Um Problema Elíptico no R N Assintoticamente Linear e Autônomo no Innito

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1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Um Problema Elíptico no Assintoticamente Linear e Autônomo no Innito por Mayra Soares da Silva Costa Brasília 016

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3 Ficha catalográfica elaborada automaticamente, com os dados fornecidos peloa) autora) CC837p Costa, Mayra Soares da Silva Um Problema Elíptico no R^N Assintoticamente Linear e Autônomo no Infinito / Mayra Soares da Silva Costa; orientador Ricardo Ruviaro. -- Brasília, p. Dissertação Mestrado - Mestrado em Matemática) -- Universidade de Brasília, Princípio Variacional de Ekeland.. Sequência de Cerami. 3. Geometria do Passo da Montanha. 4. Identidade de Pohozaev. I. Ruviaro, Ricardo, orient. II. Título.

4 Porque dele, e por meio dele, e para Ele são todas as coisas. A Ele, pois, a glória eternamente. Amém! Romanos 11:36

5 Agradecimentos Em primeiro lugar eu rendo graças ao meu Santo Deus que a cada dia me surpreende mais, sempre me ensinando que eu preciso conar que tudo Ele vai prover, mesmo quando não estou compreendendo as circunstâncias que me cercam. Eu jamais chegaria até aqui se Ele não estivesse a me guiar. Agradeço aos meus familiares, principalmente a minha querida mamãe Rosangela Soares, que me esteve a aconselhar durante todo esse tempo de dedicação aos estudos. Também a meus avós maternos Maria de Lourdes e João Soares que não têm poupado esforços a me apoiar nesses últimos dias de diculdades. Ao meu orientador agradeço, incansavelmente, pelas diversas vezes nas quais se dispôs a me orientar e auxiliar, não apenas durante o mestrado, mas principalmente desde a graduação. Devo muito aos esforços dele. Estendo meus agradecimentos aos demais professores do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília, pelos quais nutro grande admiração. Muitos deles zeram parte da minha formação, e pelo trabalho árduo dessa equipe tão eciente, me tornei uma prossional mais qualicada. Também agradeço aos demais funcionários do Departamento de Matemática, que muitas vezes agiram a meu favor. Ainda quero gradecer à CAPES pelo apoio nanceiro no decorrer do meu curso de mestrado, e não poderia deixar de mencionar minha gratidão ao PICME que fomentou minha participação nesse programa de bolsas para alunos medalhistas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas OBMEP). Agradeço aos meus amigos que torceram por mim, e acreditaram que eu seria capaz de alcançar tal objetivo. Especialmente àqueles que oraram por mim, e estiveram prontos a me escutar nos dias difíceis. Enm, agradeço a todos que estiveram presentes em minha vida durante esse período, e que de algum modo contribuíram para que esse trabalho fosse concretizado. Eu louvo ao meu Senhor e Salvador Jesus Cristo por chegar até aqui, e por todos que zeram parte dessa história. i

6 Dedicatória A Meu Senhor e Salvador Jesus Cristo, que me ergueu em momentos nos quais eu jamais conseguiria me levantar sozinha. ii

7 Resumo Nesse trabalho apresentamos um estudo sobre a caracterização do nível do Passo da Montanha para a seguinte classe de problemas autônomos, para N : u = hu), em, em que h satisfaz algumas hipóteses especícas. Em seguida, também para N, fazemos um estudo do seguinte problema: u + V x)u = fu), em, em que f é assintoticamente linear, e satisfaz, assim como o potencial V, certas condições previamente estabelecidas. Nossa nalidade é, por meio de técnicas variacionais, obter uma solução positiva e uma solução de energia mínima para o problema. Palavras-chave: Princípio Variacional de Ekeland; Sequência de Cerami; Geometria do Passo da Montanha; Identidade de Pohozaev. iii

8 Abstract In this work, we present a study about the characterization of Mountain Pass level of the following class of autonomous problems, when N : u = hu), em, where h satises some specic hypothesis. After that, also for N, we study the following problem: u + V x)u = fu), em, where f is asymptotically linear and satises, as well as the potential V, certain previously established conditions. Our purpose is using variational techniques to get a positive solution and a least energy solution of the problem. Key words: Ekeland Variational Principle; Cerami Sequence; Mountain Pass Geometry; Pohozaev Identity. iv

9 Notação B R bola aberta centrada em zero com raio R; B R x) bola aberta centrada em x com raio R; B R [x] bola fechada centrada em x com raio R; u n u u n u convergência forte em norma); convergência fraca; u n u, q.t.p. em Ω convergência em quase todo ponto x de Ω; D α k u u = x a xa N N u = u x 1,..., u η = η u u = N i=1 u x i u x N ) derivada fraca com multi-índice α = a 1,..., a N ), em que gradiente de u; derivada normal exterior; laplaciano de u; N a i = k; i=1 ω Ω ω é compacto e está contido em Ω; Ω medida de Ω; Ω fecho de Ω; Ω fronteira de Ω; v

10 diamω) diâmetro de Ω; p = p p 1 conjugado do expoente holderiano p; f = og), quando x x 0 lim x x 0 fx) gx) = 0; supp f suporte da função f; CX, Y ) espaço das funções contínuas de X em Y ; C 1 X, Y ) espaço das funções continuamente diferenciáveis de X em Y ; X espaço dual de X; L p Ω) espaço de Lebesgue das funções p-integráveis; L p loc RN ) L p loc Ω) = {u Lp Ω ), Ω Ω}; W k,p Ω) W k,p Ω) = {u L p Ω) : D α u L p Ω), α k}; H 1 Ω) H 1 Ω) H Ω) espaço de Sobolev W 1, Ω); espaço dual de H 1 Ω); espaço de Sobolev W, Ω); H, Ω) W Ω) = {u W, Ω ), loc loc Ω Ω}; u H 1 = u = u + u ) 1/ norma usual de H 1 ); u + V x)u ) 1/ norma alternativa para H 1 ); ) 1/p u p = u p dx, p [1, + ) norma usual de L p ); u Lp Ω) = Ω u p dx) 1/p, p [1, + ) norma usual de L p Ω), p [1, ); u = sup x ess ux) norma usual de L ); norma do. vi

11 Sumário Introdução 1 1 O Princípio Variacional de Ekeland Sequências Palais-Smale e Sequências de Cerami Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha Um Problema Autônomo no 14.1 A Geometria do Passo da Montanha A Existência de um Caminho γ Γ Uma Caracterização do Nível do Passo da Montanha Uma Solução Positiva para um Problema Assintoticamente Linear e Autônomo no Innito A Geometria do Passo da Montanha A Limitação da Sequência de Cerami Um Ponto Crítico Não-Trivial Uma Solução de Energia Mínima A Diferenciabilidade dos Funcionais J e I 64 B Resultados Importantes 75 B.1 Imersões de Sobolev B. Identidade de Pohozaev B.3 Desigualdade de Hölder B.4 Teorema de Tonelli B.5 Funções Regularizantes B.6 Caracterização Espectral de um Operador Autoadjunto vii

12 B.7 Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue B.8 Lema de Lions B.9 Teorema de Vainberg B.10 Princípio do Máximo Forte B.11 Lema de Fatou Referências Bibliográcas 8

13 Introdução O objetivo principal desse trabalho é estudar o resultado devido a Jeanjean e Tanaka [16] que, sob certas condições, garante a existência de uma solução positiva u H 1 ) para o problema u + V x)u = fu), em, 1) cujas principais vantagens estão em assumir hipóteses que tornam a não linearidade assintoticamente linear e o problema associado ao innito autônomo. Trabalhamos por meio de métodos variacionais, isto é, associando ao problema 1) o funcional energia natural I : H 1 ) R denido por em que F u) = u 0 Iu) = 1 u + V x)u ) dx F u) dx, fs) ds, e com isso, a m de obter solução fraca para 1), o objetivo é encontrar um ponto crítico não trivial para I. Para tanto, sob as hipóteses do problema, mostramos que I possui a geometria do Passo da Montanha; que existe uma sequência de Cerami no nível do Passo da Montanha para I, que é limitada em H 1 ); e que tal sequência possui uma subsequência convergente para um ponto crítico não trivial de I. Desse modo nossos maiores desaos são mostrar a limitação da sequência de Cerami e garantir a convergência de uma subsequência para um ponto crítico não trivial. A nossa diculdade em provar a limitação da sequência de Cerami está relacionada com o fato de considerarmos um problema assintoticamente linear. Geralmente, para garantir a limitação da sequência de Cerami, a maioria dos autores assume a seguinte condição de superlinearidade introduzida por Ambrosetti e Rabinowitz [3]: Observe que a condição dada em ) implica em µ > : 0 < µf s) fs)s, para todo s > 0. ) fs) lim inf > 0, s + s µ 1 contudo, tal hipótese de crescimento é contrária àquelas com as quais trabalhamos. Existem poucos trabalhos tratando de problemas assintoticamente lineares em domínios ilimitados. Provavelmente o primeiro resultado nessa linha é devido Stuart e Zhou [3], no qual os autores estudaram um problema como dado em 1), contudo trabalharam com a hipótese de simetria radial e com

14 Introdução essa condição, de certo modo, o problema ca denido em R, o que garante a compacidade. O estudo mais próximo ao que será desenvolvido nesse trabalho, foi apresentado por Jeanjean [15] e se trata de um problema da forma u + Ku = fx, u), em, em que K > 0 é uma constante e fx, s) é assintoticamente linear em s e periódica em x. Depois disso, vale mencionar que fazendo uso de algumas técnicas utilizadas em [15], Stuart e Zhou apresentaram um estudo mais detalhado sobre problemas radialmente simétricos no cf. [4]). E também não podemos deixar de citar como inspiração o trabalho em [5], devido a Szulkin e Zou, que trata sistemas Hamiltonianos de primeira ordem com uma parte assintoticamente linear. Seguindo a linha de raciocínio desenvolvida em [15], a limitação da sequência de Cerami demonstrada nesse trabalho é baseada em [18]. Contudo, dessa vez devido à estrutura espectral e a falta de invariância por translações, o argumento é um pouco mais sosticado. No que diz respeito ao segundo desao desse trabalho, isto é, mostrar que uma subsequência da sequência de Cerami converge para um ponto crítico não trivial, a situação é um pouco mais complicada. A grande maioria dos autores trabalha sob a hipótese de que a função s fs)s 1 é não decrescente, e assim, sob tal condição, fazem uso de uma restrição natural do espaço ambiente. Como exemplo podemos citar [0] e []. No entanto, não seguimos essa linha, em vez disso, tiramos vantagem das propriedades de dilatação da função t ux/t). A ideia é explorar o problema no innito que é autônomo. Para isso, analisamos problemas autônomos da forma u = hu), em. 3) Assim, a chave para avançar está nos resultados sobre problemas autônomos estabelecidos por -estycki e Lions [6] quando N 3, e por Berestycki, Gallouët e Kavian [5], para N =. Por meio desses resultados obtemos uma condição necessária para que o problema no innito possua solução. Então relacionando o problema dado em 1) com aquele associado no innito, desenvolvemos um argumento que, por contradição, prova a existência de um ponto crítico não trivial para I. O presente trabalho está estruturado como segue. No Capítulo 1, apresentamos um breve estudo sobre o Princípio Variacional de Ekeland, tal ferramenta é de suma importância na obtenção da sequência de Cerami no nível do Passo da Montanha para I, utilizada na argumentação do Capítulo 3. Exibimos uma prova para o teorema principal baseada em [10], [9] e [1]. Em seguida, ainda com base nas referências anteriores, assim como em [14], mostramos como aplicar tal resultado para obter uma sequência de Cerami para determinado funcional, tanto no nível de mínimo, quanto no nível do Passo da Montanha. No Capítulo, estudamos problemas autônomos como dado em 3). Para isso tomamos como referência [6] e [5] para, sob certas hipóteses, garantir uma solução de energia mínima satisfazendo a Identidade de Pohozaev cf. Apêndice B.). Com isso, explanamos o resultado apresentado por Jeanjean e Tanaka em [17]. Neste trabalho os autores caracterizam o nível do Passo da Montanha para o funcional natural associado ao problema dado em 3), isto é, J : H 1 ) R dado por em que Hu) = u 0 funcional. O ponto crucial do Capítulo Ju) = 1 u dx Hu) dx, hs) ds, mostrando que tal nível coincide com o nível de mínimo do mesmo está em construir um caminho adequado, a m de garantir

15 Introdução 3 que o nível do Passo da Montanha para J esteja bem denido, esse caminho é também a ferramenta principal para provar a igualdade dos níveis supracitados. Além disso, algo que vale a pena ressaltar é que para provar a existência desse caminho especíco, relacionamos resultados apresentados em [16] e [17]. Na verdade, o que fazemos é provar um resultado que é mais geral que o exigido em [17], mas que é apresentado em [16] e portanto utilizado na solução do problema dado em 1). Por m, no Capítulo 3, começamos por garantir que o funcional I associado ao problema 1) possui a Geometria do Passo da Montanha e para tanto utilizamos as hipóteses de crescimento assumidas sobre a função f e o potencial V. Depois de certicar que I tem a geometria do Passo da Montanha, fazemos uso dos resultados do Capítulo 1 e garantimos a existência de u n ), uma sequência de Cerami para I no nível do Passo da Montanha. Logo após, baseados no Princípio de Concentração e Compacidade desenvolvido em [18], supomos por contradição que u n ) é ilimitada, assim utilizamos um argumento de anulamento ou não anulamento da sequência u n u n 1) e por meio da teoria espectral obtemos uma contradição, o que prova a limitação de u n ). Em seguida, a m de mostrar que o limite fraco de uma subsequência de u n ) é um ponto crítico não trivial I, lançamos mão dos resultados do Capítulo para estudar o problema associado ao innito. Como H 1 ) é reexivo, a convergência fraca de u n ), a menos de subsequência, é garantida, e ainda sob as hipóteses do problema 1) conseguimos provar a não negatividade do limite fraco u. Portanto resta mostrar que u é não nulo. Outra vez argumentando por contradição, a ideia é mostrar uma desigualdade estrita entre a energia do funcional I e a energia do funcional associado ao problema no innito, quando estes são aplicados ao caminho construído no Capítulo. De fato, desenvolvendo esse raciocínio chegamos a uma desigualdade do tipo c < c, em que c é o nível do Passo da Montanha para I. Desse modo, concluímos por contradição que u 0 é uma solução positiva para o problema. Finalizando esse trabalho, ainda no Capítulo 3, apresentamos um resultado particular que garante uma solução de energia mínima para o problema dado em 1), para isso argumentamos assumindo o resultado provado ao longo do capítulo, isto é, a existência de uma solução positiva para o problema. Além disso, a m de facilitar a compreensão do trabalho, acrescentamos os Apêndices A e B. No primeiro, demonstramos a diferenciabilidade dos funcionais I e J denidos acima. E no segundo apresentamos alguns resultados importantes que são usados fortemente ao longo do trabalho. Para um estudo mais aprofundado de tais resultados, deixamos suas respectivas referências. Finalmente ressaltamos que ao longo do trabalho a letra C, bem como a letra M e algumas variantes, denotam várias constantes positivas cujo valor exato pode mudar de uma linha para outra, mas não é essencial para a análise do problema. Também informamos que quando tomamos uma subsequência de u n ), ainda a denotamos por u n ).

16 Capítulo 1 O Princípio Variacional de Ekeland Nesse primeiro capítulo vamos abordar o Princípio Variacional de Ekeland, que é uma ferramenta variacional bastante usada na resolução de problemas elípticos, a m de obter um ponto crítico não trivial para determinado funcional. Esse estudo será baseado nos trabalhos [10], [9] e [1]. 1.1 Sequências Palais-Smale e Sequências de Cerami A aplicação do Princípio Variacional de Ekeland tem como objetivo, sob certas hipóteses, a obtenção de uma sequência Palais-Smale ou uma sequência de Cerami, para um determinado funcional. Nessa seção vamos denir o conceito de sequência Palais-Smale e sequência de Cerami. Denição 1.1. que existam c R e u n ) X tais que Seja X um espaço de Banach e I : X R, um funcional de classe C 1. Suponha Iu n ) c e I u n ) 0, então dizemos que u n ) é uma sequência Palais-Smale no nível c para I, ou de forma abreviada, u n ) é uma sequência P S) c para I. Além disso, dizemos que I satisfaz a condição Palais-Smale no nível c, quando toda sequência P S) c para I, possui subsequência convergente. Denição 1.. que existam c R e u n ) X tais que Seja X um espaço de Banach e I : X R, um funcional de classe C 1. Suponha Iu n ) c e I u n ) H un ) 0, então dizemos que u n ) é uma sequência de Cerami no nível c para I, ou de forma abreviada, u n ) é uma sequência Ce) c para I. Além disso, dizemos que I satisfaz a condição de Cerami no nível c, quando toda sequência Ce) c para I, possui subsequência convergente.

17 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima 5 Observe que toda sequência Ce) c para I, é também uma sequência P S) c para I. Além disso, por meio de uma dessas sequências, utilizando algum argumento de compacidade, é possível concluir que, a menos de subsequência, ela converge para um ponto crítico do funcional em questão, o que fornece uma solução para o problema associado ao funcional. 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima O objetivo dessa seção é enunciar e provar o Princípio Variacional de Ekeland, e mais ainda garantir a existência de uma sequência de Cerami no nível de energia mínima para um funcional dado. Teorema 1.1. Sejam X, d ) um espaço métrico completo e I : x, + ] um funcional semicontínuo inferiormente. Suponha que I seja limitado inferiormente, ou seja, inf dado ε > 0 e v 0 X tais que existe u ε X, tal que u X Iu) >. Então Iv 0 ) inf Iu) + ε, 1.1) u X a) Iu ε ) Iv 0 ) inf Iu) + ε; u X b) dv 0, u ε ) ε; c) Para cada w X, w u ε, vale que Iu ε ) < Iw) + ε du ε, w). Prova. Primeiramente considere em X, d ) a seguinte relação de ordem parcial: w v Iw) Iv) ε dw, v). Vamos mostrar que é reexiva, antissimétrica e transitiva. De fato, dado w X, vale que Iw) = Iw) ε dw, w), ou seja, w w, e com isso, vemos que é reexiva. Também, dados w, v X tais que w v e v w, segue que Iw) Iv) ε dw, v) e Iv) Iw) ε dv, w), logo, somando tais desigualdades, obtemos que 0 ε dw, v) 0, ou seja, dw, v) = 0 e w = v, assim é antissimétrica. Por m, dados w, v e u X tais que w v e v u, vale que Iw) Iv) ε dw, v) e Iv) Iu) ε dv, u).

18 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima 6 Então somando tais desigualdades e aplicando a desigualdade triangular, obtemos Iw) Iu) ε dw, v) ε dv, u) Iu) ε dw, u), isto é, w u e é transitiva. Assim, concluímos que é relação de ordem parcial. Agora considere a sequência A n ) de subconjuntos de X, de modo que A 0 = {w X : w v 0 }, logo v 0 A 0 e com isso A 0. Então, pela denição de ínmo, tome v 1 A 0, tal que Iv 1 ) inf u A 0 Iu) + 1, e assim dena A 1 = {w X : w v 1 }. Analogamente, note que v 1 A 1 e A 1. Assim, pela denição de ínmo tome v A 1, tal que Iv ) inf u A 1 Iu) + 1. Com isso, dena A = {w X : w v }, e procedendo recursivamente, para todo n N, como v n 1 A n 1, então A n 1, assim tomando v n A n 1 tal que dena Iv n ) inf Iu) + 1 u A n 1 n, 1.) A n = {w X : w v n }. E observe que A n A n+1, para todo n N, pois dado w A n+1 segue que w v n+1 e como v n+1 A n, então v n+1 v n e pela transitividade w v n, e w A n. w k v n e assim Além disso, A n é fechado, pois dada w k ) A n tal que w k w X, quando k, segue que Iw k ) Iv n ) ε dw k, v n ). Também, como I é semicontínuo inferiormente, então se k, vale que Iw) lim inf Iw k) k lim inf k [ Iv n ) ε dw k, v n ) = Iv n ) ε lim sup k dw k, v n ) = Iv n ) ε dw, v n ), ]

19 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima 7 implicando que w v n, e por denição w A n, portanto A n é fechado. Agora armamos que A n. n=0 De fato, note que v k A n para k n, além disso, dados k > l n segue que A n A l A k, logo v k v l e por 1.), obtemos que dv k, v l ) 1 ] [Iv l ) Iv k ) ε 1 ] [Iv l ) inf Iu) ε u A l 1 1 ε l, portanto v n ) é sequência de Cauchy em A n, para todo n N. Assim v n ) converge para u ε A n, para todo n N, ou seja, u ε A n. E ainda armamos que diama n ) 0, quando n, logo concluímos que n=0 A n = {u ε }. n=0 De fato, dado w A n vale que w v n v n 1 e assim ε dw, vn ) Iv n ) Iw). Como w A n A n 1, então Iw) inf Iu) e por 1.), vale que u A n 1 dw, v n ) 1 [ inf Iu) + 1 ] ε u A n 1 n inf Iu) u A n 1 = 1 ε n. Com isso, para quaisquer w, v A n, segue que dw, v) dw, v n ) + dv n, v) ε n. Ou seja, 0 lim sup dw, v) lim w,v A n ε n = 0. Dessa forma, como diama n ) = sup dw, v), então diama n ) 0, quando n. Portanto, concluímos que A n = {u ε }, caso contrário, haveria v A n, com v u ε, e assim diama n ) dv, u ε ) > w,v A n 0, n=0 n=0 para todo n N, contradizendo que diama n ) 0, quando n. Por m, vamos mostrar que u ε satisfaz a), b) e c). De fato, como u ε A 0, por denição segue que u ε v 0 e assim Iu ε ) Iv 0 ) ε du ε, v 0 ) < Iv 0 ),

20 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima 8 o que prova a). Também observe que Iu ε ) inf Iu) e por 1.1), vale que u X dv 0, u ε ) 1 ] [Iv 0 ) Iu ε ) ε 1 [ ] inf Iu) + ε inf Iu) ε u X u X ε, o que prova b). E por último, dado w u ε, note que w não está relacionado com u ε, caso contrário, valeria que e com isso, w w u ε v n, n N, A n = {u ε }, o que é uma contradição. Assim, como w u ε, vale que n=0 Iw) > Iu ε ) ε dw, u ε ), o que prova c), e completa o resultado. Para o caso particular no qual X, ) é um espaço de Banach, a m de utilizar o Teorema 1.1 para provar a existência de uma sequência de Cerami para I no nível m = inf Iu), vamos denir u X uma nova métrica δ : X X R + sobre X e mostrar que a métrica dada pela norma e a métrica δ se relacionam. Denição 1.3. da curva c como sendo dado por: Seja c C[0, 1]; X) uma curva qualquer, denimos o comprimento geodésico lc) lc) = 1 0 c t) 1 + ct) dt. Com isso, podemos denir também δ : X X R +, a distância geodésica entre dois pontos u e v X, como sendo dada por δu, v) := inf { lc) : c C 1 [0, 1], X), c0) = u, c1) = v }. 1.3) Claramente δu, v) u v, pois dado ct) = 1 t)u tv C 1 [0, 1]; X), segue que c t) = u v, logo e aplicando o ínmo, l c) = 1 0 u v dt u v, t)u tv δu, v) u v. Por outro lado, dado qualquer conjunto B X limitado na norma de X, existe R > 0, tal que x R, para todo x B, isto é, B B R [0] X. Assim, dado c C 1 [0, 1], B R [0]), tal que c0) = u e c1) = v,

21 1. Uma Sequência de Cerami no Nível de Energia Mínima 9 segue que ct) R, t [0, 1], e fazendo β = 1, obtemos que 1 + R lc) = 1 0 c t) 1 + ct) dt 1 1 c t) dt 1 + R R c t) dt 0 1 = c1) c0) 1 + R = β u v. Com isso, aplicando o ínmo sobre todos os caminhos c C 1 [0, 1], B R [0]), concluímos que existe β > 0, tal que δu, v) β u v, u, v B. Dessa forma, B X é limitado na métrica da norma de X se, e somente se, B é limitado na métrica δ. Mais ainda, qualquer sequência de Cauchy em δ, é sequência de Cauchy na métrica da norma, logo é convergente na métrica da norma, pois X, ) é espaço de Banach, e pela relação acima entre as métricas, converge também em δ. Portanto, concluímos que X, δ ) é um espaço métrico completo, e podemos aplicar sobre ele o Teorema 1.1. Corolário 1.1. Sejam X, ) um espaço de Banach, e I : X R um funcional de classe C 1, e limitado inferiormente. Então existe uma sequência u n ) X tal que Iu n ) inf u X Iu) = m e 1 + un ) I u n ) X 0. Isto é, existe uma sequência de Cerami para I no nível m. Prova. Como X, ) é espaço de Banach, pelas considerações acima, concluímos que X, δ ) é um espaço métrico completo. Também por hipótese I é semicontínuo inferiormente e é limitado inferiormente. Com isso, dado n N, tome ε = 1 n, e então o Teorema 1.1 garante a existência de u n X, tal que por a), vale que e por c), vale que Iu n ) inf u X Iu) + 1 n, Iw) Iu n ) 1 n δw, u n), w X. Desse modo, obtemos uma sequência u n ) X, com n N, tal que inf u X Iu) Iu n) inf u X Iu) + 1 n, n N,

22 1.3 Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha 10 portanto, segue que lim Iu n) = inf Iu). u X Além disso, fazendo w = u n + tu, para t > 0 e u X arbitrários, segue que Iu n + tu) Iu n ) 1 n δu n, u n + tu). Assim dividindo ambos os lados da desigualdade acima por t, e relembrando a denição da distância geodésica δ, obtemos 1 [ ] Iu n + tu) Iu n ) t 1 nt δu n, u n + tu) 1 n u t então, fazendo t 0, como I é de classe C 1, concluímos que 0 ds 1 + u n + su, I u n )u 1 n 1 + un ) 1 u. Agora como u é arbitrário, trocando u por u, obtemos também I u n )u 1 n 1 + un ) 1 u, e assim, o que implica em I u n )u u 1 n 1 + un ) 1, u n ) I u n ) X 1 n. Portanto lim 1 + un ) I u n ) X = 0. E dessa forma, u n ) é a sequência de Cerami procurada. 1.3 Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha Nessa seção, vamos denir a geometria do Passo da Montanha e o nível do Passo da Montanha para um dado funcional I : X R, em que X, ) é um espaço de Banach. Em seguida, vamos usar o Princípio Variacional de Ekeland para provar a existência de uma sequência de Cerami no nível do Passo da Montanha para um funcional I que possua a geometria do Passo da Montanha. Denição 1.4. Considere X, ) um espaço de Banach, e I : X R um funcional tal que I0) = 0, dizemos que I possui a geometria do Passo da Montanha, ou abreviadamente, a geometria PM, quando I satisfaz:

23 1.3 Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha 11 PM1) Existem ρ, α > 0 tais que Iu) α > 0, para todo u X, com u = ρ; PM) Existe e X, com e > ρ, tal que Ie) < 0. Denição 1.5. Considere X, ) um espaço de Banach, e I : X R um funcional que possui a geometria do Passo da Montanha, então ca bem denido o nível do Passo da Montanha para I, ou abreviadamente, o nível PM para I, dado por em que c = inf max I γt)), 1.4) γ Γ t [0,1] Γ = { γ C[0, 1], X) ; γ0) = 0, γ1) = e}. 1.5) Note que, de fato, Γ = { γ C[0, 1], X) ; γ0) = 0, γ1) = e}, pois se γt) = te, então γ Γ. Além disso, pela denição de c concluímos que c α > 0. A seguir apresentaremos um resultado que é de suma importância na resolução de inúmeros problemas, pois garante a existência de uma sequência de Cerami no nível PM para um funcional de classe C 1, desde que este satisfaça a geometria PM. Teorema 1.. Sejam X, ) um espaço de Banach, e I : X R um funcional de classe C 1 que possui a geometria do Passo da Montanha, então existe uma sequência de Cerami para I no nível do Passo da Montanha, isto é, existe u n ) X, tal que Iu n ) c e I u n ) 1 + u n ) 0, quando n, em que c é dado por 1.4). Prova. A ideia é seguir os passos do Corolário 1.1 para obter a sequência de Cerami procurada. Para isso, dado Γ C[0, 1], X), denido em 1.5), considere-o como subespaço métrico de C[0, 1], X) com a métrica dada pela norma, ou seja, Γ, ) d é um espaço métrico tal que d γ 1, γ ) = γ 1 γ = max t [0,1] γ 1t) γ t), γ 1, γ Γ. Assim, como C[0, 1], X) é espaço métrico completo, basta mostrar que Γ é fechado, com respeito a métrica d, para garantir que Γ, d ) é um espaço métrico completo. Dessa forma, dada γn ) Γ uma sequência convergindo para γ em C[0, 1], X), quando n, note que γ n 0) = 0 e γ n 1) = e, para todo n N. Logo como γ n γ 0, quando n, então γ0) = 0 e γ1) = e, assim γ Γ, e segue que Γ é fechado, portanto Γ, d) é um espaço métrico completo. Com isso, podemos utilizar a métrica d, que advém da norma, e construir a métrica geodésica δ Γ, para Γ. Como visto na seção anterior, uma vez que Γ, d ) é espaço métrico completo, segue que Γ, δ Γ) é também um espaço métrico completo, logo podemos aplicar o Teorema 1.1 para esse espaço. Agora dena o funcional Ψ : Γ R, dado por Ψ γ) = max I γt)). 1.6) t [0,1]

24 1.3 Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha 1 Para cada t [0, 1] xado, considere X t = { γt) ; γ Γ } X. Como por hipótese I : X R é de classe C 1, então é semicontínuo inferiormente, e denotando por I t a restrição I Xt, segue que I t : X t R é semicontínuo inferiormente. Mas observe que Ψ = max t [0,1] I t, e como I t é semicontínuo inferiormente, para todo t [0, 1], segue que Ψ é semicontínuo inferiormente. Por outro lado, dado γ Γ, como I satisfaz a geometria PM, e vale γ0) = 0, γ1) > ρ e γ C[0, 1], X), então existe t 0 0, 1) com γt 0 ) = ρ, e por P M1), segue que Ψ γ) I γt 0 )) α > 0, assim Ψ é limitado inferiormente. Com isso estamos nas hipóteses do Teorema 1.1, e procedendo para o espaço Γ, ) 1 δ Γ de forma semelhante a prova do Corolário 1.1, dado n N e ε = n, existe γ n Γ, tal que e Ψ γ n ) inf Ψ γ) + 1 γ Γ n = c + 1 n, 1.7) Ψγ) Ψ γ n ) 1 n δ Γγ, γ n ), γ Γ. 1.8) Portanto denindo M n = { } t [0, 1] ; I γ n t)) = max I γ ns)) = Ψ γ n ), s [0,1] e tomando t n M n, por 1.7) segue que isto é, c I γ n t n )) c + 1 n, n N, lim I γ n t n )) = c. 1.9) Além disso, xado n N, considere γ C[0, 1], X) arbitrário, tal que γ Γ = γ t n ), e γ0) = γ1) = 0, então fazendo γs) = γ n s) + t γs), com t > 0, como γ n Γ, segue que γ Γ, e para t sucientemente pequeno, pela continuidade vale que max s [0,1] Iγs)) = Iγ t n )) = I γ n t n ) + t γ t n ) ), assim por 1.8) segue que I γ n t n ) + t γ t n ) ) I γ n t n )) 1 n δ Γ γ n + t γ, γ n ). Com isso, dividindo ambos os lados da desigualdade acima por t, e relembrando a denição da distância geodésica δ γ, e a denição de Γ, obtemos 1 [ I γ n t n ) + t γ t n ) ) ] I γ n t n )) t 1 nt δ Γ γ n + t γ, γ n ) 1 nt 1 nt t 0 t 0 1 nt γ t n ) γ Γ ds 1 + γ n + s γ Γ γ t n ) 1 + γ n t n ) + s γ t n ) ds t 0 ds 1 + γ n t n ) + s γ t n ).

25 1.3 Uma Sequência de Cerami no Nível do Passo da Montanha 13 E como I é de classe C 1, aplicando o limite com t 0, obtemos que I γ n t n )) γ t n ) 1 n 1 + γ n t n ) ) 1 γ t n ). Agora como γ é arbitrário, trocando γ por γ, obtemos I γ n t n )) γ t n ) 1 n 1 + γ n t n ) ) 1 γ t n ), e assim, I γ n t n )) γ t n ) γ t n ) 1 n 1 + γ n t n ) ) 1, o que implica em 0 ) 1 + γ n t n ) I γ n t n )) X 1 n. Como n N, xado acima, é qualquer, concluímos que ) lim 1 + γ n t n ) I γ n t n )) X = ) Por m, considerando u n ) X, tal que u n = γ n t n ), para todo n N, por 1.9) e 1.10) segue que lim Iu n) = c e lim 1 + un ) I u n ) X = 0. Portanto obtemos uma sequência de Cerami para I no nível PM. Desse modo, encerramos o capítulo com a garantia da existência de uma sequência de Cerami no nível PM para um funcional I sob as hipóteses do Teorema 1..

26 Capítulo Um Problema Autônomo no O objetivo desse capítulo é analisar determinada classe de problemas autônomos, a m de relacionar o nível do Passo da Montanha com o nível de mínimo do funcional associado ao problema. Para isso faremos uso de resultados clássicos devidos a Berestycki e Lions [6] para N 3, e a Berestycki, Gallouët e Kavian [5], para N =. Considere o problema apresentado em 3), na introdução desse trabalho, isto é, u = hu), em, para o qual vamos assumir as seguintes hipóteses sobre h: h0) h1) h : R R é contínua e ímpar; se N 3, < lim inf s 0 hs) s < lim sup s 0 hs) se N =, lim = L, 0); s 0 s hs) s = L < 0, h) se N 3, lim s + hs) s N+)/N ) = 0, se N =, para cada α > 0 existe um C α > 0, tal que em que Hu) = hs) C α e αs, para todo s R. Associamos ao problema em questão o funcional natural J : H R, dado por u 0 Ju) = 1 u Hu)) dx,.1) hs) ds. Sob as hipóteses h0)-h) podemos concluir que J está bem denido, e além disso, é de classe C 1 cf. Apêndice A.1). Almejamos mostrar que J possui a geometria do Passo da

27 .1 A Geometria do Passo da Montanha 15 Montanha, e assim garantir que ca bem denido o nível do Passo da Montanha para J, como dado por em que b = inf max Jγt)),.) γ Γ t [0,1] Γ = { γt) C[0, 1], H 1 )); γ0) = 0, Jγ1)) < 0 },.3) pois estamos interessados pelo caso em que b é um nível crítico para o funcional J. Dizemos que uma solução w para o problema dado em 3) é uma solução com energia mínima se Jw) = m, em que m = inf {Ju); u 0 e J u) = 0}..4) Note que m é um nível crítico para o funcional J. Dessa forma, o principal resultado desse capítulo está enunciado no teorema a seguir, e consiste em caracterizar o nível PM para J, relacionando-o com o nível crítico de energia mínima para J. Teorema.1. Sob as hipóteses h0)-h), segue que b = m, onde m, b > 0, são o nível crítico de energia mínima para J, e o nível PM para J, denidos em.) e.4), respectivamente. Além disso, para qualquer solução com energia mínima wx) para o problema dado em 3), existe um caminho γ Γ tal que wx) γ[0, 1]) e max Jγt)) = Jw) = m..5) t [0,1] A m de provar o Teorema.1, vamos proceder como Berestycki e Lions em [6], para N 3, e como Berestycki, Gallouët e Kavian em [5], para N =, usando as propriedades de dilatação da função u t x) = ux/t). Vamos utilizar tais resultados para obter uma solução com energia mínima para o problema dado em 3), e então construir um caminho γ Γ que satisfaça.5). Em seguida, vamos usar a Identidade de Pohozaev cf. apêndice B.), para concluir que b = m, e assim completar o resultado..1 A Geometria do Passo da Montanha Nessa seção vamos mostrar que o funcional J denido em.1) possui a geometria do Passo da Montanha. Para isso vamos provar dois resultados. O primeiro garantirá que J satisfaz a primeira condição PM, e o segundo mostrará que J satisfaz a segunda condição PM. Portanto com esses dois resultados cumprimos o objetivo da seção. Lema.1. Sob as hipóteses h0)-h), concluímos que Ju) possui a primeira condição da geometria do Passo da Montanha, isto é, J0) = 0 e J satisfaz: PM1) Existem ρ 0 > 0 e δ 0 > 0 tais que Ju) δ 0, para todo u H 1 ), com u H 1 = ρ 0.

28 .1 A Geometria do Passo da Montanha 16 Prova. N 3 e N =. Como H0) = 0, então J0) = 0. Para provar P M1) vamos separar os casos em que Para N 3. Por h1), dado ε > 0 existe δ ε > 0, tal que hs) s ε < lim inf s 0 hs) s L, para 0 < s < δ ε, e então hs) L ε)s, para 0 s < δ ε. Também por h), dado ε > 0, existe A ε > 1, tal que hs) s N+)/N ) ε, para s > A ε > 1, logo, hs) εs N+)/N ), para s > A ε > 1. E como podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 < δ ε < 1, então [δ ε, A ε ] é compacto, e a hs) função s s é contínua, com isso atinge seu máximo M N+)/N ) ε no compacto [δ ε, A ε ], ou seja Portanto, fazendo C ε = max{m ε, ε}, segue que Assim, lembrando que = hs) M ε s N+)/N ), s [δ ε, A ε ]. hs) L ε)s C ε s N+)/N ), s 0..6) N, vale que N Hs) = s 0 ht) dt 1 L ε)s C ε s, s > 0. Agora, como pela hipótese h0), h é ímpar, então Hs) é par, isto é, Hs) = H s), e fazendo C ε = C ε, segue que Hs) 1 L ε) s C ε s, s R..7) Então pela continuidade das imersões de Sobolev cf. Apêndice B.1), segue que H 1 ) L ), logo existe C ε > 0, tal que Ju) 1 R u dx + 1 L ε) u dx C ε u dx N 1 min{1, L ε} u H 1 C ε u 1 min{1, L ε} u H 1 C ε u H 1 ) 1 = min{1, L ε} C ε u 4/N ) H u 1 H 1, u H1 ).

29 .1 A Geometria do Passo da Montanha 17 Assim, tomando ρ 0 > 0 sucientemente pequeno, de modo que 1 concluímos que, para todo u H 1 ), com u H 1 = ρ 0, segue que O que mostra P M1). Ju) ) 1 min{1, L ε} C ε ρ 4/N ) 0 ρ 0 = δ 0 > 0. min {1, L ε} C ε ρ 4/N ) 0 > 0, Para N =. Por h1), dado ε = L, existe δ > 0, tal que hs) s + L < L, sempre que 0 < s < δ, então Também por h), obtemos que hs) Ls, sempre que 0 s < δ. hs) C α e αs C α s 4 e αs, s 1, logo, hs) C α s 4 e αs, s 1. Mais ainda, considerando, sem perda de generalidade, que 0 < δ < 1, segue que [δ, 1] é compacto, e portanto a função contínua s hs) atinge seu máximo M no compacto [δ, 1]. Assim, obtemos que s 4 e αs Dessa forma, fazendo C α = max{m, C α }, segue que hs) Ms 4 e αs, s [δ, 1]. Logo, hs) 1 Ls C αs 4 e αs, s 0..8) Hs) = s 0 = Ls 4 ht) dt s 0 = Ls 4 C α t 4 e αt dt [ 1 α s3 e αs 1) 3 α Ls 4 C α α s3 e αs 1). s 0 ] t e αt 1) dt Agora, como por h0) h é ímpar, então Hs) é par, isto é, Hs) = H s), e assim Hs) Ls 4 C α α s3 e αs 1), s R..9)

30 .1 A Geometria do Passo da Montanha 18 Com isso, aplicando a desigualdade de Hölder cf. Apêndice B.3), e novamente utilizando as imersões de Sobolev cf. Apêndice B.1), obtemos que H 1 R ) L q R ), para q [, + ), segue que existe C α > 0, tal que Ju) 1 u + L 4 u C α u 3 e αu α R 1 u + L 4 u C α = { 1 min { 1 min min, L 4, L 4 { 1, L 4 α u 3 6 } C H1 α u } C H1 α u α u 3 H 1 e αu R α M 1/ u 3 H 1 } C α α M 1/ u H 1 1) dx e αu R ) u H 1, ) 1/ 1) dx ) 1/ 1) dx para u H 1 R ), tal que 0 < u < ρ 0. Em que M e ρ 0 são obtidos por meio da desigualdade de Moser- Trundinger cf. Adachi e Tanaka [1]). Com efeito, tal desigualdade garante a existência de σ 0 > 0, M > 0, tais que Portanto, para qualquer C > 0, segue que R R ) e σ0u 1 dx M, u H 1 1. ) e σ0u /C 1 dx M, u H 1 C..10) Desse modo, escolhendo ρ 0 > 0 sucientemente pequeno, tal que 0 < ρ 0 < R σ0, segue que α ) ) e αu 1 dx = e σ0u α/σ 0) 1 dx M, σ0 u H 1 ρ 0 < R α. Assim, diminuindo ρ 0 > 0, se necessário, para que ρ 0 satisfaça { 1 min, L } C α 4 α M 1/ ρ 0 > 0, concluímos que, para todo u H 1 ), com u H 1 = ρ 0, vale que Ju) { 1 min, L } ) C α 4 α M 1/ ρ 0 ρ 0 = δ 0 > 0. O que mostra P M1) e completa a prova do lema. Lema.. Sob as hipóteses h0)-h), concluímos que J satisfaz a segunda condição da geometria do Passo da Montanha, ou seja, J satisfaz: PM) Existe u 0 H 1 ), tal que u 0 H 1 > ρ 0 e Ju 0 ) < 0.

31 . A Existência de um Caminho γ Γ 19 Em particular, segue que J possui a geometria PM e o nível b do Passo da Montanha para J, dado em.), está bem denido e é positivo. Prova. Primeiramente observe que pela prova do Lema.1, vale que Ju) > 0, u H 1 ), com 0 < u H 1 ρ 0, em que ρ 0 é dado em P M1). Assim se mostrarmos que Γ = {γt) C[0, 1], H 1 )) ; γ0) = 0, Jγ1)) < 0}, existe γ Γ e u 0 = γ1) satisfaz que Ju 0 ) < 0, e então, necessariamente, u 0 H 1 > ρ 0. Como na seção seguinte vamos exibir um caminho γ Γ, podemos assumir que Γ, portanto J satisfaz PM). Com isso, J tem a geometria PM, e dessa forma, faz sentido denir b. Agora, dado γ Γ, como γ C[0, 1], H 1 )), γ0) H 1 = 0, e também Jγ1)) < 0, o que implica em γ1) H 1 > ρ 0, então pela continuidade existe t 0, 1), com γ t) H 1 dado pelo Lema.1. Com isso, concluímos que = ρ 0 e assim max t [0,1] Jγt)) Jγ t)) δ 0, em que δ 0 é b = inf γ Γ max t [0,1] Jγt)) δ 0 > 0, o que completa o resultado.. A Existência de um Caminho γ Γ O intuito dessa seção é mostrar que Γ = { γt) C[0, 1], H 1 )); γ0) = 0, Jγ1)) < 0 }, e que existe γ Γ que satisfaça.5). Para isso, vamos fazer uso dos resultados de Berestycki e Lions [6] e Berestycki, Gallouët e Kavian [5], que garantem a existência de uma solução com energia mínima para o problema dado em 3) sob as hipóteses h0)-h), contanto que Hs 0 ) > 0, para algum s 0 > 0. O resultado é enunciado a seguir. Proposição.1. Sob as hipóteses h0)-h), vale que i) Se Hs 0 ) > 0 para algum s 0 > 0, então m > 0 e existe uma solução w para o problema dado em 3), com energia mínima, tal que w > 0 Identidade de Pohozaev cf. Apêndice B.): algum s 0 > 0. Prova. em, e como qualquer ponto crítico de J, w satisfaz a N ) w dx = N Hw) dx; ii) O problema dado em 3) tem uma solução não trivial se, e somente se, Hs 0 ) > 0, para i) Para N 3, o resultado segue de Berestycki e Lions [6], pelos Teoremas 1 e. Para N =, o resultado segue de Berestycki, Gallouët e Kavian [5], pelo Teorema 1. ii) Por i) se existe s 0 > 0, tal que Hs 0 ) > 0, então existe uma solução não trivial para o problema dado em 3). Por outro lado, suponha que o problema dado em 3) possui uma solução u, não

32 . A Existência de um Caminho γ Γ 0 trivial. Considerando N 3 por Berestycki e Lions [6], Corolário 1, segue que u satisfaz a Identidade de Pohozaev, isto é, N ) u dx = N Hu) dx. Desse modo, como u é solução não trivial do problema em 3), então Hux)) L 1 ), ou seja, u não é constante, logo u > 0, e pela Identidade de Pohozaev, concluímos que Hu) dx > 0. Isso implica que existe s 0 R, tal que Hs 0 ) > 0, caso contrário, a integral não seria positiva. Além disso, por hipótese h é ímpar, logo H é par e assim, sem perda de generalidade, podemos considerar s 0 > 0, já que Hs 0 ) = H s 0 ) > 0. Agora considerando N =, por Berestycki, Gallouët e Kavian [5], u é solução clássica do problema em 3) e também satisfaz a Identidade de Pohozaev, assim segue que Hux)) é contínua em R, e Hu) dx = 0. Dessa forma, supondo que Hs) 0, s R, então R Hux)) 0, x R, e pela continuidade de Hux)), isso implica que Hux)) = 0, para todo x R, o que gera contradição. Portanto, existe x 0 R, tal que s 0 = ux 0 ) > 0, e Hs 0 ) > 0. Agora, com a garantia da existência de uma solução para o problema apresentado em 3), vamos utilizá-la para construir o caminho que satisfaça.5). Para isso, utilizamos o resultado a seguir. Proposição.. Sob as hipóteses h0)-h) e supondo que Hs 0 ) > 0, para algum s 0 > 0. Seja v uma solução clássica para problema dado em 3) com vx) > 0, para todo x. Então, existe um caminho γ C[0, 1], H 1 )), tal que γt)x) > 0, para todo x e t 0, 1], também γ0) = 0, Jγ1)) < 0, v γ[0, 1]) e γ satisfaz.5), isto é, max Jγt)) = Jv). t [0,1] Em particular, para a solução com energia mínima w obtida pela Proposição.1, concluímos que 0 < b = inf max Jγt)) Jw) = m..11) γ Γ t [0,1] A m de provar a Proposição. vamos precisar de alguns resultados precedentes. Primeiramente, dado v H 1 ), um ponto crítico não trivial de J, vamos denir a função v t x) = vx/t), para t > 0. Os próximos dois resultados garantem algumas propriedades para tal função. Lema.3. Para N e para qualquer t > 0, a função v t satisfaz as seguintes propriedades: i) v t = t N v ; ii) Para qualquer função contínua F satisfazendo lim sup s 0 + F v t ) dx = t N F v) dx; F s) s < +, vale que

33 . A Existência de um Caminho γ Γ 1 iii) v t q q = t N v q q, para qualquer q [, ). Prova. i) Como v t x) = 1 vx/t), fazendo a mudança de variáveis y = x/t, obtemos t v t = v t x) dx = 1 R t vx/t) dx = t N vy) dy = v, N concluindo i). ii) Como v > 0 é solução do problema em 3), então para N 3, por Berestycki e Lions [6], Teorema 1, e para N =, por Berestycki, Gallouët e Kavian [5], Teorema 1, sabemos que v é radial e decrescente, portanto v é limitada. Logo existe M > 0, tal que vx) M, x. Além disso, como F s) F é contínua e lim sup s 0 s + = S < +, segue que dado ε = 1 existe δ > 0, tal que F s) < S + 1)s, sempre que 0 < s < δ. Sem perda de generalidade, considerando δ < M, como F é contínua, a função F s) s assume seu máximo s C no compacto [δ, M]. Desse modo, se C = max{ C, S + 1}, então 0 < s M, implica que F s) s C. Com isso, obtemos que F vx)) dx = F vx)) vx)) vx)) dx C vx)) dx < +, logo F L 1 ) e a integral faz sentido. Assim, aplicando a mudança de variáveis y = v/t, obtemos que o que mostra ii). F v t x)) dx = F vx/t)) dx = t N F vy)) dy, logo vale que iii) Fazendo F = q em ii), claramente, F é contínua e lim sup v t x) q dx = t N mas isso implica que v q q = v q q, o que mostra iii). vy) q dy, s 0 + F s) s = s q = 0 < +, Lema.4. Para N = e para qualquer t > 0, a função v t satisfaz as seguintes propriedades: i) Hv t ) dx = 0; R ii) Jv t ) = Jv);

34 . A Existência de um Caminho γ Γ iii) hv t )v t dx = t v. R Prova. i) Como v é ponto crítico de J, então pela Proposição.1, v satisfaz a Identidade de Pohozaev. Além disso, H é contínua, e usando h1), obtemos que 0 lim sup s 0 + Hs) s = lim sup s 0 + s 0 ht) dt logo, fazendo F = H em ii) do Lema.3 com N =, segue que o que prova i). s Hv t ) dx = t R 1 s ht) hs) lim sup dt = lim = L < +, s 0 s + 0 t s 0 + s R Hv) dx = t 4 ) w dx = 0, R ii) Observe que Jv t ) = = R ) 1 v t Hv t ) dx R 1 v t dx = 1 v t = 1 v Hv) dx R = Jv), onde usamos i) e o Lema.3 com N =, e assim concluímos ii). iii) Como v é ponto crítico de J, então J v)v = 0, ou seja, v = hv)v dx, assim como R h é contínua, e hs)s hs) 0 lim sup s 0 s + = lim = L < +, s 0 + s fazendo F s) = hs)s em ii) do Lema.3 com N=, segue que hv t x))v t x) dx = t R R hvx))vx) dx = t v, o que conclui iii). Prova da Proposição.. Vamos separar a prova em dois casos: Caso 1. Para N 3. Como v é ponto crítico de J pela Identidade de Pohozaev, obtemos que N ) N v = Hv) dx.

35 . A Existência de um Caminho γ Γ 3 Portanto, segue que Com isso, concluímos que: Jv t ) = tn v t N 1 Hv) dx = tn N N tn ) v..1) a) max t>0 Jv t) = Jv); b) Jv t ), quando t + ; c) v t H 1 ) 0, quando t 0. De fato, por.1), obtemos d N dt Jv t) = t N 3 N ) t N 1 v. Logo, se d dt Jv t) = 0, então t = 1, e segue que d dt Jv t) = N N 3)t N 4 N 1)t N ) v t=1 = N ) v < 0. t=1 Assim, t = 1 é ponto de máximo da função t Jv t ), ou seja, max Jv t) = Jv 1 ) = Jv), e obtemos a). t>0 Para ver b), basta fazer t + em.1). E para provar c), usamos i) do Lema.3, e iii) do Lema.3, com q =, e assim concluímos que v t H 1 ) = v t + v t = t N v + t N v 0, quando t 0. Portanto, por b) podemos escolher l > 1 tal que Jv l ) < 0, e então armamos que γ : [0, 1] H 1 ), dado por γt) = v lt, para t 0, 1], e γ0) = 0, é o caminho que estamos procurando. De fato, por Berestycki Lions [6] e Berestycki, Gallouët e Kavian [5], obtemos que v é solução clássica para problema em 3), então v C ) e assim γt) = vx/lt)) é contínua em 0, 1]. Para mostrar a continuidade de γt) em t = 0, lembramos que por c), vale que γt) H 1 ) = v lt H 1 ) 0 = γ0), quando t 0. Desse modo, γ C[0, 1], H 1 )). Além disso, γt)x) = v lt x) = vx/lt)) > 0, v e t 0, 1], pois v é positiva em. Também, γ0) = 0, por denição, e Jγ1)) = Jv l ) < 0. E ainda 1 ) 1 ) vx) = v l lx = v l 1 x) = γ x) γ[0, 1]), l l pois 1 l 0, 1), já que l > 1. Por m, note que 1 )) Jv) = J γ max Jγt)) = max l Jv ) max Jv ) = max Jv ) = Jv), lt lt t t [0,1] t [0,1] t>0 t>0

36 . A Existência de um Caminho γ Γ 4 ou seja, max Jγt)) = Jv). O que conclui o caso 1. t [0,1] Caso. Para N =. Nesse caso a construção do caminho é mais complicada. Em primeiro lugar observamos que pelas hipóteses h0)-h), existem constantes α, C > 0, tais que hs) Ce αs s, s R. Com efeito, por h1), dado ε = 1, existe δ > 0, tal que hs) < 1 + L) s, α dado por h) é positivo, então e αs > 1, e segue que 0 < s < δ. Agora, como hs) 1 + L) s < 1 + L)e αs s, 0 < s < δ. Também, considerando R = max{1, δ}, por h) existe C α > 0, tal que hs) C α e αs C α e αs s, para s > R. E por m, pela continuidade de h, dada por h0), a função s hs) assume seu máximo M no e αs s compacto [δ, R], ou seja, vale que hs) Me αs s, para todo δ s R. Com isso, fazendo C = max{1 + L, C α, M}, e lembrando que por h0) h é ímpar, segue que Agora, considerando θ [0, 1], observe que Assim, pelo Lema.3 e por.13), obtemos que hs) Ce αs s, s R..13) Jθv t ) = 1 θv t ) dx Hθv t ) dx R R = θ v t Hθv t ) dx. R d dθ Jθv t) = θ v t hθv t )v t dx R θ v t θc e αθ v t v t dx R θ v t θc e αv t v t dx R ) = θ v Ct v dx. R e αv Logo, se considerarmos l 0, 1), sucientemente pequeno, tal que v Cl e αv R v dx > 0, então para tal l, concluímos que d dθ Jθv ) 0, θ [0, 1], l

37 . A Existência de um Caminho γ Γ 5 ou seja, θ Jθv l ) é uma função não decrescente, para θ [0, 1]. Dessa forma, usando ii) do Lema.4, segue que Jθv l ) Jv l ) = Jv), θ [0, 1]..14) Por outro lado, xando r > 1 por i) do Lema.3, e iii) do Lema.4, obtemos que d ) dθ Jθv r) = θ v r hθv r )v r dx θ=1 R θ=1 = v r v = 1 r ) v < 0. E também, d Hθv r ) dx = dθ R θ=1 hθv r )v r dx R = r v > 0. θ=1 Com isso, concluímos que θ Jθv r ) é uma função decrescente em θ = 1, enquanto a função θ Hθv r ) dx é crescente em θ = 1. Dessa forma, é possível considerar θ 1 1, + ), R sucientemente perto de 1, de modo que usando ii) do Lema.4, vale que Jθv r ) Jv r ) = Jv), θ [1, θ 1 ],.15) e por i) do Lema.4, segue que Hθ 1 v r ) dx > Hv r ) dx = 0. R R Agora, considere para t 1 a sequência θ 1 v r ) t = θ 1 v rt. Então novamente pelo Lema.3 i) e ii), com N =, segue que Jθ 1 v rt ) = 1 θ 1 v rt ) dx Hθ 1 v rt ) dx R R = θ 1 v r t Hθ 1 v r ) dx. R Portanto a função t Jθ 1 v rt ) é decrescente, para t 1, e Jθ 1 v rt ), quando t +. Com isso, é possível escolher s >> 1, sucientemente grande, tal que Jθ 1 v rs ) < 0. Além disso, por.15) concluímos que Jθ 1 v rt ) Jθ 1 v r ) Jv), t 1..16) Finalmente, de acordo com as conclusões acima, denimos os seguintes caminhos: φ 1 : [0, 1] H 1 R ), dado por φ 1 θ) = θv l ; φ : [l, r] H 1 R ), dado por φ t) = v t ;

38 . A Existência de um Caminho γ Γ 6 φ 3 : [1, θ 1 ] H 1 R ), dado por φ 3 θ) = θv r ; φ 4 : [1, s] H 1 R ), dado por φ 4 t) = θ 1 v rt. E reparametrizando-os, para o intervalo [0, 1], obtemos: γ 1 : [0, 1] H 1 R ), dado por γ 1 t) = φ 1 t); γ : [0, 1] H 1 R ), dado por γ t) = φ 1 t)l + tr); γ 3 : [0, 1] H 1 R ), dado por γ 3 t) = φ 3 1 t) + tθ 1 ); γ 4 : [0, 1] H 1 R ), dado por γ 4 t) = φ 4 1 t) + ts). Desse modo, denindo γ : [0, 1] H 1 R ), dado por: γ 1 4t), se 0 t 1/4, γ 4t 1), se 1/4 t 1/, γt) = γ 3 4t ), se 1/ t 3/4, γ 4 4t 3), se 3/4 t 1, construímos o caminho desejado. De fato, como v é solução clássica do problema dado em 3), então v C R ) o que garante a continuidade de γ e γ 4. Além disso, γ 1 e γ 3 são segmentos de reta, logo são contínuos. Também, vale que γ ) = γ 4 1 ) = v l, γ 4 1 ) 1 = γ ) = v r e γ ) 4 = γ ) 4 3 = θ 1 v r, desse modo, concluímos que γ é contínuo, ou seja, γ C[0, 1], H 1 )). Observe também que E ainda que, γ0) = γ 1 0) = 0 v l = 0 e Jγ1)) = Jγ 4 1)) = Jφ 4 s)) = Jθ 1 v rs ) < 0. v = φ 1) = φ 1 1 l ) l + 1 l ) r l r l r 1 l ) = γ = γ 4 t 1) = γ t), com t = 1 r l r l ). r l E como r > 1 > l, então 0 < 1 l r l < 1 e 0 < t = 1 1 l ) 4 r l + 1 < 1 4 = 1, ou seja, v = γ t) γ[0, 1]). Por m, para mostrar que γt)x) > 0, para todo x R, t 0, 1] e que max separar em casos: se 0 t 1. Por.14), segue que 4 t [0,1] = Jv), vamos Jγt)) = Jγ 1 4t)) = J4tv l ) Jv).

39 . A Existência de um Caminho γ Γ 7 E lembrando que vx) > 0, para todo x R, então γt)x) = 4tv l x) = 4tvx/l) > 0, t 0. se 1 4 t 1. Considerando t = 4t 1 e t = 1 t)l + tr, observe que 0 < t < 1 e l < t < r, logo pelo Lema.4 ii), segue que Jγt)) = Jγ t)) = Jφ t )) = Jv t ) = Jv). Também, γt)x) = v t = vx/t ) > 0, pois v é positiva. se 1 t 3 4. Fazendo t = 4t e t = 1 t) + tθ 1, veja que 0 < t < 1 e 1 < t < θ 1, logo por.15), vale que Jγt)) = Jγ 3 t)) = Jφ 3 t )) = Jt v r ) Jv). E ainda, γt)x) = t v r x) = t vx/r) > 0, pois v é positiva. se 3 4 t 1. Tomando t = 4t 3 e t = 1 t) + ts, note que 0 < t < 1 e 1 < t < s, logo por.16), obtemos que Jγt)) = Jγ 4 t)) = Jφ 4 t )) = Jθ 1 v rt ) Jv). E ainda, γt)x) = θ 1 v rt = θ 1 vx/rt )) > 0, pois v é positiva. Portanto, concluímos que γt)x) > 0, para todo x R, t 0, 1] e também, como 0 < t < 1, concluímos que Jv) = Jγ t)) max Jγt)) Jv), t [0,1] ou seja, max Jγt)) = Jv). O que conclui o caso. t [0,1] Para completar a prova, considerando w uma solução de energia mínima obtida pela Proposição.1, uma vez que construímos γ Γ, tal que max Jγt)) = Jw) = m, t [0,1] concluímos que 0 < b = inf max Jγt)) max Jγt)) = Jw) = m. γ Γ t [0,1] t [0,1] Com isso, provamos que 0 < b m, e completamos a prova da proposição. Note que além de garantir a existência de um caminho γ Γ satisfazendo.5), a Proposição. mostra que b m. Logo resta provar que m b para concluir a prova do Teorema.1.