Problemas de equações elípticas do tipo côncavo-convexo

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1 Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática Problemas de equações elípticas do tipo côncavo-convexo Gonçalo Santos Montalvão Carvalho Dissertação Mestrado em Matemática Lisboa, Setembro de 2014

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3 Universidade de Lisboa Faculdade de Ciências Departamento de Matemática Problemas de equações elípticas do tipo côncavo-convexo Gonçalo Santos Montalvão Carvalho Dissertação Mestrado em Matemática Orientadora: Professora Ana Rute do Nascimento Mendes Domingos Lisboa, Setembro de 2014

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5 Resumo Nesta dissertação é estudada a existência e não existência de soluções para uma classe de problemas do tipo côncavo-convexo, como por exemplo o problema que se segue u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ. onde R N é limitado, com fronteira Γ regular, N 3, λ > 0 e 0 < q < 1 < p < 2 1. Os resultados são provados por dois métodos diferentes. O primeiro usando sub e sobre soluções e métodos variacionais, seguindo os artigos de de Figueiredo, Gossez e Ubilla [15] e [16]. O segundo usando a variedade de Nehari e as fibering maps, seguindo o artigo de Brown e Wu [11]. Palavras-chave: equações elípticas; sub e sobresoluções; Teorema da passagem da montanha; expoente crítico de Sobolev; variedade de Nehari; fibering map.

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7 Abstract In this thesis we study the existence and nonexistence of solutions for a family of problems like u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ. where R N is bounded domain with smooth boundary Γ, N 3, λ > 0 and 0 < q < 1 < p < 2 1. The results are proved by two different methods. The first one using upper and lower solutions and variational methods, following the articles of de Figueiredo, Gossez and Ubillla [15] and [16]. The second one using the Nehari manifold and the fibering maps, following the article of Brown and Wu [11]. Keywords: semilinear elliptic problem; upper and lower solutions; mountain pass Theorem; Sobolev critical exponent; Nehari manifold; fibering map.

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9 Agradecimentos Chegou agora ao fim a minha etapa académica, na qual passei grande parte do tempo na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. É com grande alegria que me despeço dos bons tempos que aqui passei, dos colegas que conheci e dos professores que tive. Ficam as matérias estudadas e algumas já esquecidas, os almoços e jantares na Velha, o gabinete de mestrados e a grandiosa passagem por Milão e pela Università di Milano-Bicocca. Em especial queria agradecer à Professora Ana Rute Domingos, que me orientou nestes dois últimos anos, sempre com bom humor e exigência método de estudo. À minha mãe e ao meu irmão

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11 Conteúdo Notação 13 Introdução 15 1 Existência de duas soluções positivas - método I Introdução Crescimento sobrelinear arbitrário Crescimento sobrelinear subcrítico Crescimento sobrelinear crítico Existência de duas soluções positivas - método II Introdução Fibering Maps Existência de Soluções Positivas A Apêndice 71 A.1 Pontos críticos A.2 Subsoluções e sobresoluções A.3 Princípio Máximo A.4 Problema de valores próprios A.5 Espaços Sobolev em R N A.6 Resultados de Regularidade A.7 Bootstrap A.8 Outros resultados Bibliografia 85

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13 Notação 1. R N : aberto de R N. 2. Γ = : fronteira de. 3. u xi : derivada de u em ordem a x i. 4. u = (u x1,, u xn ): gradiente de u. 5. u = N i=1 u x i x i : Laplaciano de u. ( 1/p: 6. u p = u dx) p norma do espaço L p () para p [1, ). 7. u : norma do espaço L (). ( 1/2: 8. u = u dx) 2 norma do espaço H 1 0 (). 9. (, ): produto interno associaddo à norma. 10. : medida de Lebesgue de. 11. p : conjugado de Hölder de p, i.e., 1 p + 1 p = = 2N N 2 : expoente crítico de Sobolev. 13. u + = max{0, u}: parte positiva de u. 14. u = min{0, u}: parte negativa de u. 15. C R: constante arbitrária. 16. R > 0: raio duma bola arbitrária. 17. λ 1 (): primeiro valor próprio de em. 18. ϕ 1 : primeira função própria positiva de em. 19. ν: normal unitária exterior a. 20. u ν = u ν: derivada direcional. 13

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15 Introdução No ano letivo tive o meu primeiro contacto com as equações diferenciais não lineares, no trabalho que desenvolvi para a disciplina Seminário, que culminou com o estudo do artigo [11] de Kenneth J. Brown e Tsung-Fang Wu, onde é provado a existência de, pelo menos, duas soluções positivas para o problema u = λa(x)u q + b(x)u p em, u 0 em, u = 0 sobre Γ. onde R N é limitado, com fronteira Γ regular, 0 < q < 1 < p < 2 1, λ > 0 e a, b : R são funções de classe C, que assumem valores positivos em subdomínios de de medida positiva, mas com a possibilidade mudarem de sinal no resto de. Neste artigo os autores usam a denominada Variedade de Nehari (introduzida por Z. Nehari em [19] (1960) e [20] (1961)) e as denominadas Fibering Maps (introduzidas por P. Drabek e S. I. Pohozaev em [12] (1997)). Este problema faz parte de uma classe de problemas denominados por problemas côncavo-convexos, cujo trabalho pioneiro se deve a A. Ambrosetti, H. Brezis e G. Cerami no artigo [2], onde a parte não linear da equação exibe a soma de duas potências, uma com expoente maior que um e outra com expoente menor que um, conferindo à equação propriedades distintas dos problemas cuja equação só envolve um dos tipos das potências. Em [10], H. Brezis e L. Oswald provam que u = λu q em, u = 0 sobre Γ, com 0 < q < 1, admite uma única solução positiva, por técnicas de minimização. Em 1973, no artigo [4] de A. Ambrosetti e P. Rabinowitz, são desenvolvidos métodos variacionais (Teorema da Passagem da Montanha), com os quais é possível provar a existência de uma solução positiva para o problema u = λu + u p em, com p (1, 2 1) e com condições de Dirichlet sobre a fronteira. Resultados de existência quando p = 2 1 foram obtidos em 1983, por H. Brezis e L. Nirenberg em [8]. Tenhamos em atenção que neste caso a respetiva injeção de Sobolev H 1 0 () L2 () não é compacta, o que se traz dificuldades acrescidas, nomeadamente na obtenção de condições de compacidade (cf. Lema condição de Palais-Smale). Em 1994, em [2], A. Ambrozetti, H. Brezis e G. Cerami, consideram o problema u = λu q + u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ. 15

16 donde provam a existência de uma constante Λ positiva tal que para cada λ < Λ, o problema com 0 < q < 1 < p, tem, pelo menos, uma solução positiva, via sub e sobresoluções; e caso λ > Λ provam que o problema não tem soluções positivas. Provam ainda a existência de uma segunda solução, pelo Teorema da Passagem da Montanha, quando p 2 1. Posteriormente, em 2003, D. de Figueiredo, J.-P. Gossez e P. Ubilla obtêm os resultados de [2], em [15], para o caso subcrítico (p < 2 1), considerando problemas mais gerais, tais como u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em u = 0 sobre Γ. onde R N é limitado, com fronteira Γ regular, 0 < q < 1 < p < 2 1, λ > 0 e as funções a L α () e b L β (), com α > ( 2 q+1 ) e β > ( 2 p+1 ) (conjugados de Hölder), assumem valores positivos em subdomínios de de medida positiva, mas com a possibilidade mudarem de sinal no resto de ; e caso q = 0, a(x) 0, p.q.t. x. Três anos depois, em [16], os mesmo autores, obtêm resultados também para o caso crítico (p = 2 1), com mais restrições nos sinais das funções peso. A classe de problemas estudada também inclui o problema u = λc(x)(u + 1) p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com p > 1 e a função c L (), c(x) 0 em, introduzido por Brézis e Nirenberg em [8], com c 1 em. Nesta dissertação apresentamos as duas abordagens referidas: a de Brown e Wu [11], e a de Figueiredo, Gossez e Ubilla [15] e [16]. No capítulo 1, é abordado detalhadamente o artigo [16] com o problema u = f λ (x, u) em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, onde f λ : R + R é uma função de Carathéodory e é apresentado a a sua aplicação aos problemas atrás referidos. Na secção 1.2 é provada a existência de uma solução positiva pelo Método de sub e sobresoluções fracas e ainda um resultado de não existência. Na secção 1.3 é utilizado o Teorema da Passagem da Montanha para provar a existência de uma segunda solução positiva, quando o problema tem crescimento subcrítico, i.e., f λ (x, s) d 1 + d 2 s σ 1, quando σ < 2 1 e d 1, d 2 > 0, para todo s > 0, p.q.t. x. Na secção 1.4, é estendido o resultado para problemas de crescimento crítico, i.e., σ =

17 No Capítulo 2 é estudado o artigo [11]. Na secção 2.2 é abordado a relação entre a Variedade de Nehari e as Fibering Maps e é realizado o estudo analítico das Fibering Maps. Por último, são apresentados os resultados de existência na secção 2.3. No Apêndice A são apresentados algumas definições e resultados utilizados ao longo da dissertação, tais como, o Teorema da passagem da montanha, o Princípio máximo, as injeções de Sobolev, entre outras. 17

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19 Capítulo 1 Existência de duas soluções positivas - método I 1.1 Introdução Consideremos o problema u = f λ (x, u) em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, (1.1) λ onde é um subdomínio limitado de R N com fronteira Γ regular, N 3, λ > 0 e f λ : R + R é uma função de Carathéodory. A classe de problemas que vamos considerar inclui problemas do tipo côncavo-convexo, i.e., problemas do tipo u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, (1.2) u = 0 sobre Γ. onde 0 < q < 1 < p, λ > 0 e as funções a(x), b(x) C 1 (). Como poderemos observar nas proposições seguintes, a existência de soluções positivas do problema (1.2) está relacionada com o sinal das funções a e b. Proposição Consideremos a, b C 1 () e λ > 0. Se a(x), b(x) 0, então o problema (1.2) não tem solução. Demonstração. Suponhamos que u é solução positiva do problema (1.2), então multiplicando a equação por u e integrando em, obtemos 0 u 2 dx = λa(x)u q+1 + b(x)u p+1 dx 0, logo u 0. 19

20 No artigo de Brézis e Oswald [10], é provada a existência e a unicidade de solução para problemas tais que a função s f(x, s)/s é decrescente em [0, ) (ver Teorema A.14). Proposição Consideremos a, b C 1 () e λ > 0. Se a(x) 0 e b(x) 0, então o problema (1.2) admite uma única solução. Demonstração. Como a(x) 0 e b(x) 0 e 0 < q < 1 < p, então a função é decrescente em R +. Além disso, s λa(x)sq + b(x)s p s λa(x)s q + b(x)s p λ a s q, para todo s > 0. Como q < 1, existe uma constante C > 0 tal que para todo s > 0 e p.q.t. x, λa(x)s q + b(x)s p C(s + 1). Temos ainda, λa(x)s q + b(x)s p lim s 0 s = e lim s λa(x)s q + b(x)s p s Logo, pelo Teorema A.14, o problema (1.2) admite uma única solução. =. Como iremos ver à frente (ver Corolários e ), se a função a(x) 0, em e a função b é positiva num conjunto de medida positiva, mas com possibilidade de mudar de sinal, então para λ > 0 suficientemente pequeno o problema (1.2) tem, pelo menos, duas soluções se 1 < p 2. Caso p 2 ainda é possível garantir a existência de, pelo menos, uma solução, para λ > 0 suficientemente pequeno (ver Corolário 1.2.6). Vamos ainda considerar os problemas como o que se segue: u = λc(x)(u + 1) p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, (1.3) com p > 1 e a função c L (), c(x) 0 em. Este problema foi introduzido por Brézis e Nirenberg em [8], com c 1 em. As secções seguintes são baseadas nos artigos [15] e [16]. 1.2 Crescimento sobrelinear arbitrário Primeira solução positiva Nesta secção iremos provar, a existência de, pelo menos, uma solução para o problema (1.1) λ para λ > 0 suficientemente pequeno, pelo Método de sub e sobresoluções fracas (cf. Teorema 1.1). O método consiste em encontrar u, u H0 1 (), respetivamente, subsolução e sobresolução fracas do problema (1.1) λ tais que u u. Desta forma existe 20

21 uma solução fraca u H0 1() do problema (1.1) λ tal que u u u (cf. Teorema A.3). Iremos ainda provar um resultado de não existência de solução positiva para λ suficientemente grande (cf. Teorema 1.2). Sabemos que, u H0 1() é solução fraca do problema (1.1) λ se, e só se, é um ponto crítico do funcional associado J λ : H0 1 () R, definido por, J λ (u) := 1 2 u 2 F λ (x, u) dx, onde F λ é a primitiva de f λ F λ (x, s) := s 0 f λ (x, t) dt. Assim, u é solução fraca do problema (1.1) λ se, e só se, para todo ϕ H0 1() J λ (u)ϕ := u ϕ dx f λ (x, u)ϕ dx = 0. Seja f λ : R + R e consideremos as seguintes hipóteses. (M) Se λ < λ, então para todo s 0, p.q.t. x. f λ (x, s) f λ (x, s), (H 0 ) Para cada λ, s 0 > 0, existe uma constante B > 0 tal que para todo s [0, s 0 ] e p.q.t. x. f λ (x, s) Bs, (H 1 ) Para cada λ, s 0 > 0, existe uma constante A > 0 tal que para todo s [0, s 0 ] e p.q.t. x. f λ (x, s) A, (H 2 ) Existem λ 0 > 0 e uma função não decrescente h : R + R com tais que inf{h(s)/s : s > 0} < 1/ ξ, f λ0 (x, s) h(s), para todo s 0 e p.q.t. x, onde ξ é a solução do problema { ξ = 1 em, ξ = 0 sobre Γ. 21

22 (H 3 ) Para cada λ > 0, existem um subdomínio 1 não vazio e regular, θ 1 > λ 1 ( 1 ) e s 1 > 0 tais que f λ (x, s) θ 1 s, para todo s [0, s 1 ] e p.q.t. x 1, onde λ 1 ( 1 ) é o primeiro valor próprio de em H 1 0 ( 1). Observação A monotonia das funções f λ em relação ao parâmetro λ (hipótese (M)) garante a existência de uma solução do problema (1.1) λ, para todo λ suficientemente pequeno. Caso a hipótese não seja assumida ainda é possível encontrar uma solução para o problema (1.1) λ0 com λ 0 dado pela hipótese (H 2 ). Observação A hipótese (H 0 ) implica que f λ (x, 0) 0. Pelo prolongamento de f λ (x, s) a s < 0, pondo f λ (x, s) = f λ (x, 0), p.q.t. x, temos f λ (x, s) 0 para todo s 0, p.q.t. x. Desta forma, consideremos sempre este prolongamento de f λ a R. Lema Se u é uma solução clássica não trivial do problema { u = fλ (x, u) em, u = 0 sobre Γ. (1.4) e a hipótese (H 0 ) é satisfeita, então u é solução do problema (1.1) λ. Demonstração. Multiplicando a equação do problema (1.4) por u e integrando em, temos 0 u 2 dx = u( u ) dx = f λ (x, u)( u ) dx = f λ (x, u )u dx = f λ (x, 0)u dx 0 logo, u 0. Pela hipótese (H 0 ), existe uma constante B > 0 tal que u = f λ (x, u) Bu, p.q.t. x. Logo, pelo Princípio Máximo Forte A.6, u > 0 em. Observação As hipóteses (H 2 ) e (H 3 ) garantem, respetivamente, a existência de uma sobresolução e de uma subsolução do problema (1.1) λ. Juntamente com a hipótese (H 1 ), satisfazem as condições do Teorema A.3 (ver a Secção A.2). Observação A hipótese (H 3 ) é uma condição de sublinearidade local na origem da função f λ. Caso se verifique seguinte condição f(x, s) lim = +, uniformemente para x 1, s 0 + s então a hipótese (H 3 ) também é satisfeita. 22

23 Teorema 1.1. Se as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ) e (H 3 ), são satisfeitas, então existe uma constante Λ (0, ] tal que para todo λ (0, Λ) o problema (1.1) λ tem, pelo menos, uma solução, w, com J λ (w) < 0. Demonstração do Teorema ) Vamos provar a existência de uma solução fraca para o problema (1.1) λ0, onde λ 0 é dado pela hipótese (H 2 ), pelo método de sub e sobresoluções fracas. Sobresolução. Sejam λ 0 > 0 e a função h dados pela hipótese (H 2 ) e ξ H 2 () L () é a solução do problema { ξ = 1 em, ξ = 0 sobre Γ. Pela hipótese (H 2 ) temos f λ0 (x, s) h(s) para todo s 0 e donde existe um M > 0 tal que ou seja Como a funçao h é não decrescente temos logo, pela hipótese (H 2 ) inf{h(s)/s : s > 0} < 1/ ξ, h(m ξ )/(M ξ ) 1/ ξ, h(m ξ ) M. h(m ξ ) h(mξ), (Mξ) = M h(mξ) f λ0 (x, Mξ). Portanto, Mξ é sobresolução do problema (1.1) λ0. Subsolução. Seja ϕ 1 a função própria de em H0 1( 1), associada ao valor próprio λ 1 ( 1 ), onde 1 é dado em (H 3 ). Sabemos que ϕ 1 H 2 ( 1 ) L ( 1 ). Denotemos, ainda por ϕ 1 o prolongamento de ϕ 1 por 0 a \ 1. Seja ϕ ε = εϕ 1 para ε > 0. Para todo v C0 (), v 0, temos ϕ ε v dx = ϕ ε v dx = ϕ ε v dx 1 1 ϕ ε = 1 ν v dx (ϕ ε )v dx 1 ϕ ε = 1 ν v dx + λ 1( 1 ) ϕ ε v dx 1 λ 1 ( 1 ) ϕ ε v dx, 1 1 Identidade de Green, ver o Lema A

24 porque ϕε ν 0 e v 0. Pela hipótese (H 3) temos, para todo ε s 1 / ϕ 1, λ 1 ( 1 ) ϕ ε v dx f λ0 (x, ϕ ε )v dx f λ0 (x, ϕ ε )v dx, 1 1 observemos que ϕ ε 0 em \ 1. Portanto, para ε s 1 / ϕ 1, ϕ ε v dx f λ0 (x, ϕ ε )v dx. donde concluímos que ϕ ε é subsolução fraca do problema (1.1) λ0. Se tomarmos ε > 0 suficientemente pequeno, tal que ϕ ε Mξ em, pelo Teorema A.3, garantimos a existência de uma solução fraca w para o problema (1.1) λ0 tal que (cf. demonstração do Teorema A.3) J λ0 (w) = min{j λ0 (u) : ϕ ε u Mξ, u H 1 0 ()}. 2) Consideremos Λ := sup{λ > 0 : (1.1) λ tem uma solução}. Seja λ < Λ tal que o problema (1.1) λ tem uma solução u. Queremos ver que para cada λ < λ o problema (1.1) λ tem uma solução w tal que J λ (w) < 0. Pela hipótese (M), f λ (x, u) f λ (x, u) donde u f λ (x, u), logo u é uma sobresolução do problema (1.1) λ. Pelo argumento acima existe ε > 0 suficientemente pequeno tal que ϕ ε é subsolução fraca do problema (1.1) λ e ϕ ε < u. Novamente pelo Teorema A.3, existe uma solução fraca, w, do problema (1.1) λ tal que J λ (w) = min{j λ (u) : ϕ ε u u, u H 1 0 ()}. (1.5) Para concluirmos a demonstração basta provar que J λ (w) < 0. ε s 1 / ϕ 1, pela hipótese (H 3 ) temos J(ϕ ε ) = 1 2 ϕ ε 2 F λ (x, ϕ ε ) dx 1 2 ϕ ε 2 θ 1 ϕ 2 ε dx 2 2 = (λ 1 θ) ε2 ϕ 2 1 dx 2 1 < 0. Seja ε tal que donde concluímos que J λ (w) < 0. 2 Observemos que ϕ 1 2 = λ 1( 1) 1 ϕ 2 1 dx 24

25 Corolário Consideremos o problema (1.2) u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 0 q < 1 < p e as funções a, b L (). Suponhamos: (i) a(x) 0, p.q.t. x, (ii) existem uma bola B 1 e ε 1 > 0 tais que a(x) ε 1 p.q.t. x B 1. Então existe uma constante Λ (0, ] tal que para todo λ (0, Λ) o problema (1.2) tem, pelo menos, uma solução w tal que J λ (w) < 0. Demonstração. De forma a aplicar o Teorema 1.1 é suficiente verificar as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ), (H 3 ). Consideremos s 0 > 0, então pela hipótese (i), temos: se λ < λ, então λa(x)s q +b(x)s p < λa(x)s q +b(x)s p, para todo s 0, p.q.t. x ; λ a(x) s 1 q + b(x)sp 1 b s p 1 0, para s [0, s 0 ], p.q.t. x ; λa(x)s q + b(x)s p λ a s q 0 + b s p 0, para s [0, s 0], p.q.t. x ; o que implica as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ). A hipótese (H 2 ) é verificada considerando a função h(s) = λ a s q + b s p, para todo λ suficientemente pequeno (ver o lema seguinte). Pela hipótese (ii), temos 3 ( lim λ a(x) ( s 0 + s 1 q + b(x)sp 1) lim λ ε 1 s 0 + s 1 q + b(x)sp 1) =, p.q.t. x B 1, o que garante a hipótese (H 3 ). Lema Considerando h(s) = λ a s q + b s p, então para λ suficientemente pequeno inf{h(s)/s : s > 0} < 1/ ξ. Demonstração. Vamos ver que existe uma constante M > 0 tal que para λ suficientemente pequeno, 1/ ξ > h(m ξ ), i.e., M ξ M > h(m ξ ) = λ a (M ξ ) q + b (M ξ ) p. Consideremos A = a, B = b, C = ξ e a função h(s) = s B(sC) p. Temos h (s) = 1 pbc(sc) p 1, donde observamos que h atinge um máximo positivo em 1 M := C(BpC) 1/(p 1). O resultado segue se λ < 3 Ver Observação h(m) A(MC) q = M B(MC)p A(MC) q. 25

26 Observação Observemos que Λ, dado pelo Teorema 1.1, pode ser igual a. Por exemplo, se para cada λ > 0 existir uma constante M λ > 0 tal que f λ (x, M λ ) < 0, p.q.t. x, então a constante M λ é uma sobresolução do problema (1.1) λ. Tomando ε > 0 suficientemente pequeno a função ϕ ε é uma subsolução do problema (1.1) λ tal que ϕ ε M λ em. Além disso, pela definição de Λ, caso Λ e λ > Λ, o problema (1.1) λ não tem solução. Exemplo Se considerarmos o problema (1.2), com b 1, então para cada λ > 0 existe uma constante M λ > (λ a ) 1/(p q) tal que f λ (x, M λ ) = λa(x)m q λ M p λ < 0, p.q.t. x, logo M λ = 0 > f λ (x, M λ ), p.q.t. x. Portanto o problema (1.2) tem uma solução para cada λ > 0. Observação Relativamente ao problema (1.2), pelo Lema temos que inf{h(s)/s : s > 0} < 1/ ξ, para todo λ suficientemente pequeno, o que satisfaz a hipótese (H 2 ) para todo o λ suficientemente pequeno. Desta forma, conseguimos provar a existência de uma solução u 0, para todo o λ suficientemente pequeno, sem pedir que a(x) 0 em todo, ou seja, a função a pode assumir valores negativos. No artigo [15] é provado um resultado um pouco mais geral que o Corolário 1.2.6, onde é considerado o seguinte problema u = f(x, u) em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ. onde a função f satisfaz as seguintes hipóteses: (H 0 ) f(x, 0) 0, p.q.t. x. (H 1 ) Existem 0 q < 1 < p e a, b L () tais que para todo s 0, p.q.t. x. f(x, s) a(x)s q + b(x)s p, (1.6) (H 2 ) Existem um subdomínio 1 não vazio e regular, θ 1 > λ 1 ( 1 ) e s 1 > 0 tais que f(x, s) θ 1 s para todo s 1 [0, s 1 ], p.q.t. x 1, onde λ 1 ( 1 ) é o primeiro valor próprio de em H 1 0 ( 1). Observação A hipótese (H 2 ) garante que a(x) ε 1 > 0, em 1. 26

27 Proposição Se o problema (1.6) satisfaz as hipóteses (H 0 ), (H 1 ) e (H 2 ), então existe uma constante δ = δ(p, q,, b) > 0 tal que, se a δ, o problema (1.6) tem, pelo menos, uma solução w, tal que J(w) < 0, onde J é o funcional associado. Demonstração. A demonstração segue o mesmo método utilizado na primeira parte do Teorema 1.1, onde a contante δ pode ser encontrada pelo Lema Consideremos o seguinte resultado de não existência de solução, relativo ao problema (1.1) λ. Teorema 1.2. Se as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ) e (H 3 ) são satisfeitas e, além disso existem uma função k tal que lim k(λ) =, λ um subdomínio não vazio e regular de e uma função m L ( ) não nula, com m 0 em, tais que f λ (x, s) k(λ) m(x)s, (1.7) para todo λ > 0, s 0 e p.q.t. x. Então Λ <, i.e., para λ suficientemente grande o problema (1.1) λ não tem solução. Demonstração. Seja λ > 0 tal que o problema (1.1) λ tem uma solução. Vamos provar que k(λ) λ 1 ( m, ), onde λ 1 ( m, ) é o primeiro valor próprio de em H 1 0 ( ), com peso m. Seja ϕ 1 a função própria positiva associada a λ 1 ( m, ) prolongada por 0 a \. Seja u uma solução do problema (1.1) λ, então u > 0 em. Assim, temos e por (1.7) vem u ϕ 1 dx = u ϕ 1 dx = f λ (x, u)ϕ 1 dx f λ (x, u)ϕ 1 dx k(λ) m(x)uϕ 1 dx. Analisemos dois casos. 1 o caso:. Como ϕ C 1 ( ) H 2 ( ), e ϕ ν 0 sobre, pelo Lema A.8.1, u ϕ 1 dx = u ϕ 1 ν dx u ϕ 1 dx λ 1 ( m, ) m(x)uϕ 1 dx. 27

28 Portanto, k(λ) m(x)uϕ 1 dx u ϕ 1 dx λ 1 ( m, ) m(x)uϕ 1 dx. Como m(x)uϕ 1 > 0, vem k(λ) λ 1 ( m, ). 2 o caso: =. Neste caso temos k(λ) m(x)uϕ 1 dx f λ (x, u)ϕ 1 dx = uϕ 1 dx = u ϕ 1 dx = λ 1 ( m, ) m(x)uϕ 1 dx, ou seja k(λ) λ 1 ( m, ), porque m(x)uϕ 1 > 0. Por hipótese k(λ), quando λ, então existe λ suficientemente grande tal que k(λ) > λ 1 ( m, ), pelo que o problema respetivo (1.1) λ não tem solução. Corolário Consideremos o problema (1.2) u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 0 q < 1 < p e as funções a, b L (). Em adição às hipóteses (i) e (ii) do Corolário suponhamos ainda que (iii) existe uma bola B 0 tal que b(x) 0, p.q.t. x B 0 e a(x)b(x) 0 para todo x B 0. Então Λ <. Para a demonstração do resultado anterior vamos ainda precisar do lema que se segue. Lema Sejam A, B 0 e 0 q < 1 < p. Então existe uma constante C = C(p, q) > 0 tal que As q + Bs p CA p 1 p q B 1 q p q s para todo s 0. 28

29 Demonstração. Sejam Q = p 1 p q, P = 1 q p q, α = qq, β = pp > 0. Assim, α + β = q p 1 p q + p1 q p q = qp q + p pq p q = 1. Então pela desigualdade de Young (Proposição A.8.2) temos Temos, Q + P = p 1 p q + 1 q p q A Q B P s = A Q s α B P s β QAs α/q + P Bs β/p. = 1 (hipótese da desigualdade de Young); q = α/q, p = β/p = α = qq = q p 1 1 q p q, β = pp = p p q ; Portanto, A Q B P s QAs q + P Bs p max{p, Q}(As q + Bs p ), e definindo C 1 = max{p, Q}, obtemos o resultado. Demonstração do Corolário Considerando o subdomínio = B 0 e a função m(x) = a(x) p 1 p q b(x) 1 q p q, então, pelo Lema , existe uma constante C = C(p, q) > 0 tal que λa(x)s q + b(x)s p C ( λa(x) ) p 1 p q b(x) 1 q p q s = Cλ p 1 p q m(x)s, para todo λ > 0, s 0 e p.q.t. x B 2. Assim tomando k(λ) = Cλ p 1 p q pelo Teorema 1.2. Corolário Consideremos o problema (1.3) u = λc(x)(u + 1) p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, o resultado segue com p > 1 e a função c L (), c(x) 0 em e c(x) ε 0 > 0 numa bola B 0. Então existe uma constante Λ (0, ) tal que para todo λ (0, Λ) o problema (1.3) tem, pelo menos, uma solução w tal que J λ (w) < 0. Caso λ > Λ o problema (1.3) não tem solução. Demonstração. De forma a aplicar o Teorema 1.1 é suficiente verificar as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ), (H 3 ). Consideremos s 0 > 0, então se λ < λ, então λc(x)(s + 1) p λc(x)(s + 1) p, para todo s 0, p.q.t. x ; λc(x)(s + 1) p 0 Bs, para s [0, s 0 ], p.q.t. x ; λc(x)(s + 1) p λ c (s 0 + 1) p, para s [0, s 0 ], p.q.t. x ; 29

30 logo as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ) são satisfeitas. Consideremos a função h(s) = λ c (s + 1) p, da mesma forma que o Lema 1.2.7, a função h = s λ c (s ξ + 1) p atinge um máximo positivo, se ( 1 ) 1 p 1 1 > 0 λp c ξ 1 ou seja, se λ <, a hipótese (H 2 ) é satisfeita. p c ξ hipótese (H 3 ) é verificada na bola B 0 + 1)p lim λc(x)(s s 0 + s lim s 0 + λε 0(s + 1) p s Pela Observação 1.2.5, a =, p.q.t. x B 0. Por fim, obviamente as hipóteses do Teorema 1.2 são verificadas, porque logo, Λ <. λc(x)(s + 1) p λc(x)s, 1.3 Crescimento sobrelinear subcrítico Segunda solução positiva Nesta secção iremos provar resultados de existência de solução positiva para o problema (1.1) λ u = f λ (x, u) em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, quando a função f λ tem um crescimento sobrelinear subcrítico i.e., existem constantes d 1, d 2 > 0 e σ [1, 2 ), tais que 2N f λ (x, s) d 1 + d 2 s σ 1, onde 2 = N 2 é o expoente crítico de Sobolev, com N 3. No Teorema 1.3, será provado a existência de, pelo menos, uma solução positiva, quando λ = Λ. Pelo Teorema da Passagem da Montanha (ver Secção A.1) iremos provar a existência de uma segunda solução positiva para o problema (1.1) λ, para todo λ (0, Λ) (cf. Teorema 1.4). Consideremos as seguintes hipóteses. (H 4 ) Para cada λ > 0, existem d 1, d 2 > 0 e σ [1, 2 ) tais que para todo s [0, ) e p.q.t. x. f λ (x, s) d 1 + d 2 s σ 1, 30

31 (H 5 ) Para cada λ > 0, existem d, s 0 0, θ > 2 e ρ [1, 2) tais que para todo s [s 0, ) e p.q.t. x. θf λ (x, s) sf λ (x, s) + ds ρ Observação A hipótese (H 4 ) é uma condição de crescimento sobre f λ, garante que o funcional J λ está bem definido e, além disso, também garante que uma solução fraca u H 1 0 () do problema (1.1) λ pertence ao espaço W 2,r () para todo r [1, ) e consequentemente u C 1 () (ver Bootstrap, na secção A.7). Observação A hipótese (H 5 ) é motivada pela condição de superquadracidade de Ambrosetti-Rabinowitz [4]. Juntamente com a hipótese (H 4 ), garantem a condição de Palais-Smale, (ver Secção A.1). Teorema 1.3. Para além das hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ) e (H 3 ) suponhamos que, para um intervalo [t 0, t 1 ] (0, Λ) as hipóteses (H 4 ) e (H 5 ) são satisfeitas uniformemente para cada λ [t 1, t 2 ] e para σ [1, 2 ]. Então o problema (1.1) Λ tem, pelo menos, uma solução, w, com J Λ (w) 0. Demonstração. Consideremos uma sucessão crescente {λ j } tal que λ j Λ e seja w j uma solução do problema (1.1) λj com J j (w j ) < 0 4 (cf. Teorema 1.1). Então 1 2 w j 2 < F j (x, w j ) dx. Sejam d, s 0 0, θ > 2, ρ [1, 2) dados pela hipótese (H 5 ). Vamos ver que a sucessão {w j } é limitada em H0 1(). Pela hipótese (H 5) θ F j (x, w j ) dx w j f j (x, w j ) + dw ρ j dx + F j (x, w j ) dx {w j s 0 } para cada λ j. Além disso, w j f j (x, w j ) dx = w j 2 logo e {w j <s 0 } dw ρ j dx = d w j ρ ρ, ( θ 2 1 ) w j 2 < d w j ρ ρ + C 1 C w j ρ + C 1, para C, C 1 R. Como ( θ 2 1) > 0 e ρ < 2 concluímos que a sucessão é limitada. Por bootstrap 5 temos w j w em H0 1 () C(). Portanto, w é solução do problema u = f Λ (x, u) em, u 0 em, u = 0 sobre Γ. 4 De modo a simplificar a notação escrevemos J λj = J j, F λj = F j e f λj = f j 5 A hipótese (H 4) é utilizada aqui, com σ [1, 2 ] - ver Secção A.7. 31

32 e J Λ (w) 0. Suponhamos, com vista um absurdo, que w 0. Consideremos s 1 > 0 e 1 dados pela hipótese (H 3 ) referente a λ 1, o primeiro elemento da sucessão {λ j }. Seja λ 1 ( 1 ) o valor próprio de em H0 1( 1) associado à primeira função própria positiva ϕ 1, prolongada por 0 a \ 1. Pela hipótese (M), temos, para todo j > 1, w j ϕ 1 dx = (w j )ϕ 1 dx = 1 f j (x, w j )ϕ 1 dx 1 f 1 (x, w j )ϕ 1 dx, 1 donde para j suficientemente grande tal que 0 w j (x) s 1, o que é possível porque w j 0 uniformemente em, f 1 (x, w j )ϕ 1 dx θ 1 w j ϕ 1 dx. 1 1 Por outro lado, pelo Lema A.8.1 ϕ 1 w j ϕ 1 dx = w j 1 1 ν dx w j ϕ 1 dx λ 1 ( 1 ) w j ϕ 1 dx. 1 1 Portanto λ 1 ( 1 ) w j ϕ 1 dx θ 1 1 w j ϕ 1 dx 1 o que é absurdo porque θ 1 > λ 1 ( 1 ) e w j ϕ 1 > 0 em 1. Corolário Consideremos o problema (1.2) u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 0 q < 1 < p e as funções a, b L (). Em adição as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Corolário suponhamos que p 2 1. Então para λ = Λ o problema (1.2) tem, pelo menos, uma solução w, com J Λ (w) 0. Demonstração. Consideremos o intervalo [t 0, t 1 ] (0, Λ), então a hipótese (H 5 ) é satisfeita tomando θ = p + 1, ρ = q + 1, d = t 1 ( θ q+1 1) a. A verificação da hipótese (H 4 ) é trivial, onde pelo Teorema 1.3 obtemos o resultado. Corolário Consideremos o problema (1.3) u = λc(x)(u + 1) p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 1 < p e a função c L (), c(x) 0 em e c(x) ε 0 > 0 numa bola B 0. Se p 2 1, então para λ = Λ o problema (1.3) tem, pelo menos, uma solução w, com J Λ (w) 0. 32

33 Demonstração. Observemos que se θ (2, p + 1), então θf λ (x, s) sf λ (x, s) θ p + 1 λc(x)(s + 1)p+1 λc(x)(s + 1) p (s + 1 1) [( ) ] θ = λc(x)(s + 1) p p (s + 1) para s suficientemente grande, desta forma, a hipótese (H 5 ) é verificada tomando d = 0. A verificação da hipótese (H 4 ) é trivial, logo, pelo Teorema 1.3, obtemos o resultado. Consideremos as seguintes hipóteses: (M) Dados λ, λ > 0 tais que λ < λ, f λ (x, u) f λ (x, u). (H 0 ) Para cada λ > 0 e para cada s 0 > 0 existe B 0 tal que a função s f λ (x, s) + Bs é não decrescente para s [0, s 0 ] e p.q.t. x. Além disso, f λ (x, 0) 0, p.q.t. x. (H 6 ) Para cada λ > 0, existem um subdomínio 2 não vazio e regular e θ 2, s 2 > 0 tais que F λ (x, s) θ 2 s 2, para todo s [s 2, ) e p.q.t. x 2. Observação As hipóteses (M) e (H 0 ) são hipóteses mais fortes que as hipóteses (M) e (H 0 ), respetivamente. Lema Seja 2 um subdomínio de. Se f λ satisfaz a seguinte a condição de sobrelinearidade local no infinito em 2, então a hipótese (H 6 ) é satisfeita. Demonstração. Temos f(x, s) lim = +, uniformemente para x 2, s s F λ (x, s) f λ (x, s) lim s s 2 = lim =, s 2s logo existem θ 2, s 2 > 0 tais que F λ (x, s) θ 2 s 2 para todo s [s 2, ), p.q.t. x 2. 33

34 Teorema 1.4. Consideremos a constante Λ dada pelo Teorema 1.1. Suponhamos que as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ),, (H 6 ) são satisfeitas. Se λ < Λ, então o problema (1.1) λ tem, pelo menos, duas soluções, w e v, tais que w < v em, w/ ν > v/ ν sobre Γ e J λ (w) < 0. Fixemos λ (0, Λ) e denotemos por w 0 a solução positiva do problema (1.1) λ dada pelo Teorema 1.1. Vamos procurar uma segunda solução para o mesmo problema da forma v = w 0 + u com u > 0, i.e., queremos então encontrar uma solução do problema u = g λ (x, u) em, u 0 em, u = 0 sobre Γ. (1.8) onde g λ (x, s) = f λ (x, w 0 + s + ) f λ (x, w 0 ). Lema Seja u solução do problema (1.8), então v = w 0 + u é solução do problema inicial (1.1) λ. Demonstração. Multiplicando g λ (x, u) por u e integrando em obtemos ( ) g λ (x, u)( u ) dx = f λ (x, w 0 + u + ) f λ (x, w 0 ) ( u ) dx = 0, donde, pelo problema (1.8), 0 u 2 = g λ (x, u)( u ) dx = 0, logo u 0. Além disso, pelo Princípio Máximo forte, u > 0 em e v/ ν < 0 sobre Γ. Consequentemente, v = w 0 + u é solução do problema (1.1) λ. Com o objetivo de encontrarmos uma solução do problema (1.8) consideremos o funcional associado J λ (u) = 1 2 u 2 G λ (x, u) dx, onde G λ (x, s) := s 0 g λ (x, t) dt. Vamos ver que as hipóteses do Teorema da Passagem da Montanha são satisfeitas para o funcional J λ. Essencialmente, queremos ver que: J λ satisfaz a condição de Palais-Smale, existe R > 0 tal que para todo u < R, J λ (0) < J λ (u), existe uma função u 1 H 1 0 () com u 1 > R tal que J λ (u 1 ) < J λ (0) = 0. 34

35 O lema seguinte será utilizado ao longo da secção. Lema Seja u H0 1 (), então Demonstração. Temos então G λ (x, s) = J λ (u) = 1 2 s 0 J λ (u) = 1 2 u 2 + J λ (w 0 + u + ) J λ (w 0 ). g λ (x, t) dt = s + 0 w0 +s + f λ (x, w 0 + t + ) f λ (x, w 0 ) dt = f λ (x, t) dt f λ (x, w 0 )s + w 0 = F λ (x, w 0 + s + ) F λ (x, w 0 ) f λ (x, w 0 )s +, ( u u 2) F λ (x, w 0 + u + ) F λ (x, w 0 ) f λ (x, w 0 )u + dx. Por outro lado, como w 0 é solução do problema (1.1) λ temos J λ (w 0 + u + ) = 1 ( w u + 2) F λ (x, w 0 + u + ) w 0 u + dx 2 = 1 ( w u + 2) F λ (x, w 0 + u + ) f λ (x, w 0 )u + dx. 2 Portanto J λ (u) J λ (w 0 + u + ) = 1 2 ( u 2 w 0 2) + F λ (x, w 0 ) dx = 1 2 u 2 J λ (w 0 ), ou seja J λ (u) = 1 2 u 2 + J λ (w 0 + u + ) J λ (w 0 ). Proposição Se as hipóteses (H 0 ), (H 4 ) e (H 5 ) são satisfeitas, então o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c em H0 1 (), para todo o c R.6 Demonstração. Consideremos c R e as constantes d, s 0 > 0, θ > 2 e ρ [1, 2) dadas pela hipótese (H 5 ). Consideremos a sucessão {u n } H0 1 () tal que 6 Ver Definição A.1.3. J λ (u n ) c, J λ (u n) 0. 35

36 Então existe uma constante C R tal que J λ (u n ) = 1 2 u n 2 e F λ (x, u n ) dx C J λ (u n)u n = u n 2 f λ (x, u n )u n dx ε n u n, com ε n 0. Então, ( θ ) θj λ (u n ) J λ (u n)u n = 2 1 u n 2 θf λ (x, u n ) f λ (x, u n )u n dx θc + ε n u n. Queremos ver que a sucessão {u n } é limitada em H0 1 (). Observemos que se s < 0, então θf λ (x, s) f λ (x, s)s = θ 0 Então, pela hipótese (H 5 ) temos ( θ ) 2 1 u n 2 θc + ε n u n + d s f λ (x, 0) dt f λ (x, 0)s = (θ 1)f λ (x, 0)s 0. (u + n ) ρ dx θc + ε n u n + d u n ρ ρ θc + ε n u n + ds u n ρ, onde S é uma constante, da injeção contínua H 1 0 () Lρ (). Assim, ( θ ) 0 θc + ε n u n + ds u n ρ 2 1 u n 2. Como, por hipótese, ρ < 2 e θ 2 1 > 0 concluímos que a sucessão {u n} é limitada em H 1 0 (). Então existe uma subsucessão, ainda denotada por {u n}, tal que u n u, u n u, em H0 1(), em L r (), r [1, 2 ), u n u, p.q.t. x. Queremos ver que a subsucessão converge fortemente em H0 1(). Como J λ (u n) 0, então J (u n )u n = u n 2 f λ (x, u n )u n dx 0 (1.9) e J λ (u n)u = u n u dx 36 f λ (x, u n )u dx 0. (1.10)

37 Consideremos as constantes d 1, d 2 > 0 e σ [1, 2 ), dadas pela hipótese (H 4 ) e o conjugado de Hölder de σ, σ. Então f λ (x, u n ) σ σ (d 1 + d 2 u n σ 1 ) σ dx 7 2 σ 1 d σ 1 + d σ 2 u n σ dx < C. Além disso, pela desigualdade de Hölder, temos f λ (x, u n )u n f λ (x, u n )u dx f λ (x, u n ) σ u n u σ 0, (1.11) porque u n u σ 0 e f λ (x, u n ) σ < C. Por fim, subtraindo (1.9) por (1.10) e usando (1.11) em concluímos que lim u n 2 = lim u n u dx = u 2. Assim, i.e., u n u em H 1 0 (). ( ) lim u n u 2 = lim u n 2 2 u n u dx + u 2 = u 2 2 u 2 + u 2 = 0, Corolário Se o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c + J λ (w 0 ) em H0 1(), então o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c em H0 1(). Demonstração. Seja c R. Consideremos a sucessão {u n } H0 1 () tal que J λ (u n ) c e J λ (u n ) 0. Multiplicando g λ (x, u n ) por u n e integrando em temos ( ) g λ (x, u n )( u n ) dx = f λ (x, w 0 + u + n ) f λ (x, w 0 ) ( u n ) dx = 0, para todo n N, donde J λ (u n )( u n ) = u n 2 g λ (x, u n )( u n ) dx = u n 2. 7 A prova a desigualdade para valores arbitrários pode ser vista na Proposição A

38 Então por hipótese concluímos que lim u n = 0 e lim u n ϕ dx = 0, para todo ϕ H0 1(). Consideremos a sucessão {w 0 + u + n } H0 1 (). De forma a aplicarmos a Proposição vamos ver que J λ (w 0 + u n ) c + J λ (w 0 ) e J λ (w 0 + u n ) 0. Para todo ϕ H0 1 (), temos ( ) J λ (u n )ϕ = (u + n u n ) ϕ dx f λ (x, w 0 + u + n ) f λ (x, w 0 ) ϕ dx = (w 0 + u + n u n ) ϕ dx f λ (x, w 0 + u + n )ϕ dx = J λ (w 0 + u + n )ϕ u n ϕ dx logo, lim J λ (u n )ϕ = lim J λ (w 0 + u + n )ϕ = 0, para todo ϕ H0 1 (). Pelo Lema 1.3.8, temos para todo n N donde J λ (u n ) = 1 2 u n 2 + J λ (w 0 + u + n ) J λ (w 0 ). lim J λ (w 0 + u + n ) = lim J λ (u n ) + J λ (w 0 ) = c + J λ (w 0 ). Assim, como pela Proposição 1.3.9, o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c + J λ (w 0 ), a sucessão {w 0 + u + n } tem uma subsucessão convergente em H 1 0 (), donde concluímos que o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c. Proposição Suponhamos que as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ),, (H 4 ) são satisfeitas para σ [1, 2 ]. Então a solução w 0 é um minimizante local para o funcional J λ em H 1 0 (). Demonstração. Consideremos, novamente, a subsolução ϕ ε = εϕ 1 do problema (1.1) λ tal que ϕ ε w 0, onde ϕ 1 é a primeira função própria positiva de em H 1 0 ( 1), prolongada por 0 a \ 1. Pela hipótese (H 0 ), existe uma constante B 0 tal que (w 0 ϕ ε ) f λ (x, w 0 ) f λ (x, ϕ ε ) B(w 0 ϕ ε ). Obviamente w 0 ϕ ε em 1. Portanto, pelo Princípio Máximo Forte 8 8 Ver Secção A.3. w 0 > ϕ ε, em 1 e w 0 ν < ϕ ε ν, sobre 1. (1.12) 38

39 Como ϕ ε 0 em \ 1 então as desigualdades são satisfeitas em. Sejam λ (λ, Λ) e u a respetiva solução do problema (1.1) λ. Como λ < λ, observemos que u é sobresolução do problema (1.1) λ e além disso, w 0 u, caso contrário, f λ (x, u) f λ (x, u). Novamente pela hipótese (H 0 ), existe uma constante B 0, possivelmente diferente, tal que (u w 0 ) f λ (x, u) f λ (x, w 0 ) B(u w 0 ). Portanto, pelo Princípio Máximo Forte Por (1.12) e (1.13) temos u > w 0, em e ϕ ε < w 0 < u, u ν < w 0, sobre Γ. (1.13) ν em e ϕ ε ν > w 0 ν > u, sobre Γ. ν Desta forma {u H0 1() : ϕ ε w 0 u} contém uma vizinhaça C0 1() de w 0. demonstração do Teorema 1.1 em (1.5) vimos que J λ (w 0 ) = min{j λ (u) : ϕ ε u u, u H 1 0 ()}, donde concluímos que w 0 é um minimizante local de J λ em C0 1(). Pelo Teorema A.10, w 0 é um minimizante local do funcional J λ em H0 1 (), a hipótese (H 4 ) para σ [1, 2 ] é usada neste teorema. Corolário Se as hipóteses da proposição anterior são satisfeitas, então 0 é um minimizante local para o funcional J λ em H 1 0 (). Demonstração. Pelo Lema temos J λ (u) = 1 2 u 2 + J λ (w 0 + u + ) J λ (w 0 ). Como w 0 é um minimizante local de J λ em H0 1 (), existe uma constante R > 0 tal que para todo u R, J λ (w 0 + u + ) J λ (w 0 ), donde J λ (u) 1 2 u 2 J λ (0) = 0 i.e., 0 é um minimizante local de J λ em H 1 0 (). Observação Se numa vizinhança de 0 não existe um ponto crítico, v H 1 0 () tal que J λ (v) = 0, então o Teorema A.15 garante a existência de uma constante R > 0 tal que J λ (0) < inf{j λ (u) : u H 1 0 (), u = R}. Observemos que caso exista um ponto crítico, v H 1 0 () tal que J λ(v) = 0, então a demonstração do Teorema 1.4 é concluída. 39 Na

40 Lema Suponhamos que as hipóteses (H 5 ) e (H 6 ) são satisfeitas, então existem s 3 > 0, C > 0 tais que F λ (x, s) Cs θ para todo s s 3, p.q.t. x 2 (θ > 2 dado pela hipótese (H 5 )). Demonstração. Sejam θ 2, s 2 > 0 e 2 dados pela hipótese (H 6 ) e d, s 0 0, θ > 2 e ρ [1, 2) dados pela hipótese (H 5 ). Seja s 3 max{s 0, s 2 } + 1. Então, F λ (x, s) θ 2 s 32 > 0, (1.14) para s s 3 e p.q.t. x 2. Dividindo a desigualdade de (H 5 ), i.e., θf λ (x, s) sf λ (x, s) + ds ρ, por sf λ (x, s)( 0), integrando de s 3 a s e seguidamente tomando a exponencial temos, θ s s 3 exp 1/t dt [ θ log ( s s 3 F λ (x, s 3)( s s 3 s s 3 f λ (x, t) F λ (x, t) dt + d ) ] exp [ log ) θ exp [ Pela hipótese (H 6 ) e por (1.14) temos, s d s 3 F λ (x, s 3) θ 2 s 32 > 0, p.q.t. x 2, 0 donde, s s 3 t ρ 1 F λ (x, t) dt s s 3 t ρ 1 θ 2 t 2 dt = 1 θ 2 s t ρ 1 s F 3 λ (x, t) dt ( Fλ (x, s) )] F λ (x, s 3 ) exp ] t ρ 1 F λ (x, t) dt s s 3 [ s d s 3 F λ (x, s). 1 dt < C, C R, t3 ρ [ s t ρ 1 ] 0 < exp d s F 3 λ (x, t) dt 1. Portanto, existe uma constante C R tal que para todo s s 3 e p.q.t. x 2. F λ (x, s) Cs θ, t ρ 1 ] F λ (x, t) dt Corolário Suponhamos que as hipóteses (H 5 ) e (H 6 ) são satisfeitas, então existem s 3 > 0, C > 0 tais que G λ (x, s) Cs θ para todo s s 3, p.q.t. x 2 (θ > 2 dado pela hipótese (H 5 )). 40

41 Demonstração. Pela hipótese (H 1 ) existe A > 0 tal que f λ (x, s) A para todo s [ 0, max{w 0 (x) : x 2 } ] e p.q.t. x 2. Logo, existe A > 0 tal que F λ (x, w 0 ) = w0 0 f λ (x, t) dt A max{w 0 (x) : x 2 } A para p.q.t. x 2. Pelo Lema , para todo s s 3 e p.q.t. x 2 G λ (x, s) = F λ (x, w 0 + s) F λ (x, w 0 ) f λ (x, w 0 )s C(w 0 + s) θ A As Cs θ A As. Portanto existem s 3, C > 0 tais que para todo s s 3 e p.q.t. x 2 com θ > 2. G λ (x, s) Cs θ, Proposição Suponhamos que as hipóteses (H 5 ) e (H 6 ) são satisfeitas, então existe uma função u 1 H0 1 () tal que lim J λ(tu 1 ) =. t Demonstração. Consideremos θ 2 > 0 e 2 dados pela hipótese (H 6 ). Seja u 1 C () com suporte contido em 2, u 1 0 e u 1 0. Pelo Corolário existe uma constante C > 0 tal que G λ (x, s) Cs θ para todo s s 3 e p.q.t. x 2. Seja t 0 tal que para todo t t 0 a medida de {x 2 : tu 1 (x) s 3 } seja positiva. Então, para todo t t 0 J λ (tu 1 ) = t2 2 u 1 2 G λ (x, tu 1 ) dx 2 = t2 2 u 1 2 G λ (x, tu 1 ) dx {tu 1 <s 3 } t2 2 u 1 2 C C t2 2 u 1 2 C C t θ, {tu 1 >s 3 } (tu 1 ) θ dx {tu 1 >s 3 } G λ (x, tu 1 ) dx com C R e C > 0. Como θ > 2, então J λ (tu 1 ) quando t. 41

42 Demonstração do Teorema 1.4. Pelo Corolário vimos que o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c em H0 1 (), para todo c R. Pela Observação existe R > 0 tal que J λ (0) < inf{j λ (u) : u H 1 0 (), u = R}. Pela Proposição existe uma função u 1 H 1 0 () com u 1 > R tal que J λ (u 1 ) < J λ (0) = 0. Portanto podemos aplicar o Teorema da Passagem da Montanha, donde concluímos que o funcional J λ tem um ponto crítico u > 0. Pelo Lema concluímos que v = w 0 + u é uma segunda solução do problema (1.1) λ. Corolário Consideremos o problema (1.2) u = λa(x)u q + b(x)u p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 0 q < 1 < p e as funções a, b L (). Em adição as hipóteses (i) e (ii) do Corolário suponhamos que p < 2 1 e (iv) existem uma bola B 2 e ε 2 > 0 tais que b(x) ε 1 p.q.t. x B 2. Então, para λ (0, Λ), o problema (1.2) tem, pelo menos, duas soluções positivas, w e v, tais que w < v em, w/ ν > v/ ν sobre Γ e J λ (w) < 0. Corolário Consideremos o problema (1.3) u = λc(x)(u + 1) p em, u > 0 em, u = 0 sobre Γ, com 1 < p e a função c L (), c(x) 0 em e c(x) ε 0 > 0 numa bola B 0. Se p < 2 1, então, para λ (0, Λ), o problema (1.3) tem, pelo menos, duas soluções positivas, w e v, tais que w < v em, w/ ν > v/ ν sobre Γ e J λ (w) < 0. Demonstração dos Corolários e Para os respetivos problemas temos e λa(x) lim s s 1 q + b(x)s p q =, se x B 2, λc(x)(s + 1) p lim s s =, se x B 0, logo a hipótese (H 6 ) é verificada pelo Lema A verificação das hipóteses (M) e (H 0 ) é trivial, logo os resultados respetivos seguem pelo Teorema

43 1.4 Crescimento sobrelinear crítico Segunda solução positiva Vimos na secção anterior que o problema (1.1) λ tem, pelo menos, duas soluções positivas quando a função f λ tem um crescimento subcrítico. A impossibilidade de usar a demonstração do Teorema 1.4 para provar o resultado quando a função f λ tem um crescimento sobrelinear crítico, vem do facto da injeção de Sobolev H0 1() L2 () não ser compacta, donde a prova da condição de Palais-Smale não é válida. Nesta secção olhamos para o problema (1.1) λ quando a função f λ pode ser escrita como onde para cada λ > 0, f λ (x, s) := a λ (x, s) + b(x)s 2 1 a função a λ (x, s) é não decrescente com respeito a s, p.q.t. x, a função b(x) L () e é não nula. Consideremos ainda a seguinte hipótese (H 2 ) Existem x 1, uma bola B 1 tal que x 1 B 1 e constantes M e γ com γ > 3/5, para N = 3, γ 2, para N = 4, γ > 2, para N 5, tais que p.q.t. x B 1. 0 b b(x) M x x 1 γ, Observação A hipótese (H 2 ) implica que, b(x) b, numa vizinhaça de x 1, e caso a desigualdade seja verificada em x 1, então b(x 1 ) = b. Teorema 1.5. Consideremos Λ dado pelo Teorema 1.1. Suponhamos que as hipóteses (M), (H 0 ), (H 1 ), (H 2 ), (H 3 ) são satisfeitas. Suponhamos ainda que a função a λ satisfaz a hipótese (H 4 ) com σ [1, 2) e a função b satisfaz a hipótese (H 2 ). Então, se λ (0, Λ) o problema (1.1) λ tem, pelo menos, duas soluções positivas, w e v, tais que w < v em, w/ ν > v/ ν sobre Γ e J λ (w) < 0. Fixemos λ (0, Λ) e consideremos w 0 a solução positiva do problema (1.1) λ dada pelo Teorema 1.1. Vimos na secção anterior que w 0 é um minimizante local do funcional J λ em H0 1 () (cf. Proposição ). Vamos procurar uma segunda solução da forma v = w 0 + u com u > 0, i.e., queremos encontrar uma solução do problema u = g λ (x, u) em, u 0 em, (1.15) u = 0 sobre Γ. 43

44 onde g λ (x, s) = f λ (x, w 0 + s + ) f λ (x, s) = a λ (x, w 0 + s + ) a λ (x, w 0 ) + b(x) [ (w 0 + s + ) 2 1 w Sabemos, pelo Lema 1.3.7, que uma solução do problema (1.15) satisfaz os requisitos do Teorema 1.5. Desta forma, queremos encontrar um ponto crítico não nulo do funcional J λ (u) = 1 2 u 2 G λ (x, u) dx, em H 1 0 (), onde G λ é a primitiva de g λ : e G λ (x, s) = A λ (x, w 0 + s + ) A λ (x, w 0 ) a λ (x, w 0 )s + [ (w0 + s + ) 2 w0 2 +b(x) 2 w s +], A λ (x, s) = s 0 a λ (x, t) dt. A demonstração do Teorema (1.5) será feita por redução ao absurdo, supondo que zero é o único ponto crítico do funcional J λ. Com o objetivo de aplicar o Teorema da Passagem da Montanha iremos ver que o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c com c < c := S N/2 0 N b (N 2)/2 onde S 0 é a melhor constante de Sobolev para a injeção H 1 0 () L2 (), i.e., S 0 := inf{ u 2 : u H 1 0 (), u 2 = 1}. Por último provamos a existência de uma de função u 1 H0 1 () tal que e definindo vamos ver que lim J λ(tu 1 ) = t H = {ϕ C([0, 1], H 1 0 ()) : ϕ(0) = 0, ϕ(1) = u 1 }, inf max J λ(ϕ(t)) < c. ϕ H t [0,1] Lema Suponhamos que a função a λ satisfaz a hipótese (H 4 ) para σ [1, 2) Suponhamos que 0 é o único ponto crítico do funcional J λ. Seja, ]. c < c = S N/2 0 N b (N 2)/2, então o funcional J λ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c em H 1 0 (). 44

45 Demonstração. Consideremos a sucessão {u n } H0 1 () tal que J λ (u n ) c e J λ (u n ) 0. Então, existe uma constante D > c tal que para n suficientemente grande J λ (u n ) = 1 2 u n 2 G λ (x, u n ) dx D, (1.16) e J λ (u n )ϕ = u n ϕ dx g λ (x, u n )ϕ dx ε n ϕ, (1.17) para todo ϕ H0 1() e ε n 0. Com objetivo de provar que a sucessão {u n } é limitada em H0 1 (), analisemos a diferença entre J λ (u n ) e 1 2 J λ (u n )(w 0 + u n ). Observemos, pela definição de g λ e G λ, que tomando apenas a parte negativa de u n os integrais G λ (x, u n ) dx e g λ (x, u n )(w 0 + u n ) dx são nulos. {u n<0} {u n<0} Observemos ainda, que os termos de expoente crítico da diferença entre J λ (u n ) e 1 2 J λ (u n )(w 0 + u n ) são cortados [ (w0 + u + n ) 2 w0 2 b(x) [ =b(x) w w u + n (w 0 + u + n ) 2 w (w 0 + u + ] n ) 2 0 u + 1 n + w2 0 u + ] n = N N b(x)w2 0 u + n. 2 Portanto, a diferença entre J λ (u n ) e 1 2 J λ (u n )(w 0 + u n ) é igual a 1 N u n 2 A λ (x, w 0 + u + n ) A λ (x, w 0 ) a λ (x, w 0 )u + n dx + 1 ( ) 2 a λ (x, w 0 + u + n ) a λ (x, w 0 ) (w 0 + u + n ) dx + N + 2 2N b(x)w u + n dx. Consideremos as constantes d 1, d 2 > 0 e σ [1, 2) dadas pela hipótese (H 4 ) sobre a função a λ. Como a λ é uma função não decrescente com respeito a s, p.q.t. x, temos a λ (x, w 0 + u + n ) a λ (x, w 0 ) 0. 45

46 Por outro lado, pela hipótese (H 4 ), temos e a λ (x, w 0 )u + n (d 1 + d 2 w σ 1 0 )u + n Cu + n, C > 0 Além disso, N + 2 2N A λ (x, w 0 + u + n ) A λ (x, w 0 ) w0 +u + n w 0 = d 1 u + n + d 2 σ b(x)w u + n dx N + 2 2N b d 1 + d 2 t σ 1 dt [(w 0 + u + n ) σ (w 0 ) σ] d 1 u + n + d 2 σ (w 0 + u + n ) σ. w u + n dx C u + n dx, para C > 0. Logo, pelas desigualdades (1.16) e (1.17) temos 1 N u n 2 Cu + n + d 2 σ (w 0 + u + n ) σ dx + D + ε n 2 w 0 + u n C u n 1 + d 2 σ w 0 + u n σ σ + D + ε n 2 w 0 + u n CS u n + d 2 σ S u n σ + D + ε n 2 w 0 + u n, onde S e S são constantes de Sobolev das injeções contínuas H 1 0 () L1 () e H 1 0 () L σ (), respetivamente. Donde concluímos que a sucessão {u n } é limitada em H 1 0 (). Então, existe uma subsucessão, ainda denotada por {u n }, tal que u n u, u n u, em H0 1(), em L 2 (), u n u, em L r (), r [1, 2 ), u n u, p.q.t. x. Por (1.17), concluímos que u é solução fraca do problema (1.15), i.e, u é um ponto crítico do funcional J λ, donde por hipótese u = 0. Portanto, lim u n r r = 0, para todo r [1, 2 ), logo [ lim J λ (u n ) 1 ] 2 J λ (u n )(w 0 + u n ) = lim 1 N u n 2, então, lim u n 2 = cn. (1.18) Se c = 0, então u n 0 em H 1 0 (). Suponhamos que c 0. Como w 0 + u n w 0, p.q.t. x e w 0 + u n 2 1 < C, pelo Lema de Brézis-Lieb A.8.5, temos lim w 0 + u + n w = lim w 0 + u + n w , 46

47 logo donde [ lim b(x) (w 0 + u + n ) 2 1 w ] u n dx = lim b(x)(u + n ) 2 dx, lim u n 2 = lim g λ (x, u n )u n dx = lim b(x)u + 2 n dx (1.19) Pela desigualdade de Sobolev, u n 2 S 1/2 0 u n, temos u n 2 S 0 ( ) 2/2 u n 2 dx S ( ) 0 2/2 b(x)(u + b 2/2 n ) 2 dx. Por (1.18) e (1.19), temos i.e., o que é absurdo por hipótese. cn S 0 c b 2/2 (cn) 2/2, S N/2 0 N b (N 2)/2, Sabemos que a constante S 0, definida anteriormente e apenas dependente de N, só é atingida quando = R N pela função ( 1 Φ(x) := d 1 + x 2 ) (N 2)/2 onde d > 0 é tal que Φ = S 0 Φ (N+2)/(N 2). Observemos que este problema é invariante por translação e dilatação, logo faz sentido definir, para ε > 0 ( ε Φ ε (x) := d ε 2 + x x 1 2 ) (N 2)/2 onde x 1 B 1 é dado pela hipótese (H 2 ) Além disso, temos Φ ε 2 = Φ ε 2 2 = SN/2 0. De forma a encontrar uma função u 1, com as propriedades anteriormente referidas, consideremos, para cada ε > 0 ψ ε (x) = ϕ(x)φ ε (x), onde ϕ C 0 () é uma função não negativa tal que ϕ 1 perto de x 1 com suporte contido numa bola B 2 tal que x 1 B 2, B 2 B 1 e b(x) µ > 0, p.q.t. x B 2. 47

48 Lema Se N 4, existe uma constante α > 0 tal que [ ] 1 1 G(x, s) b(x) 2 s αw2 0 s + 2, para todo s > 0, p.q.t. x. Caso N = 3, então [ ] 1 G(x, s) b(x) 6 s+ 6 + w0 s + 5, para todo s > 0, p.q.t. x. Demonstração. Como a função a λ (x, s) é não decrescente com respeito a s, p.q.t. x, temos g λ (x, s) = a λ (x, w 0 + s + ) a λ (x, w 0 ) + b(x) [ (w 0 + s + ) 2 1 ] w [ ] b(x) (w 0 + s + ) 2 1 w [ b(x) (s + ) αw s +], onde a última desigualdade, com α > 0, vem de (a + b) 2 1 a b αa 2 2 b. Para tal, basta ver que (1 + t) t αt para todo t (0, 1), que segue pelo facto (1 + t) t 2 1 lim = 2 1 > 0. t 0+ t Desta forma, [ 1 G(x, s) b(x) 2 (s+ ) αw2 0 (s + ) ]. 2 Caso N = 3, observemos que 2 1 = N + 2 = 5, então N 2 [ ] 1 G(x, s) b(x) 6 (s+ ) 6 + w 0 (s + ) 5. Lema J λ (tψ ε ) quando t. Demonstração. Pelo Lema temos [ 1 G(x, tψ ε ) b(x) 2 (tψ ε) ] 2 2 αw2 0 (tψ ε ) 2 > 0, 48