ESTIMATIVAS A PRIORI PARA PROBLEMAS ELÍPTICOS VIA DESIGUALDADE DE HARDY-SOBOLEV

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Deartamento de Matemática ESTIMATIVAS A PRIORI PARA PROBLEMAS ELÍPTICOS VIA DESIGUALDADE DE HARDY-SOBOLEV Jose Miguel Mendoza Aranda Orientador: Francisco Odair de Paiva São Carlos Janeiro de 204

2 ESTIMATIVAS A PRIORI PARA PROBLEMAS ELÍPTICOS VIA DESIGUALDADE DE HARDY-SOBOLEV Jose Miguel Mendoza Aranda Orientador: Francisco Odair de Paiva Dissertação aresentada ao PPG-M da UFSCar como arte dos reuisitos ara a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientação: Prof Dr. Francisco Odair de Paiva. São Carlos Janeiro de 204 Autor Orientador

3 Ficha catalográfica elaborada elo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar M539e Mendoza Aranda, Jose Miguel. Estimativas a riori ara roblemas elíticos via desigualdade de Hardy-Sobolev / Jose Miguel Mendoza Aranda. -- São Carlos : UFSCar, f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, Análise matemática. 2. Euações diferenciais elíticas. 3. Estimativas da solução. 4. Existência de soluções. I. Título. CDD: 55 (20 a )

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5 2 Agradecimentos À Deus, ela vida az e saúde. Aos meus ais, Tomas Mendoza Pariona e Maria Aranda García, ela vida, educação e o amor recebido. Ao rofessor Francisco Odair de Paiva, ela orientação, elos ensinamentos e elas horas dedicadas a este trabalho. Ao rograma de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos, ela oortunidade da realização deste trabalho. À CNP, elo auxilio nanceiro.

6 3 Abstract In this thesis we study a riori bounds for ositive solutions of a class of nonlinear ellitic euations. More recisely, we establish a riori bounds for ositive solutions of the roblem: } u = g(x, u, Du), x u = 0, x where R N, N 3, is a bounded smooth domain. The techniue used in this work was develoed by Brezis and Turner ([BT]). We also rovide existence of riori bounds of ositive solutions for semilinear ellitic systems and olyharmonic roblems. In this work, the main tool used is the Hardy-Sobolev ineuality to estimate the L -norm of ositive solutions.

7 4 Resumo Neste trabalho, estudamos a obtenção de estimativas a riori de soluções ositivas ara um tio de euações elíticas não lineares. Mais esecicamente, garantimos a existência de estimativas a riori de soluções ositivas ara o roblema: } u = g(x, u, Du), x u = 0, x em ue R N, N 3, é um aberto limitado com fronteira suave. A técnica utilizada neste trabalho é devido a Brezis Turner ([BT]). Também garantimos a existência de estimativas a riori de soluções ositivas ara sistemas elíticos semilineares e roblemas de tio oliharmônico. A ferramenta rincial utilizada ara estimar as soluções ositivas nas normas L a desigualdade de Hardy-Sobolev. é

8 5 Sumário Introdução 6 2 A Desigualdade de Hardy-Sobolev 9 3 Estimativa a riori de uma classe de Problemas Elíticos Suerlineares 5 4 Estimativa a riori ara soluções ositivas de Sistemas Elíticos Semilineares usando a desigualdade de Hardy-Sobolev 2 4. Desigualdades de Hardy-Sobolev Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico

9 6 Caítulo Introdução Estimativas a riori de soluções ositivas na norma de L é de fundamental imortância ara resultados de existência de soluções de roblemas elíticos suerlineares esecialmente uando o roblema em consideração não é do tio variacional. Um método ara demonstrar a existência de estimativas a riori de soluções ositivas de euações escalares elíticas de segunda ordem foi roosto em 977 or Brézis e Turner ([BT]). Tal método combina as desigualdades de Hardy e Sobolev via interolação e é muito oderoso, ainda uando o roblema em consideração não é do tio variacional. Mais esecicamente, no artigo de Brézis e Turner ([BT]) se demonstra a existência de estimativas a riori ara um roblema elítico, a ual ode ser usada ara demonstrar a existência de uma solução ositiva do roblema de tio elítico suerlinear: em ue R N u = g(x, u, Du), x u = 0, x } (.) é um aberto, limitado e suave de R N, N 3 e g é uma função não negativa ue, com reseito à variável u, satisfaz as seguintes três condições de crescimento (utilizados or Brézis e Turner ([BT]) ara demonstrar a existência de uma solução ositiva do roblema.): Se λ é o rimeiro autovalor de, u g(x, u, ) tem ue ser menor do ue λ ara u erto do zero e maior do ue λ ara u erto do ; e se β = N+ N, u β g(x, u, ) tende a zero uando u +. (Por exemlo g = u γ, < γ < β satisfaz as três condições). O objetivo desta dissertação é usar o mesmo método de Brézis e Turner ara encontrar estimativas a riori ara soluções ositivas de sistemas elíticos semilineares e roblemas oliharmônicos, e tal resultado foi feito no trabalho de Clément, Figueiredo e Mitidieri ([CFM]).

10 7 Este trabalho é organizado como segue. No Caítulo 2, enunciamos e demonstramos a desigualdade de Hardy-Sobolev como na tese de Kavian ([K]), a ual arma ue combinando as desigualdades de Hardy e de Sobolev via interolação, se tem uma desigualdade ue é valida ara < < N; mais ainda Kavian demonstra ue o resultado é valido ara o caso em ue = N usando um argumento mais comlicado ue ara o caso < < N. No Caítulo 3 usamos a desigualdade de Hardy-Sobolev (ara o caso em ue = 2 e N 2) ara demonstrar a existência de estimativas a riori do roblema (.), como foi feito no artigo de Brézis e Turner ([BT]). Finalmente no caítulo 4 alicamos o mesmo método usado or Brézis e Turner ara encontrar estimativas a riori do sistema: u = f(x, u, v, Du, Dv), em R N, v = g(x, u, v, Du, Dv), em R N, u = v = 0, sobre. (.2) e ara euações do tio oliharmônicas com m > : ( ) m u = h(x, u, u,..., m u), em R N, u = u =... = m u = 0, sobre. } (.3) em ue é um domínio aberto, limitado e suave de R N com N 3 e f, g e h são funções dadas (ue esecicaremos adiante), seguindo o trabalho de Clément, Figueiredo e Mitidieri ([CFM]). Assim odemos ver ue o método de Brézis e Turner é muito oderoso ara encontrar estimativas a riori ara os roblemas mencionados anteriormente. Mas também ode ser usado ara encontrar estimativas a riori ara os seguintes dois roblemas: u = λ u + (u + ) + f(x), em, u = 0, sobre. } (.4) em ue é limitado aberto e suave em R N, N 3, < < N+ N, λ é o rimeiro autovalor de e f 0 é uma função tal ue f L r () ara algum r > N e fϕ < 0 (estudado or Cuesta, Figueiredo e Srikanth no artigo ([CFS])). E também o roblema (estudado or Kannan e Otega no artigo ([KO])) u + λ u + g(x, u) = f(x), em, u = 0, sobre. } (.5)

11 8 em ue é aberto limitado e com fronteira suave de R N com N 2 e λ é o rimeiro autovalor de e a função não linear g : R R satisfaz as seguintes condições: g é localmente Lischitziana em u (uniformemente em x) e α-hölder continua em x. lim g(x, u) =, uniformemente em x. u lim u [g(x, u) + λ u] =, uniformemente em x. Existem γ, β L () com γ, β 0 tais ue g(x, u) γ(x)u σ + β(x), ara x e u 0, em ue σ < N+ N.

12 9 Caítulo 2 A Desigualdade de Hardy-Sobolev Neste caítulo vamos a demonstrar a Desigualdade de Hardy-Sobolev. Para enunciar o resultado rincial vamos suor ue N 2 e ue R N limitado com a sua fronteira de classe C. é um subconjunto aberto e Para cada x denotamos or δ (x) = d(x, ), a distância de x à fronteira. Se < < +, denotamos or = o seu conjugado, = + e + =. Se < N, denotamos or = N o seu conjugado de Sobolev. N Denotamos or R N + o conjunto R N + = {x = (x, x 2,..., x N ) R N / x N > 0}. Neste trabalho C denotará uma constante ue não deende de u. E como rimeiro resultado vamos lembrar a Desigualdade de Nirenberg-Sobolev e a Desigualdade básica de Hardy enunciando os dois Lemas seguintes. Lema 2. (Desigualdade de Nirenberg-Sobolev). Se < N então ara toda função u C c () se tem ue u L () Demonstração. Para a demonstração ver [N] (. -48). (N ) 2N (N ). Du L (). (2.) Lema 2.2 (Desigualdade básica de Hardy). Seja g L (0, + ), < < e se G(x) = x x. g(t)dt, x > 0, 0 então G L (0,+ ). g L (0,+ ). (2.2) Demonstração. Para a demonstração ver [F] ag. 95.

13 0 O seguinte resultado é uma generalização da desigualdade anterior e é enunciado num comentário no trabalho de Kavian [K]. Lema 2.3 (Desigualdade de Hardy-Sobolev). Se é limitado, aberto e de classe C, e < <. Então existe uma constante C > 0 tal ue u W, 0 (), u δ L () C. Du L (). (2.3) Demonstração. Basta demonstrar este resultado ara u C c (), ois C c () é denso em W, 0 (). E como é de classe C e limitado odemos egar maas locais e o resultado se reduz ao caso em ue = R N +. Por isso mostraremos o resultado ara este caso, onde δ (x) = x N e temos ue u δ L (R N +) ( + = u(x ), x N ) R N 0 x N dx N dx ( + = xn u(x ), t). dt R N 0 x N 0 t dx N dx ( + ( ). u(x ), x N ) R N 0 x N dx N dx. Du L (R N + ), onde ara a rimeira desigualdade usamos o Lema 2.2, e assim ca demostrado o resultado. Finalmente enunciaremos e demonstraremos o resultado rincial deste caítulo ue foi feito or Kavian em [K]. Teorema 2.4. Seja < N, = ( τ) N, 0 < τ. Então existe uma constante C (τ, ) tal ue u W, 0 (), se tem u δ τ L () C (τ, ) Du L (). (2.4) Demonstração. Faremos em dois casos de acordo com e vamos suor ue τ <, orue se τ = o resultado segue do Lema 2.3. Caso : < < N Como = ( τ) N, então τ. + ( τ). =

14 e assim. ( ) + ( τ. ( τ). ) = Alicando a desigualdade de Hölder e os Lemas 2. e 2.3, obtemos u δ τ L () = = = = u dx δ τ u δ ( ( u τ. ) δ ( τ.. u.( τ) dx u dx δ u τ. δ L () τ. ) τ. ) τ. ( ( dx ) ).( τ). u.( τ).( τ) dx. (. u ( τ). L () C. Du τ. L (). Du ( τ). L () = C. Du L (), u dx ).( τ) e assim o resultado ca demostrado, onde se = R N +, se tem ue a constante C é ( ) dada or C =.(N )., a ual diverge ara +, uando se aroxima a 2.N.(N ) N. Por isso faremos o caso = N or searado. Caso 2 : = N Como no lema anterior é suciente mostrar ue se u C c (R N +) e δ(x) = x N, = R N +, então. u C. Du δ τ L N L N () τ () Primeiro vamos rovar ue ara > N, onde N = u δ N dx C(, N). Du N L N (). ( N, se tem ue N u N δ N ) dx. (2.5) De fato, se dene ϕ = u N δ o ual ertence a N C c (), ois u ertence a Cc () e δ ertence a C (). Além disso, como > 0 se tem ue N ϕ = x i N.ϕ. u 2.u. u + u N x. ( ) C 0 i x i δ N c ().

15 2 E assim ϕ C c (), agora alicando o Lema 2. a ϕ com = e = N, obtemos ϕ L N () 2N. Dϕ L () = N 2N. ϕ(x) x i dx, i =, 2,..., N. (2.6) Mas da denição de ϕ, se tem ue ϕ(x) x i dx C(, N). Onde se i < N se i = N u N. x N i= u N δ. u N x i dx + u N. x i ( ) dx = x N N ( ) dx = 0, δ N Agora usando estas estimativas em (2.6), temos ue ( ϕ L N () C(, N) 2N ) u δ dx N C(, N). N C(, N). N. i= N i= N ( i= = u N. x i u N. N dx x N N ( ) u N x. N δ u N δ. u N x N dx. u N δ. u N x i dx + u N δ. u N x i dx C(, N). Du L N (). u N δ N ( ) ( dx N. u N δ N ( ) dx, δ N N dx u N δ. u N x N dx u x i ) dx N, onde ara a terceira desigualdade usamos a desigualdade de Hölder; e assim (2.5) ca demonstrado. Agora fazendo dµ = δ dx, temos ue fdµ = f. dx, ara ualuer função N δ N f µ integrável. E vamos denotar or = N e τ 0 = N + N, ara assim considerar dois casos ao reseito de e 0 : i) Se 0, então denindo r = N, temos ue r N e ortanto existe um α [0, ] tal ue r = α ( α) +, e alicando a desigualdade de Hölder, N N dx ) N

16 3 temos ue E elo Lema 2.3, temos ue u L r (µ) u α L (µ). u α L N (µ). (2.7) u L N (µ) = u δ L N () N. Du L N (). (2.8) Agora alicamos o resultado (2.5) ara = N τ > N, lembrando ue dµ = δ N, e logo usando (2.7) e (2.8), se tem ue u L (µ) C(, N). Du N L N (). u r L r (µ) E assim, temos ue C(, N). Du N L N (). u r.α L (µ). u r.( α) L N (µ) C(, N). Du N L N (). u r.α L (µ).(n ) r.( α). Du r.( α) L N () = C(, N). Du N +r.( α). u r.α L N () L (µ). u rα L (µ) C(, N). Du N +r.( α) L N (), (2.9) mas como = N + r, então rα = N + r( α). Substituindo em (2.9) e cancelando exonentes, temos ue Notemos ue u L (µ) C(τ, N). Du L N (). (2.0) ( u L (µ) = ) u ( δ dx = N u ) dx δ τ u =, (2.) δ τ L () ara nalmente substituindo 2. em 2.0, temos u δ τ L N τ () C(τ, N). Du L N (), com o ual ca demonstrado o teorema ara este caso. ii) Se 0, então N 0, e assim existe λ [0, ] tal ue = λ + λ N 0, e or Hölder, temos ue u L (µ) u λ L N (µ). u λ L 0 (µ). (2.2)

17 4 Agora alicando 2.5, ara 0 = N + N > N, e o Lema 2.3 se tem e como 0 = N + N, temos ( u 0 L 0 (µ) C( 0, N). Du N L N (). = C( 0, N). Du N L N (). u δ C. Du N L N (). Du N L N () = C. Du N +N L N (), Finalmente substituindo 2.8 e 2.3 em 2.2 u N δ N N L N () ) dx u L 0 (µ) C. Du L N (), (2.3) u L (µ) C(τ, N) Du λ L N (µ). Du λ L 0 (µ) = C(τ, N). Du L N (µ), e or 2., se tem ue u δ τ L N τ () C(τ, N). Du L N (), com o ual o resultado é demonstrado ara este último caso e assim o Teorema ca demonstrado.

18 5 Caítulo 3 Estimativa a riori de uma classe de Problemas Elíticos Suerlineares Neste caítulo usaremos a desigualdade de Hardy-Sobolev ara encontrar uma estimativa a riori ara soluções de um roblema elítico. E este resultado é utilizado no artigo de Brezis e Turner ara estudar a existência de uma solução ositiva do roblema de tio elítico suerlinear (O ual não faremos neste trabalho): u = g(x, u), x u = 0, x } (3.) onde g é uma função não negativa e com reseito à variável u satisfaz as seguintes três condições de crescimento: Se λ é o rimeiro autovalor de, u g(x, u) tem ue ser menor do ue λ ara u erto do zero e maior do ue λ ara u erto do ; e se β = N+ N, u β g(x, u) tende a zero uando u +. (Por exemlo g = u γ, < γ < β satisfaz as três condições). Para enunciar o teorema rincial deste caítulo continuamos suondo ue R N um aberto limitado de R N, N 2, com fronteira de classe C. é Vamos usar a desigualdade de Hardy-Sobolev ara o caso = 2 (ois = 2 N), isto é, existe uma constante C(τ) tal ue ara toda v H 0() e 0 < τ v δ τ L () C(τ). Dv L 2 (), = ( τ) 2 N. (3.2) Finalmente vamos denotar or ϕ a rimeira autofunção ue satisfaz } ϕ = λ ϕ, x ϕ = 0, x (3.3) onde λ é o menor autovalor de e ϕ é normalizado tal ue ϕ L () =.

19 6 Do rinciio de máximo (Lema de Hof ([GT])) segue ue ϕ ode ser escolhido tal ue ϕ(x) > 0 e ϕ(x) C.δ(x) em ara uma constante C > 0. Com estas considerações enunciaremos o teorema rincial deste caítulo sobre a estimativas a riori, a ual foi feito no artigo de Brezis e Turner ([BT]). Teorema 3.. Seja f(x, u) uma função continua não negativa sobre [0, + ), N 3 e satisfaz: (i) (ii) f(x, u) lim u + u > λ uniformemente ara x f(x, u) lim = 0 uniformemente ara x, β = N+ u + u. β N Então existe uma constante K > 0, tal ue se u H 0() é não negativa e satisfaz u = f(x, u) + t.ϕ, x u = 0, x se tem u L e u L K, onde K > 0 é indeendente de t 0 e de u. Demonstração. Primeiro rovaremos dois Lemas: Lema 3.2. Suonhamos ue f satisfaz a hiótese (i) do Teorema 3.. } (3.4) Então existe uma constante K tal ue se u satisfaz (3.4) ara um t 0, temos ue t K, δ(x).f(x, u)dx K e u.ϕ dx K. f(x, u) Demonstração. De (i), temos ue se m = lim, como m > λ, existe k tal ue u + u m > k > λ e se tomamos ɛ = m k, existe u 0 tal ue se u > u 0, f(x, u) m u < m k, e assim f(x, u) > u.k, u > u 0. E como f(x, u) k.u é continua, então existe uma constante C < 0, tal ue u [0, u 0 ], x, f(x, u) k.u C. E assim temos ue existe uma constante C > 0, tal ue f(x, u) k.u C, u 0, x. (3.5) Agora se u(x) é solução de (3.4), multilicamos or ϕ em (3.4), integramos e alicamos

20 7 (3.5) ara obter ( u)ϕ dx = f(x, u)ϕ dx + tϕ 2 dx u( ϕ) dx = f(x, u)ϕ dx + t ϕ 2 dx λ uϕ dx = f(x, u)ϕ dx + t ϕ 2 dx k uϕ dx C ϕ dx + t = k uϕ dx C + t ϕ 2 dx. ϕ 2 dx E assim C (k λ ) uϕ dx + t ϕ 2 dx, (3.6) e como ambos termos do lado direito de (3.6) são não negativos, (k λ ) > 0 e ϕ 2 dx > 0, temos uma cota suerior ara t e uϕ dx. E limitando uϕ dx em λ uϕ dx = f(x, u)ϕ dx + tϕ 2 dx, temos uma cota suerior ara f(x, u)ϕ dx; mas como ϕ C.δ(x) e a f(x, u) é não negativa, obtemos uma cota também ara f(x, u)δ dx. E assim existe uma cota K, tal ue t K e δ(x)f(x, u)dx K Lema 3.3. Com as hióteses do teorema, existe uma constante K 2 > 0 tal ue u H () K 2, ara toda solução não negativa u(x) de (3.4). Demonstração. Multilicando (3.4) or u e integrando, temos ue Pelo lema anterior t e Du 2 = ( u)u dx = f(x, u)u dx + t ϕu dx. ϕu dx são limitados or uma constante. E assim temos ue Du 2 L 2 () = Du 2 f(x, u)u dx + C. (3.7) Com a nalidade de limitar Du 2 L 2 (), vamos limitar f(x, u).u dx. E ara isso seja α tal ue 0 < α <, alicando a Desigualdade de Hölder com os exonentes α e α e

21 8 usando o Lema (3.2) obtemos ue f(x, u).u dx = (δ.f) α.(f α. u δ α ) dx ( α ( δ(x).f(x, u) dx). (f α. u ) ) α α dx δ α ( K α. f. u α α dx). (3.8) δ α α Mas da hióteses (ii) do teorema, ara cada ɛ > 0 existe uma constante C ɛ > 0 tal ue f(x, u) ɛ.u β + C ɛ. Alicando esta desigualdade em (3.8) obtemos ue f(x, u).u dx K α ( ɛ u β+ α δ α α K α.2 (ɛ α dx + C ɛ u β+ α δ α α u α δ α α dx) α + dx (C ɛ ) α u α δ α α E assim temos ue ara cada ɛ > 0 odemos encontrar um C ɛ > 0 tal ue f(x, u).u dx ɛ. ( u β+ α δ α α dx) α + C ɛ. ( u α δ α α dx ) α dx) α. (3.9) Escolhendo α = 2 temos ue 0 < α <. Da denição de β segue ue β+ N+ α = 2 α e substituindo em (3.9) o valor de α temos ue f(x, u).u dx ɛ. ( = ɛ. u δ α 2 u 2 α δ α α 2 L 2 α dx) α + C ɛ. ( u α δ α α dx ) α + C ɛ. u. (3.0) δ α L α Agora vamos alicar a desigualdade (3.2) com τ = α 2 e τ = α e assim obter u δ α 2 C. Du L 2 () L () onde = 2 α 2 N, (3.) isto é = 2 α. E u C. Du δ α L 2 () L r () e das denições de α e r, vemos ue onde α = N + N r = 2 α N, 2N(N + ) e r =. E assim temos N 2 N + 2

22 9 ue α r e ortanto u δ α L α C. Du L 2 (). (3.2) Finalmente usamos as desigualdades (3.) e (3.2) em (3.0) ara obter e assim junto com a desigualdade (3.7) f(x, u).u dx ɛc Du 2 L 2 () + C ɛ Du L 2 (), Du 2 L 2 () ɛc Du 2 L 2 () + C ɛ Du L 2 () + C, escolhendo ɛ sucientemente eueno e alicando a desigualdade de Young com ɛ concluímos ue ara alguma constante C > 0, se tem Du L 2 () C. O resultado deste Lema segue da desigualdade anterior e da desigualdade de Poincaré. Prova do Teorema 3.: Suonhamos ue u L (), e como é solução de (3.4) se tem ue u L () C. f(x, u) + t.ϕ L () + C. u H (), > N 2. (ver [ADN]). E assim usando os Lemas 3.2 e 3.3 u L () C. f(x, u) L () + K. ϕ L () + C.K 2 Denotando or C uma constante geral indeendente de u e usando ue ara ɛ > 0 existe uma constante C ɛ > 0 tal ue f(x, u) ɛ.u β + C ɛ temos ue u L () ɛ. u β L () + C ɛ ( ) = ɛ. u.u (β ). + Cɛ ( ) ɛ. u L (). u (β ). (β )..(β ) + C ɛ = ɛ. u L (). u β + C L (β ). () ɛ Além disso como N 3 e 2 = 2N N 2 da denição de β segue ue N(β ) < 2, de modo ue existe um > tal ue N < < 2 (β ). Escolhendo este na desigualdade anterior, observando ue (β ). < 2 e alicando os

23 20 Lemas 2. e 3.3 se tem u L () ɛ. u L (). u β L 2 () + C ɛ ɛ.c. u L (). Du β L 2 () + C ɛ ɛ.c.k β. u L () + C ɛ Finalmente fazendo ɛ sucientemente eueno, temos ue existe uma constante C > 0 tal ue e assim ca demonstrado o teorema. u L () C, Finalmente o fato de ue u L ode ser facilmente obtida de um argumento de bootstra, e assim ca demonstrado o resultado rincial deste Caítulo.

24 2 Caítulo 4 Estimativa a riori ara soluções ositivas de Sistemas Elíticos Semilineares usando a desigualdade de Hardy-Sobolev O objetivo de este caítulo é estabelecer estimativas a riori ara soluções ositivas de sistemas do tio: u = f(x, u, v, Du, Dv), em R N, v = g(x, u, v, Du, Dv), em R N, u = v = 0, sobre. (4.) e ara euações do tio oliharmônicas com m > : ( ) m u = h(x, u, u,..., m u), em R N, u = u =... = m u = 0, sobre. onde ( ) m é a comosição do ( ) com ele mesmo m vezes. } (4.2) 4. Desigualdades de Hardy-Sobolev. Seja um domínio suave e limitado de R N com N 3 e ϕ a autofunção rincial de ( ; H0()), normalizada or ϕ dx=, com seu corresondente autovalor λ > 0. Como semre usaremos C ara denotar uma constante ue indeende de u. Do Lema 2.3 e do fato ue existe uma constante C > 0 tal ue ϕ C.δ(x), temos

25 4. Desigualdades de Hardy-Sobolev. 22 ue u ϕ L () C. Du L (), > e u W, 0 (), (4.3) em ue a constante C > 0 deende só de N e. Os resultados deste Caítulo foram obtidos no trabalho de Clément, de Figueiredo e Mitidieri [CFM]. Agora vamos usar (4.3) ara estabelecer a seguinte desigualdade de interolação. No ue segue, vamos fazer a convenção de ue 0 =. Lema 4.. Seja r 0 (, + ], r [, + ) e u L r 0 () W,r 0. Então ara cada τ [0, ] temos ue u ϕ τ Lr (), onde Além disso, u ϕ τ L r () onde a constante C > 0 deende só de τ, r 0 e r. r = ( τ) r 0 + τ r. (4.4) C u τ L r 0 () u τ W,r, (4.5) Demonstração. A desigualdade é trivial se τ = 0 e se τ = a desigualdade se reduz a (4.3). Vamos suor ue τ (0, ). Temos ue u ϕ τ r L r () = u r ϕ τr dx = 0 u τr ϕ τr u ( τ)r, (4.6) então se r 0 <, or (4.4) odemos alicar a desigualdade de Hölder com = r rτ e r 0 = em (4.6) e assim ( τ)r u ϕ τ r L r () ( ( u ϕ ) r dx ) τr ( r Das desigualdades (4.3) e (4.7) se tem ue u ϕ τ r L r () E o resultado em (4.5) segue de (4.8). Se r 0 = +, (4.6) imlica ue u ϕ τ r L r () ) r( τ) u r r 0 0 dx = u ϕ rτ L r () u r( τ) L r 0 (). (4.7) C Du rτ L r () u r( τ) L r 0 (). (4.8) ( u ( τ)r L () u ϕ τr ) dx, (4.9)

26 4. Desigualdades de Hardy-Sobolev. 23 e usando de novo a desigualdade (4.3) em (4.9) obtemos (4.5).. Usando o Lema anterior enunciaremos e demonstraremos um resultado ue será usado na demonstração do teorema sobre estimativas a riori ara o sistema (4.). Corolário 4.2. Seja u W,s 0 () W 2,s, onde < s < +. Além disso suonhamos ue ou r = (2 τ) s N se s < N 2 (4.0) ou ou r > τ N se s = N 2 (4.) r = τ( s N ) se N 2 < s < N (4.2) r >, τ [0, ] se N s. (4.3) Então existe uma constante C = C(τ, s, N) tal ue Demonstração. Faremos a demostração or casos u C u W 2,s. (4.4) L r () ϕ τ (a) Seja s < N 2, tomemos r 0 e r tal ue Então das Imersões de Sobolev ([B] ag. 285) r = s N e r 0 = r N. (4.5) W 2,s () W,r () e W 2,s L r 0 (). Alicando o Lema 4. com r 0 e r como em (4.5), temos a desigualdade (4.4). (b) Seja s = N 2 e r como em (4.5). Então W 2,s () W,N () e alicando a imersão de Sobolev temos ue ara ualuer tal ue < < W 2,s () L ().

27 4. Desigualdades de Hardy-Sobolev. 24 E assim escolhendo r 0 >, o resultado segue do Lema 4.. (c) Seja s tal ue N 2 < s < N. Neste caso temos ue e W 2,s () W,r (), W 2,s () C 0 (), em ue r = Ns N s. E usando o Lema 4. com este r e r 0 = segue o resultado. (d) (i) Seja N < s. Pela Imersão de Sobolev, temos ue ara algum α > 0 Como conseuência W 2,s () C,α (). W 2,s () W,r () ara ualuer r >. Da alicação do Lema 4. com este arbitrário r e r 0 = concluímos o resultado. (ii) Seja s = N, temos ue W 2,s () W,r () ara ualuer r >, e W 2,s () C 0 (). O resultado segue alicando o Lema 4. com r = τ r. Observamos ue se τ > 0 odemos escolher ualuer r > e se τ = 0 a desigualdade 4.4 é trivial. Usando o mesmo método de demonstração como no Corolário anterior obtemos o seguinte resultado, o ual será usado ara demonstrar o Teorema de existência de estimativas a riori do Problema Poliharmônico (4.2). Corolário 4.3. Seja u W,s 0 () W 2m,s 0 (), onde < s <, m e τ [0, ]. Além disso suonhamos ue r = (2m τ) s N se s < N 2m (4.6)

28 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) 25 ou ou ou r > τ N se s = N 2m (4.7) r = τ( s N ) se N 2m < s < N (4.8) r >, τ [0, ] se N s. (4.9) Então existe uma constante C = C(τ, s, N) tal ue u C u W 2m,s. (4.20) L r () ϕ τ 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) Nesta seção estudaremos a existência de estimativas a riori de soluções ositivas do sistema elítico 4. onde é um domínio limitado suave de R N com N 3. Assumiremos também ue as funções não lineares f e g satisfazem: (f ) f : R R R N R N R é contínua. (f 2 ) lim inf t + f(x, s, t, ξ, η) t (f 3 ) Existe e σ 0 tal ue > λ uniformemente em (x, s, ξ, η) R R N R N. f(x, s, t, ξ, η) C( t + s σ ) +, ara ualuer (x, s, t, ξ, η) R R R N R N. Similarmente assumimos ue (g ) g : R R R N R N R é contínua. (g 2 ) lim inf t + g(x, s, t, ξ, η) s (g 3 ) Existe e σ 0 tal ue > λ uniformemente em (x, t, ξ, η) R R N R N. g(x, s, t, ξ, η) C( s + t σ ) +,

29 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) 26 ara ualuer (x, s, t, ξ, η) R R R N R N. O resultado rincial deste caítulo é o seguinte teorema, o ual diz ue sob algumas condições sobre, existe uma estimativa a riori do sistema (4.). Teorema 4.4. Seja um domínio limitado e suave de R N com N 4. Assumamos ue se cumrem as condições (f ), (f 2 ), (f 3 ), (g ), (g 2 ), (g 3 ) e ue + + N N +. + > N N +, (4.2) e onde também suomos ue K := σ = +.N N > N N +, (4.22) L max(l, K), σ = + 2 N > 0 e L := K max(l, K) + 2 N > 0. (4.23) Seja (u, v) uma solução ositiva de (4.). Então existe uma constante C > 0 indeendente de (u, v) tal ue u L C, v L C. (4.24) Demonstração. Vamos fazer a rova em três assos. No rimeiro asso rovaremos ue f e g são uniformemente limitados em L loc (). No segundo asso obtemos uma estimativa + 2, uniforme das comonentes da solução (u, v) resectivamente em W () e W 2, + (). Finalmente no último asso alicamos o rocesso de bootstra. (i) Sejam l f e l g tal ue e λ < l f < lim inf t f(x, s, t, ξ, η) t λ < l g < lim inf s g(x, s, t, ξ, η). s Das hióteses (f ), (f 2 ), (g ) e (g 2 ) segue ue existe uma constante C > 0 tal ue ara todo s, t 0 e (x, ξ, η) R N R N temos ue f(x, s, t, ξ, η) l f t C, (4.25) e g(x, s, t, ξ, η) l g s C. (4.26)

30 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) 27 Multilicando as euações em (4.) or ϕ e integrando, obtemos e uϕdx = vϕdx = e assim alicando (4.25) e (4.26) segue ue λ λ u ϕ dx = v ϕ dx = f ϕ dx l f g ϕ dx l g e então somando (4.27) e (4.28) obtemos ue fϕdx, gϕdx, v ϕ dx C u ϕ dx C 2C (l f λ ) v ϕ dx + (l g λ ) u ϕ dx ϕ dx, (4.27) ϕ dx, (4.28) e assim (ara alguma constante c > 0) u ϕ dx C, v ϕ dx C, (4.29) o ual imlica or (4.27), (4.28), (4.29) e da continuidade das funções f e g ue f ϕ dx C, g ϕ dx C e assim f e g são uniformemente limitados em L loc (). (ii) Tomando a norma L + () da rimeira euação de (4.) obtemos u + dx = f + dx = f α ϕ α f α+ ϕ α dx (4.30) em ue 0 < α < é um arâmetro a ser tomado. Usando a desigualdade de Hölder em (4.30) obtemos ue u + ( ) α ( dx f ϕ dx f + α ϕ α α dx ) α. (4.3) Usando a hióteses (f 3 ) odemos estimar a segunda integral de (4.3) or I +I 2 +C, onde I = v + α ϕ α α dx (4.32)

31 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) 28 e I 2 = u σ(+ α ) ϕ α α dx. (4.33) Agora ara estimar (4.32) e (4.33) usamos a rimeira arte do Corolário 4.2 (com s = + e notando ue da denição de L se tem s < N 2 ) como segue. Para I escolhemos r e τ tal ue r = + α, rτ = α α, r = Estas euações determinam α. De fato, fazendo contas + 2 τ N. (4.34) α = N( L L) + N LN. (4.35) E de (4.2) e (4.22) segue ue α > 0. Usando o fato ue L > 0 também temos ue α <. Da segunda euação de (4.34) segue ue τ > 0 e o fato ue τ < segue imediatamente da sua exressão τ = N( L L) + + N. (4.36) Então usando o Corolário 4.2 obtemos e or (4.35) temos ue e or (4.2) concluímos ue I C v r W r( α) = ( α) + = ( +, (4.37) 2, N( L L) ) +, (4.38) + N LN θ := r( α) < +. (4.39) Agora vamos estimar I 2. Escolhendo r e τ tal ue e Do fato ue σ = L max(l, K) σ( + α ) = r (4.40) α α = r τ. (4.4) e da denição de α, segue ue r >. Agora usando

32 4.2 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Sistema (4.) 29 (4.2) e (4.22) temos ue α α Com o ual usando (4.40) e (4.4) se segue ue <. (4.42) 0 < τ <. (4.43) Seguindo denimos s or Assim r = s s + 2 τ N (4.44) s s + = r + 2 τ N = σ ( r τ N ) + 2 N = σ L + 2 N = max(l, K) + 2 N, (4.45) e então s = max(, ). Agora alicamos de novo o Corolário 4.2 e obtemos ue e or (4.39) Mas como concluímos ue I 2 C u r W 2, s+, (4.46) s r( α) = σ(( α) + ) < σ( + ). (4.47) σ( + ) +, θ 2 := r( α) < +. (4.48) E do fato ue s = max(, ) segue ue s + = min( + s, + ). Agora usando o asso, (4.37) e (4.46) em (4.3) temos ue u + dx C( v θ W 2, + + u θ 2 W 2, + + ). (4.49) Analogamente se tem ue v + dx C( u θ 3 W 2, + + v θ 4 W 2, + + ), (4.50) em ue θ 3 < + e θ 4 < +. Agora vamos usar a desigualdade de Calderon-Zygmund ue é um resultado da teoria de regularidade em Euações Diferenciais Elíticas e ode ser encontrada no livro [GT]: u W 2,t C u L t, (4.5)

33 4.3 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico ara toda u W,t 0 () W 2,t (), com t >. E assim obtemos ue + u + 2, W + C( u γ W 2, v γ 2 W 2, + + ), (4.52) + v + 2, W + C( u γ 3 W 2, v γ 4 W 2, + + ), (4.53) em ue 0 < γ i <, i =,..., 4. Assim alicando a desigualdade de Cauchy com esilon nos termos com γ i concluimos ue u W 2, + C, v W 2, + C. (4.54) (iii) Finalmente utilizando o rocesso de bootstra, ca demonstrado o teorema. 4.3 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico 4.2 Nesta seção demonstraremos a existência de estimativas a riori de soluções ositivas do roblema oliharmônico (4.2) onde é um domínio aberto e limitado de R N com fronteira suave e N > 2m + 2m e m >. Assumiremos também ue h satisfaz: (h ) h : R m R é contínua. (h 2 ) lim inf s + h(x, s, t,..., t m ) s uniformemente em (x, t,..., t m ) R m. (h 3 ) Existe > e C > 0 tal ue > λ m, h(x, s, t,..., t m ) C( + s ), ara ualuer (x, s, t,..., t m ) R m. Vamos demonstrar o resultado rincial desta seção.

34 4.3 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico Teorema 4.5. Seja um domínio aberto, limitado e suave de R N com N > 2m + 2m e m >. Assumamos ue se cumrem as condições (h ), (h 2 ) e (h 3 ) e ue 2m N 2m < < N + N 2m +. (4.55) Seja u uma solução ositiva de (4.2). Então existe uma constante C > 0 indeendente de u tal ue Demonstração. Primeiro note ue a condição N > 2m + 2m N 2m < N + N 2m + u L C. (4.56) e com isto a condição (4.55) tem sentido. Agora como na rova do teorema (4.4), faremos três assos. (i) Seja l h tal ue λ m < l h < lim inf s h(x, s, t,..., t m ) s 2m + 4, imlica ue 2 Das hióteses (h ) e (h 2 ) se segue ue existe uma constante C > 0 tal ue ara todo s 0 e (x, t,..., t m ) R m temos ue h(x, s, t,..., t m ) l h s C. (4.57) Multilicando a euação em (4.2) or ϕ e integrando, obtemos ( u) m ϕdx = hϕdx. (4.58) Alicando (4.57) e a igualdade (λ ) m u ϕ dx = u ( ) m ϕ dx = ( ) m u ϕ dx na euação (4.58), temos ue (λ ) m u ϕ dx = h ϕ dx l h u ϕ dx C ϕ dx, e assim a ual imlica ue u ϕ dx C, h ϕ dx C. (4.59)

35 4.3 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico (ii) Tomando a norma L + () na euação (4.2), obtemos m u + dx = h + dx = h + dx + h + dx, (4.60) A B onde e A = {x : u(x) < } B = {x : u(x) }. Usando a condição (h 3 ) temos ue A h + dx C. E a integral B h + dx = h α ϕ α h α+ ϕ α dx B em ue 0 < α < é um arâmetro a ser escolhido deois. resultados na euação (4.60) se tem ue Substituindo estos m u + dx C + h α ϕ α h α+ ϕ α dx, (4.6) B Usando um resultado de regularidade elítica (ver [ADN]) + u + 2m, W C. m u + dx, junto com (4.6) e usando a desigualdade de Hölder obtemos + u + 2m, W C + C.( h ϕ dx) α ( B B h + α ϕ α Pela hióteses (h 3 ) se tem ue ara x B e (t,..., t m ) R m α dx) α. (4.62) h(x, u(x), t,..., t m ) C( + u(x) ) Cu(x). Alicando esta desigualdade ara oder estimar a segunda integral de (4.62), segue ue esta integral ode estimada or I, onde I = u + α ϕ α α dx. Para estimar esta integral vamos alicar o Corolário 4.3 com a condição (4.6). Para isto egamos s = + e notamos ue a rimeira desigualdade na condição (4.55)

36 4.3 Estimativas a Priori ara Soluções Positivas do Problema Poliharmônico imlica ue s < N. E assim denimos L > 0 or 2m E L = + α = r, α α = rτ, r = + 2m N. (4.63) Com estas euações odemos determinar as constantes α, τ e r: + 2m τ N. (4.64) α = N NL NL + N NL N NL NL, τ =, r = + N + + N + + NL. (4.65) Vamos vericar ue de fato 0 < α <, 0 < τ < e r >. Claramente + NL > 0 e + N + > 0. Armamos ue + N NL > 0, ou euivalentemente ue + N > NL. Pela NL(N + ) condição (4.55), é suciente vericar ue + N >, a ual é verdadeira N 2m + usando a denição de L. Para vericar ue L L > 0, notamos ue é euivalente a vericar ue < N + 2m N 2m. Mas odemos vericar ue N + N 2m + < N + 2m, e assim ela N 2m condição em (4.55), temos ue < N + 2m N 2m. Assim temos ue α, τ > 0. E é fácil vericar ue α, τ < e de (4.64) segue ue r >. Agora alicando o Corolário (4.4) estimamos I, como segue: I C. u r W +. (4.66) 2m, Observamos ue θ = r( α) = ( α) + or (4.64) e usando a condição (4.55) segue ue θ < +. Usando (4.59), (4.62) e (4.66) temos ue + u + 2m, W C( u θ + 2m, W + ). (4.67) Como θ < + odemos usar a desigualdade de Young com ɛ > 0 sucientemente eueno ara obter ue u W 2m, + C. (4.68) (iii) Neste asso usamos um argumento de bootstra como no teorema (4.5). Isto comleta a rova do Teorema.

37 34 Referências Bibliográcas [ADN] Agmon, S.; Douglis, A.; Nirenberg, L. Estimates near the boundary for solutions of ellitic artial dierential euations satisfying general boundary conditions. I, Comm. Pure Al. Math. 2 (959), [B] Brézis, H. Functional Analysis, Sobolev Saces and Partial Dierential Euations. Sringer Science Business Media, 20. [BT] Brézis, H.; Turner, R. On a Class of Suerlinear Ellitic Problems. Comm. Partial Di. Euations, 2, (977) [CFM] Clément, Ph.; de Figueiredo, D. G.; Mitidieri, E. A riori estimates for ositive solutions of semilinear ellitic systems via Hardy-Sobolev ineualities. Nonlinear artial dierential euations, Pitman Res. Notes Math. Ser. 343, (996) [CFS] Cuesta, M.; de Figueiredo, D. G.; Srikanth, P. N. On a resonant-suerlinear ellitic roblem. Calc. Var. 7, (2003). [F] Folland, G. B. Real Analysis: Modern Techniues and Their Alications. Wiley- Interscience Publication, 999. [GT] Gilbarg, D; Trudinger, N. S. Ellitic Partial Dierential Euations of Second Order. Vol. 224 of the Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (200). [K] Kavian, O. Inegalité de Hardy-Sobolev et Alication. Thèse de Doctorat de 3 eme cycle, Université de Paris VI, (978). [KO] Kannan, R.; Otega, R. Suerlinear ellitic boundary value roblems. Czechoslovak Math. J. 37(2) (987), no. 3, [N] Nirenberg, L. On Ellitic Partial Dierential Euations. Ann. Sc. Norm. Su. Pisa. 3, 959,. -48.