Figura 4.21: Gráfico da intensidade das potências de qq U t qq (linhas 1 e 3), levando em conta os 30% de pontos mais intensos, N = 76 e fase = 0,

Transcrição

1 Figura 4.2: Gráfico da intensidade das otências de q U t q (linhas e 3), levando em conta os 3% de ontos mais intensos, N = 76 e fase =, comaradas com órbitas eriódicas clássicas (linhas 2 e 4) obtidas com δ /N. 9

2 Figura 4.22: Estatísticas (s) s (à esquerda) e 3 (l) l (à direita), de cima a baixo na ordem, N = 28 e fase =, N = 32 e fase =, N = 32 e fase = /2, e N = 64 e fase = /2. Linha continua - GOE, tracejada - oisson, traço e onto - GUE. 92

3 Caítulo 5 Maas com acolamento simétrico Neste caítulo aresentamos a quantização de dois Maas do adeiro com acolamento simétrico, ou seja, a interferência de (q, ) sobre (, ) tem a mesma forma da interferência de (, ) sobre (q, ). Conforme exosto no Caítulo 3, a forma geral neste caso é, Onde K = 4 + 4A. q n+ = (2 + A)q n A n + função módulo n+ = (2 + A) n Aq n + função módulo 2 (5.) n+ = 2 + A K n + A K n + função módulo 3 n+ = 2 + A K n + A K n + função módulo 4. O arâmetro de acolamento escolhido é A = 2, que resulta no maa, q n+ = 4q n 2 n + função módulo n+ = 4 n 2q n + função módulo 2 (5.2) n+ n+ = n 3 + n 6 = n 6 + n 3 + função módulo 3 + função módulo 4. Onde as funções módulo desemenham o reordenamento dos blocos a cada iterada 93

4 4 (a) 2 4 q 2,5 (b),5 Figura 5.: (a) Região hachurada ara onde evoluem os ontos no lano q aós uma iterada, mas antes da alicação das funções módulo. (b) O mesmo ara os ontos do lano. do maa. Doravante chamaremos este maa de Maa Simétrico. Aós uma iterada, os ontos originalmente contidos no intervalo [, ) [, ), tanto em q quanto em, evoluem ara as regiões mostradas na figura 5.. ela forma da figura 5. se ercebe que o reordenamento dos blocos ara este maa será bem mais comlexo, já que enquanto no Maa Assimétrico basta uma translação de blocos em q (ver fig. 4.2) ara retornarmos a uma forma retangular neste lano, aqui serão necessárias 3 translações, como mostra a figura (a) (b) (c) q q q 2 Figura 5.2: (a) Região ara onde evoluem os ontos no lano q aós uma iterada, mas antes da alicação das funções módulo. (b) A forma retangular é obtida elo reordenamento dos blocos identificados com diferentes reenchimentos. (c) As doze regiões de área são identificadas. 94

5 Aqui também odemos quantizar elo menos duas versões do Maa Simétrico a artir de uma única função geratriz, função esta que não se refere a nenhuma das versões, a qual denominamos função geratriz efetiva. É ossível usar esta única função geratriz efetiva desde que cada versão reseite a eriodicidade dela na construção dos blocos, em analogia com o caso assimétrico. Como discutido nos caítulos anteriores, não é ossível introduzir em uma função geratriz termos que deendam de n e n, visto que a função geratriz F é F( n+, n+, q n, n ). Desta forma como sabemos que a função geratriz ara o Maa Simétrico (omitindo os termos relativos as funções módulo) é (vide eq. 3.5), F(q n, n, n+, n+ ) = (4q n 2 n ) n+ + (4 n 2q n ) n+ +..., (5.3) ara obtermos a eriodicidade desta função geratriz efetiva (como exosto no Caítulo 4), identificamos x e y tais que, F( n+, n+, q n, n ) = F( n+ +x, n+ +y, q n, n )+ l/n, onde l é um inteiro. O cálculo direto mostra que as soluções são, x = 6, (5.4) y = 3, e x = 3, (5.5) y = 6. Tendo em vista que os elementos da matriz do roagador são obtidos da equação 3., que aqui reescrevemos como, n+ n+ U q n n = C ex[ 2πiNF], (5.6) é ossível demonstrar que, ara cada onto da região do lano indicada na figura 5.3(a), a função geratriz efetiva assume um valor diferente. Além disso, alicando as eriodicidades da função geratriz efetiva (eq. 5.3) obtidas nas equações 95

6 (a) (b) + /6 { + /3 /3 /6 /6 /3 /3 /6 /6 /3 { + /3 + /6 Figura 5.3: Reresentação esquemática da eriodicidade da função geratriz efetiva. 5.4 e 5.5, vemos que a função geratriz efetiva reete-se de forma eriódica, formando uma estrutura de blocos, a qual, vista no lano, aresenta a forma exosta na figura 5.4. Novamente temos elo menos dois caminhos distintos a seguir, e o que os distingue é a forma como o lano terá o intervalo [, ) [, ) reenchido elos blocos. Versão Na rimeira versão do Maa Simétrico, transladamos os ontos no lano q, conforme mostra a figura 5.2 e mantemos os ontos no lano na sua osição natural (ver fig. 5.). O objetivo nesta etaa é aenas facilitar a identificação dos 2 blocos de área no lano q que estarão associados a dulicação dos blocos em. A artir do rocedimento anterior (fig. 5.2), rebatemos os blocos no lano q e dulicamos e transladamos os blocos no lano conforme mostram as figuras 5.5 e

7 Figura 5.4: Reresentação esquemática da eriodicidade da função geratriz efetiva ao longo do lano. 97

8 q (a),5,5 2,2 3,4 5,6 7,8 9,,2 6 q (b),5 2,5 2 Aqui estao ~ sobreostos os blocos,2,3 e 4 5,6 7,8 9,,2 6 q (c), ,5 [h] Figura 5.5: (a) À esquerda os doze blocos de área que serão transladados à região [, ) [, ). À direita o bloco de área /2 que será dulicado e transladado até reencher à região [, ) [, ) concomitantemente as translações em q. (b) Os seis blocos da região [, 6) [, 2), numeração ar, do lano q são sobreostos aos seis da região [, 6) [, ), numeração ímar. Desta forma o bloco 2 se sobreôs ao bloco na região [, ) [, ) e assim há a rimeira dulicação de blocos em. (c) Agora dois blocos, 3 e 4, que estavam sobreostos sobre a região [, 2) [, ) são movidos ara a região [, ) [, ), e assim mais dois blocos surgem em. 98

9 q Figura 5.6: Aós todas as translações em q e, chega-se a este resultado. Em ambos os lanos, a região [, ) [, ) assa a estar densamente ocuada, sendo que a diferença de reenchimento na figura do lano se destina a ermitir a distinção entre os blocos que formam a estrutura. Os números identificam os blocos do lano q aos quais cada bloco em está relacionado. Nesta versão transladamos os blocos no lano de acordo com a eriodicidade da função geratriz efetiva que será usada na quantização na sua forma mais natural e simétrica. Caso visualizássemos esta figura no toro, veríamos duas faixas diagonais e aralelas entre si reenchendo densamente o toro, sendo que cada faixa corresonde a união de seis blocos. Na verdade, se o lano na figura 5.6 for visualizado no toro, nenhum losango areceria dividido. As equações que descrevem este maa acolado são, q n+ = 4q n 2 n f n+ = 4 n 2q n f 2 (5.7) n+ n+ = n 3 + n 6 + g 6 + g 2 3 = n 6 + n 3 + g 3 + g

10 Onde, f = f 2 = g = 3, 3 4q n 2 n < 4 2, 2 4q n 2 n < 3, 4q n 2 n < 2, 4q n 2 n <, 4q n 2 n < 2, 2 4q n 2 n <. 3, 3 4 n 2q n < 4 2, 2 4 n 2q n < 3, 4 n 2q n < 2, 4 n 2q n <, 4 n 2q n < 2, 2 4 n 2q n <., f = e f 2 = ou, f = e f 2 = ou 2, f = 2 e f 2 2, f = 2 2, f = e f 2 < 3, f = e f 2 = 2 ou 3 3, f = e f 2 = 4, f = e f 2 = 2 4, f = 2 e f 2 < 5, f = e f 2 2 5, f = 3 5, f = e f 2 = ou.

11 g 2 =, f 2 = 2, f 2 =, f 2 =, f 2 =, f 2 = 2, f 2 = 3. Versão 2 Nesta segunda versão do Maa Simétrico, a rincial mudança está no fato de realocarmos os blocos no lano de forma semelhante a que havíamos feito na versão (natural) ara o lano q, como exosto na figura q 2 (a) /2 /2 (b) / q /6 /2 Figura 5.7: (a) Identificamos os blocos que serão deslocados em ambos os lanos. (b) Aresentamos os blocos em suas novas osições.

12 Na realidade este reordenamento faz com que este bloco em corresonda a fazermos um corte na reresentação esquemática da função geratriz efetiva no lano (fig. 5.4). A equivalência é mostrada na figura 5.8. Este novo bloco ode ser transladado na direção, mas não ode na direção como mostra a figura 5.9, visto que blocos subjacentes na direção têm formas distintas. /6 /2 /6 /2 Figura 5.8: Comaramos um corte no lano da figura 5.6 com o reordenamento de blocos exosto na figura 5.7. B A B A Figura 5.9: Observe que os blocos A e B têm diferentes estruturas internas. 2

13 De fato só odemos transladar o bloco se o dividirmos em sub-blocos, e reordenarmos estes sub-blocos como exosto na figura 5.. B A Figura 5.: Aqui mostramos como o bloco A ode ser transformado no bloco B, ou seja, simlesmente transladamos a terça arte mais à esquerda, colando-a à direita das duas terças artes restantes. Agora que definimos os blocos e sub-blocos, odemos exor como será feita a reconstrução do esaço de fase em q e. Aós a etaa descrita na figura 5.7 assamos a rebater os blocos em q ao mesmo temo que dulicamos os blocos em (ver fig. 5.). Observe (fig. 5.) que cada bloco do lano está dividido em três sub-blocos, e estes sofrem um reordenamento cíclico semre que um dos blocos é transladado na direção. O efeito final está na figura 5.2. Na figura 5.3 odemos ver que a ocuação dos novos blocos em recria a forma da versão natural, a diferença está na ordem de ocuação, o que traz diferenças significativas na dinâmica dos maas, como os resultados irão demonstrar. 3

14 (a) q,5 2 (b) q,5 (c) q,5 (d) q,5 Figura 5.: Em (a) aresentamos a osição ocuada nos lanos q e conforme exosta na figura 5.7 e acrescentamos a subdivisão interna que agora se faz necessária nos blocos do lano. Em (b) sobreomos os seis blocos sueriores aos seis inferiores em q, deste modo um bloco assa a se sobreor ao original no intervalo [, ) [, ), refletindo no surgimento de mais um bloco em osicionado no intervalo [/2, ) [, /6). Em (c) deslocamos os dois blocos que estavam sobreostos no intervalo [5, 6) [, ) levando-os ao intervalo [, ) [, ), e assim surgem dois novos blocos em. Observe que há também uma reordenação interna, com cada sub-bloco sendo deslocado à esquerda de maneira cíclica. Em (d) rosseguimos com a contração em q e surgem mais dois blocos em novamente com seus sub-blocos deslocadas à esquerda de forma cíclica. 4

15 q,5 Figura 5.2: Aqui aresentamos o resultado final das translações efetuadas em q, e das dulicações e translações em ara a versão 2 do Maa Simétrico. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 5.3: Em (a) aarece o rimeiro bloco no lano, em (b) a rimeira dulicação, e aqui não há deslocamento de sub-blocos. Em (c) surge a rimeira dulicação na direção e aqui o rimeiro sub-bloco à esquerda assou ara a outra extremidade. Em (d) aarece mais um bloco seguindo o mesmo rocedimento, até que em (e) temos o lano reconstruído, e aqui reenchemos os blocos alternadamente ara os distinguir. 5

16 É imortante frisar que ao reordenarmos os blocos em (ver fig. 5.7) tornam-se necessárias duas dulicações na direção de, e seis na direção de ara reenchermos o lano. Duas na direção corresondendo a contração de, e as seis na direção corresondendo a contração de q. O resultado final é termos os dois lanos q e ocuando o intervalo [, ) [, ) (fig. 5.2). oderíamos ainda fazer exatamente o oosto, surgindo então outro ossível maa acolado. O maa clássico que descreve esta dinâmica é, q n+ = 4q n 2 n f n+ = 4 n 2q n f 2 ( n n+ = 3 + n 6 g 6 h 6 + h 2 6 h ) 3 3 n+ = n 6 + n 3 + g 6 h 3 h 2 6 h 3 6. (mod /2) + g 2 2 Onde, f, f 2, g e g 2 são os mesmos da versão anterior, e, h =,, n+2 n 6 3 n+2 n 6 < 3. h 2 = h 3 =, 6 n+2n 6 < 3 e 2n+n 6 < 3, outro caso., 6 n+2n 6 < 3 e 2n+n 6 3, outro caso. É imortante ressaltar que embora não ossamos escrever uma função geratriz que contemle as funções h s, nem o mod /2 que surge na equação 5.8 ara n+, todos estes efeitos são comensados ela eriodicidade da função geratriz efetiva que usaremos (ver fig. 5.4). 6

17 5. uantização Todo o rocesso de quantização que usaremos aqui é igual ao usado no caítulo anterior, o que muda é a eriodicidade da função geratriz e consequentemente a estrutura de blocos e os valores ermitidos ara N. A função geratriz efetiva que usaremos ara a quantização das duas versões do Maa Simétrico é F(q n, n, n+, n+ ) = (4q n 2 n ). n+ + (4 n 2q n ). n+ f. n+ f 2. n+ g 2.q n g. n. (5.8) Onde f, f 2, g e g 2 são os mesmos já exostos anteriormente. ara odermos reresentar cada um dos blocos da estrutura de blocos da matriz do roagador com um número igual de elementos, é necessário que, ara o Maa Simétrico, N semre seja um múltilo de 6. De fato N semre deve ser um múltilo do mínimo múltilo comum do número de blocos que temos em cada direção no lano (deois de reordenados). or fim a estrutura de blocos será obtida dando-se amlitude zero aos elementos da matriz do roagador que reresentam transições roibidas ela dinâmica clássica de cada versão, em comleta analogia com o que foi feito na caítulo anterior ara maas assimétricos. Nas róximas seções aresentamos os resultados ara a versão e 2 do Maa Simétrico. 5.. Resultados da versão Observando as evoluções dos OG, vemos que estas concordam com as evoluções clássicas, isto se confirma nas figuras 5.4 até 5.6. Mesmo em situações onde os 7

18 OG s artiram de ontos na divisa entre blocos, como na figura 5.4, a concordância é lena, a exemlo do que ocorreu nas duas versões do Maa Assimétrico. Também aresentamos os gráficos da intensidade das otências de q U t q comaradas com as órbitas eriódicas obtidas numericamente ara o maa clássico em relação ao lano q nas figuras 5.7 e 5.8. Aqui o log time τ é τ log 6 N, assim quando usamos N = 36, temos τ 2 e quando usamos N = 78 temos τ 2, 4. q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.4: Comarativo entre a evolução de um acote de onda gaussiano OG, e um conjunto de ontos clássicos, ambos artindo do onto de coordenadas q = /2, = /2, = /2, = /2. No too evolução vista no lano q, rimeiro quântica e logo abaixo a clássica. Nas duas linhas de baixo, rimeiro evolução quântica vista no lano e abaixo a clássica. Foi usado N = 6 e fase = /2. 8

19 q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.5: Mesmo que figura anterior mas agora artindo do onto de coordenadas q = /2, = /4, = 2/3, = /2, N = 6, fase = /2. 9

20 q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.6: Mesmo que figura anterior mas agora artindo do onto de coordenadas q =, 4, =, 6, = 2/3, =, 8, N = 6, fase = /2

21 Figura 5.7: Comarativo entre as otências de q U t q (linhas e 3), levando em conta os 3% de ontos mais intensos, com t =, 2, 3, 4, 5 e 6, com as órbitas eriódicas do maa clássico (linhas 2 e 4) no lano q, obtidas numericamente com δ /N. Foi usado N = 36, e fase = /2.

22 Figura 5.8: Comarativo entre as otências de q U t q (linhas e 3), levando em conta os 3% de ontos mais intensos, com t =, 2, 3, 4, 5 e 6, com as órbitas eriódicas do maa clássico (linhas 2 e 4) no lano q, obtidas numericamente com δ /N. Foi usado N = 78, e fase = /2. 2

23 A análise da distribuição dos autoângulos é feita nas figuras 5.9 à 5.2. Na figura 5.9 aresentamos os resultados das estatística (s) e 3 (l) com dois valores de N e dois valores distintos ara a fase, obtendo assim quatro combinações, rimeiro N = 3 e fase =, deois N = 3 e fase = /2, na sequência N = 36 e fase =, e or fim N = 36 e fase = /2. Observa-se que semre que usamos fase =, os resultados ajustam-se a GUE, enquanto que com fase = /2, ajustam-se a oisson. Na realidade a fase = /2 ara esta versão do Maa Simétrico recuera a simetria R (ver Caítulo 2), e mantém o maa invariante em relação a reversão temoral. Desta forma na figura 5.2 exomos as estatísticas (s) e 3 (l) usando exclusivamente fase = /2, mas rocedendo a estatística somente sobre os autoângulos da simetria R+. No resultado vemos que agora as estatísticas ajustam-se a dulo GOE [69]. Isto resulta do fato de aqui termos a ossibilidade de simetrizar e anti-simetrizar a base, ois o sistema é invariante na troca q,. Assim sendo a figura 5.2 aresenta as estatísticas (s) e 3 (l) sobre os autoângulos dos estados simétricos R+, e anti-simétricos R-. Nesta figura vemos que agora o sistema exibe concordância com GOE. Então concluímos que quando usamos fase = /2 o sistema aresenta um esectro comatível com GOE, mas quando usamos fase = o sistemas aresenta um esectro comatível com GUE, exatamente o oosto ao verificado no Maa Assimétrico versão, mas o eserado ara este maa. 3

24 Figura 5.9: Estatísticas (s) s (à esquerda) e 3 (l) l (à direita), obtidas ara diversos valores de N e calculadas sobre todos os autoângulos sem searação de simetrias. De cima ara baixo na ordem, N = 3 e fase = /2, N = 3 e fase =, N = 36 e fase = /2 e N = 36 e fase =. Linha contínua - GOE, tracejada - oisson, traço e onto - GUE. 4

25 Figura 5.2: Estatísticas (s) s (à esquerda) e 3 (l) l (à direita), obtidas ara diversos valores de N e calculadas sobre todos os autoângulos da simetria R+, assim sendo a fase usada semre foi /2. De cima ara baixo na ordem, N = 3, N = 36, N = 42 e N = 6. Linha contínua - GOE, tracejada - oisson, traço e onto - dulo GOE. 5

26 Figura 5.2: Estatísticas (s) s (à esquerda) e 3 (l) l (à direita), obtidas com a searação das simetrias em Simétrico e Anti-Simétrico, e R+ e R-, na ordem de cima ara baixo, N = 3, R- e simétrico; N = 3, R+ e anti-simétrico; N = 36 R- e simétrico; e N = 36 R+ e anti-simétrico. Linha contínua - GOE, tracejada - oisson. 6

27 5..2 Resultados da versão 2 Novamente as evoluções dos OG acomanham as evoluções clássicas até o log time, como mostram as figuras 6.5 até 6.7. A exemlo do que vêm ocorrendo em todas as versões de maas quantizados, mesmo em situações onde os OG s artiram de ontos na divisa entre blocos como na figura 6.5, a concordância é excelente. Na figura 6.8 aresentamos o gráfico da intensidade das otências de q U t q comaradas com as órbitas eriódicas obtidas numericamente ara o maa clássico em relação ao lano q. Na figura 6.9 aresentamos o resultado das estatísticas (s) e 3 (l). Nesta versão o maa clássico não aresenta a simetria R, tamouco é invariante na troca q,, logo não há simetrias a serem searadas. ualitativamente os resultados desta versão em relação a evolução de OG s e otências de q U t q são similares ao observado na versão, ou seja, a concordância da dinâmica clássica e quântica se extende até o log time. Já no que se refere as estatísticas (s) e 3 (l), nesta versão indeendentemente da fase escolhida ( ou /2) os resultados indicam concordância com GUE, o que é característico de sistemas que não são invariantes a reversão temoral. 7

28 q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.22: Comarativo entre a evolução de um acote de onda gaussiano OG, e um conjunto de ontos clássicos, ambos artindo do onto de coordenadas q = /2, = /2, = /2, = /2. No too evolução vista no lano q rimeiro quântica e logo abaixo a clássica. Nas duas linhas de baixo, rimeiro a evolução quântica vista no lano e abaixo a clássica. Foi usado N = 6 e fase =. 8

29 q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.23: Mesmo que figura anterior mas agora artindo do onto de coordenadas q =, 8, =, 2, =,, =, 5, N = 6, fase =. 9

30 q uantico q Classico uantico Classico Figura 5.24: Mesmo que figura anterior mas agora artindo do onto de coordenadas q =, 3, =, 2, =, 4, =, 4, N = 6, fase =. 2

31 Figura 5.25: Gráfico da intensidade das otências de q U t q (linhas e 3), levando em conta os 3% de ontos mais intensos, N = 36, fase =, comaradas com as órbitas eriódicas clássicas (linhas 2 e 4) de eríodo a 6 no lano q. 2

32 Figura 5.26: Estatísticas (s) s (à esquerda) e 3 (l)(l) l (à direita), obtidas ara diversos valores de N e calculadas sobre todos os autoângulos. De cima a baixo na ordem, N = 3 e fase =, N = 3 e fase = /2, N = 36 e fase = e N = 36 e fase = /2. Linha contínua - GOE, tracejada - oisson e traço e onto - GUE. 22