac I + = + c c corresonde a deformação do concreto ao nível do baricentro das armadras ativas devido a rotensão e ao eso rório or ela mobilizado. As demais variáveis são descritas a segir: N c P + g, = esforço normal devido à combinação da rotensão mais o eso rório da eça; M c P + g, = momento fletor devido à combinação da rotensão mais o eso rório da eça; e = excentricidade do cabo médio em relação ao CG da eça; E = módlo de elasticidade do aço de rotensão; A = área do aço de rotensão; A c = área da seção transversal da eça; I c = momento de inércia da eça; de elasticidade do concreto. Em geral adota-se a simlificação, de ε << c, P+ g ε, P. ε = ε, P E c = módlo, elo fato

26 8.3 MODELO Nesse caso, antes da aderência dos cabos, a rotensão é tratada como carregamento externo, modelado através de cargas eqivalentes de rotensão. Aós a aderência, os cabos de rotensão são considerados como armação assiva convencional, aenas levando em consideração o ré-alongamento. Em estrtras hierestáticas rotendidas não há a necessidade de se estdar os efeitos hierestáticos da rotensão, ma vez qe não existe deformação imosta e sim carregamento sobre a estrtra. No caso de vigas carregadas transversalmente, a verificação à flexão no estado limite último e de serviço envolve momento fletor e esforço normal, tratando-se ortanto de flexão comosta. Nesse modelo de cálclo o diagrama tensão-deformação do aço de rotensão a ser adotado nos cálclos da caacidade resistente aós a aderência tem sa origem deslocada ara o onto ( ε, ) = tensão corresondente (ver Fig..). σ, onde ε = ré-alongamento e σ Figra. Diagrama tensão-deformação tilizado no modelo.3.1 CARGAS EQUIVALENTES DE PROTENSÃO A alicação do conceito de cargas eqivalentes consiste em avaliar as forças exercidas elos cabos sobre o concreto ao longo do trecho considerado. Essas forças inclem cargas nas ancoragens, forças de atrito e forças devidas à crvatra do cabo (ver Fig..3).

27 9 Figra.3 Forças devidas a rotensão; a) sobre o cabo; b) sobre o concreto O conjnto de cargas eqivalentes de rotensão ode ser calclado com recisão, considerando a força de rotensão variável ao longo do cabo através das forças longitdinais de atrito e das forças transversais de crvatra dos cabos, assim como variável ao longo do temo através das erdas de rotensão ara a idade em estdo. Esse conjnto é atoeqilibrado e formado de das artes, ma alicada ao concreto da eça e otra ao cabo de rotensão da mesma. Para m cabo crvo, o valor da carga eqivalente, normal ao eixo do cabo, sobre ma nidade de comrimento é igal a P ρ, onde P é a força de rotensão na seção considerada e ρ é a crvatra do cabo no trecho considerado. É em geral aceitável considerar ma solção simlificada, qe admite a força normal de rotensão constante e igal ao se valor médio ao longo do vão. Semre qe a força normal de rotensão for significativamente variável (caso de cabos longos o de grande crvatra), o o cabo não for arabólico (caso de cabos com inflexão), essa aroximação deve ser alicada or artes, onde cada arte deve corresonder a m trecho de cabo arabólico.

28 10.3. SIMPLIFICAÇÃO DAS CARGAS EQUIVALENTES DE PROTENSÃO Formato articlarmente rático ara o cálclo das cargas eqivalentes é o descrito em SHUSHKEWICH (1991). É tilizada a simlificação de considerar transversais ao eixo do elemento as cargas devidas à crvatra dos cabos. Considere o trecho geral de eça rotendida mostrada na Fig..4. Este trecho é sbdividido em qatro sb-trechos: a, b, c e d, onde cada sb-trecho contém m segmento de cabo arabólico concordante. Tangentes horizontais ocorrem nos ontos 1, e 3; enqanto ontos de inflexão são localizados nos ontos 4 e 5. A excentricidade nos ontos 1, e 3 é denotada como e 1, e e e 3 resectivamente. Chamaremos P o valor efetivo da força de rotensão, i.e., aós todas as erdas. Figra.4 Caso geral As cargas eqivalentes niformemente distribídas atando nos diversos trechos da eça rotendida são: ( e1 + e ) ( a b) P w a = a + ( e1 + e ) ( a b) P w b = b + (.6) (.7)

29 11 P w c = c + ( e + e3 ) ( c d ) P w d = d + ( e + e3 ) ( c d ) (.8) (.9) e, os esforços normais e os momentos fletores atando em cada extremidade da eça são mostrados na Fig..4. É ossível remover m o mais sb-trechos. Contdo, qando a, b, c o d são tomados igal a zero, o valor da carga niforme tende a infinito, o seja, o carregamento niforme assa a ser ma carga concentrada. ( e + e ) P 1 F a = a + b ( e + e ) P 1 F b = a + b ( e + e ) P F c = c + d 3 ( e + e ) P F d = c + d 3 (.10) (.11) (.1) (.13).4 EXEMPLOS Nesta seção serão aresentados dois exemlos de vigas rotendidas, ma isostática e otra hierestática, as qais serão abordadas elos dois modelos de consideração da rotensão. O objetivo é mostrar a eqivalência dos modelos no cálclo da caacidade resistente de estrtras rotendidas. No exemlo da viga isostática exressões literais são desenvolvidas no intito de demonstrar a eqivalência dos modelos de forma mais evidente, já a viga hierestática é tratada nmericamente ara facilitar sa exosição. Com o roósito de tornar mais clara a discssão do roblema foram adotadas as segintes simlificações: a) P é a força efetiva de rotensão na idade considerada e tomada constante ao longo do cabo. b) O aço de rotensão e o aço da armadra assiva são considerados elasto-lásticos com limite de escoamento f y e f sy, resectivamente. Admite-se, otrossim, qe as armadras escoam nos estados limites últimos. c) Os coeficientes de onderação da resistência dos materiais e das forças externas são tomados igais a m.

30 1 d) É adotado o diagrama retanglar de tensões ara o concreto. e) O eixo netro localiza-se no interior das mesas..4.1 EXEMPLO 1 Considere a viga simlesmente aoiada de seção e armação indicadas na Fig..5. O objetivo é determinar a intensidade do carregamento niformemente distribído, q, corresondente ao estado limite último de flexão. Inicialmente verificaremos a viga elo modelo 1 como indicado na Fig..6 a), onde a = rofndidade do bloco de comressão no concreto com tensão constante de 0.85 f ck ; c F = resltante das tensões de comressão no concreto; tensão de tração no aço de rotensão; onde M = momento resistente último. F = resltante da Em segida, verificaremos a viga elo modelo como indicado na Fig..6 b), F = resltante da tensão de tração no aço de rotensão considerado como armadra assiva aós aderência. Figra.5 Viga isostática rotendida do exemlo 1

31 13 Figra.6 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo Modelo 1 c Do eqilíbrio das forças tem-se qe: F = f A (.14) y e qe a rofndidade do bloco de comressão é dado or: A f y a = (.15) 0.85 f b ck s onde, b s = largra da mesa serior da viga. Como se trata de flexão simles, sem esforço normal, ode-se tomar o momento em relação ao CG da armação de rotensão: M = A f d (.16) ( ) ( ) a 1 y onde, d = altra útil. Com base no momento último, última, q, como demonstrado a segir. ( d a ) M, ode-se calclar a carga 8 A f y ( q ) = (.17) 1 L onde, L = comrimento do vão da viga.

32 Modelo Figra.7 Solicitações sobre a viga no modelo rotensão, No caso do modelo a viga encontra-se solicitada elo carregamento devido a q, e elo carregamento q, a ser calclado, conforme Fig..7. Alicando as exressões (.6.9), tem-se: P ( 0 + e) 8 P e q = = (.18) L 0 + L L c ( ) Do eqilíbrio das forças tem-se (ver Fig..6 b): ( f y E ) A f y F = P + F = A E ε + A ε = e, A f y a = 0.85 f b ck s qe são idênticas as exressões.14 e.15. Como se trata de flexão comosta deve-se tomar os momentos em relação ao CG da seção como mostrado abaixo. ( M ) = F ( d a e) + F e = c ( d a e) + A ( f E ε ) = = A f e y ( d a ) P e P y = A f (.19) y tem-se ortanto: ( M ) ( q ) L q L ( q ) L = = P e (.0) Sbstitindo-se ( M ) elo se valor exresso acima, vem: ( q ) = [( M ) + P e] 8 L 8 A = f y L ( d a )

33 15 qe é idêntico a ( q ) 1 da exressão (.17) Eqivalência dos modelos de verificação As simlificações adotadas em nada alteram a eqivalência dos dois modelos de verificação. De fato, considere ma seção rotendida genérica com modelos constittivos qaisqer ara concreto e aço. Considere agora m dado erfil de deformação ara a seção com os segintes arâmetros de deformação: ε c = deformação do concreto na fibra de too da eça; ε = deformação do aço de rotensão; en = rofndidade do eixo netro (ver Fig..8). Figra.8 Modelos de consideração da rotensão; a) modelo 1; b) modelo Calclemos agora a resltante das forças no eixo da eça ara ambos os modelos. No caso do modelo 1, tem-se: ( ε ε ) Fx = Fc F = Fc A σ + (.1) Onde a resltante das tensões de comressão no concreto, F c, é dado or: F = σ da (.) c A c c c No caso do modelo, tem-se: Fx = Fc P F = Fc A σ ( ε ) A ( σ ( ε + ε ) σ ( ε ) = c A ( ε ε ) = F σ + (.3)

34 16 Observe das exressões (.1) e (.3) qe ara m mesmo erfil de deformação a resltante das forças axiais é idêntica ara ambos os modelos. Concli-se, ortanto, qe o erfil de deformações seccionais no estado limite último de flexão é idêntico ara ambos os modelos. Isto osto, calclemos os momentos resistentes últimos ara os dois modelos de consideração da rotensão. No caso do modelo 1, tem-se: ( M ) = F y + A σ ( ε + ε ) e 1 c c (.4) onde: e = excentricidade do cabo médio; y c = distância da resltante das tensões de comressão ao baricentro da seção. Para o modelo, tem-se: ( M ) F y + A ( ( ε + ε ) σ ( ) e = ( M ) P e = c c ε 1 σ (.5) Chamemos M qe o momento fletor devido ao carregamento externo, exceto rotensão. No modelo 1, tem-se: ( qe ) ( M ) 1 M = (.6) 1 No modelo, ( M qe ) M q = ( M ) onde + (.7) M q = momento fletor devido nicamente a rotensão. Porém é ossível mostrar (LIN e BURNS, 1981) qe em estrtras isostáticas o momento fletor devido às forças eqivalentes de rotensão, em qalqer seção, é dado or: M q = P e (.8) Das exressões (.5.8) reslta: ( qe ) ( M qe ) 1 M = (.9) Portanto, indeendentemente da geometria da seção e relações constittivas, fica demonstrado qe, ara ambos os modelos: 1) As deformações corresondentes ao estado limite último são idênticas. ) As cargas externas, exceto rotensão, qe corresondem ao colaso são idênticas. Vê-se, ortanto, qe os dois modelos de verificação são eqivalentes.

35 17.4. EXEMPLO Considere a viga contína de seção e armação indicadas nas Figs..9 e.10 (KUCHLER, 1991), onde o cabo de rotensão é dividido em três trechos arabólicos concordantes em cada vão. O objetivo é determinar a intensidade do carregamento niformemente distribído ao longo de toda a viga, q, ara qe a rimeira seção atinja o estado limite último de flexão. A força efetiva de rotensão é P = 4 MN. Verificaremos a viga elos modelos 1 e como indicado na Fig..11 a) e b), resectivamente. Serão analisadas das seções distintas: a seção A-A e a seção B-B. Figra.9 Viga hierestática rotendida do exemlo Figra.10 Detalhes da seção transversal do exemlo

36 18 Figra.11 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo.4..1 Modelo 1 Para cada seção o rocedimento de cálclo será: - Calclar o momento fletor resistente último, M. - Calclar o momento solicitante em fnção do carregamento externo, q. - Da igaldade dos momentos resistentes e solicitantes calcla-se o valor de q ara qal a seção em areço atinja o estado limite último. Como são analisadas das seções o valor final de q será o menor deles. Isto corresonde ao esforço ara qal a rimeira seção atinge o estado limite último. Devido à ossibilidade de redistribição de esforço, esta não é necessariamente a carga de colaso da estrtra. Os momentos resistentes últimos nas seções A-A e B-B são dados or: ( M ) = F [ H ( a + cob )] + f A ( cob cob ) 1 c sy s s (.30) a resltante das tensões de comressão vale: F = f A + f A (.31) c y sy s a rofndidade do bloco de comressão é dada or: Fc a = (.3) 0.85 f b ck

37 19 onde, H = altra da viga; cob = distância do baricentro da armadra ativa à face adjacente da eça; da eça; cob s = distância do baricentro da armadra assiva à face adjacente A s = área de aço da armadra assiva tracionada ( A si = armação inferior e = armação serior); b = largra da mesa comrimida. No modelo 1 de verificação ao momento devido ao carregamento externo devese adicionar o efeito hierestático da rotensão. Portanto, o momento solicitante em ma dada seção vale: M = M + M (.33) s onde, qe seção A-A: hi 7 q L M qe = ; M hi = 0. L Rhi (.34) 100 q L seção B-B: M qe = ; M hi = 0. 5 L Rhi (.35) 8 onde R hi = reação no aoio central devido exclsivamente a ação da rotensão. No modelo 1 o cabo é arte integrante da seção e ortanto a rotensão é ma deformação imosta. No caso de não haver restrições à deformação trata-se de crvatra imosta, semelhante àqela casada or gradiente térmico, dada or: P e φ = (.36) E c I c A reação R hi é calclada elo método das forças. A estrtra rincial é obtida eliminando-se o aoio central. O deslocamento δ na seção B-B (ver Fig..1) ode ser obtida através da alicação do rincíio dos trabalhos virtais (ver Fig..13). L L 1 δ = φ M dx = P e M dx (.37) E I 0 ortanto, a reação R hi c c 0 R hi é dado or: 48 Ec I c δ = (.38) 3 8 L A ss

38 0 Figra.1 Reação hierestática na seção B-B Figra.13 Diagramas; a) P e ; b) M _ Para os dados do roblema em areço tem-se: R = kn e o momento hierestático no aoio central é de M = kn-m. A carga última, q, nas seções consideradas são: seção A-A: ( q ) seção B-B: ( q ) 100 hi ( M ) 0. L R ) 1 hi = (.39) L ( M ) L R ) 1 hi = (.40) 1 L Dados do concreto e armação são descritos na Tab..1. Na Tab.. são aresentados os resltados obtidos ara as seções A-A e B-B. hi Tabela.1 Dados nméricos ara o exemlo Dados do concreto e do aço f = 35 MPa ε = ck 3 f = 500 MPa A = m sy 3 f = 1900 MPa A = 6 10 m y 3 E = MPa A = 8 10 m si ss

39 1 Tabela. Resltados ara o modelo 1 Modelo 1 Seção A-A Seção B-B F = MN F = MN c a = m = c a m ( M ) 74 MN-m ( ) = 1. ( q ) 79 MN/m ( ) = 0. M = 13. MN-m 1 q = 0. MN/m 1 Neste caso a carga última a ser adotada é ( ) 193 q = 0. MN/m Modelo Para cada seção o rocedimento de cálclo a ser tilizado será semelhante ao do modelo 1. Neste modelo, no entanto, as seções estão sjeitas a flexão comosta devido ao esforço normal resltante da força de rotensão. O momento resistente último nas seções A-A e B-B, resectivamente, são: ( M ) = Fc ( ys a ) + ( f y ) A ( yinf cob ) + f sy Asi ( yinf cobs ) ( M ) F ( y a ) + ( f ) A ( y cob ) + f A ( y cob ) σ (.41) = c inf y σ s sy ss s s (.4) onde, y s = distância do CG a fibra serior; y inf = distância do CG a fibra inferior. c A resltante das tensões de comressão vale: ( f y ) A + f sy As + P = f y A f sy As F = σ + (.43) a rofndidade do bloco de comressão, a, é dado como na exressão (.3). O valor do momento solicitante em ma dada seção é: M = q M 1 + M (.44) s q q onde M q1 corresonde ao momento fletor na seção considerada devido a carregamento externo nitário e M q corresonde ao momento fletor na seção considerada devido a rotensão. No modelo a rotensão ata como carregamento externo comosto de forças concentradas nas ancoragens e distribídas transversais a eça. Estas forças constitem as cargas eqivalentes de rotensão. Utilizando as exressões (.6.9), tem-se:

40 ( 0 + e ) P ( A A) w 10 = = kn/m (.45) 10 ( ) ( ) P e( A A) + e( B B) w 10.5 = = 64 kn/m (.46) ( ) ( e + e ) P ( A A) ( B B) w 4.5 = = kn/m (.47) 4.5 ( ) Na Fig..14 a) tem-se o esqema da rotensão como carregamento externo e na Fig..14 b) tem-se o diagrama de momentos fletores devido a esse carregamento assim como as reações exercidas nos aoios, onde as nidades são o kn e m. Figra.14 Protensão como carregamento externo; a) cargas; b) momentos e reações A carga última nas seções consideradas valem: seção A-A: ( q ) seção B-B: ( q ) ( M ) M q = (.48) M q1 ( M ) + M q = (.49) M q1 Os valores nméricos obtidos estão mostrados na Tab..3.

41 3 Tabela.3 Resltados ara o modelo Modelo Seção A-A Seção B-B F = MN F = MN c a = m = c a m ( M ) 541 MN-m ( ) 861 = 9. ( q ) 79 MN/m ( ) 193 = 0. M = 11. MN-m q = 0. MN/m A carga última a ser adotada é a menor delas, i.e., ( ) 193 q = 0. MN/m Comaração dos modelos de verificação Como ode ser visto ara ambas as seções acima a carga última é idêntica ara ambos os modelos. O valor da reação do aoio central devido exclsivamente à ação da rotensão é o mesmo, qer considerando-se a rotensão como deformação imosta, qer como carregamento externo, como ode ser visto na Fig..14. De fato, é sal ao verificar-se vigas continas segndo o modelo 1 tilizar cargas eqivalentes de rotensão ara o cálclo dos efeitos hierestáticos. No caso em areço, o valor do momento hierestático na seção B-B ode ser calclado conforme exressão (.1) (ver Fig..14). M = = kn-m (.50) hi valor idêntico ao obtido anteriormente. Devido à eqivalência dos dois modelos a ambigüidade na consideração da rotensão é commente tilizada aesar de levar a NBR 6118 (ABNT, 003), na alínea , a frisar qe na verificação na rtra deve-se levar em conta aenas os efeitos hierestáticos da rotensão: os isostáticos de rotensão não devem ser inclídos. Observe-se qe no modelo não há necessidade de calclar efeitos hierestáticos da rotensão, ois a mesma é considerada como carregamento externo. Isto simlifica a verificação, ma vez qe os esforços são diretamente obtidos das saídas dos rogramas de análise. Esta última observação é articlarmente imortante no caso de estrtras mais comlexas qe vigas contínas, tais como órticos e grelhas.

42 4 Devido a diferenças na consideração da rotensão entre os dois modelos, os momentos resistentes últimos semre gardam a seginte relação: ( M ) ( M ) P e = elo (.51) mod mod elo 1 isto ode ser observado nas tabelas. e.3, tanto ara a seção A-A como a seção B-B.

43 5 CAPÍTULO 3 RESISTÊNCIA ÚLTIMA DE SEÇÕES PROTENDIDAS 3.1 INTRODUÇÃO A verificação de eças rotendidas segndo as normas internacionais consta de três ingredientes: modelos de verificação, valores reresentativos da força de rotensão e valores de cálclo da força de rotensão. As normas eroéias, CEB-FIB (1990) e o rojeto do novo EUROCODE, ren 199-1:001, doravante chamado EC (CEN, 1999), exlicitamente ermitem a tilização de qalqer dos dois modelos de verificação vistos anteriormente. O EC inclsive afirma na alínea qe ambos os modelos devem fornecer o mesmo resltado. Já a NBR 6118 (ABNT, 003) e o ACI (00) não comentam exlicitamente sobre os modelos de verificação, orém, como tilizam diretamente o conceito de momento hierestático de rotensão há indicação imlícita do modelo 1. As normas eroéias e a NBR 6118 indicam três valores reresentativos ara a força de rotensão: valor médio, P m, valores característicos serior e inferior, P k inf P k s e. Já o ACI somente contemla nicamente o valor médio, P m. Exceto na NBR 6118, as normas são nânimes em esecificar P m como o valor a ser tilizado nas verificações de caacidade resistente a flexão. A NBR 6118 (ABNT, 003) faz ressalvas na alínea qando as erdas seram 35% e no caso de obras eseciais. O valor de cálclo da força de rotensão é dado or: P = γ (3.1) P k onde, γ = coeficiente de onderação da rotensão; P k = valor reresentativo da rotensão de ma dada seção no temo considerado. Qanto ao fator de onderação da força de rotensão ara a verificação do estado limite último de flexão, todas as normas exceto a NBR 6118 esecificam γ = 1. De fato, na alínea da NBR 6118 (ABNT, 003) é esecificado γ = 0. 9 ara ações favoráveis e γ = 1. ara ações desfavoráveis. As normas eroéias, qe também ossem dois valores, esecificam valor mínimo de 1 ara γ sendo qe o valor máximo somente deverá ser tilizado em verificações locais, o em estados limites de instabilidade no caso de rotensão externa.

44 6 Como a rotensão é, na esmagadora maioria das vezes, efeito favorável no caso da caacidade resistente a flexão, deve-se adotar γ = No entanto, se isto for tilizado, os resltados da análise de caacidade resistente segndo os dois modelos de consideração somente coincidirão se o ré-alongamento e as cargas eqivalentes de rotensão forem comtados com base no mesmo valor de cálclo da força de rotensão. 3. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO SEGUNDO A NBR 6118 A segrança das estrtras de concreto deve semre ser verificada em relação aos estados limites últimos. Os estados limites de serviço são aqeles relacionados à drabilidade das estrtras, aarência, conforto do sário e à boa tilização fncional das mesmas, onde a segrança das estrtras de concreto ode exigir a verificação de algns estados limites de serviço, constantes das alíneas da NBR 6118 (ABNT, 003). Serão detalhados nesta seção rocedimentos de verificação do estado limite último de flexão ara seções de vigas rotendidas carregadas transversalmente e sjeitas à flexão simles, corresondente ao modelo 1, o comosta, corresondente ao modelo, segndo a NBR O esgotamento da caacidade resistente das eças de concreto estrtral tanto ode ocorrer ela rtra do concreto comrimido, qanto ela deformação excessiva da armadra tracionada. Tendo em vista as dificldades de caracterização do esgotamento da caacidade resistente das eças sbmetidas a solicitações normais, considera-se m estado limite último convencional, designado or estado limite último de rtra o de deformação lástica excessiva. Este estado limite último é alcançado qando na fibra mais comrimida de concreto o encrtamento é igal a m valor último convencional, o qando a armadra tracionada tem m alongamento igal ao valor último convencional. As relações constittivas resistentes ara os materiais estão indicadas nas Figs. 3.1 e 3..

45 7 Figra 3.1 Diagrama tensão-deformação arábola-retânglo idealizado ara concreto Figra 3. - Diagrama tensão-deformação ara armadras; a) assiva; b) ativa 3..1 CARACTERIZAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO O estado limite último é caracterizado qando a distribição das deformações na seção transversal ertencer a m dos domínios definidos na Fig. 3.3, o seja, a configração deformada deve ser tal qe asse or elo menos m dos ontos A, B o C.

46 8 Figra 3.3 Domínios do estado limite último (ELU) de ma seção transversal Na análise dos esforços resistentes foram consideradas as segintes hióteses: a) As seções transversais se mantêm lanas aós deformação. b) A deformação dos aços assivos aderentes o o acréscimo de deformação dos aços ativos aderentes em tração o comressão é o mesmo do concreto ao nível das armadras. A hiótese das seções lanas aós deformação ode ser reresentada ela seginte exressão: ε ε ( y) = ε 0 + φ y ; t ε φ = b (3.) H onde, y = distância da fibra considerada ao baricentro da seção (ositivo tomado ara cima); ε ( y) = deformação (ositivo ara alongamento); ε 0 = deformação da fibra assando elo CG da seção; φ = crvatra da seção; ε t = deformação da fibra no too da seção; ε b = deformação da fibra na base da seção; H = altra da eça. As deformações das fibras extremas corresondentes ao estado limite último odem ser convenientemente exressas em fnção de m único arâmetro adimensional, D (MUSSO, 1987). É aresentado abaixo rocedimento ligeiramente modificado de modo a inclir o domínio 4a. A deformação corresondente a fibra extrema de concreto comrimido, ε s ( D) extrema de aço tracionado, ε ( D) i, e a deformação corresondente a fibra, odem ser vistas na Fig. 3.4 ara m eríodo arbitrário D = 8 e a corresondente seção em análise. Na Tab. 3.1 é aresentada a corresondência entre os domínios 1 a 5 (ara momento ositivo) e 5` a 1` (ara momento negativo) com valor de D.

47 9 Figra 3.4 Gráfico das fnções eriódicas do arâmetro D na seção considerada Tabela 3.1 Corresondência entre os domínios do ELU e D Dom. D y s ε s (D)%0 y i ε i (D)%0 1 0 D < y 10 5 D s y 10 min D < 7 y D s y 10 min 3/4 7 D 1 y 3. 5 s 4a 1 < D < 13 y 3. 5 s 5 13 D < 14 y D s min min inf 5` 14 D 15 y 30 + D s inf 4a` 15 < D < 16 y max 16 ε 4a `+ ε 4a ` D inf 3`/4` 16 D < 1 y 3 + D max inf y 4 D y 1 ε ε D 4a 4a y 6 D y D y 3. 5 y 3. 5 ` 1 D < 6 y 10 max y D inf 1` 6 D 8 y 10 max y D inf onde, y s = distância da fibra extrema comrimida ao CG da eça; y i = distância da fibra extrema tracionada ao CG da eça. Ainda da Tab. 3.1 tem-se qe:

48 30 ara momento ositivo: = ( y y ) 3.5 ara momento negativo: ` = ( y y ) 3.5 ε 4a inf min (3.3) H ε 4a s max (3.4) H onde ε (e conseqüentemente ε `) corresonde ao segmento indicado na Fig As 4a demais variáveis odem ser vistas na Fig a Figra 3.5 Variável ε 4a Figra 3.6 Seção transversal genérica com armadra dla onde, y max = distância da armadra serior ao CG da eça; y min = distância da armadra inferior ao CG da eça.

49 ROTINAS DE CÁLCULO PARA VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES PROTENDIDAS Nesta etaa é aresentada ma descrição da seqüência lógica ara as rotinas de cálclo desenvolvidas com o software Mathcad 000 Professional (MathSoft, 000), acomanhada do flxograma contendo os rinciais assos ara a verificação de seções rotendidas no estado limite último de flexão segndo a NBR 6118 (ABNT, 003) Rotina 1 cálclo do momento último de rojeto elo modelo 1 Inicialmente são solicitados todos os dados necessários ao rocessamento da rotina. São dados referentes à seção de concreto, as camadas de armação e fatores de onderação. De osse desses dados de entrada inicia-se a análise da seção visando à obtenção do erfil de deformação da mesma. Para isso, os rinciais assos são exectados: definição das relações constittivas ara concreto e aço assim como a definição da fnção do esforço normal em relação às deformações seccionais, conforme exressão abaixo. Nr ys ( D) = b( y) cd ( ε ( y, D) ) dy + As σ sd ( ε ( y, D) ) + A σ d ( ε ( y, D) ) yinf σ (3.5) cam s onde, Nr = esforço normal resltante na seção; b ( y) = largra da seção na ordenada y ; cam s = camadas de armadra assiva na seção; cam = camadas de armadra ativa na seção. O erfil de deformações seccionais corresondentes ao estado limite último é encontrado resolvendo a exressão: ( D) = 0 cam Nr (3.6) onde com o valor de D calcla-se o valor do momento resistente de rojeto, Mr, ela seginte exressão: ys Mr( D) = b( y) cd ( ε ( y, D) ) y dy + As σ sd ( ε ( y, D) ) ys + A σ d ( ε ( y, D) ) y yinf σ (3.7) cam s cam

50 Rotina cálclo do momento último de rojeto elo modelo Nesta rotina também são fornecidos os dados referentes à seção de concreto, as camadas de armação e fatores de onderação. Como diferencial em relação à rotina 1 na análise da seção visando à obtenção do erfil de deformação, tem-se qe na definição da relação constittiva ara o aço de rotensão o mesmo tem sa origem deslocada ara o onto ( ε, ) σ. As demais relações constittivas em nada se alteram. O erfil de deformações seccionais no estado limite último é encontrado resolvendo a exressão: ( D) Nd = 0 Nr (3.8) onde Nd corresonde ao esforço normal atando na seção e é calclado ela exressão: Nd = N + γ f Nq (3.9) onde, N = valor de cálclo do esforço normal devido a rotensão (negativo ara comressão); γ f = fator de onderação dos esforços solicitantes; Nq = valor do esforço normal adicional. Com o valor de D calcla-se o momento resistente de rojeto conforme a exressão (3.7). Figra 3.7 Flxograma das rotinas 1 e

51 EXEMPLO Esta seção ilstra nmérica e graficamente as das rotinas desenvolvidas ara verificação de seções rotendidas no estado limite último de flexão segndo a NBR 6118 (ABNT, 003). Pode-se observar das Figs. 3.8 e 3.9 o fornecimento de dados da geometria da seção e relações constittivas dos materiais, assim como a obtenção do erfil de deformações seccionais e o momento último de rojeto ara a referida seção. Figra 3.8 Rotina 1

52 34 Figra 3.9 Rotina Da exressão.51 e Fig. 3.8, tem-se: ( D) = Mr ( D) Mr 1 P e (3.10) cam Mr ( D) = = MN-m (3.11) 1000 qe é idêntico ao valor da Fig Idênticos também são os erfis de deformações seccionais aresentados nas Figs. 3.8 e 3.9 (ver alínea.4.1.3).

53 35 CAPÍTULO 4 PÓRTICOS PROTENDIDOS 4.1 INTRODUÇÃO No caso de órticos carregados transversalmente, a verificação à flexão no estado limite último e de serviço, diferentemente do caso de vigas, envolve m roblema de flexão comosta, tanto no modelo 1 qanto no modelo de verificação da rotensão. 4. EXEMPLO Considere o órtico hierestático rotendido indicado na Fig. 4.1, onde o traçado do cabo de rotensão é dividido em qatro trechos arabólicos concordantes, como mostrado na Fig. 4. ara metade do vão da viga. O objetivo é determinar a intensidade do carregamento niformemente distribído ao longo de toda a viga, q, ara qe a rimeira seção atinja o estado limite último de flexão. A força efetiva de rotensão é P = 3.6 MN e com o roósito de simlificar a discssão do roblema adoto-se as simlificações constantes do item.4 (ver caítlo ). Verificaremos o órtico elos modelos 1 e como indicado na Fig. 4.3 a) e b), resectivamente. Serão analisadas das seções distintas da viga: a seção 1-1 e a seção -. Figra 4.1 Pórtico hierestático rotendido

54 36 Figra 4. Traçado do cabo no órtico e localização das seções analisadas Figra 4.3 Diagramas tensão-deformação; a) modelo 1; b) modelo 4..1 MODELO 1 Por ser ma estrtra hierestática a restrição elástica oferecida elos ilares do órtico acarretam o srgimento de esforços externos, denominados efeitos hierestáticos da rotensão, qe recisam ser levados em consideração na verificação à rtra. No

55 37 órtico em areço os efeitos hierestáticos são: momento fletor hierestático e esforço normal hierestático. O esforço normal hierestático ocasionado ela ação da rotensão corresonde à reação dos ilares do órtico a deformação axial imosta à viga ela rotensão, ocasionando assim m esforço normal de tração na eça qe leva a diminição do esforço normal de rotensão. Para cada seção o rocedimento de cálclo será: - Calclar o momento fletor resistente último, M. - Calclar o momento solicitante em fnção do carregamento externo nitário, M q1. - Da igaldade dos momentos resistentes e solicitantes calcla-se o valor de q ara qal a seção em areço atinja o estado limite último. Os momentos resistentes últimos nas seções 1-1 e - da viga, calclados em relação ao CG da seção, são dados or: ( M ) F ( y a ) + f A ( y cob ) = c inf 1 y s (4.1) onde, y s = y inf. F c A resltante das tensões de comressão vale: = f A (4.) y X 1 onde, X 1 = esforço normal hierestático de tração. A rofndidade do bloco de comressão é dada or: Fc a = (4.3) 0.85 f b M ck No modelo 1 o momento solicitante em ma dada seção vale: s q M q1 + X = (4.4) onde, X = momento fletor hierestático. Podemos romer a estrtra do órtico na sa seção de simetria, colocando nesta seção m vínclo qe imeça sa rotação e se deslocamento horizontal, deixando livre o deslocamento vertical, obtendo assim ma estrtra somente das vezes hierestática a resolver. A cada m dos deslocamentos imedidos corresonde ma reação do vínclo, existindo, no caso, ma reação de força e ma reação de momento, como mostrado na Fig. 4.4.

56 38 Figra 4.4 Ilstração do método da flexibilidade As eqações qe exrimem as condições de comatibilidade do sistema rincial da Fig. 4.4 odem ser escritas da forma: δ11 δ1 X 1 δ = δ 1 δ X δ 0 0 (4.5) onde δ 11, δ 1, δ 1 e δ corresondem as flexibilidades devido a alicação de ma carga nitária e momento nitário; δ 01 e δ 0 corresondem as deformações imostas a estrtra ela ação da rotensão. Alicando o rincíio dos trabalhos virtais, tem-se: 4 N 1 + M 1 δ = 11 N1 Lv M 1 dx (4.6) Ec Av 0 Ec I 4 M δ 1 = δ 1 = M 1 dx (4.7) 0 Ec I 10 4 M M δ = (4.8) + M dx M 0 Ec I v 0 Ec I dx P δ 01 = N 1 Lv Ec A (4.9) v

57 39 10 P e δ = 0 M dx (4.10) 0 Ec I v onde, A v = área da seção transversal da viga; I = momento de inércia do ilar; I v = momento de inércia da viga; L v = comrimento do trecho de viga considerada. Resolvendo o sistema ara os dados em areço tem-se: X = kn e X = kn-m, corresondentes aos efeitos hierestáticos da rotensão. A carga última, q, nas seções consideradas são: seção 1-1: ( q ) seção -: ( q ) ( M ) X 1 = (4.11) 1 M q1 ( M ) + X 1 = (4.1) 1 M q1 Dados do concreto e armação são descritos na Tab Na Tab. 4. são aresentados os resltados obtidos ara as seções 1-1 e -. Tabela 4.1 Dados nméricos ara o exemlo do órtico Dados do concreto e do aço f = 50 MPa E = MPa ck E = MPa ε = c 3 f = 1900 MPa A =.5 10 m y Tabela 4. Resltados ara o modelo 1 Modelo 1 Seção 1-1 Seção - F = 4.53 MN F = MN c a = m a = m ( M ) 668 MN-m ( ) = 3. ( q ) 14 MN/m ( ) = 0. c M = 3. MN-m 1 q = 0. MN/m 1 Carga última a ser adotada é ( ) 14 q = 0. MN/m. 1

58 MODELO Para cada seção o rocedimento de cálclo do momento resistente a ser tilizado será semelhante ao do modelo 1. No entanto, as seções neste modelo estão sjeitas ao esforço normal resltante da rotensão. Os momentos resistentes últimos nas seções 1-1 e -, são: ( M ) F ( y a ) + ( f ) A ( y cob ) F = c inf y σ s (4.13) A resltante das tensões de comressão vale: ( f ) A N = σ (4.14) c y + onde, N = esforço normal resltante da rotensão. O valor de N é dado ela diferença entre o valor da força efetiva de rotensão e o valor da reação exercida no aoio. A rofndidade do bloco de comressão, a, é dado como na exressão (4.3). O valor do momento solicitante em ma dada seção é: M = q M 1 + M (4.15) s q q As cargas eqivalentes de rotensão, tilizando as exressões (.6.9), valem: ( e + e ) P ( 1 1) ( ) w 3 = = kn/m (4.16) 3 ( 3 + 7) ( e + e ) P ( 1 1) ( ) w 7 = = kn/m (4.17) 7 ( 3 + 7) Na Fig. 4.5 a) tem-se o esqema da rotensão como carregamento externo e na Fig. 4.5 b) tem-se o diagrama de momentos fletores devido a esse carregamento assim como o diagrama de esforço normal resltante e as reações exercidas nos aoios, onde as nidades são o kn e m. Observe-se ainda da Fig. 4.5 b) qe as reações exercidas nos aoios corresondem a esforço normal de tração na viga do órtico, resonsável ela diminição do esforço normal de rotensão. Da Fig. 4.5 tem-se: N = = kn (4.18) qe corresonde ao esforço normal resltante da rotensão atando na viga do órtico.

59 41 Figra 4.5 Protensão como carregamento externo; a) cargas; b) diagramas e reações A carga última nas seções consideradas valem: seção 1-1: ( q ) seção -: ( q ) ( M ) + M q = (4.19) M q1 ( M ) M q = (4.0) M q1 Os valores nméricos obtidos estão mostrados na Tab Tabela 4.3 Resltados ara o modelo Modelo Seção 1-1 Seção - F = 4.53 MN F = MN c a = m a = m ( M ) 3 MN-m ( ) 3 =. ( q ) 14 MN/m ( ) 155 = 0. c M =. MN-m q = 0. MN/m

60 4 Carga última a ser adotada é ( ) 14 q = 0. MN/m, qe é idêntica ao valor da exressão (4.11). Idênticos também são os valores das exressões (4.1) e (4.0). As reações nos ilares do órtico são igais e devidas exclsivamente à ação da rotensão, qer considerando-se a rotensão como deformação imosta, qer como carregamento externo. O valor do momento fletor hierestático na seção - da viga ode ser calclado conforme exressão (.1). ( ) M = = kn-m (4.1) hi valor idêntico ao obtido no modelo 1, mostrando assim novamente a eqivalência dos modelos de verificação da rotensão. Observe-se qe a tilização do modelo simlifica a verificação, ma vez qe os esforços são diretamente obtidos das saídas dos rogramas de análise. Isto é articlarmente imortante no caso de estrtras como órticos e grelhas, onde a tilização do modelo 1 de verificação ode condzir a comlexos sistemas de eqações ara o tratamento das deformações imostas.

61 43 CAPÍTULO 5 LAJES PROTENDIDAS 5.1 INTRODUÇÃO No caso de lajes carregadas transversalmente, a verificação à flexão no estado limite último e de serviço, como no caso de órticos, envolve m roblema de flexão comosta, tanto no modelo 1 qanto no modelo de verificação da rotensão, ela ação do esforço normal hierestático e esforço normal de rotensão, resectivamente. Como visto anteriormente, o cálclo dos efeitos hierestáticos é relativamente simles no caso de vigas contínas, orém torna-se mais comlexo no caso de órticos e grelhas, sendo inviável no caso de lajes e cascas. No estdo de lajes, or conta da maior simlicidade de modelação e rogramação tiliza-se técnica bastante tilizada na rática do dimensionamento, qe consiste em modelar a laje como m conjnto de elementos de grelha. 5. MODELAGEM POR GRELHA A modelagem or grelha é bastante conhecida ela sa facilidade de comreensão, so e recisão dentro de ma larga variedade de seções de lajes. O método consiste em modelar a laje como m conjnto de elementos de grelha, distribindo a rigidez longitdinal e transversal da laje, resectivamente, nos elementos longitdinais e transversais da grelha, através de sas inércias a flexão e torção (HAMBLY, 1991). Considere ma laje dividida em faixas, onde cada faixa reresenta m elemento de grelha cjo eixo coincide com os das faixas, com roriedades geométricas de forma a reresentarem, o melhor ossível, a laje. As cargas são alicadas exclsivamente aos nós, sendo se valor a resltante do carregamento externo na área de inflência de cada nó. No resltado das análises tem-se descontinidade no diagrama de momentos nas das direções. Para os momentos fletores, em cada nó, tomaremos a média das das barras qe nele incidirem. No caso de momentos torsores tomaremos a média das qatro barras qe incidem nos nós. Considere ma laje com vãos de 4 x 3 m, resectivamente, nas direções X e Z, dividida em faixas de 0.5 m em ambas as direções ara modelagem or grelha e, malha de 1 or 8 ara elementos finitos (ver Fig. 5.1).

62 44 Figra 5.1 Laje modelada or grelha e elementos finitos Na modelagem or grelha, reresentaremos cada faixa or m elemento de grelha cjo eixo coincida com os das faixas. Cada elemento de grelha consiste nma barra, cja inércia a flexão é demonstrada a segir. Para vigas tem-se qe: M = E I κ (5.1) onde, M = momento fletor da viga; κ = crvatra na direção longitdinal da viga. Já ara lajes maciças isotróicas, o momento fletor or nidade de largra nas das direções, m, vale: 3 E h m = κ (5.) 1 (1 υ ) e M = s m (5.3)

63 45 3 E h E I κ = s κ (5.4) 1 (1 υ ) onde, 3 s h I = (5.5) 1 (1 υ ) com, h = altra da seção; υ = coeficiente de Poisson; s = largra considerada. A determinação da inércia a torção de cada elemento de grelha se baseia na eqação: T l φ = (5.6) G J onde, dφ = ω (5.7) z com, d φ = ânglo de torção no comrimento δ x ; T = momento torsor; l = comrimento da viga; G = módlo de cisalhamento; J = constante de torção; d ω = deslocamento na direção Y, como indicado na Fig. 5.. Conseqüentemente: dφ ω = dx x z (5.8) onde, dφ dx = κ = crvatra na direção XZ. Tem-se: xz T dφ = G J (5.9) dx Figra 5. Segmento de viga sjeito à torção

64 46 Para lajes maciças, o momento torsor or nidade de largra, m xz, vale: m xz 3 E h = (1 υ) κ xz (5.10) 1 (1 υ ) e M = s m T (5.11) xz xz = 3 E h E s (1 υ) κ xz = 1 (1 υ ) (1 + υ) J dφ dx (5.1) onde, 3 (1 + υ) E h J = s (1 υ) = E 1 (1 υ ) s h 6 3 (5.13) com, M xz = momento torsor da viga. Dados da laje e concreto são descritos na Tab Na Tab. 5. são aresentados os resltados das roriedades geométricas dos elementos de grelha e carga nodal a ser alicada em cada nó, resltado de m carregamento de 4.3 kn/m vezes à área de inflência de cada nó (0.5 m ). Tabela 5.1 Dados nméricos ara o exemlo Dados da laje e concreto Esessra = 0.08 m E = MPa f = 0 MPa υ = 0. ck cs Tabela 5. Resltados das roriedades geométricas e carga nodal Resltados A = 0.04 m 5 J = m I = m 4 Carga nodal = kn A Fig. 5.3 mostra o modelo de elementos de grelha tilizado ara reresentar a laje. Os aoios mostrados na Fig. 5.3 são engastados a torção e, as saídas do rograma de análise estrtral ara este método constam da Tab. 5.3 nos nós A e B indicados na figra. As Figs. 5.4, 5.5 e 5.6 mostram as saídas do rograma de análise estrtral, ara momentos fletores e momentos torsores, tilizando o Método dos Elementos Finitos,

65 47 cjos resltados na região róxima aos nós A e B da Fig. 5.3 também constam da Tab Figra 5.3 Conjnto de elementos de grelha ara o exemlo Figra 5.4 Momentos fletores na direção X

66 48 Figra 5.5 Momentos fletores na direção Z Figra 5.6 Momentos torsores na direção XZ

67 49 Tabela 5.3 Saídas do rograma de análise estrtral ara os dois métodos Saídas Modelagem or grelha Elementos finitos Deslocamento em Y (m) δ = δ = A centro da laje Momento fletor na direção X (kn-m / m) 0.5 ( ) m A = = 1.39 m A = Momento fletor na direção Z (kn-m / m) 0.5 ( ) m A = =.7 m A = Momento torsor na direção XZ (kn-m / m) 0.5 ( ) mb = = 1.75 m B = Os esforços e deslocamentos são semelhantes aos obtidos or elementos finitos e resltam em dimensionamento atendendo as condições do teorema do limite inferior da análise limite e, ortanto segro. Devido à variedade de formas estrtrais ara lajes de ontes e viadtos, objeto deste caítlo, é difícil recisar ma regra geral ara escolha das faixas a serem sadas na modelagem or grelha. Contdo, algmas recomendações são válidas, não devendo ser vistas como absoltas, mas sadas dentro de m bom jlgamento de engenharia, conforme descritas a segir: i. O conjnto de elementos de grelha deve ser locado de forma a acomanhar concentração de armação, cabos de rotensão o elementos ré-moldados integrantes das lajes, assim como ter ses nós coincidindo com os aoios da laje. ii. Considera-se como razoável esaçamento de ma a três vezes a altra da laje entre eixos dos elementos longitdinais e transversais. Ambos esaçamentos menores qe ¼ do vão efetivo da laje. iii. Recomenda-se ara os elementos longitdinais extremos da seção, qe ses eixos distem de 0.3 da altra da laje, de forma a osicionar esses elementos jnto a resltante dos esforços tangenciais devidos a ação de torção na laje. iv. No estdo de efeitos locais, como na região dos aoios, o refinamento da malha ode se tornar necessário.

68 EXEMPLO Considere o tableiro de m viadto hierestático rotendido indicado nas Figs. 5.7 e 5.8, onde o traçado dos cabos de rotensão é mostrado através das coordenadas descritas na Tab O objetivo é determinar a intensidade do máximo carregamento móvel sobre o tableiro do viadto através de m coeficiente de majoração da carga móvel, λ, ara qe a rimeira seção atinja o estado limite último de flexão. A força efetiva média de rotensão em cada m dos 16 segmentos, no qal foi dividido o vão, também é mostrada na Tab A seção transversal da laje do viadto aresenta céllas circlares ao longo de todo se comrimento, ma vez qe não foi revisto neste caso diafragma sobre os aoios da laje. A discssão do roblema adota os rocedimentos de verificação do estado limite último de flexão segndo a NBR 6118 (ABNT, 003). Tabela 5.4 Coordenadas e força efetiva de rotensão do cabo nos segmentos do vão Segmentos Excentricidade do cabo (m) Força efetiva de rotensão (kn) e inicial e médio e final P inicial P médio P final

69 51 O final dos segmentos 6 e 16 corresonde às seções 1-1 e -, resectivamente, da Fig Cada segmento tem 1.5 m de comrimento, totalizando os 4 m do vão. As forças constantes da Tab. 5.4 se referem à força de rotensão alicada aos 16 cabos da seção mostrada na Fig Figra 5.7 Vão da laje hierestática rotendida Figra 5.8 Seção transversal da laje Na modelagem or grelha do tableiro do viadto tilizo-se o conjnto de elementos de grelha mostrado na Fig As eças longitdinais internas tiveram ses eixos locados a meia distância entre os centros de céllas adjacentes e, as longitdinais externas a meia distância entre o limite da laje e o centro da célla adjacente, i.e., esaçamento de 1. m ara ambas as eças. As eças longitdinais externas e internas da grelha são reresentadas elas orções de seção ilstradas na Fig Como o diâmetro das céllas excede em 60% a altra da seção, a laje é tratada como ma laca ortotróica e as roriedades dos elementos longitdinais e transversais são determinadas searadamente (O BRIEN e KEOGH, 1999).

70 5 Figra 5.9 Conjnto de elementos de grelha tilizado O cálclo da inércia a flexão das orções de seções longitdinais sege a metodologia clássica, aqi aenas desrezando-se o valor (1 υ ) da exressão (5.5). Na determinação da inércia a flexão das orções de seções transversais recomenda-se sar o Método de Elliott (O BRIEN e KEOGH, 1999), onde o mesmo é ma fnção da altra da seção e diâmetro das céllas. 3 h d v i = h 4 onde, i = momento de inércia or nidade de largra; d v = diâmetro da célla. (5.14) Conseqüentemente, ara as orções de seções transversais, o momento de inércia vale: I t = s i (5.15) onde, l I t = momento de inércia das eças transversais; s l = medida do segmento longitdinal do elemento de grelha. Como fator de limitação, a exressão (5.14) não leva em conta o esaçamento das céllas. Sendo as céllas da seção esaçadas de três a qatro vezes a altra da seção, não se oderia tilizar a exressão (5.14), ma vez qe as eças transversais teriam ma

71 53 maior rigidez. Esta exressão considera também qe o centro das céllas e o centróide da seção estão a meia altra. Para a inércia a torção de lajes vazadas or nidade de altra, recomenda-se sar o Método de Ward e Cassell (O BRIEN e KEOGH, 1999). Este fornece os valores constantes na Tab. 5.5 ara a razão de rigidez a torção de lajes vazadas ara lajes maciças de mesma altra. Tabela 5.5 Razão de rigidez a torção d v s v d v h Da Fig. 5.8 tem-se qe ambas as razões d v h e d v s são 0.67, onde, d v v = diâmetro da célla e s v = esaçamento entre centróides de céllas adjacentes. Interolando os valores da Tab. 5.5 obtém-se ma razão de rigidez a torção de 0.83, onde a constante de torção ara as eças longitdinais e transversais da grelha valem: 3 h j = 0.83 (5.16) 6 J l = st j (5.17) J t = sl j (5.18) onde, j = constante de torção or nidade de largra; J l = constante de torção das eças longitdinais; J t = constante de torção das eças transversais; s t = medida do segmento transversal do elemento de grelha. A Tab. 5.6 sintetiza as roriedades geométricas das eças longitdinais e transversais do modelo de grelha adotado.

72 54 Tabela 5.6 Síntese das roriedades geométricas Proriedades das seções Longitdinal Externa Longitdinal Interna Transversal A = m A = m A = 1. 8 m I = m 4 I = m 4 I = m 4 J = 0.87 m 4 J = m 4 J = m 4 As fotos segintes ilstram a execção de m trecho crvo do tableiro de m viadto hierestático rotendido, ertencente ao comlexo viário do Aeroorto Internacional do Recife/Gararaes Gilberto Freyre. Foto 5.1 Moldagem das céllas Foto 5. Armação da laje Foto 5.3 Concretagem da laje Foto 5.4 Macaco de rotensão

73 CARREGAMENTO O carregamento alicado aos nós dos elementos de grelha consiste da comosição de cargas distribídas mltilicadas ela área de inflência de cada nó e cargas concentradas. As cargas distribídas consistem do eso rório das seções, avimentação e carga de mltidão. As cargas concentradas originam-se das rodas do veíclo. O valor das cargas distribídas ela área de inflência de cada nó vale: i) ara eso rório: Fext = Aext b 5 kn/m 3 (5.19) F = A b 5 kn/m 3 (5.0) int int ii) ara avimentação: a F ext = b es 4 kn/m 3 (5.1) F = a b es 4 kn/m 3 (5.) int iii) ara carga de mltidão: a F b 5 ext = kn/m (5.3) F int = a b 5 kn/m (5.4) onde, distribído; F ext = carregamento concentrado nos nós da seção externa devido carregamento carregamento distribído; F int = carregamento concentrado nos nós da seção interna devido A ext = área da seção transversal da eça longitdinal externa; A int = área da seção transversal da eça longitdinal interna; a = altra da área de inflência; b = base da área de inflência; es = esessra do avimento = 0.07 m. A Fig mostra as áreas de inflência ara os nós das eças longitdinais externas e internas.

74 56 Figra 5.10 Área de inflência dos nós A Fig mostra a carga distribída de mltidão e as cargas concentradas do veíclo de classe 45 sobre ma região da laje do viadto. A Fig também exemlifica a simlificação adotada no tratamento das cargas móveis sobre a laje. Figra 5.11 Carregamento de mltidão e veíclo A carga concentrada das rodas do veíclo coincide com os nós da grelha no sentido longitdinal ara as hióteses de carregamento das Figs e O mesmo não ocorre no sentido transversal, sendo necessária a distribição dessa carga como ilstra a Fig A Tab. 5.7 resme o valor das cargas alicadas aos nós dos elementos de grelha.

75 57 Figra 5.1 Distribição das cargas do veíclo nas eças transversais Tabela 5.7 Resmo do valor das cargas alicadas aos nós Cargas (kn) Seções Longitdinal Externa Longitdinal Interna Peso Prório Pavimentação Mltidão Veíclo 60 Conforme Fig HIPÓTESES DE CARREGAMENTO No rojeto de ontes e viadtos, em geral, cada vão da estrtra é dividido em dez segmentos, originando em cada vão onze seções ara análise em cada ma das vigas rinciais. Neste caso, estão sendo analisadas aenas qatro seções das eças longitdinais, das na orção externa e das na orção interna, conforme Figs. 5.7 e 5.9. Na determinação do máximo carregamento móvel sobre o tableiro do viadto ara qe ma das qatro seções em areço atinja o estado limite último de flexão, considero-se das hióteses de carregamento: hiótese 1 e hiótese. Na hiótese 1 as cargas das rodas centrais do veíclo foram osicionadas no rimeiro vão a 15 m do aoio central, conforme ordenadas da linha de inflência de

76 58 momentos fletores ara a seção 1-1 do viadto. As demais cargas foram alicadas somente aos nós do rimeiro vão. Na hiótese as cargas das rodas centrais do veíclo foram osicionadas no rimeiro vão a 10.5 m do aoio central, conforme ordenadas da linha de inflência de momentos fletores ara a seção - do viadto. As demais cargas foram alicadas aos nós dos dois vãos. A Fig ilstra as linhas de inflência das seções consideradas. As Figs e 5.15 mostram o osicionamento das cargas do veíclo nas hióteses 1 e. Figra 5.13 Linhas de inflência das seções consideradas da laje Figra 5.14 Hiótese 1 de carregamento das cargas do veíclo

77 59 Figra 5.15 Hiótese de carregamento das cargas do veíclo MODELO 1 Pelo Princíio de St Venant, considerando niforme a tensão de rotensão qe ata nas seções 1-1 e - da laje do viadto, osteriormente sbdividindo roorcionalmente essa tensão nas orções de seção qe formam os elementos de grelha longitdinal e sbtraindo-se do esforço normal total dela resltante o esforço normal isostático de rotensão em cada orção de seção, obtêm-se os esforços normais hierestáticos de rotensão. Esses esforços normais hierestáticos corresondem a forças de tração e comressão, conforme arcela da força efetiva de rotensão alicada à orção de seção analisada. Este rocedimento é mostrado a segir, tomando or base as informações constantes da Tab. 5.4 e Fig i) seção 1-1: ( ) ( Pfinal ) 1 1 ( A ) 1 1 σ (5.5) 1 1 = seção i.1) orção externa: ( tot ) ( ) Aext N ext 1 1 = σ (5.6) ( iso ) = ( Pfinal ) ext N (5.7) 16

78 60 i.) orção interna: ( N tot ) ( ) Aint int = σ (5.8) 1 1 ( N iso ) = ( P ) int final (5.9) ii) seção -: ( ) = ( Pfinal ) ( Aseção ) σ (5.30) ii.1) orção externa: ( tot ) ( ) Aext N ext = σ (5.31) 3 ( N iso ) = ( P ) ext final 16 (5.3) ii.) orção interna: ( ) ( ) Aint N tot int = σ (5.33) ( N iso ) = ( P ) int final 16 (5.34) ara ambas vale: N hi = N N (5.35) tot iso onde, σ = tensão de comressão na seção considerada da laje; P final = força efetiva de rotensão na seção considerada da laje; N tot, N iso e N hi = esforços normais de rotensão na orção de seção considerada da laje, resectivamente, esforço normal total, isostático e hierestático. A Tab. 5.8 resme os valores de esforços normais. Tabela 5.8 Resmo dos valores dos esforços normais Seção 1-1 Esforço Normal (MN) Externa Interna N hi N tot Seção - Esforço Normal (MN) Externa Interna N hi N tot

79 61 O srgimento desses efeitos hierestáticos da rotensão recisam ser levados em consideração na verificação à rtra da seção. Na estrtra em areço os efeitos hierestáticos são: momento fletor hierestático e esforço normal hierestático. Para cada orção de seção o rocedimento de cálclo será: - Calclar o momento fletor resistente último, Mr ( D). - Obter dos rogramas comerciais de análise estrtral o momento solicitante em fnção do carregamento externo ermanente, M g. - Obter dos rogramas comerciais de análise estrtral o momento solicitante em fnção do carregamento externo móvel, M q. - Da igaldade dos momentos resistentes e solicitantes calcla-se o coeficiente de majoração do máximo carregamento externo móvel, λ, ara qal ma das seções em areço atinja o estado limite último. s No modelo 1 o momento solicitante em ma dada seção vale: M = 1.35 M λ ϕ M + M (5.36) e g q hi ϕ = l = 1.3 (5.37) onde, ϕ = coeficiente de imacto ara obras rodoviárias; l = comrimento, em metros, de cada vão teórico do elemento carregado, segndo a NBR 7187 (ABNT, 1987). O valor do momento hierestático de rotensão é obtido conforme a exressão (.1), onde o momento total devido a rotensão na seção considerada foi obtido dos rogramas comerciais de análise estrtral e o momento isostático de rotensão da seginte eqação: M iso = N iso e (5.38) Os valores, em MN-m, dos momentos resistentes últimos, momentos solicitantes em fnção do carregamento externo ermanente, momentos solicitantes em fnção do carregamento externo móvel, momentos hierestáticos devidos a rotensão e coeficiente de majoração do carregamento externo móvel (adimensional), nas orções externa e interna das seções 1-1 e - da laje do viadto nas hióteses de carregamento 1 e, são mostrados na Tab. 5.9, sendo ilstrado nas Figs e 5.17 o cálclo dos momentos resistentes últimos ara a orção externa da seção 1-1 e ara a orção interna da seção -, através da rotina 1 de cálclo desenvolvida no caítlo 3.

80 6 Hiótese 1 ( D) Tabela 5.9 Resmo dos valores ara o modelo 1 Mr.35 M g Seção q hi.848 M M λ Externa Interna Hiótese ( D) Mr.35 M g Seção q hi.848 M M λ Externa Interna Hiótese 1 ( D) Mr.35 M g Seção q hi.848 M M λ Externa Interna Hiótese ( D) Mr.35 M g Seção q hi.848 M M λ Externa Interna O coeficiente de majoração do máximo carregamento externo móvel a ser adotado da Tab. 5.9 é λ = 1.76.

81 63 Figra 5.16 Momento resistente último da orção externa na seção 1-1

82 64 Figra 5.17 Momento resistente último da orção interna na seção -

83 MODELO Analogamente ao modelo 1, no modelo o momento solicitante em ma dada seção vale: M = 1.35 M λ ϕ M + M (5.39) s g q q A Tab mostra os valores, em MN-m, dos momentos da exressão (5.39) e λ (adimensional). As Figs e 5.19 dão continidade as Figs e Hiótese 1 ( D) Tabela 5.10 Resmo dos valores ara o modelo Mr.35 M g Seção q q.848 M M λ Externa Interna Hiótese ( D) Mr.35 M g Seção q q.848 M M λ Externa Interna Hiótese 1 ( D) Mr.35 M g Seção q q.848 M M λ Externa Interna Hiótese ( D) Mr.35 M g Seção q q.848 M M λ Externa Interna

84 66 Figra Momento resistente último da orção externa na seção 1-1

85 67 Figra Momento resistente último da orção interna na seção -