Resumo. Neste trabalho estudamos os espaços L p(x) (Ω) e W 1, p(x) (Ω), bem como a exitência de solução fraca para problemas elípticos do tipo

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1 Resumo Neste trabalho estudamos os espaços L p(x) () e W 1, p(x) (), bem como a exitência de solução fraca para problemas elípticos do tipo p(x) u = f(x, u), x, u W 1, p(x) (), onde R N é um domínio limitado ou = R N ; p(x) > 1 é uma função contínua e p(x) denota o operador p(x) Laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div( u p(x) 2 u). Usando técnicas variacionais, obtemos alguns resultados de existência de solução para os problemas em questão.

2 Abstract In this work we study the spaces L p(x) () and W 1, p(x) (), as well as existence of weak solutions for elliptic problems of type p(x) u = f(x, u), x, u W 1, p(x) (), where R N is a bounded domain or = R N ; p(x) > 1 is a continuous function and p(x) denotes p(x) Laplacian operator, wich is defined by p(x) u = div( u p(x) 2 u). Using variational techniques, we obtain some results of existence of solution for the problems in question.

3 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Teconologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Sobre os Espaços de Lebesgue e Sobolev Generalizados e Aplicações Envolvendo o p(x)-laplaciano. por Cícero Januário Guimarães sob orientação do Prof. Dr. Marco Aurelio Soares Souto Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Campina Grande - PB Março/2006

4 Sobre os Espaços de Lebesgue e Sobolev Generalizados e Aplicações Envolvendo o p(x)-laplaciano. por Cícero Januário Guimarães Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática Aprovada por: Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó Prof. Dr. Daniel Cordeiro de Morais Filho Prof. Dr. Marco Aurelio Soares Souto Orientador Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Março/2006 ii

5 Agradecimentos Ao professor Marco Aurelio, pela compreensão e excelente orientação. Aos professores João Marcos do Ó e Daniel Cordeiro, pelas sugestões e por aceitarem a participar da banca examinadora. Ao professor Claudianor, pelas sugestões. Aos professores Francisco Morais e Rosana, por me recomendarem ao mestrado. Aos professores com os quais cursei disciplinas no mestrado: Marco Aurelio, Claudianor, Vânio, Braulio e Daniel Pellegrino. Aos demais professores da UAME. A todos os funcionários da UAME, entre eles, Salete, Dona Argentina e Valdir, pela presteza e atenciosidade. A Jesualdo, Lauriclécio e Lindomberg, por me ajudarem no LATEX. A todos os colegas de mestrado. À CAPES, pelo suporte financeiro. iii

6 Dedicatória Aos meus pais. iv

7 Conteúdo Introdução O Espaço L p(x) () Definições e Resultados Básicos Propriedades do Espaço L p(x) () O Operador de Nemytskii O Espaço W 1, p(x) () Propriedades do Espaço W 1, p(x) () Imersões Problema Elíptico em Domínio Limitado Propriedades do Operador p(x)-laplaciano Existência de Solução Problemas Elípticos em R N Hipóteses sobre as funções p(x) e q(x) Imersões Contínuas A geometria do Passo Da Montanha Existência de Solução Primeiro Caso: Igualdade no Infinito Segundo Caso: Assintoticamente Constante no Infinito A Desigualdades 74 B O Teorema de Minty-Browder para Operadores Contínuos 76

8 ii C Teorema do Passo da Montanha 80 D Resultados Utilizados na Dissertação 90 Bibliografia 92

9 Introdução Neste trabalho, estudamos os espaços de Lebesgue e Sobolev generalizados, bem como problemas elípticos envolvendo o operador p(x)-laplaciano, em domínios limitados e em R N. A importância de estudar os espaços mencionados é que eles fornecem a estrutura necessária para se resolver problemas elípticos com certas condições de crescimento. O principal objetivo neste trabalho é estudar a existência de solução fraca para problemas elípticos do tipo p(x) u = f(x, u), x, u W 1, p(x) (), onde R N é um domínio limitado ou = R N, p(x) > 1 é uma função contínua e p(x) denota o operador p(x) Laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div( u p(x) 2 u). Sobre a função assumiremos hipóteses ao longo do trabalho. O operador p(x)-laplaciano surge em alguns problemas físicos, por exemplo, em teoria da elasticidade e mecânica dos fluidos, mais precisamente, fluidos do tipo eletroreológicos (ver [8] e [23]), cuja equação de movimento é dada por u + divs(u) + (u )u + π = f, t onde u : R 3+1 R 3 é a velocidade do fluido em um ponto do espaço-tempo, = ( 1, 2, 3 ) é o operador gradiente, π : R 3+1 R 1 é a pressão, f : R 3+1 R 3 representa forças externas e o tensor stress S : W 1,1 loc R3+3 é da forma S(u)(x) = µ(x)(1 + Du(x) 2 ) (p(x) 2/2) Du(x),

10 onde Du = 1 2 ( u + ut ) é a parte simétrica do gradiente de u. Além disso, o operador p(x)-laplaciano possui uma propriedade interessante: ele é não-homogêneo quando a função p é não-constante. Como conseqüência disso, temos algumas dificuldades, como por exemplo: não podemos usar o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange na maioria dos problemas envolvendo esse operador. espaço Este trabalho é constituído de quatro capítulos e quatro apêndices. No Capítulo 1 estudamos o espaço de Lebesgue generalizado, ou seja, o seguinte onde R N L p(x) () = { } u : R : u é mensurável, u(x) p(x) dx <, é um conjunto mensurável e p L (), com p 1. Neste Capítulo demonstramos as principais propriedades desse espaço, tais como: completeza, reflexividade, separabilidade e densidade. Também demonstramos as propriedades básicas do operador de Nemytskii. No Capítulo 2 fazemos um estudo semelhante ao do Capítulo 1, agora para o espaço de Sobolev generalizado W 1, p(x) (), o qual é definido por { W 1, p(x) () = u L p(x) () : onde R N u x j L p(x) (), j = 1,..., N é um domínio. Tal espaço é essencial neste trabalho, pois é sobre ele que estudaremos a existência de solução para os problemas em questão. É importante ainda observar que este espaço pode ser escrito da seguinte forma W 1, p(x) () = { u L p(x) () : u L p(x) () }, onde ( u u =, u ) u,...,. x 1 x 2 x N Ainda neste capítulo, supondo limitado, demonstramos alguns resultados de imersão, entre eles um teorema tipo Sobolev e a Desigualdade de Poincaré, que serão de grande utilidade nos capítulos seguintes. Os Capítulos 1 e 2 são baseados no artigo de Fan & Zhao [9]. No Capítulo 3 estudamos a existência de solução fraca em W problema de Dirichlet p(x) u = f(x, u), x, (P ) u = 0, x, }, 1, p(x) o 7 () para o

11 onde R N é um domínio limitado, p > 1, p C(). Ainda neste capítulo, estudamos as propriedades do operador p(x) laplaciano e obtemos alguns resultados de existência de solução para o problema (P ), impondo certas condições de crescimento sobre a função f. O Capítulo 3 é baseado no artigo de Fan & Zhang [10]. No Capítulo 4 estudamos a exitência de solução fraca para a seguinte classe de problemas elípticos quasilineares p(x) u + u p(x) 1 = λu q(x), x R N, (P λ ) u 0, u 0 e u W 1, p(x) (R N ), onde λ > 0 é um parâmetro e p, q : R N R são funções mensuráveis satisfazendo algumas condições de crescimento. Estudaremos dois tipos de comportamento para a função q no infinito. No primeiro, supondo q constante no infinito, mostramos que o problema (P λ ) tem uma solução para todo λ > 0. No segundo, supondo q assintoticamente constante no infinito, mostramos que o problema (P λ ) tem uma solução para todo λ > λ o > 0. Para o Capítulo 4 temos como referência o artigo de Alves & Souto [2]. No Apêndice A demonstramos que, para quaisquer x, y R N, valem as seguintes desigualdades 2 x p 2 x y p 2 y, x y 3 p p x y p, se p 2 x y 2 (p 1), se 1 < p < 2, ( x p + y p ) 2 p As desigualdades acima são importantes, pois através delas e do Teorema de Minty- Browder, demonstrado no Apêndice B, concluiremos que o operador definido por (L(u), v) = é um homeomorfismo. problema (P). L : W 1, p(x) o () (W 1, p(x) o ()) u p(x) 2 u vdx, para todos u, v W 1, p(x) o () Tal propriedade será útil na busca de solução fraca para o No Apêndice B demonstramos o Teorema de Minty-Browder, que é um dos resultados básicos da teoria dos operadores monótonos. 8

12 9 No Apêndice C demonstramos o Teorema do Passo da Montanha, um resultado fundamental neste trabalho, já que estudamos problemas elípticos variacionais. No Apêndice D enunciamos alguns resultados importantes utilizados ao longo da dissertação.

13 Capítulo 1 O Espaço L p(x) () Neste capítulo estudaremos o espaço de Lebesgue generalizado L p(x) (), o qual é definido por L p(x) () = { } u : R : u é mensurável, u(x) p(x) dx <, onde R N é um conjunto mensurável e p L (), com p 1. Tal espaço juntamente com espaço de Sobolev generalizado W 1,p(x) (), que será estudado no capítulo 2, desempenham um papel fundamental quando se estuda problemas elípticos variacionais com certas condições de crescimento. 1.1 Definições e Resultados Básicos Seja R N um conjunto mensurável. Considere o conjunto L + () = {u L () : inf ess u 1}. Para u L p(x) () e p L + (), definimos ρ(u) = u(x) p(x) dx, p = inf ess p e p + = sup ess p. A função ρ definida anteriormente é chamada de modular. Devido à sua importância, a seguir demonstraremos alguns resultados envolvendo tal função, e que se mostrarão úteis ao longo deste trabalho.

14 11 Proposição 1.1 Para todos u, v L p(x) (), tem-se (a) ρ(u) = 0 se e, somente se, u = 0; (b) ρ( u) = ρ(u); (c) ρ(tu + (1 t)v) tρ(u) + (1 t)ρ(v), para todo t [0, 1], i.e., ρ é uma função convexa. (d) ρ(u + v) 2 p+ [ρ(u) + ρ(v)]; (e) Se λ > 1, então ρ(u) λρ(u) λ p ρ(u) ρ(λu) λ p+ ρ(u), e se 0 < λ < 1, temos λ p+ ρ(u) ρ(λu) λ p ρ(u) λρ(u) ρ(u). (f) Para cada u L p(x) () \ {0}, ρ(λu) é uma função crescente, contínua e convexa em λ [0, ). Demonstração. Sejam u, v L p(x) (). (a) Note que ρ(u) = 0 u(x) p(x) = 0, q.s. em u(x) = 0, q.s. em u(x) = 0, q.s. em. (b) Segue da definição de ρ. (c) Note que a função ϕ : R R dada por ϕ(x, s) = s p(x) é convexa em R. Logo, pelas propriedades da integral de Lebesgue, concluímos que ρ é convexa. (d) Note que u(x) + v(x) p(x) 2 p(x) ( u(x) p(x) + v(x) p(x) ), q.s. em. Integrando a desigualdade acima, obtemos o resultado. (e) Se λ > 1, temos u(x) p(x) λ u(x) p(x) λ p u(x) p(x) λu(x) p(x) λ p+ u(x) p(x), q.s. em. Se 0 < λ < 1, temos λ p+ u(x) p(x) λu(x) p(x) λ p u(x) p(x) λ u(x) p(x) u(x) p(x), q.s. em. Integrando em ambos os casos as desigualdades acima, obtemos o resultado.

15 12 (f) Sejam λ 1, λ 2 [0, ), tais que λ 1 < λ 2. Fixando u L p(x) () \ {0}, temos λ 1 u(x) p(x) = λ 1 p(x) u(x) p(x) < λ 2 p(x) u(x) p(x) = λ 2 u(x) p(x), q.s. em. Integrando esta desigualdade, obtemos ρ(λ 1 u) < ρ(λ 2 u). Logo, ρ(λu) é crescente em λ [0, ). Mostremos a continuidade. Seja λ n λ em [0, ). Note que, q.s. em, ϕ n := λ n u(x) p(x) é uma seqüência crescente e ϕ n ϕ := λu(x) p(x). Logo, pelo Teorema da Convergência Monótona temos ρ(λ n u) ρ(λu). Portanto, ρ(λu) é contínua em λ [0, ). Com relação à convexidade, note que a função ϕ(x, λ) = λu(x) p(x), λ 0, é convexa em λ. Logo, pelas propriedades da integral de Lebesgue, concluímos que ρ(λu) é convexa em λ [0, ). Pelos itens (a), (b), (d) e (e) da Proposição 1.1, temos Proposição 1.2 L p(x) () é um espaço vetorial. Nas demonstrações seguintes, para cada u L p(x) () denotaremos I u = { ( u } λ > 0 : ρ 1. λ) Note que I u é um intervalo da forma I u = (0, ) se u = 0 e I u = [a, ), a > 0, se u 0. De fato, se u = 0 é imediato, pois neste caso ρ(0) = 0. Suponha que u 0 e seja a I u. Daí, se λ > a temos que 1 λ < 1 a. Assim, ( u ( u ρ < ρ 1, λ) a)

16 13 logo λ I u. Portanto, I u é um intervalo. Agora observe que, para λ > 0, a função ( u f(λ) = ρ λ) é contínua convexa decrescente. Além disso, I u = f 1 (, 1] = f 1 (0, 1]. Logo, I u = [a, ), com a = f 1 ({1}). Vamos agora definir uma norma no espaço L p(x) (), que será denotada por p(x). { ( u } Proposição 1.3 u p(x) = inf λ > 0 : ρ 1 é uma norma em L λ) p(x) (). Demonstração. Sejam u, v L p(x) () e α R. Devemos mostrar que (i) u p(x) 0, (ii) u p(x) = 0 u = 0, (iii) αu p(x) = α u p(x), (iv) u + v p(x) u p(x) + v p(x). De fato, (i) É imediato. (ii) Se u = 0, então I u = (0, ). Logo, u p(x) = 0. Suponha agora que u p(x) = 0, mas u 0. Existe (λ n ) (0, 1) tal que ( ) u λ n 0 e ρ 1, n N. λ n Logo, ( ) u 1 ρ = λ n ( ) p(x) ( ) 1 1 u(x) p(x) dx > u(x) p(x) dx. λ n λ n Sendo ρ(u) > 0, teríamos ( ) u ρ +, quando n, λ n uma contradição. Portanto, u = 0.

17 14 (iii) Se α = 0, o resultado é imediato. Se α 0, temos { ( αu ) } αu p(x) = inf λ > 0 : ρ 1 { λ( u } = inf α λ > 0 : ρ 1 { ( λ) u } = α inf λ > 0 : ρ 1 λ) = α u p(x). (iv) Defina o conjunto C = { u L p(x) () : ρ(u) 1 }. Observe que I u = {λ > 0 : λ 1 u C}. Sendo L p(x) () um espaço vetorial e ρ uma função convexa, temos que C é convexo. Denotando u p(x) = a e v p(x) = b, temos pois a + ɛ I u e b + ɛ I v. Sendo C convexo, temos u a + ɛ, v b + ɛ tu (1 t)v + a + ɛ b + ɛ C, para todo ɛ > 0, C, para t [0, 1]. Em particular, se temos Daí, t = a + ɛ a + b + 2ɛ, u + v a + b + 2ɛ C. a + b + 2ɛ I u+v. Logo, Portanto, u + v p(x) u p(x) + v p(x) + 2ɛ, para todo ɛ > 0. u + v p(x) u p(x) + v p(x), o que conclui a demonstração.

18 15 Proposição 1.4 Se a função p(x) = p é constante, então p(x) = p, onde p é a norma usual do espaço L p (), 1 p <. Demonstração. Se u = 0 é imediato. Suponha u 0. Assim, { ( u u p(x) = inf λ > 0 : ρ { λ) 1 = inf λ > 0 : { 1 = inf λ > 0 : } 1 } λ p(x) u(x) p(x) dx 1 } λ p u p p dx 1 = inf {λ > 0 : u p λ} = u p. Proposição 1.5 Seja u L p(x) () \ {0}. Então, ( u u p(x) = a se, e somente se, ρ = 1. a) Demonstração. ( ). Seja u p(x) = a. Então, Suponha que Para t > 0, a função ( u I u = [a, ) e ρ 1. a) ( u ρ < 1. a) ( u ) ρ, t é contínua convexa decrescente. Logo, existe δ > 0 tal que ( u ) ρ < 1, para t (a δ, a + δ). t Assim, teríamos a δ 2 I u, que é um absurdo. Portanto, ( u ( ). Seja ρ a) Assim, existe λ o I u tal que ( u ρ = 1. a) = 1. Então, a I u. Daí, u p(x) a. Suponha que u p(x) < a. u p(x) λ o < a.

19 16 Logo, um absurdo. Portanto, u p(x) = a. ( ( ) u u ρ < ρ 1, a) λ o Proposição 1.6 Seja u L p(x) (). Então, (1) u p(x) < 1(= 1; > 1) se, e somente se, ρ(u) < 1(= 1; > 1); (2) Se u p(x) > 1, então u p p(x) ρ(u) u p+ p(x) ; (3) Se u p(x) < 1, então u p+ p(x) ρ(u) u p p(x). Demonstração. (1). Seja u L p(x) (). Se u = 0 é imediato. Suponha u 0. Que u p(x) = 1 ρ(u) = 1, segue da Proposição 1.5. Se u p(x) = a < 1, então 1 < 1. Sendo ρ(λu) crescente em λ [0, ), temos a ( u ρ(u) < ρ < 1. a) Se ρ(u) < 1, então 1 I u. Logo, pela Proposição 1.5, concluímos que u p(x) < 1. A prova da outra equivalência é similar. (2). Seja u p(x) = a > 1. Então, ( u ρ = 1. a) Sendo 1 a logo < 1, pelo item (e) da Proposição 1.1 temos 1 ( u ) a ρ(u) ρ p+ a = 1 < 1 ρ(u), ap u p p(x) ρ(u) u p+ p(x). (3) É similar a (2). Proposição 1.7 Seja (u n ) L p(x) (). Se u L p(x) (), então as seguintes afirmações são equivalentes: (1) lim n u n u p(x) = 0; (2) lim n ρ(u n u) = 0.

20 17 Demonstração. (1) (2). Se lim n u n u p(x) = 0, então dado 0 < ɛ < 1 existe n o N tal que n n o implica u n u p(x) < ɛ < 1. Logo, ρ(u n u) u n u p p(x) < ɛp < ɛ. Portanto, lim ρ(u n u) = 0. n (2) (1). Se lim n ρ(u n u) = 0, então dado 0 < ɛ < 1 existe n o N tal que n n o implica Logo, pela Proposição 1.6 temos ρ(u n u) < ɛ p+ < ɛ < 1. u n u p(x) < 1, sempre que n n o. Daí, novamente pela Proposição 1.6, u n u p+ p(x) ρ(u n u) < ɛ p+, para todo n n 0. Portanto, lim u n u p(x) = 0. n 1.2 Propriedades do Espaço L p(x) () Nesta seção, demonstraremos as principais propriedades de L p(x) (). Teorema 1.8 L p(x) () é um espaço de Banach. Demonstração. Seja (u n ) L p(x) () uma seqüência de Cauchy. Mostrando que (u n ) possui uma subseqüência convergente, demonstraremos o teorema. Afirmação: existe uma subseqüência (u k ) (u n ) tal que u k+1 u k p(x) < 1, para todo k N. (1.1) 2k

21 18 De fato, dado ɛ = 1 2 existe n 1 N tal que m, n n 1 implica u m u n p(x) < 1 2. Dado ɛ = existe n 2 n 1 tal que m, n n 2 implica u m u n p(x) < Em particular, u n2 u n1 p(x) < Dado ɛ = existe n 3 n 2 tal que m, n n 3 implica u m u n p(x) < Em particular, u n3 u n2 p(x) < E assim por diante. Denote (u nk ) = (u k ). Mostraremos que (u k ) é convergente. Defina a seqüência não-decrescente v n (x) = n u k+1 (x) u k (x), x. k=1 Então, (v n ) L p(x) () e, por (1.1), temos v n p(x) 1, para todo n N. Logo, pela Proposição 1.6 v n (x) p(x) dx 1, para todo n N. (1.2) Usando (1.2) e o Teorema da Convergência Monótona, existe v L p(x) () tal que Por outro lado, para m, n 2 e x, temos lim v n(x) = v(x), q.s. em. (1.3) n u m (x) u n (x) u m (x) u m 1 (x) + u m 1 (x) u m 2 (x) + + u n+1 (x) u n (x) v(x) v n 1 (x). (1.4)

22 Por (1.3) e (1.4), segue que para quase todo x, {u k (x)} R é uma seqüência de Cauchy, logo convergente, digamos Resulta de (1.4) e (1.5) que 19 lim u k(x) = u(x), q.s. em. (1.5) k u k (x) u(x) v(x), para k 2 e q.s. em. (1.6) Sendo v L p(x) (), então por (1.6) tem-se Desde que, por (1.5) e (1.6), u L p(x) (). u k (x) u(x) p(x) 0 e u k (x) u(x) p(x) v(x) p(x), q.s em, então pelo Teorema da Convergência Dominada u k (x) u(x) p(x) = 0, ou seja, lim k Portanto, pela Proposição 1.7: lim ρ(u k u) = 0. k lim u k u p(x) = 0, n concluindo a demonstração. O resultado abaixo é um corolário da demonstração do Teorema 1.8. Teorema 1.9 Seja (u n ) L p(x) () tal que u n u. Então, existe uma subseqüência (u nk ) tal que (a) u nk (x) u(x), q.s. em ; (b) u nk (x) h(x), para k 1, q.s. em, com h L p(x) (). Demonstração. (a). Como a seqüência (u n ) é de Cauchy, existe uma subseqüência (u nk ) verificando (1.1). Procedendo como na demonstração do Teorema 1.8, concluímos de (1.5) que lim k u n k (x) = g(x), q.s. em. (1.7)

23 20 Além disso, por (1.6): u nk (x) g(x) v(x), para todo k 1, q.s. em, (1.8) com v L p(x) (). Pelo Teorema da Convergência Dominada g L p(x) () e u nk g em L p(x) (). Logo, u(x) = g(x), q.s. em. E usando (1.7), obtemos (a). (b). Escolha h = g + v e aplique (1.8). Proposição 1.10 (Desigualdade de Hölder) Seja p > 1 e seja q L + () tal que 1 p(x) + 1 q(x) Se u L p(x) () e v L q(x) (), então ( u(x)v(x)dx 1 p + 1 = 1, para todo x. q ) u p(x) v q(x). Demonstração. Sejam u p(x) = a e v q(x) = b. Pela desigualdade de Young, temos u(x) a v(x) dx u(x) b v(x) dx a b p(x) q(x) 1 u(x) 1 p(x) a dx + v(x) q(x) b dx 1 p(x) u(x) p a dx + 1 q(x) v(x) q b dx = 1 p + 1 q, de onde segue o resultado. Teorema 1.11 Se p > 1, então L p(x) () é um espaço reflexivo. Demonstração. Defina os conjuntos = {x : 1 < p(x) < 2} e + = {x : p(x) 2}. Observe que L p(x) () = L p(x) ( + ) L p(x) ( ). Mostraremos que:

24 21 (i) L p(x) ( + ) é reflexivo; (ii) L p(x) ( ) é reflexivo, e daí concluiremos que L p(x) () é reflexivo, pois a soma direta de dois espaços de Banach reflexivos é um espaço reflexivo. Com efeito, (i). Afirmação: L p(x) ( + ) é uniformemente convexo. u, v L p(x) ( + ) tais que De fato, seja ɛ > 0 e sejam u L p(x) ( + ) 1, v L p(x) ( + ) 1 e u v L p(x) ( + ) > ɛ. (1.9) Desde que p(x) 2 em +, então pela 1 a desigualdade de Clarkson (ver [5], pág. 59), temos u + v 2 p(x) + u v 2 p(x) 1 2 ( u p(x) + v p(x)), para x +. (1.10) Integrando (1.10) em + e usando (1.9), obtemos p(x) p(x) u + v 2 dx + u v dx + 2 u p(x) dx v p(x) dx 1. (1.11) + + Segue desta desigualdade que u + v 2 + p(x) dx, + u v 2 p(x) Usando agora a Proposição 1.6 e (1.11) - (1.12), obtemos p+ p+ u + v 2 + u v 2 L p(x) ( + ) L p(x) ( + ) Sendo u v L p(x) ( + ) > ɛ, temos por (1.13) que u + v 2 < 1 δ, L p(x) ( + ) dx 1. (1.12) 1. (1.13) onde δ = 1 [ ( ] 1 ɛ p+ p+ 1 > 0. 2) Logo, L p(x) ( + ) é uniformemente convexo, e portanto reflexivo pelo Teorema de Milman- Pettis (ver [5], Teorema III.29). (ii). Seja q L + () tal que 1 p(x) + 1 q(x) = 1, para todo x.

25 22 Defina o operador linear T : L p(x) ( ) (L q(x) ( )) u T (u), v = u(x)v(x)dx. Pela desigualdade de Hölder (ver Proposição 1.10), temos onde C = ( 1 p + 1 ). Daí, q T (u), v C u L p(x) ( ) v L q(x) ( ), ou seja, T é contínuo. T (u) (L q(x) ( )) C u L p(x) ( ), (1.14) Seja u L p(x) ( ) = a e considere a função v o (x) = u(x) a p(x) 1 sgnu(x), x, onde sgn é a função sinal, ou seja, sgn t = 1, se t > 0, 0, se t = 0, 1, se t < 0. Observe que v o L q(x) ( ) e v o L q(x) ( ) = 1. Assim, T (u), v o = u(x)v o (x)dx = u(x) a p(x) 1 u(x) dx = a u(x) a p(x) dx = a. Logo, u L p(x) ( ) T (u) (L q(x) ( )). (1.15) De (1.14) e (1.15), obtemos u L p(x) ( ) T (u) (L q(x) ( )) C u L p(x) ( ), para todo u L p(x) ( ). (1.16) De (1.16), segue que T é injetivo. Sendo T linear, então E = T (L p(x) ( )) é um subespaço vetorial de ( L q(x) ( ) ). Como L p(x) ( ) é um espaço de Banach, concluímos de

26 (1.16) que E é fechado. Como L q(x) ( ) é reflexivo, por Brezis ( [5], Corolário III.18) ( L q(x) ( ) ) é reflexivo. Logo, por Brezis ([5], Proposição III.17), E é reflexivo. De 23 onde concluímos que L q(x) ( ) é reflexivo. A seguir, demonstraremos o Teorema da Representação de Riesz para o espaço L p(x) (). Teorema 1.12 Seja p > 1 e seja q L + () tal que 1 p(x) + 1 q(x) = 1, para todo x. Então, dado f (L p(x) ()) existe um único v L q(x) () tal que f(v) = Demonstração. Defina o operador linear u(x)v(x)dx, para todo u L p(x) (). T : L q(x) () (L p(x) ()) v T (v), u = u(x)v(x)dx. Procedendo como em (ii) da demonstração do Teorema 1.11 concluímos que T é injetivo e que E = T (L q(x) ()) é um subespaço vetorial fechado de (L p(x) ()). Vamos mostrar que T é sobrejetivo. Sendo E fechado, basta mostrar que E é denso em (L p(x) ()). Seja u (L p(x) ()) = L p(x) () (pois L p(x) () é reflexivo) tal que T (v), u = 0, para todo v L q(x) (). Afirmação: u = 0. De fato, considere a função v o (x) = u(x) p(x) 2 u(x), x. Observe que v o L q(x) (). Logo, u(x) p(x) dx = v o (x)u(x)dx = T (v o ), u = 0, de onde concluímos que u = 0. Por Brezis ([5], Corolário I.8), temos que E é denso em (L p(x) ()). Daí, T é sobrejetivo, e portanto um isomorfismo.

27 24 No que segue, faremos sistemacamente a identificação (L p(x) ()) = L q(x) (). Agora, abordaremos a questão da densidade em L p(x) (). Teorema 1.13 Seja R N um conjunto aberto. Então, o espaço C o () é denso em L p(x) (). Demonstração. Sabemos que C o () é denso em L 1 (). Suponha p(x) > 1 em. Por Brezis (ver [5], Corolário I.8 e sua Observação 5) para demonstrarmos o teorema é suficiente verificar que se v L q(x) () é tal que v(x)u(x)dx = 0, para u C o (), então v = 0. Observe que, para todo compacto K, usando a desigualdade de Young, temos v(x) dx K K 1 p(x) dx + v(x) q(x) K q(x) dx 1 p K + 1 v(x) q(x) dx <. q K Logo, v L 1 loc (). Pelo Lema de Du Bois-Reymond, v = 0. Teorema 1.14 Seja R N em L p(x) (). um conjunto aberto. Então, o espaço C o () é denso Demonstração. Seja u L p(x) (). Pelo Teorema 1.13, dado η > 0 existe v C o () tal que u v p(x) < η 2. (1.17) Por Adams ([1], Lema 2.18, itens (b) e (d)), para todo ɛ > 0 temos ϕ ɛ := J ɛ v C o (), se ɛ < dist (supp v, ) e ϕ ɛ v uniformemente em supp v, quando ɛ 0 +, (1.18) onde J ɛ Co () é um mollifier (ver Adams [1], pág. 29) e ϕ ɛ (x) = (J ɛ v)(x) = J ɛ (x y) v(y)dy. R N

28 25 Por (1.18) e pelo Teorema da Convergência Dominada, temos ρ(ϕ ɛ v) = ϕ ɛ v p(x) dx = ϕ ɛ v p(x) dx 0, quando ɛ 0 +. supp v Logo, pela Proposição 1.7 temos ϕ ɛ v p(x) < η 2, quando ɛ 0+. (1.19) Portanto, de (1.17) e (1.19), u ϕ ɛ p(x) u v p(x) + ϕ ɛ v p(x) < η 2 + η 2 = η, quando ɛ 0 +, concluindo a demonstração. Teorema 1.15 Seja R N um conjunto aberto. Então, o espaço L p(x) () é separável. Demonstração. Para cada n N, defina n = {x : dist (x, ) > 1n }, x < n. Observe que cada n é um subconjunto compacto de. e defina Seja P o conjunto de todos os polinômios de R N em R com coeficientes racionais P n = { χ n f : f P }, n N, onde χ n é a função característica de n. Pelo Teorema de Stone-Weierstrass P n é denso em C( n ). Além disso, o conjunto P o = P n é enumerável. tal que onde Seja ɛ > 0 pequeno e seja u L p(x) (). Então, pelo Teorema 1.13 existe v C o () n=1 u v p(x) < ɛ 2. Se 1 n < dist (supp v, ), então supp v n, e daí existe f P n tal que c = p +, se n < 1; c = p, se n 1. v f L ( n) ɛ 2 n 1/c, (1.20)

29 26 Em qualquer situação, usando (1.20) teremos v f p(x) dx = v f p(x) dx < ɛ n 2. Daí, pela Proposição 1.6, obtemos v f p(x) < ɛ 2. Logo, u f p(x) u v p(x) + v f p(x) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, i.e., P o é denso em L p(x) (). Portanto, L p(x) () é separável. 1.3 O Operador de Nemytskii Nesta seção estudaremos o operador de Nemytskii entre os espaços L p(x) () s. Sejam f : R R uma função de Carathéodory e N f o operador de Nemytskii definido por f, i.e, (N f u)(x) = f(x, u(x)), para toda função mensurável u : R. Teorema 1.16 Se N f : L p(x) () L q(x) (), então N f é contínuo, limitado e existem uma constante b 0 e uma função não-negativa a L q(x) () tais que f(x, s) a(x) + b s p(x)/q(x), para todos x e s R. (1.21) Reciprocamente, se f satisfaz (1.21), então N f : L p(x) () L q(x) (), e N f é contínuo e limitado. Demonstração. ( ). Seja N f : L p(x) () L q(x) (). Suponha inicialmente que f(x, 0) = 0. Assim, devemos mostrar a continuidade de N f em u = 0. Seja (u n ) L p(x) () tal que u n 0. Pela Proposição (1.7), temos u n (x) p(x) dx = 0. (1.22) lim n Defina a função h : R R por Para v L 1 (), seja h(x, s) = f(x, sgn s s 1/p(x) ) q(x). (N h v)(x) = h(x, v(x)) = f(x, sgn v(x) v(x) 1/p(x) ) q(x). (1.23)

30 27 Desde que sgn v(x) v(x) 1/p(x) L p(x) (), usando a hipótese, temos N h v L 1 (), mostrando que N h : L 1 () L 1 (). Portanto, N h é contínuo em v = 0 (ver [24], Teorema 19.1 e [11], Teorema 2.3). Seja a seqüência (v n ) L 1 (), definida por v n = sgn u n u n p(x). Daí, por (1.22) lim v n (x) dx = lim u n (x) n n p(x) = 0, Sendo N h contínuo, obtemos lim (N h v n )(x) dx = 0. n Logo, por (1.23), lim (N f u n )(x) q(x) dx = lim f(x, sgn u n (x) u n (x) ) n n q(x) dx Portanto, pela Proposição 1.7, = lim (N h v n )(x) dx = 0. n lim N fu n q(x) = 0, n mostrando a continuidade de N f em u = 0. No caso geral, se u L p(x) (), então basta considerar a função g(x, s) = f(x, s + u(x)) f(x, u(x)), e observar que g(x, 0) = 0. Mostremos que N f é limitado. Seja B L p(x) () um conjunto limitado. Então, existe r > 0 tal que u p(x) r, para todo u B. Daí, pela Proposição 1.6, existe c > 0 tal que u(x) p(x) c.

31 28 Desde que N h : L 1 () L 1 (), então N h é limitado (ver [24], Teorema 19.1 e [11], Teorema 2.3). Observe que se u B, então v = sgn u u p(x) L 1 (), pois v(x) dx = u(x) p(x) dx c. Sendo N h limitado, existe k > 0 tal que (N f u)(x) q(x) dx = N h (sgn u n (x) u n (x) p(x) ) dx k. Logo, pela Proposição 1.6, N f (B) L q(x) () é limitado. Desde que N h : L 1 () L 1 (), então existem uma constante b 1 0 e uma função não-negativa a 1 L 1 () (ver [24], Teorema 19.1 e [11], Teorema 2.4) tais que (N h v)(x) a 1 (x) + b 1 v(x), para v L 1 (). Seja u L p(x) (). Então, v = sgn u u p(x) L 1 (). Assim, Sendo 1/q(x) 1, temos (N f u)(x) q(x) = (N h v)(x) q(x) a 1 (x) + b 1 u(x) p(x). (N f u)(x) ( a 1 (x) + b 1 u(x) p(x)) 1/q(x) (a 1 (x)) 1/q(x) + b 1/q(x) 1 u(x) p(x)/q(x) a(x) + b u(x) p(x)/q(x), onde a = a 1/q(x) 1 L q(x) () e b = b 1/q 1 0, mostrando assim a desigualdade (1.21). ( ). Suponha que existem uma constante b 0 e uma função não-negativa a L q(x) () tais que a desigualdade (1.21) seja válida. Seja u L p(x) () e observe que (N f u)(x) q(x) a(x) + b u(x) p(x)/q(x) q(x) 2 q(x) ( a(x) q(x) + b q(x) u(x) p(x) ) 2 q+ a(x) q(x) + 2 q+ b q(x) u(x) p(x). Desde que a L q(x) (), u L p(x) () e a função b q(x) é limitada, concluímos da última desigualdade que N f u L q(x) (),

32 29 mostrando que N f : L p(x) () L q(x) (). Procedendo como na primeira parte da demonstração, mostra-se que N f é contínuo e limitado. Corolário 1.17 Suponha que < e sejam p, q L + (). Então L p(x) () L q(x) () se, e somente se, q(x) p(x), q.s. em. E neste caso, a imersão é contínua. Demonstração. ( ). Suponha que L p(x) () L q(x) (). Considere a função de Carathéodory f : R R (x, s) f(x, s) = s. Então, pelo Teorema 1.16, existem uma constante b > 0 e uma função não-negativa a L q(x) () tais que s a(x) + b s p(x)/q(x). Desta desigualdade, obtemos s q(x) 2 q(x) ( a(x) q(x) + b q(x) s p(x) ) 2 q+ a(x) q(x) + (2b) q+ s p(x), (1.24) o que implica q(x) p(x), q.s. em, pois do contrário a desigualdade (1.24) não seria válida quando s. ( ). Sem perda de generalidade, suponha q(x) p(x) em. Seja u L p(x) () e considere o conjunto E = {x : u(x) < 1}. Temos ρ q : = u(x) q(x) dx = u(x) q(x) dx + u(x) q(x) dx E E c E + u(x) q(x) dx E c + u(x) p(x) dx E c + ρ p (u) <, (1.25)

33 30 daí u L q(x) (). Logo, L p(x) () L q(x) (). Mostremos que a imersão L p(x) () L q(x) () é contínua. Afirmação: se u p(x) 1, então u q(x) + 1. (1.26) De fato, seja u L p(x) () tal que u p(x) 1. Segue de (1.25) e da Proposição 1.6 que ρ q (u) + ρ p (u) + 1. Daí, ( ) u ρ q := + 1 Novamente pela Proposição 1.6, de onde segue a afirmação. u(x) + 1 q(x) dx u + 1 1, q(x) 1 u(x) q(x) dx Seja u L p(x) () e seja u p(x) = a 0. Usando a afirmação em (1.26) obtemos u a q(x) + 1. Logo, mostrando que a imersão u q(x) ( + 1) u p(x), L p(x) () L q(x) () é contínua.

34 Capítulo 2 O Espaço W 1, p(x) () Neste capítulo estudaremos o espaço de Sobolev generalizado W 1, p(x) (), ou seja, o seguinte espaço W 1, p(x) () = { u L p(x) () : } u L p(x) (), j = 1,..., N, x j onde R N é um domínio. Tal espaço é muito importante em nosso trabalho, pois é sobre ele que estudaremos a exitência de solução para os problemas dos capítulos seguintes. Observamos que, para u W 1, p(x) (), então u x j denota a j-ésima derivada fraca de u, ou seja, u ϕ u dx = ϕ dx, para todo ϕ Co (). x j x j Em W 1, p(x) (), temos a seguinte norma N u = u p(x) + u x j. p(x) Se u W 1, p(x) (), definimos u = j=1 ( u x 1, u x 2,..., u x N ). Note que podemos escrever o espaço W 1, p(x) () como W 1, p(x) () = { u L p(x) () : u L p(x) () }. Neste caso, é mais conveniente usarmos a norma equivalente u = u p(x) + u p(x).

35 Propriedades do Espaço W 1, p(x) () Nesta seção demonstraremos as principais propriedades de W 1, p(x) (). Teorema 2.1 W 1, p(x) () é um espaço de Banach. Demonstração. Seja {u n } W 1, p(x) () uma seqüência de Cauchy. Então, { } un {u n } e, x j j = 1,..., N, são seqüências de Cauchy em L p(x) (). Sendo L p(x) () um espaço de Banach, existem u, w j L p(x) () tais que j = 1,..., N. u n u e u n x j w j, quando n, (2.1) Usando a desigualdade de Hölder (ver Proposição 1.10), temos (u n u) ϕ dx C u n u p(x) ϕ x j x j, para ϕ Co (), (2.2) q(x) onde C = 1 p + 1. Segue de (2.1) e (2.2) que q ϕ u n dx u ϕ dx, para ϕ Co (), quando n. (2.3) x j x j Analogamente, u n ϕ dx x j Desde que w j ϕ dx, para ϕ C o (), quando n. (2.4) ϕ u n u n dx = ϕ dx, para ϕ Co (), (2.5) x j x j passando ao limite em (2.5) de n e usando (2.3) e (2.4), obtemos u ϕ dx = w j ϕ dx, para ϕ Co (). (2.6) x j Usando o lema de Du Bois-Reymond em (2.6), concluímos que Logo, usando (2.1), temos u n u = u n u p(x) + u W 1, p(x) () e w j = u x j, j = 1,..., N. N u n u x j x j 0, quando n. p(x) j=1 Portanto, W 1, p(x) () é um espaço de Banach.

36 Teorema 2.2 O espaço W 1, p(x) () é separável e reflexivo, se p > 1. Demonstração. Observe que o espaço E = 33 (N+1) cópias {}}{ L p(x) () L p(x) () munido da norma é reflexivo e separável. Defina o operador linear T : W 1, p(x) () E por T (u) = (u, u). Note que T (u) = u. Desta última igualdade concluímos que T (W 1, p(x) ()) é um subespaço fechado de E. Por Brezis ([5], Proposições III.17 e III.22), temos que T (W 1, p(x) ()) é reflexivo e separável. Portanto, W 1,p(x) () é reflexivo e separável. Definição 2.1 Definimos o espaço W W 1, p(x) (). Segue imediatamente da definição de W seguinte resultado 1, p(x) o 1, p(x) o () como sendo o fecho de C o () em () e das propriedades de W 1, p(x) () o 1, p(x) Teorema 2.3 Wo () é um espaço de Banach, separável e reflexivo, se p > Imersões Nesta seção, supondo limtado, demonstraremos alguns resultados de imersão que serão bastante úteis nos capítulos seguintes. Dentre esses resultados, destacamos um teorema que generaliza os teoremas de Sobolev e Rellich-Kondrachov, bem como uma desigualdade do tipo Poincaré. Teorema 2.4 Sejam p, q L + () tais que q(x) p(x), q.s. em. Então W 1, p(x) () W 1, q(x) (), e tal imersão é contínua. Demonstração. Suponha que q(x) p(x), q.s. em. Então, pelo Corolário 1.17 a imersão L p(x) () L q(x) ()

37 34 é contínua, ou seja, existe C > 0 tal que u q(x) C u p(x), para todo u L p(x) (). (2.7) Desde que W 1, p(x) () L p(x) () L q(x) (), então W 1, p(x) () W 1, q(x) (), e por (2.7) concluímos que a imersão W 1, p(x) () W 1, q(x) () é contínua. No que segue, denotaremos Np(x)/(N p(x)), p(x) < N, p (x) =, p(x) N. Teorema 2.5 Sejam p, q C() tais que p, q 1. Se q(x) < p (x), para todo x, então W 1, p(x) () L q(x) (), e tal imersão é contínua e compacta. Demonstração. Sendo p, q C(), então para cada x existe uma vizinhança aberta x V x tal que q + (V x ) < (p (V x )), onde q + (V x ) = sup{q(y) : y V x } e p (V x ) = inf{p(y) : y V x }. Sendo {V x } x uma cobertura aberta do compacto, então pelo Teorema de s Borel-Lebesgue, existem V 1,..., V s tais que = V j. Para cada j = 1,..., s, denote j=1 p j = p j (V j) e q + j = q + j (V j).

38 35 Seja u W 1, p(x) (). Então, u W 1, p(x) (V j ), j = 1,..., s. Pelo Teorema 2.4, temos u W 1, p j (Vj ), j = 1,..., s. Pelos teoremas de Sobolev e de Rellich-Kondrachov as seguintes imersões W 1, p j (Vj ) L q+ j (Vj ), j = 1,..., s, (2.8) são contínuas e compactas. Assim, u L q+ j (Vj ), j = 1,..., s. Pelo Corolário 1.17, as imersões L q+ j (Vj ) L q(x) (V j ), j = 1,..., s, (2.9) são contínuas. Daí, u L q(x) (V j ), j = 1,..., s. Logo, u L q(x) (). Portanto, W 1, p(x) () L q(x) (). Afirmação 1: a imersão W 1, p(x) () L q(x) () é contínua. De fato, seja (u n ) W 1, p(x) () tal que u n 0. Desde que as imersões W 1, p(x) () L q(x) (V j ), j = 1,..., s, são contínuas, então u n 0 em L q(x) (V j ), j = 1,..., s. (2.10) Usando (2.10), temos u n (x) q(x) dx s j=1 V j u n (x) q(x) dx 0. Logo, Portanto, a imersão u n 0 em L q(x) (). W 1, p(x) () L q(x) ()

39 36 é contínua. Afirmação 2: a imersão W 1, p(x) () L q(x) () é compacta. De fato, seja (u n ) W 1, p(x) () limitada. Então, pelo Teorema 2.4, (u n ) W 1, p j (Vj ), j = 1,..., s, é limitada. Por (2.8) e (2.9), (u n ) possui subseqüências convergentes tais que {u 1 n} n N1 L q(x) (V 1 ), {u 2 n} n N2 L q(x) (V 2 ), {u s n} n Ns L q(x) (V s ), onde N s N s 1 N 2 N 1 N. Agora, considere a subseqüência v n (x) = s χ Vj u j n(x), x, n N s. j=1 Se m, n N s, então v m (x) v n (x) q(x) dx s j=1 V j u j m(x) u j n(x) q(x) dx 0, para m, n suficientemente grandes. Logo, a subseqüência {v n } n Ns é de Cauchy em L q(x) (), portanto convergente, pois L q(x) () é completo. Mostramos, assim, que a imersão W 1, p(x) () L q(x) () é compacta. Observação 2.1 Seguindo as mesmas idéias da demonstração do Teorema 2.5, é possível mostrar que, se p, q C() são tais que 1 p(x) q(x) p (x), para todo x, então W 1, p(x) () L q(x) (), com imersão contínua.

40 37 Usaremos a Observação 2.1 para mostrar o seguinte resultado importante: Teorema 2.6 (Desigualdade de Poincaré) Seja p C() tal que p > 1. Então, existe C > 0 tal que u p(x) C u p(x), para todo u W Demonstração. Defina a função f : [0, N) [0, + ) por f(t) = Nt N t. 1, p(x) o (). Note que f é uma bijeção crescente, com inversa g : [0, + ) [0, N) dada por g(s) = Ns N + s. Sejam p o (x) := p(x) e p N (x) 1. Agora, para cada j = 0, 1,..., N 1, defina p j+1 (x) = max{g(p j (x)), 1}, para x. Assim, para x, temos p j+1 (x) < p j (x) p j+1(x), j = 0, 1,..., N 1. (2.11) Pela Observação 2.1 do Teorema 2.5 e (2.11), concluímos que as seguintes imersões W 1, p j+1(x) () L p j(x) (), j = 0, 1,..., N 1, (2.12) são contínuas. Pelo Corolário 1.17 e (2.11), temos também que as seguintes imersões L p j(x) () L p j+1(x) (), j = 0, 1,..., N 1, (2.13) são contínuas. Seja u W 1, p(x) o (). Usando sucessivamente (2.12) e (2.13), obtemos u L p(x) () C o ( u L p 1 (x) () + u L p 1 (x) () ) C o u L p(x) () + C o u L p 1 (x) (), u L p 1 (x) () C 1 ( u L p 2 (x) () + u L p 2 (x) () ) C 1 u L p(x) () + C 1 u L p 2 (x) (),

41 38... u L p N 1 (x) () C N 1 ( u L p N (x) () + u L p N (x) () ) C N 1 u L p(x) () + C N 1 u L p N (x) (). Agora, usando a Desigualdade de Poincaré em espaços de Sobolev (ver [5], Corolário IX.19), temos u L p N (x) () = u L 1 () C N u L p 1 () C N u L p(x) (). Combinando as desigualdades convenientes, concluímos a demonstração. Observação 2.2 Como conseqüência da Desigualdade de Poincaré, temos u p(x) u = u p(x) + u p(x) (C + 1) u p(x), para todo u W W 1, p(x) o (). 1, p(x) o (), ou seja, as narmas u e u p(x) são equivalentes em

42 Capítulo 3 Problema Elíptico em Domínio Limitado Neste capítulo, estudaremos a existência de solução fraca em W seguinte problema de Dirichlet p(x) u = f(x, u), x, (P ) u = 0, x, onde R N 1, p(x) o () para o é um domínio limitado, p > 1, p C() e p(x) denota o operador p(x)-laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div( u p(x) 2 u). Sobre a função f colocaremos hipóteses posteriormente. Os resultados aqui apresentados são generalizações daqueles para o problema de Dirichlet envolvendo o operador p-laplaciano. No que segue, denotaremos C + () = { h : h C(), h(x) > 1, para todo x }, h + = max x h(x) e h = min x h(x), para todo h C(). 3.1 Propriedades do Operador p(x)-laplaciano Até o final deste Capítulo, denotaremos X := W 1, p(x) o ().

43 40 Teorema 3.1 O funcional f : X R definido por 1 J(u) = p(x) u p(x) dx, é de classe C 1 (X, R). Demonstração. Afim de mostrar que o funcional J é de classe C 1 (X, R), é suficiente mostrar que a derivada de Gateaux de J existe e é contínua. Existência da derivada de Gateaux. Sejam u, v X. Dados x e 0 < t < 1, pelo Teorema do Valor Médio existe λ(x, t) = λ (0, 1) tal que u + t v p(x) u p(x) p(x)t = u + λt v p(x) 2 ( u + λt v) v. Observe que h := u + λt v p(x) 2 ( u + λt v) v u p(x) 2 u v, q.s. em, (3.1) quando t 0. Observe também que h u + λt u p(x) 1 v ( u + v ) p(x) 1 v. (3.2) Assim, Sabemos que u, v L p(x). ( u + v ) p(x) 1 L p(x) p(x) 1 (). Daí, usando a desigualdade de Hölder, concluímos que ( u + v ) p(x) 1 v L 1 (). (3.3) Logo, usando (3.1)-(3.3) e o Teorema da Convergência Dominada, obtemos J (u + tv) (u).v = lim t 0 p(x) u p(x) dx = u p(x) 2 u v dx. p(x)t Continuidade da derivada de Gateaux. Seja {u n } X tal que u n u em X. Assim, u n u em (L p(x) ()) N. (3.4)

44 41 Daí, pelo Teorema 1.9, existem uma subseqüência, ainda denotada por {u n }, e uma função g L p(x) () tais que u n (x) u(x), q.s. em, (3.5) e Por (3.5), temos que u n (x) g(x), q.s. em. (3.6) u n (x) u(x), q.s. em. (3.7) Para todo v X, temos (J (u n ) J (u), v) = ( u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u) vdx u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u v dx (3.8) Se então Note que f n := u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u, n N, (3.9) f n u n p(x) 1 + u p(x) 1, n N. (3.10) ( u n p(x) 1 + u p(x) 1 ) L q(x) (), onde Logo, por (3.10) concluímos que q(x) = p(x) p(x) 1. {f n } L q(x) (). Usando a desigualdade de Hölder em (3.8), obtemos que (J (u n ) J (u), v) C f n q(x) v p(x) C f n q(x) v, de onde segue que J (u n ) J (u) C f n q(x) (3.11)

45 42 Usando agora (3.5) e (3.7) em (3.9), obtemos f n (x) 0, q.s. em. (3.12) De (3.6) e (3.10), temos que f n (x) g(x) p(x) 1 + u(x) p(x) 1 q.s. em. Daí, f n (x) q(x) 2 q+ (g(x) p(x) + u(x) p(x) ) L 1 (), q.s. em. (3.13) De (3.12)-(3.13) e do Teorema da Convergência Dominada, resulta que fn q(x) dx 0, quando n. Assim, pelo Teorema 1.7, tem-se Disto e de (3.11), obtemos f n q(x) 0, quando n. J (u n ) J (u) 0, quando n, ou seja, a derivada de Gateaux J é contínua, o que conclui a demonstração. Se definirmos L := J : X X, então (L(u), v) = u p(x) 2 u vdx, para todos u, v X. O operador L tem propriedades interessantes, e será útil na busca de solução fraca para o problema (P). Teorema 3.2 O operador L : X X é (a) contínuo; (b) limitado; (c) estritamente monótono, i.e., (L(u) L(v), u v) > 0, para todos u, v X, com u v; (d) do tipo (S + ), i.e., se u n u e lim n (L(u n ) L(u), u n u) 0, então (e) um homeomorfismo. u n u em X;

46 Demonstração. (a). Observe que (L(u), v) = (J (u), v), para todos u, v X. Assim, a continuidade de L segue da continuidade da derivada de Gateaux de J. (b). Seja B X um conjunto limitado. Então, existe uma constante k > 0 tal que Se u B e v X, então u k, para todo u B. (3.14) (L(u), v) Usando a desigualdade de Hölder em (3.15), temos 43 u p(x) 1 v dx. (3.15) L(u) C g p(x), para todo u B. (3.16) p(x) 1 onde g = u p(x) 1. Desde que u p(x) u k, para todo u B, então existe k > 0 tal que g(x) q(x) dx = Portanto, por (3.16), concluímos que L é limitado. u p(x) dx k. (c). Para quaisquer ξ, η R N, valem as seguintes desigualdades (ver Apêndice A): 2 x p 2 x y p 2 y, x y 3 p p ξ η p, se p 2 ξ η 2 (p 1), se 1 < p < 2, ( ξ p + η p ) 2 p Sejam u, v X tais que u v. Então, u v. Considere os conjuntos + = {x : p(x) 2} e = {x : 1 < p(x) < 2}. A monotonicidade estrita de L segue fazendo ξ = u e η = v nas desigualdades acima e integrando sobre + ou, conforme seja p(x) 2 ou 1 < p(x) < 2, respectivamente. (d). Se u n u e lim n (L(u n ) L(u), u n u) 0, então lim (L(u n) L(u), u n u) = 0. n

47 44 Se p(x) 2, então C 1 + u n u p(x) dx (L(u n ) L(u), u n u) 0, quando n. Se 1 < p(x) < 2, então pela desigualdade de Hölder, temos C 2 u n u p(x) dx = C 2 u n u p(x) ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 dx C g n 2 h n 2, (3.17) p(x) 2 p(x) onde e g n = u n u p(x) ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 h n = ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2. tal que Assim, Desde que u n u em X, então (u n ) é limitada. Daí, existe uma constante C 3 > 0 Temos também quando n. ρ 2 (h n ) = 2 p ρ 2 (g n ) = p Usando (3.18) e (3.19) em (3.17), obtemos quando n. Logo, Portanto, u n p(x) dx C 3. 2 h n 2 p(x) dx = ( u n + u ) p(x) dx 2 p+ u n p(x) dx + 2 p+ u p(x) dx C 4. (3.18) g n 2 p(x) dx C5 (L(u n ) L(u), u n u) 0, (3.19) u n u p(x) dx 0, u n u p(x) dx = u n u p(x) dx + + u n u p(x) dx 0. (u n u) p(x) 0,

48 45 o que implica u n u 0 em X. (e). Sendo L estritamente monótono, então L é injetivo. Suponha que u p(x) > 1. Então, pela Proposição 1.6, temos u p(x) dx u p p(x). (3.20) Como conseqüência da desigualdade de Poincaré (ver Teorema 2.6), existe C > 0 tal que u p(x) C u. (3.21) Daí, de (3.20) e (3.21), temos (L(u), u) u = u p(x) dx u C u p 1 p(x). Logo, (L(u), u) lim u u =, (3.22) ou seja, L é coercivo. Usando esta última propriedade, a continuidade e a monotonicidade de L, concluímos do Teorema de Minty-Browder (ver Apêndice B), que L é sobrejetivo. Assim, existe o operador inverso L 1 : X X. Vamos mostrar que L 1 é contínuo. Seja {g n } X tal que g n g em X. Considere u n = L 1 (g n ) e u = L 1 (g). Sendo L uma bijeção, temos L(u n ) = g n e L(u) = g. (3.23) Note que (L(u n ), u n ) u n g n. Daí, usando a limitação de {g n } e (3.22), concluímos que {u n } é limitada em X. Sendo X um espaço de Banach reflexivo, então a menos de subseqüência podemos supor que u n u o.

49 46 Observe que Por outro lado, temos (L(u n ) L(u o ), u n u o ) = (g n, u n u o ) (L(u o ), u n u o ). (g n, u n u o ) = (g n g, u n u o ) + (g, u n u o ) Agora, tendo em vista que g n g e u n u o, temos Assim, sendo L do tipo (S + ), segue que Pela continuidade de L, temos lim (L(u n) L(u o ), u u o ) = 0. n u n u o. (3.24) L(u n ) L(u o ). Por (3.23), obtemos L(u) = L(u o ). Desde que L é injetivo, temos u = u o. Logo, de (3.24), obtemos u n u em X, mostrando que L 1 é contínuo. Portanto, L é um homeomorfismo. 3.2 Existência de Solução Nesta seção, discutiremos a existência de solução fraca para o problema (P). Definição 3.1 Dizemos que u X é uma solução fraca do problema (P) se u p(x) 2 u v dx = f(x, u)v dx, para todo v X. Teorema 3.3 Se f(x, u) = f(x), f L α(x) (), onde α C + () é tal que 1 α(x) + 1 p (x) < 1, para todo x, então o problema (P) tem uma única solução fraca.

50 47 Demonstração. Considere o funcional g : X R definido por g(v) = f(x)v dx. Claramente, g é linear. Mostraremos que g é contínuo. Seja β C + () tal que Assim, usando a hipótese, temos Daí, 1 α(x) + 1 β(x) 1 β(x) = α(x) 1 α(x) = 1, para x. > 1, para x. p (x) β(x) < p (x), para todo x. Logo, pelo Teorema 2.5, a seguinte imersão X L β(x) () é contínua, ou seja, existe C 1 > 0 tal que v β(x) C 1 v, para todo v X. (3.25) Pela a desigualdade de Hölder, g(v) = f(x)v dx C f α(x) v β(x), (3.26) onde Por (3.25) e (3.26), obtemos C = 1 α + 1 β. g(v) C 2 v, para todo v X, o que mostra a continuidade de g. Sendo g X e L um homeomorfismo, então existe um único u X tal que u p(x) 2 u v dx = f(x)v dx, para todo v X, ou seja, o problema (P) possui uma única solução fraca.

51 48 De agora em diante, vamos supor que f satisfaz à seguinte condição (f o ) f : R R é uma função de Carathéodory tal que f(x, t) C 1 + C 2 t α(x) 1, para (x, t) R, onde α C + () e α(x) < p (x). Teorema 3.4 O funcional G : X R definido por G(u) = F (x, u)dx, onde F (x, t) = t 0 f(x, s)ds, é de classe C1 (X, R). Demonstração. Sejam u, v X. Dados x e 0 < t < 1, pelo Teorema do Valor Médio, existe λ(x, t) = λ (0, 1) tal que F (x, u + tv) F (x, u) t = f(x, u + λtv)v. (3.27) Daí, Sabemos que Assim, F (x, u + tv) F (x, u) lim t 0 t v L 1 (), L α(x) (). ( u + v ) α(x) 1 L α(x) α(x) 1 (). = f(x, u)v, q.s em. (3.28) Logo, usando a desigualdade de Hölder e a condição (f o ), obtemos f(x, u + λtv)v C 1 v + C 2 u + λtv α(x) 1 v C 1 v + C 2 ( u + v ) α(x) 1 v L 1 (). (3.29) Usando agora (3.27) - (3.29) e o Teorema da Convergência Dominada, obtemos G F (x, u + tv) F (x, u) (u).v = lim dx = f(x, u)vdx. t 0 t A continuidade de G segue da imersão contínua X L α(x) () e da Desigualdade de Hölder. Portanto, G é de classe C 1 (X, R).

52 49 Teorema 3.5 O funcional G : X R definido por G(u) = F (x, u)dx, onde F (x, t) = t 0 f(x, s)ds, é fracamente contínuo, i.e., se u n u, então G(u n ) G(u). Demonstração. Desde que f satisfaz à condição (f o ), temos F (x, t) = t 0 t 0 f(x, s)ds (C 1 + C 2 s α(x) 1 )ds C 1 t + C 2 t α(x) Por (3.30), o operador de Nemytskii é tal que Sabemos que a seguinte imersão C(1 + t α(x) ), para todo t R. (3.30) N F : L α(x) () L 1 (). X L α(x) () é compacta. Assim, se u n u em X, então De (3.31) e da continuidade de N F, temos Note que u n u em L α(x) (). (3.31) N F (u n ) N F (u) em L 1 (). (3.32) G(u n ) G(u) = (F (x, u n ) F (x, u))dx F (x, u n ) F (x, u) dx = N F (u n ) N F (u) dx. (3.33) Logo, combinando (3.32) e (3.33), concluímos que G(u n ) G(u).

53 50 Teorema 3.6 O operador G : X X dado por G (u).v = f(x, u)vdx é completamente contínuo, i.e., se u n u, então G (u n ) G (u). Demonstração. Seja u n u. Dado v X, usando a condição (f o ) e a desigualdade de Hölder, temos (G (u n ) G (u), v) = Logo, Da imersão compacta (f(x, u n ) f(x, u))vdx C N f (u n ) N f (u) α(x) v α(x). α(x) 1 C N f (u n ) N f (u) α(x) v. α(x) 1 G (u n ) G (u) C N f (u n ) N f (u) α(x). (3.34) α(x) 1 X L α(x) (), se u n u, então Sendo o operador u n u em L α(x) (). (3.35) N f : L α(x) () L α(x) α(x) 1 () contínuo, então por (3.35) temos Portanto, de (3.34), concluímos que N f (u n ) N f (u) em L α(x) α(x) 1 (). G (u n ) G (u) 0. Observação 3.1 O funcional J, sendo contínuo e convexo, é fracamente semicontínuo inferiormente (ver [5], Corolário III.8). Pelo Teorema 3.5, o funcional G também é fracamente semicontínuo inferiormente. associado ao problema (P), que é dado por 1 I(u) = p(x) u p(x) dx é fracamente semicontínuo inferiormente. Portanto, o funcional de Euler-Lagrange F (x, u)dx,

54 51 Observação 3.2 Pelos Teoremas (3.1) e (3.4) o funcional I é de classe C 1 (X, R), com I (u).v = u p(x) 2 u vdx f(x, u)vdx, para todos u, v X. Dessa forma, as soluções fracas de (P) são exatamente os pontos críticos de I. Teorema 3.7 Se f satisfaz à condição f(x, t) C 1 + C 2 t β 1, para todos (x, t) R, onde 1 β < p, (3.36) então (P) tem uma solução fraca. Demonstração. Sendo então de (3.36), temos F (x, t) = t 0 f(x, s)ds, F (x, t) C 1 t + C 2 t β C(1 + t β ), para todo t R. (3.37) Seja u p(x) > 1. Segue de (3.37) que 1 I(u) = p(x) u p(x) dx F (x, u)dx 1 p + u p p(x) C u β dx C 3 (3.38) Pela imersão contínua existe C > 0 tal que X L β (), Daí, de (3.38) e (3.39), e pelo fato de β < p, temos quando u. Logo, I é coercivo. u β dx C u β. (3.39) I(u) C 4 p+ u p C 5 u β C 3 +. (3.40) Sendo o funcional I fracamente semicontínuo inferiormente, segue de (3.40) e do Teorema 1.1 de [18] que I tem um ponto de mínimo, que é solução fraca de (P ). Nosso objetivo, a partir de agora, é mostrar que o funcional I satisfaz às hipóteses do Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti-Rabinowitz (ver Apêndice C). Comecemos, então, com a seguinte definição

55 Definição 3.2 Sejam X um espaço de Banach e I C 1 (X, R). Dizemos que I satisfaz à condição de Palais- Smale (PS) em X, se toda seqüência {u n } X tal que possui uma subseqüência convergente. {I(u n )} é limitada e I (u n ) 0, Lema 3.8 Suponha que f satisfaz à condição (f 1 ) existem M > 0 e θ > p + tais que então I satisfaz à condição (PS). 0 < θf (x, t) tf(x, t), para t M e x, Demonstração. Seja {u n } X tal que {I(u n )} é limitada e I (u n ) 0. Para cada n N, defina o conjunto n = {x : u n (x) M}. Usando as hipóteses e a condição (f o ), temos F (x, u n )dx = F (x, u n )dx + F (x, u n )dx n c n u n n θ f(x, u n)dx + C 3 (1 + M α(x) )dx c n u n n θ f(x, u n)dx + C 4. (3.41) Observe que, usando a condição (f o ), tem-se u n n θ f(x, u u n n)dx = θ f(x, u u n n)dx θ f(x, u n)dx c n u n θ f(x, u n)dx + M (C 1 + C 2 M α(x) 1 )dx θ c n u n θ f(x, u n)dx + C 5. (3.42) Suponha que u n p(x) > 1, para todo n N. Então, usando a limitação de {I(u n )} e (3.41) - (3.42), temos 1 C I(u n ) = p(x) u n p(x) dx F (x, u n )dx 1 p(x) u n p(x) u n θ f(x, u n)dx C 6 ( 1 = p(x) 1 ) u n p(x) + 1 ( u n p(x) u n f(x, u n ))dx C 6. θ θ ( 1 p 1 ) u + n p p(x) θ 1 θ I (u n ) u n C 6, (3.43) 52

56 53 onde para concluir a última desigualdade usamos que ( u n p(x) u n f(x, u n ))dx = I (u n ).u n I (u n ) u n. Desde que I (u n ) 0, deduzimos de (3.43) que { u n } é limitada. Sendo X um espaço de Banach reflexivo, podemos supor, a menos de subseqüência, que u n u. Daí, pelo Teorema 3.6, segue que G (u n ) G (u). (3.44) Uma vez que então por (3.44), obtemos Logo, L(u n ) G (u n ) = I (u n ) 0, L(u n ) G (u). u n L 1 (G (u)), pois L é um homeomorfismo. Desde que u n u, concluímos que u n u. Portanto, I satisfaz à condição (PS). Teorema 3.9 Se f satisfaz (f o ), (f 1 ) e (f 2 ) f(x, t) = o( t p+ 1 ), t 0, uniformemente em x, onde p + < α, então (P) tem uma solução não-trivial. Demonstração. Mostraremos que o funcional I satisfaz às condicões do Teorema do Passo da Montanha. Primeiramente observe que I(0) = 0 e, pelo Lema 3.8, I satisfaz à condição de Palais-Smale. Pelas hipóteses, temos p + < α α(x) < p (x), para todo x. Logo, a seguinte imersão X L p+ ()