Existência de soluções para uma classe de problemas elípticos não quadráticos no infinito

Transcrição

1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Existência de soluções para uma classe de problemas elípticos não quadráticos no infinito Renato Augusto Nascimento Santos João Pessoa PB Agosto de 204

2 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós Graduação em Matemática Mestrado em Matemática Existência de soluções para uma classe de problemas elípticos não quadráticos no infinito por Renato Augusto Nascimento Santos sob a orientação do Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro João Pessoa PB Agosto de 204

3 S237e Santos, Renato Augusto Nascimento. Existência de soluções para uma classe de problemas eĺıpticos não quadráticos no infinito / Renato Augusto Nascimento Santos. - João Pessoa, f. Orientador: Bruno Henrique Carvalho Ribeiro Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN. Matemática. 2. Equações diferenciais parciais. 3. Condição de Cerami. 4. Teorema de Deformação. UFPB/BC CDU: 5(043)

4

5 Aos meus pais Rosa e Jaime.

6 Agradecimentos Agradeço a Deus por mais uma etapa vencida. Aos meus pais, Rosa Nascimento e Jaime Santos por estarem ao meu lado, me apoiando, me incentivando. Ao Professor Bruno pela excelente orientação e pela paciência. Aos professores do DM-UFPB, em particular aos que tive a honra de ser aluno, Bruno Ribeiro, Antônio de Andrade, Alexandre Simas, Pedro Hinojosa, Aurélio Menegon e Napoleon Tosta. Aos professores da UEPB do campus de Patos-PB Wilker Lima e Francisco Sibério. Aos professores Napoleon Tosta e Vilmar Vaz por me recomendarem ao Mestrado em Matemática da UFPB onde fui aceito. A Lourdes Freire e seu esposo Arnaldo pelo acolhimento na cidade de João Pessoa- PB, duas pessoas abençoadas. A Maria de Fátima nos momentos em que sempre precisei estava me ajudando. Aos professores do curso de Matemática da UESC-BA Eduardo Palmeira, Cícero Alfredo, José Reis e Rosane Furtado, e aos colegas Marcos Ferreira e Danilo Souza. Aos colegas do Mestrado em Matemática da UFPB pelos momentos de estudo e descontração Cleiton Ricardo, Clemerson Menezes, Hudson Cavalcante, Luan Sousa e Jarbas Dantas. Enfim, a Capes pelo apoio financeiro.

7 Resumo Neste trabalho, estudamos o Teorema de Deformação usando a condição introduzida por Cerami [8]. Além disso, estudamos o seguinte problema de Dirichlet: { u = f(x, u), x u = 0, x onde é um domínio suave e limitado em R N e f : R R é uma função de Caratheodory com crescimento subcrítico. No problema acima, utilizamos novamente a condição de Cerami [8], para garantir a existência de solução não-trivial, para este propósito, usaremos Teorema Geral de Minimax provado pelo Bartolo em [2]. Palavras-chave: Equações diferenciais parciais, Condição de Cerami, Teorema de Deformação.

8 Abstract We study the deformation theorem using the condition introduced by Cerami [8]. Furthermore, we study the following Dirichlet problem: { u = f(x, u), x u = 0, x where is a smooth and bounded domain in R N and f : R R is a Caratheodory function with subcritical growth. In the above problem, we use the condition of Cerami [8] again, to ensure the existence of non-trivial solution. For this purpose, we use General Minimax Theorem proved by Bartolo in [2]. Keywords: Partial differential equations, Cerami condition, Deformation Theorem.

9 Sumário Introdução 2 Teorema de Deformação e princípio geral minimax 6. Teorema de Deformação Teorema Geral Minimax Problemas elípticos não quadráticos no infinito 20 A Resultados Básicos 46 B Grau Topológico 55 Referências Bibliográficas 57

10 Introdução Neste trabalho, temos como objetivo estudar problemas elípticos em domínios limitados de R N. Mais precisamente, considere o problema de Dirichlet: { u = f(x, u), x u = 0, x, () onde é um domínio suave e limitado de R N Carathéodory com crescimento subcrítico, isto é, e f : R R é uma função de f(x, s) a 0 s p + b 0, s R, x q.t.p. com a 0, b 0 > 0 constantes, p < 2N se N 3 e p < se N =, 2. N 2 Mostra-se que as soluções fracas u H0() de () são exatamente os pontos críticos em H0() do funcional onde F (x, s) = s 0 f(x, t)dt. J(u) = u 2 dx 2 F (x, u)dx, Neste caso, temos duas situações para o problema ():. A situação subquadrático, onde o potencial F satisfaz lim sup s + F (x, s) s 2 c < + ; 2. A situação superquadrático, onde F satisfaz lim sup s + F (x, s) s 2 = +. Vamos apresentar uma abordagem unificada para ambas as situações por meio de 2

11 uma condição de não-quadraticidade no infinito em F, ou seja, nossas hipóteses serão as seguintes: lim sup s + F (x, s) s q b < +, uniformemente para x q.t.p. (2) f(x, s)s 2F (x, s) lim inf a > 0, uniformemente para x q.t.p. s + s µ ou lim sup s + f(x, s)s 2F (x, s) s µ a < 0, uniformemente para x q.t.p. (3) Observemos que (2) é satisfeita com q = p. De fato, F (x, s) s q = s 0 f(x, t)dt s q s 0 (a 0 t p + b 0 )dt s q = (a 0/p) s p + b 0 s s p = a 0 p + b 0 s p, como p, obtemos lim sup s + F (x, s) s q b < +, onde b = a 0 p. A condição de não-quadraticidade no infinito foi introduzida em [3, 4] com µ = para o tratamento de sistemas elípticos subquadráticos, em particular, para uma grande classe de problemas de ressonância. A fim de ilustrar o seu significado, considere uma função f(x, s) = λs + g(s) para algum λ R. Assumimos que g satisfaça a condição Landesman-Lazer [7], Assim, lim g(s) = g ±, com g ± > 0. s + G(s) lim s + s = g ±. Logo, F satistaz (3) para todo µ, confira o apêndice A. Por outro lado, consideremos a condição 0 < θf (x, s) f(x, s)s, s R, uniformemente para x para algum θ > 2 e R > 0, introduzida por Ambrosetti e Rabinowitz [] para obter a solução não-trivial no caso superquadrático. Mostra-se que, 3

12 F (x, s) a s θ, s M, para algum a > 0. Logo, f(x, s)s 2F (x, s) F (x, s) (θ 2) (θ 2)a s µ s µ s θ µ. Assim, F satisfaz (3) para todo µ θ, confira o apêndice A. A condição de Landesman-Lazer ou a condição de Ambrosetti-Rabinowitz produz a condição de compacidade de Palais-Smale necessária para aplicar os métodos variacionais clássicos. No Capítulo, vamos provar um Teorema de Deformação, que se encontra no artigo do Bartolo et al [2]. Para isso, utilizaremos a condição do tipo Palais-Smale introduzida por Cerami em [8]. Também demonstraremos o Teorema Geral Minimax devido a Bartolo et al [2], que garante que o funcional J possui um valor crítico, dessa forma, iremos garantir que o problema () tem solução não-trivial. No Capítulo 2, demonstraremos que (2) e (3) (com uma restrição aos valores de µ) implicam numa condição de compacidade introduzida por Cerami [8] e usada por Bartolo et al [2] para provar o Teorema Geral de Minimax (também demonstrado no primeiro capítulo deste trabalho), a partir do qual o problema () tem solução não-trivial. Neste capítulo, vamos usar o artigo do Costa & Magalhães [5]. Mais precisamente, vamos supor o cruzamento do primeiro autovalor λ de (, H0()): lim sup s 0 2F (x, s) s 2 2F (x, s) α < λ < β lim inf, (4) s + s 2 uniformemente para x q.t.p. Dessa forma, no Teorema 2. iremos provar que se F satisfaz (2), (3) e (4) com µ > (N/2)(q 2), então o problema () tem solução não-trivial u H0(). Denotemos por 0 < λ < λ 2... λ j... os autovalores de (, H0()). Chamamos o problema () de ressonante ou duplamente ressonante, respectivamente, quando [ lim s + f(x, s) s = λ j ] ou [ λ j lim inf s + f(x, s) s lim sup s + f(x, s) s λ j+ ] para j, uniformemente para x q.t.p. Mais geralmente, o problema () é chamado ressonante ou duplamente ressonante respectivamente quando 2F (x, s) lim = λ s + s 2 j, uniformemente para x q.t.p. (5) 4

13 2F (x, s) λ j L(x) = lim inf s + s 2 uniformemente para x q.t.p. Vamos assumir que ou lim sup s + 2F (x, s) s 2 = K(x) λ j+, (6) ou lim [f(x, s)s 2F (x, s)] = +, uniformemente para x q.t.p. (7) s + lim [f(x, s)s 2F (x, s)] =, uniformemente para x q.t.p. (8) s + uma condição mais fraca que (3) com µ > 0. Assim, no Terorema 2.2 vamos demonstrar que se F satisfaz (6) então o problema () tem solução não-trivial u H 0() desde que: (i) F satisfaça (7) com λ j < L(x) em um conjunto de medida positiva; ou (ii) F satisfaça (8) com K(x) < λ j+ em um conjunto de medida positiva. Na demonstração dos Teoremas 2. e 2.2, utilizaremos o Princípio Geral Minimax, que será enunciado e provado no capítulo. No Apêndice A, enunciamos alguns resultados utilizados neste trabalho. No Apêndice B, enunciamos algumas propriedades da Teoria do Grau, as quais utilizamos na prova dos Teoremas 2. e 2.2 5

14 Capítulo Teorema de Deformação e princípio geral minimax Neste capítulo vamos provar o Teorema de Deformação usando a condição de Cerami, definida a seguir, que desempenha um papel fundamental na aplicação de argumentos tipo Ljusternik-Schnirelmann para a busca de pontos críticos de funcionais em espaços de Banach. Terminamos o capítulo demonstrando um teorema geral de ponto crítico devido a Bartolo et al [2], dessa forma, usaremos esse teorema no Capítulo 2, para garantir a existência de solução não-trivial para o problema (). Vamos introduzir algumas notações. Denotemos por X um espaço de Banach real e X o dual. Se f é uma aplicação contínua Fréchet diferenciável de X em R, ou seja, f C (X, R), f (u) denota a derivada de Fréchet de f no ponto u X. Na literatura, os teoremas de deformação foram provados nos casos em que f C (X, R) satisfazia a condição de Palais-Smale. Essa condição pode ser expressa como segue: f satisfaz a condição de Palais-Smale no intervalo (c, c 2 ), onde c < c 2 +, se (i) toda sequência limitada {u n } f (c, c 2 ), com {f(u n )} limitada e f (u n ) 0, possui uma subsequência convergente, e (ii) {u n } f (c, c 2 ), {f(u n )} limitada e u n + quando n + então f (u n ) α > 0 para n suficientemente grande. Agora, vamos definir a condição de Cerami, que será utilizada na demonstração do Teorema de Deformação. 6

15 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Definição.. Diremos que f C (X, R) satisfaz a condição de Cerami (C) em (c, c 2 ) com c < c 2 + se (i) dada uma sequência limitada {u n } f (c, c 2 ), com {f(u n )} limitada e f (u n ) 0, então {u n } possui uma subsequência convergente, e (ii) dado c (c, c 2 ) existem σ, R, α > 0 tais que [c σ, c + σ] (c, c 2 ) e para todo u f ([c σ, c + σ]), u R temos que f (u) u α. Observemos que uma condição similar a (C) foi introduzida por Cerami em [8] e aplicada à busca de pontos críticos de um funcional em uma Variedade Rimanniana (confira [9]). Vamos provar que a condição (C) é suficiente para obter um Teorema da Deformação. Para isso, definiremos alguns conjuntos: Sejam X = {u X : f (u) 0} e para c R, A c = {u X : f(u) c}, K c = {u X : f (u) = 0, f(u) = c}. Utilizaremos o seguinte lema, Lema.. Se f C (X, R), então existe uma aplicação localmente Lipschitz contínua φ : X X satisfazendo as seguintes condições: φ(u) 2 f (u) e f (u), φ(u), u X. (.) Prova: Seja u X, logo u X tal que f (u) 0. Como f C (X, R) obtemos f (u) = sup f (u), w. w = Dessa forma, dados ɛ > 0 e x X existe y xɛ X tal que y xɛ = e f (u) ɛ < f (u), y xɛ. Tomemos ɛ = f (u) > 0 pois, f (u) 0. Assim 3 f (u) f (u) 3 < f (u), y xɛ o que implica 2 3 f (u) < f (u), y xɛ. f Definimos a função l : X (u) X tal que l(u) = f (u). Agora, tomemos u 2 v = 3 2 l(u) y xɛ. Afirmamos que u v é um vetor pseudo-gradiente para f em u X. De fato, u v = 3 2 l(u) y xɛ = 3 l(u) < 2 l(u). 2 7

16 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Assim, u v < 2 f (u) f (u) 2 = 2 f (u), logo u v < Além disso f (u), u v = 2 f (u). f (u), 3 2 l(u) y xɛ = 3 2 l(u) f (u), y xɛ > 3 2 l(u) 2 3 f (u) = l(u) f (u) = f (u) f (u) 2 f (u) =. logo, f (u), u v >. Como X é um conjunto aberto, existe uma vizinhança aberta V v de v com V v X tal que h v < 2 f (w) e f (w), h v > para todo w V v. Agora tomemos V = {V v : v X} uma cobertura aberta de X. Observe que X é um espaço métrico completo, logo X é paracompacto. Dessa forma, para cada τ Γ existe v X tal que V vτ V v. Assim u v < 2 f (w) e f (w), u v > para todo w V vτ. Para cada τ Γ defina α τ : X R por ατ (w) = d(w, X \ V vτ ). Definimos também a função φ : X X por com u τ = 3 2 l(u τ) y xτ. Observemos que φ(w) = α τ (w) τ Γ α γ (w) u τ γ Γ α τ (w) = 0 se w X \ V vτ e α τ (w) = d(w, X \ V vτ ) se w V vτ. Pela definição de paracompacidade, a cobertura aberta V = {V v : v X} de X é localmente finita, assim dado w X existe um número finito de índices q w tais que τ Γ e α τ (w) 0. Logo φ(w) = α τ (w) τ Γ α γ (w) u qw τ = γ Γ k= α τ k (w) u τ. α γp (w) q w p= 8

17 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Dessa forma φ(w) = q w k= α τ k (w) u τ α γp (w) q w p= q w k= α τ k (w) u τ α γp (w) q w p= = u τ = u τ < 2 f (w) além disso f (w), φ(w) = f (w), q w k= α τ k (w) u τ = α γp (w) q w p= q w k= α τ k (w) f (w), u τ α γp (w) q w p= = f (w), u τ = f (w), u τ >. Logo, φ(w) é um vetor pseudo-gradiente para f em w. Além disso, φ é uma soma finita de funções que são localmente Lipschitziana, para uma determinada vizinhança. Assim, existe uma vizinhança onde φ é localmente Lipschitziana. Dessa forma, φ é um campo pseudo-gradiente para f em X.. Teorema de Deformação O Teorema de Deformação garante a existência de um homeomorfismo limitado η : X X tal que podemos deformar o conjunto A c+ɛ no conjunto A c ɛ, sob certas condições em c R. Vamos apresentar o Teorema de Deformação que encontra-se em [2]. Teorema.. (Teorema de Deformação) Seja X um espaço de Banach real e seja f C (X, R) satisfazendo a condição (C) em (c, c 2 ). Se c (c, c 2 ) e N é uma vizinhança qualquer de K c, então existem um homeomorfismo limitado η de X em X e constantes ɛ > ɛ > 0 tal que [c ɛ, c + ɛ] (c, c 2 ), satisfazendo as seguintes propriedades: η(a c+ɛ \N) A c ɛ, (.2) η(a c+ɛ ) A c ɛ se K c = (.3) η(x) = x se x f ([c ɛ, c + ɛ]). (.4) 9

18 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Prova: Seja c (c, c 2 ). Suponhamos que K c. Primeiro observemos que, pela condição (C), K c é compacto. De fato, seja u K c então, u X tal que f (u) = 0 e f(u) = c. Notemos que, u f (c) e c (c, c 2 ). Se u R, onde R > 0, teríamos pela condição (ii) que f (u) u α com α > 0. Sendo f (u) = 0, obteríamos 0 α, absurdo. Logo, o conjunto K c é limitado. Assim, dada uma sequência (u k ) K c, temos que f (u k ) = 0 e f(u k ) = c, além disso, a sequência (u k ) é limitada, pois o conjunto K c é limitado. Pela condição (i), a sequência (u k ) possui uma subsequência convergente, digamos u kn u. Afirmamos que u K c. De fato, como f C (X, R), obtemos 0 = lim f (u kn ) = f (u) e c = lim f(u k n ) = f(u), n + n + assim, u K c. Logo, K c é compacto. Seja M λ o aberto λ-vizinhança de K c, ou seja, M λ = {u X : d(u, K c ) < λ} onde λ > 0 e d(u, K c ) denota a distância de u ao conjunto K c. Vamos provar (.2). Sendo K c compacto, tomemos δ > 0 tal que N = M δ. A hipótese (i) implica que existem ɛ, ɛ 2, b, b > 0 tais que f (u) > b, u (A c+ ɛ \A c ɛ ) (M δ \M δ/8 ) (.5) f (u) > b, u (A c+ ɛ2 \A c ɛ2 ) (B R \M δ/8 ) (.6) Suponhamos que (.6) não ocorre, então existem sequências b k 0, ɛ k 0 e u k (A c+ɛk \A c ɛk ) (B R \M δ/8 ) com f (u k ) b k. Assim, c ɛ k < f(u k ) c + ɛ k e como f (u k ) b k fazendo k + obtemos f(u k ) c e f (u k ) 0. Sendo u k R, (u k ) k N é limitada, por (i) existe uma subsequência convergente, u kn u. Daí, 0 = lim f (u kn ) = f (u) e c = lim f(u k n ) = f(u), n + n + 0

19 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax assim, u K c. Por outro lado, como (u k ) M δ/8 temos que δ 8 d(u k n, K c ) d(u kn, a), onde a K c. Sendo u kn u, obtemos δ 8 d(u, a) o que implica u M δ/8. Mas, K c M δ/8. De fato, pois caso contrário existiria v K c com v M δ/8. Assim, δ 8 d(v, K c) d(v, y) com y K c. Tomando y = v, obtemos δ 0, absurdo! 8 Da mesma forma, se não tivermos (.5), então existiriam sequências b k 0, ɛ k 0 e u k (A c+ɛk \A c ɛk ) (M δ \M δ/8 ) com f (u k ) b k. Assim, c ɛ k < f(u k ) c + ɛ k e como f (u k ) b k fazendo k + obtemos f(u k ) c e f (u k ) 0. Como u k M δ temos que d(u k, u) := u k u < λ, para todo u K c. Sendo K c limitado, em particular é compacto, segue que u c, onde c é uma constante. Daí, u k u k u + u < λ + c, logo (u k ) k N é limitada. Por (i), (u k ) k N possui uma subsequência convergente, digamos u kn z. Sendo f C (X, R), obtemos 0 = lim f (u kn ) = f(z) e c = lim f(u k n ) = f(z), n + n + logo, z K c. Assim, chegaríamos no mesmo absurdo da demonstração do item (.6), uma vez que K c M δ/8. Por (ii) existe ɛ 3 < min { } bδ 8, σ tal que f (u) > 0, u (A c+ ɛ3 \A c ɛ3 )\M δ/8. (.7) De fato, se não ocorresse (.7), existiria u 0 (A c+ ɛ3 \A c ɛ3 )\M δ/8 com f (u 0 ) = 0. Assim, c ɛ 3 < f(u 0 ) c + ɛ 3, isto é, u 0 f ((c ɛ 3, c + ɛ 3 ]). Se u 0 R, onde R > 0, então por (ii), teríamos f (u 0 ) u 0 α, com α > 0. Mas, f (u 0 ) = 0 e portanto 0 α o que é um absurdo. Tomando ɛ < min{ ɛ, ɛ 2, ɛ 3 }, temos que valem as expressões (.5), (.6) e (.7) com ɛ.

20 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Seja 0 < ɛ < ɛ e consideremos os conjuntos A = {u X : f(u) c + ɛ ou f(u) c ɛ} e B = {u X : c ɛ f(u) c + ɛ} Definimos a função, Notemos que χ (x) = d(x, A) d(x, A) + d(x, B). χ (x) = 0, x A, χ (x) =, x B e 0 χ (x), x X. A função χ (x) é localmente Lipschitz contínua. De fato, dados x, y X, notemos que, = = = = χ (x) χ (y) = d(x, A) d(x, A) + d(x, B) d(y, A) d(y, A) + d(y, B) d(x, A)[d(y, A) + d(y, B)] d(y, A)[d(x, A) + d(x, B)] [d(x, A) + d(x, B)][d(y, A) + d(y, B)] d(x, A) d(y, B) d(y, A) d(x, B) [d(x, A) + d(x, B)][d(y, A) + d(y, B)] d(x, A) d(y, B) d(y, A) d(y, B) + d(y, A) d(y, B) d(y, A) d(x, B) [d(x, A) + d(x, B)][d(y, A) + d(y, B)] d(y, B)[d(x, A) d(y, A))] + d(y, A)[d(y, B) d(x, B)] [d(x, A) + d(x, B)][d(y, A) + d(y, B)] = d(x, y) d(y, A) + d(y, B) d(x, A) + d(x, B) d(y, A) + d(y, B) d(x, y) d(x, A) + d(x, B). Daí, dado z X, temos que d(z, A) + d(z, B) > 0. 2

21 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Logo, existe k > 0 e uma vizinhança V de z tal que d(x, A) + d(x, B) k > 0, x V. Portanto, χ (x) χ (y) kd(x, y), o que mostra que χ é localmente Lipschitz. localmente Lipschitz contínua χ 2 com Da mesma forma, existe uma função χ 2 (x) =, x X\M δ/4, χ 2 (x) = 0, x M δ/8 e 0 χ 2 (x), x X. Então, a função definida por χ(x) = χ (x) χ 2 (x), x X χ : X [0, ] tal que χ(u) = é localmente Lipschitz contínua. Consideremos a aplicação V : X X definida por { 0, se u f ([c ɛ, c + ɛ]) ou u M δ/8, se u f ([c ɛ, c + ɛ]) e u M δ/8 (.8) V (u) = { χ(u) φ(u), u X 0, u X, (.9) onde φ é a função definida no Lema.. Notemos que V é uma aplicação localmente Lipschitz contínua em X. Assim, pelo Lema., V (u) 2 f (u), u X. (.0) Vamos mostrar que V (u) k + k 2 u, (.) onde k, k 2 > 0 são independentes de u X. Se u f ([c ɛ, c + ɛ])\m δ/8, temos que χ(u) = 0, assim V (u) = 0. Logo, 0 = V (u) k + k 2 u onde k, k 2 > 0. Se u f ([c ɛ, c + ɛ])\m δ/8, observemos dois casos: 3

22 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax ( a ) u R: sendo ɛ < σ, a condição (ii) de (C) implica que, f (u) u α f (u) α u. Por (.0) obtemos V (u) 2 α u k + k 2 u ; onde k > 0 e k 2 = 2 α > 0. (2 a ) u < R: então, por (.6) existe b > 0 tal que f (u) > b usando novamente (.0) e a desigualdade acima, temos que V (u) 2 f (u) < 2 b daí, V (u) é limitada. Por ( a ) e (2 a ) concluimos que V (u) k + k 2 u onde k, k 2 > 0 são independentes de u X. Agora, consideremos o problema de valor inicial dη dt = V (η) e η(0) = x onde x X. Como V é localmente Lipschitz contínua, para cada valor inicial x X, o problema de valor inicial possui uma única solução η(, x). Por (.), a solução é definida em R + = {t R : t 0}. Fixemos t R +, pelo Teorema de Picard (conforme [6]) e usando (.), a aplicação η(t, ) : X X é um homeomorfismo limitado de X em X. Assim, e para Consideremos η(t, x) = x, x R +. dη dt = 0 x f ([c ɛ, c + ɛ]) ou x M δ/8, obtemos V (η(t, x)) = V (x) = 0. 4

23 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Dessa forma, η satisfaz o problema de valor inicial. Assim, para cada t R +, η(t, ) satisfaz (.4). Resta provarmos que existe t tal que η( t, ) satisfaz (.2). Primeiro vamos provar que (*) para cada x X a aplicação definida por s x (t) = f(η(t, x)), t R + é não-crescente em R +. De fato, para t > 0: d dt s x(t) = f (η(t, x)), ddt η(t, x) = f (η(t, x), V (η(t, x)). Então, se η(t, x) X temos que V (η(t, x)) = 0, assim d dt s x(t) = 0. Se η(t, x) X, então d dt s x(t) = f (η(t, x)), ddt η(t, x) = f (η(t, x), V (η(t, x)) = f (η(t, x), χ(η(t, x)) φ(η(t, x)) = χ(η(t, x)) f (η(t, x), φ(η(t, x)). Usando o Lema., temos que d dt s x(t) = χ(η(t, x)) f (η(t, x), φ(η(t, x)) χ(η(t, x)) 0. Portanto, s x (t) = f(η(t, x)), t R + é não-crescente em R +. Para provarmos (.2) consideremos o conjunto Y = (A c+ɛ \A c ɛ )\M δ e vamos mostrar que t > 0 tal que x Y, η( t, x) A c ɛ. Para isso, definimos o conjunto Z = (A c+ɛ \A c ɛ )\M δ/2. Mostraremos primeiro que (**) para cada x Y, existe t x 2ɛ tal que η(t x, x) Z. 5

24 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax De fato, seja x Y e t > 0 tal que η(w, x) Z, w [0, t]. Vamos provar que t < 2ɛ. Por (.7) Z X. Pois, tomando z Z temos que z A c+ɛ \A c ɛ e z M δ/2. Notemos que, δ 2 d(z, K c) mas, δ 8 δ 2 d(z, K c) de onde segue que z M δ/8. Assim, z (A c+ɛ \A c ɛ )\M δ/8. Usando (.7), f (z) > 0, isto é, f (z) 0. Logo, z X. Assim, Z X. Dessa forma, η(w, x) Z X, w [0, t], além disso, como η(w, x) Z, então η(w, x) (A c+ɛ \A c ɛ ) e η(w, x) M δ/2. Observemos que, δ 4 δ 2 d(η(w, x), K c) η(w, x) M δ/4. Assim, η(w, x) (A c+ɛ \A c ɛ )\M δ/4. Por (.8), χ(η(w, x)) = e usando o Lema (.) temos que d dt s x(w) = χ(η(t, w)) f (η(t, w), φ(η(t, w)) = f (η(t, w), φ(η(t, w)) d dt s x(w) w [0, t]. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, t d s x (0) s x (t) = 0 dw s x(w)dw t 0 dw = t. (.2) Observemos que, como s x (t) = f(η(t, x)), s x (0) = f(η(0, x)) e sendo η(t, x) Z, segue que c ɛ < s x (t) c + ɛ e c ɛ < s x (0) c + ɛ o que implica s x (0) s x (t) < c + ɛ (c ɛ) = 2ɛ. Pela desigualdade acima e usando (.2), obtemos t < 2ɛ, 6

25 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax o que prova (**). Consideremos o caso em que a órbita η(, x) x Y, entra em M δ/2. Seja t 2 o primeiro instante em que η(, x) M δ/2. Vamos mostrar que, (***) existe um instante t 0 t 2 tal que η(t 0, x) A c ɛ. Para provarmos (***) argumentamos por contradição. De fato, suponhamos que (***) não seja verdade, ou seja, para todo t [0, t 2 ] temos que η(t, x) A c ɛ. Observemos que, t t 2, temos η(t, x) M δ/2. Além disso, x Y, temos que f(x) c + ɛ, e sendo t 0, a função f(η(t, x)) é não-decrescente então, f(η(t, x)) f(η(0, x)) = f(x) c + ɛ e como η(t, x) A c ɛ, temos que η(t, x) (A c+ɛ \A c ɛ )\M δ/2 = Z. Logo, por (**), obtemos t 2 < 2ɛ. (.3) Por outro lado, seja t o último instante antes de t 2 em que η(, x) M δ. Notemos que η(t, x) (A c+ɛ \A c ɛ ) (M δ \M δ/2 ), t (t, t 2 ]. e por (.5) temos que f (η(t, x)) > b, t [t, t 2 ]. Além disso, χ(η(t, x)) =. Então, usando o Lema (.), podemos escrever δ 2 η(t 2, x) η(t, x) = = t2 t t2 t V (η(t, x))dt t2 [ χ(η(t, x)) φ(η(t, x))]dt φ(η(t, x)) dt t t2 2 t f (η(t, x)) dt < t2 t 2 b dt = 2 b (t 2 t ) < 2 b t 2 t 2 > bδ 4. 7

26 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax { } bδ Usando ɛ < min 8, σ na última desigualdade, segue que t 2 > 2 ɛ > 2ɛ, mas isto contradiz (.3). Portanto, vale (***). Por (**) e (***) concluímos que para cada x Y existe t x tal que η(t x, x) A c ɛ. Em qualquer caso, podemos escolher t x 2ɛ. Finalmente em seguida tomando t = 2ɛ, temos que existe t > 0 tal que para todo x Y η( t, x) A c ɛ e o teorema esta provado. O próximo resultado garante que o funcional J : H0() R definido por J(u) = u 2 dx F (x, u)dx possui um valor crítico, este fato será crucial para mostrarmos que o problema () tem solução não-trivial. Para mostrarmos o teorema abaixo 2 utilizaremos o teorema anterior..2 Teorema Geral Minimax Teorema.2. (Bartolo et al [2]) Seja J C (X, R), onde X é um espaço de Hilbert satisfazendo a condição (C) c para todo c > 0 e suponha que existam um subconjunto fechado S X e Q X, com a fronteira de Q, limitada satisfazendo as seguintes condições:. sup J(u) α < β inf J(u) para 0 α < β; u Q u S 2. S e Q estão linkados; 3. sup J(u) < +. u Q Então, J possui um valor crítico c β. Prova: Suponhamos por absurdo que c não é um valor crítico, isto é, K c =. Pelo Teorema de Deformação dado ɛ > 0 com ɛ < c β, existe um homeomorfismo limitado η : X X tal que Observemos que c = inf sup h Γ u Q Assim, existe g Γ tal que sup u Q Pela hipótese, sup u Q η(a c+ɛ ) A c ɛ se K c = e η(x) = x se x J ([c ɛ, c + ɛ]). J(h(u)) onde Γ = {h C(X, X) : h(x) = x, x Q}. J(u) < β, assim sup u Q J(g(u)) c + ɛ. Agora consideremos Φ(u) = η(g(u)). J(u) < β < c ɛ. Dessa forma, J(u) [c ɛ, c + ɛ], ou seja, u J ([c ɛ, c + ɛ]). 8

27 . Teorema de Deformação e princípio geral minimax Logo, Φ(u) = η(g(u)) = η(u) = u, com u Q. Assim, Φ Γ. Notemos que, J(g(u)) sup J(g(u)) c + ɛ, o que implica J(g(u)) c + ɛ, daí g(u) A c+ɛ. Usando u Q novamente o Teorema de Deformação, Φ(u) = η(g(u)) A c ɛ, logo J(Φ(u)) c ɛ, obtemos sup J(Φ(u)) c ɛ. Como c = inf u Q c ɛ, assim c c ɛ, o que é um absurdo. sup h Γ u Q J(h(u)), temos que c sup J(Φ(u)) u Q 9

28 Capítulo 2 Problemas elípticos não quadráticos no infinito Neste capítulo, nosso objetivo é garantir a existência de solução não-trivial para o problema (). Para isso, vamos provar alguns lemas que serão utilizados na demostração dos teoremas 2. e 2.2. Algumas notações que iremos utilizar durante o capítulo: Denotemos por E a medida de Lebesgue de um conjunto mensurável E R N, por p a norma em L p () e por a norma em H0() induzida pelo produto interno u, v = u vdx, u, v H0(). A condição que vamos utilizar é do tipo Palais-Smale introduzida por Cerami em [8], a saber; dizemos que J C (X, R), com X um espaço de Banach real, satisfaz a (condição de Cerami no nível c R) (C) c se: (C) c (i) toda sequência limitada (u n ) X, tal que J(u n ) c e J (u n ) 0, possui uma subsequência convergente; (C) c (ii) existem constantes δ, R, α > 0 tais que J (u) u α para qualquer u J ([c δ, c + δ]) com u R. Observações:. As condições (i) e (ii) acima estão implícitas na conhecida condição de Palais-Smale no nível c R, (P S) c, a saber toda sequência (u n ) X tal que J(u n ) c e J (u n ) 0 possui uma subsequência convergente. 2. No problema (), a condição de crescimento subcrítico de f dá automaticamente (C) c (i) para todo c R, pois usando a Proposição A.2, obtemos uma subsequência 20

29 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito convergente, sempre que uma sequência limitada satisfaz J(u n ) c e J (u n ) 0. Além disso, a condição de Cerami acima com c (0, + ) implica na Definição. com (c, c 2 ) = (0, + ). De fato, considere uma sequência (u n ) n N limitada com (u n ) J (c, c 2 ) e J (u n ) 0. Como (J(u n )) n N é limitada, tomemos (u nk ) tal que (J(u nk )) seja convergente. Sendo (J(u nk )) convergente, então J(u nk ) c onde c [c, c 2 ], então (u nk ) possui uma subsequência convergente. Agora, vamos demonstrar dois lemas que serão utilizados na prova do teorema principal do capítulo, que será visto mais adiante. Recordemos a desigualdade de interpolação que será usada na demonstração do Lema 2.: u q u t µ u t r, u L µ () L r (), onde 0 < µ q r com q = tµ + ( t)r, t [0, ]. Lema 2.. Se F satisfaz (2) e (3) com µ > N (q 2) (ou µ > q 2 se N =, 2) então 2 J satisfaz (C) c para todo c R. Prova: Suponhamos que, lim inf s f(x, s)s 2F (x, s) s µ Então dado ɛ > 0 com a > ɛ > 0, existe δ > 0 tal que f(x, s)s 2F (x, s) s µ a > 0 uniformemente para x q.t.p. a ɛ, s δ e x q.t.p. Logo, f(x, s)s 2F (x, s) (a ɛ) s µ, s δ e x q.t.p. Tomemos a = a ɛ > 0. Assim, f(x, s)s 2F (x, s) a s µ, s δ e x q.t.p. Por outro lado, para s δ e x q.t.p. temos que f(x, s)s 2F (x, s) a s µ f(x, s) s + 2 F (x, s) + a s µ, usando a condição de crescimento subcrítico, ( ) f(x, s) s + 2 F (x, s) + a s µ (a 0 s p a0 + b 0 ) s + 2 p s p + b 0 s + a s µ a 0 δ p + b 0 δ + 2 a 0 p δp + 2b 0 δ + a δ µ = d onde d é uma constante maior que zero. Logo f(x, s)s 2F (x, s) a s µ d, 2

30 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito a s µ d f(x, s)s 2F (x, s), s δ e x q.t.p. Como f(x, s)s 2F (x, s) a s µ, s δ e x q.t.p. temos que f(x, s)s 2F (x, s) a s µ d, s δ e x q.t.p. Portanto, existem constantes a > 0 e d > 0 tais que a s µ d f(x, s)s 2F (x, s), s R e x q.t.p. (2.) Usaremos (2.) para provar que J satisfaz as condições (C) c (i) e (C) c (ii). Pela observação que fizemos no início do capítulo, a condição (C) c (i) é satisfeita usando a Proposição A.2. Agora, a fim de verificar (C) c (ii), suponhamos por contradição que existe c R e uma sequência (u n ) H0() tais que J(u n ) c, J (u n ) u n 0 e u n quando n. Usando (2.), obtemos a u n µ d f(x, u n )u n 2F (x, u n ), o que implica Assim, (a u n µ d )dx [f(x, u n )u n 2F (x, u n )] dx, a u n µ dx d dx [f(x, u n )u n 2F (x, u n )] dx, logo, = a u n µ µ d = 2 f(x, u n )u n dx [f(x, u n )u n 2F (x, u n )] dx u n 2 dx + u n 2 dx 2F (x, u n )dx ( ) [ ] u n 2 dx F (x, u n )dx un 2 f(x, u n )u n dx 2 = 2J(u n ) J (u n )u n, o que implica que 22

31 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito a u n µ µ d 2J(u n ) J (u n )u n. Como J(u n ) c e J (u n ) u n 0 quando n +, vemos que, as sequências (J(u n )) n N e (J (u n )u n ) n N são limitadas, daí existe k > 0 tal que a u n µ µ d k, logo, u n µ µ k, com k > 0. Assim, u n µ A, onde A > 0. Portanto u n L µ () e ( u n µ ) n N é uma sequência limitada. Por outro lado, usando (2), lim sup s F (x, s) s q b < uniformemente para x q.t.p. Então, dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que F (x, s) s q b + ɛ, s δ e x q.t.p. Daí, F (x, s) (b + ɛ) s q, s δ e x q.t.p. Tomando b 2 = b + ɛ > 0, tem-se Para s δ e x q.t.p. temos que F (x, s) b 2 s q, s δ e x q.t.p. F (x, s) b 2 s q F (x, s) + b 2 s q. Usando a condição de crescimento subcrítico F (x, s) + b 2 s q a 0 p s p + b 0 s + b 2 s q a 0 p δp + 2b 0 δ + b 2 δ q = d 2 Daí, F (x, s) b 2 s q d 2. F (x, s) b 2 s q + d 2 s δ e x q.t.p. Como F (x, s) b 2 s q, s δ e x q.t.p. temos que F (x, s) b 2 s q + d 2, s δ e x q.t.p. Portanto, existem constantes b 2 > 0 e d 2 > 0 tais que F (x, s) b 2 s q + d 2, s R e x q.t.p. 23

32 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Observemos que 2 u n 2 J(u n ) = 2 u n 2 u n 2 dx + F (x, u n )dx 2 = F (x, u n )dx (b 2 u n q + d 2 )dx = b 2 u n q q + d 2 2 u n 2 J(u n ) b 2 u n q q + d 2. Logo, Como estamos assumindo que µ q, tomando 2 u n 2 J(u n ) b 2 u n q q + d 2. (2.2) r = 2N/(N 2) com N 3 (ou q r < se N =, 2) e usando a desigualdade de interpolação, vamos estimar (2.2). De (2.2) temos que 2 u n 2 J(u n ) b 2 u n q q + d 2 2 u n 2 b 2 u n tq µ u n ( t)q r + d 2 + J(u n ). Como (J(u n )) n N é convergente, logo é limitada e usando a desigualdade de Sobolev e o fato que ( u n µ ) é limitada, obtemos a seguinte estimativa: 2 u n 2 b 2 u n tq µ u n ( t)q r + d 2 + J(u n ) b 2 A tq k ( t)q u n ( t)q + d 2 + k 2 u n 2 B u n ( t)q + C, 2 u n 2 2 u n 2 B u n ( t)q + C, (2.3) onde B = b 2 A tq k ( t)q e C = d 2 + k são constantes. Finalmente, uma vez que estamos tomando µ > N(q 2)/2 no caso N 3, segue que q( t) < 2. De fato, suponhamos que q( t) 2, então q 2 qt. Sendo µ > N(q 2)/2, obtemos µ > (Nqt)/2, como µ q, segue que µ > (Nqt)/2 (Nµt)/2 > (Nt)/2 2 > Nt. 24

33 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Sendo t [0, ], tomemos t =, assim 2 > N, absurdo. Logo, q( t) < 2. Daí, 2 u n 2 B u n ( t)q + C < B u n 2 + C 2 u n 2 < B u n 2 + C. Portanto, ( u n ) n N é limitada, o que é um absurdo, pois u n +. Nos casos N =, 2 a condição q( t) < 2 é equivalente a µ > r(q 2)/(r 2), onde q r < +. De fato, suponhamos que q( t) < 2, como q = tµ +( t)r, t [0, ], segue que, multiplicando q a ambos os membros da última igualdade = qtµ + qr qtr o que implica = qt(µ r ) + qr, notemos que, q( t) < 2 dessa última desigualdade obtemos q 2 < qt, daí (q 2)(µ r ) + qr < qt(µ r ) + qr = (q 2)(µ r ) + qr < qµ qr 2µ + 2r + qr < Como µ > 0, segue que µ (q 2) + 2r <. q 2 + 2µr < µ q 2 < Se, µ > r(q 2)/(r 2). Sendo ( 2 ) µ q 2 r (r 2)/r < µ µ > r(q 2)/(r 2). q = tµ ( t)r, t [0, ] 25

34 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito então, t = [q + ( t)r ]µ, sendo µ > r(q 2)/(r 2), segue que t = [q + ( t)r ]µ > [q + ( t)r ][r(q 2)/(r 2)] tq > r Observemos que, r 2 sendo q r, segue que Logo, r(q 2) r 2 q( t)q 2 r 2 ( ) r q( t) tq > (q 2). r 2 r 2 r r 2 r Como lim r + r 2 suponhamos que < r( t) r 2 q( t) r 2 ( ) r q( t) = (q 2) r 2 r 2 > 0, com r > 2, caso contrário, r r 2 r < r( t) t < 0, o que é um absurdo. ( ) r q( t) tq > (q 2) q 2 tq > q 2. r 2 r 2 usando o fato de µ > q 2, obtemos = e sendo µ > q 2, temos que q( t) < 2. q( t) 2, < q( t) r 2, Com efeito, µ > q 2 qt µ > qt, tomando t =, temos µ > q, absurdo, pois µ q. Assim, q( t) < 2. Usando novamente a expressão (2.3), obtemos 2 u n 2 B u n ( t)q + C < B u n 2 + C 2 u n 2 < B u n 2 + C. Concluímos que, ( u n ) n N é limitada, o que é um absurdo, pois u n +. Nosso próximo resultado, que será utilizado também na demostração do Teorema 2.2, mostra que a situação subquadrático mesmo enfraquecida por (7) ou (8) garante que vale (C) c c R. Além disso, a condição (7) ou (8) nos permite obter problemas de ressonância e duplamente ressonantes, sem a necessidade de ter uma limitação no quociente f(x, s)/s. 26

35 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Lema 2.2. Se F satisfaz (6) e ((7) ou (8)) então J satisfaz (C) c, c R. Prova: Suponhamos que F satisfaz (6) e (7) e por negação que J não satisfaz (C) c (ii) para algum c R. Então, existe uma sequência (u n ) H 0() tal que J(u n ) c, J (u n ) u n 0 e u n + quando n +. Observemos que Logo, [f(x, u n )u n 2F (x, u n )]dx = 2J(u n ) J (u n )u n. lim [f(x, u n )u n 2F (x, u n )]dx = lim [2J(u n ) J (u n )u n ] = 2c. (2.4) n n Vamos mostrar que lim [f(x, u n )u n 2F (x, u n )]dx = + chegando num absurdo. n Afim de verificar este fato, faremos a seguinte afirmação. Afirmação 2.. Existe 0 com 0 > 0 tal que u n (x) +, x 0 q.t.p. Usando a afirmação anterior e a condição (7), temos que Além disso, como que lim [f(x, u n(x))u n (x) 2F (x, u n (x))] = + com x 0 q.t.p. n lim [f(x, s)s 2F (x, s)] = +, então dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal s + Por outro lado, para s δ, temos que f(x, s)s 2F (x, s) > ɛ, s δ. ( ) f(x, s)s 2F (x, s) f(x, s) s + 2 F (x, s) (a 0 s p a0 + b 0 ) s + 2 p s p + b 0 s M, onde M > 0. Logo, f(x, s)s 2F (x, s) M, s δ. Sendo, f(x, s)s 2F (x, s) > ɛ, s δ, obtemos f(x, s)s 2F (x, s) > ɛ > M, s δ. Dessa forma, f(x, s)s 2F (x, s) M, s R, x q.t.p. 27

36 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Daí, f(x, u n )u n 2F (x, u n ) M, x q.t.p. Tomemos Q n = f(x, u n )u n 2F (x, u n ). Uma vez que n 0 N tal que Q n > 0, n n 0. Observemos que Q n dx = lim Q n = +, então existe n + [f(x, u n )u n 2F (x, u n )]dx = 2J(u n ) J (u n )u n, como (J(u n )) n N e (J (u n )u n ) n N são sequências limitadas, então Q n dx <. Logo, (Q n ) é uma sequência de funções em L (). Além disso, sup Q n <. Portanto, vamos utilizar o Lema de Fatou s na sequência (Q n ) n N. Notemos n N que e sendo e ( ) lim inf Q n dx = lim inf Q n dx + Q n dx n + n + 0 \ 0 lim inf Q n dx + lim inf Q n dx n + n + 0 \ 0 lim [f(x, u n(x))u n (x) 2F (x, u n (x))] = + com x 0 q.t.p. n + f(x, u n (x))u n (x) 2F (x, u n (x)) M com x q.t.p. obtemos que lim inf Q n dx n + = ( ) ( ) lim inf Q n dx + lim inf Q n dx n + \ n + 0 ( ) lim inf Q n dx + ( M)dx n + \ 0 ( ) lim inf Q n dx M \ 0 = +, n + o que contradiz a expressão (2.4). Resta provar a Afirmação 2.. 2F (x, s) Usando (6), lim sup λ s + s 2 j+, uniformemente para x q.t.p., existe n 0 N 28

37 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito tal que Logo, 2F (x, u n ) u 2 n λ j+, n n 0. F (x, u n ) λ j+ 2 u2 n F (x, u n ) λ j+ 2 u2 n 0. Integrando ambos os membros da última desigualdade, obtemos [ F (x, u n ) λ ] j+ 2 u2 n dx 0 [ F (x, u u n 2 n ) λ ] j+ 2 u2 n dx 0 lim sup n + [ F (x, u u n 2 n ) λ ] j+ 2 u2 n dx 0. (2.5) Tomemos uma sequência û n = u n u n, sendo (û n) n N limitada. Então, para algum û H0(), temos que Notemos que, Além disso, û n û em H 0(), assim, û n û em L 2 () com x q.t.p. u n 2 J(u n) = = = ( ) u u n 2 n 2 dx F (x, u n )dx 2 u 2 u n 2 n 2 dx F (x, u u n 2 n )dx 2 u n u n 2 F (x, u 2 u n 2 n )dx u n J(u n) = 2 2 F (x, u u n 2 n )dx. (2.6) 2 λ j+ û n 2 2 = 2 λ u n j+ u n = 2 2 = 2 λ j+ u n u n 2 dx λ j+ u u n 2 n 2 dx = λ j+ 2 u n 2 2 u2 ndx. Dessa forma, 2 λ j+ û n 2 2 = λ j+ u n 2 2 u2 ndx. 29

38 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Vamos utilizar a igualdade acima na expressão (2.6). u n J(u n) = 2 2 F (x, u u n 2 n )dx = 2 2 λ j+ û n 2 2 F (x, u u n 2 n )dx + λ j+ u n 2 2 u2 ndx = 2 ( λ j+ û n 2 2) [ F (x, u u n 2 n ) λ ] j+ 2 u2 n dx u n J(u n) = 2 2 ( λ j+ û n 2 2) [ F (x, u u n 2 n ) λ ] j+ 2 u2 n dx. Fazendo n + na igualdade acima, desde que J(u n ) c então (J(u n )) n N é limitada, e como u n +, obtemos Assim, u n 2 J(u n) 0. ( lim n + 2 ( λ j+ û n 2 2) [ F (x, u u n 2 n ) λ ] ) j+ 2 u2 n dx = 0. Como û n û em L 2 () e usando a expressão (2.5), temos que 2 ( λ j+ û 2 2) 0. Daí, λ j+ û λ j+ û 2 2 û û 0. Como û n û com û 0, tomemos 0 = {x ; û(x) 0}. û n û em q.t.p. e û n û em 0 q.t.p. Daí, û n û em todo ponto de 0 \A e û 0 em 0 \B. Seja x 0 0 \(A B), temos que assim, û n (x 0 ) = u n(x 0 ) u n u n (x 0 ) +. û(x 0 ) 0 e û n (x 0 ) û(x 0 ), û(x 0 ), sendo u n +, obtemos u n (x 0 ) ±, ou seja, Antes de demonstrarmos o Teorema 2., vamos mostrar que a condição (4) implica na geometria do Teorema do Passo da Montanha [] para o funcional J e usar este fato na prova do Teorema 2. Lema 2.3. Se F satisfaz (4) então existem ρ, β > 0 tais que J(u) β se u = ρ. Além disso, existe u 0 H0() tal que J(tu 0 ) quando t +. 30

39 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Prova: Primeiramente vamos mostrar que, 2 (β ɛ)s2 B F (x, s) 2 (α + ɛ)s2 + A s p, s R, x q.t.p. Usaremos o crescimento subcrítico de f na prova. Observemos que esta condição com 2F (x, s) a hipótese 0 < β lim inf só é possível quando p > 2. De fato, suponhamos s + s 2 que p 2. Sendo F (x, s) a s p + b, temos que, 2F (x, s) s 2 a 2 s p s 2 + b 2 s 2, fazendo s + na ultima desigualdade, obtemos 2F (x, s) lim 0. s + s 2 2F (x, s) Absurdo, pois por hipótese 0 < lim inf. Assim, vamos assumir que p > 2. s + s 2 Por (4), 2F (x, s) 0 < β lim inf s + s 2 Temos que, dado ɛ > 0 com ɛ < β, existe δ > 0 tal que Assim, β ɛ uniformemente para x q.t.p. 2F (x, s) s 2, s δ. 2 (β ɛ)s2 F (x, s), s δ. Por outro lado, para s δ e x temos que, F (x, s) 2 (β ɛ)s2 F (x, s) + 2 (β ɛ) s 2 a s p + b s + 2 (β ɛ) s 2 B, onde B > 0. Logo Daí, F (x, s) 2 (β ɛ)s2 B, s δ. 2 (β ɛ)s2 B F (x, s), s δ. (2.7) Sendo, F (x, s) 2 (β ɛ)s2, s δ, obtemos que F (x, s) 2 (β ɛ)s2 2 (β ɛ)s2 B, s δ. 3

40 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Logo, De (2.7) e (2.8) temos que Agora vamos mostrar que F (x, s) 2 (β ɛ)s2 B, s δ. (2.8) 2 (β ɛ)s2 B F (x, s), s R e x q.t.p. F (x, s) 2 (α + ɛ)s2 + A s p, s R, x q.t.p. Para isso utilizaremos a desigualdade, lim sup s 0 2F (x, s) s 2 α uniformemente para x q.t.p. Temos que, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que 2F (x, s) s 2 α + ɛ, s δ. Logo, F (x, s) 2 (α + ɛ)s2, s δ. (2.9) Para s δ e x, temos F (x, s) a s p + b 2 (α + ɛ)s2 + a s p + b 2 (α + ɛ)s2 + b δ p δp + a s p 2 (α + ɛ)s2 + A s p. Dessa forma, F (x, s) 2 (α + ɛ)s2 + A s p, s δ (2.0) Por (2.9) e (2.0), obtemos F (x, s) 2 (α + ɛ)s2 + A s p, s R, x q.t.p. Portanto, 2 (β ɛ)s2 B F (x, s) 2 (α + ɛ)s2 + A s p, s R, x q.t.p. (2.) 32

41 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Tomemos ɛ > 0 tal que α + ɛ < λ. Sabemos que J(u) = 2 u 2 dx F (x, u)dx. Usando a segunda desigualdade da expressão (2.), temos que J(u) 2 u 2 dx = 2 u 2 2 (α + ɛ) [ ] 2 (α + ɛ)u2 + A u p u 2 dx A u p dx = 2 u 2 2 (α + ɛ) u 2 2 A u p p. Utilizando a desigualdade de Poincaré com λ u 2 2 u 2 e a desigualdade de Sobolev com u p p K u p, obtemos J(u) 2 u 2 (α + ɛ) u 2 AK u p = 2 λ 2 Assim, J(u) 2 Para toda u = ρ com ρ = a expressão (.2), J(u) 2 = ρ 2 [ 2 = ρ 2 [ 2 ( α + ɛ ) u 2 AK u p. λ ( α + ɛ ) u 2 AK u p. (2.2) λ α + ɛ λ 4AK p 2, obtemos a seguinte estimativa para ( α + ɛ ) u 2 AK u p = ( α + ɛ ) ρ 2 AKρ p λ 2 λ ( α + ɛ ) ] AKρ p 2 λ = ρ 2 2 ( α + ɛ ) AK λ ( α + ɛ ) ( α + ɛ )] = ( α + ɛ ) ρ 2. λ 4 λ 4 λ Sendo α + ɛ < λ, obtemos α + ɛ J(u) 4 λ > 0 e ρ > 0, temos que ( α + ɛ ) ρ 2 β > 0, u = ρ. λ 33 α + ɛ λ 4AK

42 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Por outro lado, tomemos ɛ > 0 tal que β ɛ > λ. Usando a primeira desigualdade da expressão (2.), obtemos J(u) = 2 u 2 dx F (x, u)dx 2 = 2 u 2 2 (β ɛ) u 2 dx + B u 2 dx [ ] 2 (β ɛ)u2 B dx dx = 2 u 2 β ɛ 2 u B J(u) 2 u 2 β ɛ 2 u B. Seja u 0 H 0() uma autofunção associada ao autovalor λ tal que u 0 2 = λ u =. Assim, J(tu 0 ) 2 tu 0 2 β ɛ 2 tu B = 2 u 0 2 t 2 β ɛ 2 u 0 2 2t 2 + B = 2 t2 β ɛ u 0 2 t 2 + B = ( β ɛ ) t 2 + B 2 λ 2 λ J(tu 0 ) 2 Como β ɛ > λ, obtemos β ɛ λ J(tu 0 ) 2 ( β ɛ ) t 2 + B. λ < 0, assim ( β ɛ ) t 2 + B quando t +. λ Provaremos nosso resultado principal. Notemos que a condição (4) implica na Geometria do Teorema do Passo da Montanha, além disso, o Teorema.2 é usado na demonstração abaixo juntamente com a condição de Cerami, condição que é garantida pelo Lema 2. Teorema 2.. Se F satisfaz (2), (3) e (4) com µ > N (q 2), então o problema () 2 tem solução não-trivial u H0(). Prova: Observemos que o funcional J C (H0(), R) e H0() é um espaço de Hilbert. Além disso, pelo lema 2., J satisfaz a condição (C) c c > 0. 34

43 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Tomemos S = {u H 0() : u = ρ}, notemos que S é um subconjunto fechado de H 0(), pois tomando uma sequência (u n ) S tal que u n u, u n = ρ, fazendo n +, obtemos u = ρ u S. Consideremos Q = {tu 0 : 0 t t 0 } H 0() onde Q = {0, t 0 u 0 } é limitada com t 0 > 0. Verificaremos as seguintes condições:. sup J(u) α < β inf J(u) para 0 α < β; u Q u S 2. S e Q estão linkados; 3. sup J(u) < +. u Q De fato, verificaremos a primeira condição, pelo lema 3.3, J(u) β, u S, assim β inf J(u), além disso, J(u) α, u Q. Logo, u S sup J(u) α < β inf J(u) para 0 α < β. u Q u S Para obtermos a segunda condição vamos mostrar que S e Q estão linkados, ou seja, vamos provar que: (i) Q S = ; (ii) Se φ : H 0() H 0() é uma aplicação contínua com φ(u) = u para todo u Q então φ(q) S. Observemos que Q S =, pois tomando u Q S u = 0 ou u = t 0 u 0, se u = 0 e sabemos que u = ρ, obtemos ρ = 0, absurdo, pois ρ > 0. Sejam φ : H 0() H 0() uma aplicação contínua tal que φ(u) = u, u Q, ou seja, φ(0) = 0 e φ(t 0 u 0 ) = t 0 u 0 e definamos γ : [0, t 0 ] H 0(), γ(t) = tu 0. Assim, definindo a função F = φ γ : [0, t 0 ] R, notemos que F é contínua em [0, t 0 ], pois φ, γ e são contínuas. Além disso, F (0) = φ γ(0) = φ(γ(0)) = φ(0) = 0 = 0 e F (t 0 ) = φ γ(t 0 ) = φ(γ(t 0 )) = φ(t 0 u 0 ) = t 0 u 0 > ρ, isto é, F (0) = 0 e F (t 0 ) > ρ. 35

44 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Logo, F (0) < ρ < F (t 0 ), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe t (0, t 0 ) tal que F ( t) = ρ. Assim, F ( t) = φ γ( t) = ρ φ γ( t) S com γ( t) Q. Portanto, φ(q) S. Finalmente, vamos verificar a terceira condição, como J(u) α, u Q, então sup J(u) < +. u Q Pelo Teorema.2 o funcional J possui valor crítico c β. Vamos observar o comportamento da função F que satisfaz (6) e ((7) ou (8)). Lema 2.4. Se F satisfaz (6), então:. F (x, s) 2 K(x)s2 quando s + se F satisfaz (7); 2. F (x, s) 2 L(x)s2 + quando s + se F satisfaz (8). Prova:. Sejam g(x, s) = f(x, s) K(x)s e G(x, s) = F (x, s) 2 K(x)s2. Por (7), Dado M > 0 existe s M > 0 tal que lim [f(x, s)s 2F (x, s)] = +. s + f(x, s)s 2F (x, s) M, s s M, x q.t.p. Observemos que f(x, s)s 2F (x, s) = f(x, s)s K(x)s 2 2F (x, s) + K(x)s 2 = [f(x, s) K(x)s]s 2 [F (x, s) 2 ] K(x)s2 = g(x, s)s 2G(x, s) f(x, s)s 2F (x, s) = g(x, s)s 2G(x, s). Logo, g(x, s)s 2G(x, s) M, s s M, x q.t.p. (2.3) 36

45 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Além disso, d ds [ ] G(x, s) s 2 = s 2 d ds G(x, s) (s2 ) G(x, s) s 4 = s 2 d ds [F (x, s) (/2)K(x)s2 ] 2sG(x, s) s 4 = s2 [f(x, s) K(x)s] 2sG(x, s) s 4 = d [ ] G(x, s) = ds s 2 g(x, s)s 2G(x, s) s 3. g(x, s)s 2G(x, s) s 3 Integrando a expressão acima ao longo do intervalo [t, T ] [s M, + ] e usando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos G(x, T ) G(x, t) T = T 2 t 2 t g(x, s)s 2G(x, s) ds, s 3 utilizando a expressão (2.3), temos que G(x, T ) G(x, t) T = T 2 t 2 t Pela hipótese, g(x, s)s 2G(x, s) T ds s 3 t G(x, T ) G(x, t) M T 2 t 2 2 lim sup s + 2F (x, s) s 2 M s 3 ds = M 2 ( T ). 2 t 2 = K(x), obtemos que ( T ) 2 t 2 lim sup T + G(x, T ) F (x, T ) (/2)K(x)T 2 = lim sup T 2 T + T 2 ( F (x, T ) = lim sup ) T + T 2 2 K(x) lim sup T + F (x, T ) T 2 2 lim sup T + 2F (x, T ) T 2 = 0 Como M 2 lim sup T + G(x, T ) T 2 0. ( T ) G(x, T ) G(x, t) 2 t 2 T 2 t 2 e usando lim sup T + G(x, T ) T 2 0, temos que 37

46 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito M 2 ( t 2 ) G(x, t) G(x, t) M t 2 2, t s M, x q.t.p. De maneira análoga, mostramos que G(x, t) M 2, M > 0 é arbitrário, concluímos que, se F satisfaz (6) e (7), então t s M, x q.t.p. Como F (x, s) 2 K(x)s2 quando s +. De maneira análoga, prova-se que F (x, s) 2 L(x)s2 + quando s + se F satisfaz (8). Vamos utilizar o lema anterior para mostrar que as hipóteses do Teorema 2.2 (visto adiante) implicam na geometria do Teorema do Ponto de Sela [4] para o funcional J. Considere a decomposição, H 0() = V W, onde V é o subespaço gerado pelas autofunções correspondentes aos autovalores λ,..., λ j e W = V. Para simplificar, vamos escrever λ j L(x) para indicar que λ j L(x) é escrita com a desigualdade estrita em um conjunto de medida positiva. Com esta notação, a proposição 2 em [6] (ver também []) afirma que:. se λ j L(x) então existe δ > 0 tal que v 2 L(x)v 2 dx δ v 2, v V ; (2.4) 2. se K(x) λ j+ então existe δ 2 > 0 tal que w 2 K(x)w 2 dx δ 2 w 2, w W. (2.5) A prova encontra-se no Apêndice A. Lema 2.5. Se F satisfaz as hipóteses do Teorema 2.2, então J(v) quando v +, v V, e J(w) + quando w +, w W. Prova: Consideremos o caso em que F satisfaz (6) e (7) com λ j L(x). Vamos mostrar primeiro que J(v) quando v +, v V. 38

47 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Sejam δ > 0 dado em (2.4) e ɛ > 0 tais que ɛ < λ δ. Por (6), dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que Para s δ temos, 2F (x, s) L(x) = lim inf, s + s 2 2F (x, s) s 2 L(x) ɛ 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2, s δ. 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2 2 F (x, s) + (L(x) ɛ) s 2 M 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2 M, s δ. Logo, 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2 M, s δ. Sendo 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2, s δ obtemos 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2 M, s δ. Portanto, 2F (x, s) (L(x) ɛ)s 2 M, s R, x q.t.p. Observemos que, ( ) 2J(v) = 2 v 2 dx F (x, v)dx = v 2 2 F (x, v)dx 2 v 2 = v 2 = v 2 2J(v) v 2 [(L(x) ɛ)v 2 M]dx L(x)v 2 dx + ɛ v 2 dx + M dx L(x)v 2 dx + ɛ v M L(x)v 2 dx + ɛ v M. Na desigualdade acima vamos utilizar (2.4) e a desigualdade de Poincaré, 39

48 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito 2J(v) δ v 2 + ɛ ( v + M = δ + ɛ ) v 2 + M λ λ 2J(v) ( δ + ɛ ) v 2 + M, v V. λ Sendo ɛ < λ δ δ + ɛ λ < 0. Portanto, J(v), quando v +, v V. Agora vamos provar que, J(w) + quando w +, w W. Utilizaremos o Lema 2.4. Denotemos por W 0 o λ j+ -autoespaço e W = W 0 W. Para w = w 0 + w W 0 + W, temos que J(w) = 2 J(w) = 2 w 2 dx F (x, w)dx = 2 w 2 2 λ j+ w λ j+ w 2 2 = 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) F (x, w)dx [ F (x, w) λ ] j+ 2 w2 dx [ ( ) w 2 λ j+ w 2 2 F (x, w) λ ] j+ 2 w2 dx. (2.6) Além disso, usando o Lema 2.4 item e a desigualdade lim sup s + obtemos 2F (x, s) s 2 = K(x) λ j+, [ lim F (x, s) λ ] j+ s + 2 s2 lim [F (x, s) 2 ] s + K(x)s2 = [ lim F (x, s) λ ] j+ s + 2 s2 = uniformemente para x q.t.p. (2.7) Assim, existe M > 0 tal que F (x, s) λ j+ 2 s2 M, s R, x q.t.p. 40

49 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Usando (2.6) e a última desigualdade, temos que, J(w) = J(w 0 + w ) = 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) Mdx = 2 [ F (x, w) λ ] j+ 2 w2 dx ( ) w 2 λ j+ w 2 2 M = 2 ( w w 2 λ j+ w λ j+ w 2 2) M = 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) M. J(w) 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) M. Tomemos l = min{k N : λ j+ < λ j+k }, daí, J(w) 2 ( w 2 λ j+ w 2 2) M ) ( w 2 w 2 λ j+ M 2 = 2 ( λ ) j+ w 2 M. λ j+k J(w 0 + w ) 2 ( λ ) j+ w 2 M. λ j+k Fazendo w + na desigualdade acima, obtemos J(w 0 + w ) 2 λ j+k ( λ ) j+ w 2 M + λ j+k J(w 0 + w ) +, quando w +. Para completarmos a prova é sufuciente mostrar a seguinte afirmação. Afirmação 2.2. Se w n = w 0n +w n W 0 W é uma sequência tal que w 0n + e w n é limitada, então J(w n ) + quando n +. w n Tomemos ŵ 0n = w 0n w n, ŵ n = w n e ŵ n = ŵ 0n + ŵ n. Daí, ŵ 0n = w 0n w n = w 0n quando n +. w n Por outro lado, sendo w 0n + e w n é limitada com w n = w 0n + w n, temos 4

50 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito que w n +, logo ŵ n = w n w n = w n 0 quando n +. w n Como as sequências ( ŵ 0n ) n N e ( ŵ n ) n N são limitadas e ŵ n = ŵ 0n + ŵ n ŵ 0n + ŵ n, obtemos que Assim, para algum ŵ W, temos ( ŵ n ) n N é limitada. ŵ n ŵ em H 0() e ŵ n ŵ em L 2 () com x q.t.p. Dessa forma, ŵ n ŵ. Observemos que, ŵ = lim ŵ n = n + lim ŵ 0n + ŵ n = n + lim ŵ0n 2 + ŵ n 2 = n + isto é, ŵ =. Além disso, ŵ 0n W 0 e ŵ n W com ŵ n W, temos que, ŵ n ŵ W 0, tal que ŵ é normalizada λ j+ -autofunção. Em particular, ŵ(x) 0 para x q.t.p. com ŵ n (x) = ŵ 0n (x) + ŵ n (x) = w 0n(x) w n + w n(x) w n = w n(x) w n o que implica, w n (x) = w n ŵ n (x). Sendo ŵ(x) 0 e w n +, obtemos, w n (x) = w n ŵ n (x) + quando n +, x q.t.p. (2.8) 42

51 2. Problemas elípticos não quadráticos no infinito Notemos que, lim sup s + 2F (x, w n ) w 2 n λ j+, logo existe n 0 N tal que 2F (x, w n ) w 2 n λ j+, n n 0 F (x, w n ) λ j+ 2 w2 n 0, n n 0. Além disso, F (x, w n ) λ j+ 2 w2 n é uma sequência de funções em L (), com [ sup F (x, w n ) λ ] j+ n N 2 w2 n dx < +, logo, [ lim sup F (x, w n ) λ ] [ j+ n + 2 w2 n dx lim sup F (x, w n ) λ ] j+ n + 2 w2 n dx. Usando a desigualdade acima, (2.7) e (2.8), obtemos, [ F (x, w n ) λ ] j+ 2 w2 n dx quando n +, juntamente com (2.6), provamos a afirmação. Portanto, J(w) +, quando w +, w W. Vamos demonstrar o Teorema 2.2 abaixo, faremos um enfraquecimento da condição de não-quadraticidade do infinito em F e mesmo assim vamos garantir a existência de solução não-trivial para o problema (). Para esse propósito iremos utilizar a geometria do Teorema do Ponto de Sela e consequentemente o Teorema Geral Minimax provado no Capítulo, com isso, iremos garantir que o problema () tem solução não-trivial. Teorema 2.2. Suponha que F satisfaz (6). Então o problema () tem solução u H 0() desde que:. F satisfaça (7) com λ j < L(x) em um conjunto de medida positiva; ou 2. F satisfaça (8) com K(x) < λ j+ em um conjunto de medida positiva. Prova: Tomemos S = W e Q = {v V : v R} com R > 0. Observemos que Q = {v V : v = R}. Pelo Lema 2.2 temos a condição (C) c c > 0. Além disso, J(w) k, w W B c (0), onde B c (0) = {w W : w c}. 43