COLORAÇÃO DE VÉRTICES COM FOLGA

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1 COLORAÇÃO DE VÉRTICES COM FOLGA Abel R. G. Lozano UERJ UNIGRANRIO Clícia V. P. Friedmann UERJ UNIGRANRIO Christina F. E. M. Waga UERJ Lilian Markenzon NCE/UFRJ Resumo Neste trabalho generalizamos a coloração rória de vértices de um grao, introduzindo a deinição de coloração com olga de ordem k. Relacionamos essa coloração com a coloração -distante e obtemos uma cota suerior ara coloração com olga de ordem. PALAVRAS CHAVE. coloração de vértices, coloração com olga de ordem k, coloração equilibrada, coloração -distante Abstract In this work we generalize the notion o roer vertex-coloring resenting the deinition o range coloring o order k. The equivalence o this coloring and the -distant coloring is established and we obtain an uer bound or range coloring o order. KEYWORDS. vertex coloring, range coloring o order k, equitable coloring, distant- coloring XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 08

2 . Introdução Uma coloração rória de um grao G = ( V, E) é uma atribuição de cores aos vértices do grao de tal orma que vértices adjacentes recebem cores distintas. A cardinalidade do menor conjunto de cores que colore roriamente o grao é o número cromático, reresentado or χ (G). O roblema clássico de coloração de vértices consiste em colorir um grao qualquer de maneira rória com o menor número de cores. Algumas variações desse roblema surgiram nos últimos anos, imondo restrições sobre as cores disoníveis ara cada vértice. Podemos destacar alguns tios de colorações condicionadas, tais como a coloração equilibrada (equitable coloring) e a coloração -distante (-distant coloring). A deinição de coloração equilibrada, assim como os rinciais resultados, ode ser encontrada em Kubale (00) e Garcia Lozano (00). Nesse tio de coloração, a dierença máxima na quantidade de vezes em que duas cores quaisquer aarecem não ode exceder. Em Broersma (00) está deinida a coloração -distante entre outras, bem como algumas alicações. Uma coloração -distante de G é uma coloração tal que os vértices com distância ou têm cores dierentes. No resente trabalho, introduzimos, na Seção, um tio de coloração rória de vértices que chamaremos de coloração com olga de ordem k, sendo k um inteiro ositivo. Mostramos também que a coloração com olga k é uma extensão ara o conceito de coloração -distante. Na Seção, rovamos que é semre ossível colorir um grao G qualquer com olga de ordem com ( G ) + cores.. Conceitos Básicos Conceitos básicos sobre graos e coloração são encontrados em Jensen e Tot (99), Boaventura Netto (996) e West (996). Nesta seção, revisaremos alguns conceitos mais ertinentes. Consideremos um grao G = ( V, E) não orientado, simles (sem laços e sem múltilas arestas) e conexo. A vizinhança aberta de um vértice v V é o conjunto N( = { u V; uv E} e a vizinhança echada é o conjunto N[ v] = N( { v}. O grau de um vértice v V é d ( = N(. O grau mínimo de um grao G é δ ( G) = min d( e o grau máximo de G é ( G) = max d(. Usaremos a notação, quando não houver conusão. v V Os conceitos de vizinhança aberta e echada odem ser estendidos a subconjunto de vértices S V da seguinte orma, N( S) = U N( e N[ S] = U N[ v]. Um caminho em G é uma v V sequência de arestas sucessivamente adjacentes. A distância entre dois vértices denotada or, é o número de arestas do menor caminho entre eles. d u, v v V v V u, v V, Seja C um conjunto de cores. Uma coloração rória dos vértices de G é uma unção c : V C tal que se uv E então u). Denotaremos or c (S) o conjunto de cores utilizadas ara colorir os vértices de S V. Dizemos que G é t-colorível quando V ) = t C. O número cromático de G, denotado or χ (G), é o menor valor de t ara o qual existe uma coloração rória de G. Por exemlo, o grao da Figura (A), octaedro, tem 6 vértices, arestas, = e χ =. Seja c : V C uma coloração rória do grao G. Os vértices com a mesma cor i ormam a classe da cor i, ou seja, a imagem inversa c ( i) = { v V; = i} da cor i. A coloração é XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 08

3 denominada coloração equilibrada quando a maior e menor cardinalidades dentre as classes de cores dierem no máximo em um, isto é, c ( i) c ( j), ara todo i j C. Analogamente, se o grao G é t-colorível, o número cromático equilibrado de G, denotado or χ eq (G), é o menor valor de t ara o qual existe uma coloração equilibrada de G. Uma coloração -distante de um grao G é uma coloração c : V C tal que os vértices com distância ou têm cores dierentes. O número cromático -distante de G, denotado or χ ( ), é o menor número de cores ara o qual existe uma coloração -distante. D G. Coloração com Folga de Ordem k Nesta seção, introduziremos o conceito de coloração com olga de ordem k ara os vértices de um grao G. Examinaremos, também, a relação deste conceito com a coloração -distante. Seja G = ( V, E) um grao e k Z +. Uma coloração rória c : V C de G é denominada uma coloração com olga de ordem k de G quando ara todo v V, se d( k então c ( N( ) = d( caso contrário N( ) k. Para o caso k =, temos a coloração rória usual de vértices. Na coloração de vértices com olga de ordem k >, vértices com grau menor do que a olga exigida devem ter todos os vizinhos coloridos com cores distintas, e os de grau igual ou maior do que k devem ter todos os vizinhos coloridos com elo menos k cores. A cota suerior ara a ordem de uma coloração com olga é (G). Dizemos que G é t-colorível com olga de ordem k quando V ) = t C. Podemos k deinir também o número cromático com olga de ordem k de G, denotado or χ (G), como o menor valor de t ara o qual existe uma coloração com olga de ordem k ara os vértices de G. Consideremos o grao da Figura (A), a coloração rória de vértices aresentada é também uma coloração com olga de ordem. Desta orma, χ ( G) = χ( G) =. Na Figura (B) temos o octaedro colorido com olga de ordem com χ ( G) = e na Figura (C) uma coloração com olga de ordem com χ ( G) = 6. (A) (B) 6 (C) Figura XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 086

4 Podemos comarar a coloração com olga de ordem k com as colorações equilibrada e - distante. Vejamos a Figura. Nela, a coloração c é a usual com χ =. Já a coloração c é equilibrada com duas classes de cores de tamanho e uma classe de, e com χ =. As colorações c, c, c e c 6 são colorações com olga de ordens,, e, resectivamente, e seus números cromáticos são χ =, χ =, χ = e χ = 6. A coloração c 6 é um exemlo de coloração -distante. Assim, χ 6. D = eq (c ) (c ) (c ) (c ) (c ) 6 (c 6 ) Figura De ato, colorações com olga de ordem e -distante são equivalentes, conorme o Teorema, mostrando assim, que a coloração -distante é um caso articular da coloração com olga. Teorema. Seja o grao G = ( V, E). Uma coloração c : V C é uma coloração com olga de ordem se, e somente se, é uma coloração -distante. Prova: Pela deinição de coloração com olga de ordem, temos que dado um vértice v V, colorido com a cor c (, todos os vértices adjacentes têm cores distintas. Consideremos XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 087

5 u, w V com d =. Existe v V tal que u, w N(. Assim, u) w). Então, a uw coloração c é -distante. Recirocamente, seja c uma coloração -distante, v V qualquer e u, w N(. Como d = então u) w). Então, c ( N( ) = d(. Logo, c é uma coloração com olga de uw ordem. Como resultado imediato, temos o seguinte corolário. Corolário. Para todo grao G, χ ( G) = χ ( G). D. Cota Suerior ara Colorações com Folga de Ordem Sabemos que χ ( G) +, ara todo grao G. É natural rocurarmos um resultado análogo ara coloração com olga. O teorema a seguir mostra que + é cota suerior ara o invariante χ ( G). É imortante observar que ara colorações com olga de ordens maiores do que não é ossível obter um resultado análogo. Teorema. Para todo grao G C, onde C é o ciclo com vértices, existe uma coloração com olga de ordem com + cores, isto é, χ ( G) +. Prova: Seja o conjunto de cores C = {, K, + }. Vamos suor inicialmente que G é um ciclo ( v0, K, vn, v0) com n vértices, e que t seja o maior múltilo de menor ou igual a n. Seja a coloração c : V C tal que: n mod = 0 vi ) = ( i mod) +, i = 0, K, n vi ) = ( i mod) +, i = 0, K, t nmod = vn ) = vi ) = ( i mod) +, i = 0, K, t vt ) = nmod = vt ) = vt ) = vn ) =. A construção é análoga ara caminhos e ara o caso de graos em que todas as comonentes conexas são ciclos ou caminhos. Vamos suor que G não é um ciclo nem um caminho. Assim, ( G ). Se todos os vértices ertencem a elo menos um triângulo K, então qualquer coloração rória é uma coloração com olga de ordem, limitada em + cores, elo Teorema de Brooks. Desta orma, tratamos de graos em que existe elo menos um vértice que não ertence a nenhum triângulo. Demonstraremos usando o segundo rincíio de indução na ordem do grao. Se G ossui ou vértices, basta usar uma cor dierente ara cada vértice. Suonhamos verdadeiro o enunciado ara graos com até n vértices. XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 088

6 Caso : G ossui elo menos um vértice v V de grau. Seja u V adjacente ao vértice v e w N(u), w v. Retiramos v do grao G, obtendo o grao G = ( V, E ). Existe uma coloração c : V C com olga de ordem ara G. Adicionando v a G com a resectiva aresta, obtemos novamente G. A coloração c : V C é com olga de ordem, tal que:, se x v e c ( c ( u), c ( w. Caso : G ossui dois vértices adjacentes v, u V ambos de grau. Seja o caminho P = ( v, K, v ) tal que: a) v, u P, b) d ( v i ) =, i =, K, e c) P é um caminho maximal em relação aos itens anteriores. Sejam u o vizinho de v que não ertence a P e u o vizinho de v que não ertence a P. Subcaso.: u u Retiramos P de G, e consideramos o grao G = ( V, E ) obtido. Por hiótese de indução, existe uma coloração c : V C com olga de ordem ara o grao G. Incluímos, novamente, o caminho P em G. Como P é maximal, u e u têm grau maior ou igual a em G. Assim, c ( N( u)) e c ( N( u )). Podemos então deinir a coloração c : V C ara tal que: Caso = : Caso = : Caso = :, x V v ) u), u c v ) u ), v ), ( u, x V v) u c v ) u ), v ), c ( u ( v) v ), v), u, x V v) u v) u), v c v ) v ), v ), c ( u ( v) v), v), u XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 089

7 Caso :, x V v) u v) u), v c v ) C { v ), v ara i =, K, c c ( i i i ( v ) v ), v ), u ( v) v ), v ), u Por construção, a coloração tem olga de ordem. Subcaso.: u = u Assim, temos um ciclo. Se não or o C, basta usarmos a coloração descrita no início da demonstração. Se or o C, como ( G ), C e odemos usar uma cor ara cada vértice. Caso : Não existem em G dois vértices de grau adjacentes entre si, mas existe elo menos um vértice v V de grau. Sejam u N( e v, K,v todos os vértices com grau adjacentes ao u incluindo v. Retiramos de G o conjunto de vértices U = { u, v, K, v } e obtemos o grao G = ( V, E ). Por hiótese de indução, existe uma coloração com olga de ordem c : V C. Adicionamos o conjunto U com as resectivas arestas ao grao G e odemos deinir em G uma coloração c : V C com olga de ordem tal que:, se x U e c ( u) C c ( N( U )). Observe que, N ( U ) d( u). Sobram cores ara colorir cada vértice v, K,v com cores dierentes. Caso : Não existem vértices de grau no grao G. Devemos escolher dois vértices v, u V adjacentes que não ossuam vizinhos em comum. Lembramos que G tem elo menos um vértice que não ertence a nenhum triângulo. Retire v e u de G, obtendo o grao G = ( V, E ). Existe uma coloração c : V C com olga de ordem. Adicionamos os vértices v e u, e retornamos ao grao G. Consideremos a coloração c : V C, sabendo se que u N(u) e v N( :, x { v, u} c ( u) C N( u) { v }) c ( C N( { u }) XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 090

8 Esta coloração é com olga de ordem e semre ossível, ois N ( u) = d( u) e N ( = d(. Na Figura, aresentamos mais alguns exemlos de coloração com olga de ordem e seus resectivos números cromáticos. χ ( G ) = < χ ( G) = = + χ ( G) = = + Figura O resultado do Teorema não ode ser estendido diretamente ara ordens maiores do que. Na Figura, temos dois exemlos que mostram graos com = que não odem ser coloridos com olga de ordem com + cores Trabalhos Futuros Com relação à continuidade do trabalho, gostaríamos de estabelecer cotas sueriores ara coloração com olga de qualquer ordem, e de investigar a coloração com olga ara determinadas amílias de graos. 6. Reerências Bibliográicas Figura Boaventura Netto, P.O. (996). Graos: teoria, modelos, algoritmos. Edgard Blücher. Broersma, H.J. (00). A general ramework or coloring roblems: old results, new results, and oen roblems. Memo No. 70., Deart. o Al. Math., University o Twente. Garcia Lozano, A.R. (00). Coloração total equilibrada de graos. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia da Produção. Jensen, T. R., Tot, B. (99). Grah Coloring Problems, Wiley-Interscience, New York. Kubale M. (00) Grah Colorings, Contemory Mathematics, vol, AMS Bookstore. West, D.B. (996). Introduction to Grah Theory. Prentice Hall. 7. Agradecimento Este trabalho contou com o aoio do CNPq, rocessos 0689/006- e 760/007-. XLI SBPO Pesquisa Oeracional na Gestão do Conhecimento Pág. 09