INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA MP-272: CONTROLE E NAVEGAÇÃO DE MULTICÓPTEROS IV. ESTIMAÇÃO ÓTIMA Prof. Davi Antônio dos Santos (davists@ita.br) Departamento de Mecatrônica Outubro/2015 São José dos Campos

2 2 Sumário IV. ESTIMAÇÃO ÓTIMA IV.1.1. Definição do Problema IV.1.2. Solução do Problema IV.1.3. Propriedades IV.1.4. Exemplo

3 3 IV.1.1. Definição do Problema Modelo de Medição: Seja um sistema de medição. Considere que o seu valor medido no instante discreto i, y(i) R, seja modelado por: (4.1) onde φ(i) R 1 p é uma matriz determinística conhecida, θ R p é um vetor de parâmetros determinísticos desconhecidos e e(i) R é um erro.

4 4 Considere que o erro e i, i, seja modelado por (4.2) (4.3)

5 5 Problema 1 Estimação Mínimos Quadrados em Batelada: Consiste em obter o estimador em batelada θ k R p, (4.4) que estime θ de forma a minimizar (4.5) onde w i R, w i > 0, i, é um peso dado.

6 6 Problema 2 Estimação Mínimos Quadrados Recursiva: Consiste em obter o estimador recursivo θ k R p, (4.6) que estime θ de forma a minimizar (4.7) onde w i R, w i > 0, i, é um peso dado.

7 7 IV.1.2. Solução do Problema Teorema 1 (Estimador MQ em Batelada): A solução do Problema 1 é dada por: (4.8) Prova: no quadro.

8 8 Teorema 2 (Estimador MQ recursivo): A solução do Problema 2 é dada por: (4.9) onde (4.10) (4.11) Prova: no quadro.

9 9... útil para a prova do Teorema 2: Lema de Inversão de Matrizes: Sejam as matrizes A, B, C e D. Se A, C, C 1 + DA 1 B são não singulares, então: A + BCD 1 = A 1 A 1 B C 1 + DA 1 B 1 DA 1 (4.12)

10 10 Inicialização do Estimador MQ Recursivo: Sugere-se inicializar as equações recursivas (4.9) e (4.11) com θ 1 P 1 = θ (qualquer) e = P = αi, com α elevado.

11 11 Algoritmo 1 (Estimador MQ Recursivo): Inicialize: θ 1 P 1 = θ; = P; Repita para k 2: Medir y(k); (4.10) (4.9) Fim_Repita (4.11)

12 12 Parâmetros (Lentamente) Variantes no Tempo: Considere que o estimador converge, i.e., lim P k = k 0 p p. Portanto, de (4.10), pode-se também afirmar que Logo, por inspeção de lim K k = k 0 p 1. conclui-se que, se houver uma mundaça em θ, o estimador MQ recursivo pode não convergir para o novo valor.,

13 13 Uma das formas de mitigar o problema acima descrito consiste em usar um fator de esquecimento, substituindo-se os pesos w i em (4.8) por: w k i = λ k i λ 0,1 λ k i k 1 k 2 k

14 14 IV.1.3. Propriedades Os estimadores MQ apresentam as seguintes propriedades: Viés nulo: Sob as considerações estabelecidas na Subseção IV.1.1, o estimador MQ tem viés nulo (não viesado), i.e., (4.13)

15 15 Covariância: Considere w i é dada por: = σ 2, i. Nesse caso, a covariância do estimador θ k (4.14)

16 16 Consistência: Sob as considerações estabelecidas na Subseção IV.1.1, o estimador MQ é consistente, i.e., (4.15)

17 17 Ortogonalidade: Aplicando a equação (4.1) aos instantes i = 1,, k, obtêm-se k equações que, postas numa forma matricial, resultam em: (4.16) onde

18 18 Defina agora o vetor de resíduos do estimador θ k como sendo: (4.17) onde y Ψ θ k. Considerando w i = σ 2, i, o estimador MQ é tal que (4.18)

19 19 A propriedade de ortogonalidade pode ser interpretada geometricamente como a seguir: Note que para qualquer escolha diferente de θ 1 e θ 2, a norma Euclidiana ξ do resíduo é maior.

20 20 IV.1.4. Exemplo R no instante dis- Seja um sistema de medição com saída medida y k creto k descrito por: y k = φ k θ + e k, (4.19) onde φ k sen(k + 1) sen 2k ; θ θ 1 θ T T ; e e k ~N 0, σ 2, k; E e k 1 e k 2 = 0, k 1 k 2, σ 2 = 0,01.

21 21 Usando scripts MATLAB separados, a) Simule as medidas modeladas por (4.19), nos instantes discretos k = 1, 2,..., 100. b) Estime θ usando o estimador MQ em batelada. Adote w i = 1, i. Use as medidas simuladas no item a. c) Estime θ usando o estimador MQ recursivo. Adote w i = 1, i. Use as medidas simuladas no item a.

22 22 Sugestão de Leitura Referência [1], Capítulos 5, 6 e 8.

23 23 Referências [1] AGUIRRE, L. A. Introdução à Identificação de Sistemas. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2004.

24 24 Obrigado pela presença e atenção!