Material de Apoio-Tecnologia em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas Prof Marcos do Nascimento - MATEMÁTICA DISCRETA I

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1 Material de Aoio-Tecnologia em Análise e Desenvolvimentos de Sistemas Prof Marcos do Nascimento - MATEMÁTICA DISCRETA I Cáitulo I- TEORIA DOS CONJUNTOS Introdução Oerações entre Conjuntos Álgebra de Conjuntos Conjuntos finitos, Princíio da Enumeração Classes de Conjuntos, Conjunto das Partes, Partições... 5 Caítulo II- NOÇÕES DE LÓGICA Introdução Proosições e Conectivos Tautologias e Contradições Equivalência Lógica Álgebra das Proosições Relações de Imlicação e Equivalência Quantificadores... 9 Caítulo III - Relações Produto Cartesiano Relações Relações Inversas Tios de Relações Relação de Equivalência Caítulo IV-Funções Definição Domínio e Imagem Injetividade e Sobrejetividade Função Inversa Comosição de Funções Funções Imortantes

2 Símbolos Cáitulo I- TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolo das Oerações : ertence : existe : A intersecção B : não ertence : não existe : A união B : está contido : ara todo (ou qualquer que seja) A - B: diferença de A com B : não está contido : conjunto vazio a < b: a menor que b : contém IN: conjunto dos números naturais : a menor ou igual a b : não contém Z : conjunto dos números inteiros a > b: a maior que b / : tal que Q: conjunto dos números racionais : a maior ou igual a b : imlica que I: conjunto dos números irracionais : a e b : se, e somente se IR: conjunto dos números reais : a ou b 1.1 Introdução No estudo da Teoria de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos rimitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Conceitos Primitivos Conjunto: reresenta uma coleção de objetos. I) O conjunto de todos os brasileiros. II) O conjunto de todos os números naturais. Em geral, um conjunto é denotado or uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. Elemento: é um dos comonentes de um conjunto. a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado or uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c,..., z. 2

3 Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz arte de um conjunto. I) José da Silva ertence ao conjunto dos brasileiros. II) 1 ertence ao conjunto dos números naturais. Símbolo de ertinência: Se um elemento ertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "ertence". Um símbolo matemático muito usado ara a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal: não ertence. Notações: muitas vezes, um conjunto é reresentado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica: Aresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a) A={a,e,i,o,u} b) IN={0,1,2,3,4,...} Descrição: O conjunto é descrito or uma ou mais roriedades. a) A={x / x é uma vogal} b) IN={x/ x é um número natural} Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado or A B, se todos os elementos de A também estão em B. Se A B é ossível que A=B. Quando A B, mas A B, dizemos que A é um subconjunto rório de B ou que A está roriamente contido em B e escrevemos A B. Conjunto vazio: é um conjunto que não ossui elementos. É reresentado or { } ou or Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: é um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é reresentado or uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo. Proriedades: I) Para todo conjunto A, tem-se A U III) Se A B e II) Para todo conjunto A, tem-se 1.2 Oerações entre Conjuntos União B C, então A C A A IV) A= B se e somente se A B e B A A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que ertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Intersecção A B = { x/ x A ou x B } A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que ertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = { x/ x A e x B } Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Comlementares 3

4 Todos os conjuntos considerados em cada situação são subconjuntos de um conjunto universo fixo, U. O C comlementar absoluto, ou simlesmente comlementar de um conjunto A, denotado or A, é o conjunto dos elementos que ertencem a U, mas não ertencem a A, isto é C A = {x/ x U, x A} O comlementar relativo de um conjunto B em relação a A, ou simlesmente a diferença entre A e B, denotado or A-B, é o conjunto dos elementos que ertencem a A, mas não ertencem a B, isto é, A-B = {x/ x A, x B} 1.3 Álgebra de Conjuntos Conjuntos munidos das oerações de união, intersecção e comlementar, satisfazem a várias leis ou identidades que serão listadas a seguir. Idemotência I) A A= A II) A A= A Associatividade I) ( A B) C= A ( B C) II) ( A B) C = A ( B C) Comutatividade I) A B= B A II) A B= B A Distributividade I) A ( B C) = ( A B) ( A C) II) A ( B C) = ( A B) ( A C) Identidade I) A = A III) A U = A II) A U = U IV) A = Involução I) ( A ) C = A Comlementares I) A A = U III) A A C = C II) U = IV) C = U Leis de DeMorgan I) C C C ( A B) = A B II) ( A B) C = A C B C 1.4 Conjuntos finitos, Princíio da Enumeração Um conjunto é dito finito se contém exatamente m elementos distintos, em que m denota algum inteiro não negativo. Caso contrário o conjunto é dito infinito. Por exemlo, o conjunto de letras do alfabeto é finito, enquanto o conjunto dos inteiros ositivos ares, {2,4,6,...} é infinito. A notação n(a) será usada ara denotar o número de elementos de um conjunto finito A Teorema : Se A e B são conjuntos finitos, então A B e A B são finitos e n(a B) = n(a) + n(b ) - n(a B) Podemos alicar esse resultado ara obter uma fórmula similar ara três conjuntos. Corolário: Se A, B e C são conjuntos finitos, então A B C também é e: n(a B C) = n(a) + n(b )+n(c) - n(a B)- n(a C) n(b C) + n(a B C) 4

5 1.5 Classes de Conjuntos, Conjunto das Partes, Partições Classes de Conjuntos Dado um conjunto S, odemos querer tratar de alguns de seus subconjuntos, isto é, estaríamos considerando um conjunto de subconjuntos. Quando isso ocorrer, vamos nos referir a uma classe de conjuntos ou coleção de conjuntos no lugar de um conjunto de conjuntos. Se considerarmos alguns dos conjuntos de uma determinada classe, usaremos os termos subclasse ou subcoleção. Exemlo: consideremos o conjunto S={3, 6, 8, 9}. Seja A a classe de subconjuntos de S que contêm exatamente três elementos de S. Assim: A = [{3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}, {6,8,9}] Logo os elementos de A são os conjuntos {3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}, {6,8,9}. Consideremos agora a classe B dos subconjuntos de S que contêm o número 3 e outros dois elementos de S. Assim: B = [{3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9}] Os elementos de B são os conjuntos {3,6,8}, {3,6,9}, {3,8,9} que são elementos também do conjunto A, logo o conjunto B é uma subclasse de A Conjunto das Partes Para um dado conjunto S, odemos falar de todos os subconjuntos de S. Essa classe é chamada de conjunto das artes de S e será denotada or Partes(S). O número de elementos de Partes(S) é dado or: Exemlo: Suonha que S ={1,2,3}. Então: Partes(S) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},{2,3}, S } Partições n(partes(s))= 2 n(s) Seja S um conjunto não vazio. Uma artição de S é uma subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos. Ou seja, uma artição de S é uma coleção {A i } de subconjuntos não vazios de S tais que: (i) Cada a em S ertence a algum dos A i. (ii) Os conjuntos em {A i } são disjuntos dois a dois, ou seja, se A A então i j A A =. i j Exemlo: consideremos o conjunto S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e a coleção de subconjuntos de S: A = [{1,3,5}, {2,6}, {4,8,9}] B = [{1,3,5}, {2,4,6,8}, {7,9}] Note que A não é uma artição de S, já que 7 ertence a S e não está em nenhum dos subconjuntos de A. Já B é uma artição de S. Caítulo II- NOÇÕES DE LÓGICA 5

6 2.1 Introdução A lógica matemática é de fundamental imortância em qualquer estudo em comutação e informática. Muitas demonstrações em matemática e muitos algoritmos em ciências da comutação usam exressões lógicas tais como: SE ENTÃO q ou SE OU q, ENTÃO E q Dessa forma, baseando-se na lógica booleana, desenvolvida or George Boole ( ), vamos estudar definições e roriedades que ermitirão ao aluno comreender não só a lógica matemática roriamente dita, mas também a lógica usada em rogramação ara linguagens esecíficas. 2.2 Proosições e Conectivos Uma roosição é uma construção (frase, sentença) à qual se ode atribuir juízo. Em lógica matemática, o tio de juízo é o verdairo-falso. Em outras alavras, roosição é uma sentença declarativa que ode ser falsa ou verdadeira, mas não ambas. Exemlos: I) 1+4 = 6 é uma roosição com valor lógico FALSO (F). II) Brasil é um aís. é uma roosição com valor lógico VERDADEIRO (V). III) 8 > 5 é uma roosição com valor lógico VERDADEIRO (V). IV) Faça a lista de matemática. não é uma roosição É ossível construirmos roosições mais comlexas comondo roosições através de oeradores lógicos, também chamados de conectivos. Vejamos: 2 I) 5 > 3 e 2 é uma raiz da equação x 5x+ 6= 0 II) Porto Alegre é a caital do Paraná ou Santos é caital do Rio de Janeiro III) -14 não é um número natural IV) Se Belo Horizonte é a caital de Minas Gerais, então -12 < -14 V) A= B se e somente se A B e B A Note que nos exemlos acima foram usados cinco conectivos ou oeradores lógicos que estudaremos com mais detalhe a seguir, são eles: e, ou, se-então e se-somente-se. Conjunção: q Quaisquer duas roosições odem ser combinadas ela alavra e ara formar uma roosição comosta chamada de conjunção. Simbolicamente: q (Lê-se e q ) Observe que a conjunção q reflete uma noção de simultaneidade ara ser verdadeira. Dessa forma a roosição comosta q é: Verdadeira, aenas quando e q são verdadeiras; Falsa, em qualquer outro caso. Tal fato é mais bem visualizado, usando-se uma tabela-verdade que descreve os valores lógicos de uma roosição em termos das ossíveis combinações dos valores lógicos das roosições comonentes e dos conectivos usados. Dessa forma, ara cada combinação de valores-verdade e de conectivos, a tabelaverdade fornece o valor verdade da exressão resultante. No caso da conjunção q, temos a seguinte tabela-verdade: Disjunção: q q q V V V V F F F V F F F F Figura 1: Tabela-verdade conjunção 6

7 Quaisquer duas roosições odem ser combinadas ela alavra ou ara formar uma roosição comosta chamada de disjunção. Simbolicamente: q (Lê-se ou q ) Observe que a disjunção q reflete a noção de que elo menos uma (eventualmente as duas) das roosições comonentes deve ocorrer ara que a resultante seja verdadeira. Dessa forma, a roosição comosta q é: Verdadeira, quando elo menos uma das roosições é verdadeira; Falsa, somente quando simultaneamente e q são falsas. q q V V V V F V F V V F F F Figura 2: Tabela-verdade disjunção Negação: ~ Dada qualquer roosição, outra roosição, denominada negação de, ode ser formada inserindo a alavra não. Simbolicamente: ~ (Lê-se não ) No caso da negação tem-se Se é verdadeira, então ~ é falsa; Se é falsa, então ~ é verdadeira. V F ~ F V Figura 3: Tabela-verdade negação Condição: q Muitas declarações, articularmente em matemática, são da forma se então q. Tais declarações são chamadas de condicionais. Simbolicamente: q (Lê-se se então q ) Observe que a condição q reflete a noção de que, a artir de uma remissa verdadeira, obrigatoriamente deve-se chegar a uma conclusão verdadeira. Por outro lado, artindo de uma remissa falsa, qualquer conclusão ode ser considerada. Dessa forma, a roosição q é: Falsa, quando é verdadeira e q é falsa; Verdadeira, caso contrário. q q V V V V F F F V V F F V Figura 4: Tabela-verdade condição 7

8 Bicondição: q Outra declaração comum em matemática é da forma se e somente se q. Esse tio de declaração é denominada bicondicional. Simbolicamente: q (Lê-se se e somente se q ) Neste caso a declaração bicondicional reflete a condição nos dois sentidos, isto é, considera simultaneamente: Sentido de ida : é remissa e q é conclusão; Sentido de volta : q é remissa e é conclusão. Dessa forma, considerando a noção de condição já vista anteriormente e considerando que esta é nos dois sentidos, a roosição comosta q é: Verdadeira, quando e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; Falsa, quando as roosições e q ossuem valor-verdade distintos. q q V V V V F F F V F F F V Figura 5: Tabela-verdade bicondição 2.3 Tautologias e Contradições Algumas roosições contêm aenas o valor lógico VERDADEIRO (V) na última coluna de suas tabelas-verdade. Tais roosições são chamadas de tautologias. Analogamente se uma roosição é chamada de contradição se contiver aenas o valor lógico FALSO (F). 2.4 Equivalência Lógica Duas roosições P(,q,r...) e Q(,q,r...) são ditas logicamente equivalentes, ou simlesmente equivalentes, e indicamos or P(, q, r...) Q(, q, r...) se elas ossuírem tabelas-verdade idênticas. 2.5 Álgebra das Proosições As roosições satisfazem determinadas leis. Seguem algumas delas: I) a) b) (Idemotência) II) a) ( q) r ( q r) b) ( q) r ( q r) (Associatividade) III) a) q q 8

9 b) q q (Comutatividade) IV) a) ( q r) ( q) ( r) b) ( q r) ( q) ( r) (Distributividade) V) a) F V V b) V F F ( Identidade) VI) a) ~ ~ V F b) ~ F ~ F V (Comlementares) VII) ~~ (Involução) VIII) a) ~ ( q) ~ ~ q b) ~ ( q) ~ ~ q (Leis de DeMorgan) 2.6 Relações de Imlicação e Equivalência Os conectivos de condição e bicondição induzem as relações de imlicação e de equivalência entre fórmulas, resectivamente. A relação de imlicação está diretamente relacionada com o conceito de teorema, já a relação de equivalência ermite definir a noção de mesmo significado entre duas fórmulas (sintaticamente) diferentes. Relação de Imlicação: sejam e q duas fórmulas. Então imlica q, denotado or: q, se e somente se, q é uma tautologia. Relação de Equivalência: sejam e q duas fórmulas. Então é equivalente a q, denotado or: q, se e somente se, q é uma tautologia. 2.7 Quantificadores Proosição sobre um Conjunto: seja A um conjunto, uma roosição sobre A é uma roosição cujo valor lógico deende do elemento x A considerado. Quantificador: com freqüência, ara uma determinada roosição (x), é desejável quantificar os valores de x que devem ser considerados. Assim, os seguintes quantificadores são usados em lógica: Quantificador Universal: simbolizado or, que, quando associado a uma roosição (x), é denotado como segue: x A, (x).(lê-se ara todo x ertencente a A, (x)). Quantificador Existencial: simbolizado or, que, quando associado a uma roosição (x), é denotado como segue: x A, (x). (Lê-se Existe x ertencente a A, (x)). Seja (x) uma roosição lógica sobre um conjunto A. Então: I) (Quantificador Universal) A roosição x A, (x) é: VERDADEIRA, se o conjunto verdade for igual ao conjunto A; FALSA, caso contrário. II) (Quantificador Existencial) A roosição x A, (x) é: 9

10 VERDADEIRA, se o conjunto verdade for não vazio; FALSA, caso contrário Produto Cartesiano Caítulo III - Relações Considere dois conjuntos arbitrários A e B. O conjunto de todos os ares ordenados (a,b), onde a A e b B, é chamado de roduto cartesiano de A e B. Uma designação abreviada desse roduto é A B, que ode ser lida como A cartesiano B. Por definição: A B={(a,b): a A e b B} Exemlo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o roduto cartesiano A B, terá 12 ares ordenados e será dado or: A B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)} Observações: A A=A 2 n(a B) = n(a).n(b) A B B A 3.2 Relações Definição: Sejam A e B conjuntos. Uma relação binária ou, simlesmente, relação de A ara B é um subconjunto de A B. Suonha que R é uma relação de A ara B. Então R é um conjunto de ares ordenados onde cada rimeiro elemento ertence a A e cada segundo elemento ertence a B. Assim se: (a,b) R;dizemos que a é R-relacionado a B, escrevendo arb. (a,b) R; dizemos a não é R-relacionado a b, escrevendo arb. Se R é uma de um conjunto A ara si mesmo, isto é, se R é um subconjunto de A A=A 2, então dizemos que R é uma relação em A. O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os rimeiros elementos de um ar ordenado que ertence a R, e a imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. Exemlo: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z}, e seja R ={(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A ara B, uma vez que R é um subconjunto de A B. Com reseito a esta relação tem-se: D(R)= {1,3} e Im(R)= {y,z}. 3.3 Relações Inversas 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz or: Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada or R -1, é definida de B em A R -1 = {(b,a): (a,b) R } 10

11 Exemlo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em A B, definida or R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)} Então: R -1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Tios de Relações Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, ara todo a A: (a,a) R, isto é, ara todo a A:aRa. Portanto, R não é reflexiva se existe a A e (a,a) R Exemlo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada or: R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,c), (a,c)} Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que a está relacionado com b, imlicar necessariamente que b está relacionado com a, ou seja: quaisquer que sejam a A e b A tal que (a,b) R, segue que (b,a) R. Logo, R não é simétrica se existe (a,b) R, mas (b,a) R. Exemlo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} Transitiva: Uma relação R é transitiva, se a está relacionado com b e b está relacionado com c, imlicar que a deve estar relacionado com c, ou seja: quaisquer que sejam a A, b A e c A, se (a,b) R e (b,c) R então (a,c) R.. Logo R não é transitiva se existem a, b e c A tais que (a,b) R e (b,c) R mas (a,c) R. Exemlo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)} Anti-simétrica: Uma relação R em um conjunto A é anti-simétrica se (a,b) e (b,a) R então, a=b. Portanto, não é anti-simétrica se existem a, b A tais que (a,b) e (b,a) R, mas a b. Exemlo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) } 3.5-Relação de Equivalência Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Isto é, R é uma relação de equivalência em A se tem as seguintes roriedades: 1) Para todo a a A, ara. 2) Se arb, então bra. 3) Se arb e brc, então arc. 11

12 Exemlo: Se A={a,b,c} então a relação R em A, definida abaixo, é de equivalência: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) } Caítulo IV-Funções 4.1 Definição Sejam A e B conjuntos. Uma função de A em B é um maeamento de exatamente um elemento de B ara cada elemento de A. Podemos dar uma definição alternativa: uma função de A em B é um subconjunto de A B, onde cada elemento de A aarece exatamente uma única vez como rimeiro comonente do ar ordenado. Escrevemos f (a) = b se b é o único elemento de B associado ela função f ao elemento a de A. Se f é uma função de A em B, escrevemos f : A B. 4.2 Domínio e Imagem Se f é uma função de A em B dizemos que A é o domínio de f e B é o contradomínio de f. Se f (a) = b, dizemos que b é a imagem de a e a é a ré-imagem de b. O conjunto imagem, denotado or Im(f), de f é o conjunto de todas as imagens dos elementos de A. A definição comleta de uma função requer que se forneça seu domínio, seu contradomínio e associação (ou maeamento). Essa última ode ser fornecida através de: uma descrição verbal; um gráfico; uma equação; ou uma coleção de ares ordenados. Seja S A e seja f : A B. A imagem de S é o subconjunto de B que contém as imagens dos elementos de S. Denotamos a imagem de S or f (S), de forma que f (S) = {f (s)/ s S}. 4.3 Injetividade e Sobrejetividade Uma função f : A B é injetora (ou injetiva, ou um-ara-um) se nenhum elemento de B for imagem or f de dois elementos distintos de A. Ou seja, f é injetora se f ( a) = f ( a' ) imlicar a= a'. Uma função f : A B. é sobrejetora (ou sobrejetiva) se o conjunto imagem de f é igual ao seu contradomínio. Ou seja f ( A) = B. Uma função f : A B é bijetora (ou bijetiva) se for ao mesmo temo injetora e sobrejetora. 4.4 Função Inversa Seja f uma função bijetora de um conjunto S ara um conjunto B. A função inversa de f, denotada or f 1, é a função que associa a um elemento b B, um único elemento a A, de forma que se f (a) = b, então f 1 (b) = a. 4.5 Comosição de Funções Seja g uma função de A em B e seja f uma função de B em C. A comosição das funções f e g, também chamada da função comosta de f com g. denotada or f o g é definida como a seguir: (f o g)(a) = f (g(a)) 4.6 Funções Imortantes Função Floor e Ceiling 12

13 A função floor ou função chão associa ao número real x o maior inteiro que é menor ou igual a x. O valor x. A função ceiling ou função teto associa ao número real x o da função floor em x é denotado or menor inteiro que é maior ou igual a x. O valor da função ceiling em x é denotado or x. Exemlos: 3,14 = 3. 8,5 = 9 3,14 = 4 8,5 = 8 4,6 = 4 4,6 = Função Valor Inteiro e Valor Absoluto Seja x um número real qualquer. O valor inteiro de x, escrito INT(x), converte x em um inteiro deletando (truncando) a arte fracionária de um número. Exemlo: INT(4,18) = 4 INT(-9,5) = -9 INT(6,95) = 6 O valor absoluto de um número real x, denotado or ABS(x) ou x é definido como sendo o maior dos valores entre x e x. Portanto, ABS(0) =0 e, ara x 0, ABS(x) = x ou ABS(x) = -x, deendendo de x ser ositivo ou negativo. Exemlo: 12 = 12 5 = 5 4 = 4 4,45 = 4, Função Resto Seja k um inteiro qualquer e seja M um inteiro ositivo. Então: k(mod M) (lê-se k módulo M) denotará o resto inteiro de k dividido or M. Mais exatamente, k(mod M) é o único inteiro r tal que: k= M.q+r em que 0 r< M Se k é ositivo, basta dividir k or M e obter o resto r. Portanto: 25(mod 7) = 4 20 (mod 4) = 0 35 (mod 11) = 2 Se k é negativo, divida k or M ara obter o resto r. Portanto, k (mod M) = M r, quando r 0. Assim: -26 (mod 7) = 7-5 = (mod 8) = 8-3 = 5-39(mod 3) = 0 BIBLIOGRAFIA LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, GERSTING, Judith L, Fundamentos Matemáticos ara Ciência da Comutação, 4ª edição, São Paulo: LTC, MENEZES, Paulo B. Matemática Discreta ara Comutação e Informática. 3ª Ed. Porto Alegre, SCHEINERMAN, Edward R., Matemática Discreta-Uma Introdução. 2ª ed., Cengage Learning,