Toy models de supercondutores topológicos

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Toy models de supercondutores topológicos"

Pedro Amorim Costa
5 Há anos
Visualizações:

1 Toy models de suercondutores toológicos November 9, 05 Introdução Começamos com uma banda metálica simétrica H 0 = σ ε() c σc σ, () ou escrito como matriz H 0 = ψ ( ) ε() 0 ψ 0 ε(), () com os sinors ψ = ( ) c. (3) c Podemos utilizar esta notação ara escrever algums tios de Hamiltonianos. Por exemlo, uma interação entre sins { Vσσ c σc σ + H.c. }, (4) H V = σ,σ vira H V = ψ ( ) V V ψ V V. (5) Mas o Hamiltoniano BCS H BCS = { c c + H.c. }, (6) não ode ser escrito dessa maneira (tentem).

2 O formalismo de Bogoliubov De Gennes Vamos escrever H 0 como segue: H 0 = { ε()c σ c σ + ε()c } σc σ = σ σ { ε()c σ c σ ε()c σ c σ} + ε(). Aroveitando a simetria da banda metálica, odemos mudar no segundo termo, e temos H 0 = { } ε()c σc σ ε( )c σ c σ + ε(). (8) σ Fazemos o mesmo com H SC : H SC = { [ ] } c c c c + H.c., (9) e definimos o sinor c c ψ = c c σ σ (7). (0) Agora odemos escrever (verifiquem) ε() 0 0 H = H 0 + H SC = ψ 0 ε() 0 0 ε( ) 0 ψ 0 0 ε( ) = ψ H BdG ψ, () onde ignoramos o termo constante. H BdG tem simetria elétron-buraco, herdada de H 0 e H SC. Neste formalismo, conhecido como formalismo de Bogoliubov-De Gennes (o sinor ψ é chamado sinor de Nambú), a simetria elétron-buraco é mostrada exlícitamente. Por exemlo, o oerador de conjugação de carga (troca de elétron e buraco) é simlesmente ( ) σ C = τ x σ 0 = 0 = σ , () onde τ x é uma matriz de Pauli que age sobre os graus de liberdade de elétronburaco, e σ 0 é a matriz unidade no esaço de sin. Em oucas alavras, C simlesmente ordena a matriz do Hamiltoniano quando os subesaços azul e vermelho da Eq. () são trocados.

3 . Solução Mesmo que o Hamiltoniano Eq. () é uma matriz de 4 4, tem um jeito muito simles de resolver. Já que conhecemos a notação τ i σ j, vamos utilizá-la ara escrever H BdG como (verifiquem) H BdG = ε()τ z σ 0 Re τ y σ y Im 0τ x σ y. (3) Estas matrices se comortam de uma maneira muito similar às matrices de Pauli, or exemlo: [τ z σ 0 ][τ y σ y ] = [τ y σ y ][τ z σ 0 ] = iτ x σ y, (4a) [τ z σ 0 ][τ x σ y ] = [τ x σ y ][τ z σ 0 ] = iτ y σ y, (4b) [τ y σ y ][τ x σ y ] = [τ x σ y ][τ y σ y ] = i[τ z σ 0 ], (4c) [τ z σ 0 ] = [τ y σ y ] = [τ x σ y ] = 4 4. (4d) Como consequência, odemos escrever e os autovalores de energia são H BdG = [ε () + ] 4 4, (5) E ± = ± ε () +, (6) cada um com dula degenerecencia. Claramente, se 0 temos um ga suercondutor. Cómo sabemos que é um ga suerconductor, e não um ga comum, como no caso dos semicondutores? Podemos dar uma olhada ara os auto estados de H (verifiquem): ] c () = N [c ε() + ε () + c, (7a) c +() = N [ c ] ε() + ε () + c. (7b) Os camos c + () e c () corresondem a combinações de elétrons e buracos. Precisamos dos outros dois estados? Não! Lembrem-se que o Hamiltoniano virou 4 4 or um truque, no qual dobramos os graus de liberdade do roblema tratando elétrons e buracos como um seudo-sin. 3 Suercondutores tio em D O acolamento ode em rinciio ser deendente do momento, i.e. (). Quando ( ) = (), o suercondutor é chamado de tio, em analogia com os orbitais, os quais comartem esta roriedade. Nóte-se que (0) = 0. Para entender a diferência que isso faz, reseito dos suercondutores tio s ( 3

4 constante), vamos estudar o caso mais simles: um suercondutor em D, e sem o grau de liberdade de sin. Neste caso temos ( ) = (). As funções anti simétricas mais básicas são Vamos estudar os dois casos. () = 0, () = 0 sin (a/ ). (8a) (8b) 3. = 0 O Hamiltoniano neste caso é H = ε() c c + ( 0 c c + 0 c c ). (9) Escrevemos H + const. = ] [ε()c c ε( )c c + 0 c c + 0 c c = ( ) ψ ε() 0 ψ 0 ε( ), (0) onde ψ = De novo temos (suondo ε() = ε( )) e or tanto com os auto valores de energia ( c c ). () H BdG = ε()τ z + Re 0 τ x Im 0 τ y, () H BdG = [ ε () + 0 ], (3) E ± = ± ε () + 0. (4) A disersão de artícula livre ε() erto de = 0 ode ser escrita como ε() = (/m ) µ, com m uma massa efetiva e µ o otencial químico. Nóte-se que ara µ = 0 o ga se fecha em = 0 (Figura ). Tem uma diferencia imortante entre os casos de µ < 0 e µ > 0. No caso de µ < 0 temos um suercondutor com as mesmas roriedades do tio s, exceto com um ga deendente de. Mas quando µ > 0, o suercondutor é toológico. A diferencia entre um suercondutor trivial e um toológico é sutil, mas ara obter um ouco de intuição odemos dar uma olhada ara os estados do suercondutor toológico na reresentação esacial. Para isso é mais conveniente trabalhar com () = 0 sin (a/ ). 4

5 Figure : Estrutura de bandas com () = 0 (linhas continuas) e () = 0 sin () (linha ontilhada), ara µ < 0, µ = 0 e µ > 0. Em ambos casos 0 =.5 (ma / ), e a é alguma escala de largura relevante no sistema (e.g., a constante de rede). 5

6 3. () = 0 sin (a/ ) Em vez de utilizar uma disersão de artícula livre ara ε(), vamos ensar num material D (um nanowire) que é bem descrito elo modelo de tight binding semi infinito. Nesse caso temos ε() = t cos (ak) µ, (5) onde t é o acolamento entre vizinhos, a é a constante de rede, e k é o número de onda corresondente ao crystal momentum = k. A disersão neste caso é E ± (k) = ± (cos ak µ) + 0 sin (ak). (6) Quando fecha esse ga? Precisamos resolver a equação t cos (ak) + 0 sin (ak) = µ(t cos(ak) µ). (7) Neste caso µ = 0 não é mais uma solução (ara t, 0), orque o lado esquerdo da equação é semre ositivo. Vamos exigir que o ga seja indeendente de 0, o qual é razoável se temos e.g. 0 > t, µ. Nesse caso recisamos sin (ak) = 0 ak = nπ (n = 0, ±), e temos µ tµ + t = 0 for n = 0 (µ t) = 0, (8a) µ + tµ + t = 0 for n = ± (µ + t) = 0. (8b) Em outras alavras, o ga fecha quando µ = t, deois abre de novo, fecha de novo ara µ = t, e abre de novo. As treis fases deste suercondutor são aresentadas na Fig.. Neste caso, a fase toológica é µ < t, e temos uma fase trivial quando µ < 0. Para areciar a diferencia entre as fases suercondutoras trivial e toológica, vamos introduzir os camos na reresentação de osiçoes c j = e i (ja)k c k, (9) N k onde x = ja são as osições numa cadeia de tight binding de constante de rede a. Substituindo no Hamiltoniano obtemos o seguinte modelo (verifiquem) H κ = { t ( ) c j c j+ + c j+ c j µc j c j + 0 c j c j+ + } 0 c j+c j, (30) que é conhecido como o modelo de Kitaev. Para obter os estados deste modelo escrevemos 0 = 0 e iφ, e definimos os oeradores de Majorana γ j = e iφ/ c j + e iφ/ c j, iγ j = e iφ/ c j e iφ/ c j, (3a) (3b) 6

7 ou equivalentemente c j = e iφ/ γ j + iγ j, (3a) c j = γ eiφ/ j iγ j. (3b) Substituindo na Eq. (30) obtemos (verifiquem) { i(t ) H κ = γj γ i(t + ) j+ γj γj+ µ ( iγ 4 4 j γj ) }. (33) Para encontrar exatamente as fases de H κ recisamos fazer um ouco de mecânica estatística, mas or agora queremos aenas entender o comortamento do estado base do sistema nos casos mencionados acima: µ > t ou µ < t, ara arbitrário. Para facilitar a nossa vida, fazemos = t, e obtemos { it H κ ( = t) = γ j γj+ + µ ( iγ j γj ) }. (34) No caso limite µ t (fase trivial), o rimeiro termo na Eq. (34) ode ser ignorado, e obtemos H κ ( = t, µ t) que é diagonalizado elos oeradores { µ ( iγ j γj ) }, (35) a j = γ j + iγ j, (36a) e obtemos a j = γ j iγ j, H κ ( = t, µ t) µ (36b) c j c j. (37) Este caso não tem nada de esecial: temos uma cadeia de férmions, onde cada site da cadeia tem energia µ. Em contraarte, no caso de µ t (fase toológica), é o rimeiro termo que domina. Podemos ignorar o segundo, e obtemos H κ ( = t, µ t) it γj γ j+. (38) Este caso é diagonalizado elos oeradores a j = γ j+ + iγ j a j = γ j+ iγ j 7, (39a), (39b)

8 e obtemos H κ ( = t, µ t) = t ( a j a j ). (40) Os oeradores neste caso são bastante eculiares: eles acolam um Majorana de tio do site j com um outro de tio do site j +, roduzindo camos a j levemente não locais, dado que consistem em elétrons divididos entre dos sites. Mais interessante ainda é o fato que os oeradores γ e γn (ao começo e final da cadeia) ficam livres. De fato, se considerarmos condições de fronteira eriódicas, os camos de Majorana γ e γn formam um férmion redaltamente não local a j = γ + iγn, (4) que resenta entrelazamento entre ambos lados da cadeia. Ademais, a 0 não aarece no Hamiltoniano Eq. (40), i.e., o estado não local é um modos de energia zero, indeendentemente dos arámetros esecíficos do modelo (semre que a condição µ < t seja cumrida). 8

9 Figure : Fases do modelo de Kitaev. 0 =.5 t. 9

Documentos relacionados

A Equação de Dirac. (, ) ψ (, ) ik. r i t. t r = Ae e ω

A Equação de Dirac. (, ) ψ (, ) ik. r i t. t r = Ae e ω A Equação de Dirac ecordemos a equação de Schroedinger. Para uma artícula livre, isto é, sem estar sujeita a qualquer força, de massa m, a equação escreve-se: h/ ih/ t r = t r m (, ) (, ) A solução desta