Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis

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1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp Aula 2-10 de junho 1

2 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

3 Equações de Navier-Stokes Região R 3 ocupada pelo fluido Variáveis espacial x = (x 1, x 2, x 3 ) e temporal t 0 Campo de velocidades u = u(t, x) = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 Pressão p = p(t, x) R e força de volume f = (f 1, f 2, f 3 ) Equações de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento incompressível e homogêneo, viscosidade cinemática ν: u + (u )u + p = ν u + f, t u = 0. 3

4 Formulação matemática das ENS - Leray (1933,34) Eliminar pressão, considerando espaços de divergente nulo, para obter equação de evolução envolvendo somente u. Se p e v suaves, com v = 0 e condições apropriadas de contorno para v (livre, aderência, periódica, etc.), então ( p) v dv = p( v) dv + p(v n) ds = 0 onde n = normal exterior a. Portanto, o termo da pressão desaparece na formulação fraca e na formulação funcional, em espaços de divergente nulo. 4

5 Espaços de função básicos Condições naturais para o campo de velocidades (com condições apropriadas de contorno): u(x) 2 dx < energia cinética finita u 2 dx = ω 2 dx < enstrofia finita onde u = ( xi u j ) 3 i,j=1 e ω = curl u = u. Espaços de partida: { L 2 () = u : R 3, u 2 def = H 1 () = { u L 2 (), u 2 def = } u(x) 2 dx < } u 2 dx < 5

6 Espaços de divergente nulo Partimos de funções suaves: V = { u C0 () 3 ; u = 0 } e definimos por completamento: H = fecho de V em L 2 (), V = fecho de V em H 1 (). Em certos domínios regulares e limitados, é possível caracterizar melhor esses espaços. 6

7 Caracterização dos espaços em limitado de classe C 2 Espaço de divergente em L 2 : E = { u L 2 (); u L 2 () } Se u E, então existe o traço u n H 1/2 ( ), com u ϕ dv = ( u)ϕ ds + ϕu n dv Então H = u L2 (); u = 0, V = u H1 (); u = 0, u n = 0, ou u n = anti-periódico u = 0, ou u = periódico 7

8 Decomposição de Leray-Helmholtz H é um subespaço vetorial fechado de L 2 PSfrag replacements H Decomposição ortogonal L 2 = H H (Helmholtz: = R 3, Leray: mais geral) H v = u + p, u = 0 p dado por problema de Neumann (aplicando ): p = v, em p/ n = v n, em aberto qualquer: H = { w L 2 (), w = p, p L 2 loc ()} 8

9 Projeção das equações de Navier-Stokes Projeção ortogonal P LH : L 2 H e Q LH = I P LH Decomposição das ENS (assumindo P LH f = f): P LH ( u t Q LH ( u t ) + (u )u ν u + p f ) + (u )u ν u + p f Então, como P LH p = 0 e Q LH t u = 0, = 0 = 0 u t + P LH(u )u νp LH u = f (eq. evolução para u) Q LH (u )u νq LH u + p = 0 (eq. p = p(u)) 9

10 Formulação funcional das ENS u t + P LH(u )u νp LH u = f Operador de Stokes Au = νp LH u Termo inercial B(u, u) = P LH (u )u Espaço dual V H V : (u, v) def = u(x) v(x) dx u, v V,V. Temos A : V V, B : V V V contínuos Forma funcional das ENS: du + νau + B(u, u) = f dt 10

11 Formulação variacional (fraca) das ENS Multiplicar ENS por função teste v de divergente nulo e suporte compacto em e integrar em : ( ) u + (u )u ν u + p v dx = 0; t Integrando por partes e usando que v = 0, d u v dx+ [((u )u) v)] dx+ν u : v dx = 0; dt Ou, em notação compacta, e incluindo f, d (u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f, v), v V. dt 11

12 Ortogonalidade do termo inercial Obter estimativas de energia usando ortogonalidade do termo inercial: b(u, v, v) = = Em particular, ((u )v) v dv = 3 i,j=1 = u i x i ( v 2 j 2 ) 3 i,j=1 ( u) 1 2 v 2 dv = 0 dv = u i v j x i v j dv 3 i,j=1 b(u, u, u) = 0 e b(u, v, w) = b(u, w, v). u i x i v 2 j 2 dv 12

13 Desigualdade de energia para aproximação de Galerkin Via método de Galerkin, obter aproximações u (n) em espações de Galerkin V n de dimensão finita, d dt (u(n), v) + b(u (n), u (n), v) + a(u (n), v) = (f, v), v V n. Fazendo v = u (n) : 1 2 d dt u(n) 2 + ν u (n) 2 = (f, v) Usando Cauchy-Schwarz e Young no último termo, d dt u(n) 2 + ν u (n) 2 1 f 2, νλ 1 onde λ 1 > 0 primeiro autovalor do operador de Stokes 13

14 Estimativas globais Assumindo f independente de t (ou f L 2 (0, T ; V )), u (n) (t) 2 u 0 2 e νλ1t + 1 ν 2 λ 2 f 2 (1 e νλ1t ) 1 Para a enstrofia, ν T u (n) (t) 2 dt 1 T T u f 2 νλ 1 0 Para a derivada temporal de u (n), usando b(u, u, v) = b(u, v, u) u 2 L 4 v u 1/2 u 3/2 v, temos B(u, u) 4/3 V u 2/3 u 2, logo 1 T T 0 t u (n) (t) 4/3 V dt C 14

15 Obtemos convergência (forte) em L 2 (0, T ; H), suficiente para a passagem ao limite no termo bilinear. Aubin (1963): Sejam E 1 E 2 E 3, E 1, E 3 reflexivos. Se {u n } n for limitado em L p (0, T ; E 1 ) e {u n} n limitado em L q (0, T ; E 3 ), p, q > 1, então {u n } é compacto em L p (0, T ; E 2 ). Temam (1983): Sejam E 1 E 2 (não necessariamente reflexivos). Se {u n } n for limitado em L 1 (0, T ; E 1 ) e em L p (0, T ; E 2 ), p > 1, e T h lim sup u n (s + h) u n (s) p E h 0 2 ds = 0, n 0 então {u n } n é compacto em L p (0, T ; E 2 ). Tartar (1999): p = 1 e integral M h θ, θ > 0. 15

16 Solução fraca de Leray-Hopf Após a passagem ao limite, obtemos solução fraca: u L (0, T ; H) L 2 (0, T ; V ); u/ t L 4/3 (0, T ; V ); u C([0, T ]; H w ), onde H w : topologia fraca; u(t) u 0, em H, quando t 0; u é solução das ENS no sentido fraco (e funcional) u satisfaz a desigualdade de energia no sentido das distribuições em (0, T ): 1 2 d dt u(t) 2 + ν u(t) 2 (f, u(t)) 16

17 Recuperação da pressão Defina U(t) = F(t) = t 0 t 0 u(s) ds, β(t) = t 0 B(u(s), u(s)) ds e f(s) ds, todos pertencem a C(0, T ; V ). Da formulação fraca, para todo v V e todo t [0, T ], u(t) ν U(t) + β(t) F(t) u 0, v = 0. Da versão para distribuições da caracterização de H, P (t) C([0, T ]; L 2 ()), com ν U(t) + P (t) = g(t), onde g(t) = F(t) β(t) u(t) + u 0 C(0, T ; V ). A derivada p(t) = P (t)/ t em D satisfaz (em D ) u ν u + (u )u + p = f. t 17

18 Unicidade A regularidade das soluções fracas não é suficiente para garantir a unicidade. Se u 1 e u 2 são soluções, u = u 2 u 1 satisfaz du dt + νau + B(u, u 2) + B(u 1, u) = 0 Mas falta ortogonalidade, logo 1 2 d dt u 2 + ν u 2 + b(u, u 2, u) = 0. Precisa de regularidade de pelo menos uma das soluções (soluções regulares são únicas na classe de soluções fracas). Ladyzhenskaya (1969): Não unicidade de soluções fracas, mas com o domínio variando com t e com condições de contorno não homogêneas. 18

19 Regularidade Para mais regularidade, estimar enstrofia (usando base de autovalores para a aproximação de Galerkin) Solução fraca satisfaz d (u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f, v), v V. dt Tomando v = Au (n), d dt (u(n), Au (n) ) + b(u (n), u (n), Au (n) ) + a(u (n), Au (n) ) = 1 2 = (f, Au (n) ), d dt u(n) 2 + ν 2 Au(n) 2 + b(u (n), u (n), Au (n) ) = 1 2 f 2 19

20 Para estimar o termo b(u (n), u (n), Au (n) ), fazemos b(u (n), u (n), Au (n) ) u (n) L 6 u (n) L 3 Au (n) ( u (n) u (n) 1/2 Au (n) 1/2) Au (n) 1/2 u (n) 3/2 Au (n) 3/2 C u (n) 6 + ν 4 Au(n) 2. Assim, d dt u(n) 2 + ν 2 Au(n) 2 C u (n) 6 + f 2. Utilizando λ 1 u 2 Au 2, chegamos a d dt u(n) 2 + λ 1ν 2 u(n) 2 C u (n) 6 + f 2, que é da forma r + r r 3 + k, para r = u (n) 2. 20

21 A solução de r + r = r 3 + k explode em tempo finito, se r > r, e é limitada, se 0 r r, onde r é a maior raiz de r 3 r + k. replacements r r 3 r k r r r t Conclusão: existência de soluções regulares locais; existência de soluções regulares globais para forças externas e dados iniciais pequenos. 21

22 Singularidades no tempo As estimativas anteriores indicam a possibilidade de explosão em tempo finito de soluções regulares; Possibilidade de perda de regularidade das soluções fracas em certos instantes de tempo (singularidades temporais - a enstrofia (vorticidade total) deixa de ser limitada): r PSfrag replacements u(t) 2 singularidades t Segundo Leray, essas singularidades estariam associadas a escoamentos turbulentos. 22

23 Estimativa da quantidade de singularidades temporais Considere solução fraca u = u(t), t 0, e o conjunto de singularidades temporais S = {t 0; u(t) = }; Como T 0 u(t) 2 dt <, temos S de medida nula; Quão grande pode ser S? Denso na reta? Discreto? S não é denso: pela existência local de soluções regulares, o conjunto de instantes regulares ( u(t) < ) é união de intervalos semi-abertos e de medida cheia. Como podemos medir o tamanho de S? 23

24 Dimensão de Hausdorff Quantificar o tamanho de S pela dimensão de Hausdorff Medida de dimensão D de Hausdorff de S onde µ D,ɛ = µ D (S) = lim µ D,ɛ (S) = sup µ D,ɛ (S), ɛ 0 ɛ>0 inf (t + j (t j,t+ j ) S, t+ j t j ɛ j t j )D ; Dimensão de Hausdorff dim H (S) = inf{d; µ D (S) = 0}; dim H pode ser definida em várias dimensões e coincide replacements com a dimensão euclidiana de subvariedades euclidianas j cobertura: ɛ ɛ/2 n ọ de bolas : n ɛ 2 d n ɛ d = dimensão euclidiana µ D,ɛ/2 j = 2 j(d D) µ D,ɛ 24

25 Estrutura das soluções fracas - Leray (1934) Seja u(t) solução fraca em [0, T ] e defina R = [0, T ] \ S = {t [0, T ]; u(t) V }, R 0 = {t (0, T ); ε > 0, u(t) C((t ε, t + ε), V )} R 0 é aberto, logo R 0 = j N I j, com I j = (t j, t+ j ) disjuntos. Para cada t R, temos t R 0 ou t = t j para algum j, logo R \ R 0 é enumerável. Como u L 2 (0, T ; V ), temos R = T, logo R 0 = T, onde = medida de Lebesgue Vamos estimar o comprimento de cada (t j, t+ j )... 25

26 Da inequação r + r r 3 + k para enstrofia r = 1 2 u 2 temos soluções definidas para 0 t t 0 < α/(1 + r 0 ) 2, r 0 = r(t 0 ), α > 0; Em cada intervalo maximal (t, t + ) de regularidade, t + α 1 t (1 + u(t) 2 ) 2 (t + t) (1 + u(t) 2 ) ; 1/2 α Integrando no tempo: (t + t ) 1/2 = t + t dt 2(t + t) 1/2 t u(t) 2 t 2 α Somando em todos os intervalos (Leray (1934)): dt; intervalos regulares (t + j t j )1/2 T 0 u(t) 2 dt < ; 26

27 Dimensão das singularidades em t - Scheffer (1976) Temos S [0, T ] \ m j=1 I j, que escrevemos como união finita de intervalos fechados disjuntos k m PSfrag replacements Se I j K (m) n j=1 K (m) j. com j > m, então I j K n (m), pois os extremos de K (m) n são extremos de outros I j e não podem estar no interior de I j. I 1 I 2 I 3 K (3) 1 K (3) 2 Assim, k m n=1 K (m) k m n=1 j j>m I j e K n (m) I j 1/2 = j>m j>m(t + j t j )1/2 0, m Como k m n=1 K (m) j é uma cobertura de S, temos da estimativa acima que µ 1/2 (S) = 0 e dim H (S) 1/2. 27

28 Singularidades espaço-temporais - Scheffer (1976), Caffareli, Khon, Nirenberg (1982), Lin (1998),... Análise mais precisa no conjunto E de singularidades espaço-temporais (de suitable weak solutions ): {(t, x ), u(t, x) ilimitado em vizinhanças de (t, x )}; ɛ > 0, lim sup R 0 R 1 Q R (t,x) u 2 < ɛ (t, x) regular; P 1 (E) = 0, onde P D é uma versão parabólica da medida de Hausdorff (com cilindros parabólicos Q ɛ = I ɛ 2 B ɛ ao invés de bolas); singularidade tipo folha de vórtice em nenhum instante de tempo (singularidade de dimensão dois); singularidade tipo vórtice pontual existindo em um intervalo de tempo (tb. dimensão dois devido a I ɛ 2). 28

29 Suitable weak solutions Sohr e von Wahl (1986): Leray-Hopf solutions p L 5/3 (R 3 (0, T ). Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): suitable weak solutions p L 5/4 ( (0, T )) ( ) de fato, p L 5/4 t Lx 5/3. F. H. Lin (1998) e Ladyzhenskaya e Seregin (1999): suitable weak solutions p L 3/2 ((0, T ) ). 29

30 Condições para a regularidade ou explosão foram obtidas e têm sido refinadas; Condições geométricas sobre o alinhamento de vórtices são particularmente interessantes: ( t + u νδ) ω 2 + ν ω 2 = Sω ω = α ω 2, α(x) = 3 4π P.V. D(y/ y, ξ(x + y), ξ(x)) ω(x + y) dy/ y 3 ξ = ω/ ω, D(s 1, s 2, s 3 ) = (s 1 s 3 ) det(s 1, s 2, s 3 ), s i = 1; ϕ = ângulo entre ξ(x + y) e ξ(x), então D sin ϕ e ângulo local pequeno reduz α, associado ao PSfrag replacements crescimento de singularidades; ξ(x) ξ(x + y) ϕ 30

31 Resultados condicionais de regularidade Constantin-Fefferman (1993): sin ϕ(y) c y em t,m explosão em t = T. t,m = {(t, x) (0, T ) ; ω(t, x) M} Beirão da Veiga-Berselli (2002): sin ϕ(y) c y 1/2 em t,m explosão em t = T. Ruzmaikina e Grujić (2003): Para q 2, ω q/(q 1) L q () L 1 (0, T ) e sin ϕ(y) c y 1/q em t,m explosão em t = T. 31

32 Regularidade eventual de Leray Considere o caso sem força externa, f = 0; Nesse caso 2ν T 0 u(t) 2 dt u 0 2, T > 0; Então, lim inf t u(t) = 0, i.e. a solução assume valores arbitrariamente pequenos de enstrofia; Pelo resultado de regularidade global para dados iniciais com enstrofia suficientemente pequena, segue que a solução u é regular a partir de algum tempo t T L PSfrag replacements suficientemente grande. r u(t) T L t 32

33 Regularidade assintótica? Para f 0, não há, necessariamente, regularidade eventual; Um possível resultado intermediário de regularidade é o conjunto ω-limite fraco ter enstrofia limitada; Outro, mais fraco, seria o suporte de medidas invariantes ( soluções estatísticas em 3D) ter enstrofia limitada; Este último resultado tem relação com o esperado decaimento exponencial do espectro, na teoria estatística de turbulência, associado ao espectro de funções anaĺıticas. 33

34 Atrator global fraco As estimativas a priori obtidas na teoria de existência das ENS são suficientes para mostrar a existência de um atrator global na topologia fraca: A w ={u 0 H; solução global, sup t R u(t) <, u(0) = u 0 }; Pelas estimativas, A w é limitado em H e atrai todas as soluções na topologia fraca, uniformemte para condições iniciais limitadas. Se A w V (regularidade assintótica), então todas as soluções são atraídas na topologia forte. 34