Espaços de Lebesgue-Sobolev Generalizados e Problemas de Autovalor Envolvendo o p(x)-laplaciano

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1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE MESTRADO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Espaços de Lebesgue-Sobolev Generalizados e Problemas de Autovalor Envolvendo o p(x)-laplaciano por Marcos Oliveira de Oliveira sob orientação do Prof. Dr. Francisco Júlio Sobreira de Araujo Corrêa Belém ICEN - UFPA Novembro 2007

2 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE MESTRADO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Espaços de Lebesgue-Sobolev Generalizados e Problemas de Autovalor Envolvendo o p(x)-laplaciano por Marcos Oliveira de Oliveira sob orientação do Prof. Dr. Francisco Júlio Sobreira de Araujo Corrêa Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do Título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: ANÁLISE Belém ICEN - UFPA Novembro 2007

3 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE MESTRADO EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Marcos Oliveira de Oliveira Espaços de Lebesgue-Sobolev Generalizados e Problemas de Autovalor Envolvendo o p(x)-laplaciano Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Matemática e Estatística da Universidade Federal do Pará, como pré-requisito para a obtenção do Título de Mestre em Matemática. Data da defesa:. Conceito: Banca Examinadora Prof. Dr.FRANCISCO JÚLIO SOBREIRA DE ARAUJO CORRÊA - Orientador Faculdade de Matemática - UFPA Prof. o o Dr.UBERLÂNDIO BATISTA SEVERO - Membro Departamento de Matemática - UFPB Prof. Dr.GIOVANY DE JESUS MALCHER FIGUEIREDO - Membro Faculdade de Matemática - UFPA Prof. Dr.SILVANO DIAS BEZERRA DE MENEZES - Suplente Faculdade de Matemática - UFPA

4 Agradecimentos Agradeço a Deus que no decorrer desses um ano e meio me deu saúde para que este trabalho fosse realizado. Agradeço à minha família que sempre me incetivou a nunca desistir do curso devido a dificuldades. Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Francisco Júlio Sobreira de Araujo Corrêa que durante a realização deste trabalho sempre esteve disposto a esclarecer alguns pontos obscuros do trabalho. Aos Professores Giovany Figueiredo e Uberlândio Batista Severo, pelas sugestões e por aceitarem a participar da banca examinadora. Agradeço aos professores com os quais cursei disciplinas no mestrado: Giovany Figueiredo, Mauro Santos, Ducival Pereira, Marcus Rocha e Francisco Corrêa do Departamento da Pós-Graduação de Matemática e Estatistica-PPGEM. Aos demais professores da UFPA. A todos os funcionários da UFPA. A todos os colegas de mestrado. Finalmente, agradeço a todas as pessoas, em particular: Cinthia Helena Míleo de Miranda Bandeira; Laila Conceição Fontineli; Sofia Rodrigues. que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho. 4

5 O homem tem ciência das coisas da terra, mas a sabedoria é dom de Deus. 2:Mas onde se achará a sabedoria? 3:O homem não lhe conhece o valor; não se acha na terra dos viventes. 20:Donde pois vem a sabedoria e onde está o lugar da inteligência? 28:Mas disse ao homem: Eis que o temor do Senhor é a sabedoria e apartar-se do mal é a inteligencia. Jó, Capítulo 28, Bíblia Sagrada.

6 Resumo Neste trabalho, abordaremos questões de existência de soluções para o problema { p(x) u = λf(x,u), x, u = 0 em, em que R N (N 3) é um domínio limitado e regular, p(x) > é uma função contínua em e p(x) é o p(x) Laplaciano, ou seja, p(x) u = div ( u p(x) 2 u ). Trabalharemos nos espaços generalizados de Lebesgue e Lebesgue-Sobolev L p(x) () e W,p(x) 0 () e usaremos métodos variacionais e topológicos.

7 Abstract In this work we will approach subjects of existence of solutions for the problem { p(x) u = f(x,u), x, u W,p(x) 0 (), where R N (N 3) is a bounded domain and smooth, p(x) > it is a continuous function in and p(x) it is p(x)-laplacian, which is defined by p(x) u = div ( u p(x) 2 u ) We will work in the generalized spaces of Lebesgue e Lebesgue-Sobolev L p(x) () and W,p(x) 0 () and we used of methods variational and topological, we obtain some results of existence of solution for the problems in question. 7

8 Sumário Introdução Os Espaços L p(x) () e W,p(x) () 4. Resultados Básicos e Definições Propriedades do Espaço L p(x) () Propriedades do Espaço W,p(x) () Imersões Um Princípio do Máximo Forte 9 2. Introdução Preliminares Resultado Principal Um Problema Quase-Linear de Autovalor 5 3. Introdução Propriedades do Operador p(x)-laplaciano Um Problema Singular via Método Topológico Introdução Hipóteses sobre as funções p(x), γ(x), α(x), h(x)ek(x) Existência de Solução A Desigualdades de Simon 45 B Resultados Básicos Usados na Dissertação 48 C Minimização de Funcionais 50 Referências Bibliográficas 55 8

9 Introdução O principal objetivo dessa dissertação é estudar os Espaços de Lebesgue e Sobolev generalizados, bem como a existência de solução fraca para problemas elípticos do tipo { p(x) u = f(x,u), x, u W,p(x) 0 (), onde R N (N 3) é um domínio limitado e suave, p(x) > é uma função contínua e p(x) designa o operador p(x) Laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div ( u p(x) 2 u ). O operador p(x) Laplaciano ocorre em problemas físicos como, por exemplo, na teoria da elasticidade e mecânica dos fluidos eletroreológicos (ver [8] e [7]), em particular neste último a equação do movimento dos fluidos é dada por u t + divs(u) + (u )u + π = f onde u : R 3+ R 3 é a velocidade do fluido em um ponto do espaço-tempo, = (, 2, 3 ) é o operador gradiente, π : R 3+ R é a pressão, f : R 3+ R 3 representa forças externas e o tensor stress S : W, loc R3+3 é da forma S(u)(x) = µ(x) ( + Du(x) 2) p(x) 2 2 Du(x), onde Du = ( u + 2 ut ) é a parte simétrica do gradiente de u. Este trabalho é constituído de quatro capítulos e três apêndices. Observemos que ao longo deste trabalho será sempre um domínio limitado e suave. No capítulo, estudaremos o Espaço de Lebesgue Generalizado, definido por { } L p(x) () = u : R; u é mensurável, u(x) p(x) dx < +, p C + (), com p(x) > e mencionaremos várias propriedades desse espaço, tais como, completeza, reflexividade, separabilidade e densidade. Apresentamos também um estudo do Espaço de Sobolev generalizado W,p(x) (), o qual é definido por W,p(x) () = {u L p(x) ; u L p(x) ()}

10 SUMÁRIO 2 onde u = ( u x, u x 2,, u x N ). Mostraremos vários resultados importantes para essa dissertação. O Capítulo é baseado em Guimarães [5] e Fan [9]. No Capítulo 2 apresentamos um princípio do máximo forte para equações envolvendo o operador p(x) Laplaciano, isto é, div( u p(x) 2 u) + d(x) u q(x) 2 u = 0 q.t.p em, () onde é um conjunto aberto de R N, N 2, p C (), p(x) > para x, q(x) C 0 (), p q(x) < p (x), onde Np(x), se p(x) < N, p (x) = N p(x) +, se p(x) N. d(x) L () e d(x) 0 em. O Capítulo 2 é baseado no artigo de Fan e Zhang [9]. No Capítulo 3, estudaremos a existência de solução fraca em W,p(x) () para o problema de Dirichlet p(x) u = λ u q(x) 2 u em, (P) u = 0 em onde p >, p C(). O Capítulo 3 é baseado no artigo de Rǎdulescu [3]. No Capítulo 4, estudamos a existência de solução fraca para a seguinte classe de problemas elípticos quase-lineares: p(x) u = h(x) u γ(x) + k(x)uα(x) em, u > 0 em, u = 0 em,

11 SUMÁRIO 3 onde R N (N 3) é um domínio limitado e p,h,k,α, γ C(). Para o Capítulo 4, temos como referência o artigo de Corrêa,Costa e Figueiredo [6]. No Apêndice A demonstramos que, para quaisquer x,y R N, valem as seguintes desigualdades clássicas: 2 x p 2 x y p 2 y,x y 3 p p x y p, se p 2, x y 2 (p ) ( x p + y p ) 2 p, se < p < 2. As desigualdades, acima, foram muito importantes no desenvolvimento dos Capítulos 3 e 4. No Apêndice B, enuciamos vários resultados utilizados na dissertação. No Apêndice C, demonstramos alguns resultados sobre minimização de funcionais, entre os quais o famoso Princípio Variacional de Ekeland.

12 Capítulo Os Espaços L p(x) () e W,p(x) () Neste capítulo, estudaremos o Espaço de Lebesgue Generalizado L p(x) () e apresentaremos um estudo do Espaço de Sobolev Generalizado W,p(x) (). Demonstrações podem ser encontradas em Fan [9] e Guimarães [5], respectivamente. Define-se { } L p(x) () = u : R : u é mensurável, u(x) p(x) dx <, onde R N é um conjunto mensurável.. Resultados Básicos e Definições Seja R N, um conjunto mensurável. Considere o conjunto C + () = {u C(); u(x) >, x }. Para cada p C + () e u L p(x) (), definimos ρ(u) = u(x) p(x) dx, A função ρ é chamada de modular. p = min p e p + = maxp. Proposição.. Para cada u, v L p(x) (), tem-se (a) ρ(u) = 0 se, e somente se, u = 0; (b) ρ( u) = ρ(u); (c) ρ(tu + ( t)v) tρ(u) + ( t)ρ(v), para todo t [0, ], isto é, ρ é uma função convexa; (d) ρ(u + v) 2 p+ [ρ(u) + ρ(v)]; 4

13 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS LP(X) () E W,P(X) () 5 (e) Se λ >, então e se 0 λ, temos ρ(u) λρ(u) λ p ρ(u) ρ(λu) λ p+ ρ(u), λ p+ ρ(u) ρ(λu) λ p ρ(u) λρ(u) ρ(u). (f) Para cada u L p(x) ()\{0}, ρ(λu) é uma função crescente, contínua e convexa em λ [0, ). Pelos itens anteriores, podemos concluir: Proposição.2. L p(x) () é um espaço vetorial. Vamos, agora, definir uma norma no espaço L p(x) (), que será denotada por p(x) e apresentar algumas propriedades. Proposição.3. u p(x) = inf { ( u } λ > 0 : ρ é uma norma em L λ) p(x) (). Proposição.4. Se a função p(x) = p é constante, então p(x) = p, onde p é a norma usual do espaço L p (), p <. Proposição.5. Seja u L p(x) ()\{0}. Então, ( u u p(x) = a se, e somente se, ρ =. a) Proposição.6. Seja u L p(x) (). Então, () u p(x) < (= ;> ) se, e somente se, ρ(u) < (= ;> ); (2) Se u p(x) >, então u p p(x) ρ(u) u p+ p(x) ; (3) Se u p(x) <, então u p+ p(x) ρ(u) u p p(x). Proposição.7. Seja (u n ) L p(x) (). Se u L p(x) (), então as seguintes afirmações são equivalentes: () lim n u n u p(x) = 0; (2) lim n ρ(u n u) = 0.

14 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS LP(X) () E W,P(X) () 6.2 Propriedades do Espaço L p(x) () Nesta seção, apresentaremos as principais propriedades de L p(x) (). O resultado abaixo é um corolário da demonstração da Proposição.7. Teorema.. Seja (u n ) L p(x) () tal que u n u. Então existe uma subseqüência (u nk ) tal que (a) u nk (x) u(x), q.s. em ; (b) u nk (x) h(x), para k, q.s. em, h L p(x) (). Teorema.2. Se p >, então L p(x) () é um espaço reflexivo. A seguir, apresentamos uma versão do Teorema da Representação de Riesz para o espaço L p(x) (). Teorema.3. Seja p > e seja q L + tal que p(x) + q(x) =, para todo x. Então, dado f (L p(x) ()) existe um único v L q(x) () tal que f(u) = u(x)v(x)dx, para todo u L p(x) (). Agora, abordaremos a questão da densidade em L p(x) () Teorema.4. Seja R N um conjunto aberto. Então, o espaço C 0 () é denso em L p(x) (). Teorema.5. Seja R N um conjunto aberto. Então, o espaço C 0 () é denso em L p(x) (). Teorema.6. Seja R N um conjunto aberto. Então, o espaço L p(x) () é separável.

15 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS LP(X) () E W,P(X) () 7.3 Propriedades do Espaço W,p(x) () Nesta seção, estudaremos o espaço de Sobolev generalizado W,p(x) (), ou seja, o seguinte espaço { } W,p(x) () = u L p(x) u (); L p(x) (),j =,...,N, x j onde R N (N 3) é um domínio. Tal espaço é muito importante em nosso trabalho, pois é sobre ele que estudaremos a existência de solução para os problemas considerados nos capítulos seguintes. Observamos que, para u W,p(x) (), então u denota a j ésima derivada fraca x j de u, ou seja, u ϕ x j dx = Em W,p(x) (), temos a seguinte norma u x j ϕdx, para todo ϕ C 0 (). u = u p(x) + Se u W,p(x) (), definimos o gradiente de u, por ( u u =, u ) u,..., x x 2 x N N u x j. (.) p(x) j= Note que podemos escrever o espaço W,p(x) () como W,p(x) () = {u L p(x) (); u L p(x) ()}. Neste caso, é mais conveniente usarmos a norma equivalente u = u p(x) + u p(x). Teorema.7. W,p(x) () é um espaço de Banach. Teorema.8. O espaço W,p(x) () é separável e reflexivo, se p >. Definição.. Definimos o espaço W,p(x) 0 () como sendo o fecho de C 0 () em W,p(x) (). Segue, imediatamente da definição de W,p(x) 0 () e das propriedades de W,p(x) (), o seguinte resultado: Teorema.9. W,p(x) 0 () é um espaço de Banach, separável e reflexivo, se p >.

16 CAPÍTULO. OS ESPAÇOS LP(X) () E W,P(X) () 8.4 Imersões Temos alguns resultados de imersão que serão bastante úteis nos capítulos subseqüêntes. Dentre esses resultados, destacamos um teorema que generaliza os teoremas de Sobolev e Rellich-Kondrachov, bem como uma desigualdade do tipo Poincaré. Teorema.0. Sejam p,q C + () tais que q(x) p(x), q.s. em. Então W,p(x) () W,q(x) (), e tal imersão é contínua. No que segue, temos Np(x) p, p(x) < N, (x) = N p(x), p(x) N. Teorema.. Sejam p,q C() tais que p,q. Se q(x) p (x), para todo x, então W,p(x) () L q(x) (), e tal imersão é contínua e compacta. Observação.. É possível mostrar que, se p e q C() são tais que p(x) q(x) p (x), para todo x, então W,p(x) () L q(x) (), com imersão contínua. Teorema.2. (Desigualdade de Poincaré) Seja p C() tal que p >. Então, existe C > 0 tal que u p(x) C u p(x), para todo u W,p(x) 0 (). Observação.2. Como conseqüência da Desigualdade de Poincaré, temos u p(x) u = u p(x) + u p(x) (C + ) u p(x), para todo u W,p(x) 0 (). W,p(x) 0 (), ou seja, as normas u e u p(x) são equivalentes em

17 Capítulo 2 Um Princípio do Máximo Forte 2. Introdução Consideremos a seguinte equação envolvendo o p(x) Laplaciano div( u p(x) 2 u) + d(x) u q(x) 2 u = 0 q.t.p em, (2.) onde é um conjunto aberto de R N, N 2, p(x) C (), p(x) > para x, q(x) C 0 (), p(x) q(x) < p (x), onde Np(x), se p(x) < N, p (x) = N p(x) +, se p(x) N. d(x) L () e d(x) 0 em. No caso em que p(x) não é idêntico a uma constante, até agora, não existia nenhum princípio do máximo, para a p(x)-laplaciano, porque os métodos tratavam com p Laplaciano. Nesta seção, estudaremos o artigo A strong maximum principe for p(x) laplace equations de Fan X.L.; Zhao, D.; Zhang, Q. H.[], que usando o ideal de Montenegro [4] e algumas técnicas especiais, estabelecemos um princípio do máximo forte para equação (2.). 2.2 Preliminares Definindo a aplicação como Au, ϕ = A : W,p(x) () (W,p(x) ()) ( u p(x) 2 u ϕ + d(x) u q(x) 2 uϕ)dx, u W,p(x) (), ϕ W,p(x) (), Verifica-se que A é uma aplicação contínua e limitada. 9

18 CAPÍTULO 2. UM PRINCÍPIO DO MÁXIMO FORTE 0 Lema 2.. (ver [9]). Seja h W,p(x) (), X = h + W,p(x) 0 (). Então, A : X (W,p(x) 0 ()) é estritamente monótono e coercivo com respeito a h e é um homeomorfismo. Seja g (W,p(x) 0 ()). Se g,ϕ 0, ϕ W,p(x) 0 (), ϕ 0 q.t.p em, então denotemos por g 0 em (W,p(x) 0 ()). Correspondentemente, se g 0 em (W,p(x) 0 ()), então denotemos g 0 em (W,p(x) 0 ()). Definição 2.. Dizemos que u W,p(x) () é uma solução fraca de (2.) se Au = 0 e u é chamada uma super-solução (sub-solução fraca) de (2.) se Au 0 (Au 0) em (W,p(x) 0 ()). Lema 2.2. (Princípio de Comparação). Sejam u,v W,p(x) () satisfazendo Au Av 0 em (W,p(x) 0 ()) e ϕ(x) = min{u(x) v(x), 0}. Se ϕ W,p(x) 0 ()(isto é, u v sobre ), então u v q.t.p. em. Demonstração. Seja = {x : u(x) < v(x)}. Então, 0 Au Av,ϕ = [( u p(x) 2 u v p(x) 2 v)( u v) +d(x)( u q(x) 2 u v q(x) 2 v)(u v)]dx 0, assim, ϕ = 0 q.t.p. em e portanto ϕ = 0 q.t.p. em desde que ϕ W,p(x) 0 (). Conseqüentemente, u v q.t.p. em. Lema 2.3. (ver [0]) Se u W,p(x) () é uma solução fraca de (2.), então u C,α loc (), onde α (0, ) é uma constante. Observação 2.. Para alguma constante positiva p >, T, a e k, seja Derivando, obtemos v(t) = a (e kt e k T p ), t [0,T], (2.2) p v (t) = a k p e k e k T p t, (2.3) p e é facilmente segue que para t [0,T], temos v (t) > 0, v (t) > 0. Portanto, v(t) e v (t) são estritamente crescentes em [0,T]. Além disso, v(t) satisfaz (p )v (t) = k v (t), t (0,T). (2.4)

19 CAPÍTULO 2. UM PRINCÍPIO DO MÁXIMO FORTE Por (2.3), temos e Sejam a T <, b > 0 e v (0) = v (T) = a T k T p > a e k T p T e kt p (2.5) a k T p e k T e kt a p < p T e kt p. (2.6) Então por (2.5) e (2.6) segue que k = b ln a T 2(N ) +. (2.7) T v (0) > e 2(N ) p ( a bt )+ p, (2.8) T e v (T) < e 2(N ) p ( a bt )+ p. (2.9) T 2.3 Resultado Principal Apresentaremos agora, os enuciados dos resultados principais de capítulo, que serão demonstrados logo em seguida em duas etapas, para melhor entendimento: Teorema 2.. Seja u uma super-solução fraca de (2.), u 0 q.t.p. em, e seja u não idêntica a zero em. Então, para algum subconjunto compacto não-vazio K, existe uma constante positiva c tal que u c q.t.p em K. Teorema 2.2. Sejam u como no Teorema 2., x, u C ( {x }) e u(x ) = 0. Se satisfaz a condição de bola interior, então u(x ) > 0, onde γ é o vetor unitário γ normal dentro de sobre x. Demonstração. Seja u 0 um super-solução de (2.) e em que não idêntica a zero em. Provaremos o teorema (2.) em dois passos: Passo: Prova do Teorema 2., no caso em que u C (). Afirmamos que u > 0 em. Suponha o contrário, então podemos encontrar x,x 2 e uma bola aberta B(x 2, 2T) tal que x B(x 2, 2T), u(x ) = 0 e u > 0 em B(x 2, 2T). O raio 2T = x x 2 pode ser escolhido suficientemente pequeno (fixe x, varie x 2 ). Seja a = inf{u(x) : x x 2 = T },

20 CAPÍTULO 2. UM PRINCÍPIO DO MÁXIMO FORTE 2 Então a > 0. Note que u(x ) = 0 desde que u (x) = 0. Quando T 0, temos a 0 e fracamente T 0. Denote Sejam T < e a T Y = {x : T < x x 2 < 2T }, p = p(x ), d = sup{d(x) : x Y }, L = sup{ p(x) : x Y }, b = 8L + 2, k = b ln a T suficientemente pequeno tais que 2(N ) +. (2.0) T e p(x) p ln a T, x Y, (2.) 2 d. (2.2) Sejam p,t,a,k escolhidos como acima, e v(t) a função definida por (2.2). Então ( a ) 3 v (t) <, t [0,T]. (2.3) T Sem perda de generalidade, considere x 2 = 0. Sejam r = x x 2 = x e t = 2T r. Para t [0,T] e r [T, 2T], definido então w (r) = v (t) e w (r) = v (t). w(r) = v(2t r) = v(t), Seja w(x) = w(r) para x Y com x = r, então w C 2 (Y ). A seguir, provaremos que w(x) é uma sub-solução fraca de (2.) em Y. Temos que Segue de (2.4) e (2.) que Por (2.0) e (2.3), div( w(x) p(x) 2 w(x)) = (p(x) )(v (t)) p(x) 2 v (t) N (v (t)) p(x) ln v p(x) x i (t) x i r N (v (t)) p(x). (2.4) r i= (p(x) )(v (t)) p(x) 2 v (t) 2 k (v (t)) p(x). (2.5) 2 k (v (t)) p(x) (v (t)) p(x) ln v (t) N p(x) x i x i r N (v (t)) p(x) r i= (v (t)) p(x) ( 2 k + L ln v (t) N ) r (v (t)) p(x) ( b 2 k + L ln a T N T + L ln( a T )3 N ) r (v (t)) p(x) ( a ). (2.6) T

21 CAPÍTULO 2. UM PRINCÍPIO DO MÁXIMO FORTE 3 Note que v (t) = v(t) v(t), T que juntamente com (2.2), mostra que (v (t)) p(x) ( ln a T ) d(v(t))q(x) ( ln a T d) 0. (2.7) Segue de (2.4)-(2.7) que div( w(x) p(x) 2 w(x)) d(x) w(x) q(x), isto é, w(x) é uma sub-solução de (2.) em Y. Note que w u sobre Y. Pelo Lema2.2, obtemos w u em Y. Assim, u(x + s(x 2 x )) u(x ) lim s 0 + s w(x + s(x 2 x )) w(x ) lim s 0 + s contradizendo o fato que u(x ) = 0, o que finaliza a etapa. = v (0) > 0 Etapa 2. Prova do Teorema 2. para uma super-solução fraca geral u W,p(x) (). Seja 0 = {x : B(x,ǫ) }, tal que u = 0 q.t.p em B(x,ǫ), seja + = \ 0. Lema 2.4. Para x 0 +, existe B(x,ǫ) e uma constante positiva c tal que u c, q.t.p. em. Prova. Seja x 0 +, então existe B(x 0, 2ǫ) tal que u é não identicamente nula sobre B(x 0, 2ǫ). Considere o problema Aw = 0 em B(x 0, 2ǫ), w = u sobre B(x 0, 2ǫ). (2.8) Então pelo Lema 2. (2.8) tem uma única solução w. Conseqüentemente w C,α loc (B(x 0, 2ǫ)). Pelo Lema 2.3, w é não identicamente nula em B(x 0, 2ǫ) pois w é não identicamente nula sobre B(x 0, 2ǫ). Aplicando o princípio da comparação para w e v 0, concluímos que w 0 em B(x 0, 2ǫ). Pela etapa, w > 0 em B(x 0, 2ǫ). Assim existe c > 0 tal que w c em B(x 0, 2ǫ). Conseqüentemente, u c q.t.p. em B(x 0, 2ǫ) pela aplicação do princípio da comparação para w e u em B(x 0, 2ǫ). Lema = φ, isto é, = +. Prova. Obviamente, 0 é aberto e 0 pois u é não identicamente nula em. Se ω 0 φ, então existe x e uma bola B = B(x 0,ǫ) tal que u > 0 q.t.p.

22 CAPÍTULO 2. UM PRINCÍPIO DO MÁXIMO FORTE 4 em B pelo Lema 2.4, especificamente, u > 0 q.t.p. em B 0 ; que contradiz a definição de 0. Agora, podemos terminar a etapa 2, pelo Lema 2. e Lema 2.2. De fato, para qualquer compacto não-vazio K, existem finitas bolas abertas B i, i =, 2,...,m, tais que K m i=b i e u c i q.t.p. em B i, onde c i são constantes positivas. Seja c = min{c i : i =, 2,...,m}, então u c q.t.p. em K. Logo, o Teorema 2.. está provado. Prova do Teorema 2.2. Escolha T > 0 suficientemente pequeno. Seja x 2 = x + 2Tγ, então B(x 2, 2T), x B(x 2, 2T). Denote Y = {x : T < x x 2 < 2T }, nós escolhemos 0 < a < inf{u(x) : x x 2 = T } e considere a tão pequeno quanto se queira, da mesma maneira que a etapa da prova de Teorema 2., existe uma sub-solução w C Y de (2.) em Y e w satisfaz: w u em Y, w(x ) = 0, w(x ) > 0. Conseqüêntemente γ u(x ) γ > w(x ) γ > 0.

23 Capítulo 3 Um Problema Quase-Linear de Autovalor 3. Introdução Um dos problemas de grande importância em Equações Diferenciais Parciais é o estudo do Espectro do Laplaciano no Espaço de Sobolev H0(). Mais precisamente, dado um domínio de R n, devemos estudar o problema de autovalor { u = λu em (3.) u = 0 em ou seja, encontrar valores de λ e funções u 0,u H 0(), que satisfaçam (3.). Segue-se da Teoria Espectral de Operadores Compactos e Auto- Adjuntos que existe uma sequência de autovalores 0 < λ < λ 2 λ 3..., λ j e tal sequência é exatamente o espectro de. Além disso, segue-se do Princípio do Máximo que se designarmos por ϕ,ϕ 2,ϕ 3,... as autofunções correspondentes, temos que ϕ é a única que possui sinal definido e λ é simples, isto é, seu autoespaço possui dimensão igual a um. Tem-se, também, que (ϕ j ) j N constitui uma base ortonormal hilbertiana em H0(), ou seja, ϕ i ϕ j = 0, se i j ϕ i 2 =, se i = j Este é o caso isotrópico. O caso anisotrópico: { u = λa(x)u em u = 0 em também tem sido estudado por Manes-Micheletti [2] e Hess-Kato [5]. (3.2) 5

24 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 6 Neste capítulo, estaremos interessados na existência da solução fraca em W,p(x) 0 () para o seguinte problema de autovalor não-linear, dado por: p(x) u = λ u q(x) 2 u em, (3.3) u = 0 em em que R n (n 3) é um domínio limitado e suave, λ 0 é um parâmetro real e p,q C(), onde p(x) denota o operador p(x) Laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div( u p(x) 2 u) Estudaremos o problema (3.3) considerando a hipótese < min x q(x) < min x p(x) < maxq(x) (3.4) x O principal resultado deste capítulo estabelece a existência de uma família contínua de autovalores do problema (3.3). Mais precisamente, mostraremos que existe λ > 0, tal que todo λ (0,λ ) é um autovalor para o problema (3.3). 3.2 Propriedades do Operador p(x)-laplaciano Daqui por diante, denotaremos E = W,p(x) 0 (). Teorema 3.. O funcional I : E R definido por I(u) = p(x) u p(x) dx é de classe C (E, R). Demonstração. Para demonstrar que o funcional I é de classe C (E, R), basta mostrar que a derivada de Gateuax de I existe e é contínua. Existência da derivada de Gateaux: Sejam u,v E. Dados x e 0 < t <, considere g : [0, ] R contínua e derivável em (0, ), definida por g(s) = u + st v p(x). Pelo teorema do valor médio de Lagrange, existe λ(x,t) = λ (0, ) tal que Notemos que g (λ) = g() g(0) 0 g p(x) t v( u + st v) (s) = p(x) u + st v u + st v = p(x)t u + st v p(x) 2 ( u + st v) v.

25 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 7 Portanto, g() g(0) 0 = g (λ) = p(x)t u + λt v p(x) 2 ( u + λt v) v, (3.5) o que implica que λt v p(x) u p(x) p(x)t = u + λt v p(x) 2 ( u + λt v) v. (3.6) Observe que h := u + λt v p(x) 2 ( u + λt v) v u p(x) 2 u v, quase sempre em,(3.7) quando t 0 Notemos que Como temos que h u + λt v p(x) v ( u + v ) p(x) v. (3.8) u, v L p(x) (). ( u + v ) p(x) L p(x) p(x) (). Aplicando a desigualdade do tipo Hölder, obtemos ( u + v ) p(x) v dx = C ( u + v ) p(x) p(x) v p(x) <. p(x) Portanto, ( u + v ) p(x) v L (). (3.9) Logo, utilizando (3.5) a (3.9) e o Teorema da Convergência Dominada, teremos I (u)v = lim ( u + λt v t 0 p(x) 2 ( u + λt v) v)dx u + λt v = lim t 0 p(x) u p(x) dx p(x)t = u p(x) 2 u v dx.

26 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 8 Continuidade da derivada de Gateaux: Consideremos {u n } E, tal que u n u em E, desse modo, u n u em (L p(x) ()) N (3.0) De acordo com o teorema., existe uma subseqüência, ainda denotada por {u n }, e uma função g L p(x) (), tais que Por (3.), ocorre que: u n (x) u(x) quase sempre em, (3.) u n g, quase sempre em (3.2) u n (x) u(x), q.t.p. em (3.3) Para todo v E, temos I (u n ) I (u),v = I (u un )v = Consideremos u n p(x) 2 u n v dx u p(x) 2 u v dx ( u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u) v dx u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u v dx. (3.4) f n = u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u v, n N. (3.5) Portanto, f n u n p(x) 2 u n + u p(x) 2 ( u) u n p(x) + u p(x), n N. (3.6) Observando que: onde q(x) = u n p(x) + u p(x) L q(x) (), p(x). De (3.6), concluímos que p(x) {f n } L q(x) () Pela desigualdade de Hölder em (3.4), temos I (u n ) I (u),v u n p(x) 2 u n v dx I (u n )v f n v dx C f n q(x) v p(x) C f n q(x) v, u p(x) 2 u v dx

27 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 9 de onde segue que Usando agora (3.) e (3.3) em (3.5), temos ou seja, I (u n ) I (u) C f n q(x). (3.7) f n : u n p(x) 2 u n u p(x) 2 u u p(x) 2 u u p(x) 2 u = 0, Por (3.2) e (3.6), obtemos Daí, Portanto, f n (x) 0 quase sempre em (3.8) f n (x) g(x) p(x) + u(x) p(x ) quase sempre em. f n (x) q(x) ( g(x) p(x) + u(x) p(x )) q(x) 2 q(x) ( g(x) p(x) + u(x) p(x )). f n (x) q(x) 2 q+ (g(x) p(x) + u(x) p(x )) L (), quase sempre em.(3.9) De (3.8), (3.9) e usando o Teorema da Convergência Dominada, ocorre que f n (x) q(x) 0, quando n. Assim, pela proposição.7, tem-se Desse fato e de (3.7), temos f n q(x) 0, quando n. I (u n ) I (u) 0, quando n, ou seja, a derivada de Gateaux I é contínua. Teorema 3.2. O funcional G : E R, definido por G(u) = q(x) u q(x) dx é de classe C (E, R).

28 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 20 Demonstração. Para mostrar que o funcional G é de classe C (E, R) podemos proceder de modo análogo, com no Teorema (3.). Existência da derivada de Gateaux: Sejam u, v E, x e 0 < t <. Considere a função f : [0, ] R contínua e derivável em (0, ), definida por f(s) = u + stv q(x). Pelo Teorema do Valor Médio, existe λ(x,t) = λ (0, ), tal que Observe que f (λ) = f() f(0). 0 f (s) = q(x) u + stv q(x) tv(u + stv) u + stv f (s) = q(x)t u + stv q(x) 2 (u + stv)(v). Logo, f() f(0) 0 = q(x)t u + λtv q(x) 2 (u + λtv)(v), ou seja, u + stv q(x) u q(x) q(x)t = u + λtv q(x) 2 (u + λtv)(v). (3.20) Note que Observe que h := u + λtv q(x) 2 (u + λtv)(v) u q(x) 2 uv, quando t 0. (3.2) Desde que u, v L p(x) (), temos Pela desigualdade de Hölder, segue que h u + λtv q(x) v ( u + v ) q(x) v. (3.22) ( u + v ) q(x) L p(x) q(x) () Assim, ( u + v ) q(x) v dx C ( u + v ) q(x) p(x) v p(x) <. q(x) ( u + v ) q(x) v L (). (3.23)

29 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 2 De (3.2) - (3.23) e usando o Teorema da Convergência Dominada, temos G (u) = lim t 0 q(x)t ( u + tv q(x) u q(x) )dx = lim u + λtv t 0 q(x) 2 (u + λtv)v dx = u q(x) uv dx. Continuidade da derivada de Gateaux: Consideremos {u n } E, tal que u n u em E, de acordo com o teorema (ver), existem uma subseqüência, ainda denotada por {u n }, e uma função g L p(x) () tais que e Logo, por (3.24), temos u n (x) u quase sempre em, (3.24) u n h(s), quase sempre em. (3.25) u n (x) u, quase sempre em. (3.26) Para todo v E, tem-se < G (u n )v G (u),v > = = Definindo u n q(x) 2 u n v dx u q(x) 2 uv dx ( u n q(x) 2 u n u q(x) 2 u)v dx u n q(x) 2 u n u q(x) 2 u v dx. (3.27) g n = u n q(x) 2 u n u q(x) 2 u v, n N, (3.28) tem-se g n u n q(x) u q(x), n N. (3.29) Note que u n q(x) + u q(x) L p(x) q(x) () e de (3.29) segue que {g n } L p(x) q(x) ().

30 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 22 Utilizando a desigualdade de Hölder em (3.27), obtemos G (u n ) G (u),v u n q(x) 2 u n u q(x) 2 u v dx, g n v dx Portanto, concluímos que C g n p(x) v p(x). q(x) G (u n ) G (u) C g n p(x) q(x) (3.30) Usando (3.24),(3.26) e (3.28), obtemos Portanto, Por (3.26) e (3.29), temos Daí, Logo, g n := u n q(x) 2 u n u q(x) 2 u 0. g n (x) 0 quase sempre em. (3.3) g n (x) h(x) q(x) + u(x) q(x) quase sempre em. [g n (x)] p(x) q(x) [ g n (x) q(x) p(x) + u(x) q(x) ] q(x) 2 p(x) ( q(x) gn (x) q(x) + u(x) q(x)). [g n (x)] p(x) q(x) L (), quase sempre em (3.32) Utilizando de (3.30)-(3.3) e o Teorema da Convergência Dominada, obtemos [g n (x)] p(x) q(x) dx 0 quando n. Desse modo, pela Proposição.7, ocorre g n p(x) q(x) 0 quando n. Desse fato e (3.30), obtemos G (u n ) G (u) 0, quando n

31 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 23 e isto conclue a continuidade da derivada de Gateaux G. Se definirmos L := I : E E, então (L(u),v) = u p(x) 2 u v dx, para todo u,v E. Vamos estudar agora, algumas propriedades interessantes e úteis desse operador com intuito de obtermos solução fraca para o problema (3.3). Teorema 3.3. O operador L : E E é: (a) contínuo; (b) limitado; (c) estritamente monótono, isto é, (L(u) L(v),u v) > 0, u,v E, com u v; (d) do tipo S +, isto é, se u n u e lim (L(u) L(v),u v) 0, n então u n u em E; (e) um homeomorfismo. Demonstração. (a) Como (L(v),v) = (I (u),v), para todos u,v E, temos que L é contínua devido a continuidade da derivada de Gateaux de I. (b) Considere B E um conjunto limitado. Portanto, existe K > 0 tal que Se u B e v E, então, (L(u),v) = u p(x) 2 u v dx (L(u),v) Pela desigualdade de Hölder em (3.34), temos: u K, para todo u B. (3.33) u p(x) v dx (3.34) (L(u),v) C u p(x) p(x) p(x) v p(x) = C g p(x) v p(x). p(x) Portanto, L(v) C g p(x), u B (3.35) p(x)

32 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 24 onde g = u p(x). Desde que u p(x) u K, para todo u B, então existe k > 0 tal que g(x) p(x) dx = ( u p(x) ) p(x) p(x) dx = u p(x) k. Portanto, por (3.35), concluímos que L é limitado. (c) Para quaisquer x,y R N, valem as desigualdades (ver apêndice B): 2 x p 2 x y p 2 y,x y 3 p p x y p, se p 2, x y 2 (p ) ( x p + y p ) 2 p, se < p < 2, Considere u, v E, tais que u v. Então, u v. Considere os conjuntos + = {x ; p(x) 2} e = {x ; < p(x) < 2}. A monotonicidade estrita de L segue fazendo x = u e y = v nas desigualdades acima e integrando sobre + ou, conforme seja p(x) 2 ou < p(x) < 2, respectivamente. (d) Se u n u e lim n (L(u n ) L(u),u n u) 0, então Se p(x) 2, então lim (L(u n) L(u),u n u) = 0. n + u n u p(x) dx (L(u n ) L(u),u n u) 0, quando n. Se < p(x) < 2, então utilizando a desigualdade tipo Hölder, ocorre C 2 u n u p(x) dx = C 2 onde u n u p(x) ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 dx C g n 2 h n 2. (3.36) p(x) 2 p(x) e g n := u n u p(x) ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2 h n := ( u n + u ) p(x)(2 p(x)) 2

33 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 25 Desde que u n u em E, então (u n ) é limitada. Portanto, existe uma constante C 3 > 0 tal que u n p(x) dx C 3. Assim, 2 ρ 2 (h n ) = h n 2 p(x) dx = ( u n + u ) 2 p(x) p(x) dx (3.37) ) 2 ( p+ u n p(x) dx + u p(x) dx C 4. (3.38) Temos também ρ 2 (h n ) = g n 2 p(x) dx C5 (L(u n ) L(u),u n u) 0, quando n. (3.39) p(x) Usando (3.37) e (3.39) em (3.36), obtemos u n u p(x) dx 0, quando n Portanto, u n u p(x) dx = u n u p(x) dx + + u n u p(x) dx 0. Logo, pela Proposição.7, temos o que implica (u n u) p(x) 0. u n u 0. (e) Como L estritamente monótona, então L é injetivo. Suponhamos que u p(x) >. Pela Proposição.5, temos u p(x) dx u p p(x) (3.40) Pela desigualdade de Poincaré, existe uma constante C > 0, tal que u p(x) C u (3.4) Por (3.40) e (3.4), segue que (L(u),u) u = u p(x) 2 u v dx u

34 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 26 = u p(x) u u p p(x) u Cp u p p(x) u C u p p(x). Portanto, (L(u),u) lim u u =, (3.42) ou seja, L é coercivo. Usando essa última propriedade, a continuidade e a monotonicidade de L, concluímos que L é sobrejetivo. Dessa forma, existe o operador inverso L : E E. (3.43) Vamos demonstrar que L é contínuo. Seja {g n } E, tal que g n g em E. Considere u n = L (g n ) e u = L (g). Desde que L é uma bijeção, ocorre Notemos que L(u n ) = g n e L(u) = g (3.44) (L(u n ),u n ) u n = = u n p(x) 2 u n u n dx u n u n p(x). u n Pela limitação {g n } e por (3.42), concluímos que {u n } é limitada em E. Sendo E um Espaço de Banach reflexivo, então a menos de subseqüência podemos supor Notemos que u n u 0. (L(u n ) L(u 0 ),u n u 0 ) = (g n,u n u 0 ) (L(u 0 ),u n u 0 )

35 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 27 Por outro lado, temos (g n,u n u 0 ) = (g n g,u n u 0 ) + (g,u n u 0 ) Mas, g n g e u n u 0, de onde segue que Como L é do tipo (S + ), temos Sendo L contínua, temos Por (3.44), obtemos lim (L(u n) L(u 0 ),u n u 0 ) = 0 n u n u 0 (3.45) L(u n ) L(u 0 ) L(u) = L(u 0 ) Desde que L é injetivo, temos u = u 0. Portanto, de (3.45) temos u n u em E, mostrando que L é contínuo, assim concluímos que L é um homeomorfismo. Observação 3.. Pelos Teoremas 3. e 3.2, o funcional energia J λ : E R, definido por J λ (u) = p(x) u p(x) dx λ q(x) u q(x) dx. é de classe C (E, R), com J λ(u)v = u p(x) 2 u vdx λ u q(x) 2 uvdx, u,v E Dessa forma, as soluções fracas de (3.3) são os pontos críticos de J λ. Lema 3.. Existe λ > 0 tal que para todo λ (0,λ ) existem ρ, a > 0 tais que J λ (u) a para todo u E com u = ρ. Demonstração Desde que q(x) < p (x) para todo x, temos que E está imerso continuamente em L q(x) (). Assim, existe uma constante positiva C, tal que u q(x) C u, u E. (3.46) Fixemos ρ (0, ), tal que ρ < C, Esta condição implica que u E, u = ρ

36 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 28 então u q(x) C u = C ρ < (3.47) Além disso, pela relação (.6), temos ρ q(x) (u) = u q(x) dx u q q(x), u E, u = ρ (3.48) De (3.46) e (3.48), obtemos u q(x) dx u q q(x) C q u q, u E, u = ρ (3.49) De (.6) e (3.49), teremos que, para cada u E, u = ρ, J λ (u) = p(x) u p(x) dx λ q(x) u q(x) dx p + p + p + u p(x) dx λ u p(x) dx λ q q u q(x) dx u q(x) dx u p(x) dx λ q C q u q Agora, observamos que u = u p(x) < e da relação (.6) tem-se u = u p(x) < e ρ p(x) ( u ) u p+ p+ p(x) = u Portanto, Definamos J λ (u) p + u p + λ q C q u q = p +ρ p + λ q C q ρ q ( = ρ q p +ρ p + q λ q C q ) λ = ρ p + q 2p + q C q (3.50) Observando que, em virtude da condição (3.4), temos p + > q. Então, para λ < λ, teremos λ < ρ p + q q 2p + λc q q < ρ p + q 2p + C q < ρ p + q p +

37 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 29 Assim, ρ p + q p + λcq q > 0 Portanto, tomando a = ρ p+ 2p > 0, teremos para λ + (0,λ ), u = ρ. ( J λ (u) ρ q p +ρ p + q λ ) q C q ( = ρ q p +ρ p + q ρ p + q q 2p + = ρ q 2p +ρ p + q O que conclui a demonstração do Lema 2.. = ρp+ 2p + = a > 0 C q Cq q Lema 3.2. Existe φ E tal que φ 0 e φ 0 e J λ (tφ) < 0 para t > 0 suficientemente pequeno. Demonstração. A hipótese (3.4) nos afirma que < min x q(x) < min x p(x) < maxq(x) x o que implica que q < p. Considere ε 0 > 0 tal que q + ε 0 < p. Por outro lado, desde que q C(), segue-se que existe um conjunto aberto 0, tal que 0 e q(x) q < ε 0, x 0. Assim, ε 0 < q(x) q < ε 0, x 0 desse modo: q ε 0 < q(x) < q + ε 0, x 0 q(x) < q + ε 0 < p, x 0 Seja φ Cc (), tal que supp(φ) 0, φ =, x 0 e 0 φ(x), em. Para t (0, ), temos J λ (u) = p(x) u p(x) dx λ q(x) u q(x) dx t p(x) = p(x) u t q(x) p(x) dx λ q(x) u q(x) dx tp u p(x) +ε 0 dx λ tq u q(x) dx p q 0 ) Para J λ (u) < 0, devemos ter t p p u p(x) dx λ tq +ε 0 q + 0 u q(x) dx < 0

38 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 30 t p p t p t q +ε 0 < t p q ε 0 < Desde que p q ε 0 > 0, ocorre Definindo t < u p(x) +ε 0 dx < λ tq q + λp u q q(x) dx + 0 u p(x) dx λp u q q(x) dx + 0. u p(x) dx λp u q q(x) dx + 0 u p(x) dx 0 < δ < min, λp 0 u q(x) dx p q ε 0 u q q(x) dx + 0, u p(x) dx p temos que, J λ (u) < 0 para t < δ q ε 0. Observemos que u p(x) dx > 0. De fato, é claro que 0 u q(x) dx u q(x) dx. u q dx Por outro lado, W,p(x) 0 () está imerso continuamente em L q () e, assim, existe uma constante C 2 > 0 tal que φ q = C 2 φ. Esta desigualdade nos diz que φ > 0. (a) Se φ >, pela relação (.6), temos < φ p p(x) ρ p(x) ( φ) = (b) Se φ <, pela Proposição.6, ocorre: φ p+ ρ p(x) ( φ) = φ p(x) dx. φ p(x) dx.

39 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 3 Logo, φ p(x) dx > 0 concluindo, assim, a demonstração do lema. Definição 3.. Dizemos que λ R é um autovalor do problema (3.3) se existir u, p(x) W0 () \ {0} tal que u p(x) 2 u vdx λ u q(x) 2 uvdx = 0, (3.5), p(x) para todo v W0 (). Observemos que se λ for um autovalor do problema (3.3), então, p(x) a função correspondente u W0 () \ {0} é uma solução fraca de (3.3). Temos o seguinte resultado central desse capítulo: Teorema 3.4. Suponhamos que condição (3.4) seja satisfeita, max p(x) < N e q(x) < p (x), x x Então existe λ > 0 tal que todo λ (0,λ ) é um autovalor do problema (3.3). Esse Teorema implica que u p(x) dx inf, p(x) u W0 \{0} u q(x) dx = 0, p(x) de onde segue-se que dado qualquer C > 0, existe u 0 W0 () tal que C u 0 q(x) dx u 0 p(x) dx Demonstração. Seja λ definido em (3.50). Pelo Lema 3., existe uma bola centrada na origem, B ρ (0) tal que inf J λ > 0. B ρ(0) Por outro lado, pelo Lema 3.2, existe φ E tal que J λ (tφ) < 0 para t > 0 suficientemente pequeno. Já sabemos que u B ρ (0), teremos Como p + > q, segue-se que J λ (u) p + u p+ λ q Cq u q. < C = inf J λ < 0. B ρ(0)

40 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 32 Tomemos ε > 0 satisfazendo ǫ < inf J λ inf J λ (3.52) B ρ(0) B ρ(0) Aplicando o Princípio Variacional de Ekeland (ver Apêndice C) ao funcional encontramos u ǫ B ρ (0) tal que e Desde que J λ (u ǫ ) concluimos que u ǫ B ρ (0). Agora definimos Como J λ : B ρ (0) R, J λ (u ǫ ) < inf J λ + ǫ B ρ(0) J λ (u ǫ ) < J(u) + ǫ u ǫ u, u u ǫ. inf J λ + ǫ < inf J λ < J λ (u), u B ρ (0), B ρ(0) B ρ(0) I λ tem-se que u ǫ é ponto mínimo de I λ. Assim, I λ (u ǫ + tv) I λ (u ǫ ) t A relação acima implica que : B ρ (0) R I λ (u) = J λ (u) + ǫ u u ǫ. J λ (u ǫ ) < J(u) + ǫ u u ǫ J λ (u ǫ ) + u ǫ u ǫ < J(u) + ǫ u u ǫ I λ (u ǫ ) < J(u) + ǫ u u ǫ, u u ǫ, 0, se t > 0 for pequeno, para todo v B (0). J λ (u ǫ + tv) ǫ u ǫ + tv u ǫ J λ (u ǫ ) ǫ u ǫ u ǫ 0, t J λ (u ǫ + tv) J λ (u ǫ ) + ǫ v 0. t Fazendo t 0, segue-se que J λ(u ǫ ),v + ǫ v 0, J λ(u ǫ ), v + ǫ v 0, J λ(u ǫ ),v + ǫ v 0 J λ(u ǫ ),v ǫ v.

41 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 33 Assim, J λ (u ǫ),v v ǫ. Portanto, J λ(u ǫ ) E = sup J λ (u ǫ),v v ǫ. Dessa forma, tomando ǫ n encontramos uma seqüência (w n) B ρ (0), tal que J λ (w n ) C e J λ(w n ) 0. (3.53) Desde que w n B ρ (0), temos que (w n ) é limitada em E. Assim, existe w E, tal que w n w em E. Desde que q(x) < p (x), x, E está imerso compactamente em L q(x) () e, assim, a menos de subseqüência, w n w em L q(x) (). Observemos que w n q(x) 2 w n (w n w)dx = w q(x) 2 w n (w n w) dx w n q(x) (w n w)dx. Pela desiguladade de Hölder, temos w n q(x) 2 w n (w n w)dx C w q(x) w q (x) n w onde Desde que w q(x) q (x) q(x) + q (x) = q(x) = q(x) q(x) { = inf λ > 0; w q(x) λ q (x) dx temos que w q(x) q (x) é limitada por uma constante e w n w q(x) 0, }, concluímos que w n q(x) 2 w n (w n w)dx 0.

42 CAPÍTULO 3. UM PROBLEMA QUASE-LINEAR DE AUTOVALOR 34 A relação (3.53) implica que J λ(w n ),w n w = w n p(x) 2 w n (w n w)dx λ de onde concluímos que lim n w n q(x) 2 w n (w n w)dx. w n p(x) 2 w n (w n w)dx = 0 (3.54) Sabemos que para quaisquer x,y R N, vale a desigualdade seguinte (ver apêndice A): x p 2 x y p 2 y,x y C x y p, se p 2. Pondo x = w n e y = w na desigualdade acima, temos wn p 2 w n w p 2 w, w n w C (w n w) p(x) wn p 2 w n, (w n w) w n p 2 w, (w n w) C (w n w) p(x) Integrando ambos os membros, obtemos: ( w n p 2 w n (w n w) w p 2 w, (w n w))dx C (w n w) p(x) dx (3.55) Desde que w n w em E, temos w p 2 w (w n w) 0, logo Portanto, ρ p(x) ( (w n w)) Pela Proposição.7, ocorre que donde (w n w) p(x) dx 0. (w n w) p(x) 0 w n w p(x) 0. Logo, w n w em E. Pela relação (3.53), segue que (w n w) p(x) dx 0. J λ (w) = C e J λ(w) = 0. (3.56) Assim, concluímos que w é solução fraca não-trivial do problema (3.), mostrando que Assim, todo λ (0,λ ) é autovalor de (3.).

43 Capítulo 4 Um Problema Singular via Método Topológico 4. Introdução Neste capítulo, estudaremos a existência de solução fraca em W,p(x) 0 () para o seguinte problema singular elíptico proposto por Corrêa, Costa e Figueiredo [6]: p(x) u = h(x) u + γ(x) k(x)uα(x) em, u > 0 em, u = 0 em, (4.) onde R N (N 3) é um domínio limitado, p,h,k,α e γ C() e p(x) designa o operador p(x) laplaciano, o qual é definido por p(x) u = div( u p(x) 2 u). Aqui, usaremos o seguinte resultado devido a Rabinowitz: [6] Proposição 4.. Considere um espaço de Banach X e T : R + X X uma aplicação contínua e compacta tal que Então a equação T(0,u) = 0, para todo u X. u = T(λ,u), possui um conjunto conexo, fechado e não limitado C R + X de soluções com (0, 0) C Os resultados aqui apresentados são generalizações daqueles para o problema de Dirichlet envolvendo o operador p laplaciano. No que segue, denotemos C + () = {h; h C(),h(x) >, h C()}, h + = max x h(x) e h = minh(x), h C(). x 35

44 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO Hipóteses sobre as funções p(x), γ(x), α(x), h(x) e k(x) Ao longo desse capítulo assumiremos as seguintes hipóteses preliminares: (H ) h,k C(), h,k 0 em, h,k 0 em (H 2 ) α, γ C(), 0 < α(x),γ(x) <, x (H 3 ) r C + () é uma função satisfazendo r(x) + p (x) onde p (x) é o expoente crítico de Sobolev. <, (H 4 ) < r(x) < p (x) em. (H 5 ) α + < p. A condição (H 5 ) é natural, pois quando α e p são constantes a condição usada é (H 6 ) α(x) + < p (x), x. 0 < α < p As hipóteses (H 3 ) e (H 4 ), não são imcompatíveis, por exemplo, suponha que r(x) + p (x) Realmente, se r(x) < p (x), temos Assim, r(x) + p (x) p (x) o que mostra que (H 4 ) implica em (H 3 ). 4.3 Existência de Solução < < e r(x) > 2 em. < r(x). r(x) + r(x) = 2 r(x) <, x, Nesta seção, discutiremos a existência de solução fraca para o problema (4.). Definição 4.. Dizemos que u E é uma solução fraca do problema { p(x) u = f(x,u), x, u = 0, x. Se u p(x) 2 u v dx = f(x,u)v dx, v E. (4.2)

45 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 37 Proposição 4.2. Se f(x,u) = f(x), f L r(x) (), onde r(x) C + () é tal que r(x) + p (x) <, para qualquer x, então, o problema (4.2), tem uma única solução fraca. Demonstração. Considere o funcional g : E R definido por g(v) = f(x)v dx. É claro que g é linear. Mostraremos agora que g é contínuo. Considere β C + (), tal que r(x) + β(x) =, x. Assim β(x) = r(x) r(x) por hipótese, temos β(x) >, para x. p (x) Portanto, β(x) < p (x), x. Pelo Teorema., a imersão E L β(x) () é contínua, então existe C > 0 tal que v β(x) C v, v E. (4.3) Pela desigualdade de Hölder, sendo g(v) = f(x)v dx C f r(x) v β(x) (4.4) C = r + β.

46 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 38 Por (4.3) e (4.4), temos o que demonstra que g é contínua. g(v) C 2 v, v E, Como g E e L é um homeomorfismo, então existe um único u E tal que u p(x) 2 u v dx = f(x) v dx, v X, isto é, o problema (4.) possui uma única solução fraca. As três próximas proposições estabelecem alguns resultados relativos ao Princípio para a equação envolvendo o p(x) Laplaciano, que se encontram no capítulo anterior. Proposição 4.3. (Princípio da Comparação.) Sejam u, v E satisfazendo u p(x) 2 u ϕdx v p(x) 2 v ϕdx, para qualquer ϕ E, ϕ > 0 em. Seja Ψ(x) = min{u(x) v(x), 0}. Se Ψ E então u v em. Proposição 4.4. Considere u E uma função que satisfaça u p(x) 2 u ϕdx 0, ϕ W,p(x) 0 (), ϕ > 0 em, u 0 em e u 0. Então, para qualquer subconjunto compacto K, existe uma constante positiva C = C(K) tal que u C em K. Proposição 4.5. Sejam u como na Proposição 4.4, x, u C ( {x }) e u(x ) = 0. Se satisfaz a condição de bola interior em x, então u > 0, onde η é um η vetor unitário normal interior em x. Proposição 4.6. Seja S uma aplicação, definida por S : R + L r(x) () (λ,u) W,p(x) 0 () v = S(λ,u), onde v é a única solução do problema [ ] h(x) p(x) v = λ + k(x) u α(x) ( u +ǫ) γ(x) v = 0 Então S é uma aplicação contínua. em. em,

47 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 39 Demonstração. Seja (λ n,u n ) R + L r(x) (), tal que λ n λ em R + e u n u em L r(x) (). Fixando v n = S(λ n,u n ), teremos v n v em L r(x) (). Pela definição de S, obtemos p(x) v n e p(x) v [ ] h(x) = λ ( u n +ǫ) + k(x) u γ(x) n α(x) v n = 0 em. [ ] h(x) = λ + k(x) u α(x) ( u +ǫ) γ(x) v = 0 em. em, em, (4.5) (4.6) Usando v n v como função-teste em (4.5) e (4.6), obtemos pela definição de solução fraca: [ ] v n p(x) 2 h(x) v n (v n v)dx = λ n ( u n + ǫ) + k(x) u n α(x) (v γ(x) n v)dx e [ ] v p(x) 2 h(x) v n (v n v)dx = λ + k(x) u α(x) (v ( u + ǫ) γ(x) n v)dx Subtraindo as equações anteriores, temos [ vn p(x) 2 v n (v n v) v p(x) 2 v n (v n v) ] dx [ ] h(x) = λ n ( u n + ǫ) + k(x) u n α(x) (v γ(x) n v)dx [ ] h(x) λ + k(x) u α(x) (v ( u + ǫ) γ(x) n v)dx isto é, vn p(x) 2 v n v p(x) 2 v, v n v dx = [ ] h(x) λ n ( u n + ǫ) + k(x) u n α(x) (v γ(x) n v)dx [ ] h(x) λ + k(x) u α(x) (v ( u + ǫ) γ(x) n v)dx

48 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 40 na desigualdade do Apêndice A, Fazendo x = v n e y = v, ocorre que [ ] C p v n v p(x) h(x) C ( u n + ǫ) h(x) (v γ(x) ( u + ǫ) γ(x) n v)dx +C k(x)[ u n α u α ](v n v)dx. Usando a desigualdade de Hölder e o teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, obtemos Se v n v em E, então v n v em L r(x) () o que conclui a prova. Teorema 4.. Considere as hipóteses (H ) (H 6 ). O problema (4.) possui uma solução fraca. Demonstração. Começaremos a prova, considerando o seguinte problema auxiliar: p(x) v = h(x) + k(x) u α(x) em, ( u +ǫ) γ(x) (4.7) u = 0 em, onde 0 < ǫ < é um número fixo. Afim de aplicar aplicarmos a Proposição (4.). Consideremos o seguinte problema [ ] h(x) p(x) v = λ + k(x) u α(x) em, ( u +ǫ) γ(x) v = 0 em, Para cada u L r(x) (), onde λ 0 é um parâmetro real. Observe (4.8) v L r(x) ()então u α(x) L r(x) α(x) () h(x) h(x) r(x) 0 L ( u + ǫ) γ(x) ǫγ(x) α(x) () Devido a hipótese (H 3 ), o problema (4.7) possui uma única solução v W,p(x) 0 (). Usando a Proposição 4., consegue-se uma componente C de soluções (λ,u) R + L r(x) () de u = S(λ,u), (observe que S(0,u) = 0), isto é, p(x) u [ = λ ] h(x) + k(x) u α(x) ( u +ǫ) γ(x) em, u = 0 em. Pela Proposição 4.4, temos u > 0 em e [ ] p(x) u = λ h(x) + k(x) u α(x) (u+ǫ) γ(x) em, u = 0 em. (4.9)

49 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 4 Agora, iremos mostrar que a componente C é não-limitada com respeito a λ 0. Suponha que isso não aconteça, ou seja, existe λ > 0 tal que se (λ,u) C então 0, λ λ. Assim, usando u como função-teste na equação (4.9), temos Notemos que u dx = h [ ] h(x) λ + k(x) u α(x)+ (u + ǫ) γ(x) h(x)u dx (u + ǫ) γ(x) u dx ǫ γ+ C u h ǫ udx C u p(x). γ(x) dx dx. Usando a imersão contínua W,p(x) 0 L (), também temos k(x)u α(x)+ k u α(x)+ dx = k ρ α(x)+ (u), e, pela hipótese (H 6 ), temos W,p(x) 0 L α(x)+ () o que nos que u α(x)+ C u p(x). Consideraremos dois casos: (i) Se u α(x)+ > pela Proposição.6, temos ρ α(x)+ (u) = u α+ + α(x)+. (ii) Se u α(x)+ <, ocorre pelo mesmo fato que ρ α(x)+ (u) = u α + α(x)+. Conseqüentemente, [ ] ρ( u) = u p(x) h(x) dx = λ + k(x) u α(x)+ (u + ǫ) γ(x) C u p(x) + C u β+ α(x)+ C u p(x) + C u β+ p(x). Portanto, ρ( u) C( u + u β+ ), onde < β + < 2. Utilizando novamente a Proposição.6, obtemos (a) Se u p(x) > então ρ p(x) ( u) u p p(x). (b) Se u p(x) < então ρ p(x) ( u) u p+ p(x). Conseqüêntemente, u p p(x) C( u p(x) + u β+ p(x) ) dx

50 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 42 ou onde α + = max x u p+ p(x) C( u p(x) + u β+ p(x) ), p(x) < p = minp(x), o que demonstra que u p(x) é limitada. x Desde que W,p(x) 0 L r(x) (), conclui que u p(x) é limitada. Destas considerações, temos que C é não-limitada com respeito ao parâmetro λ e assim C intersecta {} L r(x) () produz uma solução u ǫ W,p(x) 0, satisfazendo p(x) u ǫ = h(x) (u ǫ+ǫ) γ(x) + k(x)u α(x) ǫ em, u ǫ > 0 em, u ǫ = 0 em. no sentido fraco, tomando ǫ = n, u /n = u n, obtemos: ocorre que p(x) u ǫ = u ǫ C h(x) (u ǫ + + k(x)uα(x) n em, )γ(x) n h(x) (u ǫ + + k(x)uα(x) )γ(x) n [ (u n+) γ(x) + u α n n em, ], em, (u n + ) γ(x) (u n + ) γ+ (c) Se u n (x) [u n (x)] α(x) [u n (x)] α (d) Se o < u n (x) < [u n (x)] α(x) [u n (x)] α+ Portanto, existe uma constante m 0 > 0 tal que [ ] C [u n + ] + [u n(x)] α(x) γ(x) m 0 > 0. Seja w W,p(x) 0 a única solução positiva do problema { p(x) w = m 0 > 0 em w = 0 em. Pelo princípio do máximo forte (ver Capítulo 2) u n (x) w(x) > 0, x,

51 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 43 Logo, encontraremos uma sucessão limitada aproximando u n. Argumentando como antes, obtemos u n p(x) h(x) dx = (u n + dx + k(x)un α(x)+ dx. )γ(x) n Por argumentos já utilizados, temos n dx C u n β+, com 0 < β + < 2. k(x)u α(x)+ onde β = α ±. Ocorre também que h(x)u n (u n + C n )γ(x) p(x) u n dx = C (u n ) γ(x) u γ(x) n dx Se u n (x) temos [u n (x)] γ(x) [u n (x)] γ [u n (x)] γ(x). e se u(x) <, ocorre [u n (x)] γ(x) Assim, [u n (x)] γ(x) dx [u n (x)] γ dx + C un γ r(x) γ + C u γ+ n [u n (x)] γ+ dx, r(x) γ +. Com respeito a un γ r(x) (i) Se un γ r(x) γ o que implica que (ii) Se un γ r(x) γ, consideremos dois casos: γ > então r u γ γ n r(x) <, obtemos γ ρ r(x) un γ r(x) γ un γ r(x) γ γ (u γ ( ( n ) = u r(x) n u r(x) n dx ) γ r. u r(x) n dx ) γ r +. Suponhamos que exista n N suficientemente grande tal que (a) un γ > e u n r(x) >. Neste caso, r(x) γ u γ n r(x) γ ( ) γ u r(x) r n dx ( u n r+ r(x) ) γ r u n γ r r + r(x) u n γ r(x).

52 CAPÍTULO 4. UM PROBLEMA SINGULAR VIA MÉTODO TOPOLÓGICO 44 (b) un γ r(x) e u n r(x) <. γ u γ n r(x) γ (c) un γ r(x) < e u n r(x) >. γ un γ r(x) γ ( ( u r(x) n dx u r(x) n dx ) γ r + ) γ r u n γ r r + r(x). u n γ r + r r(x) u n γ r(x). (d) un γ r(x) < e u n r(x) <. podem ser executados os casos relacionados a u de um γ modo análogo. mostraremos isso agora: () u n p(x) < ρ p(x) ( u n ) u n p p(x) e (2) u n p(x) < ρ p(x) ( u n ) u n p+ p(x). Uma situação possível a ser considerada é: u n p p(x) C [ ] u n β+ p(x) + u n γ r(x) + u n γ+ r(x) + C e pela da imersão contínua W,p(x) 0 () L r(x) () obtemos u n p p(x) C [ u n β+ p(x) + u n γ p(x) + u n γ+ p(x) + e porque p > β +, γ, γ + temos que (u n ) é limitada em W,p(x) 0 (). Os outros casos são cumpridos do mesmo modo para obter a limitação de (u n ) em W,p(x) 0 (), talvez para subseqüências. Desde que W,p(x) 0 () é um espaço de Banach reflexivo u n u em W,p(x) 0 (). Considerando ϕ W,p(x) 0 () como função-teste temos u n p(x) 2 h(x)ϕ u n ϕdx = (u n + )γ(x)dx + k(x)un α(x) dx. n Do Teorema. de Sobolev, temos uma subseqüência u n u em L t(x) (), t(x) < p (x). Usando u n u como função-teste e discutindo como na prova da afirmação, temos u n u em W,p(x) 0 (). Assim, devido ao Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, concluímos u n p(x) 2 u n ϕdx u p(x) 2 u ϕdx, e h(x)ϕ (u n + n )γ(x)dx k(x)un α(x) dx h(x)ϕ dx, uγ(x) k(x)u α(x) dx. Portanto, u é solução fraca de (4.2) e a prova do teorema está concluída. ]