Sobre um Sistema do tipo Schrödinger-Poisson

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1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Sobre um Sistema do tipo Schrödinger-Poisson por Alex de Moura Batista sob orientação do Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Abril/2012 João Pessoa - PB

2 Sobre um Sistema do tipo Schrödinger-Poisson por Alex de Moura Batista Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Análise. Aprovada por: Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros - UFPB (Orientador) Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo - UFPA Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo - UFPB Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó - UFPB (Suplente) Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Abril/2012 João Pessoa - PB

3 Agradecimentos Agradeço a Deus por todas as oportunidades que tive durante minha vida. Agradeço pela saúde, pela força de vontade e por mais esta etapa concluída. Muito obrigado Deus! A minha mãe e ao meu pai por todo amor, carinho e confiança que sempre me deram. Vocês são o meu porto seguro e a razão do meu viver. Agradeço, ainda, ao meu irmão pelos momentos de descontração que tivemos. Valeu Diego. Ao meu orientador, Everaldo Souto de Medeiros, pela excelente orientação, pela paciência no início do nosso trabalho, por todo ensinamento a mim proporcionado, pela autonomia e confiança a mim concedida. Muito obrigado Everaldo! As minhas colegas de mestrado Elizabeth e Rainelly pela amizade, pelos momentos de estudo e de descontração. Um agradecimento especial a Elisânia, por todo o conhecimento compartilhado, pelas conversas, pelos conselhos e por ter me incentivado nos momentos em que mais precisei. Aos professores Giovany de Jesus Malcher Figueiredo e Uberlandio Batista Severo, por aceitarem avaliar meu trabalho, pelos comentários e sugestões tão necessárias para a melhoria deste trabalho. Ao professor Cleto Brasileiro Miranda Neto pelo aprendizado que adquiri em suas aulas e por se apresentar sempre atencioso e disponível. Aos demais professores da Pós-Graduação em Matemática da UFPB que contribuíram para a minha formação. Um agradecimento especial a professora de graduação, Lourena Karin de Medeiros Rocha, por me ensinar a gostar de matemática, por todo ensinamento e incentivo. Agradeço, ainda ao professor Adriano Thiago Lopes Bernardino, pelo incentivo e conselhos. A todos os meus amigos e colegas da graduação. Vocês foram fundamentais pela graduação tão proveitosa que tive. Obrigado a todos! A dona Cida pela hospedagem durante esses anos de mestrado. Enfim, ao CNPq pelo apoio financeiro.

4 Dedicatória Ao meu pai

5 Resumo Nesta dissertação, estudaremos a existência de dois tipos de soluções fracas não negativas para uma classe de problemas do tipo Schrödinger-Poisson, os quais modelam fenômenos físicos, por exemplo, em Mecânica Quântica. Inicialmente, encontraremos uma solução fraca que minimiza o nível de energia mínima associado a variedade de Nehari N. Tal solução é denominada do tipo ground state e sua obtenção será feita através de argumentos de minimização e do Princípio Variacional de Ekeland. Em seguida, encontraremos uma solução fraca estritamente positiva que não é do tipo ground state. Tal solução é denominada do tipo bound state e sua obtenção será feita através do Teorema de Linking. Palavras-chave: Ground state, Bound state, Variedade de Nehari, Argumentos de Minimização, Princípio Variacional de Ekeland, Teorema de Linking. ii

6 Abstract In this dissertation we study the existence of two types of not weak solutions negative for a class of problems of the type Schrödinger-Poisson model which physical phenomena, for example, quantum mechanics. Initially, we find a weak solution that minimizes the level minimum energy associated with the variety of Nehari N. This remedy shall call type and its ground state is obtained made through arguments and the minimization principle Ekeland variational. Then find a weak solution strictly positive is not the type ground state. such a solution shall call type and their bound state will be obtained through the Linking Theorem. Keywords: Ground state, Bound state, Variety of Nehari, Arguments minimization, the Ekeland Variational Principle, Theorem Linking. iii

7 Sumário 1 Formulação Variacional do Problema Equação de Acoplamento Variedade de Nehari Existência de Solução do tipo Ground State Problemas Auxiliares O Problema (P ) O Problema (P a ) Projeções Sobre a Variedade de Nehari Um Lema de Compacidade Prova da Proposição Condição (P S) Estimativa de Nível Prova do Teorema Existência de Solução do tipo Bound State Não Existência de Solução do tipo Ground State Funções Auxiliares Ferramentas do Tipo Minimax Outros níveis para a condição (P S) d Prova do Teorema A Resultados Utilizados 61 Referências Bibliográficas 83 iv

8 Notações Neste trabalho, faremos uso das seguintes notações: Notações gerais B δ (x) denota a bola aberta de raio δ e centro x;, denota convergência fraca e forte, respectivamente; denota imersão; µ(ω) denota a medida de Lebesgue do subconjunto Ω ; q.t.p. é uma abreviação de quase toda ponto; u x i denota a derivada parcial da função u : Ω R em relação a x i ; ( ) u u = x 1, u x 2, u x 3 denota o gradiente da função u : Ω R; u = 3 u i=1 x i denota o laplaciano da função u : Ω R;, denota produto interno; f = o(g) quando x x 0 se lim x x0 f(x) / g(x) = 0; u + = max{u, 0} e u = max{ u, 0}. Espaço de Funções C(X, Y ) denota o espaço das funções contínuas de X em Y ; C 0 (Ω) denota o espaço das funções contínuas com suporte compacto em Ω; C k (Ω) denota o espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis sobre Ω, k N; C (Ω) = k 1 C k (Ω); C0 (Ω) = C 0 (Ω) C (Ω); { } C 0,α f(x) f(y) (Ω) = u C(Ω); sup x,y Ω < denota o espaço das funções de x y x y γ Hölder; C m,α (Ω) = { f C(Ω); D β f C 0,α (Ω) para todo β m } ;

9 Para 1 p < + denotemos L p (Ω) = { u : Ω R; Ω } u p dx < ; L p loc (Ω) = { u L p (Ω ) para todo compacto Ω Ω } L (Ω) = { } u : Ω R; u(x) C q.t.p sobre Ω para algum C > 0 ; W 1,p (Ω) é o espaço das funções u L p (Ω) tais que existem g i i = 1, 2, 3 satisfazendo u ϕ dx = ϕg i dx ϕ C0 (Ω), i = 1, 2, 3 x i Ω Ω := u x i L p (Ω) Com g i i = 1, 2, 3 satisfazendo a propriedade acima temos { } D 1,2 (Ω) = u L 2 (Ω) : g i L 2 (Ω) i = 1, 2, 3 ; Para p = 2 temos W 1,2 (Ω) = H 1 (Ω); Hrad 1 (R3 ) é o subespaço das funções radiais de H 1 ( ); H 1 denota o dual do espaço H 1 ( ); D 1,2 ( ) denota o dual do espaço D 1,2 ( ); Normas u = inf{c > 0; u(x) C q.t.p em Ω} denota a norma do espaço L (Ω); ( ) 1 u p = u p p dx ( ) 1 u p,ω = Ω u p p dx u H 1 = u D 1,2 = ( u ( 3 i=1 u denota a norma do espaço de Lebesgue L p ( ); denota a norma do espaço de Lebesgue L p (Ω) com Ω ; 2 x i i=1 u x i 2 2 ) ) 1 2 denota a norma sobre o espaço H 1 ( ); denota a norma sobre o espaço D 1,2 ( ). Constantes C, C 1, C 2,... denota constantes positivas;

10 S é a melhor constante da imersão D 1,2 ( ) L 6 ( ) contínua, mais precisamente S = u D 1,2 inf. u D 1,2 ( )\{0} u 6 S é a melhor constante da imersão H 1 ( ) L 6 ( ) contínua, mais precisamente S = u H 1 inf. u H 1 ( )\{0} u 6

11 Introdução Neste trabalho, estudaremos questões referentes a existência de soluções fracas nãonegativas para a seguinte classe de sistemas: { u + u + K(x)φ(x)u = a(x) u p 1 u em, φ = K(x)u 2 em (S), onde as funções a, K : R são não-negativas e satisfazem algumas propriedades integrais. A motivação do estudo do sistema (S) vem da análise da equação de Schrödinger não linear i ψ t ψ + K(x)φ(x)ψ = a(x) ψ p 1 ψ em (0, ), com a interação de um campo Magnético, onde a função ψ : R C é do tipo ψ(x, t) = e it u(x), com t R, u : R. Maiores detalhes sobre a dedução do sistema (S) podem ser encontradas em [1] ou [7]. Problemas semelhantes têm sido amplamente investigados e possuem forte relação com a física, uma vez que aparecem em modelos da mecânica quântica (veja, por exemplo, [7]) e na teoria de semicondutores (veja, por exemplo, [5]). Em particular, sistemas como (S) foram introduzidos em [5] e [6] como um modelo que descreve ondas solitárias não-lineares para equações estacionárias do tipo Schrödinger que interagem com um campo eletrostático, e são geralmente conhecidos como sistemas do tipo Schrödinger-Poisson. Com efeito, no sistema (S), a primeira equação é do tipo Schrödinger não-linear estacionária (onde, como de costume, o termo não-linear simula a interação entre muitas partículas), que é acoplada com uma equação do tipo Poisson. Isto significa que o potencial é determinado pela carga da função de onda. Desde que usaremos técnicas variacionais, afim de que a imersão de Sobolev H 1 ( ) L p+1 ( ) seja compacta, vamos assumir no decorrer deste trabalho que p (3, 5). Como veremos, para cada u H 1 ( ), o problema φ = K(x)u 2 em, (P) possui uma única solução fraca denotada por φ u D 1,2 ( ). Assim, a existência de solução fraca para o sistema (S) é reduzida ao estudo de soluções fracas para o problema u + u + K(x)φ u (x)u = a(x) u p 1 u em. (P 1 ) viii

12 A existência de soluções para o problema (P 1 ) será obtida através de técnicas variacionais, isto é, a ele associaremos o funcional energia I : H 1 ( ) R definido por I(u) = 1 2 u K(x)φ u (x)u 2 dx 1 a(x) u p+1 dx, (1) 4 R p cujos pontos críticos são soluções fracas de (P 1 ). Desde que, não temos condições de simetria sobre as funções K(x) e a(x), o estudo do problema (P 1 ) será uma cuidadosa investigação do comportamento das sequências de Palais-Smale do funcional I. Este trabalho foi baseado no artigo de Cerami-Vaira [11] e é constituído de três capítulos e um apêndice, conforme descreveremos a seguir. No Capítulo 1, introduziremos as ferramentas variacionais necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. Isto será feito sob as condições: (a 1 ) lim x a(x) = 1, a L ( ) e a 0 em ; (K) K L 2 ( ) C( ) e K > 0 em. Inicialmente, para cada u H 1 ( ), mostraremos através do Teorema da Representação de Riesz que o problema (P) possui uma única solução fraca, denotada por φ u D 1,2 ( ). Visto que o funcional I não é limitado inferiormente, com o objetivo de obter uma solução via metódos de minimização, introduziremos a variedade de Nehari { } N := u H 1 ( )\{0}; I (u)u = 0, associada ao funcional I definido em (1), na qual o funcional I N Assim, o nível de energia mínima associado ao funcional I { } m = inf I(u); u N é limitado inferiormente. está bem definido. capítulos. Este nível será fundamental para o desenvolvimento dos próximos No Capítulo 2, assumindo que as funções a e K satisfazem: (a 1 ) lim x a(x) = 1, a L ( ); (a 2 ) a(x) 1 em com a 1; (K) K L 2 ( ) C( ) e K > 0 em, encontraremos uma solução fraca u H 1 ( ) para o problema (P 1 ) que minimiza o nível de energia mínima m, ou seja, I(u) = m. Esta solução é denominada de solução do tipo ground state do problema (P 1 ). O principal resultado deste capítulo é: Teorema 0.1 Sob as condições (a 1 ), (a 2 ) e (K), assumindo que K 2 2 < mϑ m ϑ a, σm 1+ϑ a com ϑ = p 3 p+1 e σ = 2 p+1 p 1 S 2 S 4, onde S e S são, respectivamente, as melhores constantes das imersões H 1 ( ) L 6 ( ) e D 1,2 ( ) L 6 ( ), então o problema (P 1 ) possui uma solução do tipo ground state. ix

13 Os números m e m a são os níveis de energia mínima associados aos respectivos problemas e w + w = w p 1 w em (P ) w + w = a(x) w p 1 w em. (P a ) Um importante resultado deste capítulo será a Proposição 2.3, da qual, como consequência imediata, temos que o funcional I N satisfaz a condição (P S) c para todo c (0, m ) e que, além disso, c = I(u), para alguma u H 1 ( ) solução fraca do problema (P 1 ). Afim de usarmos este resultado, mostraremos que m (0, m ) e, através o Princípio Variacional de Ekeland, mostraremos que existe uma sequência (u n ) N tal que I(u n ) m e I(u n ) 0. Assim, iremos garantir a existência de uma função u H 1 ( ) que é solução do tipo ground state para o problema (P 1 ). Para finalizarmos a prova do Teorema 0.1 provaremos, através do Teorema do Multiplicadores de Lagrange que, u H 1 ( ) é uma solução do tipo ground state do problema (P 1 ). No Capítulo 3, assumindo que as funções a e K satisfazem: (a 1 ) lim x a(x) = 1, a L ( ); (a 3 ) a 1 em e a 0 = inf x a(x) > 0; (K) K L 2 ( ) C( ) e K > 0 em, mostraremos que o problema (P 1 ) não possui solução do tipo ground state. Por outro lado, mostraremos que o problema (P 1 ) possui uma solução fraca estritamente positiva. Tal solução é denominada do tipo bound state. O principal resultado deste capítulo é: Teorema 0.2 Sob as condições (a 1 ), (a 3 ) e (K), assumindo que 1 + η K 2 2 a 0 < 2 p 3 p+1, com η = 2 p+1 p 1 S 4 S 2 m, então o problema (P 1 ) possui uma solução do tipo bound state. A prova deste resultado será estabelecida através de ferramentas do tipo minimax. Inicialmente, determinaremos Q H 1 ( ) de onde através deste subconjunto definiremos o caminho { } γ := h C(Q, N ); h Q = id, e o nível minimax c := inf h γ max u Q ϕ(h(u)). No Capítulo 2 provaremos que o funcional I N satisfaz a condição (P S) d para todo d (0, m ). No entanto, o nível minimax c não pertence ao intervalo (0, m ). Para x

14 contornarmos esta dificuldade, afim de obtermos um importante resultado de compacidade, provaremos que o funcional I N satisfaz a condição (P S) d para todo d pertencente a um novo intervalo onde o nível minimax c pertence a este novo intervalo. Com isso, utilizando o Teorema de linking, provaremos a existência de uma solução fraca não negativa para o problema (P 1 ). Através de argumentos de regularidade e do Princípio do Máximo Forte provaremos que esta solução é estritante positiva. Esta solução, não é do tipo ground state e, portanto, é do tipo bound state e, com isso, provaremos o Teorema 0.2. No Apêndice A, enunciaremos alguns resultados que utilizamos no decorrer deste trabalho. xi

15 Capítulo 1 Formulação Variacional do Problema Neste capítulo, iremos introduzir as ferramentas variacionais necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. Inicialmente, assumiremos que as funções a, K : R satisfazem (a 1 ) lim x a(x) = 1, a L ( ) e a 0 em ; (K) K L 2 ( ) C( ) e K > 0 em. As funções a : R em e K : R definidas por a 1 em e { 1/ x, se x > 1 K(x) = 1, se x 1, são exemplos de funções que satisfasem as condições (a 1 ) e (K). 1.1 Equação de Acoplamento Conforme provaremos abaixo, para cada função u H 1 ( ), o problema φ = K(x)u 2 em, (1.1) possui uma única solução fraca denotada por φ u D 1,2 ( ). O objetivo desta seção é estudar as principais propriedades desta função. Iniciamos com o seguinte resultado: Lema 1.1 Para cada u H 1 ( ), o problema (1.1) possui uma única solução φ u D 1,2 ( ). Demonstração: Para cada u H 1 ( ) considere a aplicação L u : D 1,2 ( ) R definida por L u (ϕ) = K(x)u 2 ϕdx. Desde que, u H 1 ( ) L 6 ( ), então u 2 L 3 ( ). Sendo assim, como ϕ D 1,2 ( ) L 6 ( ) e K L 2 ( ), pela desigualdade de generalizada Hölder L u (ϕ) = K(x)u 2 ϕdx K(x)u 2 ϕdx K 2 u 2 3 ϕ 6. 1

16 1.1 Equação de Acoplamento Ainda pela imersão D 1,2 ( ) L 6 ( ), segue L u (ϕ) S 1 K 2 u 2 6 ϕ D 1,2, (1.2) de onde concluímos que a aplicação L u está bem definida e é limitada, pois claramente esta aplicação é linear. Como D 1,2 ( ) é um espaço de Hilbert munido do produto interno u, ϕ = u ϕdx, pelo Teorema da Representação de Riesz, para cada u H 1 ( ) existe um único φ u D 1,2 ( ) tal que φ u ϕ dx = K(x)u 2 ϕdx, (1.3) para toda ϕ D 1,2 ( ). Dessa forma, φ u é a única solução fraca do problema (1.1), e isto completa a prova deste lema. Ainda pelo Teorema da Representação de Riesz, temos φ u D 1,2 = L u. Com isso, por (1.2) e pela imersão H 1 ( ) L 6 ( ), segue de onde por (1.3) temos ou seja, ( φ u D 1,2 S 1 S 2 K 2 u 2, (1.4) K(x)φ u (x)u 2 dx ) 1 2 S 1 S 2 K 2 u 2, K(x)φ u (x)u 2 dx S 2 S 4 K 2 2 u 4. (1.5) Agora, considere a aplicação Φ : H 1 ( ) D 1,2 ( ) que para cada u H 1 ( ) associa Φ(u) := φ u D 1,2 ( ) que é a única solução fraca do problema (1.1). O lema abaixo é o principal resultado desta seção e contém as principais propriedades da aplicação Φ. Lema 1.2 A aplicação Φ satisfaz as seguintes propriedades: 1) Φ aplica conjuntos limitados em conjuntos limitados; 2) Se u n u em H 1 ( ), então a menos de subsequência Φ(u n ) Φ(u) em D 1,2 ( ); 3) Φ(tu) = t 2 Φ(u) para todo t R e u H 1 ( ); 4) Se u 0 então Φ(u) > 0 em. 2

17 1.1 Equação de Acoplamento Demonstração: Inicialmente provaremos o item 1). Seja A H 1 ( ) um subconjunto limitado. Por (1.4), segue que φ u D 1,2 S 1 S 2 K 2 C 2, para todo u A e para alguma constante C > 0, o que prova este item. Agora, provaremos o item 2). Seja (u n ) H 1 ( ) tal que u n u em H 1 ( ). Mostraremos que a menos de subsequência φ un φ u em D 1,2 ( ). (1.6) Note que, para provarmos a convergência acima, é suficiente mostrar que φ un, ϕ = K(x)ϕu 2 n dx K(x)ϕu 2 dx = φ u, ϕ, (1.7) para toda ϕ D 1,2 ( ), pois dado f D 1,2 ( ), pelo Teorema da Representação de Riesz existe única u = u(f) D 1,2 ( ) tal que f(ϕ) = u, ϕ para todo ϕ D 1,2 ( ). Assim, supondo (1.7) temos f(φ un ) f(φ u ), e isto prova (1.6). Agora, provaremos (1.7) e, com isso, concluímos a prova deste item. As igualdades de (1.7) seguem de (1.3). Desde que, u n H 1 ( ) L 6 ( ), temos u 2 n L 3 ( ), além disso, K L 2 ( ) e ϕ H 1 ( ) L 6 ( ), de onde pela desigualdade generalizada de Hölder temos que ( K(x)ϕ(u 2 n u 2 ) )dx ϕ 6 (K(x)) 6 5 u 2 n u dx. (1.8) Assim, para provarmos (1.7), é suficiente verificarmos que lim n (K(x)) 6 5 u 2 n u dx = 0. (1.9) Desde que, K L 2 ( ), u 2 n u 2 L 3 ( ) e (u n ) é limitada em H 1 ( ) L 6 ( ), dado ρ > 0, pela desigualdade de Hölder, segue B ρ(0) c (K(x)) 6 5 u 2 n u dx K 6 5 2,B ρ(0) c ( B ρ(0) c u 2 n u 2 3 dx ) 4 10 (1.10) e ( ) 4 u 2 n u dx u n u u n + u C 1, (1.11) para alguma constante C 1 > 0. Além disso, χ Bρ(0) c K 2 K 2, para todo ρ > 0. Desde que, K L 2 ( ), pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e pela Proposição A.6 (veja Apêndice), segue lim ρ (K(x)) 2 dx = 0. B ρ(0) c o que implica que dado ɛ > 0, temos K 2,Bρ(0) c < ɛ, 3

18 1.1 Equação de Acoplamento para ρ > 0 suficientemente grande. Com isso, por (1.10) e (1.11), obtemos B ρ(0) c (K(x)) 6 5 u 2 n u dx C1 ɛ, (1.12) para ρ > 0 suficientemente grande. Agora, dado M > 0, defina o conjunto Ω M = { x B ρ (0); K(x) M }, com ρ > 0 obtido acima. Assim M 2 µ(ω M ) (K(x)) 2 dx Ω M (K(x)) 2 dx, para todo M > 0, onde µ(ω M ) é a medida de Lebesgue do conjunto Ω M. Desde que, K L 2 ( ), então lim µ(ω M ) = 0, quando M. Dessa forma, pela Proposição A.6 (veja Apêndice), dado ɛ > 0, temos ( Ω M (K(x)) 2 dx para M suficientemente grande. Assim, pela desigualdade de Hölder e por (1.11), segue (K(x)) 6 5 u 2 n u dx = (K(x)) 6 5 u 2 n u dx + (K(x)) 6 5 u 2 n u dx B ρ(0) Ω M B ρ(0)\ω M C 2 ɛ + M 6 5 u 2 n u dx. B ρ(0)\ω M (1.13) Por outro lado, u n u, u n +u H 1 ( ) L 12 5 ( ). Assim, (u n u) 6 5, (u n +u) 6 5 L 2 ( ). Pela desigualdade de Hölder u 2 n u dx un + u ,Bρ(0) u n u ,Bρ(0). B ρ(0)\ω 5 5 M Sendo assim, como (u n + u) é limitada em H 1 ( ) L 12 5 ( ) e u n u em L 12 5 (B ρ (0)), pois H 1 (B ρ (0)) L 12 5 (B ρ (0)), compactamente e u n u em H 1 ( ), temos lim u 2 n u dx = 0. n B ρ(0)\ω M Dessa forma, por (1.12) e (1.13), obtemos lim n ) 6 10 ɛ, (K(x)) 6 5 u 2 n u dx = 0, de onde por (1.8) seque (1.7) e isto completa a prova deste item. Agora, provaremos o item 3). Pelo Lema 1.1, para cada u H 1 ( ), o problema φ = K(x)u 2 em 4

19 1.1 Equação de Acoplamento possui uma única solução fraca denotada por φ u. Mais precisamente, φ u ϕdx = K(x)u 2 ϕdx, para toda ϕ D 1,2 ( ). Assim, para todo t R, segue φ tu ϕdx = K(x)(tu) 2 ϕdx = t R 2 K(x)u 2 ϕdx 3 = t R 2 φ u ϕdx, 3 para toda ϕ D 1,2 ( ), o que implica em (φ tu t 2 φ u ) ϕdx = 0, para toda ϕ D 1,2 ( ). Em particular, tomando ϕ = φ tu t 2 φ u, temos ϕ 2 D 1,2 = ϕ ϕ = 0. Desde que,. D 1,2 é uma norma, segue ϕ = 0, o que implica em φ tu = t 2 φ u, para todo t R e u H 1 ( ), como queríamos. Agora, provaremos o item 4). Inicialmente, afirmamos que φ u 0. Com efeito, desde que φ u ϕdx = K(x)u 2 ϕdx, para toda ϕ D 1,2 ( ), tomando ϕ = φ u, temos (φ + u φ u ) φ u dx = K(x)u 2 φ u dx, o que implica em φ u D 1,2 = K(x)u 2 φ u dx 0, isto é, φ u D 1,2 = 0 o que prova a afirmação, pois φ u = φ + u 0. Agora, visando utilizar um resultado de regularidade mostraremos que φ u C 2 ( ). (1.14) Note que, φ u D 1,2 ( ) satisfaz o problema { u + u + K(x)φ(x)u = a(x) u p 1 u em, φ = K(x)u 2 em, (S) 5

20 1.1 Equação de Acoplamento no sentido fraco. Assim, para provarmos (1.14) iremos utilizar o problema Note que podemos escrever u + u + K(x)φ u (x)u = a(x) u p 1 u em. (P 1 ) u = ψ, onde ψ(x) := a(x) u p 1 u u K(x)φ u (x)u. Assim, ψ(x) f(x)(1 + u ), com f(x) := a(x) u p 1 1 K(x)φ u (x). Agora, afirmamos que f L 3 2 loc ( ). Desde que, K L 2 ( ) então K 3 2 L 4 3 ( ). Como φ u D 1,2 ( ) L 6 ( ) temos φ 3 2 u L 4 ( ), o que pela desigualdade de Hölder segue Kφ u L 3 2 loc ( ). Assim, como a L ( ) e sendo 3 < s := 3(p 1) < 6 (p (3, 5)) e u 2 H1 ( ) L s ( ) segue a afirmação. Pelo Teorema de Brezis-Kato (veja Proposição A.22 do Apêndice), u L q ( ) para todo q < +. Agora, note que, φ 3 u L 2 ( ) e u 3 L 2 ( ). Pela desigualdade de Hölder segue que φ u u L 3 ( ). Sendo assim, como u L q ( ) para todo q < + e pela condição (K) K C( ) segue que ψ L 3 loc (R3 ). Disto, temos pela Proposição A.20 que u W 2,3 loc (R3 ), o que pela Proposição A.17 implica que u C 0,γ loc (R3 ) para algum γ < 1. Dessa forma, Kφ u C 0,γ loc (R3 ), o que pela Proposição A.19 implica (1.14), como queríamos. Agora, mostraremos que φ u > 0 em e, com isso, finalizar a prova deste item. Suponhamos por contradição que φ u (x 0 ) = 0 para algum x 0. Desde que por (1.14) φ u C 2 ( ) e φ u = K(x)u 2 0 em B ρ (x 0 ), pelo Princípio do Máximo Forte (veja Proposição A.21 do Apêndice), temos φ u = 0 para toda bola B ρ (x 0 ), o que implica em Ku 2 = 0 em B ρ (x 0 ). Como B ρ (x 0 ) é arbitrária segue Ku 2 = 0 em. Desde que, pela condição (K) K > 0 em, temos u 0 em, o que é uma contradição. Portanto φ u > 0 em e isto completa a prova deste lema. Observação 1.1 Agora, para aplicações futuras, daremos uma representação integral para φ u D 1,2 ( ) solução fraca do problema φ = K(x)u 2 em, (1.15) onde u H 1 ( ). Definindo f := Ku 2, pelo Teorema de Calderon-Zygmund (veja Proposição A.20 do Apêndice) o potencial newtoniano N f (x) = 1 K(y) 3ω 3 x y u2 (y)dy onde ω 3 é o volume da bola unitária de, é solução fraca do problema (1.15). Assim, φ u (x) = 1 K(y) 3ω 3 x y u2 (y)dy q.t.p. em, como queríamos. 6

21 1.2 Variedade de Nehari 1.2 Variedade de Nehari Nesta seção, iremos introduzir a variedade de Nehari N e provar suas principais propriedades. Observação 1.2 Pelo Lema 1.1 para cada função u H 1 ( ) o problema φ = K(x)u 2 em, possui uma única solução fraca φ u D 1,2 ( ). Logo, resolver o problema { u + u + K(x)φ(x)u = a(x) u p 1 u em, φ = K(x)u 2 em, (S) é equivalente a encontrarmos soluções fracas para o problema u + u + K(x)φ u (x)u = a(x) u p 1 u em. (P 1 ) Agora, iremos obter a formulação variacional para o problema (P 1 ). Entende-se como solução clássica de (P 1 ) uma função u de classe C 2 ( ) que satisfaz (P 1 ) pontualmente. Seja ϕ C0 ( ) e suponhamos que u é uma solução clássica de (P 1 ). Multiplicando (P 1 ) por ϕ e usando integração por partes, temos u ϕdx + uϕdx + K(x)φ u (x)uϕdx = a(x) u p 1 uϕdx. (1.16) Por argumento de densidade, temos que (1.16) é válida para toda ϕ H 1 ( ). Motivado por (1.16), temos a seguinte definição: Definição 1.1 Dizemos que u H 1 ( ) é solução fraca do problema (P 1 ) se satisfaz a equação integral (1.16) para toda ϕ H 1 ( ). Seja I : H 1 ( ) R o funcional definido por I(u) = 1 2 u K(x)φ u (x)u 2 dx 1 a(x) u p+1 dx. (1.17) 4 R p Pelo Corolário A.4 (veja Apêndice), este funcional está bem definido e I (u)ϕ = u ϕdx + uϕdx + K(x)φ u (x)uϕdx a(x) u p 1 uϕdx, para toda ϕ H 1 ( ). Portanto, prontos críticos do funcional I são soluções fracas do problema (P 1 ). Agora, afirmamos que o funcional I não é limitado inferiormente. Com efeito, por 3) do Lema 1.2, temos φ tu = t 2 φ u para todo t R e u H 1 ( ). Assim, I(tu) = t2 2 u 2 + t4 4 R3 K(x)φ u (x)u 2 dx tp+1 p + 1 a(x) u p+1 dx, (1.18) e isto implica que I(tu) quando t +, já que p > 3. Assim, a seguinte definição é conveniente: 7

22 1.2 Variedade de Nehari Definição 1.2 (Variedade de Nehari) A variedade de Nehari associada ao funcional I definido em (1.17) é definida por { } N := u H 1 ( )\{0}; I (u)u = 0. Observação 1.3 A variedade de Nehari N é não vazia. Com efeito, por 1) do Lema 1.3 que provaremos a seguir para cada u H 1 ( )\{0} existe único t u > 0 tal que t u u N. Essa definição é conveniente pois por 2) do Lema 1.3, que será provado a seguir, tem-se que I N é limitado inferiormente por uma constante positiva. Esta limitação será fundamental para os resultados que pretendemos obter. Em seguida, mostraremos que o funcional I N assume formas simples. Se u N temos 1 K(x)φ u (x)u 2 dx = 1 a(x) u p+1 dx 1 4 R 4 3 R 4 u 2 3 e 1 a(x) u p+1 dx = 1 p + 1 R p + 1 u 2 1 K(x)φ u (x)u 2 dx. p Substituindo estas duas igualdades em (1.17), obtemos ( 1 I N (u) = 2 1 ) ( 1 u 2 + p ) K(x)φ u (x)u 2 dx p + 1 = 1 ( 1 4 u ) a(x) u p+1 dx. p + 1 (1.19) Como consequência, I é limitado inferiormente, pois p (3, 5) e a, K são funções nãonegativas. Definição 1.3 O número m = inf { I(u); } u N é denominado de nível de energia mínima associado ao funcional I definido em (1.17). Por (1.19) o número m está bem definido. O próximo lema contém as principais propriedades da variedade de Nehari N. Antes de enunciá-lo, daremos a seguinte definição: Definição 1.4 Sejam X um espaço de Banach, ψ C 2 (X, R) e V = {v X; ψ(v) = 1} tal que, para todo v V, tem-se ψ (v) 0. Então, temos i) O espaço tangente a V no ponto v é definido por { } T v V = y X; ψ (v), y = 0. ii) Sejam ϕ C 1 (X, R) e v V. A norma da derivada da restrição de ϕ a V em v é dada por ϕ (v) = sup ϕ (v), y. y TvV y =1 8

23 1.2 Variedade de Nehari iii) O ponto v é um ponto crítico de ϕ restrito a V se ϕ (v) = 0. Assim, sabemos definir um ponto crítico do funcional I N. Lema 1.3 Sobre a variedade de Nehari N podemos afirmar que 1) Para toda u H 1 ( )\{0} existe um único t u > 0 tal que t u u N ; 2) N é homeomorfa a esfera unitária de H 1 ( ); 3) O nível m dado na Definição 1.3 é estritamente positivo; 4) u é um ponto crítico do funcional I se, e somente se, u é um ponto crítico do funcional I N. 5) Seja u N tal que I(u) = m, então u é solução fraca do problema (P 1 ). Demonstração: Inicialmente provaremos o item 1). Para isto, considerando (1.18), para cada u H 1 ( )\{0} definiremos a função g : (0, + ) R por R3 g(t) = I(tu) = t2 2 u 2 + t4 K(x)φ u (x)u 2 dx tp+1 a(x) u p+1 dx. 4 p + 1 Note que, esta função admite um ponto de máximo, pois lim g(t) = 0 e lim g(t) =, t 0 t + já que p > 3, mais precisamente, existe t u (0, + ) tal que max t>0 I(tu) = I(t uu). (1.20) Agora, afirmamos que t u u N. Com efeito, desde que t u é um ponto de máximo da função g, temos g (t u ) = 0, de onde concluímos que g (t u )t u = t u u 2 + K(x)φ tuu(x)(t u u) 2 dx a(x) t u u p+1 dx = 0, disto segue por 3) do Lema 1.2 que t 2 u u 2 + t 4 u K(x)φ u (x)u 2 dx t p+1 u a(x) u p+1 dx = 0 o que implica em t u u N. Agora, provaremos que t u é único. Com efeito, suponhamos por contradição que existam t 2 > t 1 > 0 tais que t 1 u, t 2 u N. Agora, considere a função f : R R definida por f(t) = a + bt 2 ct p 1, onde a = u 2, b = K(x)φ u (x)u 2 dx e c = a(x) u p+1 dx. 9

24 1.2 Variedade de Nehari Note que, pela condição (a 1 ) sendo u 0, temos c > 0. Assim, f(t 1 ) = f(t 2 ) = 0, o que pelo Teorema de Rolle, existe t 3 (t 1, t 2 ) tal que f (t 3 ) = 0. Dessa forma, t p 3 3 = 2b c(p 1) < b c, pois p > 3. Por outro lado, bt 2 1 < a + bt 2 1 = ct p 1 1, o que implica em b c < tp 3 1. Assim, t 3 < t 1 o que é uma contradição. Portanto, t u é único e isto completa a prova deste item. Agora provaremos o item 2), para isto considere as funções ϕ : S 1 N e ψ : N S 1 definidas por ϕ(u) = t u u e ψ(u) = u u, onde t u > 0 é o único número tal que t u u N e S 1 é a esfera unitária de H 1 ( ). Inicialmente, note que e denotando v = u u, temos (ψ ϕ)(u) = ψ(t u u) = t uu t u u = t uu t u u = t uu t u (ϕ ψ)(u) = ϕ(v) = t v v = t v u u. Sendo assim, desde que u N, temos t v = u, o que implica em (ϕ ψ)(u) = u. Dessa forma, a função ϕ é bijetora. Com isso, para provarmos que a variedade de Nehari N é homeomorfa a S 1, falta-nos provar apenas que as funções ϕ e ψ são contínuas. Provaremos inicialmente a continuidade da função ϕ. Para isto, seja (u n ) S 1 e u S 1 tais que u n u em H 1 ( ). (1.21) Note que, por 1) para cada n N existe único t n > 0 tal que t n u n N e único t u > 0 tal que t u u N. Nosso objetivo é mostrar que = u t n u n t u u em H 1 ( ). (1.22) Com efeito, desde que t n u n N, temos t 2 n u n 2 + t 4 n K(x)φ un u 2 n t p+1 n a(x) u n p+1 = 0. Sendo assim, por (1.21), por i) do Lema 2.10 e pela imersão H 1 ( ) L p+1 ( ) segue lim n t2 n u 2 + lim t 4 n n K(x)φ u u 2 lim t p+1 n n a(x) u p+1 = 0. 10

25 1.2 Variedade de Nehari Note que, pela unicidade do número t u > 0 tal que t u u N, temos lim n t n = t u pois t n > 0 para todo n N. Dessa forma, t n u n t u u t n u n t u u n + tu n tu t n t u u n + t u u n u, o que prova (1.22), de onde concluímos a continuidade da função ϕ. Além disso, a continuidade da função ψ é imediata. Portanto, a variedade de Nehari N é homeomorfa a esfera unitária S 1 de H 1 ( ), e isto completa a prova do item 2). Agora provaremos o item 3). Inicialmente, mostraremos que existe uma constante C > 0 tal que u C, (1.23) para todo u N. Com efeito, como a L ( ), segue a(x) u p+1 dx a Desde que, u H 1 ( ) L p+1 ( ), temos u p+1 dx. a(x) u p+1 dx C 1 u p+1, para alguma constante C 1 > 0. Assim, se u N, então 0 = u 2 + K(x)φ u (x)u 2 dx a(x) u p+1 dx u 2 C 1 u p+1, o que implica que u 1 C 1 p 1 1 = C > 0, para todo u N, o que prova (1.23). Agora, note que, por (1.19) I(u) = 1 ( 1 4 u ) a(x) u p+1 dx. p + 1 para todo u N. Como p > 3 e a função a é não negativa, por (1.23) temos para todo u N e para alguma constante C 2 > 0. Assim, I(u) 1 4 u 2 C 2 > 0, (1.24) m C 2 > 0 e isto completa a prova deste item. Agora, provaremos o item 4). Inicialmente, definindo o funcional G : H 1 ( ) R por G(u) = I (u)u = u 2 + K(x)φ u (x)u 2 dx a(x) u p+1 dx, provaremos que para alguma constante c > 0 G (u)u < c < 0, (1.25) 11

26 1.2 Variedade de Nehari para todo u N. De fato, pelo Corolário A.5 (veja Apêndice) G (u)ϕ = 2 u, ϕ + 4 K(x)φ u (x)uϕdx (p + 1) a(x) u p 1 uϕdx, para toda ϕ H 1 ( ). Em particular, G (u)u = 2 u K(x)φ u (x)u 2 dx (p + 1) a(x) u p+1 dx. Desde que u N, temos u 2 + K(x)φ u (x)u 2 dx = a(x) u p+1 dx, o que implica em G (u)u = (1 p) u 2 + (3 p) K(x)φ u (x)u 2 dx. Como as funções K e φ u são não negativas e p (3, 5) temos G (u)u (1 p) u 2, de onde por (1.23) concluímos (1.25), como queríamos. Agora, se u é ponto crítico do funcional I, então I (u)ϕ = 0, para toda ϕ H 1 ( ). Em particular I (u) = sup I (u)ϕ = 0, ϕ ker G (u) ϕ =1 o que por iii) da Definição 1.4 implica que u é ponto crítico de I N. Reciprocamente, se u é ponto crítico de I N, pelo Corolário A.2 (veja Apêndice) existe λ R tal que Em particular, I (u) = λg (u). I (u)u = λg (u)u. Desde que, u N temos I (u)u = 0. Além disso, por (1.25), G (u)u < 0. Isto implica que λ = 0, de onde concluímos que I (u) = 0, isto é, I (u)ϕ = 0, para toda ϕ H 1 ( ). Portanto, u é um ponto crítico do funcional I. Agora provaremos o item 5). Inicialmente, suponha que, I(u) = m = inf { I(v); v N }, 12

27 1.2 Variedade de Nehari onde N = { } v H 1 ( )\{0}; I (v)v = G(v) = 0. Sendo assim, desde que, por (1.25), G (u) 0, pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (veja Proposição A.23 do Apêndice) I (u) = λg (u), para algum λ R. Logo I (u)u = λg (u)u. Como u N temos I (u)u = 0. Além disso, por (1.25) G (u)u < 0. Assim, λ = 0, o que implica em I (u) = 0 e isto finaliza a prova deste lema. Observação 1.4 O item 5) do lema anterior será fundamental para obtermos, no Capítulo 2, uma solução fraca particular do problema (P 1 ), que é a solução fraca do tipo ground state. Definição 1.5 Conforme provado no item 1) do lema anterior, para cada u H 1 ( )\{0} existe único t u > 0 tal que t u u N. A função t u u é denominada projeção de u sobre a varidade de Nehari N. 13

28 Capítulo 2 Existência de Solução do tipo Ground State Neste capítulo, encontraremos uma solução do tipo ground state para o problema u + u + K(x)φ u (x)u = a(x) u p 1 u em, (P 1 ) onde p (3, 5) e as funções a e K satisfazem: (a 1 ) lim x a(x) = 1, a L ( ); (a 2 ) a(x) 1 em, a 1; (K) K L 2 ( ) C( ) e K > 0 em. As funções a : R e K : R definidas por { 1, se x > 0 a(x) = 2, se x = 0 e K(x) = { 1/ x, se x > 1 1, se x 1, são exemplos de funções que satisfazem as condições (a 1 ), (a 2 ) e (K). Definição 2.1 (Solução do tipo Ground State) Entendemos como solução do tipo ground state para o problema (P 1 ) uma função u H 1 ( )\{0} que é solução fraca do problema (P 1 ) e I(u) = m, onde m é o nível de energia mínima dado na Definição 1.3. O principal resultado deste capítulo é: Teorema 2.1 Sob as condições (a 1 ), (a 2 ) e (K), assumindo que K 2 2 < mϑ m ϑ a, (2.1) σm 1+ϑ a com ϑ = p 3 p+1 e σ = 2 p+1 p 1 S 2 S 4, onde S e S são, respectivamente, as melhores constantes das imersões H 1 ( ) L 6 ( ) e D 1,2 ( ) L 6 ( ), então o problema (P 1 ) possui uma solução do tipo ground state não negativa. Observação 2.1 Os níveis de energia mínima m a e m serão definidos a seguir. 14

29 2.1 Problemas Auxiliares 2.1 Problemas Auxiliares e Nesta seção, estudaremos os problemas w + w = w p 1 w em (P ) w + w = a(x) w p 1 w em, (P a ) onde a função a satisfaz a condição (a 2 ). Tal estudo será fundamental para a obtenção de resultados de compacidade O Problema (P ) Nesta subseção estudaremos o problema (P ). A este problema, associaremos o funcional energia I : H 1 ( ) R dado por I (w) = 1 2 w 2 1 w p+1 dx (2.2) p + 1 e a variedade de Nehari definida por { } N := w H 1 ( )\{0}; I (w)w = 0. Definição 2.2 O número } m = inf {I (w); w N é o nível de energia mínima associado ao funcional I dado acima. Observação 2.2 Se w N, então pela imersão H 1 ( ) L p+1 ( ) temos w p+1 C 1 w 2 = w p+1 p+1, para alguma constante C 1. Assim, w 2 C 2 para alguma constante C 2 > 0, o que implica em ( 1 I (w) 2 1 ) ( 1 w 2 p ) C 2 > 0, p + 1 pois p > 3. Disto segue que m > 0. De forma análoga feita para o problema (P 1 ) definimos uma solução do tipo ground state para o problema (P ). A próxima proposição é o principal resultado desta subseção. Proposição 2.1 O problema (P ) possui uma solução do tipo ground state estritamente positiva w H 1 ( ). Além disso; 1 w é radialmente simétrica e única a menos de translação; 2 Existem constantes C 1, C 2 > 0 tais que para x suficientemente grande. w(x) C 1 e C 2 x, 15

30 2.1 Problemas Auxiliares Antes de provarmos esta proposição, faremos algumas observações. Entendemos por uma solução fraca do problema (P ), uma função w H 1 ( ) tal que w ϕdx + wϕdx = w p 1 wϕdx, para toda ϕ H 1 ( ). Sejam F : H 1 ( ) R e T : H 1 ( ) R funcionais definidos por F (w) = 1 2 w 2 e T (w) = 1 w p+1 dx. p + 1 Pelos Lemas A.7 e A.9 (veja Apêndice) temos que os funcionais F e T são de classe C 1 (H 1, R) e para toda w, ϕ H 1 ( ) F (w)ϕ = ( w ϕ + wϕ)dx e T (w)ϕ = w p 1 wϕdx. Agora, defina M = {w H 1 ( ); T (w) = 1}. Note que, M, pois podemos tomar ϕ C 0 H 1 ( ) tal que ϕ p+1 p+1 = p + 1. A prova da proposição acima será feita em várias etapas com o auxílio dos lemas a seguir. Lema 2.1 S = inf w M F (w) > 0. Demonstração: Desde que H 1 ( ) L p+1 ( ), existe uma constante C > 0 tal que w 2 p+1 C w 2, para todo w H 1 ( ). Dado w M, então w p+1 p+1 = p + 1. Assim, o que implica que como queríamos. 0 < c = (p + 1) p+1 2C 2 w 2, S c > 0, Lema 2.2 O ínfimo S = inf w M F (w) é atingido por uma função v H 1 ( ) não negativa em. Demonstração: Note que existe uma sequência (w n ) M tal que 1 lim n 2 w n 2 = S. Assim, (w n ) H 1 ( ) é limitada, o que implica em lim (sup w n s dx) 0, n y B r(y) 16

31 2.1 Problemas Auxiliares para todo 2 s < 6 e todo r > 0, pois do contrário se lim (sup w n s dx) 0, n y B r(y) pelo Lema de Lions (Proposição A.1, veja Apêndice) teríamos w n 0 em L p+1 ( ), o que seria contradição, já que w n p+1 p+1 = p + 1, pois T (w n ) = 1. Sendo assim, consideremos s = p + 1 e r > 0. Logo, existe ρ > 0 tal que, a menos de subsequência, sup w n p+1 dx ρ. y B r(y) Fixe n N. Usando a definição de supremo, existe y n tal que w n p+1 dx ρ 2. (2.3) B r(y n) Agora, definindo v n (x) := w n (x + y n ), por mudança de variável, temos v n p+1 dx = w n p+1 dx = p + 1 (2.4) e 1 lim n 2 v n 2 1 = lim n 2 w n 2 = S. (2.5) Desde que (v n ) é limitada em H 1 ( ), a menos de subsequência, v n v em H 1 ( ), o que pelo Corolário A.1 (veja Apêndice) implica em Sendo assim, como v n p+1 p+1 = p + 1, segue Dado u 0 em H 1 ( ), seja lim ( v n p+1 p+1 v n v p+1 p+1) = v p+1 p+1. n lim v n v p+1 p+1 = (p + 1) v p+1 p+1. (2.6) n ϕ := (p + 1) 1 u p+1. u p+1 Então ϕ p+1 p+1 = p + 1 o que implica em ϕ M. Assim, 1 1 u ϕ = (p + 1) p+1 2 S, 2 u p+1 onde obtemos u 2 2 (p + 1) 2 p+1 17 S u 2 p+1, (2.7)

32 2.1 Problemas Auxiliares para cada u 0 em H 1 ( ). Agora, defina C = 2 (p + 1) 2 p+1 S. Desde que v n v em H 1 ( ), temos Com isso, por (2.5), segue que Consequentemente, por (2.7), lim v n 2 = lim ( v n v 2 + v 2 ). n n 2S = lim n v n 2 = lim n ( v n v 2 + v 2 ). 2S lim n C v n v 2 p+1 + C v 2 p+1 = C lim ( v n v p+1 p+1 (p + 1) + (p + 1)) 2 2 v p+1 p+1 p+1 + C(p + 1) p+1 ( n p + 1 ) 2 p+1, o que por (2.6) implica Agora, definindo afirmamos que v p+1 2S C(p + 1) 2 p+1 p+1 (1 p + 1 ) 2 2 v p+1 p+1 p+1 + C(p + 1) p+1 ( p + 1 ) 2 p+1. (2.8) b = v p+1 p+1 p + 1, Com efeito, fazendo mudança de variável em (2.3) obtemos v n p+1 dx ρ 2. B r(0) b > 0. (2.9) Desde que H 1 (B r (0)) L p+1 (B r (0)) compactamente e v n v em H 1 ( ), temos v p+1 dx ρ 2 > 0, B r(0) e isto prova a afirmação. Como (v n ) é limitada em H 1 ( ) L p+1 ( ), a menos de subsequência, v n v em L p+1 ( ). Assim de onde por (2.4), segue que v p+1 lim inf n v n p+1 = lim n v n p+1, v p+1 p+1 lim n v n p+1 p+1 = p + 1, 18

33 2.1 Problemas Auxiliares o que implica em b 1. Agora mostraremos que b = 1. Com efeito, se b < 1, defina c = 1 b. Como por (2.9) 0 < b, então c, b (0, 1). Desde que, (c + d) t < c t + d t para todo c, d, t (0, 1), por (2.8) temos 2S C(p + 1) 2 p+1 (b 2 p+1 + (1 b) 2 p+1 ) > C(p + 1) 2 p+1 = 2S, o que é uma contradição. Assim, b = 1, isto é, Como v n v em H 1 ( ), então v lim inf n v n. Logo, isto é, v p+1 p+1 = p + 1. (2.10) v 2 lim inf n 2 v n 2 1 = lim n 2 v n 2 = S, 1 2 v 2 S. Por outro lado, desde que, v p+1 p+1 = p + 1, então v M. Sendo inf u M F (u) = S, por definição de ínfimo 1 2 v 2 S, o que implica em 1 2 v 2 = S. Note que, se w M então w M. Assim, podemos supor que v é não negativa, e isto completa a prova deste lema. Lema 2.3 Seja w H 1 ( ) uma solução fraca do problema (P ). Então, w C 2 ( ). Demonstração: Veja que onde ψ(x) := w p 1 w w. Assim, w = ψ(x), ψ(x) a(x)(1 + w ), com a(x) := w p 1 1. Note que a L 3 2 loc ( ), pois 3 < s := (p 1) 3 < 6 (p 2 (3, 5)) e w H 1 ( ) L s ( ). Pelo Teorema de Brezis-Kato (veja Proposição A.22 do Apêndice) temos w L q ( ) para todo q < +, o que implica em ψ L q ( ) para todo q < +. Assim, pelo Teorema de Calderon-Zygmund (veja Proposição A.20 do Apêndice) w W 2,q loc (R3 ). Agora, tomando q = 3, pela Proposição A.17 (veja Apêndice) temos w C 0,γ loc (R3 ) com γ < 1, o que implica em ψ C 0,γ loc (R3 ). Disto seque pela Proposição A.19 (veja Apêndice) que w C 2 ( ), como queríamos. Lema 2.4 O problema (P ) possui solução fraca estritamente positiva. 19

34 2.1 Problemas Auxiliares Demonstração: Note que, pelo Lema 2.2, existe uma função v H 1 ( ) não negativa tal que F (v) = inf F (u) u M e por (2.10) T (v)v = v p+1 dx = p Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (Proposição A.23 veja Apêndice), existe λ R tal que F (v)ϕ = λt (v)ϕ, para toda ϕ H 1 ( ), ou seja, ( v ϕ + vϕ)dx = λ v p ϕdx (2.11) para toda ϕ H 1 ( ). Note que λ > 0. Com efeito, fazendo ϕ = v, obtemos v 2 = λ v p+1 p+1. Desde que, pelo Lema 2.1, S > 0, temos v 2 = 2S > 0, o que implica que λ > 0, pois v p+1 p+1 = p + 1. Defina w = λ σ v, onde o número σ será escolhido abaixo. Pelo Lema 2.2, v é não negativa. Assim, desde que λ > 0, w é não negativa. Agora, substituindo a função w em (2.11), obtemos 1 ( w ϕ + wϕ)dx = λ w p ϕdx, λ σ R λ 3 σp para toda ϕ H 1 ( ), isto é, ( w ϕ + wϕ)dx = λ 1+σ σp w p ϕdx, para toda ϕ H 1 ( ). Sendo assim, como 1 + σ σp = 0, se e somente se, σ = 1 Tomando σ = 1 na equação acima, segue que p 1 ( w ϕ + wϕ)dx = w p ϕdx, para toda ϕ H 1 ( ). Portanto, w é solução fraca não negativa do problema (P ). Pelo Lema 2.3, w C 2 ( ). Agora, mostraremos que w é positiva e, com isso, concluímos a prova deste lema. Suponhamos, por contradição, que existe x 0 tal que w(x 0 ) = 0. Seja B r (x 0 ) uma bola arbitrária. Então, w C 2 (B r (x 0 )) C(B r (x 0 )). Desde que w + w = w q 0 em B r (x 0 ), pois w 0, pelo Princípio do Máximo Forte (Proposição A.21 veja Apêndice), temos w = 0 em B r (x 0 ). Sendo B r (x 0 ) arbitrária, segue que w 0 em. Uma vez que, w = λ σ v, com λ > 0, então v = 0. Sendo S = 1 2 v 2, temos S = 0, contradição, pois pelo Lema 2.1, S > 0. Portanto, w que é solução fraca do problema (P ) é positiva. 20 p 1.

35 2.1 Problemas Auxiliares Lema 2.5 Se u H 1 rad (R3 ), então u 2 = ω 3 ( u(r) 2 + u (r) 2 )r 2 dr, onde ω 3 é o volume da esfera unitária em. 0 Demonstração: Desde que u Hrad 1 (R3 ), então u(x) = u(r) para todo x com x = r. Agora, note que, u = u r = u x i x i r x i r x, i = 1, 2, 3, o que implica em Dessa forma, u(x) 2 = 3 i=1 ( u ) 2 ( u ) 2 ( xi ) 2. = x i r x ( u ) 2 ( u = x i r ) 2 3 Sendo assim, como u 2 = ( u 2 + u 2 )dx, por mudança de variáveis segue o resultado desejado. i=1 Lema 2.6 (Lema Radial) Se u H 1 rad (R3 ) então Em particular, u(x) 0 quando x. u(x) ω x 1 u. ( xi ) 2 ( u ) 2 = = u (r) 2. x r Demonstração: Desde que o espaço das funções C0 ( ), é denso em Hrad 1 (R3 ) é suficiente verificarmos este lema para as funções contínuas de suporte compacto. Dado ϕ C0 ([0, + [) temos ϕ(r) 2 = 2 = 2 r r ϕ (s)ϕ(s)ds ϕ (s)ϕ(s)s 2 s 2 ds r 2 2ϕ (s)ϕ(s)s 2 ds r = r 2 ( ϕ (s) 2 + ϕ(s) 2 )s 2 ds. r Se u H 1 rad (R3 ) C 0 ( ) temos u(r) = u(x) onde x = r. Sendo assim, pela desigualdade acima e pelo Lema 2.5 temos o resultado desejado. Pelo resultado anterior, temos que toda função u H 1 rad (R3 ) possui decaimento polinomial. No próximo resultado, com o acréscimo de algumas hipóteses mostraremos que u possui decaimento exponencial. 21

36 2.1 Problemas Auxiliares Corolário 2.1 Seja u H 1 rad (R3 ) C 2 ( ) tal que u = g(u) em, onde g(u) u m quando u 0 para algum m > 0. Então, existem constantes C 1, C 2 > 0 tais que u(x) C 1 e C 2 x, para x suficientemente grande. Demonstração: Note que se u H 1 rad (R3 ), então u(x) = u( x ) para todo x. Inicialmente, mostraremos que u (r) 2 r u (r) = g(u), para todo r = x = (x x x 2 3) Veja que e que i = 1, 2, 3 para todo r 0. Assim, i = 1, 2, 3 de onde segue que r = 1 x i 2 (x2 1 + x x 2 3) 1 2 2xi = x i r 2 u x 2 i u = u (r) x i x i r ( = u (r) x2 i 1 ) r + 2 u (r) r x2 i, r 3 ( 2 u u = g(u) = + 2 u x 2 1 x u ) = u (r) + 2 x 2 3 r u (r), para todo r 0, como queríamos. Dessa forma, definindo v(r) := ru(r) temos v (r) = g(u) u v. Desde que, pelo Lema Radial (Lema 2.6) u(r) 0 quando r sendo quando u 0, temos g(u) u m, g(u(r)) u(r) m 2, para todo r r 0 para algum r 0 > 0. Se w := v 2, então 1 2 w = v + ( g(u) u )w, 22

37 2.1 Problemas Auxiliares o que implica em w mw para todo r r 0. Defina z(r) := e mr (w (r) + mw(r)). Assim, z (r) = e mr (w (r) mw(r)) 0, o que implica que z é não-decrescente em (r 0, + ). Agora, suponhamos por contradição que exista r 1 > r 0 tal que z(r 1 ) > 0. Assim, z(r) z(r 1 ) > 0 para todo r r 1. Disto segue que w (r) + mw(r) (z(r 1 ))e mr. Desde que, (z(r 1 ))e mr é não integrável em (r 1, + ), então w + mw é não integrável em (r 1, + ). No entanto, como u H 1 ( ) L 2 ( ) por mudança de variavéis sendo w(r) = r 2 u(r) 2, temos que w + mw é integrável, o que é uma contradição. Então, z(r) 0 para todo r r 1. Dessa forma, para todo r r 1. Disto, segue que (e mr w) = e 2 mr z 0, e mr w(r) e mr 1 w(r 1 ) 0, para todo r r 1. Assim, desde que w(r) = r 2 u(r) 2 temos u(r) C 1 e m 2 para todo r r 1, para alguma constante C 1 > 0 e isto completa a demonstração. r Prova da Proposição 2.1: Pelo Lema 2.4 o problema (P ) possui solução fraca w estritamente positiva. Pelo Teorema C.4 (veja [20]) w é radialmente simétrica e única a menos de translação. Sendo assim, desde que w p quando w 0 pelo Lema 2.3 e Corolário 2.1 temos que w possui decaimento exponencial. A existência da solução do tipo ground state do problema (P ) é devida ao Teorema 4.2 (veja [20]). Lema 2.7 Se w é uma solução fraca, que muda de sinal, do problema (P ) então 2m I (w). Demonstração: Note que } m = inf {I (w); w N {( 1 = inf 2 1 ) } w 2 ; w H 1 ( )\{0}. p + 1 Sendo assim, desde que w muda de sinal, isto é, w + 0 e w 0 temos ( 1 m 2 1 ) w + 2 p + 1 e Agora, note que m ( ) w 2. p + 1 w 2 = w w +, w + w 2 = w w 2, pois w + = χ [w>0] w e w = χ [w<0] w. Assim segue o resultado. 23

38 2.1 Problemas Auxiliares Lema 2.8 Seja u N tal que I (u) = m, então u é solução fraca do problema (P ). Demonstração: Inicialmente, note que J(u) := I (u)u = u 2 u p+1 p+1. Pelos Lemas A.7 e A.9, segue que J (u)ϕ = 2 u, ϕ (p + 1) u p 1 uϕdx, para toda ϕ H 1 ( ), o que em particular implica em J (u)u = 2 u 2 (p + 1) u p+1 dx. Desde que, u N temos pois 3 < p. Sendo assim, como (1 p) u 2 = J (u)u < 0, I (u) = m = inf {I (v); v N }, onde N = { } v H 1 ( )\{0}; J(v) = I (v)v = 0 pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (veja Proposição A.23 do Apêndice) temos para algum λ R. Em particular temos I (u) = λj (u), I (u)u = λj (u)u. Como u N temos I (u)u = 0, além disso J (u)u < 0. Assim, λ = 0 o que implica em I (u) = 0. Portanto u é solução fraca do problema (P ) como queríamos O Problema (P a ) Nesta subseção, sob a condição (a 2 ), visando obtermos resultados de compacidade, iremos estudar a equação de Schrödinger não-linear w + w = a(x) w p 1 w em, (P a ) a qual associaremos o funcional energia I a : H 1 ( ) R dado por I a (w) = 1 2 w 2 1 a(x) w p+1 dx (2.12) p + 1 e a variedade de Nehari definida por { } N a := w H 1 ( )\{0}; I a(w)w = 0. 24

39 2.2 Projeções Sobre a Variedade de Nehari Definição 2.3 O número } m a = inf {I a (w); w N a é o nível de energia mínima associado ao funcional I a dado acima. Com uma demonstração análoga feita para provarmos que o nível m está bem definido provamos que o nível m a está bem definido. Proposição 2.2 Sob as hipóteses (a 1 ), (a 2 ), o problema (P a ) possui uma solução fraca não negativa e, além disso, existe w a N a tal que m a = I a (w a ). Demonstração: A existência da solução fraca é devida a [2]. A existência de w a que satisfaz I a (w a ) = m a é obtida usando-se o Princípio de Concentração e Compacidade (veja [19]). 2.2 Projeções Sobre a Variedade de Nehari Nesta seção, iremos relacionar as variedades de Nehari N, N a e N. Argumentando como em 1) do Lema 1.3, para cada u H 1 ( )\{0} existem únicos números τ u, ξ u > 0 tais que τ u u N a e ξ u u N sastifazendo I a (τ u u) = max t>0 I a(tu) e I (ξ u u) = max t>0 I (tu). As funções τ u u N a e ξ u u N são denominadas projeções de u sobre as respectivas variedades de Nehari N a e N. O próximo resultado, relaciona os números τ u e ξ u com o único número t u > 0 tal que t u u N. Lema 2.9 Dado u H 1 ( )\{0}, sejam t u u, τ u u, ξ u u (t u, τ u, ξ u > 0) as projeçães de u sobre as respectivas variedades de Nehari N, N a, N. Então, a) τ u t u. Além disso, sob a condição (a 3 ), isto é, a 1 em, temos b) ξ u t u. Demonstração: Provaremos inicialmente o item a). Seja u H 1 ( )\{0}. Desde que, t u u N e τ u u N a, temos t 2 u u 2 = t 4 u K(x)φ u (x)u 2 dx + t p+1 u a(x) u p+1 dx e τu u 2 2 = τu p+1 a(x) u p+1 dx. Pela condição (a 1 ), sendo u 0 temos a(x) u p+1 dx > 0. 25

40 2.3 Um Lema de Compacidade Assim τ p 1 u = u 2 tp 1 u dx = a(x) u p+1dx t 2 R3 u K(x)φ u (x)u 2 dx. a(x) u p+1 a(x) u R p+1 dx 3 Desde que, por 4) do Lema 1.2 φ u é não negativa, sendo a e K funções não negativas pelas condições (a 1 ) e (K), temos τu p 1 t p 1 u, ou seja τ u t u e isto prova o item a). Agora, provaremos o item b). Seja ξ u u a projeção de u sobre a variedade N, ou seja, ξ 2 u 2 = ξ p+1 u p+1 dx. Uma vez que, u 0, então u p+1 dx > 0. Dessa forma, pela condição (a 3 ), temos ξu p 1 u 2 = u R p+1 dx = tp 1 u a(x) u p+1 dx t 2 u K(x)φ u (x)u 2 dx u 3 R p+1 dx 3 o que implica e isto completa a prova do item b). ξ u t u, t p 1 u, 2.3 Um Lema de Compacidade Nesta seção, vamos descrever o comportamento das sequências de Palais-Smale do funcional I N. Este estudo será fundamental para o estudo dos pontos críticos do funcional I definido em (1.17). Proposição 2.3 (Lema de Compacidade) Seja (u n ) N uma sequência (P S), ou seja, a) I(u n ) é uma sequência limitada; b) lim n I (u n ) = 0. Então, passando se necessário a uma subsequência, existem u solução fraca de (P 1 ), um número k N {0}, k funções u 1,..., u k H 1 ( ) e k sequências de pontos (y j n), y j n, 1 j k, tais que i) y j n + ; ii) u n k j=1 uj (. y j n) u em H 1 ( ); 26