3 Desenvolvimento do Acoplamento

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1 39 3 Desenvolvimento do Acolamento Como alternativa ara a solução do roblema físico em estudo, no trabalho (Fontoura & Inoue, 2009) foi escolhido um esquema de acolamento arcial, onde dois rogramas distintos, que utilizam soluções numéricas diferentes (método das diferenças finitas ara simulação de reservatórios e método dos elementos finitos ara análise de tensões) são acolados. Foi imlementado um código de comutador em C++ ara realizar o acolamento arcial entre os dois rogramas (Fontoura & Inoue, 2009). O rograma de acolamento roda os simuladores de reservatório/rograma de análise de tensões, faz a leitura dos arquivos de resultados, calcula os arâmetros de acolamento e reescrevem os arquivos de entrada, todas as etaas são realizadas de forma automatizada. Uma vez que o rograma gerenciador é iniciado, não há necessidade de interferência do usuário e o rograma verifica semre o tamanho do timeste ara garantir a convergência da solução dentro de um número de iterações. Nesta seção serão mostrados os simuladores emregados nesta dissertação ara fazer uso do código mencionado acima, assim como as rinciais formulações envolvidas ara os três esquemas usados e o que difere nestas Estudo dos Simuladores No resente trabalho, um simulador de reservatórios (ECLIPSE) e um rograma de análise de tensões (ABAQUS) se comunicam e trocam informações até alcançar o equilíbrio entre a solução de fluxo e tensão em um determinado intervalo de temo através de um código C++ de forma automatizada. O software (Comuter Modelling rou STARS, 2009) também foi estudado ara mostrar como é resolvido este tio de roblemas em um simulador que aresenta modulo geomecânico.

2 Softwares envolvidos no Acolamento ECLIPSE é um simulador de reservatórios de etróleo e gás originalmente desenvolvido ela ECL (Exloração Consultants Limited) e atualmente roriedade, comercializado e mantido ela Schlumberger (Schlumberger, ). A simulação é feita elo método de diferenças finitas que é uma das ferramentas mais oderosas ara orientar decisões de gestão do reservatório. ECLIPSE software ermite aos engenheiros rever e controlar o fluxo de fluido de forma mais eficiente, com maior discernimento e modelagem mais recisa. Eclise oferece um modelo de três comonentes, conhecido como o modelo blackoil, ara situações de reservatório em que as reservas de etróleo e de recueração de etróleo recisam ser conhecidas, mas os efeitos da comosição da fase fluida sobre o comortamento do fluxo não devem ser necessariamente consideradas. O modelo blackoil assume que os fluidos do reservatório estão comostos or três elementos (água, óleo e gás) em um sistema trifásico (gás, líquido e gás em solução) com comonentes miscíveis em todas as roorções. Duas versões são usadas: Eclise 100 resolve as equações de Blackoil (um modelo de líquidos) e eclise 300 é um simulador comosicional com a equação cúbica de estado. Eclise 300 ode ser executado totalmente imlícito (IMPES) e adatável imlícito (AIM) (Schlumberger, ). Ambos os rogramas são escritos em linguagem FORTRAN. Nesta versão foi usado ara a solução das equações de fluxo a versão eclise 300. ABAQUS é o outro simulador emregado ara o calculo de tensões e deslocamentos que oferece flexibilidade comleta ara fazer a distinção entre a resosta estática e dinâmica a carregamentos, a mesma análise ode conter várias fases estáticas e dinâmicas (SIMULIA, 2010). O método emregado ara a solução de equações e o método de elementos finitos. Nesta dissertação será utilizado a funcionalidade de "Acolamento da análise do fluxo do fluido dos oros e Tensões", que o rograma oferece. Um meio oroso é modelado em Abaqus/Standard através de uma abordagem convencional, que considera o meio como um material multifásico e adota um rincíio de tensão efetiva ara descrever o seu comortamento. A modelagem do meio oroso considera a resença de dois fluidos no meio. Um deles é o liquido molhante que se suõe ser relativamente incomressível.

3 41 Muitas vezes, o outro é um gás, que é relativamente comressível. Um exemlo desse sistema é o solo contendo água subterrânea. Quando o meio é arcialmente saturado, ambos os fluidos existem em um onto, quando estiver totalmente saturada, os vazios são comletamente reenchidos com o líquido molhante. O volume elementar é constituído or um volume de grãos de material sólido, um volume de vazios e um volume de líquido molhante, que é livre ara se mover através do meio oroso (SIMULIA, 2010). No caso em estudo são utilizadas o analise de tensões e deslocamento, ver seção 6.3 do manual, e acolamento do analise do fluxo do fluido dos oros com tensões ver seção 6.7 do manual (SIMULIA, 2010) Modelagem do Reservatório A análise de um roblema qualquer elo método analítico corresondente envolve três etaas distintas: discretização do domínio (ré-rocessamento); cálculo das variáveis do roblema, tais como, deslocamentos, deformações, tensões, cargas totais, ororessões e gradientes hidráulicos (rocessamento); e visualização dos resultados (ós-rocessamento). Nesta seção serão detalhados alguns asectos de ré-rocessamento e rocessamento a considerar no momento da construção de um modelo, ara os dos tios de solução analítica emregada ara resolver o roblema físico em estudo, o método de diferenças finitas (MDF) ara um simulador de fluxo e o método de elementos finitos (MEF) ara o simulador geomecânico, suas rinciais diferenças nestas etaas e como foram assumidas ara oder gerenciar o acolamento eometria do Modelo O esquema de discretização do domínio é diferente nos dois casos, enquanto que a simulação de reservatórios utiliza o método das diferenças finitas ara aroximar as equações governantes, na análise de tensões é utilizado o método dos elementos finitos (Caasso & Mantica, 2006). É de notar que a malha de diferenças finitas é construída de acordo com a estrutura geológica do reservatório, ou seja, estratigrafia e geometrias de falha são reseitadas tanto quanto ossível. Isso ode roduzir uma série de irregularidades que são ermitidas no método das diferenças finitas, orém não

4 42 são no método dos elementos finitos. Para descrever a geometria real dos níveis de solo com esessura variável ("inch-outs ou ontos de conexão"), algumas células na malha de diferenças finitas ode ter colaso em um único onto ela resença de falhas, além disso, é muitas vezes descrita com deslocamento real, que rovoca o deslocamento entre os nós de duas células vizinhas. Pequenas irregularidades são removidas durante o rocessamento da rede ajustando levemente a osição do nó, a fim de obter uma malha de elementos finitos adequada, sem erder a correta estrutura geológica (ver Figura 8). Figura 8 - Construção de uma malha de elementos finitos: remoção de irregularidades (Caasso & Mantica, 2006). O uso de elementos finitos é muito mais adequado ara descrever comletamente o comortamento geomecânico de um reservatório e do material circundante. É ossível, neste caso, construir um modelo de elementos finitos com uma descrição detalhada da geometria, tendo em conta a estrutura geológica das camadas de rodução (reservatório) e das camadas acima e abaixo desta; atraves de regiões com diferentes roriedades mecânicas e leis constitutivas ara considerar corretamente o comortamento dos materiais. Como as malhas geomecânicas e do reservatório são diferentes é necessário o uso de técnicas de interolação ara criar o modelo inteiro. No trabalho (Fontoura & Inoue, 2009) é construído rimeiro a malha do reservatório com discretização elo método das diferenças finitas (ECLIPSE), são extraídos os dados e comletada as camadas de overburden, siderburden e underburden com o simulador de deslocamentos (ABAQUS).

5 43 Somente dois elementos tridimensionais são suortados elo código de elementos finitos do rograma de acolamento arcial, elemento finito linear de 8 nós (brick) e elemento finito tetraédrico linear de 4 nós (tetrahedron). Na discretização do modelo do reservatório, aenas um tio de elemento ode ser utilizado, ois o código de elementos finitos ara conversão de ressão de oros em forças nodais do rograma de acolamento arcial ainda não ermite trabalhar com diferentes elementos (Inoue & Fontoura, 2008) Número de Células Outro onto imortante está relacionado com o número de células usado inicialmente ara descrever o modelo de fluxo. Em alguns casos, o grande número de células na malha de diferenças finitas emregada ara modelar o reservatório e o fato de que a malha em elementos finitos incluirá as rochas adjacentes, torna imossível manter a mesma discretização. A malha em diferenças finitas, no entanto é o resultado de um estudo detalhado do camo que considera a informação roveniente de esquisas sísmicas, o conhecimento geológico da área e um rograma de desenvolvimento do reservatório. A discretização vertical é de imortância suerior a descrever corretamente as roriedades do material do meio oroso e o abaixamento da ressão (Caasso & Mantica, 2006). Então na ratica, células de maiores dimensões no rograma ABAQUS serão usadas ara as rochas adjacentes os elementos de 8 e 4 nós deendendo do roblema. O rograma ABAQUS oderá diferenciar quais elementos ertencem ao reservatório e quais as rochas adjacentes através de tios de elementos, sendo usados C3D8P/C3D20P (tensão/deslocamento/ressão de oro) ara o reservatório, e C3D8/C3D20 (tensão/deslocamento) ara as zonas externas Calculo das variáveis A localização onde as variáveis rimárias são calculadas na simulação de reservatórios e na análise de tensões é inerente aos métodos utilizados ara aroximar as equações governantes. No método das diferenças finitas as variáveis rimárias (ressão de oros, saturação, temeratura, etc.) são

6 44 calculadas no centro da célula do grid de simulação, enquanto que no método dos elementos finitos as variáveis rimárias (deslocamento) são calculadas nos nós dos elementos (Inoue & Fontoura, 2008). A Figura 9 ilustra a localização dos centros das células em vermelho e nós dos elementos em azul onde as variáveis rimárias são calculadas em cada método. Figura 9 - Localização onde as variáveis rimárias são calculadas (Caasso & Mantica, 2006). E necessário transferir os cálculos realizados nos centros das células ara os ontos nodais e ao contrario, ara gerenciar uma correta troca de informações, ara o qual o ruo de Tecnologia na Engenharia do Petróleo (TEP) nos trabalhos Fontoura & Inoue (2008, 2009) utiliza o seguinte critério, foi imlementado no código de acolamento uma rotina de interolação ara transferir ressão de oros do centro da célula do grid de diferenças finitas ara os nós dos elementos da malha de elementos finitos, e também transferir seudo-comressibilidade e orosidade dos nós ara os centros das células. A formulação emregada é a mesma usada no trabalho ( Caasso & Mantica, 2006). A evolução temoral da ressão é automaticamente extraída dos arquivos de saída do simulador de fluxo, e reescrita a fim de ser diretamente acessíveis como dados de entrada no ABAQUS. A ressão de oros P i em cada nó i da malha de elementos finitos ode ser obtida através de uma média onderada das ressões j do centro das células do grid de diferenças finitas.

7 45 P i j 1,8 j j 1,8 ( ) ( ) i orv i orv j j ( i) (3.1) Onde são j células que comartilham o nó i, caracterizado ela ressão de oros j ( i ) e volume oroso j ( ) orv i. O esquema de interolação utiliza o inverso da distância como eso. Estes esos odem ser gravados em dois arquivos externos, um ara transferir de diferenças finitas ara elementos finitos e outra no sentido contrário (Inoue & Fontoura, 2008) Estudo Software com modulo eomecânico STARS é um simulador térmico tridimensional e trifásico com um sistema de malhas que odem ser cartesianas, cilíndricas ou rofundidade variável / esessura variável. Permite trabalhos em configurações bidimensionais e tridimensionais Modelo eomecânico: Várias ráticas de rodução resondem dinamicamente às mudanças nas tensões alicadas. Estas incluem a deformação lástica, dilatância, e unidade de comactação na injeção cíclica / estratégias de rodução, injeção, assim como rodução. Um modelo geomecânico constituído or três sub-módulos está disonível ara tratar os asectos dos roblemas acima Descrição do Acolamento Iterativo no STARS O acolamento entre a deformação do meio oroso e o fluxo no reservatório acontece de forma sequencial, ou seja, os cálculos se alternam assando informações de um modelo ara o outro (geomecânico ara fluxo e vice-versa). O modelo de fluxo atualiza as ressões e temeraturas num intervalo esecificado. O módulo geomecânico atualiza as deformações em função das ressões e temeraturas rovenientes. Para comletar o loo, o módulo geomecânico envia a informação do cálculo da nova deformação de volta ara o modelo de

8 46 fluxo ara ser utilizada no asso de temo seguinte. A informação é transmitida do simulador de fluxo ara o modulo geomecânico via condições de contorno de ressão e temeratura. Entretanto, não é obvio como o módulo geomecânico alimenta o modelo de fluxo. Um simulador de fluxo convencional calcula a orosidade como função da ressão e da temeratura, de tal forma que o volume oroso e o balanço de massa sejam conservados entre dois intervalos de temo (time stes) subsequentes. Aqui, conservado significa que a orosidade no início de um time ste é igual à orosidade no final do time ste anterior nas referentes ressões e temeraturas. Quando a função orosidade (, ) não varia com o temo, o balanço de materiais está assegurado. Entretanto, a função orosidade ode variar entre time stes ermanecendo a conservação de massa. Sendo as soluções de um bloco ara o time ste "n" que usa a função orosidade (, ). O róximo time ste, "n + 1", começa com e, mas tendo uma diferente função orosidade (, ). A orosidade e o balanço de massa serão conservados entre dois times stes se (, ) (, ). Entretanto, odem ter derivações diferentes no que diz reseito às variáveis e T em e. A deformação volumétrica causada ela consideração do acolamento geomecânico é exressa no simulador de fluxo através da mudança de arâmetros na função orosidade. Esses arâmetros são mantidos constantes durante a convergência de um time ste, mas são atualizadas entre os times stes mantendo-se conservados a orosidade e o balanço de materiais. A atualização do módulo geomecânico é comutada ara cada bloco do grid de simulação, sendo os arâmetros da função orosidades variáveis or bloco. O acolamento utilizado nos casos estudados nessa dissertação aresenta a variação da orosidade sendo função da ressão, temeratura, e da tensão total média, seguindo a fórmula (Comuter Modelling rou STARS, 2009): n + 1 n n n φ φ + ( c0 + c 2a1 )( ) + ( c1 + c 2 a2 )( T T ) (3.2) V c 1 β 0 (3.3) V b

9 47 c V c 1 β 0 (3.4) V b V α b 2 cb V 0 (3.5) b c 2 E a1 factor αcb 9 (1 ν ) (3.6) 2 E a 9 (1 ν ) β 2 factor (3.7) Comresibilidade de bulk (1/ kpa 1/ si) E Módulo de Young s( kpa si) V b b Bulk Volume( m f a Numero de Biot. ν Coef. de Poisson s. σ m Tensão media ( kpa si). 3 3 ) ã. é çõ. Por exemlo, ara factor 0 o reservatório é imedido de se deslocar aenas na sua base e movimentos liberados nas outras direções (Tio 1). Se o reservatório é imedido de se deslocar lateralmente e é livre ara deslocamentos verticais (Tio 2), factor 1. Se o reservatório ossui condições de contorno em todas as direções, tem-se factor (1 υ ) /(1 2υ ). A Figura 10 ilustra essas condições.

10 48 Figura 10 - Condições de contorno (Comuter Modelling rou STARS, 2009) Formulação dos Esquemas de Acolamento Equações overnantes O estudo de fluxo de fluidos nos meios orosos tem como onto central uma equação chamada equação de difusividade hidráulica ou simlesmente equação da difusividade, a artir da qual são desenvolvidas soluções ara as diversas situações em que os reservatórios odem se encontrar (Rosa, et al., 2006). A equação de difusão é obtida da equação da continuidade, equação de transorte de (lei de Darcy) e a equação de estado, o que difere a forma final da equação de difusão é a equação da orosidade introduzida na arcela de acumulação. É com esta equação em suas diferentes formulações que o acolamento é realizado, selecionando as variáveis que serão trocadas, ara o qual, nesta arte do caitulo serão mostradas suas diferenças Simulação convencional de fluxo A equação da difusividade hidráulica, como é utilizada na engenharia de reservatórios é obtida a artir da associação de três equações básicas: equação da continuidade, que é uma equação de conservação de massa. A lei de Darcy, que é uma equação de transorte de massa, e uma equação de estado que tanto ode ser uma lei dos gases como a equação de comressibilidade ara o caso dos líquidos (Rosa, et al., 2006). Na formulação da equação da difusividade hidráulica serão admitidas as seguintes hióteses:

11 49 Meio oroso homogêneo e isotróico; Fluxo Estritamente horizontal e isotérmico; Permeabilidade constante; Pequenos gradientes de ressão; Fluido com comressibilidade equena e constante; Rocha com comressibilidade equena e constante; Forças gravitacionais desrezíveis. O rocesso inteiro de desenvolvimento da equação encontra-se (Rosa, et al., 2006), as rinciais equações envolvidas serão aresentadas a seguir: Equação de Continuidade A massa de fluido que entra na face A(x) menos a massa de fluido que sai da face A (x+ x ) é igual à massa acumulada no volume de controle em um intervalo de temo t. Na Figura 11 está reresentado o volume de controle utilizado ara deduzir a equação da continuidade Figura 11 - Fluxo de fluido através de um volume de controle (Inoue & Fontoura, 2008). A equação da continuidade é obtida através da definição de derivada: x x y y z z t ( u ρ ) + ( u ρ ) + ( u ρ ) ( φρ ) (3. 10)

12 50 Onde: q x, q y e q z são as vazões através do volume de controle nas direções x, y e z, resectivamente; qx ux y z, qy uy x z e qz uz x y, u x, u y e u z são as velocidades aarentes do fluido através nas direções x, y e z, resectivamente e y z, x z e x y são as áreas das faces do volume de controle erendiculares, as direções x, y e z, resectivamente; ρ massa esecífica e φ orosidade Equação de fluxo O fluxo de fluido através do meio oroso é governado ela lei de Darcy. Esta lei relaciona a velocidade aarente do fluido com gradiente de ressão, ou de uma forma mais geral, com gradiente de otencial, através da equação: u s ksγ Φ µ s (3. 11) Onde: s trajetória do fluxo; v s velocidade aarente do fluido na direção do fluxo; k s ermeabilidade do meio oroso na direção do fluxo; γ eso esecífico do fluido; µ viscosidade do fluido; Φ otencial de fluxo; A diferença de otencial Φ entre dois ontos gera o fluxo no meio oroso. O fluxo ocorre do onto de maior otencial ara o menor. Se os ontos tiverem a mesma altura em relação a um lano de referência horizontal, a gradiente otencial não é deendente da carga de elevação, sendo função aenas da carga de ressão. As equações da velocidade aarente do fluido nas direções x, y e z odem ser escritas como:

13 51 u x kxγ Φ µ x, kyγ Φ uy µ y e u z k zγ Φ µ z (3. 12) Levando as equações da velocidade aarente (3. 12) na equação da continuidade (3. 10), chega-se uma nova forma ara a equação diferencial de escoamento. k γ Φ k γ Φ k γ Φ + + x µ x y µ y z µ z t ( ) x y z ρ ρ ρ φρ (3. 13) Os efeitos gravitacionais odem ser desrezados quando não afetam o fluxo no meio oroso. Nesta condição o otencial ode ser substituído ela razão ( γ ), introduzindo o termo de ressão na equação de diferencial de escoamento (3. 13). k k k + + x µ x y µ y z µ z t ( ) x y z ρ ρ ρ φρ (3.14) Equação de estado Estas equações são aquelas que reresentam as comressibilidades dos fluidos e da rocha. Para o caso de fluxo de líquidos ode- se usar a equação geral da comressibilidade dos fluidos, escrita na forma: c 1 ϕ 1 V 0 0 ϕ V (3. 15) ( ) φ φ c 0 (3.16) Onde: 0 φ orosidade na ressão de referência 0 ; 0 V volume oroso na ressão de referência 0 ; c comressibilidade dos oros, sendo calculada como: A soma da comressibilidade dos oros c com a comressibilidade do fluido c f é

14 52 chamada comressibilidade total c t, isto é ct c c f +. Introduzindo as equações (3.9) e (3.10) Assim, a equação de difusão ode ser reduzida a: φµ x y z k t c t (3.17) Substituindo a comressibilidade e com o oerador de Lalace a equação de difusão no simulador convencional resulta: k c + c 0 t µ (3.18) ( φ f φ ) Acolamento Total Para o entendimento da equação de difusividade no acolamento total é necessário ter o conhecimento da teoria da oro elasticidade de Biot. As equações governantes do roblema oro elásticas rovêm das equações de equilíbrio, comatibilidade deformação-deslocamento, relação tensão- deformação da teoria da elasticidade e da lei de Darcy (Biot, 1940) Equações de equilíbrio Para que um elemento infinitesimal esteja em equilíbrio ode-se escrever o sistema de equações a seguir: ( σ x ) + ( τ y x ) + ( τ zx ) 0 x x x ( τ x y ) + ( σ y ) + ( τ zy ) 0 y y y ( τ x z ) + ( τ y z ) + ( σ z ) 0 z z z (3. 19)

15 Comatibilidade deformação-deslocamento Denominando os deslocamentos nas direções x, y e z como u, v e w, resectivamente, e adotando-se a hiótese das equenas deformações, as deformações lineares no solo são: u x, v e e y, e w z x y z (3.20) Analogamente, as deformações angulares são: w v x, u w y, u γ + γ + γ v z + y z z x y x (3.21) Teoria da Elasticidade Alicando a lei de Hooke ara um material isotróico, da teoria da elasticidade (Terzaghi, 1943) sobre o solo tem se que: e σ x ν ( τ + τ ) E E x yx zx σ y ν e y ( τ xy + τ zy ) E E σ z ν ez ( τ xz + τ yz ) E E τ xy γ xy τ xy γ xz τ yz γ yz (3.22) As constantes elásticas da equação (3.22) são: E Módulo de Elasticidade longitudinal ou de Young. Módulo de elasticidade transversal; ν coeficiente de Poisson da arte sólida.

16 54 As constantes E,, ν são referidas a solo drenado. A relação entre os módulos de elasticidade transversal, longitudinal e o coeficiente de Poisson: E 2(1+ν) (3.23) Acrescentando- se o efeito da variação da ressão hidrostática nas equações (3.22) obtém-se σ x ν ex ( τ yx + τ zx ) + E E 3H σ y ν e y ( τ xy + τ zy ) + E E 3H σ z ν ez ( τ xz + τ yz ) + E E 3H τ xy γ xy τ xy γ xz τ yz γ yz (3.24) Onde H é uma constante física oro elástica adicional introduzido or Biot. Biot considerou que a variável θ e as tensões relacionavam-se da seguinte maneira: a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 yz + + a7 (3.25) θ σ σ σ τ τ τ As constantes a 4, a5, a6 são nulas orque devido à isotroia do material as tensões tangenciais não influenciam ɵ e as demais constantes a 1, a2, a3 são iguais entre si. Logo a equação (3.25) toma a seguinte forma:

17 55 1 θ ( σ + σ y + σ z) 3H 1 x + R (3.26) Onde H1 e R são duas constantes oros elásticos. Biot demonstrou detalhadamente em seu trabalho de 1941 que as constantes oroelasticas H e H1 são iguais, o que leva a equação (3.24) a ser reescrita da seguinte maneira: ν εv σ x 2 ( ex + ) α 1 2ν ν εv σ y 2 ( ey + ) α 1 2ν ν εv σ z 2 ( ez + ) α 1 2ν τ xy γ xy (3.27) τ xz γ xz τ yz γ yz 2(1 + ν ) α 3(1 2 ν ) H Onde: ε deformação volumétrica ex + ey + ez v A variável θ ode ser também escrita como: θ αε Q v + (3.28) Onde: 1 1 α (3.29) Q R H

18 56 Sendo Q e R duas novas constantes oro elástico definido or Biot. Substituindo as equações (3.27) nas equações de equilíbrio (3.19) obtém-se e α 1 2ν x x e α 1 2ν y y 2 u + 2 v + e α 1 2ν z z 2 w (3.30) Sendo x y z o oerador diferencial de Lalace, ou seja,. O comortamento mecânico é governado ela equação de equilibro escrita em termos de deslocamento e ressão, também chamada de equação de Navier generalizada ara o roblema oro elástico: 1-2ν α 2 u + u (3.30) Entretanto, ainda é necessária uma relação ara o comortamento difusivo, esta relação será obtida do balanço de massa. Considerando-se que um fluído incomressível atravesse um cubo de dimensões infinitesimais, a taxa de fluído que atravessa uma área unitária em um temo t deverá ser igual à variação de volume de fluido no cubo no mesmo temo t. O volume de fluído que atravessa o cubo é dado ela lei de Darcy Kx Ky Kz v x, v y, vz γ x γ y γ z (3.31) Tem se: θ αε Q v + (3.32)

19 57 θ V ii t x (3.33) ii Substituindo a exressão (3.31) em (3.33) obtém-se: k 2 ε v 1 α + µ t Q t (3.34) (eertsma, 1957) Escreveu as constantes H e R em termos das comressibilidades e orosidade: 1 { ct ( 1+ ϕ ) cr } (3.35) R 1 ( ct cr ) H (3.36) Onde c t é a comressibilidade total (bulk) e c r é a comressibilidade dos grãos (matriz). Substituindo na equação (3.34), obtém se a equação de difusão ara o acolamento total. 0 0 k 2 ε c f + cs ( ) v φ α φ α t µ t (3.37) Acolamento Parcial O esquema de acolamento arcial é uma aroximação do acolamento total, orém a equação de difusão é a mesma da simulação convencional de reservatórios. O comortamento mecânico no acolamento arcial é governado ela mesma equação de equilíbrio (equação de Navier generalizada) do acolamento total.

20 58 Figura 12 - Equações governantes (Inoue & Fontoura, 2008). Nos três casos, a equação de difusão é obtida da equação da continuidade. O que difere a forma final da equação de difusão é a equação da orosidade introduzida na arcela de acumulação, sendo está fundamental ara obter a recisão nas resostas do comortamento do reservatório Filosofia emregada na tese Uma nova solução foi desenvolvida ara garantir um esquema de acolamento arcial iterativo mais rigoroso. O que difere o acolamento total do acolamento arcial iterativo é a equação de difusão, ois no acolamento arcial a equação de difusão é resolvida or um simulador de reservatórios comercial. Da exeriência mostrada nos trabalhos (Fontoura & Inoue, 2008, 2009) se verificou que os arâmetros de acolamento adotados ara realizar o acolamento arcial iterativo não geraram esquemas rigorosos o suficiente ara que o resultado de ressão média obtido fosse róximo do acolamento total. Para garantir que o acolamento arcial iterativo aresente resultados semelhantes ao acolamento total, é necessário que as equações de difusão aresentem resostas semelhantes (Inoue & Fontoura, 2008). Portanto, as equações de difusão são igualadas como:

21 59 0 k ε v φ c f φ c + cs ( α φ ) α t µ t t t (3.38) A arcela φ 0 c t não faz arte da equação de difusão do acolamento total, ortanto esta arcela deve ser acrescentada do lado direito da equação de difusão do acolamento arcial, ara adicionar/retirar fluido. A equação de difusão do acolamento arcial não ossui as arcelas s 0 ( ) c α φ t α ε t encontradas na equação de difusão do acolamento v total, ortanto estas arcelas devem ser adicionadas/retiradas do lado direito. A Figura 13 ilustra a solução adotada ara obter a equação de difusão do acolamento arcial iterativo. Figura 13- Comatibilização das equações de difusão (Inoue & Fontoura, 2008) Esquemas de Acolamento Utilizados O número de esquemas usados nesta esquisa é três. Dois destes o esquema iterativo e o esquema de uma via, ambos desenvolvidos nos trabalhos (Fontoura & Inoue, 2009). Além disso, uma nova variante no esquema iterativo será aresentada atualizada este ano elo TEP com os mesmos autores. A formulação emregada nos esquemas é a mesma mostrada no item 3.3 do resente caitulo ara as três metodologias diferenciando-se or outros arâmetros exlicados a continuação.

22 Fluxograma dos rogramas imlementados O rocedimento arte com disarar o simulador de fluxo (ECLIPSE), o código lê as ressões calculadas e são transformadas em forças nodais ara o arquivo de entrada da simulação de tensões (ABAQUS). Com estes dados modificados o rograma faz o analise de tensões, e atualizam os arquivos de saída as orosidades e seudo comressibilidades,ara ser reiniciado no simulador de fluxo e assar ao seguinte intervalo de temo (Fontoura & Inoue, 2010) Acolamento Parcial Iterativo Considerada a metodologia mais rigorosa. Na rimeira rodada, as roriedades de orosidade e seudo-comressibilidade emregadas na simulação de reservatórios (ECLIPSE) são do asso de temo anterior. Antes de entrar na segunda rodada o critério é analisado, sendo a concordância aceita, os valores de orosidades e seudo-comressibilidades, recalculadas elo rograma de análise de tensões (ABAQUS) assam como dados de entrada ara o seguinte asso de temo, se fosse o contrario o rocesso fica iterativo até chegar a convergir. O critério adotado e o mesmo emregado nos trabalhos (Dean, et al., 2003) e (Samier & De ennaro, 2007) que é a diferença da ressão media do reservatório, com um valor inicial de 0.01 si. Adicionalmente, o código inclui um esquema que, uma vez que a convergência do rocesso iterativo não foi alcançada ara o número máximo de 12 iterações, o rograma reduz o intervalo de temo desse asso de temo ela metade, necessitando assim a adição de um novo asso de temo ara garantir o temo total de simulação. Na Figura 14 e mostrado o fluxograma que exlica como é feito o acolamento iterativo.

23 61 Figura 14 Fluxograma esquema iterativo (Inoue & Fontoura, 2008) Acolamento arcial em duas vias com duas iterações A diferença com o método iterativo anterior é que nesta imlementação não é aresentado um critério de tolerância, e a simulação é forçada a ser rodada duas vezes or asso de temo, sem imortar se está chegou a convergir, elo qual este método não aresenta critério de convergência nem número de iterações máximo. Na rimeira rodada, as roriedades de orosidade e seudocomressibilidades emregadas na simulação de reservatórios são do asso de temo anterior. Na segunda rodada o simulador de reservatórios utiliza as roriedades, orosidades e seudo-comressibilidades, recalculadas elo rograma de análise de tensões, que utiliza a variação do camo de ressão do asso de temo simulado como carregamento nodal. A resosta da segunda rodada do rograma de análise de tensões é utilizada ara calcular a orosidade e seudo-comressibilidades do novo asso de temo.

24 62 Figura 15- Fluxograma duas vias com duas iterações (Inoue & Fontoura, 2008) Acolamento arcial em uma via O acolamento em uma via é considerado a formulação menos rigorosa, já que a interação ocorre só de simulador de reservatórios ara o geomecânico e não vice-versa. O simulador de fluxo é disarado ao igual que nos casos anteriores, as resostas das ressões são assadas como forças nodais ao simulador geomecânico, mas as atualizações rocedentes do calculo de tensões no simulador geomecânico atualiza as orosidades e seudo comressibilidades ara o seguinte intervalo de temo. Este método não é iterativo e nem aresenta critério de convergência, nem iterações em sua solução, dando os resultados menos confiáveis. O fluxograma é aresentado na Figura 16.

25 63 Figura 16 Fluxograma esquema de uma via (Inoue & Fontoura, 2008). Maior descrição dos esquemas e as rinciais ferramentas envolvidas são aresentadas nos trabalhos (Fontoura & Inoue, 2008, 2010). As metodologias foram estudadas e juntamente com o código de C++ desenvolvido (Fontoura & Inoue, 2009) os três esquemas serão utilizados nesta tese, ara ser avaliados e mostrar as rinciais diferenças em seus resultados comarados com o acolamento total.