Método de Elementos Finitos - Problema Bidimensional

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1 Método de Elementos Finitos - Problema Bidimensional Prof. Isaac P. Santos Disciplina: Elementos Finitos /2 Programa de Pós-Graduação em Informática - PPGI - UFES, isaac.santos@ufes.br

2 Problema Modelo - Bidimensional Achar u : Ω R, tal que onde (K u) + bu = f, em Ω; (1) u = g, em Γ g ; (2) K u η = h, em Γ h, (3) Ω = Γ g Γ h, com Γ g Γ h =.

3 Problema Formulação Variacional Discreta Achar u h = w h + G h V D,h, w h V h tal que onde a(v h, w h ) = (v h, f ) + (v h, h) Γh a(v h, G h ), v h V h, ) a(v h, w h ) = ( v h K u h + σv h u h dω; Ω (v h, f ) = fv h dω; (v h, h) Γh = Ω v h hdγ; Γ h V h = {v H 1 (Ω) v = 0 em Γ g }; V D,h = {v H 1 (Ω) v = g em Γ g }; a(v h, G h ) = ( v h K G h + σv h G h )dω. Ω

4 Problema Formulação Variacional Discreta G h é uma aproximação (função polinomial linear por partes) de G tal que g(z i ), se z i Γ g (pontos nodais prescritos); G h (z i ) = 0, se z i / Γ g (pontos nodais livres).

5 Problema Modelo Formulação Numérica Variacional Escolhendo {φ 1, φ 2,, φ Nl } como uma base de V h, podemos definir w h = N l a j φ j (x, y); j=1 v h = φ i (x, y), i = 1, 2,, N l. então, Substituindo esses resultados na formulação variacional discreta, obtemos um sistema linear da forma Au = F, onde A = [A ij ] é uma matriz N l N l, com A ij = a(φ i, φ j ) = ( φ i K φ j + σφ i φ j )dω Ω

6 Problema Modelo Formulação Numérica Variacional F = [F i ] é um vetor com N l elementos, onde F i = φ i fdω + φ i hdγ ( φ i K G h + σφ i G h )dω Ω Γ h Ω

7 Funções lineares por partes definidas sobre uma malha triangular Um polinômio nas variáveis x e y tem a forma a 00 + a 10 x + a 01 y + a 20 x 2 + a 11 xy + a 02 y a 0n y n, onde a 00, a 10,, a 0n são os coeficientes (constantes). Para definir um polinômio por partes em Ω, o domínio Ω precisa ser particionado em subdomínios; Uma função polinomial por partes é uma função definida por um polinômio em cada subdomínio de Ω; A coleção de subdomínios é chamada de malha; As malhas bidimensionais mais comuns são triangulações: o domínio Ω é particionado em triâgulos.

8 Funções lineares por partes definidas sobre uma malha triangular A interseção de quaisquer dois triângulos é um vértice (comum aos dois triângulos) ou uma aresta (comum aos dois triângulos). Situações como as mostradas nas figuras abaixo são chamadas de triangulações não-conformes (e não serão permitidas). (a) Dois exemplos de triangulações não conformes. Em ambos os casos, a interseção dos triângulos 1 e 2 é um segmento de linha que não é uma aresta do triângulo 1

9 Funções lineares por partes definidas sobre uma malha triangular Se o domínio Ω não é poligonal, é necessário aproximar a fronteira Ω por segmentos de linhas ou curvas simples (originando triângulos com arestas curvas ). Assumiremos que Ω seja poligonal, de forma que a triangulação cubra totalmente Ω. A figura abaixo mostra as triangulações de um quadrado e um pentágono. Mestrado em (b) Informática Triangulações - PPGI/UFES de doisuniversidade domíniosfederal poligonais do Espírito Santo

10 Um pouco de notação... Um triangulação consiste de N t triângulos Os vértices dos triângulos são T 1, T 2,, T Nt ; z 1, z 2,, z Nv, onde z j = (x j, y j ) e N v é o números total de vértices da malha; Cada triângulo é associado a três vértices da lista {z 1, z 2,, z Nv }, que podem ser identificados pelos seus índices na lista: (i) índices dos vértices do triângulo T i : n i,1, n i,2 e n i,3 ; (ii) os vértices de T i são z ni,1, z ni,2 e z ni,3. Os índices n i,j relacionam os índices locais (j = 1, 2, 3) com os índices globais.

11 Um pouco de notação... No processo de análise e implementação do MEF, é necessário considerar uma família de triangulações. Cada triangulação é caracterizada pelo seu tamanho de malha h (comprimento característico de malha), que é definido como o diâmetro máximo dentre todos os diâmetros dos triângulos que compõem a triangulação. Denotamos uma triangulação por T h.

12 O espaço de funções mais simples formado por polinômios por partes contínuos em Ω consiste de funções lineares por partes contínuas definidas em T h. Seja p uma função polinomial linear por partes contínua em Ω. Então, a função p restrita a cada T i T h é da forma p i (x) = p(x) Ti = a i + bix + c i y, onde a i, b i e c i são determinados (unicamente) através dos valores de p i (x) nos três vértices de T i. O gráfico de p i (x) é uma parte de uma plano.

13 Como a função p é contínua em Ω, se o vértice z j T i e z j T k, a i + b i x j + c i y j = a k + b k x j + c k y j. = Os 3N t parâmetros (a 1, b 1, c 1 ), (a 2, b 2, c 2 ),, (a Nt, b Nt, c Nt ) não são todos independentes; se a aresta s T i e s T k, a i + b i x + c i y = a k + b k x + c k y, (x, y) s, pois p é contínua em s. = Basta que p i (z 1 ) = p k (z 1 ) e p i (z 2 ) = p k (z 2 ), onde z 1 e z 2 são os vértices extremos da aresta s.

14 Se T h contém N v vértices (pontos nodais), então uma função linear por partes em T h é determinada pelos N v valores nodais da função, também chamados de graus de liberdade. A figura abaixo mostra duas funções lineares por partes definidas nas malhas construídas sobre o quadrado e o pentágono. (c) Duas funções lineares por partes contínuas

15 Seja P (1) h o conjunto de todas as funções lineares por partes contínuas definidas em T h. P (1) h é um espaço vetorial de dimensão finita, tal que dim P (1) h = N v. Cada função v P (1) h pode ser idenficada por um vetor a R Nv consistindo dos valores nodais da função v. Podemos determinar (facilmente) uma base {ψ 1, ψ 2,, ψ Nv } para o espaço P (1) h de forma que

16 a função v P (1) h pode ser escrita da forma N v v = a i ψ i i=1 Para todo vetor a = (a 1,, a Nv ) R Nv, isto é, N v i=1 a i ψ i (x j, y j ) = v(x j, y j ) = a j, ψ i (x j, y j ) = { 1, se i = j; 0, se i j. A condição (4) define as funções base ψ i, i = 1, 2,, N v. Uma base satisfazendo (4) é chamada de base lagrangeana ou base nodal. (4)

17 Exemplo de funções funções base ψ i :

18 Exemplo de funções funções base ψ i :

19 Os pontos nodais de T h localizados na fronteira prescrita (Dirichlet) são chamados de pontos nodais prescritos. Caso contrário, eles são chamados de pontos nodais livres; Se os dois pontos extremos da aresta s T i estão na fronteira prescrita (Dirichlet), dizemos que s é uma aresta prescrita, caso contrário, s é uma aresta livre; O número de pontos nodais livres será denotado por N l e o número de pontos nodais prescritos por N p ; Definimos a sequência l 1, l 2,, l Nl de forma que z l1, z l2,, z lnl são os pontos nodais livres, e outra sequência p 1, p 2,, p Np de forma que z p1, z p2,, z pnp são os pontos nodais prescritos.

20 Exemplo Formulação Numérica Variacional Seja Ω o quadrado unitário dado por Ω = {(x, y) R 2 0 < x < 1, 0 < y < 1} tal que Ω = Γ g Γ h, com Γ g Γ h =, onde Γ g = {(x, y) x [0, 1], y = 1} (fronteira superior do quadrado); Γ h = Ω\Γ 1

21 Exemplo Formulação Numérica Variacional A figura abaixo mostra uma malha definida sobre o domínio Ω. O número total de elementos triangulares é N t = 32 e o número total de pontos nodais (vértices) é N v = 25. (d) Uma triangulação do quadrado unitário. A figura à esquerda mostra a enumeração dos 32 elementos, enquanto que a figura à direita mostra a enumeração dos 25 pontos nodais

22 Exemplo Formulação Numérica Variacional Recordemos que os inteiros n i,1, n i,2, n i,3 são os índices dos três vértices do triângulo (elemento) T i. A figura mostra que n 12,1 = 7, n 12,2 = 8, n 12,3 = 13. Os pontos nodais livres são: 1, 2,, 20. N l = 20; Os pontos nodais prescritos são: 21, 22, 23, 24 e 25. N p = 5.

23 P (1) h é um subespaço de H 1 (Ω); V h = {v P (1) h v = 0 em Γ g }; Uma base para o subespaço V h é dada por {ψ l1, ψ l1,, ψ lnl }; Por conveniência, escrevemos ψ lk para V h pode ser escrita como = φ k, de forma que a base {φ 1, φ 2,, φ Nl }.

24 Matriz Local e Vetor Local Em cada triângulo (elemento) T i T h uma função linear é dada por p i (x, y) = a + bx + cy, (x, y) T i. Para determinarmos as constantes a, b e c, façamos: v 1 = p i (x 1, y 1 ) = a + bx 1 + xy 1 v 2 = p i (x 2, y 2 ) = a + bx 2 + xy 2 v 3 = p i (x 3, y 3 ) = a + bx 3 + xy 3 onde (x j, y j ), j = 1, 2, 3 são as coordenadas dos três vértices do triângulo T i.

25 Matriz Local e Vetor Local Resolvendo esse sistema para a, b e c, obtemos a = b = c = 1 [ ] 2A e v 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) + v 2 (x 3 y 1 x 1 y 3 ) + v 3 (x 1 y 2 x 2 y 1 ) ; 1 [ ] 2A e v 1 (y 2 y 3 ) + v 2 (y 3 y 1 ) + v 3 (y 1 y 2 ) ; 1 [ ] 2A e v 1 (x 3 x 2 ) + v 2 (x 1 x 3 ) + v 3 (x 2 x 1 ) onde A e, é a área do elemento (triângulo) T i, dada por 2A e = det 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 = [ ] (x 1 y 2 x 2 y 1 )+(x 3 y 1 x 1 y 3 )+(x 2 y 3 x 3 y 2 )

26 Matriz Local e Vetor Local Eliminando a, b e c, obtemos onde φ e 1(x, y) = φ e 2(x, y) = φ e 3(x, y) = p i (x, y) = v 1 φ e 1(x, y) + v 2 φ e 2(x, y) + v 3 φ e 3(x, y), 1 [ ] 2A e (x 2 y 3 x 3 y 2 ) + (y 2 y 1 )x + (x 3 x 2 )y ; 1 [ ] 2A e (x 3 y 1 x 1 y 3 ) + (y 3 y 1 )x + (x 1 x 3 )y ; 1 [ ] 2A e (x 1 y 2 x 2 y 1 ) + (y 1 y 2 )x + (x 2 x 1 )y são as funções de forma local associadas aos três vértices (pontos nodais) do triângulo T i.

27 Matriz Local e Vetor Local As funções de forma pode ser escritas como onde φ e 1(x, y) = φ e 2(x, y) = φ e 3(x, y) = 1 [ ] 2A e a 1 + b 1 x + c 1 y ; 1 [ ] 2A e a 2 + b 2 x + c 2 y ; 1 [ ] 2A e a 3 + b 3 x + c 3 y, a 1 = x 2 y 3 x 3 y 2 b 1 = y 2 y 1 c 1 = x 3 x 2 ; a 2 = x 3 y 1 x 1 y 3 b 2 = y 3 y 1 c 2 = x 1 x 3 ; a 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 b 3 = y 1 y 2 c 3 = x 2 x 1.

28 Problema Local Formulação Numérica Variacional Problema Local v h K w h dω + bv h w h dω T T }{{}}{{} Termo Difusivo Termo Reativo = + v h fdω T }{{} Termo de Fonte v h hdγ Γ } h {{} C. C. Neumann v h K G h dω T }{{} C. C. Dirichlet bv h G h dω. T }{{} C. C. Dirichlet

29 Problema Local Formulação Numérica Variacional As matrizes e vetores locais podem ser calculados através das seguintes integrais: (φ 1 ) m (φ 2 ) n (φ 3 ) r m!n!r! dω = (m + n + r + 2)! 2Ae e T Γ e (φ 1 ) m (φ 2 ) n dγ = m!n! (m + n + 1)! Γe, onde A e é a área de um elemento triangular e Γ e é o comprimento de uma aresta do triângulo.

30 Matriz Local - Termo Difusivo Matriz Local do Termo Difusivo é dada por d 11 d 12 d 13 D = d 21 d 22 d 23, d 31 d 32 d 33 onde d ij = T φ e k (x, y) = φ e i (x, y) φ e j (x, y)dω. φ e k x φ e k y = 1 2A e [ bk c k ]

31 Matriz Local - Termo Difusivo Então, e φ e i (x, y) φ e j (x, y) = d ij = = = = b i 2A e c i 2A e b j 2A e c j 2A e 1 4(A e ) 2 (b ib j + c i c j ) φ e i (x, y) φ e j (x, y)dω T 1 4(A e ) 2 (b ib j + c i c j ) dω T }{{} =A e 1 4A e (b ib j + c i c j ).

32 Matriz Local - Termo Difusivo d 11 = d 12 = d 13 = d 21 = d 22 = d 23 = 1 [ ] 4A e (y 2 y 1 )(y 2 y 1 ) + (x 3 x 2 )(x 3 x 2 ) ; 1 [ ] 4A e (y 2 y 1 )(y 3 y 1 ) + (x 3 x 2 )(x 1 x 3 ) ; 1 [ ] 4A e (y 2 y 1 )(y 1 y 2 ) + (x 3 x 2 )(x 2 x 1 ) ; 1 [ ] 4A e (y 3 y 1 )(y 2 y 1 ) + (x 1 x 3 )(x 3 x 2 ) ; 1 [ ] 4A e (y 3 y 1 )(y 3 y 1 ) + (x 1 x 3 )(x 1 x 3 ) ; 1 [ ] 4A e (y 3 y 1 )(y 1 y 2 ) + (x 1 x 3 )(x 2 x 1 ) ;

33 Matriz Local - Termo Difusivo d 31 = d 32 = d 33 = 1 [ ] 4A e (y 1 y 2 )(y 2 y 1 ) + (x 2 x 1 )(x 3 x 2 ) ; 1 [ ] 4A e (y 1 y 2 )(y 3 y 1 ) + (x 2 x 1 )(x 1 x 3 ) ; 1 [ ] 4A e (y 1 y 2 )(y 1 y 2 ) + (x 2 x 1 )(x 2 x 1 ) ;

34 Matriz Local - Termo Reativo Matriz Local do Termo Reativo é dada por r 11 r 12 r 13 R = r 21 r 22 r 23, r 31 r 32 r 33 onde r ij = T b(x, y)φ e i (x, y)φ e j (x, y)dω. Considerando b(x, y) constante em cada triângulo T, obtemos r ij = b φ e i (x, y)φ e j (x, y)dω = T ba e 6, se i = j; ba e 12, se i j.

35 Matriz Local - Termo Reativo A matriz proveniente do termo R = bae 12 A e 12 T w h v h dω é chamada de matriz de massa associada ao elemento (triângulo) T..

36 Vetor Local Formulação Numérica Variacional O vetor global F é construído a partir do termo v h fdω + v h hdγ ( v h K G h + bv h G h )dω Ω Γ h Ω Em cada elemento T T h, tem-se um vetor local onde fi e = T i = 1, 2, 3. F e = f e 1 f e 2 f e 3 φ e i fdω + φ e i hdγ ( φ e i K Gh e + bφe i Gh e )dω, Γ e h T,

37 Vetor Local Formulação Numérica Variacional Usando interpolação, podemos aproximar a função f no elemento T da seguinte forma onde f (x) T = f 1 φ e 1(x, y) + f 2 φ e 2(x, y) + f 3 φ e 3(x, y), f i = f (x i, y i ) é o valor da função f no vértice z i = (x i, y i ), i = 1, 2, 3 do triângulo T. Portanto, ( ) ( ) ( ) φ e i fdω = φ e i φ e 1dΩ f 1 + φ e i φ e 2dΩ f 2 + φ e i φ e 3dΩ f 3. T T T T

38 Vetor Local Formulação Numérica Variacional Isso implica que T w h fdω = Ae onde f i = f (z i ) = f (x i, y i ). f 1 f 2 f 3 = Ae 12 2f 1 + f 2 + f 3 f 1 + 2f 2 + f 3 f 1 + f 2 + 2f 3,

39 Vetor Local Formulação Numérica Variacional Usando interpolação, podemos também aproximar a função G h no elemento T da seguinte forma onde G h T = g 1 φ e 1(x, y) + g 2 φ e 2(x, y) + g 3 φ e 3(x, y), g i = g(x i, y i ) é o valor que G h assume no vértice z i = (x i, y i ), i = 1, 2, 3 do triângulo T. Se z i é um vértice livre, então g i = 0 Portanto, T ( w h K G h + bw h G h )dω = E 11 E 12 E 13 E 21 E 22 E 23 E 31 E 32 E 33 g 1 g 2 g 3,

40 Vetor Local Formulação Numérica Variacional T onde ( w h K G h + bw h G h )dω = E 11 g 1 + E 12 g 2 + E 13 g 3 E 21 g 1 + E 22 g 2 + E 23 g 3 E 31 g 1 + E 32 g 2 + E 33 g 3 E = D + R é a matriz do elemento associada a forma bilinear a(w h, v h ), sendo que D e R são as matrizes locais de difusão e reação, calculadas anteriormente. Vale ressaltar que g i = G h (x i, y i ) é diferente de zero apenas se o ponto nodal (x i, y i ) é um vértice pertencente a fronteira prescrita.,

41 Vetor Local Formulação Numérica Variacional Vamos calcular o vetor local associado ao termo Γ h v h hdγ. Cada componente deste vetor local é da forma h k = φ e khdγ, k = 1, 2 ou k = 2, 3 ou k = 1, 3. Γ e h Se h é constante, então h k = h Γ e h φ e hl kdγ = 2, onde l é o comprimento da aresta Γ e h. Obs: k = 1, 2 significa que os pontos extremos da aresta são os vértices locais 1 e 2. A interpretação para k = 1, 3 e k = 2, 3 é análoga.

42 Vetor Local Formulação Numérica Variacional Então F e = f e 1 f e 2 f e 3 = Ae 12 2f 1 + f 2 + f 3 f 1 + 2f 2 + f 3 f 1 + f 2 + 2f 3 E 11 g 1 + E 12 g 2 + E 13 g 3 E 21 g 1 + E 22 g 2 + E 23 g 3 E 31 g 1 + E 32 g 2 + E 33 g 3 + hl 2 Obs: Note que estamos considerando que as arestas da fronteira de Neumann estão associadas aos vértices locais 1 e

43 Exercício Formulação Numérica Variacional Problema de Transferência de Calor Bidimensional - Estado Estacionário: considere uma placa plana quadrada mostrada na figura abaixo, junto com a malha de elementos finitos. Se a condutividade térmica é k = 10W /m o C, determine a distribuição de temperatura usando elementos finitos triangulares lineares.

44 Esparsidade da Matriz Global Em geral, os programas de elementos finitos são divididos em três partes: Pre-processamento: geração de malha, estruturas de dados, cálculos relacionados aos elementos; Processamento: montagem e solução do sistema AU = F ; Pós-processamento: saída de dados e visualização gráfica da solução.

45 Esparsidade da Matriz Global Podemos escrever nosso código de elementos finitos seguindo os seguintes passos: Entrada de dados tais como o domínio, a função f, as condições de contorno e os coeficientes da equação. Construção da malha T h ; Montagem da matriz e vetor globais A e F a partir das contribuições das matrizes e vetores locais; Solução do sistema linear AU = F ; Saída e visualização dos resultados.

46 Esparsidade da Matriz Global Considere a seguinte malha: Essa malha possui 11 elementos e 11 vértices (pontos nodais); Os vértices 3, 6, 8, 9, 10 e 11 são prescritos (fronteira em vermelho).

47 Esparsidade da Matriz Global Matriz coordenada COORD: é uma matriz de nnos linhas e 2 colunas, que associa a cada ponto nodal suas coordenadas x e y.

48 Esparsidade da Matriz Global Vetor ID: é um vetor de tamanha nnos, que identifica a equação associada a cada vértice global livre (não prescrito). { eq, se i é um ponto nodal livre; ID[i] = 0, se i é um ponto nodal prescrito, onde eq é o número da equação associada ao nó i. Para a malha anterior, ID = [ ] T Os vértices livres (1, 2, 4, 5 e 7) estão associados às equações 1, 2, 3, 4, 5, respectivamente.

49 Esparsidade da Matriz Global Matriz de Conectividade IEN: é uma matriz com nel linhas e 3 colunas que associa cada elemento e = 1, 2,, nel a seus respectivos pontos nodais (vértices) globais. IEN = z 1,1 z 1,2 z 1,3 z 2,1 z 2,2 z 2,3 z 3,1 z 3,2 z 3,3... z nel,1 z nel,2 z nel,3, onde z i,j é o ponto nodal global do elemento T i associado ao pondo nodal local j. IEN[elemento][noLocal] = noglobal.

50 Esparsidade da Matriz Global Para a malha anterior, IEN =

51 Esparsidade da Matriz Global Matriz de Localização LM: é uma matriz com nel linhas e 3 colunas. Essa matriz associa os vértices (pontos nodais) locais do elemento ao número da equaçao correspondente. Para a malha anterior, LM =

52 Esparsidade da Matriz Global A matriz de localização LM pode ser construída a partir do vetor ID e da matriz IEN através da expressão: LM[elem][noLocal] = ID[IEN[elem][noLocal]]

53 Esparsidade da Matriz Global Variáveis importantes: nel: número de elementos da malha T h ; neq: número de equações; nnos: número de pontos nodais; Vetores e Matrizes importantes: COORD, ID, IEN, LM; BOUND, BOUNDCOND: matrizes (ou vetores) associadas aos dados de fronteiras.

54 Esparsidade da Matriz Global Montagem da matriz global A e do vetor global F Figura retirada da tese de Jonas Cordazzo: Simulação de reservatórios de petróleo utilizando o método EbFVM e multigrid algébrico, UFSC, 2006.

55 Esparsidade da Matriz Global Montagem da matriz global A e do vetor global F

56 Esparsidade da Matriz Global Montagem da matriz global A e do vetor global F

57 Esparsidade da Matriz Global Montagem da matriz global A e do vetor global F A 0; F 0; Para e = 1 até nel faça monta matriz local E do elemento e; monta vetor local Fe do elemento e; Para a = 1, 2, 3 faça Se LM[e][a] 0 então F [LM[e][a]] F [LM[e][a]] + Fe[a] Para b = 1, 2, 3 faça Se LM[e][b] 0 então A[LM[e][a]][LM[e][b]] A[LM[e][a]][LM[e][b]] +E[a][b] FimSe FimPara FimSe FimPara FimPara

58 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Discutiremos algumas vantagens de usar o espaço P (1) h (ou um subespaço de P (1) h ) como um espaço de aproximação do método de Galerkin; Um vantagem é que é fácil trabalhar com funções polinomiais (em particular, as lineares): avaliar, diferenciar e integrar essas funções são tarefas simples. Outra vantagem é que quando a base nodal padrão é utilizada, a matriz global é esparsa, isto é, possui poucos números nãonulos.

59 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Se {φ 1, φ 2,, φ N } é uma base para V h, então a matriz global A R N N é dada por A = [A ij ], onde A ij = a(φ i, φ j ), i, j = 1, 2,, N. (e) O suporte das funções φ 1 e φ 19

60 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global O suporte de φ 1 é T 1 T 2 e o suporte de φ 19 é T 21 T 22 T 23 T 30 T 31 T 32 ; Como esses suportes são disjuntos, segue-se que a(φ 1, φ 19 ) = 0 e A 1,19 = A 19,1 = 0. A ij 0 somente se a interseção entre os suportes de φ i e φ j é não-vazia. Isso acontece quando i e j são vértices livres (não prescritos) de um mesmo triângulo, caso em que esses pontos nodais são chamados de adjacentes.

61 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Considere o vértice livre 13 e o suporte de φ 13 mostrados na figura abaixo. (f) O suporte da função φ 13 Os únicos pontos nodais livres adjacentes ao vértice 13 são 7, 8, 12, 13, 14, 18 e 19.

62 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Supondo que a linha de A associada ao ponto nodal 13 seja a linha 13, então somente os valores A 13,7, A 13,8, A 13,12, A 13,13, A 13,14, A 13,18, A 13,19 podem ser diferentes de zero. Nenhuma linha pode ter mais do que 7 valores diferentes de zero.

63 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Considerando e a malha a(φ i, φ j ) = Ω φ i φ j dω (g) Pontos nodais prescritos: 21, 22, 23, 24 e 25.

64 Mestrado em Informática (h) -Matriz PPGI/UFES A 20 Universidade 20 comfederal 82 do Espírito Santo Formulação Numérica Variacional Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global A matriz A é da ordem de 20 20, ou seja, possui 400 elementos, sendo que somente 82 são não-nulos (aproximadamente 20%); Note que a matriz A possui no máximo, 5 números não-nulos por linha. Isso acontece devido a simetria da malha. Mostre que A 13,7 = A 13,19 = 0.

65 Esparsidade da Matriz Global Esparsidade da Matriz Global Quando uma malha é refinada, o número de vértices adjacentes a um dado vértice não aumenta; A esparsidade da matriz global aumenta quando a malha é refinada; Refinando a malha anterior de forma que A seja da ordem 72 72, teríamos 326 valores não-nulos na matriz (aproximadamente 6%), de um total de 5184.