Uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:

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1 1 Noções Básicas de Lógica 1.1 Proosições Uma roosição é uma frase ue ode ser aenas verdadeira ou falsa. 1. Os saos são anfíbios. 2. A caital do Brasil é Porto Alegre. 3. O tomate é um tubérculo. 4. Por favor, estudem! 5. Escreva o nome da sua mãe. 6. Em um triângulo retângulo, a soma dos uadrados dos catetos é igual ao uadrado da hiotenusa. 7. A avenida Iiranga, em Porto Alegre, RS, tem 6km de comrimento. 8. Toda água do laneta terra é otável. 9. O beija-flor é um ássaro. 10. ai trabalhar! 11. ocê gosta de cerveja? = Pablo Picasso é um intor famoso. 14. aça um breve resumo de sua vida. 15. Maria,CP:...,comrou um carro 0 km. 16. Existem formas de vida em outros lanetas Todos os alunos da URGS amam Matemática Discreta. Quais das frases acima são roosições? Quais são verdadeiras? Quais são falsas? Toda roosição é verdadeira ou falsa, ou seja, toda roosição assume um valor verdade ou lógico ( ou ). As roosições acima são chamadas de simles ou atômicas, ois não odem ser decomostas em mais de uma roosição. Em geral, as roosições são comostas, ou seja, são obtidas através de duas ou mais roosições simles, e seu valor lógico deende dos valores verdade de cada uma das roosições ue a comõe. Notação: usaremos as letras,, r e s ara designar roosições. 1

2 1.2 Conetivos Lógicos Para comor roosições usamos os conetivos lógicos. Existem dois tios de conetivos: unários e binários. Unário: modifica uma roosição (não). Binários: unem duas roosições (e, ou, se então, se e somente se) 1. Baleias são mamíferos e aranhas são reteis. 2. ou comrar um Gol ou um Ka. 3. Se eu ganhar na loto então resentearei cada aluno com um iate. 4. Hoje não é domingo. 5. Passarei em Matemática Discreta se e somente se eu estudar muito Negação Seja uma roosição, a negação de é a roosição Não é verdade ue. Notação:, Tabela erdade: Exemlo: : Hoje é terça-feira : Não é verdade ue hoje é terça-feira. Ou euivalentemente: Hoje não é terça-feira Conjunção Sejam e duas roosições, a conjunção de e é a roosição e. Esta roosição será verdadeira somente uando e forem verdadeiras. Notação: Tabela erdade: Exemlo: : Comi 20 chocolates. : Estou com sede. : Comi 20 chocolates e estou com sede Disjunção Sejam e duas roosições, a disjunção de e é a roosição ou. Esta roosição será verdadeira se uma das roosições ou for verdadeira. 2

3 Notação: Tabela erdade: Exemlo: : Comrei um Gol. : Comrei uma errari. : Comrei um Gol ou comrei uma errari Condição Sejam e duas roosições, a condição entre e é a roosição Se então, ou A condição é suficiente ara, ou se, ou é conseüência de. Esta roosição só não será verdadeira uando for falsa e for verdadeira. Notação: Tabela erdade: Exemlo: : Roubei um banco. : Comrei uma errari. : Se eu roubar um banco então comrarei uma errari Bicondição Sejam e duas roosições, a bicondição entre e é a roosição se e somente se, ou se e só se, ou sss. Esta roosição é verdadeira somente uando as duas roosições ( e ) tem o mesmo valor-verdade. Notação: Tabela erdade: Exemlo: : Estudei muito Matemática Discreta. : Passei em Matemática Discreta. : Estudei muito Matemática Discreta se e somente se eu assei em Matemática Discreta. Quadro-resumo dos conetivos: 3

4 Podemos agora combinar roosições comostas utilizando conetivos e arênteses. Para isso definimos uma ordem entre esses oeradores: 1. Conetivos dentro do arênteses - dos mais internos ara os mais externos. 2. : negação 3., : conjunção, disjunção 4. : condicional 5. : bicondicional 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) ( ) Observação: Nem todas as combinações de conetivos com roosições e arênteses são válidas - regras de sintaxe. Por exemlo a combinação: r não é válida. Exercício: Construa a tabela-verdade ara a roosição: r 4

5 1.3 Tautologia e Contradição Definição 1.1. Uma roosição é uma tautologia se ela for semre verdadeira indeendentemente dos valores lógicos das roosições ue a comõe. Ou seja, a última coluna de sua tabela verdade só ossui s. Exemlo: Definição 1.2. Uma roosição é uma contradição se ela for semre falsa indeendentemente dos valores lógicos das roosições ue a comõe. Ou seja, a última coluna de sua tabela verdade só ossui s. Exemlo: Notação: tautologia: e contradição: Definição 1.3. Dadas duas roosições e dizemos ue imlica se a roosição Se então. é uma tautologia. Notação: = 1. Adição: = 2. Simlificação: = Definição 1.4. Dadas duas roosições e dizemos ue é euivalente a se a roosição se e somente se. é uma tautologia. Notação: Note ue a bicondição é verdadeira somente uando as duas roosições tem o mesmo valor verdade, assim se duas roosições tem a última coluna de suas tabelas-verdade iguais então elas são euivalentes. A recíroca também é verdadeira, ou seja, se duas roosições são euivalentes então a última coluna de suas tabelas-verdade são iguais. Utilizando esse resultado e os exemlos de tabela-verdade 1. e 3. da aula assa odemos afirmar ue: ( ) Essa é uma imortante roriedade das euivalências chamada Lei de De Morgan. eremos a seguir várias outras. 5

6 1.4 Proriedades das Euivalências Sejam, e r roosições uma tautologia e uma contradição. As seguintes roriedades são válidas: 1. Idemotência: e 2. Comutatividade: e 3. Associatividade: ( r) ( ) r e ( r) ( ) r 4. Distributividade: ( r) ( ) ( r) e ( r) ( ) ( r) 5. Identidades: e e 6. Comlementares: e 7. Dula negação : ( ) 8. Absorção: ( ) e ( ) 9. Leis de De Morgan: ( ) ( ) As afirmações acima odem ser verificadas através de tabelas-verdade. aremos alguns exemlos. 1. ( ) Iniciamos com a tabela-verdade de ( ). ( ) Notamos ue a rimeira e a última coluna da tabela acima são iguais, assim, ela observação acima, temos ue: ( ). 2. ( r) ( ) ( r) azemos a tabela-verdade das roosições ue ueremos mostrar ue são euivalentes. r r ( r) 6

7 r r ( ) ( r) emos ue a última coluna da rimeira tabela é igual a última coluna da segunda tabela, assim, ela observação anterior ( r) ( ) ( r). Também oderíamos ter feito a comaração em uma única tabela, e mostrar ue ( r) ( ) ( r) é uma tautologia; essa tabela tem a rimeira linha dada abaixo. r r ( r) r ( ) ( r) ( r) ( ) ( r) Uma das alicações das roriedades das euivalências é na simlificação de comandos. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.5 Euivalências undamentais As euivalências abaixo serão a base de algumas técnicas de demonstração (contraosição) 3. (absurdo) Exercício: Utilize as tabelas abaixo ara mostrar as três euivalências acima. 7

8 1.6 Quantificadores Consideramos a sentença : n 5. O valor lógico dessa roosição varia com os valores de n. Se n = 1, é falsa, se n = 7, é verdadeira, se n = 129, é verdadeira e se n = 4, é falsa. Isso nos leva a ensar em roosições sobre conjunto de valores. Definição 1.5. Seja A um conjunto ualuer. Uma roosição sobre A é uma roosição cujo valor lógico deende do elemento x A considerado. Uma roosição a ual descreve alguma roosição de um elemento x A é denominada, em geral, or (x). Toda roosição em A determina: Conjunto-verdade de : são os elementos de A ara os uais é verdadeira. Notação: () = {x A; (x) e } Conjunto-falsidade de : são os elementos de A ara os uais é falsa. Notação: () = {x A; (x) e } 1. : n 3 8 em A = N () = {2, 3, 4, 5,...} = {n N ; n 2} () = {0, 1} 2. : n 0 em A = N () = N () = 3. : n = 3 em A = N () = () = N Os dois últimos exemlos são uma TAUTOLOGIA e uma CONTRADIÇÃO. Dizemos ue uma roosição em A é uma TAUTOLOGIA se () = A e dizemos ue uma roosição em A é uma CONTRADIÇÃO se () = Quantificador Universal Seja A um conjunto e uma roosição em A. Usamos o símbolo ara designar o uantificador universal. Escrevemos: ( x A) (x) ou x A, (x) ou ( x A) ((x)) Podemos ler ualuer uma das afirmações acima dos seguintes modos: Para todo x ertencente a A, (x) é verdadeira. ou Para cada x ertencente a A, (x) é verdadeira. ou Para ualuer x ertencente a A, (x) é verdadeira. 8

9 1.6.2 Quantificador Existencial Seja A um conjunto e uma roosição em A. Usamos o símbolo ara designar o uantificador existencial. Escrevemos: ( x A) (x) ou x A, (x) ou ( x A) ((x)) Podemos ler ualuer uma das afirmações acima dos seguintes modos: Existe x ertencente a A, tal ue (x) é verdadeira. ou Existe elo menos um x ertencente a A, tal ue (x) é verdadeira. Quantificador Existencial Único: Usamos o símbolo! ara designar o uantificador existencial único. Escrevemos: (! x A) (x) e lemos: Existe e é único o x ertencente a A, tal ue (x) é verdadeira. O conetivo e é fundamental nessa afirmação, usando esse conetivo odemos reescrever a afirmação de modo euivalente: (! x A) (x) ( ( x A) (x) ) [( ( x A) (x) ( y A) (y) ) x = y ] Exemlo: (! n N) n 2 = alores-verdade de roosições uantificadas Seja A um conjunto e uma roosição em A. A roosição ( x A) (x) é verdadeira se e somente se () = A e é falsa caso contrário, ou seja, caso () A. A roosição ( x A) (x) é verdadeira se e somente se () e é falsa caso contrário, ou seja, caso () =. Resumindo: ( x A) (x) é sss () = A ( x A) (x) é sss () A ( x A) (x) é sss () ( x A) (x) é sss () = (! x A) (x) é sss (! x A) (x) é sss 1. ( n N) n ( n N) n ( n N) n! ( n N) n! ( n N) n 0 6. ( n N) n 0 9

10 Observação: Note ue semre ue uma roosição do tio ( x A) (x) é então a roosição ( x A) (x) também é, e euivalentemente, se uma roosição do tio ( x A) (x) é, então a roosição ( x A) (x) também é. Podemos afirmar, mesmo ue... ue: Quantificador Universal = Quantificador Existencial Generalizando: Sejam A 1, A 2,... A n conjuntos, x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n e (x 1, x 2,..., x n ) uma roosição envolvendo x 1, x 2,..., x n. Devemos uantificar cada x i searadamente. 1. ( n N)( m N) m > n é ois 2. ( n N)( m N) m > n é ois Cuidado! A ordem dos uantificadores não ode ser alterada!!! 3. ( x R)(!y R) x + y = 0 é ois 4. ( x R)( y R) x + y = 0 é ois 5. ( x R)( y R) x + y = y + x é ois 6. ( x R)( y R)( z R) (x + y) + z = x + (y + z) é ois 1.7 Negação de roosições uantificadas Seja A um conjunto e uma roosição em A. Sabemos ue a roosição ( x A) (x) é verdadeira se e somente se () = A e é falsa caso () A, ou seja, se existir x A tal ue (x) não é verdade. Assim: [ ( x A) (x) ] ( x A) (x) Analogamente, sabemos ue a roosição ( x A) (x) é verdadeira se e somente se () e é falsa caso () = ou seja, se ara cada x A, (x) não é verdade. Assim: [ ( x A) (x) ] ( x A) (x) 1. ( x R) x 2 0 é ois [ ( x R) x 2 0 ] ( x R) (x 2 0) ( x R)(x 2 < 0) é falso. 2. ( n N) (n + 1) é ar é... ois [ ( n N) (n + 1) é ar ] ( n N) ( (n + 1) é ar ) 3. ( x R) x R é... ois [ ( x R) x R ] ( n N) ( (n + 1) é ímar ) 10

11 ejamos o ue acontece com duas variáveis: Sejam A e B dois conjuntos, x A, y B e (x, y) uma roosição em A B. A roosição ( x A)( y B) (x, y) é verdadeira se ara cada ar ordenado (x, y) A B a roosição (x, y) for verdadeira; e será falsa se existir um ar ordenado (x, y) A B tal ue (x, y) é falsa. Assim: [ ( x A)( y B) (x, y) ] ( x A)( y B) (x, y) A roosição ( x A)( y B) (x, y) é verdadeira se existe um ar ordenado (x, y) A B a roosição (x, y) é verdadeira; e será falsa se não existir um tal ar ordenado, ou seja se ara cada (x, y) A B (x, y) for falsa. Assim: Similarmente obtemos: [ ( x A)( y B) (x, y) ] ( x A)( y B) (x, y) e [ ( x A)( y B) (x, y) ] ( x A)( y B) (x, y) [ ( x A)( y B) (x, y) ] ( x A)( y B) (x, y) Exercício: Negue as roosições abaixo. 1. ( n N)( m N) m > n 2. ( n N)( m N) m > n 3. ( x R)(!y R) x + y = 0 4. ( x R)( y R) x + y = 0 5. ( x R)( y R) x + y = y + x 6. ( x R)( y R)( z R) (x + y) + z = x + (y + z) 11