Mateus Balbino Guimarães. Problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Mateus Balbino Guimarães Problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff São Carlos - SP 21 de março de 2016 O presente trabalho teve suporte financeiro da Capes

2 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff Mateus Balbino Guimarães Bolsista Capes Orientador: Prof. Dr. Rodrigo da Silva Rodrigues Tese apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Matemática São Carlos - SP 21 de março de 2016

3 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária UFSCar Processamento Técnico com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) G963p Guimarães, Mateus Balbino Problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff / Mateus Balbino Guimarães. -- São Carlos : UFSCar, p. Tese (Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos, Métodos variacionais. 2. Expoentes críticos. 3. Equações do tipo Kirchhoff. 4. Equações elípticas não lineares. I. Título.

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5 Agradecimentos Agradeço, primeiramente, a Deus por ter tornado esse trabalho possível. Aos meus pais, Laura e Valter, ao meu irmão, Murilo, e a todos meus familiares que sempre me apoiaram e incentivaram. À Marinez por todos esses anos ao meu lado me ajudando e apoiando. A todos os meus amigos, em especial aos amigos da República Chinelinho. Ao Professor Rodrigo da Silva Rodrigues, pela excelente orientação e por ter acreditado em mim desde a época da orientação do Mestrado. Aos Professores Olímpio Hiroshi Miyagaki, Giovany de Jesus Figueiredo, Ma To Fu e Gustavo Ferron Madeira por aceitarem o convite de compor a banca examinadora e pelas excelentes críticas e sugestões ao trabalho. Aos professores e funcionários do departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos. À CAPES pelo apoio financeiro. Finalmente, agradeço a todos que direta ou indiretamente me ajudaram a terminar essa tese.

6 Resumo Nesse trabalho, estudamos a existência de soluções fracas para quatro problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff. Esses problemas apresentam em comum a presença de uma função M : R + {0} R +, conhecida como função do tipo Kirchhoff. O primeiro problema estudado trata de uma equação do tipo Kirchhoff envolvendo expoentes subcríticos, enquanto o segundo problema trata da mesma equação envolvendo o expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. No terceiro problema, estudamos um sistema de equações do tipo Kirchhoff envolvendo expoentes críticos de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. O último problema estudado envolve um operador do tipo Kirchhoff e uma condição de fronteira não-linear. Devido ao operador do tipo Kirchhoff nas equações, esses problemas são ditos não-locais. As dificuldades matemáticas encontradas nesse fenômeno é o que torna o estudo dessa classe de problemas particularmente interessante. Em nossos estudos utilizamos métodos variacionais clássicos, como o Teorema do Passo da Montanha e a teoria de gênero de Krasnoseslkii.

7 Abstract In this work we study the existence of weak solutions for four nonlinear elliptic problems of Kirchhoff type. These problems have in common the presence of a function M : R + {0} R +, known as Kirchhoff-type function. The first problem deals with a Kirchhoff type equation involving subcritical exponents while the second problem deals with the same equation but with a critical Caffarelli-Kohn-Nirenberg exponent. In the third problem, we study a system of Kirchhoff type equations involving critical Caffarelli- Kohn-Nirenberg exponents. The latter problem involves a Kirchhoff type operator and a nonlinear boundary condition. Due to the presence of the Kirchhoff type operator in the equations, these problems are called nonlocal problems. This phenomenon causes some mathematical difficulties, which makes the study of such a class of problem, particularly interesting. In our studies we used classical variational methods such as The Mountain Pass Theorem and the Krasnoseslkii genus theory.

8 Sumário Introdução 8 1 Equações do tipo Kirchhoff com expoentes subcríticos Introdução Formulação variacional e resultados preliminares Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Equações do tipo Kirchhoff com expoentes críticos Introdução Formulação variacional e resultados preliminares O problema auxiliar Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema

9 7 3 Sistemas de equações de Kirchhoff com expoentes críticos Introdução Formulação variacional e resultados preliminares O problema auxiliar A condição de Palais-Smale Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Conclusão da demonstração do Teorema Equações do tipo Kirchhoff com condição de fronteira não-linear Indrodução Formulação variacional e resultados preliminares A condição de Palais-Smale Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema A Apêndice 146 A.1 Desigualdades A.2 Resultados básicos A.2.1 Demonstração da Proposição A.3 Propriedades do gênero de Krasnoselskii A.4 Operadores diferenciáveis Referências Bibliográficas 168

10 Introdução Nesse trabalho, estudamos a existência de soluções não triviais para problemas elípticos não lineares envolvendo equações do tipo Kirchhoff. Esses problemas apresentam em comum a presença de uma função M : R + {0} R +, conhecida como função do tipo Kirchhoff. Especificamente, abordamos em nosso trabalho quatro tipos diferentes de problemas do tipo Kirchhoff. O primeiro problema estudado foi o seguinte: L(u) = λ x δ f(x, u) + x β u q 2 u, em, u = 0, em, (1) em que [ ( )] L(u) := M x ap u p dx div ( x ap u p 2 u ), R N é um domínio suave e limitado com 0, N 3, 1 < p < N, a < N p p, p < q < p, em que p = Np N dp é o expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, com d = 1 + a b e a b < a + 1, β < (a + 1)q + N(1 q ) e f : R R satisfaz certas p hipóteses. O segundo problema estudado, descrito a seguir, é, de certa forma, semelhante ao problema (1), mas envolve o expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg: L(u) = λ x δ f(x, u) + x bp u p 2 u, em, u = 0, em. (2) Já no terceiro problema, estudamos um sistema de equações do tipo Kir- 8

11 9 chhoff, envolvendo expoentes críticos de Caffarelli-Kohn-Nirenberg: L p (u) = λ x c F u (x, u, v) + α x β u α 2 u v γ, em, L q (v) = λ x c F v (x, u, v) + γ x β u α v γ 2 v, em, u = v = 0, em, (3) em que ( )] L p (u) = [M 1 x a1p u p dx div ( x a1p u p 2 u ), ( )] L q (v) = [M 2 x a2q v q dx div ( x a2q v q 2 v ), R N é um domínio suave e limitado, com 0, N 3, 1 < p < N, 1 < q < N, a 1 < N p, a p 2 < N q α, c R, q p + γ q = 1, em que p = Np N d 1 p e q = Nq são os N d 2 q expoentes críticos de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, com d i = 1 + a i b i, a i b i < a i + 1, i = 1, 2 e β = b 1 p = b 2 q. F : R R R é uma função mensurável em e continuamente diferenciável em R R e F w é sua derivada parcial com respeito a w. M 1, M 2 : R + {0} R + são funções do tipo Kirchhoff. O último problema estudado foi um problema envolvendo um operador do tipo Kirchhoff e uma condição de fronteira não-linear: em que L(u) = f(x, u) em, p 2 u u = g(x, u) em, η [ ( )] L(u) = M u p dx + c(x) u p dx [div ( u p 2 u ) + c(x) u p 2 u], R N, N 2, é um domínio limitado, com fronteira de classe C 0,1, u η (4) = η é a derivada normal (unitária) exterior a, p > 1, c L () e f, g satisfazem certas hipóteses. Devido à presença do termo M ( x ap u p dx ) nos problemas (1) e (2)

12 e seus correspondentes nos problemas (3) e (4), que são os únicos termos das equações acima que não estão aplicados em algum ponto de, esses problemas são ditos não-locais. As dificuldades matemáticas encontradas nesse fenômeno é o que torna o estudo dessa classe de problemas particularmente interessante. Além do mais, essa classe de problemas tem uma motivação física. estacionária da equação de Kirchhoff De fato, os problemas acima foram motivados pela versão ( ) u tt M u 2 dx u = g(x, u) em (0, T ), u = 0 em (0, T ), u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u 1 (x), 10 (5) em que M(s) = a+bs, a, b > 0. Esta equação é uma versão mais geral do modelo proposto por Kirchhoff [38]: ( ρ 2 u t P0 2 h + E 2L L 0 u x 2 ) 2 u dx = 0. (6) x2 A equação (6) é uma extensão da equação clássica da corda vibrante, proposta por d Alembert, pois descreve a vibração de uma corda elástica levando-se em consideração a mudança no comprimento da mesma durante o movimento. Os parâmetros na equação (6) têm os seguintes significados: L é o comprimento da corda, h é a área da secção transversal da corda, E é o módulo de Young do material do qual a corda é feita, ρ é a densidade de massa e P 0 é a tensão inicial. Quando uma corda elástica com extremidades fixas é submetida a vibrações transversais, seu comprimento varia de acordo com o tempo, o que acarreta mudanças na tensão da corda. Isto motivou Kirchhoff a propor uma correção não-linear à equação clássica de d Alembert. Os primeiros estudos envolvendo equações do tipo Kirchhoff dizem respeito à Bernstein [7] e Pohozaev [50]. Entretanto, o problema (5) só veio receber grande atenção após o trabalho de J-L. Lions [42]. Nesse trabalho, pela primeira vez foram utilizados argumentos de análise funcional não-linear para atacar problemas não-locais do tipo Kirchhoff. Após isso, o estudo de problemas não-locais do tipo (5) cresceu exponencialmente. Alguns resultados interessantes podem ser encontrados, por exemplo em [1], [5], [17], [18],

13 11 [21], [35], [44], [45], [49] e nas referências neles encontradas. O problema (1) com a = b = δ = 0 e p = 2, foi estudado por muitos autores nos últimos anos. Citamos aqui um dos primeiros trabalhos nesse sentido, devido a Alves, Corrêa e Ma [1]. Eles estudaram a existência de uma solução positiva para o problema ( ) M u 2 dx u = f(x, u) em, u = 0 em, (7) com M(t) m 0 > 0, para todo t 0, e f com crescimento subcrítico. Em [49], Perera e Zhang estudaram o problema (7) quando M = a + bt, a, b > 0 e N = 1, 2 e 3. Utilizando a teoria de índice de Yang eles obtiveram uma solução não trivial para o problema. He e Zou [35] estudaram a existência de múltiplas soluções para o problema ( ) a + b u 2 dx u = λf(x, u) em, u = 0 em, (8) com λ um parâmetro positivo e f satisfazendo hipóteses mais gerais que no trabalho de Perera e Zhang [49]. Figueiredo e dos Santos Júnior [28] estudaram o problema ( ) M u 2 dx u = λf(x, u) + u q 2 u em, u = 0 em, (9) com N = 1, 2 e 3, f(x, u) = u r 2 u, 1 < r < 2 < q 2, λ um parâmetro positivo e M m 0 > 0 satisfazendo determinadas hipóteses. Utilizando a teoria de gênero de Krasnoselskii eles obtiveram um resultado de múltiplas soluções para o problema (9). f(x, t) Figueiredo [26] estudou o problema (9) para N 3 e f satisfazendo lim = 0, t + t q 1 2 < q < 2. Através de um truncamento na função M e utilizando o Teorema do Passo da Montanha ele obteve uma solução positiva para o problema (9). Para o caso envolvendo o operador p-laplaciano, citamos, entre outros, os

14 12 trabalhos de Corrêa e Figueiredo [18] e Chung e Toan [15]. Em [18], utilizando a teoria de gênero de Krasnoselskii, os autores provaram a existência de múltiplas soluções para o problema [ ( p 1 M u dx)] p p u = f(x, u) em, u = 0 em, (10) em que f é uma função ímpar com crescimento subcrítico. Já em [15], Chung e Toan estudaram um problema com peso L(u) = x (a+1)p+c f(x, u), em, u = 0, em, (11) com m 1 t α1 1 M(t) m 2 t α2 1, 1 < α 1 α 2 e M(t) = t M(s)ds M(t)t, para 0 t > 0, e f com crescimento subcrítico. Utilizando o Teorema de Fountain eles provaram a existência de uma sequência de soluções para o problema (11). Sistemas de equações de Kirchhoff foram tratados, por exemplo, em [13], [14], [19], [27] e [45]. Em [13], Cheng, Wu e Liu estudaram o problema [ M 1 ( u p dx )] p 1 p u = λf u (x, u, v), em, [ M 2 ( v q dx )] q 1 q v = λf v (x, u, v), em, u = v = 0, em, (12) com R N, N 1, p, q > N, 0 < m 0 M i (t) m 1, t 0, i = 1, 2; e F com crescimento subcrítico. Utilizando o Teorema de Três Pontos Críticos de Ricceri, eles mostraram a existência de ao menos três soluções fracas para o problema. Em [27], Figueiredo estudou o problema M u ( u 2 dx, v 2 dx ) u = λq u (u, v) H u (u, v), em, M v ( u 2 dx, v 2 dx ) v = λq v (u, v) H v (u, v), em, u = v = 0, em, (13) com R N, N = 1, 2 e 3 e M, Q, H : R + R + R + funções de classe C 1, satisfazendo

15 M t (t, s) m 0 e M s (t, s) m 1, para todo (t, s) R + R + ; Mt(t,s) t a, quando t + e Ms(t,s) s b, quando s + ; 1 2 M(t2, s 2 ) 1 q (M t(t 2, s 2 )t 2 + M s (t 2, s 2 )s 2 ) 0, para todo t, s 0, para 2(1 δ(c)) + 4δ(c) < q < 2, em que c = max{a, b} e δ(c) = 1, se [ ] 1 c > 0 e δ(c) = 0, se c = 0; e 1 t 2 +s 2 2 M(t2, s 2 ) 1 (M q t(t 2, s 2 )t 2 + M s (t 2, s 2 )s 2 ) +, quando t + ou s + ; Q possui crescimento subcrítico e H possui crescimento crítico. Usando o Teorema do Passo da Montanha ele obteve uma solução não trivial para o problema (13), para λ suficientemente grande. Mais recentemente, Chung [14] estudou o problema M 1 ( u p dx ) p u = λa(x)f(u, v), em, M 2 ( v q dx ) q v = λb(x)g(u, v), em, u = v = 0, em, com M 1 (t) m 1 e M 2 (t) m 2, t 0; a, b C() tais que a(x) a 0 > 0, b(x) b 0 > 0, x ; e f, g com crescimento subcrítico, satisfazendo determinadas hipóteses. Usando o método de sub-super solução, Chung provou a existência de uma solução positiva para o problema (14). 13 (14) Problemas envolvendo uma condição fronteira não linear foram abordados, por exemplo, em [23], [46] e nas referências neles encontradas. Entretanto, esses trabalhos não tratam de problemas envolvendo um operador do tipo Kirchhoff. Em [47], Morbach abordou um problema envolvendo um operador do tipo Kirchhoff e condição fronteira não linear. Ressaltamos, também, que o sistema estudado por Corrêa e Nascimento [19] envolve uma condição de fronteira de Neumann. Em nosso trabalho, visamos estender alguns dos resultados obtidos até aqui para problemas envolvendo equações do tipo Kirchhoff. Os problemas (1) e (2) estendem, principalmente, os trabalhos de Figueiredo e dos Santos Júnior [28] e Chung e Toan [15]. Trabalhamos com o operador do tipo Kirchhoff que foi considerado em [15], mas tratamos o caso em que o problema tem um termo com crescimento crítico e estendemos os resultados de [28]. Além disso, nosso problema trata dos casos envolvendo termos p- sublinear, p-linear e p-superlinear, diferentemente de [28] que só apresenta um termo com crescimento sublinear. Abordamos os problemas utilizando técnicas variacionais clássicas

16 14 para a obtenção de soluções, como a teoria de gênero de Krasnoseslkii e o Teorema do Passo da Montanha. Ressaltamos, ainda, que no que é de nosso conhecimento, problemas envolvendo operadores do tipo Kirchhoff com um termo p-linear não haviam sido tratados na literatura. Além disso, a técnica que usamos nesse caso não havia sido usada nesse tipo de problema. No problema (3) procuramos estender os resultados obtidos no problema (2), no caso p-superlinear, a um sistema de equações do tipo Kirchhoff. Dessa forma, tratamos um tipo de sistema de equações do tipo Kirchhoff diferente do que se via na literatura até agora, como os trabalhos de Cheng, Wu e Liu [13] e Chung [14], visto que o problema (3) trata de um sistema de equações do tipo Kirchhoff envolvendo um termo (p, q)-superlinear e expoentes críticos de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Em nosso problema, tratamos dois casos distintos, o primeiro quando p = q e o segundo quando p pode ser diferente de q. Trabalhando com funções extremais e fazendo uso do Teorema do Passo da Montanha foi possível obter uma solução não trivial para o problema em ambos os casos. É válido dizer que, no que é de nosso conhecimento, nosso trabalho é o primeiro na literatura para essa classe de problemas no qual p pode ser diferente de q. Devido à presença do termo não-local em (1), (2) e (3) foi necessário fazer um truncamento na função do tipo Kirchhoff, M, que aparece no operador, de forma a contornar essa dificuldade, criando, assim, um problema auxiliar. Encontrando soluções para esse problema auxiliar, podemos obter soluções para o problema original. Esse argumento de truncamento é similar ao utilizado em [26]. Outra dificuldade encontrada é a falta de compacidade devido à presença do termo crítico nos problemas (2) e (3). Essa dificuldade foi contornada utilizando uma técnica bastante utilizada na literatura: uma versão do princípio de concentração e compacidade devido à Lions [43]. O problema (4) visa estender o Teorema 1.2 de [23] utilizando-se um operador do tipo Kirchhoff ao invés do operador p-laplaciano, quando as não linearidades de fronteira, g, e de reação, f, tem crescimento p-sublinear. Ressaltamos, entretanto, que, quando M = 1, nosso problema é exatamente o problema estudado em [23]. O Teorema 1.2 de [23] mostra a existência de uma solução quando os parâmetros relacionados às não

17 15 linearidades estão em uma certa região delimitada pelos autovalores de Steklov e Neumann, enquanto em nosso trabalho, conseguimos obter uma região maior que a obtida em [23], para a existência de soluções fracas para o problema (4) e, além disso, foi possível demonstrar que essas soluções são não triviais. Mais ainda, supondo f e g funções ímpares e utilizando a teoria de gênero de Krasnoseslkii, conseguimos resultados de múltiplas soluções para o problema (4). Nosso trabalho é divido em quatro capítulos, cada um abordando um dos problemas apresentados. O capítulo 1 é destinado ao estudo do problema (1). Nele apresentamos três resultados principais, o primeiro trata do problema (1) quando f é um termo p-sublinear e o segundo e terceiro resultados tratam dos casos p-linear e p- superlinear, respectivamente. O capítulo 2, destinado ao problema (2), também apresenta três resultados principais. Assim como no capítulo 1, cada um desses resultados estão relacionados ao comportamento da função f, ou seja, o primeiro resultado trata do caso em que f é um termo p-sublinear e os outros dois resultados tratam dos casos p-linear e p-superlinear. Lembramos que a diferença entre os problemas (1) e (2) é a presença do termo com crescimento crítico em (2). No capítulo 3, estudamos o problema (3). Esse capítulo apresenta dois resultados principais, o primeiro quando p = q e o segundo quando p pode ser diferente de q. Finalmente, o capítulo 4 é destinado ao estudo do problema (4), apresentando quatro resultados principais. No primeiro resultado desse capítulo obtemos uma solução não trivial para o problema (4) impondo certas condições sobre a primitiva, F, da não linearidade de reação, f, e com a não linearidade de fronteira, g, tendo crescimento p-sublinear. No segundo resultado, supondo f e g funções ímpares, obtemos múltiplas soluções para o problema (4). O terceiro e quarto resultados são similares ao primeiro e segundo resultados, mas impondo certas condições sobre a primitiva, G, da não linearidade de fronteira, g, e com a não linearidade de reação, f, tendo crescimento p-sublinear. Como uma forma de consulta rápida, apresentamos ao final da tese um apêndice contendo os principais resultados das teorias de Análise Funcional, Medida e Integração e Cálculo Variacional utilizados ao longo do trabalho. Gostaríamos de ressaltar que os resultados obtidos nos Capítulos 1, 2 e 3

18 foram aceitos para publicação e podem ser encontrados nas referências [29], [32] e [33]. 16

19 Capítulo Equações do tipo Kirchhoff com expoentes subcríticos Introdução Nesse capítulo, estudaremos a existência de soluções para o problema: L(u) = λ x δ f(x, u) + x β u q 2 u, em, u = 0, em, (1.1) em que [ ( )] L(u) := M x ap u p dx div ( x ap u p 2 u ), R N é um domínio suave e limitado com 0, N 3, 1 < p < N, a < N p p, p < q < p, em que p = Np N dp d = 1 + a b e a b < a + 1 e β < (a + 1)q + N(1 q p ). é o expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, com As hipóteses sobre a função contínua M : R + {0} R + e sobre a função de Caratheodory f : R R são as seguintes: (M 1 ) Existe m 0 > 0 tal que M(t) m 0, t 0; (M 2 ) M é uma função crescente em [0, + ); 17

20 18 (f 1 ) f(x, t) = f(x, t), (x, t) R; (f 2 ) existem r (1, q) e C 1, C 2 constantes positivas, com C 1 < C 2, tais que C 1 t r 1 f(x, t) C 2 t r 1, (x, t) (R + {0}); (f 3 ) f satisfaz a condição superlinear de Ambrosetti-Rabinowitz, isto é, existe ξ (p, q) tal que 0 < ξ t 0 f(x, s)ds tf(x, t) R +. Além dessas hipóteses, supomos δ < (a + 1)r + N(1 r p ). Observação Desde que F (x, u) = u 0 f(x, s)ds, usando (f 1) e uma mudança de varáveis, obtemos F (x, u) = = u 0 u 0 f(x, s)ds f(x, r)dr = F (x, u). Por outro lado, integrando as desigualdades em (f 2 ), temos que (1.2) C 1 r t r F (x, t) C 2 r t r, (x, t) (R + {0}). Agora, se t < 0, então t > 0 e da desigualdade acima, obtemos Segue de (1.2) que C 1 r t r F (x, t) C 2 r t r, (x, t) R. C 1 r t r F (x, t) C 2 r t r, (x, t) R. Logo, C 1 r t r F (x, t) C 2 r t r, (x, t) R.

21 Afim de tratar o problema de uma forma clara e objetiva, dividimos seu estudo em três casos: 1 < r < p, r = p e r > p, respectivamente denominados p sublinear, p linear e p superlinear. 19 Para o caso p sublinear, utilizando a teoria de gênero de Krasnoselskii, foi possível obter um resultado de múltiplas soluções para o problema (1.1). Nos casos p linear e p superlinear, trabalhando com funções extremais e fazendo uso do Teorema do Passo da Montanha, foi possível obter uma solução não trivial para o problema (1.1). Dessa forma, esse capítulo apresenta três teoremas principais. Antes de apresentá-los, lembramos que λ 1 se refere ao primeiro autovalor associado ao problema div( x ap u p 2 u) = λ x δ u p 2 u, em, u = 0, em, (1.3) o qual é positivo. Os principais teoremas desse capítulo são os seguintes: Teorema Suponha (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e 1 < r < p. Então, existe λ 0 > 0 tal que o problema (1.1) tem infinitas soluções, para cada λ (0, λ 0 ). Teorema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e r = p. Então, o problema (1.1) tem ao menos uma solução não trivial, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Teorema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e p < r < q. Então, o problema (1.1) possui ao menos uma solução não trivial, para cada λ > Formulação variacional e resultados preliminares Seja R N um domínio suave e limitado, com 0, N 3, 1 < p < N, a < (N p)/p, a b < a + 1 e p = Np/(N dp), em que d = 1 + a b. Para tratar nosso problema, consideramos o espaço de Sobolev com peso, W 1,p 0 (, x ap ), o qual é o completamento de C 0 () com respeito à norma ( 1/p u = x ap u dx) p.

22 Por simplicidade, denotaremos W 1,p 0 (, x ap ) = Da 1,p. Como visto em [51], Da 1,p é reflexivo. a seguinte desigualdade: 20 Dos resultados obtidos por Caffarelli-Kohn-Nirenberg e Xuan [11, 55], temos ( x α u r dx ) p r C x ap u p dx, u D 1,p a, (1.4) em que 1 r Np/(N p) e α (a+1)r +N(1 r ), isto é, temos a imersão contínua de p D 1,p a por em L r (, x α ), em que L r (, x α ) é o espaço com peso, L r (), com norma dada ( 1/r u r,α = x α u dx) r. Além do mais, essa imersão é compacta se 1 r < Np/(N p) e α < (a + 1)r + N(1 r p ). A melhor constante para a desigualdade do tipo Caffarelli-Kohn-Nirenberg com peso (veja [11]) dada em (1.4) é caracterizada por C a,p = inf u D 1,p a \{0} x ap u p dx ( x bp u p dx ) p p Desde que nossa abordagem é variacional, procuramos por soluções para o problema (1.1) encontrando pontos críticos do funcional de Euler-Lagrange I : D 1,p a R, definido por I(u) = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u) dx 1 x β u q dx, (1.5) q em que M(t) := t M(s) ds e F (x, t) = t f(x, s) ds. Note que I 0 0 C1 (Da 1,p ; R) (veja o Teorema A.4.3, no Apêndice) e I (u)(φ) = M( u p ) x ap u p 2 u φ dx λ x δ f(x, u)φ dx x β u q 2 uφ dx,

23 para toda φ D 1,p a. No que segue, apresentamos algumas definições e resultados que nos serão úteis não somente nesse capítulo, mas ao longo do trabalho. Iniciaremos com a definição de sequência de Palais-Smale e daremos algumas noções básicas sobre a teoria de gênero de Krasnoselskii, a qual será usada para demonstrarmos o Teorema Definição Seja E um espaço de Banach e I C 1 (E, R) um funcional. Dizemos que (u n ) é uma sequência de Palais-Smale no nível l, abreviadamente (P S) l, se I(u n ) l e I (u n ) 0 em E 1 (dual de E) quando n. Dizemos, também, que I satisfaz a condição de Palais-Smale no nível l se toda sequência (P S) l possui uma subsequência que converge forte em E. Quando toda sequência de Palais-Smale para o funcional I no nível l for précompacta (isto é, possui subsequência fortemente convergente), para todo real l, diremos que I satisfaz a condição de Palais-Smale. Seja E um espaço de Banach real. Denotamos por A a classe de todos os conjuntos fechados A E \ {0} que são simétricos em relação à origem, isto é, se u A então u A. Definição Seja A A. O gênero de Krasnoselskii de A, γ(a), é definido como sendo o menor inteiro positivo k tal que existe uma aplicação ímpar φ C(A, R k ) tal que φ(x) 0, para todo x A. Se tal k não existe, definimos γ(a) = +. Além disso, por definição, γ( ) = 0. Os próximos resultados sobre a teoria de gênero de Krasnoselskii podem ser encontrados nas referências [3], [12], [20] e [39]. Proposição Suponha E = R N 21 e seja a fronteira de um conjunto conjunto aberto, simétrico e limitado R N, com 0. Então γ( ) = N. Corolário Se = S N 1 é a esfera unitária em R N, então γ(s N 1 ) = N. Agora, estabelecermos um resultado devido à Clarke [16].

24 Proposição Seja Φ C 1 (X, R) um funcional satisfazendo a condição de Palais- Smale e suponha que i) Φ é limitado inferiormente e par; ii) existe um conjunto compacto K A tal que γ(k) = k e sup Φ(x) < Φ(0). x K Então Φ possui ao menos k pares distintos de pontos críticos e seus valores críticos correspondentes são menores que Φ(0). Ressaltamos que esse resultado é uma consequência de um teorema de multiplicidade envolvendo um funcional invariante sobre a ação de grupo topológico compacto. O próximo lema nos será útil sempre que for necessário demonstrar que um funcional satisfaz a condição de Palais-Smale. Esse resultado pode ser provado facilmente, usando [31, Lemma 4.1]. Lema (Condição S + ). Seja R N um domínio suave e limitado, com 0, 1 < p < N, < a < N p e seja (u p n ) Da 1,p tal que u n u, quando n, lim sup x ap u n p 2 u n (u n u)dx 0, n então existe uma subsequência que converge forte em D 1,p a Demonstração do Teorema Afim de demonstrar o Teorema 1.1.2, utilizaremos a Proposição Observe que da hipótese (f 1 ) temos que I é par. Com efeito, usando (1.2), I(u) = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x β u q dx q = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x β u q dx q = I( u).

25 Agora, utilizando as hipóteses (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) (vide Observação 1.1.1) e a desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (1.4), obtemos I(u) = 1 p M( u p ) λ 1 p u p 0 x δ F (x, u)dx 1 q M(s)ds λ C 2 u r 1 q C u q m 0 p u p λ C 2 u r 1 q C u q = g λ ( u p ), x β u q dx 23 em que g λ : [0, + ) R é dada por g λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p 1 q Ct q/p. Mas, uma vez que r < p < q implica lim t + g λ(t) =, não podemos usar esse argumento clássico para assegurar que I é limitado inferiormente em D 1,p a e aplicar a Proposição Por isso, iremos construir um funcional auxiliar que verifica as hipóteses da Proposição e, através desse funcional, demonstrar o Teorema Os argumentos a seguir, servem para nos ajudar a definir tal funcional auxiliar. A princípio, estudaremos o comportamento da função g λ, dada acima. Afirmamos que existe λ 0 > 0 tal que, para cada λ (0, λ 0 ), g λ atinge um máximo positivo e existem t 1, t 2 (0, + ), com t 1 < t 2 e g λ (t 1 ) = g λ (t 2 ) = 0. De fato, primeiramente, observe que, se 0 < t < ( ) p q p m0 q p, C então ( ) p m q p Tomando t = 0 C, temos m 0 p t 1 q Ct q/p > 0. g λ ( t) = m 0 p t λ C 2 t r/p 1 q C t q/p > 0,

26 sempre que m 0 p t 1 q C t q/p > λ C 2 t r/p. ( Entretanto, para λ < C 1 m 0 t 1 ) 2 t r/p p q C t q/p = λ 0, esta última desigualdade ocorre. Concluímos que para todo λ < λ 0, existe t > 0 tal que g λ ( t) > 0, ou seja, g λ assume valores positivos. Por outro lado, tomando t < para todo t < t. Mas, desde que 1 q Ct q/p > 0, temos 24 ( ) λ C p p r 2 p m 0, temos que m 0 p t λ C 2 t r/p < 0, g λ (t) < m 0 p t λ C 2 t r/p < 0, para todo t < t. Com isso, podemos concluir que a função g λ toca o eixo das abscissas. Agora, para t > 0, escreva ( m0 g λ (t) = t p λ C 2 t r p 1 1 ) q Ct q p 1 e considere g λ (t) = m 0 p λ C 2 t r p 1 1 q Ct q p 1. Como temos que ˆt = [ ] p λ C2 (p r)q q r C(q p) g λ(t) = λ C p r 2 p t r p 2 1 q C q p p t q p 2, é o único ponto crítico de g λ em [0, + ) e é um ponto de máximo de g λ. Mas isso garante que g λ tem um único ponto de máximo em [0, + ). Uma vez que lim g λ(t) =, podemos concluir que existe λ 0 > 0 tal t + que, para cada λ (0, λ 0 ), g λ atinge um máximo positivo e existem t 1, t 2 (0, + ), com t 1 < t 2 e g λ (t 1 ) = g λ (t 2 ) = 0. Um esboço do gráfico de g λ, pode ser visto na Figura 1.1. Considere a "função auxiliar" φ C 1 0([0, + )) tal que 0 φ 1, φ(t) = 1, para todo t [0, t 1 ], φ(t) = 0, para todo t [t 2, + ) e φ (t) 0, para todo t [0, + ).

27 25 Figura 1.1: Gráfico de g λ Defina, para todo λ < λ 0, a função ḡ λ : [0, + ) R dada por ḡ λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p C q φ(t)tq/p. Note que ḡ λ (0) = 0 e ḡ λ (t) 0, para todo t t 1. Com efeito, se t [t 1, t 2 ), da definição de φ, obtemos ḡ λ (t) g λ (t) 0. Se t t 2, então φ(t) = 0. Logo, para t t 2, Seja λ < λ 0. Note que λ 0 = 1 ( m0 C 2 t r/p p t 1 ) q/p C t q ḡ λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p. < 1 m0 C 2 t r/p p t = m 0 p 1 C 2 ( t) p r p.

28 26 Portanto, λ < m 0 p ( ( t) 1 C2 p r p e, assim, t > λ C ) p p p r 2 m 0. Desde que t t 2 > t, temos ( t > λ C p 2 m 0 ) p p r, o que implica ḡ λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p > 0. Concluímos que ḡ λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p > 0, para todo λ < λ 0. Consequentemente, ḡ λ (t) 0, para todo t t 1. Além disso, lim ḡλ(t) m 0 = lim t + t + p t λ C 2 t r/p = +, (1.6) pois r p < 1 e φ(t) = 0, para todo t [t 2, + ). Dessa forma, o gráfico de ḡ λ (t) coincide com o gráfico de g λ (t), quando t [0, t 1 ] e ḡ λ (t) é positiva para todo t (t 1, + ), conforme ilustra a Figura 1.2. Figura 1.2: Gráfico de ḡ λ O funcional de Euler-Lagrange auxiliar, que iremos usar para aplicar a Pro-

29 27 posição é J : D 1,p a R, dado por J(u) = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u) dx φ( u p ) x β u q dx, q em que M(t) := t 0 M(s)ds e λ (0, λ 0). Observe que J é de classe C 1 (veja Apêndice, Observação A.4.4). Desde que J(u) ḡ λ ( u p ) e (1.6) ocorre, obtemos J coercivo em Da 1,p, o que implica J limitado inferiormente em Da 1,p. J é o funcional apropriado para demonstrar o Teorema 1.1.2, como veremos a seguir. O próximo lema nos mostra que um ponto crítico de J com energia menor que 0 é, também, um ponto crítico de I. Observamos que os pontos críticos obtidos com a Proposição são menores que I(0) = J(0) = 0. Lema Se u 0 é um ponto crítico de J com J(u 0 ) < 0, então u 0 é um ponto crítico de I. Demonstração. Seja u 0 um ponto crítico do funcional J, com J(u 0 ) < 0. Uma vez que J é contínuo, existe R 0 > 0 tal que J(u) < 0, para todo u B(u 0, R 0 ) Da 1,p, o que implica u p < t 1. Com efeito, desde que ḡ λ (t) 0, para todo t t 1, se u p t 1, teríamos ḡ λ ( u p ) 0. Mas, J(u) ḡ λ ( u p ), ou seja, teríamos J(u) 0. Absurdo! Dessa forma, para todo u B(u 0, R 0 ), temos φ( u p ) = 1 e, consequentemente, J(u) = I(u), para todo u B(u 0, R 0 ). Em particular, segue que u 0 é um ponto crítico de I. Lema Suponha (M 1 ), (f 1 ) e (f 2 ). Então J satisfaz a condição de Palais-Smale. Demonstração. Seja (u n ) D 1,p a uma sequência de Palais-Smale no nível c, isto é, J(u n ) c e J (u n ) 0 (no dual de Da 1,p ), quando n +. Como J é coercivo, temos que (u n ) D 1,p a é limitada, pois do contrário, existiria uma subsequência (v n ) de (u n ), tal que v n +, quando n + e, como J é coercivo, teríamos J(v n ) +, quando n +. Absurdo, já que J(u n ) c, quando n +. Desde que D 1,p a é reflexivo e (u n ) é limitada, passando a uma subsequência,

30 28 se necessário, obtemos u D 1,p a tal que u n u, em D 1,p a, quando n +. Ainda, como a imersão de D 1,p a em L s (, x α ) é compacta, sempre que 1 s < p e α < (a + 1)s + N(1 s ), temos p u n u, em L q (, x β ), quando n +. Daí, obtemos, também, u n (x) u(x) q.t.p. em e u n t 0 0, (1.7) quando n +. Logo J (u n )(u n u) = o n (1), em que lim o n(1) = 0, isto é, n + M( u n p ) x ap u n p 2 u n (u n u)dx λ x δ f(x, u n )(u n u)dx φ( u n p ) x β u n q 2 u n (u n u)dx p q φ ( u n p ) x β u n q dx x ap u n p 2 u n (u n u)dx = o n (1). Da desigualdade de Hölder e de (1.7), usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Desde que φ é contínua, usando (1.7) e o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, segue que φ( u n p ) x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Ainda, usando (f 2 ), a desigualdade de Hölder, (1.7) e o Teorema da Convergência Domi-

31 29 nada de Lebesgue, temos Por conseguinte, obtemos x δ f(x, u n )(u n u)dx C 2 x δ u n r 1 u n u dx = o n (1). [ M( u n p ) p ] q φ ( u n p ) x β u n q dx x ap u n p 2 u n (u n u)dx = o n (1). Uma vez que M(t) m 0, φ (t) 0, para todo t [0, + ), (u n ) é limitada e M e φ são funções contínuas, existe C > 0 tal que m 0 M( u n p ) p q φ ( u n p ) x β u n q dx M( u n p ) p q φ ( u n p ) u n q C, para todo n N. Ou seja, x ap u n p 2 u n (u n u) dx = o n (1). Aplicando o Lema concluímos a demonstração Conclusão da demonstração do Teorema Uma vez que C 0 () D 1,p a e C 0 () possui dimensão infinita, para cada k N, existe um subespaço linear de D 1,p a, k-dimensional, X k, tal que X k C 0 (). Assim, todas as normas em X k são equivalentes. C(k), que depende de k, tal que C(k) u r C 1 x δ u r dx, r Logo, existe uma constante positiva

32 30 para todo u X k. Dessa forma, se u X k, segue de (f 2 ) que existe C > 0 tal que x δ F (x, u)dx C 1 x δ u r dx C(k) u r. r Seja u X k, com u 1. Da continuidade da função M, concluímos que J(u) C u p λc(k) u r. { ( ) } 1 Tome R = min 1, λc(k) p r e considere S = {u X C k : u = s} com 0 < s < R. Desde que 1 r < p, para todo u S, obtemos J(u) C u p λc(k) u r ] = s [Cs r p r λc(k) < 0 = J(0), (1.8) o que implica sup J(u) < 0 = J(0). S Desde que X k e R k são isomorfos e S e S k 1 são homeomorfos, concluímos que γ(s) = k. de Palais-Smale. Além disso J é coercivo, par, e, pelo Lema 1.3.2, satisfaz a condição Segue da Proposição que J tem ao menos k pares de pontos críticos distintos, para cada λ (0, λ 0 ), uma vez que J está definido para λ (0, λ 0 ). Da arbitrariedade de k obtemos infinitos pontos críticos de J, para cada λ (0, λ 0 ). Por conseguinte, usando (1.8) e o Lema 1.3.1, obtemos infinitos pontos críticos de I, para cada λ (0, λ 0 ). 1.4 Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema 1.1.3, que diz respeito ao problema (1.1) quando r = p. Para isso, faremos uso do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7). Entretanto, para verificarmos as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha, necessitaremos do primeiro

33 31 autovalor associado ao problema div( x ap u p 2 u) = λ x δ u p 2 u, em, u = 0, em. (1.9) Como visto em [54], o primeiro autovalor para o problema (1.9) é caracterizado por { λ 1 = inf x ap u p dx; u Da 1,p, } x δ u p dx = 1 (1.10) e é positivo. Uma outra dificuldade encontrada no problema (1.1), que nos dificulta verificar que o funcional I satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha, é a falta de informações sobre o comportamento da função M no infinito. Sendo assim, precisaremos fazer um truncamento na função M, de forma que possamos contornar essa dificuldade. A partir desse truncamento, criamos um problema auxiliar cujas soluções serão, ainda, soluções de problema (1.1). Definimos Segue de (M 2 ) que existe t 0 > 0 tal que m 0 = M(0) < M(t 0 ) < ξ p m 0. M(t), se 0 t t 0, M 0 (t) := M(t 0 ), se t t 0. (1.11) Ainda de (M 2 ), obtemos m 0 M 0 (t) ξ p m 0, t 0. (1.12) A demonstração do Teorema será baseada no estudo do seguinte problema auxiliar: L 0 (u) = λ x δ f(x, u) + x β u q 2 u, em, u = 0, em, (1.13) em que ( )] L 0 (u) :=: [M 0 x ap u p dx div ( x ap u p 2 u ).

34 32 R, definido por O funcional de Euler-Lagrange associado ao problema (1.13) é J 0 : D 1,p a J 0 (u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u) dx 1 x β u q dx, (1.14) q em que M 0 (t) := t 0 M 0(s)ds. Note que J 0 é de classe C 1 e para todo φ D 1,p a. Passo da Montanha. J 0(u)(φ) = M 0 ( u p ) x ap u p 2 u φ dx λ x δ f(x, u)φ dx x β u q 2 uφ dx, Os próximos dois lemas mostram que o funcional J 0 satisfaz a geometria do Lema Seja λ 1 como definido em (1.10). Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e que r = p. Então, existem números reais positivos, ρ e α, tais que J 0 (u) α > 0, u D 1,p a, com u = ρ, para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Demonstração. Dado u Da 1,p u, considere v = ( x δ u p dx ). Note que v D1,p 1/p a x δ v p dx = 1. Assim, de (1.10), segue que λ 1 x ap v p dx = x ap u p dx x δ u p dx e

35 33 e, portanto, obtemos λ 1 x δ u p dx u p. (1.15) Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Usando (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ), (1.15) e a desigualdade (1.4), J 0 (u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x β u q dx, q 1 u p M 0 (s)ds λ C 2 x δ u p dx 1 p p q C u q 0 m 0 p u p λc 2 λ 1 p u p 1 q C u q ( = m 0 λc ) 2 1 λ 1 p u p 1 q C u q. Desde que p < q e λ < m 0 C 2 λ 1, o resultado segue escolhendo ρ > 0, suficientemente pequeno. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e que r = p. Então, para todo λ > 0, existe e D 1,p a com J 0 (e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Considere v 0 D 1,p a \{0} tal que v 0 > 0 em. Usando (1.12) e (f 2 ), obtemos J 0 (tv 0 ) = 1 p M 0 ( tv 0 p ) λ x δ F (x, tv 0 )dx 1 x β tv 0 q dx, q 1 tv0 p M 0 (s)ds λc 1 x δ tv 0 p dx 1 x β tv 0 q dx, p 0 p q ξ p m 0t p v 2 0 p λc 1 p tp x δ v 0 p dx tq x β v 0 q dx. q Desde que p < q, temos lim J 0(tv 0 ) =. Logo, existe t > 0 suficientemente grande, t + tal que t v 0 > ρ e J 0 ( tv 0 ) < 0. O resultado segue escolhendo e = tv 0. Dos Lemas e segue que, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), podemos aplicar o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice,

36 34 Teorema A.2.7) e obter uma sequência (u n ) Da 1,p, satisfazendo J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n +, em que e v 0 D 1,p a é tal que v 0 > 0. 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J 0(γ(t)), Γ := { γ C([0, 1], D 1,p a ) : γ(0) = 0, γ(1) = tv 0 } Observação Desde que que (u n ) Da 1,p, satisfaz J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0 em a ) 1, quando n +, temos (u n ) limitada em Da 1,p. De fato, segue da definição de (D 1,p M 0 e de (f 3 ) que c λ + o n (1) u n + o n (1) J 0 (u n ) 1 ξ J 0(u n )(u n ) = 1 p M 0 ( u n p ) λ x δ F (x, u n )dx 1 x β u n q dx q 1 ξ M 0( u n p ) x ap u n p 2 u n φdx + λ 1 x δ f(x, u n )u n dx + 1 x β u n q dx ξ ξ ( m0 p M ) ( 0(t 0 ) 1 u n p + ξ ξ 1 ) x β u n q dx q ( m0 p M ) 0(t 0 ) u n p. ξ (1.16) Suponha que (u n ) não seja limitada. Assim, passando a uma subsequência, se necessário, u n +, quando n +. Mas, desde que m 0 p M 0(t 0 ) > 0, fazendo n + em ξ (1.16), obtemos uma contradição. Logo (u n ) é limitada em D 1,p Lema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e r = p. Então J 0 satisfaz a condição de Palais-Smale. Demonstração. Seja (u n ) D 1,p a uma sequência de Palais-Smale no nível c, isto é, J 0 (u n ) c e J 0(u n ) 0 (no dual de Da 1,p ), quando n +. Utilizando os mesmos a.

37 35 argumentos da Observação 1.4.3, temos que (u n ) D 1,p a é limitada. Desde que D 1,p a é reflexivo e (u n ) é limitada, passando a uma subsequência, se necessário, obtemos u D 1,p a tal que u n u, em D 1,p a, quando n +. Ainda, como a imersão de D 1,p a em L s (, x α ) é compacta, sempre que 1 s < p e α < (a + 1)s + N(1 s ), temos p u n u, em L q (, x β ) e u n u, em L p (, x δ ), quando n +. Daí, obtemos, também, u n (x) u(x) q.t.p. em e (1.17) u n s 0 0, quando n +. Logo J 0(u n )(u n u) = o n (1), isto é, M 0 ( u n p ) x ap u n p 2 u n (u n u)dx λ x δ f(x, u n )(u n u)dx x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Da desigualdade de Hölder e de (1.17), usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Ainda, usando (f 2 ), a desigualdade de Hölder, (1.17) e o Teorema da Convergência Do-

38 36 minada de Lebesgue, temos Por conseguinte, obtemos x δ f(x, u n )(u n u)dx C 2 x δ u n p 1 u n u dx = o n (1). M 0 ( u n p ) x ap u n p 2 u n (u n u)dx = o n (1). Uma vez que (u n ) é limitada e M é contínua e positiva, x ap u n p 2 u n (u n u) dx = o n (1). Aplicando o Lema concluímos a demonstração. A partir dos resultados acima, podemos demonstrar que o problema auxiliar (1.13) possui ao menos uma solução não trivial. Posteriormente, demonstraremos que essa solução é, ainda, uma solução para o problema (1.1). Proposição Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e r = p. Então, o problema (1.13) tem ao menos uma solução não trivial, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), em que λ 1 é dado em (1.10). Demonstração. Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Segue dos Lemas 1.4.1, e da Observação 1.4.3, que existe uma sequência limitada (u n ) D 1,p a tal que J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0, em (Da 1,p ) 1, quando n +. Aplicando o Lema 1.4.4, a menos de subsequência, existe u λ D 1,p a tal que u n u λ. Logo u λ é uma solução fraca para o problema (1.13). Agora, iremos demonstrar que a solução u λ, obtida na Proposição é, também, uma solução para o problema (1.1). Para isso, basta demonstrar que u n p t 0, pois, dessa forma, teremos J 0 (u n ) = I(u n ). A sequência de lemas a seguir tem esse propósito.

39 37 Definimos o espaço W 1,p a,b () = { u L p (, x bp ) : u L p (, x ap ) }, munido da norma u W 1,p a,b () = u p,bp + u p,ap. por Consideramos a melhor constante do tipo Caffarelli-Kohn-Nirenberg dada S a,p = inf u W 1,p a,b (RN )\{0} { R N x ap u p dx (R N x bp u p dx ) p p } Também, definimos R 1,p 1,p a,b () como sendo o subespaço de Wa,b () formado pelas funções radiais, mais precisamente R 1,p a,b () = { u W 1,p a,b () : u(x) = u( x )}, com respeito à norma induzida u R 1,p a,b () = u W 1,p a,b (). Horiuchi [36] provou que S a,p,r = é atingida pelas funções da forma inf u R 1,p a,b (RN )\{0} { R N x ap u p dx (R N x bp u p dx ) p p } u ε (x) = k a,p (ε)v ε (x), ε > 0, em que k a,p (ε) = cε (N dp)/dp2 e v ε (x) = ) ( (ε + x dp(n p ap) N dp dp ) (p 1)(N dp)

40 38 Além do mais, u ε satisfaz x ap u ε p dx = R N De (1.18) obtemos R N x bp u ε p dx = ( S a,p,r ) p p p. (1.18) x ap v ε p dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p (1.19) R N e R N x bp v ε p dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p. (1.20) Seja R 0 uma constante positiva e considere Ψ(x) C 0 (R N ) tal que 0 Ψ(x) 1, Ψ(x) = 1, para todo x R 0 e Ψ(x) = 0, para todo x 2R 0. Defina ṽ ε (x) = Ψ(x)v ε (x), (1.21) para todo x R N e para todo ε > 0. Sem perda de generalidade, podemos considerar B(0; 2R 0 ), em que B(x; s) denota a bola centrada em x de raio s. Note, ainda, que ṽ ε D 1,p a. Lema lim ε 0 + ṽ ε p ( x β ṽ ε q dx ) p/q = 0. Demonstração. Afirmamos que ṽ ε p [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + O(1) (1.22) e em que O(1) denota uma constante positiva. x β ṽ ε q dx = ε N dp dp q O(1), ε (0, 1), (1.23) Antes de demonstrarmos as estimativas (1.22) e (1.23), note que podemos

41 39 escrever v ε (x) = (ε + x c 1 ) N dp ( dp ), em que c1 = dp(n p ap) (p 1)(N dp) Assim, e ( 1 v ε (x) = ε + x c 1 = 1 x c 1 (N dp) dp 1 x N p ap p 1 ) N dp dp v ε (x) = N + dp c 1 x c 1 1 dp ε + x c 1 N/dp N + dp dp c 1 x N+ap+1 p 1 Agora, provaremos (1.22). Observe que ṽ ε p = x ap (Ψv ε ) p dx = x ap (Ψv ε ) p dx B(0;2R 0 ) = x ap v ε p dx + B(0;R 0 ) = x ap v ε p dx + R N x ap v ε p dx. R N \B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x ap (Ψv ε ) p dx x ap (Ψv ε ) p dx (1.24) (1.25) Usando (1.19) obtemos ṽ ε p = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + R N \B(0;R 0 ) x ap v ε p dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + R N \B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x ap v ε p dx x ap (Ψv ε ) p dx x ap Ψ v ε + v ε Ψ p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x ap v ε p dx

42 [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + 2 p 1 x ap v ε p dx R N \B(0;2R 0 ) [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + (2 p 1 1) + 2 p 1 x ap v ε p Ψ p dx. B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x ap ( Ψ p v ε p + v ε p Ψ p )dx x ap v ε p dx x ap v ε p dx 40 Da escolha de Ψ C 0, existe C > 0 tal que Ψ (x) C, para todo x R N. Logo ṽ ε p [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + (2 p 1 1) x ap v ε p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) + 2 p 1 C p x ap v ε p dx. B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) (1.26) Substituindo (1.24) e (1.25) em (1.26), obtemos ṽ ε p [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + (2 p 1 1) ( N + dp)c 1 dp + 2 p 1 C p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x ap x ( N+p+ap)p p 1 dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p p + (2 p 1 1) ( N + dp)c 1 dp + 2 p 1 C p x ( N+a+p)p p 1 dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + (2 p 1 1) ( N + dp)c 1 dp ( p 1 C p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) p R 0 = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + C (R 0 ), B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) ) (N a p)p p 1 dx x ap x ( N+ap+1)p p 1 dx x ( N+a+1)p p 1 dx ( 1 R 0 ) (N a 1)p p 1 dx

43 41 isto é, ṽ ε p [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + O(1), o que demonstra (1.22). No que se segue, demonstraremos (1.23). Temos x β ṽ ε q dx = B(0;R 0 ) B(0;R 0 ) x β ṽ ε q dx x β v ε q dx B(0;R 0 )\B(0; R 0 2 ) x β ( 1 ε + x c 1 ) (N dp)q dp Fazendo uma mudança de variáveis em coordenadas polares, obtemos R0 ( 1 x β ṽ ε q dx ω N r β R 0 2 ε + r c 1 ) (N dp)q dp R0 = ω N (εr c1 + 1) (N dp)q dp R 0 2 ω N (ε = ( ε ( R0 2 ( R0 2 ) c1 + 1 ) c1 + 1 r N 1 dr dx. r β+n 1 c 1 (N dp)q dp dr ) (N dp)q dp R0 ) (N dp)q dp C (R 0 ), R 0 2 r β+n 1 c1 (N dp)q dp dr em que ω N representa a medida da S N 1. Assim, para ε < 1 temos ( (R0 ) c1 x β ṽ ε q dx > = C (R 0 ). ) (N dp)q dp C (R 0 ) (1.27) Por outro lado, novamente fazendo uma mudança de variáveis em coordenadas polares,

44 42 obtemos x β ṽ ε q dx = = B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 ) ε (N dp)q dp x β Ψv ε q dx x β v ε q dx x β ( B(0;2R 0 ) 2R0 = ε (N dp)q dp ω N = C (R 0 ) ε (N dp)q dp, 0 1 ε + x c 1 x β dx ) (N dp)q dp r β+n 1 dr dx (1.28) uma vez que β + N 1 > 1. Segue de (1.27) e (1.28) que C (R 0 ) x β ṽ ε q dx C (R 0 ) ε (N dp)q dp. Considere a função f : R + {0} R + {0} dada por f(t) = t ε (N dp)q dp. Desde que f é contínua e f(0) < x β ṽ ε q dx f( C (R 0 )), segue do Teorema do Valor Médio que existe t > 0 tal que f( t) = x β ṽ ε q dx, isto é, x β ṽ ε p dx = t ε (N dp)q dp = ε (N dp)q dp O(1), para todo ε (0, 1), o que prova (1.23).

45 43 Finalmente, para todo ε (0, 1), de (1.22) e (1.23) obtemos ṽ ε p ( x β ṽ ε q dx ) [ka,p(ε)] p ( Sa,p,R) p p + O(1) p/q ) (ε N dp p/q dp q O(1) Uma vez que p > 1, temos p = [k a,p(ε)] p ( S a,p,r ) p p N dp p ε dp O(1) = [cε(n dp)/dp2 ] p ( S a,p,r ) p = c p ( S a,p,r ) p = c p ( S a,p,r ) p p (N dp) p ε dp p N dp p ε dp p + O(1)ε N dp dp p p N dp p ε dp O(1) O(1) O(1) + N dp dp p + O(1)ε N dp dp p p + O(1)ε N dp dp p (p 1) + O(1)ε N dp dp p lim ε 0 + ṽ ε p ( x β ṽ ε q dx ) p/q = 0. Lema Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ) e (f 2 ). Então, existe ε 1 (0, 1) tal que para todo ε ε 1. ( 1 sup J 0 (tṽ ε ) < t 0 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0, Demonstração. Sejam 0 < ε < 1 e ṽ ε como em (1.21). Desde que dos Lemas e o funcional J 0 satisfaz a geometria do Teorema do Passo da Montanha, para λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), existe t ε > 0 tal que sup J 0 (tṽ ε ) = J 0 (t ε ṽ ε ), t 0

46 44 para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Temos, então, sup J 0 (tṽ ε ) = 1 t 0 p M( t ε ṽ ε p ) λ x c F (x, t ε ṽ ε )dx 1 q ξ p m 0t p ε ṽ 2 ε p 1 q tq ε x β ṽ ε q dx, x β t q ε ṽ ε q dx para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Agora, considere a função g : R + {0} R + {0}, definida por É fácil ver que s = g(s) = ( ξ p m 0 ṽ ε p g( s) = ( ) ( ) ξ 1 p m 0 ṽ 2 ε p s p x β ṽ ε q dx s q. q x β ṽ ε q dx ) 1 q p ( 1 p 1 ) ( ) q ( ξ q p m q p 0 é um máximo global de g e que ṽ ε p ( x β ṽ ε q dx ) p/q ) q q p. Logo, ( 1 sup J 0 (tṽ ε ) t 0 p 1 ) ( ) q ( ξ q p m q p 0 ṽ ε p ( x β ṽ ε q dx ) p/q ) q q p, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Segue do Lema que existe 0 < ε 1 < 1 tal que para todo ε ε 1 e para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). ( 1 sup J 0 (tṽ ε ) < t 0 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0, Observação Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ) e considere o caminho γ (t) = t( tv ε1 ), para t

47 45 [0, 1], o qual pertence à Γ. Segue do Lema a seguinte estimativa: para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J 0(γ(t)) sup J 0 (sṽ ε1 ) s 0 ( 1 < p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) Lema Suponha que λ (0, m 0 C 2 λ 1 ) e r = p. Suponha, ainda, as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 2 ) e (f 3 ). Seja (u n ) D 1,p a uma sequência tal que t 0 J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Então, existe uma subsequência de (u n ), digamos (u nk ), tal que u nk p t 0, k N. Demonstração. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p > t 0. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p > t 0, para todo k N. Da Observação temos que (u nk ) é limitada. Assim, obtemos J 0(u nk ) (u nk ) J 0(u nk ) (u nk ) 0, quando k +. Mas isto implica que c λ = J 0 (u nk ) 1 ξ J 0(u nk )(u nk ) + o k (1) 1 M p 0 ( u nk p ) 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1) ( ) 1 m p 0 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1). (1.29)

48 46 Como m 0 < M(t 0 ) < ξ p m 0, temos 1 p m 0 1 ξ M 0(t 0 ) > 0. Então, obtemos c λ ( 1 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0 > 0. Desde que λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), isto contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p t 0, para todo k N Conclusão da demonstração do Teorema Segue da demonstração da Proposição que existe (u n ) D 1,p a u n u λ, fortemente, em D 1,p a tal que e que u λ é uma solução para o problema (1.13). Aplicando o Lema 1.4.9, temos que u λ é uma solução fraca para o problema (1.1). 1.5 Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema 1.1.4, que diz respeito ao problema (1.1) quando p < r < q, conhecido como caso p-superlinear. Novamente faremos uso do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7) para obter uma solução para esse problema. A demonstração desse Teorema é semelhante à do Teorema 1.1.3, entretanto, não precisaremos trabalhar com o primeiro autovalor associado ao problema (1.10). Assim como na seção anterior, precisaremos criar um funcional auxiliar de forma a controlar o crescimento da função M no infinito e, em seguida, fazer uso das funções extremais para demonstrar que os pontos críticos do funcional auxiliar são, ainda, pontos críticos do funcional de Euler-Lagrange associado ao problema (1.1). Utilizando os mesmos argumentos da seção 1.4 podemos definir a função M 0 como em (1.11) e criar o problema auxiliar (1.13), tendo como funcional de Euler-Lagrange

49 47 associado, J 0 definido em (1.14). Os próximos dois lemas demonstram que o funcional J 0 satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale, para todo λ > 0, quando p < r < q. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e que p < r < q. Então, existem números reais positivos, ρ e α, tais que J 0 (u) α > 0, u D 1,p a, com u = ρ, para todo λ > 0. Demonstração. Seja λ > 0. Usando (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e a desigualdade (1.4), obtemos J 0 (u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x β u q dx q 1 u p M 0 (s)ds λ C 2 x δ u r dx 1 p r q C u q 0 m 0 p u p λ C 2 r u r 1 q C u q. Desde que p < r < q, o resultado segue escolhendo ρ > 0, suficientemente pequeno. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e que p < r < q. Então, para todo λ > 0, existe e D 1,p a com J 0 (e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Considere v 0 D 1,p a \{0} tal que v 0 > 0 em. Usando (1.12) e (f 2 ), obtemos J 0 (tv 0 ) = 1 p M 0 ( tv 0 p ) λ x δ F (x, tv 0 )dx 1 x β u q dx q 1 tv0 p M 0 (s)ds λc 1 x δ tv 0 r dx 1 x β u q dx p 0 r q ξ p m 0t p v 2 0 p λc 1 r tr x δ v 0 r dx tq x β v 0 q dx. q

50 Desde que p < r < q, temos lim J 0(tv 0 ) =. Logo, existe t > 0 suficientemente t + grande, tal que t v 0 > ρ e J 0 ( tv 0 ) < 0. O resultado segue escolhendo e = tv Dos Lemas e segue que, para cada λ > 0, podemos aplicar o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale e obter uma sequência (u n ) Da 1,p, satisfazendo J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n +, em que e v 0 D 1,p a é tal que v 0 > 0. 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J 0(γ(t)), Γ := { γ C([0, 1], D 1,p a ) : γ(0) = 0, γ(1) = tv 0 } Observação (u n ) é limitada em Da 1,p. De fato, devido à condição (f 3 ), a demonstração é como visto na Observação Lema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e r > p. Então J 0 satisfaz a condição de Palais-Smale. Demonstração. Seja (u n ) D 1,p a uma sequência de Palais-Smale no nível c, isto é, J 0 (u n ) c e J 0(u n ) 0 (no dual de Da 1,p ), quando n +. Utilizando os mesmos argumentos da Observação 1.4.3, temos que (u n ) D 1,p a Desde que D 1,p a se necessário, obtemos u D 1,p a é limitada. é reflexivo e (u n ) é limitada, passando a uma subsequência, tal que u n u, em D 1,p a, quando n +. Ainda, como a imersão de D 1,p a que 1 s < p e σ < (a + 1)s + N(1 s ), temos p em L s (, x α ) é compacta, sempre u n u, em L q (, x β ) e u n u, em L r (, x δ ),

51 49 quando n +. Daí, obtemos, também, quando n +. u n (x) u(x) q.t.p. em e u n s 0 0, (1.30) Logo J 0(u n )(u n u) = o n (1), isto é, M 0 ( u n p ) x ap u n p 2 u n (u n u)dx λ x δ f(x, u n )(u n u)dx x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Da desigualdade de Hölder e de (1.30), usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos x β u n q 2 u n (u n u)dx = o n (1). Ainda, usando (f 2 ), a desigualdade de Hölder, (1.30) e o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, temos Por conseguinte, obtemos x δ f(x, u n )(u n u)dx C 2 x δ u n r 1 u n u dx = o n (1). M 0 ( u n p ) x ap u n p 2 u n (u n u)dx = o n (1). Uma vez que (u n ) é limitada e M é contínua e positiva, x ap u n p 2 u n (u n u) dx = o n (1). Aplicando o Lema concluímos a demonstração.

52 50 Observação Devido aos Lemas e o Lema é verdadeiro, para todo λ > 0, quando p < r < q. Assim, se considerarmos o caminho γ (t) = t( tv ε1 ), para t [0, 1], o qual pertence à Γ, obtemos a seguinte estimativa para todo λ > 0. 0 < c λ = inf max J 0 (γ(t)) γ Γ t [0,1] sup J 0 (sṽ ε1 ) s 0 ( 1 < p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0 O próximo lema é uma versão do Lema quando p < r < q. Devido à hipótese (f 3 ) e à Observação 1.5.5, sua demonstração é similar à demonstração do Lema Lema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 2 ), (f 3 ) e p < r < q. Seja (u n ) D 1,p a tal que J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Então, existe uma subsequência de (u n ), digamos (u nk ), tal que uma sequência u nk p t 0, k N. Demonstração. Seja λ > 0. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p > t 0. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p > t 0, para todo k N. Da Observação temos que (u nk ) é limitada. Assim, obtemos J 0(u nk ) (u nk ) J 0(u nk ) (u nk ) 0,

53 51 quando k +. Mas isto implica que c λ = J 0 (u nk ) 1 ξ J 0(u nk )(u nk ) + o k (1) 1 M p 0 ( u nk p ) 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1) ( ) 1 m p 0 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1). (1.31) Como m 0 < M(t 0 ) < ξ p m 0, temos 1 p m 0 1 ξ M 0(t 0 ) > 0. Então, obtemos c λ ( 1 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0 > 0. Mas isto contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p t 0, para todo k N Conclusão da demonstração do Teorema Seja λ > 0. Segue dos Lemas 1.5.1, e da Observação 1.5.3, que existe uma sequência limitada (u n ) D 1,p a tal que J 0 (u n ) c λ e J 0(u n ) 0, em (D 1,p a ) 1, quando n +. Aplicando o Lema 1.5.4, a menos de subsequência, existe u λ D 1,p a que u n u λ. Logo u λ é uma solução fraca para o problema (1.13). Aplicando o Lema 1.5.6, temos que u λ é uma solução fraca para o problema (1.1). tal

54 Capítulo Equações do tipo Kirchhoff com expoentes críticos Introdução Nesse capítulo, estudaremos um problema semelhante ao problema (1.1), mas substituindo o termo com expoente subcrítico por um termo com expoente crítico. A presença do termo crítico aumenta a dificuldade na abordagem do problema, pois não temos a imersão compacta de D 1,p a em L p (, x bp ), dificultando demonstrar que o funcional de Euler-Lagrange associado ao problema satisfaz a condição de Palais-Smale. Para contornar essa dificuldade, foi necessário utilizar uma versão do Princípio de Concentração e Compacidade de Lions. Além disso, a presença do termo não local no operador L nos obriga a fazer um truncamento na função do tipo Kirchhoff, M, tal como foi feito na Seção 1.4 do Capítulo 1. Especificamente, estamos interessados em obter soluções para o seguinte problema L(u) = λ x δ f(x, u) + x bp u p 2 u, em, u = 0, em, (2.1) em que [ ( )] L(u) := M x ap u p dx div ( x ap u p 2 u ), 52

55 R N p = Np N dp a b < a + 1. é um domínio suave e limitado com 0, N 3, 1 < p < N, a < N p p, postas no Capítulo 1: é o expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, com d = 1 + a b e (M 1 ) Existe m 0 > 0 tal que As hipóteses sobre a função contínua M : R + {0} R + são as mesmas M(t) m 0, t (M 2 ) M é uma função crescente. Já as hipóteses sobre a função de Caratheodory f : R R, são semelhantes às hipóteses do Capítulo 1, com uma ligeira modificação devido à presença do expoente crítico: (f 1 ) f(x, t) = f(x, t), (x, t) R. (f 2 ) Existem r (1, p ) e C 1, C 2 constantes positivas, com C 1 < C 2, tais que C 1 t r 1 f(x, t) C 2 t r 1, (x, t) (R + {0}). (f 3 ) f satisfaz a condição superlinear de Ambrosetti-Rabinowitz, isto é, existe ξ (p, p ) tal que 0 < ξ t 0 f(x, s)ds tf(x, t), (x, t) R +. Supomos, também, δ < (a + 1)r + N(1 r ). p Assim como no Capítulo 1, para facilitar o estudo do problema (2.1), dividimos o capítulo em seções, considerando os casos p sublinear (1 < r < p,), p linear (r = p) e p superlinear (r > p). Novamente, no caso p sublinear utilizaremos a teoria de gênero de Krasnoselskii para obter um resultado de múltiplas soluções para o problema (2.1) e trabalharemos com funções extremais e o Teorema do Passo da Montanha para obter uma solução não trivial nos casos p linear e p superlinear. Os principais resultados desse capítulo são os seguintes:

56 54 Teorema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e 1 < r < p. Então existe λ > 0 tal que o problema (2.1) tem infinitas soluções, para cada λ (0, λ ). Teorema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e r = p. Então o problema (2.1) tem ao menos uma solução não trivial, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), em que λ 1 é o primeiro autovalor associado ao problema (1.9). Teorema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e p < r < p. Então o problema (2.1) tem ao menos uma solução não trivial, para cada λ > Formulação variacional e resultados preliminares Seja R N um domínio suave e limitado, com 0, N 3, 1 < p < N, a < (N p)/p, a b < a + 1 e p = Np/(N dp), em que d = 1 + a b. Assim como no Capítulo 1, para tratar o problema (2.1), consideramos o espaço de Sobolev com peso, D 1,p a. Desde que nossa abordagem é variacional, procuramos por soluções para o problema (2.1) encontrando pontos críticos do funcional de Euler-Lagrange I : D 1,p a R, definido por I(u) = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u) dx 1 x bp u p dx, (2.2) q em que M(t) := t 0 M(s) ds e F (x, t) = t 0 f(x, s) ds. Note que I C1 (veja Apêndice, Teorema A.4.3) e para toda φ D 1,p a. I (u)(φ) = M( u p ) x ap u p 2 u φ dx λ x δ f(x, u)φ dx x bp u p 2 uφ dx,

57 O problema auxiliar Como foi citado na introdução desse capítulo, a presença do termo com expoente crítico no problema (2.1) faz com que não seja simples demonstrar que o funcional I satisfaz a condição de Palais-Smale. Entretanto, essa não é a única dificuldade encontrada nesse processo. A falta de informações relativas ao comportamento da função M no infinito também atrapalha verificar que o funcional I satisfaz a condição de Palais-Smale. Para isso, precisaremos fazer um truncamento na função M, de forma que possamos contornar essa dificuldade. Além disso, para demonstrarmos os Teoremas e 2.1.3, necessitamos verificar a geometria do Teorema do Passo da Montanha, tal como foi feito na Seção 1.4 do Capítulo 1. A partir desse truncamento, criamos um problema auxiliar cujas soluções serão, ainda, soluções de problema (2.1). Uma vez que p < p, existe θ R tal que p < θ < p. Segue de (M 2 ) que existe t 0 > 0 tal que m 0 = M(0) < M(t 0 ) < θm p 0, para o caso 1 < r < p e m 0 = M(0) < M(t 0 ) < ξ m p 0 para o caso p r < p, em que ξ é dado em (f 3 ). Definimos M(t), se 0 t t 0, M 0 (t) := M(t 0 ), se t t 0. (2.3) Ainda de (M 2 ), obtemos m 0 M 0 (t) θ p m 0, t 0, se 1 < r < p (2.4) e m 0 M 0 (t) ξ p m 0, t 0, se p r p. (2.5) As demonstrações dos teoremas principais desse capítulo serão baseadas no

58 56 estudo do seguinte problema auxiliar: L 0 (u) = λ x δ f(x, u) + x bp u p 2 u, em, u = 0, em, (2.6) em que ( )] L 0 (u) :=: [M 0 x ap u p dx div ( x ap u p 2 u ). O funcional de Euler-Lagrange associado ao problema (2.6) é J : D 1,p a R, definido por J(u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u) dx 1 x bp u p dx, (2.7) p em que M 0 (t) := t 0 M 0(s)ds. Note que J é de classe C 1 e para todo φ D 1,p a. J (u)(φ) = M 0 ( u p ) x ap u p 2 u φ dx λ x δ f(x, u)φ dx x bp u p 2 uφ dx, 2.4 Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema Faremos uso da teoria de gênero de Krasnoselskii, apresentada no Capítulo 1, com o objetivo de obter múltiplas soluções para o problema (2.1) quando 1 < r < p. Entretanto, não podemos aplicar o Teorema de Clarke (Teorema 1.2.5), pois além de não termos a garantia de que o funcional J, definido em (2.7), seja coercivo, esse funcional verifica apenas uma condição de Palais- Smale local (como veremos a seguir), isto é, o funcional verifica a condição de Palais- Smale para um determinado nível. Dessa forma, utilizaremos argumentos diferentes dos encontrados no Capítulo 1 com o intuito de aplicar a seguinte proposição, relativa à teoria

59 57 de gênero de Krasnoselskii: Proposição Sejam E um espaço de Banach real e A a classe de todos os conjuntos fechados A E \ {0} que são simétricos em relação à origem. Se K A, 0 / K, e γ(k) 2, então K possui uma infinidade de pontos. Demonstração. Veja [24, Proposição 1.1.3]. O próximo lema demonstra que o funcional J satisfaz uma condição de Palais-Smale local. Lema Seja (u n ) uma sequência limitada em D 1,p a tal que J(u n ) c e J (u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n. Suponha 1 r < p, (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e c < ( 1 θ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p λcc ( ) p 1 p r ( r θ 1 1 θ p ) ( r p ) r p r ( ) p r p r, p em que C = ( convergente em D 1,p a. Demonstração. Desde que D 1,p a ( ) ) p p r x δ+br p p r dx, então (u n ) possui uma subsequência fortemente é reflexivo e (u n ) é limitada, passando a uma subsequência, se necessário, obtemos u D 1,p a tal que u n u em D 1,p a, quando n +. Agora, se 1 s < p e σ < (a + 1)s + N(1 s/p), temos que a imersão de D 1,p a em L s (, x σ ) é compacta e, portanto, u n u in L s (, x σ ).

60 58 Daí, obtemos, também, e u n (x) u(x) q.t.p em u n s 0 0, quando n +. Nomavente observando que (u n ) é limitada, usando o Princípio de Concentração e Compacidade devido a Lions (veja Apêndice, Lema A.2.8), obtemos um conjunto de índices, no máximo contável, Λ, sequências (x i ) R N, (µ i ), (ν i ) (0, ), tais que x ap u n p x ap u p + µ e x bp u n p x bp u p + ν, (2.8) quando n +, no sentido fraco de convergência em medidas, em que ν = i Λ ν i δ xi, µ i Λ µ i δ xi e C a,pν p/p i µ i, (2.9) para todo i Λ, em que δ xi é a medida de massa concentrada em x i. para cada ϱ > 0, definimos Seja k N. Sem perda de generalidade, podemos supor B(0; 2). Então, ψ ϱ (x) := ψ((x x k )/ϱ), em que ψ C 0 (, [0, 1]) é tal que ψ 1 em B(0; 1), ψ 0 em \ B(0; 2) e ψ 1. Observe que (ψ ϱ u n ) é limitada em Da 1,p. Com efeito ψ ϱ u n p = = 2 p 1 2p 1 ρ p x ap (ψ ϱ u n ) p dx x ap ( ψ ϱ u n + ψ ϱ u n ) p dx x ap ψ ϱ u n p dx + x ap ψ ϱ u n p dx x ap u n p dx + x ap ψ ϱ u n p dx Ĉ u n p.

61 59 Assim, obtemos J (u n )(ψ ϱ u n ) 0, isto é, M 0 ( u n p ) Segue de (2.8) e (M 1 ) que x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx = M 0 ( u n p ) + λ + x ap u n p ψ ϱ dx x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx x bp ψ ϱ u n p dx + o n (1). M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν + o n (1). Uma vez que u n u in L r (, x δ), quando n +, a menos de uma subsequência, existe h L r (, x δ), tal que u n (x) h(x), n N, q.t.p em. Como u n (x) u(x) q.t.p em, usando (f 2 ) obtemos x δ f(x, u n ) u n (x) ψ ϱ C 2 x δ u n (x) r 1 u n (x) ψ ϱ (x) C 2 x δ h(x) r L 1 (). Segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que λ x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx,

62 60 quando n +. Assim, obtemos M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν + o n (1). Passando ao limite superior, temos que temos que e lim sup M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx n m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν. Usando novamente o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, em que lim ϱ 0 + o ϱ(1) = 0. Logo [ lim lim sup M 0 ( u n p ) ϱ 0 + n x ap u p ψ ϱ dx = o ϱ (1), x δ f(x, u)ψ ϱ udx = o ϱ (1), x bp ψ ϱ u p dx = o ϱ (1), x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ] lim ϱ 0 + [ ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ ]. (2.10)

63 61 Agora, mostraremos que [ lim lim sup M 0 ( u n p ) ϱ 0 + n Segue da desigualdade de Hölder que x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ] x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx = 0. (2.11) ( x ap u n p 1 u n ψ ϱ dx = u n p 1 ( ) u n p p 1 ( x dx p ap u n ψ ϱ p x ap x ap u n ψ ϱ p dx ) 1 p. ) 1 p dx Uma vez que (u n ) é limitada em D 1,p a, M é contínua e supp(ψ ϱ ) B(x k ; 2ϱ), existe L > 0 tal que M 0 ( u n p ) ( x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx L B(x k ;2ϱ) ) 1 x ap u n ψ ϱ p p dx. Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e a desigualdade de Hölder, obtemos [ lim sup M 0 ( u n p ) n ( L ( L x ap u p ψ ϱ p dx B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) L B(x k ; 2ϱ) 1 N ] x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ) 1 p ( x ap u p) ) N p ( ) 1 N Np N p dx ψ ϱ N N dx B(xk;2ϱ) ( χ B(xk ;2ϱ) ( x ap u p) ) N p N Np N p dx. Fazendo ϱ 0 + na expressão acima, obtemos (2.11). Concluímos de (2.10) que [ ] 0 lim ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ. ρ 0 +

64 62 Isto é, [ ] 0 lim ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ ρ 0 + B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) = ν({x k }) m 0 µ({x k }) ν i δ xi ({x k }) m 0 µ i δ xi ({x k }) i Λ i Λ = ν k m 0 µ k. Assim, Segue de (2.9) que m 0 µ k ν k. ν k ( m 0 C a,p ) p p p. (2.12) Agora, provaremos que (2.12) não pode ocorrer e, dessa forma, o conjunto Λ é vazio. De fato, suponha, por contradição, ν k ( m 0 Ca,p Logo c = J(u n ) 1 θ J (u n )(u n ) + o n (1). Uma vez que m 0 M 0 (t) θm p 0, para todo t R, temos ) p p p, para algum k Λ. c = J(u n ) 1 θ J (u n )(u n ) + o n (1) = 1 p ˆM 0 ( u n p ) λ x δ F (x, u n )dx 1 x bp u p n p dx 1 [ M 0 ( u n p ) x ap u n p dx λ x δ f(x, u n )u n dx θ ] x bp u n p dx + o n (1) m 0 p u n p θm 0 θp u n p λ x δ F (x, u n )dx + λ x δ f(x, u n )u n dx θ ( 1 + θ 1 ) x bp u p n p dx + o n (1). (2.13)

65 63 Mas, usando (f 2 ), temos, para t 0, f(x, t) C 1 t r 1 0 e, portanto, Se t < 0, usando (f 1 ), Logo, f(x, t)t C 2 t r. f(x, t) = f(x, t) C 1 t r 1. f(x, t)t C 1 t r > C 2 t r, pois C 1 < C 2. Com isso, obtemos f(x, t)t C 2 t r, (x, t) R. (2.14) Além disso, da Observação 1.1.1, do Capítulo 1 Substituindo (2.14) e (2.15) em (2.13), obtemos c λc 2 ( 1 r + 1 θ ) F (x, t) C 2 r t r, (x, t) R. (2.15) x δ u n r dx + ( 1 θ 1 ) x bp u p n p ψ ϱ dx + o n (1).

66 64 Fazendo n, obtemos ) ( 1 c λc 2 r + 1 θ ( 1 + θ 1 ) ψ p ϱ (x j )ν j j Λ ( 1 λc 2 r + 1 ) θ ( 1 + θ 1 ) ν p k ( 1 λc 2 r + 1 ) θ ( 1 + θ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p. x δ u r dx + x δ u r dx + x δ u r dx + ( 1 θ 1 ) x bp u p ψ p ϱ dx ( 1 θ 1 ) x bp u p ψ p ϱ dx ( 1 θ 1 ) x bp u p ψ p ϱ dx (2.16) ( em que C = faça τ = p p r Agora, note que da desigualdade de Hölder, ( x δ u r dx C x bp u p dx ) r/p, (2.17) ( ) ) p p r x δ+br p p r dx. Afirmamos que C <. De fato, para simplificar,. Considere uma bola B(0; R). Como é limitado, existe K > 0 tal que x < K, para todo x \B(0; R). Assim, R x < K, para todo x \B(0; R) e, portanto, ( x ( δ+br)τ dx \B(0;R) ) 1 τ <. Para x B(0; R), fazendo uma mudança de varáveis em coordenadas polares, temos B(0;R) R x ( δ+br)τ dx = ω R s ( δ+br)τ+n 1 ds 0

67 65 Mas, por hipótese, δ < (a + 1)r + N(1 r ). Logo p δ < ar + r + N Nr p + br br = br + N r (N p + p(b a)) p ( = br + N 1 r N dp ) Np = br + N (1 rp ) ( ) p r = br + N = br + N τ = brτ + N, τ ou seja, ( δ + br)τ + N > 0. Dessa forma, ( δ + br)τ + N 1 > 1 e, portanto, Com isso, concluímos que C <. p R ω R s ( δ+br)τ+n 1 ds <. 0 Substituindo (2.17) em (2.16) e fazendo ϱ, obtemos ( 1 c θ 1 p + ( 1 θ 1 p ) (m0 ) Ca,p p p p λcc 2 u r p,bp ) u p p,bp Defina ϕ : R + R dada por ϕ(t) = λcc 2 ( 1 r + 1 θ) t r + função atinge seu mínimo absoluto no ponto t = λrcc ( ) 1 ( r ) θ p 1 1 θ p 1 p r > 0. ( 1 θ 1 p ) t p. Essa

68 66 Assim, concluímos que ( 1 c θ 1 ) ( (m0 ) C p p p 1 p a,p λrcc 2 r + 1 ) λrcc ( ) 1 ( r ) θ θ p 1 1 θ p ( 1 + θ 1 ) λrcc ( p r θ) p r ( ) p p 1 1 θ p = = > ( 1 θ 1 ) ( (m0 ) C p p p 1 p a,p θ 1 p + ( 1 θ 1 p ( 1 θ 1 ) (m0 C p a,p uma vez que ( 1 θ 1 p ) λcc ( ( r ) θ) 1 1 θ p ) p p p p ) λcc ( ( r ) θ) 1 1 θ p p r ( r p ) λcc ( p ( r θ) p r ) 1 1 θ p ( 1 θ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p ( r p ) p p r ) r p r λcc ( ) p 1 p r ( r θ 1 1 θ p ) p p r ( r p ( ) p r p r. p ( r p ) r p r r p r ) r p r ( ) p r p r, p ( 1 θ 1 p ) < 1. Mas isso contradiz a hipótese do teorema. Logo, Λ é vazio e segue que u n u em L p (, x bp ). Agora, faremos algumas estimativas para concluir que u n u in D 1,p a. Uma vez que u n u in L r (, x δ), a menos de uma subsequência, existe h L r (, x δ), tal que u n (x) h(x), n N, q.t.p. x em. Dessa forma, como u n (x) u(x), q.t.p. x em, usando (f 2 ) temos x δ f(x, u n ) u(x) C 2 x δ u n r 1 u C 2 x δ h(x) r L 1 ().

69 67 Segue do Teorema da Convergência Dominada que λ x δ f(x, u n )(u n u)dx 0, quando n. Da mesma forma, como u n u in L p (, x bp ), temos x bp u n p 2 u n (u n u)dx 0, quando n. Desde que J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n e (u n ) é limitada, obtemos J (u n )(u n u) 0, quando n. Mas, como u n s 0 e M é contínua e positiva, concluímos que Segue do Lema que u n u in D 1,p a. lim x ap u n p 2 u n (u n u)dx = 0. n Para podermos demonstrar que os pontos críticos obtidos para o funcional J são, ainda, pontos críticos para o funcional I, será necessário a criação de um outro funcional auxiliar. A construção de tal funcional auxiliar segue um procedimento semelhante à construção do funcional auxiliar na Seção 1.3 do Capítulo 1, como veremos no que segue. Nirenberg (1.4), obtemos Utilizando as hipóteses (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e a desigualdade de Caffarelli-Kohn- J(u) = 1 p M 0 ( u p ) λ 1 p u p 0 x δ F (x, u)dx 1 p M(s)ds λ C 2 u r 1 p C u p m 0 p u p λ C 2 u r 1 p C u p g λ ( u p ), x bp u p dx

70 68 em que g λ : [0, + ) R é dada por g λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p 1 p Ct p /p. Procedendo como na Seção 1.3 do Capítulo 1, existe λ 0 > 0 tal que, para cada λ (0, λ 0 ), a função g λ (t) atinge um máximo positivo e existem t 1, t 2 (0, + ), com t 1 < t 2 e g λ (t 1 ) = g λ (t 2 ) = 0. Agora, considere φ C 1 0([0, + )) com 0 φ 1, φ(t) = 1, para todo t [0, t 1 ], φ(t) = 0, para todo t [t 2, + ) e φ (t) 0, para todo t [0, + ). Defina a função ḡ λ : [0, + ) R dada por ḡ λ (t) = m 0 p t λ C 2 t r/p C p φ(t)tp /p. Note que ḡ λ (0) = 0, ḡ λ (t) 0, para todo t t 1 e lim ḡλ(t) m 0 = lim t + t + p t λ C 2 t r/p = +, (2.18) uma vez que r p < 1 e φ(t) = 0, para todo t [t 2, + ). J λ : D 1,p a Para todo λ (0, λ 0 ), definimos o funcional de Euler-Lagrange auxiliar, R, dado por J λ (u) = 1 p M( u p ) λ x δ F (x, u) dx φ( u p ) x bp u p p Uma vez que J λ (u) ḡ λ ( u p ), segue de (2.18) que J λ é coercivo em Da 1,p, o que implica J λ limitado inferiormente em D 1,p a. O lema a seguir é de suma importância para demonstrar que J λ satisfaz uma condição de Palais-Smale local para níveis negativos e, também, para demonstrar que as soluções do problema (2.6) são soluções para o problema (2.1). Lema Se valem (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), e 1 < r < p, então dx. lim t 1(λ) = 0. (2.19) λ 0 +

71 69 Demonstração. Desde que g λ (t 1 (λ)) = 0 e g λ (t 1(λ)) > 0, temos m 0 p = λ C 2 (t 1 (λ)) r p p + 1 p C(t 1 (λ)) p p p (2.20) e m 0 > λr C 2 (t 1 (λ)) r p p + C(t 1 (λ)) p p p, (2.21) para λ (0, λ 0 ). Usando (2.20) e (2.21), obtemos λp C 2 (t 1 (λ)) r p p + p p C(t 1 (λ)) p p p > λr C 2 (t 1 (λ)) r p p + C(t 1 (λ)) p p p, o que implica λ C 2 (p r)(t 1 (λ)) r p p > C (1 pp ) (t 1 (λ)) p p p. (2.22) Conluímos de (2.22) que 0 < t 1 (λ) < λ p p r C 2 (p r) C (1 pp ) p p r. (2.23) Uma vez que p demonstração. > p > r, passando ao limite quando λ 0 + em 2.23 concluímos a Observação Devido ao Lema 2.4.3, podemos considerar λ 0 > 0 tal que t 1 = t 1 (λ) t 0, para cada λ (0, λ 0 ). Além disso, podemos obter λ λ 0 tal que ( 1 θ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p para cada λ (0, λ ). λcc ( ) p 1 p r ( r θ 1 1 θ p ) ( r p ) r p r ( ) p r p r > 0, p Utilizando o Lema 2.4.3, demonstramos o Lema a seguir, que nos dá uma condição para que os funcionais J λ e J, coincidam e uma condição para que J λ verifique

72 70 uma condição de Palais-Smale local. Lema Se J λ (u) < 0, então u p < t 1 e J λ (v) = J(v), para todo v numa vizinhança suficientemente pequena de u. Além do mais, J λ verifica a condição de Palais-Smale para c < 0, para todo λ (0, λ ). Demonstração. Seja u D 1,p a tal que J λ (u) < 0. Uma vez que J λ é contínuo, existe R 0 > 0 tal que J λ (v) < 0, para todo v B(u, R 0 ) D 1,p a, o que implica v p < t 1 (em particular, u p < t 1 ). Com efeito, desde que ḡ λ (t) 0, para todo t t 1, se v p t 1, teríamos ḡ λ ( v p ) 0. Mas, J λ (v) ḡ λ ( v p ), ou seja, teríamos J λ (v) 0. Absurdo! Dessa forma, para todo v B(u, R 0 ), temos φ( v p ) = 1 e, consequentemente, J λ (v) = J(v), para todo v B(u, R 0 ). Agora, seja (u n ) uma sequência tal que J λ (u n ) c < 0 e J λ (u n) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n +. Então J(u n ) = J λ (u n ) c < 0 e J (u n ) = J λ (u n) 0, quando n +. Segue da Observação que, para λ (0, λ ), c < 0 < ( 1 θ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p λcc ( ) 1 ( r θ 1 1 θ p ) p p r ( r p ) r ( ) p p r r p r p Como J λ é coercivo, temos que (u n ) é limitada em D 1,p a. Aplicando o Lema 2.4.2, (u n ) possui uma subsequência que converge forte em D 1,p a. No que segue, iremos construir uma sequência minimax de valores críticos negativos para o funcional J λ. Lema Dado k N, existe ɛ = ɛ(k) > 0 tal que γ(j ɛ ) k, em que J ɛ = {u D 1,p a : J λ (u) ɛ}. Demonstração. Uma vez que C 0 () D 1,p a possui dimensão infinita, para cada k N, existe um subespaço linear de Da 1,p, k-dimensional, X k, tal que X k C0 (). Assim, todas

73 as normas em X k são equivalentes. Logo, existe uma constante positiva C(k), que depende de k, tal que C(k) u r C 1 x δ u r dx, r para todo u X k. Dessa forma, se u X k, segue de (f 2 ) que x δ F (x, u)dx C 1 x δ u r dx C(k) u r. r Seja u X k tal que 0 < u p < t 1. Assim, J λ (u) = J(u). Da continuidade da função M, concluímos que existe C > 0 tal que 71 J(u) C u p λc(k) u r. { ( ) } Tome R = min t 1 1 p 1, λc(k) p r e considere S = {u X C k : u = s} com 0 < s < R. Desde que 1 r < p, para todo u S, obtemos J(u) C u p λc(k) u r ] = s [Cs r p r λc(k) < 0. (2.24) Logo, existe ɛ > 0 tal que J(u) < ɛ, para todo u S. Como J λ (u) = J(u), para todo u S, obtemos S J ɛ. Desde que X k e R k são isomorfos e S e S k 1 são homeomorfos, segue das propriedades de gênero de Krasnoselskii (veja Apêndice, Lema A.3.1) e do Corolário que γ(j ɛ ) γ(s) = k.

74 72 Para cada k N, defina os conjuntos Γ k = {C Da 1,p \{0} : C é fechado, C = C e γ(c) k}, K c = {u D 1,p a : J λ(u) = 0 e J λ (u) = c} e o número c k = inf sup C Γ k u C J λ (u). Lema Para cada k N, c k é um número real negativo. Demonstração. Segue do Lema que, para cada k N, existe ɛ > 0 tal que γ(j ɛ ) k. Além disso, 0 / J ɛ, pois J λ (0) = 0. Também, J ɛ é fechado e simétrico. De fato, é fechado, pois J ɛ = J 1 λ ((, ɛ]) com J λ contínuo e (, ɛ] fechado e é simétrico, pois como J λ é par, J λ (u) = J λ ( u), para todo u D 1,p a. Logo, J ɛ Γ k. e, então, Por outro lado, < c k = inf sup C Γ k u C sup J λ (u) ɛ u J ɛ J λ (u) sup u J ɛ J λ (u) ɛ < 0. para o fucional J. O próximo lema nos permitirá demonstrar a existência de pontos críticos Lema Se c = c k = c k+1 =... = c k+m, para algum m N, então γ(k c ) m + 1, para todo λ (0, λ ). Demonstração. Seja (u n ) uma sequência em K c. Como do Lema 2.4.7, c = c k = c k+1 =... = c k+m < 0, aplicando o Lema temos que (u n ) é limitada e J λ (u n ) = J(u n ), para todo n N. Assim, podemos aplicar o Lema e obter uma subsequência de (u n ), que

75 converge forte em Da 1,p, isto é, K c é um conjunto compacto. Além disso, como J λ é par, K c = K c. Suponha, por contradição, que γ(k c ) m. Como K c é compacto, do Lema A.3.1, existe um conjunto fechado e simétrico U, tal que 73 K c U e γ(u) = γ(k c ) m. Note que podemos tomar U J 0, pois como c < 0, K c J 0. Aplicando o Lema da Deformação (Lema A.3.2), obtemos um homeomorfismo η : Da 1,p Da 1,p, tal que η(j c+δ intu) J c δ, para algum δ > 0, com 0 < δ < c. Como c + δ < 0, temos J c+δ J 0. Uma vez que c = c k+m = inf sup u A sup C Γ k+m u C J λ (u), da definição de ínfimo, existe A Γ k+m J λ (u) < c + δ. Mas, isso implica que A J c+δ e, portanto, tal que η(a intu) η(j c+δ intu) J c δ. (2.25) Agora, como A (A intu) intu, obtemos A (A U) U, pelo Lema A.3.1, temos γ(a) γ(a U) + γ(u). Assim, γ(a U) γ(a) γ(u) (k + m) m = k. Desde que γ é ímpar, aplicando o Lema A.3.1, obtemos γ(η(a U)) γ(a U) k. Como η(a U) é fechado e simétrico, concluímos que η(a U) Γ k. Mas isso contradiz (2.25). Com efeito, como η(a U) Γ k, temos sup J λ (u) c k = c. u η(a U)

76 74 Mas, como J c δ é fechado e η é um homeomorfismo, de (2.25), temos η(a U) J c δ. Logo, para cada u η(a U), temos J λ (u) c δ, ou seja, Absurdo! Portanto, γ(k c ) m + 1. sup J λ (u) c δ. u η(a U) Observação Se < c 1 < c 2 <... < c k <... < 0, pelo Lema 2.4.5, cada c k é um valor crítico negativo de J λ e, assim, obtemos infinitos pontos críticos de J λ, com energia negativa. Novamente, aplicando o Lema 2.4.5, temos que J possui infinitos pontos críticos, ou seja, o problema (2.6) tem infinitas soluções. Por outro lado, se existem duas constantes c k = c k+m, então c = c k = c k+1 =... = c k+m. Do Lema 2.4.8, para todo λ (0, λ ), temos γ(k c ) m Como K c é fechado, simétrico e 0 / K c, segue da Proposição 2.4.1, que K c tem infinitos pontos, isto é, o problema (2.6) tem infinitas soluções, para todo λ (0, λ ) Conclusão da demonstração do Teorema Seja λ (0, λ ) e seja u λ uma solução do problema (2.6) obtida na Observação Assim, J λ (u λ ) = J(u λ ) < 0. Aplicando o Lema 2.4.5, obtemos u λ p t 1 < t 0, e, portanto, M 0 ( u λ p ) = M( u λ p ).

77 75 Logo, u λ é uma solução do problema (2.1). Uma vez que o problema (2.6) possui infinitas soluções, para cada λ (0, λ ), concluímos que o problema (2.1) possui infinitas soluções, para cada λ (0, λ ). 2.5 Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema 2.1.2, o qual diz respeito ao problema (2.1), quando r = p. Para tal, utilizaremos o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7). Entretanto, como dito anteriormente, o funcional de Euler-Lagrange, I, associado ao problema (2.1), definido em (2.2), não satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha. Sendo assim, será necessário trabalharmos com o funcional J, associado ao problema auxiliar (2.6). A princípio, demonstraremos que o funcional J, definido em (2.7), satisfaz a condição de Palais-Smale, para um determinado nível c, quando r = p. Lema Seja (u n ) uma sequência limitada em D 1,p a tal que J(u n ) c e J (u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n. Suponha r = p, (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e c < ( 1 ξ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p, então (u n ) possui uma subsequência fortemente convergente em D 1,p a. Demonstração. Desde que D 1,p a é reflexivo e (u n ) é limitada, passando a uma subsequência, se necessário, obtemos u D 1,p a tal que u n u em D 1,p a, quando n +. Agora, se 1 s < p e σ < (a + 1)s + N(1 s/p), temos que a imersão

78 76 de D 1,p a em L s (, x σ ) é compacta e, portanto, u n u in L s (, x σ ). Daí, obtemos, também, e u n (x) u(x) q.t.p em u n s 0 0, quando n +. Desde que (u n ) é limitada, podemos aplicar o Princípio de Concentração e Compacidade (veja Apêndice, Lema A.2.8) e obter um conjunto de índices, no máximo contável, Λ, sequências (x i ) R N, (µ i ), (ν i ) (0, ), tais que x ap u n p x ap u p + µ e x bp u n p x bp u p + ν, (2.26) quando n +, no sentido fraco de convergência em medidas, em que ν = i Λ ν i δ xi, µ i Λ µ i δ xi e C a,pν p/p i µ i, (2.27) para todo i Λ, em que δ xi é a medida de massa concentrada em x i. Seja k N. Sem perda de generalidade, podemos supor B(0; 2). Então, para cada ϱ > 0, definimos ψ ϱ (x) := ψ((x x k )/ϱ), em que ψ C0 (, [0, 1]) é tal que ψ 1 em B(0; 1), ψ 0 em \ B(0; 2) e ψ 1.

79 77 Observe que (ψ ϱ u n ) é limitada em Da 1,p, com efeito ψ ϱ u n p = = 2 p 1 2p 1 ρ p x ap (ψ ϱ u n ) p dx x ap ( ψ ϱ u n + ψ ϱ u n ) p dx x ap ψ ϱ u n p dx + x ap ψ ϱ u n p dx x ap u n p dx + x ap ψ ϱ u n p dx Ĉ u n p. Assim, obtemos J (u n )(ψ ϱ u n ) 0, isto é, M 0 ( u n p ) Segue de (2.26) e (M 1 ) que x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx = M 0 ( u n p ) + λ + x ap u n p ψ ϱ dx x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx x bp ψ ϱ u n p dx + o n (1). M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν + o n (1). Uma vez que u n u in L r (, x δ), quando n +, a menos de uma subsequência, existe h L r (, x δ), tal que u n (x) h(x), n N, q.t.p em. Como

80 78 u n (x) u(x) q.t.p em, usando (f 2 ) obtemos x δ f(x, u n ) u n (x) ψ ϱ C 2 x δ u n (x) r 1 u n (x) ψ ϱ (x) C 2 x δ h(x) r L 1 (). Segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que quando n +. Assim, obtemos λ x δ f(x, u n )ψ ϱ u n dx λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx, M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν + o n (1). Passando ao limite superior, temos que lim sup M 0 ( u n p ) x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx m 0 x ap u p ψ ϱ dx n m 0 ψ ϱ dµ + λ x δ f(x, u)ψ ϱ udx + x bp ψ ϱ u p dx + ψ ϱ dν. Usando novamente o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue,

81 79 temos que e em que lim ϱ 0 + o ϱ(1) = 0. Logo [ lim lim sup M 0 ( u n p ) ϱ 0 + n x ap u p ψ ϱ dx = o ϱ (1), x δ f(x, u)ψ ϱ udx = o ϱ (1), Agora, mostraremos que [ lim lim sup M 0 ( u n p ) ϱ 0 + n x bp ψ ϱ u p dx = o ϱ (1), ] [ ] x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx lim ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ. ϱ 0 + (2.28) Segue da desigualdade de Hölder que x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ] x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx = 0. (2.29) ( x ap u n p 1 u n ψ ϱ dx = u n p 1 ( ) u n p p 1 ( x dx p ap u n ψ ϱ p x ap x ap u n ψ ϱ p dx ) 1 p. ) 1 p dx Uma vez que u n é limitada em D 1,p a, M é contínua e supp(ψ ϱ ) B(x k ; 2ϱ), existe L > 0 tal que M 0 ( u n p ) ( x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx L B(x k ;2ϱ) ) 1 x ap u n ψ ϱ p p dx. Usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e a desigualde de Hölder,

82 80 obtemos [ lim sup M 0 ( u n p ) n ( L ( L x ap u p ψ ϱ p dx B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) L B(x k ; 2ϱ) 1 N ] x ap u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ) 1 p ( x ap u p) ) N p ( ) 1 N Np N p dx ψ ϱ N N dx B(xk;2ϱ) ( χ B(xk ;2ϱ) ( x ap u p) ) N p N Np N p dx. Fazendo ϱ 0 + na expressão acima, obtemos (2.29). Concluímos de (2.28) que Isto é, [ ] 0 lim ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ. ρ 0 + [ ] 0 lim ψ ϱ dν m 0 ψ ϱ dµ ρ 0 + B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) = ν({x k }) m 0 µ({x k }) ν i δ xi ({x k }) m 0 µ i δ xi ({x k }) i Λ i Λ = ν k m 0 µ k. Assim, Segue de (2.27) que m 0 µ k ν k. ν k ( m 0 C a,p ) p p p. (2.30) Agora, provaremos que (2.30) não pode ocorrer e, dessa forma, o conjunto Λ é vazio. De fato, suponha, por contradição, ν k ( m 0 Ca,p Logo c = J(u n ) 1 θ J (u n )(u n ) + o n (1). ) p p p, para algum k Λ.

83 Uma vez que, para r p, m 0 M 0 (t) ξ p m 0, para todo t R, aplicando (f 3 ) obtemos 81 c = J(u n ) 1 ξ J (u n )(u n ) + o n (1) = 1 p ˆM 0 ( u n p ) λ x δ F (x, u n )dx 1 x bp u p n p dx 1 [ M 0 ( u n p ) x ap u n p dx λ x δ f(x, u n )u n dx ξ ] x bp u n p dx + o n (1) m 0 p u n p ξm 0 ξp u n p λ x δ F (x, u n )dx + λ x δ f(x, u n )u n dx ξ ( 1 + ξ 1 ) x bp u p n p dx + o n (1) ( 1 ξ 1 ) x bp u p n p ψ ϱ dx + o n (1). (2.31) Fazendo n, obtemos ( 1 c ξ 1 ) p ( 1 ξ 1 ) ν p k ( 1 ξ 1 p x bp u p ψ ϱ dx + ) (m0 ) Ca,p p p p. ( 1 ξ 1 ) ψ p ϱ (x j )ν j j Λ (2.32) Mas isso contradiz a hipótese do teorema. Logo, Λ é vazio e segue que u n u em L p (, x bp ). Agora, faremos algumas estimativas para concluir que u n u in D 1,p a. Uma vez que u n u in L r (, x δ), a menos de uma subsequência, existe h L r (, x δ), tal que u n (x) h(x), n N, q.t.p. x em. Dessa forma, como u n (x) u(x), q.t.p. x em, usando (f 2 ) temos x δ f(x, u n ) u(x) C 2 x δ u n r 1 u C 2 x δ h(x) r L 1 ().

84 82 Segue do Teorema da Convergência Dominada que λ x δ f(x, u n )(u n u)dx 0, quando n. Da mesma forma, como u n u in L p (, x bp ), temos x bp u n p 2 u n (u n u)dx 0, quando n. Desde que J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n e (u n ) é limitada, obtemos J (u n )(u n u) 0, quando n. Mas, como u n s 0 e M é contínua e positiva, concluímos que Segue do Lema que u n u in D 1,p a. lim x ap u n p 2 u n (u n u)dx = 0. n Os próximos dois lemas demonstram que o funcional J satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha. Lema Seja λ 1 como definido em (1.10). Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e que r = p. Então, existem números reais positivos, ρ e α, tais que J(u) α > 0, u D 1,p a, com u = ρ, para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Demonstração. Dado u D 1,p a, considere v = u. Note que v x δ u p D1,p a dx e

85 x δ v p dx = 1. Assim, de (1.10), segue que λ 1 x ap v p dx = x ap u p dx x δ u p dx 83 e, portanto, obtemos λ 1 x δ u p dx u p. (2.33) Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Usando (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ), (2.33) e a desigualdade (1.4), J(u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x β u p dx, q 1 u p M 0 (s)ds λ C 2 x δ u p dx 1 p C u p p q 0 m 0 p u p λc 2 λ 1 p u p 1 p C u p ( = m 0 λc ) 2 1 λ 1 p u p 1 p C u. p Desde que p < p e λ < m 0 C 2 λ 1, o resultado segue escolhendo ρ > 0, suficientemente pequeno. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e que r = p. Então, para todo λ > 0, existe e D 1,p a com J(e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Considere v 0 D 1,p a \{0}, tal que v 0 > 0 em. Usando (2.5) e (f 2 ),

86 84 obtemos J(tv 0 ) = 1 p M 0 ( tv 0 p ) λ 1 p tv0 p 0 M 0 (s)ds λc 1 p ξ p 2 m 0t p v 0 p λc 1 p tp x δ F (x, tv 0 )dx 1 p x δ tv 0 p dx 1 p x δ v 0 p dx tp p x bp tv 0 p dx, x bp tv 0 p dx, x bp v 0 p dx. Desde que p < p, temos lim J(tv 0) =. Logo, existe t > 0 suficientemente grande, t + tal que t v 0 > ρ e J( tv 0 ) < 0. O resultado segue escolhendo e = tv 0. Dos Lemas e segue que, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), podemos aplicar o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7) e obter uma sequência (u n ) Da 1,p, satisfazendo J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n +, em que e v 0 D 1,p a é tal que v 0 > 0. 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)), Γ := { γ C([0, 1], D 1,p a ) : γ(0) = 0, γ(1) = tv 0 } A fim de obter o nível c λ abaixo do nível dado pelo Lema 2.5.1, faremos uso de funções extremais, tal como na Seção 1.4 do Capítulo 1. Os dois próximos lemas têm esse propósito. Como visto no Capítulo 1, S a,p,r = inf u R 1,p a,b (RN )\{0} { } x ap u p dx R N x (R N bp u p dx ) p p

87 85 é atingida pelas funções da forma u ε (x) = k a,p (ε)v ε (x), ε > 0, em que k a,p (ε) = cε (N dp)/dp2 e v ε (x) = ) ( (ε + x dp(n p ap) N dp dp ) (p 1)(N dp) Além do mais, u ε satisfaz x ap u ε p dx = R N De (2.34) obtemos R N x bp u ε p dx = ( S a,p,r ) p p p. (2.34) x ap v ε p dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p (2.35) R N e R N x bp v ε p dx = [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p. (2.36) Seja R 0 uma constante positiva e considere Ψ C 0 (R N ) tal que 0 Ψ(x) 1, Ψ(x) = 1, para todo x R 0, e Ψ(x) = 0, para todo x 2R 0. Defina ṽ ε (x) = Ψ(x)v ε (x), (2.37) para todo x R N e para todo ε > 0. Sem perda de generalidade, podemos considerar B(0; 2R 0 ), em que B(x; s) denota a bola centrada em x de raio s. Note, ainda, que ṽ ε D 1,p a. Lema lim ε 0 + ṽ ε p ( x bp ṽ ε p dx ) p/p = 0. Demonstração. Utilizando os mesmos argumentos do Lema 1.4.6, é possível mostrar que ṽ ε p [k a,p (ε)] p ( S a,p,r ) p p p + O(1) (2.38)

88 e x bp ṽ ε p dx = ε N dp dp p O(1), ε (0, 1), (2.39) em que O(1) denota uma constante positiva. Dessa forma, para todo ε (0, 1), de (2.38) e (2.39) obtemos 86 ( ṽ ε p x bp ṽ ε p dx ) p/p [ka,p(ε)] p ( Sa,p,R) p p + O(1) ) N dp p/p dp p O(1) p = [k a,p(ε)] p ( S a,p,r ) p p N dp p ε dp O(1) = [cε(n dp)/dp2 ] p ( S a,p,r ) p = c p ( S a,p,r ) p = c p ( S a,p,r ) p p (N dp) p ε dp p N dp p ε dp p + O(1)ε N dp dp p p N dp p ε dp O(1) O(1) O(1) + N dp dp p + O(1)ε N dp dp p p + O(1)ε N dp dp p (p 1) + O(1)ε N dp dp p Uma vez que p > 1, temos lim ε 0 + ṽ ε p ( x bp ṽ ε p dx ) p/p = 0. Lema Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ) e (f 2 ). Defina {( 1 l = min p m 0 1 ) ( 1 ξ M 0(t 0 ) t 0, ξ 1 ) } (m0 ) C p p p p a,p. Então, existe ε 1 (0, 1) tal que para todo ε ε 1. sup J(tṽ ε ) < l, t 0 Demonstração. Sejam 0 < ε < 1 e ṽ ε como em (2.37). Desde que dos Lemas e o funcional J satisfaz a geometria do Teorema do Passo da Montanha, para λ (0, m 0 C 2 λ 1 ),

89 87 existe t ε > 0 tal que para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Temos, então, sup J(tṽ ε ) = 1 t 0 p M( t ε ṽ ε p ) λ ξ p 2 m 0t p ε ṽ ε p 1 p tp ε sup J(tṽ ε ) = J(t ε ṽ ε ), t 0 x δ F (x, t ε ṽ ε )dx 1 q x bp ṽ ε p dx, x bp t p ε ṽ ε p dx para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Agora, considere a função g : R + {0} R + {0}, definida por É fácil ver que s = g( s) = g(s) = ( ( ) ( ) ξ 1 p m 0 ṽ 2 ε p s p x bp ṽ p ε p dx s p. ξ p m 0 ṽ ε p x bp ṽ ε p dx ) 1 p p ( 1 p 1 ) ( ) p ( ξ p p m p p 0 é um máximo global de g e que ṽ ε p ( x bp ṽ ε p dx ) p/p ) p p p. Logo, ( 1 sup J(tṽ ε ) t 0 p 1 ) ( ) p ( ξ p p m p p 0 ṽ ε p ( x bp ṽ ε p dx ) p/p ) p p p, para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Segue do Lema que existe 0 < ε 1 < 1 tal que para todo ε ε 1 e para cada λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). sup J(tṽ ε ) < l, t 0 Observação Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ) e considere o caminho γ (t) = t( tv ε1 ), para t

90 88 [0, 1], o qual pertence à Γ. Segue do Lema a seguinte estimativa: 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)) sup J(sṽ ε1 ) s 0 < l, para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). O próximo lema nos será útil para demonstrar que uma solução para o problema (2.6) será, também, uma solução para o problema (2.1). Lema Suponha que λ (0, m 0 C 2 λ 1 ) e r = p. Suponha, ainda, as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 2 ) e (f 3 ). Seja (u n ) D 1,p a uma sequência tal que J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Então, existe uma subsequência de (u n ), digamos (u nk ), tal que u nk p t 0, k N. Demonstração. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p > t 0. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p > t 0, para todo k N. Das hipóteses sobre (u n ), temos J(u nk ) c λ e J (u nk ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando k +. Procedendo como na Observação temos que (u nk ) é limitada. Assim, obtemos J (u nk ) (u nk ) J (u nk ) (u nk ) 0,

91 89 quando k +. Mas isto implica que c λ = J(u nk ) 1 ξ J (u nk )(u nk ) + o k (1) 1 M p 0 ( u nk p ) 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1) ( ) 1 m p 0 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1). (2.40) Como m 0 < M(t 0 ) < ξ p m 0, temos 1 p m 0 1 ξ M 0(t 0 ) > 0. Então, obtemos c λ ( 1 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0 > 0. Desde que λ (0, m 0 C 2 λ 1 ), isto contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p t 0, para todo k N Conclusão da demonstração do Teorema Seja λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Segue da Observação 2.5.6, que c λ < ( 1 ξ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p. (2.41) Dos Lemas e e procedendo como na Observação 1.4.3, existe uma sequência limitada (u n ) Da 1,p, tal que J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Desde que (2.41) acontece, segue do Lema que, a menos de uma subsequência, u n u λ fortemente, em Da 1,p. Logo, u λ é uma solução fraca para o problema (2.6), para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ). Aplicando o Lema 2.5.7, concluímos que u λ é uma solução fraca para o problema (2.1), para todo λ (0, m 0 C 2 λ 1 ).

92 Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema 2.1.3, o qual trata do problema (2.1) no caso p-superlinear, ou seja, quando p < r < p. Novamente faremos uso do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale para obter uma solução para esse problema. A demonstração desse Teorema é semelhante à do Teorema 2.1.2, entretanto, assim como na Seção 1.5, não precisaremos trabalhar com o primeiro autovalor associado ao problema (1.10). Lema Seja (u n ) uma sequência limitada em D 1,p a tal que J(u n ) c e J (u n ) 0 em (D 1,p a ) 1, quando n. Suponha p < r < p, (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ), (f 3 ) e c < ( 1 ξ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p, então (u n ) possui uma subsequência fortemente convergente em D 1,p a. Demonstração. Uma vez que (2.5) é válido quando p r < p, a demonstração é análoga à demosntração do Lema Os próximos dois lemas demonstram que o funcional J satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale, para todo λ > 0, quando p < r < p. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e que p < r < p. Então, existem números reais positivos, ρ e α, tais que J 0 (u) α > 0, u D 1,p a, com u = ρ, para todo λ > 0.

93 91 Demonstração. Seja λ > 0. Usando (M 1 ), (f 1 ), (f 2 ) e a desigualdade (1.4), obtemos J(u) = 1 p M 0 ( u p ) λ x δ F (x, u)dx 1 x bp u p dx q 1 u p M 0 (s)ds λ C 2 x δ u r dx 1 p C u p r p 0 m 0 p u p λ C 2 r u r 1 p C u. p Desde que p < r < p, o resultado segue escolhendo ρ > 0, suficientemente pequeno. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (f 1 ), (f 2 ) e que p < r < p. Então, para todo λ > 0, existe e D 1,p a com J 0 (e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Considere v 0 D 1,p a \{0} tal que v 0 > 0 em. Usando (2.5) e (f 2 ), obtemos J(tv 0 ) = 1 p M 0 ( tv 0 p ) λ 1 p tv0 p 0 M 0 (s)ds λc 1 r ξ p 2 m 0t p v 0 p λc 1 r tr x δ F (x, tv 0 )dx 1 p x δ tv 0 r dx 1 p x δ v 0 r dx tp p x bp tv 0 p dx x bp tv 0 p dx x bp v 0 p dx. Desde que p < r < p, temos lim J(tv 0) =. Logo, existe t > 0 suficientemente t + grande, tal que t v 0 > ρ e J( tv 0 ) < 0. O resultado segue escolhendo e = tv 0. Dos Lemas e segue que, para cada λ > 0, podemos aplicar o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale e obter uma sequência (u n ) Da 1,p, satisfazendo J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (D 1,p a ) 1,

94 92 quando n +, em que e v 0 D 1,p a é tal que v 0 > 0. 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)), Γ := { γ C([0, 1], D 1,p a ) : γ(0) = 0, γ(1) = tv 0 } Observação Devido aos Lemas e 2.6.3, o Lema é verdadeiro, para todo λ > 0, quando p < r < p. Assim, se considerarmos o caminho γ (t) = t( tv ε1 ), para t [0, 1], o qual pertence à Γ, obtemos a seguinte estimativa 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)) sup J(sṽ ε1 ) s 0 < l para todo λ > 0. O próximo lema é uma versão do Lema quando p < r < p. Devido à hipótese (f 3 ) e à Observação 2.6.4, sua demonstração é similar à demonstração do Lema Lema Suponha (M 1 ), (M 2 ), (f 2 ), (f 3 ) e p < r < p. Seja (u n ) D 1,p a sequência tal que uma J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Então, existe uma subsequência de (u n ), digamos (u nk ), tal que u nk p t 0, k N. Demonstração. Seja λ > 0. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p > t 0. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p > t 0, para todo k N. Das hipóteses sobre (u n ), temos J(u nk ) c λ e J (u nk ) 0

95 em (Da 1,p ) 1, quando k +. Procedendo como na Observação temos que (u nk ) é limitada. Assim, obtemos 93 J (u nk ) (u nk ) J (u nk ) (u nk ) 0, quando k +. Mas isto implica que c λ = J(u nk ) 1 ξ J (u nk )(u nk ) + o k (1) 1 M p 0 ( u nk p ) 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o k (1) ( ) 1 m p 0 1M ξ 0(t 0 ) u nk p + o n (1). Como m 0 < M(t 0 ) < ξ p m 0, temos 1 p m 0 1 ξ M 0(t 0 ) > 0. Então, obtemos c λ ( 1 p m 0 1 ) ξ M 0(t 0 ) t 0 > 0. O que contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p t 0, para todo k N Conclusão da demonstração do Teorema Seja λ > 0. Segue da Observação que c λ < ( 1 ξ 1 ) (m0 ) C p p p p a,p. (2.42) Dos Lemas e 2.6.3, existe uma sequência limitada (u n ) Da 1,p, tal que J(u n ) c λ e J (u n ) 0 em (Da 1,p ) 1, quando n +. Desde que (2.42) acontece, segue do Lema que, a menos de uma subsequência, u n u λ fortemente, em Da 1,p. Logo, u λ é uma solução fraca para o problema (2.6), para todo λ > 0. Aplicando o Lema 2.6.5, concluímos que u λ é uma solução fraca para o problema (2.1), para todo λ > 0.

96 Capítulo Sistemas de equações de Kirchhoff com expoentes críticos Introdução Nesse capítulo, estudaremos um sistema (p, q)-laplaciano de equações do tipo Kirchhoff com peso e não linearidade, envolvendo um termo (p, q)-superlinear, no qual p pode ser diferente de q, e com expoente crítico de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. O sistema a ser estudado é o seguinte em que L p (u) = λ x c F u (x, u, v) + α x β u α 2 u v γ, em, L q (v) = λ x c F v (x, u, v) + γ x β u α v γ 2 v, em, u = v = 0, em, ( )] L p (u) = [M 1 x a1p u p dx div ( x a1p u p 2 u ), ( )] L q (v) = [M 2 x a2q v q dx div ( x a2q v q 2 v ), (3.1) R N é um domínio suave e limitado, com 0, N 3; 1 < p < N, 1 < q < N, a 1 < N p, a p 2 < N q α, c R, q p + γ q = 1, em que p = Np N d 1 p e q = Nq são os N d 2 q expoentes críticos de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, com d i = 1 + a i b i, a i b i < a i + 1, i = 1, 2 e β = b 1 p = b 2 q. F : R R R é uma função mensurável em e 94

97 continuamente diferenciável em R R e F w é sua derivada parcial com respeito a w. M i : R + {0} R + é uma função contínua, para todo i = 1, as seguintes: As hipóteses sobre as funções contínuas M i : R + {0} R +, i = 1, 2, são (M1) Existem m 1 > 0 e m 2 > 0, tais que M i (t) m i, para todo t 0 e para todo i = 1, 2. (M2) M i é crescente, para todo i = 1, 2. Além de ser uma função mensurável em e continuamente diferenciável em R R, F : R R R satisfaz as seguintes hipóteses (F 1) F u (x, s, t) = F u (x, s, t), para todo (x, s, t) R R e F v (x, s, t) = F v (x, s, t), para todo (x, s, t) R R. (F 2) Existem constantes positivas C 1, C 2, com C 1 < C 2 e θ, δ > 1, com θ p + δ q > 1 e θ p + δ < 1, tais que q C 1 θ s θ 1 t δ F u (x, s, t) C 2 θ s θ 1 t δ, para todo (x, s, t) (R + {0}) (R + {0}) e C 1 δ s θ t δ 1 F v (x, s, t) C 2 δ s θ t δ 1,

98 96 para todo (x, s, t) (R + {0}) (R + {0}). (F 3) Existem ξ 1 (p, p ) e ξ 2 (q, q ) tais que F (x, u, v) 1 ξ 1 F u (x, u, v) u + 1 ξ 2 F v (x, u, v) v, para todo (x, u, v) R R. Observamos que de (F 1) e (F 2), obtemos (F 1 ) F (x, s, t) = F (x, s, t) = F (x, s, t) = F (x, s, t), para todo (x, s, t) R R. Além do mais, de (F 1 ) e (F 2) temos, também, (F 2 ) C 1 s θ t δ F (x, s, t) C 2 s θ t δ, para todo (x, s, t) R R. Supomos, também, c < min{(a 1 + 1)r + N(1 p 0 p ), (a 2 + 1)r + N(1 q 0 q )}, em que p 0 (p, p ) e q 0 (q, q ) são tais que θ p 0 + δ q 0 = 1. Devido à presença dos termos não-locais no sistema (3.1), será necessário fazer um truncamento nas funções do tipo Kirchhoff que aparecem no operador, criando um problema auxiliar, de certa forma, semelhante ao que foi feito no Capítulo 2. Encontrando soluções para esse problema auxiliar, poderemos obter soluções para o problema (3.1). A presença do termo com expoente crítico no sistema, também causa uma certa dificuldade no estudo do problema, devido à falta de compacidade, como veremos posteriormente. Nós estabelecemos dois resultados para o problema (3.1). Em ambos fizemos uso do Teorema do Passo da Montanha para obter soluções para o sistema. No primeiro resultado, supomos p = q. Trabalhando com funções extremais, foi possível obter uma solução não trivial para o problema, para todo λ > 0. O outro resultado diz respeito ao caso em que p pode ser diferente de q. Nesse segundo resultado, também obtemos

99 uma solução não trivial para o problema (3.1), mas para λ suficientemente grande. O problema de p ser diferente de q foi contornado fazendo uso de uma versão do Princípio de Concentração e Compacidade devido a Lions (cf.[43, Lemma 2.1]) e controlando o nível da sequência de Palais-Smale obtida com o Teorema do Passo da Montanha. Os principais resultados desse capítulo são os seguintes: Teorema Suponha p = q, (M1), (M2), (F 1), (F 2), (F 3), a 1 = a 2 e α + γ = p. Então, para todo λ > 0, o problema (3.1) tem ao menos uma solução não trivial. Teorema Suponha (M1), (M2), (F 1), (F 2), (F 3) e α p + γ q 97 = 1. Então, existe λ > 0 tal que o problema (3.1) tem ao menos uma solução não trivial, para cada λ (λ, + ). 3.2 Formulação variacional e resultados preliminares Seja R N um domínio suave e limitado, com 0, N 3, 1 < l < N, a < (N l)/l, a b < a + 1, e l = Nl/(N dl), em que d = 1 + a b. Considere o espaço de Sobolev D 1,l a, definido tal como no Capítulo 1, o qual é o completamento de C 0 () com respeito à norma ( 1/l w = x al w dx) l. Devido à desigualdade (1.4), temos que a imersão de D 1,l a em L r (, x η ) é contínua, em que L r (, x η ) é o espaço de Sobolev com peso L r (), munido da norma ( 1/r w r,η = x η w dx) r. Além do mais, essa imersão é compacta quando 1 r < Nl/(N l) e η < (a + 1)r + N(1 r l ). Denote A = D 1,p a 1 e B = D 1,q a 2. Definimos o espaço de Sobolev E = A B,

100 98 munido da norma ( 1/p ( 1/q (u, v) = u A + v B = x a1p u dx) p + x a2q v dx) q. Desde que nossa abordagem é variacional, procuramos por soluções para o problema (3.1) encontrando pontos críticos do funcional de Euler-Lagrange, I : E R, dado por I(u, v) = 1 p M 1 ( u p A ) + 1 q M 2 ( v q B ) λ x c F (x, u, v)dx x β u α v γ dx, para todo (u, v) E, em que M i (t) := t 0 M i(s)ds, i = 1, 2. Observe que I C 1 (E, R) (veja Apêndice, Teorema A.4.5) e I (u, v)(ϕ, ψ) =M 1 ( u p A ) para todo (ϕ, ψ) E. + M 2 ( v q B ) λ α x a 1p u p 2 u ϕdx x a2q v q 2 v ψdx x c F u (x, u, v)ϕdx λ x c F v (x, u, v)ψdx x β u α 2 u v γ ϕdx γ x β u α v γ 2 vψdx, A próxima proposição é uma versão do Princípio de Concentração e Compacidade devido à Lions (cf. [43, Lemma 2.1]) e nos será útil para demonstrar que o funcional I satisfaz uma condição local de Palais-Smale. Esta versão é uma versão mais geral do teorema dado por Silva e Xavier [52], adaptado para o nosso problema. Sua demonstração pode ser encontrada no Apêndice, Seção A.2.1. Proposição Seja 1 p, q < N. Seja, também, Q C 1 ( R R, R) uma função não negativa, satisfazendo Q(x, 0, 0) = 0, para todo x e (Q 0 ) existe C > 0 tal que, para cada (x, u, v) R R, Q u (x, u, v) C( u p 1 + v q (p 1) p + 1),

101 99 Q v (x, u, v) C( u p (q 1) q + v q 1 + 1). Seja {(u n, v n )} E uma sequência tal que (u n, v n ) (u, v), fracamente, em E. Suponha que x a1p u n p dx µ, x a2q v n q dx σ, x β Q(x, u n, v n )dx ν, no sentido fraco* de convergência em medidas, em que µ, σ e ν são medidas não negativas e limitadas em. Então, existem um conjunto Λ, no máximo contável, famílias (µ j ) j Λ, (σ j ) j Λ e (ν j ) j Λ de números reais positivos e uma família (x j ) j Λ de pontos de tais que ν = x β Q(x, u, v)dx + j Λ ν j δ xj, (3.2) µ x a 1p u p dx + j Λ µ j δ xj, (3.3) σ x a 2q v q dx + j Λ σ j δ xj. (3.4) Além disso, existe uma constante C > 0 tal que µ p /p j + σ q /q j Cν j. (3.5) 3.3 O problema auxiliar Afim de provar os Teoremas e 3.1.2, faremos uso do Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale. Porém, uma vez que o problema (3.1) envolve um termo com crescimento crítico e um operador não-local sem muito conhecimento sobre o comportamento das funções M 1 e M 2 no infinito, necessitamos fazer um truncamento nessas funções. Dessa forma, será possível demonstrar que o funcional de Euler-Lagrange associado ao problema (3.1) possui a geometria do Passo da Montanha. Defina m 0 = min{m 1, m 2 }. Segue de (M2) que existem t 1, t 2 > 0 tais que

102 100 m 0 M 1 (0) < M 1 (t 1 ) < ξ 1 p m 0 e m 0 M 2 (0) < M 2 (t 2 ) < ξ 2 q m 0. Definimos M 1 (t), se 0 t t 1, M t1 (t) := M 1 (t 1 ), se t t 1, e M 2 (t), se 0 t t 2, M t2 (t) := M 2 (t 2 ), se t t 2. Novamente, usando (M 2), obtemos m 0 M t1 (t) < ξ 1 p m 0 e m 0 M t2 (t) < ξ 2 q m 0, t 0. (3.6) A demonstração dos Teoremas e será baseada no estudo do seguinte problema auxiliar L 1 p(u) = λ x c F u (x, u, v) + α x β u α 2 u v γ, em, L 2 q(v) = λ x c F v (x, u, v) + γ x β u α v γ 2 v, em, (3.7) u = v = 0, em, em que e dado por ( )] L 1 p(u) := [M t1 x a1p u p dx div ( x a1p u p 2 w ) ( )] L 2 q(v) := [M t2 x a2q v q dx div ( x a2q v q 2 v ). O funcional de Euler-Lagrange, J : E R, associado ao problema (3.7) é J(u, v) = 1 p M t1 ( u p A ) + 1 q M t2 ( v q B ) λ x c F (x, u, v)dx x β u α v γ dx,

103 para todo (u, v) E, em que M ti (t) := t 0 M t i (s)ds, i = 1, 2. Note que J C 1 (E, R) e J (u, v)(ϕ, ψ) =M t1 ( u p A ) para todo (ϕ, ψ) E. + M t2 ( v q B ) λ α x a 1p u p 2 u ϕdx x a2q v q 2 v ψdx x c F u (x, u, v)ϕdx λ x c F v (x, u, v)ψdx x β u α 2 v γ uϕdx γ x β u α v γ 2 vψdx, A condição de Palais-Smale Nessa seção, verificaremos que, sob as hipóteses (M 1 ), (M 2 ), (F 1 ) e (F 2 ), o funcional J satisfaz a condição de Palais-Smale, para um determinado nível. Lema Seja {(u n, v n )} uma sequência limitada em E tal que J(u n, v n ) c e J (u n, v n ) 0 em E 1, quando n. Suponha que (M 1 ), (M 2 ), (F 1 ) e (F 2 ) sejam válidas e que c < { ( ) p m p em que K p,q = min p 0, 2(α+γ)C ) q } q q. Então, {(u n, v n )} possui uma subsequência que converge forte em E. ( α + γ ) m0 1 ξ 1 ξ 2 α + γ K p,q, ( m 0 2(α+γ)C Demonstração. Desde que E é reflexivo e {(u n, v n )} é limitada em E, passando a uma subsequência, se necessário, obtemos u E tal que (u n, v n ) (u, v) em E quando n +. Como a imersão de E em L r (, x a ) L s (, x b ) é compacta, sempre

104 102 que 1 r < p, 1 s < q, a < (a 1 + 1)r + N(1 r/p) e b < (a 2 + 1)s + N(1 s/q), temos (u n, v n ) (u, v) em L r (, x a ) L s (, x b ), quando n +, em que 1 r < p, 1 s < q, a < (a 1 + 1)r + N(1 r/p) e b < (a 2 + 1)s + N(1 s/q). Daí, obtemos, também, u n (x) u(x) q.t.p. em, v n (x) v(x) q.t.p. em e u n A t 0 0, v n B s 0 0, quando n. Além disso, como {(u n, v n )} é limitada e Q(x, u, v) = u α v γ satisfaz (Q 0 ), podemos aplicar a Proposição para obter um conjunto de índices, no máximo contável, Λ e sequências {x j } R N, {µ j }, {σ j }, {ν j } (0, + ) tais que x a 1p u n p dx µ, x a 2q v n q dx σ, x β u n α v n γ dx ν, (3.8) quando n +, no sentido fraco de convergência em medidas, em que ν = x β u α v γ dx + j Λ ν j δ xj, (3.9) µ x a 1p u p dx + j Λ µ j δ xj, (3.10) σ x a 2q v q dx + j Λ σ j δ xj, (3.11) para todo j Λ, sendo δ xj existe C > 0 tal que a medida de massa concentrada em x j. Além do mais, µ p /p j + σ q /q j Cν j, (3.12) para todo j Λ. Agora, seja k N. Sem perda de generalidade, podemos supor B(0; 2).

105 103 Para cada ϱ > 0, definimos ψ ϱ (x) := ψ((x x k )/ϱ), em que ψ C0 (, [0, 1]) é tal que ψ 1 em B(0; 1), ψ 0 em \ B(0; 2) e ψ 1. Observe que (ψ ϱ u n, ψ ϱ v n ) é limitada em E. De fato, como (ψ ϱ u n, ψ ϱ v n ) = ψ ϱ u n A + ψ ϱ v n B, ψ ϱ u n p A = x a1p (ψ ϱ u n ) p dx = x a1p ( ψ ϱ u n + ψ ϱ u n ) p dx ( ) 2 p 1 x a1p ψ ϱ u n p dx + x a1p ψ ϱ u n p dx ( ) 1 2 p 1 x a1p u ϱ p n p dx + x a1p ψ ϱ u n p dx Ĉ u n p A e, da mesma forma, ψ ϱ v n q B C v n q B, concluímos que {(ψ ϱ u n, ψ ϱ v n )} é limitada em E. Logo J λ(u n, v n )(ψ ϱ u n, ψ ϱ v n ) 0, quando n +, isto é, M t1 ( u n p A ) u n u n p 2 u n ψ ϱ dx + M x a t2 ( v n q 1p B ) v n v n q 2 v n ψ ϱ dx x a 2q = M t1 ( u n p A ) x a1p u n p ψ ϱ dx M t2 ( v n q B ) x a2q v n q ψ ϱ dx + λ x c F u (x, u n, v n )ψ ϱ u n dx + λ x c F v (x, u n, v n )ψ ϱ v n dx + (α + γ) x β u n α v n γ ψ ϱ dx + o n (1)

106 104 m 0 x a1p u n p ψ ϱ dx m 0 x a2q v n q ψ ϱ dx + λ x c F u (x, u n, v n )ψ ϱ u n dx + λ x c F v (x, u n, v n )ψ ϱ v n dx + (α + γ) x β u n α v n γ ψ ϱ dx + o n (1). Usando (3.8) e o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos lim sup [M t1 ( u n pa ) u n u n p 2 ] u n ψ ϱ dx + M n + x a t2 ( v n q 1p B ) v n v n q 2 v n ψ ϱ dx x a 2q m 0 x a1p u p ψ ϱ dx m 0 µ j δ j (ψ ϱ ) m 0 j Λ x a2q v q ψ ϱ dx m 0 σ j δ j (ψ ϱ ) j Λ + λ x c F u (x, u, v)ψ ϱ udx + λ x c F v (x, u, v)ψ ϱ vdx + (α + γ) x β u α v γ ψ ϱ dx + (α + γ) ν j δ j (ψ ϱ ). j Λ Novamente, aplicando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, concluímos que e em que lim ϱ 0 + o ϱ(1) = 0. x a1p u p ψ ϱ dx = o ϱ (1), x a2q v q ψ ϱ dx = o ϱ (1), x δ F u (x, u, v)ψ ϱ udx = o ϱ (1), x δ F v (x, u, v)ψ ϱ vdx = o ϱ (1), x β u α v γ ψ ϱ dx = o ϱ (1),

107 105 Dessa forma, obtemos { lim lim sup [M t1 ( u n pa ) u n u n p 2 u n ψ ϱ ρ 0 + n + x a 1p ]} + M t2 ( v n q B ) v n v n q 2 v n ψ ϱ dx x a 2q [ m 0 µ j δ j (ψ ϱ ) m 0 lim ρ 0 + j Λ dx j Λ σ j δ j (ψ ϱ ) + (α + γ) j Λ ν j δ j (ψ ϱ ) ]. (3.13) Agora, mostraremos que { lim lim sup [M t1 ( u n pa ) x a1p u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ρ 0 + n + ]} + M t2 ( v n q B ) x a2q v n v n q 2 v n ψ ϱ dx = 0. (3.14) Primeiramente, observe que, da desigualdade de Hölder, x a1p u n u n p 2 u n ψ ϱ dx ( x a 1p u n p 1 u n ψ ϱ dx = u n p 1 A u n p x dx a 1p ( ) p 1 p ( u n ψ ϱ p x a 1p ) 1 p. x a1p u n ψ ϱ p dx ) 1 p dx Uma vez que (u n ) é limitada em D 1,p a, M t1 e M t2 são contínuas e supp(ψ ϱ ) B(x k ; 2ϱ), existe L 1 > 0 tal que M t1 ( u n p ) Analogamente, existe L 2 > 0 tal que M t2 ( v n q ) ( x a1p u n u n p 2 u n ψ ϱ dx L 1 ( x a2q v n v n q 2 v n ψ ϱ dx L 2 B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) ) u n ψ ϱ p 1 p dx x a 1p. ) v n ψ ϱ q 1 q dx x a 2q. Logo, usando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e a desigualdade de

108 106 Hölder, obtemos lim sup [M t1 ( u n pa ) x a1p u n u n p 2 u n ψ ϱ dx n + ] + M t2 ( v n q B ) x a2q v n v n q 2 v n ψ ϱ dx ( ) u ψ ϱ p 1 ( p L 1 dx x a 1p + L2 L 1 ( + L 2 ( B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) B(x k ;2ϱ) L 1 B(x k ; 2ϱ) 1 N + L 2 B(x k ; 2ϱ) 1 N ( x a 1 p u p) N N p dx B(x k ;2ϱ) ) N p Np v ψ ϱ q dx x a 2q ) 1 q ( ψ ϱ N dx B(xk;2ϱ) ) 1 N ( x a 2 q v q) ) N q ( ) 1 N Nq N q dx ψ ϱ N N dx B(xk;2ϱ) ( ( χ B(xk ;2ϱ) χ B(xk ;2ϱ) ( x a 1 p u p) ) N p N Np N p dx ( x a 2 q v q) ) N q N Nq N q dx. Fazendo ϱ 0 + na expressão acima, segue do Teorema da Convergência Dominada que (3.14) ocorre. Assim, concluímos de (3.13) que Isto é, 0 lim ρ lim ρ 0 + = lim ρ 0 + [ m 0 µ j δ j (ψ ϱ ) m 0 [ m 0 ( [ m 0 ( j Λ ψ ϱ dµ + ψ ϱ dµ + B(x k ;2ϱ) j Λ σ j δ j (ψ ϱ ) + (α + γ) j Λ ) ψ ϱ dσ + (α + γ) ) B(x k ;2ϱ) ψ ϱ dσ = m 0 µ({x k }) m 0 σ({x k }) + (α + γ)ν({x k }) = m 0 (µ k + σ k ) + (α + γ)ν k. ] ψ ϱ dν + (α + γ) ν j δ j (ψ ϱ ) B(x k ;2ϱ) ]. ] ψ ϱ dν

109 107 Logo, de (3.12) obtemos m 0 (µ k + σ k ) (α + γ)ν k (α + γ)c(µ p /p k + σ q /q k ). (3.15) implica m 0 Faça τ = µ k + σ k. Temos que 0 < m 0 τ (α + γ)c(τ p /p + τ q /q ), o que (α + γ)c τ p p 1 + τ q q 1. Definindo r 1 = p p 1 e r 2 = q q 1, se τ < 1, temos τ r 1 + τ r 2 2τ min{r 1,r 2 }. Se τ 1, temos τ r 1 + τ r 2 2τ max{r 1,r 2 }. Portanto, { ( m 0 τ min 2(α + γ)c { ( m 0 = min 2(α + γ)c = K p,q. ) 1 min{r 1,r 2 }, ( ) 1 r 1, ( m 0 2(α + γ)c m 0 2(α + γ)c ) } 1 r 2 ) } 1 max{r 1,r 2 } (3.16) Segue de (3.15) e (3.16) que ν k m 0 α + γ τ m 0 α + γ K p,q. (3.17) Agora, provaremos que (3.17) não pode ocorrer e, portanto, Λ é vazio. De fato, suponha, por contradição, que (3.17) seja válida, para algum k Λ. Uma vez que

110 108 m 0 M t1 (t) ξ 1 p m 0 e m 0 M t2 (t) ξ 2 q m 0, para todo t R, de (F 3) obtemos c = J(u n, v n ) J (u n, v n ) ( u n ξ 1, v n ξ 2 ) + o n (1) 1 p m 0 u n p A 1 ξ 1 M t1 ( u n p A ) u n p A Fazendo n +, + 1 q m 0 v n q B 1 M t2 ( v n q B ξ ) v n q B ( 2 α + + γ ) 1 x β u n α v n γ dx + o n (1) ξ 1 ξ 2 m 0 p u n p A 1 ξ 1 ξ 1 p m 0 u n p A + m 0 q v n q B 1 ξ 2 ξ 2 q m 0 v n q B ( α + + γ ) 1 x β u n α v n γ dx + o n (1) ξ 1 ξ 2 ( α + γ ) 1 x β u n α v n γ ψ ϱ dx + o n (1). ξ 1 ξ 2 ( α c + γ ) 1 ξ 1 ξ 2 ( α = + γ ) 1 ξ 1 ξ 2 ( α + γ ) 1 ν k ξ 1 ξ ( 2 α + γ 1 ξ 1 ξ 2 ) m0 x β u α v γ ψ ϱ dx + x β u α v γ ψ ϱ dx + α + γ K p,q. ( α + γ ) 1 ν j δ xj (ψ ϱ ) ξ 1 ξ 2 j Λ ( α + γ ) 1 ν j ψ ϱ (x j ) ξ 1 ξ 2 Mas isso contradiz a hipótese do teorema. Logo Λ é vazio e segue que x β u n α v n γ dx j Λ x β u α v γ dx. (3.18) No que segue, demonstraremos que (u n, v n ) (u, v) em E. Desde que (u n, v n ) (u, v) em L θ (, x c ) L δ (, x c ), Segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que λ x c F u (x, u, v)(u n u)dx 0,

111 quando n +. Também, de (3.18) e do Teorema da Convergência Dominada e do Lema de Brezis-Lieb (veja Apêndice, Teorema A.2.4), obtemos x β u n α 2 u n v n γ (u n u)dx 0, quando n +. Como {(u n, v n )} é limitada em E, temos J (u n, v n )(u n u, 0) 0, em R, quando n +. Assim, uma vez que u n A t 0 0, quando n + e M t1 é contínua e positiva, obtemos lim x a1p u n p 2 u n (u n u)dx = 0. n Segue do Lema que u n u in D 1,p a 1, quando n +. Pelos mesmos argumentos, obtemos v n v em D 1,q a 2, quando n +. Concluímos então, que (u n, v n ) (u, v) em E, quando n Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema Lembramos o leitor que estamos supondo p = q como hipótese desse resultado. Além disso, consideramos a 1 = a 2, o que implica E = D 1,p a 1 D 1,p a 1. Os próximos dois lemas mostram que o funcional J possui a geometria do Passo da Montanha. Antes de demonstrá-los, observe que como p = q, então p < θ+δ < p e α + γ = p. Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M1), (M2), (F 1), (F 2) e que p = q. Então, existem números reais positivos ρ e ζ tais que J(u, v) ζ > 0, (u, v) E com (u, v) = ρ. Demonstração. Seja (u, v) E tal que (u, v) 1. De (M1), (F 1), (F 2), (1.4) e da

112 110 desigualdade de Young, obtemos J(u, v) = 1 p M t1 ( u p A ) + 1 p M t2 ( v p A ) λ x β u α v γ dx m 0 p u p A + m 0 p v p A λc 2 m 0 p u p A + m 0 p v p A λ θc 2 θ + δ α x β u p dx γ p p x c F (x, u, v)dx x c u θ v δ dx x c u θ+δ dx λ δc 2 θ + δ x β v p dx m 0 p u p A + m 0 p v p A λ C 2 u θ+δ θ+δ A λĉ2 v A ( m0 p u p A (λ C 2 + αp ) ) u θ+δ A + ( m0 p v p A x β u α v γ dx x c v θ+δ dx α p u p A γ p v p A (λĉ2 + γp ) v θ+δ A Desde que p < θ + δ, tomando ρ (0, 1) suficientemente pequeno, existe ζ > 0 tal que J(u, v) ζ > 0, para todo (u, v) E com (u, v) = ρ. ). Lema Suponha que sejam válidas as hipóteses (M1), (M2), (F 1), (F 2) e que p = q. Então, para todo λ > 0, existe e E, com J(e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Fixe (u 0, v 0 ) E com u 0, v 0 > 0 em. Usando (3.6) e (F 2), obtemos J(tu 0, tv 0 ) = 1 p M t1 ( tu 0 p A ) + 1 p M t2 ( tv 0 p A ) λ x c F (x, tu 0, tv 0 )dx x β t p u α 0 v γ 0 dx ξ 1 p m 0t p u 0 p A + ξ 2 p m 0t p v 0 p A λc 1t θ+δ x c u θ 0v δ 0dx. Desde que θ + δ > p, temos lim J(tu 0, tv 0 ) =. t Assim, existe t 0 > 0 suficientemente grande, tal que (t 0 u 0, t 0 v 0 ) > ρ e J(t 0 u 0, t 0 v 0 ) < 0.

113 111 O resultado segue considerando e = (t 0 u 0, t 0 v 0 ). Aplicando o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7), obtemos uma sequência {(u n, v n )} E, satisfazendo J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0, em E 1 (dual de E), (3.19) quando n +, em que c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)), Γ := {γ C([0, 1], E) : γ(0) = 0, γ(1) = (t 0 u 0, t 0 v 0 )} e (u 0, v 0 ) E é tal que u 0, v 0 > 0 em. Observação Desde que {(u n, v n )} E, satisfaz J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0, em E 1, quando n +, temos {(u n, v n )} limitada em E. De fato, usando (3.19), (F 3) e (3.6), obtemos c λ + o n (1) (u n, v n ) J(u n, v n ) J (u n, v n ) ( 1 ξ 1 u n, 1 ξ 2 v n ) m 0 p u n p A 1 ξ 1 M t1 ( u n p A ) u n p A + m 0 q v n q B 1 M t2 ( v n q B ξ ) v n q B ( 2 α + + γ ) 1 x β u n α v n γ dx ξ 1 ξ 2 [ m0 p 1 ] [ M t1 (t 1 ) u n p A ξ + m0 1 q 1 ] M t2 (t 2 ) v n q B ξ. 2 (3.20) Suponha, por contradição, que {(u n, v n )} não seja limitada em E, isto é, a menos de uma subsequência, (u n, v n ) +, quando n +. Como de (3.6) temos m 0 p 1 ξ 1 M t1 (t 1 ) > 0 e m 0 q 1 ξ 2 M t2 (t 2 ) > 0, fazendo n + em 3.20, obtemos uma contradição. Logo, {(u n, v n )} é limitada em E.

114 112 Na Observação não substituímos p = q e A = B propositalmente, pois esta observação também será útil na demonstração do Teorema Afim de obter o nível c λ da sequência de Palais-Smale, obtida com o Teorema do Passo da Montanha, abaixo do valor dado pelo Lema 3.4.1, precisaremos fazer algumas estimativas utilizando funções extremais, tal como foi feito na Seção 1.4 do Capítulo 1. Definimos o espaço W 1,p a 1,b 1 () = { u L p (, x b 1p ) : u L p (, x a 1p ) }, munido da norma u W 1,p a 1,b 1 () = u p,b 1 p + u p,a 1 p. Consideramos a melhor constante do tipo Caffarelli-Kohn-Nirenberg dada por S a1,p = inf u W 1,p a 1,b 1 (R N )\{0} { R N x a 1p u p dx (R N x b 1p u p dx ) p p } Também, definimos R 1,p a 1,b 1 () como sendo o subespaço de W 1,p a 1,b 1 () formado pelas funções radiais, mais precisamente R 1,p a 1,b 1 () = { u W 1,p a 1,b 1 () : u(x) = u( x ) }, com respeito à norma induzida u R 1,p a 1,b 1 () = u W 1,p a 1,b 1 (). Tal como visto no Capítulo 1, S a1,p,r = inf u R 1,p a 1,b 1 (R N )\{0} } x a1p u p dx R N x (R b 1p u N p dx ) p p {

115 113 é atingida pelas funções da forma u ε (x) = k a1,p(ε)v ε (x), ε > 0, em que k a1,p(ε) = cε (N d 1p)/d 1 p 2 e v ε (x) = ( ) ( ) N d1 p ε + x d 1 p(n p a 1 p) d 1 p (p 1)(N d 1 p) Além do mais, u ε satisfaz x a1p u ε p dx = x R N R N De (3.21) obtemos b 1p u ε p dx = ( S a1,p,r) p p p. (3.21) x a1p v ε p dx = [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p (3.22) R N e R N x b 1p v ε p dx = [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p. (3.23) Seja R 0 uma constante positiva e considere Ψ C 0 (R N ) tal que 0 Ψ(x) 1, Ψ(x) = 1, para todo x R 0 e Ψ(x) = 0, para todo x 2R 0. Defina ṽ ε (x) = Ψ(x)v ε (x), (3.24) para todo x R N B(0; 2R 0 ). Lema e para todo ε > 0. Sem perda de generalidade, podemos considerar lim ε 0 + ṽ ε p A ( x b 1p ṽ ε p dx ) p/p = 0. Demonstração. Afirmamos que ṽ ε p A [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + O(1) (3.25)

116 e 114 x b 1p ṽ ε p dx = ε N d 1 p d 1 p p O(1), ε (0, 1), (3.26) em que O(1) denota uma constante positiva. Antes de demonstrarmos as estimati- ), em que ( vas (3.25) e (3.26), note que podemos escrever v ε (x) = (ε + x c 1 ) N d1 p d 1 p c 1 = d 1p(N p a 1 p) (p 1)(N d 1 p). Assim, e ( 1 v ε (x) = ε + x c 1 = 1 x c 1 (N d 1 p) d 1 p 1 x N p a 1 p p 1 ) N d 1 p d 1 p v ε (x) = N + d 1 p c 1 x c 1 1 d 1 p ε + x c 1 N/d 1 p N + d 1 p d 1 p c 1 x N+a1p+1 p 1 (3.27) (3.28) Agora, provaremos (3.25). Observe que ṽ ε p A = x a1p (Ψv ε ) p dx = x a1p (Ψv ε ) p dx B(0;2R 0 ) = x a1p v ε p dx + B(0;R 0 ) = x a1p v ε p dx + R N x a1p v ε p dx. R N \B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x a 1p (Ψv ε ) p dx x a 1p (Ψv ε ) p dx

117 115 Usando (3.22) obtemos ṽ ε p A = [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + R N \B(0;R 0 ) x a 1p v ε p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x a 1p (Ψv ε ) p dx = [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + x a1p Ψ v ε + v ε Ψ p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x a1p v ε p dx x a1p v ε p dx R N \B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + 2 p 1 x a1p ( Ψ p v ε p + v ε p Ψ p )dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x a1p v ε p dx x a1p v ε p dx R N \B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + (2 p 1 1) x a1p v ε p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) + 2 p 1 x a1p v ε p Ψ p dx. B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) Da escolha de Ψ C 0, existe C > 0 tal que Ψ (x) C, para todo x R N. Logo ṽ ε p A [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + (2 p 1 1) x a1p v ε p dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) + 2 p 1 C p x a1p v ε p dx. B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) (3.29) Substituindo (3.27) e (3.28) em (3.29), obtemos ṽ ε p A [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + (2 p 1 1) ( N + d 1 p)c 1 d 1 p + 2 p 1 C p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) x a 1p x ( N+p+a 1 p)p p 1 dx x a1p x ( N+a 1 p+1)p p 1 dx

118 116 = [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p p + (2 p 1 1) ( N + d 1 p)c 1 d 1 p + 2 p 1 C p x ( N+a 1 +p)p p 1 dx B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + (2 p 1 1) ( N + d 1 p)c 1 d 1 p ( p 1 C p B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) R 0 p = [k a1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + C (R 0 ), B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) B(0;2R 0 )\B(0;R 0 ) ) (N a 1 p)p p 1 dx x ( N+a 1 +1)p p 1 dx ( 1 R 0 ) (N a 1 1)p p 1 dx isto é, ṽ ε p A [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p p p + O(1), o que demonstra (3.25). No que se segue, demonstraremos (3.26). Temos x b 1p ṽ ε p dx B(0;R 0 ) x b 1p v ε p dx B(0;R 0 )\B(0; R 0 2 ) x b 1p ( 1 ε + x c 1 ) (N d 1 p)p d 1 p dx. Fazendo uma mudança de variáveis em coordenadas polares, obtemos x b 1p ṽ ε p dx ω N R0 R 0 2 r b1p ( 1 ε + r c 1 ) (N d 1 p)p d 1 p R0 = ω N (εr c1 + 1) (N d 1 p)p d 1 p R 0 2 ω N (ε = ( ε ( R0 2 ( R0 2 ) c1 + 1 ) c1 + 1 ) (N d 1 p)p d 1 p R0 ) (N d 1 p)p d 1 p r N 1 dr r b 1p (N d +N 1 c 1 p)p 1 d 1 p dr C (R 0 ). R 0 2 r b1p +N 1 c1 (N d 1 p)p d 1 p dr

119 117 em que ω N representa a medida da S N 1. Assim, para ε < 1 temos ( (R0 ) c1 x b 1p ṽ ε p dx > = C (R 0 ). ) (N d 1 p)p d 1 p C (R 0 ) (3.30) Por outro lado, novamente fazendo uma mudança de variáveis em coordenadas polares, obtemos x b 1p ṽ ε p dx = uma vez que b 1 p + N 1 > 1. = B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 ) B(0;2R 0 ) ε (N d 1 p)p d 1 p Segue de (3.30) e (3.31) que C (R 0 ) x b 1p Ψv ε p dx x b 1p v ε p dx x b 1p ( B(0;2R 0 ) = ε (N d 1 p)p 2R0 d 1 p ω N 0 d 1 p, = C (R 0 ) ε (N d 1 p)p 1 ε + x c 1 x b 1p dx ) (N d 1 p)p d 1 p r b 1p +N 1 dr x b 1p ṽ ε p dx C (R 0 ) ε (N d 1 p)p d 1 p. dx (3.31) Considere a função f : R + {0} R + {0} dada por f(t) = t ε (N d 1 p)p d 1 p. Desde que f é contínua e f(0) < x b 1p ṽ ε p dx f( C (R 0 )), segue do Teorema do Valor Médio que existe t > 0 tal que f( t) = x b 1p ṽ ε p dx, isto é, x b 1p ṽ ε p dx = t ε (N d 1 p)p d 1 p = ε (N d 1 p)p d 1 p O(1), para todo ε (0, 1), o que demonstra (3.26).

120 118 Finalmente, para todo ε (0, 1), de (3.25) e (3.26) obtemos ( ṽ ε p A x b 1p ṽ ε p dx ) p/p [ka1,p(ε)] p ( Sa1,p,R) p p + O(1) ) (ε N d 1 p p/p d 1 p p O(1) p = [k a 1,p(ε)] p ( S a1,p,r) p N d 1 p p p ε d 1 p O(1) = [cε(n d 1p)/d 1 p 2 ] p ( S a1,p,r) p = c p ( S a1,p,r) p = c p ( S a1,p,r) p (N d 1 p) p p ε d 1 p N d 1 p p p ε d 1 p O(1) p + O(1)ε N d 1 p d 1 p p N d 1 p p p ε d 1 p O(1) O(1) + N d 1 p d 1 p p + O(1)ε N d 1 p d 1 p p p + O(1)ε N d 1 p d 1 p p (p 1) + O(1)ε N d 1 p d 1 p p Uma vez que p > 1, temos lim ε 0 + ṽ ε p A ( x b 1p ṽ ε p dx ) p/p = 0. Lema Suponha (M1), (M2), (F 1), (F 2) e p = q. Defina {( 1 l = min p m 0 1 ) M 1 (t 1 ) ξ 1 ( α + γ ) m0 1 ξ 1 ξ 2 p ( 1 t 1, ( m0 2p C p m 0 1 ) M 2 (t 2 ) t 2, ξ } 1 ) p p p. Então, existe ε 1 (0, 1) tal que para todo ε ε 1. sup J(t(ṽ ε, ṽ ε )) < l, t 0 Demonstração. Sejam 0 < ε < 1 e ṽ ε como em (3.24). Desde que dos Lemas e 3.5.2, o funcional J satisfaz a geometria do Teorema do Passo da Montanha, existe t ε > 0

121 119 tal que Como p = q, temos sup J(t(ṽ ε, ṽ ε )) = J(t ε (ṽ ε, ṽ ε )). t 0 sup t 0 J(t(ṽ ε, ṽ ε )) = 1 p M t1 ( t ε ṽ ε p A ) + 1 p M t2 ( t ε ṽ ε p A ) λ x c F (x, t ε ṽ ε, t ε ṽ ε )dx ξ 1 + ξ 2 m p 2 0 t p ε ṽ ε p A tp ε x β ṽ ε p dx. x β t p ε ṽ ε p dx Agora, considere a função g : R + {0} R + {0}, definida por É fácil ver que s = ( ) ( ) ξ1 + ξ 2 g(s) = m p 2 0 ṽ ε p A s p x β ṽ ε p dx s p. ( ξ1 +ξ 2 ) m p 0 ṽ ε p 1 p p A p x β ṽ ε p dx é um máximo global de g e que ( ) ( ξ 1 +ξ 2 ξ1 + ξ 2 m g( s) = m p 2 0 ṽ ε p p 0 ṽ ε p A A p x β ṽ ε p dx = = ( x β ṽ ε p dx ( ξ1 + ξ 2 p 2 m 0 ( ξ1 +ξ 2 ) p p m p p 0 p ( 1 p 1 p ) ( ξ 1 +ξ 2 m p 0 ṽ ε p A p x β ṽ ε p dx ) ( ξ 1 +ξ 2 ) p p m p p 0 p ) ( ξ 1 +ξ 2 p ( ṽ ε p A ) p p p ( x β ṽ ε p dx ) p p p ) p p m p 0 (p ) p p p ( ) p p p ) p p p ( ṽ ε p A ) p p p ( x β ṽ ε p dx ) p p p ṽ ε p A ( x β ṽ ε p dx ) p/p ) p p p.

122 120 Logo, ( 1 sup J(t(ṽ ε, ṽ ε )) t 0 p 1 p ) ( ξ 1 +ξ 2 p ) p p m p 0 (p ) p p p ( ṽ ε p A ( x β ṽ ε p dx ) p/p ) p p p. Segue do Lema qu existe 0 < ε 1 < 1 tal que para todo ε ε 1. sup J(t(ṽ ε, ṽ ε )) < l, t 0 Observação Considere o caminho γ (t) = t(t 0 ṽ ε1, t 0 ṽ ε1 ), para t [0, 1], o qual pertence Γ. Segue do Lema a seguinte estimativa 0 < c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)) sup J(s(ṽ ε1, ṽ ε1 )) s 0 < l. O próximo lema será útil para demonstrar que uma solução do problema (3.7) é, também, uma solução para o problema (3.1). Lema Suponha que sejam válidas (M1), (M2), (F 2), (F 3) e que p = q. Seja {(u n, v n )} E uma sequência tal que J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0, (3.32) quando n +. Então, existe uma subsequência de {(u n, v n )}, digamos {(u nk, v nk )}, tal que u nk p A t 1 e v nk p A t 2, para todo k N. Demonstração. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p A > t 1

123 121 ou v n p A > t 2. Sem perda de generalidade suponha u n p A > t 1, para uma infinidade de índices n N. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p A > t 1, para todo k N. De (3.32) e da Observação 3.5.3, temos que {(u nk, v nk )} é limitada em E. Portanto, J (u nk, v nk ) (u nk, v nk ) J (u nk, v nk ) (u nk, v nk ) 0, quando k +, o que implica c λ = J(u nk, v nk ) J (u nk, v nk ) ( 1 ξ 1 u nk, 1 ξ 2 v nk ) + o k (1) m 0 p u n k p A 1 M t1 ( u nk p A ξ ) u n k p A + m 0 1 p v n k p A 1 M t2 ( v nk p A ξ ) v n k p A ( 2 α + + γ ) 1 x β u nk α v nk γ dx + o k (1) ξ 1 ξ 2 [ m0 p 1 ] [ M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + m0 1 p 1 ] M t2 ( v nk p A ξ ) v nk p A + o n(1). 2 Como M t2 é crescente, de (3.6), obtemos M t2 ( v nk p A ) M t 2 (t 2 ) < ξ 2 p m 0, o que implica 1 p m 0 1 ξ 2 M t2 ( v nk p A ) > 0. Além disso, uma vez que u nk p > t 1, temos M t1 ( u nk p A ) = M t 1 (t 1 ). Logo, c λ > [ m0 p 1 ] [ M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + m0 1 p 1 ] M t2 ( v nk p A ξ ) v nk p A + o k(1) [ 2 m0 p 1 ] M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + o k(1) [ 1 m0 p 1 ] M t1 (t 1 ) t 1 + o k (1). ξ 1

124 122 Passando ao limite quando k +, obtemos c λ [ m0 p 1 ] M t1 (t 1 ) t 1, λ > 0, ξ 1 o que contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p A supormos v n p A > t 2. Isso conclui a demonstração. t 0, para todo k N. O mesmo ocorre se Conclusão da demonstração do Teorema Seja λ > 0. Segue da Observação que c λ < ( α + γ ) ( ) p m0 m0 p p 1. (3.33) ξ 1 ξ 2 p 2p C Dos Lemas 3.5.1, e da Observação 3.5.3, existe uma sequência limitada {(u n, v n )} E, tal que J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0 em E 1, quando n. Desde que (3.33) ocorre e p = q, segue do Lema que, a menos de uma subsequência, (u n, v n ) (u, v) fortemente em E. Logo (u, v) é uma solução fraca para o problema (3.7), para todo λ > 0. Além do mais, pelo Lema 3.5.7, podemos concluir que (u, v) é uma solução fraca para o problema (3.1), para todo λ > Demonstração do Teorema Nessa seção, demonstraremos o Teorema Aqui p pode ser diferente de q. Devido a isso, não podemos garantir um resultado de existência de soluções para todo λ > 0. Nos próximos dois lemas, demonstramos que o funcional J satisfaz as con-

125 123 dições geométricas do Teorema do Passo da Montanha. Antes de demonstrá-los, observe que, como θ p + δ q > 1 e θ p + δ q < 1, existem p 0 (p, p ) e q 0 (q, q ) tais que θ + δ = 1. p 0 q 0 Segue da desigualdade de Young que u θ v δ θ p 0 u p 0 + δ q 0 v q 0 (3.34) e u α v γ α p u p + γ q v q. (3.35) Lema Suponha que as condições (M1), (M2), (F 1) e (F 2) sejam válidas. Então, existem números reais positivos ρ e ζ tais que J(u, v) ζ > 0, (u, v) E com (u, v) = ρ. Demonstração. Seja (u, v) E tal que (u, v) 1. De (M1), (F 1), (F 2), (3.34), (3.35) e (1.4), obtemos J(u, v) = 1 p M t1 ( u p A ) + 1 q M t2 ( v q B ) λ x β u α v γ dx m 0 p u p A + m 0 q v q B λc 2 m 0 p u p A + m 0 q v q B λθc 2 p 0 α x β u p dx γ p q x c F (x, u, v)dx x c u θ v γ dx x c u p 0 dx λ δc 2 q 0 x β v q dx x β u α v γ dx x c v q 0 dx m 0 p u p A + m 0 q v q B λ C 2 u p 0 A λĉ2 v q 0 B α p C u p A γ q C v q B ( ( m0 p u p A λ C 2 + α ) ) ( ( p C u p 0 m0 A + q v q B λĉ2 + γ q C ) v q 0 B Desde que p < p 0 e q < q 0, tomando ρ (0, 1) suficientemente pequeno, existe ζ > 0 tal que J(u, v) ζ > 0, para todo (u, v) E com (u, v) = ρ. ).

126 124 Lema Suponha que as condições (M1), (M2), (F 1) e (F 2) sejam válidas. Então, para todo λ > 0, existe e E, com J(e) < 0 e e > ρ. Demonstração. Fixe (u 0, v 0 ) E com u 0, v 0 > 0 em e (u 0, v 0 ) = 1. Usando (3.6) e (F 2), obtemos J(t 1/p u 0, t 1/q v 0 ) = 1 p M t1 ( t 1/p u 0 p A ) + 1 q M t2 ( t 1/q v 0 q B ) λ x c F (x, t 1/p u 0, t 1/q v 0 )dx x β t α p + γ q u α 0 v γ 0 dx ξ 1 p m 0t u 0 p A + ξ 2 q m 0t v 0 q B λc 1t θ p + δ q x c u θ 0v δ 0dx. Desde que θ p + δ q > 1, temos lim t J(t1/p u 0, t 1/q v 0 ) =. Assim, existe t 0 > max{ρ p, ρ q } suficientemente grande, tal que J(t 1 p 0 u 0, t 1 q 0 v 0 ) < 0. O resultado segue considerando e = (t 1 p 0 u 0, t 1 q 0 v 0 ). Aplicando o teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale (veja Apêndice, Teorema A.2.7), obtemos uma sequência {(u n, v n )} E, satisfazendo J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0, em E 1 (dual de E), quando n +, em que c λ = inf γ Γ max t [0,1] J(γ(t)), e e = (t 1 p 0 u 0, t 1 q 0 v 0 ) é como no Lema Γ := {γ C([0, 1], E) : γ(0) = 0, γ(1) = e} O próximo lema é extremamente importante para estimar o nível c λ sequência (P.S) cλ, obtida pelo Teorema do Passo da Montanha, abaixo do valor dado da

127 125 pelo Lema Lema Se (M1), (M2) (F 1) e (F 2) valem, então lim c λ = 0. λ + Demonstração. Denote ū 0 = t 1/p 0 u 0 e v 0 = t 1/q 0 v 0, em que (u 0, v 0 ) é dado no Lema Desde que o funcional J satisfaz a geometria do Passo da Montanha, existe t λ > 0 tal que J(t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0) = max t 0 J(t 1 p ū0, t 1 q v0 ). Além disso, temos 0 = d dt ( ) J(t 1 p ū0, t 1 q v0 ) t=tλ = J (t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0)( 1 p t 1 p 1 λ ū 0, 1 q t 1 q 1 λ v 0 ), o que implica 0 = t λ J (t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0)( 1 p t 1 p 1 λ ū 0, 1 q t 1 q 1 λ v 0 ) = J (t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0)( 1 p t 1 p λ ū0, 1 q t 1 q λ v 0). Usando (3.6) e (F 2), obtemos 0 = J (t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0)( 1 p t 1 p λ ū0, 1 q t 1 q λ v 0) ξ 1 p m 0t 2 λ ū 0 p A + ξ 2 q m 0t 2 λ v 0 q B λ Ct θ p + δ q λ (α + γ)t α p + γ q λ x β ū α 0 v γ 0 dx. x c ū θ 0 v δ 0dx Lembrando que ū 0 = t 1/p 0 u 0 e v 0 = t 1/q 0 v 0, considere C 0 = max{t 1/p 0, t 1/q 0 }. Uma vez que (u 0, v 0 ) = 1, temos u 0 p A, v 0 q B 1 e, assim, ( ξ1 p + ξ ) 2 C 2 q 2 0 m 0 t λ λ Ct θ p + δ q λ (α + γ)t α p + γ q λ x c ū θ 0 v 0dx δ + (α + γ)t α p + γ q λ x β ū α 0 v γ 0 dx. x β ū α 0 v γ 0 dx

128 Como α p + γ q > α p + γ q 126 = 1, temos que {t λ } é uma sequência limitada. Logo, existem uma sequência {λ n } e β 0 0 tais que λ n + e t λn β 0, quando n. Consequentemente, existe D > 0 tal que para todo n N. Portanto, ( ξ1 p + ξ ) 2 C 2 q 2 0 m 0 t λn D, θ p λ n Ct + δ q λ n x c ū θ 0 v 0dx δ + (α + γ)t α p + γ q λ n x β ū α 0 v γ 0 dx D, n N. (3.36) Se β 0 > 0, obtemos [ θ p lim λ n Ct + δ q n λ n x c ū θ 0 v δ 0dx + (α + γ)t α p + γ q λ n ] x β ū α 0 v γ 0 dx = +, o que contradiz (3.36). Concluímos que β 0 = 0. Agora, considere o caminho γ (t) = (t 1 p ū0, t 1 q v0 ), para t [0, 1], o qual pertence à Γ. Obtemos, então, a seguinte estimativa 0 < c λ max J(γ (t)) = J(t 1 p λ ū0, t 1 q λ v 0) t [0,1] Uma vez que t λn 0, quando n +, temos ( ξ1 p + ξ ) 2 C 2 q 2 0 m 0 t λ. lim c λ n = 0, n + ou seja, {c λ } possui uma subsequência convergente. Observando que F é par e {c λ } é uma sequência monótona, concluímos que lim c λ = 0. λ +

129 127 Observação Devido ao Lema 3.6.3, existem λ 1 > 0 e λ 2 > 0 tais que c λ < ( 1 p m 0 1 ) M 1 (t 1 ) t 1, ξ 1 para cada λ > λ 1 e c λ < ( 1 q m 0 1 ) M 2 (t 2 ) t 2, ξ 2 para cada λ > λ 2. O próximo lema garante que uma solução para o problema (3.7) será, ainda, uma solução para o problema (3.1). Lema Suponha que λ > λ 3 = max{λ 1, λ 2 } e que (M1), (M2), (F 2) e (F 3) sejam válidas. Seja {(u n, v n )} E uma sequência tal que J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0, (3.37) quando n +. Então, existe uma subsequência de {(u n, v n )}, digamos {(u nk, v nk )}, tal que u nk p A t 1 e v nk q B t 2, para todo k N. Demonstração. Suponha que para uma infinidade de índices n N, tem-se u n p A > t 1 ou v n q B > t 2. Sem perda de generalidade suponha u n p A > t 1, para uma infinidade de índices n N. Considere a subsequência (u nk ) de (u n ) formada por tais índices. Dessa forma, u nk p A > t 1, para todo k N. Segue de (3.37) e da Observação que {(u nk, v nk )} é limitada em E. Assim, J (u nk, v nk ) (u nk, v nk ) J (u nk, v nk ) (u nk, v nk ) 0,

130 128 quando k +. Mas isso implica que c λ = J(u nk, v nk ) J (u nk, v nk ) ( 1 ξ 1 u nk, 1 ξ 2 v nk ) + o k (1) m 0 p u n k p A 1 M t1 ( u nk p A ξ ) u n k p A + m 0 1 q v n k q B 1 M t2 ( v nk q B ξ ) v n k q B ( 2 α + + γ ) 1 x β u nk α v nk γ dx + o k (1) ξ 1 ξ 2 [ m0 p 1 ] [ M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + m0 1 q 1 ] M t2 ( v nk q B ξ ) v nk q B + o k(1). 2 Desde que M t2 é crescente, segue de (3.6) que M t2 ( v nk q B ) M t 2 (t 2 ) < ξ 2 q m 0. Logo, 1 q m 0 1 ξ 2 M t2 ( v nk q B ) > 0. Além do mais, como u nk p > t 1, temos M t1 ( u nk p A ) = M t 1 (t 1 ). Portanto, c λ > [ m0 p 1 ] [ M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + m0 1 q 1 ] M t2 ( v nk q B ξ ) v k n q B + o k(1) [ 2 m0 p 1 ] M t1 ( u nk p A ξ ) u nk p A + o k(1) [ 1 m0 p 1 ] M t1 (t 1 ) t 1 + o k (1). ξ 1 Passando ao limite, quando k +, obtemos c λ > [ m0 p 1 ] M t1 (t 1 ) t 1, ξ 1 para todo λ > λ 3, o que contradiz a Observação Portanto, só podemos ter u n p > t 0 para uma quantidade finita de índices n N. Excluindo-se tais índices, podemos considerar a subsequência (u nk ), de (u n ), tal que u nk p A t 0, para todo k N. O mesmo ocorre se supormos v nk q B > t 2. Isso conclui a demonstração.

131 Conclusão da demonstração do Teorema Segue do Lema que existe λ 4 > 0 tal que c λ < ( α + γ ) m0 1 ξ 1 ξ 2 α + γ K p,q, (3.38) para todo λ > λ 4. Tome λ = max{λ 3, λ 4 }. Seja λ λ. Dos Lemas 3.6.1, e da Observação 3.5.3, existe uma sequência limitada {(u n, v n )} E, tal que J(u n, v n ) c λ e J (u n, v n ) 0 em E 1, quando n. Desde que (3.38) ocorre, segue do Lema que, a menos de uma subsequência, (u n, v n ) (u, v) fortemente em E. Logo, (u, v) é uma solução fraca para o problema (3.7), para todo λ λ. Além do mais, pelo Lema podemos concluir que (u, v) é uma solução fraca para o problema (3.1), para todo λ λ.

132 Capítulo Equações do tipo Kirchhoff com condição de fronteira não-linear Indrodução Nesse capítulo, estudaremos a existência de soluções para o problema envolvendo um operador do tipo Kirchhoff e uma condição de fronteira não-linear: em que L(u) = f(x, u) em, p 2 u u = g(x, u) em, η (4.1) [ ( )] L(u) = M u p dx + c(x) u p dx [div ( u p 2 u ) + c(x) u p 2 u], R N, N 2, é um domínio limitado, com fronteira de classe C 0,1, u η = η é a derivada normal (unitária) exterior a e p > 1. M : R + {0} R + é uma função contínua satisfazendo: (M1) existe m 0 > 0, tal que M(t) m 0, t > 0. Também, c : R satisfaz: 130

133 131 (C1) c L (), c 0 q.t.p. em e c(x)dx > 0. As não-linearidades f, g : R R são contínuas e satisfazem: (F1) existem constantes b 1, b 2 > 0 tais que f(x, u) b 1 + b 2 u r, (x, u) R, com 0 < r < p (N) 1, em que Np, se p < N, N p p (N) = +, se p N. (F2) Existe b 3 > 0 tal que b 3 u α f(x, u), (x, u) R +, com 1 < α + 1 < p. (G1) Existem constantes a 1, a 2 > 0 tais que g(x, u) a 1 + a 2 u s, (x, u) R, com 0 < s < p 1 (N) 1, em que p 1 (N) = (N 1)p, se p < N, N p +, se p N. Em [23], de Godoi, Miyagaki e Rodrigues, estudaram os seguintes problemas de autovalor: p u + c(x) u p 2 u = 0, em, p 2 u u = µ u p 2 u, em, η (4.2)

134 e p u + c(x) u p 2 u = λ u p 2 u, em, u = 0, em. η 132 (4.3) Eles estabeleceram a existência de um primeiro autovalor, µ 1, relacionado ao problema (4.2), e um primeiro autovalor, λ 1, relacionado ao problema (4.3). A partir daí, eles estudaram um problema semelhante ao problema (4.1), com M = 1. Sob a hipótese: (P4) existem constantes λ, µ R tais que lim sup u + pf (x, u) pg(x, u) λ < λ u p 1 e lim sup µ < µ u + u p 1 uniformemente para x, com λ 1 µ + µ 1 λ < µ 1 λ 1 ; eles estabeleceram a existência de uma solução fraca para esse problema. Nesse capítulo, estabelecemos resultados que visam estender o resultado obtido por de Godoi, Miyagaki e Rodrigues [23], quando as não linearidades f e g têm crescimento p-sublinear. Observe que a condição λ 1 µ + µ 1 λ < µ 1 λ 1, imposta em [23], pode ser representada pela região hachurada na Figura 4.1. Figura 4.1: Região de soluções relativas aos autovalores µ 1 e λ 1, obtidas em [23].

135 133 Em nossos resultados, conseguimos obter uma independência entre os autovalores λ 1 e µ 1, eliminando a necessidade da condição λ 1 µ + µ 1 λ < µ 1 λ 1. Dessa forma, obtemos dois resultados que ampliam a região de soluções no plano cartesiano λµ, como podem ser observado nas Figuras 4.2 e 4.3. Além disso, foi possível demonstrar que nossas soluções são não triviais. Mais ainda, supondo f e g ímpares e utilizando a teoria de gênero de Krasnoselskii, estabelecemos resultados de múltiplas soluções para o problema (4.1). Os principais resultados desse capítulo são os seguintes: Teorema Suponha que (M1), (C1), (F 1), (F 2) e (G1) são satisfeitas. Suponha, ainda, que s + 1 < p e que F (x, u) = u f(x, t)dt satisfaça: 0 (F3) existe λ R tal que lim sup u + pf (x, u) u p λ < λ 1 m 0, uniformemente para x. Então, o problema (4.1) tem ao menos uma solução não trivial. Teorema Suponha que (M1), (C1), (F 1), (F 2) e (G1) são satisfeitas e que s+1 < p. Adicionalmente, suponha que (F4) f(x, t) = f(x, t), para cada (x, t) R, (G2) g(x, t) = g(x, t), para cada (x, t) R, e F (x, u) = u f(x, t)dt satisfaça (F 3). Então, o problema (4.1) tem infinitas soluções. 0 Teorema Suponha que (M1), (C1), (F 1), (F 2) e (G1) são satisfeitas. Suponha, ainda, que r + 1 < p e que G(x, u) = u g(x, t)dt satisfaça: 0 (G3) existe µ R tal que lim sup u + pg(x, u) u p µ < µ 1 m 0,

136 134 uniformemente para x. Então, o problema (4.1) tem ao menos uma solução não trivial. Teorema Suponha que (M1), (C1), (F 1), (F 2), (F 4), (G1), (G2) e (G3) são satisfeitas e que r + 1 < p. Então, o problema (4.1) tem infinitas soluções. Figura 4.2: Região de existência de soluções dadas nos teoremas e Figura 4.3: Região de existência de soluções dadas nos teoremas e