Critérios de Regularidade para Soluções Fracas das Equações Magneto-micropolares

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1 Universidade Federal de Sergie Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Critérios de Regularidade ara Soluções Fracas das Equações Magneto-microolares Suelen Cristina Pereira de Souza São Cristóvão SE Fevereiro de 016

2 Universidade Federal de Sergie Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Critérios de Regularidade ara Soluções Fracas das Equações Magneto-microolares or Suelen Cristina Pereira de Souza sob a orientação do Prof. Dr. Wilberclay Gonçalves Melo São Cristóvão SE Fevereiro de 016

3 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE S79 Souza, Suelen Cristina Pereira de Critério de regularidade ara soluções fracas das equações magneto-microolares / Suelen Cristina Pereira de Souza ; orientador Wilberclay Gonçalves Melo. São Cristóvão, f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Sergie, Navier-Stokes, equações de.. Equações - Soluções numéricas 3. Magnetoidrodinâmica. l. Melo, Wilberclay Gonçalves, orient. li. Título. CDU :537.84

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5 A minha mãe, exemlo de força, fé e determinação. Que semre me aoiou e incentivou aos estudos, e nunca mediu esforços ara me ver feliz.

6 Agradecimentos A Deus, rimeiramente, elo dom da vida, or todas bênçãos derramadas, e or toda força dada ara, aos oucos, alcançar meus objetivos, ois sei que tudo que tenho e sou vem Dele. A minha mãe, Raimunda, or semre me incentivar aos estudos, or se fazer resente em todos os momentos de minha vida, e torcer continuamente ela minha felicidade. Aos meus irmãos, Bruno e Mariana, or me aturarem, me ouvirem e até mesmo me fazerem rir, aliviando desta forma meu estresse da vida acadêmica. Aos meus familiares, or torcerem e se reocuarem comigo, e or ser uma família grande referi não citar, ara não ser injusta com alguém que rovavelmente esquecerei. Ao meu orientador e amigo, Wilberclay, ela aciência, comreensão e amizade. Maior exemlo de caráter, honestidade, simlicidade e inteligência. A todos os rofessores com os quais estudei, em esecial ao Professor Paulo Rabelo e a Professora Ivanete Batista, or todos os momentos artilhados, e toda ajuda oferecida, desde a graduação. Sou eternamente grata. Aos meus irmãos de caminhada, Taynara, Alan e Natã, or todas as exeriências artilhadas nas madrugadas de estudo, nas lamentações das rovas e, também, nas alhaçadas que convivemos. Essa vida é árdua e só assim, ajudando uns aos outros, a tornamos mais suave. Foram e são essoas imortantes na minha vida, as quais levarei semre comigo. Aos outros amigos de caminhada, Izabela, Diego, Laranja (Jonisson) e Thiago, or risos, lamentações e conhecimentos, também artilhados. A todos os meus amigos, que torcem e incentivam a minha caminhada, esecialmente a Marielle, Micael e Alana, que mesmo longe, semre se fazem resentes. Amo-os ara todo semre. Aos rofessores Paulo Zingano e Manasses Xavier, or aceitarem o convite de comor a banca examinadora. A Fundação de Aoio à Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergie (FAPITEC/SE) e a Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior (CAPES), elo aoio financeiro em quase todo o mestrado. A todos que de forma direta e indiretamente me ajudaram, e que or cula da minha falha memória, não os tenham exlicitado, o meu muito obrigada.

7 Resumo Neste trabalho, discutimos alguns critérios de regularidade ara uma solução fraca do sistema de equações tridimensionais de fluido Magneto-microolar. Além disso, mostramos que é ossível estender, ara este mesmo sistema, alguns resultados recentes obtidos ara as equações de Navier- Stokes. Em ordem a citar um exemlo, rovamos que uma solução fraca (u, w, b)(t) definida em [0, T ] é suave em (0, T ) se esta satisfaz a condição 3 u 3, 3 w, 3 b L (0, T ; L ( )). Palavras-chave: Regularidade de Solução; Equações Magneto-microolares.

8 Abstract This work, we discuss some criteria of regularity for a weak solution of the Magneto-microolar equations. Furthermore, we show that it is ossible to extend some recent results from the Navier- Stokes equations to the Magneto-microolar equations. In order to give an examle, we rove that a weak solution (u, w, b)(t), defined in [0, T ], is smooth on (0, T ), if it satisfies the condition 3 u 3, 3 w, 3 b L (0, T ; L ( )). Keywords: Regularity of Solutions; Magneto-microolar Equations.

9 Sumário Introdução 1 1 Notações, Definições e Resultados Preliminares Notações e Definições Resultados Preliminares Critérios de Regularidade Envolvendo Somente o Camo Velocidade 11.1 Critério de Regularidade Envolvendo Somente 3 u(, t) Critério de Regularidade Envolvendo Somente u(, t) Critério de Regularidade Envolvendo Somente u(, t) Critério de Regularidade Envolvendo uma Entrada do Camo Velocidade Critério de Regularidade Envolvendo ( u 3, h w, h b)(, t) Critério de Regularidade Envolvendo ( 3 u 3, 3 w, 3 b)(, t) Critério de Regularidade Envolvendo ( u 3, w, b)(, t) Referências Bibliográficas 88 ii

10 Introdução Neste trabalho, aresentamos alguns critérios de regularidade ara uma solução fraca do seguinte sistema de equações magneto-microolar que descreve um fluido incomressível: u t + u u + ( + 1 b ) = (µ + χ) u + b b + χ w, w t + u w = γ w + κ ( w) + χ u χ w, b t + u b = ν b + b u, u = b = 0, u(, 0) = u 0, w(, 0) = w 0, b(, 0) = b 0, (1) onde u(x, t) = (u 1 (x, t), u (x, t), u 3 (x, t)) denota o camo velocidade incomressível, w(x, t) = (w 1 (x, t), w (x, t), w 3 (x, t)) descreve a velocidade micro-rotacional, b(x, t) = (b 1 (x, t), b (x, t), b 3 (x, t)) o camo magnético e (x, t) R a ressão. As constantes ositivas µ, χ, ν, κ, e γ estão associadas a roriedades esecíficas do fluido; mais recisamente, µ é a viscosidade cinemática, χ é a viscosidade do vórtice, κ e γ são as viscosidades de rotação e, or último, ν 1 é o número magnético de Reynolds. Os dados iniciais ara os camos velocidade e magnético, dados or u 0 e b 0 em (1), são assumidos livres de divergente, i.e., u 0 = b 0 = 0. Duas questões relevantes com reseito ao sistema magneto-microolar (1) odem ser consideradas aqui: a rimeira diz reseito à unicidade de soluções fracas e a outra é inerente à regularidade destas mesmas soluções. Com isso em mente, nosso interesse, nesta dissertação, reside em estudar quais hióteses odemos assumir sobre uma solução fraca de (1) em ordem a obtermos suavidade ara esta. Ao leitor mais curioso em comreender a teoria sobre a existência de tais soluções, recomendamos a leitura dos artigos [47, 54] e referências inclusas. É também imortante salientar que o mesmo roblema do milênio envolvendo a finitude do temo máximo de existência ara a solução forte do sistema de Navier-Stokes (3) abaixo está 1

11 também em aberto ara o sistema magneto-microolar (1). Para mais detalhes, envolvendo a solução forte de (1), recomendamos a leitura de [46, 53] e referências inclusas. Permita-nos informar que os resultados rinciais discutidos no Caítulos desta dissertação relatam, minuciosamente, as informações obtidas em [1, 61]. Em adição, destacamos que [61] estende o artigo [10], o qual considera regularidade de soluções fracas ara o sistema de equações da magnetohidrodinâmica (MHD) u t + u u + ( + 1 b ) = µ u + b b, b t + u b = ν b + b u, u = b = 0, u(, 0) = u 0 ( ), b(, 0) = b 0 ( ). () É fácil notar que o sistema acima é derivativo de (1) quando consideramos w = 0 e χ = 0. Outros trabalhos relacionados às equações MHD () odem ser encontrados em [4, 5, 10, 1, 14, 1, 4, 7, 8, 9, 3, 37, 40, 41, 55, 63, 64, 65, 71, 83, 84, 85, 86, 87] e referências inclusas. O artigo [1] também exibe critérios ara regularidade de soluções do sistema (1), os quais são insirados em resultados obtidos ara as clássicas equações de Navier-Stokes, i.e., u t + u u + = µ u, u = 0, (3) u(, 0) = u 0 ( ), estas, or sua vez, seguem diretamente de () se considerarmos b como sendo o camo magnético nulo. É imortante referir aqui alguns trabalhos que estão relacionados, ou serviram de insiração, a essa dissertação; sendo assim, veja [, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19,, 3, 5, 6, 30, 31, 34, 35, 36, 38, 39, 4, 43, 45, 48, 49, 50, 51, 5, 56, 57, 58, 59, 60, 68, 69, 70, 7, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 8, 88, 89] e referências inclusas. Resumidamente, gostaríamos de ressaltar que o Caítulo 3 deste trabalho aresenta extensões dos rinciais resultados obtidos em [68, 73, 74]. A artir de agora, vamos discorrer sobre todo o nosso trabalho com mais detalhes. Assim sendo, estamos interessados em aresentar critérios de regularidade ara uma solução fraca do sistema magneto-microolar (1), quando adotamos condições envolvendo uma comonente do camo velocidade ou do seu gradiente. Citamos aqui alguns artigos que estão diretamente relacionados a

12 esta dissertação: [1, 61, 6, 66, 67, 77] e referências inclusas. No Caítulo, estudamos, com detalhes, o artigo [61]. Neste trabalho, Y. Wang mostra que é ossível estender suavemente, além de t = T, uma solução fraca (u, w, b)(, t) de (1), definida no intervalo de temo [0, T ], quando lhe é imosta a seguinte condição sobre uma comonente do gradiente do camo velocidade u(, t): T 0 3 u(, t) q dt <, 3 + q 1, 3. Vejamos, com mais detalhes, o teorema que garante a afirmação dada acima. Teorema 0.1 (ver [61]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) é uma solução fraca ara o sistema magneto-microolar (1) no intervalo [0, T ]. Se T 0 3 u(, t) q dt <, 3 + q 1, 3, então a solução (u, w, b)(, t) ode ser estendida suavemente além de t = T. Ainda no Caítulo, exibimos minuciosamente dois dos resultados obtidos or Y. Baoquan [1]. Tais resultados, também tratam da regularidade de uma solução fraca (u, w, b)(, t) das equações magneto-microolares (1). No rimeiro deles, Y. Baoquan rovou que tal solução, definida em [0, T ], ode ser suavemente estendida além de t = T, quando adotamos a seguinte condição envolvendo somente o camo velocidade u(, t): u L q (0, T ; L ( )), 3 + q 1, 3 <. Mais recisamente, vejamos como a afirmação acima ode ser enunciada. Teorema 0. (ver [1]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) C[0, T ; H 1 ( )) C(0, T ; H ( )) é uma solução suave ara o sistema (1). Se (u, w, b)(, t) satisfaz u L q (0, T ; L ( )), 3 + q 1, 3 <, então a solução (u, w, b)(, t) ode ser suavemente estendida além de t = T. Ainda or [1], estabelecendo determinada exigência sobre o gradiente do camo velocidade, u(, t), vimos detalhadamente como estender suavemente além de t = T, uma solução fraca 3

13 (u, w, b)(, t), definida em [0, T ], de (1). Segue a exigência necessária ara a obtenção do resultado. T 0 u(, t) q dt <, 3 + q, 3 <. Vejamos, esecificamente, como se dá o enunciado de tal afirmação. Teorema 0.3 (ver [1]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) C[0, T ; H 1 ( )) C(0, T ; H ( )) é uma solução suave ara o sistema (1). Se (u, w, b)(, t) satisfaz T 0 u(, t) q dt <, 3 + q, 3 <. então a solução (u, w, b)(, t) ode ser suavemente estendida além de t = T. Os Teoremas 0.1, 0. e 0.3 serão estudados com detalhes nas Seções.1,. e.3 desta dissertação. No Caítulo 3, aresentamos extensões, no contexto das equações magneto-microolares (1), dos resultados obtidos em [68, 73, 74]. Ou seja, conseguimos rovar que uma solução fraca (u, w, b)(, t) de (1) é suave se adotarmos a seguinte hiótese: ( u 3, h w, h b) L 3 7 (0, T ; L ( )). Mais recisamente, demonstramos o seguinte teorema: Teorema 0.4. Sejam (u 0, w 0, b 0 ) L ( ) com u 0 = b 0 = 0. Assuma que T > 0. Considere que (u, w, b)(, t) é uma solução fraca das equações magneto-microolares (1) em [0, T ] com condição inicial (u 0, w 0, b 0 ). Se, ( u 3, h w, h b)(, t) L 3 7 (0, T ; L ( )), então (u, w, b) é suave em (0, T ). O critério dado no teorema acima foi rovado em [73], se considerarmos o caso articular das equações de Navier-Stokes. Mais claramente, Z. Zhang e X. Yang [73] estabeleceram que uma solução fraca u(, t), definida em [0, T ], é suave em (0, T ) se é assumida a seguinte hiótese sobre o gradiente da terceira comonente do camo velocidade u(, t): u 3 L 3 7 (0, T ; L ( )). 4

14 Para mais detalhes ver [73]. Ao estudarmos Z. Zhang e X. Yang [74], é ossível nos deararmos com outro critério de regularidade ara uma solução fraca u(, t), definida em [0, T ], das equações de Navier-Stokes (3). Este é descrito da seguinte forma: 3 u 3 L (0, T ; L ( )). (Para mais detalhes ver [74]). De forma análoga ao desenvolvimento dado em [74], garantimos a suavidade de uma solução fraca (u, w, b)(, t), definida em [0, T ], do sistema magneto-microolar (1), exigindo a condição abaixo: ( 3 u 3, 3 w, 3 b) L (0, T ; L ( )). Escrevendo a afirmação acima em forma de teorema, temos o seguinte: Teorema 0.5. Sejam (u 0, w 0, b 0 ) L ( ) com u 0 = b 0 = 0. Assuma que T > 0. Considere que (u, w, b)(, t) é uma solução fraca das equações magneto-microolares (1) em [0, T ] com condição inicial (u 0, w 0, b 0 ). Se, ( 3 u 3, 3 w, 3 b)(, t) L (0, T ; L ( )), então (u, w, b) é suave em (0, T ). Por fim, Z. Zhang [68] mostrou que uma solução fraca u(, t), definida em [0, T ], do sistema de Navier-Stokes (3) é suave em (0, T ), quando u 3 L (0, T ; L q ( )), 3 q + = q, 3 < q < 3. (Para mais detalhes ver [68]). A extensão de [68], obtida nesta dissertação, ara o contexto das equações magneto-microolares (1), é dada como segue. Teorema 0.6. Seja (u 0, w 0, b 0 ) L ( ) com u 0 = b 0 = 0 e T > 0. Assuma que (u, w, b)(, t) é uma solução fraca das equações magneto-microolares (1) em [0, T ] com condição inicial (u 0, w 0, b 0 ). Se, ( u 3, w, b)(, t) L (0, T ; L q ( )); 3 q + = q, 3 < q < 3, então a solução (u, w, b) é suave em (0, T ). 5

15 Todas as extensões citadas acima, estão devidamente detalhadas, nas Seções 3.1, 3. e 3.3 dessa dissertação. É imortante destacar aqui que todas as rovas dos resultados rinciais desta dissertação consideram derivadas clássicas da solução fraca (u, w, b)(, t) ara (1). A existência de tais derivadas seguem do fato que quando comaramos o temo maximal T ara a existência da solução forte do sistema (1) com T (ver Teoremas 0.1, 0., 0.3, 0.4, 0.5 e 0.6) só recisamos analisar o caso T < T, já que a outra condição nos leva, de forma trivial, à desejada regularidade da solução fraca (esta, neste caso, será a solução forte). O esboço do restante do trabalho é dado como segue: no Caítulo 1 aresentamos as notações, as definições e os resultados básicos necessários ara um bom entendimento do conteúdo; no Caítulo, as rovas dos resultados dados em [1, 61] são estabelecidas; e, or último, no Caítulo 3, acrescentamos as extensões obtidas a artir dos artigos [68, 73, 74]. 6

16 Caítulo 1 Notações, Definições e Resultados Preliminares Neste caítulo, listamos algumas notações e definições que serão alicadas em todo o trabalho. Aroveitamos também ara acrescentar, sem rovas, alguns resultados bem conhecidos que serão utilizados aqui como, or exemlo, Desigualdades de Hölder e Gagliardo-Nirenberg. 1.1 Notações e Definições Primeiramente, vamos aresentar algumas notações e definições que serão utilizadas ao longo dessa dissertação. Letras em negrito denotam camos de vetores, como or exemlo, a = a(x, t) = (a 1 (x, t), a (x, t), a 3 (x, t)), x, t 0. A norma Euclidiana de qualquer vetor a = (a 1,..., a n ) R n é denotada or a = n i=1 a i. A notação L α ( ; ) é utilizado ara o esaço de Lebesgue equiado com a norma α, onde 1 α ; mais esecificamente, ( ) 1 a α := a(x) α α dx, 1 α <, 7

17 e a := su x ess { a(x) }, onde a : R n (n N) é uma função mensurável. Definimos o roduto interno em L de duas funções vetoriais or (a, b) := a(x) b(x) dx, onde c d := n i=1 c id i ara c = (c 1,..., c n ), d = (d 1,..., d n ) R n ; e a, b : R n (n N) são funções mensuráveis. Considere a = ( a 1,..., a n ) a notação ara o gradiente de a = (a 1,..., a n ) R n, onde a j = ( 1 a j, a j, 3 a j ), com i = / x i ara todo i = 1,, 3 e j = 1,..., n. O gradiente horizontal é denotado or h a = ( h a 1,..., h a n ), onde a = (a 1,..., a n ) R n e h a j = ( 1 a j, a j ), com j = 1,..., n. Aqui a := 3 i=1 a i i, onde a = (a 1, a, a 3 ). a indica o rotacional de a = (a 1, a, a 3 ). Denote a = 3 i=1 ia i, onde a = (a 1, a, a 3 ). reresenta o oerador Lalaciano. O Lalaciano horizontal é denotado or h a = ( h a 1,..., h a n ), onde a = (a 1,..., a n ) R n e h a j = i=1 i a j, com j = 1,..., n. O esaço de Sobolev H 1 ( ) é munido da norma a 1, := a + a, onde a : R n (n N) é uma função mensurável. Seja (X, ) um esaço de Banach e assuma que 1 β, c, d R. Denotamos or L β (c, d; X) o esaço de todas as funções mensuráveis f : [c, d] X com f( ) L β ([c, d]) ( ) 1 d dotado com a norma f L β (c,d;x) := c f(t) β β dt, onde β < ; e também f L (c,d;x) = su ess { f(t) }. t [c,d] C 1 c (R n ) denota o esaço das funções de classe C 1 (R n ) com suorte comacto em R n. 8

18 Cc (R n ) denota o esaço das funções suaves com suorte comacto em R n. Definimos uma solução fraca de (1) do seguinte modo: Seja T > 0 e (u 0, w 0, b 0 ) L ( ), com u 0 = b 0 = 0. A função mensurável (u, w, b)(x, t) chama-se uma solução fraca de (1) em [0, T ) se as seguintes condições são garantidas 1. (u, w, b)(x, t) L (0, T ; L ( )) L (0, T ; H 1 ( ));. o sistema (1) é satisfeito no sentindo de distribuições; 3. a desigualdade de energia é válida, isto é, (u, w, b)(, t) + (µ + χ) + ν t 0 b(, τ) dτ + κ t 0 t 0 u(, τ) dτ + γ t w(, τ) dτ + χ 0 w(, τ) dτ t 0 w(, τ) dτ (u 0, w 0, b 0 ), (1.1) ara todo 0 t < T. As constantes, neste trabalho, odem mudar linha or linha, mas serão denotadas da mesma maneira. Também, em alguns momentos, não nos reocuaremos com a notação de deendência em x e t, or exemlo, u ou u(t) significará u(, t). 1. Resultados Preliminares Nesta seção, aresentaremos alguns resultados que serão alicados com bastante frequência neste trabalho. (Desigualdade de Hölder)(ver [0]): Sejam 1, q exoentes conjugados, isto é, q = 1. Sejam f : R e g : R funções tais que f L ( ) e g L q ( ). Então, f(x)g(x) dx f g q. (Desigualdade de Young)(ver [0]): Se 1 <, q < tais que q de números reais a e b não negativos, vale a desigualdade = 1, então ara todo ar ab a + bq q. 9

19 (Desigualdade de Gronwall)(ver [16]): Seja f(t) uma função não negativa e diferenciável em [0, T ], que satisfaz: f (t) g(t)f(t) + h(t), t [0, T ], onde g(t) e h(t) são funções contínuas não negativas em [0, T ]. Então, f(t) e t 0 g(τ) dτ [f(0) + t 0 h(τ) dτ], t [0, T ]. (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg)(ver [44]): Sejam 1 < n, 1 s < e 0 θ 1. Existe uma constante ositiva C tal que onde 1 q = θ ( 1 1 n ) + 1 θ s. u q C u 1 θ s u θ, (1.) (Desigualdade de Interolação)(ver [0]): Sejam 0 < < q < r e u L L r. Então, com θ = q 1 r 1 1 r 1. u q u θ u 1 θ r, 10

20 Caítulo Critérios de Regularidade Envolvendo Somente o Camo Velocidade Neste caítulo, estudaremos, minuciosamente, o resultado rincial aresentado em [61]. Mais recisamente, mostraremos como Y. Wang [61] rovou que uma solução fraca (u, w, b)(, t), definida em [0, T ], do sistema magneto-microolar (1) ode ser estendida suavemente além de T se T 0 3 u(, t) q dt <, 3 + q 1, 3. A extensão relatada acima, também discutida aqui, foi rovada or Y. Baoquan [1] quando foi assumida uma duas hiósteses abaixo: u(, t) L q (0, T ; L ( )), 3 + q 1, 3 <, ou ainda T 0 u(, t) q dt <, 3 + q, 3 <..1 Critério de Regularidade Envolvendo Somente 3 u(, t) Nesta seção, nossa meta é rovar que uma solução fraca (u, w, b)(, t) do sistema magnetomicroolar (1), definida em [0, T ], ode ser estendida suavemente além de T, quando a seguinte 11

21 hiótese, envolvendo somente uma comonente do gradiente do camo velocidade u(, t), é imosta: T 0 3 u q dt <, 3 + q 1, 3. Antes de enunciar o resultado que garante o cumrimento de nosso objetivo, ermita-nos estabelecer dois lemas que desemenham um ael imortante na rova do Teorema.1 abaixo. O rimeiro deles foi rovado em [10]. Lema.1 (ver [10]). Assuma que θ, λ, ϑ R satisfazem 1 θ, λ <, 1 θ + λ > 1, ϑ = 1 θ + λ. Assuma que f H 1 ( ), 1 f, f L λ ( ) e 3 f L θ ( ). Então, existe uma constante ositiva C tal que f ϑ C 1 f 1 3 λ f 1 3 λ 3 f 1 3 θ. Particularmente, se λ = e f H 1 ( ), 3 f L θ ( ) (com 1 θ < ), então existe uma constante ositiva C tal que f 3θ C 1 f 1 3 f f 1 3 θ. (.1) Demonstração. Considere, sem erda de generalidade, que f Cc ( ). Assim sendo, note que x1 ( 1 {[f(s, x, x 3 )] 1+(1 λ)ϑ 1 } ds = [ ) x1 ϑ] [f(s, x, x 3 )] (1 λ)ϑ 1 1 f(s, x, x 3 ) ds. λ Assim, elo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que f(x) 1+(1 λ)ϑ 1 C C Analogamente, conclui-se que f(x) 1+(1 λ)ϑ 1 C x1 R R f(s, x, x 3 ) (1 1 λ)ϑ 1 f(s, x, x 3 ) ds f(x 1, x, x 3 ) (1 1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1. f(x 1, x, x 3 ) (1 1 λ)ϑ f(x 1, x, x 3 ) dx e também f(x) 1+(1 1 θ )ϑ C R f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x 1, x, x 3 ) dx 3. 1

22 Desta forma, chegamos a ( ) 1 f(x) ϑ C f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1 R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x, y, z) dx 3. R Integrando com reseito a x 1, chegamos a R ( f(x 1, x, x 3 ) ϑ dx 1 C R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1 R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx R ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x 1, x, x 3 ) dx 3 R Portanto, ela Desigualdade de Hölder, odemos escrever o seguinte: R dx1. ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) ϑ dx 1 C f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1 R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx x R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x 1, x, x 3 ) dx x 3. R Agora, integrando com reseito a x e x 3, obtemos ( ) 1 f ϑ dx C f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1 R R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx x R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x 1, x, x 3 ) dx x 3 dx dx 3. R 13

23 Com isso, ( ) 1 f ϑ dx C f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx x R R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx 1 R R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 1 θ )ϑ 3 f(x 1, x, x 3 ) dx x 3 dx dx 3. R Consequentemente, ela Desigualdade de Hölder, infere-se que ( f ϑ dx C f (1 1 θ )ϑ 3 f dx ( f(x 1, x, x 3 ) (1 R ) 1 R ( ) 1 f(x 1, x, x 3 ) (1 λ)ϑ 1 f(x 1, x, x 3 ) dx x R ) 1 λ)ϑ 1 1 f(x 1, x, x 3 ) dx x dx3. Deste modo, alicando a Desigualdade de Hölder mais uma vez, chegamos a ( f ϑ dx C f (1 1 θ )ϑ 3 f dx ) 1 ( R3 ) 1 ( ) 1 f (1 λ)ϑ 1 f dx f (1 λ)ϑ 1 1 f dx. R3 Assim, alicando a Desigualdade de Hölder a cada uma das integrais encontradas do lado direito da desigualdade acima, obtemos Por conseguinte, encontramos f ϑ ϑ C f (1 1 λ) ϑ ϑ 1 f 1 λ f (1 1 λ) ϑ ϑ f 1 λ f (1 1 θ ) ϑ ϑ 3 f 1 θ. Por fim, obtemos f ϑ ϑ C f ϑ 3 ϑ 1 f 1 λ f 1 λ 3 f 1 θ. f 3 ϑ C 1 f 1 λ f 1 λ 3 f 1 θ. O caso artcular segue facilmente da desigualdade acima. Isto conclui a rova do lema em questão. O segundo lema também foi demonstrado em [10]. Lema. (ver [10]). Seja q 6 e assuma que f H 1 ( ). Então existe uma constante 14

24 ositiva C tal que 6 q q f q C f q q q q 1 f f 3 f q q. Demonstração. A Desigualdade de Interolação nos informa que 6 q q f q f desde que q 6. Porém, or (.1), obtemos 1 6 q q 6 q q 3q 6 q f 6 = f f 6, (.) f 6 C 1 f 1 3 f f 1 3. Assim sendo, chegamos a 3q 6 q f q q q q 6 C 1 f f 3 f q q. Portanto, substituindo a desigualdade acima em (.), encontramos 6 q q f q C f Isto comleta a rova do lema em questão. q q q q 1 f f 3 f q q. Agora, estamos atos a rovar o resultado rincial desta seção, o qual foi estabelecido em 013 or Y. Wang [61] Teorema.1 (ver [61]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) é uma solução fraca ara o sistema magneto-microolar (1) no intervalo [0, T ]. Se T 0 3 u(, t) q dt <, 3 + q 1, 3, (.3) então a solução (u, w, b)(, t) ode ser estendida suavemente além de t = T. Demonstração. Vamos rovar que ( u, w, b)(, t) é limitada or uma constante que não deende de t no intervalo de temo [0, T ]. Dessa forma, concluiremos que (u, w, b)(, t) ode ser estendida suavemente além de T. Primeiramente vamos encontrar uma desigualdade de energia ara a solução (u, w, b)(, t). Sendo assim, observe que se alicarmos o roduto interno (, u) à rimeira equação do sistema 15

25 magneto-microolar (1) obtemos dt u = ( t u, u) = (µ + χ)( u, u) (u u, u) + (b b, u) ( ( + 1 b ), u) + χ( w, u). (.4) Agora vamos estudar cuidadosamente alguns dos termos descritos no lado direito das igualdades acima. Dessa forma, integrando or artes, chegamos a ( u, u) = u u dx = i u u dx i=1 = i u i u dx = u u dx i=1 = u. Portanto, tem-se que ( u, u) = u. (.5) Provaremos abaixo que também ocorre a seguinte igualdade: (u u, u) = 0. (.6) Com efeito, utilizando integração or artes novamente, encontramos (u u) u dx = u i i u u dx = u i ( i u j )u j dx i=1 = i (u i u j )u j dx = ( i u i )u j dx u i ( i u j )u j dx. 16

26 Aqui é imortante notar que u i ( i u j )u j dx = = isto é equivalente a i (u i u j )u j dx ( i u i )u j dx + u i ( i u j )u j dx = 1 Com isso, conclui-se (u u) u dx = ( i u i )u j dx + 1 = 1 = 1 = 0, ( i u i )u j dx ( u)u j dx j=1 ( i u i )u j dx. u i ( i u j )u j dx, ( i u i )u j dx ois u = 0. Agora, estamos interessados em estabelecer a igualdade abaixo: ( ( + 1 b ), u) = 0. (.7) De fato, or integração or artes, obtemos ( ( + 1 b ), u) = ( + 1 b ) u dx = i ( + 1 i=1 b )u i dx = ( + 1 i=1 b )( i u i ) dx = ( + 1 b )( u) dx = 0, 17

27 desde que u = 0. Desta maneira, substituindo (.5), (.6) e (.7) em (.4), chega-se a dt u = (µ + χ) u + (b b, u) + χ( w, u), isto é, dt u + (µ + χ) u = (b b) u dx + χ ( w) u dx. (.8) Analogamente, alique o roduto interno (, w) à segunda equação do sistema (1) em ordem a encontrar: dt w = ( t w, w) = γ( w, w) + κ( ( w), w) χ(w, w) (u w, w) + χ( u, w). (.9) Permita-nos avaliar alguns termos do lado direito das igualdades acima. Assim, ( ( w), w) = ( w) w dx = i ( w)w i dx i=1 = ( w)( i w i ) dx = ( w) ( w) dx i=1 = w. (.10) A seguir, vamos demonstrar que (u w, w) = 0. (.11) De fato, é fácil ver que (u w, w) = (u w) w dx = = = u i ( i w j )w j dx i (u i w j )w j dx ( i u i )wj dx + u i ( i w j )w j dx. 18

28 Por outro lado, é verdade que u i ( i w j )w j dx = ( i u i )w j dx ou equivalentemente, u i ( i w j )w j dx = 1 Consequentemente, chegamos a (u w, w) = 1 = 1 ( i u i )w j dx. ( i u i )wj dx ( u)wj dx j=1 u i ( i w j )w j dx, = 0, ois u é livre de divergente. Analogamente ao que foi feito em (.5), obtemos ( w, w) = w. (.1) Logo, or substituir os resultados encontrados em (.10), (.11) e (.1) em (.9), infere-se dt w = γ w κ w χ w + χ( u, w), ou seja, dt w + γ w + κ w + χ w = χ ( u) w dx. (.13) Agora, estamos interessados em estudar a norma L do camo magnético b. Para este fim, considere o roduto interno (, b) à terceira equação do sistema (1) ara mostrar que dt b = ( t b, b) = ν( b, b) (u b, b) + (b u, b). (.14) Analogamente a (.5), temos que ( b, b) = b (.15) 19

29 e, or (.11), também temos (u b, b) = 0. (.16) Assim sendo, substituindo (.15) e (.16) em (.14), chegamos a dt b + ν b = (b u) b dx. (.17) Somando (.8), (.13) e (.17), encontramos dt (u, w, b) + (µ + χ) u + γ w + ν b + κ w + χ w = (b b) u dx + χ ( w) u dx + χ ( u) w dx + (b u) b dx. (.18) Vamos agora estudar as duas arcelas que envolvem rotacionais. Sendo assim, é fácil ver que ( w) u = ( 1 w )u 3 + ( w 3 )u 1 + ( 3 w 1 )u ( 3 w )u 1 ( 1 w 3 )u ( w 1 )u 3 e também que ( u) w = ( 1 u )w 3 + ( u 3 )w 1 + ( 3 u 1 )w ( 3 u )w 1 ( 1 u 3 )w ( u 1 )w 3. Daí, utilizando integração or artes, obtemos χ ( w) u dx + χ ( u) w dx R 3 = χ [ w ( 1 u 3 ) w 3 ( u 1 ) w 1 ( 3 u ) + w ( 3 u 1 ) + w 3 ( 1 u ) + w 1 ( u 3 )] dx R 3 + χ [( 1 u )w 3 + ( u 3 )w 1 + ( 3 u 1 )w ( 3 u )w 1 ( 1 u 3 )w ( u 1 )w 3 ] dx R [ 3 ] [ ] = χ w 1 ( u 3 3 u ) dx + χ w ( 3 u 1 1 u 3 ) dx R [ ] 3 + χ w 3 ( 1 u u 1 ) dx R 3 = χ w ( u) dx, onde u = ( u 3 3 u, 3 u 1 1 u 3, 1 u u 1 ). 0

30 Consequentemente, elas Desigualdades de Cauchy e Young, temos que χ w ( u) dx χ w u χ w + χ u. Pela Identidade de Parseval, temos que u = u = k û. Como k û = k j û j = i j=1 ik j û j = i j=1 j u j = i u = 0, desde que u = 0, então u = k û = k û dk = u dk = u, onde na última igualdade usamos novamente a Identidade de Parseval. Por fim, χ ( w) u dx + χ ( u) w dx χ w + χ u. (.19) Analisando as outras duas integrais que restam no lado direito da desigualdade (.18), encontramos (b b) u dx + (b u) b dx = b i ( i b j )u j dx + b i ( i u j )b j dx = i (b i u j )b j dx + b i ( i u j )b j dx = + j=1 ( i b i )u j b j dx b i ( i u j )b j dx b i ( i u j )b j dx = 0, (.0) ois b = 0. Portanto, substituindo (.19) e (.0) em (.18), encontramos dt (u, w, b) + µ u + γ w + ν b + κ w + χ w 0. 1

31 Integrando a desigualdade acima em relação ao intervalo [0, t], temos que 1 (u, w, b)(, t) + µ + κ t 0 t w(, τ) dτ + χ 0 u(, τ) dτ + γ t 0 t 0 w(, τ) dτ + ν t w(, τ) dτ+ 1 (u 0, w 0, b 0 ), 0 b(, τ) dτ ara todo t [0, T ]. Ainda em ordem a encontrar um limite ara ( u, w, b), rocuraremos uma estimativa ara ( 3 u, 3 w, 3 b) que será útil na busca ela concretização do nosso objetivo. Dessa forma, derive a rimeira equação do sistema (1), com relação a x 3, em ordem a obter dt 3u = ( t 3 u, 3 u) = (µ + χ)( 3 u, 3 u) ( 3 u u, 3 u) (u 3 u, 3 u) + ( 3 b b, 3 u) + (b 3 b, 3 u) ( 3 ( + 1 b ), 3 u) + χ( 3 w, 3 u). (.1) Permita-nos examinar alguns termos do lado direito das igualdades acima. Assim sendo, analogamente ao que foi feito em (.6), temos que (u 3 u, 3 u) = u i ( i 3 u j ) 3 u j dx ois u = 0. Portanto, = ( i u i )( 3u j ) dx = u i ( i 3 u j ) 3 u j dx, u i ( i 3 u j ) 3 u j dx (u 3 u, 3 u) = 0. (.) Observando (.7), odemos concluir que ( 3 ( + 1 b ), 3 u) = = i=1 i=1 = 0, i 3 ( + 1 b )( 3 u i ) dx 3 ( + 1 b ) 3 ( i u i ) dx

32 já que u é livre de divergente. Logo, ( 3 ( + 1 b ), 3 u) = 0. (.3) Além disso, ( 3 u, 3 u) = i 3 u 3 u dx i=1 = i 3 u i 3 u dx i=1 R 3 = 3 u 3 u dx = 3 u. (.4) Assim, substituindo os resultados obtidos em (.), (.3) e (.4) em (.1), encontramos dt 3u + (µ + χ) 3 u = ( 3 u u) 3 u dx + ( 3 b b) 3 u dx R 3 + (b 3 b) 3 u dx + χ ( 3 w) 3 u dx. (.5) Derive a segunda equação do sistema (1), com relação terceira comonente da variável esacial, ara obter dt 3w = ( t 3 w, 3 w) = γ( 3 w, 3 w) + κ( ( 3 w), 3 w) χ( 3 w, 3 w) ( 3 u w, 3 w) (u 3 w, 3 w) + χ( 3 u, 3 w). Note que, analogamente a (.10), é fácil obter ( ( 3 w), 3 w) = i ( 3 w) 3 w i dx i=1 = ( 3 w)( 3 i w i ) dx i=1 R 3 = ( 3 w) ( 3 w) dx = 3 w. (.6) 3

33 Além disso, (u 3 w, 3 w) = u i ( i 3 w j ) 3 w j dx = ( i u i )( 3w j ) dx = u i ( i 3 w j ) 3 w j dx, já que u é livre de divergente. Dessa forma, u i ( i 3 w j ) 3 w j dx (u 3 w, 3 w) = 0. (.7) Por utilizar (.4), (.6) e (.7), conclui-se que dt 3w + γ 3 w + κ 3 w + χ 3 w = ( 3 u w) 3 w dx R 3 + χ ( 3 u) 3 w dx. (.8) E veja também que, dt 3b = ( t 3 b, 3 b) = ν( 3 b, 3 b) ( 3 u b, 3 b) (u 3 b, 3 b) + ( 3 b u, 3 b) + (b 3 u, 3 b). Por (.4) e (.7), temos que ( 3 b, 3 b) = 3 b e (u 3 b, 3 b) = 0. Consequentemente, dt 3b + ν 3 b = ( 3 u b) 3 b dx + ( 3 b u) 3 b dx + (b 3 u) 3 b dx. (.9) 4

34 Somando (.5), (.8) e (.9), obtemos dt ( 3u, 3 w, 3 b) + (µ + χ) 3 u + γ 3 w + ν 3 b + κ 3 w + χ 3 w = ( 3 u u) 3 u dx + ( 3 b b) 3 u dx + (b 3 b) 3 u dx + χ ( 3 w) 3 u dx ( 3 u w) 3 w dx + χ ( 3 u) 3 w dx R 3 ( 3 u b) 3 b dx + ( 3 b u) 3 b dx + (b 3 u) 3 b dx. Analogamente a (.19), temos χ ( 3 w) 3 u dx + χ ( 3 u) 3 w dx χ 3 w + χ 3 u, (.30) já que u = 0. Da mesma forma que em (.0), temos (b 3 b) 3 u dx + (b 3 u) 3 b dx = + b i ( i 3 u j )( 3 b j ) dx b i ( 3 i u j )( 3 b j ) dx = 0, (.31) ois b é livre de divergente. Assim, or (.30) e (.31), obtemos dt ( 3u, 3 w, 3 b) + µ 3 u + γ 3 w + ν 3 b + κ 3 w + χ 3 w ( 3 u u) 3 u dx + ( 3 b b) 3 u dx ( 3 u w) 3 w dx ( 3 u b) 3 b dx + ( 3 b u) 3 b dx =: I 1 + I + I 3 + I 4 + I 5. (.3) No que segue, iremos estimar I j (j = 1,..., 5). Por integração or artes, temos que I 1 := ( 3 u u) 3 u dx = ( 3 u i )( i u j )( 3 u j ) dx = = ( i 3 u j )( 3 u i )u j dx + ( i 3 u j )( 3 u i )u j dx, ( 3 u j )( i 3 u i )u j dx 5

35 ois u = 0. Portanto, ela Desigualdade de Hölder, obtemos I 1 i 3 u j 3 u i u j dx C 3 u 3 u u dx C 3 u 3 u ρ u 3, onde 1 ρ = 1, ρ 6. Segue da Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (1.), do Lema.1 e da Desigualdade de Young, que I 1 C 3 u 3 u 1 3( 1 1 ρ ) 3 u 3( 1 1 ρ ) u 3 C 3 u 3 u 1 3( 1 1 ρ ) 3 u 3( 1 1 ρ ) 1 u 1 3 u u 1 3 C 3 u 1+3( 1 1 ρ ) 3 u 1 3( 1 1 ρ ) u 3 3 u 1 3 µ 3u + C 3 u u r 3 u r, (.33) onde r = 3( 1). Quando > 3, temos r < 1. Daí, usando a Desigualdade de Young novamente, encontramos I 1 µ 3u + C 3 u (r u + (1 r) 3 u r 1 r ) µ 3u + C 3 u ( u + 3 u δ ), (.34) onde δ = r 1 r = 3 e 3 + δ = 1. Agora, vamos encontrar uma estimativa ara I. Primeiramente, note que, ela Desigualdade de Hölder, temos I := ( 3 b b) 3 u dx = ( 3 b i )( i b j )( 3 u j ) dx C 3 b b 3 u dx C b 3 b 3 u. Usando as Desigualdades de Gagliardo-Nirenberg (1.) e Young, obtemos I C b 3 u 3 b b ν 6 3b 3 + C b 3 u b. 6

36 Novamente, ela Desigualdade de Young, temos que I ν 6 3b + C( b + 3 u δ 6 3 ) 3 b. (.35) Analogamente ao que foi feito ara I odemos estimar I 3. De fato, ela Desigualdade de Hölder, concluímos que I 3 = ( 3 u w) 3 w dx = C ( 3 u i )( i w j )( 3 w j ) dx 3 u w 3 w dx C w 3 w 3 u. Novamente elas Desigualdades (1.) e Young, chegamos a I 3 C w 3 u 3 w w γ 3w 3 + C w 3 u w γ 3w + C( w + 3 u δ 6 3 ) 3 w. (.36) Agora, estamos interessados em encontrar um limite ara I 4. Sendo assim, I 4 := ( 3 u b) 3 b dx = ( 3 u i )( i b j )( 3 b j ) dx C 3 u b 3 b dx C b 3 b 3 u C b 3 u 3 b b ν 6 3b 3 + C b 3 u b ν 6 3b + C( b + 3 u δ 6 3 ) 3 b. (.37) 7

37 Por fim, estimemos I 5. É fácil ver que I 5 := ( 3 b u) 3 b dx = ( 3 b i )( i u j )( 3 b j ) dx = ( i 3 b j )( 3 b i )u j dx = ( i 3 b j )( 3 b i )u j dx, ois b = 0. Deste modo, ela Desigualdade de Hölder, infere-se ( 3 b j )( i 3 b i )u j dx I 5 i 3 b j 3 b i u j dx C 3 b 3 b u dx C 3 b 3 b ρ u 3. Pelas Desigualdades de Gagliardo-Nirenberg e Young, e também elo Lema.1 chegamos a onde r = ( ) ( ) I 5 C 3 b 3 b ρ 3 b ρ ( 1 1 ρ ) u 3 ( ) 1 1 ρ C 3 b 3 b b 3 1 u 1 3 u u 1 3 ( 1 1 ρ ) ( 1 1 ρ ) C 3 b 3 b b 3 u 3 3 u 1 3 ν 6 3b + C 3 b u r 3 u r, 3( 1). Quando > 3, temos que r < 1. Daí, usando Desigualdade de Young, obtemos onde δ = 3 e 3 + δ I 5 ν 6 3b + C 3 b ( u + 3 u δ ), (.38) = 1. Combinando (.3)-(.38), encontramos dt ( 3u, 3 w, 3 b) + µ 3u + γ 3w + ν 3b + κ 3 w + χ 3 w C 3 u ( u + 3 u δ ) + C( b + 3 u δ 3 ) 3 b + C( w + 3 u δ ) w + C 3 b ( u + 3 u δ ). 6 8

38 Consequentemente, ela Desigualdade de Young, obtemos dt ( 3u, 3 w, 3 b) + µ 3u + γ 3w + ν 3b + κ 3 w + χ 3 w C( u + w + b + 3 u δ )( 3 u + 3 w + 3 b + 3 u w + 3 b 6 3 ) C( u + w + b + 3 u δ )( 3 u + 3 w + 3 b + C C( 3 u w + 3 b 6 3 ) 3 3 ) C( ( u, w, b) + 3 u δ )(1 + ( 3 u, 3 w, 3 b) ), (.39) onde no último asso utilizamos a desigualdade (a + b + c) C(a + b + c ). Por alicar o Lema de Gronwall, a desigualdade (1.1) e a hiótese (.3), segue que 6 3 ( 3 u, 3 w, 3 b)(, t) e C t 0 [ ( u, w, b)(,τ) + 3u(,τ) δ ] dτ [ ( 3 u 0, 3 w 0, 3 b 0 ) + C t 0 ( ( u, w, b)(, τ) + 3 u(, τ) δ ) dτ] e C( (u 0,w 0,b 0 ) + T 0 3u(,t) δ dt) [ ( 3 u 0, 3 w 0, 3 b 0 ) + C (u 0, w 0, b 0 ) + T 0 3 u(, t) δ dt] C. (.40) Integrando (.39) em relação ao intervalo [0, t], com 0 t T e or usar (.40), (1.1) e (.3), obtemos ( 3 u, 3 w, 3 b)(, t) + µ + κ + C t 0 t 0 ara todo t [0, T ]. t 3 w(, s) ds + χ 0 3 u(, s) ds + γ t 0 t 3 w(, s) ds C 0 3 w(, s) ds + ν 3 u(, s) δ ds ( 3 u 0, 3 w 0, 3 b 0 ) + C( (u 0, w 0, b 0 ) + t 0 t ( u, w, b)(, s) ds T b(, s) ds 3 u(, t) δ dt) C, (.41) Considerando = 3, temos r = 1. Assim, busquemos estimativas ara I j, com j = 1,..., 5. 9

39 Note que, I 1 µ 3u + C 3 u u 3 u 3 µ 3u + C 3 u u, (.4) onde nesta última desigualdade usamos a hiótese. Agora, observe que elo Lema.1, or hiótese e ela Desigualdade de Young, temos I C b 3 b 6 3 u 3 C b 1 3 b b b 1 3 C b 3 b ν 6 3b + C b. (.43) Analogamente ao feito ara I odemos estimar I 3. Com efeito, I 3 C w 3 w 6 3 u 3 C w 1 3 w w w 1 3 C w 3 w γ 3w + C w. (.44) Agora, estimando I 4, obtemos I 4 C b 3 b 6 3 u 3 C b 1 3 b b b 1 3 C b 3 b ν 6 3b + C b. (.45) Por fim, estimemos I 5. Assim, I 5 ν 6 3b + C 3 b u 3 u 3 ν 6 3b + C 3 b u. (.46) 30

40 Combinando (.4)-(.46), encontramos dt ( 3u, 3 w, 3 b) + µ 3u + γ 3w + ν 3b + κ 3 w + χ 3 w C 3 u u + C b + C w + C 3 b u C ( u, w, b) + C ( 3 u, 3 w, 3 b) ( u, w, b) C ( u, w, b) (1 + ( 3 u, 3 w, 3 b) ). (.47) Alicando o Lema de Gronwall e (1.1), obtemos ( 3 u, 3 w, 3 b)(, t) e C t 0 ( u, w, b)(,τ) dτ [ ( 3 u 0, 3 w 0, 3 b 0 ) + t 0 ( u, w, b)(, τ) dτ] e C T 0 ( u, w, b)(,τ) dτ [ ( 3 u 0, 3 w 0, 3 b 0 ) + T 0 ( u, w, b)(, τ) dτ] C. (.48) Integrando (.47) em relação ao intervalo [0, t], com 0 t T e utilizando (.48) e (1.1), temos ( 3 u, 3 w, 3 b)(, t) + µ + κ t 0 t 3 w(, s) ds + χ 0 3 u(, s) ds + γ t 0 t 3 w(, s) ds C 0 3 w(, s) ds + ν t 0 t ( u, w, b)(, s) 0 3 b(, s) ds (1 + ( 3 u, 3 w, 3 b)(, s) ) ds C, t [0, T ]. (.49) Estamos rontos ara rovar que a norma-l do gradiente da solução (u, w, b)(, t) de (1) é limitada em [0, T ]. Primeiramente, se alicarmos (, u) à rimeira equação do sistema (1), obtemos dt u = ( ( t u), u) = ( i t u, i u) i=1 = ( t u, i u) = ( t u, u) i=1 = (µ + χ)( u, u) + (u u, u) (b b, u) + ( ( + 1 b ), u) χ( w, u). 31

41 Vamos mostrar que a arcela que envolve a ressão é nula. De fato, ( ( + 1 b ), u) = ( + 1 b ) u dx = i ( + 1 i=1 b ) u i dx = ( + 1 i=1 b ) ( i u i ) dx = 0, ois u = 0. Assim, dt u + (µ + χ) u = (u u) u dx (b b) u dx R 3 χ ( w) u dx. (.50) Analogamente ao que foi feito ara a rimeira equação de (1), odemos inferir o seguinte sobre a segunda equação deste mesmo sistema: dt w = ( t w, w) = γ w κ( ( w), w) + χ(w, w) + (u w, w) χ( u, w). É fácil ver que ( ( w), w) = i ( w)( j w i ) dx = j i ( w)( j w i ) dx = j ( w)( j i w i ) dx = j=1 j ( w) j ( w) dx = ( ( w), ( w)) = ( w). 3

42 Além disso, (w, w) = (w, i w) = ( i w, i w) = ( w, w) = w. i=1 i=1 Dessa forma, chegamos a dt w + γ w + κ ( w) + χ w = u w w dx χ ( u) w dx (.51) Alicando o roduto (, b) à terceira equação do sistema (1), conclui-se dt b = ( t b, b) = ( t b, b) = ν b + (u b, b) (b u, b), ou equivalentemente, dt b + ν b = (u b) b dx (b u) b dx. (.5) Somando (.50), (.51) e (.5), temos dt ( u, w, b) + (µ + χ) u + γ w + ν b + κ ( w) + χ w = (u u) u dx (b b) u dx χ ( w) u dx + (u w) w dx R 3 χ ( u) w dx + (u b) b dx (b u) b dx. (.53) 33

43 Note que, or integração or artes, obtemos χ ( w) u dx χ ( u) w dx R 3 = χ ( 1 w u 3 + w 3 u w 1 u 3 w u 1 1 w 3 u w 1 u 3 ) dx χ ( 1 u w 3 + u 3 w u 1 w 3 u w 1 1 u 3 w u 1 w 3 ) dx R 3 = χ ( 1 w u 3 + w 3 u w 1 u 3 w u 1 1 w 3 u w 1 u 3 ) dx χ ( 1 w 3 u w 1 u 3 3 w u w 1 u + 1 w u 3 + w 3 u 1 ) dx R 3 = χ ( w) u dx. Assim, usando as Desigualdades de Cauchy e Young, obtemos χ ( w) u dx χ ( u) w dx χ w u χ w + χ u. Agora, alicando a Identidade de Parseval, chegamos a w = w dk = w dk R 3 = ik ŵ dk = k ŵ dk k ŵ dk = w dk R 3 = w dk = w. Portanto, χ ( w) u dx χ ( u) w dx χ w + χ u. (.54) Substituindo (.54) em (.53), temos dt ( u, w, b) + µ u + γ w + ν b + κ ( w) + χ w (u u) u dx (b b) u dx + (u w) w dx + (u b) b dx (b u) b dx. (.55) 34

44 Agora, nosso interesse é estimar as integrais do lado direito da desigualdade acima. Assim sendo, (u u) u dx = u i ( i u j )( k u j) dx = ( k u i )( i u j )( k u j ) dx Observe que u i ( k i u j )( k u j ) dx = = ois u = 0. Por conseguinte, Logo, (u u) u dx = Seguindo as mesmas ideias temos que ( i u i )( k u j) dx + u i ( i k u j )( k u j ) dx, u i ( k i u j )( k u j ) dx = 0. (u b) b dx = u i ( i b j )( k b j) dx = ( k u i )( i b j )( k b j ) dx A última integral acima é nula. Com efeito, u i ( k i b j )( k b j ) dx = = u i ( k i u j )( k u j ) dx. u i ( i k u j )( k u j ) dx ( k u i )( i u j )( k u j ) dx C u 3 dx. ( i u i )( k b j) dx + u i ( i k b j )( k b j ) dx, u i ( k i b j )( k b j ) dx. u i ( i k b j )( k b j ) dx 35

45 ois u = 0. Deste modo, infere-se Assim, odemos concluir que (u b) b dx = u i ( k i b j )( k b j ) dx = 0. ( k u i )( i b j )( k b j ) dx C u b dx. Analogamente, obtem-se (u w) w dx C u w dx. Veja ainda que (b b) u dx = = b i ( i b j )( k u j) dx ( k b i )( i b j )( k u j ) dx + b i ( k i b j )( k u j ) dx. Por integração or artes e usando o fato que b = 0 é fácil encontrar o seguinte resultado ara a última integral exosta acima. b i ( k i b j )( k u j ) dx = Consequentemente, chegamos a = ( i b i )( k u j )( k b j ) dx b i ( i k u j )( k b j ) dx. (b b) u dx C b u dx b i ( i k u j )( k b j ) dx b i ( i k u j )( k b j ) dx. (.56) 36

46 Também é verdade que (b u) b dx = b i ( i u j )( k b j) dx = ( k b i )( i u j )( k b j ) dx + b i ( k i u j )( k b j ) dx C b u dx + b i ( k i u j )( k b j ) dx. (.57) Assim, somando (.56) a (.57), encontramos (b b) u dx (b u) b dx C b u dx. Substituindo estes resultados acima na desigualdade (.55), chegamos a dt ( u, w, b) + µ u + γ w + ν b + κ ( w) + χ w C u 3 dx + C b u dx + C u w dx =: J 1 + J + J 3. (.58) No que segue, encotraremos estimativas ara J i, ara i = 1,, 3. Note que, elo Lema., obtemos J 1 := C u 3 dx C u 3 1 u 1 u 1 3 u 1 C u u 3 3 u 1. Usando a Desigualdade de Young, conclui-se J 1 µ 6 u + C u 3 3 u = µ 6 u + C u ( u 3 u ) µ 6 u + C u ( u + 3 u ). (.59) Pela Desigualdade de Hölder, obtemos J := C b u dx C u 3 b 3. 37

47 Portanto, elo Lema., temos que J C u 1 1 u 1 6 u u 1 6 b 1 b 1 3 b b 1 3 C u 1 u u 1 6 b b 3 3 b 1 3. Usando a Desigualdade de Young, obtemos J µ 6 u + C u u 1 5 b 6 5 b b 5 µ 6 u + ν b + C u 3 u 1 3 b 3 b 3 µ 6 u + ν b + C b ( u + 3 u + 3 b ) (.60) Analogamente ao que foi feito ara estimar J, odemos encontrar as estimativas abaixo (basta alicar as Desigualdades de Hölder e Young e o Lema.): J 3 : = C u w dx = C u 3 w 3 µ 6 u + C u u 1 5 w 6 5 w w 5 µ 6 u + γ w + C w ( u 3 u w 3 ) µ 6 u + γ w + C w ( u + 3 u + 3 w ). (.61) Substituindo (.59), (.60) e (.61) em (.58), obtemos d dt ( u, w, b) + µ u + γ w + ν b + κ ( w) + χ w C ( u, w, b) ( u + ( 3 u, 3 w, 3 b) ). Por fim, alicando o Lema de Gronwall, (.41), (.49) e (1.1), chegamos a ( u, w, b)(, t) ( u 0, w 0, b 0 ) e C t 0 ( u(,s) + ( 3u, 3 w, 3 b)(,s) ) ds C, t [0, T ]. Pela teoria clássica ara soluções do sistema (1), (no caso de Navier-Stokes, ver [33]), concluímos que (u, w, b)(, t) ode ser estendida suavemente além de t = T. 38

48 . Critério de Regularidade Envolvendo Somente u(, t) Nesta seção, estamos interessados em demonstrar que uma solução fraca (u, w, b)(, t) do sistema magneto-microolar (1), definida em [0, T ], ode ser estendida suavemente além de T, quando a seguinte hiótese, envolvendo somente o camo velocidade u(, t), é assumida: u L q (0, T ; L ( )), q + 3 1, 3 <. Mais esecificamente, estabeleceremos minuciosamente o seguinte teorema, o qual foi rovado em 010 or Y. Baoquan [1]. Teorema. (ver [1]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) C[0, T ; H 1 ( )) C(0, T ; H ( )) é uma solução suave ara o sistema (1). Se (u, w, b)(, t) satisfaz u L q (0, T ; L ( )), q + 3 1, 3 <, (.6) então a solução (u, w, b)(, t) ode ser suavemente estendida além de t = T. Demonstração. Para a demonstração desse teorema, iremos considerar dois casos ara. Caso 1: Assuma que 3 < <. Estamos, rimeiramente, interessados em rovar uma estimativa ara a norma-l da i-ésima comonente do gradiente da solução (u, w, b). Assim sendo, considere esta derivada na rimeira equação do sistema (1) em ordem a obter dt iu = ( i t u, i u) = (µ + χ)( i u, i u) ( i u u, i u) (u i u, i u) + ( i b b, i u) + (b i b, i u) ( i ( + 1 b ), i u) + χ( i w, i u). Permita-nos estudar algumas arcelas encontradas no lado diereito das igualdades acima. Dessa 39

49 forma, note que ( i u, i u) = ( j i u, i u) = ( j i u, j i u) j=1 = j=1 j i u. (.63) j=1 Também temos que (u i u, i u) = u j ( j i u k )( i u k ) dx j,k=1 = ( j u j )( i u k )( i u k ) dx j,k=1 = u j ( j i u k )( i u k ) dx, j,k=1 ois, u = 0. Consequentemente, j,k=1 u j ( j i u k )( i u k ) dx (u i u, i u) = 0. (.64) Observe ainda que ( i ( + 1 b ), i u) = ( j i ( + 1 b ), i u j ) = 0, já que u é livre de divergente. Deste modo, dt iu + (µ + χ) j=1 = ( i ( + 1 b ), j i u j ) j=1 j i u = ( i u u, i u) + ( i b b, i u) + (b i b, i u) j=1 + χ( i w, i u). (.65) 40

50 Derivando a segunda equação do sistema (1) com relação a i-ésima variável esacial, chegamos a dt iw = ( t i w, i w) = γ( i w, i w) + κ( ( i w), i w) χ( i w, i w) ( i u w, i w) (u i w, i w) + χ( i u, i w). Note que, or integração or artes, obtemos ( ( i w), i w) = ( j ( i w), i w j ) j=1 = ( i w, j i w j ) j=1 = ( i w, i w) = i w. Analogamente ao que foi feito em (.63) e (.64), concluimos que ( i w, i w) = j i w e também j=1 (u i w, i w) = 0. Desta forma, dt iw + γ j i w + κ i w + χ i w = ( i u w, i w) + χ( i u, i w). j=1 (.66) E, or fim, alicando o oerador i à terceira equação do sistema (1), encontramos dt ib = ( t i b, i b) = ν( i b, i b) ( i u b, i b) (u i b, i b) + ( i b u, i b) + (b i u, i b). 41

51 Analogamente ao que foi feito em (.63) e (.64), obtemos ( i b, i b) = j i b e também j=1 (u i b, i b) = 0. Portanto, dt ib + ν j i b = ( i u b, i b) + ( i b u, i b) + (b i u, i b). (.67) j=1 Somando os resultados obtidos em (.65), (.66) e (.67), infere-se dt ( iu, i w, i b) + (µ + χ) j i u + γ j i w + ν j=1 j=1 j=1 j i b + κ i w + χ i w = ( i u u, i u) + ( i b b, i u) + (b i b, i u) + χ( i w, i u) ( i u w, i w) + χ( i u, i w) ( i u b, i b) + ( i b u, i b) + (b i u, i b). Agora, vamos estudar os termos do lado direito da igualdade acima. Primeiramente, observe que (b i b, i u) + (b i u, i b) = b j ( j i b k )( i u k ) dx + j,k=1 = b j ( j i u k )( i b k ) dx + j,k=1 = 0, ois b = 0. Analogamente ao que foi feito em (.19), temos j,k=1 j,k=1 b j ( j i u k )( i b k ) dx b j ( j i u k )( i b k ) dx χ( i w, i u) + χ( i u, i w) = χ( i u, i w) χ i u + χ i w. 4

52 Assim, chegamos a dt ( iu, i w, i b) + (µ j i u + γ j i w + ν j i b ) + κ i w + χ i w j=1 ( i u u, i u) + ( i b b, i u) + ( i u w, i w) + ( i u b, i b) + ( i b u, i b) =: L 1 + L + L 3 + L 4 + L 5. (.68) Agora, iremos estimar L j, ara j = 1,..., 5. Inicialmente vejamos que, or integração or artes e or utilizar o fato que u = 0, encontramos L 1 := ( i u u, i u) = ( i u j )( j u k )( i u k ) dx j,k=1 = ( j i u j )( i u k )u k dx + j,k=1 i u j j i u k u k dx j,k=1 C u u D u dx. j,k=1 Logo, elas Desigualdades de Hölder e Gagliardo-Nirenberg, obtemos ( i u j )( j i u k )u k dx L 1 C u u D u C u D 3 u u 3 = C u u D u D u

53 Analogamente, L := ( i b b, i u) = ( i b j )( j b k )( i u k ) dx j,k=1 = ( i i b j )( j b k )u k dx + j,k=1 C u b D b dx 3 C u b D b +3 j,k=1 ( i b j )( i j b k )u k dx e também L 3 := ( i u w, i w) = ( i u j )( j w k )( i w k ) dx j,k=1 = ( i j w k )( i w k )u j dx + j,k=1 C u w D w dx 3 C u w D w +3. Prosseguindo de forma semelhante, encontramos e também 3 L 4 C u b 3 L 5 C u b j,k=1 D b D b Logo, assando a soma em (.68), quando i = 1,, 3, obtemos ( i w k )( i i w k )u j dx dt ( u, w, b) + µ D u + γ D w + ν D b + κ w + χ w 3 +3 C u [ u D u + b D b + w D w ]

54 Mas, ela Desigualdade de Young, temos que Analogamente, obtem-se e também Por conseguinte, infere-se 3 C u b 3 C u u 3 C u w +3 3 D b ν D b + C u b D u µ D u + C u u +3 3 D w γ D w + C u w. d dt ( u, w, b) + µ D u + γ D w + ν D b + κ w + χ w 3 C u ( u, w, b). Pelo Lema de Gronwall, chegamos a ( u, w, b)(, t) ( u 0, w 0, b 0 ) e C T 0 u(,τ) 3 dτ, t [0, T ]. Como = ( 3) + 3 = ( 3) + 6 = 1, então, ela hiótese (.6), conclui-se ( u, w, b)(, t) C, t [0, T ]. Por fim, ela teoria clássica envolvendo a solução (u, w, b)(, t) do sistema magneto-microolar (1), (no caso de Navier-Stokes, ver [33]), o resultado segue. Caso : Considere agora que =. Vamos estimar novamente L j, j = 1,..., 5. Primeiramente, ela Desigualdade de Hölder, temos L 1 C u u D u dx C u u D u dx C u u D u. 45

55 Analogamente, é simles mostrar que L C u b D b, L 3 C u w D w, L 4 C u b D b, e também L 5 C u b D b. Consequentemente, odemos escrever dt ( u, w, b) + µ D u + γ D w + ν D b + κ w + χ w C u [ u D u + b D b + w D w ]. Logo, ela Desigualdade de Young, obtemos d dt ( u, w, b) + µ D u + γ D w + ν D b + κ w + χ w C u ( u, w, b). Assim, elo Lema de Gronwall, chegamos a ( u, w, b)(, t) ( u 0, w 0, b 0 ) e C T 0 u(,τ) dτ, t [0, T ]. Então, ela hiótese (.6), conclui-se que ( u, w, b)(, t) C, t [0, T ]. Por fim, ela teoria clássica envolvendo a solução (u, w, b)(, t) do sistema magneto-microolar (1), (no caso de Navier-Stokes, ver [33]), o resultado segue. 46

56 .3 Critério de Regularidade Envolvendo Somente u(, t) Nesta seção, nosso desejo é mostrar que uma solução fraca (u, w, b)(, t) do sistema magnetomicroolar (1), definida em [0, T ], ode ser estendida suavemente além de T, quando a seguinte hiótese, envolvendo somente o gradiente do camo velocidade u(, t), é considerada: T 0 u(, t) q dt <, 3 <, q + 3. Mais recisamente, rovaremos o seguinte resultado, o qual foi estabelecido or Y. Baoquan [1] em 010, sobre regularidade de soluções fracas ara o sistema (1). Teorema.3 (ver [1]). Seja (u 0, w 0, b 0 ) H 1 ( ) tal que u 0 = b 0 = 0. Assuma que (u, w, b)(, t) C[0, T ; H 1 ( )) C(0, T ; H ( )) é uma solução suave ara o sistema (1). Se (u, w, b)(, t) satisfaz T 0 u(, t) q dt <, 3 <, q + 3. (.69) então a solução (u, w, b)(, t) ode ser suavemente estendida além de t = T. Demonstração. Seararemos a rova deste resultado em dois casos. Caso 1: Considere que 3 < <. Já vimos, no Teorema., desigualdade (.68), que dt ( iu, i w, i b) + (µ j i u + γ j i w + ν j i b ) + κ i w + χ i w j=1 ( i u u, i u) + ( i b b, i u) + ( i u w, i w) + ( i u b, i b) + ( i b u, i b) =: Q 1 + Q + Q 3 + Q 4 + Q 5. Agora, iremos estimar Q j, ara j = 1,..., 5, de uma outra forma. Comecemos com Q 1. Q 1 := ( i u u, i u) = j,k=1 ( i u j )( j u k )( i u k ) dx C u 3 dx. 47

57 Logo, elas Desigualdades de Hölder e Gagliardo-Nirenberg, chegamos a Q 1 C u u 1 C u u 3 D 3 u Analogamente, é fácil ver que Q := ( i b b, i u) C u b dx C u b 3 D b e também Q 3 := ( i u w, i w) C u w dx C u w 3 D w Q 4 := ( i u b, i b) C u b dx C u b 3 D b Q 5 C u b 3 D 3 b Logo, assando a soma em (.68), quando i = 1,, 3, obtemos dt ( u, w, b) + µ D u + γ D w + ν D b + κ w + χ w 3 C u [ u D 3 3 u + w D 3 3 w + b D 3 b ]. Mas, ela Desigualdade de Young, temos que Analogamente, obtém-se e também 3 C u u 3 C u w 3 C u b 3 D u µ 4 D u + C u u D w γ D w + C u w 3 3 D b ν D b + C u b.. 3, 3, 3 48