Existência de uma solução semi-nodal para um sistema FitzHugh-Nagumo.

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Dissertação de Mestrado Existência de uma solução semi-nodal para um sistema FitzHugh-Nagumo. Welber Aires de Oliveira Belém 2017

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Welber Aires de Oliveira Existência de uma solução semi-nodal para um sistema FitzHugh-Nagumo. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo Belém 2017

3 Dados Internacionais de Catalogação - na - Publicação (CIP) Biblioteca de Pós-Graduação do ICEN/UFPA Oliveira, Welber Aires de Existência de uma solução semi-nodal para um sistema FitzHugh-Nagumo/ Welber Aires de Oliveira; orientador, Giovany de Jesus Malcher Figueiredo f. ; 29 cm Inclui bibliografias Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Pará, Instituto de Ciências Exatas e Naturais, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística, Belém, Funções elípticas. 2. Desigualdades variacionais (Matemática). 3. Solução nodal. I. Figueiredo, Giovany de Jesus Malcher, orient. II. Título. CDD 22 ed iii

4 iv

5 Dedicatória Aos meus pais Marly e Francisco, aos meus irmãos e ao amor da minha vida Patrícia, com carinho. v

6 Agradecimentos Ao meu senhor e meu Deus pela misericórdia e graça que me tem concedido, pela força e amor e por ter me colocado debaixo das sombras de suas asas em todos os momentos difíceis. Aos meus pais, Marly e Francisco, pela dedicação e carinho para com seus filhos e por estarem sempre orando e me dando forças para conseguir alcançar meus objetivos. À minha querida esposa Patrícia, pela paciência, companheirismo e amor verdadeiro. Ao meu orientador, professor Giovany a quem eu admiro pela dedicação e disposição em orientar este trabalho. Pela paciência e pelos ensinamentos e direção nos estudos que me concedeu através de sua experiência. Aos professores do PPGME, pelas disciplinas ministradas e ensinamentos. Ao meu orientador da graduação Kelmem da Cruz Barroso pelo incentivo e ensinamentos que me possibilitaram ingressar no mestrado. Aos amigos que fiz em Belém, aos meus colegas de estudo do mestrado, em especial ao meu querido amigo João Felipe pela amizade e companhia nas horas de estudo e nos momentos de alegria e tristeza. Aos Professores Ricardo Ruviaro, Gelson Conceição e Rúbia Gonçalves por estarem disponíveis nesta tarefa de me avaliar, fazendo parte da banca examinadora. vi

7 Ao meu grande parceiro Ítalo Bruno Mendes Duarte pela amizade e disposição em me ajudar quando mais precisei. Finalmente, realização deste trabalho. a todos que contribuiram direta ou indiretamente para a vii

8 Resumo Nesta dissertação, vamos mostrar a existência de uma solução semi-nodal para um sistema FitzHugh-Nagumo do tipo u = f(x, u) v em, v = δu γv em, u = v = 0 sobre, onde é um domínio limitado em R N, δ > 0, γ > 2 δ e f é uma função superlinear de classe C 1 com crescimento subcrítico. Palavras-chave: Sistema Elíptico, Métodos Variacionais, Solução Nodal. viii

9 Abstract In this work, we show the existence of a semi-nodal solution to a FitzHugh- Nagumo type system u = f(x, u) v em, v = δu γv em, u = v = 0 sobre, where is a bounded domain in R N, δ > 0, γ > 2 δ and f is a superlinear C 1 class function with subcritical growth. Key Words: Elliptic System, Variational Methods, Nodal Solution. 1

10 Sumário Notações 3 Introdução 5 1 Estrutura Variacional 12 2 Teorema Abstrato Método de decomposição em cones duais Argumentos Variacionais Demonstração do Teorema principal 47 A Resultados Básicos 49 2

11 Notações L p () = {u : R é mensurável e u L p < }. u L p () = ( u p dx ) 1 p. L () = {u : R é mensurável tal que u(x) C q.t.p em }. u L () = u = inf {C; u(x) C q.t.p em }.,, :fronteira, fecho e medida de Lebesgue do conjunto, respectivamente. W m,p () = {u L p (); D α u L p () onde α m}. u W m,p () = ( m i=1 Di u L p () W m,p 0 () = C 0 (). ) 1 p. H 1 0() = {u L 2 (); D α u L 2 () onde α 1}. H 1 0() = C 0 (). u H 1 0 () = ( u 2 dx ) 1 2. B R (0): bola aberta de centro em 0 e raio R. Para D H 1 0() e R > 0, tem-se, B R (D) = {u H 1 0() : dist(u, D) < R}. C m () = {u : R; D α u com α m, são contínuas em }. 3

12 C0 m () = {u C m (); supp(u) é compacto}. C m () = {u C m (); D α u é limitada e uniformemente contínua em }. C m,α () = {u C m (); D α u é α-hölder contínua}. u + (x) = max {u(x), 0}. u (x) = min {u(x), 0}. 4

13 Introdução Nesta dissertação vamos mostrar a existência de uma solução semi-nodal [Veja a Definição 0.1] para o seguinte problema u = f(x, u) v em, (S) v = δu γv em, u = v = 0 sobre, onde R N, N 1, é um domínio regular limitado, γ, δ > 0 são constantes reais e f : R R é uma função de classe C 1 verificando as seguintes condições: (f 1 ) f(x, 0) = 0, para quase todo x. (f 2 ) Existem c 1 (0, λ 1 ), c 2 > 0 e 0 < p < 2 2 se N 3 e p > 0 se N = 1 ou N = 2, tais que f(x, t) f(x, s) (c 1 + c 2 ( t p + s p )) t s, t, s R e x, onde λ 1 denota o primeiro autovalor de (, H0()) 1 e 2 = 2N/N 2 para N 3 e 2 = se N = 1 ou N = 2. (f 3 ) Existe θ (2, 2 ) tal que 0 < θf (x, t) f(x, t)t, t > 0, onde F (x, t) = (f 4 ) f é não decrescente em t R, para quase todo x. t 0 f(x, s)ds. 5

14 Um exemplo de função que satisfaz (f 1 ) (f 4 ) é dado pelas não linearidades da forma f(x, t) = a(x) t p t, onde 0 < p < 2 2 para N 3 e p > 0 para N = 1 ou N = 2, onde a(x) L () é uma função contínua em, não negativa e positiva sobre um conjunto de medida positiva em. Com efeito, a condição (f 1 ) segue pois f(x, 0) = a(x).0 = 0 quase todo x. Para obter (f 2 ), basta notar que para t > 0 temos f(x, t) = a(x) t p t = a(x)t p+1, contínua em [s, t] e derivável em (s, t), assim, pelo Teorema do Valor Médio [ver Teorema A.3 no Apêndice A] existe ξ (s, t) tal que f(x, t) f(x, s) t s = f (x, ξ). Logo, f(x, t) f(x, s) = f (x, ξ) t s Desde que ξ (s, t), tem-se ξ s + t. Logo, Portanto, = a(x)(p + 1) ξ p t s. f(x, t) f(x, s) a (p + 1)( s + t ) p t s c(p + 1)( s p + t p ) t s. f(x, t) f(x, s) (c 1 + c(p + 1) ( s p + t p )) t s, onde c(p + 1) > 0 e c 1 (0, λ 1 ). Para t 0 temos f(x, t) = a(x)( t) p t e os argumentos são os mesmos. Mostremos agora que f satisfaz a condição (f 3 ). Note que F (x, t) = t 0 f(x, s)ds = 6 t 0 a(x) a(x) s p sds t 0 s p+1 ds a(x) t p+2 p + 2 = a(x)( t p t) t p + 2.

15 Portanto, 0 < θf (x, t) f(x, t)t, t > 0. onde θ = p + 2 (2, 2 ). Mostremos a condição (f 4 ). Considere t s e note que p + 1 > 1. Vamos ter os seguintes casos: Caso 1) t, s 0. Nesse caso, temos f(x, t) = a(x) t p t = a(x)t p+1 e f(x, s) = a(x) s p s = a(x)s p+1. Assim, desde que t s e a(x) 0 temos f(x, t) = a(x)t p+1 a(x)s p+1 = f(x, s). Caso 2) t, s 0. Nesse caso, temos f(x, t) = a(x) t p t = a(x)( t) p t e f(x, s) = a(x) s p s = a(x)( s) p s. Desde que t s 0, temos t s 0. Assim, como p + 1 > 1, tem-se ( t) p+1 ( s) p+1 e a(x)( t) p ( t) a(x)( s) p ( s), pois a(x) 0. Portanto, f(x, t) = a(x)( t) p t a(x)( s) p s = f(x, s). Caso 3) s 0 e t 0. Nesse caso, temos f(x, t) = a(x) t p t = a(x)( t) p t 0 e f(x, s) = a(x) s p s = a(x)s p+1 0. Assim, f(x, t) = a(x)( t) p t a(x)s p+1 = f(x, s). Logo, a função f(x, t) = a(x) t p t com t R, satisfaz as condições (f 1 ) (f 4 ). 7

16 Neste trabalho, estudamos o artigo [2]. Esta classe de sistema aparece no estudo de estados estacionários para o sistema FitzHugh-Nagumo [14, 24], que é um sistema de reação em difusão [Veja por exemplo G. M. Figueiredo [13] e F. J. S. A, Corrêa [10]] de duas variáveis derivadas a partir do modelo de propagação do impulso nervoso de Hodgkin-Huxley [18]. De uma forma conveniente ele pode ser escrito como: u t = u + f(x, u) em, v t = v + δu γv em, u = v = 0 sobre. As incógnitas u = u(x, t) e v = v(x, t) representam o potencial elétrico e a concentração de íon acoplada à membrana celular no ponto x R N e no tempo t > 0, respectivamente. Motivado por este fato, nos últimos anos, muitos autores têm estudado a existência de solução positiva para o sistema (S), veja por exemplo, Chen e Tanaka [11], Ren e Wei [25], Wei e Winter [29, 28], Sweers e Troy [27] e suas referências. Nos artigos acima referidos, a principal ferramenta usada para obter a solução positiva é o método variacional, desde que a existência da solução para esta classe de sistema pode ser obtida estudando a existência de solução de um problema não local, que possui uma estrutura variacional. Definição 0.1 Uma solução semi-nodal para o sistema FitzHugh-Nagumo (S) é uma solução (u, v) H0() 1 H0() 1 com u ± 0. Este tipo de solução será encontrada procurando pontos críticos nodais u para o funcional J : H0() 1 R dado por J(u) = 1 u 2 dx + 1 B(u)u dx F (x, u) dx, 2 2 isto é, J (u) = 0 e u ± 0, onde B : L 2 () L 2 () será definido posteriormente. 8

17 O principal resultado deste trabalho [ obtido em [2] ] é o seguinte: Teorema 0.1 Suponha γ > 2 δ e f satisfazendo (f 1 ) (f 4 ). Então, o sistema (S) possui uma solução semi-nodal. A motivação para estudar esse tipo de solução vem do caso δ = γ = 0, pois nesta situação, o sistema (S) torna-se um problema escalar do tipo u = f(x, u) em, (E) u = 0 sobre. A existência de solução nodal para (E), isto é, uma solução u H 1 0() com u ± 0, tem recebido uma atenção especial, temos uma rica literatura com artigos interessantes, veja por exemplo, Bartsch, Weth and Willem [4], Bartsch and Weth [5], Bartsch, Liu and Weth [6], Castro, Cossio and Neuberger [9] e suas referências. Na maior parte dos artigos acima, os autores provam a existência de solução nodal, minimizando o funcional energia I 0 : H 1 0() R dado por I 0 (u) = 1 2 u 2 dx F (x, u) dx, sobre o conjunto M = {u H 1 0() : I 0(u ± )u ± = 0}. Após algumas estimativas, é provado que existe u M tal que I 0(u) = 0. Este ponto crítico é chamado de solução ground-state nodal para (E). No nosso caso, temos algumas dificuldades para repetir ou adaptar os argumentos explorados nos artigos acima mencionados, pois o funcional J tem o termo não local B(u)u dx, que implica nas desigualdades abaixo, quando u é um ponto crítico nodal para J, J (u + )u + = B(u )u + dx > 0 e J (u )u = B(u + )u dx > 0. (1) 9

18 Em um artigo recente, Alves e Souto [1] estudaram a existência de solução nodal para a seguinte classe de sistema Schrödinger-Poisson não linear u + φu = f(u) em, (SP ) φ = u 2 em, u, φ = 0 sobre. Para o sistema (SP ), podemos aplicar métodos variacionais para obter ponto crítico para o funcional energia I 1 : H 1 0() R dado por I 1 (u) = 1 2 u 2 dx φ u u 2 dx onde φ u H0() 1 é a única solução do problema φ = u 2 em, φ = 0 sobre. F (u) dx, O funcional I 1, também tem um termo não local, ou seja, φ uu 2 dx. Para esta classe de funcional, se u é um ponto crítico nodal, segue-se que I 1(u + )u + = φ u (u + ) 2 dx < 0 e I 1(u )u = φ u +(u ) 2 dx < 0. (2) Usando essas informações, Alves e Souto, desenvolveram um novo método para obter solução nodal para (SP ). Neste trabalho, não podemos repetir a mesma abordagem encontrada em [1], pois o sinal das desigualdades (1) e (2) são contrárias. Motivado pelas dificuldades acima, observamos que o método desenvolvido por Weth [30] pode ser usado para o nosso sistema. Em [30], Weth provou um interessante Teorema Abstrato, cujo o principal objetivo é encontrar ponto crítico em cones de algumas classes de funcionais. Nesse artigo, ele usou o resultado abstrato para mostrar a existência de solução positiva, negativa e nodal para a seguinte classe de equação biharmônica 2 u = f(x, u), 10

19 sujeito a condições de fronteira de Navier u = u = 0, sobre ou com as condições de fronteira de Dirichlet u = u ν = 0, sobre. Para uma melhor compreensão, este texto está escrito da seguinte forma: No Capítulo 1 é feita a Estrutura Variacional do Problema, no Capítulo 2, apresentamos argumentos variacionais e o método de decomposição em cones duais, bem como o Teorema Abstrato que terá fundamental importância para demonstrar o resultado principal deste trabalho. Finalmente no Capítulo 3 provamos o teorema principal deste trabalho. 11

20 Capítulo 1 Estrutura Variacional Neste Capítulo, vamos apresentar a estrutura variacional de um problema não local equivalente ao problema (S). Recordemos que (u, v) H 1 0() H 1 0() é uma solução fraca de (S) se u φ dx f(x, u)φ dx + vφ dx = 0, φ H 1 0() e v ψ dx δ uψ dx + γ vψ dx = 0, ψ H0(). 1 Uma vez que pretendemos usar métodos variacionais para obter a solução fraca, note [ver Lema A.1 no apêndice A] que para cada u H0(), 1 o problema linear v + γv = δu em, (P L ) v = 0 sobre, tem uma única solução v H 1 0() H 2 () que será denotada por v := δ( + γ) 1 u := Bu, onde B = δ( + γ) 1 denota o operador solução associado a (P L ). local Usando o operador B, observamos que (S) é equivalente ao problema não (P ) u + B(u) = f(x, u) em, u = 0 12 sobre.

21 Dessa forma, observa-se que (u, v) H 1 0() H 1 0() é solução fraca do sistema (S) se, e somente se, u é solução fraca de (P ) e v = B(u). Recordemos que u H0() 1 é uma solução fraca de (P ) se u w dx = B(u)w dx + f(x, u)w dx, para todo w H0(). 1 Lema 1.1 A expressão u 2 = u 2 dx + B(u)u dx define uma norma em H 1 0() equivalente a norma usual u 2 H 1 0 () = u 2 dx. Demonstração: Com efeito, desde que B(u)u dx 0 [veja o Teorema A.1 no apêndice A] temos u 2 = u 2 dx + B(u)u dx u 2 dx = u 2 H 1 0 (). Logo u u H 1 0 (). Por outro lado, usando a desigualdade de Hölder [veja o Teorema A.4 no apêndice A] na segunda parcela do segundo membro e a continuidade do operador B, obtemos u 2 u 2 dx + B(u) L 2 () u L 2 () u 2 dx + C u 2 L 2 (). Da Desigualdade de Poincaré [veja o Corolário A.1 no apêndice A], segue-se que: u 2 u 2 dx + C 1 u 2 dx C 2 u 2 dx. Portanto, u C 2 u H 1 0 (). Assim u = ( u 2 dx + B(u)u dx) 1 2 é uma norma equivalente à norma usual de H0() 1 e provém do produto interno u, v = u v dx + 13 B(u)v dx.

22 Lema 1.2 O funcional J : H0() 1 R dado por J(u) = 1 u 2 dx + 1 B(u)u dx 2 2 F (x, u) dx associado a (P ), está bem definido e é de classe C 1 no espaço H0() 1 com derivada J (u)w = u w dx + B(u)w dx f(x, u)w dx, u, w H0(). 1 Demonstração: Definindo os funcionais J 1 : H 1 0() R e J 2 : H 1 0() R por J 1 (u) = 1 2 temos J 2 (u) = u 2 dx + 1 B(u)u dx e J 2 (u) = 2 [ u F (x, u) dx = f(x, s)ds] 0 u f(x, s)ds. 0 F (x, u) dx, De (f 1 ) (f 2 ) obtemos f(x, t) c 1 t + c 2 t p+1 t R. (1.1) Por (1.1), temos Portanto, u 0 u 0 u f(x, s)ds f(x, s) ds 0 = c 1 u 2 2 f(x, s)ds c 1 u c 2 u p+2 p + 2. u 0 + c 2 u p+2 p + 2, para todo u H 1 0() com 2 < p + 2 < 2, c 1 (0, λ 1 ) e c 2 > 0. ( c1 s + c 2 s p+1) ds Usando a imersão H 1 0() L r () para 1 r 2 [veja Teorema A.7 no apêndice A], segue que para todo u H0() 1 J 2 (u) = F (x, u) dx c 1 u 2 dx + c 2 2 p u p+2 dx <.

23 Mostrando que J 2 está bem definido. Do Lema 1.1, o funcional J 1 também está bem definido, assim J está bem definido. Afirmação 1.1 O funcional J 1 é de classe C 1 (H 1 0(), R). Inicialmente, vamos calcular a Derivada de Gateux DJ 1. J 1 (u + tv) J 1 (u) = 1 u 2 dx+ u v dx+ t v 2 dx+ 1 B(u)u dx t 2t 2 2t + 1 B(u)v dx+ 1 B(v)u dx+ t B(v)v dx 1 u 2 dx t 1 B(u)u dx. 2t Assim, J 1 (u + tv) J 1 (u) t Portanto, = u v dx+ t 2 DJ 1 (u)v = lim t 0 J 1 (u + tv) J 1 (u) t Isto é, DJ 1 (u)v = = u v dx + v 2 dx+ B(u)v dx+ t B(v)v dx. 2 u v dx+ B(u)v dx, u, v H0(). 1 B(u)v dx, u, v H 1 0(). Uma vez que o produto interno é sempre contínuo temos que DJ 1 (u)v = J 1(u)v = u v dx+ B(u)v dx é contínua, mostrando que J 1 é de classe C 1 (H 1 0(), R). Afirmação 1.2 O funcional J 2 é de classe C 1 (H 1 0(), R). Vamos agora calcular a derivada de Gateaux de J 2. Para cada t R com 0 < t < 1 e para cada u, v H 1 0(), consideremos a função h : [0, 1] R dada por h(s) = F (x, u+stv). Observe que h (s) = f(x, u+stv)tv, h(1) = F (x, u+tv) e h(0) = F (x, u). Desde que h é contínua em [0, 1] e diferenciável em (0, 1), do Teorema do Valor Médio [ver Teorema A.3 no apêndice A], existe γ (0, 1) tal que h(1) h(0) = h (γ), 15

24 de onde concluímos F (x, u + tv) F (x, u) t = f(x, u + γtv) v. De (1.1) obtemos: f(x, u + γtv) v c 1 u + γtv v + c 2 u + γtv p+1 v c 1 u v + c 1 v 2 + c 2 C u p+1 v + c 2 C v p+2. Da imersão contínua H 1 0() L r (), para 1 r 2 [veja Teorema A.7 no apêndice A] tem-se u, v L p+2 (). Assim, u p+1 L p+2 p+1 () e v L p+2 (). Da Desigualdade de Hölder [ver Teorema A.4 no apêndice A] para p+2 p+1 e p + 2 c 2 C u p+1 v + c 2 C v p+2 L 1 (). Como c 1 u v, c 1 v 2 L 1 (),temos c 1 u v + c 1 v 2 + c 2 C u p+1 v + c 2 C v p+2 L 1 (). Além disso, para uma sequência t n 0 temos f(x, u(x) + γt n v(x))v(x) f(x, u(x))v(x) pontualmente em. 16

25 Do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue [ver Teorema A.5 no apêndice A] obtemos J 2 (u + t n v) J 2 (u) lim t n 0 t n [ = lim F (x, u + t nv) dx tn 0 t n = lim f(x, u + γt n v)v dx n = f(x, u)v dx. ] F (x, u) dx Mostrando que o funcional J 2 é Gateux diferenciável e, DJ 2 (u)v = f(x, u)v dx u, v H0(). 1 (1.2) Afirmamos que DJ 2 é continuo. Com efeito, considere (u n ) uma sequência em H 1 0() tal que u n u em H 1 0(). Da imersão contínua H 1 0() L r () com r [1, 2 ] [ver Teorema A.7 no apêndice A] temos u n u em L r (). Do Teorema de Vainberg [ver Teorema A.6 no apêndice A], existe (u nj ) (u n ) e g L r () tal que u nj (x) u(x) q.t.p em e unj (x) g(x) q.t.p em. Desde que f é contínua, [ f(x, unj (x)) f(x, u(x)) ] 2 p+1 0 q.t.p em. Da desigualdade triangular, da condição de crescimento (1.1) da função f e da limitação de unj (x) por g(x) q.t.p em obtemos f(x, unj (x)) f(x, u(x)) 2 p+1 [ f(x, unj (x)) + f(x, u(x)) ] 2 p+1 [c 1 unj (x) +c2 unj (x) p+1 +c 1 u(x) +c 2 u(x) p+1 ] 2 p+1 17

26 [c 1 2 g(x) + 2c 2 g(x) p+1 ] 2 p+1 [ 2 max{c 1 2 g(x), 2c 2 g(x) p+1 } ] 2 p+1 [ 4 max{c 1 g(x), c 2 g(x) p+1 } ] 2 p+1 ] k [max{ c 1 g(x) 2 p+1, c2 g(x) 2 }, ] onde k > 0. Assim, k [max c 1 g(x) 2 p+1, c2 g(x) 2 } L 1 (). De fato, desde que g L r (), com r [1, 2 ] e 0 < p < 2 2 tem-se 2 [1, p+1 2 ]. Do Teorema da Convergência dominada de Lebesgue [ver Teorema A.5 no apêndice A] encontramos f(x, unj (x)) f(x, u(x)) 2 L p+1 () 0. (1.3) Assim, para todo v H 1 0() tal que v 1, da Desigualdade de Hölder [ver Teorema A.4 no apêndice A] nos expoentes conjugados das Imersões Contínuas [ver Teorema A.7 no apêndice A] temos [DJ2 (u nj ) DJ 2 (u)]v = [f(x, u nj ) f(x, u)]v dx Assim, Portanto, 2, 2 e novamente 2 (p+1) p+1 f(x, unj (x)) f(x, u(x)) L v p+1 2 () L C f(x, u nj (x)) f(x, u(x)) L 2 p+1 () v C f(x, unj (x)) f(x, u(x)) L 2 p+1 (). 2 2 (p+1) () [DJ 2 (u nj ) DJ 2 (u)]v C f(x, u nj (x)) f(x, u(x)) L 2 p+1 (). (1.4) DJ 2 (u nj ) DJ 2 (u) (H 1 = sup [DJ 0 ()) 2 (u nj ) DJ 2 (u)]v v 1 C f(x, unj (x)) f(x, u(x)) L 2 p+1 (), (1.5) implicando que lim j + DJ 2(u nj ) = DJ 2 (u). 18

27 Mostramos assim que o operador DJ 2 é contínuo e, deste modo, DJ 2 = J 2 C 1 (H0(), 1 R). Portanto, de (1.2) temos DJ 2 (u)v = J 2(u)v = f(x, u)v dx u, v H0(). 1 Assim, J (u)v = u v dx + B(u)v dx f(x, u)v dx u, v H0(). 1 Desta forma, vemos que se u é um ponto crítico de J então o par (u, v) com v = Bu, é uma solução fraca de (S). 19

28 Capítulo 2 Teorema Abstrato Neste Capítulo, vamos apresentar argumentos variacionais e analisar o fluxo de uma determinada EDO. Para essa análise, será de fundamental importância estudarmos o método de decomposição em cones duais, introduzido por Moreau em [23] o que é feito na primeira seção deste capítulo. Demonstraremos também o importante Teorema Abstrato, esse estudo será de fundamental importância para demonstrar o Teorema principal deste trabalho que será feito no Capítulo seguinte. 2.1 Método de decomposição em cones duais Seja (H,, ) um espaço de Hilbert. Definição 2.1 Um conjunto K H é chamado de cone se para todo x K e λ 0, λx K. Dado um cone K, definimos seu cone dual por K = {v H; u, v 0, u K}. O próximo resultado mostra que, dado um cone convexo e fechado K, sempre 20

29 é possível decompor um vetor de H como uma soma de um elemento de K e um de K. Teorema 2.1 Seja K H um cone convexo e fechado. Todo x H pode ser decomposto na forma x = y + z onde y K e z K e ainda y, z = 0. Demonstração: Se x H e K H é um convexo fechado, denotemos por projk x = inf y K x y a projeção ortogonal de x sobre K. Recordemos [ver Teorema A.9 no apêndice A] que a projeção satisfaz: x projk, x p projk x 0, p K. Seja então y = proj x K e z = x y. Temos então que x y, p y 0, p K. Escolhendo p = λy (é possivel pois K é um cone), onde λ 0 é arbitrário, temos x y, λy y = (λ 1) z, y 0, λ 0. Logo z, y = 0. Assim z, p = z, p y 0, p K, ou seja, z K. Alguns exemplos interessantes dessa decomposição podem ser encontrados em [7]. 21

30 2.2 Argumentos Variacionais Seja H = (H0(), 1, ) e consideremos o seguinte produto interno w, v = w v dx + B(w)v dx, w, v H (2.1) que dá origem a norma. associado a (P ) e o operador A : H H, dados por Consideremos o funcional energia J : H R J(u) = u 2 2 F (x, u) dx e A(u) = ( + B) 1 f(, u( )). (2.2) Lema 2.1 O operador A está bem definido e é caracterizado por A(u), v = f(x, u)v dx, u, v H. Além disso, (A 1 ) A = Ψ, onde Ψ(u) = F (x, u) dx e existem constantes C 0, q 2 > 0, q 1 (0, 1) e η > 2 tais que A(u), u ηψ(u) C 0, u H (2.3) e A(u), v (q 1 u + q 2 u p+1 ) v, u, v H. (2.4) (A 2 ) A é compacto e localmente Lipschitziano. Além disso A(0) = 0. Demonstração: Mostremos primeiramente que o operador A está bem definido. De fato, por (f 2 ), se u H, então f(, u( )) L 2 p+1 (). Pela estimativa L p constante no Corolário 2.21 de [16] temos ( + B) 1 2 2, 1, f(, u( )) W p+1 () W 2 p+1 0 (). 22

31 Uma vez que é limitado, segue-se que ( + B) 1 f(, u( )) H 1 0() = H. Logo, A(u) H e A está bem definido. Vamos mostrar agora a caracterização do operador A. Dado u H temos de (2.2) que A(u) = ( + B) 1 f(x, u(x)) = w ou seja, w H0() 1 verifica o problema linear w + B(w) = f(x, u(x)) em, w = 0 Assim, dado v H0(), 1 encontramos w v dx + B(w)v dx = Portanto, usando o produto interno (2.1) obtemos A(u), v = (A(u)) v dx + = f(x, u)v dx. Para provar que A = Ψ é suficiente notar que A(u), v = J 2(u)v, sobre. f(x, u)v dx. B(A(u))v dx onde J 2 é o funcional que aparece no Capítulo 1. A estimativa (2.3) segue de (f 3 ). Basta notar que para algum θ (2, 2 ) temos θf (x, u) f(x, u)u, para u H, assim, f(x, u)u dx θ F (x, u) dx, para u H. 23

32 Logo, obtemos para algum C 0 > 0 A(u), u θψ(u) C 0, u H. A estimativa (2.4) segue de (f 2 ) da seguinte forma A(u), v f(x, u) v dx ( c1 u v + c 2 u p+1 v ) dx. Usando a Desigualdade de Hölder [ver Teorema A.4 no apêndice A] para os expoentes 2 e 2, temos das imersões contínuas de Sobolev p+1 2 (p+1) (c 1 u v + c 2 u p+1 v ) dx c 1 u L 2 () v L 2 () + c 2 u p+1 v L 2 () L c 1 u L 2 () v L 2 () + Cc 2 u p+1 v 2 2 (p+1) () pois, desde que c 1 λ 1 u v + Cc 2 u p+1 v λ 1 = é a caracterização variacional de λ 1 tem-se min v 2 u 2 = min v L 2 ()=1 u H0 1(),u 0 u 2 L 2 () u L 2 () u λ1 e v L 2 () v λ1, assim, Note que q 1 = c 1 λ 1 u L 2 () v L 2 () u v λ 1. (0, 1), q 2 = Cc 2 > 0, e a estimativa segue. Considerando agora (A 2 ), note que A(0) = 0. A compacidade de A segue de (f 2 ), juntamente com a compacidade das imersões de Sobolev H 1 0() L s (), 1 s < 2 [veja o Teorema A.8 no apêndice A]. 24

33 Com efeito, desde que H0() 1 é reflexivo, da imersão compacta H0() 1 L s (), 1 s < 2 tem-se que para toda sequência limitada (u n ) H0() 1 existem (u nj ) (u n ) e u H0() 1 tais que u nj u em H 1 0() e u nj u em L s (), além disso, fixando s 1 tal que (p+1)+1 s 1 < 2, temos pelo mesmo argumento em (1.5) que A(u nj ) A(u) = J 2(u nj ) J 2(u) (H 1 0 ()) onde r 1 = s 1 /(s 1 1) s 1 /(p + 1) < 2 /(p + 1). C f(x, unj ) f(x, u) L r 1 () 0 Mostremos finalmente que A é localmente lipschitziano. Fixando r > 0 e considerando u, v B r (0) H e usando a Desigualdade de Hölder [ver Teorema A.4 no apêndice A] nos expoentes 2 e 2 obtemos p+1 2 (p+1) A(u) A(v), w f(x, u) f(x, v) w dx Note que, f(x, u) f(x, v) 2 p+1 dx f(x, u) f(x, v) 2 w L p+1 () L 2 2 (p+1) () (c 1 + c 2 ( u p + v p )) 2 p+1 u v 2 p+1 dx (k 1 + k 2 ( u 2 p 2 p 2 p+1 + v p+1 )) u v p+1 dx. Note que os expoentes 2 (p+1), 2 (p+1) são conjugados e que u 2 (p) 2 (p+1) 2 p 2 p+1 L pois da imersão contínua H 1 0() L r () com r [1, 2 ] obtemos u 2 (p) p+1 2 (p+1) 2 p dx = 25 u 2 dx <.. 2 p ()

34 Assim, da Desigualdade de Hölder [ver Teorema A.4 no apêndice A] temos u 2 p 1 p+1 dx p+1 u 2 p p+1 = 1 L 2 p p+1 u p+1. L 2 () 2 (p+1) 2 p () Portanto, Temos também que u 2 p 1 p+1 dx u v 2 p+1 dx p p+1 2 p p+1 u p+1. L 2 () u v 2 p+1 L 2 (p+1) 2 () Portanto, Assim, Segue então que ou seja = p p+1 u v 2 u v 2 p p+1 dx p+1 u v 2 p+1. L 2 () p+1. L 2 () ( f(x, u) f(x, v) 2 2 p 2 p ) p+1 dx p+1 c 1 + c 2 ( u + v p+1 ) u v 2 p+1. L 2 () L 2 () L 2 () f(x, u) f(x, v) L 2 p+1 = ( ) p+1 f(x, u) f(x, v) 2 2 p+1 ( 2 p 2 p ) p+1 p+1 c 1 + c 2 ( u + v p+1 ) 2 u v L 2 () L 2 () L 2 () ( C1 + C ) 2 ( u p + L 2 () v p ) u v L 2 () L 2 (). f(x, u) f(x, v) L 2 p+1 () ( C1 + C 2 ( u p L 2 () + v p L 2 () ) ) u v L 2 (). Novamente pela imersão contínua H 1 0() L r () com r [1, 2 ] temos u p L 2 () C p 1 u p, 26

35 onde u = ( u 2 dx + B(u)u dx) 1 2. De modo análogo obtemos v p L 2 () C p 2 v p e w 2 L 2 (p+1) () C 4 w u v L 2 () C 3 u v. Assim, ( f(x, u) f(x, v) 2 C1 + C ) L p+1 2 (C p 1 u p + C p 2 v p ) C 3 u v e portanto f(x, u) f(x, v) 2 w L p+1 L 2 2 (p+1) ( C1 + C ) 2 (C p 1 u p + C p 2 v p ) C 3 u v C 4 w (C 1 + C 2 ( u p + v p )) u v w, ou seja, A(u) A(v), w (C 1 + C 2 ( u p + v p )) u v w. Então, para w H com w = 1, e recordando que u, v B r (0), temos A(u) A(v) C u v, mostrando que A é localmente Lipschitz. 27

36 Lema 2.2 J satisfaz a condição Palais-Smale. Demonstração: Seja (u n ) uma sequência Palais-Smale para J, isto é C := sup n N J(u n ) < e J(u n ) 0 quando n. Então ηc + o(1) u n ηj(u n ) J(u n ), u n = η u n 2 2 = η u n 2 2 = η 2 2 η 2 2 ηψ(u n ) J(u n ), u n ηψ(u n ) u n 2 + A(u n ), u n u n 2 + A(u n ), u n ηψ(u n ) u n 2 C 0 por (2.3), assim (u n ) é limitada. Como A é compacto, podemos passar a uma subsequência satisfazendo A(u n ) u 0 H. Uma vez que u n A(u n ) = J(u n ) 0 quando n, concluímos que u n u 0. Observação 2.1 Da Desigualdade de Cauchy-Schwarz tem-se J(u n ), u n J(u n ) u n o(1) u n. Assim, o(1) u n J(u n ), u n. O nosso objetivo é localizar pontos críticos de J estudando a dinâmica da EDO abaixo. Uma vez que A é localmente Lipschitz e contínuo, o fluxo ϕ : G H é bem definido por ϕ(t, u) = J(ϕ(t, u)) = A(ϕ(t, u)) ϕ(t, u), t ϕ(0, u) = u, 28 (2.5)

37 onde G = {(t, u) : u H, 0 t < T (u)} e T (u) (0, ] é o intervalo maximal de existência da trajetória t ϕ(t, u) e ϕ(t, ϕ(s, u)) = ϕ(t + s, u), para todo t, s [0, T (u)). No que segue, vamos escrever ϕ t em vez de ϕ(t, ). Observação 2.2 Notemos que a função t J(ϕ t (u)) é monótona decrescente em [0, T (u)). De fato, note que d dt J(ϕt (u)) = J (ϕ t (u)), d dt ϕt (u) = J (ϕ t (u)), J(ϕ t (u)) = J(ϕ t (u)) 2 0. Definimos a seguir o conceito de conjunto limite Definição 2.2 Seja u H. Chamamos de conjunto ômega limite de u ao conjunto ω(u) = {v H; t n e ϕ tn (u) v quando n }. Proposição 2.1 Seja u H. Então ω(u) = 0 t< t s< ϕ s (u). Demonstração: Seja v ω(u). Assim v H e existe t n tal que ϕ tn (u) v quando n. Então v ϕ s (u) para todo s t. Assim, v 0 t< t s< ϕ s (u). Por outro lado, se v 0 t< t s< ϕs (u), então para qualquer 0 t <, tem-se v t s< ϕs (u). Agora, para cada n N tome t n > t n 1 com t n n e d(ϕ tn (u), v) < 1/n. Logo d(ϕ tn (u), v) 0 quando n. Portanto v ω(u). 29

38 Proposição 2.2 Se para algum u H, {J(ϕ t (u)); 0 t < T (u)} for limitado inferiormente, então i) T (u) = ; ii) existe t n tal que {ϕ tn (u); n N} é limitado em H e o conjunto ômega limite de u ω(u) = ϕ s (u) 0 t< t s< é um subconjunto compacto não vazio de H, constituido de pontos críticos de J. Demonstração: i) Note que para 0 s < t < T (u) temos assim, ϕ t (u) ϕ s (u) = t s J(ϕ τ (u))dτ ϕ t (u) ϕ s (u) t J(ϕ τ (u)) dτ s ( t s ( t = s ) 1 ( 2 t dτ J(ϕ τ (u)) 2 dτ s ) 1 ( 2 t dτ d s dt J(ϕτ (u))dτ ) 1 2 ) 1 2 = (t s) 1 2 [J(ϕ s (u)) J(ϕ t (u))] 1 2 onde foi usado a Desigualdade de Hölder e a própria equação (2.5). Supondo que T (u) <, então, o conjunto {ϕ t (u); 0 t < T (u)} é limitado. Dessa forma a teoria das EDO s [ver início da pg.18 de [17]] nos garantiria que T (u) =, o que seria uma contradição. Portanto T (u) =. ii) Uma vez que, para algum u H, {J(ϕ t (u)); 0 t < T (u)} é limitado inferiormente, então existe uma sequência Palais-Smale (ϕ tn (u)) para J. Isto é, existe t n tal que, J(ϕ tn (u)) 0 quando n 30

39 e C := sup J(ϕ t n (u)) <. n N Assim, do Lema 2.2, a sequência (ϕ tn (u)) n N é limitada. Para mostrar que ω(u), vamos usar a sequência limitada (ϕ tn (u)). Como A é compacto, segue que a menos de uma subsequência, A(ϕ tn (u)) u 0 quando n, para algum u 0 H. Dessa forma, note que 0 = lim n J(ϕ tn (u)) = lim n (ϕ tn (u) A(ϕ tn (u))) = lim n ϕ tn (u) u 0. Portanto, lim n ϕ tn (u) = u 0 e u 0 ω(u). Para mostrar que todo elemento de ω(u) é ponto crítico de J, note primeiramente que J(ϕ t (u)) d quando t, pois essa é uma sequência monótona decrescente e limitada. Então, se v ω(u), existe t n tal que ϕ tn (u) v em H, quando n. Assim J(ϕ t (v)) = lim n J(ϕ t (ϕ tn (u))) = lim n J(ϕ t+tn (u)) = d, para todo t 0. Dessa forma, para todo t 0, 0 = t J(ϕt (v)) = J(ϕ t (v)) 2. Aplicando t = 0, obtemos que J(v) = 0 e v é um ponto crítico para J. Para mostrar que o conjunto ω(u) é compacto, considere uma sequência limitada (v n ) de pontos críticos em ω(u), isto é, v n C, para n N. Assim, J(v n ) 0. quando n. Note que J(v n ) = 1 2 v n 2 F (x, v n ) dx. 31

40 Logo, J(v n ) 1 2 C + F (x, v n ) dx 1 2 C + c 1 v n 2 dx + c 2 2 p + 2 Das imersões de Sobolev, existem C 3, C 4 > 0 tais que Logo, Logo, J(v n ) K, para todo n N. Portanto, v n p+2 dx. J(v n ) 1 2 C + c 1 2 C 3 v n 2 + c 2 p + 2 C 4 v n p+2. J(v n ) 1 2 C + c 1 2 C 3C 2 + c 2 p + 2 C 4C p+2 := K. Assim, como J sup J(v n ) K <. n N satisfaz a condição Palais-Smale, então, (v n ) possui uma subsequência convergente e portanto, o conjunto ω(u) é compacto. Definição 2.3 Dizemos que D H é positivamente invariante (sob ϕ), se ϕ t (u) D para todo u D e todo t [0, T (u)) ; se D H é positivamente invariante, definimos seu domínio de absorção por A(D) := { u H : ϕ t (u) D para algum t [0, T (u)) } ; Note que D A(D) e que, se D H é aberto, então A(D) é também um subconjunto aberto de H. Definimos também A 0 = {u H : T (u) = e ϕ t (u) 0 quando t }. 32

41 Lema 2.3 A 0 H é uma vizinhança aberta de zero. Demonstração: Seja α 0 = ((1 q 1 )/2q 2 ) 1/p. Então, para todo u B α0 (0) temos por (A 1 ) que Assim, Logo J(u) = 1 2 u 2 Ψ(u) Ψ(u) = = = Ψ(u) u 2 2 u 2 2 t Ψ(tu)dt A(tu), u dt ( q1 tu + q 2 tu p+1) u dt ( q1 t u + q 2 t p+1 u p+1) u dt ( q1 t u 2 + q 2 t p+1 u p u 2) dt t u 2 (q 1 + q 2 u p )dt. (q 1 + q 2 u p ) (q 1 + q 2 α0) p ). = u 2 ( q ( 1 2 q ) u 2 0 para u B α0 (0). 4 Alem disso, J(u) ( 1 2 q ) α0 2 := β 0 > 0 para u B α0 (0). (2.6) 4 Desde que J(0) = 0 e J é contínua em 0, existe r (0, α 0 ), tal que J(u) < β 0, para u B r (0) H. Agora, como J é não cresce ao longo da trajetória, se u B r (0), então J(ϕ t (u)) J(ϕ 0 (u)) = J(u) < β 0 para todo t [0, T (u)). Logo, por (2.6), 33

42 ϕ t (u) B α0 (0) para todo t [0, T (u)). Assim, J(ϕ t (u)) 0 para todo t [0, T (u)), que implica pela Proposição 2.2 que T (u) = e ω(u) B α0 (0) é um compacto, não vazio e formado por pontos críticos de J. No entanto, se v B α0 (0) for um ponto crítico para J, então v 2 = A(v), v v 2 (q 1 + q 2 v p ) v 2 (q 1 + q 2 α 0 p ) = q v 2, o que é possível somente quando v = 0, uma vez que q 1 (0, 1). Portanto, ω(u) = {0} para todo u B r (0). Dessa forma, B r (0) A 0 o que implica na igualdade A 0 = A(B r (0)), basta notar que, para v A 0, temos T (v) = e ϕ t (v) B r (0) para t, assim, A 0 A(B r (0)). A inclusão A(B r (0)) A 0 segue pois, para cada v A(B r (0)), existe t 0 [0, T (v)) tal que ϕ t 0 (v) B r (0) A 0. Pela definição de A 0 tem-se T (ϕ t 0 (v)) = e ϕ t (ϕ t 0 (v)) = ϕ t+t 0 (v) 0 quando t, assim, v A 0 e a igualdade é válida. Como B r (0) é aberto, então assim o é A(B r (0)). Portanto A 0 é uma vizinhança aberta na origem. No que segue, localizaremos os pontos críticos não triviais para J sobre A 0. Tem-se então a seguinte Proposição Proposição 2.3 A 0 é um fechado, positivamente invariante e inf u A0 J(u) 0. Em particular, para todo u A 0, ω(u) é um compacto não-vazio formado por pontos críticos não-triviais de J. Demonstração: Obviamente A 0 é um conjunto fechado. A demonstração de que A 0 é positivamente invariante consta no Lemma 2.3 de [19]. Note que dado u A 0, T (u) = e existe t 0 > 0 tal que para t > t 0 tem-se ϕ t (u) B α0 (0). Como J não cresce ao longo da trajetória, temos 0 J(ϕ t (u)) J(ϕ t 0 (u)) J(u). Assim, J(u) 0 para todo u A 0. Por continuidade, segue que J(u) 0 para todo u A 0, ou seja, {J(u); u A 0 } é limitado inferiormente. Assim, pela Proposição 2.2, T (u) =, ω(u) é compacto, não-vazio e formado por pontos críticos não-triviais de J, para todo u A 0. 34

43 Pela última Proposição, vemos que A 0 é um bom lugar para se procurar por soluções não triviais de (P ). Porém, uma vez encontradas, a princípio nada sabemos sobre seu sinal. Para refinar nossa análise devemos introduzir subconjuntos invariantes de H, cujas propriedades nos ajudem a localizar as soluções desejadas. Consideremos então K = {u H; u 0 q.t.p em } e K = {u H; u 0 q.t.p em }, (2.7) que são cones fechados e convexos. Sejam P e Q as projeções de H em K e K respectivamente e P, Q dadas por P = Id P e Q = Id Q as projeções de H em K e ( K) respectivamente. Como foi mostrado no começo desse Capítulo, sabemos que para todo u H P u, P u = 0 e P u K (2.8) onde K é o cone dual de K e analogamente para Q e Q. No nosso argumento, vamos mostrar a invariância de K e K pelo fluxo ϕ, para isso, será muito importante mostrar que K K e que ( K) K. Isto por sua vez, será mostrado no próximo resultado como segue. Lema 2.4 Se u K \{0}, então u < 0 q.t.p em. Demonstração: Seja u K \{0}. Então u, u > 0. Desde que o espaço C = {w C 1 ( ); w = 0 sobre } é denso em H, existe u 0 C tal que u, u 0 > 0. Seja agora γ > 2 δ e h C α ( ) com h > 0, existe uma única w H [ver Lema A.1 no apêndice A] tal que w + Bw = h em w = 0 sobre. 35 (2.9)

44 Além disso, pelo Teorema de Schauder [A.12 no apêndice A], tem-se w C 2,α ( ), e pelo Princípio do Máximo devido a Figueiredo-Mitidieri [15][ver Teorema A.11 no apêndice A] temos w > 0 em e w ν < 0 sobre. Como é limitado, existe ε > 0, tal que w + εu 0 K, onde w é a solução de (2.9). Assim, 0 u, w + εu 0 = u, w + ε u, u 0 > u, w = uh dx, mostrando que u < 0 q.t.p em. Observação 2.3 Note que se u H, temos u = P u + P u, onde P u 0 q.t.p em e P u K. Então, pelo último lema, P u K, isto é, P u 0, q.t.p em. Assim, Implicando que ou seja, u = P u + P u P u, q.t.p em. P u min {u, 0} = u, q.t.p em, P u u, q.t.p em. (2.10) Por outro lado, como P u 0 q.t.p em, temos P u + P u P u 0, q.t.p em, logo, u P u q.t.p em e assim, P u max {u, 0} = u +, q.t.p em, isto é P u u +, q.t.p em. (2.11) A mesma argumentação serve para mostrar que Qu u e u + Q u, para todo u H. 36

45 Corolário 2.1 O operador A satisfaz as seguintes condições (A 3 ) A(u), v A(P u), v, para todo u H e v K. (A 4 ) A(u), w A(Q u), w, para todo u H e w ( K). Demonstração: Como v K e w ( K), então v 0 e w 0 q.t.p em. Por (f 4 ) e pela Observação 2.3, segue que f(x, P (u)(x)) f(x, u (x)) 0 f(x, u + (x)) f(x, Q (u)(x)), q.t.p em e assim A(u), v = f(x, u)v dx f(x, u )v dx f(x, P u)v dx = A(P u), v e A(u), w = f(x, u)w dx f(x, u + )w dx f(x, Q u)w dx = A(Q u), w para todo u H. O próximo resultado mostrará que as condições (A 3 ) e (A 4 ) implicam que K e que K são invariantes tanto pelo operador A quanto pelo fluxo ϕ. Lema 2.5 i) A(K) K e A( K) K. ii) Para α > 0 suficientemente pequeno, o conjunto B α (K) (α-vizinhança de K) é positivamente invariante para o fluxo ϕ. Além disso, todo ponto crítico de J em B α (K) está em K. O mesmo resultado vale para o cone K. iii) K e K são positivamente invariantes para ϕ. Demonstração: Toda demonstração será feita para K, pois para K os argumentos são os mesmos. 37

46 i) Observe que para qualquer u H, P u mede a distância entre u e K. De (A 3 ) e (2.8) temos que se u K P (A(u)) 2 = A(u) P (A(u)), A(u) P (A(u)) = A(u) P (A(u)), P (A(u)) = A(u), P (A(u)) P (A(u)), P (A(u)) = A(u), P (A(u)) A(P (u)), P (A(u)) = A(0), P (A(u)) = 0. ii) Seja u H, por (2.8), (A 3 ) e (A 1 ) temos P (A(u)) 2 = A(u), P (A(u)) o que implica, se P (A(u)) 0, A(P (u)), P (A(u)) (q 1 P u + q 2 P u p+1 ) P (A(u)), P (A(u)) q 1 P u + q 2 P u p+1 = P u (q 1 + q 2 P u p ). (2.12) Dessa forma, se 0 < P u < ( ) 1 1 q p 1 2q 2 := α 0, então P (A(u)) < P u. (2.13) Note agora que, se α < α 0, todo ponto fixo de A em B α (K) pertence a K. De fato, se u B α (K) for ponto fixo de A, então ou u K ou u B α (K) \{K}. Porém a segunda opção não ocorre pois do contrário, 0 < P u α < α 0, de forma que por (2.13) P u = P (A(u)) < P u, o que é uma contradição. Mostremos agora que B α (K) é positivamente invariante. 38

47 Observe que, se v A( B α (K)), então v = A(u) para algum u B α (K), assim P u = dist(u, K) = α. De (2.13), obtemos P (A(u)) = dist(a(u), K) < α, ou seja, Logo, dist(v, K) < α, para v A( B α (K)). A( B α (K)) int(b α (K)). (2.14) Suponhamos por contradição que exista u 0 B α (K) tal que ϕ t 0 (u 0 ) B α (K) para algum t 0 [0, T (u 0 )), onde t 0 é o menor positivo com tal propriedade. Como B α (K) é aberto e convexo, pelo Teorema da Separação de Mazur[ver Teorema A.10 no apêndice A] segue que existe um funcional linear l : H R e β R tal que l(ϕ t 0 (u 0 )) = β e l(u) > β, para todo u B α (K). De (2.14), segue que A(ϕ t 0 (u 0 )) B α (K), assim, t l(ϕ t (u 0 )) = l( J(ϕ t 0 (u 0 ))) = l(a(ϕ t 0 (u 0 ))) β > 0. t=t0 Com isso, concluímos que existe ε > 0 tal que l(ϕ t (u 0 )) < β para todo t (t 0 ε, t 0 ). Assim ϕ t (u 0 ) / B α (K) para todo t (t 0 ε, t 0 ), o que contradiz a minimalidade de t 0. iii) Segue do fato do item ii), uma vez lembrado que K = α>0 B α(k) e que K = α>0 B α( K). Seja agora α > 0 tal que as conclusões do Lema 2.5 valham tanto para K quanto para K. 39

48 Proposição 2.4 Suponha que exista u 0 K tal que J(u 0 ) < 0, então J tem um ponto crítico não-trivial em K. O mesmo resultado vale para K. Demonstração: Desde que J(u) 0 para todo u A 0. Por continuidade, estendemos naturalmente para todo u A 0. Como J(u 0 ) < 0, tem-se u 0 / A 0. Além disso, como A 0 é uma vizinhança aberta da origem, existe s (0, 1) tal que su 0 A 0 K. Como A 0 K é um subconjunto fechado e invariante, pela Proposição 2.2, ω(su 0 ) A 0 K é não vazio e qualquer de seus elementos são pontos críticos de J e a afirmação segue. Denotemos agora A + = A(B α (K)) A 0 e A = A(B α ( K)) A 0. Lema 2.6 A + e A são abertos relativos de A 0 e disjuntos Demonstração: Como B α (K) e B α ( K) são abertos de H, então assim o são A(B α (K)) e A(B α ( K)) em H. Assim, A + e A são relativamente abertos em A 0. Suponha agora que exista u A + A. Como u A 0, então T (u) = e ω(u). Ainda, como u A(B α (K)) A(B α ( K)), então ω(u) B α (K) B α ( K). Uma vez que ω(u) é formado por pontos críticos de J, pelo Lema 2.5(ii) ω(u) K K = {0}. Consequentemente, ϕ t (u) 0 quando t, o que contraria o fato de u A 0. O próximo resultado que chamamos de Teorema Abstrato, estabelecerá condições suficientes para a existência de três pontos críticos não triviais para J. 40

49 Teorema 2.2 (Teorema Abstrato) Suponha que (A 1 ) (A 4 ) estejam satisfeitas. Suponha ainda que exista um caminho contínuo h : [0, 1] H com h(0) K, h(1) K e J(h(t)) < 0, para todo t [0, 1]. Então J tem pelo menos três pontos críticos não triviais, sendo u 1 K, u 2 K e u 3 H \ (K K). Demonstração: A existência de u 1 e u 2 segue da Proposição 2.4 aplicada a K e K. Para obter u 3, observe primeiramente que h([0, 1]) A 0 =. Seja Q = [0, 1] 2 e B Q definido por B = {(s 1, s 2 ) Q : s 1 h(s 2 ) A 0 }. Definamos T : R 2 A 0, (s 1, s 2 ) T (s 1, s 2 ) = s 1 h(s 2 ). Como, h é contínuo, então T é contínua. Desde que A 0 é aberto, então T 1 (A 0 ) é um aberto em R 2 tal que T 1 (A 0 ) Q = B. Assim, B é relativamente aberto em Q e ({0} [0, 1]) B, pois 0h(s) = 0 A 0, s [0, 1]; ({1} [0, 1]) B =, pois J(h(s)) < 0, s [0, 1]; Usando o princípio de continuação de Leray-Schauder [ver Teorema A.13 no apêndice A], pode-se provar [ver apêndice de [30]] que existe uma componente conexa Γ de B, tal que Γ ([0, 1] {0}) e Γ ([0, 1] {1}). Seja agora Γ 0 = {T (s 1, s 2 ) = s 1 h(s 2 ); (s 1, s 2 ) Γ}. Como Γ é conexo e T é contínuo então Γ 0 é um conexo onde Γ 0 A 0 e Γ 0 ±K. Como pelo Lema 2.6, A± são abertos disjuntos de A 0, então Γ 0 A± são abertos disjuntos de Γ 0. Pela conexidade de Γ 0, existe u Γ 0 \ (A + A ). Uma vez que A 0 \ (A + A ) é invariante, então {ϕ(t, u); t 0} A 0 \ (A + A ). Como esse 41

50 conjunto é fechado em A 0, então ω(u) A 0 \ (A + A ). Em particular, ω(u) (K K) = e assim, qualquer de seus elementos tem a propriedade enuciada para u 3. Afirmação 2.1 De (f 3 ), existem constantes positivas k 1 e k 2 tais que F (x, t) k 1 t θ k 2, para x e t R. (2.15) Demonstração: De (f 3 ), existe R > 0, tal que 0 < θf (x, t) f(x, t)t, para todo t R e x. (2.16) Considerando F (x, t) 0 e t 0, vamos considerar os seguintes casos: Caso 1 : t R + 1. Então, de (2.16) temos 0 < θ t f(x, t) F (x, t), o que implica, de onde segue, t R+1 θ t s ds f(x, s) R+1 F (x, s) ds, θ ln t θ ln(r + 1) ln F (x, t) ln F (x, R + 1). Logo, ( ) θ t F (x, t) ln ln, para t R + 1 e x. R + 1 F (x, R + 1) Como ln é uma função crescente obtemos ( ) θ t F (x, t), para t R + 1 e x, R + 1 F (x, R + 1) ou seja F (x, t) F (x, R + 1) (R + 1) θ t θ, para t R + 1 e x. 42

51 Considerando min x F (x, R + 1) = m > 0, observamos que m está bem definido, visto que F (, R + 1) é contínua e é compacto. tem-se F (x, t) Assim, fixando C 1 = m (R + 1) θ tθ, para t R + 1 e x. m (R+1) θ > 0, temos Além disso, F (x, t) C 1 t θ, para t R + 1 e x. (2.17) Caso 2 : t (R + 1). Então, novamente de (2.16) temos f(x, t) F (x, t) θ t, o que implica, de onde segue, (R+1) t f(x, s) (R+1) F (x, s) ds θ t s ds, ln F (x, (R + 1)) ln F (x, t) θ ln (R + 1) θ ln t. Logo, ln (R + 1) t θ ln F (x, (R + 1)), para t (R + 1) e x. F (x, t) Como ln é uma função crescente obtemos θ (R + 1) F (x, (R + 1)) t, para t (R + 1) e x. F (x, t) ou seja F (x, t) F (x, (R + 1)) (R + 1) θ t θ, para t (R + 1) e x. Considerando min x F (x, (R + 1)) = n > 0, observamos que n está bem definido, visto que F (., R + 1) é contínua e é compacto. tem-se F (x, t) n (R + 1) θ t θ, para t (R + 1) e x. 43 Além disso,

52 Assim, fixando C 2 = n (R+1) θ > 0, temos F (x, t) C 2 t θ, para t (R + 1) e x. (2.18) Considerando k 1 = min{c 1, C 2 }, segue de (2.17) e (2.18) que, Dessa forma, F (x, t) k 1 t θ, para t R + 1 e x. F (x, t) k 1 t θ k 2, para t R + 1 e x, (2.19) onde k 2 é uma constante positiva arbitrária. Considerando m = min F (x, t) com x e t [ (R + 1), R + 1], note que m está bem definido, pois F é contínua e [ (R + 1), R + 1] R N R é um compacto, logo F (x, t) m, x e t [ (R + 1), R + 1]. (2.20) Considere k 2 > 0 de modo que k 2 k 1 (R + 1) θ m. Uma vez que t R + 1, temos t θ (R + 1) θ e k 2 k 1 t θ m, ou seja, m k 1 t θ k 2, t [ (R + 1), R + 1]. Assim, de (2.20), obtemos F (x, t) k 1 t θ k 2, t [ (R + 1), R + 1], x. (2.21) De (2.19) e (2.21) segue que F (x, t) k 1 t θ k 2, para t R, x. 44

53 Lema 2.7 Se S H \ {0} é um conjunto compacto e S = {tu; u S, t 0} então lim J(u) =. u S u Demonstração: Seja (u n ) S uma sequência com u n. Então, u n = t n v n, v n S e t n 0. Pela compacidade de S, passando a uma subsequência se necessário, v n v S quando n. Desde que θ (2, 2 ), das imersões compactas de Sobolev H0() 1 L θ () obtemos a menos de uma subsequência v n v em L θ (). Do Teorema de Vainberg[Ver o Teorema A.6 no Apêndice A], existe g L θ () tal que a menos de uma subsequência v n (x) v(x), q.t.p em e Assim, v n (x) g(x), q.t.p em. k 1 [ v n (x) θ v(x) θ ] 0, q.t.p em. Além disso, da desigualdade triangular obtemos k 1 v n (x) θ v(x) θ k1 ( v n (x) θ + v(x) θ ) C g(x) θ L 1 (). Do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue [Ver o Teorema A.5 no Apêndice A] k 1 v n θ dx k 1 v θ dx > 0. 45

54 Além disso, t n, desde que u n quando n. De (2.15) J(u n ) = 1 2 t n 2 v n t n 2 v n 2 F (x, u n ) dx (k 1 u n θ dx k 2 ) = 1 2 t n 2 v n 2 t θ n ( θ 2 θ = t n t v n 2 n 2 (k 1 v n θ dx k 2 t θ n ) k 1 v n θ dx k 2 t θ n Assim, J(u n ) quando n. Como queríamos demonstrar. ). 46

55 Capítulo 3 Demonstração do Teorema principal Neste Capítulo, faremos a demonstração do Teorema principal, para isso, ultilizaremos algumas definições ja vistas, bem como o Lema 2.7 que nos ajudará a termos condições para usar o Teorema Abstrato 2.2 demonstrado no Capítulo anterior. O Teorema Abstrato, por sua vez, garantirá a existência da solução que estamos procurando. Teorema 3.1 Suponha γ > 2 δ e f satisfazendo (f 1 ) (f 4 ). Então, o sistema (S) possui uma solução semi-nodal. Demonstração: No capítulo anterior, mostramos que A verifica (A 1 ) (A 4 ), onde A é definido em (2.2). Afim de aplicar o Teorema Abstrato 2.2, vamos considerar h s : [0, 1] H \{0} com s > 0, definido por h s (t) = s(tv + (1 t)u), onde u K e v K são linearmente independentes, H = H0() 1 e ±K são os cones de (2.7). 47

56 Observe que para todo s > 0, h s (0) = su K; h s (1) = sv K; Então, aplicando o Lema 2.7 ao compacto S = {tv + (1 t)u, t [0, 1]}, vemos que se s é suficientemente grande, temos J(h s (t)) < 0, t [0, 1]. Dessa forma, pelo Teorema Abstrato 2.2, J possui pelo menos três pontos críticos u 1, u 2, u 3, onde u 1 é uma solução positiva, u 2 é uma solução negativa e u 3 é uma solução nodal de (P ), isto é, u 3 H0() 1 \ {(K K)} e portanto o par (u 3, B(u 3 )) é uma solução semi-nodal de (S). 48

57 Apêndice A Resultados Básicos Teorema A.1 (Representação de Riesz) Seja H um espaço de Hilbert com o produto interno, H. Dado g H, existe um único u H tal que u, v H = g(v), para todo v H. Além disso, u H = g H. Demonstração: Ver [8] pg Teorema A.2 (Agmon-Douglis-Nirenberg) Sejam R N um domínio limitado e f L r () com r > 1. Se u H 1 0() é a solução fraca do problema linear u = f(x) em u = 0 sobre, então u W 2,r () e existe C > 0,independente de u tal que u W 2,r () C f L r (). Além disso, se f W k,r ( ) então u W k+2,r (). Demonstração: Ver [8] pg

58 No Lema a seguir, vamos estudar a unicidade de solução para o problema u + γu = f(x) em (P M ) u = 0 sobre, mostrando propriedades sobre o operador solução, onde R N limitado, f L 2 () é uma função dada. é um aberto Lema A.1 O problema (P M ) possui uma única solução u H0() 1 H 2 () que será denotada por u := ( + γi) 1 f = S(f), onde S = ( + γi) 1 denota o operador solução associado a (P M ) e além disso S : L 2 () L 2 () é linear, compacto, simétrico, contínuo e positivo, isto é, S(f).fdx 0. Demonstração: Por simplicidade, vamos considerar γ = 0. Note que u, v H 1 0 () = u v dx é o produto interno usual de H 1 0(), o qual é um espaço de Hilbert com a norma induzida u H 1 0 () = ( ) 1 u 2 2 dx. Dada f L 2 (), consideremos o funcional g : H 1 0() R definido por g(v) = fv dx. Notemos da Desigualdade de Cauchy-Schwarz que g(v) = ( fv dx ) 1 ( ) 1 f 2 2 dx v 2 2 dx <. 50

59 Assim g está bem definido e além disso, é linear pela linearidade da integral. Para v H 1 0(), temos novamente da Desigualdade de Cauchy-Schwarz e das Imersões Contínuas de Sobolev que existe C > 0 tal que g(v) f L 2 v L 2 f L 2 C v H 1 0 () mostrando assim a continuidade de g. Portanto, pelo Teorema A.1 da Representação de Riesz, segue-se que existe um único u H0() 1 tal que u, v H 1 0 () = g(v), para todo v H1 0(), isto é, u v dx = fv dx, para todo v H0(). 1 Mostrando que u H0() 1 é a única solução fraca do problema (P M ). Além disso, pelo Teorema A.2 de Agmon-Douglis-Nirenberg concluimos que u H0() 1 H 2 (). Assim fica bem definido o operador S : L 2 () H0() 1 definido por S(f) = u onde u é a única solução fraca do problema (P M ). Note que o operador S é linear e contínuo. Com efeito, dadas f 1, f 2 L 2 () e α R, obtemos únicas u 1, u 2 H0() 1 tais que S(f 1 ) = u 1 e S(f 2 ) = u 2, isto é u 1 v dx = f 1 v dx, para todo v H0() 1 (A.1) u 2 v dx = f 2 v dx, para todo v H 1 0(). (A.2) Multiplicando a igualdade (A.2) por α e somando membro a membro a desigualdade resultante com a igualdade (A.1) teremos u 1 v dx+α u 2 v dx = f 1 v dx+α f 2 v dx, para todo v H0() 1 ou seja, ( u 1 v + α u 2 v) dx = (f 1 v + αf 2 v) dx, para todo v H0(). 1 51

60 Utilizando as propriedades do produto interno no primeiro membro da igualdade e a propriedade distributiva na segundo membro, obtemos ( u 1 + α u 2 ) v dx = (f 1 + αf 2 )v dx, para todo v H0(). 1 Da linearidade do operador gradiente vem que (u 1 + αu 2 ) v dx = (f 1 + αf 2 )v dx, para todo v H0(). 1 Mostrando que S(f 1 + αf 2 ) = S(f 1 ) + αs(f 2 ). Vamos mostrar que S é contínuo. Usando a solução v como função teste na definição de solução fraca, da Desigualdade de Cauchy-Schwarz e das Imersões Contínuas de Sobolev, obtemos S(f) 2 H0 1() = u 2 H0 1() = fu dx u L 2 () f L 2 () C u H 1 0 () f L 2 () = C S(f) H0 1() f L 2 (). Assim, S(f) H 1 0 () C f L 2 (), mostrando que S é limitado e por ser linear, é contínuo. Observação A.1 Notemos que S : L 2 () H 1 0() L 2 (). Onde H 1 0() L 2 () é a imersão compacta de H 1 0() em L 2 (). Assim, da continuidade do operador S, S : L 2 () L 2 () 52

61 é um operador compacto. O operador S : L 2 () L 2 () é um operador positivo, isto é: S(f), f L 2 () 0. Com efeito, seja u = S(f) e notemos que S(f), f L 2 () = u, f L 2 () = uf dx = u u dx = u 2 H0 1 () 0. Para finalizar, mostremos que o operador S : L 2 () L 2 () é um operador simétrico, isto é: S(f), g L 2 () = f, S(g) L 2 (). Sejam u = S(f) e v = S(g). Então u w 1 dx = fw 1 dx, para todo w 1 H0() 1 e v w 2 dx = gw 2 dx, para todo w 2 H0(). 1 Considerando w 2 = u em (A.4) e w 1 = v em (A.3) resulta que gu dx = u v dx = fv dx. Mostrando que (A.3) (A.4) S(f), g L 2 () = f, S(g) L 2 (), f, g L2 (). Definição A.1 Dado um espaço de Banach X e um funcional I : X R. Dizemos que I possui uma Derivada de Gateaux em u X quando existir um funcional linear T 0 X tal que I(u + tv) I(u) T 0 v lim t 0 t 53 = 0, para todo v X.