4 Descrição do Modelo Computacional

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1 4 Descrição do Modelo Comutacional 4.1. Introdução Os efeitos da exosição de folhelhos a fluidos salinos, observados em ensaios de laboratório, têm robabilidade de ocorrer também no oço. O modelo aqui aresentado foi desenvolvido ara a geometria de oço, com o roósito de ilustrar as conseqüências na estabilidade. Até hoje, vários modelos elastolásticos têm sido desenvolvidos. Eles odem estar baseados em um ou dois (ou ainda mais) otenciais lásticos, odem ter leis de fluxo associadas ou não associadas, odem incluir endurecimento e/ou amolecimento. Em geral, os resultados obtidos não odem ser interretados como rutura da rocha, mas ermitem reresentar melhor o seu comortamento. O desafio está na escolha aroriada tanto do modelo quanto dos dados ara abastecê-lo ois a confiabilidade da análise de estabilidade está diretamente ligada ao modelo constitutivo do comortamento do material. No resente caítulo, são aresentados o modelo elastolástico e a formulação utilizados neste trabalho Modelo Constitutivo Os folhelhos, quando submetidos a altos níveis de tensões, odem sofrer deformações irreversíveis antes de alcançar a rutura. Este comortamento é chamado de lástico e é geralmente modelado através de leis constitutivas elastolásticas, cujas equações avaliam estas alterações do material. As rochas normalmente contêm fissuras ou defeitos similares de vários tamanhos e diferentes orientações. O deslizamento das suerfícies das fissuras, ela ação de uma tensão cisalhante (Figura 4. 1), traz como conseqüência a abertura delas e o aumento no volume do material, fenômeno conhecido como dilatância.

2 57 velocidade elevação Figura 4. 1 Deslizamento de fissuras em rocha (Vermeer & de Borst, 1984) O comortamento de rochas em ensaios de comressão triaxial, é similar ao comortamento do concreto e das areias densas. Assumindo uma relação linear entre a exansão volumétrica e a deformação axial (Figura 4. 2), é ossível o cálculo do ângulo de dilatância (ψ) or: ψ & ε v sen 1 (4. 1) 2 & ε l + & ε v = & ε & & + & v = ε1 + ε 2 ε3 (4. 2) onde ε& v é a derivada no temo da exansão volumétrica lástica e ε& l é a derivada no temo da deformação axial lástica. Alicando na eq. (4.1) valores das curvas de deformação axial-deformação volumétrica obtidas a artir de ensaios triaxiais em rochas, têm sido obtidos valores de ângulo de dilatância entre 12 e 20 e valores nulos ara ressões confinantes extremamente altas.

3 Ψsen 58 Tensão de desvio σ 1 - σ 3 E 2 c cos φ (σ 1 + σ 3 ) sen φ σ 1 σ 2 = σ 3 Def. Volumétrica ε v 1 Ψatan (1 2ν) 2 sen atan 1 - ε 1 - ε 1 σ 3 Figura 4. 2 Idealização bi-linear do ensaio triaxial (Vermeer & de Borst, 1984) A lasticidade é alicável ara uma variedade de rochas, condições de tensão e temeratura limitadas. Quatro elementos comõem esta teoria: - Deformações lásticas. A deformação total consiste de uma arcela elástica (recuerável) e uma arcela lástica (não recuerável): dε + e = dε dε (4. 3) - uerfície de escoamento. Define a suerfície no esaço de tensões ara a qual o fluxo lástico inicia. - Lei de fluxo. Descreve o quanto as deformações lásticas se desenvolvem ara um estado de tensões. - Lei de endurecimento. Descreve como a função de escoamento é modificada durante o fluxo lástico. A suerfície de lastificação ou escoamento (denominada de f) é geralmente utilizada ara diferenciar estados lásticos de estados elásticos. Para um estado de escoamento, o elemento recisa estar em um estado lástico ( f = 0) e ermanecer em um estado lástico ( f & =0), do contrário, a taxa de deformação lástica desaarece. Portanto,

4 59 ε& = 0 ara f < 0 ou ( f & < 0 e f = 0) (4. 4) do contrário ele está lastificando. A rimeira condição refere-se a um elemento em estado lástico, enquanto a segunda condição está relacionada a um elemento que assa de um estado lástico ara um estado elástico (descarregamento). σ 2 uerfície de escoamento dε Região de comortamento elástico σ 1 σ 3 Figura 4. 3 uerfície de escoamento lástico com lei de fluxo associada A função f ode ser descrita or: f ( σ, ε, κ ) = 0 (4. 5) onde σ reresenta o estado de tensão, é o tensor das deformações lásticas e κ é um arâmetro de enrecimento. No caso do material elástico-erfeitamentelástico (o qual, deois de uma fase elástica, deforma ara uma taxa constante de tensão como mostrado na Figura 4. 2), a função f torna-se indeendente deste último arâmetro, de maneira que os ontos no interior da suerfície ermanecem no estado elástico, enquanto os ontos sobre a suerfície se encontram no estado lástico. ε

5 60 Classicamente, a teoria da lasticidade utiliza a lei de fluxo associada, na qual os incrementos de deformação lástica (dε ) são normais à suerfície de lastificação ou escoamento (Figura 4. 3): dε f = λ ara i, j = 1, 2, 3 (4. 6) σ Para rochas, concreto e areia densa a condição de normalidade entre o vetor de deformações lásticas e a suerfície de escoamento nem semre é obedecida. Exerimentalmente, a dilatância observada contrasta com aquela revista ela regra de fluxo associada, onde a exansão volumétrica é suerestimada (Vermeer & de Borst, 1984). Então, ara uma melhor modelagem da dilatância, deve ser utilizada uma lei de fluxo não associada, na qual o vetor de deformações lásticas é normal a uma nova suerfície, denominada de suerfície de otencial lástico, definida ela função g, dε g = λ ara i, j = 1, 2, 3 (4. 7) σ onde λ é um escalar, ositivo ara carregamento lástico (f = 0 e f & = 0) e nulo ara carregamento elástico e descarregamento. Para esta lei de fluxo, a função de otencial lástico está definida or: g ( σ, ε, κ ) = 0 (4.8) que no caso do material elástico-erfeitamente-lástico vem sendo g( σ, ε ) = 0 (4.9)

6 Critério de Rutura de Mohr-Coulomb Através da escolha de formas esecíficas da função f, vários critérios de rutura são obtidos. O critério de rutura de Mohr-Coulomb é conhecido como o mais simles; como mostrado na Figura 4. 4, este consiste de uma envoltória de rutura linear tangente ao círculo de Mohr reresentando combinações críticas de tensões rinciais. Essas retas são obtidas em laboratório através de ensaios triaxiais. O critério estabelece uma relação entre as tensões normais e cisalhantes: τ = c σ tanφ (4. 10) onde τ é a tensão de cisalhamento no lano de rutura, σ é a tensão normal à suerfície de rutura, φ o ângulo de atrito interno e c é a coesão. ituações envolvendo tensões de comressão são mais usuais em roblemas geotécnicos do que tensões de tração, daí a adoção das tensões de comressão como ositivas na convenção de sinais. No modelo alicado, a convenção assumida é contrária da anteriormente mencionada, o que justifica o sinal negativo ara σ adotado na eq. (4.10). Em termos das tensões rinciais o critério de Mohr-Coulomb ode ser escrito como: 1 1 f = ( σ 3 σ 1) + ( σ 3 + σ 1) senφ c cosφ = 0 (4. 11) 2 2 e de maneira similar a função de otencial lástico como: 1 1 g = ( σ 3 σ 1) + ( σ 3 + σ 1) senψ + constante = 0 (4. 12) 2 2 onde ψ é o ângulo de dilatância.

7 62 τ φ σ 1 σ 2 σ 3 c σ Figura 4. 4 Envoltória de rutura de Mohr-Coulomb no esaço τ σ 4.4. Modelos Matemáticos Usados O comortamento do folhelho está definido or uma comlexa combinação de rocessos mecânicos, hidráulicos, químicos, térmicos e elétricos durante a erfuração. Embora tenham sido reconhecidos os gradientes de otencial térmico e elétrico como geradores de fluxo de água em folhelhos (Mitchel, 1996; van Oort et al., 1996), no modelo alicado é considerado aenas o acolamento do comortamento hidráulico, químico e mecânico, como aresentado na Figura welling Comortamento mecânico do meio oroso Deformação Volumétrica Pororessão Comortam. químico Advecção Disersão Osmose Comortamento hidráulico Figura 4. 5 Acolamento mecânico-hídro-químico (Frydman e da Fontoura, 1999)

8 63 Os mecanismos ossíveis da interação folhelho-fluido de erfuração odem ser exressos através dos rincíios do fenômeno de condução em um meio oroso. A Tabela 4. 1 aresenta as relações entre os comonentes do fluxo e as forças de condução que resultam nos mecanismos de transorte. Tabela Fluxo e forças de transorte em meios orosos (Mitchel, 1993) Fluxo Fenômeno Fluido (água) Gradiente Hidráulico, Condutividade Hidráulica (Lei de Darcy) Gradiente Químico, m Gradiente de Temeratura, T Gradiente Elétrico, E Osmose Termo-Osmose Eletro-Osmose oluto (íon) Advecção Difusão (Lei de Fick) Termo-Difusão Eletro-Forese Calor Transferência de Calor Isotérmica Efeito Dufour Condutividade Térmica (Lei de Fourier) Efeito Peltier Corrente Corrente de Calor Difusão de Corrente Termo- Eletricidade (Efeito eebeck ) Condutividade Elétrica (Lei de Ohm) O rincíio usado no modelo emregado como ferramenta de análise é uma extensão da teoria da oroelasticidade de Biot (1941), tomada como base ara o desenvolvimento das equações que descrevem o comortamento hidro-mecânico do material. Esta teoria considera a fase sólida como um esqueleto oroso com os vazios reenchidos or fluido que circula livremente. O fluido é assumido como monofásico. A solução numérica desenvolvida é formulada através das equações de conservação de fluido e massa de soluto e das equações de equilíbrio. As leis básicas que reresentam o sistema oroso com movimento simultâneo de fluido e íons são descritas a seguir Equações de Transorte A rocha saturada ode ser tomada como uma matriz sólida e vazios. A rincíio, o esaço vazio está comletamente reenchido elo fluido o qual ode se movimentar livremente através dos oros conectados, ou orosidade efetiva

9 64 (Coussy, 1995). Por outro lado, o folhelho tem uma comonente de esaço de oros fechados que imede a assagem da água, e que corresonde às moléculas do fluido atraídas ela suerfície sólida. As equações de transorte de fluido comletas são obtidas adicionando as comonentes de advecção e difusão ara o transorte de soluto; e a equação de Darcy e fluxo osmótico químico ara o transorte de fluido: k RT ( + ρgh) + ρ rn k j f = ρ w i C (4. 13) µ µ Ms j = C q D C (4. 14) Na eq. (4.13), j. f reresenta o vetor de fluxo de massa de fluido que corresonde à massa de fluido ercorrendo or unidade de volume através de uma área unitária. O rimeiro termo corresonde à lei de Darcy, que descreve o fluxo de fluido considerando o efeito do gradiente da ressão de oro, onde g é a aceleração da gravidade, a ressão de oro, k o tensor de ermeabilidade intrínseca do meio oroso e h a elevação do onto com reseito a um nível de referência (na direção de g). A segunda comonente refere-se ao efeito osmótico, e corresonde ao movimento do solvente na direção do aumento da concentração. Aqui T é a temeratura absoluta, R a constante dos gases (R = 8,314 J K -1 mol -1 ), C é a concentração de massa absoluta, M s a massa molar do soluto, n i o número de artículas formadas aós dissociação do sal. O folhelho, or se comortar como membrana semiermeável não erfeita (herwood, 1994; imson & Dearing, 2000; van Oort, 1994), gera uma ressão osmótica menor do que a revista teoricamente. O fluxo osmótico é corrigido através do coeficiente r, o qual, multilicado elo n i resulta no coeficiente de reflexão α encontrado na literatura (Heidug & Wong, 1996; Mikulecky, 1997). Na eq. (4.14), o vetor de densidade de fluxo de massa do sal fluindo or unidade de temo esta reresentado or j, q é a velocidade de ercolação de Darcy e D é o tensor de difusividade que no rograma contém termos de disersão e difusão.

10 Equação de Continuidade de Massa do al A equação de continuidade de massa do soluto é obtida através da conservação de massa do sal sobre um volume elementar reresentativo como uma extensão da segunda lei de Fick. Na Figura 4. 6, j r reresenta o fluxo de massa de soluto, o qual, devido à fase sólida estar se movimentando, aarece em função da massa da artícula e de sua velocidade: ηj = q C D C + C (4. 15) r v s com v s como sendo a velocidade da fase sólida, relacionada com a deformação na forma: T T ε v s = m (4. 16) a: A conservação de massa da artícula no volume elementar dx dy dz obedece quantidade de quantidade de Massa acumulada = - (4. 17) sal que entra sal que sai As reações e/ou adsorção no folhelho estão consideradas através do fator de retardamento R d, o qual reresenta a diminuição da velocidade do soluto devido à adsorção de íons, e é deendente do tio de soluto, tio de rocha e os seus constituintes, além da comosição química do fluido nos oros. Este termo roduz um efeito que eqüivale à redução da velocidade do fluido no meio oroso. Assim, a equação de continuidade é formulada como: ( φc) 1 = Rd T 1 R T ( C q ) + ( D C) d 1 ε φ m Rd (4. 18)

11 66 (j r ) 1 (j r ) 2 dz dy dx Figura 4. 6 Conservação da massa da artícula unidimensional em um volume elementar reresentativo (Frydman e da Fontoura, 1999) Equação de Continuidade de Fluxo Monofásico Considera a conservação de massa de um fluido comressível sobre um volume elementar reresentativo. Como a fase sólida está se movimentando, esta formulação está exressa em função das velocidades do fluido e da fase sólida, como segue: m ( + φ ) + = 0 vt j f ρ s (4. 19) Nesta equação, m/ corresonde à taxa de variação de massa de fluido ercorrendo livremente o meio oroso, a qual, seguindo a definição de orosidade conectada oder ser exressa or: m φ ρ = ρ + φ (4. 20) cujo rimeiro termo envolve a variação de massa devido a mudança do volume e o segundo termo eqüivale à variação de densidade de massa de fluido com o temo.

12 67 Através da equação de densidade de massa de fluido (eq. 4.13) e a equação de velocidade da matriz rochosa (eq. 4.16), a conservação de massa ara a fase fluida é exressa como: T k k RT T ε m ρ ( + ρ g h) + ρw r ni C + φ ρ m + = 0 (4. 21) µ µ Mw Comortamento Mecânico da Rocha No modelo, a tensão efetiva exerce o controle do comortamento do meio oroso. A tensão efetiva considerando um comortamento não linear e reroduzindo a forma generalizada do coeficiente de Biot na forma de vetor (Carrol, 1979) é exressa or: D m σ = σ ' m (4. 22) 3K onde ara o caso tridimensional σ e σ ' são vetores 6x1 descrevendo os incrementos de tensão, D é a matriz secante constitutiva que relaciona tensão com deformação, K é o módulo de rigidez secante da fase sólida e m é o vetor 6x1 que contém elementos iguais a um ara tensões normais e zero ara tensões cisalhantes. A deformação do esqueleto sólido é indeendente da ressão de oros e ortanto ode ser escrita ela seguinte relação constitutiva: σ = D ( ε ε ) + σ (4. 23) o que de maneira incremental seria dσ = D dε dε ) (4. 24) T ( onde dε s reresenta o incremento de deformação devido ao aumento de volume ela absorção de água (swelling). A matriz constitutiva D é deendente do nível e

13 68 da trajetória de tensões. Como a matriz D relaciona tensões efetivas com deformações, os arâmetros elásticos (E, ν) são obtidos em condições drenadas. Baseado nas formulações de Heidug & Wong (1996) em aralelo com aquelas de herwood (1993), o modelo constitutivo ara as deformações devidas ao exansão aarece exresso como: RT M ε s = w2 mln as (4. 25) s RT 1 dε s = w2 m dc (4. 26) Ms C onde w 2 aarece como função dos fatores de acolamento eletroquímico do soluto (w ) e do solvente (w D ), e a densidade de massa do solvente (ρ ) e do soluto (ρ D ). Finalmente, a equação de tensão total acolada resulta em D m D m RT m (4. 27) σ = ε + w2 ln as + σ ' o 3K M que de maneira incremental seria DTm RT dc dσ = DT dε m d + w2 m (4. 28) 3KT M C