Somas de números naturais consecutivos

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1 Julho nº 5 Somas de números naturais consecutivos António Pereira Rosa Escola Secundária Maria Amália Vaz de Carvalho, Lisboa. Introdução O objectivo deste trabalho é abordar o roblema da reresentação de números naturais or meio de somas de dois ou mais números naturais consecutivos. Estuda-se a ossibilidade e a unicidade de uma tal reresentação e descrevem-se algoritmos ara a obter; veremos ainda uma caracterização menos conhecida dos números rimos ímares. Utilizam-se aenas ferramentas matemáticas muito simles, como algumas roriedades das rogressões aritméticas e roriedades elementares de divisibilidade em IN.. O roblema da reresentação É óbvio que há números naturais que não odem ser escritos como soma de naturais consecutivos, como e 4. Por outro lado, é claro que qualquer número ímar maior que ode ser escrito nesta forma: se n é ímar, n= C n C n, sendo C(n) a característica de n. Esta reresentação como soma de duas arcelas é única (um exercício simles, que assim, o conteúdo deste trabalho é acessível, elo menos em arte, a alunos do º ano (Matemática A) e ode ser aroveitado no estudo do Tema III (Sucessões Reais) dessa discilina. Temos mais dúvidas quanto à sua utilidade ara alunos de Matemática B; em todo o caso, a sua aresentação terá de ser adiada ara o Tema II do º ano. ara evitar trivialidades, só consideraremos somas com duas ou mais arcelas; a generalidade dos alunos considera absurdas somas com uma só arcela. se ode roor aos alunos) e, evidentemente, é imossível ara números ares. No que se segue, vão ser utilizados os chamados números triangulares, 3, 6, 0, 5,,... que são definidos or nn ( ) T n = K n =. É óbvio que todos estes números, à exceção de, admitem uma reresentação do tio que estamos a considerar. Por exemlo, T 5 =5=345=78; estas igualdades mostram que a reresentação não é, em geral, única. O resultado rincial é o seguinte: Teorema Um número natural ode ser escrito como uma soma de números naturais consecutivos se e só se não for uma otência de. Demonstração Seja N um número natural que não é otência de ; então, ele ode ser escrito na forma N = m, sendo a maior otência de que divide N e m o maior factor ímar de N. Tem-se obviamente que m e 0. Consideremos agora a soma ( ) ( ) ( ) m m K m m m m (). Trata-se da soma de termos consecutivos de uma rogressão aritmética de razão, elo que o seu valor é 44

2 Julho nº 5 = m m m m ( m ) = N. Se alguns dos números inteiros que aarecem na soma () forem negativos, eles anulam-se com os rimeiros números naturais que aarecem na exressão, sobrando semre elo menos as duas últimas arcelas. Com efeito, se ficasse aenas a última, resultaria que m= N = ( m ) donde =, o que é absurdo. Podemos assim escrever o número N na forma de uma soma de números naturais consecutivos. Recirocamente, se uma otência udesse ser escrita como soma de m números naturais consecutivos, ter-se-ia ( ) = n ( n ) K n m n m, ara um certo natural n. Viria então ( ( )) = = ( ) = n ( n ) K n m n m = m n n m mn m Ora a diferença dos dois factores n m e m é o número ímar n, elo que um deles deve ser ímar; como são ambos diferentes de ( m > e n > 0, or hiótese, o que mostra logo que n m ), segue-se que tem um factor ímar maior que, o que é absurdo.. rático se reararmos que estamos a somar números inteiros consecutivos desde m até m; se o rimeiro for ositivo, o resultado é imediato, a soma vai de m até m; se for negativo, a soma que nos interessa começará em m e terminará em m. No exemlo anterior, m = = 8, elo que devemos começar em m 8 9 e terminar em m = = 6. Vem assim que 00=903456, como anteriormente. Exercício Escreva 76 como soma de naturais consecutivos. Exercício Justifique que qualquer número natural que não seja uma otência de é triangular ou é dado ela diferença de dois números triangulares; exemlifique com 76. Observação O teorema ode ser rovado recorrendo aos números triangulares. Para isso, basta estudar a equação diofantina Tx Ty = N, sendo N o número a reresentar. A demonstração é, no entanto, mais extensa e difícil que a aresentada. É de observar que este teorema roorciona um método ara obter uma reresentação do tio em análise. Por exemlo, se N = 00 = ( ) vem, usando as notações anteriores, = e m =, donde: ( ) ( ) K ( 4) ( 5) K ( ) = 00 = K 0 / / / = / 8 ( / 7) K / 0 K = = O método é, frequentemente, muito moroso (exerimente-se N = ) mas torna-se bastante mais Exercício 3 Escreva um rograma de comutador que, dado um natural N, aresente uma reresentação como soma de naturais consecutivos (ou que indique que tal reresentação é imossível). Aresentamos em seguida um rocesso diferente ara resolver o roblema desta reresentação, recorrendo a um exemlo detalhado. Exemlo Escrever 05 como soma de naturais consecutivos. 45

3 Julho nº 5 Pretendemos determinar os naturais m e de modo que 05 = m ( m ) K m. Pela fórmula que ermite calcular a soma de termos consecutivos numa rogressão aritmética, vem ou ainda m ( m ) (( m ) m ) = 05 ( m ) ( ) = 0 () Parece então razoável considerar os 6 divisores distintos de 0 (como 0= 3 5 7, 0 tem ( ) ( ) ( ) ( ) = 6 divisores; ver tabela no fim do exemlo), agruados em ares cujo roduto seja 0 e igualar cada um dos factores do rimeiro membro de () aos dois elementos de cada ar. Porém, um ouco de reflexão mostra que se está a fazer muito trabalho ( ) = é ímar, um desnecessário: como m m dos factores m e é ímar e o outro é ar. Além disso, é óbvio que m >. Assim, temos aenas de considerar os casos = 0 = 70 = 4 = 30 m = 05 m = 35 m = m = que nos dão as soluções = 0 = 05 = = 5 = = 4 = 6 = 34 = 9 = = 5 = 9 = 3 = 5 = 6 = Desrezando a rimeira solução, obtém-se finalmente 05 = = = = 5 53 = = = A última solução exrime recisamente o facto de 05 ser um número triangular: 05 = T 4. É de observar ainda que o número de soluções oderia ser revisto: na verdade, ao alicarmos o método, as exressões e m ercorrem sucessivamente os 8 divisores ímares de 0; como devemos excluir a solução trivial 05 = 05, segue-se que há 8 =7 soluções distintas. Divisores de Tabela Exercício 4 Escreva como soma de números naturais consecutivos os números 3, 5, 00, 400 e 000, elo rocesso do exemlo, começando or estimar em cada caso o número de soluções. Exercício 5 Tente demonstrar o teorema elo rocesso sugerido no exemlo. Exercício 6 Aresente um método ara resolver (em números naturais, é claro) a equação de Pell degenerada x n y =α, onde n e α são números naturais dados; exemlifique com x 4y = 36. Exercício 7 Procure obter uma fórmula ara estimar o número de arcelas da reresentação com maior número de arcelas de um número n dado. 46

4 Julho nº 5 3. Uma caracterização dos números rimos ímares Ao resolver o exercício 4, o leitor terá talvez notado que o número rimo ímar 3 tem aenas uma reresentação, a saber 3=; como observámos anteriormente, todo o número ímar maior que admite uma reresentação deste tio. Sucede que o roblema das reresentações como soma de números naturais consecutivos leva a uma caracterização dos números rimos ímares. Tem-se, com efeito: Teorema Um número ímar maior que é rimo se e só se não uder ser escrito como soma de três ou mais números naturais consecutivos. Demonstração Comecemos or suor que n é rimo, com vista a rovar que não ode ser escrito como soma de três ou mais números naturais consecutivos. Vamos rovar o contra- -recíroco: se n uder ser escrito como soma de três ou mais números naturais consecutivos, então n não é rimo. ( ) Seja n= m m K m t, sendo m e t números naturais, com t. Segue-se que n= t m tt. Dois casos se odem dar: (i) t é ímar. (ii) t é ar. t No rimeiro caso, é óbvio que t é ar e ortanto t é natural. Vem então que n= t m o que mostra que n não é rimo, ois tanto t como m t são números naturais maiores do que. Anuncie aqui! Já rearou que um anúncio na Gazeta é visto or mais de leitores, todos eles otenciais interessados em Matemática? Nenhum se deserdiça! A Gazeta é o local rório ara anunciar tudo quanto reseite a actividades matemáticas: rogramas de Mestrado, rogramas de Doutoramento, livros, organização de worshos ou debates, acontecimentos que interesse dar a conhecer e que devam ficar registados ara o futuro... O que não é ublicitado é como se não existisse. E mais, ao anunciar na Gazeta contribui ara que esta cumra a sua função de ser útil à comunidade matemática ortuguesa. Tabela de Preços Páginas Interiores Ímar Par ágina 590 Euros 490 Euros / ágina 390 Euros 90 Euros /4 ágina 0 Euros 70 Euros /8 ágina 0 Euros 0 Euros Cores: Ao reço indicado acresce 40%, tanto ara as áginas interiores como ara o verso da contra-caa. A ublicidade na contra-caa tem um reço único, seja ou não a cores, e não ode sobreor-se à barra laranja. Descontos Os Sócios Institucionais da Sociedade Portuguesa de Matemática têm direito a um desconto de 5%. É ossível enviar encartes. Para mais detalhes consultar a ágina na web: htt:// No segundo caso, escreva-se t=, sendo um número natural maior que. Vem então que Aos reços acima acresce % de IVA. 47

5 Julho nº 5 ( ) n= m = ( m ) e, tal como anteriormente, n não é rimo. Teorema 4 Um número ar ode ser escrito como soma de números ímares consecutivos se e só for divisível or 4. Para rovar a imlicação no outro sentido ( Se n não se ode escrever como soma de três ou mais números naturais consecutivos, então n é rimo ), vamos de novo recorrer ao contra-recíroco, mostrando que se n for comosto ímar, então ode ser escrito como soma de três ou mais números naturais consecutivos. As demonstrações são semelhantes às do Teorema e odem ser vistas em [SCY]. Agradecimento O autor agradece ao referee as sugestões aresentadas, que muito contribuíram ara a melhoria do texto. Seja ois n um número comosto ímar; então ode escrever-se n=qx, com q 3, e q números naturais ímares. Vejamos que n é soma de números naturais consecutivos, o rimeiro dos quais é q. Com efeito:. é ar, logo q é inteiro.. q, ois como q, vem q> donde se segue que q e que q > ; ortanto q. 3. q q q... = q q = = q = n, o que conclui a rova. 4. Observações finais Para terminar, e a título de curiosidade, vamos enunciar dois teoremas sobre reresentação de números naturais or meio de somas de números ímares consecutivos. Teorema 3 Qualquer número ímar comosto ode ser reresentado como soma de números ímares consecutivos; tal reresentação é imossível ara números rimos. 5. Referências [BA] Beiler, A. H. (964) - Recreations in the Theory of Numbers, New Yor, Dover Publications Inc. [NZM] Niven, I., Zucerman, H. e Montgomery, H. (99) - An Introduction to the Theory of Numbers, New Yor, John Wiley & Sons. [Ol] Oliveira, G. N. (98) - Resolução de Equações em Números Inteiros, Coimbra (notas de um curso integrado na Escola de Verão organizada ela Sociedade Portuguesa de Matemática). [PA] Carvalho e Silva, J. (Coord.) et al. (s/d) - Matemática A º ano, Lisboa, Ministério da Educação- Deartamento do Ensino Secundário (disonível em [PB] Carvalho e Silva, J. (Coord.) et al. (s/d) - Matemática B º ano, Lisboa, Ministério da Educação-Deartamento do Ensino Secundário (disonível em [SCY] Shlarsy, D. O., Chentzov, N. N. e Yaglom, I.M. (993) - The USSR Olymiad Problem Boo, New Yor, Dover Publications Inc. [WD] Wells, D. (987) - The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, London, Penguin Boos Ltd. 48