Espaços Uniformemente Convexos e Desigualdades

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Esaços Uniformemente Convexos e Desigualdades or ROSANE MARIA FYDRYZEWSKI Porto Alegre, 07 de março de 007

2 Dissertação submetida or Rosane Maria Fydryzewski como reuisito arcial ara obtenção do grau de Mestre em Matemática elo Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul Professor Orientador: Dr Leonardo Prange Bonorino Banca Examinadora: Dr Eduardo Henriue de Mattos Brietzke Dr Jaime Bruck Rioll Dr José Afonso Barrionuevo PPGMA-UFRGS) Data da Defesa: 07 de março de 007 Bolsista da Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNP

3 Agradecimentos Em rimeiro lugar uero agradecer à Deus or ter me dado força e saúde ara conseguir chegar até aui Quero agradecer em esecial à Jeferson Rodrigues Abreu, ue me acomanhou desde o início do mestrado Obrigada elo amor, comanheirismo, ela aciência, elas brincadeiras e or todo o aoio Obrigada também or fazer arte da minha vida, você sabe o uanto é esecial ara mim Em esecial, agradeço à Leonardo Prange Bonorino, ela orientação e aoio durante a dissertação Obrigada Aos rofessores da ós, Alexandre Tavares Baravieira, Jaime Bruck Rioll, Luis Gustavo Doninelli Mendes, Eduardo Henriue de Mattos Brietzke e Miguel Angel Alberto Ferrero Obrigada Quero agradecer à todos os colegas do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFRGS, Joyce, Cleonis, Adriana, Cintia e Taiane Em esecial aos colegas, Cícero Nachtigall ela amizade e elas horas de estudos Guilherme Pumi, elo exemlo de determinação, ela amizade, ela ajuda no L A TEXe or todo aoio Edson Werle in memorian), ela amizade, elos ensinamentos, elos conselhos Aesar do ouco temo de amizade ue tivemos, ara mim, você semre será um exemlo À toda a minha família, em esecial, à minha irmã Izolda Fydryzewski, elo aoio desde o início da minha graduação Obrigada Quero agradecer em esecial à Tatiane Bagatini, uma essoa iluminada ue Deus colocou em minha vida, você é como uma irmã ara mim Obrigada or tudo À Rosane, nossa secretária do Programa de Pós-Graduação Obrigada Quero agradecer à casa de estudante CEFAV, ela moradia gratuíta À CNP Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico) elo aoio financeiro Ao essoal da CEFAV, Tatiane, Simone, Daiane, Guilherme, Ricardo, Márcio e Marisa elo aoio e ela amizade Obrigada a todos Por fim uero agradecer à todas auelas essoas ue, de uma forma ou de outra, contribuiram ara esta fase da minha vida Obrigada a todos

4 Para minha mãe Joseha Fydryzewski, ela comreensão, aoio e elo exemlo de vida ue é Ela sabe o uão esecial é ara mim

5 Resumo No resente trabalho nós rovamos diversas desigualdades a reseito da convexidade uniforme e a suavidade uniforme ara os esaços L Muitas dessas desigualdades são análogas a resultados já conhecidos Posteriormente rovamos várias desigualdades também envolvendo a convexidade uniforme e a suavidade uniforme ara os esaços C Dentre estas desigualdades, rovamos a desigualdade ótima -uniformemente convexa ara os esaços L e C Abstract In this work we rove several ineualities regarding the uniform convexity and the uniform smoothness of L saces Some of them are analogous to well-known results We also rove several ineualities regarding the uniform convexity and the uniform smoothness of C saces One of them is the otimal -uniform convexity ineuality for L and C saces

6 Sumário Introdução Conceitos Preliminares 3 Definições e Teoremas 3 Esaços Uniformemente Convexos e Uniformemente Suaves 7 Esaços Uniformemente Convexos e Uniformemente Suaves 7 Módulos de Convexidade e Suavidade de um Esaço de Banach 3 Teorema de Lindenstrauss 6 3 Convexidade e Suavidade Uniforme nos Esaços L 8 3 Desigualdades de Clarkson 8 3 Convexidade e Suavidade Uniforme dos Esaços L 7 33 Esaços r-uniformemente Convexos e r-uniformemente Suaves 8 4 Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa ara Esaços L 36 4 Desigualdade de Hanner 36 4 Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa Convexidade - Uniforme do Esaço de Hilbert Dualidade entre Convexidade e Suavidade Uniforme 45 5 Esaços C 53 5 Definições e algumas roriedades sobre o traço de uma Matriz 53 5 Desigualdades de Clarkson Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa 6 i

7 Introdução O conceito de convexidade uniforme e sua roriedade dual, a suavidade uniforme, têm um ael imortante em Análise A noção de convexidade uniforme foi introduzida or James A Clarkson em 936 A artir de suas desigualdades obtemos a convexidade e a suavidade uniforme dos esaços L A noção de suavidade uniforme foi introduzida or Marlon M Day em 944 Day rovou ue um esaço de Banach X é uniformemente suave se e somente se seu dual X é uniformemente convexo Esta dissertação tem or objetivo rovar várias desigualdades envolvendo convexidade uniforme e suavidade uniforme Para os esaços L e C Muitas dessas desigualdades já são conhecidas Mas o objetivo rincial do trabalho é rovar as desigualdades de Olof Hanner ara esaços L Essas desigualdades são conhecidas como desigualdades de Hanner Provar também a desigualdade ótima -uniformemente convexa ara os esaços L e C A rova da desigualdade ótima -uniformemente convexa ara os esaços C é devida a Elliott H Lieb O trabalho é dividido como segue O Caítulo aresenta conceitos reliminares ue são introduzidos sem demonstração No Caítulo definimos convexidade e suavidade uniformes, modulo de convexidade e de suavidade Mostramos ue se um esaço de Banach X é uniformemente convexo, seu dual X é uniformemente suave Provamos também ue o módulo de suavidade de X e seu dual X estão relacionados No Caítulo 3 definimos r-convexidade uniforme e rovamos diversas desigualdades ara esaços L, dentre elas as desigualdades de Clarkson Provamos também ue os esaços L são uniformemente convexos e suaves No Caítulo 4 mostramos as desigualdades de Hanner ara esaços L e a desigualdade ótima -uniformemente convexa ara esaços L Provamos ainda ue as desigualdades de Hanner também imlicam a convexidade e a suavidade uniforme ara esaços de funções

8 No Caítulo 5 aresentamos vários resultados ara os esaços C Provamos a desigualdade fácil de Clarkson e a desigualdade ótima -uniformemente convexa ara esaços C Todo o trabalho foi baseado em [6] e referências ali citadas

9 Caítulo Conceitos Preliminares Neste trabalho, denotamos or X, X e X o esaço de Banach, seu dual e seu bidual, resectivamente Definições e Teoremas Definição Esaços L ) Seja Ω, F, µ) um esaço de medida e X um conjunto mensurável Para definimos o esaço L de X or L X) := {f : X C; f é mensurável e f < + }, onde é a norma em L dada or f = X ) fx) dµ < +, Definição Esaços C ) Seja, denotamos or C o esaço de Banach dos oeradores comactos em um esaço de Hilbert H tal ue A = tr A A) ) < +, sendo o traço do oerador comacto B definido or tr B) = k Be k, e k ), onde {e k } é uma base ortonormal ualuer de H Teorema Desigualdade de Hölder) Sejam x i e y i C, ara i {,, m}, > e > tal ue + = Então, m m ) m ) x i y i x i y i i= i= i= 3

10 Prova: Veja [5] Teorema Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam x i e y i C, ara i {,, m}, então, Prova: Veja [5] m m x i y i i= i= ) m x i i= y i ) Teorema 3 Teorema de Hahn-Banach) Seja X um esaço vetorial real e uma função definida em X satisfazendo αx + α)y) αx) + α)y), ara todo x e y em X e todo α [0, ] Suonha ue λ é um funcional linear definido em um subesaço Y de X ue satisfaz λx) x), ara todo x Y Então, existe um funcional Λ, definido em X, satisfazendo Λx) x), ara todo x em X, tal ue Λx) = λx) ara todo x Y Prova: Veja [9] Corolário Seja y um elemento de um esaço vetorial normado X Então existe Λ X não nulo tal ue Prova: Veja [9] Λy) = Λ X y Definição 3 Sejam X e Y esaços de Banach, T : X Y x T x) um oerador linear limitado Então, T : Y X, definido or T l)x) = lt x) ara todo x X e ara todo l Y, linear e limitado, é chamado de oerador adjunto da alicação T Proosição O oerador adjunto T é linear, limitado e T = T Prova: [5] 4

11 Teorema 4 Derivação sob o sinal da integral) Dado U R n, aberto, seja f : U [a, b] R uma função com as seguintes roriedades: Para todo x U a função t fx, t) é integrável em a t b; f A i-ésima derivada arcial x i x, t) existe ara cada x, t) U [a, b] e a função f x i : U [a, b] R, assim definida, é contínua Então, a função ϕ : U R dada or ϕx) = b a fx, t) dt, ossui i-ésima derivada arcial em cada onto x U, sendo ϕ b f x) = x, t) dt x i a x i Prova: Veja [7] Em suma, ode-se derivar sob o sinal de integral, desde ue o integrando resultante seja uma função contínua Teorema 5 Seja X um esaço de Banach Para cada x X, seja x ) um funcional linear em X ue associa a cada λ X o número λx) Então a alicação J : X X x x é um isomorfismo isométrico de X em um subesaço de X Prova: Veja [9] Definição 4 Esaços Reflexivos) Se a alicação J definida como no Teorema 5, é sobrejetiva, dizemos ue X é um esaço reflexivo Observação Como J é um isomorfismo isométrico, uando X é reflexivo identificamos X e X Definição 5 Esectro) Seja T LX), o esectro de T, denotado or σt ), consiste de todos os λ C tais ue T λi) não é invertível em LX), onde I denota o oerador identidade 5

12 Definição 6 Resolvente) Seja T LX), então o conjunto ρt ) = {λ C : T λi) LX)} é chamado resolvente de T Teorema 6 Fórmula integral de Cauchy) Seja f analítica no fecho da região limitada or um caminho fechado C Se z 0 é um onto ualuer no interior de C, então fz 0 ) = fz) dz, πi C z z 0 onde a integração é efetuada no sentido ositivo ao longo de C Prova: Veja [5] 6

13 Caítulo Esaços Uniformemente Convexos e Uniformemente Suaves Neste caítulo vamos definir esaços uniformemente convexos e uniformementes suaves Definimos também o Módulo de Convexidade e o Módulo de Suavidade ara tais esaços Provamos alguns resultados imortantes ue envolvem tais definições e ue X é uniformemente convexo se, e somente se, X é uniformemente suave Mostramos também ue o módulo de convexidade ara um esaço normado X e o módulo de suavidade ara seu dual X estão relacionados Esaços Uniformemente Convexos e Uniformemente Suaves Definição Esaços Uniformemente Convexos) Um esaço normado X é dito uniformemente convexo se, ara todo ε > 0, existe δ > 0 tal ue, se x e y são vetores unitários em X, x y ε = x + y δ Definição Esaços Uniformemente Suaves) Um esaço normado X é dito uniformemente suave se, ara todo ε > 0, existe τ > 0 tal ue, se x e y são vetores unitários em X, x y τ = x + y ετ 7

14 Lema Seja X um esaço de Banach Então, X é uniformemente convexo se, e somente se, uaisuer seüencias x n e y n em X tais ue x n = y n = e lim x n + y n n = = lim x n y n = 0 n Prova: Suonhamos inicialmente ue X é uniformemente convexo Vamos suor or absurdo ue existem ε > 0 e subseüencias x nk de x n e y nk de y n em X tais ue x nk = y nk = e x n k + y nk 0, mas x nk y nk ε Isto não ocorre, ois o fato de x nk y nk ε e xn k +yn k 0 contradiz a hiótese de X ser uniformemente convexo Logo, lim n x nk y nk = 0 Recirocamente, suonhamos or absurdo ue X não é uniformemente convexo Então, ara algum ε > 0 existem seüencias x n e y n tais ue x n = y n = e x n + y n 0, e x n y n ε Mas isto é absurdo, ois o fato de x n y n ε contradiz a hiótese de lim n x n y n = 0 Logo, X é uniformemente convexo Lema Um esaço normado X é uniformemente suave se, e somente se, ara todo ε > 0, existe τε) > 0 tal ue, se x e y ertencem a X com x = e y τ, temos x + y + x y + ε y ) Prova: Vamos mostrar ue ) imlica ue X é uniformemente suave Suonhamos or absurdo ue X não é uniformemente suave Então existem ε > 0 e seüencias x n e y n tais ue x n = y n =, x n y n 0 e x n + y n < x n + y n ε x n y n ) Definindo S n = x n + y n, t n = x n y n, temos x n = S n + t n e y n = S n t n Com isso, ) se torna S n < S n + t n + S n t n ε t n, 8

15 ou seja, Defina Note ue S n + t n + S n t n > S n + ε t n 3) S n = S n = e Assim, or um lado temos S n S n e t n = t n S n t n = x n y n x n + y n n 0 S n + t n + S n t n = S n S n + t n S n + S n S n t n S n Por outro lado, = S n S n + t n + S n t n ) 4) S n + ε t n = S n S n + ε t n S n Substituindo 5) e 4) em 3), obtemos = S n + ε t n ) S n 5) S n + t n + S n t n > + ε t n, o ue contradiz ) Logo, X é uniformemente suave e isto comleta a rova Para mostrar a recíroca devemos usar um argumento similar ao do Teorema 44 Lema 3 Seja X um esaço normado uniformemente convexo e seja u 0 X com u 0 = Dado ε > 0, existe um δ > 0 tal ue se x e x satisfazem x = x = e u 0 x ) < δ e u 0 x ) < δ, então x x < ε Prova: Dado ε > 0, seja δ > 0 da definição de convexidade uniforme Note ue u 0 x + x ) u 0 x + x = x + x Então, x + x u 0x + x ) u 0 x ) u 0x x ) = u 0 x ) u 0x ) > δε) 9

16 Da definição de δ, segue ue x x < ε Isto comleta a rova Lema 4 Seja X um esaço de Banach Se X é uniformemente suave então X é uniformemente convexo Prova: Suonhamos or absurdo ue X não é uniformemente convexo Então, elo Lema, existem seüencias u n e v n em X tais ue u n = v n =, lim n u n + v n = e u n v n ε 0, ara algum ε 0 > 0 Vamos assumir ue u n + v n > ε 0 Pela definição 4n de norma, ara cada n existem x n e y n em X tais ue x n = y n =, u n + v n )x n ) u n + v n ε 0 8n e u n v n )x n ) u n v n ε 0 8n Temos então ue x n + y n + x n y n u n x n + y ) n + v n x n y ) n n n n n yn ) = u n + v n )x n ) + u n v n ) n u n + v n + u n v n n ε 0 4n > ε 0 4n + ε 0 n ε 0 4n = + ε 0 y n n Note ue yn 0 uando n Obtemos então uma contradição ao n Lema Logo, X é uniformemente convexo Agora vamos enunciar um teorema cuja rova fará uso de todos os lemas enunciados e rovados até aui A rova deste teorema é um resultado de Gottfried Köthe [4] Teorema Todo esaço uniformemente convexo é reflexivo Prova: Veja [3] 0

17 Teorema Seja X um esaço de Banach Então X é uniformemente convexo se, e somente se, X é uniformemente suave Prova: Suonhamos ue X não é uniformemente suave Então, elo Lema, existe ε 0 > 0 e existem seüencias u n, v n X tais ue u n =, v n 0 e u n + v n + u n v n > + ε 0 v n 6) Como X é uniformemente convexo e, ortanto, reflexivo, existem elementos x n, x n X tais ue x n = x n =, e u n + v n = u n + v n )x n ) u n v n = u n v n )x n ) Note ue un + v n un + v n = + vn = vn Assim temos ue Deste modo odemos concluir ue u n + v n )x n ) v n u n x n ) v n Da mesma maneira concluimos ue u n x n) v n Como or hiótese v n 0 uando n, odemos afirmar ue, ara um δε 0 ) eueno, v n < δε 0), segue do Lema 3 ue x n x n < ε 0 Portanto, temos ue u n + v n + u n v n = u n + v n )x n ) + u n v n )x n) Podemos concluir ue = u n x n ) + v n x n ) + u n x n) v n x n) u n x n ) + u n x n) + v n x n x n u n + v n + u n v n u n x n ) + u n x n) + v n x n x n u n x n + u n x n + ε 0 v n + ε 0 v n, o ue contradiz 6) ara ε < ε 0 Logo X é uniformemente suave Recirocamente, como X é um esaço de Banach, então X também é um esaço de Banach, e como X é uniformemente suave, elo Lema 4 temos ue X é uniformemente convexo Como X é um subesaço de X e como X é uniformemente convexo, então X é uniformemente convexo

18 Módulos de Convexidade e Suavidade de um Esaço de Banach Definição Módulo de Convexidade) Seja X um esaço de Banach A função dada or δ X ε) := inf { } x + y : x = y =, x y ε, é chamado módulo de convexidade de X Muitas vezes a função δ X ) é definida com ε no lugar de ε na última desigualdade A Figura dá uma noção geométrica do módulo de convexidade Figura : Noção geométrica do módulo de convexidade Proosição X é uniformemente convexo se, e somente se, δ X é estritamente ositiva ara todo ε > 0 Prova: Suonhamos ue X é uniformemente convexo Então, dados dois vetores x e y tais ue x = y = e ε > 0, semre odemos obter δ > 0 tal ue x y ε = x + y δ Desta forma, δ X ε) = inf { } x + y : x = y =, x y ε inf{ δ) : x = y =, x y ε} = inf{δ : x = y =, x y ε} = δ > 0

19 Logo, δ X é estritamente ositiva Recirocamente, suonhamos ue δ X seja estritamente ositiva Então existe η > 0 suficientemente eueno tal ue, ara x e y com x = y = e x y ε, tenhamos inf { } x + y : x = y =, x y ε η Então, x + y η, ou, euivalentemente, x + y η Fazendo η = δ, obtemos ue X é uniformemente convexo Observação Seja X um esaço de Banach A função dada or S X τ) := su { } x + y : x = y =, x y τ, 7) é uma maneira natural de definir o módulo de suavidade, ois é uma forma semelhante a definição do módulo de convexidade De ualuer forma, a definição 7) não adata bem a dualidade entre convexidade e suavidade uniformes Portanto, vamos definir em seu lugar uma outra função ρ X ) Definição Módulo de Suavidade) Seja X um esaço de Banach A função { } u + v + u v ρ X τ) := su : u =, v = τ, 8) é chamada módulo de suavidade de X Exemlo A Figura veja ágina 4) nos dá a noção geométrica de ρτ) um esaço ue não é uniformemente suave Note ue, neste caso lim 0, τ 0 τ ois os segmentos obtidos no caso da figura são roorcionais Conforme veremos na róxima roosição, ara τ eueno a diferença entre S X τ) e ρ X τ) não é substancial 3

20 Figura : Um esaço ue não é uniformemente suave Proosição Seja S X τ) dada or 7) e ρτ) dada or 8) Então, ρ X τ) lim τ 0 τ = 0 = lim τ 0 S X τ) τ = 0 ρ X τ) Prova: Suonhamos ue lim = 0 Dados x, y X tais ue x = τ 0 τ y = e x y τ, sejam Assim, u = e se τ [ 0, ] Note ue u + v u = x + y x + y v = = = = e v = x y x + y x y x + y τ x + y τ x + y x τ x x y) τ x x y ) τ τ) τ = τ τ, x x + y e u v = y x + y 4

21 Logo, u + v + u v Portanto, como ρ é crescente, = x x + y + y x + y = x + y ρτ) ρ v ) u + v u v + x + y x + y = x + y x + y x + y = Como x e y são arbitrários tais ue x = y = e x y τ, então ρτ) S X τ) 0 Assim, 0 lim τ 0 S X τ) τ lim τ 0 ρτ) τ = 0 Proosição 3 Se ρ X τ) lim τ 0 τ então X é uniformemente suave ρ Prova: Suonhamos ue lim X τ) τ 0 τ = 0, = 0, então, dado ε > 0, temos u v + u+v τ ε Pela Proosição, ara x e y tais ue x = y =, temos Então, 0 x+y τ x+y τ u v + u+v τ ε ε x + y ετ 5

22 Logo, X é uniformemente suave O róximo teorema é um resultado devido a Lindenstrauss [8], cuja rova é uma versão mais uantitativa da aresentada uando rovamos ue X é uniformemente convexo se, e somente se, X é uniformemente suave 3 Teorema de Lindenstrauss Teorema 3 Seja X um esaço de Banach O módulo de convexidade de X e o módulo de suavidade de X estão relacionados or ara todo τ > 0 ρ X τ) = su{τε δ X ε) : 0 ε }, 9) Prova: Primeiro vamos mostrar ue ara todo ε > 0 e τ > 0, δ X ε) + ρ X τ) τε 0) Para isso, sejam x, y X tais ue x = y =, x y = ε Corolário, existe f, g X satisfazendo f = g =, tal ue Pelo fx + y) = x + y e gx y) = x y Então, ρ X τ) f + τg + f τg fx) + τgx) + fy) τgy) = fx + y) + τgx y) = x + y + τ x y = x + y + ετ Logo, x + y ρ X τ) + + ετ { x + y inf δ X ε) + ετ, } : x = y =, x y ε + ετ de onde concluímos ue ρ X τ) + δ X ε) ετ ) 6

23 Agora sejam f e g em X satisfazendo f = e g = τ Dado η > 0, existem x, y X tais ue x = y = e Logo, f + g)x) f + g η e f g)y) f g η f + g + f g fx) + gx) + η + fy) gy) + η = fx + y) + gx y) + η x + y + τ x y + η = x + y + ετ + η, onde ε = x y [0, ] Subtraindo de ambos lados da desigualdade e tomando o suremo, obtemos su { f + g + f g } su 0ε 0ε = su 0ε { + x + y + ετ} + η { } x + y + + ετ + η Logo, { } f + g + f g ρ X τ) = su : f =, g = τ { } x + y su + + ετ + η 0ε { { } x + y su su : x = y =, x y ε 0ε su { δ X ε) + ετ} + η 0ε Como a desigualdade vale ara todo η > 0, segue ue De ) e ), concluímos 9) } + ετ + η ρ X τ) su {ετ δ X ε)} ) 0ε 7

24 Caítulo 3 Convexidade e Suavidade Uniforme nos Esaços L Neste caítulo vamos aresentar certas definições e resultados gerais ara esaços L Vamos rovar as desigualdades de Clarkson e, usando tais desigualdades, rovar ue os esaços L, ara > são uniformemente convexos e uniformemente suaves Notação: Durante todo este trabalho, denota o índice dual de, isto é, =, ara + 3 Desigualdades de Clarkson Lema 3 Caracterização Variacional de Somas das -ésimas Potências) Para < <, defina α : [ 0, ) [ 0, ) or Então, ara todo x, y R x + y + x y = αr) = + r) + r sinal r) { su inf )} { αr) x + α o suremo ou ínfimo existem de acordo com ou ) } y : 0 < r <, r Prova: Vamos assumir <, a rova ara é similar Vamos assumir também ue 0 < y e x = Primeiramente vamos mostrar ue se r = y temos: αr) + α r ) y = + y) + y) 8

25 De fato, αy) + α ) y = + y) + y) + y + ) y y y y = + y) + y) + y + ) y y) y = + y) + y) + y) y) = + y) + y) Assim, ara ver ue + y) + y) αr) + α ) r y ara todo r, é suficiente mostrar ue αr) + α ) r y atinge seu máximo uando y = r De fato, ) ) d αr) + α y = α r) ) dr r r α y r [ = ) + r) ) r y ) + ) r r r { [ = ) + r) r y + ) r r r ]} [ y ) ] [ = ) + r) r ] r Como 0 e + r r, o último fator é negativo Então, a exressão é ositiva se 0 < r < y, negativa se r > y e zero se r = y Portanto, αr) + α ) r y atinge seu máximo uando y = r Portanto, { ) } + y) + y) = su αr) + α y r>0 r Isto comleta a rova No róximo teorema vamos enunciar e rovar as desigualdades de Clarkson veja [4] e []) Vamos rovar as duas desigualdades ue imlicam ue os esaços L são uniformemente convexos Também rovaremos as duas desigualdades ue imlicam ue os esaços L são uniformemente suaves ] Teorema 3 Desigualdades de Clarkson) Sejam x e y funções em L Então as seguintes desigualdades são válidas: Para <, x + y + x y ) x + ) y 3) 9

26 e Para <, x + y x + y x + y + x y + x y + x y ) ) ) x + ) y 3) x + ) y 33) x + ) y 34) Prova: Primeiramente vamos rovar a desigualdade 3) Fazendo x = x+y e y = x y, odemos reescrever 3) como x + y ) x + y + x ) y, ara < Ou seja, teremos ue mostrar, x + y + x y x + y ), ara < Pelo Lema 3 odemos escrever x + y + x y = su r>0 { αr) x + α r αr) x + α r ) } y ) y, r > 0 Fazendo u = x, v = y, r = v e assumindo ue v u, teremos u ) v ) u ) αr) x + α y r = α u + α v u v [ = + v ) + v ] [ u + + u ) u ] v u u v v = u + v) + u v + v + u) v u Logo, = u + v) = u + v) = x + y ) x + y + x y x + y ), ara < 0

27 Para rovarmos a desigualdade 33), ou seja, x + y + x y ) x + ) y, ara <, reescrevemos x = x+y e y = x y Então, 33) é euivalente a x + y + x y x + y ) Pelo Lema 3 odemos escrever { x + y + x y = inf r>0 αr) x + α r αr) x + α r ) } y ) y, r > 0 Fazendo u = x, v = y, r = v e assumindo ue v u, teremos u ) v ) u ) αr) x + α y r = α u + α v u v [ = + v ) + v ] [ u + + u ) u ] v u u v v = u + v) + u v + v + u) v u Logo, = u + v) = u + v) = x + y ) x + y + x y x + y ), ara < Para rovarmos a desigualdade 34), note ue odemos reescrevê-la como ) x + y + x y x + y ), ara < 35) Fazendo x = x+y e y = x y e substituindo na desigualdade 33), teremos, ) x + y + x y ) x + y 36)

28 Analisando 35) e 36), concluímos ue ara rovarmos a desigualdade 34), basta mostrar ue o ue é euivalente a ) x + y ) x + y, ) ) x + y x + y 37) Escreva a = x e b = y Note ue a, b > 0 Suonha, sem erda de generalidade, ue a b Desta forma, 37) se torna a + b ) a + b ) 38) Agora fazendo c = a, odemos reescrever a desigualdade 38) na forma b Temos ue mostrar então ue c + ) c + ), 0 < c Elevando 39) na otência /, teremos c + ) 39) c + ) c + ) c + ) Defina, fc) = c + ) c + ) Derivando, obtemos df dc = c + ) c + ) c c + ) c c + ) c + ) [ ] = c + ) c c + ) c + ) c c + ) c + ) = c + ) [ ] c + + c c + c c + ) c + )c + ) = c + ) [ ] c c 30) c + ) c + )c + )

29 Note ue, como e 0 < c, o último fator de 30) é não-ositivo, ortanto, a exressão é não-ositiva, isto é, df 0 Ainda temos ue f ) = dc 0, ou seja, c = é um onto crítico de f no intervalo 0 < c Como 0, c = é um onto de mínimo Portanto, df dc fc) = c + ) c + ) = f) Com isso odemos concluir ue a desigualdade 34) é válida A rova da desigualdade 3) é análoga a aresentada ara 34) Isto comleta a rova do teorema Lema 3 Sejam E e F esaços vetoriais Sejam E e F os esaços duais de E e F, resectivamente Então, E F ) = E F Prova: Sejam as imersões T : E E F dada or T x) = x, 0) e T : F E F dada or T y) = 0, y) Seja lx, y) E F ), então lx, y) = l x, 0) + 0, y) ) = lx, 0) + l0, y) = l T x) ) + l T y) ) = l x) + l y) E F, onde l = l T e l = l T Logo, E F ) E F Revertendo o argumento anterior, rova-se a outra inclusão Lema 33 Sejam, > com + =, então, definindo L, = L L, temos L, ) = L, Prova: Basta notar ue, elo Lema 3), L, ) = L L ) = L ) L ) = L L = L, Pela linearidade de l 3

30 Lema 34 Seja > e 0 < ε, então Prova: Defina Note ue f0) = 0 Fazendo, df dε ε ) ε fε) = ε ) ε + = ε ) ε ) + ε = ε ) ε + ε = ε [ ε ) ] Como < 0 e, considerando-se 0 < ε <, temos ue ε ) >, o ue imlica df/dε < 0, ara 0 < ε < Portanto, fε) é uma função decrescente em 0 ε Como f0) = 0, concluímos ue, fε) = ε ) + ε < 0, ara 0 < ε Portanto, ε ) ε Lema 35 Sejam > e 0 < τ Então, + τ ) + τ Prova: Defina fτ) = + τ ) τ Note ue f0) = 0 Fazendo, df dτ = + τ ) τ τ = + τ ) τ τ ] = τ [ + τ ) Como < 0 e +τ ) <, então o último fator é negativo e, ortanto, df o todo é negativo, ou seja, < 0 ara 0 < τ < Portanto, fτ) é uma dτ função decrescente em 0 τ Como f0) = 0, concluímos ue fτ) = + τ ) τ < 0 4

31 Portanto, ara 0 < τ, temos + τ ) < + τ Proosição 3 A desigualdade 34) é conseüência da desigualdade 3) Prova: Sejam s, t < e L s L s com a norma s,t definida or x, y) s,t = Defina o oerador B : L s,t L s,t or x + y Bx, y) =, x y ) x t s + ) y t t s 3) Afirmação : O oerador B : L, L, é limitado ara < com norma De fato, fazendo s = e t = em 3), teremos, Bx, y), = x + y, x y ), x+y + ) x y = x + y ) = x, y), x, y), = x, y), Portanto, Bx, y), x, y), O oerador B é auto-adjunto, então definindo, B : L, ) L, ), elo Lema33), B : L, L, Mas, ela Proosição, B = B, então B também é limitado com norma ara Portanto, B x, y), x, y), Afirmação : Se, então x, y), x, y),, ou seja, Por 3 x + ) y x + ) y 3) 5

32 De fato, fazendo a = x e a = y, odemos reescrever 3) como a + a ) a + a ), ue é euivalente a Mas, ) a i i= i= a i ) Então, a i 3 a i ) i= i= = i= a i a i i= i= ) ) a i i= ) r ) r Elevando ambos os lados da desigualdade na otência, teremos ou seja, i a i i= ) a i ) i i= a i a i ), ) Portanto, x, y), x, y), Concluindo temos, B x, y), x, y), x, y),, ara <, ou seja, B : L, L, é limitado ara < com norma 3 Usando a desigualdade de Holdër ara r + = 6

33 3 Convexidade e Suavidade Uniforme dos Esaços L Proosição 3 Para >, o esaço L é uniformemente convexo Prova: Sejam e x = y = Pela desigualdade 34) temos x + y + x y x + y = Então, se x y ε com 0 < ε, nós vemos ue x + y x y ε Elevando ambos os lados na otência, temos x + y ε ) Fazendo δ = ε ), obtemos x + y δ Por outro lado, sejam < e x = y = Pela desigualdade 3), temos x + y + x y x + ) y = Então se x y ε, com 0 < ε, nós vemos ue x + y x y ε Elevando ambos os lados na otência, obtemos x + y ε ) Fazendo δ = ε ), obtemos x + y δ 7

34 Proosição 3 Para >, o esaço L é uniformemente suave Prova: Sejam e x = y =, ela desigualdade 33) temos, x + y + x y x + ) y Então se x y τ, com τ > 0, nós vemos ue x + y τ Elevando ambos os lados na otência, obtemos x + y τ ) Dado ε > 0, seja τ eueno de modo ue ε > τ ) τ lim τ 0 τ ) = Isto é ossível ois, = 0 Logo, τ ) τ ετ ara τ eueno e, ortanto, x + y ετ Para <, usando a desigualdade 3) e de forma análoga a feita ara o caso > obtemos, x + y ετ, ara τ eueno No Caítulo nós definimos o módulo de convexidade e o módulo de suavidade ara um esaço normado X Fazendo uso de tal fato, agora odemos definir r-convexidade e r-suavidade uniforme de um esaço normado X 33 Esaços r-uniformemente Convexos e r-uniformemente Suaves Definição 33 Esaço r-uniformemente convexo) Um esaço normado X é dito r-uniformemente convexo se existe c > 0 tal ue ε ) r δ X ε), c ara r > e ara ε > 0 8

35 Definição 33 Esaço r-uniformemente suave) Um esaço normado X é dito r-uniformemente suave se existe um k > 0 tal ue τ ) r ρ X τ), k onde r > e τ > 0 Proosição 33 Para < e + =, temos ue os esaços L e L são -uniformemente suave e -uniformemente convexo Prova: Fazendo s =, sejam x, y L s A artir da desigualdade 3) obtemos, ara <, ou seja, x + y s + x y s ) x s + ) y s x + y s + x ) y s = x s + y s ) = x s + y s ) x s + y s ) 33) Agora substituindo resectivamente x e y or x + y e x y em 33) e reorganizando algumas otências de, obtemos ue é euivalente a x s + y s ) x + y s + x y s ), x s + y s ) x + y s + x ) y s 34) Esta desigualdade também é válida ara s = or 33) Sejam x = y = e x y = ε, de 33) obtemos, de onde segue ue x + y s + x y s + =, x + y s x y s = ε ) Então, x + y s ε ) 9

36 Elevando ambos os lados da desigualdade na otência, obtemos, x + y ε ) s o ue é euivalente a ou seja, 4 ε, x + y ε s, δ Ls ε) ε Logo, L s é -uniformemente convexo Para rovarmos ue L s é -uniformemente suave, rimeiramente recisamos mostrar ue vale a seguinte desigualdade, ara <, x s + y s ) x s + y s ) 35) Fazendo a = x s e b = y s, odemos reescrever 35) como, a + a ) a + a ) Mas, ela desigualdade de Hölder ara + =, temos logo, a + a ) = a i i= = ) i= i= a i ) a i i= Portanto, or 34) e 35) temos i= i= ), a i a i ) ) 4 Pelo Lema 34 x s + y s x s + y s ) x + y s + x y s ) 36) 30

37 Fazendo x = u + v, y = u v, com u = e v = τ e substituindo em 36), obtemos ou seja, Portanto, u + v s + u v s u s + v s = + τ ) = + τ ) 5 + τ ), u + v s + u v s ρ Ls τ) τ, o ue mostra ue L s é -uniformemente suave τ ) Lema 33 Sejam x e y funções em L e, então x + y + x y x + y + x y ) 37) Prova: Fazendo a = x + y e a = x y, odemos reescrever 37) como a + a ) a + a ) Mas, ela desigualdade de Hölder ara + r =, Logo, a i = i= a i i= i= = a i ) ) r r ) a i i= i= a i i= i= ) a i ), 5 Pelo Lema 35 3

38 e isto comleta a rova Proosição 33 Seja X um esaço normado uniformemente convexo e suonha ue δ X ε) ε c) r ara alguma constante c e ara r > Então x + y r + x y r ara todo x, y tais ue x + y = x y x r + yk r, Prova: Sejam x = y =, 0 < ε e x y = ε Sabemos ue δ X ε) ) ε r, c então x + y ε r c) Elevando ambos os lados da desigualdade na otência r, obtemos x + y r ε ) r ) r ) 38) c Podemos suor ue c > é tal ue ) ε r c < Então, usando um argumento r análogo ao do Lema 34, odemos afirmar ue z) r ) r r z, r ara z Logo, r x + y r ) ε r ) r c) ) r r ε ) r 39) r c Tomando k = c ) t t com t + r x + y r r ) r r = r r = r ε ) r = k = x y k = e substituindo em 39) temos ) r ) r ) r r ε k t ) t ε k r r ε r k r r r ) r ) r r ) r ) r ) 3

39 Logo, x + y r + x y k r = x r + y r, 30) ara todo x e y tais ue x = y = De fato, esta desigualdade continua válida se x = y Substituindo x or x + y e y or x y em 30), obtemos x + y r + x y r x r + k y r, 3) ara r >, desde ue x + y = x y As duas definições ue serão aresentadas a seguir, serão aresentadas com algumas restrições interessantes Estas definições serão usadas ara mostrar as relações entre muitas desigualdades ue ainda vamos aresentar Definição 333 Segunda definição de r-convexidade uniforme) Um esaço normado X é dito ser r-uniformemente convexo ara algum r > se existe uma constante k tal ue, ara todo x, y X, x + y r + x y r x r + yk r 3) Essa constante k é chamada constante de r-convexidade uniforme de X Observação: Na segunda definição de r-convexidade uniforme, o caso interessante em ue vai valer certos resultados aresentados aui neste trabalho é o caso r Note ue não estamos imondo x y = x + y Definição 334 Segunda definição de suavidade t-uniforme) Um esaço normado X é dito ser t-uniformemente suave ara algum t, ] se existe uma constante k tal ue, ara todo x, y X, x + y t + x y t x t + ky t 33) Essa constante k é chamada de constante de t-suavidade uniforme de X Proosição 333 Seja X um esaço de Banach Sejam x, y X Se 30) vale, então é imediato ue ε ) r δ X ε), c ara alguma constante c e r > 33

40 Prova: Sejam x = y = e x y = ε Temos or hiótese ue, r r x + y + x y k x r + y r Então, x + y r ε ) r k Elevando ambos os lados da desigualdade na otência, temos, r x + y ε ) r ) r k 6 ε ) r r k Fazendo c = kr r ) r, obtemos x + y ε r c) Ou seja, Isto comleta a rova ε ) r δ X ε) c Proosição 334 Seja k uma constante tal ue, ara x, y X, x + y t + x y t x t + ky t, ara < t, então ρ X τ) cτ) t, ara < t, ara algum c > 0 Prova: Sejam x = e y = τ Pelo Lema 33 temos, x + y + x y x + y t + x y t x t + ky t ) t ) t 6 Pelo Lema 34 7 Pelo Lema 35 = + kτ) t) t 7 + kτ)t t 34

41 Fazendo c = k ) t t Logo, temos e isto comleta a rova x + y + x y ρ X τ) cτ) t, cτ) t 35

42 Caítulo 4 Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa ara Esaços L Neste Caítulo vamos rovar ue os esaços L são -uniformemente convexos e -uniformemente suaves Vamos rovar também a desigualdade de Hanner ara esaços de funções Provaremos também outros resultados imortantes envolvendo um esaço normado X e seu dual X 4 Desigualdade de Hanner Lema 4 Desigualdade dois ontos de Gross) Sejam a e b números reais Então as seguintes desigualdades são válidas: Para <, Para, a + b + a b a + b + a b ) a + )b ) 4) ) a + )b ) 4) Prova: Para rovarmos a desigualdade 4), vamos suor rimeiro ue 0 < b a Fazendo x = b e substituindo em 4), obtemos ue isto é a euivalente a ) + )x + x) + x), x [, ] 43) 36

43 Mas escrevendo 43) na série binomial obtemos + x) + x) Note ue = k=0 = + k=0 ) x k k )x + ) x k )x +, k ara x [, ] Pelo Lema 34 temos ) ) 3)x4 4! + Ou seja, ) + )x )x + + x) + x) = k=0 ) x k k )x + + )x ) Portanto, a + b + a b Para o caso b > a, basta notar ue ) a + )b ) a + )b b + )a e usar o caso anterior trocando a e b A rova da desigualdade 4) é análoga a aresentada ara a desigualdade 4) Basta notar ue, ara, Isto comleta rova do lema + )x ) + )x Agora vamos mostrar ue a desigualdade de Hanner é válida ara os esaços L 37

44 Teorema 4 Desigualdade de Hanner) Sejam x e y L Então as seguintes desigualdades são válidas Para <, Para <, x + y + x y x + y ) + x y 44) x + y + x y x + y ) + x y 45) Prova: Vamos rovar a desigualdade 44) A rova da desigualdade 45) é análoga Sejam x e y L e < Então, elo Lema 3, x + y + x y = x + y + x y { ) } = su αr) x + α y r>0 r { ) }) su αr) x + α y r>0 r { ) } = su αr) x + α y r>0 r = x + y ) + x y A última desigualdade segue elo mesmo argumento do Lema 3 Observação 4 Vimos no Caítulo 3 ue as desigualdades de Clarkson mostram ue os esaços L e L são -uniformemente suave e -uniformemente convexo Agora vamos ver ue as desigualdades de Hanner, 44) e 45) também determinam o módulo de convexidade e o módulo de suavidade ara todo esaço L Corolário 4 Das desigualdades de Hanner obtemos o módulo de convexidade e o módulo de suavidade ara todo esaço L Prova: Sejam, x = y = e x y ε Da desigualdade ) x x + y + y x + y + x y, obtemos, x + y x y ε ) 38

45 Portanto, x + y ε ) Elevando ambos os lados da desigualdade na otência 34, obtemos x + y ε ) ε, e utilizando o Lema o ue é euivalente a ou seja, x + y ε, δ L ε) ε Logo, o esaço L, ara, é -uniformemente convexo Para <, considere a desigualdade x + y ) + x y x + y + x y 46) Fazendo x = x + y e y = x y e substituindo em 46) obtemos, x + y + x y ) + x + y x y x + y ) Note também ue x + y + x y ) x + y + x y ) + x + y x y x + y ) 47) Fazendo x = e y = τ e substituindo em 47) temos, ) x + y + x y + τ Elevando ambos os lados da desigualdade na otência, obtemos, elo Lema 35, x + y + x y + τ ) + τ 48) 39

46 Portanto, ρ L τ) τ Logo o esaço L, ara < é -uniformemente suave Ótima -Uniformemente Con- 4 Desigualdade vexa Proosição 4 Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa) Sejam x e y L Então valem as seguintes desigualdades: Para, Para <, x + y + x y x + ) y 49) x + y + x y x + ) y 40) Prova: Vamos rovar a desigualdade 49), a rova de 40) é análoga Para rovarmos a desigualdade 49) vamos usar a desigualdade de Hanner e também a desigualdade dois ontos de Gross Primeiramente vamos considerar o caso < Dados x e y L,, ela desigualdade 3), temos x + y + x ) y x + y + x y ) ) x x + y + y 4) Fazendo a = x e b = y em 4) e usando a desigualdade dois ontos de Gross obtemos, ) x x + y + y ) x + ) y Pela desigualdade de Hanner 40

47 Ou seja, x + y + x y x + ) y Para = temos, x + y + x y Isto comleta a rova X = x + y) dµ + x X y) dµ = X x dµ + X y dµ = x + y x Na róxima roosição vamos generalizar a Proosição 4 ara outras otências Um argumento simles, baseado na desigualdade de Hanner, mostra tal fato Teorema 4 Desigualdade Ótima -Uniformemente Convexa) Sejam x e y L Então valem as seguintes desigualdades: Para, Para <, x + y + x ) y x + y + x ) y x + ) y 4) x + ) y 43) Prova: Primeiramente vamos rovar a desigualdade 4) Sejam x e y L e < Fazendo a = x e b = y na desigualdade dois ontos de Gross, obtemos ) x + ) y ) x x + y + y Agora, ela desigualdade de Hanner Teorema 4) temos ue ) x x + y + y x + y + x ) y, 4

48 de onde concluímos ue x + y x + ) y + x ) y Para = a demonstração é análoga a feita na Proosição 4 Agora usando a roosição 4 estamos em condições de rovar ue os esaços L são -uniformemente suaves e -uniformemente convexos Corolário 4 Os esaços L, ara <, são -uniformemente convexos Prova: Fazendo x = x + y e ỹ = x y temos, ela desigualdade 49), ue ) x + ỹ x + ỹ Se x = ỹ = e x ỹ ε, temos x + ỹ + ) x ỹ ) x ỹ )ε 44) Elevando ambos os lados da desigualdade 44) na otência e utilizando o Lema 34, obtemos x + ỹ )ε ) Portanto, e isto comleta a rova ) δ L ε) x + ỹ ε ) ε, Corolário 4 Os esaços L, ara <, são -uniformemente suaves 4

49 Prova: Sejam x e y L tais ue x = e y = τ Pelo Lema 33 e ela Proosição 4 temos x + y + x y x + y + x y x + ) y ) ) = + )τ ) + Ou seja, x + y + x y Portanto, ρ L τ) ) τ ) τ ) τ 43 Convexidade - Uniforme do Esaço de Hilbert Definição 43 Relação de ordem simbolo O grande ) Suonha ue x x 0, com valores em R Seja N 0 uma vizinhança de x 0 tal ue fx) k gx) ara todo x N 0 R, onde k é uma constante ue indeende de x Então dizemos ue fx) é O grande de gx) uando x x 0 e escrevemos simbolicamente fx) = Ogx)) Proosição 43 Qualuer esaço de Hilbert H é -uniformemente suave e -uniformemente convexo e é o melhor exoente ara cada roriedade Prova: Usando a identidade do aralelogramo, ou seja, x + y + x y = x + y ), com x = y = e x y = ε, temos, x + y = 4 x y = 4 ε ) Portanto, x + y = ε ) 43

50 Elevando ambos os lados da desigualdade na otência, elo Lema 34 obtemos, o ue é euivalente a x + y = ε ) ε, ) x + y ε ) Então o esaço de Hilbert H é -uniformemente convexo Para rovarmos ue o esaço de Hilbert é -uniformemente suave, note ue elo Lema 33 temos x + y + x y x + y + x y ) 45) Fazendo x = e y = τ e substituindo em 45), alicando a lei do aralelogramo e o Lema 35, obtemos x + y + x y x + y + x y = x + y ) ) Então, ou seja, = + τ ) + τ x + y + x y ρ H τ) τ τ, Para concluir a rova da roosição temos ue mostrar ue é o melhor exoente ara cada roriedade Vamos analisar rimeiro o caso -uniformemente convexo Note ue, ε ) lim = ε 0 ε Portanto, ε ) ε é limitado Então ela definição 43), temos ue ε ) Oε ) 44

51 De modo análogo concluímos ue + + τ ) Oε ) Agora vamos mostrar um resultado imortante sobre a constante de -suavidade uniforme do esaço normado X e a constante -convexidade uniforme de seu dual X 44 Dualidade entre Convexidade e Suavidade Uniforme Proosição 44 Dualidade ara -Convexidade Uniforme e -Suavidade Uniforme) Seja X um esaço normado e X seu dual Então a constante de -suavidade uniforme de X a constante k em 33)) é igual a constante de -convexidade uniforme de X a constante k em 3)) Prova: Primeiramente vamos suor ue a constante de -convexidade uniforme de X seja k e vamos mostrar ue k é uma constante de -suavidade uniforme de X Sejam x, y X Vamos denotar as normas de X e X or Pelo Corolário, existem λ e µ X tais ue λ = µ =, λx + y) = x + y e µx y) = x y Defina φ, ψ X or φ = z x + y λ e ψ = z x y µ, onde Afirmação : De fato, z = x + y + x y φ + ψ = φ + ψ = z x y λ + z x + y µ = z x + y + x y ) = x + y + x y ) = x+y + x y 45

52 Afirmação : De fato, φx + y) + ψx y) x + y + x y ) = φx + y) + ψx y) Portanto, = z x + y λx + y) + z x y µx y) = x + y + x y ) x+y + x y = x + y + x y ) = x + y + x y ) x + y + x y ) φx + y) + ψx y) = φ + ψ)x) φ ψ)y) = + φ + ψ)x) φ ψ)ky) = + k φ + ψ)x) φ ψ)ky) + k φ + ψ x + φ ψ k ky [ φ + ψ + φ ψ x ) k ] + ky 46) Utilizando as desigualdades de Hölder e a desigualdade 30) em 46), obtemos x + y + x y ) [ ] φ + ψ + φ ψ k [ x + ky ] [ φ + ψ + φ ψ ] [ k x + ky ] φ + ψ ) x + ky ) = x + ky ) 46

53 Agora vamos suor ue a constante de -suavidade uniforme de X seja k e vamos mostrar ue k á uma constante de -convexidade uniforme de X Sejam ϕ e ψ X Como X é reflexivo, então X é reflexivo Logo, existem x e ỹ X tais ue x = ỹ =, e Sejam u e v X dados or u = z ϕ + ψ onde Afirmação : ϕ + ψ = ϕ + ψ) x) ϕ ψ = ϕ ψ)ỹ) z = ϕ + ψ x e v = z + ϕ ψ k u + kv = ϕ ψ k ỹ k, De fato, [ ) ) ) u + kv = z ϕ + ψ + k ϕ ψ k k [ ) ) = z ϕ + ψ ϕ ψ ] + k [ ϕ+ψ ) + ϕ ψ ] k = ϕ+ψ + ϕ ψ k = Afirmação : ϕ + ψ ϕ + ψ)u) + ϕ ψ)v) = De fato, ϕ + ψ)u) + ϕ ψ)v) = z ϕ + ψ ϕ + ψ ϕ+ψ + ϕ ψ k = ϕ+ψ + ϕ ψ ) k = ϕ + ψ + ϕ ψ k + ϕ ψ k ) ) ] + ϕ ψ ϕ ψ k k ) ) 47

54 Portanto, ϕ + ψ + ϕ ψ k ) = ϕ + ψ)u) + ϕ ψ)v) = ϕu + v) + ψu v) ϕ u + v + ψ u v [ u + v + u v ][ ϕ + ψ ] u + v + u v ) ϕ + ψ ) Isto comleta a rova 3 x + ky ) ϕ + ψ ) = ϕ + ψ ) = ϕ + ψ ) = ϕ + ψ ) Proosição 44 Dualidade da Desigualdade de Hanner) Seja X um esaço normado e X o seu dual Sejam < e + = Então, se φ + ψ + φ ψ φ + ψ ) + φ ψ 47) vale ara todo φ, ψ X, temos y + z + y z y + z ) + z y, 48) ara todo y, z X Prova: Suonhamos rimeiro ue 47) vale em X e vamos mostrar ue 48) vale em X Fazendo, y = u + v e z = u v e substituindo em 48) temos u + v ) u + v + u v ) + u + v u v 49) Sem erda de generalidade, assuma ue u + v = e r := u v Afirmação : Podemos reescrever o lado direito de 49) como onde R = α u + v + β u v = + r) + r), α = + r) + r) e β = r [ + r) r) ] Pela desigualdade de Hölder 3 Pela desigualdade 33) 48

55 De fato, R = α u + v + β u v = α + βr = + r) + r) + r + r) r r) = + r) + r) + r) r) = + r) + r) Pelo Corolário, sejam λ, µ X tais ue Defina, λ = µ =, λu + v) = u + v e µu v) = u v φ = αr u + v λ e ψ = βr u v µ Afirmação : De fato, φu + v) + ψu v) = R φu + v) + ψu v) = αr u + v u + v + βr u v u v = R α u + v + β u v ) = α u + v + β u v α u + v + β u v ) = α u + v + β u v ) = R ) = R Portanto, ela desigualdade de Hölder, R = φu + v) + ψu v) = φ + ψ)u) + φ ψ)v) φ + ψ)u) + φ ψ)v) φ + ψ u + φ ψ v [ φ + ψ + φ ψ ][ u + v ] φ + ψ + φ ψ ) u + v ) Para comletar a demostração de 49), recisamos mostrar ue, T := φ + ψ + φ ψ 49

56 Mas, or 47) temos, T = φ + ψ + φ ψ = φ + ψ ) + φ ψ [ ] R α u + v λ + R β u v µ [ + R α u + v λ R β u v µ = R [ α + βr ] + R [ α βr ] = R [ + r) + r) + r [ + r) r) ] r ] +R [ + r) + r) r [ + r) r) ] r ] = R [ + r) ] + R [ r) ] = R [ + r) + r) ] = + r) + r) + r) + r) = ] Vimos no Caítulo 3 duas definições ara r-convexidade uniforme e t-suavidade uniforme, agora vamos terminar o caítulo rovando a euivalência destas duas definições Teorema 44 Euivalência das Definições de r-convexidade Uniforme e t-suavidade Uniforme) Seja X um esaço normado Então 30) vale ara alguma constante k e ara todo x, y X se, e somente se, δ x ε) ) ε r c vale ara r > e alguma constante c Similarmente, 33) vale ara alguma constante k e ara todo x, y X se, e somente se, ρ X τ) cτ r vale ara alguma constante c Prova: Pela Proosição 334), temos ue a validade de 33) ara alguma constante k e ara x, y X imlica ue ρ X τ) cτ r vale ara alguma constante c Agora suonhamos ue ρ X τ) cτ r vale ara < r e alguma constante c Sejam x = e y Logo x+y + x y c y ) r Defina os números b := x + y + x y Afirmação: x + y r + x y r ) r x + y + x y e a := = b x + y x y x + y + x y [ + a) r + a) r ) r ] 40) 50

57 De fato, [ ) ] + a) r + a) r r b = ) + x+y x y r x+y + x y = b + x+y x y x+y + x y ) r [ ) r x + y + x y x + y = + x + y + x y x + y + x y { x + y + x y = r b x y x + y + x y ) ]} r [ r x + y r + r x y r r ) r x + y + x y x + y + x y x + y r + x y r ) r x + y + x y = r ) r ] r A função de a do lado direito em 40) desaarece uadraticamente na origem: seja [ ) ] + a) r + a) r r a) = b, ou seja, 0) = 0 Então uma simles estimativa usando o Teorema de Taylor mostra ue a) é limitado or D r a ara alguma constante D r deendendo somente de r De fato, usando o Teorema de Taylor com resto de Lagrange odemos escrever a) como, r a) = rr )! ξ, onde ξ 0, a) Fazendo D r = rr ), obtemos ue a) = D r ξ D r a Então, desde ue a y b suosição em ρ X, ue y e < r, temos, or 40) e ela x + y r + x y r ) r + c r y r + D r y 5

58 Logo, x + y r + x y r + c r y r + D r y ) r + c + D r ) y ) r + kr r y r, ara todo x, y X com x = e y e a constante k r deendendo somente de c e r Portanto, x + y r + x y r x r + k r r y r, 4) ara todo x, y X com x = e y Finalmente, alicando a desigualdade ara, 4) vale ara todo x e y, tal ue y x x e x y x Assumindo ue k r >, 4) vale ara todo x e y Agora ela Proosição 333 temos ue a validade de 30) ara alguma constante k e ara x e y X imlica ue δ X ε) ε r c) vale ara alguma constante c Agora suonhamos ue δ X ε) ε r c) vale ara alguma constante c Então, elo teorema 3) temos ρ X τ) = su{τε δ X ε) : 0 ε } { ε r } su τε : 0 ε { c) ) r } su τε ε r : 0 ε c = τc ) r, onde + = Então elo ue mostramos na rimeira arte deste teorema, r r existe uma constante k ue torna 33) válida em X Logo, ela roosição 44, 30) é válida ara em X e, ortanto, ara X, ara alguma constante k 5

59 Caítulo 5 Esaços C Neste caítulo vamos mostrar a desigualdade fácil de Clarkson Provaremos a desigualdade ótima -uniformemente convexa E também ue os esaços C são -uniformemente convexos 5 Definições e algumas roriedades sobre o traço de uma Matriz Definição 5 Esaços C ) Dado <, denotamos or C o esaço de Banach de oeradores comactos em um esaço de Hilbert H, com a norma ) X = tr X X) ) = tr XX ) <, 5) onde X é um oerador comacto de H, X é o seu adjunto e trb) = k Be k, e k ), ara {e k } base ortonormal de H Para =, sejam X e Y esaços de Banach e LX, Y ) o conjunto de todos os oeradores lineares e limitados de X em Y Seja A LX, Y ), definimos Ax A = su x X x x 0 Dizemos ue A é a norma usual de oeradores Notação: Seja H um esaço de Hilbert Vamos denotar or LH) o conjunto de oeradores limitados de H em H 53

60 Definição 5 Um oerador U LH) é chamado uma isometria se Ux = x ara todo x H U é chamado uma isometria arcial se U é uma isometria restrita ao subesaço fechado KerU) ) Para o róximo lema, necessitaremos do bem conhecido Teorema da Decomosição Polar, ue enunciamos a seguir Definição 53 Dado A LH), com A A 0, então A := A A Teorema 5 Decomosição Polar) Seja A um oerador linear limitado em um esaço de Hilbert H Então existe uma isometria arcial U tal ue A = U A Além disso, U é unicamente determinado ela condição Ker U = Ker A Ou ainda, dom U = dom A Prova: Veja [9] Lema 5 Sejam A e B dois oeradores em C Então, tr AB) tr A B ) ) tr A B ) ) Prova: Sejam A e B dois oeradores em C e sejam U e V isometrias arciais tais ue conforme o Teorema 5) A = U A e B = V B sejam as decomosições olares de A e B, resectivamente Então, tr AB) = tr U A V B ) ) = tr B U A V B ) = tr B U A ) B V A ) Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos tr AB) tr B U A A U B ) tr = tr U A U B ) tr A V B V ) = tr A B ) tr A B ) já ue A = U A U e B = V B V Ou seja, como ueríamos rovar ) B V A A V B tr AB) tr A B ) ) tr A B ) ), Observação 5 Muitas desigualdades familiares ara a norma L valem também ara a norma C, como mostra as seguintes roosições 54

61 Proosição 5 Desigualdade de Hölder) Sejam X, Y C Então, XY r X Y, onde = + r Prova: Uma rova ode ser encontrada em [7] Proosição 5 Sejam A e B C Então, usando a desigualdade triangular ara, temos tr A + B ) tr A + B ) Prova: Seja {ϕ n } n= uma base ortonormal Sejam U, V e W isometrias arciais rovenientes das decomosições olares, assim A = V A, B = W B e A + B = U A + B Note ue A = tr A ) e A = tr A A)) = tr A )) Fazendo ϕ n = Uϕ n e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos, tr A + B ) = = = = = = ϕ n, A + B ϕ n ) n= ϕ n, U A + B)ϕ n ) n= ϕ n, U A + U B)ϕ n ) n= ϕ n, Aϕ n) + n= ϕ n, Bϕ n) n= ϕ n, V A ϕ n) + n= ϕ n, W B ϕ n) n= A V ϕ n, A ϕ n ) + n= B W ϕ n, B ϕ n ) n= A V A ϕ n ϕ n + B W B ϕ n ϕ n n= A V ϕ n + n= ) B W ϕ n n= n= A ϕ n n= ) ) ) B ϕ n, n= 55

62 onde a última desigualdade segue ela desigualdade de Cauchy-Schwarz Agora, ela definição de norma, segue ue tr A + B ) A V A + B W B A + B = A + B = tr A ) + tr B ), ois, [ A = tr A ) ) ] = tr A ) = A Isto comleta a rova Observação 5 Por outro lado muitas desigualdades ara normas L não valem ara normas C Muitos destes exemlos estão relacionados com a alicação X X = X X) Se f e g L então vale ue f g f g Mas isto não é verdade em geral ara o esaço C, como mostra a róxima roosição Antes, recisamos definir os oeradores de Hilbert-Schmidt Definição 54 Oeradores de Hilbert-Schmidt) Um oerador T LH) é chamado Hilbert-Schmidt se, e somente se, tr T T ) < A família de todos os oeradores Hilbert-Schmidt é denotada or l Vamos denotar o esaço de Hilbert-Schmidt or HS Proosição 53 Sejam A e B dois oeradores de Hilbert-Schimidt no esaço de Hilbert H Então, A B HS A B Prova: Vamos rovar aenas um caso articular A rova ara o caso geral ode ser encontrado em [] Sejam X e Y oeradores ertencentes ao esaço Hilbert-Schmidt e Q um oerador linear limitado satisfazendo X 0, Y 0 e Q Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz temos ue tr XY ) tr XX )) tr Y Y )) tr XX ) + tr Y Y ) 5) 56

63 Então, 4 tr QXY ) = 4 tr tr Y QX )X Y Y QXQ Y ) ) ) + tr = tr Y QXQ ) + tr XY ) Y XY tr Y QQ Y ) + tr QX Q ) + tr XY ) = tr Y QQ ) + tr X Q Q ) + tr XY ) = tr X Q ) + tr Y Q ) + tr XY ) tr X + Y + XY + Y X ) 53) ) Sejam A = U A e B = V B as decomosições olares de A e B resectivamente Usando a desigualdade 53) ara X = A, Y = B e Q = V U, obtemos, A B HS = tr A B) A B)) = tr A + B ) Re B V U A ) tr A + B ) tr A + B + A B + B A ) = tr A + B ) tr A B + B A ) = tr A B ) = A B HS Portanto temos A B HS A B, como enunciado Observação 53 O coeficiente ue aarece na Proosição 53 é o melhor ossível considerando A e B dois oeradores uaisuer Porém, se A e B são auto-adjuntos, então é o melhor coeficiente 5 Desigualdades de Clarkson Agora vamos enunciar e rovar vários lemas ue serão utilizados ara a demostração da desigualdade fácil de Clarkson ara o caso C A rova dessa desigualdade foi feita or Dixmier, [7] Lema 5 Sejam A e B oeradores em C Então, Por 5) tr AB) tr AB ) A tr B ) 57

64 Prova: Suonhamos rimeiramente ue A 0 e B 0 Temos então, B AB A B e, ortanto, ) ) tr AB) = tr B AB tr B A B = A tr B) Agora suondo ue A e B são dois oeradores uaisuer, A, B C, temos então, tr A B ) A tr B ) = A tr B ) 54) De fato, elo Lema 5) e observando ue A = U A U, B = V B V e B = V B, onde U e V são isometrias arciais, temos tr AB) tr A B ) ) A tr B ) ) 3 A tr B ) ) A tr B ) ) = U A U tr B ) ) A tr V B V ) ) A tr B ) ) tr B V V ) ) = A tr B ) Então, tr AB) A tr B ) Para rovarmos a rimeira desigualdade, seja I o oerador identidade em C, então, ela desigualdade 54), tr AB) = tr IAB) I tr AB ) = tr AB ) Para rovarmos a última desigualdade, seja U uma isometria arcial tal ue AB = U AB Então, novamente ela desigualdade 54), temos tr AB ) = tr UAB) UA tr B ) A tr B ) Lema 5 Sejam, + a C Então, = e A, B, C e D oeradores ertencentes tr A + B)C + A B)D ) [ A + ] [ B C + ] D Se = vamos usar a norma 3 Por 54) [ A + ] B = su{ A, B } 58