Universidade de Brasília. Instituto de Ciências Exatas. Departamento de Matemática

Transcrição

1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Existência e Multiplicidade de soluções limitadas para uma classe de equações quasilineares elípticas por Shirley da Silva Macedo 29

2 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Existência e Multiplicidade de soluções limitadas para uma classe de equações quasilineares elípticas por Shirley da Silva Macedo Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de MESTRE EM MATEMÁTICA Brasília, 3 de março de 29. Comissão Examinadora: Prof. Dr. Antonio Luiz de Melo - FUP/UnB (Orientador) Prof. Dra. Ana Maria Amarillo Bertone - MAT/UFU - Membro Prof. Dr. José Valdo Abreu Gonçalves - MAT/UnB - Membro

3 Bem-aventurado o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire conhecimento; Porque melhor é a sabedoria do que os rubis; e tudo o que mais se deseja não se pode comparar com ela. (Prov. 3:3; 8:) iii

4 iv Aos meus pais.

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente, agradeço a Deus, que, com sua grandeza e excelência me fez compreender um pouco mais desta ciência, dando-me forças, amparando-me e ajudando-me em todos os momentos. Ao professor Antônio Luiz de Melo pelo competente, dedicado e excelente trabalho de orientação, profissionalismo, agradeço pela amizade e confiança a mim direcionadas. Aos professores Ana Maria Amarillo Bertone, José Valdo Abreu Gonçalves e Carlos Alberto Pereira dos Santos, respectivamente membros e suplente da banca examinadora pelas sugestões e correções para a efetivação de um melhor trabalho. Aos funcionários do Departamento de Matemática da Unb e amigos da Pós-Graduação que, de forma direta ou não, me auxiliaram durante todo o curso. Ao CNPq pelo apoio financeiro. Aos meus Pais e ao meu irmão que sempre me acolheram com suas palavras de ânimo, coragem, carinho e atenção no transcorrer de todos os momentos da minha vida. Ao meu namorado, Vinícius, pelo apoio incondicional, carinho, amor, dedicação, incentivo e companheirismo a mim dedicado. Aos meus amigos, Antônia, Linda Beatriz e Espedito pela atenção, ajuda e harmonioso convívio. Enfim, agradeço a todos que de uma forma ou outra, contribuíram para a realização deste trabalho. v

6 RESUMO Neste trabalho estudamos a existência de soluções inteiras positivas de equações elípticas quasilineares de segunda ordem do tipo div( u p 2 u) = f(x, u), R N onde f(x, u) é uma função contínua em R N (, ) e p >. Usando o conceito de sub e supersolução, demonstraremos que a equação acima possui uma infinidade de soluções positivas limitadas em R N. Analisaremos também questões relacionadas ao comportamento assintótico dessas soluções e que as mesmas são limitadas inferiormente por uma constante positiva. Palavras-chaves: Equações Quasilineares Elípticas, Soluções Inteiras, Comportamento Assintótico, Sub e Supersolução. vi

7 ABSTRACT In this work we study the existence of entire positive solutions for quasilinear elliptic equations of second order of the type div( u p 2 u) = f(x, u), R N where f(x, u) is a continue function in R N (, ) and p >. Using the concept of lower and upper solutions, we prove that the above equation has infinitely many bounded positive solutions in R N. We also analyze questions related with the asymptotic behavior of these solutions and that they are limited from below by a positive constant. Key words: Quasilinear Elliptic Equations, Entire Solutions, Behavior Asymptotic, Lower and Upper Solutions. vii

8 SUMÁRIO Introdução Resultados Clássicos da Análise 9. Espaços de Schauder Espaços de Sobolev Outros resultados Demonstração do Teorema (ZY ) 8 3 Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Demonstração do Teorema (MS ): (Introdução) Demonstração do Teorema (MS 2 ): (Introdução) Demonstração do Teorema (MS 3 ): (Introdução) Demonstração do Teorema (MS 4 ): (Introdução) viii

9 A Resultados Técnicos 48 A. Demonstração da Proposição 3.: A.2 Demonstração do Lema 3.2: (Capítulo 3) A.3 Demonstração do Lema 3.3: (Capítulo 3) B Verificação de exemplos e adaptação dos Teoremas (DH) e (GL) ao Teorema (ZY ) 65 B. Verificação dos exemplos E e E 2 : B.2 Verificação dos exemplos E 3 e E 4 : B.3 Verificação do exemplo E 5 : B.4 Verificação do exemplo E 6 : B.5 Aplicação do Teorema (DH) (Capítulo ) B.6 Aplicação do Teorema (GL) (Capítulo ) Referências Bibliográficas 77 ix

10 INTRODUÇÃO Neste trabalho, consideraremos equações diferenciais parciais elípticas quasilineares de segunda ordem do tipo (P ) p : div( u p 2 u) + f(x, u) =, x R N onde f(x, u) é uma função contínua em R N (, ), p > e N 3. Por uma solução de (P ) p, entenderemos como sendo uma função u de classe C (R N ), isto é, u é uma solução inteira, tal que u p 2 u possui derivadas parciais em quase todo ponto x R N e satisfaz u p 2 u ϕ dx + R N f(x, u) ϕ dx =, R N ϕ C (R N ). Equações do tipo div( u p 2 u) = f(x, u) aparecem frequentemente em modelos matemáticos relacionados ao estudo de problemas de mecânica dos fluidos, mais especificamente, no estudo de fluidos não-newtonianos. Quando p > 2 os fluidos são denominados dilatantes, enquanto p < 2 se referem aos denominados pseudo-plásticos. O caso p = 2 corresponde aos fluidos Newtonianos. Nesse caso, a equação (P ) p torna-se (P ) 2 : u + f(x, u) =, x R N.

11 Introdução Esse problema foi amplamente estudado, nos últimos anos, por um grande número de pesquisadores, confira [3], [5], [9], [], [2], [28] e [29] e suas referências. As razões que motivaram o desenvolvimento de uma ampla literatura sobre o problema (P ) 2 deve-se, principalmente, ao fato desse aparecer em diversos outros contextos, tais como: a teoria de equações de reação-difusão e a existência em R N de métricas completas conformes a métrica euclidiana. Para maiores detalhes, veja [4], [9] e [2] e suas referências. Estudaremos alguns resultados recentes concernentes à existência, multiplicidade e comportamento assintótico de soluções inteiras positivas da equação (P ) p, analisados por Yang e Yin [26], em 26. Em especial, estaremos interessados em situações onde a função f satisfaz uma condição do tipo f(x, t) ρ(x)f (t), () para funções ρ e F apropriadas. Nesse caso, mostraremos a existência de soluções da equação (P ) p, relacionando essas com soluções do problema (P ) : p u = ρ(x), R N u(x) > em R N u(x) quando x. Soluções do problema (P ) são comumente encontradas quando supomos alguma condição do tipo onde ψ(r) = max x =r ρ(x). H = ( s N s ) t N p ψ(t) ds < Alguns exemplos de funções ρ : R N (, ) que satisfazem H, com p > 2, são as 2

12 Introdução funções ρ e ρ 2 dadas por: ρ (x) = + x p e ρ 2 (x) = 2 + sen( x 2 ) + x p. A condição H tem sido usada recentemente por muitos autores na busca de solução de equações diferenciais parciais. Confira [5], [], [], [26] e suas referências. Esta condição, ou sua similar H = sψ(s)ds < generalizam uma condição apresentada por Ni [2]. Observação I.: Quando p = 2, as condições H e H são equivalentes. Confira Lema 3.2, Apêndice A. Em 982, Ni [2] considerou a equação u + K(x)u N+2 N 2 = em R N, N 3 e demonstrou que esse problema tem uma infinidade de soluções positivas limitadas, com a propriedade que cada uma dessas soluções é limitada inferiormente por uma constante positiva, quando se supõe K(x) ou K(x) se comporta como c x l para algum l > 2 em R N c, r = x quando r. r 2 (lnr) 2 Em 25, Zhou e Ye [25], inspirados no trabalho de Ni, consideraram a equação semilinear elíptica u + f(x, u) = em R N (2) e demonstraram que se f(x, t) satisfaz (), sob hipóteses apropriadas em ρ e F, então o problema (2) tem uma infinidade de soluções positivas limitadas inferiormente por uma constante positiva. 3

13 Introdução Os resultados estudados aqui, complementam os desenvolvidos por Ni [2] e generalizam, em alguns aspectos, os resultados apresentados por Zhou e Ye [25]. O primeiro teorema que demonstraremos é de grande importância em todo o trabalho pois será usado como ferramenta básica no estabelecimento de multiplicidade de soluções da equação (P ) p. Teorema (ZY ): Suponha que f(x, u) é definida em R N+ e é localmente Hölder contínua (com expoente λ (,)) em x. Suponha, além disso, que existem funções v, w C,λ loc (RN ) tais que div( v p 2 v) f(x, v), x R N (3) div( w p 2 w) f(x, w), x R N (4) e w(x) v(x), x R N. (5) Além disso, f(x, u) é localmente Lipschitz em u, no conjunto Σ = {(x, u) : x R N ; w(x) u v(x)}. Então, a equação (P ) p possui uma solução inteira u(x) satisfazendo w(x) u(x) v(x), x R N. O próximo teorema estabalece que, se o problema (P ) tem solução, então o crescimento de F (t) na origem ou no infinito é determinante para a existência de múltiplas soluções. Teorema (MS ): Seja f(x, u) uma função que satisfaça as hipóteses do Teorema (ZY ), tal que f(x, u) ρ(x)f (u) em R N (, ), (6) 4

14 Introdução e ρ localmente Hölder contínua satisfazendo < r p ψ(r) p dr < se < p 2 ou < r (p 2)N+ p ψ(r)dr < se p 2, onde ψ(r) = max ρ(x) para N 3 e p < N. Suponha, além disso, que F é contínua em x =r (, ) e satisfaz (i) F (u) lim = ou (ii) lim u + up u F (u) =. (7) up Então a equação (P ) p possui uma infinidade de soluções positivas em R N. Além disso, cada solução é limitada inferiormente e superiormente por uma constante positiva. Esse resultado pode ser aplicado na busca de soluções para os problemas. (E ) p u = ρ(x)u γ [ln( + u)] η, R N (E 2 ) p u = ρ(x)( cosu)u p 2, R N onde ρ(x) é localmente Hölder contínua, com expoente λ (, ) em R N satisfazendo H, γ, η são constantes e p >. Note ainda que esse teorema se aplica em casos onde F (u) é sublinear ou superlinear. Em particular, (E 3 ) p u = ρ(x)u α, R N (E 4 ) p u = K(x)u p, R N 5

15 Introdução onde α > e p = Np é o expoente crítico de Sobolev, desde que K(x) e ρ(x) N p satisfaçam H. Assim, temos que E, E 2, E 3 e E 4 possuem uma infinidade de soluções positivas em R N. Observação I.2: A verificação dos exemplos E ao E 4 encontra-se no Apêndice B. O próximo teorema mostra que o crescimento de F (t) não é fundamental para a existência de múltiplas soluções da equação (P ) p. Pode-se encontrar infinitas soluções de (P ) p quando a norma infinito da solução de (P ) é relativamente pequena. Teorema (MS 2 ): Seja f(x, u) uma função que satisfaça as hipóteses do Teorema (ZY ), tal que f(x, u) ρ(x)f (u) em R N (, ), (8) onde ρ é localmente Hölder contínua, e F é uma função contínua definida em (, ). Se existir uma constante positiva ɛ = ɛ (F ), tal que se o problema (P ) tem uma solução limitada U satisfazendo U(x) < ɛ para todo x R N, então a equação (P ) p possui uma infinidade de soluções limitadas em R N. Além disso, essas soluções são limitadas por baixo por uma constante positiva. O teorema que se segue, estabelece a possibilidade de uma forma integral para o número ɛ do Teorema (MS 2 ). Teorema (MS 3 ): Seja f(x, u) como no Teorema (ZY ), que verifica f(x, u) ρ(x)f (u), em R N (, ) (9) para alguma função F : (, ) (, ) derivável e não-decrescente tal que G(t) p <, onde G(t) = t F (s) ds. () Suponha também que ρ é localmente Hölder contínua, que a solução de (P ) exista e 6

16 Introdução verifica Então a equação U < F (t) p. () div( u p 2 u) + f(x, u) =, x R N, (2) possui uma infinidade soluções positivas limitadas em R N. Além disso, essas soluções são limitadas inferiormente por uma constante positiva. Este teorema pode ser aplicado em situações onde os limites (7) do Teorema (MS ) não se aplicam. Uma dessas situações é o problema: (E 5 ) p u + ρ(x)(sen 2 (u p 2 ) + u θ ) =, θ > p e p >. Observação I.3: A verificação do exemplo E 5 encontra-se no Apêndice B. Nosso último resultado pode ser útil quando a condição (7) do Teorema (MS ) e a condição () do Teorema (MS 3 ) não são satisfeitas. Teorema (MS 4 ): Seja f(x, u), como no Teorema (ZY ), satisfazendo f(x, u) ρ(x)f (u) em R N (, ) (3) para alguma função F : (, ) (, ) não-decrescente, derivável e ρ localmente Hölder contínua. Suponha que a solução U de (P ) existe e verifica ( U < sup t (, ) t F (t) p Então a equação (P ) p possui uma infinidade de soluções positivas limitadas em R N. Além disso, existe uma constante positiva que limita inferiormente essas soluções. Um exemplo onde este teorema se aplica é o problema ). (E 6 ) p u = ρ(x)u p, R N 7

17 Introdução onde ρ é uma função localmente Hölder contínua satisfazendo H, confira Apêndice B. Este trabalho está estruturado da seguinte forma: no Capítulo, listamos alguns resultados clássicos de análise que constituem ferramentas necessárias às demonstrações de todos os resultados expostos no transcorrer de toda a dissertação. No Capítulo 2 focamos nossa atenção à demonstração do Teorema (ZY ), sendo este, o ponto principal para o desfecho das demonstrações dos Teoremas (MS ) (MS 4 ). No Capítulo 3 provamos os Teoremas (MS ) (MS 4 ). Esses resultados garantem a multiplicidade de soluções inteiras positivas limitadas em R N para a equação (P ) p. Finalizamos o trabalho com os Apêndices, A e B. Colocamos no Apêndice A alguns resultados técnicos relacionados a prova dos Teoremas (MS ), (MS 2 ), (MS 3 ) e (MS 4 ), aqui já mencionados, e que serão focalizados, tal como já dito, no Capítulo 3; no Apêndice B, estão registrados os cálculos dos exemplos expostos na parte introdutória deste trabalho e postamos algumas aplicações, sendo estas, de resultados utilizados na demonstração do Teorema (ZY ). 8

18 CAPÍTULO RESULTADOS CLÁSSICOS DA ANÁLISE Nesta seção enunciamos algumas definições bem como alguns resultados clássicos de análise utilizados durante as demonstrações dos resultados apresentados no transcorrer deste trabalho.. Espaços de Schauder Definição. (Adams []). Seja Ω um subconjunto aberto e conexo do R N e m um inteiro não negativo. Define-se C m (Ω) = {u : Ω R : D α u existe e é contínua para todo α m}. Se m = teremos C (Ω), o qual representaremos por C(Ω). 9

19 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise E, se m =, C (Ω) = C m (Ω). m= Desde que Ω é aberto, as funções em C m (Ω) podem ser ilimitadas. Contudo, se u C(Ω) é limitada e uniformemente contínua em Ω, então podemos estender u para o fecho de Ω continuamente, de modo único. Logo, faz sentido definir: Definição.2 (Adams []). C m (Ω) = {u C m (Ω) : D α u é limitada e uniformemente contínua para todo α m}. Lembremo-nos que se Ω é aberto e limitado, então o espaço C(Ω) é definido por o qual, munido da norma., onde é um espaço de Banach. C(Ω) = {u : Ω R : u é contínua em Ω}, u = max u(x), x Ω O espaço C m (Ω) munido da norma. m, onde é também um espaço de Banach. u m = α m D α u, Definição.3 (Adams []). Dado < λ e u C(Ω). Dizemos que u é Hölder contínua com expoente λ se u(x) u(y) H λ [u] := sup <. x,y Ω x y λ x y Definição.4 (Adams []). Definimos C,λ (Ω) como sendo o seguinte conjunto: C,λ (Ω) = {u : u é Hölder contínua com expoente λ} C,λ (Ω) munido da norma.,λ onde u,λ = u + H λ [u]

20 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise é um espaço de Banach. De maneira análoga, definimos C m,λ (Ω) = {u C m (Ω) : D α u C,λ (Ω), α m} munido da norma. m,λ onde u m,λ = u m + D α u,λ α m é um espaço de Banach, denominado Espaço de Schauder. Definição.5 (Adams []). Dados dois espaços vetoriais normados X e Y, dizemos que X está imerso continuamente em Y quando: (i) (ii) X Y a aplicação inclusão i : X Y x i(x) = x é contínua. Como a inclusão é linear, a propriedade (ii) acima é equivalente a dizer que existe C > tal que x Y C x X, x X. Notação: X Y. Definição.6 (Adams []). Sejam X e Y dois espaços vetoriais normados. Um operador linear, contínuo T : X Y é compacto quando, para todo subconjunto limitado A X, tem-se T (A) Y é compacto. Alternativamente, X está imerso compactamente em Y se, para toda seqüência limitada {u n } X limitada em X, {u n } Y possui uma subseqüência convergente.

21 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise Teorema.7 (Adams []). Seja m um inteiro não negativo e < ν < λ. Então: () C m+ (Ω) C m (Ω) (2) C m,λ (Ω) C m (Ω) (3) C m,λ (Ω) C m,ν (Ω) Se além disso, Ω é convexo, temos as imersões: (4) C m+, (Ω) C m, (Ω) (5) C m+, (Ω) C m,ν (Ω) Se Ω é limitado, as imersões (2) e (3) são compactas. Se Ω é convexo e limitado, as imersões () e (5) são compactas. Demonstração: Conferir [], Teorema.3, pág...2 Espaços de Sobolev Definição.8 (Brezis [2]). Seja Ω R N e p <. Definimos o espaço L p (Ω) da seguinte forma: L p (Ω) = Designamos o espaço L (Ω) por: { f : Ω R : f é mensurável: Ω } f(x) p dx < L (Ω) = {f : Ω R f é mensurável e C > tal que f(x) C q.t.p. x Ω} O espaço L p (Ω) munido da norma. p, onde é um espaço de Banach. ( u p = Ω ) u(x) p p dx, 2

22 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise E, L (Ω), munido da norma., onde u = inf{c > : u(x) C q.t.p. x Ω}, é também um espaço de Banach. Definição.9 (Medeiros [8]). Seja Ω um subconjunto aberto do R N, m um número inteiro, p e α = (α,..., α n ) um multi-índice. Definimos o espaço vetorial W m,p (Ω) como sendo W m,p (Ω) = {u L loc(ω) : para todo multiíndice α m, D α u existe e D α u L p (Ω)}, onde D α u é a α ésima derivada de u no sentido das distribuições. Para cada u W m,p (Ω), define-se a norma de u por: u m,p = p D α u(x) p dx, se p < α m u m, = D α u. α m Ω Os espaços normados W m,p (Ω), são espaços de Banach, denominados Espaços de Sobolev. O conjunto W m,p (Ω) representa o fecho no espaço W m,p (Ω) das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto em Ω. Assim, u W m,p (Ω) se, e somente se, existe {u m } C (Ω) tal que u m u em W m,p (Ω). Teorema. (Medeiros [8], Teorema de Rellich-Kondrachov). Sejam Ω um aberto limitado do R N de classe C (Ω) e p <. Então as seguintes imersões são compactas: a) W,p (Ω) L q (Ω), q < Np N p se q < Np N p b) W,p (Ω) L q (Ω), q < se p = N c) W,p (Ω) C,λ (Ω), λ N p se p > N. 3

23 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise Demonstração: Conforme [8], Teorema 2.5.4, pág Outros resultados Proposição. (Wheeden e Zygmund [27]). Seja µ uma medida finita em A, f mensurável e limitada em A e φ uma função convexa contendo a imagem de f. Então f dµ φ(f) dµ φ A A. dµ dµ A Teorema.2 (Wheeden e Zygmund [27], Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Seja E R N um subconjunto mensurável. Seja também {f k } uma seqüência de funções mensuráveis sobre E tais que f k f q.t.p. em E. Se existe φ integrável em E, tal que f k φ q.t.p. em E para todo k, então f k f. E Teorema.3 (Lima [6], Teorema da Função Implícita). Sejam os abertos U R N e V R M. Suponha que a U e b V, e além disso, que f : U V R M (x, y) (f (x, y),, f M (x, y)) ( ) é de classe C k fj para todo k, f(a, b) = e det (a, b). Então existem abertos y i A U e B V, tais que (i) para cada x A, existe um único g(x) B satisfazendo g(a) = b e f(x, g(x)) =. E A (ii) (iii) g : A B, é de classe C k (A) g g x x 2 g 2 x g 2. g M x g x N g 2 x N x g M x 2 g M x N = f y f y 2 f 2 y f 2. f M y f y M f 2 y M y f M y 2 f M y M f x f x 2 f 2 x f 2. f M x f x N f 2 x N x f M x 2 f M x N 4

24 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise Teorema.4 (Lima [5], Fórmula do Valor Médio para Integrais). Seja f : [a, b] R contínua. Existe c [a, b] tal que b a f(x) dx = f(c)(b a). Definição.5 (Deuel e Hess [6]). Uma função u é uma solução fraca do problema div( u p 2 u) + f(x, u) =, Ω (P ) : u = g, Ω se: (i) u W,p (Ω), (ii) u = g em W p,p ( Ω), (iii) (iv) f(x, u) L p (Ω), u p 2 u ϕ dx Ω Ω f(x, u) ϕ dx =, ϕ W,p (Ω). Definição.6 (Deuel e Hess [6]). Dizemos que uma função ψ é uma supersolução fraca do problema (P ), se: (i) ψ W,p (Ω), (ii) ψ = g em W p,p ( Ω), (iii) (iv) f(x, ψ) L p (Ω), ψ p 2 ψ ϕ dx Ω com ϕ em Ω. Ω f(x, ψ) ϕ dx, ϕ W,p (Ω), Definição.7 (Deuel e Hess [6]). Dizemos que uma função φ é uma subsolução fraca do problema (P ), se: (i) φ W,p (Ω), (ii) φ = g em W p,p ( Ω), (iii) (iv) f(x, φ) L p (Ω), φ p 2 φ ϕ dx Ω com ϕ em Ω. Ω f(x, φ) ϕ dx, ϕ W,p (Ω), 5

25 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise Teorema (DH) (Deuel e Hess [6]) Sejam φ e ψ, respectivamente sub e supersolução do problema (P ) com φ(x) ψ(x), x Ω. Se existe uma constante C e uma função k L p (Ω) onde p + p = tal que f(x, t) k (x) + C ξ p q.t.p. x Ω, ξ R N, t [φ(x), ψ(x)], então o problema ( P ) admite uma solução fraca u com φ(x) u(x) ψ(x), x Ω. Obs.: As definições de Deuel e Hess [6] aqui apresentadas, valem para um domínio Ω do R N (N ) limitado, com fronteira suave Ω, e um operador diferencial de segunda ordem quasilinear elíptico na forma divergente. Para o próximo teorema considere o seguinte problema: div A(x, u, u) + B(x, u, u) = em Ω (P ) : u = φ em Ω, onde Ω R N é um conjunto aberto, conexo, limitado e regular. Teorema (GL) (Lieberman [4]) Sejam α, λ, Λ, M constantes positivas, com α, m, Ω R N um conjunto aberto, conexo, limitado e regular. Suponha que as funções A e B do problema (P ), definidas em Ω [ M, M ] R N, satisfazem as seguintes condições: (i) (ii) N a ij (x, z, η) ξ i ξ j λ(k + η ) m ξ 2, ij= N a ij (x, z, η) Λ(k + η ) m, ij= (iii) A(x, z, η) A(y, w, η) Λ ( + η ) m+ [ x y α + z w α ], (iv) B(x, z, η) Λ( + η ) m+2, 6

26 Capítulo. Resultados Clássicos da Análise para todo (x, z, η) Ω [ M, M ] R N, (y, w) Ω [ M, M ] e ξ R N. Seja φ C,α ( Ω) com φ +α Φ e u uma solução fraca do problema (P ), com u M em Ω, onde Φ é uma constante. Então existe uma constante β = β(α, Λ/λ, m, N) > tal que (a) (b) u C,β (Ω) u,β C(α, Λ/λ, m, M, N, Φ, Ω). 7

27 CAPÍTULO 2 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA (ZY ) O Teorema (ZY ) tem grande destaque neste trabalho visto que ele nos auxiliará a compreender todos os outros resultados apresentados a posteriori. No que segue, w(x) é uma subsolução e v(x) uma supersolução da equação (P ) p. Nosso foco é trabalhar com o problema em domínios limitados B R para estudar a existência e regularidade da solução e, através de um argumento diagonal clássico, fazer o limite quando R e encontrar solução para a equação (P ) p. Demonstração: Seja B R () = B R uma bola centrada na origem de R N com raio R e considere o seguinte problema de valor de fronteira div( u p 2 u) + f(x, u) =, (P ) R : u = g, B R B R 8

28 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) onde g é uma função em C,λ loc (RN ), λ (, ) que satisfaz w(x) g(x) v(x), x R N. É imediato observar das hipóteses (3) e (4) do Teorema em pauta, que as funções w e v ainda são, respectivamente, sub e supersolução do problema (P ) R para todo R. Pelo Teorema (DH),(veja Capítulo e também Apêndice B) o problema (P ) R tem uma solução fraca u R W,p (B R ) para cada R, com w(x) u R (x) v(x) para todo x B R. Análise da regularidade de u R em B : Temos que div( u R (x) p 2 u R (x)) + f(x, u R (x)) =, x B. Pelo Teorema (GL) (veja Capítulo e também Apêndice B) temos que u R C,β (B ) e existe uma constante C, independente de R tal que u R C,β (B ) C, R 2 e < β <. (2.) Além disso, pelo Teorema.7 sabemos que a imersão C,β (B ) C,α (B ) é compacta, para α < β. Logo, existe uma subsequência {u R } de {u R } contida em C,β (B ), tal que u R R u () em C,α (B ). (2.2) Portanto, como {u R } é solução fraca do problema (P ) R, e sendo {u R } subsequência de u R, segue pela definição.5 que u R p 2 u R ϕ dx B f(x, u R ) ϕ dx =, B ϕ C (B ). 9

29 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) Afirmação 2.: (i) u R p 2 u R ϕ dx R B u () p 2 u () ϕ dx, B ϕ C (B ) e (ii) f(x, u R ) ϕ dx R B f(x, u () ) ϕ dx, B ϕ C (B ). Portanto, u () p 2 u () ϕ dx B f(x, u () ) ϕ dx =, B ϕ C (B ). Com efeito. De (2.2) segue que u R u () R. Logo, para cada x B, obtemos ( ur p 2 u R ϕ ) (x) R ( u () p 2 u () ϕ ) (x), q.t.p. x B. Além disso, por (2.), segue que ur p 2 u R ϕ u R p 2 u R ϕ (max u R p ) ϕ B C (p ) ϕ. Assim, definindo φ := C (p ) ϕ, é imediato observar que φ(x), x B, e φ é integrável, visto que C (p ) ϕ dx = C (p ) B B ϕ dx <. Além disso, ur p 2 u R ϕ φ, q.t.p. x B. 2

30 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) Daí, segue pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que u R p 2 u R ϕ dx R B u () p 2 u () ϕ dx, B ϕ C (B ), o que verifica o item (i). Para prova do item (ii), recordemos que f é localmente Lipschitz em u R, logo, contínua em u R. Assim, para cada x B e de (2.2), f(x, u R (x)) ϕ(x) R f(x, u () (x)) ϕ(x), q.t.p. x B. Como C w(x) u R (x) v(x) C 2, x B, e f(x, u R (x)) ϕ(x) max (x,t) B [C,C2 ] f(x, t) ϕ(x) := A ϕ(x), x B, definindo Φ(x) := A ϕ(x), segue que Φ(x), x B, é integrável e, f(x, u R (x)) ϕ(x) Φ(x), q.t.p. x B. Daí, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, segue que f(x, u R ) ϕ dx R B f(x, u () ) ϕ dx, B ϕ C (B ), o que prova o item (ii). Logo, de (i) e (ii), concluímos que u () p 2 u () ϕ dx B f(x, u () ) ϕ dx =, B ϕ C (B ), o que prova a afirmação 2.. Agora, repetindo o procedimento anterior para a sequência u R na bola B 2, concluiremos que existe uma constante C 2 > tal que u R C,β (B 2 ) C 2, R 3. 2

31 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) Desde que a imersão C,β (B 2 ) C,α (B 2 ) é compacta para α < β, então existe uma subsequência {u R2 } de {u R } tal que u R2 R 2 u (2) em C,α (B 2 ). Desta maneira, u (2) B = u (), e (i) (ii) u R2 p 2 u R2 ϕ dx R2 B 2 u (2) p 2 u (2) ϕ dx, B 2 ϕ C (B 2 ), f(x, u R2 ) ϕ dx R2 B 2 f(x, u (2) ) ϕ dx, B 2 ϕ C (B 2 ). Ou seja, u (2) p 2 u (2) ϕ dx B 2 f(x, u (2) ) ϕ dx =, B 2 ϕ C (B 2 ). Assim, dado k N, repetindo por indução o mesmo argumento para a bola B k, obteremos uma constante C k > tal que u Rk C,β (B k ) C k, R k k +. Sabendo que a imersão C,β (B k ) C,α (B k ) é compacta para α < β, então existe uma subsequência {u Rk } de {u Rk } tal que u Rk R k u (k) em C (B k ), donde segue que u (k) BR = u (R), R k. 22

32 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) Observe então que u R u R2 R u () em B u, u 2, u 3, C (B ) u () R 2 u (2) em B 2 u 2, u 22, u 32, C (B 2 ) u (2) u Rk. R k u (k) em B k u k, u 2k, u 3k, C (B k ) u (k). Defina v k := u kk. Logo, por um processo diagonal temos as seguintes implicações k {v k } é uma subsequência de {u R } v k (x) k u () (x) x B. k 2 {v k } é uma subsequência de {u R2 } v k (x) k u (2) (x) x B 2.. k n {v k } é uma subsequência de {u Rn } v k (x) k u (n) (x) x B n.. Seja u : R N [, ) definida por u(x) = lim k v k (x). Assim, w(x) u(x) v(x), x R N e u C,λ loc (RN ), donde segue que u C (R N ). Além do que, u p 2 u ϕ R N f(x, u) ϕ =, R N ϕ C (R N ). De fato, dado ϕ C (R N ), existe B ϕ R N tal que ϕ(x) =, para todo x B c ϕ. Considere s >, um inteiro tal que B ϕ B s. Desta forma, v k p 2 v k ϕ B s f(x, v k ) ϕ =, B s k > s e ϕ C (B s ). De forma análoga aos casos anteriores, temos as seguintes convergências v k p 2 v k ϕ k u p 2 u ϕ Bs 23 Bs

33 Capítulo 2. Demonstração do Teorema (ZY ) e Bs f(x, v k ) ϕ k f(x, u) ϕ. Bs Portanto, u p 2 u ϕ f(x, u) ϕ =, s. Bs Bs Consequentemente, u p 2 u ϕ R N f(x, u) ϕ =, R N ϕ C (R N ), o que conclui a demonstração do Teorema (ZY ). 24

34 CAPÍTULO 3 MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES PARA A EQUAÇÃO (P ) P Neste capítulo provaremos os Teoremas (MS ), (MS 2 ), (MS 3 ) e (MS 4 ), os quais mostram que a equação (P ) p possui uma infinidade de soluções positivas e limitadas. Para tanto, em todos os resultados, recorreremos ao Teorema (ZY ) demonstrado no capítulo anterior. Os resultados abaixo serão de fundamental importância para a demonstração dos referidos teoremas. Proposição 3.. Suponha que ρ : R N [, ) é uma função localmente Hölder contínua e H = ( s N s ) t N p ψ(t) ds <, (3.) 25

35 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p onde ψ(r) = max x =r ρ(x). Então a equação div( U p 2 U) = ρ(x) (3.2) tem uma solução U C,α loc (RN ), para algum < α <, satisfazendo lim U(x) =. x Lema 3.2. Se N 3 e p < N então a condição (3.) da Proposição 3. pode ser substituída pelas condições (A) < (B) < r p ψ(r) p dr < se < p 2 r (p 2)N+ p ψ(r) dr < se p 2. Observação: A prova da Proposição 3. e do Lema 3.2 encontra-se no Apêndice A. 3. Demonstração do Teorema (MS ): (Introdução) A demonstração do Teorema (MS ) consiste em considerar as soluções U de (3.2) e a partir destas, encontrar soluções para (P ) p. Demonstração: Considere C = 2 U e em seguida, defina V + := C+U e V := C U. Daí, segue que V (x) V + (x) para todo x R N. Adicionalmente, < C 2 V (x) V + (x) C, x R N, (3.3) onde C = 3 U e C 2 = U. Consideremos inicialmente que F satisfaz a hipótese de (MS ) (7) (i), ou seja, F (t) lim =, t + tp de tal modo que, dado ɛ = C p >, existe a > tal que se t < ac, então F (t) t p 26 C p.

36 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Mostraremos agora que av + é supersolução e av subsolução para a equação (P ) p. De fato, como av + < ac, temos F (av + )(V + ) p (av + ) p C p (V + ) p = ( V+ C ) p. Daí, de (3.3), segue que ( V+ C ) p. Como consequência deste fato, F (av + )(V + ) p (av + ) p. (3.4) Por hipótese, temos que ρ é localmente Hölder contínua e H é finita. Daí, segue pela Proposição 3., que a equação (3.2) tem uma solução limitada U, não-negativa em R N. Desde que, div( (av + ) p 2 (av + )) + f(x, av + ) = a p div( (C + U) p 2 (C + U)) + f(x, av + ) (3.2) = a p ρ(x) + f(x, av + ) (6) a p ρ(x) + ρ(x)f (av + ) = a p ρ(x) [ F (av ] +)(V + ) p (av + ) p (3.4), e sendo U de classe C,α loc (RN ), onde α (, ), segue que av + é supersolução da equação (P ) p. Observe agora que, de (3.3), ( V ) p, (3.5) C 27

37 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p e daí segue que div( (av ) p 2 (av )) + f(x, av ) = a p div( (C U) p 2 (C U)) + f(x, av + ) (3.2) = a p ρ(x) + f(x, av ) (6) a p ρ(x) ρ(x)f (av ) = a p ρ(x) [ F (av ] )(V ) p (av ) p a p ρ(x) [ ( V C ) p ] (3.5). Pelos mesmos argumentos utilizados para concluir que av + é supersolução, segue que av é subsolução de (P ) p. Assim, pelo Teorema (ZY ), existe uma solução u da equação (P ) p que satisfaz < ac 2 av (x) u(x) av + (x) ac, x R N. (3.6) Desde que podemos escolher a > arbitrariamente pequeno, tome n N, n, de modo que ac n < ac 2. Desta maneira, multiplicando (3.6) por n temos que < ac 2 n av n (x) av + n (x) ac n < ac 2, x R N. (3.7) Note que av + n av + < ac. Assim, F ((a/n )V + ) ((a/n )V + ) p (V +) p C p (V + ) p = 28 ( V+ C ) p.

38 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Mas, de (3.3) temos que Como ( V+ C ) p. Logo, F ((a/n )V + ) ((a/n )V + ) p (V +) p. (3.8) div( ((a/n )V + ) p 2 ((a/n )V + ) = (a/n ) p div( V + p 2 V + ) = (a/n ) p div( U p 2 U) tem-se (3.2) = (a/n ) p ρ(x), div( ((a/n )V + ) p 2 ((a/n )V + ) + f(x, (a/n )V + ) = (a/n ) p ρ(x) + f(x, (a/n )V + ). Segue de (3.9), (6) e de (3.8) que div( ((a/n )V + ) p 2 ((a/n )V + ) + f(x, (a/n )V + ). (3.9) E, sabendo que (a/n )V + = (a/n )(C + U) pertence ao espaço C,α loc (RN ), obtemos que (a/n )V + é supersolução de (P ) p. Para (a/n )V, o raciocínio é análogo, visto que (a/n )V av ac, o que implica ( ) p F ((a/n )V ) ((a/n )V ) (V ) p C p p (V ) p V =, (3.) donde segue de (3.2), (6) e de (3.) que div( ((a/n )V ) p 2 ((a/n )V ) + f(x, (a/n )V ). E, como (a/n )V é uma função de C,α loc (RN ), obtemos que (a/n )V é subsolução de (P ) p. Tomando C δ = ac 2, V () = av e V () + = av +, n n n 29

39 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p temos de (3.7) que < δ V () (x) V () + (x) ac n < ac 2, x R N. (3.) Assim, pelo Teorema (ZY ) existe uma solução da equação (P ) p, a qual denotaremos por u (), tal que < δ V () (x) u () (x) V () + (x) ac n < ac 2, x R N. (3.2) Daí, de (3.6) e (3.2) temos u () (x) < u(x), x R N. temos Considere agora n 2 N, n 2 > n tal que ac n 2 n < δ. Multiplicando (3.) por n 2 < δ V () (x) V () + (x) ( ) ac, x R N. (3.3) n 2 n 2 n 2 n 2 n Com raciocínio análogo ao caso anterior, no qual consideramos n N, mostra-se que = V () e V (2) + = V () + n 2 V (2) são, respectivamente, sub e supersolução da equação (P ) p e, pelo mesmo teorema, existe uma solução u (2) satisfazendo n 2 < δ n 2 V (2) (x) u (2) (x) V (2) + (x) < ac n 2 n, x R N. (3.4) E, de (3.6), (3.2) e (3.4) segue que u (2) (x) < u () (x) < u(x), x R N. Considere agora δ 2 = δ n 2 e n 3 N, de forma que n 3 > n 2 > n e ac n 3 n 2 n < δ 2. Daí, substituindo V (2) e V (2) + em (3.3) e, multiplicando a mesma desigualdade por n 3, obtemos < δ 2 V (2) (x) V (2) + (x) ( ) ac, x R N, n 3 n 3 n 3 n 3 n 2 n sendo que pelo mesmo teorema, existe uma solução u (3), tal que < δ 2 V (3) (x) u (3) (x) V (3) + (x) ( ) ac, x R N. n 3 n 3 n 2 n 3

40 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Logo, u (3) (x) < u (2) (x) < u () (x) < u(x), x R N. que Repetindo esse processo, por indução, para cada k N, existe uma solução u (k) tal u (k) (x) < u (k ) (x) < u (k 2) (x) < < u (2) (x) < u () (x) < u(x), x R N. Logo, div( u p 2 u) = f(x, u), x R N possui uma infinidade de soluções inteiras positivas limitadas, e cada solução é limitada inferiormente e superiormente por uma constante positiva. Suponha agora que F satisfaz a hipótese (7) (ii), ou seja, lim t F (t) =. tp Assim, dado ɛ = C p >, existe a > tal que se t (, ) e t > a, então F (t) t p Tome a > tal que ac 2 > a. Como av + > ac 2 > a, segue que F (av +) (av + ) Consequentemente, F (av + )(V + ) p (av + ) p < ( V+ C ) p. p < C p < C p.. Logo, div( (av + ) p 2 (av + )) + f(x, av + ) (3.2) = a p ρ(x) + f(x, av + ) (6) a p ρ(x) + ρ(x)f (av + ) = a p ρ(x) [ F (av ] +)(V + ) p. (av + ) p Daí, div( (av + ) p 2 (av + )) f(x, av + ). 3

41 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Como U C,α loc (RN ), verifica-se que av + é supersolução de (P ) p. De forma semelhante ao que foi feito para av +, mostraremos que av é subsolução de (P ) p. Sabendo que av > ac 2 > a, temos que F (av )(V ) p (av ) p ( V C ) p F (av )(V ) p (av ) p ( V C ) p, e como ( V C ) p, segue que div( (av ) p 2 (av )) + f(x, av ) (3.2) = a p ρ(x) + f(x, av ) (6) a p ρ(x) + ρ(x)f (av ) = a p ρ(x) [ F (av ] )(V ) p (av ) p [ a p ρ(x) ( V C ) p ]. Daí, av é subsolução de (P ) p. Portanto, pelo Teorema (ZY ), existe uma solução u da equação (P ) p que satisfaz < ac 2 av (x) u(x) av + (x) ac, x R N. (3.5) Desde que podemos escolher a > suficientemente grande, então tomando n N, n tal que n ac 2 > ac > a, multiplicando (3.5) por n, obtemos n ac 2 n av (x) n av + (x) n ac, x R N. Como n av + > n ac 2 > a, então F (n av + ) (n av + ) (V +) p ( ) p p V+. Desta forma, ( V+ C ) p. Mas por (3.3), C F (n av + ) (n av + ) p (V +) p. (3.6) 32

42 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Assim, div( (n av + ) p 2 (n av + )) + f(x, n av + ) = (n a) p div( U p 2 U) + f(x, n av + ) (3.2) = (n a) p ρ(x) + f(x, n av + ) (6) (n a) p ρ(x) + ρ(x)f (n av + ) [ = (n a) p ρ(x) F (n ] av + ) (n av + ) (V +) p p (3.6), e, sabendo que U C,α loc (RN ), obtemos que n av + é supersolução de (P ) p. Por outro lado, n av > n ac 2 > a. Então F (n av ) < C p (n av ) p, donde segue que ( ) p F (n av ) (n av ) (V ) p V. p Utilizando este fato, obtemos que C div( (n av ) p 2 (n av )) + f(x, n av ). Daí, segue que n av é ainda subsolução de (P ) p. Representando β = n ac 2, γ = ac, funções V () e V () = n av e V () + = n av +, segue que as V () + são também sub e supersoluções, respectivamente, da equação (P ) p, com V () (x) V () + (x), x R N. Logo, pelo Teorema (ZY ) temos que existe uma solução û (), satisfazendo β V () (x) û () (x) V () + (x) γ, x R N, (3.7) onde γ = n γ. Daí, de (3.5) e (3.7) segue que û () (x) > u(x), x R N. 33

43 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Tomando n 2 N, n 2 > n de maneira que β 2 = n 2 β > γ, temos que n 2 β n 2 V () (x) n 2 V () + (x) n 2 γ, x R N. Considerando V (2) = n 2 V () e V (2) + = n 2 V () +, estas, são ainda sub e supersoluções respectivamente da equação (P ) p. Pelo Teorema (ZY ), concluímos que existe uma solução û (2) que satisfaz n 2 β V (2) (x) û (2) (x) V (2) + (x) n 2 γ, x R N. (3.8) Agora, tomando γ 2 = n 2 γ e β 2 como definido acima, segue de (3.8) que β 2 V (2) (x) û (2) (x) V (2) + (x) γ 2, x R N. (3.9) Portanto, de (3.5), (3.7) e (3.9) concluímos que û (2) (x) > û () (x) > u(x), x R N. O próximo passo consiste em tomar n 3 N, n 3 > n 2 > n, tal que β 3 > γ 2. Com idéia semelhante utilizada para β 2 > γ, obtemos uma solução u (3), via Teorema (ZY ) da equação (P ) p que satisfaz β 3 V (3) (x) û (3) (x) V (3) + (x) γ 3, x R N. Por esta razão, segue que û (3) (x) > û (2) (x) > û () (x) > u(x), x R N. Por indução, concluímos que div( u p 2 u) = f(x, u), x R N possui uma infinidade de soluções inteiras positivas limitadas. Além disso, estas soluções são limitadas inferiormente por ac 2, sendo esta, uma constante positiva. 34

44 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p 3.2 Demonstração do Teorema (MS 2 ): (Introdução) Demonstração: Seja r > um número positivo tal que F (r ) > e defina h r : [r, ) R r h r (r) = max s [r,r] F (s). Desde que F (s) max F (s), segue então que s [r, ) F (s) h(s), s [r, ). (3.2) Considere agora um número positivo a > arbitrário, e seja ɛ = a h(2a + 2r ) p, ɛ = a h(a + r ) p e ɛ 2 = a h(2a + r ) p. Sendo c = U, defina v = r + a ac U e v = r + a + ac U. Afirmação 3.2.: Se U ɛ então v = r +a ac U é uma subsolução da equação (P ) p. ( a ) ( ) p p a De fato, observe que U ɛ, daí segue que. Isto é, c ɛ ( a c ) p h(a + r ). (3.2) Além disso, como h é não-decrescente e a + r > a + r ac U, então h(a + r ) h(a + r ac U) (3.2) F (a + r ac U). (3.22) 35

45 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Logo, div( v p 2 v ) + f(x, v ) = div( (r + a ac U) p 2 (r + a ac U)) + f(x, v ) = ( ac ) p div( U p 2 U) + f(x, v ) (3.2) = (ac ) p ρ(x) + f(x, v ) (8) ρ(x)[(ac ) p F (v )] (3.2) ρ(x)[h(a + r ) F (v )]. Pela definição da função h e por (3.22), temos que div( v p 2 v ) + f(x, v ) ρ(x) [ F (r + a ac U) F (r + a ac U) ] =. Ou seja, div( v p 2 v ) f(x, v ). Portanto, v é subsolução de (P ) p, o que prova a afirmação Afirmação 3.2.2: Se U ɛ então v = r + a + ac U é uma supersolução da equação (P ) p. ( a ) ( ) p p a De fato, observe que U ɛ 2. Daí,. Logo, c ɛ 2 ( a ) ( ) p p a. c ɛ 2 Ou seja, ( a ) p h(2a + r ). c 36

46 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Adicionalmente, sabendo que 2a + r > r + a + ac U, e, sendo a função h não-decrescente, segue que h(2a + r ) h(r + a + ac U). Assim, div( v p 2 v ) + f(x, v ) = div( (r + a + ac U) p 2 (r + a + ac U)) + f(x, v ) (3.2) = (ac ) p ρ(x) + f(x, v ) (8) (ac ) p ρ(x) + ρ(x) F (v ) = (ac ) p ρ(x) + ρ(x) F (r + a + ac U) ( ) p a ρ(x) + ρ(x) F (r + a + ac U) ɛ 2 h(2a + r ) ρ(x) + ρ(x) h(r + a + ac U). E, daí segue que v é supersolução de (P ) p, o que prova a afirmação Desde que as funções v e v são tais que v (x) v (x), para todo x R N, segue pelo Teorema (ZY ) que a equação (P ) p, possui uma solução u satisfazendo v (x) u(x) v (x), x R N. Seja agora r > r tal que r [r, 2r ), e defina as funções v = r + a ac U e v = r + a + ac U. 37

47 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Mostraremos que v e v são, respectivamente, sub e supersolução de (P ) p. Observe que 2a + 2r > 2a + r > a + r. Assim, pela monotonicidade de h tem-se que ɛ < a h(2a + r ) p < a h(a + r ) p. Definindo ɛ = a h(a + r ) p e ɛ 2 = a h(2a + r ) p concluímos como no caso anterior, que v e v são, respectivamente, sub e supersolução da equação (P ) p. Assim, pelo Teorema (ZY ), a equação (P ) p tem uma solução u tal que, v < u < v. Desde que segue que e Portanto, Assim, lim U(x) =, x lim x v (x) = lim x v (x) = r + a lim x v (x) = lim x v (x) = r + a. lim u(x) = r + a e lim u (x) = r + a. x x u(x) u (x). Repetindo este processo, concluímos que para cada r [r, 2r ), a equação (P ) p tem uma solução u r tal que lim u r(x) = r + a. x 38

48 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Portanto, a equação (P ) p possui infinitas soluções limitadas em R N, todas maiores ou iguais a r. 3.3 Demonstração do Teorema (MS 3 ): (Introdução) Para demonstrar o Teorema (MS 3 ) necessitamos do resultado abaixo que será demonstrado no Apêndice A. Lema 3.3. Seja F uma função tal que F : R (, ) é não-decrescente e satisfaz G(t) p <, onde G(t) = t F (s) ds. Então, ds F (s) p <. (3.23) A idéia da demonstração do Teorema (MS 3 ) é construir sub e supersolução de (2) e em seguida aplicar o Teorema (ZY ). Para tanto, provaremos inicialmente que existem constantes positivas a, b onde a < b de modo que U(x) < b a F (t) p Demonstração: Pelo Lema 3.3, temos que, x R N. F (t) p <. (3.24) Afirmação 3.3.: Existem constantes positivas a, b onde a < b tais que De fato, por () U(x) < b a U(x) < U < F (t) p A prova do Lema 3.3 encontra-se no Apêndice A. 39, x R N. F (t) p, x R N,

49 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p e F (t) p Então, temos dois casos a considerar = F (t) p + F (t) p. () (2) F (t) p F (t) p < = Analisando o caso (): Como tome η, η 2 >, de tal modo que η < η 2 e F (t) p <, Observe que U < η < η 2 < n lim n F (t) p Portanto, existe b N, tal que se n b, tem-se = F (t) p F (t) p.. n F (t) p > η 2. Tomando n = b, temos que b F (t) p > η 2. (3.25) Ou seja, para < a < b, a desigualdade (3.25) é reescrita da seguinte forma η 2 < a F (t) p + b a F (t) p. Desde que s lim s F (t) p 4 =,

50 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p então existe a > tal que Desta forma, Daí, de (3.25) e (3.26), temos a η 2 F (t) p a < η 2 η. F (t) p > η. (3.26) U(x) < η < η 2 a F (t) p < b F (t) p a F (t) p e, sendo a < b, U(x) < η < b a F (t) p. Portanto, se F (t) p <, segue que existem constantes positivas a, b onde a < b tais que U(x) < b a F (t) p, x R N. Analisando o caso (2): Como segue que Então, existe a > tal que Consequentemente, lim s s a F (t) p F (t) p F (t) p =, =. > U. U < a F (t) p < b a F (t) p, b. 4

51 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Portanto, segue dos casos () e (2) que existem constantes positivas a, b tais que Defina v : R N (a, b) dada por U(x) < U(x) = b b v(x) a F (t) p F (t) p.. (3.27) No que segue, provaremos que a função v está bem definida. Para tanto, faremos uso do Teorema da Função Implícita. Inicialmente, defina ϕ : (, ) R N R ( s, x ) ϕ(s, x) = b s F (t) p U(x). A aplicação ϕ tal como foi definida, é de classe C ((, ) R N ), visto que ϕ s (s, x) = F (s) p e ϕ x i (s, x) = U x i (x) são contínuas para todo x R N, pois F é contínua por hipótese e U C (R N ) pela Proposição 3.. Adicionalmente, de (3.27), temos que, se s > b, então ϕ(s, x) < e se s < a, ϕ(s, x) >, pois < b a F (t) p U(x) < b s F (t) p U(x). Como F (t) >, concluímos pelo Teorema do Valor Intermediário que para cada x R N, existe um único θ(x) (a, b) tal que ϕ(θ(x), x) =. Sabendo que F é não-decrescente, segue que ϕ s (s, x) = F (s) p < ϕ s (θ(x), x) = F (θ(x)) p < Logo, pelo Teorema da Função Implícita existem abertos A (a, b) e B R N tais que, para todo x R N, existe δ x > e uma única função ξ x de classe C (B δx (x), (a, b)) tal que 42

52 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p ϕ(ξ x (y), y) =, para todo y B δx (x). Por unicidade segue que ξ x (y) = θ(y), para todo y B δx (x). Daí, θ C (B δx (x), (a, b)). Seja v : R N (a, b) dada por v(y) = ξ x (y), para cada B δx (x). Desta maneira, v C (R N, (a, b)) e v está bem definida. Afirmação 3.3.2: v tal como definida, é subsolução de (2). De fato, ρ(x) = div( U p 2 U) = = i= N i= x i ( ) p 2 U U x i ( ) N 2 ( ) v v x i F (v) p x F (v) p x N p 2 2. ( F (v) p ) v x i = = N i= N i= x i x i [( F 2 (v) p 2 p ( v p 2 F (v) v p 2 ) ) v x i. ( F (v) p )] v x i = F (v) N i= x i ( ) p 2 v v + F (v) x i F 2 (v) ( N ( ) ) 2 v v p 2 x i i= = F (v) div( v p 2 v) + F (v) v p, F 2 (v) além disso, como F é não-decrescente, então F (u) para todo u (, ). Logo, ρ(x) = div( U p 2 U) = div( v p 2 v) F (v) + F (v) v p F 2 (v) div( v p 2 v). F (v) Ou seja, div( v p 2 v) ρ(x)f (v) f(x, v), 43

53 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p onde a última desigualdade segue pela hipótese (9). Portanto, v é uma subsolução de (2), o que prova a afirmação Tomando w = b, temos que w é uma supersolução de (2), visto que = div( w p 2 w) f(x, w), x R N e w C (R N ). Partindo do fato que, v e w são sub e supersolução respectivamente de (2), e mais, que v(x) w(x) para todo x R N, concluímos pelo Teorema (ZY ) que existe uma função u C (R N ) que é solução de (2) satisfazendo v(x) u(x) b para todo x R N. Além disso, pela Proposição 3., temos que Logo, b = lim U(x) = lim x x v(x) F (t) p lim v(x) = b e, como w = b é supersolução, temos que x lim u(x) = b. x. Tome agora b > b e considere v tal que U(x) = b v (x) F (t) p. Com raciocínio análogo, v é subsolução e b supersolução de (2), onde v (x) b para todo x R N. Assim, pelo Teorema (ZY ), existe uma solução u de (2) tal que lim u (x) = b > b. x Por esta razão, u u. Desde que b pode ser escolhido como uma constante positiva suficientemente grande, a equação (2) possui uma infinidade de soluções inteiras positivas limitadas, todas elas limitadas inferiormente pelo número positivo a. 44

54 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p 3.4 Demonstração do Teorema (MS 4 ): (Introdução) Demonstração: Inicialmente, escolha a > tal que U < Como U(x), segue que a F (a) p. U(x) U < a F (a) p. Além disso, como F é contínua por hipótese, então existe algum ɛ > tal que U(x) a F (a + ɛ) p. (3.28) Nosso objetivo é encontrar soluções para a equação (P ) p usando o Teorema (ZY ). Para tanto, observe inicialmente que v ɛ é subsolução da equação (P ) p pois = div( ɛ p 2 ɛ) f(x, ɛ), x R N, além do que, v C (R N ). Agora, seja v 2 = ( a c ) U + ɛ onde c = U L (R N ), segue que div( v 2 p 2 v 2 ) = div( (ac U + ɛ) p 2 (ac U + ɛ)) = (ac ) p div( U p 2 U) = (ac ) p ρ(x). De (3.28), temos que c = U L a F (a + ɛ) p. Deste modo, obtemos ( a c ) p F (a + ɛ). 45

55 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p Sabendo que a + ɛ a c U(x) + ɛ, então F (a + ɛ) F (v 2 ). (3.29) Logo, da hipótese (3) e de (3.29), segue que div( v 2 p 2 v 2 ) = (ac ) p ρ(x) F (a + ɛ)ρ(x) F (v 2 )ρ(x) f(x, v 2 ). E, sendo v 2 de classe C (R N ), segue que esta é supersolução de (P ) p. Adicionalmente, v (x) v 2 (x), x R N. Daí, pelo Teorema (ZY ), existe uma solução u C (R N ) para a equação (P ) p satisfazendo < v (x) u(x) v 2 (x), x R N. Como temos que lim v 2(x) = lim x x (ac U(x) + ɛ) = ɛ e v (x) = ɛ, Agora, considere ɛ < ɛ tal que U(x) lim u(x) = ɛ. x a F (a + ɛ ) p. Observe que v () = ɛ é ainda subsolução da equação (P ) p e definindo v () 2 = ac U + ɛ, esta, é ainda supersolução de (P ) p. Além disso, v () (x) v () 2 (x), x R N. Daí, concluímos pelo Teorema (ZY ) que existe u C (R N ) que é solução da equação (P ) p e satisfaz < ɛ u (x) v () 2 (x), x R N. e Desde que, lim x v() 2 (x) = ɛ < ɛ, v () = ɛ, 46

56 Capítulo 3. Multiplicidade de soluções para a equação (P ) p temos que e, portanto, u (x) u(x), x R N. lim x u (x) = ɛ Como ɛ pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, a equação (P ) p possui uma infinidade de soluções inteiras positivas limitadas. 47

57 APÊNDICE A RESULTADOS TÉCNICOS Neste apêndice provaremos alguns resultados auxiliares utilizados nas demonstrações dos Teoremas do Capítulo 3. A. Demonstração da Proposição 3.: Demonstração: Defina V (x) = x ( s N s Observe que pela hipótese (3.), V está bem definida. ) t N p ψ(t) ds. Afirmação A..: V é uma solução fraca de div( V p 2 V ) = ψ( x ), x R N. 48

58 Apêndice A. Resultados Técnicos De fato, V (x) = ( s N s ) t N ψ(t) p ds x ( s N s ) t N p ψ(t) ds (A.) Daí, derivando (A.) com relação a x i obtemos, Agora, note que V x i (x) = x i = x (N ) p = x i x N p+2 p ( x ( s s N ( x t N ψ(t) ( x t N ψ(t) ) ) t N p ψ(t) ds ) p ) p x i x. V p 2 = = x 2( N p+2) p x Np+2N+p 2 p ( x t N ψ(t) ) 2 p ( ) p 2 x p t N ψ(t). (x x 2 N) p 2 2 Assim, V p 2 V = x x N p+2 p ( x t N ψ(t) = x x N p+2 Np+2N+p 2 p ( ) x = x x N t N ψ(t). ) p ( x t N ψ(t) x Np+2N+p 2 p ) p 2+ p ( x t N ψ(t) ) p 2 p Seja ϕ C (R N ). Então, 49

59 Apêndice A. Resultados Técnicos R N V p 2 V ϕ dx = = [ ( )] x x x N t N ψ(t) ϕ dx R N = R N = i= ( N ) x x N t N ψ(t) i= N ( ) x x N t N ψ(t) R N x i x i ϕ x i dx ϕ x i dx = N i= R N [ ( ) ] x x N t N ψ(t) x i x i ϕ dx = R N [ ( N )] x x i x N t N ψ(t) x i i= ϕ dx = R N [ ( N ) ( x ) ] x t N ψ(t) x N x i + t N ψ(t) x N x i i= ϕ dx = R N N i= x N ψ( x ) x i x x N x i ϕ dx + R N ( N ) x t N ψ(t) ( N) x N x i x x i ϕ dx i= + = N R N ( ) x t N ψ(t) x N ϕ dx (x x 2 N) x N N 2 ψ( x ) ϕ dx R N + R N x x 2 N x ( ) x t N ψ(t) ( N) x N ϕ dx 5

60 + N R N ( ) x t N ψ(t) x N ϕ dx Apêndice A. Resultados Técnicos = + = ( ) RN x 2 2 x 2 x ψ( x ) ϕ dx + t N ψ(t) ( N) x N x ϕ dx R x N N R N ( ) x t N ψ(t) x N ϕ dx ψ( x ) ϕ dx. R N Ou seja, V p 2 V ϕ dx = R N ψ( x ) ϕ dx, R N ϕ C (R N ). Portanto, V é solução fraca de div( V p 2 V ) = ψ( x ), x R N. Como ψ( x ) = max y =r ρ(y) ρ(x), tem-se que div( V p 2 V ) ρ(x), x R N. Observe que ρ é localmente Hölder contínua. Afirmamos que V C,λ loc (RN ) onde λ (, ). De fato, provaremos inicialmente que V C (R N ). É imediato observar que para x R N, x, temos que V é contínua. Mostraremos, portanto, a continuidade desta x i 5

61 função no zero. Considerando V como em (A.), segue que Apêndice A. Resultados Técnicos V V ( + he i ) V () () = lim x i h h = lim h hei ( s N s h ) t N p ψ(t) ds = lim h h ( s N s ) t N p ψ(t) ds. h Daí, se h +, V x i () = lim h + h ( s N s ) t N p ψ(t) ds h ( L Hopital = lim h + h N h ) t N p ψ(t) =, visto que lim h + ( h N h ) t N ψ(t) p =. De modo análogo, tem-se que V x i () = quando h. Logo, V x i () =. Agora, mostraremos que V lim (x) =. x x i 52

62 Apêndice A. Resultados Técnicos Como x i x N p+2 p ( x t N ψ(t) ) p x i x N p+2 p x N p ( x x i x ψ(t) ( x ψ(t) ) p ) p ( x ψ(t) ) p, então, passando ao limite na desigualdade acima quando x, obtemos ( ) x lim x x i x N p+2 p ( ) x p p t N ψ(t) lim ψ(t) =. x Isto é, ou seja, lim V x (x) x i =. V lim (x) = V () =. x x i x i Portanto, as derivadas parciais de V existem e são contínuas para todo x R N. Consequentemente, V C (R N ). No que segue, vamos mostrar que V C,λ loc (RN ) onde λ (, ). Para tanto, basta verificar que V C,λ (R N ), isto é, para todo z R N, existe r z > tal que V C,λ (B rz (z)). Defina h : R N R z h(z) = V (z) z i. Inicialmente, mostraremos para z, isto é, dado z R N \{}, existe δ z > tal que h(x) h(y) sup <, para algum λ (, ). x,y B δ (z) x y λ x y 53