Comportamento Assintótico de uma Equação de Onda Não-linear com Amortecimento

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA Comportamento Assintótico de uma Equação de Onda Não-linear com Amortecimento Cleber de Medeira CURITIBA-PR 28

2 Comportamento Assintótico de uma Equação de Onda Não-linear com Amortecimento Cleber de Medeira Orientação: Prof. Dr. Higidio Portillo Oquendo Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática Aplicada, Programa de Pós- Graduação em Matemática Aplicada, Setor de Ciências Exatas, Universidade Federal do Paraná. Curitiba-PR 28

3 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, pela vida e pelas oportunidades, À minha família, meus pais Teresinha e João de Medeira pela educação recebida e incentivo na vida estudantil, e Cleverson e Gabriel de Medeira meus irmãos, À Ana Eliza pelo apoio e compreensão, Ao professor Higidio P. Oquendo pela paciência e atenção ao ter me orientado, E a todos que, de uma forma ou outra contribuiram e acreditaram na realização deste trabalho. i

4 Sumário Resumo Abstract Introdução iii iv v Fundamentos. Resultados de Análise Espaços L p Distribuições Espaços de Sobolev Existência e Unicidade 8 2. Formulação variacional Prova do Teorema Decaimento Uniforme Solução global Decaimento Exponencial Soluções não globais 55 Referências Bibliográficas 65 ii

5 Resumo Neste trabalho, estudamos o comportamento assintótico da equação de onda nãolinear dada por u tt u + a( + u t m 2 )u t = bu u p 2, onde a função g(u t ) = a( + u t m 2 )u t é um termo não-linear de amortecimento e f(u) = bu u p 2 é um termo fonte, também não-linear. Ambos estão relacionados com as propriedades do material envolvido no modelo. Para dados iniciais arbitrários, mostramos a existência de solução local do problema, em seguida para dados iniciais suficientemente pequenos, a existência de solução global e o decaimento exponencial de energia. No caso em que a energia inicial é negativa, obtemos um resultado de explosão da energia em um tempo finito. Palavras-chave: Equação de Onda, Decaimento Exponencial, Estabilidade, Termo Dissipativo. iii

6 Abstract In this work we study the asymptotic behavior of the nonlinear wave equation u tt u + a( + u t m 2 )u t = bu u p 2, where the nonlinear function g(u t ) = a( + u t m 2 )u t is a damping term and f(u) = bu u p 2 is a source term, also nonlinear. Both are related to the properties the material involved in the model. Existence of a local solution is obtained for arbitrary initial data. Existence of the global solution and exponential decay of energy, is proved if the initial data are small enough. In the case of negative initial energy, a blow-up result in finite time is also proved. Keywords: Term. Wave Equation, Exponential Decay, Blow-up, Stability, Dissipative iv

7 Introdução A estabilidade da solução da equação de onda com termos não-lineares, há muitos anos tem interessado vários pesquisadores tais como Messaoudi [2],[], Todorova, Georgiev [5], Nakao [3], dentre outros. Neste trabalho estudamos a equação de onda envolvendo um termo de amortecimento g(u t ) e um termo fonte f(u), ambos não-lineares, considerando o seguinte problema: u tt u + g(u t ) + f(u) =, x, t >, u(x, t) = x, t, u(x, ) = ϕ(x) u t (x, ) = ψ(x), x, () em um domínio limitado do R n (n ), com fronteira suave. Em nosso contexto g(u t ) = a( + u t m 2 )u t e f(u) = bu u p 2 com a, b contantes positivas e m, p > 2. Os objetivos do trabalho são: Mostrar que para uma devida escolha dos dados iniciais ϕ e ψ, o problema () tem solução fraca global, isto é, a solução do problema está definida para todo t, e sua energia decai exponencialmente, também mostrar que se a energia inicial do sistema é negativa, temos um resultado sobre soluções não globais. Primeiramente mostramos a existência de uma única solução fraca local de (), para quaisquer dados iniciais (ϕ, ψ) em H() L 2 (), ou seja, a solução está definida num intervalo de tempo finito. Posteriormente supondo dados iniciais relativamente pequenos, provamos que a solução é global e sua energia decai exponencialmente de maneira uniforme. A existência de solução global porém, não necessariamente depende dos dados iniciais, em [5] os autores estudam a relação entre o termo de amortecimento g(u t ) e o termo fonte f(u) e mostram que se p m, v

8 para quaisquer dados iniciais a solução é global. No capítulo, apresentamos uma breve base teórica a ser ulitizada no desenvolvimento do texto. Mostramos alguns resultados de análise, como o teorema do ponto fixo de Banach, que será utilizado na prova da unicidade de solução, definimos os espaços L p, as distribuições e espaços de Sobolev, provando alguns resultados sobre estes (Veja [3], [4], [9] e [] para uma exposição mais completa). No capítulo 2, fazendo uso do resultado provado por Todorova e Georgiev em [5], mostramos a existência e unicidade local de uma solução fraca de (), utilizando um método aproximativo de soluções de um problema auxiliar provado por Lions em [8]. No terceiro capítulo, mostramos que sob certas condições para os dados iniciais a solução é global, a prova é baseada na teoria do Potencial introduzida por Sattinger e Payne (Veja [5] e [6]), em seguida para a mesma condição dos dados iniciais, provamos o decaimento exponencial de energia do problema (veja [2]). Finalmente no quarto e último capítulo, apresentamos um resultado sobre soluções não globais do problema (), para isto mostramos que a solução explode em um tempo finito, quando a energia inicial é negativa e p > m, tal resultado segue a idéia de Messaoudi em [2], de um problema semelhante à (), cujo termo de amortecimento é dado por g(u t ) = au t u t m 2, a prova deste, melhora o resultado de Georgiev e Todorova (veja [5]), onde os autores mostram que a explosão ocorre para dados iniciais grandes, de modo que a energia inicial seja suficientemente negativa. vi

9 Capítulo Fundamentos Omitiremos aqui, definições e alguns conceitos básicos de análise funcional, sobre espaços métricos, normados (espaços de Banach e de Hilbert), bem como seqüências de Cauchy, dentre outros. O objetivo do capítulo é apontar resultados já conhecidos, principalmente da teoria dos espaços L p, distribuições e espaços de Sobolev, os quais serão fundamentais para mostrar nossos principais resultados. Algumas vezes somente indicaremos onde se encontra a demonstração dos teoremas aqui citados.. Resultados de Análise Desigualdades tipo Gronwall Lema. (Gronwall) Sejam ω, α e f funções reais contínuas, tais que f e então ω(t) α(t) + ω(t) α(t) + t t t f(s)ω(s)ds, t f(s)α(s)e t s f(τ)dτ ds, No caso particular que α(t) = C constante, temos ( t ) ω(t) C exp f(s)ds. t

10 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 2 Demonstração: Seja g(t) = temos t t f(s)ω(s)ds, então g (t) = f(t)ω(t) e da hipótese g (t) = f(t)ω(t) f(t)α(t) + f(t)g(t) = [g(t)e A(t) ] f(t)α(t)e A(t), onde A (t) = f(t). Portanto, e da hipótese, segue que g(t)e A(t) t ω(t) α(t) + e A(t) t t f(s)α(s)e A(s) ds, t f(s)α(s)e A(s) ds, o que implica o resultado. No caso que α(t) = C constante, basta utilizar ( t ) f(s) exp f(τ)dτ = dds ( t ) exp f(τ)dτ. s s Lema.2 Se ω e f são funções reais contínuas e positivas, tais que ω(t) 2 C + então t f(s)ω(s)ds, C, t (C constante) ω(t) C + 2 t f(s)ds. Demonstração: Seja F (t) = C + t f(s)ω(s)ds, portanto como f e ω são contínuas F (t) = f(t)ω(t) f(t)f (t) /2, ou seja, F (t) /2 F (t) f(t), então temos que 2(F (t) /2 ) f(t) e integrando de à t esta desigualdade obtemos, 2(F (t) /2 F () /2 ) logo F (t) /2 F () /2 + 2 t t f(s)ds, f(s)ds, finalmente como ω(t) F (t) /2, chegamos ao resultado.

11 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 3 Teorema do ponto fixo de Banach Definição. Seja X = (X, d) espaço métrico. A aplicação T : X X denominase aplicação contractante ou contração em X, se existir um número real α [, ) tal que x, y X d(t x, T y) αd(x, y). Um ponto fixo da aplicação T : X X, é qualquer elemento x X, tal que T x = x. Teorema. (Ponto fixo de Banach) Considere X = (X, d) um espaço métrico completo com respeito a sua métrica d. Se T : X X é uma contração em X, então T possui um único ponto fixo em X. Demonstração: Seja x X, definimos a seqüência iterativa (x n ) n N em X da seguinte forma x, x = T x, x 2 = T x = T 2 x,... x n = T x n = T n x,... Mostremos que esta seqüência é de Cauchy em X. Suponha por conveniência n m, d(x n, x m ) = d(t n x, T m x ) = d(t x n, T x m ) αd(x n, x m ) = αd(t x n 2, T x m 2 ) α 2 d(x n 2, x m 2 )... α n d(x, x m n ) α n [d(x, x ) + d(x, x 2 ) d(x m n, x m n )] α n d(x, x )[ + α + α α m n ] α n d(x, x ) α. Como α [, ) e d(x, x ) estão fixos, temos que o lado direito da expressão acima tende a zero se n cresce muito, então (x n ) n N é de Cauchy em X, que é completo, logo x n converge para algum x em X, isto é, para qualquer ε >, existe n N tal que, para todo n > n temos d(x n, x) < ε 2.

12 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 4 Portanto, d(x, T x) d(x, x n+ ) + d(x n+, T x) = d(x, x n+ ) + d(t x n, T x) d(x, x n+ ) + αd(x n, x) d(x, x n+ ) + d(x n, x) < ε 2 + ε 2 = ε se n > n, então d(x, T x) = = x = T x, isto é, x é ponto fixo de T em X. Seja x = T x e y = T y, como d(t x, T y) αd(x, y), concluimos que d(x, y) αd(x, y), o que implica d(x, y) = = x = y. Para facilitar a posterior leitura da demonstração do teorema de existência, provaremos nesta seção o seguinte resultado. Lema.3 Sejam m > 2 e < ε < constantes, então é válida a seguinte 2m 2 desigualdade (α + α α m 2 β β β m 2 )(α β) ε α β m α, β R. Demonstração: Escrita de outra forma a desigualdade fica (α β) 2 + (α α m 2 β β m 2 )(α β) ε α β m, como (α β) 2 α, β R, então basta mostrar que (α α m 2 β β m 2 )(α β) ε α β m α, β R. Se α = β ou β = é direto, suponha então α β e β, logo (α α m 2 β β m 2 )(α β) ε α β m (α α m 2 β β m 2 ) (α β) β β m 2 β ε α β m β m (γ γ m 2 )(γ ) ε γ m onde γ = α β.

13 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 5 Como (γ γ m 2 )(γ ) >, a desigualdade anterior é equivalente à γ γ m 2 ε γ m. Então, o problema resume-se em provar que a função f(γ) = γ γ m 2 ε γ m, γ R. Observe que f é uma função contínua em toda reta. Caso : Se γ <, temos f(γ) = ( γ) m + ε( γ) m e f (γ) = (m )[ε( γ) m 2 ( γ) m 2 ], fazendo f (γ) =, encontramos o ponto crítico γ = ε m 2 portanto γ < γ = ε m 2 ε m 2 ε m 2 <, e se = γ( ε m 2 ) < ε m 2, ( γ)ε m 2 < γ = ( γ) m 2 ε < ( γ) m 2, segue que f (γ) <, logo a função é decrescente em (, γ ). Usando o mesmo raciocínio para γ > γ, teremos f (γ) >, ou seja, f é crescente em (γ, ). Vimos que γ é um ponto de mínimo em (, ). Verifiquemos que f(γ ) >. Da hipótese < ε < = 2ε m 2 2m 2 < = ε m 2 < ε m 2 = ε < ( ε m 2 ) m 2. Portanto, ε( ε m 2 ) < ( ε m 2 ) m, o que implica ε ε m m 2 < ( ε m 2 ) m, ou seja, ( ε m 2 ) m + ε m m 2 ε >, então f(γ ) = ε m m 2 ( ε + ε m 2 ) m ( = ε m m 2 + ( ε m 2 ) m ε ( ε m 2 ) m ε m 2 ε m 2 >, + ) m ficando provado que f(γ) >, γ <. Observe também que f() = ε >. Caso 2: Se < γ <, f(γ) = ( γ m ) ε( γ) m e f (γ) = (m )[ε( γ) m 2 γ m 2 ],

14 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 6 fazendo f (γ) =, temos que γ = ε m 2 < é um ponto crítico em (, ), e + ε m 2 usando mesmo raciocínio do caso anterior teremos f crescente para < γ < γ e decrescente para γ < γ <, isto é, γ é ponto de máximo em (, ). Como f é contínua e f() = temos que f(γ) se < γ. Caso 3: Se γ >, f(γ) = (γ m ) ε(γ ) m. Sendo ε <, f (γ) = (m )(γ m 2 ε(γ ) m 2 ) > (m )(γ m 2 (γ ) m 2 ) >, portanto f é crecente em (, + ), então f(γ) > γ >. Teorema.2 Seja V um espaço de Hilbert separável. Considere o espaço das funções contínuas de [, T ] tomando valores em V, denotado por C([, T ]; V ). Se B é um subespaço denso em V, então C ([, T ]; B) é denso em C([, T ]; V )..2 Espaços L p Usaremos daqui em diante termos de teoria da Medida, tais como funções mensuráveis, integráveis, igualdade (desigualdade) em quase todo ponto (q.t.p), conjunto de medida nula. No que segue, será um aberto do R n. Definição.2 Seja p < e R n. Definimos o espaço L p () como o conjunto das (classes de) funções u : R mensuráveis p-integráveis em, i.e.: L p () := {u : R; u é mensurável e u(x) p < }, ( ) com a seguinte norma u p := u(x) p p. Para p =, temos L () := {u : R; u é mensurável e K tal que u(x) K q.t.p em }, com a norma u := sup ess u(x) = inf{k; u(x) K q.t.p em }. x Teorema.3 Os espaços L p (), com p são espaços de Banach.

15 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 7 Demonstração: Veja [3] página 57. Observação: No caso p = 2, temos que L 2 () é um espaço de Hilbert, munido do seguinte produto interno (u, v) 2 := u(x)v(x) dx. Teorema.4 (Desigualdade de Hölder) Sejam u L p () e v L p (), com p e p + p =. Então uv L () e uv dx u p g p. (.) Demonstração: Se p =, temos que p =, então basta observar que u(x)v(x) dx v Para p >, da desigualdade de Young temos que u(x) dx. αβ αp p + βp p, α, β, logo supondo que u L p () e v L p (), com u p e v p α = u(x) e β = v(x) na desigualdade de Young, chegamos à u p v p e tomando u(x)v(x) u p v p u(x) p p u p p + v(x) p p v p p, integrando em, u p v p u(x)v(x) dx p + p =. Segue que uv é integrável e (.) acontece. Lema.4 Seja R n um conjunto limitado, isto é, possui medida finita, então temos que L p () esta imerso continuamente em L q () para q p, ou seja, existe uma constante C (dependendo de ), tal que u q C u p, u L p () e q p.

16 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 8 Demonstração: Seja u L p (), queremos mostrar que u L q () onde q p. Se p = q é direto. Seja q < p, então q p >, Definindo s := q p, teremos qs + q p =, conseqüentemente qs + p q =. Como < p q e qs = q, temos que < p g L qs (). De fato ( u q ) p q dx = u p dx < e qs. Por outro lado, u q L p q () e qs dx = µ() <, onde µ() denota a medida de. Logo da desigualdade de Hölder, ( ) q ( ) u q dx = u q g dx ( u q ) p p qs q dµ qs dµ = ( ) q ( u p p )dµ µ() qs = µ() qs u q p <. Então u L q (), e segue que u q continuidade da imersão. C u p, onde C = µ() s, o que mostra a.3 Distribuições Espaço de funções teste Seja α = (α, α 2,..., α n ) N n, denotemos por D α = α o operador diferencial de ordem α. α x α 2 x 2... αn x n, onde α = α + α α n

17 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 9 Se u é uma função mensurável sobre e (ω i ) i I é a família de todos subconjuntos abertos de, tal que u = q.t.p em cada ω i, temos que u = q.t.p. em ω = i I ω i, e o suporte de u (supp u) é definido como o subconjunto fechado supp u = \ ω. No caso em que u seja contínua supp u = {x ; u(x) }. Dizemos que uma função u tem suporte compacto em, se existir K compacto tal que supp u K. Representa-se por C () o espaço vetorial das funções reais definidas em, com suporte compacto e derivadas parciais de todas as ordens. Em C () considera-se a seguinte noção de convergência: Uma seqüência de funções (ϕ n ) n N converge para zero em C () quando: (i) Todas as ϕ n possuem suportes contidos em um compacto fixo K de ; (ii) A seqüência (ϕ n ) n N converge para zero uniformemente em K, juntamente com suas derivadas de todas as ordens. Seja ϕ C (). Dizemos que (ϕ n ) n N converge para ϕ em C () se (ϕ n ϕ) n N converge para zero como definido acima. Ao espaço C (), munido desta noção de convergência, denotamos por D(), o qual chamamos espaço das funções testes. Exemplo. A função ρ : R n R definida por: ( ) exp se x x ρ(x) = 2 2 < 2 se x 2 pertence à D(R n ), e supp u = {x R n ; x 2 }. Teorema.5 O espaço C () é denso em L p () para p <.

18 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Demonstração: Veja [3] página 7. Definição.3 (Distribuição) Uma distribuição sobre, é uma forma linear T sobre D() que é contínua no sentido da convergência definida em D(), i.e. T : D() R (i) T (αϕ + βψ) = αt (ϕ) + βt (ψ), α, β R e ϕ, ψ D(); (ii) Se (ϕ n ) n N converge para ϕ em D() então (T (ϕ n )) n N converge para T (ϕ) em R. Representamos por T, ϕ a distribuição T em ϕ, e por D () o espaço vetorial das distribuições sobre. Dizemos que (T n ) n N converge para T em D (), quando a seqüência ( T n, ϕ ) n N converge para T, ϕ em R para toda ϕ D(). A notação L p loc () será usada para designar o espaço vetorial L p loc () = {f : R; f Lp (K) K compacto K }. Pode-se comprovar sem dificuldades que L p () L loc (), para todo p. Exemplo.2 Se u L loc (), então a forma linear T u definida em D() por Tu, ϕ = u(x)ϕ(x) dx, ϕ D(), é uma distribuição. Prova: Como cada ϕ possui suporte compacto em, esta integral existe, logo T u está bem definida. Além disso, T u é univocamente determinada por u. Como T é dada por uma integral, é linear, logo para provar que é uma distribuição basta demonstrar que é contínua. T u, ϕ u(x) ϕ(x) dx (max ϕ(x) ) u(x) dx, x K K isto é, T u, ϕ C(max ϕ(x) ). (.2) x K

19 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Logo se (ϕ n ) n N converge para ϕ em D(), para todo δ > existe um compacto fixo K e n N, tal que se n > n = max x K ϕ(x) ϕ n(x) < δ. Tomando δ = ε C, da relação (.2) temos que dado ε >, se n > n T u, ϕ T u, ϕ n C(max x K ϕ n(x) ϕ(x) ) < C ε C = ε. Lema.5 (Du Bois Raymond) Se u L loc (), então T u =, se e somente se u = q.t.p. em. Demonstração: Veja [] página. Exemplo.3 Seja x, então a forma linear δ x definida por δx, ϕ = ϕ(x ), ϕ D(), é chamada de distribuição de Dirac concentrada em x. A distribuição δ x não é definida por uma função u L loc (). De fato, seja u L loc (), suponha que u(x)ϕ(x) dx = ϕ(x ) = δ x, ϕ, ϕ D(), logo se ϕ D() temos que ϕ(x) = x x 2 ϕ(x) D(), então u(x) x x 2 ϕ(x) dx = u(x) ϕ(x) dx = ϕ(x ) = ϕ D(), e pelo Lema de Du Bois Raymond, u(x) x x 2 = q.t.p. em, o que implica que u(x) = q.t.p. em, isto é, δ x =, contradição.

20 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 2 Definição.4 (Derivada de uma Distribuição) Considere T D () e α N n. A derivada de T de ordem α é a distribuição representada por D α T, definida em D() por D α T, ϕ = ( ) α T, D α ϕ, ϕ D(). Exemplo.4 (Função Heaviside) A função definida da seguinte forma: u(x) = se x > e u(x) = se x <, é chamada de função Heaviside. Ela pertence a L loc (R), mas sua derivada no sentido das distribuições é u, ϕ = u, ϕ = ϕ (x)dx = ϕ() = δ, ϕ ϕ D(R), logo u = δ não pertence a L loc (R). Este fato motiva a definição dos espaços de Sobolev, uma classe de espaços de Banach muito importante no estudo que segue deste trabalho..4 Espaços de Sobolev Nesta seção introduzimos os espaços de Sobolev, e algumas propriedades que serão usadas posteriormente. Como visto na seção anterior, se u L p (), p, então u possui derivada de todas as ordens no sentido das ditribuições, porém sua derivada também chamada de derivada fraca, não é em geral uma distribuição definida por uma função de L p (). Representamos por W,p () o espaço de Sobolev das funções u L p () tal que a derivada fraca Du L p (), ou ainda: Definição.5 Seja p. Define-se o espaço de Sobolev W,p () = {u L p (); Du L p ()} = {u L p (); v, v 2,..., v n L p (); tal que ϕ D() i =, 2,..., n}. u ϕ dx = v i ϕ dx x i

21 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 3 No caso em que u W,p (), temos v i = u x i e u = Denotamos com H () = W,2 (). ( u, u,..., u ). x x 2 x n Proposição. O espaço W,p, para p é um espaço de Banach munido da norma u W,p = u p + n u x i, p i= ou da norma equivalente ( u W,p = u p p + n ) p /p u x i. i= p Para p =, temos que u W, = sup ess Du(x). x O espaço H () é um espaço de Hilbert com o seguinte produto interno (u, v) H = (u, v) 2 + Demonstração: Veja [3] página 5. n i= ( u, v ). x i x i 2 Definição.6 (O espaço W,p ()) Seja p < ; definimos Denotamos com H () = W,2 (). W,p () := C () em W,p (). Teorema.6 Suponha de classe C, tal que u W,p () C(), com p <, então são equivalentes as seguintes afirmações:

22 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 4 (i) u = sobre ; (ii) u W,p (). Ou seja, de maneira grosseira podemos considerar que os elementos de W,p (), são as funções de W,p () que se anulam na fronteira de. Demonstração: Veja [3] página 7. Teorema.7 Seja de classe C. Se u L p () com < p <. Então as seguintes propriedades são equivalentes: (i) u W,p (); (ii) Existe uma constante C, tal que u ϕ dx x i C ϕ p ϕ D(), i =,..., n ; u(x) se x (iii) A função u(x) =, pertence a W,p (R n ) e se x R n \ neste caso u x i = u x i. Demonstração: Veja [3] página 72. Como conseqüência deste teorema, temos um resultado muito importante, que será utilizado com freqüência neste trabalho. Corolário. (Desigualdade de Poincaré) Seja aberto e limitado em R n. Então existe uma constante C (dependendo somente de e p) tal que u p C u p u W,p () ( p < ). A expressão u p define uma norma para W,p (), e para H () definimos o seguinte produto interno (u, v) H := u v dx.

23 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 5 Os Espaços W m,p () Seja m 2 inteiro e p. Definimos por recorrência os espaços de Sobolev W m,p () = { u W m,p u (); W m,p () i =, 2,..., n } x i = { u L p (); α N n com α m, v α L p (), tal que ud α ϕ dx = ( ) α v α ϕ dx, ϕ D() }. Denotamos por v α = D α u. O espaço W m,p (), munido da norma u W m,p = α m u W m, = α m D α u(x) p dx p se p <, ou sup ess D α u(x), se p = x é um espaço de Banach. Quando p = 2 temos o espaço de Hilbert H m (). Imersões de Espaços de Sobolev Estamos interessados aqui na imersão dos espaços de Sobolev W m,p (). Temos três casos a considerar, mp < n, mp > n, e mp = n. Verifica-se então que W m,p () está imerso continuamente em L q (), para um q especial, visto a seguir. Teorema.8 Seja m e p <. Se n 2, verifica-se: Se mp < n, então W m,p (R n ) L q (R n ) para p q q onde q = p m n ; Se mp = n, então W m,p (R n ) L q (R n ) q [p, ) ; Se mp > n, então W m,p (R n ) L (R n ). com imersões contínuas. Demonstração: Ver [3] página 68. No caso em que R n é um aberto de classe C, com fronteira limitada tem-se:

24 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 6 Corolário.2 Seja p. Então Se p < n, então W,p () L q () para p q q onde q = p n ; Se p = n, então W,p () L q () q [p, ) ; Se p > n, então W,p () L (). com imersões contínuas. Demonstração: Ver [3] página 68. No caso em que n =, temos uma melhor regularidade para as funções de W m,p. Para I R é válida a inclusão W m,p (I) C m (I) com imersão contínua (Veja [3] página 32). Observação: Usaremos a notação Y X para designar que o espaço Y está imerso continuamente em X. Seja X um espaço de Hilbert real e separável. Definição.7 O espaço L p (, T ; X), com p <, consiste nas funções mensuráveis ω : [, T ] X, tal que Para p = temos ( T ω L p (,T,X) = ω(t) p X ) p <. ω L (,T,X) = sup ess ω(t) X <. t T Definição.8 (Distribuição Vetorial) Uma distribuição vetorial sobre (, T ), com valores em X, é uma aplicação linear contínua sobre D(, T ) com valores em X. Denotamos o espaço das distribuições vetoriais com L(D(, T ), X). Exemplo.5 Semelhante ao Exemplo.2, dada v L p (, T ; X), a aplicação definida por é uma distribuição vetorial. Tv, ϕ T = v(s)ϕ(s) ds, ϕ D(, T ),

25 CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 7 Analogamente a Definição.4, dada S L(D(, T ), X) definimos sua derivada de orden n por d n S dt n, ϕ = ( ) n S, dn ϕ dt n, ϕ D(, T ), sendo dn S dt n também uma distribuição vetorial. Dizemos que S i S em L(D(, T ), X) quando: Si, ϕ S, ϕ, ϕ D(, T ). Definição.9 Seja ω L p (, T, X). Se existe ψ L p (, T, X) tal que T T ω(t)ϕ (t)dt = ψ(t)ϕ(t)dt ϕ D(, T ). Então temos a derivada fraca ω = ψ (derivada no sentido das distribuições vetoriais) e definimos o espaço de Sobolev W,p (, T, X), das funções ω L p (, T, X) tal que ω L p (, T, X), munido da seguinte norma ( T ω W,p (,T ;X) := ω(t) p X + ω (t) p X dt ) p se p <, ω W, (,T ;X) := sup ess( ω(t) X + ω (t) X ) se p =. t T Teorema.9 Seja u W,p (, T ; X) para p. Então u C([, T ]; X), sup u(t) X C u(t) W,p (,T ;X) onde a constante C depende somente de T. t T Demonstração: Veja [4] página 286.

26 Capítulo 2 Existência e Unicidade O objetivo deste capítulo é mostrar que existe uma única função u, solução fraca do problema da equação de onda não-linear, dado pelo seguinte modelo: u tt u + a( + u t m 2 )u t = bu u p 2, x, t >, u(x, t) =, x, t, u(x, ) = ϕ(x), u t (x, ) = ψ(x), x, (2.) em um domínio R n, limitado com fronteira suave, sendo a, b > e m, p > 2, constantes. Provaremos a existência e unicidade de uma solução local do problema (2.), e no próximo capítulo, para dados iniciais ϕ e ψ pequenos, a existência global. Usaremos a existência e unicidade de solução do seguinte problema auxiliar: u tt u + a( + u t m 2 )u t = h, x, t (, T ), a > e m > 2, u(x, t) =, x, t, u(x, ) = u (x), u t (x, ) = u (x), x. (2.2) Teorema 2. Seja T >. Se h, u e u são funções dadas, tal que h L 2 (, T ; H ()), u H 2 () H (), h t L2 (, T ; L 2 ()); u H () L 2(m ) (); com R n limitado de fronteira suave. Então existe uma única solução u(x, t) do problema (2.2), tal que 8

27 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 9 u L (, T ; H 2 () H()), u t L (, T ; H()) L m ( (, T )), u tt L (, T ; L 2 ()). Demonstração: A prova deste teorema é semelhante a do Teorema 3. de [8] página 38, a qual omitiremos aqui. Quando não houver confusão usaremos a notação u(t), ou simplesmente u no lugar de u(x, t), também u e u ao invés de u t e u tt. Para simplificar e facilitar a leitura do texto, muitas vezes denotaremos com o mesmo símbolo várias constantes diferentes, quando estas não interfirirem no resultado procurado. 2. Formulação variacional A fim de introduzir um conceito de solução fraca do problema (2.) multiplicamos a equação u tt u + a( + u t m 2 )u t = bu u p 2 (2.3) por κ H () L m (), e integrando em chegamos à d dt (u t, κ) 2 + ( u, κ) 2 + (au t + au t u t m 2, κ) 2 = (bu u p 2, κ) 2, onde esta igualdade variacional consiste em substituir a igualdade pontual (2.3). Chamaremos de solução fraca do problema (2.), toda função u que satisfaz d dt (u t, κ) 2 + ( u, κ) 2 + (au t + au t u t m 2, κ) 2 = (bu u p 2, κ) 2, u(x, t) =, x, t, u(x, ) = ϕ(x), u t (x, ) = ψ(x), x. para toda κ em H () L m (). (2.4) Consideremos o espaço energia H = H () L 2 () munido do seguinte produto interno (U, V ) H = ( u, v ) 2 + (u 2, v 2 ) 2,

28 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 2 e a norma associada U H = ( u u 2 2 2) /2, onde U = u, V = v H. u 2 v 2 Teorema 2.2 (Existência e Unicidade) Sejam m > 2 e p > 2 quando n 2 ou 2 < p 2 n n 2 quando n 3. (2.5) Se (ϕ, ψ) H, (2.6) então o problema (2.) tem única solução fraca u, tal que u Y T = u U = u ; U C([, T ]; H), u 2 L m ( (, T )), t u 2 para um T suficientemente pequeno. Antes de provar o teorema acima, usaremos a equação de evolução abstrata do problema (2.) no seguinte sentido: Seja u 2 U = u, A =, g(u) = e f(u) = a(u 2 + u 2 u 2 m 2 ) bu u p 2 Então, se U = u o problema (2.) pode ser escrito da seguinte forma: u t t U AU + g(u) = f(u), U() = ϕ ψ. Provaremos primeiro a seguinte proposição.

29 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 2 Proposição 2. Suponha que as condições (2.5) e (2.6) do Teorema 2.2 sejam válidas. Então dado U C([, T ]; H), existe um único V Y T solução fraca de t V AV + g(v ) = f(u), V () = ϕ ψ, (2.7) onde V = v, v t e vale a seguinte identidade de energia 2 V (t) 2 H 2 V () 2 H + t (g(v ), V ) H dτ = t (f(u), V ) H dτ. Demonstração: Por definição H () := C () em H (), e como C () é denso em L 2 () temos que H = C () H C () L2 = C () 2H, logo para os dados iniciais (ϕ, ψ) H, existe uma seqüência ((ϕ i, ψ i )) i N C () 2, tal que (ϕ i, ψ i ) (ϕ, ψ) em H. Do Teorema.2 do Capítulo, para cada elemento U C([, T ]; H), existe uma seqüência (U i ) i N C ([, T ]; C () 2 ), tal que U i U em C([, T ]; H). Usaremos daqui em diante a notação u i para designar o índice da seqüência (u i ) i N e não o expoente da função u. Para cada i N, consideremos o problema v i tt v i + a( + v i t m 2 )v i t = bu i u i p 2, x, t >, v i (x, t) = x, t, v i () = ϕ i C () e v i t() = ψ i C (), (2.8)

30 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 22 e U i = ui a seqüência que aproxima U em C([, T ]; H). u i 2 Verifiquemos que u = ϕ i, u = ψ i e h = bu i u i p 2 satisfazem as hipóteses do Teorema 2., e portanto existe um único v i solução de (2.8) com as seguintes características ou seja, existe um único V i = v i L (, T ; H 2 () H ()), v i t L (, T ; H ()) L m ( (, T )), vtt i L (, T ; L 2 ()), vi v i t solução do problema abstrato t V i AV i + g(v i ) = f(u i ), V i () = ϕi ψ i. (2.9) De fato, temos que ϕ i, ψ i C (), portanto ϕ i H 2 () H () e ψ i H () L 2(m ) (). Verifiquemos então que h = bu i u i p 2 L 2 (, T ; H ) e h = b(p ) u i p 2 (u i ) L 2 (, T ; L 2 ()). Como a função G(s) = bs s p 2 C (R) e u i (t) C (), temos que G u i (t) = bu i (t) u i (t) p 2 C (), então, h = bu i u i p 2 C([, T ]; C()) L 2 (, T, C()). Por outro lado, como C() H(), segue que h L 2 (, T ; C()) L 2 (, T ; H()). Observe agora que G (s) = (p )b s p 2 C(R), então [G u i (t)] = G (u i (t))(u i (t)) = (p )b u i (t) p 2 (u i (t)) C (). Portanto h = (p )b u i p 2 (u i ) C([, T ]; C ()) L 2 (, T ; C ()). Como C () L 2 (), segue que h L 2 (, T ; C ()) L 2 (, T ; L 2 ()). Então, para cada i N existe uma única solução V i do problema abstrato (2.9).

31 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 23 Mostraremos que esta seqüência de soluções (V i ) i N do problema (2.9), converge em Y T para uma solução fraca V de (2.7). (V i ) i N converge para alguma V em Y T Verifiquemos que V i Y T para cada i N. Como v i L (, T ; H 2 () H()) L (, T ; H()) e vt i L (, T ; H()), temos que v i W, (, T ; H()), então pelo Teorema.9 do capítulo, concluimos que v i C([, T ], H()). Analogamente vt i L (, T ; H()) L (, T ; L 2 ()) e vtt i L (, T ; L 2 ()), então vt i W, (, T ; L 2 ()), logo vt i C([, T ], L 2 ()), e como vt i L m ( (, T )) segue que V i Y T. Definimos uma norma para Y T da seguinte forma U YT = U C([,T ];H) + u 2 L m ( (,T )), para todo U = u Y T. O espaço Y T munido desta norma é um espaço de Banach. Então para provar que (V i ) i N converge para algum V em Y T, basta que (V i ) i N seja de Cauchy em C([, T ]; H) e (vt) i i N seja de Cauchy em L m ( (, T )). u 2 (V i ) i N é uma seqüência de Cauchy em C([, T ]; H) Denotemos por W = V i V j, onde V i e V j são soluções de (2.9), então t W AW + g(v i ) g(v j ) = f(u i ) f(u j ), W () = ϕi ϕ j. ψ i ψ j Portanto ( t W, W ) H (AW, W ) H + (g(v i ) g(v j ), W ) H = (f(u i ) f(u j ), W ) H. (2.) Estudaremos separadamente cada termo da equação acima. Observe que t W = t vi v j vt i v j t = vi t v j t vtt i v j tt

32 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 24 então, ( t W, W ) H = ( (vt i v j t ), (v i v j ) ) + ( ) v i 2 tt vtt, j vt i v j t 2 = t (v i v j ) (v i v j ) dx + (vt i v j t ) t (vt i v j t ) dx = ( ) 2 t (v i v j ) 2 dx + ( ) 2 t [(vt i v j t )] 2 dx = 2 t ( (v i v j ) v i t v j t 2 2 ) = 2 t W (t) 2 H. (2.) Por outro lado, AW = vi v j vt i v j t = vi t v j t (v i v j ). Logo, desde que v i t(t), v j t (t) H (), e usando integração por partes em, temos (AW, W ) H = ( (vt i v j t ), (v i v j ) ) + ( ) (v i v j ), v i 2 t v j t 2 = ( (v i t v j t ), (v i v j ) ) 2 + (v i t v j t ) ν (vi v j )dx (v i t v j t ) (v i v j ) dx =, (2.2) onde ν é a normal unitária externa a. Substituindo (2.) e (2.2) em (2.) e integrando à t, obtemos 2 W (t) 2 H 2 W () 2 H + = t t (g(v i ) g(v j ), W ) H dτ (f(u i ) f(u j ), W ) H dτ (2.3)

33 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 25 Verifiquemos que (g(v i ) g(v j ), W ) H. De fato, a função real f(s) = s s m 2 para m > 2 é crescente em R, então (s s m 2 r r m 2 )(s r) = (f(s) f(r))(s r), s, r R, logo, é válida a seguinte expressão (v i t(x, t) v i t(x, t) m 2 v j t (x, t) v j t (x, t) m 2 )(v i t(x, t) v j t (x, t)), portanto, segue que Assim, a (vt v i t i m 2 v j t v j t m 2 )(vt i v j t ) dx. (g(v i ) g(v j ), W ) H = ( ) a(vt i + vt v i t i m 2 v j t v j t v j t m 2 ), vt i v j t 2 Então, em (2.3) temos que = a vt i v j t a ( ) vt v i t i m 2 v j t v j t m 2, vt i v j t. 2 t 2 W (t) 2 H 2 W () 2 H + Se U, U, V e V H, vejamos que (g(v i ) g(v j ), W ) H dτ. Logo t (f(u i ) f(u j ), W ) H dτ. (2.4) (f(u) f(u), V V )H C( U H + U H ) p 2 U U H V V H (2.5) onde C é uma constante que depende de. De fato, sejam U = u, V = v, U = u e V = v u 2 v 2 u 2 v 2, e consideremos a função f(s) = s s p 2 para p > 2, assim f (s) = (p ) s p 2, e para a s b temos s max{ a ; b }, então (p ) s p 2 (p )( a p 2 + b p 2 ), s [a, b].

34 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 26 Considerando a b, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos b b p 2 a a p 2 = b a (p ) s p 2 ds (p )(b a)( a p 2 + b p 2 ), então, para quaisquer a, b R vale a seguinte relação b b p 2 a a p 2 (p ) b a ( a p 2 + b p 2 ), usando esta desigualdade, obtemos que (f(u) f(u), V V ) H = b (u u p 2 u u p 2, v 2 v 2 ) 2 b u u p 2 u u p 2 v 2 v 2 dx (p )b u u ( u p 2 + u p 2 ) v 2 v 2 dx = (p )b u u u p 2 v 2 v 2 dx + + (p )b u u u p 2 v 2 v 2 dx. (2.6) Neste ponto, suponhamos que n(p 2). Assim, fazendo uso da desigualdade de Hölder em cada integral de (2.6), tem-se ( u u u p 2 v 2 v 2 dx u u 2 u 2(p 2) dx ) 2 ( ) v 2 v dx [ ( ) n 2 ( ) ] 2 2 ( u u 2 ) n n n 2 dx u 2(p 2) n n 2 dx v 2 v 2 2 = u u 2n u p 2 n 2 n(p 2) v 2 v 2 2. (2.7) Analogamente u u u p 2 v 2 v 2 dx u u 2n u p 2 n 2 n(p 2) v 2 v 2 2.

35 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 27 Assim, da expressão (2.6) chegamos à (f(u) f(u), V V ) H c u u 2n v 2 v 2 2 ( u p 2 n 2 n(p 2) + u p 2 n(p 2) )(2.8) onde c = (p )b. Se n > 2, temos que H () L q () para 2 q q, onde q = estas imersões concluimos que u u 2n n 2 C u u H (). Como u, u H (), da desigualdade de Poincaré temos 2n n 2. Usando u u 2n n 2 C u u H () C (u u ) 2 C( ( u u ) u 2 u ) 2 = C U U H (2.9) Agora, estimaremos a norma n(p 2) em relação a norma H. Caso tenhamos n(p 2) 2, então da hipótese p 2 n se n 3, implica que n(p 2) 2n n 2 n 2, e se n 2 basta que n(p 2) 2. Então das imersões de espaços de Sobolev temos que H () L n(p 2) (). Caso n(p 2) < 2, como é limitado sua medida é finita, então L 2 () L n(p 2), porém H () L 2 (), então também é válida a imersão H () L n(p 2) (). Assim, usando raciocínio semelhante à (2.9), segue que u n(p 2) C U H e u n(p 2) C U H. E destas desigualdades acima, através de cálculos simples, obtemos u p 2 n(p 2) + u p 2 n(p 2) C( U H + U H ) p 2. (2.2) Também é válida a seguinte desigualdade v 2 v 2 2 V V H. (2.2) Portanto, substituindo (2.9) (2.2) em (2.8) obtemos (2.5).

36 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 28 Observação: Caso se tenha < n(p 2) <, não faz sentido trabalhar com a norma n(p 2) em (2.7), porém observe que a idéia usada no processo foi majorar a integral em relação à norma U p 2 H ( u n(p 2) dx ) n (veja 2.8 e 2.2). Verifiquemos que é possível obter esta majoração sendo α := n(p 2) <. De fato, temos que q = α >, q = α > e q + q =, logo pela desigualdade de Hölder ( ) α ( u α dx u dx α dx ) α = C u α (2.22) onde C é uma constante envolvendo a medida finita do conjunto. Por outro lado, das imersões de espaços de Sobolev, temos que H () L q () para 2 q 2n n 2 caso n 3, ou simplesmente q 2 quando n 2. Como é limitado tem-se que L q () L (), donde concluimos que H () esta imerso continuamente em L (), isto é, existe uma constante C tal que u C u H, portanto usando esta estimativa em (2.22) chegamos à ( u α dx C u α C u α H = ) u n(p 2) n dx ( Então desta desigualdade e observando (2.9) segue que a integral pode ser majorada por U p 2 H. Para ( o raciocínio é idêntico. u n(p 2) dx ) n C u p 2 H. u n(p 2) dx Observe também que se n 2 em (2.7), não faz sentido a expressão u u 2n, n 2 então usamos p ao invés de n na desigualdade de Hölder, obtendo u u 2p, e p 2 2p como p 2 > 2 temos que H () L 2p p 2 (), logo também é válido (2.9). ) n Para concluir, como U i U em C([, T ]; H), existe R tal que sup U i (t) H R i N, t T

37 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 29 então, usando a estimativa (2.5) em (2.4), temos que W (t) 2 H W () 2 H + 2 t (f(u i ) f(u j ), W ) H dτ 2C t ( U i (τ) H + U j (τ) H ) p 2 U i (τ) U j (τ) H W (τ) H dτ + W () 2 H t W () 2 H + C R U i (τ) U j (τ) H W (τ) H. (2.23) Pelo Lema.2 do Capítulo, obtemos W (t) H W () H + C R 2 t U i (τ) U j (τ) H dt W () H + C R 2 T U i U j C([,T ];H). Observe que o lado direito da desigualdade acima não depende de t, então sup W (t) H W () H + C R t T 2 T U i U j C([,T ];H), como as seqüências (U i ) i N e (V i ()) i N convergem em C([, T ]; H) e H respectivamente, da desigualdade acima concluimos que (V i ) i N é uma seqüência de Cauchy em C([, T ]; H). (v i t) i N é uma seqüência de Cauchy em L m ( (, T )) Do Lema.3, vimos que existe < c < tal que α, β R e tem-se 2m 2 (α + α α m 2 β β β m 2 )(α β) c α β m. Usando a desigualdade acima, temos que [ v i t (t) + v i t(t) v i t(t) m 2 v j t (t) v j t (t) v j t (t) m 2][ v i t(t) v j t (t) ] c v i t(t) v j t (t) m.

38 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 3 Integrando em a expressão anterior resulta c v i t(t) v j t (t) m m (v i t + v i t v i t m 2 v j t v j t v j t m 2, v i t v j t ) 2 = (g(v i ) g(v j ), V i V j ) H, em seguida, integrando de à T e multiplicando por c = C, de (2.3) obtemos v i t v j t L m ( (,T )) = T C C v i t(t) v j t (t) m mdt C ( 2 W () 2 H + T T (g(v i ) g(v j ), V i V j ) H dt ) (f(u i ) f(u j ), W ) H dτ ( ) 2 W () 2 H + C R T U i U j C([,T ];H) V i V j C([,T ];H). Donde segue que (v i t) i N é de Cauchy em L m ( (, T )). Resumindo, provamos que (V i ) i R é uma seqüência de Cauchy em Y T, então V i converge para algum V em Y T. Seja V = v Y T o limite de (V i ) i R, então v 2 = v, isto é, V tem a seguinte forma v 2 V = v. (2.24) v t De fato, temos que v i (para cada i N) e v pertencem à C([, T ]; H()) L p (, T ; H()), logo podem ser representados por uma distribuição vetorial sobre (, T ). Uma vez que v i v em L(D(, T ), H()) v i, ϕ v, ϕ, ϕ D(, T ). Em particular vt, i ϕ = v i, ϕ v, ϕ = v, ϕ, ϕ D(, T ), o que implica que vt i v em L(D(, T ), H()) L(D(, T ), L 2 ()).

39 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 3 Porém v i t v 2 em C([, T ]; L 2 ()) L(D(, T ), L 2 ()). Da unicidade do limite, v = v 2 no sentido das distribuições vetoriais. Solução fraca Vejamos que v dado por (2.24) é a solução fraca de (2.7) no sentido dado por (2.4), isto é, κ H () L m () vale d dt (v t, κ) 2 + ( v, κ) 2 + (av t + av t v t m 2, κ) 2 = (bu u p 2, κ) 2, (2.25) sendo esta igualdade no sentido de D (, T ). De fato, para cada i N vimos em (2.8) que existe um único v i solução de v i tt v i + a( + v i t m 2 )v i t = bu i u i p 2. Multiplicando a equação acima por κ H () L m () e integrando em teremos κvtt i dx como κ H (), temos que κ v i dx = κ v i dx + a κ( + vt i m 2 )vt i dx = b κu i u i p 2 dx, κ ν vi dx κ v i dx = κ v i dx, onde ν é a normal unitária, externa à. Portanto, d dt (vi t, κ) 2 + ( v i, κ) 2 + (av i t + av i t v i t m 2, κ) 2 = (bu i u i p 2, κ) 2. (2.26) Analisaremos separadamente a convergência dos termos da equação acima. d dt (vi t, κ) 2 d dt (v t, κ) 2 no sentido de D (, T ). De fato, da desigualdade de Schwarz (v i t (t) v t (t), κ) 2 v i t (t) v t (t) 2 κ 2, temos para cada t [, T ] a seguinte convergência (v i t(t), κ) 2 (v t (t), κ) 2. Como a função

40 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 32 t (v i t(t), κ) 2 L (, T ), ela pode ser representada por uma distribuição sobre (, T ). Então da convergência em D (, T ) (v i t, κ) 2, ϕ (v t, κ) 2, ϕ ϕ D(, T ), segue que d dt (vi t, κ) 2, ϕ = (v i t, κ) 2, ϕ (v t, κ) 2, ϕ = d dt (v t, κ) 2, ϕ ϕ D(, T ), portanto d dt (vi t, κ) 2 d dt (v t, κ) 2 em D (, T ). ( v i, κ) 2 ( v, κ) 2. Basta observar a seguinte expressão ( v i v, κ) 2 v i v 2 κ 2, e o fato de v i v em C([, T ]; H()). (bu i u i p 2, κ) 2 (bu u p 2, κ) 2. Seja K = κ, então K H e usando (2.5), teremos (bu i u i p 2 bu u p 2, κ) 2 = (f(u i ) f(u), K) H C( U i H + U H ) p 2 U i U H K H, e desta expressão obtendo a convergência desejada. (av i t + av i t v i t m 2, κ) 2 (av t + av t v t m 2, κ) 2. (av i t + av i t v i t m 2 av t av t v t m 2, κ) 2 a (v i t v t, κ) 2 + a (v i t v i t m 2 v t v t m 2, κ) 2 a (vt i v t )κ dx + a (v i t vt i m 2 v t v t m 2 )κ dx. (2.27)

41 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 33 Estudemos separadamente as integrais do lado direito da desigualdade anterior. Observe que (v i t v t )κ dx v i t v t 2 κ 2, por outro lado, com o mesmo raciocínio usado em (2.6), teremos (vt v i t i m 2 v t v t m 2 )κ dx (m ) vt i v t ( vt i m 2 + v t m 2 ) κ dx = (m ) vt i v t vt i m 2 κ dx + +(m ) vt i v t v t m 2 κ dx. Aplicando a desigualdade de Hölder com q = m m 2 > e q = m >, temos que 2 v i t v t v t m 2 κ dx ( ) 2 ( vt i v t m m m 2 κ 2 dx ) m 2 ( v t m 2 ) m m m 2 dx [ ( ) ( vt i v t m 2 dx κ m dx ) ] 2 m ( 2 ) m 2 v t m m dx = v i t v t m κ m v t m 2 m. Analogamente, obtem-se vt i v t vt i m 2 κ dx vt i v t m κ m vt i m 2 m. Logo, usando estas majorações em (2.27), chegamos à (av i t + av i t v i t m 2 av t av t v t m 2, κ) 2 a v i t v t 2 κ 2 + a(m ) v i t v t m κ m ( v t m 2 m + v i t m 2 m ), o que implica a convergência desejada. Portanto quando i em (2.26) obtemos (2.25).

42 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 34 Unicidade Mostramos que para cada U C([, T ]; H), existe V Y T solução fraca de t V AV + g(v ) = f(u) V () = ϕ ψ, (2.28) onde V é o limite em Y T de uma seqüência (V i ) i N de soluções do problema abstrato t V i AV i + g(v i ) = f(u i ) V i () = com ϕi ψ i, (2.29) v i L (, T ; H 2 () H ()), (2.3) v i t L (, T ; H ()) L m ( (, T )). (2.3) Mostraremos a unicidade da solução no sentido do método aproximativo construido na prova de existência. Sejam U e U C([, T ]; H) em (2.28), então existem V e V Y T soluções fracas de (2.28) no sentido dado acima, isto é, existem seqüências (V i ) i N e (V i ) i N satisfazendo as condições (2.29) (2.3) para cada i N, tal que V i V e V i V em Y T. Considere W i = V i V i, então t W i AW i + g(v i ) g(v i ) = f(u i ) f(u i ), W i () = ϕi ϕ i ψ i ψ i portanto faz sentido a seguinte expressão ( t W i, W i ) H (AW i, W i ) H + (g(v i ) g(v i ), W i ) H = (f(u i ) f(u i ), W i ) H. Como (g(v i ) g(v i ), W i ) H, e com o mesmo raciocínio usado em (2.) e (2.2), chegamos à 2 t W i (t) 2 H (f(u i ) f(u i ), W i ) H.

43 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 35 Integrando de à t obtemos 2 W i (t) 2 H t C (f(u i ) f(u i ), W i ) H dτ + 2 W i () 2 H t ( U i (τ) H + U i (τ) H ) p 2 U i (τ) U i (τ) H W i (τ) H dτ + 2 W i () 2 H, então, da expressão acima quando i, teremos 2 W (t) 2 H C t ( U(τ) H + U(τ) H ) p 2 U(τ) U(τ) H W (τ) H dτ t C R U(τ) U(τ) H W (τ) H dτ, (2.32) onde W = V V, e usando o Lema.2 do capítulo, concluimos que t W (t) H C R U(τ) U(τ) H dτ, logo W (t) H C R T U U C([,T ];H). Segue que, se U = U então V = V, ou seja, para cada U C([, T ]; H), existe um único V solução fraca de (2.7). Identidade de energia Vimos que para cada i N, existe um único V i solução do problema t V i AV i + g(v i ) = f(u i ) V i () = e temos que é válida a seguinte expressão ϕi d 2 dt V i (t) 2 H + (g(v i ), V i ) H = (f(u i ), V i ) H, ψ i,

44 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 36 então, integrando de à t a identidade acima, obtemos 2 V i (t) 2 H 2 V i () 2 H + t (g(v i ), V i ) H dτ = t (f(u i ), V i ) H dτ. (2.33) Usando o fato de V i convergir para V em Y T (V solução fraca de (2.7)), analisemos separadamente a convergência dos termos de (2.33). Como V i (t) e (ϕ i, ψ i ) convergem para V (t) e (ϕ, ψ) em H respectivamente, obtemos Mostremos agora que t (g(v i ), V i ) H dτ V i (t) 2 H V (t) 2 H e V i () 2 H V () 2 H t De fato, observe que t (g(v ), V ) H dτ. t (g(v i ), V i ) H dτ (g(v ), V ) H dτ t t = a (vt i + vt v i t i m 2, vt) i 2 dτ (v t + v t v t m 2, v t ) 2 dτ = a a = a a a t (v i t, v i t) 2 dτ + t (v i t v i t m 2, v i t) 2 dτ t (v t, v t ) 2 dτ t v i t 2 2dτ t t v i t 2 2dτ t t v i t 2 2dτ t t v i t 2 2dτ t t v t 2 2dτ + a vt i m mdτ t t v t m mdτ v t 2 2dτ + a v i t L m ( (,t)) v t L m ( (,t)) v t 2 2dτ + a vi t v t L m ( (,t)) (v t v t m 2, v t ) 2 dτ v t 2 2dτ + a vi t v t L m ( (,T )). (2.34) Como v i t v t em C([, T ]; L 2 ()) temos que v i t(t) 2 2 v t (t) 2 2 uniformemente, então t v i t(τ) 2 2dτ t v t (τ) 2 2dτ

45 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 37 também v i t v t em L m ( (, T )), logo da expressão (2.34) temos o resultado procurado. t (f(u i ), V i ) H dτ Com efeito, t (f(u), V ) H dτ. (f(u i ), V i ) H (f(u), V ) H = b (u i u i p 2, v i t) 2 (u u p 2, v t ) 2 b u i u i p 2 vt i u u p 2 v t dx = b u i u i p 2 vt i ± u i u i p 2 v t u u p 2 v t dx b (v i t v t )u i u i p 2 dx + +b (u i u i p 2 u u p 2 )v t dx. (2.35) Usando a desigualdade de Hölder, da expressão acima temos: (v i t v t )u i u i p 2 ( dx ) ( ) vt i v t 2 2 dx u i 2(p ) 2 dx = v i t v t 2 u i p 2(p ). Por outro lado, da hipótese temos que 2 < 2(p ) 2n caso n 3, então das n 2 imersões de espaços de Sobolev e da desigualdade de Poincaré chegamos à u i 2(p ) C u i 2 C U i H. (2.36) Logo, teremos a seguinte majoração (vt i v t )u i u i p 2 dx C V i V H U i p H. (2.37)

46 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 38 Ainda da desigualdade (2.35), com o mesmo raciocínio usado na obtenção da estimativa (2.5) (Veja desigualdade (2.6)), obtemos (u i u i p 2 u u p 2 )v t dx C( U i H + U H ) p 2 U i U H V H, portanto substituindo (2.37) e (2.38) em (2.35), obtemos a seguinte expressão (2.38) (f(u i ), V i ) H (f(u), V ) H então t C [ V i V H U i p H + ( U i H + U H ) p 2 U i U H V H ], t (f(u i ), V i ) H (f(u), V ) H dτ C V i V H U i p dτ H + C t ( U i H + U H ) p 2 U i U H V H dτ C R T sup V i (t) V (t) H t T + C R T sup V (t) H sup U i (t) U(t) H, t T t T onde C R denota uma constante que depende de R, já que sup t T U i H R, para todo i N. Assim temos que o lado direito da expressão acima tende a zero quado i tende ao infinito. Por fim, para obter a convergência procurada, basta observar que t t t (f(u i ), V i ) H dτ (f(u), V ) H dτ (f(u i ), V i ) H (f(u), V ) H dτ. Então, quando i em (2.33) obtemos a seguinte identidade 2 V (t) 2 H 2 V () 2 H + t (g(v ), V ) H dτ = t (f(u), V ) H dτ.

47 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE Prova do Teorema 2.2 Demonstração: Na proposição anterior vimos que para cada U C([, T ]; H), existe um único V = v Y T, sendo v solução fraca de v t t V AV + g(v ) = f(u), V () = ϕ ψ. (2.39) Definimos então a aplicação Φ da seguinte forma Φ : C([, T ]; H) Y T U Φ(U) = V, onde V é solução fraca de (2.39). A proposição 2. prova que Φ esta bem definida. Seja Provemos que: X T = X T (T, ϕ, ψ) = U C([, T ]; H); U() = ϕ ψ (i) Φ transforma a bola fechada B R = (ii) Φ é uma contração em B R. { U X T ; } sup t T U(t) H R nela mesma. Veremos mais adiante que T deve ser suficientemente pequeno e R suficientemente grande, para que (i) e (ii) sejam satisfeitas. Prova de (i): Se U B R então sup U(t) H R, e V = Φ(U) é a única solução t T de (2.39). Da identidade de energia da proposição anterior, temos que Observe que 2 V (t) 2 H 2 V () 2 H + t (g(v ), V ) H dτ = t (f(u), V ) H dτ. (g(v ), V ) H = (av t + av t v t m 2, v t ) 2 ( ) = a v t v t m dx = a ( v t v t m) m,

48 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 4 e (f(u), V )H = b (u u p 2, v t ) 2 b u u p 2 v t dx ( ) ( ) b u 2(p ) 2 dx v t 2 2 dx = b u p 2(p ) v t 2. Usando a expressão (2.36), chegamos à (f(u), V ) H C U(t) p H V (t) H. Assim 2 V (t) 2 H 2 V () 2 H e portanto t (f(u), V ) H dτ C t t V (t) 2 H V () 2 H + 2CR p V (τ) H dτ. Pelo Lema.2 (Gronwall) do Capítulo, temos V (t) H V () H + t U(τ) p H V (τ) Hdτ, CR p dτ V () H + CR p T, (2.4) onde a constante C não depende de t, T e ( R. Tomando ) R 2 V () H e uma vez fixado R, considerando T pequeno tal que 2 + CRp 2 T, de (2.4) segue que V (t) H Conseqüentemente temos que ( ) 2 + CRp 2 T R R t [, T ]. sup V (t) H R, t T ou seja, V B R e a condição (i) é verificada. Prova de (ii): Considere U, U B R, V = Φ(U) e V = Φ(U) as correspondentes soluções de (2.39), seja W = V V, então da desigualdade (2.32) teremos W (t) 2 H C t ( U(τ) H + U(τ) H ) p 2 U(τ) U(τ) H W (τ) H dτ. (2.4)

49 CAPÍTULO 2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE 4 Logo, pelo Lema.2 (Gronwall) W (t) H 2 t C( U(τ) H + U(τ) H ) p 2 U(τ) U(τ) H dτ CT R p 2 U U C([,T ];H), portanto, como a constante C não depende de t, temos que sup V (t) V (t) H CT R p 2 U U C([,T ];H). t T Da forma que T e R foram estabelecidos anteriormente, temos que CT R p 2 <, portanto Φ é uma contração em B R X T, e como B R é um subespaço métrico fechado em C([, T ]; H), logo é completo, então pelo Teorema. (Ponto fixo de Banach), existe um único ponto fixo de Φ em B R, isto é, U = Φ(U), e como definida, Φ toma valores em Y T, portanto temos que U Y T, provando que existe uma única U = u Y T tal que u é solução fraca local de u t t U AU + g(u) = f(u), U() = ϕ ψ. (2.42)

50 Capítulo 3 Decaimento Uniforme No capítulo 2, mostramos que a solução do problema (2.) é local, para quaisquer dados inicias (ϕ, ψ) em H, ou seja, a solução está definida em um intervalo de tempo finito [, T ]. Neste capítulo mostraremos que para uma escolha de dados iniciais pequenos em relação a norma de H, a solução do problema (2.) é global e sua energia decai exponencialmente de maneira uniforme. Para provar os principais resultados consideremos: I(t) = I(u(t)) = u(t) 2 2 b u(t) p p, J(t) = J(u(t)) = 2 u(t) 2 2 b p u(t) p p, E(t) = E(u(t), u t (t)) = J(t) + 2 u t(t) 2 2, F = {ω H (); I(ω) > } {}. Lema 3. Do problema (2.), a seguinte identidade é válida, E (t) = a( u t (t) m m + u t (t) 2 2). (3.) Demonstração: De fato, no capítulo anterior vimos que U = u satisfaz a u t seguinte identidade de energia 2 U(t) 2 H 2 U() 2 H + t (g(u), U) H dτ = 42 t (f(u), U) H dτ,

51 CAPÍTULO 3. DECAIMENTO UNIFORME 43 derivando a equação acima com respeito à t obtemos d 2 dt U(t) 2 H + (g(u), U) H = (f(u), U) H. (3.2) Porém, U(t) 2 H = u(t) 2 dx + u t (t) 2 dx (3.3) e ( ) (g(u), U) H = (au t + au t u t m 2, u t ) 2 = a u t 2 dx + u t m dx. (3.4) Por outro lado, considere a função real G(s) = p s p, logo G (s) = s s p 2, assim e como G(u(t)) = p u(t) p, temos que d dt G(u(t)) = G (u(t))u (t) = u(t) u(t) p 2 u t (t), d dt p u(t) p dx = u(t) u(t) p 2 u t (t) dx, portanto (f(u), U) H = (bu(t) u(t) p 2, u t (t)) 2 = b u(t) u(t) p 2 u t (t) dx = d b dt p Substituindo (3.3) (3.5) em (3.2) chegamos à ( d u t 2 dx + u 2 dx b ) u p dx dt 2 2 p donde segue o resultado procurado Da identidade anterior, obtemos E (t) = a( u t (t) m m + u t (t) 2 2). t u(t) p dx. ( ) = a u t 2 dx + u t m dx, E (s)ds, o que implica E(t) E() para todo t [, T ]. O funcional E(t) definido anteriormente será chamado energia do (3.5)

52 CAPÍTULO 3. DECAIMENTO UNIFORME 44 problema (2.). Das imersões de espaços de Sobolev, se n > 2 então H () esta imerso continuamente em L q () para 2 q q sendo q = 2 n = n 2 2n isto é, ω q C ω H (), ω H (). Por outro lado, da desigualdade de Poincaré ( Proposição. ) ω H () C ω 2, ω H (). Portanto, para toda ω H () vale a relação ω q C ω 2 para 2 q 2n n 2 (caso n 3). (3.6) No caso em que n 2, temos que H () L q () para q 2, então também é válida a relação (3.6). Lema 3.2 Suponha que p > 2 quando n 2 ou 2 < p 2 n n 2 quando n 3. (3.7) Se ϕ F e ψ L 2 () tal que então u(t) F, t [, T ]. β = bc p ( ) p 2 2p p 2 E() 2 < (3.8) Demonstração: Primeiro mostremos que I(t) é contínua em [, T ]. De fato, seja g : H () R ω g(ω) definida por g(ω) = ω 2 2 b ω p p. Como u C([, T ]; H ()), basta provar que g é contínua em H(), o que implica que g u = I é contínua em [, T ]. Da hipótese temos que 2 < p 2n se n 3, logo vale a relação (3.6), isto é, n 2 u p C u 2 u H ().