Existência de soluções para problemas quasilineares com dados em espaços de medida

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Existência de soluções para problemas quasilineares com dados em espaços de medida por Welber Faustino da Silva Orientador: Luís Henrique de Miranda Brasília 2016

2 Ficha catalográfica elaborada automaticamente, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a) SSI586 e Silva, Welber Faustino da Existência de soluções para problemas quasilineares com dados em espaços de medida / Welber Faustino da Silva; orientador Luís Henrique de Miranda. -- Brasília, p. Tese (Doutorado - Mestrado em Matemática) -- Universidade de Brasília, p-laplaciano com dados em espaços de medida. 2. p-laplaciano. 3. equações diferenciais elípticas. I. Miranda, Luís Henrique de, orient. II. Título.

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4 À Rute Silva, em memória.

5 Dedico esse trabalho, à Dona Raquel Silva, Seu José Venceslau da Silva, e a minha amada, Luciolle Ferreira de Araújo,

6 Agradecimentos À Deus pelo dom da vida. Este dom que muitos hoje desprezam, mas que está presente em cada ser vivente, independente de que acredite ou não. Ao professor e orientador Luís Henrique de Miranda, por toda sua dedicação e paciência para minhas intermináveis dúvidas. O agradeço por se dispor a me ajudar principalmente nos momentos mais difíceis deste presente trabalho. Aos professores Jamil Gomes de Abreu Júnior e Jaqueline Godoy Mesquita por terem aceitado participarem da banca examinadora. À minha noiva e amada Luciolle Ferreira da Araújo, por seu apoio e compreensão. Obrigado por estar ao meu lado me incentivando e me fortalecendo com suas palavras e carinho. À minha mãe Raquel Silva, grande guerreira, trabalhadora, que não mediu esforços para eu estar aqui. Sempre me incentivou a estudar e me corrigia nos momentos certos. Ao meu padrasto José Venceslau da Silva, por seu amor como de um verdadeiro pai. Aos meus irmãos Karen Priscila Silva, David Faustino da Silva e Wesley Faustino da Silva, pelo incentivo a continuar estudando. Aos amigos que fiz no Departamento de Matemática da UnB durante esses dois anos. Principalmente aqueles que estiveram ao meu lado nos momentos mais difíceis. À todos os professores do Departamento de Matemática da UnB que contribuíram para minha formação. Aos funcionários do Departamento de Matemática da UnB, em especial, aos porteiros da sala de estudo do mestrado. Por vezes, tiveram que me aturar nas minhas madrugadas de estudo. Ao CNPq pelo apoio financeiro durante esses dois anos de mestrado. i

7 Resumo Neste trabalho, estudaremos a existência de soluções fracas para os problemas: p u = f em u = 0 em, e p u + g(x, u) = f em u = 0 em, onde R N (N 2) é um aberto, limitado, conexo e f M(). A função g satisfaz, a priori, as seguintes hipóteses: g(x, s) é mensurável em x, s R e contínua em s R, para q.t.p. x ; g(x, s)s 0 s R, q.t.p. em x. Palavras-chave: p-laplaciano com dados em espaços de medida, p-laplaciano, equações diferenciais elípticas. ii

8 Abstract In this work, we will study the existence of weak solutions for the problems: p u = f in u = 0 on, and p u + g(x, u) = f in u = 0 on, where R N (N 2) is open, bounded, connected and f M(). The function g satisfies, a priori, the following hypotheses: g(x, s) is measurable in x, forall s R and continuous in s R, a.e. x ; g(x, s)s 0 s R, a.e. in x. p-laplacian involving measure data, p-laplacian, elliptic differential equations. Keywords: iii

9 Notações Neste trabalho, usaremos as seguintes notações: p = p, conjugado de p. p 1 p = u n u, Np N p, expoente crítico de Sobolev. convergência forte (em norma). u n u, convergência fraca., imersão contínua de um espaço em outro., imersão compacta de um espaço em outro. u = ( u, u u ),,, gradiente de u. x 1 x 2 x N p u = div( u p 2 u), p-laplaciano de u. suppf, suporte da função f. R +, conjunto dos números reais não negativos. M(), conjunto das medidas de Radon finitas sobre. C(), conjunto das funções contínuas. C c (), f C() tal que suppf é compacto. iv

10 D(), espaço das funções teste. D (), espaço das distribuições em. [ u L p = L p () = u p ] 1/p, { } u : R mensurável; u L p <. em relação a medida de Lebesgue. } L p loc {u () = : R mensurável; u K L p (), K compacto. W 1,p () = { u : R : u, u x i } L p (), i = 1,..., N. W 1,p 0 () = C c () W 1,p. [ u L p = ] 1/p, u p dµ em relação a uma medida positiva. L p (X, µ), em relação a uma medida positiva. v

11 Sumário Introdução 1 1 Preliminares Medidas de Radon O Dual de C 0 (R N ) Densidade Vaga de L 1 (R N ) em M(R N ) Distribuições Espaços de Sobolev Grau de Brouwer Teoremas de Convergência Existência de Solução para dados em W 1,p () Operadores Monótonos Existência de Solução para o p-laplaciano Existência de Solução para dados em M() Existência de Solução para o p-laplaciano Continuidade para Regularidades Intermediárias Efeitos das Perturbações Semilineares Referências Bibliográficas 75 vi

12 Introdução Neste trabalho, estudaremos existência de soluções fracas para duas classes de problemas envolvendo o operador p-laplaciano. O primeiro problema a tratarmos será: p u = f em (P ) u = 0 sobre, onde R N (N 2) é um aberto, limitado, conexo e f M(). O conjunto M() denota o conjunto das medidas de Radon finitas sobre M(). No trabalho de Boccardo & Gallouet [2], foi investigada a existência de soluções fracas para o problema (P ) para uma classe de operadores mais gerais. Eles consideraram o seguinte operador: Au = div(a(x, u)), onde A é um operador monótono e a satisfazendo certas hipóteses. Observamos que o operador p-laplaciano é um caso particular de A. Já o segundo problema é o caso semilinear de (P), ou seja, (P p u + g(x, u) = f em ) u = 0 sobre, onde a função g satisfaz as seguintes hipóteses: (1) g(x, s) é mensurável em x, s R e contínua em s R, para q.t.p. x ; (2) g(x, s)s 0, s R, para q.t.p. x. Para o problema (P ), queremos encontrar soluções fracas quando f L 1 () ou f M(). Como em (P ), Boccardo & Gallouet também estudaram o problema (P ), considerando o operador A = div(a(x, u)). Foi observado que para obtermos existência de soluções fracas quando f L 1 (), precisamos adicionar a seguinte hipótese sobre g: (3) sup{ g(x, s), s t} L 1 loc (), t R+. 1

13 Quando f M(), é necessária uma hipótese mais forte, a saber: (4) existem b 1, b 2, δ com b 1 L 1 loc (), b 2 L loc (), δ < N(p 1)/(N p), tal que g(x, s) b 1 (x) + b 2 (x) s δ q.t.p em x, para todo número real s. As dificuldades de se encontrar soluções fracas para os problema (P ) e (P ) surgem já quando consideramos f L 1 (), pois o espaço L 1 () não é reflexivo e, assim, argumentos de convergência na topologia fraca de L 1 () geralmente falham. Observamos também que, em geral, para o caso f L 1 (), a obtenção de estimativas a priori é mais complicada. Por exemplo, consideremos 1 < p < N e seja u uma solução distribucional de (P ), isto é, (5) u p 2 u ϕ = fϕ, ϕ Cc (). Se f L m (), com m p, temos L m () L p () W 1,p () e, assim, pode-se mostrar que u W 1,p 0 () (veja Teorema 2.2.5, pág. 38), e a obtenção de estimativas a priori não é um problema, já que u p 1 L p (). Assim, a classe das funções teste pode ser estendida para W 1,p 0 (). Logo, u é uma função teste válida e tomando-se u = ϕ em (5), pela desigualdade de Hölder, temos: u p u L p f L p. Usando a desigualdade de Poincaré e com algumas manipulações simples, obtemos: u W 1,p 0 C f p /p L p. Assim, No caso em que f L 1 (), pode-se mostrar que u W 1,q 0 (), onde u p 1 L r () 1 q < N (p 1). N 1 com r [ N ) 1,. N 1 Logo, a classe das funções teste pode ser, na melhor das hipóteses, estendida ao espaço Porém, N > L r (), onde r > N. N (p 1) e então u não pode ser tomado como função teste, o que dificulta N 1 substancialmente até mesmo a obtenção de estimativas a priori mais básicas. 2

14 Seguindo Boccardo & Gallouet, consideramos como função teste uma função da forma ψ(u), onde ψ : R R será uma função localmente Lipschitz escolhida com certo cuidado. Neste caso, é possível tomar ϕ = ψ(u) como função teste e o desafio é recuperar alguma estimativa a priori, pois será necessário controlar o gradiente ψ(u). Para estudarmos os problemas (P ) e (P ), usaremos como ferramenta básica um resultado do trabalho de Leray-Lions [13]. Ressaltamos que o método usado em [13] foi influenciado por trabalhos como o de Browder [5], [6]; Minty [15], [16], [17], e também Visik [19] e [20]. A técnica usada nestes trabalhos, em geral baseia-se na combinação de problemas aproximados, como o Método de Galerkin, e argumentos que exploram a monotonicidade do operador diferencial em questão. Observamos que nos problemas (P ) e (P ) consideraremos p (2 1/N, N]. A limitação inferior para p é imposta à medida que estamos preocupados com o limite inferior para que u W 1,1 0 (). Notamos também que, quando p > N, sabe-se que ambos os problemas têm uma única solução fraca em W 1,p 0 () quando incluímos M() em W 1,p () (ver [13]). O presente texto está organizado da seguinte maneira. No Capítulo 1, abordamos os assuntos preliminares. Este capítulo foi dividido em 2 seções. Na primeira seção, fazemos uma introdução às Medidas de Radon. Estamos interessados em obter suas principais propriedades e mostraremos que o dual de C 0 (R N ) pode ser representado como o espaço das medidas de Radon com sinal M(R N ),afim, de definirmos a topologia fraca sobre M(R N ). Posteriormente, discutiremos como as medidas de Radon se relacionam com funções em L 1 ou distribuições. A terceira seção é dedicada a apresentar os teoremas de convergência mais importantes da teoria da medida e integração. No Capítulo 2, investigaremos versões preliminares de (P ) e (P ), quando o termo forçante pertence a espaços mais regulares do que os das medidas de Radon. Este capítulo é inspirado nos trabalhos de Ciarlet [7] e de Leray-Lions [13]. O Capítulo 3 é o mais importante desta dissertação. Nele, combinaremos as técnicas discorridas ao longo do texto com a obtenção de estimativas a priori delicadas para mostrar a existência de soluções fracas para (P ) e (P ). Este capítulo é inspirado no trabalho de Boccardo & Gallouet [2]. 3

15 Capítulo 1 Preliminares Este capítulo tem como objetivo dar o suporte matemático necessário para os Capítulos 2 e 3. Na Seção 1.1 faremos uma introdução às Medidas de Radon em R N e apresentaremos os principais resultados que serão utilizados adiante. O primeiro objetivo é mostrar que o espaço das medidas de Radon M(R N ) é isometricamente isomorfo ao espaço dual do conjunto das funções contínuas que se anulam no infinito, e assim definirmos a noção de topologia fraca em M(R N ). Posteriormente, vamos mostrar que L 1 (R N ) é denso em M(R N ) nesta topologia. Na Seção 1.2, apresentamos os principais teoremas de convergência quando consideramos um espaço de medida positiva. Para o que segue, admitimos que o leitor tenha conhecimentos básicos sobre Teoria da Medida e Integração, Espaços L p e os Espaços de Sobolev. 1.1 Medidas de Radon Nesta seção, definiremos as medidas de Radon sobre o espaço R N. Estudaremos suas principais propriedades, sua representação com o dual do conjunto das funções contínuas que se anulam no infinito, a densidade de L 1 no espaço das medidas de Radon sobre R N relativamente à topologia fraca desse espaço e, ao final, trataremos da sua relação com a convergência em distribuição. Observamos que a maior parte desta seção é baseada em [9]. Seja f : R N R. Definimos o suporte de f como sendo o fecho do conjunto onde f não se anula, ou seja, supp(f) = {x : f(x) 0}. 4

16 Além disso, definimos os seguintes conjuntos: C(R N ) = {f : R N R; f é contínua} e C c (R N ) = {f C(R N ) : supp(f) é compacto}. Em C c (R N ), definimos a seguinte norma: f u = sup { f(x) : x R N }, e assim, C c (R N ) é um espaço vetorial normado. Dada f : R N R +, com f contínua, temos que: ψ(f) = fdµ 0 R N onde µ é a medida de Lebesgue sobre R N. Isso motiva a seguinte definição. Definição Dizemos que um funcional linear I definido em C c (R N ) é positivo se I(f) 0 para toda f 0. A definição de funcional linear positivo nos dá uma noção de continuidade. Esse fato é tratado na seguinte proposição. Proposição Se I é um funcional linear positivo em C c (R N ), então para cada compacto K R N existe uma constante C K tal que: I(f) C K f u, para toda f C c (R N ) tal que supp(f) K. Demonstração. Ver [9], pág. 212, Proposição 7.1. Lembramos que uma medida de Borel sobre R N é uma medida definida na σ-álgebra B R N, onde B R N denota o conjuntos dos borelianos de R N. Dada µ uma medida de Borel sobre R N, se µ(k) < para todo compacto K R N, então: De fato, seja f C c (R N ), então fdµ = R N C c (R N ) L 1 (R N ). K fdµ f u µ(k) <. 5

17 Logo, f L 1 (R N ). Além disso, note que a aplicação f fdµ R N é um funcional linear positivo agindo sobre C c (R N ). Mostraremos adiante, que todo funcional positivo definido em C c (R N ) pode ser representado dessa forma. Além disso, sob certas hipóteses de regularidade na medida µ podemos garantir a unicidade da medida. A seguir, iremos definir a medida µ com a qual poderemos representar de forma única todos os funcionais lineares positivos definidos em C c (R N ). Definição Uma medida de Radon µ sobre R N é uma medida positiva de Borel que satisfaz: (i) µ(k) <, para todo K R N, compacto; (ii) Dado V R N aberto, então µ(v ) = sup {µ(k) : K V e K compacto}. (iii) Dado A B R N, então µ(a) = inf {µ(v ) : A V e V aberto}. Considerando a σ-álgebra gerada pelos boreleanos de R N no aberto R N, definimos de maneira análoga o conceito de medida de Radon sobre. Dois exemplos básicos de medidas de Radon são dados abaixo. Exemplo A medida de Lebesgue é uma medida de Radon. Exemplo A medida definida por: 1, se y E δ y (E) = 0, caso contrário é outro exemplo de medida de Radon, chamada de Delta Dirac O próximo resultado nos diz que todo funcional linear positivo em C c (R N ) pode ser representado como uma integral com respeito a uma única medida de Radon. 6

18 Teorema (Representação de Riez) Seja I : C c (R N ) R um funcional linear positivo. Então existe uma única medida de Radon µ sobre R N tal que: I(f) = fdµ, R N f C c (R N ). Além disso, temos que µ satisfaz: µ(o) = sup {I(f) : f C c (R N ), 0 f 1 e supp(f) O} para todo aberto O R N (1.1) e µ(k) = sup {I(f) : f C c (R N ) e f X K } para todo compacto K R N. (1.2) Demonstração. Ver [9], pág. 212, Teorema 7.2. O teorema a seguir será essencial para o resultado principal da próxima subseção. Intuitivamente ele nos diz que toda função mensurável cujo o conjuntos dos pontos {x R N : f(x) 0} tem medida finita é quase contínua para todo conjunto compacto. Teorema (Lusin). Suponha que µ seja uma medida de Radon sobre R N e seja f : R N R uma função mensurável tal que µ({x R N : f(x) 0}) <. Então, para todo ε > 0, existe uma ϕ C c (R N ) tal que: µ({x R N : ϕ(x) f(x)}) < ε. Além disso, se f é limitada, então podemos tomar ϕ tal que: ϕ u f u. Demonstração. Ver [9], pág. 217, Teorema O Dual de C 0 (R N ) O objetivo desta subseção é obter uma descrição completa do dual de C 0 (R N ). Para isso, primeiramente definiremos o espaço C 0 (R N ) e identificaremos os funcionais lineares contínuos e positivos sobre C 0 (R N ) com a medidas finitas de Radon sobre R N. Posteriormente, definiremos o espaço das medidas de Radon com sinal sobre R N para provarmos o resultado principal desta subseção. 7

19 Definição Seja f C(R N ). Se para todo ε > 0, o conjunto: {x R N : f(x) ε} for compacto, então dizemos que f se anula no infinito. Com isso, definimos o seguinte conjunto: C 0 (R N ) = {f C(R N ) : f se anula no infinito}. Além disso, com a norma f u := sup{ f(x) : x R N } temos que C 0 (R N ) é um espaço de Banach. Note que C c (R N ) C 0 (R N ), e ainda, toda f C 0 (R N ) é limitada. Com isso, temos o seguinte resultado. Proposição C 0 (R N ) é o fecho de C c (R N ) na métrica uniforme. Demonstração. Ver [9], pág. 132, Proposição Com a proposição acima, temos que dada µ uma medida de Radon, então o funcional I(f) = fdµ, onde f C c (R N ), se estenderá continuamente a C 0 (R N ) se, e somente se, I for limitado com respeito a norma uniforme. Proposição O funcional I é contínuo se, e somente se, µ(r N ) <. Demonstração. Como caso particular de (1.1), temos a seguinte igualdade µ(r N ) = sup{ } fdµ : f C c (R N ), onde 0 f 1 e, ainda, do fato de fdµ f dµ, obtemos: { µ(r N ) sup } fdµ : f u = 1 e I = µ(r N ). Portanto, I será contínuo se, e somente se, µ(r N ) <. 8

20 Com isso, identificamos os funcionais lineares contínuos e positivos sobre C 0 (R N ) com as medidas finitas de Radon sobre R N. O próximo resultado nos diz que os funcionais lineares sobre C 0 (R N ) tem uma certa decomposição de Jordan. Lema Seja I C 0 (R N ). Então existem funcionais lineares positivos I +, I C 0 (R N ), tais que: I = I + I. Demonstração. Para demonstrarmos este lema, precisamos definir primeiro I +. segue, denotaremos por C 0 (R N, [0, )) o seguinte conjunto: Para o que C 0 (R N, [0, )) = {f : R N [0, ) : f C 0 (R N ). Assim, se f C 0 (R N, [0, )), então definimos: I + (f) = sup{i(g) : g C 0 (R N, R) e 0 g f}. Note que I + (f) 0. Para ver isso, basta fazer g = 0. Além disso, pela desigualdade: I(g) I g u I f u, sempre que 0 g f, obtemos: 0 I + (f) I f u. Agora, vamos verificar que I + é a restrição a C 0 (R N, [0, )) de um funcional linear. Observe que I + (cf) = ci + (f), para todo c 0. Sejam g 1, g 2 C 0 (R N ) e f 1, f 2 C 0 (R N, [0, )) arbitrárias tais que 0 g 1 f 1 e 0 g 2 f 2. Somando termo a termo as desigualdades, obtemos 0 g 1 + g 2 f 1 + f 2, e portanto, I + (f 1 + f 2 ) I(g 1 ) + I(g 2 ). Logo, I + (f 1 + f 2 ) I + (f 1 ) + I + (f 2 ). Por outro lado, supondo que 0 g f 1 + f 2 e definindo g 1 = min(g, f 1 ) e g 2 = g g 1, obtemos as inequações 0 g 1 f 1 e 0 g 2 f 2. Portanto, concluímos que g = g 1 + g 2 e I(g) = I(g 1 ) + I(g 2 ) I + (f 1 ) + I + (f 2 ). Como g é arbitrária, segue que: I + (f 1 + f 2 ) I + (f 1 ) + I + (f 2 ). 9

21 Logo, I + (f 1 + f 2 ) = I + (f 1 ) + I + (f 2 ), para f 1, f 2 C 0 (R N, [0, )). Agora, considere f C 0 (R N ). Então, temos que as partes positiva e negativa f +, f de f pertencem a C 0 (R N, [0, )). Assim, é natural definirmos: I + (f) = I + (f + ) I + (f ). Afirmação I + é linear. De fato, sejam f, g C 0 (R N ) e c R. Note que I + (cf) = ci + (f). Fazendo a decomposição das funções f, g e f + g, temos (f + g) + (f + g) = f + g = f + f + g + g. Logo, (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. Assim, calculando I + em cada uma das funções acima e reagrupando, obtemos: I + [(f + g) + ] I + [(f + g) ] = I + (f + ) I + (f ) + I + (g + ) I + (g ). Logo, I + (f + g) = I + (f) + I + (g). Afirmação I + é contínuo. De fato, temos que: I + (f) max {I + (f + ), I + (f )} I max { f + u, f u } = I f u. Em particular, I + I. Finalmente, definimos I = I I +. Então I C 0 (R N ), e pela definição de I + vemos que I + e I são positivos. Portanto, segue o lema. Pelos Teorema e Lema , concluímos que para cada I C 0 (R N ), existem duas medidas de Radon µ 1 e µ 2 tais que: I(f) = fdµ, onde µ = (µ 1 µ 2 ). Para finalmente demonstrarmos o resultado principal desta subseção abaixo, definiremos o espaço das medidas de Radon com sinal. 10

22 Definição Dizemos que µ é uma medida de Radon com sinal, quando µ é uma medida de Borel finita com sinal cujas variações positiva e negativa são medidas de Radon. Denotaremos o espaço das medidas de Radon finitas com sinal sobre R N por M(R N ). Para µ M(R N ) com a variação total µ de µ, definimos: Note que µ é finita, pois µ é limitada. µ = µ (R N ). De maneira análoga, definimos o espaço das medidas de Radon finitas com sinal sobre por M(). Com a definição acima, temos o seguinte resultado. Proposição M(R N ) é um espaço vetorial real e µ µ é uma norma sobre M(R N ). Demonstração. Ver [9], pág. 222, Proposição O resultado a seguir, nos permite identificar C 0 (R N ) com o espaço M(R N ) e tal resultado é de extrema importância para se definir a topologia fraca em M(R N ). Teorema (Representação de Riez). Dada uma medida µ M(R N ), consideremos o funcional: I µ (f) = fdµ, onde f C 0 (R N ). A aplicação µ I µ é um isomorfismo isométrico de M(R N ) em C 0 (R N ). Demonstração. Sabemos que todo funcional I C 0 (R N ) é da forma I µ (veja o comentário logo após o Lema ). Com isso, já temos que a aplicação µ I µ é sobrejetora. Seja µ M(R N ), então temos que (veja [9],Proposição 3.13 item c, pág. 94) fdµ f d µ f u µ, e assim I µ C 0 (R N ) com norma I µ µ. Além disso, definindo a derivada de Radon-Nikodym h = dµ, segue que h = 1 (veja [9], d µ Proposição 3.13, item b, pág.94). Então, pelo Teorema de Lusin aplicado a medida µ, para todo ε > 0, existirá uma função f C c (R N ) satisfazendo: f u = 1 e f = h exceto em um conjunto E com µ (E) < ε. 11

23 Assim, utilizando h L 1 (µ) (pois µ(r N ) < ) e a Regra da Cadeia, temos: µ = h 2 d µ = hdµ = hdµ + fdµ d µ + I µ < ε + I µ. E E c E Como ε é arbitrário, temos que µ I µ. Portanto, a aplicação é uma isometria sobrejetora. Com a identificação do espaço M(R N ) com o espaço dual C 0 (R N ) vamos definir uma topologia nesse espaço que é induzida por essa identificação. Definição A topologia fraca em M(R N ) = C 0 (R N ) é definida por: µ α µ fdµ α fdµ, para toda f C 0 (R N ). Chamamos tal topologia de topologia vaga. Vale observar que de maneira inteiramente análoga ao Teorema , pode-se mostrar que, dado R N, um aberto, temos: M() = C 0 (), via o mesmo isomorfismo isométrico. Isto motiva a seguinte definição. Definição (Convergência Vaga em M()). A topologia fraca em M() = C 0 () é definida por µ α µ fdµ α fdµ, para toda f C 0 (). Também observamos que se f n f em L r () e r > 1, então f n f vagamente em M(). De fato, basta notar que C 0 () L r (). Um bom motivo para usarmos a topologia vaga é porque argumentos de convergência fraca para L p () geralmente falham quando p = 1, pois L 1 () não é o dual de L (), mas podemos obter bons resultados usando a topologia vaga quando identificamos L 1 () como um subespaço de M(). Para fazermos tal identificação, seja R N. Dada v L 1 (), (aqui consideramos a medida de Lebesgue) associamos a seguinte aplicação T v () = v. 12

24 Note que T v é uma medida de Radon, e além disso, T v M() = T v () = v = v L 1 e assim, temos que L 1 () está imerso isometricamente em M(). Um fato importante é que L 1 () é denso vagamente (denso considerando a topologia vaga) em M(), onde pode ser o próprio R N. Na próxima subseção, definiremos e apresentaremos resultados para demonstrar tal fato. Observação De agora em diante, denotaremos por M() o espaço das medidas de Radon reais sobre Densidade Vaga de L 1 (R N ) em M(R N ) Nesta subseção, vamos primeiramente definir e enunciar alguns resultados sobre convolução entre duas funções mensuráveis. Posteriormente, definiremos o produto de medidas de Radon com sinal e trataremos de resultados sobre o conceito de convolução de duas medidas. Por fim, demonstraremos o resultado de densidade vaga de L 1 (R N ) em M(R N ). Esse estudo se faz necessário para o Capítulo 3, onde precisaremos aproximar uma função f M() por uma sequência de funções que estão em L 1 (). Definição Sejam f e g duas funções mensuráveis em R N. Definimos a convolução de f e g por: f g(x) = f(x y)g(y)dy R N para todo x tal que a integral acima exista. Para que f g esteja bem definida, podemos impor várias condições sobre f e g. exemplo, se g L 1 loc (RN ) e f é limitada com suporte compacto, então f g existe. Na próxima proposição, vamos apresentar algumas propriedades sobre convolução. Por Proposição Assuma que todas as integrais abaixo sejam finitas. Então: (a) f g = g f. (b) (f g) h = f (g h). (c) Seja z R N, então τ z (f g) = (τ z f) g = f (τ z g), onde τ z f(x) = f(x z). (d) Seja A o fecho de {x + y : x supp(f), y supp(g)}, então supp (f g) A. 13

25 Demonstração. Ver [9], pág. 240, Proposição 8.6. A proposição a seguir contém resultados básicos de convoluções para funções em L p. Proposição Sejam f L p e g L q, onde p q (a) f g(x) existe para todo x. (b) f g é limitada e uniformemente contínua. (c) f g u f L p g L q. (d) Se 1 < p <, então f g C 0 (R N ). = 1. Então: Demonstração. Ver [9], pág. 241, Proposição 8.8. Seja φ uma função em R N e t > 0. Definimos: ( x ) φ t (x) = t n φ. t Se φ L 1, então pelo Teorema da Mudança de Variável (veja [9], pág. 74) temos que a integral φt não depende de t, isto é, x ) φ t = t φ( n dx = φ(z)dz, R N R t N R N onde z = x t. O teorema a seguir será de extrema importância na demonstração do principal resultado desta subseção. Teorema Seja φ L 1 tal que φ(x)dx = a. Então: (a) Se f L p, para 1 p <, então f φ t af em L p, quando t 0. (b) Se f é limitada e uniformemente contínua, então f φ t t 0. af uniformemente, quando (c) Se f L e f é contínua em um aberto U, então f φ t af uniformemente em todo subconjunto compacto de U, quando t 0. Demonstração. Ver [9], pág. 242, Teorema Agora, vamos definir o que seria uma medida de Radon com sinal no espaço produto cartesiano R N R N e a convolução de duas medidas µ e ν, onde µ, ν M(R N ), com o intuito de obtermos os resultados necessários para a prova da densidade vaga de L 1 (R N ) em R N. A definição da medida de Radon com sinal no produto cartesiano pode ser feita utilizando produto de medidas positivas através das derivadas de Radon-Nikodym. 14

26 Definição Sejam µ, ν M(R N ), definimos a medida produto µ ν M(R N R N ) por: d(µ ν)(x, y) = dµ dν (x) (y)d( µ ν )(x, y). d µ d ν Definição Sejam µ, ν M(R N ), definimos a convolução µ ν M(R N ) por: µ ν(e) = µ ν(e) = X E (x + y) dµ(x)dν(y). Abaixo, apresentamos algumas propriedades básicas da convolução de duas medidas em M(R N ). Proposição Sejam µ, ν M(R N ). (a) Convolução de medidas é comutativa e associativa. (b) Seja h uma função limitada Borel mensurável, então: hd(µ ν) = h(x + y) dµ(x)dν(y). (c) µ ν µ ν. (d) Se dµ = fdm e dν = gdm, então d(µ ν) = (f g)dm. Demonstração. Ver [9], pág. 270, Proposição Observação Note que o item (d) da Proposição acima nos diz que em L 1 a definição de convolução entre medidas coincide com a definição usual de convolução. Quando temos uma função f em L p, é importante obtermos algumas propriedades quando fazemos a convolução de f com uma medida µ em M(R N ). O próximo teorema nos dá três propriedades dessa convolução. Teorema Sejam f L p (R N ), para 1 p, e µ M(R N ). Então: (a) A integral f µ(x) = f(x y)dµ(y) existe para x q.t.p. em R N. (b) f µ L p. (c) f µ L p f L p µ. Demonstração. Ver [9], pág. 271, Proposição Observação No Teorema L p e q.t.p. se refere a medida de Lebesgue. Por fim, estamos preparados para mostrar o principal resultado desta subseção. 15

27 Teorema L 1 (R N ) é denso vagamente em M(R N ). Demonstração. Seja µ(r N ). Para provarmos este teorema, devemos construir uma sequência em L 1 (R N ) que converge no sentido vago para µ. Seja φ Cc (R N ) fixada, com φ(x)dx = 1. Então para todo t > 0 pelo Teorema , R N temos: φ t µ L 1 (R N ). Sabemos que toda função em L 1 (R N ) define uma medida de Radon (veja o comentário após o Teorema , pág. 12), então vamos escrever µ t M(R N ) para a medida que corresponde a φ t µ, ou seja, dµ t = (φ t µ)dm. Agora, seja g C 0 (R N ) fixada. Pelo Teorema de Fubini para a medida produto µ m, onde m é a medida de Lebesgue em R N, temos que: ( ) gdµ t = g(x)(φ t µ)(x)dx = g(x)φ t (x y)dµ(y) dx R N R N R N R N = g(x)φ t (x y)dxdµ(y) R N R N = g φ t (y)dµ(y). R N Observe que a função (x, y) g(x)φ t (x y) é contínua, pois é produto de funções contínuas. Assim, temos que g(x)φ t (x y) é B R N B R N -mensurável. Note também que: ( ) ( ) g(x)φ t (x y) dx d µ (y) = g(x)φ t (x y) dx d µ (y) R N R N R N K g L 1 φ t u d µ = g L 1 φ t u µ <, R N onde K é o compacto tal que φ t (x y) é diferente de zero. Afirmação g φ t C 0 (R N ) para cada t > 0. De fato, mais geralmente provamos que para ψ C 0 (R N ) e ϕ C c (R N ) temos ψ ϕ C 0 (R N ). Primeiro, pela Proposição , pág. 14, temos que ψ ϕ é limitada e uniformemente contínua e ψ ϕ u ϕ L 1 ψ u. Agora, tomamos uma sequência ψ 1, ψ 2,... C c (R N ) tal que ψ ψ k 0 (Proposição 1.1.9, pág. 8). Então ψ k ϕ C c (R N ) para cada k, pela Proposição item (d), pág. 14, e ψ k ϕ ψ ϕ u = (ψ k ψ) ϕ u ϕ L 1 ψ k ψ u 0. 16

28 Portanto, ψ ϕ pertence ao fecho de C c (R N ) na métrica uniforme, ou seja, ψ ϕ C 0 (R N ) (Proposição 1.1.9, pág. 8). Logo, a afirmação está provada. Agora, pelo Teorema item (b), pág. 15, temos g φ t g u 0, quando t 0. Portanto, como f fdµ é um funcional linear limitado em C R N 0 (R N ), segue que: g φ t (y) dµ(y) g dµ, R N R N quando t 0. Assim g dµ t g dµ, R N R N quando t 0 e para toda g C 0 (R N ). Então, concluímos que a sequência {µ 1 } j=1 tende j vagamente para µ. Recordando que cada µ 1 corresponde a uma função (ou: é uma) em L 1 (R N ) j temos que L 1 (R N ) é denso vagamente em M(R N ). Corolário Seja R N um aberto. Então L 1 () é denso vagamente em M() Demonstração. Seja µ M(). Definimos µ por: µ em µ = 0 em R N \ Note que µ M(R N ). Pelo Teorema , existe uma sequência (f n ) em L 1 (R N ) que converge para µ no sentido vago. Como f n L 1 (R N ), para todo n, temos que f n L 1 (), para todo n. Assim, temos uma sequência (f n ) em L 1 () que converge vagamente para µ. Consequentemente, f n converge vagamente para µ. Corolário Dado r 1, segue que L r () é denso vagamente em M(). Demonstração. Primeiro, note que se u n u em L r (), então u n u vagamente em M(). De fato, pela Definição , basta mostrarmos que: fu n fu, f C 0 (). Porém, por Hölder: fu n fu f L r u n u L r med() f L u n u L r 0. 17

29 Logo, u n u vagamente em M(). Agora, dada µ M(), consideremos (v n ) L 1 () tal que: fv n = fdµ, f C 0 (). lim n Como L r () é denso em L 1 (), segue que para cada n N, existe u n L r () tal que: u n v n L 1 1 n. Assim, dada f C 0 () temos: fdµ fu n fdµ fv n + fv n fu n Logo lim n fdµ e portanto, u n u vagamente em M(). fdµ fv n + 1 n. fu n lim fdµ fv n = 0, n Distribuições Nesta subseção, definiremos o conceito de distribuição em apenas com o intuito de mostrar que convergência vaga implica em convergência em distribuição. Tal resultado será usado no Capítulo 3. Para mais detalhes sobre este tema, veja Medeiros [18]. Definição Considere (f n ) Cc (). Dizemos que: (a) f n 0 desde que: (i) Exista K, compacto tal que supp f n K, n N. (ii) Para cada α multi-índice D α f n 0 uniformemente em K. (b) Dizemos que f n f desde que (f n f) 0. O espaço denotado por D() das funções em C c acima é chamado o espaço das funções teste. () com a noção da convergência definida Definição Dizemos que T : D() R é uma distribuição se: (a) T é linear; (b) T é contínuo no zero em D(), ou seja, T (f n ) 0, se n, sempre que f n 0 em D(). 18

30 O conjunto de todas as distribuições definidas em é denotado por D (). D (), temos a seguinte noção de convergência. No espaço Definição (Convergência em D ()). Dizemos que (a) T n 0 em D () quando n, se (b) T n T em D () se T n (φ) 0 em R, quando n, φ D(). (T n T ) 0 quando n, em D (). Segue diretamente da definição acima que convergência em distribuição é única. Um fato importante é que uma medida µ em M() pode ser vista como uma distribuição em. Proposição Seja µ M(). Então µ pode ser representada como uma distribuição, isto é, µ D (). Demonstração. Seja φ D(). Definimos: (µ, φ) = Note que (µ, φ) é um funcional linear contínuo. Agora, se φ n 0 em D(), então existe φdµ. K, compacto, tal que supp φ n K, para todo n N e D α φ n 0 uniformemente em K, α multi-índice. Em particular, φ n 0 uniformemente em K. Logo Portanto, µ D (). lim (µ, φ n) = lim φ n dµ 0. n n K Usando a mesma identificação, como corolário da Proposição , segue que L p () D (). A noção de convergência no espaço D () é bem fraca. De fato, o próximo resultado nos mostra que até convergência vaga implica em convergência no espaço D (). Teorema Seja (µ n ) M() tal que µ n µ vagamente em M(). Então: µ n µ em D (). 19

31 Demonstração. Como por hipótese µ n µ vagamente em M(), então pela definição: φ dµ n φ dµ, para toda φ C 0 (). Para mostrar que µ n µ em D (), basta mostrarmos que, dado φ D(), então: lim (µ n, φ) = (µ, φ). n A igualdade acima acontece se, e somente se, φ dµ n Porém, como D() C 0 () segue o resultado. φdµ. Observe que segue diretamente do Teorema , que dadas (f n ) L r (), onde r > 1 e f L r (), se f n f em L r () então vale que f n f em D (). Isto é, L r () C 0 (). 1.2 Espaços de Sobolev Usando o conceito de Distribuição, conseguimos generalizar a ideia de derivada para uma formulação mais fraca. Seja R N um aberto, limitado e conexo. Definição Definimos o Espaço de Sobolev, denotado por W 1,p () como sendo: Observe que u x i W 1,p () = {u : R : u, u x i L p (), i = 1,..., N}. se refere a derivada no sentido das distribuições. Proposição (W 1,p (), W 1,p), onde ( u p L u W 1,p = + p u p L p)1/p, 1 p < u L + u L é um espaço de Banach. Além disso, se 1 < p <, é um espaço de Banach reflexivo. 20

32 Demonstração. Ver [4], pág. 264, Proposição 9.1. Das diversas propriedades interessantes destes espaços, nos restringiremos a enunciar o essencial para o presente texto. Primeiramente, vejamos seu subespaço mais usual. Definição W 1,p 0 () = C c () W 1,p. Com isso, temos o seguinte resultado. Proposição W 1,p 0 () é um subespaço fechado de W 1,p (). Em particular, W 1,p 0 () é um espaço de Banach reflexivo se 1 < p <. Demonstração. Ver [4], pág Um fato importante dos espaços W 1,p 0 () é que podemos controlar as normas L p pelas normas das derivadas em certos casos. Definição Definimos o expoente crítico de Sobolev p, por: Se p = N, então definimos p =. p = Np N p. Observação Por simplicidade, enunciaremos os próximos resultados somente para o caso que usaremos neste trabalho, isto é, quando 1 p < N. Teorema (Desigualdade de Poincaré). Seja u W 1,p 0 (), onde 1 p < N. Então existe uma constante C = C(, p, q, N) > 0 tal que para todo q [1, p ]. Demonstração. Ver [8], pág. 265, Teorema 3. u L q C u L p, Observamos que u L p é uma norma em W 1,p 0 (), que é equivalente a norma u W 1,p. Assim, definimos a seguinte norma em W 1,p 0 () u W 1,p 0 = u L p. Uma das propriedades mais usadas destes espaços é o de que estes melhoram a integrabilidade de seus membros. 21

33 Teorema (Imersão de Sobolev). Seja R N um aberto, limitado e conexo. Para 1 p < N, temos para todo q [1, p ]. Demonstração. Ver [8], pág. 270, Teorema 6. W 1,p 0 () L q (), Com algumas restrições no expoente, melhora-se o resultado de Imersão. Teorema (Rellich-Kondrachov). Seja R N um aberto, limitado e conexo. Para 1 p < N, temos para todo q [1, p ). Demonstração. Ver [8], pág. 272, Teorema 1. W 1,p 0 () L q (), 1.3 Grau de Brouwer No presente texto, usaremos uma poderosa ferramenta para a resolução de equações não lineares em espaços de dimensão finita: O grau de Brouwer. Para não fugirmos da temática proposta nesta dissertação, nos restringiremos a enunciar o resultado que nos interessa. Seja φ : R N R N uma função contínua, p / φ( ). O grau de Brouwer d(φ,, p) é uma ferramenta que descreve o número de soluções para a equação: φ(x) = p, onde é um aberto. A seguir apresentaremos dois resultados que nos será útil para esta dissertação. Teorema Existe d(,, p) : C 1 () R tal que se p / φ( ) e d(φ,, p) 0, então existe ao menos um x tal que φ(x) = p. Demonstração. Ver [10], pág. 30, Teorema

34 Teorema (Invariância Homotópica). Seja H : [0, 1] R N. Considere p R N e suponha que p / H( [0, 1]). Então d(h(, 0),, p) = d(h(, 1),, p). Demonstração. Ver [10], pág. 39, Teorema Teoremas de Convergência Esta seção é baseada em [1] e [9]. Os resultados que apresentaremos são alguns dos principais da Teoria da Medida e Integração que posteriormente usaremos no decorrer deste trabalho. Seja (X, M, µ) um espaço de medida. Em toda essa seção, µ denotará uma medida positiva em X. Lema (Lema de Fatou). Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis com f n : X [0, ], para todo n N. Então lim inf n f ndµ lim inf n f n dµ Demonstração. Ver [1], pág. 33, Lema 4.8. Apresentaremos a seguir um dos mais importantes teoremas de convergência para funções integráveis. Teorema (Convergência Dominada de Lebesgue). Seja (f n ) uma sequência de funções em L 1 (X, µ) tal que converge q.t.p. para uma função f. Além disso, suponha que existe uma função g em L 1 (X, µ) tal que f n g, para todo n N. Então f L 1 (X, µ) e lim n Demonstração. Ver [1], pág. 44, Teorema 5.6. f n dµ = fdµ. Com o intuito de generalizarmos o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue para os espaços L p (X, µ), vamos definir o que seria a convergência de uma sequência de funções nesse espaço. 23

35 Definição Dizemos que uma sequência de funções (f n ) em L p (X, µ), 1 p <, converge em L p (X, µ) para f L p (X, µ), se dado ε > 0, existir n 0 (ε) N, tal que para todo n n 0 (ε), temos: ( ) 1 f n f L p = f n f p p dµ A proposição a seguir é a versão do Teorema da Convergência Dominada de Lesbegue para os espaços L p (X, µ). Proposição Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis em L p (X, µ) que converge q.t.p. para f. Se existe uma g L p (X, µ) tal que: f n (x) g(x), x X, n N < ε. então f L p (X, µ) e (f n ) converge em L p (X, µ) para f. Demonstração. Por hipótese f n (x) f(x) q.t.p. em X. Como a sequência de funções (f n ) é mensurável, para todo n N, segue que f é mensurável. Ainda, uma vez que f n (x) g(x), n N, então f(x) g(x) q.t.p. Além disso, como g L p (X, µ), então temos f L p (X, µ). Agora note que: f n (x) f(x) p [2g(x)] p, q.t.p. e como lim f n (x) f(x) p = 0 q.t.p., e [2g(x)] p L 1 (X, µ), segue do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que: lim Portanto, (f n ) converge em L p (X, µ) para f. f n f p dµ = 0. O próximo teorema é uma espécie de recíproca para Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Este teorema é útil para o controle em passagem ao limite em termos não lineares das integrais em questão. Teorema Seja (f n ) uma sequência de funções em L p (X, µ) e seja f L p (X, µ) tal que f n f L p 0. Então, existe uma subsequência (f nk ) e uma função h L p (X, µ) tal que: (a) f nk (x) f(x) q.t.p. em X, (b) f nk (x) h(x) k, q.t.p. em X. 24

36 Demonstração. Ver [4], pág. 94, Teorema 4.9. Outro modo de convergência que será muito útil no decorrer desse trabalho é a convergência em medida. Definição Dizemos que uma sequência de funções (f n ) converge em medida para uma função f se: ( ) lim µ {x X : f n (x) f(x) ε} = 0, n para todo ε > 0. Observação Observe que convergência em L p implica em convergência em medida. De fato, considere E n (ε) = {x X : f n (x) f(x) ε}, então: f n f p dµ f n f p dµ ε p µ(e n (ε)). X E n(ε) Como f n f L p 0 e ε > 0 segue que µ(e n (ε)) 0, quando n. Vale observar que a recíproca é falsa. O contra-exemplo é dado pela seguinte sequência de funções: f n = n 1/p X [0,n]. Consideramos X = R e µ como sendo medida de Lebesgue. Note que f n 0 em medida, mas f n 0 em L p (R). Observamos também que convergência pontual não implica em convergência em medida, exceto se X tem medida finita (veja Teorema 7.12 de [1]). Consideramos mais uma vez X = R, µ como a medida de Lebesgue e a sequência de funções f n = X [n,n+1]. É fácil ver que f n converge a 0 para todo ponto, mas não em medida. Por outro lado, a proposição seguinte nos mostra que sempre podemos extrair uma subsequência que converge q.t.p. de uma sequência que converge em medida. Proposição Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis definidas em X. Se f n f em medida, então existe uma subsequência (f nj ) de (f n ) tal que f nj (x) f(x) q.t.p em X. Demonstração. Considere (f n ) tal que f n f em medida. 25

37 Dado ε = 1 2 k, k N, existe n k tal que Então: µ({x X : f n (x) f(x) 1 2 k }), n n k ε. Definimos X k = {x X : f n (x) f(x) 1 2 k }. Para N N fixado, seja A N = Se x X\A N, então: x A c N = µ(a N ) k N k N µ(x k ) k N 1 2 = 1 k 2. N 1 Xk c = {x X : f n (x) f(x) < 1 2 }, k k N ou seja, f nk (x) f(x) < 1 2 k, para todo k N. Portanto, para algum N N, temos: f nk (x) f(x) sobre A c N. Observando que µ(a 1 ) 1 e A 1 A 2... A N, tem-se: Assim, 0 µ(a) = µ( N 1 A N ) = lim N µ(a N) lim N 1 = 0. 2N 1 Como f n (x) f(x) sobre X\A N, para cada N, então f nk (x) f(x) sobre X\A e µ(a) = 0. f nk (x) f(x) q.t.p. X. k N X k. Apresentamos agora o famoso Teorema da Convergência de Vitali. Tal teorema nos será útil no final do Capítulo 3. Teorema (Convergência de Vitali). Seja (f n ) uma sequência de funções mensuráveis em X tal que (f n ) L p (X, µ), para 1 p <. Então, (f n ) converge em L p (X, µ) para f e f L p (X, µ) se, e somente se, (f n ) satisfaz as seguintes propriedades: (i) (f n ) converge em medida para f; (ii) Para cada ε > 0, existe δ(ε) > 0, tal que se A M com µ(a) < δ(ε), então: f n p dµ < ε p, para todo n N. A e existe C M com µ(c) < tal que f n p dµ < ε p, para todo n N; X\C 26

38 Demonstração. ( ) Assumimos que f n, f L p (X, µ) e f n f L p 0. Como (f n ) converge para f em L p (X, µ), temos que (f n ) converge para f em medida. Pela desigualdade de Minkowski, temos: ( ) 1 ( f n p p dµ = pois X X ) 1 f n f + f p p dµ ( X ) 1 ( f p p dµ + f n f p dµ X ) 1 p. (1.3) Dado ε > 0, definimos F λ = {x E : f(x) p λ > 0}. Note que F λ tem medida finita, λµ(f λ ) f p dµ F λ E f p dµ M observe que na terceira desigualdade acima usamos que f L p (X, µ), por hipótese, e assim, λµ(f λ ) M. Fazendo λ = 1 n, temos: lim f p dµ = lim f n F n 1n X p X F 1n dµ. Como f p X F 1n f p q.t.p e f p X F 1n f p, onde f p L 1 (X, µ), segue pela Proposição 1.4.4, pág. 24, que: lim f p dµ = lim f n F n 1n X p X F 1n dµ = f p dµ. X Agora, como f L p, existe δ 0 > 0 tal que para cada A e B M tais que µ(a) < δ 0 e µ(b) <, temos: X\B ( ε p f p dµ < e 4) Além disso, existe n 0 N tal que se n n 0, então: e Logo X\B A ( ε ) p. f n f L p < 4 ( ε ) p. f p dµ < 4 Por (1.3), se n n 0 e µ(a) < δ 0, temos: ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 f n p p dµ f p p dµ + f n f p p dµ X\B X\B ( A ) 1 f n p p dµ ( X\B A ) 1 ( ) 1 f p p dµ + f n f p p dµ A f n p dµ < ε p e 27 A f n p dµ < ε p. < ε 4 + ε 4 = ε 2 < ε 4 + ε 4 = ε 2.

39 Sejam B 1, B 2,..., B n0 conjuntos mensuráveis de medidas finitas e δ 1, δ 2,..., δ n0 tais que: X\B i f i p dµ < ε p se 1 i n 0 A f i p dµ < ε p se 1 i n 0 e µ(a) < δ i. Tomando C = B B 1 B 2... B n0 e δ = min{δ 0, δ 1, δ 2,..., δ n0 }, então: f n p dµ < ε p n 1 e µ(c) < e X\C A f n p dµ < ε p se µ(a) < δ n 1. ( ) Agora assumimos que (f n ) converge em medida para f. Pela Proposição 1.4.8, existe uma subsequência (f nk ) de (f n ), tal que f nk (x) f(x) q.t.p. Pela condição (ii), existe C e pelo Lema de Fatou para a subsequência (f nk ), temos: X\C f p dµ = X\C lim inf k f n k p dµ lim inf k X\C onde µ(c) <, e além disso, ainda pela condição (ii), temos que: A f p dµ = para todo A M tal que µ(a) < δ. A lim inf k Seja E n = {x E : f n (x) f(x) > f n k p dµ lim inf k A f nk p dµ < ε p, f nk p dµ < ε p, ε } C. Como f µ(c) n converge em medida para f, então existe n 0 N tal que µ(e n ) < δ, para todo n n 0. Note que E n C X, assim: f n f p dµ = f n f p dµ + f n f p dµ + f n f p dµ X X\C C\E n E n X\C f n p dµ + X\C f p dµ + f n f p dµ + C\E n f n p dµ + E n f p dµ E n 5ε. Portanto, f n f L p 0 e f L p (X, µ). 28

40 Capítulo 2 Existência de Solução para dados em W 1,p () Este capítulo é baseado em Ciarlet [7] e Leray-Lions [13]. Apresentaremos neste capítulo resultados, hoje em dia clássicos, que são essenciais para a investigação de diversas Equações Diferenciais Parciais Quasilineares e, em particular, o problema p u = f em u = 0 sobre. (2.1) Estabeleceremos os rudimentos das ditas Técnicas de Monotonia na Seção 2.1, para então investigarmos o problema (2.1) e seus análogos na Seção 2.2. Apesar de clássicos, os resultados aqui apresentados não são vistos em geral nos cursos introdutórios sobre Equações Diferenciais Parciais e, por isto, decidimos por destacá-los do capítulo de preliminares. Ressaltamos, por fim, que as Seções 2.1 e 2.2 são, em sua maior parte, releituras dos trabalhos de Ciarlet [7] e Leray-Lions [13]. Naturalmente, adaptamos os originais para o contexto desta dissertação. 2.1 Operadores Monótonos Entre os operadores não lineares, destacamos a classe dos operadores monótonos que são de extrema importância, pois constituem-se uma ferramenta muito eficaz para estabelecermos a existência de soluções para certos problemas de contorno não-lineares. 29

41 Sejam X um espaço de Banach e X o seu dual. Vamos denotar por a norma em X, a norma em X e por (, ) a dualidade entre o espaço de Banach X e seu dual X, ou seja, (f, u) = f(u), para todo u X, f X. Definição Um operador A, de um espaço de Banach X em um espaço de Banach Y, é dito limitado se leva conjuntos limitados de X em conjuntos limitados de Y. Em outras palavras, existe M > 0 tal que: Au Y M, para todo u X. Definição Um operador A : X X é dito monótono se: (A(u) A(v), u v) 0, para todo u, v X. Vamos agora introduzir uma noção de continuidade que aparecerá nas hipóteses dos próximos resultados, sendo essencial para o teorema que garante a sobrejetividade de operadores monótonos. Definição Um operador A : X X é dito hemicontínuo se, para quaisquer u, v, w X, existir t 0 = t 0 (u, v, w) > 0 tal que a função: f : ( t 0, t 0 ) R t (A(u + tv), w) é contínua em t = 0. O lema a seguir é uma versão do conhecido Truque de Minty. Com ele, podemos compensar através de monotonia a conhecida dificuldade entre se conciliar convergências fracas e operadores não lineares. Lema Sejam X um espaço de Banach e A : X X um operador monótono hemicontínuo. Se (u n ) X for tal que: u n u em X, A(u n ) b em X e lim sup n (A(u n ), u n ) (b, u) então A(u) = b. 30

42 Demonstração. Seja (u n ) como no enunciado. Observe que, como A é monótono, dado w X, temos: (A(u n ) A(w), u n w) 0, n N. (2.2) e Agora, por hipótese: Então, por (2.2) lim sup n lim sup n (A(u n ), u n ) (b, u) (A(u n ), w) = (b, w). (b A(w), v w) lim sup n Agora, sejam v X, t > 0 e defina: (A(u n ) A(w), u n w) 0. (2.3) w = u + tv. Segue de (2.3) que t(b A(u + tv), v) = (b A(w), u w) 0, t > 0. Isto é, (b A(u + tv), v) 0, t > 0. Pela hemicontinuidade do operador A, segue que: (b A(u), v) = lim t 0 +(b A(u + tv), v), v X. Em particular, (b A(u), v) 0, v X. (2.4) Agora, tomando v em (2.4), segue que: (b A(u), v) = 0, v X, portanto: A(u) = b. 31

43 O próximo lema é uma versão do resultado principal desta seção para espaços vetoriais normados de dimensão finita. Lema Seja X um espaço vetorial normado de dimensão finita e A : X X um operador limitado e contínuo. Suponha que A seja coercivo no sentido de que: Então temos que A é sobrejetivo. (A(v), v) lim v v =. Demonstração. Primeiramente, observe que todo espaço de dimensão finita é isometricamente isomorfo a R N. De fato, considere que dimx = N e seja {x 1,..., x N } uma base ortonormal para X. Definimos então: onde x = linear. T : X R N x T (x) = N a i e i, N a i x i e {e 1,..., e N } representa a base canônica de R N. Observe que T é uma bijeção i=1 Então considerando y R N i=1 = x X, onde y = T x, obtemos que X e R N são isometricamente isomorfos. Vale lembrar que todas as normas em R N são equivalentes. Tendo em vista esse fato, sejam w X e B k = {v X : v k} com fronteira S k = {v X : v = k}. Tomando o mesmo k tal que w < k, então pela hipótese do operador A ser coercivo, temos que para qualquer k, podemos escolher R suficientemente grande tal que: (A(v), v) Rk v S R. Agora, consideremos H : B k [0, 1] X H(v, θ) = θa(v) + (1 θ) k R v, de modo que H(v, 0) = vk e H(v, 1) = A(v). R Note que H é contínuo. Além disso, para v S R, temos: (θa(v) + (1 θ) k R v, v) kr. Assim H(v, θ) k, v S R. 32

44 Em particular, w / H(S R [0, 1]) e então d(h(, θ), B R, w), onde d( ) denota o grau de Brouwer, está bem definido para θ [0, 1]. Porém, pelo Teorema 1.3.2, pág. 23, temos: 1 = d(id k R, B R, w) = d(h(, 0), B R, w) = d(h(, 1), B R, w) = d(a, B R, w). Portando, como d(a, B R, w) 0, pelo Teorema 1.3.1, pág. A(v) = w. 22, existe v B R (0) tal que O próximo teorema é o resultado principal desta seção. As hipóteses sobre o operador A foram encontradas em [13], pág. 98, Teorema 1. Teorema Sejam X um espaço de Banach separável e reflexivo e A : X X um operador limitado e hemicontínuo. Suponha que A é coercivo no sentido de que: Se A é monótono, então A é sobrejetivo. (A(v), v) lim v v =. Demonstração. Para demonstrar o teorema, com o Lema estabelecido, usaremos o famoso método de Galerkin para construirmos soluções aproximadas em subespaços de X que tenham dimensão finita e depois usaremos o processo limite. Para maior conveniência do leitor, dividimos a demonstração em passos. Passo 1: soluções aproximadas Como X é separável, existe uma família enumerável linearmente independente {w i } i=1 de vetores w i X tal que X n é denso em X, onde X n = span(w) n i=1. n=1 Afirmação Se f X, existe u n X n tal que: (A(u n ), w) = (f, w), w X n. De fato, se θ 1, θ 2,..., θ n X com (θ i, w j ) = δ i j, definimos P n por: P n v = n (v, w j )θ j. j=1 Denotando B n (v) = P n (A(v)) temos que a Afirmação é equivalente a: B n (u n ) = P n f em X n. 33

45 Tomamos X n o espaço gerado por θ 1, θ 2,..., θ n, então B n aplica X n em X n. Como (B n (v), v) = (A(v), v), a condição de coercividade é satisfeita e a afirmação segue aplicando o resultado quando estamos no caso de dimensão finita. Passo 2: processo limite Pela Afirmação 2.1.1, temos: (A(u n ), u n ) = (f, u n ) f u n. (2.5) Pela hipótese do operador A ser coercivo, segue que a sequência u n é uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que: u n C. De fato, se u n não fosse limitada, então teríamos: o que é um absurdo com (2.5). lim = (A(u n), u n ) u n u n =, Agora, como também por hipótese A é um operador limitado, segue que A(u n ) C. Sendo X reflexivo, temos também que X é reflexivo. Assim, existe uma subsequência (u m ) de (u n ) tal que: u m u em X A(u m ) g em X Afirmação g = f e A(u m ) f em X. Pela Afirmação 2.1.1, para k 1, temos: (A(u m ), w k ) = (f, w k ) m k. Portanto: Assim, para todo k 1, temos: (g, w k ) = lim m (A(u m), w k ) = (f, w k ). (g, w) = (f, w), w X m. m=1 Por construção m=1x m = n=1x n é denso em X, e assim, segue que g = f. Por conseguinte, A(u m ) f. 34