Mecânica dos Fluidos. Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

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1 Mecânica dos Fluidos Aula 02 rof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

2 2.4- Fluidos Newtonianos e não-newtonianos Os fluidos classificados como newtonianos, sejam eles mais ou menos viscosos, caracterizam-se or terem uma viscosidade constante, ou seja, seguem a Lei de Newton da viscosidade. São exemlos a água, o leite e os óleos vegetais, etc. Já nos fluidos não-newtonianos a viscosidade varia com a força alicada (e or vezes com o temo também) e ortanto têm roriedades mecânicas muito interessantes. Um bom exemlo é o ketchu. Quando o frasco está em reouso o ketchu é muito viscoso, mas quando o inclina ele torna-se menos viscoso e escorre, e ainda, quando o mete na boca não sente a viscosidade. O exemlo da mistura de amido e água é muito fácil de ser realizada em nossa rória casa; uma vez obtida a mistura comrovaremos um fato insólito: ao agitá-la lentamente comorta-se como um fluído semi-líquido, mas ao agitá-la com força se mostra dura como uma edra. Enquanto se mexe devagar com uma colher, a mistura terá a textura de uma ainha, mas tente dar um soco e seus dedos toarão com algo tão sólido quanto uma arede. Em resumo, de uma forma simlificada, odemos dizer que os fluidos nãonewtonianos não ossuem uma viscosidade bem definida.

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4 ττ Taxa de deformação

5 A reologia é o ramo da mecânica dos fluidos que estuda as roriedades físicas que influenciam o transorte de quantidade de movimento num fluido. odemos então concluir que é a ciência resonsável elos estudos do fluxo e deformações decorrentes deste fluxo, envolvendo a fricção do fluido. A viscosidade é a roriedade reológica mais conhecida, e a única que caracteriza os fluidos newtonianos. A viscosidade aarente,µ a, é a viscosidade dos fluidos não-newtonianos, a qual é válida ara uma determinada taxa de deformação. Em fluido Newtonianos á idêntica aµ. A viscosidade aarente diminui com o aumento da taxa de deformação em fluidos seudolásticos (tornam-se mais finos quando sujeitos a tensões de cisalhamento). Os fluidos nos quais a viscosidade aarente cresce conforme a taxa de deformação aumenta, são chamados de dilatantes (tornam-se mais esessos quando sujeito a tensões de cisalhamento).

6 Numerosas equações emíricas têm sido roostas ara descrever os fluidos não-newtonianos indeendentes do temo. ara muitas alicações da engenharia, essas relações odem ser adequadamente reresentadas elo exonencial que, ara o escoamento unidimensional, torna-se: τ yx dv k dy onde o exoente, n, é chamado de índice de comortamento do escoamento e o coeficiente, k, é o índice de consistência. Essa equação reduz-se à lei de Newton da viscosidade ara n 1 e k µ. ara assegurar que τ yx tenha o mesmo sinal de dv x /dy, a equação anterior é reescrita na forma: x n τ yx dv k dy x n dv x dy 1 dv dy x n 1 dvx k dy µ a dv dy x µ a dv dy x onde µ a é referenciado como viscosidade aarente do fluido.

7 Um fluido que se comorta como um sólido até que uma tensão limítrofe, τ yx, seja excedida e exibe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação é denominado lástico de Bingham ou lástico ideal. O modelo corresondente de cisalhamento é: τ yx τ y µ a dv x dy Esquema de classificação dos fluidos conforme o comortamento reológico:

8 Existem materiais que se comortam arcialmente como um fluido e arcialmente como um sólido. Estes são os fluidos viscoelásticos. Os fluidos viscoelásticos tem algumas características, tais como: - o tensor extra de tensões não é mais uma função linear, mas descrevem efeitos viscosos e elásticos do escoamento do fluido em questão; - a viscosidade normalmente é muito maior do que a dos fluidos newtonianos; - a viscosidade é deendente da temeratura.

9 Comarativo de roriedades de fluidos não newtonianos: Viscoelásticos (roriedades elásticas e viscosas acoladas) Modelo Maxwell (roriedades elásticas) Modelo Kelvin-Voigt (roriedades viscosas) Estas substâncias quando submetidas à tensão de cisalhamento sofrem uma deformação e quando cessa, ocorre uma certa recueração da deformação sofrida Massas de farinha de trigo, gelatinas, queijos, líquidos oliméricos, glicerina, lasma, bioolímeros, saliva, etc. Deendente do temo Reoético Tixotróico A viscosidade aarente diminui conforme a duração da tensão A viscosidade aarente aumenta conforme a duração da tensão Alguns lubrificantes, susensão de entóxido de vanádio e argila bentonita. Susensões concentradas, emulsões, soluções rotéicas, etróleo cru, tintas, ketchu. esudolástico A viscosidade aarente diminui conforme o aumento da tensão de cisalhamento. ola de frutas, caldos de fermentação, melaço de cana. Indeendente do temo Dilatante lásticos de Bingham A viscosidade aarente aumenta conforme a duração da tensão de cisalhamento. Este tio de fluido aresenta uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação. Susensões de amido, soluções de farinha de milho e açúcar, silicato de otássio e areia. Fluidos de erfuração de oços de etróleo, asta dental, maionese, mel, etc. Herschel-Bulkley A relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação não é linear. Sangue, iogurte, urê de tomate, etc.

10 2.5- Algumas roriedades dos fluidos Massa esecífica A massa esecífica de uma substância, designada orρ,édefinida como a massa de uma substância contida numa unidade de volume. Esta roriedade é normalmente utilizada ara caracterizar a massa de um sistema fluido. m kg g kg ρ ; ; ; etc. 3 3 V m cm L Volume esecífico O volume esecífico, ν, é o volume ocuado or uma unidade de massa da substância considerada. Note que o volume esecífico é o recíroco da massa esecífica, ou seja: 1 ν ρ 3 m cm ; kg g ; etc. Normalmente não é utilizado o volume esecífico na mecânica dos fluidos, mas é uma roriedade muito utilizada na termodinâmica. 3 ; L kg

11 eso esecífico O eso esecífico de uma substância, designada or γ, é definido como o eso da substância contida numa unidade de volume. O eso esecífico está relacionado com a massa esecífica através da relação: N dina lbf ρ.g ; ; ; etc. 3 3 m cm ft γ 3 onde g é a aceleração da gravidade adrão (9,807 m/s 2 ). Note que o eso esecífico é utilizado ara caracterizar o eso do sistema fluido enquanto que a massa esecífica é utilizada ara caracterizar a massa do sistema fluido Densidade relativa A densidade relativa de um fluido, designada or SG ( secific gravity ), é definida como a razão entre a massa esecífica do fluido e a massa esecífica da água a 4 C (ρ água 1000 kg/m 3 ). Nesta condição, temos: SG fluido ρ ρ fluido água a 4 0 C ( Adimensional )

12 2.6- Lei dos gases erfeitos Os gases são muito mais comressíveis do que os líquidos. Sob certas condições, a massa esecífica de uma gás está relacionada com a ressão e a temeratura através da equação: V M ρ R nrt m RT V M RT m M ρrt RT (lei 3 82,05 cm.atm/mol.k dos gases erfeitos) ressão absoluta do gás M massa molar do gás R constante universal dos gases ideais T temeratura absoluta

13 3. Estática dos fluidos 3.1- Introdução or definição, um fluido deve deformar-se continuamente quando uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é alicada. A ausência de movimento relativo (e or conseguinte, de deformação angular), imlica a ausência de tensões de cisalhamento. Na estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as artículas do fluido é nula, ou seja, não há gradiente de velocidade. Uma vez que não há movimento relativo dentro do fluido, o seu elemento não se deforma. ortanto, em um fluidos em equilíbrio estático atuam somente forças de camo e normais e não há esforços tangenciais.

14 3.2- Equação básica da estática dos fluidos Em um fluido em reouso (estático), submetido ao camo gravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluido são o eso e as forças devidas às ressões estáticas. Tem-se, em rincíio, que a ressão (x, y, z). Consideremos um elemento de volume x y z, com faces aralelas aos lanos de um sistema de coordenadas retangulares x, y, z, isolado de um fluido em reouso com massa esecífica ρ, conforme é mostrado na Figura 1 a seguir, na qual designamos as ressões que atuam sobre o elemento fluido de acordo com a coordenada de osição da face do elemento cúbico sobre a qual atua a ressão.

15 Figura 1: Elemento de volume isolado de um fluido em reouso com as ressões estáticas exercidas elo restante do fluido

16 O eso do elemento fluido é dado or: W ρ x y zg ( 1 ) A força de suerfície resultante, devida às ressões estáticas que atuam sobre o elemento, é dada or: F ( ) ( ) y zi x z j ( ) x x x y y y z z z x yk ( 2 ) Como o fluido está em reouso, a força resultante que atua sobre um elemento de volume deve ser nula, ou seja, tem-se um condição de equilíbrio dada or: F W F 0 ( 3 )

17 ( 1 ) e ( 2) em ( 3 ): Dividindo elo volume x y z, rearranjando os termos e fazendo o limite quando o volume do elemento tende a zero, obtém-se ( 4 ) ( 5 ) ρg k j i lim z z z y y y x x x 0 z y x z y x ( ) ( ) ( ) 0 k j i g ρ z z z y y y x x x y x z x z y z y x k j i z y x O termo do lado esquerdo da equação (6) é a definição do gradiente de ressão, em coordenadas retangulares, dado or: ( 7 ) ρg k j i z y x ( 6 )

18 ortanto, a equação (6) ode ser escrita como: ρg ( 8 ) A equação (8) é equação básica da estática dos fluidos. Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado na Figura 1, a equação (8) ode ser decomosta nas comonentes escalares. x ρg x y ρg y z or conveniência, escolhemos o referencial com o eixo y aralelo ao vetor gravidade, de forma que: ρg z g x 0 gy g g z 0

19 Assim, considerando um eixo y vertical com sentido ositivo ara cima, conclui-se que a ressão varia somente em função de y, de maneira que se ode escrever y ρg ( 9 ) E que os lanos xz horizontais são lanos isobáricos, ou seja, ontos que estão à mesma altura (ou rofundidade) dentro do mesmo fluido ossuem ressões estáticas iguais.

20 3.3- Variação da ressão em um fluido em reouso a) Variação da ressão em um fluido incomressível (ρ cte) Um fluido incomressível tem massa esecífica constante, de forma que a integração da equação básica da estática dos fluidos fica simlificada. Tem-se que: ρg ( 10 ) e, considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido ositivo ara cima, resulta que a equação (10) fica sendo: d dy ρg constante ( 11 )

21 A variação da ressão com a altura é determinada or meio da integração da equação (11) com as condições de contorno adequadas. Considerando que a ressão num nível de referência y 0 é 0, determina-se a ressão (y) numa altura y com a integração da equação (11), de forma que: ( y ) 0 d y ρg dy 0 ( y) 0 ρg( y y0) ou seja, a diferença de ressão entre dois ontos, num fluido incomressível, é diretamente roorcional à diferença de altura entre esses dois ontos.

22 ara líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um referencial com um eixo h, aralelo ao vetor camo gravitacional, com origem na suerfície livre e sentido ositivo ara baixo, conforme é mostrado na Figura a seguir; g 0 y atm (h) h ( h) atm d h ρg dy 0 ( h) atm ρg( h 0)

23 ( Equação da hidrostática ) ( h) ( h) atm atm ρgh γ h ( h) atm γ h ( 12 ) A equação (12) é conhecida como a lei de Stevin, que diz que a diferença de ressão entre dois ontos de um fluido em reouso é igual ao roduto do eso esecífico (γ) do fluido ela diferença de cotas entre dois ontos (h). Assim, num fluido incomressível (ρ constante): - a ressão varia linearmente com a rofundidade; - a ressão é a mesma em todos os ontos sobre um dado lano horizontal y no fluido.

24 ressão atmosférica ara se determinar a ressão atmosférica a uma dada altitude, é necessário conhecer-se rimeiro como a temeratura varia com a altitude. Uma boa aroximação ara a troosfera (altitudes de até km) é aquela que considera que a temeratura reduz-se linearmente com a altitude. Nesse caso, e considerando o ar atmosférico como gás ideal, a ressão à altitude z acima do nível do mar, oderá ser estimada or meio da seguinte equação: atm 1 B. z T 0 5,26 ( 13 ) onde atm N/m 2 (ressão atmosférica ao nível do mar na altitude zero), B 6,5x10-3 Kelvin/m e T 0 288,16 Kelvin (15 C).

25 Exemlo. Estimar a ressão atmosférica à altitude de 3000m, utilizando a equação (13) e comarar o valor obtido com aquele utilizando a lei de Stevin (eq. 12). Utilizando a fórmula exta dada ela equação (13), temos: atm 1 B. z T 0 5, N/m ( ) 6,5x10 K/m 3000m 288,16K 5, N/m 2 or outro lado, utilizando a lei de Stevin com γ ar 11,77N/m 2, temos: atm γ h N/m 2 11,77N/m 3 ( 3000m) 66015N/m 2 Isso reresenta uma diferença de aenas 5,8% com relação ao valor exato obtido or meio da equação (13). ara altitudes inferiores a 1000m, os erros serão inferiores a 5%.

26 b) Variação da ressão em um fluido comressível (ρ é variável) A variação da ressão em um fluido comressível também é determinada através da integração da equação básica da estática dos fluidos dada or: ρg ( 14 ) ara um fluido comressível a massa esecífica ρ não é constante, de forma que é necessário exressá-la em função de outra variável na equação (14). Uma relação entre a massa esecífica e a ressão ode ser obtida da equação de estado do gás ou or meio de dados exerimentais.

27 V M ρ nrt m RT V M RT m M ρrt RT (lei dos gases erfeitos) M g ( 15 ) RT A equação (15) introduz outra variável, que é a temeratura, de maneira que é necessária uma relação adicional da variação da temeratura com a altura.

28 3.4- Medidas de ressão Barômetro de mercúrio. As medidas de ressão são realizadas em relação a uma determinada ressão de referência. Usualmente, adota-se como referência a ressão nula existente no vácuo absoluto. A ressão relativa ocorre orque muitos instrumentos de ressão são do tio diferencial, registrando não a magnitude absoluta, mas a diferença entre a ressão do fluido e a atmosfera que ode ser ositiva (manômetros) ou negativa (vacuômetros).

29 Deve-se observar que, nas equações de estado, a ressão utilizada é a absoluta, dada or: ( 16 ) absoluta atm relativa A ressão atmosférica local, reresentada or atm ode ser medida or um barômetro. O mais simles é o barômetro de mercúrio construído or Evangelista Torricelli em ( Barômetro de mercúrio )

30 Na Figura anterior, tem-se: h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro; atm é a ressão atmosférica local; e 0 é a ressão de vaor do mercúrio. Alicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetro de mercúrio, temos: ρg d dy B A d B ρ ρ A Hg g Hg g h 0 ρ dy Hg gh

31 ontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a mesma ressão, de forma que A atm e como B 0, obtém-se: ou 0 atm ρ Hg gh ρ gh ( 17 ) atm 0 Em condições normais de temeratura e ressão, a ressão de vaor do mercúrio é raticamente nula, ou seja, 0 0, resultando: atm ρhg gh ( 18 ) A ressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresonde a uma coluna de mercúrio com altura h 76 cm. Substituindo os dados, ρ Hg kg/m 3, g 9,81 m/s 2, h 0,76 m, na equação (18), resulta: atm N/m 2 (a) 102,32 ka 1 atm a (N/m 2 ) 101,325 ka 1,01325 bar 1,0332 kgf/cm 2 10,332 mh 2 O (mca) 760 mmhg (Torricelli) 14,7 si (lbf/in 2 ) 29,92 inhg Hg

32 Manômetro de tubo em U com líquido manométrico. A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tubo em U, ermite utilizá-lo na medição de ressões de gases ou líquidos, ois esse líquido imede que o gás escae elo tubo. É imortante que se utilize um líquido manométrico que aresente um eso esecífico bastante elevado de modo a evitar colunas contendo o fluido manométrico muito altas.

33 De acordo com a lei de Stevin (equação 12), a ressão em C em relação à ressão em B (observando que B A ), será dada or: γ h C B 2 A γ h 2 ( 19 ) Ocorre que em C, temos a interface do fluido com o líquido manométrico, sendo que a ressão aí é igual à ressão em D, or se tratar de ontos na mesma horizontal de um mesmo líquido, C D ; assim, tendo em vista o resultado anterior, temos: γ h ( 20 ) D A Alicando novamente a lei de Stevin (equação 12), ara determinação da ressão em D, em relação à ressão na suerfície livre do líquido manométrico no tubo, onde reina a ressão atmosférica local, resulta em: γ h ( 21 ) D atm 2 LM 1

34 Igualando as equações (20) e (21), resulta o seguinte resultado: A A γ h 2 atm γ atm LM h 1 γ LM h γ h 1 2 ( 22 ) Na equação 22, a ressão A reresenta a ressão absoluta no tubo (como líquido ou gás). ara a medida da ressão relativa (ou manométrica) o valor da ressão atmosférica é zero (na escala efetiva). Assim, a ressão manométrica no onto A será: A γ h γ h ( 23 ) LM 1 2 ara medir ressões de líquidos (ex. água) utiliza-se mercúrio como fluido manométrico (SG Hg 13,6).

35 Exemlo 01: Água escoa através dos tubos A e B. Óleo com densidade relativa 0,8, encontra-se na arte suerior do tubo em U invertido. Mercúrio (densidade relativa 13,6), encontra-se no fundo das curvas do manômetro. Determine a diferença de ressão, A B.

36 5 água F B 4 Hg E F 3 óleo D E 2 Hg C D 1 água A C gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ gd ρ 5 água 4 Hg 3 óleo 2 Hg 1 água A B ( ) ( ) gd ρ d d g ρ d d g ρ 3 óleo 4 2 Hg 5 1 água A B C 4 a água óleo óleo C 4 a água Hg Hg C 4 a água fluido fluido ρ SG ρ ρ SG ρ ρ ρ SG

37 B A água ( d d ) [ d d SG SG d ] ρ g 3 kg m A 10 9, m s 1 5 Hg [ ,6( 3 5) 0,8x4] B kg m A 25814,43 2 m s N A 25814, ,43a 2 m 3 10 a ; 1atm 101,325 ka B 2 1ka B B A A A B B 25,81 ka 25,81 ka 0,25 atm 2 ( x1) 4 óleo 3 inx0,0254 m in

38 iezômetro. O iezômetro é o disositivo mais simles ara a medição de ressão. Consiste na inserção de um tubo transarente no reciiente (tubulação) onde se quer medir a ressão. - O líquido subirá no tubo iezométrico a uma altura h, corresondente à ressão interna; - Devem ser utilizados tubos iezométricos com diâmetro suerior a 1cm ara evitar o fenômeno da cailaridade; - Não serve ara a medição de grandes ressões ou ara gases. Alicando a lei de Stevin (eq. 12), considerando somente a ressão relativa em A (ou manométrica), temos: A γ h ( 24 )

39 Manômetro metálico de Bourdon. Diferentemente dos manômetros de tubo com líquido, o manômetro de Bourdon (Eugène Bourdon, 1849, França) mede a ressão de forma indireta, or meio da deformação de um tubo metálico, daí o seu nome. Conforme indica a Figura a seguir, neste manômetro, um tubo recurvado de latão, fechado numa extremidade e aberto na outra (denominada tomada de ressão), deforma-se, tendendo a se endireitar sob o efeito da mudança de ressão. Um sistema do tio engrenagem-inhão, acolado à extremidade fechada do tubo, transmite o movimento a um onteiro que se desloca sobre uma escala. O tubo recurvado de latão, or estar externamente submetido à ressão atmosférica local, somente se deformará se a ressão na tomada for maior ou menor que aquela.

40 Assim, a ressão indicada or este manômetro é semre a ressão relativa. Quando não instalado, o manômetro de Bourdon indica zero, em qualquer altitude. Quando este manômetro ocua um ambiente onde a ressão seja diferente da ressão atmosférica local, a ressão indicada indicada (ou manométrica ) será dada or: indicada ( 25 ) tomada ambiente onde ambiente é a ressão no ambiente onde está o manômetro e tomada é a ressão na tomada é a ressão absoluta em relação á ressão do ambiente local onde está instalado o manômetro. Uma escala muito utilizada neste manômetro é aquela roduzida em unidades ráticas de kgf/cm 2. Outras escalas de ressão utilizadas são bar e si.

41 Exemlo 02: ara a instalação da Figura a seguir, são fornecidos: ressão indicada no manômetro de Bourdon indicada 2,5 kgf/cm 2 e eso esecífico do mercúrio γ Hg 1,36x10 4 kgf/m 3. ede-se determinar a ressão no reservatório 1, 1.

42 Solução: Determinemos, rimeiramente, a ressão no ambiente onde está o manômetro de Bourdon. Essa ressão é a do gás contido no reservatório 2, 2, que é a mesma ressão que reina na suerfície livre do reservatório 2. or sua vez, essa ressão é igual à ressão em A, ois A está no mesmo lano horizontal da suerfície livre do mercúrio no reservatório 2. Assim, 2 A. ela alicação direta da lei de Stevin (eq. 12) em A, levando-se em consideração a coluna de mercúrio de altura h 1,5m temos que a na escala efetiva a ressão no ambiente 2 é: 2 A γ Hg h ( 1 ) Então, a ressão relativa no ambiente onde está o manômetro de Bourdon será: ambiente 2 γ Hg h ( 2 )

43 ara o manômetro de Bourdon, temos: indicada ( 3 ) tomada ambiente com indicada 2,5 kgf/cm 2, tomada 1 e ambiente γ Hg.h Isolando tomada no rimeiro membro na exressão acima e substituindo estes últimos resultados, temos: 2 1 indicada ambiente 2,5kgf/cm γ Hg.h Reconhecendo que γ Hg 1,36x10 4 kgf/m 3 1,36x10-2 kgf/cm 3 e que h 1,5m 150cm, temos ara 1 o valor de: 1 1 2,5kgf/cm 2 4,54 kgf/cm 2 ( 2 3 1,36x10 kgf/cm )( 150cm)

44 Exemlo 03: Qual é a ressão indicada elo manômetro C se as ressões indicadas elos manômetros A e B são resectivamente A 45 si e B 20 si? A ressão barométrica é 30,55 inhg. 14,7 29,92 inhg (Tabela de conversões de ressão) Solução: A ressão barométrica corresondente local, atm é: 14,7si atm 30,55inHg 29,92inHg 15si

45 As ressões nos comartimentos 1 e 2 não estão à ressão atmosférica local. O manômetro indica a ressão absoluta (tomada) em relação à ressão do ambiente local onde está instalado o manômetro: indicada, A tomada,a tomada,a 45 tomada, A indicada,a 15 ambiente ambiente 60 sia A unidade de ressão é si, a letra a no final é ara frisar que o valor da ressão é de ressão absoluta. Tanto o manômetro A quanto o manômetro B medem a ressão no comartimento 1. Assim, tomada, B tomada, A 60 sia

46 O manômetro B mede a ressão no comartimento 1 (tomada B) em relação à ressão no comartimento 2, B : indicada,b ambiente,2 ambiente,2 60 tomada,b tomada,b 20 ambiente,2 indicada,b 40 sia O manômetro C mede a ressão no comartimento 2 (tomada C), assim: 40 sia A leitura do manômetro C então ode ser calculada: indicada,c indicada,c tomada,c tomada,c 40 tomada,c ambiente,2 15 ambiente,2 25 si