Devemosconsiderardoiscasos: 7 k ou7 k+1. Alémdisso, lembremo-nosdoseguintefato:

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1 Polos Olímicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível Prof. Samuel Feitosa Aula 18 Resíduos Quadráticos Definição 1. Para todos a tais que mdc(a,m) = 1, a é chamado resíduo quadrático módulo m se a congruência x a (mod m) tem solução. Se ela não tem solução, então a é chamado de resíduo não quadrático módulo m. Exemlo. Seja n um inteiro. Prove que se + 8n +1 é um inteiro, então é um quadrado erfeito. Se+ 8n +1éinteiro, onúmero 8n +1éumracionaleconsequentementedevemos ter que 8n +1 é o quadrado de um inteiro ímar, digamos: 8n +1 = (k +1) 8n +1 = 4k +4k +1 7n = k(k +1) Devemosconsiderardoiscasos: 7 k ou7 k+1. Alémdisso, lembremo-nosdoseguintefato: Se mdc(a,b) = 1, e a b = n então existem inteiros x e y tais que a = x e y = b. Como mdc(k,k +1) = 1, temos os dois casos ara analisar: Primeiro caso: { k = x (k +1)/7 = y Assim, 1 = (k + 1) k = 7y x. Analisando essa equação módulo 7, temos x 1 (mod 7). Entretanto, analisando os quadrados dos restos da divisão or 7, odemos notar que 1 não é um resíduo quadrático e consequentemente temos um absurdo. Segundo caso: { k/7 = x k +1 = y

2 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa Daí, + 8n +1 = +(k +1) = 4(k +1) = (y) e isso conclui o roblema. Em geral, se é um rimo da forma 4k+3, 1 nunca é resíduo quadrático. Para ver isso, suonha que existe x tal que: x 1 (mod ) (x ) ( 1)/ ( 1) ( 1)/ (mod ) x 1 1 (mod ). Isso contradiz o teorema de Fermat. Definição 3. Se denota um rimo ímar, então o símbolo de Legendre é definido or 1 se a é um resíduo quadrático, 1 se a não é um resíduo quadrático módulo, e 0 se a. Teorema 4. Se é um rimo ímar. Então a) a 1 (mod ) ( )( ) b ab b) = ( ) b c) a b (mod ) imlica que = ( ) ( a a ) b d) Se mdc(a,) = 1 então = 1 e = ( ) ( ) 1 1 e) = 1, = ( 1) 1 ( ) b Provemos inicialmente o item a) quando mdc(a,) = 1. Em virtude do teorema de Fermat, erceba que se mdc(a,) = 1 então: a 1 1 = (a 1/ +1)(a 1/ 1). Daí, a 1/ ±1 (mod ). Suonha que = 1, então existe x tal que x a (mod ) (x ) 1 a 1 x 1 a 1 Pelo teorema de Fermat, a última congruência nos diz que a 1 ( ) 1 (mod ). Suonha a agora que = 1, ou seja, que não existe x tal que x a (mod ). Assim, odemos

3 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa searar os números do conjunto {1,,..., 1} em ares (i,j) onde ij a (mod ) e i j. Daí, o roduto de todos esses ares é ( 1) a a... a (mod ) a 1 (mod ) Usando o teorema de Wilson, concluímos que a 1 1 (mod ). Se a, a 1 (mod ). Os demais itens seguem de a). 0 Exemlo 5. Suonha que é um rimo ímar. Seja n o menor não-resíduo quadrático ositivo módulo. Prove que n < 1+. Seja m o maior inteiro ositivo tal que mn >, ou seja, (m 1)n < < mn. Assim, 0 < mn < n e consequentemente: ( ) mn 1 = ( ) mn = ( ) ( ) m m = ( ) m = Daí, m n e Portanto, n 1 <. (n 1) < n(n 1) n(m 1) <. Teorema 6. (Lema de Thue) Sejam m um número natural e a um inteiro rimo com m, então existem inteiros x e y tais que: 1. 0 < x, y < m;. ax y (mod m). Demonstração. Considere o conjunto {au v u,v Z,0 u,v }. Como existem > tais ares (u,v), existirão (u 1,v 1 ) (u,v ) tais que au 1 v 1 au v (mod ) Sejam x = v 1 v e y = u 1 u. Claramente ii) está satisfeito. Por construção, x,y não odem ser ambos nulos e, caso um deles seja, o outro também o será. Logo i) também é verdade. 3

4 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa Proosição 7. Sejam D Z e m N inteiros relativamente rimos tais que D é um resíduo quadrático módulo m. Então existem inteiros k, x, y Z com 0 < k D e 0 < x, y < tais que: x +Dy = k Demonstração. Seja a tal que a D (mod ) e x,y como no teorema anterior com m =. Então, or um lado: e or outro lado, 0 < x +Dy < (1+D) x +Dy (a +D)y 0 (mod ) ( ) 3 Exemlo 8. Seja > 3 um rimo ímar tal que = 1, existem x e y tais que x +3y =. Pelo teorema anteiror, Exitem x,y,k tais que x + 3y = k com x, y. Assim, x +3y < 4. Temos tres casos a considerar: Primeiro caso: x +3y = 3. Devemos ter x 0 (mod 3) e x = 3x 0. Daí, 3x 0 +y =. Segundo caso: x +3y =. Como é ar, devemos ter x e y ambos ímares ou ambos ares. Em qualquer caso, x +3y será múltilo de 4 e consequentemente. Isso é um absurdo. Terceiro caso: x +3y =. Não há o que fazer nesse caso. Teorema 9. (Lema de Gauss ) Seja um rimo ímar e a um inteiro tal que mdc(a,) = 1, Considere os inteiros a,a,..., a( 1) e seus restos módulo. Se n denota o número ( ) desses restos que excedem a então = ( 1) n Demonstração. Sejam r 1,r,...r n os resíduos que excedem / e sejam s 1,s,...,s k os resíduos restantes. Naturalmente todos esses restos são distintos e nenhum deles é nulo. Considere agora os números da forma r i e erceba que 0 < r i < /. Se tivéssemos r i s j (mod ) ara algum ar (i,j), também teríamos r i +s j 0 (mod ) e or conseguinte dividiria a soma de dois números do conjunto {a,a,..., a( 1) }. Entretanto, isso é um absurdo orque a soma de quaisquer dois número desse conjunto é da forma ak com 0 < k < e a não é divisível or. Logo, os números da forma r j são todos distintos dos números da forma s i e todos eles ertencem ao conjunto {1,,...( 1)/}. 4

5 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa Como n+k = ( 1)/, odemos concluir que: ( r 1 )( r )...( r n )s 1 s...s k = ( r 1 )( r )...( r n )s 1 s...s k ( 1) n r 1 r...r n s 1 s...s k ( 1) n a a a 1... (mod ) (mod ) (mod ) ( 1) n a ( 1)/ 1 (mod ) ( 1) n a ( 1)/ (mod ). Pelo critério de Euler, o resultado segue. Teorema 10. Se é um rimo ímar e mdc(a,) = 1, então 1 ja e ( ) = ( 1) 1 8. = ( 1) t onde t = Demonstração. Consideraremos novamente o conjunto {a,a,..., a( 1) } e usaremos a mesma notação do teorema anterior. Quando o inteiro ja é dividido or, obtemos como quociente o número ja/. Assim, odemos escrever: e ( 1)/ ja = ( 1)/ ja/ + n r j + k s j ( 1)/ j = n ( r i )+ i=1 = n n r j + Substituindo na equação anterior, obtemos: ( 1)/ (a 1) j = ( 1)/ n s j + k s j k s j ja/ n + n r j Como ( 1)/ j = 1, 8 5

6 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa temos: (a 1) 1 8 ( 1)/ ja/ n (mod ) Se a é ímar, n ( 1)/ ja/ (mod ). Se a =, isto imlica que n ( 1)/8 (mod ) ois j/ = 0 ara 1 j ( 1)/. O resultado decorre do teorema anterior. Exemlo 11. Encontre todos os inteiros ositivos n tais que n 1 é divisível or 3 e n 1 3 tem um múltilo da forma 4m +1 ara algum natural m. Teorema 1. (Lei da recirocidade quadrática) Se e q são rimos ímares distintos, então ( )( ) q = ( 1) 1 q 1 q Demonstração. Seja S o conjunto de todos os ares de inteiros (x,y) satisfazendo 1 x ( 1)/,1 y (q 1)/. O conjunto S ossui ( 1)(q 1)/4. Suonha que exista um ar (x,y) tal que qx = y. Como mdc(,q) = 1, segue que q y e x. Entretanto, nos internvalos mencionados não existem tais múltillos. Searemos então esse conjunto em dois outros mutuamente exclusivos: S 1 = {(x,y) qx > y} S = {(x,y) qx < y} S 1 S Os números de ares em S 1 e S são total de ares, temos: ( 1)/ x=1 qx/ e (q 1)/ y=1 y/q. Fazendo a contagem ( 1)/ x=1 qx/ + (q 1)/ y=1 y/q = 1 e, em virtude do teorema anterior, obtemos: ( )( ) q = ( 1) 1 q 1 q q 1 6

7 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa Exemlo 13. Mostre que x y +3 nunca é um inteiro quando x e y são inteiros. Exemlo 14. Seja q = 4 n +1 onde n é um inteiro ositivo. Prove que q é um rimo se, e somente se, 3 q 1 1 (mod q) Se q é um rimo, então q (mod 3) e ela lei da recirocidade quadrática temos: 1 = ( 1) (q 1)/ 1 ( ) 3 (q ) = q 3 ( ) 3 = ( 1) q Em virtude dessa equação e do critério de Euler, temos: ( ) 3 1 = q 3 q 1 (mod q) Recirocamente, se 3 q 1 1 (mod q), então ord q 3 = 4 n. Como ord q 3 ϕ(q), teremos ϕ(q) = q 1, ou seja, q é rimo. Problemas Proostos Problema15. Prove que se é um rimo maior que 3 então a soma dos resíduos quadráticos módulo é divisível or. Problema 16. Mostre que se a é um resíduo quadrático módulo m, e ab 1 (mod m), então b é também um resíduo quadrático. Prove que o roduto dos resíduos quadráticos módulo é congruente a +1 ou 1 módulo. Problema 17. Prove que se é um rimo da forma 4k+3, e se m é o número de resíduos quadráticos menores que, então: ( ) ( 1) m+k+1 (mod ) ( 1) ( 1) m+k (mod ) Problema 18. Seja q = 4 n +1 onde n é um inteiro ositivo. Prove que q é um rimo se, e somente se, 3 q 1 1 (mod q) Problema 19. Os inteiros ositivos a e b são tais que os números 15a + 16b e 16a 15b são ambos quadrados de inteiros ositivos. Qual é o menor valor ossível que ode ter o menor desses números? 7

8 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa Problema 0. (Olimíada Búlgara) Sejam m e n números naturais tais que é um inteiro. Prove que A é ímar. Problema 1. A = (m+3)n +1 3m a) Prove que ara qualquer rimo, o número ( ) é divisível or. b) Mostre que se é um rimo e 0 m < n < então ( ) n+m ( 1) m+n+1 (mod ) m+n c) Prove que ara qualquer rimo > 3, o número ( 1 1) 1 é divisível or 3. Problema. Caracterize todos os inteiros que odem ser exressos na forma: a) a +ab+b b) a +b Problema 3. Se n é um inteiro tal que 7n é da forma a + 3b, rove que n também é dessa forma. Problema 4. Encontre todos os inteiros ositivos n ara os quais existe um inteiro m tal que m +9 é um múltilo de n 1. Problema 5. Mostre que dado qualquer rimo, existem inteiros x, y, z, w satisfazendo x +y +z w = 0 e 0 < w < Problema 6. Mostre que é um divisor de ambos os números da forma m +1, n +, se e somente se é um divisor de algum número da forma k Problema 7. Seja A o conjunto de todos os inteiros da forma a + b, onde a e b são inteiros e b 0. Mostre que é um número rimo e A, então A. Problema 8. Seja um rimo da forma 4k +1. Mostre que: 1 ( ) k k k=1 = 1. Problema 9. Mostre que se x não é divisível or 3, então 4x + 3 tem elo menos um fator rimo da forma 1n+7. Mostre que existem infinitos rimos dessa forma. Problema 30. Suonha que φ(5 m 1) = 5 n 1 com m,n números naturais. Prove que mdc(m,n) > 1 Problema 31. (Coréia 001) Seja f : Z Z. Dado um rimo ímar, encontre todas as funções f : Z Z satisfazendo as seguintes condições: 8

9 POT 01 - Teoria dos Números - Nível - Aula 18 - Samuel Feitosa REFERÊNCIAS 1. Se m n (mod ) com m,n Z, então f(m) = f(n). f(mn) = f(m)f(n) ara quaisquer m,n Z. Problema 3. Para a congruência z D (mod a ), onde D é ímar e a é um natural, ser solúvel, é necesário e suficiente que D seja da forma k+1,4k+1 ou 8k+1 de endendo de a = 1,a = ou a >. Problema 33. (OBM 007) Para quantos numeros inteiros c, 007 c 007, existe um inteiro x tal que x +c e múltilo de 007? Problema 34. (Teorema de Wolstenhome) Se 5 é um rimo, mostre que o numerador da fração é múltilo de. Problema 35. Se é um rimo maior que 3 e q = ( ) + 1 ( ) +..., rove que 3 ( ) q é divisível or. (Dica: Use a identidade de Catalão e o teorema de Wolstenhome) Referências [1] E. Carneiro, O. Camos and F. Paiva, Olimíadas Cearenses de Matemática (Níveis Júnior e Senior), Ed. Realce, 005. [] S. B. Feitosa, B. Holanda, Y. Lima and C. T. Magalhães, Treinamento Cone Sul 008. Fortaleza, Ed. Realce, 010. [3] D. Fomin, A. Kirichenko, Leningrad Mathematical Olymiads , MathPro Press, Westford, MA, [4] D. Fomin, S. Genkin and I. Itenberg, Mathematical Circles, Mathematical Words, Vol. 7, American Mathematical Society, Boston, MA, [5] I. Niven, H. S. Zuckerman, and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers. 9