Equações Semilineares Elípticas com o Termo Não-Linear Relacionado ao Primeiro Autovalor

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Equações Semilineares Elípticas com o Termo Não-Linear Relacionado ao Primeiro Autovalor Dissertação de Mestrado Juliana da Silva Ricardo Porto Alegre, 4 Março de 05

2 Dissertação submetida por Juliana da Silva Ricardo, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Ciência Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Professor Orientador: Prof. Dr. Leonardo Prange Bonorino Banca examinadora: Prof. Dr. Leonardo Prange Bonorino (IM - UFRGS, ORIENTADOR) Prof. Dr. Álvaro Luiz de Bortoli (IM- UFRGS) Prof a. Dr a. Patrícia Kruse Klaser (IM - UFRGS) Prof. Dr. Paulo Ricardo de Ávila Zingano (IM - UFRGS) Bolsista da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

3 AGRADECIMENTOS Agradeço á Deus, por ter me guiado durante essa trajetória, sempre me mostrando que apesar das dificuldades e desafios, vale apena persistir e seguir em frente com nosso sonho. Á toda minha família. Em especial aos meus queridos pais Luiz Lopes e Maria das Graças e ao meu irmão Ricardo, por todo o apoio que me deram desde do início quando fui estudar em outro Estado, por sempre acreditarem e confiarem em mim. Sem essa ajuda, não teria sido capaz de chegar onde cheguei, com certeza eles são a minha referência e a base de tudo que consegui construir, por eles vale todos os meus esforços. Gostaria de dedicar este trabalho aos meus avôs, Maria e José, Otilia e Luiz, pelo exemplo que foram e são para toda nossa família. Á família do Adilson, por todo o amparo e carinho que tiveram comigo sempre. Aos meus professores da FURG, por todo incentivo e terem me mostrado o quanto vale a pena continuar os estudos. Ao meu orientador Leonardo Prange Bonorino, por todos ensinamentos matemáticos e toda confiança que depositou em mim quando aceitou a orientação. Obrigada pela paciência e disponibilidade durante essa caminhada. Aos membros da banca, pela participação e importantes sugestões. Aos meus colegas da pós, pelos momentos de descontração e por tornarem os dias mais alegres. Em particular, a minha amiga Marília, por dividir todos os momentos comigo, ser essa pessoa tão querida e que posso contar sempre. Em especial agradeço ao meu marido Adilson, não só por termos vivido juntos esse sonho, mas pelo modo como foi vivenciado, com muito apoio e compreensão nos momentos difíceis e de angustia, por fazer essa trajetória mais leve e por todos os momentos felizes que vivemos juntos nessa etapa da nossa vida. À CAPES, pelo apoio financeiro.

4 Resumo Neste trabalho estudamos equações semilineares elípticas onde o termo nãolinear é uma espécie de perturbação da função linear, cujo coeficiente é o primeiro autovalor. Usando técnicas clássicas de minimização e o Teorema do Ponto de Sela, que é uma variante do Teorema do Passo da Montanha, mostramos existência de solução.

5 Abstract In this work we study semilinear elliptic equations where the non-linear term is a kind of linear function perturbation, whose coefficient is the first eigenvalue. Using conventional minimization techniques and the Saddle Point Theorem, which is a variant of the Step Mountain Theorem, we show existence of solution.

6 Sumário Introdução Premilinares 8. Definições Funções mensuráveis e Convergências Espaço de Sobolev Teoria Clássica de EDP Teoria Variacional Teoremas Minimização do funcional φ 6 3. Semicontinuidade inferior fraca Coercividade do Funcional φ Ponto de Sela 4 4. Diferenciabilidade do funcional φ Condição de compacidade Palais - Smale Aplicação do Teorema do Ponto de Sela Referências Bibliográficas 63

7 Capítulo Introdução A partir do século XIX, com Dirichlet e Riemann, introduziu-se uma nova maneira de resolver Equações Diferenciais Parciais. Essa técnica ficou conhecida como Cálculo das Variações e consiste em encontrar pontos mínimos ou, em geral, pontos críticos do funcional associado à Equação Diferencial. O matemático Hilbert foi o pioneiro na utilização do método e provou a existência de solução para um problema de Dirichlet. O objetivo deste trabalho, é mostrar a existência de solução fraca para o seguinte problema de Dirichlet: { u = f(x, u) em (.) u = 0 na, onde R n é um domínio limitado com fronteira suave. Sobre a função f : R R assumiremos as seguintes hipóteses: f : R R é uma função Carathéodory: (i) f(x, t) é mensurável em x, para todo t fixo. (ii) f(x, t) é contínua em t, para todo x fixo. f satisfaz a Condição de crescimento: c 0, tal que f(x, s) c s p + b(x), x e s 0, (.) onde p n, se n 3 e p <, se n =, e a função n b L p (), para p = n n+.

8 Encontrar soluções fracas de (.) é encontrar os pontos críticos do funcional φ : H 0() R, definido por: φ(u) = onde F : R R é dada por: u dx F (x, s) = s 0 F (x, u)dx, (.3) f(x, ξ)dξ. (.4) Note que, no espaço de Sobolev H 0(), o funcional φ está bem definido, devido a condição de crescimento (.) e a desigualdade de Poincaré. Este trabalho foi desenvolvido tomando por referência o artigo publicado por Figueiredo [6], onde serão utilizados dois métodos para encontrar os pontos críticos do funcional (.3): minimização do funcional e o Teorema do Ponto de Sela. Para aplicarmos tais técnicas, precisaremos definir alguns conceitos, a saber: os limites assintóticos: K ± (x) := lim sup s ± F (x, s) s e L ± (x) := lim inf s ± F (x, s) s, as funções : G + : R + R e G : R R, definidas por : F (x, s) = K ±(x)s + G ± (x, s), s > 0 (s < 0) que são perturbarções da parte quadrática envolvendo K ±. E os limites: Γ + (x) := lim sup s + Γ (x) := lim sup s G + (x, s), γ + (x) := lim inf s s + G (x, s), γ (x) := lim inf s s G + (x, s) s G (x, s). s Para uma função dada m(x) : L r () R, r > n,trabalharemos com o problema de autovalor com peso, { u = µj m(x)u em u = 0 na, 3

9 onde µ j = µ j (m(x)), j =,..., denotam os autovalores. A função m(x) é conhecida como função peso. Temos que µ (m(x)) é o primeiro autovalor do problema de autovalor com peso m(x) e seu quociente de Rayleigh satisfaz para todo u H0(): µ (m(x)) u dx m(x)(u) dx. No capítulo deste trabalho serão apresentadas as definições mais gerais e que serão importantes para leitura deste texto. No capítulo 3, trabalharemos com a técnica de minimização do funcional, onde mostraremos que o funcional definido em (.3) tem ponto de mínimo. Para provar esse fato, utilizaremos o seguinte resultado: Teorema (3.): Seja H 0() um Espaço de Hilbert e suponha que φ : H 0() R satisfaça: (i) φ é fracamente semicontínuo inferiormente, ou seja, φ(u) lim inf n + φ(u n ), sempre que u n u fracamente em H0(), (ii) coercivo, ou seja, φ(u) +, sempre que u H 0 () +. Então, φ é limitado inferiormente e existe u 0 H 0() tal que φ(u 0 ) = inf u H 0 () φ(u). Com isso, teremos quatro resultados válidos sobre a solução do problema (.), o primeiro resultado segue: Teorema(3..): Considere o problema (.): { u = f(x, u) em u = 0 na, com a função f satisfazendo a condição (.) e ser Carathéodory. Se existem funções K 0 + e K 0 L r (), r > N tal que K ± K 0 e: (i) K ou µ (K 0 +) > (ii) K 0 0 ou µ (K 0 ) > Então o problema possui solução fraca. 4

10 Os outros resultados de existêcnia de solução deste capítulo, irão utilizar os problemas conhecidos como ressonantes, ou seja, problemas em que os limites assintóticos K ± pertencem ao espectro do laplaciano. Trabalharemos com os seguintes casos: (A)K + L r (), r > N, tal que µ (K + ) = e µ (K ) >, (B)K L r (), r > N, tal que µ (K ) = e µ (K + ) >, (C)K ± L r (), r > N, tal que µ (K ) = µ (K + ) =. Em Paiva [9] é possível encontrar outros exemplos e resultados para estes tipos de problemas. Segue abaixo, o resultado de existência de solução utilizando o caso ressonante (A), o teorema também é válido para os casos (B) e (C) : Teorema (3..7) : Considere o problema (.): { u = f(x, u) em u = 0 na, com a função f satisfazendo a condição de crescimento (.) e ser Carathéodory. Suponha o caso ressonante (A) e também que a função Γ + L r (), r > n com: Γ + (x)ψ + (x)dx < 0, onde ψ + (x) > 0 é solução de { ψ+ = K + ψ + em ψ + = 0 na, então o problema possui solução fraca. No capítulo 4, aplicaremos uma versão do teorema do Passo da Montanha, um resultado bastante importante que vem sendo usado para encontramos pontos críticos, devido a Ambrosetti e Rabinowits[], segue: Teorema do Passo da Montanha: Seja φ C (H 0, R) satisfazendo a condição de Palais-Smale. Suponha também: 5

11 (i) φ(0) = 0; (ii) constantes r, a > 0; φ(u) a, se u = r; (iii) v H 0() tal que v > r, φ(v) 0. Defina τ = {g C([0, ]; H 0()) ; g(0) = 0, g() = v}. Então: é o valor crítico de φ. c := inf g τ max 0 t φ(g(t)) A versão do teorema anterior, mais adequada ao trabalho, é dado pelo: Teorema do Ponto de Sela de Rabinowitz: Seja X um espaço de Banach, onde X = W Z é uma soma direta de um subespaço fechado W com Z e dimw <. Considere Q = {u W : u ρ}, ρ > 0. Para φ : X R C, temos: c := inf γ τ max u Q φ(γ(u)), onde τ = {γ C(Q, X); γ(u) = u em Q}. Se (i) max Q φ < b = inf Z φ, (ii) φ satisfaz a condição de Palais-Smale, então c b é um valor crítico de φ. Esse resultado permite-nos obter pontos críticos do tipo sela e com isso, mostrar que é válido o seguinte resultado de existência de solução: Teorema(4..): Considere o problema (.): { u = f(x, u) em u = 0 na, onde f satisfaz a condição (.) e é Carathéodory. Suponha o caso ressonante (C) e que as funções Γ e γ + L r (), r > n, são tais que: Γ (x)ψ (x) < 0, 6

12 onde ψ (x) > 0 é solução de { ψ = K ψ em ψ = 0 na, e também, γ + (x)ψ + (x) > 0, onde ψ + (x) > 0 é solução de { ψ+ = K + ψ + em Assuma também que vale: ψ + = 0 na. g ± (x, s) c s α + b(x), onde 0 < α < e b L (). onde, g + (x, s) = f(x, s) K + (x)s, para s > 0, g (x, s) = f(x, s) K (x)s, para s < 0. Então o problema possui solução fraca. A prova dos teoremas anteriores não serão apresentadas neste trabalho, mas podem ser encontradas em [4], [3], [] e [6], respectivamente. Para o conhecimento de outros resultados sobre o método do Cálculo das Variações, pode-se consultar [3], [4], [5], [8], [], [5]. 7

13 Capítulo Premilinares Neste capítulo, tratamos de alguns pré-requisios para que se tenha uma melhor compreensão dos resultados que apresentaremos. Iniciamos com definições gerais de Análise, EDP e Teoria Varacional. Por fim, enunciamos teoremas que tem grande importância no desenvolvimento deste trabalho, como referências para este capítulo, temos [3] e [0].. Definições Observamos as seguintes notações: R n é um conjunto aberto, limitado e de classe C., produto interno.. norma. µ = medida de Lebesgue. O espaço das funções contínuas em é denotado por: C(). O espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis em é denotado por: C k (). O conjuntos das funções infinitamente diferenciáveis em é denotado por: C (). V quando seu fecho é um compacto de. O espaço das funções infinitamente diferenciáveis e suporte compacto em é denotado por: C 0 ()... Funções mensuráveis e Convergências Definição... Uma função f : R, onde R n,é dita mensurável,se dado A R aberto, temos que f (A) é um subconjunto mensurável em. 8

14 Definição... Uma função f : R R é chamada Carathéodory, se satisfaz: (i) f(x, t) é mensurável em x, t fixo. (ii) f(x, t) é contínua em t, x fixo. Definição..3. O espaço L p (), p <, é definido como: L p () := {u : R ; u é mensurável e u p dx < } e sua norma é dada por: ( u L p () := u p dx ) p. Definição..4. O espaço das funções localmente integráveis é definido como: L loc() := {u : R; u dx <, V }. V Definição..5. Dizemos que f n f em quase todo ponto (q.t.p.) se: M, com µ(m) = 0 tal que ɛ > 0 e x /M, N(ɛ, x) tal que se n N(ɛ, x) então f n (x) f(x) < ɛ. Definição..6. Dizemos que f n f uniformemente se: ɛ > 0, N(ɛ); n N(ɛ) e x f n (x) f(x) < ɛ. Definição..7. Dizemos que f n f em norma L p (), com f n, f L p (), se: ( ɛ > 0, N(ɛ); n N(ɛ) f n f L p () = f n f p dµ ) p < ɛ. Definição..8. Seja H um espaço de Hilbert. Dizemos que uma sequência {u n } H, converge fracamente para u H, se: φ(u k ) φ(u), φ H onde H é o espaço dual de H, ou seja: H = {φ : H R; φ é linear e c > 0 tal que φ(u) c u }. 9

15 Definição..9. Seja H um espaço de Hilbert. Dizemos que uma sequência {u n } H, converge fortemente para u H, se:.. Espaço de Sobolev lim u n u H = 0. n Definição..0. Seja u, v L loc (). Dizemos que v é α ésima derivada fraca de u, ud α φdx = ( ) α vφdx, φ C0, onde α = (α,..., α n ), com α i N {0}, α = α + α α n e Denotamos D α u = v. D α = α α α x α... αn x αn x n. Definição... O espaço de Sololev é definido como: W k,p () := {u L loc(), D α u L p (), α k} e sua norma é dada por: u W k,p () := α k D α u p dx p, p <. Observação... Banach.. O espaço de Sobolev W k,p () é um espaço de. Quando k = e p =, podemos definir o espaço de Sobolev: W, () := H () = {u L (); u x i L (), i {,...n}}, com a norma em H (), dada por: ( u H () = u dx Além disso, podemos definir: ) + ( H 0() := C 0 () H () 0 ) (u) dx.

16 o conjunto das funções que se anulam na fronteira, ou seja, H 0() := {u H (); u = 0 em }. O espaço H0() é um espaço de Hilbert, em relação ao produto interno: u, v = (u) (v)dx e a norma que próvem deste produto interno é definida como: u H 0 () := ( u, v ) = ( Notação: H 0() = W, 0 (). ) u dx. Observação..3.. O dual do espaço H0() é denotado por H (). Se f H (), definimos a norma em H (), como: { } f H () = sup f, u ; u H0(), u H 0 ()...3 Teoria Clássica de EDP Definição..4. Considere o operador L definido em C (): Lu = n a i,j (x)u xi x j + i,j= n b i (x)u xi + c(x)u. Dizemos que o operador L é uniformemente elíptico se existe uma constante λ > 0, tal que: i= n a ij (x)ξ i ξ j λ ξ, x, ξ R n, i,j= onde a ij (x) = A(x) é uma matriz simétrica de coeficientes mensuráveis. Definição..5. Dada u C (), definimos Laplaciano de u, como: u = n u xi x i. Observação..6. O Laplaciano é um exemplo de operador elíptico. i=

17 Definição..7. Dado λ R, considere o problema de Dirichlet: { w = λw em w = 0 na, Caso o problema tenha solução w 0, dizemos que λ é um autovalor do Laplaciano e w é a autofunção associada a λ. Definiremos λ, como sendo o primeiro autovalor do operador Laplaciano, onde sua fórmula explícita é dada por: λ = min u 0 H 0 () u dx u L () Observação..8. O quociente acima é chamado de Quociente de Rayleigh. Observação..9. Se for compacto, o primeiro autovalor é sempre positivo...4 Teoria Variacional Definição..0. Considere o funcional φ : H 0() R. O funcional é diferenciável em u H 0(), se existe T : H 0() R funcional, linear e contínuo, tal que: φ(u + ϕ) φ(u) T (ϕ) lim ϕ 0 ϕ = 0. Observação.... O funcional T é chamado derivada de Fréchet de φ e definimos φ (u) = T. Definição... Dizemos que φ : H 0() R C, se existe φ (u), u H 0 e φ : H 0() (H 0()) é contínua. Definição..3. Quando φ (u) = 0, dizemos que u é ponto crítico do funcional φ. Definição..4. Definimos K c := {u H 0(); φ(u) = c, φ (u) = 0}. Quando o conjunto K c, dizemos que c é um valor crítico.

18 Definição..5. Dizemos que o funcional φ é fracamente semicontínuo inferiormente em H 0(), se tivermos : φ(u) lim inf n + φ(u n), sempre que u n u fracamente em H 0(). Observação..6. Exemplo de funcional semicontínuo inferiomente: w w dx, onde w H0(). Definição..7. Chamamos (u n ) n= de sequência minimizante, quando: φ(u n ) inf φ(u), n. u H0 () Definição..8. O funcional φ é coercivo, quando:. Teoremas φ(u) +, sempre que u H 0 () +. Teorema... (Teorema de Fubini): Suponhamos que F L ( ). Então, para quase todo x, F (x, y) L y( ) e F (x, y)dy L x( ). De maneira análoga, para quase todo y, temos: F (x, y) L x( ) e F (x, y)dx L y( ). Além disso, dx F (x, y)dy = dy F (x, y)dx. Teorema... (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue): Seja (f n ) uma sequência de funções integráveis, tal que f n fq.t.p. Se existe uma função integrável g tal que f n g, n N, então f é integrável e, fdx = lim f n dx. n 3

19 Teorema..3. (Lema de Fatou): Assuma f n são não negativas e integráveis, então: lim inf f ndx lim inf f n dx. n n Teorema..4. Sejam (f n ) uma sequência em L p () e f L p (), tais que: f n f em L p (). Então, existe uma subsequência (f nj ), tal que: (i) f nj (x) f(x) q.t.p. em. (ii) f nj (x) g(x) q.t.p. em, j, onde g L p (). Teorema..5. (Desigualdade de Hölder): Seja f L p (), g L q (), com < p < + e + =. Então: p q fg L () e fg L () f L p () g L q (). Teorema..6. (Teorema da Divergência): Se u, v C () e é um conjunto aberto, com fronteira suave, então: u v dx = u v η ds u v dx Teorema..7. Seja H um espaço de Hilbert e (u n ) uma sequência limitada em H. Então existe uma subsequência (u nj ) (u n ) e u H, tal que u nj u fracamente em H. Teorema..8. Seja H um espaço de Hilbert e (u n ) uma sequência em H. Se u n u fracamente em H e u n u em H, então: u n u fortemente em H. Observação..9. Sequências que convergem fracamente em H, são limitadas. Teorema..0. Seja R n um subconjunto aberto, limitado, n N e p < n. Então, existe C = C(n, p, ) > 0, tal que: u L q () C Du L p (), u W,p 0 () e q p, onde p = np n p. 4

20 Observação.... No teorema anterior, o caso em que p = q =, chamamos de Desigualdade de Poincaré: u L () C u L (), u H 0(). Observação... Na desigualdade anterior, não podemos trocar H 0() por H (), pois as funções constantes pertencem a H () e não satisfazem as desigualdades de Poincaré, pois possuem derivada nula. Teorema..3. (Imersões de Sobolev ): Se R n, for limitado com fronteira suave, as seguintes imersões são contínuas: H () L p (), p, n = ou n =. H () L p (), p, n 3, onde = n n. Teorema..4. (Imersões de Rellich Kondrachov): Se for limitado, as seguintes imersões são compactas: H 0() L p (), p <, n 3, onde = n n. Teorema..5. (Princípio Varacional para primeiro autovalor): (i) λ = min{ u dx; u H 0(), u L () = }. (ii) Além disso, o mínimo acima é atingido por uma função w, positiva em, que resolve: { w = λ w em w = 0 na, (iii) Se u H 0() é solução fraca de: { u = λ u em então u é multiplo de w. u = 0 na, 5

21 Capítulo 3 Minimização do funcional φ Neste capítulo utilizaremos a técnica de minimização, para mostrar que o problema (.): { u = f(x, u) em u = 0 na, onde f é uma função Carathéodory e satisfaz a condição de crescimento (.), tem solução fraca. Para garantir a existência do ponto de mínimo, iremos mostrar que o funcional φ definido em (.3) é fracamente semicontínio inferiormente e coersivo, com isso, podemos utilizar o seguinte resultado: Teorema Seja H 0() um Espaço de Hilbert e suponha que φ:h 0() R é: (i) fracamente semicontínuo inferiormente, ou seja, φ(u) lim inf n + φ(u n ), sempre que u n u fracamente em H 0(). (ii) coercivo, ou seja, φ(u) +, sempre que u H 0 () +. Então φ é limitado inferiormente e existe u 0 H 0() tal que φ(u 0 ) = inf u H 0 () φ(u). Nas próximas seções provaremos que o funcional (.3), satisfaz (i) e (ii). 3. Semicontinuidade inferior fraca Vamos iniciar mostrando que φ é fracamente semicontínuo inferiormente, ou seja, mostraremos: φ(u) lim inf n + φ(u n), 6

22 se u n u fracamente em H0(). Seja u n u fracamente em H0(). Usando a definição de φ, precisamos mostrar que [ ] u dx F (x, u)dx lim inf u n dx F (x, u n )dx. n + Usando o fato que o funcional ψ : H0() R, definido como: ψ(v) = v dx é fracamente semicontínuo inferiormente, já temos que: u dx lim inf u n dx. (3.) n Vamos mostrar que: F (x, u)dx lim inf F (x, u n )dx. n + Considere (u nk ) uma subsequência de (u n ) minimizante, ou seja, lim F (x, u nk )dx = lim inf F (x, u n )dx. k + n + Como por hipótese u n u fracamente em H0(), então segue que (u n ) é limitada em H0(). Pelo Teorema de Imersão de Rellich Kondrachov (..4), passando a uma sequência se necessário, temos que u nk u fortemente em L (). Além disso, u nk u q.t.p.. Usando a definição de F em (.4), temos: Então, F (x, u nk ) = c u n k p p unk 0 unk 0 = c ξ p p = c u n k p p f(x, ξ)dξ ( c ξ p + b(x) ) dξ + b(x)ξ unk 0 + b(x)u nk. + b(x)u nk F (x, u nk ) 0. 7

23 Note que, podemos aplicar Lema de Fatou (..3) na desigualdade anterior: lim inf c u n k p +b(x)u nk F (x, u nk )dx lim inf c u n k p +b(x)u nk F (x, u nk )dx, k + p k + p somando em ambos os lados o termo lim k + c un k p + b(x)u p nk, temos: lim inf [c u ] n k p + b(x)u nk F (x, u nk ) dx lim k + p c u n k p + b(x)u nk dx k + p lim inf k + c u n k p p + b(x)u nk F (x, u nk )dx lim c u n k p + b(x)u nk dx.(3.) k + p Agora trabalharemos com um lado de cada vez, da desigualdade acima. Começaremos desenvolvendo o lado direito de (3.). Note que, existe lim k + c un k p + b(x)u p nk e é dado por c u p + b(x)u q.t.p. p Então podemos escrever: lim inf c u n k p + b(x)u nk F (x, u nk )dx lim k + p c u n k p + b(x)u nk dx k + p [ = lim inf c u n k p ] + b(x)u nk F (x, u nk )dx c u p k + p p + b(x)udx, usando propriedade de integral e lim inf, chegamos na seguinte desigualdade: lim inf c u n k p + b(x)u nk F (x, u nk )dx lim k + p c u n k p + b(x)u nk dx k + p lim inf F (x, u nk )dx. (3.3) k + Agora, desenvolvendo o lado esquerdo de (3.), vamos usar primeiro a propriedade de integral que nos permite escrever a seguinte igualdade: lim inf [c u ] n k p + b(x)u nk F (x, u nk ) dx lim k + p c u n k p + b(x)u nk dx k + p [ = lim inf [c u ] ] n k p + b(x)u nk F (x, u nk ) lim k + p c u n k p + b(x)u nk dx. k + p Como existe lim k + c un k p + b(x)u p nk, o lado direito da igualdade anterior fica: lim inf [c u ] n k p + b(x)u nk F (x, u n ) c u p k + p p + b(x)u dx 8

24 segue de (3.3) e (3.4), que: = lim inf F (x, u n k )dx k + = F (x, u)dx, (3.4) F (x, u)dx lim inf F (x, u nk )dx. (3.5) k + Utilizando (3.) e (3.5), temos: φ(u) = u dx F (x, u)dx lim inf u n dx + lim inf F (x, u n )dx n + n + [ ] lim inf u n dx F (x, u n )dx n + = lim inf φ(u n). n + Com isso, mostramos que φ é fracamente semicontínuo inferiormente em H 0(). 3. Coercividade do Funcional φ Nesta seção, exploraremos a hipótese de coercividade de φ. Antes relembremos o problema de autovalor com peso, onde para uma função peso dada m(x) : L r () R, r > n, queremos encontrar uma função u e autovalores µ j = µ j (m(x)), j =,... que satisfaçam: { u = µj m(x)u em u = 0 na. Como exemplo, podemos considerar o problema de autovalor na reta, onde buscamos u : [0, π] R que satisfaça: { u = u u = 0 em {0, π}. 9

25 Neste caso sabemos, que temos como solução u(x) = sen(x). Agora queremos encontrar uma solução para um problema variante do anterior, utilizando por exemplo, dado o peso m : R {0, } R: m(x) = 6 + 6x + x x + x. Note que a função u(x) = (x + x )e x e µ(m(x)) = satisfazem : { u = µ(m(x)).m(x)u u = 0 em {, 0}, logo é solução do problema de autovalor com peso. Uma caracterização que será bastante utilizada é a do primeiro autovalor µ (m(x)), onde seu quociente de Rayleigh satisfaz para todo u H0(): µ (m(x)) u dx m(x)(u) dx. Também relembremos as funções: K ± (x) := lim sup s ± F (x, s) s e L ± (x) := lim inf s ± F (x, s) s. Usaremos essas notações para os próximos teoremas. Teorema 3... Suponhamos que existam duas funções K 0 + e K 0 L r (), r > N/ tal que K ± K 0 ± e : (i) ou K ou µ (K 0 +) >, (ii) ou K 0 0 ou µ (K 0 ) >. Então φ é um funcional coercivo. Demonstração. Queremos mostrar que φ é um funcional coercivo, para tal, separaremos a demonstração nos seguintes casos: () K e K 0 0, () µ (K 0 +) > e K 0 0, (3) µ (K 0 ) > e K 0 + 0, 0

26 (4) µ (K 0 +) > e µ (K 0 ) >. Antes mostraremos que para ɛ > 0, vale a desigualdade: F (x, s) (K 0 ± + ɛ)s + b ±, (3.6) com K 0 +, b +, se s > 0 e K 0, b, se s < 0, onde b + e b são funções positivas e integráveis, a serem definidas. Começamos por demonstrar o caso s > 0. Por hipótese temos que K + K 0 +. Como K + = lim sup s + F (x, s) s K 0 +, usando definição de lim sup, dado ɛ > 0 podemos encontrar um M grande tal que s M implica F (x, s) s K ɛ. Segue que F (x, s) (K0 + + ɛ)s. (3.7) Dado x e 0 < s M, usando a definição (.) para a função F(x,s) e a condição de crescimento para f(x,s), temos: F (x, s) = s 0 f(x, ξ)dξ s 0 f(x, ξ) dξ c s 0 ξ p + b(x)dξ = c ξ p p + b(x)ξ s 0 = c s p p c M p p + b(x)s + b(x)m. Tomando b + = c M p p + b(x)m L (), temos: F (x, s) b +, (3.8) juntando (3.7) para x > M e (3.8) para s < M, segue a desigualdade que queríamos : F (x, s) (K0 + + ɛ)s + b +, s > 0.

27 Agora vamos ao caso s < 0. Analogamente, K K 0. Pela definição de K, temos K = lim sup s F (x, s) s K 0. Pela definição lim sup, dado ɛ > 0 podemos encontrar um M grande, tal que para s M vale: F (x, s) s K 0 + ɛ, logo F (x, s) (K0 + ɛ)s. (3.9) Dado x e M < s < 0, usando a definição (.) para F(x,s) e a condição de crescimento para f(x,s), temos : F (x, s) F (x, s) = s = = 0 0 s 0 s 0 s 0 s f(x, ξ)dξ f(x, ξ)dξ f(x, ξ)dξ f(x, ξ) dξ c ξ p + b(x)dξ Fazendo a mudança de variável τ = ξ dτ = dξ 0 F (x, s) c τ p + b(x)dτ s s 0 = c τ p p = c s p p < c M p p c τ p + b(x)dτ + b(x)τ s 0 + b(x)( s) + b(x)m.

28 Tomando, b = c M p + b(x)m L (), temos que: p juntando as desigualdades (3.9) e (3.0): F (x, s) b, (3.0) F (x, s) (K + ɛ)s + b, s < 0. Logo está provada a desigualdade que queríamos. Agora vamos tratar dos casos que citamos no início da demonstração, lembrese que nosso objetivo é mostrar que φ é coercivo. Caso : Quando acontece K e K 0 0. Pela definição: φ(u) = u dx F (x, u)dx, separando na parte em que u > 0 e u < 0, onde u + (x) = u(x), u 0 e u + (x) = 0, u < 0 e u (x) = u + (x) u(x), temos: φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + u dx F (x, u )dx, usando a estimativa (3.6): φ(u) u + dx + u dx (K+ 0 + ɛ) u + b + dx (K 0 + ɛ) u dx b dx. (3.) Como K+ 0 0 e K 0 0, escolhendo ɛ = λ, onde λ é o primeiro autovalor do problema do Laplaciano. Da estimativa acima, ficamos: φ(u) [ + [ u + dx λ u dx λ u + dx] u dx] Utilizando o Quociente de Rayleigh para o λ, ficamos: φ(u) [ u + dx u + dx] + [ u dx u dx] 3 b + dx b dx. b + dx b dx.

29 logo, φ(u) 4 [ u + dx] + 4 [ u dx] [ b + dx + b dx]. Como b + e b L (), suas integrais são finitas, portanto: φ(u) c u dx c = c u H 0 () c, onde c = 4 e c = [ b +dx + b dx]. Logo φ é coercivo, pois sempre que u H 0 () +, φ(u) +. Caso : Quando acontece K 0 0 e µ (K 0 +) >. Pela definição (.3), φ(u) = u dx F (x, u)dx. Como anteriormente, separaremos as integrais quando u > 0 e u < 0 e utilizaremos a desigualdade (3.6) : φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + u dx F (x, u )dx u + dx (K+ 0 + ɛ) u + dx b + dx + + u dx (K 0 + ɛ) u dx b dx. (3.) Temos por hipótese que µ (K+) 0 >, então podemos escolher um ɛ > 0 tal que µ (K+ 0 + ɛ) >. Usando o Quociente de Rayleigh para o primeiro autovalor µ (K+ 0 +ɛ), chegaremos na seguinte desigualdade ( que provaremos após a demonstração deste caso): ( δ ) u + dx u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx. (3.3) Note que usando (3.3) em (3.) obtemos: φ(u) ( δ ) u + dx b + dx + u dx (K 0 + ɛ) u dx 4 b dx.

30 Também temos por hipótese que K 0 0, escolhendo ɛ = λ, segue que: φ(u) ( δ ) u + dx b + dx + u dx b dx, 4 onde δ = <. Tomando c µ (K+ 0 +ɛ) 0 = min{ ( δ ), } > 0, temos que: 4 φ(u) c 0 u dx b + dx b dx. Como as funçoes b + e b L (), temos que suas integrais são finitas, logo podemos escrever a desigualdade acima como: φ(u) c 0 u dx c, portanto φ é coercivo, pois quando u H 0 () +, temos que φ(u) +. Observação 3... (Prova da desigualdade (3.3)): ( δ ) u + dx u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx Demonstração: Utilizando o quociente de Rayleigh para o autovalor µ (K+ 0 + ɛ), temos: µ (K+ 0 + ɛ) u+ dx (K0 + + ɛ)(u + ) dx, então segue: (K ɛ)(u + ) dx u + dx. µ (K+ 0 + ɛ) Escrevendo δ = µ (K 0 + +ɛ) <, somando e subtraindo a δ, teremos: (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx ((δ ) + ) u + dx = u + dx ( δ ) u + dx. 5

31 Assim, ( δ ) u + dx u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx, multiplicando por, chegamos na desigualdade : ( δ ) u + dx u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx, como queríamos mostrar. Caso 3: Quando acontece K e µ (K 0 ) >. A prova de que com essas hipóteses o funcional φ é coercivo é análogo ao caso, logo omitiremos essa demostração e provaremos o próximo caso. Caso 4: Quando acontece µ (K 0 +) > e µ (K 0 ) >. Utilizando a definição de φ, temos: φ(u) = u dx separando em u > 0 e u < 0, segue: φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + Usando a desigualdade (3.6) φ(u) + u + dx u dx F (x, u)dx, u dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx (K 0 + ɛ)(u ) dx F (x, u )dx. b + + b dx. (3.4) Da mesma forma que no caso, iremos usar o Quociente de Rayleigh, agora para os autovalores µ (K+ 0 + ɛ) e µ (K 0 + ɛ) e chegaremos nas desigualdades ( δ ) u + dx u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx 6

32 e ( δ ) u dx Usando em (3.4) ficamos com: φ(u) ( δ ) u + dx u dx b + dx + ( δ ) tomando δ = min{( δ ), ( δ ) } > 0, temos: δ[ u + dx + u dx] [ b + dx + (K 0 + ɛ)(u ) dx. u dx b dx]. b dx, Somando as integrais, usando o fato das funções b + e b L () e tomando c 0 = δ teremos a seguinte desigualdade: φ(u) c 0 u c. Logo, o funcional φ será coercivo, pois em todos os casos conseguimos mostrar que quando u H 0 () +, temos que φ(u) +, provando assim o teorema. Nem sempre temos que o funcional φ (.3) é coercivo, como é ilustrado no seguinte resultado: Observação Suponha que existam duas funções L 0 + e L 0 L r (), com r > n e L ± L 0 ±, que são positivas em subconjuntos de medida positiva em e de tal modo que pelo menos um dos autovalores, µ (L 0 +) < ou µ (L 0 ) <. Então φ não é coercivo. Demonstração. Queremos mostrar que φ não é coercivo, vamos assumir µ (L 0 +) <. O caso µ (L 0 ) < é análogo. Seja ψ > 0 a autofunção associada a µ (L 0 +). Note que: µ (L 0 +) > 0, multiplicando a desigualdade por L0 +ψdx, temos: ( µ (L 0 +)) L 0 +ψdx > 0, 7

33 dividindo por ψ dx, então: ( µ (L 0 +)) L0 +ψ dx ψ dx > 0. (3.5) Podemos escolher ɛ > 0, tal que: ( µ (L 0 +)) L0 +ψ dx ψ dx > ɛ. Agora, mostraremos que existe uma função c(x) L (), tal que: F (x, s) (L0 + ɛ)s c(x), s 0. (3.6) F (x,s) Pela definição L + = lim inf s +, como L s + L 0 +, segue que F (x,s) lim inf s + L 0 +, usando a definição de lim inf, dado ɛ existe M tal s que para s M, vale: F (x, s) s L 0 + ɛ. Multiplicando a desigualdade por s, temos: Dado x e s M, vale: F (x, s) F (x, s) = F (x, s) (L0 + ɛ)s. (3.7) s 0 f(x, ξ)dξ s utilizando a condição de crescimento (.), segue que: s 0 f(x, ξ) dξ c s 0 ξ p + b(x)dξ = c s p p 0 f(x, ξ) dξ, + b(x)s c M p + b(x)m. p Tomando, c(x) = c M p + b(x)m L () e multiplicando por ( ) a desigualdade acima, temos para s p M: Juntando (3.7) e (3.8): F (x, s) c(x). (3.8) F (x, s) (L0 + ɛ)s c(x), s > 0. 8

34 Agora utilizaremos a desigualdade acima, para estimar o funcional φ. Para r > 0 e usando a definição de φ, temos: φ(rψ ) = rψ dx F (x, rψ )dx, usando a estimativa acima para F (x, s), ficamos : φ(rψ ) r ψ dx r (L 0 + ɛ)ψ dx c(x)dx. (3.9) Como µ (L 0 +) é o primeiro autovalor, podemos utilizar seu quociente de Rayleigh e a desigualdade (3.9), obtendo: φ(rψ ) r µ (L 0 +) L 0 +ψdx r (L 0 + ɛ)ψ dx c(x)dx, separando a integral que envolve ɛ, φ(rψ ) r ψ dx r logo L 0 +ψ dx + r ɛψdx + φ(rψ ) r [(µ (L 0 +) ) L 0 +ψ + ɛ ψ]dx c(x)dx. c(x)dx, Como a integral de c(x) é finita e (µ (L 0 +) ) < 0, pois µ (L 0 +) <, temos que logo φ não é coercivo. φ(rψ ), r +, Para demonstrarmos os próximos teoremas de coercividade, será preciso definir alguns conceitos importantes. Trabalharemos com os problemas ressonantes, citados na introdução, logo sabemos que K e K +, são autovalores do problema de autovalor do laplaciano. Este fato será usado como hipótese nos próximos teoremas. Começamos considerando os seguintes casos ressonantes: (A) K + L r (), r > n, tal que µ (K + ) = e µ (K 0 ) >, 9

35 (B) K L r (), r > n, tal que µ (K ) = e µ (K 0 +) >, (C) K ± L r (), r > n, tal que µ (K + ) = µ (K ) =. Considere também as funções : G + : R + R e G : R R, definidas por : F (x, s) = K ±(x)s + G ± (x, s), s > 0(s < 0) (3.0) que são perturbarções da parte quadrática envolvendo K ±. defina os limites: e Γ + (x) := lim sup s + Γ (x) := lim sup s G + (x, s) G + (x, s), γ + (x) := lim inf s s + s G (x, s), γ (x) := lim inf s s Agora podemos apresentar o primeiro resultado de coercividade: E por último (3.) G (x, s). (3.) s Teorema Assuma o caso (A), ou seja, K + L r (), r > n, tal que µ (K + ) = e µ (K ) 0 >. Suponha que a função Γ + L r (), r > n e que Γ + (x)ψ + (x)dx < 0, onde ψ + (x) > 0 é solução de Então o funcional φ é coercivo. { ψ+ = K + ψ + em ψ + = 0 na, Demonstração. Esta prova será demonstrada por contradição. Vamos provar que se φ não é coercivo, teremos que : Γ + (x)ψ + (x) 0. 30

36 Antes mostraremos que podemos escolher um ɛ > 0 e uma função c(x) L () (dependendo de ɛ), para o qual vale a seguinte desigualdade: G + (x, s) (Γ + (x) + ɛ)s + c(x), para s 0, (3.3) que será usada para estimar o funcional φ. Pela definição (3.), temos que: Γ + (x) γ + (x). Pela definição de lim inf, ɛ > 0, M > 0 tal que s M implica: logo γ + (x) G +(x, s) s ɛ, Γ + (x) γ + (x) G +(x, s) ɛ, s somando ɛ e multiplicando por s, a desigualdade fica: (Γ + (x) + ɛ)s G + (x, s). (3.4) Dado um x e s M, usando (3.0), temos : G + (x, s) = F (x, s) K +s, substituindo a desigualdade (3.6) de F (x, s), temos: G + (x, s) (K0 + + ɛ)s b + K +(x)s. Colocando em evidência s, temos para s M, G + (x, s) M [(K0 + + ɛ) K + (x)] b +, onde (K ɛ) K + 0. Tomando c(x) = M [(K0 + + ɛ) K + (x)] b +, segue que: G + (x, s) c(x). (3.5) 3

37 Então juntando (3.4) e (3.5), teremos a desigualdade que queríamos: G + (x, s) (Γ + (x) + ɛ)s + c(x), s 0. O próximo passo será estimar o funcional φ, pela definição (.3) : φ(u) = u dx F (x, u)dx, separando na parte em que u > 0 e u < 0, temos: φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + u dx F (x, u )dx. Para o caso em que u > 0, usaremos a estimava (3.0) e para o caso u < 0, usaremos a estimativa (3.6), então teremos: φ(u) u + dx K + (u + ) dx G + (x, u + )dx + u dx (K 0 + ɛ)(u ) dx b dx. (3.6) Suponhamos que o funcional φ não é coercivo, ou seja, existe uma sequência (u n ) em H 0() tal que φ(u n ) β e u n, substituindo (u n ) em (3.6) e dividindo por u n temos: φ(u n ) u n u + n u n dx K + (x) u+ n u n dx (Γ + (x) + ɛ) u+ n u n dx c u n dx + u n u n dx (K 0 + ɛ)(u n ) dx u n Escrevendo v n = un, onde u v+ n n = u+ n e u v n n fica: φ(u n ) u n v n + dx K + (x) v n + dx c u n dx + v n dx (K 0 + ɛ) vn dx b u n dx. = u n u n, a desigualdade anterior (Γ + (x) + ɛ) v+ n u n dx b dx. (3.7) u n Como v n é limitada em H 0(), pelo teorema (..7) temos que v n possui uma subsequência que converge fracamente para v 0 H 0(). Pela imersão 3

38 compacta de Sobolev (..3), temos que v n v 0 em L (). E ainda, v n v 0 q.t.p. em H0(). Por hipótese µ (K ) 0 >, então podemos escolher um ɛ tal que µ (K 0 +ɛ) >. Afirmamos que, usando o quociente de Rayleigh desse primeiro autovalor temos que a parte que envolve vn será limitada inferiomente por zero. De fato: vn dx (K 0 + ɛ) vn dx v n dx v n dx Fazendo n, u n, então: µ (K 0 + ɛ)(k 0 + ɛ) v n dx v n dx = 0. (3.8) (i) : (ii) : c u n, b u n 0 (Γ + + ɛ) v+ n u n 0 (iii) : K + (x) v n + dx K + (x) v 0 + dx, pelo Teorema da Convergência Dominada (..). (iv) : Como v + n v + 0 fracamente em H 0() e o funcional w w dx é fracamente semicontínuo inferiormente, temos: lim inf v n + = lim inf n n v+ n L v+ 0 L = v 0 + Aplicando (i), (ii), (iii), (iv) e (3.7) na sesigualdade (3..8), ficamos com 0 v 0 + K + v 0 +. (3.9) 33

39 Note que v 0 + é solução de ψ + = K + ψ + na, ψ + = 0 na e portanto, v0 = 0. Para ver que v 0 + é solução, basta mostrar que: De fato: 0 v 0 + K + v + 0. (3.30) v 0 + dx K + v 0 + dx = Por (3.9) e (3.30), temos que : v 0 + dx K + v 0 + dx = 0 e pelo Teorema da Divergência (..6): v 0 + v 0 + dx = v 0 + dx µ (K + ) K + v 0 + dx v 0 + dx v 0 + dx = 0. v + 0 dx = v + 0 v + 0 dx, K + v + 0 dx do que decorre que v 0 = K + v 0 no sentido fraco. Voltando a desigualdade (3.7), mas dessa vez juntando as integrais que envolvem o v n : φ(u n ) v u n n dx K + (x) v n + dx (Γ + (x) + ɛ) v+ n u n dx c u n dx (K 0 + ɛ) vn dx b dx. (3.3) u n Observe que v n dx =, pois v n u n = dx = u n H 0 () u n H 0 () u n dx = u u n n H H0 () 0 () =, então quando v n, n e v n dx =, a desigualdade (3.3), fica: 0 K + v 0 + dx, 34

40 segue que v e v + 0 > 0, conseguentemente, v 0 = v + 0 v 0 = v + 0 > 0 em. Temos por hipótese que µ (K + ) =, usando seu quociente de Rayleigh na desigualdade (3.3), temos: φ(u n ) u n v n dx v n + dx (Γ + (x)+ɛ) v+ n u n dx c u n dx (K 0 + ɛ) vn dx b u n dx. Como µ (K ) 0 >, segue que µ (K 0 + ɛ) > para ɛ pequeno e com isso, usando o quociente de Rayleigh para µ (K 0 + ɛ) e também que, v n dx v n + dx = vn dx, temos: φ(u n ) u n (Γ + (x) + ɛ) v+ n u n dx c u n dx b u n dx. Multiplicando por u n e fazendo u n, n, ficamos com 0 (Γ + + ɛ)v 0 dx, ou seja, (Γ + + ɛ)v 0 dx 0. Quando ɛ 0, temos que (Γ +v 0 )dx 0, com v 0 > 0. Contradizendo, a hipótese que (Γ +v 0 )dx < 0. Logo, φ tem que ser coercivo. O próximo teorema é análogo ao anterior, sua prova será dada de forma mais direta, sem muitas justificativas. Teorema Assuma o caso (B), ou seja, K L r (), r > n, tal que µ (K ) = e µ (K+) 0 >. Suponha que a função γ L r (), r > n e que 35

41 γ (x)ψ (x) > 0, onde ψ (x) > 0 é solução de Então o funcional φ é coercivo. { ψ = K ψ em ψ = 0 na, Demonstração. Já sabemos de (.3) que φ(u) = u dx F (x, u)dx, separando na parte em que u > 0 e u < 0, temos: φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + u dx F (x, u )dx, para o caso em que u > 0, usaremos a estimava (3.6) e para o caso u < 0, usaremos a estimativa (3.0), então teremos: φ(u) u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx b + dx + u dx K (u ) dx G (x, u )dx. Usando a definição (3.), conseguimos mostrar que podemos obter um ɛ, tal que: G (x, s) (γ (x) + ɛ)s + c (x), para s 0 e c (x) L (), segue que φ(u) u + dx (K+ 0 + ɛ)(u + ) dx b + dx + + u dx K (u ) dx (γ (x) + ɛ)(u )dx c (x)dx. (3.3) 36

42 Suponhamos que φ não seja coercivo, então existe uma sequência (u n ) H0() tal que φ(u n ) β e u n. Definindo v n := un, (passando a u n uma subsequência se necessário ), como v n é limitada, pelos teoremas (..7) e (..3) converge fracamente em H0(), fortemente em L () e q.t.p. para uma função v 0 em H0(). Podemos então reescrever a desigualdade (3.3) como: const v u n n + dx (K+ 0 + ɛ) v n + b + dx u n dx + vn dx K vn dx (γ (x) + ɛ) v n u n dx c dx. (3.33) u n Por hipótese temos que µ (K+) 0 >, logo podemos encontrar um ɛ tal que µ (K+ 0 + ɛ) >. Note que, usando o quociente de Rayleigh de µ (K+ 0 + ɛ), temos que a parte que envolve v n + é limitada por zero. Fazendo u n em (3.33), temos: 0 v0 dx K v0 dx, com isso, podemos mostrar que v 0 é solução do problema { ψ = K (x)ψ em ψ = 0 na, portanto, v 0 + = 0. Observe que v n dx =, usando esse fato na desigualdade (3.33) e fazendo u n, temos: 0 + (K 0 + ɛ) v 0 + dx K v0 dx, com isso, v 0 0 e v 0 > 0, consequentemente v 0 = v + 0 v 0 > 0 em. Por último, por hipótese temos que µ (K ) =, se usarmos o quociente de Rayleigh para esse primeiro autovalor e também para µ (K + ɛ), temos: β u n (γ + ɛ) v n u n dx 37 c u n dx b + u n dx

43 Multiplicando por u n e fazendo u n, temos que: 0 (γ + ɛ)v 0 dx. Como ɛ 0, segue que 0 (γ ) v 0 dx, com v 0 > 0, o que contradiz nossa hipótese. Logo φ tem que ser coercivo. Segue abaixo, o último teorema usando casos ressonantes. Teorema Assuma o caso (C), ou seja, K ± L r (), r > n, tal que µ (K + ) = µ (K ) =. Suponha que as funções Γ + e γ L r (), r > n, são tais que: Γ + (x)ψ + (x) < 0, onde ψ (x) > 0 é solução de { ψ+ = K + ψ + em ψ + = 0 na, e também, γ (x)ψ (x) > 0, onde ψ (x) > 0 é solução de { ψ = K ψ em u = 0 na, Então o funcional φ é coercivo. Demonstração. A prova deste teorema, também será feita por contradição, vamos supor que φ não é coercivo e chegar em uma contradição com as hipóteses de Γ + e γ. Já foi mostrado que usando as definições (3.) e (3.), temos as seguintes desigualdades: e G + (x, s) (Γ + + ɛ)s + c(x), s > 0 G (x, s) (γ + ɛ)s + c (x), s < 0. 38

44 Usando a definição de φ e separando em u > 0 e u < 0, temos: φ(u) = u + dx F (x, u + )dx + u dx F (x, u )dx. Como F (x, s) = K ±s + G ± (x, s), s > 0(s < 0), podemos reescrever a equação anterior como: φ(u) u + dx K + (x)(u + ) dx (Γ + + ɛ)(u + )dx c(x)dx + u dx K (x)(u ) dx (γ + ɛ)(u )dx c (x)dx. (3.34) Supondo φ não coercivo, existe uma sequência (u n ) H0(), tal que φ(u n ) β e u n. Definindo v n := un u n (passando a uma subsequência se necessário), como v n é limitada, temos pelos teoremas (..7) e (..3) que v n converge fracamente em H0(), fortemente em L () e q.t.p. para uma função v 0 em H0(). Dividindo a desigualdade (3.34) por u n e substituindo v n, temos: β v u n n + dx K + v n + dx (Γ + + ɛ) v+ n u n dx c u n dx + v n dx K(x) vn dx (γ + ɛ) v n u n dx c dx. (3.35) u n Por hipótese, temos que µ (K + ) = e µ (K ) =, usando o quociente de Rayleigh, conseguimos mostrar que: v n + dx K + v n + 0, e vn dx K vn 0. Fazendo, u n, em (3.35): 0 v 0 + dx K + v 0 + dx + v0 dx K v0 dx, 39

45 somando as integrais que envolve os gradientes, temos: 0 v 0 dx K + v 0 + dx K v0 dx. Com isso, vemos que v 0 é solução do problema { v0 = K + v + 0 K v 0 em v 0 = 0 na. Juntando as integrais que envolvem os gradientes na desigualdade (3.35), temos: β v u n n dx K + v n + dx (Γ + + ɛ) v+ n u n dx c u n dx K(x) vn dx (γ + ɛ) v n u n dx c dx. (3.36) u n Usando que v n dx = e fazendo u n, temos que: 0 K + v 0 + dx K v0 dx, com isso v 0 = v 0 + v0 0 e ainda, v 0 > 0 em. Multiplicando a desigualdade (3.36) por u n e usando o quociente de Rayleigh para os autovalores µ (K + ) e µ (K ), temos : β u n (Γ + + ɛ)v n + dx Fazendo u n e ɛ 0, temos que: 0 Γ + v 0 dx c u n dx (γ + ɛ)vn dx γ v 0 dx, c u n dx. o que não pode ocorrer, pois se acontecesse iria contradizer a hipótese sobre Γ + e γ, logo φ é coercivo. Neste capítulo, mostramos que o funcional φ é fracamente semicontínuo inferiomente e coercivo, logo é possível aplicar o Teorema e garantir o seguinte resultado: 40

46 Teorema Considere o problema (.): { u = f(x, u) em u = 0 na, onde f satisfaz a condição de crescimento (.) e ser Carathéodory. Assuma as hipóteses do Teorema Então o problema possui solução fraca. Observação Note que, o resultado acima, vale também substituindo 3..4 pelos Teoremas 3.., 3..5 e

47 Capítulo 4 Ponto de Sela No presente capítulo, também temos como objetivo mostrar que o problema (.) tem solução fraca. Neste caso, garantiremos que o funcional φ definido em (.3) tem ponto crítico do tipo sela, utilizando o seguinte resultado: Teorema (Teorema do Ponto de Sela de Rabinowitz): Seja X um espaço de Banach, onde X = W Z é uma soma direta de um subespaço fechado W com Z e dimw <. Dado ρ > 0, considere Q = {u W : u ρ}. Para φ : X R C, defina: c := inf γ τ max u Q φ(γ(u)), onde τ = {γ C(Q, X); γ(u) = u em Q}. Se (i) max Q φ < b = inf Z φ, (ii) φ satisfaz a condição de Palais-Smale, então c b é um valor crítico de φ. Nas próximas seções iremos verificar que o funcional φ (.3), satisfaz as hipóteses do teorema anterior. Na seção 4., mostraremos que φ C (H0(), R). Na seção 4., demonstraremos resultados que irão validar as hipóteses (i) e (ii) do teorema anterior. E por último, na seção 4.3 mostraremos como aplicar o teorema Diferenciabilidade do funcional φ Vamos provar que φ é diferenciável. Sabemos por (.3) que φ(u) = u dx F (x, u)dx. 4

48 Denotaremos, φ (u) = u dx = u H 0 () e φ (u) = F (x, u)dx. A prova será dividida em duas etapas, primeiro mostraremos que φ C (H0(), R) e depois o mesmo para φ. Afirmação : φ é diferenciável. Seja u H 0(), então v H 0(), temos: φ (u) v = lim u + tv u t 0 t = lim u, v + t v t 0 = u, v = u, v. Agora vamos mostrar que de fato : φ (u) = u,., ou seja, que nossa candidata é realmente a derivada de φ, lim u + v u u, v v 0 v portanto φ é derivável em H 0(). v = lim v 0 v = lim v v 0 = 0, Para mostrar a continuidade de φ, provaremos que se u n u em H 0(), então: φ (u n ) φ (u) em H () ou seja, φ (u n ) φ (u) H (); 0, n +. Considere uma sequência (u n ) H 0(),tal que u n u converge fortemente em H 0(). Dados, ɛ > 0 e v H 0(); v, temos para n suficientemente grande: (φ (u n ) φ (u))v = u n u, v u n u v ɛ, 43

49 o que implica: Logo, φ (u n ) φ (u) H () = sup (φ (u n ) φ (u))v ɛ. v H0 (), v φ (u n ) φ (u) H () 0, n +, então φ é contínua e portanto φ C (H 0(), R). Afirmação : φ C (H 0(), R). Para a diferenciabilidade, considere u H 0(). Defina r por Resta mostrar r(v) = φ (u + v) φ (u) r(v) lim v 0 v = 0, f(x, u)vdx, v H 0(). (4.) ou seja, dado ɛ > 0, δ > 0 tal que se v < δ temos r(v) ɛ v. Usando a definição de φ, temos que (4.), fica : [ ] r(v) = F (x, u + v)dx F (x, u)dx Considere uma função g : [0, ] R, g(t) = F (x, u + tv). Note que, g é contínua e que g (t) = f(x, u + tv)v. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, f(x, u)vdx. (4.) 0 g (t) dt = g() g(0) f(x, u + tv)v dt = F (x, u + v) F (x, u) 0 f(x, u + tv)v dt dx = F (x, u + v) F (x, u) dx. 0 44

50 Usando a última igualdade em (4.), temos: [ 0 ] r(v) = f(x, u + tv)dt dx f(x, u)v dx [ 0 ] r(v) = (f(x, u + tv) f(x, u)) vdt dx [ 0 ] r(v) f(x, u + tv) f(x, u) v dt dx. Aplicando o Teorema de Fubini (..), obtemos: 0 [ ] r(v) f(x, u + tv) f(x, u) v dx dt. (4.3) Seja p = n n = e p = n n+, note que p + p =. Das imersões de Sobolev (..3), temos que v L p (). E ainda, f L p () pois, 0 f(x, u) p dx 0 0 [ c u p + b(x) ] dx c p u (p )p dx + b(x) p dx = K u (p )p dx b(x) p dx, como por hipótese b L p (), temos que sua integral é finita, logo: Note que: f(x, u) p dx K 0 u (p )p dx + K. (4.4) < p < n n = n + n < n n + < (p )p < n + n n n + = n n =, n 3 < (p )p <. Pela imersão de Sobolev (..3), temos u L (p )p (), logo: 0 u (p )p dx < +. 45

51 Segue que: 0 f(x, u) p dx < +, então f L p (). Aplicando a desigualdade de Hölder (..5) em (4.3): r(v) Agora vamos provar que: 0 f(x, u + tv) f(x, u) L p () v L p ()dt. f(x, u + tv) f(x, u) em L p (p ) (), uniformemente em t. Uma forma equivalente seria, f(x, u + tv n ) f(x, u) em L p p (), uniformamente em t, onde v n 0, quando n +. Considere v n H 0(), onde v n 0 em H 0(). Da imersão de Sobolev (..3), v n 0 em L p (), a menos de uma subsequência, pelo teorema (..4) temos v n (x) g(x), onde g L p (). E ainda, (u + tv n ) u em L p (). Assim, a menos de uma subsequência temos: Segue que (u + tv n )(x) u(x) q.t.p em. (u + tv n ) u(x) + t v n (x) u(x) + g(x), q.t.p em, t [0, ], onde u + g L p (). Note que f C( R, R), logo: f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) q.t.p em f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) p p 0, q.t.p em. Usando a condição de crescimento, hipótese inicial que temos sobre f: f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) p p ( c u + tv n p + b(x) + c u p + b(x) ) p p D[c p p u + tvn p + b(x) p + c p p u p + b(x) p ]. 46

52 Como t [0, ] e b(x) L p (), temos: f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) p p K u p + (g(x)) p + K + K 3 u p + K 4 K u p + (g(x)) p + K 5 L (). Pelo Teorema da Convergência Dominada (..) : ( ) lim f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) p p dx = 0. n Então, f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) em L p p (). E por último, mostremos a convergência uniforme em t [0, ]. Suponha por contradição, que não temos a convergência. Logo ɛ 0 > 0 e t nj [0, ]; f(x, u + t nj v nj (x)) f(x, u(x)) ɛ 0, n j N. Analogamente as contas anteriores, chegamos que a menos de subsequência, dado ɛ > 0, n 0 N; f(x, u + v nj (x)) f(x, u(x)) L p p () < ɛ, n j n 0, uma contradição com nossa suposição, logo : f(x, u + tv n ) f(x, u) em L p (), uniformemente em t,onde v n 0 em H 0(). Dado ɛ > 0, δ > 0; f(x, u + tv n ) f(x, u(x)) L p () < ɛ, sempre que v Lp < δ, t [0, ] temos então que (4.3) fica: pela Imersão de Sobolev (..3), r(v) ɛ v L p (), r(v) C ɛ v, com v < δ. Segue que φ é diferenciável, com: φ (u)v = f(x, u)vdx, v H0(). Agora, iremos mostrar que: φ (u + v n ) φ (u) H () 0, sempre que, v n 0, n +. 47

53 Considere uma sequência (v n ) H 0(), onde v n 0 em H 0(). Da imersão de Sobolev (..3), segue que v n 0 em L p (), logo (u + v n ) u em L p (). A menos de uma subsequência, (u + v n )(x) u(x) q.t.p em e (u + v n (x)) g(x) q.t.p em, onde g L p (). Como f C( R, R), temos: Portanto, f(x, u + v n (x)) f(x, u(x)) q.t.p em. f(x, u + v n (x) f(x, u(x)) p p 0 q.t.p em. Além disso, usando a condição de crescimento de f, b(x) L p e que u + v n (x) g(x) q.t.p em, temos: f(x, u + tv n (x)) f(x, u(x)) p p ( c u + tv n p + b(x) + c u p + b(x) ) p p c p p u + tvn p + b(x) p + c p p u p + b(x) p C u p + v n p + C + C 3 u p + C 4 C u p + g(x) p + C L (). Pelo Teorema da Convergência Dominada (..): ( ) lim f(x, u + v n (x)) f(x, u(x)) p p dx = 0, n segue que f(x, u + v n (x)) f(x, u(x)) em L p (). Logo, dado ɛ > 0, n 0 N tal que f(x, u + v n (x)) f(x, u(x)) L p () < ɛ, n n 0. Sendo h H0(), temos: φ (u + v n )h φ (u)h f(x, u + v n ) f(x, u) h dx. Como h L p () e f(x, u + v n ) f(x, u) L p (), podemos aplicar a desigualdade de Hölder (..5) e obter: φ (u + v n )h φ (u)h f(x, u + v n ) f(x, u) L p () h L p (). 48

54 Pela imersão de Sobolev (..3), φ (u + v n )h φ (u)h K f(x, u + v n f(x, u)) L p () h ɛ, se h. Então, temos: φ (u+v n ) φ (u) H () = logo sup (φ (u + v n ) φ (u)) h ɛ, n n 0, h H0 (), h φ (u + v n ) φ (u) H () 0. Portando, φ é contínuo e com isso, φ C (H 0(), R). Como φ, φ C (H 0(), R), mostramos então que φ C (H 0(), R). 4. Condição de compacidade Palais - Smale O próximo teorema irá nos garantir que φ é ilimitado inferiormente, note que com isso φ não será coercivo. Nossas hipóteses são: (i) O caso (C), ou seja, K + L r (), r > n são tais que µ (K + ) = µ (K ) =. (ii) As funções Γ e γ + L r (), r > n satisfazem respectivamente: Γ (x)ψ (x)dx < 0 < com ψ +, ψ > 0 soluções dos problemas { ψ+ = K + ψ + em γ + (x)ψ + (x)dx, (4.5) e ψ + = 0 na, { ψ = K ψ em ψ = 0 na, Observação 4... Note que a hipótese (C), está tanto na parte em que falamos de coercividade, quanto agora que iremos tratar da não coercividade do funcional. Apesar de parecer estranho, basta notar as hipóteses que foram feitas sob γ +, γ, Γ +, Γ em (4.) e no Teorema

55 Teorema 4... Assuma (C) e (4.5). Então: (i) φ(rψ + ), φ( rψ ), quando r +. (ii) Existe um hiperplano H que separa estritamente ψ + e ψ, onde o funcional φ é limitado inferiormente. Demonstração. Iniciaremos provando o item (i). Pela definição (.3) do funcional φ, temos que para r > 0: φ(rψ + ) = rψ + dx F (x, rψ + )dx, usando (3.0) na equação anterior: φ(rψ + ) = r ψ + dx r K + ψ + dx Por hipótese, µ (K + ) =, então podemos escrever: φ(rψ + ) = r ψ + dx r µ(k +) K + ψ + dx Usando o quociente de Rayleigh de µ (K + ), temos: φ(rψ + ) = r ψ + dx r ψ + dx então multiplicando por, ficamos com: r φ(rψ + ) = G + (x, rψ + )dx, φ(rψ +) r = G + (x, rψ + ). r G + (x, rψ + )dx. G + (x, rψ + )dx(4.6) G + (x, rψ + )dx, (4.7) Usando a propriedade lim sup a = lim inf( a) e o Lema de Fatou (..3), temos: φ(rψ + ) G + (x, rψ + ) G + (x, rψ + ) ψ + lim sup = lim inf dx lim inf dx r + r r + r r + r ψ + = γ + ψ + dx < 0, segue que quando r +, temos que φ(rψ + ). 50