Análise Numérica para Um Problema de Difusão Termoelástica em Domínios Não-Cilíndricos

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1 Trabalho apresentado no XXXVII CNMAC, S.J. dos Campos - SP, Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics Análise Numérica para Um Problema de Difusão Termoelástica em Domínios Não-Cilíndricos Rodrigo L. R. Madureira 1 Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Informática PPGI), UFRJ, Rio de Janeiro, RJ Mauro Antonio Rincon 2 Instituto de Matemática, Departamento de Ciência da Computação, UFRJ, Rio de Janeiro, RJ Resumo. Estudamos o problema de valor inicial e de contorno para um sistema unidimensional de equações lineares de difusão termoelástica em domínio não-cilíndrico. São mostrados três métodos para obtenção da solução numérica aproximada: acoplado, desacoplado com preditor-corretor e desacoplado. A simulação numérica é feita através do método dos elementos finitos no espaço e diferenças finitas no tempo. Além disso, são mostradas as taxas de convergência dos métodos aplicados. Palavras-chave. Difusão termoelástica, Domínio não-cilíndrico, Elementos finitos, Diferenças finitas 1 Introdução A difusão pode ser definida como um fenômeno de penetração, desde regiões de alta concentração até regiões de baixa concentração. O conceito de difusão está ligado ao de transferência de massa impulsionado por diferenças de concentração de diferentes regiões do material. Problemas em domínios não-cilíndricos têm sido tratados por muitos autores e em várias direções. A existência e unicidade do problema é conhecido na literatura através dos trabalhos de M. Aouadi ver [1 4]). Rincon et al. [5] analisaram o aspecto numérico do problema termoelástico em domínios não-cilíndricos. 2 Problema original no domínio não-cilíndrico Considere o problema na forma homogênea: 1 rodrigo.rangel@nce.ufrj.br 2 rincon@dcc.ufrj.br DOI: / SBMAC

2 2 com as seguintes condições de fronteira: ρ 2 u t 2 u α 2 x 2 + γ θ 1 x + γ P 2 = 0, em Q x c θ t + d P t k 2 θ x 2 + γ 2 u 1 x t = 0, em Q 1) d P t + η θ t P 2 x 2 + γ 2 u 2 = 0, em Q x t e condições iniciais: u = θ = P = 0, em Σ 2) ux, 0) = u 0 x), u t x, 0) = u 1x), θx, 0) = θ 0 x), P x, 0) = P 0 x), K0) < x < K0) onde Q é o domínio não-cilíndrico, contido no R 2, definido por: com fronteira lateral Q = {x, t) R 2 ; x = Kt)y, y ] 1, 1[, t ]0, T [} 4) Σ = 0<t<T 3) {{ Kt) {t}} {Kt) {t}}} 5) onde a função real Kt) e as constantes α, β, γ e k satisfazem certas condições: i) K C 2 [0, T ]; R) com K 0 = min 0 t T Kt) > 0 ii) KK < ck 2, onde c > 0. iii) Existe uma constante positiva K 1, tal que 1 [K t)y] 2 > K 1, 0 t T, 1 y 1. iv) ρ, α, γ 1, γ 2, k e são estritamente positivas. v) Assuma que as constantes positivas c, d e η satisfazem cη d 2 > 0 6) O teorema de existência e unicidade a seguir do problema 1) pode ser encontrado nos trabalhos de Moncef Aouadi [1 4]. Teorema 2.1. Suponha que as hipóteses i)-v) são válidas. Então, com os dados iniciais u 0 H 1 0 1, 1), u 1 L 2 1, 1), θ L 2 1, 1), P L 2 1, 1) o problema envolvendo as equações 1-3 possui uma única solução fraca para u, θ e P. DOI: / SBMAC

3 3 3 Problema equivalente no domínio cilíndrico Note que quando x, t) varia em Q, o ponto y, t), com y = K 1 t)x, varia no cilindro Q =] 1, 1[ ]0, T [. Assim, a função τ : Q Q, dada por τ : x, t) y, t), é um difeomorfismo. Sob as mudanças de variáveis vy, t) = ukt)y, t), φy, t) = θkt)y, t), }{{}}{{} x x ψy, t) = P Kt)y, t), obtemos o problema equivalente: }{{} x ρ 2 v t 2 ρ a 1 y, t) v ) + 2ρb 2 y, t) 2 v t + ρa 3y, t) v +ρ α)b 1 t) 2 v 2 + γ 1a 2 t) φ + γ 2a 2 t) ψ = 0 em Q c φ t + cb 2y, t) φ + d ψ t + db 2y, t) ψ + γ 1a 2 t) 2 v t +γ 1 b 3 y, t) v ) kb 1 t) 2 φ 2 = 0 em Q d ψ t + db 2y, t) ψ + η φ t + ηb 2y, t) φ 7) + γ 2a 2 t) 2 v t +γ 2 b 3 y, t) v ) b 1 t) 2 ψ 2 = 0 em Q v = φ = ψ = 0, em Σ vy, 0) = v 0 y), v t y, 0) = v 1y), φy, 0) = φ 0 y), ψy, 0) = ψ 0 y), 1 < y < 1 onde: a 1 y, t) = 1 Kt) 2 K ) t)y 2 ; a 2 t) = 1 Kt) Kt) ; a 3y, t) = K t)y Kt) ; b 1 t) = 1 Kt) 2 ; b 2y, t) = K t)y Kt) ; b 3y, t) = K t)y Kt) 2 ; 4 Sistema aproximado Seja T > 0. Denotamos por V m o subespaço gerado por w 1, w 2,..., w m, onde w i ) i N V m. Para cada m N, consideramos as seguintes soluções aproximadas v m, φ m, ψ m representadas por: DOI: / SBMAC

4 4 v m y, t) = λ i t)w i y); φ m y, t) = i=1 σ i t)w i y); ψ m y, t) = i=1 ξ i t)w i y); 8) i=1 Definindo as seguintes matrizes: S ij t) = V ij t) = M ij = w i, w j ) ; N ij = a 1 y, t) w i, w ) j = a 3 y, t) w ) i, w j = wi, w ) ) j wi ; L ij =, w j ; 9) a e 1t)Nij; e U ij t) = a e 3t)L e ij; W ij t) = b 2 y, t) w ) i, w j = b 3 y, t) w i, w ) j = b e 2t)L e ij; b e 3t)Nij e e substituindo as soluções aproximadas na formulação variacional de 7), obtemos o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias no tempo: ρm λt) + 2ρU T t) λt) + ρ St) + V T t) ) + α ρ)b 1 t)n ) λt) +γ 1 a 2 t)l T σt) + γ 2 a 2 t)l T ξt) = 0 cm σt) + cu T t) + kb 1 t)n ij ) σt) + dm ξt) + du T t)ξt) +γ 1 a 2 t)l T λt) γ1 W t)λt) = 0 dm ξt) + du T t) + b 1 t)n ij ) ξt) + ηm σt) + ηu T t)σt) +γ 2 a 2 t)l T λt) γ2 W t)λt) = 0 5 Métodos numéricos Nesta seção, desenvolveremos três métodos numéricos do sistema de equações diferenciais ordinárias 10) e vamos compará-los. 5.1 Método numérico acoplado Para a primeira equação do sistema, considere a seguinte aproximação de Newmark Observação: a n = at n ), onde t n é o tempo discreto) : 10) a n = 1/4)a n+1 + 1/2)a n + 1/4)a n 1, onde a é λ, σ ou ξ 11) Além disso, para a primeira e segunda derivadas, tomamos as seguintes diferenças centradas no tempo: DOI: / SBMAC

5 5 δλ n = λn+1 λ n 1, δ 2 λ n = λn+1 2v n + λ n 1 2 t t 2 12) Para a segunda e terceira equações, considere a aproximação por Crank-Nicolson: a n = 1/2)a n+1 + 1/2)a n, onde a é λ, σ ou ξ 13) Além disso, para a primeira derivada, tomamos as seguintes diferenças progressivas no tempo: δσ n+ 1 2 = σ n+1 σ n t, δξ n+ 1 ξ n+1 ξ n 2 =, δλ n+ 1 λ n+1 λ n 2 = t t Aplicando ao sistema de equações 10), obtemos o seguinte sistema linear de blocos de matrizes: 14) RΨ n+1 = S 1 Ψ n S 2 Ψ n 1 15) Usando a recorrência de 15), obtemos os vetores Ψ n+1 = [λ n+1 σ n+1 ξ n+1 ] T para n = 1, 2,..., N. 5.2 Método numérico desacoplado com Preditor-Corretor O método com preditor-corretor funciona da seguinte maneira: 1. Achamos normalmente λ n+1 na 1a. equação, usando como preditores ξ n+1p = ξ n e σ n+1p = σ n. 2. Resolvemos o sistema da segunda equação com ξ n+1p = ξ n e achamos σ n Resolvemos o sistema da terceira equação com σ n+1 e achamos o corretor ξ n+1. Dada uma tolerância ɛ, enquanto ξ n+1 ξ n+1p < ɛ e σ n+1 σ n+1p < ɛ, o preditor ξ n+1p recebe o valor de ξ n+1, o preditor σ n+1p recebe o valor de σ n+1 e retornamos aos passos 2 e Método numérico desacoplado No método desacoplado, usamos na primeira equação a aproximação de Newmark somente para λt), além das diferenças centradas para primeira e segunda derivadas. Na segunda e terceira equações, usamos o método de Crank Nicolson de forma análoga ao método acoplado. 6 Simulação numérica Na simulação numérica que fizemos, não temos a solução exata para comparar com a numérica. Por isso, vamos considerar como solução exata a solução de uma malha com discretização suficientemente refinada. Vamos considerar esta malha com o número de elementos do espaço nel y ) igual a 2 10 e o número de elementos do tempo nel t ) igual a 2 9. Em seguida, vamos compará-la com malhas menores para estimar as taxas de convergência e os erros associados às soluções numéricas. DOI: / SBMAC

6 6 Exemplo: Sejam: vy, 0) = π 2 /6)y 2 1); v y, 0) = π 2 /6)y 2 1); φy, 0) = π 2 /4)senπ/4)y 2 1)); ψy, 0) = π 2 /4)y 2 1); Kt) = 1 + t/2t + 1)) e as constantes: ρ = 10; α = 20; γ 1 = 0, 001; γ 2 = 0, 001; d = 10 4 ; k = 1; η = 10 4 ; = 1; c = Através da execução do nosso programa feito em MATLAB para o método acoplado, foi encontrada a seguinte tabela de erros e ordens de convergência para L 0, T, L 2 1, 1)) quando h = t: Tabela 1: Acoplado - Erros e ordens de convergência - L 0, T, L 2 1, 1)). h = t E v E φ E ψ p v p φ p ψ 1/64 0, , , , , , /128 0, , , , , , /256 0, , , , , , O tempo de execução para o caso h = t = 1/256 foi de 164, 708 minutos. Para o método desacoplado com preditor-corretor, temos a seguinte tabela: Tabela 2: Preditor-Corretor - Erros e ordens de convergência - L 0, T, L 2 1, 1)). h = t E v E φ E ψ p v p φ p ψ 1/32 0, , , , , , /64 0, , , , , , /128 0, , , , , , O tempo de execução para h = t = 1/256 e ɛ = 10 6 foi de 25, 7059 minutos. Finalmente, para o método desacoplado, temos a seguinte tabela: Tabela 3: Desacoplado - Erros e ordens de convergência - L 0, T, L 2 1, 1)). h = t E v E φ E ψ p v p φ p ψ 1/64 0, , , , , , /128 0, , , , , , /256 0, , , , , , O tempo de execução para o caso h = t = 1/256 foi de 19, 7317 minutos. DOI: / SBMAC

7 7 Os gráficos para o problema original gerados no caso h = t = 1/32 foram: a) ux, t) b) θx, t) c) P x, t) Figura 1: Gráficos - Problema original - nel x = 64, nel t = Conclusões No exemplo apresentado aqui, o método acoplado torna-se o mais lento por apresentar uma matriz de tamanho 9m 2 enorme para valores muito grandes de m) e ordem linear na convergência de λ n para n = 0, 1, 2,... O método numérico desacoplado com preditorcorretor apresentou ordem de convergência quadrática para todas as variáveis do problema, mas foi mais lento que o método desacoplado propriamente dito. Agradecimentos Agradecemos aos professores e alunos do curso de doutorado do Programa de Pós- Graduação em Informática da UFRJ PPGI/UFRJ) que colaboraram conosco. Referências [1] M. Aouadi. Theory of generalized micropolar thermoelastic diffusion under lordshulman model. J. Thermal Stresses, 32): , [2] M. Aouadi. Qualitative results in the theory of thermoelastic diffusion mixtures. J. Thermal Stresses, 33): , [3] M. Aouadi. A theory of thermoelastic diffusion materials with voids. ZAMP, 61): , [4] M. Aouadi. Stability aspects in a nonsimple thermoelastic diffusion problem. Appl. Anal., [5] B. L. J. Rincon, M.A.; Santos. Numerical method, existence and uniqueness for thermoelasticity system with moving boundary. Comput. Appl. Math., 24): , DOI: / SBMAC