OTIMIZAÇÃO DE ELEMENTOS PRÉ- MOLDADOS DE CONCRETO: LAJES ALVEOLARES E VIGAS COM CABO RETO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA, ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL OTIMIZAÇÃO DE ELEMENTOS PRÉ- MOLDADOS DE CONCRETO: LAJES ALVEOLARES E VIGAS COM CABO RETO REBECA FREITAS VASCONCELOS D0097E14 GOIÂNIA 2014

2 REBECA FREITAS VASCONCELOS OTIMIZAÇÃO DE ELEMENTOS PRÉ- MOLDADOS DE CONCRETO: LAJES ALVEOLARES E VIGAS COM CABO RETO Dissertação aresentada ao Programa de Pós-Graduação em Geotecnia, Estruturas e Construção Civil da Universidade Federal de Goiás ara obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Concentração: Mecânica das Estruturas Orientadora: Sylvia Regina Mesquita de Almeida, DSc. D0097E14 GOIÂNIA 2014

3 Ficha catalográfica elaborada automaticamente com os dados fornecidos elo(a) autor(a), sob orientação do Sibi/UFG. Freitas Vasconcelos, Rebeca Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto [manuscrito] / Rebeca Freitas Vasconcelos f.: il. Orientador: Profa. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil (EEC), Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - Geotecnia, Estruturas e Construção Civil, Goiânia, Bibliografia. Aêndice. Inclui abreviaturas, símbolos, gráfico, tabelas, lista de figuras, lista de tabelas. 1. Otimização Paramétrica. 2. Branch and Bound. 3. Protensão. 4. Concreto Pré-Moldado. 5. Lajes Alveolares. I. Mesquita de Almeida, Sylvia Regina, orient. II. Título.

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6 A Deus e ao meu esoso, Luís Henrique. A eles meu eterno amor.

7 AGRADECIMENTOS A Deus, autor da vida e redentor, or me dar a vida, me caacitar, me sustentar e ser o motivo da minha alegria. A Ele toda honra e toda glória. Ao meu esoso, Luís Henrique, elo aoio em quaisquer circunstâncias, or nunca me deixar desistir, or desemenhar as minhas funções em momentos crucias ara que a nossa vida e nossa casa não se tornassem um caos, or seu amor, carinho, comreensão, orgulho e admiração que são as minhas motivações ara ir além. A minha querida orientadora, Sylvia, or sua incrível aciência, or ser meu exemlo de rofissional, elas orientações e ensinamentos e or tornar cada encontro uma lição de vida. A minha família, elo aoio, comreensão e or nossos momentos de descontração que tornaram esse eríodo mais agradável. Aos rofessores da área de estruturas do PPG-GECON, elas críticas e elogios que me fizeram crescer, or fazerem de mim uma mestre e elo razer de ensinar. Aos meus colegas de turma, elas trocas de conhecimento, or comartilharmos momentos de reocuação, angústia, e muitas risadas. Ao secretário do rograma, Ricardo, or sua rontidão e eficiência em atender e tirar dúvidas. À CAPES e à UFG, elo aoio financeiro e instrumentos de estudo.

8 RESUMO Este trabalho aresenta a alicação de técnicas de otimização ara o dimensionamento de lajes alveolares e vigas com cabo reto ré-moldadas e rotendidas, considerando o cálculo tanto das erdas imediatas quanto das deendentes do temo. Para as lajes, a formulação ermite que o rojetista obtenha as dimensões ótimas da altura do ainel, dos diâmetros dos alvéolos e dos cabos, e do número de cabos. Nas vigas, são obtidas a altura da viga, o diâmetro e o número dos cabos. São, ainda, observadas as condições de serviço ara esforços de flexão, limitações construtivas e condições de falha. Exemlos ilustrativos são aresentados usando o algoritmo de Branch and Bounde o Lingo(PLS). São feitos, ainda, comarativos entre o eso e o custo do ainel e entre os resultados obtidos elo algoritmo e tabelas de dimensionamento encontradas na literatura que seguem normas brasileiras. Conclui-se que o rojeto ótimo aresenta inúmeras vantagens se comarado ao rojeto convencional, que os métodos de variação discreta caracterizam melhor as variáveis ótimas do roblema, que as restrições relativas às tensões normais do ELS são determinantes na obtenção das dimensões ótimas das estruturas e que ainéis de menor eso não necessariamente reresentam o menor custo. Palavras-chave: Otimização aramétrica; Branch and Bound; Protensão; Concreto rémoldado; Lajes Alveolares; Vigas com cabo reto.

9 ABSTRACT This work resents the alication of otimization techniques for the design of hollow core slabs and beams with recast and restressed straight cable, considering the calculation of both the immediate losses as the time-deendent. For the slabs formulation allows the designer to obtain the otimal dimensions of the height of the anel, the diameters of the cables and the alveoli, and the number of cables. The beams are obtained beam height, diameter and the number of cables. Are still subject to the conditions of service for bending stresses, constructive limitations and failure conditions. Illustrative examles are resented using the Branch and Bound algorithm and Lingo (PLS), further comarison is made between the weight and the cost of the anel, and from the results of the algorithm and sizing Munte tables that follow Brazilian standards. We conclude that the otimal design has many advantages comared to conventional design, methods of discrete variation that best characterize the otimal variables of the roblem, restrictions on the normal stresses ELS are crucial in obtaining the otimal dimensions of the structures and lower anels weight does not necessarily reresent the lowest cost. Keywords: Parametric otimization; Branch and Bound; Prestressing; Precast concrete; Hollow core slabs; beams with straight cable.

10 LISTA DE FIGURAS Figura Variação da deformação lenta irreversível, ccf (t), com o temo Figura Variação de f (t) Figura Variação do s (t) Figura Painéis alveolares: (a) ista de rotensão; (b) colocação na obra Figura 3.2 Características geométricas do ainel alveolar Figura Posição da linha neutra no ainel, demarcando a área resistente do concreto. a) Linha neutra na caa de regularização. b) Linha neutra acima dos alvéolos. c) Linha neutra sobre os alvéolos Figura 3.4 Viga ré-moldada - colocação na obra Figura 3.5 Características geométricas da viga isostática Figura Posição da linha neutra na viga, demarcando a área resistente do concreto. a) Linha neutra na laje. b) Linha neutra na mesa. c) Linha neutra na nervura Figura 4.1 Reresentação esquemática do algoritmo de Branch and Bound Figura 5.1 Características geométricas do ainel alveolar Figura 5.2 Características geométricas da viga isostática R. F. VASCONCELOS Lista de Figuras

11 LISTA DE TABELAS Tabela Classes de agressividade ambiental Tabela Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à roteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental Tabela Carregamento aresentados nos ainéis Tabela Condições, combinações e limites ara verificação de tensões normais Tabela Coeficientes δ gi, δ qi e ψ q1 em cada etaa de análise Tabela Carregamentos aresentados nas vigas Tabela Coeficientes δ gi, δ qi e ψ q1 em cada etaa de análise Tabela Parâmetros de rojeto dos exemlos Tabela Variáveis de rojeto araexemlo Tabela Parâmetros de rojeto do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela 5.5 Perdas diferidas de rotensão nas soluções do exemlo Tabela Parâmetros da análise do exemlo Tabela Estudo da adequação dos arâmetros adotados Tabela Variáveis de rojeto do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela Variáveis de rojeto do exemlo Tabela Parâmetros de rojeto do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela 5.14 Perdas diferidas de rotensão nas soluções do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela Resultados do exemlo Tabela A.1 Ações ermanentes diretas agruadas Tabela A.2 Ações ermanentes diretas consideradas searadamente Tabela A.3 Ações variáveis consideradas conjuntamente Tabela A.4 Ações variáveis consideradas searadamente R. F. VASCONCELOS Lista de Tabelas

12 Tabela A.5 Coeficiente f = f1 f3 ara ELU Tabela A.6 Valores do coeficiente f Tabela A.7 Combinações últimas Tabela A.8 Combinações de serviço Tabela A.9 - Valores de 1000, em orcentagem Tabela A.10 - Valores numéricos usuais ara a determinação da fluência e da retração Tabela A.11 - Valores da fluência e da retração em função da velocidade de endurecimento do cimento Tabela A.12 Limites ara deslocamento Tabela A.13 Tolerância de fabricação de elementos ré-moldados Tabela A.14 - Coeficiente de minoração devido à suerfície rugosa R. F. VASCONCELOS Lista de Tabelas

13 LISTA DE ABREVIATURAS ABNT B&B CAA CAA I CAA II CAA III CAA IV CAPES CF CPI CPII CPIII CPIV CPV-ARI CQP CR D E ELS ELS-CE ELS-D ELS-DEF ELS-DP - Associação Brasileira de Normas e Técnicas - Branch and Bound - Classe de Agressividade Ambiental - Classe de Agressividade Ambiental Fraca - Classe de Agressividade Ambiental Moderada - Classe de Agressividade Ambiental Forte - Classe de Agressividade Ambiental Muito Forte - Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior - Combinação frequente - Cimento Portland Comum - Cimento Portland Comosto - Cimento Portland Auto-Forno - Cimento Portland Pozolâmico - Cimento Portland de Alta Resistência Inicial - Combinação quase ermanente - Combinação rara - Desfavorável - Ações Excecionais - Estado Limite de Serviço - Estado Limite de Serviço de Comressões Excessivas - Estado Limite de Serviço de Descomressão - Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas - Estado Limite de Serviço de Descomressão Parcial R. F. VASCONCELOS Lista de Abreviaturas

14 ELS-F ELS-SN ELS-VE ELS-W ELU F G MSV NBR NV PPG-GECON PLS Q RB RC RELU RELS_D RFEND RTN V - Estado Limite de Serviço de Formação de Fissura - Estado Limite de Serviço de Solicitações Normais - Estado Limite de Serviço de Vibrações Excessivas - Estado Limite de Serviço de Abertura de Fissuras - Estado Limite Último - Favorável - Ações Permanentes - Melhor solução viável - Norma Brasileira - Solução não viável - Programa de Pós-graduação em Geotecnia, Estruturas e Construção Civil - Programação Linear Sequencial - Ações variáveis - Relaxação baixa - Restrição Construtiva - Restrições do Estado Limite Último - Restrições do Estado Limite de Serviço de Deformação - Restrição ao fendilhamento - Restrição de Tensões Normais nas fases construtivas e em serviço do Estado Limite de Serviço - Solução viável R. F. VASCONCELOS Lista de Abreviaturas

15 LISTA DE SÍMBOLOS a a A c A caa N A caa A c,nerv A laje N A m N A n A N A N A região A região A s A sw A t A sm A viga b b f B i B s b w - Área efetiva de um cabo - Distância entre os ontos de momento nulo e máximo na eça - Área de concreto da seção comosta - Área da caa de regularização - Área de rotensão necessária ara absorver os esforços da caa de regularização - Área da seção transversal do concreto da nervura - Área da laje - Área de rotensão necessária ara absorver os esforços da mesa - Área de rotensão necessária ara absorver os esforços da nervura - Área de rotensão - Área de rotensão necessária - Área de rotensão necessária ara absorver os esforços da resectiva região + Área da resectiva região - Área da seção transversal da viga - Área da armadura transversal - Área da seção comosta na viga - Área da seção transversal do ainel - Área da seção transversal da viga - Largura do ainel / viga - Largura útil da laje - Largura inferior da viga - Largura suerior da viga - Largura útil R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

16 b w nerv cob d d 0 D a D e E ci E cs E cs_rot E f ( t 0 ) f c c ( t f cd f cd caa f cd laje ) - Largura útil da nervura - Cobrimento da armadura - Altura útil - Altura útil limite entre a mesa e a nervura - Diâmetro dos alvéolos - Diâmetro da armadura de rotensão - Excentricidade da armadura de rotensão - Módulo de elasticidade tangente do concreto - Módulo de elasticidade secante do concreto, aos 28 dias - Módulo de elasticidade secante do concreto no momento da rotensão - Módulo de elasticidade do aço - Função do crescimento da resistência do concreto com a idade - Resistência de cálculo à comressão do concreto - Resistência de cálculo à comressão do concreto da caa de regularização - Resistência de cálculo à comressão do concreto da laje f ck - Resistência característica à comressão do concreto do ainel / da viga aos 28 dias f ckcaa - Resistência característica à comressãodo concreto da caa de regularização aos 28 dias f ckj f cklaje f ctd,fis f ctk,inf f ct,m f g1 - Resistência característica à comressão do concreto com j dias de idade - Resistência característica à comressão do concreto da laje aos 28 dias - Tensão resistente de fissuração - Resistência característica do concreto à tração - Resistência média do concreto à tração - Flecha devido a carga ermanente do ainel / da viga R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

17 f g2 f g3 F obj f f tk f yd f ywd f yk f q g 1 g 2 g 3 g ed g k h h c h fic h i h ii hl h av h s h si - Flecha devido a carga ermanente da caa de regularização / da laje / do telhado - Flecha devido a carga ermanente do revestimento - Função objetivo - Flecha devido a rotensão - Resistência à tração do aço - Tensão de escoamento de cálculo do aço - Tensão na armadura transvesal assiva - Tensão de escoamento característica do aço - Flecha devido a carga variável de utilização - Carga ermanente do ainel / viga - Carga ermanente da caa de regularização / laje / telhado - Carga ermanente do revestimento - Carga estática equivalente de cálculo ermanente - Carga estática característica ermanente - Altura do ainel / viga - Altura da caa de regularização - Esessura fictícia da eça - Altura da arte retangular inferior da viga - Altura da arte triangular inferior da viga - Altura da laje - Esessura do revestimento - Altura da arte retangular suerior da viga - Altura da arte triangular suerior da viga I base - I c - Momento de inércia da seção do ré-moldado R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

18 I inf I s I sm I st k l t1 L L 0 L grade L ista M caad M d,max M g M g1 M g2 M g3 M lajed M md M nd M M q M q1 M q2 M Rd - Inferior - Inferior - Momento de inércia da viga - Momento de inércia da seção transversal do ainel - Momento de inércia total em relação ao novo centro de gravidade - Meia altura do núcleo de rigidez na nervura - Valor inferior de rojeto ara o comrimento de transmissão - Comrimento do ainel / viga - Comrimento inicial do cabo - Comrimento do cabo que excede - Comrimento da ista - Momento absorvido ela caa de regularização - Momento máximo de orjeto - Momento devido às cargas ermanentes - Momento devido à carga ermanente do ainel /da viga - Momento devido à carga ermanente da caa de regularização / da laje / do telhado - Momento devido à carga ermanente do revestimento - Momento absorvido ela laje - Momento absorvido ela mesa - Momento absorvido ela nervura - Momento efetivamente transmitido ao concreto - Momento devido às cargas variáveis - Momento devido à carga variável de utilização - Momento devido à carga variável de montagem - Momento resistente de cálculo R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

19 M regiãod M sd n a n c P(t) P 0 P P a P final P i P nd q 1 q 2 R caad R lajed R md R nd R regiãod R sd s s S su t U - Momento absorvido ela região - Momento solicitante de cálculo - Número de alvéolos - Número de cabos - Força de rotensão resectiva a cada etaa analisada - Força de rotensão aós a deformação inicial do concreto - Força de rotensão em serviço - Força efetivamente transmitida ao concreto contabilizando as erdas or atrito, or escorregamento da ancoragem e or relaxação da armadura - Força de rotensão aós ocorrerem todas as erdas - Força de rotensão inicial - Força de neutralização - Carga variável de utilização - Carga variável de montagem - Reação absorvida ela caa de regularização - Reação absorvida ela laje - Reação absorvida ela mesa - Reação absorvida ela nervura - Reação absorvida ela região - Reação solicitante de cálculo a ser absorvida - Coeficiente - Esaçamento entre elementos da armadura transversal - Suerior - Suerior - Idade efetiva do concreto, em dias - Umidade relativa do ambiente R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

20 u ar t 0 - Parte do erímetro externo da seção transversal da eça em contato com o ar - Idade inicial, em dias T i - Temeratura média diária do ambiente, em ºC T roj - Temeratura de rojeto, em ºC U V sd V Rd1 V Rd2 W nerv W s W sm W st W T y CGt y s y sm y st x x 1Lim x 2Lim Z Z - Umidade relativa - Esforço cortante de solicitação de cálculo - Resistência de rojeto ao cisalhamento - Resistência de cálculo das diagonais comrimidas - Módulo resistente da nervura - Módulo de resistência da viga - Módulos de resistência do ainel - Módulos de resistência da seção comosta do ainel - Módulo de resistência da seção comosta da viga - Centro de gravidade da seção comosta - Ordenada das fibras extremas da viga - Ordenada das fibras extremas do ré-moldado - Ordenadas das fibras extremas da seção comosta -Posição da linha neutra - Posição limite entre a caa / laje e o ainel / a viga - Posição limite entre a mesa e a nervura - Braço de alavanca - Braço de alavanca referente à resectiva região α α β 1 - Coeficiente deendente da velocidade de endurecimento do cimento - Ângulo de inclinação da armadura transversal - Coeficiente R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

21 β a β a1 β a2 β c - Coeficiente de amlificação dinâmica - Coeficiente de amlificação dinâmica do transorte ara carga ermanente desfavorável - Coeficiente de amlificação dinâmica do transorte ara carga ermanente favorável - Coeficiente de minoração alicado ao concreto devido à suerfície rugosa d - Coeficiente relativo à deformação lenta reversível função do temo (t-t 0 ) decorrido aós o carregamento f - Coeficiente relativo à deformação lenta irreversível s - Coeficiente relativo à retração, no instante t ou t 0 (t,t 0 ) anc δ gi L P anc P ri δ qi ΔP imd ΔP dif t - Coeficiente de fluência do aço - Valor do deslizamento dado elo fabricante do equiamento - Redução na deformação da armadura - Fator que indica a resença ou ausência do carregamento ermanente i em cada combinação de análise - Pré-alongamento do cabo - Redução na força transmitida ao concreto devida à ancoragem - Perda de rotensão devida à relaxação inicial da armadura, ocorrida entre o estiramento e o corte dos cabos - Fator que indica a resença ou ausência do carregamento ermanente i em cada combinação de análise - Perdas imediatas - Perdas diferidas - Temo de estiramento do cabo em dias t ef,i - Período, em dias, durante o qual a temeratura média diária do ambiente (T i ), ode ser admitida constante R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

22 (t,t 0 ) i 1s s c cc cca ccd ccf cp - Perda de tensão or relaxação ura desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado -Redução da tensão na armadura - Coeficiente deendente da umidade relativa do ambiente eda consistência do concreto - Coeficiente deendente da esessura fictícia da eça - Deformação esecífica do concreto - Deformação or fluência do concreto - Deformação ráida or fluência - Parcela reversível da deformação or fluência - Parcela irreversível da deformação or fluência - Deformação do concreto na fibra do centro de gravidade cs (t,t 0 ) - Deformação or retração entre t e t 0 cs c,tot P0 Pa γ γ a γ ca γ cs γ f γ f1 γ f2 - Deformação final or retração - Deformação esecífica total do concreto - Deformação resultante do aço - Deformação na armadura durante a transmissão da força ao concreto - Coeficiente deendente da umidade relativa do ambiente (U%) - Peso esecífico do aço - Peso esecífico do concreto armado - Peso esecífico do concreto simles - Coeficiente de onderação - Coeficiente de onderação que considera a variabilidade das ações - Coeficiente de onderação que considera a simultaneidade de atuação das ações e tem valor variável conforme a verificação de rojeto R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

23 γ f3 (t,t 0 ) - Coeficiente de onderação que considera os desvios gerados nas construções e as aroximações feitas em rojeto do onto de vista das solicitações - Coeficiente de fluência do concreto no instante t, ara rotensão e carga ermanente, alicadas no instante t 0 1c 2c a d d f f 1 - Coeficiente deendente da umidade relativa do ambiente U, em orcentagem e da consistência do concreto - Coeficiente deendente da esessura fictícia da eça - Coeficiente de deformação ráida - Coeficiente de deformação lenta reversível - Valor final do coeficiente de deformação lenta reversível - Coeficiente de deformação lenta irreversível - Coeficiente de deformação lenta irreversível - Taxa de armadura - Taxa geométrica da armadura de rotensão - Tensão normal de rojeto nas fases de análise C - Limite de comressão rescrito ara tensão normal no concreto cp cp0 c_cisa σ cfinal P0 Pa i s - Tensão no concreto - Tensão no concreto localizada no centro de gravidade da armadura aós a deformação inicial do concreto - Tensão de comressão do concreto devido à força de rotensão de rojeto - Tensão no concreto na fibra do centro de gravidade da armadura - Tensão efetiva na armadura - Tensão na armadura durante a transmissão da força -Tensão na armadura na oeração de rotensão -Tensão na nervura mais solicitada R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

24 T - Limite de tração rescrito ara a tensão normal no concreto rd sd 1000 (t,t 0 ) Ψ 1 Ψ 2 Ψ ELS-D Ψ ELS-F Ψ q1 - Tensão de cisalhamento resistente - Tensão de cisalhamento solicitante - Valor médio da relaxação medido aós 1000 h à temeratura constante de 20ºC em uma faixa da tensão localizada entre 50% e 80% da resistência característica da armadura - Coeficiente de relaxação, medido desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado - Fator de redução de combinação frequente ara ELS - Fator de redução de combinação quase ermanente ara ELS - Fator de redução da combinação ara verificação do ELS-D - Fator de redução da combinação ara verificação do ELS-F - Fator de redução nas combinações de serviço R. F. VASCONCELOS Lista de Símbolos

25 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO TRABALHOS NA ÁREA DE ESTRUTURAS PRÉ-MOLDADAS OBJETIVOS DO TRABALHO ORGANIZAÇÃO DO TEXTO CONCEITOS BÁSICOS SOBRE PROTENSÃO AÇÕES E COEFICIENTES Classificação quanto à aderência Classificação quanto ao grau de rotensão Estados limites Ações a serem consideradas em rojeto Coeficientes de onderação de ações Coeficientes de onderação das ações nos estados limites últimos (ELU) Coeficientes de onderação das ações nos estados limites de serviço (ELS) Combinações de ações Combinações últimas Combinações de serviço PROPRIEDADES DO CONCRETO ETAPAS DE ANÁLISE TENSÃO DE PROTENSÃO INICIAL PERDAS DA FORÇA DE PROTENSÃO Perdas or atrito Perdas or deslizamento da armadura e acomodação da ancoragem Perdas or relaxação do aço Perdas or deformação imediata do concreto Perdas or fluência do concreto Perdas or retração do concreto Processo simlificado ara comutar as erdas rogressivas CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO E APLICAÇÃO PAINEL ALVEOLAR R. F. VASCONCELOS Sumário

26 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Características geométricas e mecânicas do ainel Carregamentos Restrições do rojeto ótimo Verificações construtivas Verificações de tensões normais nas fases construtivas e em serviço (ELS-SN) Verificação do ELS de deformações (ELS-DEF) Verificação de cisalhamento da interface entre dois concretos (ELU-C1) Verificação de solicitações normais (ELU-SN) Verificação de solicitações tangenciais (ELU-ST) Verificação de fendilhamento longitudinal Caracterização do roblema de otimização VIGA ISOSTÁTICA COM CABO RETO Características geométricas e mecânicas da viga Carregamentos Restrições do rojeto ótimo Verificações construtivas Verificações de tensões normais nas fases construtivas e em serviço (ELS-SN) Verificação do ELS de deformações (ELS-DEF) Verificação de solicitações normais (ELU-SN) Verificação de solicitações tangenciais (ELU-ST) Caracterização do roblema de otimização OTIMIZAÇÃO ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND PLS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO EXEMPLO EXEMPLO Calibração dos arâmetros de rojeto Otimização EXEMPLO EXEMPLO Estudo das soluções com variáveis discretas e contínuas R. F. VASCONCELOS Sumário

27 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Solução com variáveis discretas e todas as restrições de rojeto CONSIDERAÇÕES FINAIS SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS APÊNDICE A R. F. VASCONCELOS Sumário

28 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Uma das rinciais dificuldades no dimensionamento de eças de concreto rotendido diz reseito à estimação das dimensões dos elementos e os dados relativos à rotensão, como número e diâmetro dos cabos, de tal forma que satisfaçam às condições revistas nas normas que regem o assunto. Na forma convencional de rojeto essa estimativa é feita elo rojetista com base em sua exeriência e de maneira intuitiva. No decorrer do rocesso de análise, caso as condições não sejam atendidas, modificam-se os arâmetros relativos às dimensões e/ou à rotensão e realiza-se uma nova análise. Trata-se de um rojeto de tentativa e erro que erdura até a obtenção de uma estrutura que satisfaça a todos os critérios de rojeto. Em estruturas rotendidas, é grande o número de variáveis estimadas. Consequentemente o rocesso de obtenção da conformação final da estrutura abrange diversos ciclos de análise dimensionamento, que muitas vezes é encerrado ao se encontrar uma solução aceitável, e não necessariamente a melhor solução. A otimização é a arte da ciência que rocura encontrar de forma sistematizada a melhor solução ara um determinado roblema, atendendo a condições que limitam o esaço das soluções viáveis, denominadas restrições do roblema, segundo um critério que mede a qualidade de cada solução, denominado função objetivo. As grandezas ara as quais se buscam valores diretamente são denominadas variáveis de rojeto e as que mantêm seu valor constante, ou mudam em função da mudança das variáveis de rojeto, são denominados arâmetros de rojeto. Trata-se de um ramo de esquisa que vêm sendo alicado à solução de inúmeros roblemas, da engenharia à análise econômica, dos rojetos a execução. As técnicas de otimização direcionam uma busca sistematizada da solução ótima, onde o rocesso, além de ser executado de forma automatizada, fornece a melhor solução do roblema sem que seja necessário esquisar todas as ossíveis soluções. Por isso, a área de otimização vem rogredindo bastante desde o final do século assado e ocuando esaço em vários camos da engenharia. Os diversos desenvolvimentos nessa área retratam a imortância da busca elo rojeto ótimo, mais econômico, seguro e eficiente, que forneça resultados mais satisfatórios ara um mercado cada vez mais rigoroso e cometitivo. R. F. VASCONCELOS Caítulo 1

29 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto TRABALHOS NA ÁREA DE ESTRUTURAS PRÉ-MOLDADAS A literatura aresenta vários trabalhos que consideram a alicação de métodos de otimização a roblemas de rojeto de estruturas rotendidas. Alicados a ainéis ré-moldados, o trabalho de Almeida (2004) otimizou três tios de estruturas rotendidas: o traçado de cabos em vigas ré-moldadas de ontes em regime de ós-tração; as dimensões e a área de armadura em vigotas ré-moldadas ara lajes; e as dimensões e a área de armadura em ainéis alveolares ré-moldados. Para tanto utilizou-se o software LINGO, baseado em um algoritmo de Programação Linear Sequencial (PLS). No caso dos ainéis, as variáveis de rojeto eram a altura do ainel, o diâmetro do alvéolo e a área da armadura de rotensão e tinha como função objetivo o eso do ainel. As erdas iniciais foram calculadas e as erdas rogressivas estimadas. Aires (2005) resolveu o roblema de ainéis alveolares com o uso do algoritmo de otimização PLS e o Branch and Bound (B&B),tendo o custo do ainel como função objetivo. O segundo admite uma variação discreta das variáveis de rojeto, e aesar da solução obtida ela PLS ser suostamente mais econômica, os valores das variáveis de rojeto, em esecial o diâmetro da armadura, recisa ser aroximado ara valores comerciais. Em alguns casos, essa solução arredondada é menos econômica que a solução obtida com o algoritmo de B&B, que geralmente resulta um arranjo diferente de variáveis de rojeto. Rodrigues e Santos (2010), na análise do ainel alveolar, imlementaram um código comutacional com rocesso de busca que ercorre todas as combinações ossíveis das variáveis de rojeto com valores discretos sem usar nenhum algoritmo esecífico de otimização. Suas variáveis de rojeto consideradas foram: a altura do ainel, o diâmetro dos alvéolos e o diâmetro da armadura de rotensão; com a minimização do eso como função objetivo. As erdas foram calculadas. Petrucelli (2009) desenvolve seu trabalho em torno das considerações sobre rojeto e fabricação de lajes alveolares rotendidas, trazendo um estudo acerca das etaas de rojeto ara obtenção de uma laje alveolar que atenda as normas brasileiras e a obtenção de um ercentual ara as erdas estimadas. Castilho (2003) aresenta a otimização de ainéis alveolares e vigotas rotendidas utilizando Algoritmos Genéticos (AGs) em busca do menor custo ara as estruturas em estudo. R. F. VASCONCELOS Caítulo 1

30 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 28 Quiroga e Arroyo (1991) trabalham or meio de otimização linear no rojeto ótimo de tabuleiros de ontes de concreto rotendido visando a obtenção do comrimento e da geometria dos cabos de ré-tração. Quanto à alicação em rojeto de vigas, Iunes (1998) e Esteves (2002) alicaram técnicas de otimização ara obter o traçado ótimo de cabos em vigas isostáticas e hierestáticas de concreto rotendido, com as erdas estimadas. Já Almeida (2001), calculou as erdas or atrito e estimou as demais. O rojeto ótimo de vigas de concreto rotendido simlesmente aoiadas é aresentado no trabalho de Erbatur et al (1992) tendo como função objetivo o eso e o custo mínimo, ara três seções diferentes de vigas. Utilizando rogramação quadrática sequencial (PQS) Khaleel e Itani (1993) aresentam um estudo sobre otimização de vigas de concreto rotendido simlesmente aoiadas ara obtenção das dimensões geométricas ótimas, da força de rotensão, da armadura e do cisalhamento. Al-Gahtani et al (1995) trazem uma formulação de rojeto ótimo ara vigas contínuas de concreto rotendido considerando as verificações a flexão, fissuração, cisalhamento, as dimensões geométricas da eça e a geometria do cabo; buscando o menor custo, menor consumo de concreto, de aço e menor eso da viga. No resente trabalho, fez-se a análise de um ainel alveolar de concreto rotendido, considerando as mesmas variáveis de rojeto consideradas or Rodrigues e Santos (2010) e a análise de uma viga isostática com cabo reto, ambas submetidas ao regime de ré-tração, e tendo como função objetivo o eso das estruturas. Foram desenvolvidos ainda comarativos quanto à função objetivo do custo do ainel alveolar através das funções desenvolvidas or Castilho (2003). Como rocedimento de esquisa da solução ótima, imlementou-se o rocesso de busca utilizado or Rodrigues e Santos (2010), onde ercorrem-se todas as combinações ossíveis das variáveis de rojeto com valores discretos, nomeado no resente trabalho como busca exaustiva. Imlementou-se, ainda, o algoritmo de Branch and Bound e utilizou-se o software LINGO, baseado em um algoritmo de Programação Linear Sequencial (PLS), ara comarativos. R. F. VASCONCELOS Caítulo 1

31 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto OBJETIVOS DO TRABALHO O objetivo deste trabalho é aresentar uma metodologia ara a obtenção da solução ótima de ainéis alveolares e vigas de concreto rotendido executados em regime de ré-tensão. Levase em consideração as erdas de rotensão imediatas e diferidas, as condições de serviço ara esforços de flexão, as limitações construtivas e as condições de rutura à flexão. Utilizam-se dois métodos de otimização: um heurístico e com variáveis discretas e outro de rogramação matemática e com variáveis contínuas ORGANIZAÇÃO DO TEXTO Buscando favorecer a comreensão, o texto foi dividido em cinco caítulos e um aêndice cujo conteúdo é aresentado a seguir. No caítulo 2 aresentam-se conceitos básicos sobre rotensão, englobando esforços, erdas de rotensão e estados limites.faz-se, ainda, um levantamento das exigências gerais de rojeto esecificadas ela normatização brasileira, quanto a combinações de ações e coeficientes de onderação, além das etaas necessárias ara dimensionamento de estruturas ré-moldadas em regime de ré-tensão. O caítulo 3 aresenta a alicação das técnicas de otimização a ainéis alveolares e a vigas ré-tracionadas e as articularidades do roblema, como: características das estruturas, dos carregamentos e esforços atuantes; as fases de análise; as restrições do roblema de otimização e sua formulação em geral. O caítulo 4 trata dos métodos de otimização de Branch and Bound e Programação Linear Sequencial (PLS), utilizados na obtenção dos resultados. No caítulo 5 são aresentados ensaios numéricos alicados às lajes alveolares e às vigas rotendidas de concreto. O caítulo 6 aresenta as conclusões do trabalho e algumas sugestões ara trabalhos futuros. R. F. VASCONCELOS Caítulo 1

32 CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE PROTENSÃO Este caítulo aresenta os conceitos básicos sobre rotensão que embasam as alicações em otimização deste trabalho. Aresentam-se definições ertinentes ao rojeto de estruturas rotendidas, como classificações e estados limites. Em seguida, aresentam-se as ações e as combinações de ações a serem consideradas em rojeto e a avaliação das roriedades da armadura e do concreto. Por fim, aresenta-se a formulação ara o cálculo das erdas de rotensão a serem usadas nas verificações dos ELU e dos ELS AÇÕES E COEFICIENTES Esta seção aresenta definições, ações e coeficientes da NBR 6118 (ABNT, 2007) imortantes ara o rojeto de estruturas de concreto rotendido. São aresentadas classificações quanto à aderência e ao grau de rotensão, definição de fatores utilizados em rojeto como os estados limites, os coeficientes e as combinações de ações a serem consideradas Classificação quanto à aderência Um dos fatores relevantes ara o rojeto de estruturas rotendidas diz reseito ao momentodo tracionamento da armadura ativa, definindo a forma de aderência entre o concreto e a armadura de rotensão. Assim, a NBR 6118 (ABNT, 2007) aresenta a seguinte classificação: concreto com armadura ativa ré-tracionada; concreto com armadura ativa ós-tracionada; e concreto com armadura ativa ós-tracionada sem aderência. O concreto com armadura ativa ré-tracionada, também denominadorotensão com aderência inicial, é o rocesso no qual a armadura de rotensão é tensionada antes do lançamento do concreto, quando se inicia o rocesso de aderência entre o concreto e a armadura. Aós o endurecimento do concreto os fios são desligados do bloco de ancoragem, momento em que a força de rotensão é transferida ao concreto. Nesse caso, a ancoragem realiza-se unicamente or aderência. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

33 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 31 O concreto com armadura ativa ós-tracionada, também denominadorotensão com aderência osterior, é o rocesso no qual a armadura é colocada em dutos ou bainhas no interior da eça a ser concretada e a armadura só é tensionada e ancorada aós o lançamento e o endurecimento do concreto. A aderência é criada osteriormente ela injeção de nata de cimento às bainhas, o que tem ainda o benefício adicional de roteger a armadura da corrosão. O concreto com armadura ativa ós-tracionada sem aderência, também denominadorotensão sem aderência, é o rocesso no qual a armadura fica solta no interior da bainha, o que ermite seu deslizamento. Portanto a armadura é solidária ao concreto aenas através da ancoragem. Esse rocesso tem o benefício adicional de, em caso de necessidade, ermitir a substituição dos cabos de rotensão. No entanto, erde-se a roteção natural da nata de cimento, devendo ser então rotegidos contra corrosão nas bainhas Classificação quanto ao grau de rotensão Atualmente as normas ara rojeto de estruturas de concreto não fazem mais distinção entre concreto armado e concreto rotendido, referindo uma classificação única elo grau de rotensão. Assim, as estruturas de concreto são classificadas em: concreto simles; concreto armado; concreto rotendido nível 1 (substituindo a nomenclatura rotensão arcial); concreto rotendido nível 2 (substituindo a nomenclatura rotensão limitada); e concreto rotendido nível 3 (substituindo a nomenclatura rotensão total). O tio de rotensão a ser emregado em um rojeto é escolhido em função do tio de construção e da agressividade do meio ambiente, bem como, elo nível de fissuração ermitido. A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre asestruturas de concreto e ocorre indeendentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origemtérmica, da retração hidráulica e outras revistas no dimensionamento das estruturas de concreto. A Tabela 2.1 aresenta as classes de agressividade ambiental revistas ela NBR 6118 (ABNT, 2007), relacionando-as com o risco de deterioração da estrutura. Em função dessas classes, são estabelecidas as exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à roteção da armadura, aresentadas na Tabela 2.2. A mesma tabela estabelece as combinações de ações que devem ser utilizadas nas verificações do comortamento da estrutura em serviço. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

34 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 32 Classe de agressividade ambiental I Tabela 2.1 Classes de agressividade ambiental. Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2007). Agressividade Fraca Classificação geral do tio de ambiente ara efeito de rojeto Rural Submersa Risco de deterioração da estrutura Insignificante II Moderada Urbana 1) 2) Pequeno III IV Forte Muito forte Marinha 1) 1) 2) Industrial 1) 3) Industrial Elevado Resingos de maré Grande 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) ara ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de aartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e intura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, artes da estrutura rotegidas de chuva em ambientes redominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanolastia, branqueamento em indústrias de celulose e ael, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

35 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 33 Tabela 2.2 Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à roteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental. Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2007). Tio de concreto estrutural Classe de agressividade ambiental (CAA) e tio de rotensão Exigências relativas à fissuração Combinação de ações em serviço a utilizar Concreto simles CAA I a CAA IV Não há CAA I ELS-W w k 0,4 mm Concreto armado CAA II e CAA III ELS-W w k 0,3 mm Combinação frequente CAA IV ELS-W w k 0,2 mm Concreto rotendidonível 1 (rotensão arcial) Pré-tração com CAA I ou Pós-tração com CAA I e II ELS-W w k 0,2 mm Combinação frequente Concreto rotendidonível 2 (rotensão limitada) Concreto rotendidonível 3 (rotensão comleta) Pré-tração com CAA II ou Pós-tração com CAA III e IV Pré-tração com CAA III e IV Verificar as duas condições abaixo ELS-F ELS-D 1) Combinação frequente Combinação quase ermanente Verificar as duas condições abaixo ELS-F ELS-D 1) Combinação rara Combinação frequente 1) A critério do rojetista, o ELS-D ode ser substituído elo ELS-DP com a =25 mm Estados limites Os estados limites, divididos em último (ELU) e de serviço (ELS), são os limites de comortamento que devem ser reseitados e verificados ara que a estrutura aresente desemenho adequado às suas finalidades. Esta seção aresenta as definições e as divisões e subdivisões dos estados limites revistos na NBR 6118 (ABNT, 2007). Os estados limites últimos (ELU) relacionam-se ao colaso, ou a qualquer forma de ruína, da estrutura, que leve à aralisação do seu uso. São divididos da seguinte forma: a. Estado limite de erda do equilíbrio da estrutura; b. Estado limite de esgotamento da caacidade resistente da estrutura, devido às solicitações normais e tangenciais; c. Estado limite de esgotamento da caacidade resistente da estrutura, devido aos efeitos de segunda ordem; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

36 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 34 d. Estado limite rovocado or solicitações dinâmicas; e. Estado limite de colaso rogressivo; f. Estados limites que eventualmente ossam ocorrer em casos eseciais. Os estados limites de serviço (ELS) relacionam-se com a durabilidade da estrutura, sua aarência, o conforto do usuário, entre outros. A NBR 6118 (ABNT, 2007) revê os seis estados limites descritos a seguir. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): Estado limite onde se inicia a formação de fissuras. Dá-se no instante em que a tensão de tração máxima na seção transversal for igual à resistência do concreto à tração na flexão (f ct,f ). Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): Neste estado as fissuras se aresentam com aberturas iguais ao máximo esecificado. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos ara utilização normal. Estado limite de descomressão (ELS-D): Estado onde em um ou mais ontos da seção transversal, a tensão normal é nula, não havendo assim tração no restante da seção. Estado limite de descomressão arcial (ELS-DP): Neste, garante-se a comressão na seção transversal, na região onde existem armaduras ativas. Estado limite de comressões excessivas (ELS-CE): Estado em que as tensões de comressão atingem o limite convencional estabelecido. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): Estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos ara utilização normal da construção Ações a serem consideradas em rojeto Devem ser reseitadas as eculiaridades das ações consideradas e as normas a elas alicáveis conforme o tio de construção. Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007), a análise estrutural deve considerar a influência de todas as ações que ossam roduzir efeitos significativos ara a segurança da estrutura, R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

37 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 35 levando em consideração os ossíveis estados limites. As ações odem ser classificadas em ermanentes, variáveis ou excecionais. Ações ermanentes (G): Ocorrem com valores raticamente constantes durante toda a vida da construção ou crescem no temo, tendendo a um valor limite constante. Para a segurança, nas verificações de rojeto devem-se considerar seus valores reresentativos mais desfavoráveis. As rinciais ações ermanentes são: Peso rório; Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações ermanente; Emuxos ermanentes; Retração do concreto; Fluência do concreto; Deslocamentos de aoio; Imerfeições geométricas, locais ou globais; Protensão. As três rimeiras são classificadas como ações diretas, enquanto as cinco últimas são classificadas de ações indiretas. Ações variáveis (Q): Sofrem variações significativas em torno da média durante a vida da construção. As rinciais ações variáveis são: Cargas acidentais revistas ara o uso da construção; Ação do vento; Ação da água; Ações variáveis durante a construção; Variações uniformes de temeratura; Variações não uniformes de temeratura; Ações dinâmicas. As quatro rimeiras são classificadas como ações diretas, as duas seguintes como ações indiretas, e a última é classificada como ação dinâmica. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

38 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 36 Ações excecionais (E): Constituem situações excecionais de carregamento cujos efeitos não ossam ser controlados or outros meios. Essas ações têm seus valores definidos em cada caso articular or normas esecíficas Coeficientes de onderação de ações A variabilidade das ações de rojeto deve ser levada em consideração no rojeto das estruturas. Nos códigos brasileiros atuais, as ações são tomadas or seus valores característicos, os quais devem ser majorados elo coeficiente de onderação f, de tal forma que os valores de cálculo das ações sejam encontrados multilicando seus valores característicos elos resectivos coeficientes de onderação revistos ara cada estado limite Coeficientes de onderação das ações nos estados limites últimos (ELU) Nas verificações dos estados limites últimos o coeficiente de onderação das ações, f, é dado ela exressão (2.1). f f 1 f 3 (2.1) Onde: f1 f3 - é a arte do coeficiente de onderação das ações f que considera a variabilidade das ações; - é a arte que considera os desvios gerados nas construções e as aroximações feitas em rojeto do onto de vista das solicitações. As ações de dimensionamento odem ser calculadas considerando cada ação majorada searadamente or seu coeficiente de onderação ou agruadas, usando um único coeficiente. Os valores a serem adotados ara os coeficientes de onderação das ações ermanentes e variáveis, consideradas searadamente ou agruadas, são aresentados no Aêndice A deste trabalho elas Tabelas A.1 a A.5. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

39 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Coeficientes de onderação das ações nos estados limites de serviço (ELS) O coeficiente de onderação das ações ara estado limite de serviço, em geral, é dado ela equação (2.2). f f 2 (2.2) Onde: f2 - é a arte que considera a simultaneidade de atuação das ações e tem valor variável conforme a verificação de rojeto. Sendo: f2 = 1 f2 = ψ 1 f2 = ψ 2 - ara combinações raras; - ara combinações frequentes; - ara combinações quase ermanentes. Os valores a serem adotados ara os coeficientes de onderação das ações no ELS são aresentados na Tabela A Combinações de ações O carregamento a ser considerado em rojeto é definido ela combinação de ações que têm robabilidades relevantes de atuarem simultaneamente, durante um eríodo redeterminado, sobre a estrutura. A combinação das ações deve ser feita de forma a determinar os efeitos mais desfavoráveis ara a estrutura. As verificações de segurança, em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço devem ser realizadas em função de combinações últimas e de combinações de serviço, resectivamente Combinações últimas As combinações últimas são classificadas em normais, eseciais ou de construção e excecionais, conforme descrito na NBR 6118 (ABNT, 2007). R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

40 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 38 Combinações últimas normais: Em cada combinação devem ser incluídos os valores característicos das ações ermanentes e da ação variável rincial. Cada combinação deve conter também os valores reduzidos das demais ações variáveis, consideradas como secundárias. Combinações últimas eseciais ou de construção: Nelas devem estar contidos os valores característicos das ações ermanentes e da ação variável esecial, quando a mesma existir. Para as demais ações variáveis, que tenham robabilidades relevantes de ocorrência simultânea, utilizam-se seus valores reduzidos de combinação. Combinações últimas excecionais: Cada combinação deve figurar, com seus valores reresentativos, as ações ermanentes e a ação variável excecional (quando existir), e as demais ações variáveis com robabilidade não desrezível de ocorrência simultânea com valores reduzidos de combinação. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colaso rogressivo. As combinações últimas a serem consideradas em rojeto são aresentadas na Tabela A.7 do Aêndice A Combinações de serviço Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007),devem ser verificadas combinações de serviço classificadas de acordo com sua ermanência na estrutura. Combinações quase ermanentes de serviço: São combinações que atuam durante a maior arte da vida da estrutura. Podem ser consideradas na verificação de estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF). Combinações frequentes de serviço: São aquelas que se reetem muitas vezes durante a vida da estrutura. Podem ser consideradas na verificação dos estados limites de formação de fissuras (ELS-F), de abertura de fissuras (ELS-W) e de vibrações excessivas (ELS-VE). Podendo também ser consideradas ara verificações de estados limites de deformações excessivas (ELS-DEF) decorrentes de vento ou temeratura que odem comrometer as vedações. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

41 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 39 Combinações raras de serviço: Combinações que raramente ocorrem durante o eríodo de vida da estrutura. Sua consideração ode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras (ELS-F). As combinações de serviço a serem consideradas em rojeto são aresentadas na Tabela A.8 do Aêndice A PROPRIEDADES DO CONCRETO Consoante ao rocesso construtivo, o rojeto de estruturas rotendidas é divido em várias etaas. Para tanto, se faz necessário conhecer a resistência à comressão e à tração do concreto de acordo com a idade do mesmo. A NBR 6118 (ABNT, 2007) afirma que, na ausência de resultados exerimentais, quando a verificação se faz antes de 28 dias, adota-se ara a estimativa da resistência à comressão a exressão (2.3), sendo dado ela equação (2.4). f ckj 1 f ck (2.3) s 1 28 t 1 e (2.4) Onde: f ckj f ck t - é a resistência característica do concreto aos j dias de idade; - é a resistência característica do concreto aos 28 dias; - é a idade efetiva do concreto, em dias. No cálculo da exressão (2.4), adotam-se os seguintes valores ara s: s=0,38 s=0,25 s=0,20 - ara concreto de cimento CP III e IV; - ara concreto de cimento CP I e II; - ara concreto de cimento CPV-ARI. Essa verificação deve ser feita aos t dias, ara as cargas alicadas até essa data. Devendo ainda ser feita a verificação ara a totalidade das cargas alicadas aos 28 dias. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

42 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 40 Quanto à resistência à tração, a NBR 6118 (ABNT, 2007) admite que, na falta de ensaios, seu valor característico seja dado elas equações (2.5) e (2.6), válidas ara f ckj 7MPa. Em ambas as exressões, tanto f ck quanto f ckj são dados em MPa. 2/3 ct, m 0, 3 fckj f (2.5) f ct k, inf 0, 7 fct, m (2.6) Onde: f ct,m f ctk,inf - é a resistência média do concreto à tração; - é a resistência característica do concreto à tração. Outra roriedade imortante é o módulo de elasticidade. Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2007), ode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a exressão (2.7). Enquanto que, o módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de rojeto, esecialmente ara determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, dever ser calculado ela exressão (2.8). 1 2 E ci 5600 f ck (2.7) E 0, 85 (2.8) cs E ci 2.3. ETAPAS DE ANÁLISE A análise estrutural deve ser realizada levando em consideração todas as fases elas quais ossam assar os elementos, caaz de aresentar condições desfavoráveis quanto aos estados limites últimos e de serviço. Para a verificação dos elementos, consideram-se as seguintes fases de construção ara elementos ré-tracionados: g. de fabricação; Corte dos fios (imediatamente aós a rotensão). h. de manuseio; Içamento e transorte na indústria. i. de armazenamento; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

43 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 41 j. de transorte; Içamento e transorte na obra. k. de montagem; Montagem. Pavimentação. l. de construção (reliminar e final). Em serviço TENSÃO DE PROTENSÃO INICIAL De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2007), os valores limites or ocasião da oeração de rotensão são aresentados nas exressões (2.9) a (2.13). Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007), os valores característicos da resistência ao escoamento (f yk ), da resistência à tração (f tk ) e do alongamento aós a rutura, das cordoalhas, devem atender os valores mínimos esecificados na NBR 7483 (ABNT, 2008b), e os mesmos valores ara os fios, devem satisfazer o estabelecido ela NBR 7482 (ABNT, 2008a). m. Na armadura ré-tracionada, ara aços de relaxação normal (2.9) e baixa (2.10), resectivamente: 0,77 f tk (2.9) i 0,90 f yk 0,77 f tk i (2.10) 0,85 f yk n. Na armadura ós-tracionada, ara aços da classe de relaxação normal (2.11) e baixa (2.12), resectivamente: 0,74 f tk i (2.11) 0,87 f yk 0,74 f tk (2.12) i 0,82 f yk o. Nos aços CP-85/105, fornecidos em barras, os limites assam a ser: R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

44 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 42 0,72 f tk i (2.13) 0,88 f yk Sendo: f tk f yk i - a tensão característica de rutura do aço; - a tensão característica do escoamento do aço; - a tensão na armadura na oeração de rotensão. Ao final da oeração de rotensão, a tensão 0 da armadura ré ou ós-tracionada, decorrente da força de rotensão inicial alicada, não deve suerar os limites acima estabelecidos. Assim, a força de rotensão inicial (P i ) ara melhor aroveitamento dos cabos é calculada através da exressão (2.14). P (2.14) i A i 2.5. PERDAS DA FORÇA DE PROTENSÃO Denominam-se erdas de rotensão a todas as erdas verificadas nos esforços alicados aos cabos de rotensão. (PFEIL, 1980). São calculadas em relação ao valor inicial alicado elo aarelho tensor e classificadas quanto à éoca (imediatas ou rogressivas) e quanto ao agente causador (atrito, deslizamento nas ancoragens, encurtamento do concreto, e relaxação do aço) Perdas or atrito As erdas or atrito são erdas imediatas que ocorrem devido ao atrito gerado entre o cabo e a bainha ou o cabo e o concreto, nos ontos de desvio da armadura. Estão resentes aenas em elementos de ós-tração, onde há o uso de bainhas e desenvolvimento curvo e sinuoso, revistos ou não em rojeto. No caso de ré-tração, o rório rocesso executivo elimina as erdas. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

45 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 43 As lajes alveolares e as vigas, objetos de estudo deste trabalho, são executadas em regime de ré-tração. Dada a ausência de erdas or atrito nesses elementos, não será aresentado aqui o equacionamento ara cálculo dessas erdas Perdas or deslizamento da armadura e acomodação da ancoragem Ao se efetivar a ancoragem de um cabo, há semre um equeno deslizamento, acarretando diminuição de tensão na armadura.essas erdas, decorrentes da acomodação das cunhas na ancoragem, ocorrem tanto nas estruturas de ré quanto de ós-tração e são classificadas como erdas imediatas. Adotam-se então, ara o cálculo das mesmas, valores fornecidos elo fabricante do aarelho tensor. O ré-alongamento do cabo é dado ela equação (2.15) e a redução na deformação da armadura ela equação (2.16). i L L0 (2.15) E Sendo: L - o ré-alongamento do cabo; L 0 E i - o comrimento inicial do cabo; - o módulo de elasticidade do aço; - a tensão na armadura na oeração de rotensão. anc (2.16) L0 L Onde: anc - é o valor do deslizamento dado elo fabricante do equiamento; - é a redução na deformação da armadura. A redução na tensão da armadura,, é calculada or (2.17) e a erda de rotensão elo escorregamento dos fios na ancoragem é dada or (2.18). (2.17) E R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

46 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 44 P (2.18) anc A Sendo: P anc A - a redução na força transmitida ao concreto devida à ancoragem; - a área da seção transversal do cabo resultante; - a redução da tensão na armadura Perdas or relaxação do aço Fluência do aço é o alongamento que o mesmo sofre com o decorrer do temo se mantido sob uma tensão constante. Já relaxação do aço é a redução de tensão com alongamento constante. No caso do aço rotendido, os dois fenômenos são interligados e causam erdas na força transmitida ao concreto. Para amenizar o valor dessas erdas existem tratamentos térmicos, com o qual se obtém o aço de relaxação baixa (RB). A erda or relaxação do aço se dá ao longo do temo e ode ser calculada genericamente ela exressão (2.19). ( t, t ) 0 ri 0 (2.19) ( t, t ) i Onde: (t,t 0 ) r (t,t 0 ) - é o coeficiente de relaxação, medido desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado. - é a erda de tensão or relaxação ura desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado. Na Tabela A.9, do aêndice A, encontram-se os valores médios da relaxação medidos aós 1000h à temeratura constante de 20ºC em uma faixa da tensão inicial localizada entre 50% e 80% da resistência característica da armadura. Para o temo infinito, ode-se adotar (t,t 0 ) 2, R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

47 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 45 Para temos diferentes de 1000 h, semre a 20ºC, a intensidade de relaxação ode ser calculada ela exressão (2.20), com o temo medido em dias. Em situações onde a temeratura difere de 20ºC, deve-se fazer a correção do temo utilizando a equação (2.21). 0,15 t t0 ( t, t0 ) 1000 (2.20) 41,67 Troj t tcorrigido (2.21) 20º C Onde: T roj t - é a temeratura de rojeto em ºC. - é o temo de estiramento do cabo em dias. Então, no caso de ré-tração, a erda de força de rotensão causada ela relaxação inicial do aço entre o estiramento e o corte dos cabos ode ser calculada através da exressão (2.22). Estrutura ós-tracionadas não aresentam erdas or relaxação inicial. Pin rot Pri (2.22) 100 Onde: P ri - é erda de rotensão devida à relaxação inicial da armadura, ocorrida entre o estiramento e o corte dos cabos; P in - é a força de estiramento dos cabos Perdas or deformação imediata do concreto Nas estruturas ós-tracionadas, a deformação imediata ou inicial do concreto dá-se na ancoragem e nas ré-tracionadas no corte dos cabos. Quando se executa rotensão em um elemento com ós-tração, é comum faze-lo em etaas. Assim, as sucessivas rotensões de n cabos rovocam uma deformação elástica no concreto e, consequentemente, um afrouxamento da armadura, gerando uma erda de rotensão nos cabos já rotendidos. Nos elementos ré-tracionados a força transmitida ao concreto elo corte do cabo, gera um encurtamento da fibra do centro de gravidade do elemento. Esse encurtamento reduz R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

48 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 46 igualmente a fibra do concreto e o cabo, devido à erfeita aderência do concreto e da armadura. Assim, a tensão no concreto, no centro de gravidade da armadura, é dada ela equação (2.23): P M e a cp (2.23) Ac I c Sendo: P a M e A c I c - a força efetivamente transmitida ao concreto contabilizando as erdas or atrito, or escorregamento da ancoragem e or relaxação da armadura; - o momento efetivamente transmitido ao concreto; - a excentricidade da armadura de rotensão; - a área de concreto; - o momento de inércia da seção do ré-moldado. A deformação do concreto na fibra do centro de gravidade da armadura é dada or: cp cp (2.24) E cs _ rot Onde: E cs_rot - é o módulo de elasticidade tangente do concreto no momento da rotensão. A tensão e a deformação na armadura são dadas, resectivamente, or (2.25) e or (2.26). P a Pa (2.25) A Pa Pa (2.26) E Onde: Pa Pa - é a tensão na armadura durante a transmissão da força; - é a deformação na armadura durante a transmissão da força ao concreto. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

49 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 47 Considera-se que a deformação na armadura é igual à deformação no concreto na fibra localizada no centro de gravidade da armadura. Assim, a artir da deformação inicial do concreto, ode-se calcular a deformação resultante do aço dada or (2.27). P0 Pa c (2.27) A artir da deformação do aço, calcula-se a nova tensão efetiva na armadura e a força de rotensão aós a deformação inicial do concreto, dadas elas exressões (2.28) e (2.29), resectivamente. E (2.28) P0 P0 P A 0 P0 (2.29) Por fim, a tensão no concreto localizada no centro de gravidade da armadura aós a deformação inicial do concreto é dada or: P M e cp 0 0 (2.30) Ac Ic Perdas or fluência do concreto A fluência ou deformação lenta do concreto é o encurtamento do mesmo devido à ação de forças ermanentemente alicadas. (SCHMID, 1998). De acordo com o Anexo A da NBR 6118 (ABNT, 2007), a deformação or fluência do concreto ( cc ) é comosta or duas artes: uma ráida e outra lenta. A deformação ráida ( cca ) ocorre durante as rimeiras 24 h aós a alicação da carga e é irreversível. Já a deformação lenta é, or sua vez, comosta or duas outras arcelas, uma irreversível ( ccf ) e outra reversível ( ccd ). As equações (2.31) a (2.33) aresentam as exressões utilizadas ara o cálculo da deformação or fluência do concreto. (2.31) cc cca ccf ccd c, tot c cc c(1 ) (2.32) R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

50 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 48 (2.33) a f d Sendo: cc cca ccf ccd c c,tot a f d - a deformação or fluência do concreto; - a deformação ráida or fluência; - a arcela irreversível da deformação or fluência; - a arcela reversível da deformação or fluência; - a deformação esecífica do concreto; - a deformação esecífica total do concreto; - o coeficiente de deformação ráida; - o coeficiente de deformação lenta irreversível; - o coeficiente de deformação lenta reversível. Quando as tensões são as de serviço admite-se, ara o cálculo dos efeitos de fluência, a seguintes hióteses:. A deformação or fluência cc varia linearmente com a tensão alicada; q. Para acréscimos de tensão alicados em instantes distintos, os resectivos efeitos de fluência se suerõem; r. A deformação ráida roduz deformações constantes ao longo do temo; os valores do coeficiente a são função da relação entre a resistência do concreto no momento da alicação da carga e a sua resistência final; s. O coeficiente de deformação lenta reversível d deende aenas da duração do carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao longo do temo são indeendentes da idade do concreto no momento da alicação da carga; t. O coeficiente de deformação lenta irreversível f deende da: - umidade relativa do ambiente (U); - da consistência do concreto no lançamento; - da esessura fictícia da eça h fic ; - da idade fictícia do concreto no instante (t 0 ) da alicação da carga; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

51 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 49 - da idade fictícia do concreto no instante considerado (t); u. Para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível, em função do temo, corresondentes a diferentes idades do concreto no momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras, or deslocamento aralelo ao eixo das deformações, conforme a Figura 2.1. Figura2.1 - Variação da deformação lenta irreversível, ccf (t), com o temo. Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2007). Esse fenômeno é exresso elo coeficiente de fluência, (t,t 0 ), dado ela equação (2.34). f ( t) f ( t dd ( t, t ) a f 0 Onde: 0 ) (2.34) t t 0 f d - é a idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias; - é a idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento único, em dias; - é o coeficiente relativo à deformação lenta irreversível; - é o coeficiente relativo à deformação lenta reversível função do temo (t t 0 ) decorrido aós o carregamento; d - é o valor final do coeficiente de deformação lenta reversível; f - é o valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

52 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 50 a - é o coeficiente de fluência ráida, dado or (2.35); f c ( t0 ) 0,8 1 f ( t ) (2.35) a c Sendo: f ( t 0 ) f c c ( t ) - a função do crescimento da resistência do concreto com a idade. O valor final do coeficiente de deformação lenta reversível ( d ) é considerado igual a 0,4, como recomendado ela NBR 6118 (ABNT, 2007). Já o valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível ( f ) é comosto elo roduto de duas arcelas, como mostra a equação (2.36). A Tabela A.10 do Aêndice A aresenta os valores usuais ara a determinação dos coeficientes de fluência, 1c, e de retração, 1s. f 1 c2c (2.36) Sendo: 1c - o coeficiente dado na Tabela A.10 (aêndice A) deendente da umidade relativa do ambiente U, em orcentagem e da consistência do concreto; 2c - o coeficiente deendente da esessura fictícia da eça, dado or (2.37). 42 h fic 2c (2.37) 20 h fic Onde: h fic - é a esessura fictícia da eça, em metros. Define-se como esessura fictícia o valor obtido de (2.38) ara o intervalo de 0,05 h fic 1,6. Para valores de h fic fora do intervalo, adotam-se os extremos corresondentes. h fic 2A u c (2.38) ar Onde: A c - é a área da seção transversal da eça; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

53 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 51 u ar - é a arte do erímetro externo da seção transversal da eça em contato com o ar; - é o coeficiente deendente da umidade relativa do ambiente (U%). Seu valor ode ser calculado ela equação (2.39) e é dado na Tabela A.10 (Aêndice A). 7,8 0,1 U 1 e (2.39) A idade a ser considerada é a idade fictícia em dias, dada ela equação (2.40). Essa exressão não se alica a cura a vaor. T i 10 t (2.40) t ef, i i 30 Onde: T i - é a temeratura média diária do ambiente, em ºC; t ef,i - é o eríodo, em dias, durante o qual a temeratura média diária do ambiente (T i ), ode ser admitida constante; - é o coeficiente deendente da velocidade de endurecimento do cimento. Na falta de dados exerimentais ermite-se o uso dos valores constantes da Tabela A.11 (Aêndice A). O coeficiente relativo à deformação lenta reversível ( d ), dado em função do temo decorrido aós o carregamento, é calculado através da exressão (2.41), enquanto o coeficiente relativo à deformação lenta irreversível ( f ) é dado ela exressão (2.42). A Figura 2.2 aresenta o comortamento de f com a idade fictícia e com a esessura fictícia. t t0 20 d ( t) (2.41) t t t At B f ( t) t 2 (2.42) Ct D Onde: A 42h 3 fic 350h 2 fic 588h fic 113 B 768h 3 fic 3060h 2 fic 3234h fic 23 R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

54 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 52 C 200h 3 fic 13h 2 fic 1090h fic 183 D 7579h 3 fic 31916h 2 fic 35343h fic 1931 t - é o temo, em dias (t 3). Figura Variação de f (t). Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2007) Perdas or retração do concreto Retração é o encurtamento do concreto devido à evaoração da água desnecessária à hidratação do cimento. A retração deende da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e da esessura fictícia da eça. (SCHMID,1998). A NBR 6118 (ABNT, 2007) fornece a exressão (2.43) ara o cálculo da retração do concreto entre os instantes t e t 0. cs( t, t0) cs s ( t) s( t0) (2.43) Onde: cs (t,t 0 ) - é a deformação or retração entre t e t 0 ; cs - é deformação final or retração; s - é o coeficiente relativo à retração, no instante t ou t 0. R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

55 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 53 O valor final da retração é dado elo roduto duas arcelas: cs 1 s 2s (2.44) Sendo: 1s - o coeficiente deendente da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto, dado na Tabela A.10 (Aêndice A); 2s - o coeficiente deendente da esessura fictícia da eça, dado or (2.45). 33 2h fic 2s (2.45) 20,8 3h fic O coeficiente relativo à retração é dado ela equação (2.46) e seu comortamento é aresentado na Figura 2.3. Figura Variação do s (t). Fonte: NBR 6118 (ABNT, 2007). 3 2 t t t A B s t ( ) (2.46) 3 2 t t t C D E R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

56 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 54 Onde: A 40 B 116h 3 fic 282h 2 fic 220h fic 4,8 C 2,5h fic 8,8h 3 fic 40,7 D 75h 3 fic 585h 2 fic 496h fic 6,8 E 169h 4 fic 88h 3 fic 584h 2 fic 39h fic 0, Processo simlificado ara comutar as erdas rogressivas Deve-se levar em contaa iteração entre as erdas rogressivas dadas ela fluência e retração do concreto e ela relaxação do aço. Para tanto, a NBR 6118 (ABNT, 2007) aresenta dois métodos que odem ser utilizados: o rocesso simlificado ara o caso de fases únicas de oeração e o rocesso aroximado. No resente trabalho alica-se o rimeiro rocesso, alicável quando satisfeitas as seguintes condições: v. A concretagem do elemento estrutural, bem como a rotensão, sejam executadas, cada uma delas, em fases suficientemente róximas ara que se desrezem os efeitos recírocos de uma fase sobre a outra. w. Os cabos ossuam entre si afastamentos suficientemente equenos em relação à altura da seção do elemento estrutural, de modo que seus efeitos ossam ser suostos equivalentes ao de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos cabos comonentes, situado na osição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo resultante). A rimeira condição é atendida ara todas as estruturas escolhidas ara análise nesse trabalho, ois as fases de concretagem e rotensão são róximas. A segunda condição, no caso da laje, é automaticamente atendida elo fato das barras estarem alinhadas, orém, ara as vigas, serão adicionadas restrições que garantam essa condição. Sendo as duas condições atendidas nos casos em estudo, a redução da tensão no aço devido às erdas rogressivas é dada or (2.47) R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

57 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 55 ( t, t ( t, t ) E ( t, t ) ( t, t ) cs 0 c, 0g ) (2.47) c Onde: ( t, t0) ln 1 ( t, t0) (2.48) 0,5( t, t ) (2.49) c 1 0 ( t, t ) (2.50) 1 0 A c 1 e 2 (2.51) Ic A (2.52) Ac E (2.53) Eci28 Sendo: c,0g (t,t 0 ) 0 (t,t 0 ) - a tensão no concreto adjacente ao cabo resultante, rovocada ela rotensão e ela carga ermanente mobilizada no instante t 0, sendo ositiva se de comressão; - o coeficiente de fluência do concreto no instante t, ara rotensão e carga ermanente, alicadas no instante t 0 ; - a tensão na armadura ativa devido à rotensão e à carga ermanente mobilizada no instante t 0, ositiva se de tração; - o coeficiente de fluência do aço; cs (t,t 0 ) - a retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instantet 0 ; (t,t 0 ) - o coeficiente de relaxação do aço no instante t ara rotensão e carga ermanente mobilizada no instante t 0 ; (t,t 0 ) - a variação da tensão no aço de rotensão entre t 0 e t; - a taxa geométrica da armadura de rotensão; R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

58 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 56 e A A c I c - a excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do concreto; - a área da seção transversal do cabo resultante; - a área da seção transversal do concreto; - o momento central de inércia na seção do concreto. Por fim, a força transmitida ao concreto no temo t é dada or: P P 0 (2.54) A R. F. VASCONCELOS Caítulo 2

59 CAPÍTULO 3 CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO E APLICAÇÃO Este caítulo aresenta os dois roblemas de otimização abordados neste trabalho, a otimização de arâmetros de dimensionamento de lajes alveolares e vigas com cabo reto. Ambos são elementos de concreto, rotendidos em regime de ré-tração. Para cada elemento são aresentadas as características geométricas, as variáveis de rojeto, as restrições do roblema de otimização e a função objetivo. O conteúdo descrito neste caítulo adota a convenção de sinais comum na análise de estruturas, com comressão negativa e tração ositiva PAINEL ALVEOLAR O ainel alveolar em estudo aresenta comortamento de laje armada em uma direção. Seu rocesso construtivo revê a concretagem em faixas em ista de rotensão industrial (Figura 3.1(a)), colocação na obra em justaosição (Figura 3.1(b)) e solidarização com caa de regularização, a qual ode ou não ter função estrutural de aumento da resistência à flexão. Admite-se que, em serviço, o ainel trabalhe em rotensão comleta ou limitada. Figura 3.1 Painéis alveolares: (a) ista de rotensão (htt:// (b) colocação na obra (htt:// (a) (b) R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

60 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Características geométricas e mecânicas do ainel As roriedades geométricas do ainel e o sistema de eixos adotado em rojeto estão reresentados na Figura 3.2. Figura 3.2 Características geométricas do ainel alveolar. Sendo: h b L D a D h c - a altura do ainel; - a largura do ainel; - o comrimento do ainel; - o diâmetro dos alvéolos; - o diâmetro da armadura de rotensão; - a altura da caa de regularização; cob - o cobrimento da armadura; n a n c - o número de alvéolos; - o número de cabos. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

61 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 59 Como admite-se neste estudo rotensão comleta ou rotensão limitada, o ainel aresenta comortamento elástico linear em serviço. Assim, as exressões (3.1) a (3.4) indicam, resectivamente, a área da seção transversal do ainel (A sm ), seu momento de inércia (I sm ), as ordenadas das fibras extremas (y sm ) e os módulos de resistência (W sm ), resectivamente. O índice inf refere-se à fibra inferior da seção transversal do ainel e o índice su à fibra suerior. A sm 2 a D hb na (3.1) 4 I sm 4 a 3 bh D na (3.2) inf h y sm e 2 su y sm h (3.3) 2 inf I sm su I sm Wsm ewsm (3.4) su y y inf sm sm Nas situações em que a caa de regularização exerce função estrutural, a área da seção transversal assa a ser a da seção comosta A c, calculada ela equação (3.5). As equações (3.6) e (3.7) reresentam, resectivamente, o centro de gravidade da seção comosta, y CGt, e as ordenadas das fibras extremas y st. A equação (3.9) reresenta o momento de inércia total em relação ao novo centro de gravidade, I st, e as equações (3.10) os módulos de resistência W st. A c A b h (3.5) sm c y CGt Asm 0,5 h b hc ( h 0,5 hc ) (3.6) A c y inf st y CGt su st ainel, y y h CGt su st caa e y y ( h h ) (3.7) CGt c b hc hc 0,5 h b hc h I base I sm Asm (3.8) 12 2 I st base c 2 CGt I A y (3.9) R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

62 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 60 inf I Wst, y st inf st su I Wst e y st su st ainel su I Wstc (3.10) y st su st caa O ainel ode aresentar n c cabos com área efetiva a. Assim, a área de rotensão (A ) e a excentricidade da armadura em relação ao centro de gravidade da seção ré-moldada (e ) são dados elas exressões (3.11) e (3.12), resectivamente. A n a (3.11) c e h D 2 2 cob (3.12) Carregamentos O carregamento ermanente (g) é formado elo eso rório da estrutura e de seus elementos fixos, enquanto o carregamento acidental (q) é definido conforme a NBR 6120 (ABNT, 1980). A Tabela 3.1 aresenta as arcelas de carregamento utilizadas neste trabalho. Tabela 3.1 Carregamentos aresentados nos ainéis. Permanente (g) g 1 Peso rório do ainel g 2 Peso da caa de regularização g 3 Peso do revestimento Acidental (q) q 1 Carga acidental de utilização q 2 Carga acidental de montagem Restrições do rojeto ótimo Visando garantir a viabilidade física do ainel e o atendimento às condições de rojeto revistas nas normas brasileiras, são imostas restrições em relação às fases construtivas, em serviço e no estado limite último,levando em consideração em cada caso as combinações de carregamentos aroriadas. Também é necessário imor condições que garantem que a solução é factível, observadas naturalmente elos rojetistas e aqui denominadas restrições construtivas. Essas verificações se aresentam no rocesso de otimização como restrições do rojeto ótimo. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

63 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Verificações construtivas Visando garantir eça factíveis e a observância de cobrimento necessário ara a armadura, as restrições construtivas estabelecem altura e largura mínima ara o ainel, dadas elas equações (3.13) e (3.14), resectivamente. h D a 2 cob (3.13) b n n a a D a 2 D 2 a cob 2 D 2 a 2 D a 2 (3.14) Verificações de tensões normais nas fases construtivas e em serviço (ELS-SN) Como o ainel aresenta comortamento elástico linear em serviço, as tensões normais devem reseitar os limites de tração e comressão nas diferentes fases de análise, conforme as equações (3.15) e (3.16). C (3.15) T (3.16) Onde: - tensão normal de rojeto nas fases de análise; C - limite de comressão rescrito ara a tensão normal no concreto; T - limite de tração rescrito ara a tensão normal no concreto. Como a relação tensão x deformação ainda é linear, basta verificar as tensões nas fibras sueriores e inferiores do ainel, tanto ara comressão, quanto tração. As condições, as combinações e os limites utilizados ara as verificações de tensões normais, são aresentados na Tabela 3.2. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

64 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 62 Tabela 3.2 Condições, combinações e limites ara verificação de tensões normais. Condições a serem verificadas σ c Limites σ t Em serviço Concreto Protendido nível 2 (rotensão limitada) Concreto Protendido nível 3 (rotensão comleta) Durante a construção 0,7 f ckj -f ctkj ELS-F Combinação frequente (CF) -f ctk ELS-D Combinação quase ermanente (CQP) 0 0,7 f ck ELS-F Combinação rara (CR) -f ctk ELS-D Combinação frequente (CF) 0 Onde: ELS-F ELS-D - Estado limite de serviço de formação de fissuras; - Estado limite de serviço de descomressão. Para o cálculo das tensões nas fibras inferior (σ I ) e suerior do ainel (σ S ), bem como na fibra suerior da caa de regularização (σ Sc ), têm-se as equações (3.17) a (3.19), resectivamente. I t P A c P t e W inf sm g1 W M g1 inf sm g 2 W M g 2 inf sm g3 M W g3 inf st q1 q1 W M inf st q1 q2 M W q2 inf st (3.17) S P A t c P W t e su sm g1 W M g1 su sm g 2 W M g 2 su sm g3 W M g3 su st q1 q1 W M su st q1 q2 W M q2 su st (3.18) Sc M M M g 3 q1 q1 q2 g 3 su q1 su q 2 (3.19) su Wstc Wstc Wstc Onde: P(t) - força de rotensão resectiva a cada etaa analisada, corresondente a idade t do concreto; e M g1, M g2 e M g3 - excentricidade do cabo na seção do ainel; - arcelas da carga ermanente devidas ao eso rório do ainel, da caa de regularização e do revestimento resectivamente; R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

65 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 63 M q1 e M q2 A c W inf su sm e W sm W inf st, W su su st e W st Ψ q1 δ gi eδ qi - arcelas da carga acidental de serviço e de montagem, resectivamente; - área de concreto da seção transversal; - módulos de resistência da seção do ainel em relação à borda inferior e suerior da seção; - módulos de resistência da seção comosta em relação à borda inferior e suerior na altura da transição entre o ainel e a caa e na fibra suerior da caa; - fator de redução nas combinações de serviço; - fatores que indicam a resença ou ausência do carregamento i em cada combinação de análise. Os fatores que indicam resença ou ausência de carregamentos e os coeficientes utilizados, conforme a etaa analisada, são aresentados na Tabela 3.3. Tabela 3.3 Coeficientes δ gi, δ qi e ψ q1 em cada etaa de análise. Etaa δ g1 δ g2 δ g3 δ q1 δ q2 Ψ q1 Construção Corte dos fios Içamento e transorte na indústria Içamento e transorte na obra Montagem Revestimento 1 β a1 ou β a2 β a1 ou β a ELS Em serviço 1 1 1/0 1 0 Ψ ELS-F ou Ψ ELS-D Sendo: ψ ELS-F - Fator de redução da combinação ara verificação do ELS-F; ψ ELS-D - Fator de redução da combinação ara verificação do ELS-D. Os coeficientes ψ ELS-F e ψ ELS-D têm seus valores deendentes do tio do concreto utilizado e consequentemente da combinação de ação verificada, conforme Tabela 3.2. Assumindo o R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

66 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 64 valor 1 ara combinações raras, ψ 1 ara combinações frequentes e ψ 2 ara combinações quase ermanentes. Os valores de ψ 1 e ψ 2 são aresentados na Tabela A.6 (Aêndice A). É imortante lembrar que nas fases de transorte e retirada da fôrma, o efeito dinâmico deve ser comutado na carga ermanente, conforme orientação da NBR 9062 (ABNT, 2006). Quando uma análise dinâmica não uder ser efetuada, a solicitação dinâmica ode ser considerada de forma aroximada, or uma análise estática equivalente, adotando-se um coeficiente de amlificação dinâmica conforme a exressão (3.20). g ed g a k (3.20) Sendo: g k g ed a - a carga estática característica ermanente; - a carga estática equivalente de cálculo ermanente; - o coeficiente de amlificação dinâmica. A NBR 9062 (ABNT, 2006) revê ainda os seguintes valores ara o coeficiente β a : a = 1,3 a = 0,8 a = 1,3 a = 1,4 a < 1,3 - na ocasião do transorte, com carga ermanente em situação desfavorável; - na ocasião do transorte com carga ermanente em situação favorável, ou outro valor definido em verificação exerimental comrovada; - na ocasião do saque da fôrma, manuseio no canteiro e montagem do elemento; - na ocasião do saque da fôrma, manuseio no canteiro e montagem do elemento sob circunstâncias desfavoráveis, tais como formato do elemento ou detalhes que dificultem a sua extração da fôrma ou suerfície de contato com a fôrma maior que 50m²; - na ocasião do saque da fôrma, manuseio no canteiro e montagem quando os elementos forem de eso suerior a 300 kn. O valor de a deve ser estabelecido conforme exeriência local, bem como formas e equiamentos de levantamentos adotados; a = 4 - ara rojetos dos disositivos de levantamento, ara saque, manuseio e montagem, em contato com a suerfície do elemento ou ancorado no concreto. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

67 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Verificação do ELS de deformações (ELS-DEF) No rojeto de ainéis alveolares deve-se realizar quatro verificações quanto à flecha. Duas estão aresentadas na Tabela A.12 (Aêndice A), roveniente da NBR 6118 (ABNT, 2007). Dizem reseito aos deslocamentos visíveis em elementos estruturais e às vibrações sentidas no iso e são dadas elas equações (3.21) e (3.22). f f g1 1 T, f g 2 1 T, f g 3 1 T, L f 1 4 A q (3.21) L f q (3.22) 350 Onde: ψ A T 1, T 4 e T 5 - Para rotensão limitada, valor igual a ψ 1. Em caso de rotensão comleta, assume valor igual a 1; - Temos de alicação do corte dos fios, da caa e do revestimento resectivamente. As equações (3.23) a (3.27) aresentam as flechas devidas às arcelas de carregamento utilizadas nas equações (3.21) e (3.22). f 2 2M L (3.23) 9 3E I cs 2 M g L f 5 1 g1 48E I (3.24) cs 2 M g L f 5 2 g 2 48E I (3.25) cs f 5M L 2 g 3 g 3 48Ecs I sc (3.26) f 5M L 2 q1 q 48Ecs I sc (3.27) R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

68 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 66 Por fim, a demais verificações são oriundas da NBR 9062 (ABNT, 2006), e estão aresentadas na Tabela A.13 (Aêndice A). Referem-se à tolerância de fabricação de elementos ré-moldados, visando à linearidade de ainéis e lajes, considerando a deformação ositiva e negativa, dada ela equação (3.28). f L f g1 (3.28) Verificação de cisalhamento da interface entre dois concretos (ELU-C1) A NBR 9062 (ABNT, 2006) ermite que elementos comostos (ou mistos) sejam calculados como eça monolítica, desde que atenda a condição de cisalhamento na interface dos dois concretos. Esse caso se alica à estrutura em estudo, quando a caa exerce função estrutural. Assim, imõe-se através da equação (3.29) que a tensão resistente τ rd seja suerior ou igual à tensão solicitante τ sd, dadas elas equações (3.30) e (3.31). sd rd (3.29) f (3.30) rd c cd caa f cd caa sd 1,4 Acaa 0, 85 (3.31) b a v Onde: β c f cd caa A caa b a v - Coeficiente de minoração alicado ao concreto devido à suerfície rugosa, dado na Tabela A.14 (Aêndice A); - Resistência de cálculo da caa de regularização; - Área da caa de regularização; - Largura da eça; - Distância entre os ontos de momento nulo e máximo, resectivamente, na eça. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

69 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto Verificação de solicitações normais (ELU-SN) Está incluso nessa verificação o cálculo da força de neutralização P nd, que agregada à armadura de rotensão anula as tensões no concreto em uma das faces da seção transversal. Essa tensão é hiotética, usada aenas ara caracterizar a osição em que a deformação se iguala ao ré-alongamento da armadura ε nd. A força de neutralização é calculada or meio das equações (3.32) e (3.33) e a deformação de ré-alongamento ela equação (3.34). P nd E Pfinal cfinal A (3.32) E cs P M e M M M M final g1 g 2 g 3 q cfinal (3.33) Asm I sm Wsm Wst P nd nd (3.34) A E Onde: P final σ cfinal A E E cs M, M g e M q - Força de rotensão aós ocorrerem todas as erdas; - Tensão no concreto na fibra do centro de gravidade da armadura, comutando todas as erdas de rotensão; - Área da armadura de rotensão; - Módulo de elasticidade da armadura de rotensão; - Módulo de elasticidade secante do concreto, aos 28 dias; - Momentos fletores devido a rotensão, os carregamentos ermanentes e os carregamento variáveis, resectivamente. A área de aço necessária A N ara resistir aos carregamentos atuantes nas combinações referentes ao ELU é calculada como tradicionalmente se faz no dimensionamento a flexão comosta reta. O momento atuante é dado ela equação (3.35), sendo γ f dado elas Tabelas A.1 a A.5 (Aêndice A). M sd f g q M M (3.35) R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

70 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 68 A linha neutra ode se localizar na caa de regularização (Caso I) (quando a mesma estiver exercendo função estrutural), na área acima dos alvéolos (Caso II) ou na região das nervuras (Caso III), conforme indica a Figura 3.3. Figura Posição da linha neutra no ainel, demarcando a área resistente do concreto. a) Linha neutra na caa de regularização. b) Linha neutra acima dos alvéolos. c) Linha neutra sobre os alvéolos. Para o caso da laje alveolar com caa estrutural, a situação limite da linha neutra entre a caa e a laje, ou seja, entre o caso I e II, é dada ela equação (3.36). Já ara a situação limite da linha neutra entre o caso II e III, é dada ela equação (3.37). 0,8 x (3.36) 1Lim h c h D a 0,8 x2 Lim hc (3.37) 2 Assim sendo, calcula-se o d e o d 0 ara a situação limite, dadas elas equações (3.38) e (3.39), resectivamente. D d h hc cob (3.38) 2 R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

71 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 69 M sd h Da hc d 0 (3.39) h Da 4 2 0,85 f cd b hc 2 Se d d 0, ou seja, 0,8 x 0,8 x 1lim, tem-se o caso I ou II, com a linha neutra acima do alvéolo. Se d <d 0, ou seja, 0,8 x > 0,8 x 2lim, tem-se o caso III, com a linha neutra no alvéolo. Calcula-se então a reação, o momento absorvido e a arcela da área de aço ara cada região da estrutura que estiver acima da linha neutra, conforme as Equações (3.40) a (3.42), resectivamente. região d região cd R 0, 85 f A (3.40) região M R z (3.41) regiãod regiãod região R N região d A região (3.42) f yd Caso o momento absorvido ela caa (M caa d ) seja igual ou maior que o momento solicitante (M sd ), conclui-se que a linha neutra se encontra na caa estrutural (Caso I). Caso a linha se encontre na mesa (Caso II) ou na nervura (Caso III) o momento a ser absorvido é determinado ela diferença entre o momento solicitante (M sd ) e o somatório dos momentos acima da região a que o cálculo se refere, conforme exemlificado na equação (3.43) M nd M sd M caa d M md (3.43) Calcula-se então a relação x/d, dada ela equação (3.44). x d 1,251 1,6 M nd 1 (3.44) 0,68 f b d cd 2 O cálculo da tensão no domínio 2, quando a deformação do concreto é inferior a 0,2 %, conduz a uma equação do terceiro grau. Por simlicidade em relação ao algoritmo de otimização, e sem rejuízo do dimensionamento, adota-se a simlificação recomendada or Rocha (1987); Assim, limita-se o valor de z ara ossibilitar o uso do diagrama retangular da norma também no domínio 2. Tal limitação é dada ela equação (3.45). R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

72 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 70 z d 0,931 (3.45) Sendo: z d 0, 4 x (3.46) Por fim, calcula-se a armadura necessária ara absorver os esforços, or meio da equação (3.47), e verifica-se or meio da equação (3.48), se a armadura utilizada ara o dimensionamento é maior que a armadura necessária. A N N caa N m N n A A A (3.47) N A A (3.48) Verificação de solicitações tangenciais (ELU-ST) A NBR (ABNT, 2011) orienta que duas condições sejam verificadas ara o caso de lajes alveolares, exressas elas equações (3.49) e (3.50). Vsd V Rd1 (3.49) Vsd V Rd2 (3.50) A rimeira visa garantir a não necessidade de armadura transversal. Para tanto a força solicitante V sd deve ser inferior à resistência de rojeto ao cisalhamento V Rd1. Essa verificação é realizada ara a seção simles e comosta da laje. Essa mesma norma orienta que a verificação em relação à força cortante seja feita na seção transversal mais crítica ao longo do vão da estrutura, a artir da distância de 0,5h da extremidade do seu aoio. Portanto a força cortante solicitante V sd ara elementos bi aoiados é dada ela equação (3.51), e a resistência de rojeto V Rd1, dada ela equação (3.52) e calculada através das equações (3.53) a (3.59). V V sd b L g q 2 L h f (3.51) L k 1,2 40 0, b d (3.52) Rd 1 Rd 1 15 c _ cisa w R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

73 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 71 Sendo: f ctk Rd 0,25 1,4 (3.53) k 1,6 d, sendo k 1 (3.54) A 1, sendo 1 0,02 (3.55) b d w b w a a b D n (3.56) Pfinal c _ cisa (3.57) A c l x 1, sendo l x 0, 5h (3.58) l t2 l 85 t2 (3.59) Onde: V Rd1 A b w rd 1 P final A c c_cisa - a força cortante resistente de cálculo na seção, com ou sem caa estrutural; - a área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada; - o somatório das nervuras da laje alveolar; - a tensão resistente de cálculo; - a taxa de armadura; - a força de rotensão final deois de todas as erdas; - a área da seção transversal de concreto da laje alveolar ré-moldada; - a tensão de comressão do concreto devido à força de rotensão de rojeto ara o caso da laje sem alvéolo reenchido. A segunda condição garante que a força cortante solicitante V sd não ultraasse a resistência de cálculo das diagonais comrimidas do concreto V Rd2, obtida or (3.60). V Rd 2 0 v1 cd w 9,5 f b 0, d (3.60) R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

74 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 72 Onde: f ck v1 0,7, sendo v , (3.61) Sendo: f cd - Resistência de dimensionamento do concreto da laje Verificação de fendilhamento longitudinal Durante o rocesso rodutivo, não se ermite que a liberação das cordoalhas de rotensão gere nenhum tio de fissuração longitudinal nas nervuras. Dessa forma, deve-se garantir que a tensão na nervura mais solicitada ( s ) seja inferior à tensão de tração do concreto (f ctkj,inf ). Essa verificação rovém da NBR (ABNT, 2011) e é traduzida na equação (3.62). s f ctkj,inf (3.62) Com: 2,3 P0 15 e 0,07 s (3.63) nerv 1,5 bw e l t1 1 1,3 0,1 e e e k e (3.64) h k W nerv (3.65) A c, nerv Onde: f ctkj,inf nerv b w e l t1 h - Valor da resistência a tração característica inferior do concreto, na data em que é realizada a liberação da rotensão com base no controle tecnológico do concreto; - Largura da nervura individualmente; - Excentricidade da força de rotensão; - Valor inferior de rojeto ara o comrimento de transmissão (fixado em 60); - Altura da nervura; R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

75 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 73 k - Meia altura do núcleo de rigidez na nervura, calculada ela razão entre o módulo resistente da nervura W nerv e a área da seção transversal de concreto A c,nerv Caracterização do roblema de otimização Para a alicação deste trabalho, as variáveis de rojeto são: a altura do ainel h; o diâmetro dos alvéolos D a ; o diâmetro da armadura de rotensão D ; e o número de cabos n c. Todas as demais grandezas envolvidas na análise são arâmetros de rojeto, ou seja, não se alteram durante o rocesso de otimização. As alicações aresentadas no Caítulo 4 adotam dois tios de função objetivo: o eso e o custo do ainel. A equação (3.66) aresenta a função objetivo reresentando o eso do ainel, enquanto que as equações (3.67) e (3.68) reresentam o custo do ainel. 2 na Da Peso b h 4 n c A cs n c A a L (3.66) As equações (3.67) e (3.68) foram obtidas or Castilho (2003) a artir do custo de indústrias de ré-moldados no estado de São Paulo. Embora o trabalho tenha sido realizado há mais de 10 anos, considera-se que o crescimento dos custos se deu de forma roorcional nesse eríodo e ainda ode ser alicada a uma rotina de otimização. Custo s / caa 11,578 logh 12,663 0,0528 h 1,1 24,75 fck 74,25 0,063 logh 0,0721 0,0633 logh 0,0721 2,4075 A (3.67) Custo c / caa 11,578 ln( h) 13,178 0,048 24,75 1,27 h c 1,1 fck caa 74,25 24,75 fck 74,25 0,0633 lnh 0,0721 2,407 A h c 0,0528 h (3.68) Em ainéis nos quais a caa exerce função estrutural tem-se um total de 60 restrições. O roblema de otimização ode então ser descrito na forma geral aresentada na equação (3.69). R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

76 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 74 Obter h, D n minimiza Peso bh e / ou tal que a Custo RC D i RTN RELU c / caa 0, 0, RELS _ D j e n k RFEND c que 11,578 ln( h) 13,178 0,048 24,75 fck 0, m l 1,27h 0, 0, a D c 4 2 a i 1, 2 j 1,,48 k 1,,5 l 1,,4 m 1 n c A fck 74,250,0633lnh 1,1 24,75 cs n c A a L caa 74,25 h c 0,0528h 0,0721 2,407A (3.69) Sendo: RC RTN RELU RELS_D RFEND - Restrições construtivas; - Restrições de tensões normais nas fases construtivas e nos ELS; - Restrições do ELU; - Restrições do ELS-D; - Restrição de fendilhamento VIGA ISOSTÁTICA COM CABO RETO A viga isostática em estudo neste trabalho tem cabo reto ré-tracionado e ode estar submetida tanto à rotensão comleta quanto à rotensão limitada. Pode ou não suortar laje e esta ode ou não aresentar função estrutural, contribuindo como mesa de comressão no dimensionamento a flexão. A Figura 3.4 aresenta um exemlo de alicação desse tio de viga e sua colocação na obra. R. F. VASCONCELOS Caítulo 3

77 D0097E14: Otimização de Elementos Pré-Moldados de Concreto: Lajes Alveolares e Vigas com Cabo Reto 75 Figura 3.4 Viga ré-moldada - colocação na obra (htt://santa-catarina.all.biz) Características geométricas e mecânicas da viga As roriedades geométricas da viga em estudo neste trabalho e o sistema de eixos adotado em rojeto estão reresentados na Figura 3.5. Figura 3.5 Características geométricas da viga isostática. Sendo: h hl L - altura da viga; - altura da laje; - comrimento da viga; R. F. VASCONCELOS Caítulo 3