Multiplicidade de soluções positivas para algumas classes de problemas elípticos em R 2 com condição de Neumann

Transcrição

1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Multiplicidade de soluções positivas para algumas classes de problemas elípticos em R 2 com condição de Neumann Elisânia Santana de Oliveira 212

2 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Multiplicidade de soluções positivas para algumas classes de problemas elípticos em R 2 com condição de Neumann por Elisânia Santana de Oliveira sob orientação do Prof. Dr. Manassés Xavier de Souza Março de 212 João Pessoa-PB ii

3 iii

4 iv

5 Agradecimentos A Deus, autor de minha existência. Aquele a quem sempre confiei minha vida. Obrigada pela graça de mais uma conquista! Aos meus queridos pais, por todo esforço que fizeram para que eu estudasse. Pelos bons conselhos e por acreditarem e sentirem orgulho de mim. Ao professor Manassés Xavier de Souza, por sua maravilhosa orientação, pela paciência e por todo ensinamento a mim proporcionado. A cada um de meus irmãos: Elisângela, Emisson, Elisson, Érika e Emmily. Meus grandes companheiros! A meu cunhado Adel por se apresentar sempre disponível. Obrigada por acreditarem no meu trabalho. Ao meu amável namorado, Weverton, pelo seu amor, companheirismo e confiança e por ser tão presente e compreensivo; aos seus pais: Gilvânia e Pedro e ao seu irmão e meu afilhado Willyans. Obrigada pelo enorme carinho! Aos demais familiares: avós, tios e primos. Obrigada pela atenção! Aos colegas de curso: Alex, Bruna e Elizabeth, pelos momentos de muito estudo, pelas conversas tão descontraídas e importantes que tivemos. Agradeço ainda a Disson, Tarciana, Oldinéia e Viviane por todo acolhimento que me deram. E a Carlinha, Esmeralda, Luciene e Rafaela, minhas grandes amigas que sempre torceram pelo meu sucesso. Ao estimado professor Adailton Novais e ao amigo Thiago Gomes pelo imprescindível apoio que me deram. Ao professor Wilberclay Gonçalves Melo, Uberlandio Batista Severo e Everaldo Souto de Medeiros por participarem da banca examinadora e exporem seus comentários e sugestões tão necessários para melhoria deste trabalho. v

6 Ao professor Cleto Brasileiro Miranda Neto pelo aprendizado que adquiri em suas aulas e por se apresentar sempre atencioso. Aos professores do DMA/UFS: Fábio dos Santos, Ivanete Batista dos Santos, Kalasas Vasconcelos de Araújo, pelo apoio e incentivo que muito contribui para que eu conquistasse mais este título. Aos demais colegas, professores e funcionários do programa de Pós-Graduação em Matemática da UFPB. A Capes-Reuni pelo apoio financeiro. Enfim, a todos que de alguma forma contribuíram para minha formação. vi

7 Dedicatória À minha avó (in memorian) vii

8 Resumo Nesta dissertação, provamos a existência e multiplicidade de soluções fracas positivas para algumas classes de problemas elípticos no plano envolvendo crescimento exponencial do tipo Trudinger-Moser com condição de Neumann na fronteira. Para isso, usaremos o método de sub e supersolução em combinação com métodos variacionais e o princípio do máximo. Palavras-chaves: Teoria dos pontos críticos, passo da montanha, desigualdade de Trudinger-Moser, Sub e supersolução. viii

9 Abstract In this work, we prove the existence and multiplicity of positive weak solutions for some classes of elliptic problems in plane involving exponential growth of the Trudinger-Moser type with Neumann boundary condition. To do this, we use the method of sub and supersolution in combination with variational methods and the maximum principle. Keywords: Theory of critical points, mountain pass, Moser-Trudinger inequality, Sub and supersolution. ix

10 Sumário 1 Preliminares Resultados de Medida e Integração Resultados de Análise Funcional Resultados de Espaços de Sobolev Resultados da teoria de regularidade Resultados da teoria dos pontos críticos Sobre uma classe de problemas elípticos em R 2 com condição de Neumann Introdução Desigualdade de Trudinger-Moser Formulação variacional Existência de um mínimo local para J λ, para λ (, λ ) Regularidade das soluções Não existência de solução Existência de uma solução minimal Existência de solução para (P λ ) para λ (, Λ) Prova do Teorema Existência de um mínimo local para J λ, com λ (, Λ) Existência de uma solução do tipo Passo da Montanha Resultado de compacidade Nível minimax Existência de um ponto crítico para J λ do tipo Passo da Montanha. 62 x

11 2.8 Prova do teorema principal Sobre uma classe de problemas elípticos singulares em R 2 com condição de Neumann Introdução Desigualdade de Hardy-Sobolev Desigualdade singular de Trudinger-Moser Existência de solução para (Q λ ), para λ (, λ ) Existência de um mínimo local para I λ Regularidade das soluções Não existência de solução Existência de uma solução minimal Existência de solução para (Q λ ) para λ (, Λ) Prova do Teorema Existência de um mínimo local para I λ, com λ (, Λ) Existência de solução do tipo Passo da Montanha Resultado de compacidade Nível minimax Existência de um ponto crítico para Ĩλ do tipo Passo da Montanha Prova do teorema principal A Resultados fundamentais 119 A.1 Desigualdades A.2 Funcionais diferenciáveis A.3 Resultados de convergência Bibliografia 142 xi

12 Notações Neste trabalho, faremos uso da seguinte simbologia: C, C, C 1,... denotam constantes positivas (possivelmente distintas); A denota a medida de Lebesgue de um conjunto A em R 2 ; supp(f) denota o suporte da função f; B δ (x) denota a bola aberta de centro x e raio δ;, denotam convergência fraca e forte, respectivamente;, denota o produto interno em H 1 (); [u < v] = {x A R 2 : u (x) < v (x)}; u x i ou u xi denota a derivada parcial de u em relação a x i ; ( u = denota o gradiente de u; ) u u x 1, x 2 u = 2 2 u x 2 i i=1 denota o laplaciano de u; u + = max {u, } e u = max { u, }; ν denota o vetor normal exterior unitário a ; u ν = u ν denota a derivada normal exterior de u; C ( ) denota o espaço das funções infinitamente diferenciáveis; ( ) C denota o espaço das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto; xii

13 C (,σ ) { = u C ( ) } : sup u(x) u(y) < com < σ < 1 e x y σ C k,σ ( ) = {u C k () : D j u C,σ ( ) j; j k}; L p () = { u : R mensurável : u p um aberto conexo com norma dada por u L p () = ( dx < }, em que 1 p < + e R 2 é u p dx) 1/p ; L () denota o espaço das funções mensuráveis que são limitadas quase sempre em com norma u = inf{c > u (x) C quase sempre em }; Para 1 p < +, W 1,p () = u g Lp () i L p () tais que u ϕ x i dx = g iϕ dx, ( ) ϕ C e i = 1,..., N com norma dada por [ 1/p u 1,p = ( u p + u p ) dx]. Quando p = 2, W 1,2 () = H 1 () e escreveremos u = ( ( u 2 + u 2) dx ) 1/2 ; H 1 () denota o espaço dual de H 1 (), com norma. xiii

14 Introdução Nesta dissertação, estudaremos a existência e multiplicidade de soluções positivas para algumas classes de problemas elípticos no plano envolvendo crescimento exponencial do tipo Trudinger-Moser com condição de Neumann na fronteira. As técnicas aqui utilizadas são: métodos variacionais, mais precisamente, teoria dos pontos críticos e passo da montanha. Usamos também o método de sub e supersolução e o princípio do máximo. Este trabalho está dividido em três capítulos e um apêndice. O Capítulo 1 contém as preliminares, onde enunciaremos alguns resultados conhecidos e que serão utilizados no decorrer do texto. No Capítulo 2, com base nos artigos de Prashanth e Sreenadh [25] e [26], estudaremos a existência e multiplicidade de soluções positivas para a seguinte classe de problemas elípticos com condição de Neumann na fronteira: u + u = p(u)e uα em, u > (P λ ) u ν = λψuq sobre, onde R 2 é um domínio limitado com fronteira C 2, u H 1 (), α (, 2], λ >, q [, 1), ψ é uma função Hölder contínua não-negativa em e p C 1 (R) é uma pertubação polinomial de e uα. O crescimento da não-linearidade g (s) = p(s)e sα é motivado pela Desigualdade de Trudinger-Moser (veja [3], [2] e [34]) a qual diz que, se u H 1 (), então, para β 2π, existe uma constante positiva C () tal que e βu2 C (). sup u 1 xiv

15 Problemas desse tipo foram estudados por Adimurthi e Yadava no artigo [3], de Figueiredo, Miyagaki e Ruf no artigo [12] e Prashanth e Sreenadh no artigo [27]. No artigo [3], os autores estabeleceram a existência de soluções para a classe de problemas elípticos não-linear u + a (x) u = f(x, u) em, u + bu = g (y, u) sobre, ν onde R 2 é um domínio limitado com fronteira C 2, a é uma função limitada e o operador diferencial +a (x) I é positivo. Neste trabalho, foram usadas técnicas de minimização e o Princípio de Concentração-Compacidade de P. L. Lions. Em [12], os autores usaram a teoria dos pontos críticos, mais precisamente, o Teorema do Passo da Montanha e o Teorema do Ponto de Sela para estudar a existência de soluções para a classe de problemas de Dirichlet u = f(x, u) em, u = sobre, onde R 2 é um domínio limitado e f satisfaz a condição de crescimento crítico ou subcrítico. E, em [27], provou-se a existência de números positivos λ λ, tais que o problema u = µu u p e u2 + λh (x) u > u = sobre em, tem pelo menos duas soluções para todo λ (, λ ) e nenhuma solução fraca para λ > λ, onde R 2 é um domínio limitado, p <, µ, λ > e h em, com h L 2 () = 1. Existem na literatura vários trabalhos envolvendo não-linearidades com crescimento exponencial do tipo Trudinger-Moser. Entre outros, podemos citar os artigos de Adimurthi [1], J. M. do Ó [22] e suas referências. Estes artigos, tratam problemas de Dirichlet envolvendo o operador N-Laplaciano em domínios limitados do R N. No caso de domínios não-limitados, veja os artigos de J. M. do Ó [23], Ruf [28], Yang [24] e suas referências. No Capítulo 3, motivados pelo problema (P λ ) e por uma versão singular da desigualdade de Trudinger-Moser, estudaremos a existência e multiplicidade de soluções fracas positivas xv

16 para a seguinte classe de problemas elípticos singular com condição de Neumann na fronteira: h(x, u)eu2 u + u = x β em, u > (Q λ ) u ν = λψuq sobre, onde R 2 é um domínio limitado com fronteira C 2,, u H 1 (), β [, 2), λ >, q [, 1), ψ é uma função Hölder contínua não-negativa em e h C 1 ( R ) tem crescimento superlinear no infinito. Este capítulo foi baseado no artigo [18] devido a Kaur e Sreenadh. Diferente do problema dado no Catítulo 2, onde β =, este problema apresenta a singularidade x β. Assim, não podemos usar a desigualdade de Trudinger-Moser do capítulo anterior. Recorreremos então à versão singular da desigualdade de Trudinger-Moser dada a seguir. Desigualdade singular de Trudinger-Moser (veja [2] e [35]): Seja u H 1 (). Então, para β [, 2), temos que sup u 1 e αu2 dx C (), β x onde C () é uma constante positiva e α 2π + β 2 1. Este tipo de problema foi estudado por Adimurthi e Sandeep no artigo [2]. Neste trabalho, que foi motivado pelo artigo de Adimurthi [1], os autores estabeleceram que e α u N N 1 sup u N 1 x β dx < se, e somente se, α α N + β N 1, onde R N é um domínio limitado, u W 1,N (), com N 2, α > e β [, N). Além disso, eles estudaram o problema de Dirichlet N u = f(u)un 2 x β u em, onde f é uma função com crescimento crítico. Recentemente, outros problemas que tratam esta desigualdade foram abordados por M. de Souza [3] e por M. de Souza e J. M. do Ó [32] xvi

17 em domínios limitados. Para o caso de domínios não-limitados, podemos citar os artigos de Adimurthi e Yunyan Yang [4], M. de Souza [31] e suas referências. Para obtermos a existência e multiplicidade de soluções fracas para as classes de problemas abordadas nos Capítulos 2 e 3, usaremos, inicialmente, métodos variacionais e o método de sub e supersolução para encontrar pontos críticos para os funcionais energia associados, respectivamente, a (P λ ) e (Q λ ). Em seguida, usaremos teoremas do tipo minimax, mais precisamente, o Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais-Smale. No Apêndice, demonstraremos algumas desigualdades importantes que serão utilizadas ao longo deste trabalho. Estudaremos a diferenciabilidade dos funcionais energia associados aos problemas propostos nos Capítulos 2 e 3. Por fim, provaremos alguns resultados de convergência que serão fundamentais para o desenvolvimento desta dissertação. No decorrer deste trabalho, faremos referências aos resultados utilizados. xvii

18 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, enunciaremos alguns resultados necessários para uma melhor compreensão deste trabalho. 1.1 Resultados de Medida e Integração Teorema ([6], Teorema 5.6 (Convergência Dominada de Lebesgue)) Seja (f n ) uma sequência de funções em L 1 () tal que (i) f n (x) f (x) quase sempre em, (ii) e existe g L 1 () tal que, para todo n N, f n (x) g (x) quase sempre em. Então, f L 1 () e f n f L 1 (). Consequentemente, f dx = lim f n dx. Teorema ([8], Teorema 4.6 (Desigualdade de Hölder)) Sejam f L p () e g L p (), com 1 p. Então, fg L 1 () e fg L 1 () f L p () g L p (). Teorema ([15], Teorema 15.3 (Convergência de Vitali)) Consideremos 1 p < +. Sejam (, A, µ) um espaço de medida, (f n ) uma sequência em L p (, A, µ) e 1

19 1.1. RESULTADOS DE MEDIDA E INTEGRAÇÃO f : R uma função A-mensurável. Então f L p (, A, µ, ) e f n f em L p (, A, µ, ) se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i) f n f em medida; (ii) dado ɛ > existe δ > tal que se A A e µ (A) < δ então, para n N, f n p dµ < ɛ; A (iii) dado ɛ > existe algum B A, com µ (B) <, tal que, para n N, f n p dµ < ɛ. B c Teorema ([15], Teorema 15.2 (Egorov)) Seja (, A, µ) um espaço de medida tal que µ () < e as funções f n, f : R N R A-mensuráveis, sendo f finita. Então f n f quase sempre se, e somente se, f n f quase uniformemente. Teorema ([11], Corolário 4.12) Se f é uma função não-negativa, mensurável e f dµ <, então f é absolutamente contínua em relação a µ, ou seja, para todo ɛ >, existe δ > tal que µ () < δ implica f dµ < ɛ. Proposição ([11], Proposição 3.19) Se f n f n f em medida. f quase uniformemente, então Teorema ([8], Teorema 4.9) Sejam (f n ) uma sequência em L p () e f L p () tais que f n f L p (). Então, existe uma subsequência (f n k ) e uma função h L p () tal que (i) f nk (x) f (x) quase sempre em, (ii) f nk (x) h (x) quase sempre em, para todo k N. 2

20 1.2 Resultados de Análise Funcional 1.2. RESULTADOS DE ANÁLISE FUNCIONAL Em determinados pontos deste trabalho, faremos referência aos seguintes resultados: Teorema ([13], Teorema 5.7 (Teorema da Representação de Riesz)) Seja H um espaço de Hilbert munido do produto interno (x, y), com x, y H. Dado T um funcional linear e limitado em H, existe um único z H tal que T (x) = (x, z), para todo x H. Além disso, T = z, onde z = (z, z) 1/2. Proposição ([8], Proposição 3.5) Sejam E um espaço de Banach e (x n ) uma sequência em E. Se x n x em E, então x n é limitada e x lim inf x n. Teorema ([8], Teorema 3.18) Se E é um espaço de Banach reflexivo e (x n ) uma sequência limitada em E, então existe uma subsequência (x nk ) que converge na topologia fraca de E. 1.3 Resultados de Espaços de Sobolev Teorema ([8], Teorema 9.16 (Rellich-Kondrachov) Seja R N aberto limitado com fronteira C 1. Então, para todo p q <, temos a seguinte injeção compacta: W 1,p () L q (), se p = N. Em particular, W 1,p () L p () com injeção compacta, para todo p e para todo N. Observação Se R N é um aberto limitado e f L p (), então f L q (), para todo 1 q p. Teorema ([7], Imersão de Sobolev) Seja R 2 aberto limitado com fronteira C 1. Então existe um operador linear e contínuo T : H 1 () L q ( ) 3

21 1.4. RESULTADOS DA TEORIA DE REGULARIDADE para 1 q < tal que T (u) = u se u H 1 () C ( ) (De fato, o operador traço T : H 1 () L q ( ) é compacto para 1 < q < e contínuo para q =. Para obter estes resultados de compacidade é necessário considerar espaços de Sobolev de Ordem Fracionária). Teorema ([1], Teorema 5.6 ) Seja R N aberto limitado com fronteira C 1. Assuma que u W k,p (). (i) Se k < N p, então u Lq () e u L q () C u W k,p (), onde 1 q = 1 p k N e C é uma constante positiva que depende de k, p, N e. (ii) Se k > N p, então u Ck [ N p ] 1,θ ( ) e u C k [ N p ] 1,θ() C u W k,p (), onde [ ] N + 1 N p θ =, se N é não-inteiro p p um número positivo menor que 1, se N é inteiro, p e C = C (k, p, N, θ, ) é uma constante positiva. Proposição ([29], Proposição A.2.2) Seja (u n ) uma sequência que converge forte em H 1 ( R N). Então existe uma subsequência (u nk ) de (u n ) e existe h H 1 ( R N) tal que u nk (x) h (x) quase sempre em R N. 1.4 Resultados da teoria de regularidade Teorema ([13], Identidade 2.1 (Representação de Green)) aberto limitado com fronteira C 1 e sejam u, v C 2 ( ). Então Seja R N v u dx = u v dx + v u ν ds. 4

22 1.5. RESULTADOS DA TEORIA DOS PONTOS CRÍTICOS Teorema ([13], Teorema 9.9 (Calderon-Zygmund)) Sejam R N um domínio limitado, f L p (), com 1 < p < +, e w o potencial Newtoniano de f. w W 2,p (), w = f quase sempre em e D 2 w p C f p, Então, onde D 2 w = [D ij w] matriz Hessiana das derivadas de segunda ordem D ij w = 2 w x i x j, i, j = 1, 2,..., n e C é uma constante positiva que depende apenas de n e p. Além disso, quando p = 2, temos que D 2 w 2 dx = R N f 2 dx. Teorema ([13], Teorema 8.19) Sejam u H 1 () e u u ( u u ) em. Se para alguma bola B vale que u é constante em. inf B ( u = inf u sup B ) u = sup u, Teorema ([8], Teorema 9.33 (Schauder)) Suponha que é um domínio de classe C 2,θ, < θ < 1. Então, para cada f C,θ ( ), existe uma única solução fraca u C 2,θ ( ) para o problema u + u = f em, u = sobre. Além disso, se é de classe C m+2,θ (m 1 inteiro) e se f C m,θ ( ), então u C m+2,θ ( ), com u C m+2,θ C f C m,θ. 1.5 Resultados da teoria dos pontos críticos Enunciaremos agora alguns resultados que utilizaremos para encontrar pontos críticos de funcionais associados aos problemas que trataremos nesta dissertação. 5

23 1.5. RESULTADOS DA TEORIA DOS PONTOS CRÍTICOS Teorema ([5], Teorema do Passo da Montanha sem a condição de Palais- Smale) Seja E um espaço de Banach real e I C 1 (E, R) co I () =. Suponha que existe uma vizinhança U de em E e δ > que satisfazem as seguintes condições: (i) I (u) δ na fronteira de U, (ii) Existe e / U tal que I (e) <. Então, para o número c definido por c = inf sup I (γ (t)) δ, γ Γ t [,1] onde Γ = {γ C ([, 1], E) : γ () = e γ (1) = e}, existe uma sequência (u n ) E tal que I (u n ) c e I (u n ). Teorema ([33], Teorema 1.2) Sejam E um espaço de Banach reflexivo, com norma, e F E um subconjunto fracamente fechado de E. Suponha que o funcional T : E R {+ } é coercivo em F com respeito a E, isto é, (i) T (u) + quando u +, para u F, e T é sequencialmente fracamente semicontínuo inferiormente em F com respeito a E, ou seja, (ii) dada uma sequência (u n ) F tal que u n u em E, para algum u F, temos que T (u) lim inf T (u n ). Então T é limitado inferiormente em F e atinge mínimo neste conjunto. Teorema ([14], Teorema 1) Sejam E um espaço de Banach e φ : E R uma função contínua e Gâteaux diferenciável tal que φ : E E é contínua na topologia forte de E e na toplogia fraca- de E. Sejam u, v E e considere c = inf max I (γ (t)), γ Γ t [,1] 6

24 1.5. RESULTADOS DA TEORIA DOS PONTOS CRÍTICOS onde Γ = Γ v u é o conjunto de todos os caminhos contínuos que ligam u a v. Suponha que F é um subconjunto fechado de E tal que F {x E : φ (x) c} separa u e v. Então existe uma sequência (x n ) E tal que (i) lim dist (x n, F ) = (ii) lim φ (x n ) = c (iii) lim φ (x n ) =. 7

25 Capítulo 2 Sobre uma classe de problemas elípticos em R 2 com condição de Neumann 2.1 Introdução Neste capítulo, estudaremos a existência e multiplicidade de soluções fracas positivas para a seguinte classe de problemas: u + u = p(u)e uα u > em, u ν = λψuq sobre, onde R 2 é um domínio limitado com fronteira C 2, u H 1 (), α (, 2], λ >, q [, 1) e p (s) é uma pertubação polinomial de e uα. A seguir, enunciaremos as principais condições sob as quais (P λ ) será estudado: (P λ ) (H 1 ) ψ é uma função Hölder contínua não-negativa e não-trivial em. (H 2 ) p : R R é uma função que satisfaz: (a) p(s) é localmente Hölder contínua em R; 8

26 2.1. INTRODUÇÃO (b) p(s), para todo s R e p(s) = se s < e p (s) para todo s > ; (c) lim inf s p(s) s > ; (d) lim sup s p(s) s k = para algum k > 1; (e) lim s + p(s) s k = para algum k > 1; (f) Dado ɛ >, lim s g (s)e (1+ɛ)sα =, onde g(s) = p(s)e sα. Para (P λ ), trataremos de não-linearidades com crescimentos crítico e subcrítico, os quais definimos a seguir. Definição Seja f : R R uma função. subcrítico em + se f (s) lim =, para todo β > s + e βs2 Dizemos que f (s) tem crescimento e dizemos que f (s) tem crescimento crítico em + se existe β > tal que f (s), para todo β > β, lim = s + e βs2 +, para todo β < β. β é chamado expoente crítico de f (s). Observação Essa noção de criticalidade do tipo exponencial foi introduzida nos trabalhos de [1], [3], [12] e [22]. Observação Ao longo deste capítulo, omitiremos algumas provas para o caso em que α (, 2), uma vez que, a demonstração segue de maneira similar ao caso α = 2. Notemos que, sob as hipóteses (H 1 ) (H 2 ), g(s) = p(s)e sα + quando α = 2 e crescimento subcrítico em + quando α [, 2). tem crescimento crítico em Com efeito, considerando α = 2 e observando a hipótese (H 2 )(b), para β > 1, temos p(s)e s2 lim s e βs2 = lim s p(s)e s2 (1 β) = 9

27 2.1. INTRODUÇÃO e, para β < 1, lim (1 β) s p(s)es2 = +. Consequentemente, β = 1 é o expoente crítico de g(s). Para α [, 2), temos que lim s p(s)esα e βs2 =, para todo β >. Neste caso, g(s) tem crescimento subcrítico em +. No teorema seguinte, apresentaremos o resultado principal deste capítulo. Teorema Sob as hipóteses (H 1 ) (H 2 ), existe < Λ < tal que (P λ ) tem pelo menos duas soluções fracas positivas para todo λ (, Λ), nenhuma solução fraca positiva para λ > Λ e pelo menos uma solução fraca positiva para λ = Λ. Observação Destacamos que os resultados deste capítulo são baseados nos artigos [25] e [26] devidos a S. Prashanth e K. Sreenadh. Como estamos interessados em encontrar soluções fracas positivas, consideraremos o problema onde u + u = p(u)e uα em, u = f (u) ν sobre, λψu q, u, f(u) =, u < Desigualdade de Trudinger-Moser Um resultado muito importante que será usado ao longo deste capítulo é a desigualdade de Trudinger-Moser (ver [1], [2] e [34]) dada no Teorema Para provar este teorema usaremos o lema e o teorema seguintes. 1

28 2.1. INTRODUÇÃO Lema Seja um domínio limitado em R 2 com fronteira C 1,α. Para cada x, podemos encontrar um L > tal que, para cada n tal que < 1 n ω n H 1 () satisfazendo (a) ω n e supp(ω n ) B L (x ) (b) ω n = 1 < L, existe uma função (c) para todo x B 1 (x ), ω n é constante e ωn 2 (x) = 1 ln (nl) + o (1), quando n, n π onde B L (x ) = {x R 2 : x x < L}. Demonstração: Veja Lema 3.3 em [3]. Teorema Seja R 2 um domínio limitado com fronteira C 2 e u H 1 (). Sejam u 2 2 = u 2 dx, e então sup A 1 = 2π. A 1 = m 1 (u) = 1 u dx, { } v 1 = u H 1 () : u dx = { δ : sup e δu2 u v 1, u 2 1 dx < Demonstração: Veja Teorema 4.1 em [3]. }, Teorema Seja u H 1 (). Então, para todo β >, vale que e βuα dx C, (2.1) onde C = C (u, ) é uma constante positiva e α (, 2]. Além disso, { } sup β : sup u 1 e βu2 dx < = 2π, (2.2) com u = ( ( u 2 + u 2) dx ) 1/2. 11

29 2.1. INTRODUÇÃO Demonstração: Para provar (2.1), consideremos R > tal que B R () e H 1 () = {u : u H(B 1 R ())}. Por Moser [2], obtemos que se u H(B 1 R (), então e βu2 L 1 ((B R ()), com β >. Como R é arbitrário, temos que e βu2 L 1 (), com β >. Sendo α (, 2], temos que e βuα dx e βu2 dx C, onde C = C (u, ). Agora, para provar (2.2), definamos { Ã 1 = β : sup u 1 e βu2 dx < }. Dado β < 2π, escolhamos ɛ > tal que β (1 + ɛ) 2 < 2π. Dados c 1 = sup m 1 (u) e c 2 = sup u 1 ϕ 2 1, m 1 (u)= e β(1+ɛ)2 ϕ 2 onde m 1 (u) está definido no Teorema Por este lema, c 2 < +. Seja u H 1 (), com u 1. Então, u 2 u 1. Escrevendo ϕ = u m 1 (u), temos que ϕ v 1, pois ϕ dx = [u m 1 (u)] dx = u dx 1 u dx =. Além disso, ϕ 2 = u 2 u 1. Assim, e βu2 dx = e β(ϕ+m 1(u)) 2 dx e β(1+ɛ) 2 ϕ 2 dx + ϕ c 1 ɛ e β( u +c 1) 2 ϕ c 1 ɛ dx e β(1+ɛ) 2 ϕ 2 dx. Disto, e do fato de ϕ 2 1, obtemos e βu2 dx c 2 + e βc2 1(1+ 1 ɛ) 2, o que implica que β Ã1. Logo, sup Ã1 2π. Afirmação: sup Ã1 = 2π. dx, e β(1+ɛ)2 ϕ 2 Com efeito, suponhamos que sup Ã1 2π. Como sup Ã1 2π, temos que sup Ã1 > 2π. Seja ɛ > tal que β = (1 + ɛ) 2π < sup Ã1 e c 3 = sup u 1 12 e βu2 dx. dx

30 2.2. FORMULAÇÃO VARIACIONAL Consideremos a sequência (ω n ) dada no Lema Então, c 3 e βω2 n B dx e (1+ɛ)2πω2n dx 1 (x ) e (1+ɛ)2πω2 n(x ). n B 1n (x ) Logo, para n suficientemente grande, temos que c 3 B 1 n (x ) e (1+ɛ)2 ln(nl) = C (nl) 2(1+ɛ). Quando n +, o lado direito da desigualdade anterior tende para mais infinito, o que é uma contradição, pois c 3 < +. Portanto, a afirmação segue. 2.2 Formulação variacional Para obtermos a formulação variacional de (P λ ), assumiremos inicialmente que u é uma função de classe C 2 ( ). Assim, multiplicando (P λ ) por uma função ϕ C (), obtemos uϕ + uϕ = p(u)e uα ϕ em e u ν ϕ = λψuq ϕ sobre. Integrando estas equações, temos uϕ dx + uϕ dx = Pelo Teorema de Green, Logo, uϕ dx = u ϕ dx p(u)e uα ϕ dx e u ϕ dx u ν ϕ dx = λ ψu q ϕ dx. u ν ϕ dx. u ν ϕ dx + uϕ dx = p(u)e uα ϕ dx. Disto, segue que, para qualquer ϕ C (), u ϕ dx + uϕ dx p(u)e uα ϕ dx λ ψu q ϕ dx =. Então, por um argumento de densidade, obtemos que, para toda ϕ H 1 (), u ϕ dx + uϕ dx p(u)e uα ϕ dx λ ψu q ϕ dx =. (2.3) Motivados por (2.3), temos a seguinte definição: 13

31 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) Definição Dizemos que u H 1 () é solução fraca de (P λ ) se satisfaz a igualdade (2.3), para toda ϕ H 1 (). Seja J λ : H 1 () R o funcional dado por J λ (u) = 1 2 ( u 2 + u 2) dx G(u) dx λ ψ u q+1 q + 1 dx, onde G(s) = s Pelo Apêndice (A.9), temos que, para cada ϕ H 1 (), J λ (u) ϕ = u ϕ dx + g(t) dt e g(t) = p(t)e tα. (2.4) uϕ dx g(u)ϕ dx λ ψ u q 1 uϕ dx. (2.5) Consequentemente, pontos críticos de J λ são soluções fracas de (P λ ). 2.3 Existência de um mínimo local para J λ, para λ (, λ ) Nesta seção, mostraremos que J λ possui um mínimo local numa vizinhança da origem de H 1 () quando λ é positivo e pequeno. O lema a seguir, será essencial para garantir a existência de tal mínimo. Lema Assumindo as hipóteses (H 1 ) (H 2 ), existem λ >, R (, π) e δ > tal que J λ (u) δ para todo u = R e λ (, λ ). Demonstração: Pela hipótese (H 2 )(d), temos que, dado ɛ >, existe s ɛ > tal que p (s) ɛs k, para todo s s ɛ e para algum k > 1. Assim, g(s) ɛs k e s2, para todo s s ɛ e para algum k > 1. Por outro lado, pela hipótese (H 2 )(e), temos que lim s + p(s) s k =. Assim, dado ɛ 1 >, existe δ > tal que p (s) ɛ 1 s k, para todo s (, δ] e para algum k > 1. Logo, g(s) ɛ 1 s k e s2, para todo s (, δ] e para algum k > 1. Para o caso em que s, temos g(s) = e a estimativa anterior vale. Além disso, desde que g(s) é contínua sobre [δ, s s k e s2 ɛ ], pelo Teorema de Weierstrass, existe constante positiva C 1 (δ, ɛ) tal que g(s) C 1 (δ, ɛ) s k e s2, 14

32 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) para s [δ, s ɛ ]. Então, fazendo C = max{ɛ, ɛ 1, C 1 (δ, ɛ)}, obtemos g(s) C s k e s2, para todo s R. Assim, G(s) = s g(t) dt s C t k e t2 dt C s k e s2 s dt = C s k+1 e s2. Integrando esta última estimativa e usando a desigualdade de Hölder, obtemos G(u) dx C = C [ ( u k+1 e u2 u 2(k+1) = C u k+1 L 2(k+1) () ( dx C ( ) 1 2(k+1) dx e 2 u 2 ( u u 2(k+1) ] k+1 ( u ) 2 ) (k+1) ( 2(k+1) dx e 2u2 e 2 u 2 ( u ) u 2 ) 1 2 dx. ) 1 2 dx ) 1 2 dx Agora, escolhamos R > tal que R 2 π. Então, pela desigualdade de Trudinger-Moser (2.2), temos que, para u R, e 2 u 2 ( u ) u 2 dx <. Disto e da imersão contínua de Sobolev H 1 () L s (), para todo s [1,+ ), obtemos que, para todo u R e para algum C 1 >, G(u) dx C 1 u k+1. (2.6) Usando a imersão contínua de Sobolev H 1 () L s ( ), para todo s [1,+ ) e o fato de que ψ é contínua em, obtemos ψ u q+1 dx ψ u q+1 dx = ψ u q+1 L q+1 ( ) C 2 u q+1. (2.7) Desta estimativa e de (2.6), segue que, para R 2 (, π) e para todo u = R, J λ (u) 1 2 u 2 C 1 u k+1 λc 2 u q+1. (2.8) Como k > 1, escolhamos e fixemos R 2 (, π) e λ > suficientemente pequeno tal que, para todo λ (, λ ), δ := 1 2 R2 C 1 R k+1 λc 2 R q+1 >. Com tais escolhas para R e para λ, por (2.8), obtemos δ > tal que, para todo u = R, J λ (u) δ. 15

33 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) Lema Sob as hipóteses (H 1 ) (H 2 ), temos que, para todo λ (, λ ), J λ possui um mínimo local próximo a origem de H 1 (). Demonstração: Sejam R, λ e δ como no Lema Dado λ (, λ ), notemos que, para t > pequeno, tem-se J λ (tu) <, para u H 1 ()\{}. De fato, J λ (tu) = 1 ( tu 2 + tu 2) dx G(tu) dx λ 2 q + 1 = t2 ( u 2 + u 2) dx G(tu) dx λtq+1 2 q + 1 ψ tu q+1 dx ψ u q+1 dx. (2.9) Sendo g(s), para todo s R, temos G(s), para todo s R. Além disso, como q + 1 < 2, temos t 2 < t q+1, para t > 1 e, consequentemente, λt q+1 ψ u q+1 dx > t2 q para t suficientemente pequeno. Assim, J λ (tu) t2 2 ( u 2 + u 2) dx, ( u 2 + u 2) dx λtq+1 ψ u q+1 dx <, q + 1 para t > suficientemente pequeno. Em particular, temos J λ (u) <, para algum u H 1 () com u R. Se J λ atingir mínimo local em algum u λ, com u λ R, então u λ < R, pois, pelo Lema 2.3.1, J λ (u) δ >, para u = R. Nosso objetivo agora é mostrar que J λ atinge um mínimo local para todo λ (, λ ). Com efeito, consideremos B R := {u H 1 () : u R } e uma sequência (u n ) B R tal que J λ (u n ) inf J λ (u) = a. (2.1) u B R Sendo H 1 () um espaço reflexivo e a sequência (u n ) limitada em H 1 (), pelo Teorema 1.2.3, a menos de subsequência, u n u λ em H 1 (). Logo, pela Proposição 1.2.2, u λ lim inf u n. Consequentemente, u λ 2 lim inf u n 2 R 2. (2.11) Afirmação: J λ é limitado em B R. 16

34 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) De fato, seja u B R. Assim, por (2.6) e (2.7), existem C 1, C 2 > tais que G(u) dx C 1 R k+1 e ψ u q+1 dx C 2 R q+1. Então, J λ (u) 1 2 u 2 + G(u) dx R2 + C 1 R k+1 + λc 2 q + 1 Rq+1 λ ψ u q+1 q + 1 dx e a afirmação segue. Em seguida, mostraremos que lim G(u n ) dx = G(u λ ) dx. De fato, pelo item (i) do Lema A.1.3, existe C > tal que g (u n ) Ce 2u2 n. Disto e do item (i) do Lema A.1.1, segue que G (u n ) Ce 2u2 n. Consequentemente, G (u n ) u n dx C e 2u2 n un dx. (2.12) Pela desigualdade de Hölder, temos ( ) 1 ( p e 2u2 n un dx e 2pu2 n dx com p > 1 e 1 p + 1 p para todo s [1, + ), segue que ) 1 ( u n p p dx = e 2p un 2 ( un ) 2 ) 1 p dx un L p (), = 1. Assim, usando a imersão contínua de Sobolev H 1 () L s (), ( e 2u2 n un dx C e 2p un 2 ( un un ) 2 ) 1 p dx un. Por outro lado, como u n 2 R 2 < π, existe p > 1 tal que 2p u n 2 2π. Então, usando a desigualdade de Trudinger-Moser (2.2) e o fato de (u n ) ser limitada em H 1 (), obtemos da desigualdade anterior que e 2u2 n un dx <. Desta estimativa e de (2.12) segue que sup G (u n ) u n dx <. n 17

35 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) Desde que u n u λ em H 1 (), pela imersão compacta de Sobolev H 1 () L s (), para todo s [2, + ), a menos de subsequência, u n u λ em L 2 (). Como é limitado, u n u λ em L 1 (). Além disso, pelo item (iii) do Lema A.1.3, g (u n ), g (u λ ) L 1 (). E, deste resultado e do item (i) do Lema A.1.1, segue que G (u n ), G (u λ ) L 1 (). Assim, usando o item (i) do Lema A.3.1, lim Em seguida, mostraremos que lim G(u n ) dx = ψ u n q+1 dx = G(u λ ) dx. (2.13) ψ u λ q+1 dx. (2.14) Com efeito, como (u n ) H 1 (), pela imersão contínua de Sobolev H 1 () L 2 ( ), (u n ) L 2 ( ). Sendo limitado, (u n ) L q+1 ( ), para todo q [, 1). Assim, u n q+1 L 1 ( ), para todo q [, 1). Então, ψ u n q+1 dx ψ u n q+1 dx <. Consequentemente, para todo q [, 1), ψ u n q+1 L 1 ( ) e, uma vez que, u n u λ em H 1 (), pela imersão compacta de Sobolev H 1 () L 2 ( ), a menos de subsequência, u n u λ em L 2 ( ). Logo, pelo Teorema 1.1.7, a menos de subsequência, u n (x) u λ (x) quase sempre sobre e existe h L 2 ( ) tal que u n (x) h(x) quase sempre sobre. Assim, ( ψ u n q+1) (x) ( ψ u λ q+1) (x) e ( ψ ( u n q+1 u λ q+1)) (x) ψ(x) ( un (x) q+1 + u λ (x) q+1) ψ ( h q+1 (x) + u λ (x) q+1) quase sempre em. Agora, como h, u λ L 2 ( ) e é limitado, temos que h, u λ L s ( ), para todo s [1, 2]. Como q+1 [1, 2), então h, u λ L q+1 ( ). Logo, h q+1, u q+1 λ L 1 ( ). Portanto, ψ h q+1 + u λ q+1 L 1 ( ). Então, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, lim ψ u n q+1 dx = ψ u λ q+1 18 dx.

36 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) Além disso, desde que u n R, pelo Teorema de Weierstrass, a menos de subsequência, u n converge e deste fato, juntamente com os resultados obtidos em (2.13) e (2.14), segue de (2.1) que Consequentemente, por (2.11), temos 1 2 lim u n 2 = a + G(u λ ) + λ ψ u λ q+1. n q u λ 2 a + G(u λ ) + λ ψ u λ q+1, q + 1 o que implica que J λ (u λ ) a. Por outro lado, J λ (u λ ) a. Assim, J λ (u λ ) = a e u λ é mínimo local para J λ próximo à origem do H 1 () Regularidade das soluções (P λ ). Nosso objetivo agora é obter um resultado de regularidade para as soluções fracas de Lema Seja u λ uma solução fraca de (P λ ). Então, u λ quase sempre em. Demonstração: Desde que u λ é uma solução fraca de (P λ ), considerando ϕ = u λ como função teste em (2.5), obtemos u λ u λ dx + u λ u λ dx = g(u λ )u λ dx + λ ψ u λ q 1 u λ u λ dx. Pela hipótese (H 2 )(b), temos que, em A := {x : u λ (x) < }, g (u λ ) =. Logo, g(u λ )u λ dx = A e, em A + := {x : u λ (x) } = { x : u λ (x) = }, g(u λ )u λ dx =. A + Assim, em = A + A, g(u λ )u λ dx =. 19

37 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) Agora, usando a função ψ u q 1 u, u >, h(u) =, u, e defindo os conjuntos B := {x : u λ (x) < } e B + := {x : u λ (x) }, concluímos, de forma análoga ao caso anterior, que ψ u λ q 1 u λ u λ dx =, em = B + B. Destes resultados e usando que ( u λ u λ dx + u λ u λ dx = u 2 λ dx + u 2 λ ) dx = u 2, obtemos que u λ =. Logo, u λ = quase sempre em e, portanto, u λ = u + λ u λ = u+ λ quase sempre em. O lema seguinte será muito usado ao longo deste trabalho. Para uma prova, confira [19]. Lema Seja u C 2,θ ( ), para algum θ (, 1), com u e u. Se u + u em no sentido fraco e u ν Demonstração: sobre, então u > em. Segue do Lema de Hopf (ver [1]) em combinação com o Teorema 1.3 em [19]. Lema Seja u C 2 (). Se ( u ϕ + uϕ) dx, (2.15) para todo ϕ H 1 (), ϕ, então u + u em no sentido fraco. Demonstração: Se u C 2 (), dado x, existe 2R > tal que B R (x ), pois é limitado. Assim, u C ( 2 B R (x ) ). Logo, pelo Teorema 1.4.1, ( u ϕ + uϕ) dx = ( u u) ϕ dx, B R (x ) B R (x ) para todo ϕ C (B R (x )). Da igualdade anterior e desde que (2.15) ocorra, obtemos ( u u) ϕ dx, B R (x ) 2 λ

38 2.3. EXISTÊNCIA DE UM MÍNIMO LOCAL PARA J λ, PARA λ (, λ ) para todo ϕ C (B R (x )), ϕ. Assim, u + u em B R (x ). Logo, u (x ) + u (x ) para x. Como x é arbitrário, temos que u + u em. Lema Seja u λ solução fraca de (P λ ). Então u λ C 2,θ ( ) para algum θ (, 1). Além disso, se u λ é não-trivial, então u λ > em. Demonstração: Seja u λ solução fraca de (P λ ). Provaremos inicialmente que p (u λ ) e u2 λ u λ L p (), para todo 1 < p < +. De fato, usando que g (u λ ) = p (u λ ) e u2 λ Lema A.1.3, temos que g (u λ ) p dx C e pβu2 λ dx, e o item (i) do com β > e 1 < p < +. Agora, usando a desigualdade de Trudinger-Moser (2.1), temos que epβu2 λ dx <. Assim, g (u λ ) p dx <. Logo, g (u λ ) L p () para todo 1 < p < +. Pela imersão contínua de Sobolev H 1 () L s (), para todo s [1, + ), temos que u λ L p () para todo 1 < p < +. Assim, g (u λ ) u λ L p () para todo 1 < p < +. Logo, pelo Teorema de Calderon- Zygmund (Teorema 1.4.2), u λ W 2,p () e u λ = p (u λ ) e u2 λ uλ quase sempre em. Escolhamos p de modo que 2 < 1 e 2 seja não-inteiro. Assim, 2 > 2 e, desde que p p p u λ W 2,p (), pelo Teorema 1.3.4, temos que u λ C 2 [ ( p] 1,θ 2 ) [ ], com θ = p Então, u λ C 1,θ ( ). Além disso, como u λ C 1,θ ( ) temos que u λ C,θ ( ) e, por composição, g (u λ ) C,θ ( ). Então, pelo Teorema de Schauder (Teorema 1.4.4), u λ C 2,θ ( ), para algum θ (, 1). Agora, sendo u λ C 2 () solução fraca de (P λ ), temos que ( u λ ϕ + u λ ϕ) dx = g(u λ )ϕ dx + λ ψ u λ q ϕ dx, para cada ϕ H 1 (), ϕ. Assim, pelo Lema 2.3.5, u λ + u λ em no sentido fraco. Além disso, u λ ν = f (u λ) sobre e, desde que u λ é não-trivial, pelo Lema 2.3.4, obtemos que u λ > em. 2 p 21

39 2.4. NÃO EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO 2.4 Não existência de solução Definamos Λ := sup {λ > : (P λ ) tem solução fraca}. (2.16) O lema a seguir garantirá que, para λ > Λ, (P λ ) não tem solução fraca. Lema Seja Λ definido em (2.16). Então < Λ <. Demonstração: (2.5). Então, por (2.3), obtemos u λ dx = Como u λ Seja u λ solução fraca de (P λ ). Façamos ϕ = 1 como função teste em g (u λ ) dx + λ ψu q λ dx. (2.17) H 1 (), pela imersão contínua de Sobolev H 1 () L s (), para todo s [1, + ), temos que u λ L s (), para todo s 1. Como é limitado, existe C 1 = C 1 (p, ) > tal que u λ L 1 () C 1 u λ L p (), para todo p > 1. Mostraremos agora que existe C 2 = C 2 (p, ) > tal que g (u λ ) dx C 2 u λ p L p (). (2.18) Com efeito, prova-se facilmente que, para todo s e p 1, existe C = C (p, ) > tal que s p Cp (s) e s2. Consequentemente, u p λ dx C g (u λ ) dx, donde obtém-se a desigualdade (2.18), com C 2 = 1. Então, usando (2.17), temos que C C 2 u λ p L p () g (u λ ) dx u λ dx = u λ L 1 () C 1 u λ L p (), o que implica C 2 u λ p L p () C 1 u λ L p (). Denotando t = u λ L p (), obtemos da estimativa acima que t (C 2t p 1 C 1 ). Como as soluções da inequação anterior pertencem ao intervalo [, (C 1 /C 2 ) 1/(p 1) ], temos que 22

40 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL u λ L p () (C 1/C 2 ) 1/(p 1). Assim, concluímos que, para todo p > 1, existe C > que não depende de λ tal que u λ L p () C. Além disso, o que implica que u λ L p () u λ L 1 () C 1 (p, ) u λ L p () C, (2.19) é limitada por uma constante que não depende de λ para todo p 1. Agora, fazendo ϕ = u q λ como função teste em (2.5), obtemos u λ ( ) u q λ dx + u 1 q λ dx = u q λ g (u λ) dx + λ Como pois u λ > e q [, 1), temos que u λ ( ) u q λ dx = q u 1 q λ u λ 2 dx, u 1 q λ ψ dx. dx λ ψ dx. (2.2) Pela hipótese (H 1 ), ψ dx <. Então, usando (2.19) e a desigualdade de Hölder, obtemos de (2.2) que λ C u 1 q λ ( dx C C 1/r u λ 1 q L 1 () < C, ) ( ) 1/r ( ) 1/r u 1 q r λ dx 1 r dx onde C é uma constante que não depende de λ, r = 1 1 q e 1 r + 1 r = 1. Logo, Λ < e Λ >, pois λ >. 2.5 Existência de uma solução minimal Nesta seção, usaremos o método de sub e supersolução para garantir a existência de uma solução minimal para (P λ ), para cada λ (, Λ). Para tanto, consideremos o seguinte problema: u + u = u > em, u ν = λψµq sobre, 23 (2.21)

41 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL onde µ é uma constante positiva. Uma função u H 1 () é dita uma subsolução de (2.21) se, para todo ϕ H 1 (), ϕ, u ϕ dx + uϕ dx λ ψµ q ϕ dx. Dizemos que u H 1 () é supersolução de (2.21) se, para todo ϕ H 1 (), ϕ, u ϕ dx + uϕ dx λ ψµ q ϕ dx. O próximo teorema é o resultado principal desta seção. Antes de prová-lo, mostraremos um lema que será fundamental para a prova deste teorema. Teorema (P λ ) admite solução minimal u λ, para todo λ (, Λ) Existência de solução para (P λ ) para λ (, Λ) Lema Seja Λ definido em (2.16). λ (, Λ). Então (P λ ) possui uma solução fraca para cada Demonstração: Fixemos λ (, Λ). Pela caracterização de Λ, podemos obter λ < λ 2 < Λ tal que (P λ2 ) tem solução fraca não-trivial. Seja u λ2 tal solução. Pelo Lema 2.3.6, u λ2 C 2,θ ( ) para algum θ (, 1) e u λ2 > em. Consideremos µ como sendo o menor valor assumido por u λ2 em. Mostraremos inicialmente que (2.21) tem uma única solução fraca. Com efeito, consideremos o funcional f : H 1 () R tal que f(ϕ) = λ ψµ q ϕ dx. Verifica-se facilmente que f é linear. Além disso, f é contínuo. De fato, usando a imersão contínua de Sobolev H 1 () L s ( ), para todo s [1, + ), obtemos f(ϕ) = λ ψµ q ϕ dx C ϕ dx C ϕ L 1 ( ) C ϕ, para todo ϕ H 1 (). Assim, f H 1 () e, pelo Teorema da Representação de Riesz (Teorema 1.2.1), existe um único v λ H 1 () tal que, para todo ϕ H 1 (), f(ϕ) = v λ, ϕ. Então, para todo ϕ H 1 (), obtemos v λ, ϕ = v λ ϕ dx + 24 v λ ϕ dx = λ ψµ q ϕ dx. (2.22)

42 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL Com este resultado, concluímos que v λ é a única solução fraca de (2.21). Logo, v λ é não-trivial, pois, do contrário, por (2.22), teríamos que f(ϕ) =, para todo ϕ H 1 (). Consequentemente, ψµ q ϕ dx =, para todo ϕ H 1 (), pois λ. Assim, ψµ q = quase sempre sobre. Como ψ é não-negativa e ψ, então µ q =, o que é um absurdo, pois u λ2 > em. Agora, prosseguindo de maneira análoga ao que foi feito no Lema 2.3.6, podemos mostrar que v λ C ( 2,θ ) para algum θ (, 1). Além disso, por (2.22), temos que ( v λ ϕ + v λ ϕ) dx, para todo ϕ H 1 (), ϕ. Logo, pelo Lema 2.3.5, v λ + v λ em no sentido fraco. Deste resultado, juntamente do fato de v λ ν = λψµq sobre e de v λ, pelo Lema 2.3.4, segue que v λ > em. Afirmação: u λ2 é supersolução de (2.21) e v λ < u λ2 em. Com efeito, sendo u λ2 solução fraca de (P λ ), temos que u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx = g (u λ2 ) ϕ dx + λ 2 ψu q λ 2 ϕ dx, para todo ϕ H 1 (). Como g é não-negativa, g (u λ 2 ) ϕ dx, para todo ϕ. Assim, u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx λ 2 ψu q λ 2 ϕ dx = g (u λ2 ) ϕ dx, para todo ϕ. Desta estimativa e usando a definição de µ e o fato de λ 2 > λ, obtemos u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx λ 2 ψu q λ 2 ϕ dx λ ψµ q ϕ dx, para todo ϕ H 1 (), ϕ. Logo, u λ2 é supersolução de (2.21). Notemos que (u λ2 v λ ) ϕ dx + (u λ2 v λ ) ϕ dx = u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx v λ ϕ dx v λ ϕ dx = u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx λ 25 ψµ q ϕ dx,

43 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL para todo ϕ H 1 (), ϕ, pois u λ2 é supersolução de (2.21). Então, pelo Lema 2.3.5, obtemos que (u λ2 v λ ) + (u λ2 v λ ) em no sentido fraco. Além disso, como µ u λ2 sobre, temos que (u λ2 v λ ) ν = u λ 2 ν v λ ν = λψuq λ 2 λψµ q, sobre. Agora, notemos que u λ2 v λ, pois, do contrário, u λ2 seria solução fraca de (2.21). Por outro lado, temos que u λ2 é solução fraca de (P λ2 ). Com estes resultados, e escolhendo ϕ C ( ) tal que ϕ >, teríamos λ ψµ q ϕ dx = u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx = g (u λ2 ) ϕ dx + λ 2 ψu q λ 2 ϕ dx. Disto, e do fato de λ 2 > λ, temos que, para ϕ H 1 () com ϕ >, λ 2 ψ ( u q λ 2 µ q) ϕ dx g (u λ2 ) ϕ dx. Por outro lado, temos que, para ϕ >, λ 2 ψ ( u q λ 2 µ q) ϕ dx e g (u λ2 ) ϕ dx >, pois g é não-decrescente, (H 2 ) (e) ocorre e u λ2 > em. Logo, λ 2 ψ ( u q λ 2 µ q) ϕ dx = g (u λ2 ) ϕ dx <, chegando a uma contradição. Portanto, u λ2 v λ. Assim, pelo Lema 2.3.4, v λ < u λ2 está provada a afirmação. Agora, definamos as funções g λ : R R e h λ : R R por: g (v λ (x)), t < v λ (x), g λ (x, t) = g (t), v λ (x) t u λ2 (x), g (u λ2 (x)), t > u λ2 (x) em e (2.23) e h λ (x, t) = λψ (x) µ q, t < v λ (x), λψ (x) t q, v λ (x) t u λ2 (x), λψ (x) u q λ 2 (x), t > u λ2 (x). (2.24) 26

44 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL Sejam G λ (x, s) = s g λ (x, t) dt e H λ (x, s) = Afirmamos que o funcional J λ : H 1 () R definido por J λ (u) = 1 ( u 2 + u 2) dx G λ (x, u) dx 2 s h λ (x, t) dt. é coercivo e sequencialmente fracamente semicontínuo inferiormente. H λ (x, u) dx De fato, como u λ2 C 2,θ ( ), pela continuidade de g e de λψu q λ 2 e pelas definições (2.23) e (2.24), temos que existem C 1, C 2 > tais que g λ (x, t) g(u λ2 (x)) C 1, para x e h λ (x, t) λψ (x) u q λ 2 (x) C 2, para x, o que implica e G λ (x, s) = H λ (x, s) = s s g λ (x, t) dt C 1 s, para todo x h λ (x, t) dt C 2 s, para todo x. Usando as imersões contínuas de Sobolev H 1 () L s () e H 1 () L s ( ), para todo s [1, + ), obtemos G λ (x, u) dx C 1 Destes resultados, segue que u dx C 1 u e H λ (x, u) dx C 2 J λ (u) 1 2 u 2 C 1 u C 2 u = u 2 ( 1 2 (C 1 + C 2 ) u Fazendo u + na desigualdade anterior, obtemos J λ (u) +. u dx C 2 u. ). Assim, J λ (u) é coercivo. Agora, seja u n u em H 1 (). Pela Proposição 1.2.2, temos que u lim inf u n. Consequentemente, u 2 lim inf u n 2. (2.25) Pela imersão compacta de Sobolev H 1 () L s (), para todo s [2, + ), temos que, a menos de subsequência, u n u em L 2 (). L 1 (). Logo, pelo Teorema 1.1.7, a menos de subsequência, Como é limitado, segue que u n u em u n (x) u (x) quase sempre em (2.26) 27

45 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL e existe h 1 L 1 () tal que u n (x) h 1 (x) quase sempre em. Disto e da definição (2.23), temos G λ (x, u n (x)) = = Consequentemente, un(x) vλ (x) vλ (x) g λ (x, t) dt g λ (x, t) dt + g (v λ (x)) dt + uλ2 (x) v λ (x) uλ2 (x) v λ (x) g λ (x, t) dt + un(x) g (u λ2 (x)) dt + u λ2 (x) un(x) g λ (x, t) dt u λ2 (x) g (u λ2 (x)) dt. G λ (x, u n (x)) g (v λ (x)) v λ (x) + g (u λ2 (x)) (u λ2 (x) v λ (x)) + g (u λ2 (x)) u n (x) u λ2 (x) C 1 + C 2 + C 3 u n (x) u λ2 (x) C + C 3 h 1 (x), para todo x. De maneira análoga, obtemos C > tal que G λ (x, u (x)) Ch 1 (x), para todo x. Usando (2.26) e o fato de G λ ser contínua na segunda variável, obtemos G λ (x, u n (x)) G λ (x, u (x)) quase sempre em. Além disso, como h 1 L 1 () e <, temos que Gλ (x, u n (x)) G λ (x, u (x)) C + Ch1 (x) L 1 (). Então, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, G λ (x, u n ) dx = G λ (x, u) dx. lim Para mostrar que lim H λ (x, u n ) dx = H λ (x, u) dx, é suficiente utilizar a imersão compacta de Sobolev H 1 () L s ( ), para todo s [2, + ), e proceder de maneira similar ao que fizemos para obter a convergência anterior. Destas convergências e de (2.25), temos que ( ) 1 lim inf J λ (u n ) = lim inf 2 u n 2 G λ (x, u n ) dx H λ (x, u n ) dx 1 [ ( )] 2 lim inf u n 2 + lim inf G λ (x, u n ) dx + H λ (x, u n ) dx 1 2 u 2 G λ (x, u) dx H λ (x, u) dx = J λ (u). 28

46 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL Assim, J λ é sequencialmente fracamente semicontínuo inferiormente. Logo, pelo Teorema 1.5.2, J λ é limitado inferiormente e atinge mínimo em H 1 (). Seja u λ o mínimo global de J λ sobre H 1 (). Como J λ é o funcional associado ao problema u + u = g λ (x, u) em, u > u ν = h λ (x, u) sobre, (2.27) então u λ é solução fraca de (2.27). De forma análoga ao que fizemos com o problema (P λ ), verifica-se que u λ C 2,θ (), para algum θ (, 1). Agora, como g é não-decrescente, pela definição (2.23), temos g λ (x, t) g (u λ2 (x)), para todo t R e x. Em particular, temos g λ (x, u λ (x)) g (u λ2 (x)), para todo x. (2.28) Pela definição de (2.24), h λ (x, u λ (x)) λψ (x) u q λ 2 (x), para todo x. (2.29) Afirmação: v λ u λ < u λ2 em. Com efeito, para mostrar que v λ u λ em, notemos que sendo u λ e v λ soluções fracas de (2.27) e (2.21), respectivamente, encontramos (u λ v λ ) ϕ dx + (u λ v λ ) ϕ dx = u λ ϕ dx + u λ ϕ dx v λ ϕ dx v λ ϕ dx = g λ (x, u λ ) ϕ dx + h λ (x, u λ ) ϕ dx λ ψµ q ϕ dx, para todo ϕ H 1 (). Escolhendo ϕ = (u λ v λ ) = max{, (u λ v λ )}, temos que g λ (x, u λ ) ϕ dx = g λ (x, u λ ) ϕ dx + g λ (x, u λ ) ϕ dx [v λ u λ ] [u λ <v λ ] = g (v λ ) ( u λ + v λ ) dx [u λ <v λ ] 29

47 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL e h λ (x, u λ ) ϕ dx = h λ (x, u λ ) ϕ dx + h λ (x, u λ ) ϕ dx [v λ u λ ] [u λ <v λ ] = λ ψµ q ( u λ + v λ ) dx. [u λ <v λ ] Além disso, λ ψµ q ϕ dx = λ = λ [v λ u λ ] [u λ <v λ ] ψµ q ϕ dx λ ψµ q ϕ dx [u λ <v λ ] ψµ q ( u λ + v λ ) dx. Somando estas últimas igualdades, obtemos g λ (x, u λ ) ϕ dx + h λ (x, u λ ) ϕ dx λ ψµ q ϕ dx = [u λ <v λ ] g (v λ ) ( u λ + v λ ) dx. Como g é não-negativa e, para u λ < v λ, tem-se que u λ + v λ >, então g (v [u λ <v λ ] λ) ( u λ + v λ ) dx. Por outro lado, (u λ v λ ) (u λ v λ ) dx + (u λ v λ ) (u λ v λ ) dx = (uλ v λ ) 2. Assim, g (v λ ) ( u λ + v λ ) dx = (uλ v λ ) 2. [u λ <v λ ] Consequentemente, (uλ v λ ) 2 =. Disto, segue que (u λ v λ ) = quase sempre em. Logo, u λ v λ quase sempre em. Assim, inf (u λ v λ ) quase sempre em. Agora, como u λ e v λ satisfazem u λ + u λ = g λ (x, u λ ) e v λ + v λ = no sentido fraco, subtraindo a primeira destas igualdades pela segunda, obtemos que (u λ v λ ) + (u λ v λ ) = g λ (x, u λ ). O que implica que (u λ v λ ) (u λ v λ ) no sentido fraco. No que segue, mostraremos que u λ v λ. De fato, supondo o contrário, e usando novamente o fato de que u λ é solução fraca de (2.27) e v λ de (2.21), teríamos que g λ (x, u λ ) ϕ dx + h λ (x, u λ ) ϕ dx = λ ψµ q ϕ dx, (2.3) para todo ϕ H 1 (). Escolhamos ϕ C ( ), ϕ >, tal que supp(ϕ). Então, ϕ =. Assim, segue de (2.3) que g λ (x, u λ ) ϕ dx =, o que é um absurdo, pois, 3

48 2.5. EXISTÊNCIA DE UMA SOLUÇÃO MINIMAL usando a hipótese (H 2 ) (e) e os fatos de que u λ > em, g λ é não-decrescente e ϕ >, temos que g λ (x, u λ ) ϕ dx >. Logo, u λ v λ. Afirmação: u λ v λ > em. De fato, suponha que existe x tal que (u λ v λ ) (x ) =. Assim, desde que é aberto, existe B R (x ) tal que inf (u λ v λ ) = inf (u λ v λ ), quase sempre em. B R (x ) Disto, e do fato de (u λ v λ ) (u λ v λ ) no sentido fraco, segue do Teorema que (u λ v λ ) é constante em. Logo, como (u λ v λ ) (x ) = e x, então (u λ v λ ) =, o que contradiz o fato de que u λ v λ. Logo, a afirmação segue. Agora, desde que u λ, v λ C 2,θ ( ), mostraremos que u λ v λ sobre. Com efeito, supondo o contrário, existiria x tal que u λ (x ) < v λ (x ). Como x, existe uma sequência (x k ) tal que x k x. Como, u λ > v λ em, temos que u λ (x k ) > v λ (x k ). Disto e da continuidade das funções u λ e v λ, segue que u λ (x ) v λ (x ). O que é uma contradição. Logo, u λ v λ em. Disto e do fato de u λ > v λ em, temos que u λ v λ em. que Agora, usando que u λ2 e u λ são soluções fracas de (P λ ) e (2.27), respectivamente, temos (u λ2 u λ ) ϕ dx + (u λ2 u λ ) ϕ dx = u λ2 ϕ dx + u λ2 ϕ dx u λ ϕ dx ( g (u λ2 ) ϕ dx + λψu q λ 2 ϕ dx g λ (x, u λ ) ϕ dx + u λ ϕ dx = ) h λ (x, u λ ) ϕ dx, para todo ϕ H 1 (). Assim, por (2.28) e (2.29), obtemos da igualdade anterior que (u λ2 u λ ) ϕ dx + (u λ2 u λ ) ϕ dx, para todo ϕ H 1 (), ϕ. Logo, pelo Lema 2.3.5, (u λ2 u λ ) + (u λ2 u λ ) em no sentido fraco. Usando novamente (2.29), temos que (u λ2 u λ ) ν = λ 2 ψu q λ 2 h λ (x, u λ ), sobre. 31