ROBERTA SUERO VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE ESCOAMENTOS BIDIMENSIONAIS LAMINARES EM MALHAS UNIFORMES

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1 ROBERTA SUERO VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE ESCOAMENTOS BIDIMENSIONAIS LAMINARES EM MALHAS UNIFORMES Dissertação aresentada como requisito arcial à obtenção do grau de Mestre em Ciências, Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná. Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Marchi Co-orientador: Prof. Ms. Fábio Alencar Schneider CURITIBA 2006

2 Suero, Roberta Verificação de soluções numéricas de escoamentos bidimensionais laminares em malhas uniformes / Roberta Suero. - Curitiba, f. : il. ; tab., graf. Orientador: Carlos Henrique Marchi Co-orientador: Fábio Alencar Schneider Dissertação (Mestrado) Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná, Curso de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Inclui Bibliografia. 1. Análise de erros (Matemática) 2. Método dos volumes finitos. 3. Cálculos numéricos. 3. Dinâmica fluídos. I. Marchi, Carlos Henrique. II. Schneider, Fábio Alencar. III. Título. IV. Universidade Federal do Paraná. CDD 511.8

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4 À minha família elo amor e aoio incondicionais.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço ao Prof. Carlos Henrique Marchi ela aciência e orientação no transcorrer deste trabalho, agradeço também elo aoio e os conhecimentos que me foram transmitidos. Ao Prof. Fábio Alencar Schneider elas sugestões aresentadas. Agradeço aos amigos que, direta ou indiretamente, me ajudaram no desenvolvimento deste trabalho, seja com ensinamentos ou em momentos de descontração, em esecial aos doutorandos Marcio Villela e Luciano Araki. Aos rofessores, colegas e funcionários do CESEC, em esecial à Maristela, ela amizade e dedicação. Gostaria de agradecer também à Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior (CAPES) elo financiamento deste trabalho. Agradeço também aos membros da banca, Dr. João Flávio Vieira de Vasconcellos, Dra. Viviana Cocco Mariani e Dr. Maurício Felga Gobbi elo temo disensado, sugestões e críticas aresentadas a esta dissertação.

6 Resumo Neste trabalho aborda-se o roblema do escoamento em uma cavidade quadrada cuja tama tem velocidade constante ou variável. O modelo numérico caracteriza-se elo emrego do método dos Volumes Finitos com arranjo co-localizado de variáveis, solver MSI e malhas uniformes com diversas resoluções. O objetivo rincial do trabalho é avaliar o desemenho de estimadores do erro de discretização. Para isso, as variáveis de interesse são: o fluxo de massa que escoa na cavidade, a força que a tama exerce sobre o fluido e as comonentes do vetor velocidade no centro do domínio de cálculo. Os estimadores considerados são: chardson, GCI e Convergente, baseados tanto na ordem assintótica quanto na ordem aarente do erro. São aresentados resultados em malhas com até 1024x1024 volumes, seus erros verdadeiros e estimados. A rincial conclusão é que, em geral, o estimador GCI é confiável ara estimar erros de discretização. Palavras-chave: GCI, extraolação de chardson, erro numérico, erro de discretização, volumes finitos. Disonível em: ft://ft.demec.ufr.br/cfd/monografias/2006_roberta_suero_mestrado

7 Abstract In this work the roblem of the flow in a square shaed cavity, whose lid has constant or changeable velocity, is aroached. The numerical model is characterized by the use of the Finite Volumes Method with co-located arrangement of variables, MSI solver and diverse uniform meshes. The main objective of the work is to evaluate the erformance of discretization error estimators. For this, the variables of interest are: the mass flux that flows in the cavity, the force that the lid exerts on the fluid and the velocity vector comonents in the center of the calculation domain. The considered estimators are: chardson, Convergent and GCI, based on both the asymtotic and the aarent error orders. Results are resented for meshes as refined as 1024x1024 volumes and numerical and estimated errors. The main conclusion is that, in general, GCI estimator is trustworthy for discretization error estimate. Keywords: GCI, chardson extraolation, numerical error, discretization error, finit volums.

8 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Malha estruturada uniforme bidimensional com volumes de controle Figura 2.2: Discretização com meio-volume na fronteira (Maliska, 2005) Figura 2.3: Discretização bidimensional com meios-volumes na fronteira Figura 2.4: Condições de contorno com volumes fictícios (Maliska, 2005) Figura 2.5: Discretização unidimensional com volumes inteiros (Maliska, 2005) Figura 2.6: Localização dos nós no domínio de cálculo discretizado Figura 2.7: Malha geométrica utilizada no MSI Figura 2.8: Posição das linhas de tomada de dados ara os cálculos do fluxo de massa Figura 2.9: Alicação da força da laca numericamente Figura 2.10: Localização dos nós ara a tomada de valores ara a obtenção do fluxo de massa Figura 3.1: Erros envolvidos nos métodos de engenharia (Marchi e Schneider, 2004) Figura 4.1: Domínio de cálculo ara o roblema da cavidade quadrada (Shih et al. 1989) Figura 4.2: Soluções analítica e numérica ara a força da laca com UDS Figura 4.3: Soluções analítica e numérica ara a força da laca com UDS Figura 4.4: Soluções analítica e numérica ara o fluxo de massa total Figura 4.5: Soluções analítica e numérica ara o fluxo de massa obtido com vn Figura 4.6: Velocidade u central Figura 4.7: Velocidade v central Figura 4.8: Linhas de corrente ara o roblema de Shih Figura 4.9: Linhas de corrente ara o roblema de Shih Figura 4.10: Camo de velocidades ara o roblema de Shih Figura 4.11: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara a força da laca com UDS Figura 4.12: Ordens efetiva, aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 4.13: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara o fluxo de massa total Figura 4.14: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara o fluxo de massa com v n Figura 4.15: Ordens aarente, assintótica e efetiva ara a velocidade u central Figura 4.16: Ordens aarente, assintótica e efetiva ara a velocidade v central Figura 4.17: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Figura 4.18: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS

9 Figura 4.19: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Figura 4.20: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica - rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Figura 4.21: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara o fluxo de massa total Figura 4.22: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara o fluxo de massa com v n Figura 4.23: Razões do Estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a velocidade u central Figura 4.24: Razões do Estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a velocidade v central Figura 4.25: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.26: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.27: Estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.28: Estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.29: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa total Figura 4.30: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa com v n Figura 4.31: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a velocidade u central Figura 4.32: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a velocidade v central Figura 4.33: Perfil de velocidade u em x=0,5m ara a malha com 1024X1024 nós com barra de erros Figura 4.34: Perfil de velocidade v em y=0,5m ara a malha com 1024X1024 nós com barra de erros Figura 5.1: Domínio de cálculo ara o roblema de Ghia Figura 5.2: Soluções ara o erfil de velocidade u em x=0,5m

10 Figura 5.3: Soluções ara o erfil de velocidade v em y=0,5m Figura 5.4: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re= Figura 5.5: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re= Figura 5.6: Camo de velocidades ara o roblema de Ghia com Re= Figura 5.7: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 5.8: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 5.9: Ordens aarente e assintótica or h ara o fluxo de massa total Figura 5.10: Ordens aarente e assintótica or h ara o fluxo de massa com v n Figura 5.11: Ordens aarente e assintótica or h ara a velocidade u central Figura 5.12: Ordens aarente e assintótica or h ara a velocidade v central Figura 5.13: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Figura 5.14: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Figura 5.15: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa total Figura 5.16: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa com v n Figura 5.17: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade u central Figura 5.18:Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade v central Figura 5.19: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS Figura 5.20: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS Figura 5.21: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa total Figura 5.22: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa com v n Figura 5.23: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade u central Figura 5.24: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade v central

11 Figura 6.1: Soluções ara o erfil de velocidade u em x=0,5m Figura 6.2: Soluções ara o erfil de velocidade v em y=0,5m Figura 6.3: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re= Figura 6.4: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re= Figura 6.5: Camo de velocidades ara o roblema de Ghia com Re= Figura 6.6: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 6.7: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 6.8: Ordens aarente e assintótica ara o fluxo de massa total Figura 6.9: Ordens aarente e assintótica ara o fluxo de massa com v n Figura 6.10: Ordens aarente e assintótica ara a velocidade u central Figura 6.11: Ordens aarente e assintótica ara a velocidade v central Figura 6.12: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Figura 6.13: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Figura 6.14: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa total Figura 6.15: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa com v n Figura 6.16: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade u central Figura 6.17: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade v central Figura 6.18: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS Figura 6.19: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS Figura 6.20: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa total Figura 6.21: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa com v n Figura 6.22: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade u central

12 Figura 6.23: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade v central Figura A.1: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara UDS Figura A.2: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara UDS Figura A.3: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara UDS Figura A.4: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara UDS Figura A.5: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara UDS Figura A.6: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara UDS Figura A.7: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara UDS Figura A.8: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara UDS Figura A.9: Estimadores de chardson (ordens aarente rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara UDS Figura A.10: Estimadores de chardson (ordens aarente rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara UDS

13 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1: Ordem assintótica ara as variáveis de interesse Tabela 4.1: Dados fixos ara o roblema de Shih Tabela 4.2: Solução analítica das variáveis de interesse ara o roblema de Shih Tabela 4.3: Dados numéricos fixos do roblema de Shih Tabela 4.4: Identificação das simulações realizadas ara o roblema do Shih Tabela 4.5: Identificação das simulações realizadas ara o roblema do Shih Tabela 4.6: Solução e erros numéricos ara a força da laca com UDS ara o roblema de Shih Tabela 4.7: Solução e erros numéricos ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Shih Tabela 4.8: Solução e erros numéricos ara o fluxo de massa total ara o roblema de Shih. 84 Tabela 4.9: Solução e erros numéricos ara o fluxo de massa obtido com v n ara o roblema de Shih Tabela 4.10: Solução e erros numéricos ara a velocidade u central ara o roblema de Shih85 Tabela 4.11: Solução e erros numéricos ara a velocidade v central ara o roblema de Shih86 Tabela 4.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Tabela 4.13: Erros numéricos ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Tabela 4.14: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Tabela 4.15: Erros numéricos ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Tabela 4.16: Comaração entre os erros numéricos Tabela 4.17: Ordens ráticas da solução numérica ara a força de laca obtido com UDS (roblema de Shih) Tabela 4.18: Ordens ráticas da solução numérica ara a força da laca obtido com UDS-2 (roblema de Shih) Tabela 4.19: Ordens ráticas da solução numérica ara o fluxo de massa total (roblema de Shih) Tabela 4.20: Ordens ráticas da solução numérica ara o fluxo de massa com v n (roblema de Shih) Tabela 4.21: Ordens ráticas da solução numérica ara a velocidade central u (roblema de Shih) Tabela 4.22: Ordens ráticas da solução numérica ara a velocidade central v (roblema de Shih)... 93

14 Tabela 4.23: Ordens ráticas ara o erfil de velocidade u (roblema de Shih) Tabela 4.24: Ordens ráticas ara o erfil de velocidade v (roblema de Shih) Tabela 4.25: Comaração entre as ordens ráticas ara a força da laca Tabela 4.26: Comaração das ordens ráticas ara o fluxo de massa Tabela 4.27: Ordens ráticas ara as variáveis de interesse ara o roblema de Shih Tabela 4.28: Estimativa do erro da solução numérica ara as variáveis de interesse (roblema de Shih) Tabela 4.29: Estimativa do erro da solução numérica ara o erfil de velocidade u (roblema de Shih) Tabela 4.30: Estimativa do erro da solução numérica ara o erfil de velocidade v (roblema de Shih) Tabela 4.31: Solução numérica com seu erro estimado ara o roblema de Shih Tabela 4.32: Solução numérica com seu erro estimado ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Tabela 4.33: Solução numérica com seu erro estimado ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Tabela 4.34: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih Tabela 4.35: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih Tabela 4.36: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih Tabela 5.1: Dados fixos ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.2: Parâmetros variáveis ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.3: Dados numéricos fixos do roblema de Ghia com Re= Tabela 5.4: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.5: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.6: Solução numérica ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.7: Solução numérica ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.8: Solução numérica ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re=

15 Tabela 5.9: Solução numérica ara o fluxo de massa com v n ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.10: Solução numérica ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.11: Solução numérica ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.13: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.14: Resultados obtidos no resente trabalho, or Ghia et al. (1982) e or Nishida et al. (1992) Tabela 5.15: Ordem aarente ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.16: Ordem aarente ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.17: Ordem aarente ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.18: Ordem aarente ara o fluxo de massa com v n ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.19: Ordem aarente ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.20: Ordem aarente ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.21: Ordem aarente ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.22: Ordem aarente ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.23: Estimativa do erro numérico ara as variáveis de interesse ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.24: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.25: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re=

16 Tabela 5.26: Solução numérica com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.27: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.28: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.29: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.30: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 5.31: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.1: Parâmetros variáveis ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.2: Dados numéricos fixos do roblema de Ghia com Re= Tabela 6.3: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.4: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.5: Solução numérica ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.6: Solução numérica ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.7: Solução numérica ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.8: Solução numérica ara o fluxo de massa com vn ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.9: Solução numérica ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.10: Solução numérica ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.11: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.13: Resultados obtidos com Stokes_13, or Ghia et al. (1982) e or Nishida et al. (1992)

17 Tabela 6.14: Ordem aarente ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.15: Ordem aarente ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.16: Ordem aarente ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.17: Ordem aarente ara o fluxo de massa com vn ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.18: Ordem aarente ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.19: Ordem aarente ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.20: Ordem aarente ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.21: Ordem aarente ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.22: Estimativa do erro numérico ara as variáveis de interesse ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.23: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.24: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.25: Solução numérica com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.26: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.27: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.28: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.29: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re= Tabela 6.30: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re=

18 Tabela A.1: Ordem assintótica ara cada uma das aroximações utilizadas Tabela A.2: Identificação das simulações realizadas Tabela A.3: Solução e erro numérico ara a derivada com aroximação UDS Tabela A.4: Solução e erro numérico com aroximação UDS Tabela A.5: Ordens ráticas da solução numérica ara a aroximação com UDS Tabela A.6: Ordens ráticas da solução numérica ara a aroximação com UDS Tabela A.7: Ordem rática ara cada uma das aroximações utilizadas Tabela A.8: Análise ara a ordem efetiva Tabela A.9: Estimativa do erro da solução numérica ara as aroximações com UDS e UDS Tabela A.10: Solução numérica com seu erro estimado com estimador Convergente Tabela A.11: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI Tabela C.1: Razões dos estimadores de chardson e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Tabela C.2: Razões dos estimadores de chardson e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Tabela C.3: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica-rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Tabela C.4: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica-rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Tabela C.5: Razões dos estimadores de chardson e GCI ara o fluxo de massa total Tabela C.6: Razões dos estimadores de chardson e GCI elo erro numérico ara o fluxo de massa com v n Tabela C.7: Razões do estimador de chardson e GCI elo erro numérico ara a velocidade u central Tabela C.8: Razões do estimador de chardson e GCI elo erro numérico ara a velocidade v central Tabela C.9: Estimadores de chardson, GCI e erros verdadeiros ara a força da laca com UDS Tabela C.10: Estimadores de chardson, GCI e erros verdadeiros ara a força da laca com UDS Tabela C.11: Estimadores de chardson (ordens assintótica-rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS

19 Tabela C.12: Estimadores de chardson (ordens assintótica-rática e assintótica), GCI erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Tabela C.13: Estimadores de chardson, GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa total Tabela C.14: Estimadores de chardson, GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa com v n Tabela C.15: Estimadores de chardson, GCI e erro verdadeiro ara a velocidade u central Tabela C.16: Estimadores de chardson, GCI e erro verdadeiro ara a velocidade v central Tabela C.17: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Tabela C.18: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Tabela C.19: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa total Tabela C.20: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa com v n Tabela C.21: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade u central Tabela C.22: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade v central Tabela C.23: Estimadores de chardson e GCI ara a força da laca com UDS Tabela C.24: Estimadores de chardson e GCI ara a força da laca com UDS Tabela C.25: Estimadores de chardson e GCI ara o fluxo de massa total Tabela C.26: Estimadores de chardson e GCI ara o fluxo de massa com v n Tabela C.27: Estimadores de chardson e GCI ara a velocidade u central Tabela C.28: Estimadores de chardson e GCI ara a velocidade v central Tabela C.29: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Tabela C.30: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Tabela C.31: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa total

20 Tabela C.32: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa com v n Tabela C.33: Razões dos estimadores de chardsom (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade u central Tabela C.34: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade v central Tabela C.35: Estimadores de chardson e GCI ara a força da laca com UDS Tabela C.36: Estimadores de chardson e GCI ara a força da laca com UDS Tabela C.37: Estimadores de chardson e GCI ara o fluxo de massa total Tabela C.38: Estimadores de chardson e GCI ara o fluxo de massa com v n Tabela C.39: Estimadores de chardson e GCI ara a velocidade u central Tabela C.40: Estimadores de chardson e GCI ara a velocidade v central

21 LISTA DE SÍMBOLOS A a matriz dos coeficientes área considerada ara o cálculo V a i coeficientes resultantes da discretização utilizados na resolução do sistema de equações B termo fonte ara o roblema de Shih V b CDS CFD E E E n termo fonte resultante da discretização ara a resolução do sistema de equações Central Differencing Scheme Comutational Fluid Dynamics erro de discretização onto localizado à direita do onto geral nodal erro de iteração E E T E π Eq. EDP F F S erros de rogramação erros de truncamento erros de arredondamento equação equações diferenciais arciais força da laca sobre o fluido fator de segurança ara o GCI GCI h it it_max n L Grid Convergence Index tamanho dos elementos ou volumes de controle da malha contador do número de iterações ara o MSI número máximo de iterações externas ara o MSI norma dos resíduos na iteração n 0 L norma dos resíduos na iteração 0 L 1 norma utilizada ara se obter o resíduo M P massa do volume de controle P M & i fluxo de massa nas faces M & u fluxo de massa na direção u M & v fluxo de massa na direção v

22 MSI N n n_maximo P V L, U Modified Strongly Imlicit Method onto localizado acima do onto geral nodal número de iterações ara o ciclo interno do MSI número máximo de iterações ara o ciclo interno do MSI ressão onto geral nodal ordens verdadeiras ordem assintótica correção ara a ressão ordem aarente E ordem efetiva rático ordem assintótica rática L q Re n R S razão de refino da malha número de Reynolds resíduo na iteração n onto localizado abaixo do onto geral nodal U S i termo fonte da equação da quantidade de movimento linear t Tol. u U i temo tolerância admitida ara se interromer o rocesso iterativo comonente da velocidade aralela ao eixo x vetor velocidade U incerteza obtida com o estimador de chardson U incerteza da solução numérica U incerteza obitda com o estimador GCI GCI U C UDS v W z estimador convergente de erro Ustream Differencing Scheme comonente da velocidade aralela ao eixo y onto localizado à esquerda do onto geral nodal rofundidade da cavidade

23 Letras Gregas x y φ λ Φ β σ i α ψ r τ xy φ φ C ρ distância entre dois nós consecutivos na horizontal distância entre dois nós consecutivos na vertical solução numérica da variável de interesse vetor solução solução analítica exata da variável de interesse coeficiente ara a correção adiada diagonais adicionais não-nulas arâmetro iterativo ara o MSI tensão de cisalhamento linha de corrente estimativa do valor da solução analítica da variável de interesse solução numérica do estimador convergente massa esecífica do fluido µ Viscosidade do fluido 2 oerador nabla oerador lalaciano Subíndices n face localizada acima do onto geral nodal s face localizada abaixo do onto geral nodal e face localizada à direita do onto geral nodal w face localizada à esquerda do onto geral nodal i osição do nó na direção x j osição do nó na direção y 1 malha fina 2 malha grossa 3 malha suergrossa

24 Sueríndices V direção da velocidade (u e v)

25 Sumário 1 Introdução O roblema Objetivos Organização do trabalho Fundamentação Teórica Introdução Modelo Matemático Geral Modelo Numérico Formulação do roblema e definição do modelo numérico Discretização do domínio de cálculo Discretização do modelo matemático Acolamento ressão-velocidade Alicação das condições de contorno Obtenção da solução numérica Coeficientes e termos fontes da velocidade Coeficientes e termo fonte da ressão Algoritmos Definição e obtenção das variáveis de interesse Definições Aroximações numéricas Erros Numéricos Introdução Fontes de Erros Numéricos Tios de estimativas de erro de discretização Estimador de chardson Baseado na ordem assintótica Baseado na ordem aarente Estimador GCI Ordem Efetiva Estimador Convergente Problema de Shih ara Re= Definição do Problema... 76

26 4.2 Solução Analítica Solução Numérica Verificação da solução numérica Conclusão Problema de Ghia ara Re= Definição do roblema Solução Numérica Verificação da solução numérica Conclusão Problema de Ghia ara Re= Definição do roblema Solução Numérica Verificação da solução numérica Conclusão Conclusão REFERÊNCIAS du APÊNDICE A Análise da derivada dy A1. Definição do roblema A2. Solução Analítica A3. Solução Numérica A4. Verificação da solução numérica A5. Conclusão APÊNDICE B Uso do Matlab APÊNDICE C Tabelas

27 25 1 Introdução Este caítulo descreve o contexto que o roblema a ser abordado neste trabalho está inserido. Este roblema trata do escoamento recirculante em uma cavidade quadrada, cujo fluido escoa em seu interior devido ao movimento da tama da cavidade. São aresentados também os objetivos e a estrutura desta dissertação. 1.1 O roblema Uma das áreas do conhecimento que trata da solução de roblemas de dinâmica dos fluidos através de métodos numéricos é a Dinâmica dos Fluidos Comutacional (CFD). Nela estão envolvidas as modelagens de fenômenos físico-químicos nas áreas de mecânica dos fluidos, transferência de calor e massa, entre outras, que são reresentados or modelos matemáticos (OBERKAMPF e BLOTTNER, 1998). Segundo Fortuna (2000), o objetivo básico em CFD é reduzir o número de exerimentos e exlorar fenômenos que não oderiam ser estudados em laboratório de forma rática. Utilizando as técnicas de CFD odem-se avaliar numericamente os diversos arâmetros relevantes ao roblema. A simulação numérica de roblemas de engenharia ocua atualmente uma osição de destaque no cenário mundial de esquisa e desenvolvimento de novas tecnologias. O crescente interesse, tanto no meio acadêmico como no setor industrial, ela modelagem dos fenômenos físicos, associado ao crescimento exonencial da tecnologia da informática, desencadearam nas últimas décadas uma enorme rocura elas técnicas de simulação. Desta união surgiram os simuladores comerciais, ara os quais, a cada momento, novas ferramentas e técnicas são desenvolvidas, incororadas e disonibilizadas (MARCHI e SCHNEIDER, 2004).

28 26 Geralmente, em engenharia, roblemas que ossuem solução analítica são aqueles que envolvem equações, geometrias e condições de contorno e iniciais simles, ou seja, são exceções. Para os demais roblemas, é necessário utilizar métodos numéricos onde as soluções são obtidas através do emrego de comutadores. O objetivo de um método numérico é obter a solução de uma ou mais equações diferenciais através da substituição das derivadas existentes or exressões algébricas que envolvem a função incógnita. O que caracteriza um método numérico é a forma de obtenção destas exressões. Elas serão alicadas a cada onto do domínio de cálculo, que deverá ser discretizado, ou seja, dividido em ontos, elementos ou volumes. As soluções serão obtidas nestes ontos. Um fato de extrema imortância a ser observado é se os resultados obtidos numericamente são confiáveis. Segundo Ferziger e Peric (1999), a diferença entre a solução analítica exata de uma variável de interesse e a sua solução numérica é denominada erro numérico. O erro numérico é causado or diversas fontes (MARCHI, 2001): erros de truncamento, erros de iteração, erros de arredondamento e erros de rogramação. Todas estas fontes de erro serão exlicadas no caítulo 3. O rocesso que quantifica o erro numérico tem sido chamado recentemente de verificação (ROACHE, 1998; FORTUNA, 2000) ou validação numérica (MALISKA, 2005). A verificação é feita através de estimadores de erros, sendo que esta estimativa ode também ser chamada de incerteza numérica. Quando se trata de roblemas reais, ou seja, quando se obtêm soluções numéricas de modelos matemáticos cuja solução analítica é desconhecida, não é ossível obter o erro numérico. Nestes casos é necessário estimar qual seria o valor da solução analítica. Desta forma, em vez do erro numérico obtém-se o erro estimado, que também é chamado de incerteza (U) or Metha (1996). A forma de obtenção da incerteza (U) está descrita no caítulo 3, a maioria delas se baseia na extraolação de chardson (ROACHE, 1998). A incerteza de uma solução numérica é calculada com os chamados estimadores de erro. O tema deste trabalho é a verificação de soluções numéricas de escoamentos bidimensionais laminares em malhas uniformes, verificação esta feita através dos estimadores de chardson, GCI e Convergente. Estes estimadores são alicados aos resultados obtidos das equações de Navier-Stokes.

29 27 As equações de Navier-Stokes modelam o escoamento de fluidos comressíveis e incomressíveis, turbulentos e laminares. Neste trabalho serão abordadas estas equações com várias simlificações (descritas no caítulo 2) ara se resolver o roblema da cavidade quadrada com tama móvel com diferentes condições contorno. Serão analisadas variáveis de interesse globais (força da laca e fluxo de massa) e também variáveis locais (erfis de velocidade e velocidades centrais nas duas direções). Com os resultados obtidos das simulações numéricas será feita uma análise de erros através dos estimadores de erros já descritos anteriormente. O resente trabalho se concentra aenas no erro de discretização, sendo que as outras fontes de erro; arredondamento, iteração e rogramação são consideradas desrezíveis, ois utiliza-se recisão dula ara a obtenção das soluções numéricas e o número de iterações é fixado ara se garantir que o erro de máquina seja atingido. Com a resolução do roblema da cavidade, retende-se resonder a duas erguntas: Por que estimar erros numéricos? Por que verificar erros numéricos? O rimeiro roblema abordado (descrito no caítulo 4) ossui solução analítica, ou seja, não é um roblema inédito. Pretende-se observar como se comorta o erro numérico conforme a malha é refinada, e também estimar as incertezas das soluções numéricas. O segundo roblema (descrito nos caítulos 5 e 6) não ossui solução analítica, desta forma, é interessante que se faça uma análise da solução numérica, análise esta feita através da verificação da solução numérica. Esta verificação se faz necessária ara que se tenha confiabilidade nos resultados obtidos. 1.2 Objetivos Este trabalho tem or objetivo resolver o roblema da cavidade quadrada com tama móvel, emregando-se as funções de interolação UDS-1 (Ustream Differencing Scheme, de

30 28 rimeira ordem), que neste trabalho será referenciado or UDS, e CDS (Central Differencing Scheme) com correção adiada ara os termos advectivos, e CDS uro ara os termos difusivos e de ressão (TANNEHILL et al. 1997), são considerados diferentes números de Reynolds e também diferentes condições de contorno. De forma sintetizada, os objetivos estão descritos abaixo: 1. verificar a ordem aarente ara as variáveis de interesse globais e locais; 2. verificar o comortamento de erro numérico conforme a malha é refinada; 3. observar o desemenho dos estimadores de erros conforme a malha é refinada; 4. gerar um resultado de referência ara os resultados obtidos com diferentes números de Reynolds ara o roblema sem solução analítica. 1.3 Organização do trabalho Esta dissertação está organizada em oito caítulos e três aêndices, da seguinte forma: No caítulo 1 foi aresentada uma breve abordagem do roblema a ser tratado neste trabalho e também os objetivos desta dissertação. O caítulo 2 aborda a teoria envolvida nos modelos matemático e numérico, e também são definidas e obtidas as variáveis de interesse. O caítulo 3 exõe a teoria de erros numéricos utilizada neste trabalho, ou seja, as fontes de erros e os estimadores aqui utilizados. No caítulo 4 são aresentados os resultados obtidos ara o roblema da cavidade quadrada descrito or Shih et al. (1989), bem como a análise de erros.

31 29 Nos caítulos 5 e 6 estão exostos os resultados obtidos ara o roblema da cavidade descrito or Ghia et al. (1982), ara os números de Reynolds iguais a 100 e 1000, bem como a análise feita ara os erros. O caítulo 7 é dedicado à conclusão da dissertação. O caítulo 8 traz as referências bibliográficas dos trabalhos citados nesta dissertação. No aêndice A tem-se uma análise realizada ara uma derivada em esecial, ligada à variável de interesse força da laca. O aêndice B traz uma breve descrição do uso do Matlab. O aêndice C traz as tabelas com os dados utilizados ara a contrução dos gráficos das razões entre os estimadores de erros e também dos estimadores de erros obtidos a cada refinamento de malha ara todos os roblemas abordados.

32 30 2 Fundamentação Teórica 2.1 Introdução Para se obter a solução de um roblema de engenharia, ode-se contar, fundamentalmente, com elo menos três tios de métodos: Métodos analíticos; Métodos numéricos (exerimentação numérica); e Exerimentação em laboratório. Cada um destes tios de métodos aresenta vantagens e desvantagens sobre os demais deendendo do roblema e dos recursos disoníveis ara resolvê-lo. A exerimentação numérica (uso de técnicas numéricas), raticamente não aresenta restrições, odendo resolver roblemas com condições de contorno comlicadas, definidos em geometrias arbitrárias e aresentando resultados com raidez considerável. Entretanto, os dados obtidos devem ser confiáveis, e este é um onto de extrema imortância a ser observado elo analista (MALISKA, 2005). Para a obtenção da solução numérica neste trabalho, será utilizado o Método dos Volumes Finitos (descrito neste caítulo). Já a obtenção do modelo matemático será baseada nas leis universais de conservação. O enfoque deste caítulo será a teoria envolvida nos modelos matemáticos e numéricos, e também a definição e obtenção das variáveis de interesse. Para um melhor entendimento, este caítulo está dividido em três artes, a saber: Modelo matemático geral;

33 31 Modelo numérico; Variáveis de interesse. 2.2 Modelo Matemático Geral Neste trabalho, as equações fundamentais de Dinâmica dos Fluidos são baseadas nas seguintes leis universais de conservação: Conservação da Massa e Conservação da Quantidade de Movimento Linear. A Equação da Continuidade ou Conservação da Massa exressa na forma diferencial, é dada or (KUNDU, 1990) ρ r + t r ( ρu ) = 0, (2.1) onde ρ é a massa esecífica do fluido (kg/m 3 ), t é o temo (s), r r ) ) U = ui + vj é a velocidade do fluido (m/s). é o vetor gradiente e O rimeiro termo da Eq. (2.1) reresenta a taxa de incremento de ρ no volume de controle, enquanto o segundo reresenta a taxa do fluxo de massa assando através da suerfície (que delimita o volume de controle) or unidade de volume (TANNEHILL et al. 1997). As Equações da Conservação de Quantidade de Movimento Linear são obtidas a artir da segunda Lei de Newton, sendo que, ara um escoamento incomressível, tem-se (KUNDU, 1990) r DU 2 = + ρg + µ U i ρ Dt r. (2.2)

34 32 onde é a ressão, g é a aceleração da gravidade e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (suosta constante). Todos os roblemas que são considerados neste trabalho têm as seguintes características comuns: O regime é ermanente; A variável temo é usada como arâmetro de relaxação; As geometrias são bidimensionais; O escoamento é incomressível; As roriedades dos fluidos (massa esecífica e viscosidade) são constantes; Os efeitos gravitacionais são desconsiderados. Pelo fato das equações serem bidimensionais, aenas as comonentes u e v da velocidade nas direções x e y são necessárias; or serem incomressíveis, as deformações volumétricas são consideradas nulas. Como as roriedades dos fluidos mencionadas acima são constantes, elas são fatoradas nas derivadas; as forças de coro odem ser desrezadas não incluindo os termos fonte, ois os efeitos gravitacionais foram desrezados.. Aós essas simlificações as equações governantes, de Conservação da Massa e da Conservação da Quantidade de Movimento Linear, tornam-se, resectivamente: x i ( U ) = 0, (2.3) i t i Ui ( U ) + ρ ( U U ) = + µ + S i x j i j P x j U x i x i ρ. (2.4)

35 33 onde Ui S é o termo fonte. 2.3 Modelo Numérico A Dinâmica dos Fluidos Comutacional é a área da comutação científica que estuda métodos comutacionais ara simulação de fenômenos que envolvem fluidos em movimento com ou sem trocas de calor. Isso inclui tanto o movimento de fluidos ao redor de um coro, escoamentos externos, como dentro de tubulações, escoamentos internos ou confinados (FORTUNA, 2000). A tarefa de um método numérico é resolver uma ou mais equações diferenciais, substituindo as derivadas existentes na equação or exressões algébricas que envolvem a função incógnita. Um método analítico que tivesse a habilidade de resolver tais equações nos daria a solução em uma forma fechada e seria ossível, então, calcular os valores das variáveis deendentes em nível infinitesimal, isto é, ara um número infinito de ontos. Por outro lado, ao fazer uma aroximação numérica da equação diferencial, se aceita ter a solução ara um número discreto de ontos, eserando que, quanto maior for este número de ontos, mais róxima da solução exata será a solução aroximada (ou numérica). A maneira de se obter essas equações algébricas é que caracteriza o tio de método numérico. Uma das maneiras de se obter as equações aroximadas no método dos volumes finitos é, artindo-se da equação diferencial na forma conservativa (onde os fluxos aarecem dentro do sinal da derivada), integrá-la sobre o volume elementar no esaço e no temo (MALISKA, 2005; VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995).

36 Formulação do roblema e definição do modelo numérico Para definir o modelo numérico serão determinados todos os métodos, esquemas e rocedimentos esecíficos usados ara resolver numericamente o roblema, entre eles: tio de malha, método numérico, tios de aroximações numéricas, variáveis de interesse, métodos ara a resolução de sistema de equações, critérios de convergência do rocesso iterativo, estimadores de erros numéricos, hardware, algoritmo do rograma comutacional, linguagem de rogramação, recisão e comilador Discretização do domínio de cálculo Discretizar o domínio de cálculo consiste em definir, ao longo deste domínio, em quais ontos se deseja conhecer a variável deendente. Para isso é necessário construir sobre o domínio uma malha, que conterá um conjunto de nós osicionados onde se deseja determinar a variável em questão. A geração da malha será realizada conforme o método numérico adotado. O rimeiro asso no Método dos Volumes Finitos é dividir o domínio em volumes de controle discretos. Os centros dos volumes são ontos nodais onde se deseja conhecer a variável deendente. Os contornos (ou faces) dos volumes de controle são osicionados nos ontos médios entre os nós adjacentes. Assim, cada nó é rodeado or um volume de controle ou célula, conforme mostra a figura 2.1. Para este trabalho foi adotado arranjo co-localizado de variáveis.

37 35 N n W w P e E y s S y x z x Figura 2.1: Malha estruturada uniforme bidimensional com volumes de controle Um onto geral nodal é identificado or P, e os vizinhos na horizontal são os nós oeste e leste, que são identificados or W e E, resectivamente. Ainda na linha horizontal, a face do lado oeste do volume de controle é referenciada or w, e a face do lado leste é indicada or e. As distâncias entre os nós W e P, e entre os nós P e E, são identificados or x. Para a vertical, os nós vizinhos ao onto P são norte e sul, identificados or N e S, resectivamente. A mesma notação ara as faces são adotadas ara esta direção, sendo referenciadas or n ara a face norte, e s ara a face sul, conforme ode ser observado. As distâncias entre os nós S e P, e entre os nós P e N, são identificadas or y, se a malha for uniforme Discretização do modelo matemático Para que seja ossível tratar numericamente as equações diferenciais arciais (EDP), elas devem ser exressas na forma de oerações aritméticas que o comutador ossa executar. Essas exressões oderão ser maniuladas elo comutador, relacionando entre si os valores das grandezas nos ontos discretos do domínio de cálculo. Portanto, antes de resolvermos a EDP de forma numérica, recisamos encontrar, ara os termos que nela aarecem, as resectivas exressões algébricas escritas em função dos ontos da malha (FORTUNA, 2000).

38 36 Os termos das equações que constituem o modelo matemático e suas condições de contorno e iniciais são aroximados numericamente através de um método numérico, gerando assim, um sistema de equações algébricas, também denominado sistema de equações discretizadas. Para cada nó genérico P da malha haverá uma equação discretizada do modelo matemático, relacionando o valor da variável deendente armazenada em P com os valores armazenados nos nós vizinhos. Para comletar a discretização do modelo matemático, são necessárias exressões algébricas ara a variável deendente e sua derivada de rimeira ordem, avaliadas nas faces dos volumes de controle. Essas exressões são chamadas de funções de interolação. Em geral, elas têm o objetivo de avaliar o valor de uma roriedade genérica φ na interface do volume de controle bem como suas derivadas. Tradicionalmente o Método dos Volumes Finitos utiliza dois tios de aroximação. Uma ara determinação dos valores das derivadas de φ e outra ara a determinação dos valores de φ nas interfaces de integração. Normalmente, na avaliação das derivadas é suficiente o uso de um esquema de diferenças centrais, e na avaliação de φ, emrega-se algum mecanismo que considere os efeitos advectivos do roblema. Os roblemas associados com as não-linearidades no conjunto de equações e a ligação entre a ressão e a velocidade (acolamento), odem ser resolvidos adatando uma estratégia de solução iterativa tais como o algoritmo SIMPLE de Patankar e Salding (1972). A alicação destes algoritmos, que são necessários devido aos acolamentos que surgem durante a resolução do roblema, será vista a seguir Acolamento ressão-velocidade Quando as equações de conservação são escritas em função de uma única variável, significa que aenas uma das variáveis foi escolhida ara ser tratada imlicitamente, com as

39 37 outras sendo colocadas no termo fonte ou nos coeficientes e, ortanto, sendo tratadas de forma exlícita. Com isto, o sistema de equações tem que ser resolvido de maneira segregada ou sequencial. A solução segregada das equações de Navier-Stokes gera o roblema de acolamento ressão-velocidade. Neste caso, ara a determinação do camo de ressões, é necessário romover um acolamento entre a equação de conservação da massa e as equações de conservação da quantidade de movimento, originando uma equação ara a ressão. Através de algum esquema numérico, a equação de conservação da massa é transformada em uma equação que forneça o camo de ressões ou uma correção ara tal (MALISKA, 2005). Existem, atualmente, diversos métodos ara tratar deste acolamento. O objetivo de todos eles é criar uma equação ara a ressão que ermita que o rocesso iterativo avance, observando a conservação da massa. Baseados nas idéias de Chorin (1971), muitos métodos ara tratar o acolamento ressão-velocidade foram desenvolvidos, sendo que um deles, muito utilizado até bem recentemente, é o método SIMPLE, desenvolvido or Patankar e Salding (1972). Neste método, o acolamento ode ser resolvido adatando uma estratégia de solução iterativa. O algoritmo que será utilizado ara o desenvolvimento deste trabalho é o SIMPLEC (SIMPLE - Consistente) de Van Doormal e Raithby (1984). Neste algoritmo, os fluxos convectivos or unidade de massa através das faces das células, são calculados a artir das comonentes de velocidade existentes. Um camo de ressões definido reviamente é usado ara resolver as equações de conservação da quantidade de movimento linear, e uma equação ara a correção da ressão, deduzida da equação da continuidade, é resolvida ara obter um camo de correção da ressão, que é usado ara retornar os camos de velocidade e ressão. Para iniciar o rocesso iterativo são usados os camos de velocidade e ressão reviamente determinados. Enquanto o algoritmo é executado, a intenção será a de melhorar os camos suostos rogressivamente. O rocesso é reetido até a convergência dos camos de velocidade e ressão (VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995).

40 Alicação das condições de contorno Os roblemas de Dinâmica dos Fluidos Comutacional são definidos em termos das equações diferenciais arciais e das condições de contorno e iniciais. É imortante que o usuário esecifique as condições de contorno e iniciais e comreenda seu ael no algoritmo numérico. Em roblemas transientes, os valores iniciais de todas as variáveis do escoamento necessitam ser esecificadas ara todos os ontos das soluções no domínio do escoamento. A seguir, ao obtermos a equação aroximada ara um volume elementar genérico, esta foi deduzida ara um volume interno. Todos os outros volumes internos ossuem equações aroximadas idênticas (ara malhas estruturadas). Para se obter o sistema de equações algébricas comleto é também necessário obter as equações ara os volumes que estão na fronteira. Existem diversas formas de alicação das condições de contorno. Uma delas é criar uma malha na qual o onto central do volume de controle fique sobre a fronteira. Este rocedimento dá origem ao meio volume de controle erto da fronteira e aos volumes internos inteiros, conforme ode ser visto na figura 2.2. x 2 x Fronteira T f Figura 2.2: Discretização com meio-volume na fronteira (Maliska, 2005) Segundo Maliska (2005), dois roblemas aarecem com este rocedimento, o rimeiro se deve a não-uniformidade dos volumes, conforme ode ser visto na figura 2.3 e o segundo ocorre quando a variável de interesse na fronteira é conhecida. Neste último, ara roblemas bidimensionais e tridimensionais teremos toda uma faixa de volumes de controle não reseitando os rincíios de conservação.

41 39 Figura 2.3: Discretização bidimensional com meios-volumes na fronteira A seguir são descritos dois rocedimentos que reseitam a conservação ara todos os volumes, a saber: Volumes Fictícios que utiliza volumes inteiros ara todos os volumes, reseitando, ortanto, os rincíios de conservação ara todo o domínio. Todos os volumes do domínio, inclusive os de fronteira, são interretados como internos, uma vez que são criados os volumes fictícios. A desvantagem é a criação de novas incógnitas, aumentando o tamanho do sistema linear, situação que vai se agravando quando a dimensão do roblema aumenta (figura 2.4). x 2 P E Fronteira Fronteira Figura 2.4: Condições de contorno com volumes fictícios (Maliska, 2005) Balanços ara os Volumes de Fronteira significa realizar a integração das equações de conservação também ara os volumes de fronteira, da mesma forma realizada ara os volumes internos, reseitando a condição de contorno existente. Neste rocedimento, a discretização do domínio é feita com volumes elementares inteiros. Assim, não existem variáveis sobre a fronteira, sendo semre necessário realizar os balanços ara todos os volumes, indeendentemente do tio de condição de contorno (figura 2.5).

42 40 x 2 x Fronteira P E Figura 2.5: Discretização unidimensional com volumes inteiros (Maliska, 2005) Obtenção da solução numérica As equações discretizadas resultantes da discretização do modelo matemático formam um sistema de equações, que é resolvido com algum método direto ou iterativo, sendo então obtida a solução aroximada do roblema. Ela não é exata devido a erros que são inerentes ao rocesso de discretização das equações, e devido a erros de arrredondamento nos cálculos feitos no comutador (FORTUNA, 2000). As fontes de erro serão definidas no caítulo 3. Aós a obtenção da solução aroximada, ode-se visualizar e analisar os resultados através de gráficos, isolinhas, isorregiões, isosuerfícies, camos de vetores e estimativas de erros de modelagem e numéricos. Para a obtenção da solução numérica do roblema da cavidade, alguns arâmetros foram levados em conta, como: malha uniforme em cada direção com razão de refino constante, o uso de volumes fictícios ara a alicação das condições de contorno, o acolamento ressãovelocidade obtido com o método SIMPLEC, as equações foram resolvidas segregadamente, com arranjo co-localizado de variáveis, e o temo foi usado como arâmetro de relaxação.

43 Coeficientes e termos fontes da velocidade Para se obter a solução numérica, as equações governantes (Eqs. (2.3) e (2.4)) foram discretizadas com o Método dos Volumes Finitos, sendo que foram consideradas as seguintes hióteses simlificativas: domínio de cálculo quadrado com dimensões unitárias, massa esecífica e viscosidade do fluido constantes, temo usado como arâmetro de relaxação, emregando a função de interolação WUDS. Para os volumes internos, tem-se que: φ φ φ φ φ φ N V n S V s E V e W V w V b a a a a a =, (2.5) onde φ é a variável de interesse, neste caso ode ser velocidades ou ressão. e e V e M x z y a & = α µ 2 1, (2.6) w w V w M x z y a & + + = α µ 2 1, (2.7) n n V n M y z x a & = α µ 2 1, (2.8) s s V s M y z x a & + + = α µ 2 1, (2.9) V s V n V w V e V a a a a t M a =, (2.10) sendo que os fluxos de massa nas faces e a massa do volume de controle P são dados or:

44 42 M & = ρu y z, (2.11) e e M & = ρu y z, (2.12) w w M & = ρv x z, (2.13) n n M & = ρv x z, (2.14) s s M = ρ x y z, (2.15) com µ = U t L / Re, (2.16) onde U é a velocidade na tama, z = 1, t varia conforme o tamanho da malha. Tem-se t ainda que: 1 α e = sign( u e ), (2.17) 2 1 α w = sign( u w ), (2.18) 2 1 α n = sign( v n ), (2.19) 2 1 α s = sign( v s ), (2.20) 2

45 43 onde a função sign (a) significa tomar aenas o sinal da variável a. O termo fonte é dado or: φ φ t φ Sφ b = b + b + b, (2.21) que será determinado nos caítulos 4 e 5. A alicação das condições de contorno ara os volumes fictícios, ara o volume norte, or exemlo, resulta em: a = 1 (2.22 a) V a = 1 (2.22 b) V s a = 0 (2.22 c) V w a = 0 (2.22 d) V e a = 0 (2.22 e) V n b = 2 (2.22 f) V sendo que ara os outros contornos, os coeficientes odem ser obtidos de maneira equivalente.

46 Coeficientes e termo fonte da ressão Da discretização da equação da massa surgem os coeficientes e o termo fonte ara se obter a ressão nos volumes internos: N n S s E e W w b a a a a a = ' ' ' ' ' (2.23) onde y d a w w = (2.24 a) y d a e e = (2.24 b) x d a s s = (2.24 c) x d a n n = (2.24 d) ( ) ( ) x v v y u u b n s e w + = * * * * (2.24 e) Os coeficientes ara o método SIMPLEC são: ( ) ( ) 2 u E u P e d d d + = (2.25) ( ) ( ) W e w d d = (2.26)

47 45 ( ) ( ) 2 v N v P n d d d + = (2.27) ( ) ( ) S n s d d = (2.28) onde ( ) = u nb u u a a z y d (2.29) ( ) = v nb v v a a z x d (2.30) V s V n V e V w V nb a a a a a = (2.31) Para a obtenção da Eq. (2.23), tem-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] E V P V P E e E P E nb u nb P nb u nb e a a z y u t M M u a u a u = * * 0 * * * 2 (2.32) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] N V P V N v v P N N V P V n N P N nb v nb P nb v nb n a a z y x L S L S z x a a v t M M v a v a v = * * 0 * * * 2 (2.33)

48 46 onde u * u * u * u * u * ( a u ) ( a ) u + ( a ) u + ( a ) u ( a ) u nb NB P w P W e P E s P S + = (2.34) n P N u * u * u * u * u * ( a u ) = ( a ) u + ( a ) u + ( a ) u + ( a ) u nb NB E w E e E EE s E SE n E NE (2.35) v * v * v * v * v * ( a v ) = ( a ) v + ( a ) v + ( a ) v + ( a ) v nb NB P w P W e P E s P S n P N (2.36) v * v * v * v * v * ( a v ) = ( a ) v + ( a ) v + ( a ) v + ( a ) v nb NB N w N NW e N NE s N P n N NN (2.37) Os nós utilizados ara a obtenção das equações aqui descritas odem ser observados na figura 2.6. NN NW N NE WW W P E EE SW S SE SS Figura 2.6: Localização dos nós no domínio de cálculo discretizado A equação utilizada ara a correção da ressão e das velocidades ara os volumes internos, estão listadas a seguir: = + (2.38) P * P '

49 47 ( ) 2 ' ' * W E u d u u = (2.39) ( ) 2 ' ' * S N v d v v = (2.40) ( ) ' ' * P E e e e d u u = (2.41) ( ) ' ' * W P w w w d u u = (2.42) ( ) ' ' * P N n n n d v v = (2.43) ( ) ' ' * S P s s s d v v = (2.44) Para os contornos as velocidades nas faces são dadas or: * = 0 e u (2.45) * = 0 n v (2.46) Para a ressão, a condição de contorno alicada foi obtida através de interolação linear: Contorno esquerdo: ( ) ' ' ' ' E EE E P = (2.47) ou

50 48 a = 1 (2.48 a) a = 1 (2.48 b) e a = 0 (2.48 c) w a = 0 (2.48 d) s a = 0 (2.48 e) n b ' ' ( ) = (2.48 f) EE E Contorno direito: ' P ' W ' ' ( ) = + (2.49) W WW ou a = 1 (2.50 a) a = 1 (2.50 b) w a = 0 (2.50 c) e a = 0 (2.50 d) n a = 0 (2.50 e) s

51 49 b = (2.50 f) ' W ' WW Contorno sul: ' P ' N ' ' ( ) = (2.51) NN N ou a = 1 (2.52 a) a = 1 (2.52 b) n a = 0 (2.52 c) w a = 0 (2.52 d) s a = 0 (2.52 e) e b ' ' ( ) = (2.52 f) NN N Contorno norte: ' P ' S ' ' ( ) = + (2.53) S SS ou

52 50 a = 1 (2.54 a) a = 1 (2.54 b) s a = 0 (2.54 c) w a = 0 (2.54 d) e a = 0 (2.54 e) n b = (2.54 f) ' S ' SS Algoritmos Para se resolver o sistema de equações lineares que surge da discretização das equações diferenciais envolvidas foi utilizado o método MSI (Modified Strongly Imlicit Method) (SCHNEIDER e ZEDAN, 1981). Dada uma equação diferencial governante ara o caso bidimensional, uma equação algébrica é formada ara cada volume de controle. Veja abaixo um exemlo de um esquema de 5 ontos: s w n e a i, j i, j 1 + ai, jφi 1, j + ai, jφi, j + ai, jφi, j+ 1 + ai, jφi+ 1, j = fi, j φ. (2.55) A coleção de equações na forma da equação (2.55) escrita ara cada ar (, j) i do domínio, roduz uma equação matricial da forma Aφ =f. O MSI (SCHNEIDER e ZEDAN,

53 ) é um método iterativo ara se resolver este sistema de equações. Este método é também conhecido como método fortemente imlícito. Dentre suas vantagens estão: remover ou enfraquecer a influência da assimetria das matrizes [ L ][ U] ; reduzir o esforço comutacional demandado ara se obter a solução convergida; reduzir a sensibilidade à razão de asecto da malha. Neste método, uma decomosição LU é roosta, tal que, [ ][ U] [ A' ] L =, onde as matrizes [ L ] e [ U ] são matrizes triangulares inferior e suerior, resectivamente, com U tendo a diagonal unitária. Ao transformar o roduto LU, em denotadas or σ 1 e σ 2. Desta forma, a matriz [ ] = [ A] + [ B] A ' existem duas diagonais adicionais não-nulas A', onde a matriz B consiste aenas das diagonais σ 1 e σ 2. A ' ode ser escrita da seguinte forma: Os coeficientes das matrizes L e U e os coeficientes adicionais não-nulos que aarecem na matriz modificada A ' odem ser determinados diretamente ela definição das equações determinadas ela formação do roduto LU. Um rocedimento iterativo e corretivo é necessário ara anular a forte influência destes termos no sistema de equações modificado. Um arâmetro iterativo α é emregado ara o cancelamento arcial da influência dos termos adicionais de A '. Isto é feito, escrevendo-se as equações modificadas de (figura 2.7) da seguinte forma: A ' ara o esquema de 5 ontos a σ σ s i, j φ 1 i, j 4 i, j i, j 1 + a w i, j φ i 1, j + a i, j φ i, j + a n i, j i, j+ 1 + a e i, j [ φi+ 1, j 1 α( 2φ i, j + 2φ i+ 1, j + φi, j 1 )] + [ φi 2, j+ 1 α( 2φ i, j + 2φ i 1, j + φi, j+ 1) ] = fi, j φ φ i+ 1, j +. (2.56)

54 52 φ i+ 1, j 1 φ i +1, j φ i, j 1 φ i, φ j i, j+ 1 φi 1, j φ i 2, j + 1 Figura 2.7: Malha geométrica utilizada no MSI Procedimento MSI ara Aφ =f 1. Dado: A φ = f, it=1 e it_max; 2. Some φ B em ambos os lados: ( A + B) φ = f + Bφ ; A + B φ = f + Bφ ; n+1 n 3. Crie o rocesso iterativo: ( ) n+1 n 4. Alique a decomosição LU em ( A + B) : ( LU ) φ = f + Bφ ; 0 5. Dados n = 0, n _ maximo e φ ; 6. Resolva or substituição retroativa: Lκ n+1 = f n + Bφ ; 7. Resolva or substituição rogressiva: φ n κ + 1 = n +1 U ; 8. Faça n receber n + 1; 9. Volte ao asso 5 até convergir ou atingir n_maximo. 10. Atualize os coeficientes de A; 11. Faça it receber it + 1;

55 Volte ao asso 2 até convergir ou atingir it_max. Detalhes sobre a obtenção dos coeficientes das matrizes L e U e as diagonais da matriz B odem ser encontrados em Schneider e Zedan (1981). Para os dois roblemas em questão, na imlementação da Linguagem FORTRAN/95 foi utilizado o algoritmo descrito a seguir: 1. Ler os dados do roblema, discretizar o domínio de cálculo, inicializar as variáveis; 2. Obter os coeficientes ara u e v nos volumes reais com as Eqs. (2.6) a (2.10); 3. Calcular o termo fonte ara u nos volumes reais com a Eq. (2.21); 4. Obter os coeficientes e termos fontes ara u nos volumes fictícios com as Eqs. (2.22 a) a (2.22 f); 5. Resolver o sistema da Eq. (2.5) ara u com o método MSI, reetir Iv vezes; 6. Calcular o termo fonte ara v nos volumes reais com as Eqs. (2.21); 7. Obter os coeficientes e termos fontes ara v nos volumes fictícios com as Eqs. (2.22 a) a (2.22 f); 8. Resolver o sistema da Eq. (2.5) ara v com o método MSI, reetir Iv vezes; 9. Calcular as velocidades nas faces internas do domínio de cálculo com as Eqs. (2.32) e (2.33); 10. Obter os coeficientes do método SIMPLEC com as Eqs. (2.25), (2.27), (2.29) e (2.30); 11. Calcular os coeficientes e termos fontes de ' nos volumes reais com as Eqs. (2.24 a) a (2.24 f); 12. Calcular os coeficientes e termos fontes de ' nos volumes fictícios com as Eqs. (2.48 a) a (2.48 f), (2.50 a) a (2.50 f), (2.52 a) a (2.52 f), (2.54 a) a (2.54 f);

56 Resolver o sistema da Eq. (2.23) ara ' com o método MSI, reetir I vezes; 14. Obter a ressão através da Eq. (2.38) e alicar as Eqs. (2.47), (2.49), (2.51) e (2.53) ara P ; 15. Atualizar u e v com ' nos volumes reais através das Eqs. (2.39) e (2.40); 16. Atualizar u e v com ' nos volumes fictícios; 17. Obter as velocidades nas faces internas do domínio de cálculo com ' através das Eqs. (2.42) e (2.44), voltar ao asso 11 Im vezes; 18. Visualizar os resultados. No algoritmo acima, nos assos 5 e 8, Iv é o número de iterações internas ara u e v, que será definido conforme o tamanho da malha. No asso 13, I é o número de iterações internas ara a ressão, que também será definido osteriormente. O ciclo da massa, que tem início no asso 11 indo até o 17, deve ser iterado Im vezes (definido nos caítulos subsequentes), e or último, o ciclo geral que vai do asso 2 ao 17, deve ser reetido até que o rocesso atinja o erro de máquina, ou que um critério de arada seja satisfeito, critério este baseado no resíduo. Segundo Ferziger e Peric (2002), quando o método utilizado ara se resolver os sistemas de equações é iterativo, como o adotado neste trabalho, é imortante adotar um critério de arada. O rocedimento mais comum é baseado na diferença entre duas soluções de iterações sucessivas. Este algoritmo é arado quando esta diferença, medida or alguma norma, é menor que um valor ré-definido. Esta norma ode ser obtida através do cálculo do resíduo, que está descrito a seguir. Basicamente, deve-se lembrar que a discretização de uma equação diferencial através de um método numérico resulta em [ A ][ ] = [ B] λ. (2.57)

57 55 O resíduo ara o sistema definido ela Eq. (2.57) é definido genericamente or (Ferziger e Peric, 2002) R n λ n = B A, (2.58) n onde λ é a solução da incógnita na iteração n. Para o caso articular que será tratado neste trabalho, tem-se R n n n n n n ( a ) φ + ( a ) φ + ( a ) φ + ( a ) φ + b ( a ) φ =. (2.66) W W E E N N S S P O critério ara interromer o rocesso iterativo com base no resíduo das equações é Se L n Tol arar, (2.59) 0 L n 0 onde L é a norma dos resíduos na iteração n; L é a norma dos resíduos na iteração 0, ou seja, antes de iniciar o rocesso iterativo. Neste caso, os resíduos são calculados com base na estimativa inicial da solução; Tol é a tolerância admitida ara interromer o rocesso iterativo. A norma utilizada neste trabalho conhecida como L 1 é descrita da seguinte forma: n n n L1 = R. (2.60) P= 1 Neste trabalho, o resíduo foi utilizado ara monitorar o rocesso iterativo, ou seja, o rocedimento foi iterado até que o erro de máquina fosse atingido (or este motivo a tolerância adotada foi ).

58 Definição e obtenção das variáveis de interesse Definições Neste trabalho, o roblema a ser tratado é o escoamento recirculante na cavidade quadrada, onde serão variadas as condições de contorno, dando origem a dois roblemas muito conhecidos na engenharia: o roblema descrito or Shih et al. (1989), que ossui um termo fonte atuando no escoamento e, or isso, ossui solução analítica. O outro roblema é o descrito or Ghia et al. (1982), que não ossui solução analítica. Cada um dos roblemas abordados está descrito nos róximos caítulos, sendo que, ara sua resolução, vários asectos são considerados em comum. As variáveis de interesse ara os dois roblemas são as mesmas: força da laca sobre o fluido ( F ), fluxo de massa ( ) centrais u ( 0,5;0,5 ) e v ( 0,5;0,5 ). M &, os erfis de velocidade nas duas direções x e y, e as velocidades A força da laca é definida or (KUNDU, 1990; FOX e MCDONALD, 1995): F = τ xya, (2.61) onde τ xy u = µ y tama, e a é a área onde a força atua, resultando em: F L x u = µ zdx, (2.62) 0 y tama

59 57 onde L x é o comrimento do domínio de cálculo na direção x, z é a rofundidade que é considerada unitária. Para a outra variável global, fluxo de massa, tem-se que (KUNDU, 1990; FOX e MCDONALD, 1995): M & u = ρψ min, (2.63) com ψ ψ dψ = dx + dy, (2.64) x y onde ψ ψ = v, = u. (2.65) x y e, ara a outra direção x 2 M& v = ρvdx, (2.66) 0 onde M & u e M & v são os fluxos de massa na direção x e na direção y, resectivamente. Para a obtenção desta variável de interesse a artir das linhas de corrente, como é o caso de M & u, foi necessário determinar o camo do fluxo de massa do escoamento, com a Eq. (2.65). Com este camo, foi ossível obter linhas com um valor constante ara o fluxo. Obtendo-se a diferença entre duas linhas teremos o fluxo de massa que escoa entre elas. Para a obtenção desta variável

60 58 de interesse, será tomado o menor valor dentre os obtidos. O sobre a linha 1, também indicada na figura 2.6. M & v é obtido através da integração 1,0 Linha 1 0,5 y 0,0 x 0,5 1,0 Figura 2.8: Posição das linhas de tomada de dados ara os cálculos do fluxo de massa Analiticamente, os erfis de velocidade nas duas direções, bem como as velocidades centrais, foram obtidas diretamente das equações ara u e v, através da substituição das coordenadas desejadas nas exressões. Na obtenção das equações discretizadas ara as variáveis de interesse, ode ser observada a ordem assintótica de cada uma delas, conforme demonstrado na tabela 2.1. Os valores ara x = y L são os valores que o exoente que acomanha h (esaçamento da malha: ) no rimeiro termo do erro de truncamento na equação discretizada assume (MARCHI e SCHNEIDER, 2004). A forma de obtenção da ordem assintótica é descrita no caítulo 3. Tabela 2.1: Ordem assintótica ara as variáveis de interesse Variável de interesse Ordem assintótica L Fluxo de massa total 2 Fluxo de massa obtido com v n 2 Força da laca sobre o fluido com UDS 1 Força da laca sobre o fluido com UDS-2 2 Velocidade na direção u 2 Velocidade na direção v 2

61 Aroximações numéricas A forma de obtenção das variáveis de interesse numericamente está descrita a seguir, sendo que as equações abaixo descritas se alicam aos dois roblemas abordados neste trablaho: roblema de Shih e roblema de Ghia. A força da laca sobre o fluido foi obtida numericamente através de uma aroximação com UDS-2 (FERZIGER e PERIC, 2002), que foi alicada na derivada arcial que aarece no desenvolvimento da Eq. (2.62). Para se obter os resultados numéricos da força, foram somadas todas as aroximações das velocidades ao longo do contorno suerior da laca, conforme está ilustrado na figura 2.9, ou seja, F µ x ( 8u u u ) N x 1 UDS 2 =, tama 9, N 1 + y = 2 3 y, N 2 y, (2.67) onde u é a velocidade local da tama da cavidade. Para a força da laca foi feita uma análise com os resultados obtidos com outra aroximação numérica: UDS. O rocedimento ara a obtenção da solução numérica é idêntico ao anterior, com a alteração aenas da aroximação utilizada. Desta forma, F UDS = N x 1 P= 2 µ x y ( u u ), tama, N y 1, (2.68)

62 60 W N y-1 P E N y-2 Figura 2.9: Alicação da força da laca numericamente O fluxo de massa que escoa na cavidade é obtido com a função de corrente baseada na velocidade média u na face leste de cada volume de controle (figura 2.10), ou seja, M & u = ρψ min, (2.69) onde ψ min é o mínimo valor obtido or: N x 1 N y 2 ( ue (( j 1) N x + i) y) ψ =. (2.70) i= 1 j= 2 O fluxo de massa que escoa em = 0, 5 y e [ 0;0,5] x, que é reresentado or M & v é obtido ela integração da velocidade média v na face norte de cada volume através da regra do retângulo. N x = 2 v i= 1 () i M& v ρ x. (2.71) n

63 61 i, j 1 i +1, i, j i 1, j j u e i, j +1 Figura 2.10: Localização dos nós ara a tomada de valores ara a obtenção do fluxo de massa Neste trabalho também são analisados os erfis de velocidades tanto na direção x quanto na direção y. Para a obtenção destes erfis, que serão analisados em coordenadas rédeterminadas, foi fixado o centro geométrico do domínio de cálculo em uma das direções, enquanto foram variadas as coordenadas na outra. O erfil da velocidade u em x = 0, 5, foi obtido através da média aritmética das velocidades na face leste nos dois volumes vizinhos, ois nesta coordenada (x=0,5), não temos centros de volumes. O erfil da velocidade v em y = 0, 5 foi obtido através da média aritmética das velocidades na face norte nos dois volumes vizinhos, conforme ode ser observado nas Eqs. (2.72) e (2.73). ( i) + u ( i 1) N y ue e i= u( 0,5;0,5 ) = (2.72) ( i) + v ( i 1) N + ( ) = x vn n v 0,5;0,5 (2.73) i= 1 2 A razão de refino adotada é igual a dois ( q = 2), or causa da análise de erros, ara que se tenha uma razão de refino constante. A obtenção dos erfis de velocidade através da média artmética não comrometeu os resultados, conforme se ode observar nas tabelas que aresentam os erros numéricos (no caítulo 4), e nos gráficos com as ordens ráticas obtidas a artir das soluções numéricas (caítulos 4 e 5).

64 62 3 Erros Numéricos 3.1 Introdução Existem dois níveis de erros que odem estar resentes na solução numérica quando os resultados são comarados com a realidade de um roblema físico: no rimeiro nível estão os erros numéricos, que resultam da má solução das equações diferenciais. Asectos como recisão da solução e convergência do algoritmo são testados nesta fase, que ode ser chamada de verificação. Esse rocesso atesta a qualidade do modelo numérico. No segundo nível estão os erros que são resultantes do uso de equações diferenciais, que não reresentam adequadamente o fenômeno, que ode ser chamado de validação. Este rocesso, ortanto, reocua-se com a fidelidade do modelo matemático ara com o roblema físico em questão. Na visão da engenharia, esta fidelidade é o onto que interessa. Logo, a ferramenta numérica é adequada e confiável quando se está de osse de um método numérico que resolva corretamente as equações diferenciais, e de um modelo matemático que, sabidamente, reresente com fidelidade o fenômeno físico (MALISKA, 2005). A origem dos erros está ligada aos rocessos de análise e solução de um roblema. Há dois grandes gruos de métodos ara a análise e solução de roblemas: os exerimentais e os teóricos. Estes últimos, or sua vez odem ser divididos em dois gruos distintos, os analíticos e os numéricos. Na Figura 3.1 é mostrada esta divisão entre os métodos de solução e os resectivos erros gerados em cada fase.

65 63 VALOR VERDADEIRO DO FENÔMENO REAL Erro de Modelagem Erro Exerimental SOLUÇÃO ANALÍTICA Erro Numérico RESULTADO EXPERIMENTAL SOLUÇÃO NUMÉRICA Figura 3.1: Erros envolvidos nos métodos de engenharia (Marchi e Schneider, 2004) Neste trabalho não será feita a definição dos tios de erros ara os métodos exerimentais uma vez que estamos tratando aenas de métodos de solução numérica de roblemas, ou seja, aenas de métodos teóricos. A diferença entre a solução analítica exata ( Φ ) de uma variável de interesse e a sua solução numérica ( φ ) é denominada or Ferziger e Peric (2002) de erro da solução numérica (E), ou simlesmente, erro numérico, isto é: ( φ) = Φ φ E (3.1) A magnitude aceitável ara o erro numérico deende, entre outros, da finalidade da solução numérica, dos recursos financeiros envolvidos, do temo ermitido ara realizar as simulações e dos recursos comutacionais disoníveis. Sabendo-se que as soluções numéricas contêm erros, é imortante estimá-los elos seguintes motivos (MARCHI, 2001): Quando o erro é maior do que o aceitável, comromete-se a confiabilidade do uso da solução numérica; Quando o erro é menor do que o necessário, há deserdício de recursos comutacionais, isto é, de temo de rocessamento e de quantidade de memória;

66 64 Para validar e desenvolver modelos matemáticos que visem exlicar fenômenos físicoquímicos ainda não modelados adequadamente e cujas soluções analíticas são desconhecidas; um exemlo tíico é a modelagem de escoamentos turbulentos; Para otimizar o uso da malha, isto é, adatá-la visando homogeneizar o nível de erro no domínio de cálculo; e Para evitar interretações equivocadas. 3.2 Fontes de Erros Numéricos Segundo Ferziger e Peric (1999), Roache (1998), Tannehill et al. (1997), Celik e Zhang (1995) e Marchi (2001) o erro numérico é causado or diversas fontes, que são: erros de truncamento (E T ), erros de arredondamento (E π ), erros de rogramação (E ) e erros de iteração (E n ). Simbolicamente, tem-se: ( ) E( E E, E E ) E φ =,, (3.2) T, π n onde φ é a variável de interesse odendo ser local ou global, rimária ou secundária; deendendo do roblema. Essas quatro fontes de erro odem ter magnitudes e sinais diferentes, o que ode acarretar em cancelamentos arciais ou totais entre esses erros. A definição e a origem de cada uma destas quatro fontes de erro é exlicado a seguir. Erros de Truncamento: Dado um modelo matemático, é comum substituí-lo or um modelo numérico. O erro que ocorre ao se truncar um rocesso infinito é chamado erro de truncamento ( E T ), ou seja, é roveniente do fato de se aroximar um roblema contínuo com informação num conjunto infinito or um roblema discreto com informação num conjunto finito (ROACHE, 1998).

67 65 Erros de Arredondamento: É também um erro de truncamento na reresentação que ocorre devido à reresentação finita dos números no comutador. Não ode ser evitado, mas, ela utilização de recisão dula nas oerações aritméticas e na reresentação dos números elo comutador, ode ter seu efeito reduzido (FORTUNA, 2000). Em alguns tios de cálculos, a magnitude dos erros de arredondamento é roorcional ao número de ontos da malha no domínio do roblema. Nestes casos, refinando-se a malha odem-se diminuir os erros de truncamento, mas serão incrementados os erros de arredondamento (TANNEHILL et al. 1997). Erros de Programação: Diz-se, freqüentemente, que todos os códigos de comutador têm erros, o que é rovavelmente verdade. É de resonsabilidade do autor do código tentar estimá-los, sendo que é difícil encontrar os erros de rogramação estudando o código. A acurácia de uma solução não deende somente do método discretizado e do código, mas também do uso do código (TANNEHILL et al. 1997). Erros de Iteração: Saber quando arar o rocesso de iteração é crucial do onto de vista da eficiência comutacional. O erro de iteração é definido como sendo a diferença entre a solução exata das equações discretizadas e a solução numérica em uma determinada iteração (FERZIGER e PERIC, 2002). Erros de Discretização: Quando o erro da solução numérica é gerado aenas or erros de truncamento, ele é denominado de erro de discretização. 3.3 Tios de estimativas de erro de discretização As estimativas do erro de discretização, geradas or erro de truncamento, odem ser divididas em dois tios básicos (SZÁBO e BABUSKA, 1991): estimativas a riori ou a osteriori da solução numérica. Estimativas a riori: Proorcionam uma análise qualitativa do erro de discretização antes mesmo de se obter uma solução numérica. O objetivo de uma estimativa a riori é

68 66 obter a ordem assintótica da equação diferencial discretizada. Com esta estimativa, antes de se obter qualquer solução numérica, é ossível rever o comortamento assintótico do erro de discretização com relação ao refinamento da malha e à ordem aarente. Também é ossível avaliar qual é o efeito da redução do tamanho dos elementos da malha sobre o erro de discretização (E) da solução numérica. Estimativas de erro a osteriori: As estimativas de erro a osteriori são usadas ara estimar a magnitude do erro de discretização. Existem vários métodos que odem ser emregados. Eles odem ser divididos em dois grandes conjuntos. No rimeiro as estimativas de erro são baseadas na solução numérica obtida numa única malha, em geral, o método dos Elementos Finitos se enquadram neste conjunto. No segundo conjunto, as estimativas de erro são baseadas nas soluções numéricas obtidas em malhas múltilas, em geral, os métodos de diferenças finitas e de volumes finitos se enquadram neste conjunto. Alguns estimadores deste tio são: delta, chardson, GCI, multicoeficientes e convergente (MARCHI, 2001). Para o desenvolvimento deste trabalho serão utilizados os estimadores de chardson e GCI, sendo que ambos se baseiam em soluções numéricas sobre três malhas, odendo ser, ortanto classificados como estimadores a osteriori baseados em diversas malhas. A incerteza de uma solução numérica é calculada com os estimadores de erro, dos quais se deseja que tenham as seguintes características (MARCHI, 2001): Confiabilidade: a magnitude da incerteza deve ser maior que a magnitude do erro de discretização e ambos tem o mesmo sinal. Acurácia: quando a magnitude da incerteza é aroximadamente igual à magnitude do erro de discretização. Quanto maior é a acurácia da estimativa de erro, mais róximas estão as magnitudes da incerteza do erro. Assim, os melhores estimadores são aqueles que fornecem uma incerteza confiável e acurada, ou seja, uma incerteza com magnitude aenas um ouco maior que a magnitude do erro de discretização. Neste trabalho será considerado que incerteza e erro estimado ossuem o mesmo significado.

69 Estimador de chardson Baseado na ordem assintótica Segundo Marchi (2001), o erro de truncamento de uma equação diferencial ou de uma aroximação numérica qualquer ode ser exresso da seguinte forma: L 2 3 ( φ) = c h + c h + c h... ε (3.3) onde os coeficientes c i odem variar com a coordenada x mas indeendem do tamanho h dos elementos da malha, esta equação é conhecida como equação geral do erro de truncamento. Por definição as ordens verdadeiras e o menor exoente de h é chamado de ordem assintótica V são os exoentes de h dos elementos não-nulos de Eq. (3.3),, que satisfaz a condição 1. Quando o tamanho h dos elementos da malha tende a zero, o rimeiro termo do erro de truncamento é o rincial comonente, ou seja, é ele quem determina o valor de ε. De acordo com o estimador de chardson (ROACHE, 1994), a incerteza solução numérica φ é calculada através de: L L U de uma U φ φ, (3.4) = onde φ reresenta a solução numérica de qualquer variável de interesse e o símbolo φ designa a estimativa do valor da solução analítica. O valor de φ é obtido através da extraolação de chardson, generalizada (ROACHE, 1994), que é dada or

70 ( ) 1 ( φ φ ) φ = φ +, (3.5) L 1 2 ( q L 1) 68 onde φ 1 e φ 2 são as soluções numéricas obtidas com malhas fina e grossa, isto é, com malhas cujo tamanho h dos elementos é h 1 e h 2, resectivamente; discretização; e q é a razão de refino da malha, definida or L é a ordem assintótica do erro de h h 2 q =. (3.6) 1 Com a substituição da Eq. (3.5) na Eq. (3.4), o estimador de chardson resulta em: U ( ) 1 ( φ φ ) φ =. (3.7) 1 2 ( q L 1) Caso haja interesse, a substituição da Eq. (3.5) e de φ 2 na Eq. (3.4) fornece a incerteza da solução numérica obtida na malha grossa h 2. A utilização da Eq. (3.7), ara estimar a solução analítica φ e or conseguinte o estimador de chardson, ode levar a uma sub ou sobre-estimativa da estimativa numérica, deendendo se onde o algoritmo de refinamento da malha atuou é crítico ou não. O estimador de chardson fornece, além da magnitude da incerteza, o seu sinal, isto é, se φ é maior ou menor que φ 1. A diferença entre φ 1 e φ 2 define o sinal de U ois a razão de refino da malha q e L semre são maiores do que a unidade, fazendo com que o denominador da Eq. (3.7) seja semre ositivo.

71 Baseado na ordem aarente Para o caso em que a ordem assintótica não é conhecida, ode-se aroximar o valor da estimativa da solução analítica do roblema através da chamada ordem aarente U. Segundo Marchi e Silva (2002), a ordem aarente U é definida como a inclinação local na curva da incerteza da solução numérica versus o esaçamento da malha h em um gráfico logarítmico Seu cálculo ermite verificar na rática, isto é, a osteriori das soluções numéricas, se à medida que h é reduzido, a ordem de incerteza das soluções numéricas tende à ordem assintótica dos erros de truncamento, ordem esta que é um resultado teórico, obtido a riori das soluções numéricas. O cálculo da ordem aarente é feito a artir da solução numérica do roblema em três diferentes malhas ( h, h h ) 1 2, soluções numéricas são φ1, φ2 e φ3. 3, denominadas de fina, grossa e suergrossa resectivamente, cujas Matematicamente, a ordem aarente U é obtida a artir de ( φ) PU KU h = U, (3.8) onde K U é um coeficiente que é admitido ser indeendente de h. A incerteza U da solução numérica é calculada ela diferença entre a solução analítica estimada φ ara a variável de interesse e sua solução numérica φ, conforme já foi mostrado na Eq. (3.4), Assim, com a Eq. (3.8) em (3.4), tem-se K φ φ. (3.9) P U U h =

72 Alicando-se a Eq. (3.9) a três malhas diferentes ( h, h h ) são φ1, φ2 e φ3, obtém-se 1 2, 3 70, cujas soluções numéricas φ φ, (3.10) U 1 = KU h 1 φ φ U 2 = KU h 2, (3.11) φ φ, (3.12) U 3 = KU h 3 Nestas três equações são conhecidos os valores de φ 1, φ2, φ3, h1, h2 e h3, e as incógnitas são φ, KU e U. em Considerando-se a razão de refino constante, a solução das Eqs. (3.10) à (3.12) resulta ( ) 1 ( φ φ ) φ = φ +, (3.13) U 1 2 U ( q 1) onde q é dado ela Eq. (3.6) e U φ2 φ 3 log φ1 φ2 =. (3.14) log ( q) A exressão ara φ dada na Eq. (3.13), é a rória extraolação de chardson, já aresentada na Eq. (3.7), aenas trocando-se nesta L or U. Para o estimador de chardson U dado na Eq. (3.4), e com a Eq. (3.13), a incerteza da solução numérica φ 1 obtida na malha fina h 1 é

73 71 U ( ) 1 ( φ φ ) φ =. (3.15) 1 2 P ( q U 1) A ordem aarente U ode ser calculada ara qualquer roblema e variável de interesse, o mesmo vale ara φ calculado com a Eq. (3.13). Porém, ara calcular φ e U são necessárias três soluções numéricas. A ordem aarente só é igual à ordem assintótica, em qualquer h, se a equação geral do erro de truncamento, Eq. (3.16) for constituída or um único termo. Porém, geralmente existem vários ou infinitos termos ara h 0, então U geralmente é diferente de. Mas ara h 0, U L orque o rimeiro termo do erro assa a dominar o seu valor total (MARCHI, 2001). L PL P2 P3 ( ) = c h + c h + c h... E φ (3.16) A alicação exata destes estimadores generalizados do erro da malha, baseado em chardson requer que a taxa de convergência da malha observada se iguale à taxa de convergência formal. Este requerimento imlica que a ordem conduzida do termo do erro de truncamento na série de Taylor verdadeiramente domine o erro (ROACHE, 1997). sua incerteza De acordo com as Eqs. (3.4) e (3.5), a reresentação correta da solução numérica φ e U obtida com o estimador de chardson é ( ) φ = φ 1 +U φ 1. (3.17) que Existe elo menos uma alternativa à reresentação dada na Eq. (3.17). Considerando-se U seja acurado, em rincíio se oderia admitir que a solução numérica fosse igual à solução extraolada φ, dada na Eq. (3.5), em vez da solução obtida na malha fina φ 1,

74 72 eliminando-se assim o erro estimado U. Mas com este rocedimento não se teria revisão de erro de φ, caindo-se no mesmo roblema de obter uma solução numérica e aresentá-la como resosta sem qualquer incerteza. Para resolver esta dificuldade, uma ossibilidade é considerar a solução numérica igual à solução extraolada φ e a incerteza igual ao módulo de U, isto é, ( ) φ = φ ± U φ 1. (3.18) 3.5 Estimador GCI Geralmente em cálculos da engenharia, o que é rocurado não é um erro verdadeiro limitado, mas aenas uma faixa do erro, isto é, uma tolerância na exatidão da solução, que de fato ode ser excedida, mas em qual o usuário ode ter algum nível rático de confiança (ROACHE, 1998). A motivação ara a roosta do Índice de Convergência da Malha (GCI) é a inconsistência e a confusão relatada no estudo do refinamento da malha na engenharia e na literatura científica. O GCI é baseado em um estimador de erro do refinamento da malha derivado da teoria da extraolação generalizada de chardson (ROACHE, 1994). Aresentado rimeiramente or Roache (1994 e 1997) o Grid Convergence Index GCI tem como idéia rincial relacionar o valor do erro numérico entre duas malhas (φ 1 - φ 2 ) obtido com um estudo de refinamento qualquer, não imortando quais sejam os valores ara a razão de refino e da ordem aarente (ou assintótica) usadas com o valor do erro numérico ara o mesmo roblema com a mesma malha fina usando os valores de ordem aarente (ou assintótica) e de razão de refino iguais a dois (ROACHE, 1994). Este valor equivalente é roosto elo GCI, ara a solução da malha mais fina como sendo (ROACHE, 1998)

75 73 U GCI φ φ φ = F, (3.19) ( ) 1 S 1 2 ( q L 1) onde F S é um fator de segurança com valor igual a três, ara alicações em geral, os demais arâmetros da Eq. (3.19) seguem as definições dadas anteriormente. Este estimador também ode ser emregado com a ordem aarente U. Neste caso, U GCI φ φ φ = F. (3.20) ( ) 1 S 1 2 ( q U 1) O resultado das Eqs. (3.19) ou (3.20) reresenta uma banda ou um intervalo de incerteza em torno da solução numérica φ 1. Esta incerteza numérica aresenta uma confiança em torno de 94% (ROACHE, 1998). Quaisquer que sejam a razão de refino de malha q e a ordem assintótica L do erro de discretização, a razão entre o valor de incerteza calculada elo estimador GCI e o erro de discretização tende ao valor do fator de segurança F S quando h 0. Portanto, ara o valor recomendado or Roache (1994) ara F S, a acurácia do modelo numérico calculada elo estimador GCI, mesmo ara h 0, nunca é muito boa, ois tende a três. incerteza De acordo com a Eq. (3.20), a reresentação correta da solução numérica φ e sua U GCI obtida com o estimador GCI é ( ) φ = φ 1 ±U φ 1, (3.21) GCI onde φ 1 é a solução numérica obtida com a malha mais fina, isto é, com a malha cujo tamanho h dos elementos é h 1 ; e lembrando-se que o cálculo da incerteza U GCI também envolve φ 2 que é a

76 74 solução obtida com a malha grossa, isto é, obtida com a malha cujo tamanho h dos elementos da malha é h Ordem Efetiva De acordo com Marchi (2001), ara os roblemas cuja solução analítica é conhecida, a ordem efetiva ode ser usada ara verificar a osteriori se, à medida que h 0, obtém-se a ordem assintótica L do erro de discretização, que é um resultado teórico obtido a riori. A ordem efetiva do erro verdadeiro é definida or (Marchi, 2001): P E E log E = log ( φ2 ) ( φ1 ) ( q). (3.22) 3.7 Estimador Convergente Segundo Marchi e Silva (2002, 2005), a solução analítica de uma variável de interesse é limitada or φ ( ) e or ( ) L solução numérica convergente C e ( ) φ, isto é: u φ u quando a ordem aarente u é convergente. Baseado nisto, a φ ode ser definida como sendo uma média dos valores φ ( ) L [ φ ( ) φ ( )] L u φ C =, (3.23) 2 +

77 75 onde φ ( ) e ( ) L φ são obtidos ela extraolação de chardson, Eqs. (3.5) e (3.13), u resectivamente. A incerteza de φ C é dada or: U C φ = ( ) φ ( ) u 2 L, (3.24) onde U C é chamado de Estimador Convergente de Erro. Para o uso de φ C e U C, uma reresentação aceitável de uma solução numérica φ é φ = φ ±. (3.25) C U C

78 76 4 Problema de Shih ara Re=1 4.1 Definição do Problema O enfoque deste caítulo é a resolução do roblema que trata do escoamento recirculante descrito or Shih et al. (1989), ara o qual a solução analítica é conhecida. Por brevidade, no texto subseqüente, este roblema será referenciado aenas or Problema de Shih. Este roblema consiste em uma cavidade quadrada (figura 4.1), na qual a arede suerior movimenta-se com velocidade conhecida e um termo fonte atua sobre o escoamento. As variáveis de interesse são: a força que a laca suerior exerce sobre o fluido devido ao seu movimento (F); o fluxo de massa, que será obtido através das linhas de corrente ( M & ) e or integração, os erfis de velocidades u e v, onde será fixado o centro do domínio de cálculo em cada uma das direções, e variadas as coordenadas na outra. Também será analisada a velocidade central em cada uma das direções. u = f ( x) ( 0,1) B ( x, y, Re) y x ( 1,0) Figura 4.1: Domínio de cálculo ara o roblema da cavidade quadrada (Shih et al. 1989) O roblema em questão é governado elas seguintes equações adimensionais: u r = 0, (4.1)

79 77 r u. u = 1 Re 2 u, (4.2) x u r v = Re 1 2 v B y ( x, y,re). (4.3) As condições de contorno ara as velocidades u e v são do tio Dirichlet, assumindo zero em todos os contornos, exceto no suerior onde: ( x, 1) 16( x 2x x ) u = +. (4.4) A Eq. (4.4) também indica que u ( 0,1) = 0 e u ( 1,1) = 0 esecificar velocidades diferentes nos cantos sueriores da laca. Uma força de coro existe na direção y e é rescrita como, o que elimina a ambigüidade de B 64 ( x, y, Re) = [ 24FF( x) + 2 f '( x) g'' ( y) + f '''( x) g( y) ] [ F ( x) G ( y) g( y) F ( x) ] Re 1, (4.5) onde 4 2 ( x) x 2x 3 x f = +, (4.6) 4 2 g( y) = y y, (4.7) ( x) = f ( x) 3 5 x 4 FF dx = 0,2x 0,5x +, (4.8) 3

80 78 F ( x) f ( x) f ''( x) [ f ( x) ] = 4x + 12x 14x + 8x x =, (4.9) ( x) f ( x) f '( x) dx 0, 5[ f ( x) ] 2 F = =, (4.10) 5 3 ( y) g( y) g'' ( y) = 24y + 8y y G = 4, (4.11) 1 sendo que os aóstrofos indicam as derivadas totais das funções com reseito a x e y conforme o caso. As variáveis de interesse, neste caso as variáveis globais, já foram definidas no caítulo 2: a força da laca é reresentada ela Eq. (2.68) e o fluxo de massa elas Eqs. (2.70) e (2.73). A forma de obtenção das variáveis locais, neste caso, os erfis de velocidade e as velocidades centrais nas duas direções, já foi descrita no caítulo 2. O domínio de cálculo bem como a condição de contorno alicada a este roblema, estão reresentadas esquematicamente na figura 4.1. Os dados fixos ara a resolução do roblema, ou seja, que não são função dos arâmetros variáveis odem ser observados na tabela 4.1: Tabela 4.1: Dados fixos ara o roblema de Shih Número de Reynolds 1 Comrimento do domínio de cálculo 1m Largura do domínio de cálculo 1m ρ 1kg/m 3 Massa esecífica do fluido ( ) Viscosidade ( µ ) 1Pa.s 4.2 Solução Analítica A solução analítica ara este roblema é conhecida e é dada or (Shih et al. 1989)

81 v ( x, y) 8 f ( x) g' ( y) = 8( x 2x + x )( 4y y) u = 2, (4.12) ( x, y) 8 f '( x) g( y) = 8( 4x 6x + 2x)( y y ) =, (4.13) { } 2 8 = 2 '. (4.14) Re ( x, y) [ F( x) g''' ( y) + f '( x) g' ( y) ] + 64F ( x) g( y) g'' ( y) [ g ( y) ] 79 As variáveis de interesse também ossuem solução analítica, conforme ode ser observado no caítulo 2. F L x u = µ zdx (4.15) 0 y tama M & u = ρψ min, (4.16) x 2 M& v = ρvdx, (4.17) 0 O valor da solução analítica ara os erfis das velocidades u e v foram obtidos através da substituição das coordenadas desejadas nas Eqs. (4.12) e (4.13). A solução analítica ara todas as variáveis de interesse ode ser observada na tabela 4.2, inclusive ara as velocidades centrais ( u ( 0,5;0,5 ) e ( 0,5;0,5 ) v ).

82 80 Tabela 4.2: Solução analítica das variáveis de interesse ara o roblema de Shih Variável de interesse Solução analítica Força da laca 8 N 2, N 3 Fluxo de massa que escoa na cavidade (total) 1 kg s = 0, 125kg s 8 Fluxo de massa que escoa em y = 0, 5 e 3 kg s = 0, 09375kg s 32 x [ 0;0,5] (com v n ) ( 0,5;0,5 ) u 0,25m s ( 0,5;,5) v 0 m s 4.3 Solução Numérica Para a obtenção da solução numérica foi utilizado o Método dos Volumes Finitos, cujo modelo numérico foi descrito no caítulo 2. As aroximações que foram utilizadas na discretização das Eqs. (4.1), (4.2) e (4.3) foram: CDS (Central Differencing Scheme) com correção adiada ara os termos advectivos e CDS ara os termos difusivos e de ressão (MARCHI e SCHNEIDER, 2004). Dessa forma, chegou-se às Eq. (2.5) à (2.61 f) ara os coeficientes e termo fontes, sendo que ara este roblema, ara Eq. (2.21), reresentada neste caítulo ela Eq. (4.18) tem-se: φ φ t φ Sφ b = b + b + b (4.18) b φ t ρ x y z = φ, (4.19) t onde φ é a variável de interesse. b u = ( ) E 2 W y z, (4.20)

83 81 b v = ( ) N 2 S x z, (4.21) S b u = 0, (4.22) b S v v [ ] x y z = L S, (4.23) ] v onde L [ S é dado ela Eq. (4.5). Para se resolver o sistema de equações que surge da discretização das equações diferenciais envolvidas foi utilizado o método MSI (SCHNEIDER e ZEDAN, 1981) já descrito no caítulo 2. Para monitorar o rocesso iterativo, foi utilizado o critério de convergência baseado no resíduo, sendo que o rocedimento foi iterado até que o erro de máquina fosse atingido, ou seja, foi fixado um número de iterações conforme o tamanho da malha. Neste trabalho, foi calculada uma norma que tem como base os resultados obtidos em iterações anteriores, com seus resectivos coeficientes utilizados na obtenção das soluções, conforme descrito no caítulo 2. O rograma comutacional foi imlementado na linguagem FORTRAN/95, sendo que os arquivos de resultados foram gerados do dia 13/10/2005 ao dia 28/10/2005, com o software Comaq Visual Fortran 6.6. O rograma tem o nome Stokes_13.exe, versão release, rojeto tio QuickWin Alication. Este rograma comutacional se encontra disonível no endereço ft://ft.demec.ufr.br/cfd/monografias/2006_roberta_suero_mestrado e ara a obtenção dos resultados das variáveis globais e locais foi utilizada recisão dula. O comutador emregado ara a resolução deste trabalho foi o CFD4 do LENA 2 (Laboratório de Exerimentação Numérica - UFPR), que ossui um rocessador Intel Pentium 4 com 3,4 GHz, com memória de 4 GB RAM. Os dados numéricos fixos do roblema odem ser observados na tabela 4.3:

84 82 Tabela 4.3: Dados numéricos fixos do roblema de Shih Tolerância do MSI ara u e v 0,1 Tolerância do MSI ara 0,01 Número de iterações internas no MSI ara u e v 5 Número de iterações internas no MSI ara 10 A memória comutacional utilizada na resolução deste roblema foi observada através do gerenciador de tarefas do Windows, que foi acessado durante a resolução do roblema. O temo de rocessamento foi medido usando-se a função TIMEF da biblioteca PORTLIB do FORTRAN/95, e corresonde ao ciclo iterativo externo, ou seja, dos assos 2 ao 17 do algoritmo comutacional descrito no caítulo 2. Através de testes realizados no dia 31/10/2005, sem conexão com a internet, ara malhas com 16, 32 e 64 nós, verificou-se que a incerteza desta função é aroximadamente de 0,31 %. Para a obtenção da incerteza do temo comutacional, foram realizadas dez simulações, que tiveram seus temos anotados, ara cada uma das malhas citadas, sendo que foi feita uma média aritmética simles ara cada malha. Foram obtidas também as diferenças entre o máximo e o mínimo temo obtido ara cada uma das malhas. Para a obtenção da ercentagem foi considerada a maior diferença entre as três malhas com relação à sua média corresondente. Para a análise do roblema da cavidade quadrada (Shih et al. 1989) foram realizadas as seguintes simulações, sendo que o número de volumes de controle referenciados nas tabelas 4.4 e 4.5 corresondem a cada direção (x e y): Tabela 4.4: Identificação das simulações realizadas ara o roblema do Shih Nome da simulação Caso_0002 Caso_0004 Caso_0008 Caso_0016 Caso_0032 Número de volumes de controle Incremento de temo t () s 0,05 0,05 0,05 0,05 0,02 Memória comutacional (MB) 1,56 1,58 1,58 1,60 1,80 Número total de iterações externas Temo de rocessamento 0,06s 0,09s 0,19s 1,55s 9,28s Tamanho dos volumes h (m) 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125

85 83 Tabela 4.5: Identificação das simulações realizadas ara o roblema do Shih Nome da simulação Caso_0064 Caso_0128 Caso_0256 Caso_0512 Caso_1024 Número de volumes de controle Incremento de temo t () s 0,01 0,005 0,002 0,001 0,0005 Memória comutacional (MB) 2,66 5,8 18,3 62,1 266 Número total de iterações externas Temo de rocessamento 46,20s 6min 26s 1h 49min 13h 32min 5dias 20h Tamanho dos volumes h (m) 0, , , , , As simulações descritas nas tabelas 4.4 e 4.5 geraram os resultados evidenciados a seguir ara cada variável de interesse. Para a força da laca (obtida com UDS-2 e com UDS) e o fluxo de massa (total e com v n ) que são as duas variáveis globais analisadas neste roblema, a identificação e os resultados estão disostos nas tabelas 4.6 a 4.9 resectivamente. Nestas tabelas, o número de algarismos significativos corresonde ao número de algarismos sem erro de máquina, a coluna que diz reseito à iteração corresonde à iteração em que foi atingido o erro de máquina, aroximadamente. A coluna do resíduo corresonde ao resíduo obtido com as Eqs. (2.65) a (2.67). Neste trabalho não será adotada notação científica ara aresentar os erros numéricos, bem como os seus estimadores de erros, devido ao enfoque do trabalho e também à facilidade em se observar como o erro numérico diminui a cada refinamento da malha com a reresentação aqui adotada. Tabela 4.6: Solução e erros numéricos ara a força da laca com UDS ara o roblema de Shih Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 1, , ,93E-14 Caso_0004 0,25 1, , ,89E-14 Caso_0008 0,125 2, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625 2, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10

86 84 Tabela 4.7: Solução e erros numéricos ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Shih Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 1, , ,93E-14 Caso_0004 0,25 1, , ,89E-14 Caso_0008 0,125 2, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625 2, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10 Para a força da laca tem-se que E UDS < E UDS 2, isto ode estar ocorrendo devido a aroximação UDS (com ordem 1), que arece se comortar como CDS, que ossui ordem 2. Este fato ode ser decorrente do uso de volumes fictícios ara a alicação das condições de contorno. A ordem aarente de aroximações de roblemas unidimensionais ode aresentar um comortamento diferente em roblemas bidimensionais. Nome da simulação Tabela 4.8: Solução e erros numéricos ara o fluxo de massa total ara o roblema de Shih h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro Numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 0, , ,93E-14 Caso_0004 0,25 0, , ,89E-14 Caso_0008 0,125 0, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625 0, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10

87 85 Tabela 4.9: Solução e erros numéricos ara o fluxo de massa obtido com v n ara o roblema de Shih Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro Numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 0, , ,93E-14 Caso_0004 0,25 0, , ,89E-14 Caso_0008 0,125 0, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625 0, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10 Para as variáveis locais, ode-se observar nas tabelas 4.10 e 4.11 a identificação e os resultados ara as velocidades centrais em cada uma das direções, ou seja, ara u ( 0,5;0,5 ) e v ( 0,5;,5). Nas tabelas 4.12 e 4.14 observam-se os resultados obtidos ara cada um dos erfis, sendo que serão analisadas as velocidades em coordenadas ré-determinadas ara cada uma das direções. Nas tabelas 4.13 e 4.15, ode-se observar os erros numéricos obtidos ara cada um dos erfis de velocidade. Nome da simulação Tabela 4.10: Solução e erros numéricos ara a velocidade u central ara o roblema de Shih h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro Numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 0, , ,93E-14 Caso_0004 0,25-0, , ,89E-14 Caso_0008 0,125-0, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625-0, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10

88 86 Nome da simulação Tabela 4.11: Solução e erros numéricos ara a velocidade v central ara o roblema de Shih h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Erro Numérico Iteração (erro de máquina) Resíduo Caso_0002 0,5 0, , ,93E-14 Caso_0004 0,25-0, , ,89E-14 Caso_0008 0,125 0, , ,11E-14 Caso_0016 0,0625 0, , ,56E-14 Caso_0032 0, , , ,97E-13 Caso_0064 0, , , ,94E-13 Caso_0128 0, , , ,19E-12 Caso_0256 0, , , ,31E-11 Caso_0512 0, , , ,12E-11 Caso_1024 0, , , ,04E-10 Tabela 4.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Caso_0256 Solução Numérica Caso_0512 Solução Numérica Caso_1024 Solução Numérica u ( 0,5;0,0625) -0, , , u ( 0,5;0,125) -0, , , u ( 0,5;0,1875) -0, , , u ( 0,5;0,25) -0, , , u ( 0,5;0,3125) -0, , , u ( 0,5;0,375) -0, , , u ( 0,5;0,4375) -0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , u ( 0,5;0,5625) -0, , , u ( 0,5;0,625) -0, , , u ( 0,5;0,6875) -0, , , u ( 0,5;0,75) 0, , , u ( 0,5;0,8125) 0, , , u ( 0,5;0,875) 0, , , u ( 0,5;0,9375) 0, , ,

89 87 Tabela 4.13: Erros numéricos ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Caso_0256 Erro Numérico Caso_0512 Erro Numérico Caso_1024 Erro Numérico 0, , , u ( 0,5;0,125) 0, , , , , , u ( 0,5;0,25) -0, , , , , , u ( 0,5;0,375) -0, , , u ( 0,5;0,0625) u ( 0,5;0,1875) u ( 0,5;0,3125) u ( 0,5;0,4375) -0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , u ( 0,5;0,5625) -0, , , u ( 0,5;0,625) -0, , , u ( 0,5;0,6875) -0, , , u ( 0,5;0,75) -0, , , u ( 0,5;0,8125) -0, , , u ( 0,5;0,875) -0, , , u ( 0,5;0,9375) 0, , , Tabela 4.14: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Caso_0256 Solução Numérica Caso_0512 Solução Numérica Caso_1024 Solução Numérica v ( 0,0625;0,5) 0, , , v ( 0,125;0,5) 0, , , v ( 0,1875;0,5) 0, , , v ( 0,25;0,5) 0, , , v ( 0,3125;0,5) 0, , , v ( 0,375;0,5) 0, , , v ( 0,4375;0,5) 0, , , v ( 0,5;0,5 ) 0, , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , v ( 0,625;0,5) -0, , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , v ( 0,75;0,5) -0, , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , v ( 0,875;0,5) -0, , , v ( 0,9375;0,5) -0, , ,

90 88 Tabela 4.15: Erros numéricos ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Caso_0256 Erro Numérico Caso_0512 Erro Numérico Caso_1024 Erro Numérico 0, , , v ( 0,125;0,5) 0, , , , , , v ( 0,25;0,5) 0, , , , , , v ( 0,375;0,5) 0, , , v ( 0,0625;0,5) v ( 0,1875;0,5) v ( 0,3125;0,5) v ( 0,4375;0,5) 0, , , v ( 0,5;0,5 ) -0, , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , v ( 0,625;0,5) -0, , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , v ( 0,75;0,5) -0, , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , v ( 0,875;0,5) -0, , , v ( 0,9375;0,5) -0, , , Para este roblema odem-se ainda fazer comarações com Morais (2004), que em seu trabalho utiliza malhas não-estruturadas e resolve este mesmo roblema com o software CFX-5, conseguindo resultados ara malhas com 160 nós em cada direção. Na tabela 4.16 se ode comarar os erros numéricos: Tabela 4.16: Comaração entre os erros numéricos Variável de interesse Morais (2004) Presente trabalho (Caso_1024) Presente trabalho (Caso_128) Força da laca 0, , , Fluxo de massa 0, , , Na tabela 4.16 observa-se que os erros numéricos obtidos ara a força da laca or Morais na malha com 160 nós em cada direção é uma ordem de grandeza maior que o aresentado elo resente trabalho na malha com 128 nós em cada direção. Para o fluxo de massa a diferença não é tão significativa, mas o erro aresentado no resente trabalho é menor.

91 89 Para cada variável de interesse odem ser observados os resultados obtidos numericamente, quando comarados às suas soluções analíticas obtidas de Shih et al. (1989) através das figuras 4.2 a ,0 3,0 2,5 2,5 força da laca 2,0 1,5 Solução Analítica Solução Numérica força da laca 2,0 1,5 Solução Analítica Solução Numérica 1,0 1,0 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.2: Soluções analítica e numérica ara a força da laca com UDS Figura 4.3: Soluções analítica e numérica ara a força da laca com UDS-2 0,129 0,14 Fluxo de massa 0,128 0,127 0,126 0,125 0,124 0,123 Solução Analítica Solução Numérica Fluxo de massa 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 Solução Analítica Solução Numérica 0,122 0,121 1E-3 0,01 0,1 h 0,08 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.4: Soluções analítica e numérica ara o fluxo de massa total Figura 4.5: Soluções analítica e numérica ara o fluxo de massa obtido com vn

92 90 0,05 0,00-0,05 0,0002 Solução Analítica Solução Numérica u(0,5;0,5) -0,10-0,15-0,20 Solução Analítica Solução Numérica v(0,5;0,5) 0,0000-0,25-0,30 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.6: Velocidade u central Figura 4.7: Velocidade v central Nas figuras 4.8 a 4.10 odem-se observar as linhas de corrente e o camo de velocidades ara o roblema de Shih. Estes gráficos foram gerados a artir dos resultados obtidos na malha com 128 nós em cada direção. Estas figuras foram obtidas com o uso do software Matlab, sendo que mais detalhes sobre sua obtenção odem ser observados no Aêndice B. Figura 4.8: Linhas de corrente ara o roblema de Shih

93 91 Figura 4.9: Linhas de corrente ara o roblema de Shih Figura 4.10: Camo de velocidades ara o roblema de Shih Nas tabelas 4.17 a 4.24, a ordem efetiva é calculada com base em duas malhas: uma grossa e outra fina. Por exemlo, o valor que aarece ara o Caso_0004, é o valor corresondente à ordem efetiva obtida com as malhas fina (4X4 nós) e grossa (2X2 nós). Já a ordem aarente, é obtida com base em três malhas. Por exemlo, o valor

94 92 corresondente ao Caso_0008, foi obtido com as seguintes malhas: malha fina (8X8 nós), malha grossa (4X4 nós) e malha suergrossa (2X2 nós). Tabela 4.17: Ordens ráticas da solução numérica ara a força de laca obtido com UDS (roblema de Shih) Nome da h (m) Razão simulação de refino Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0,25 2 0, Caso_0008 0, , , Caso_0016 0, , , Caso_0032 0, , , Caso_0064 0, , Caso_0128 0, , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , , Tabela 4.18: Ordens ráticas da solução numérica ara a força da laca obtido com UDS-2 (roblema de Shih) Nome da h (m) Razão de simulação refino Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0,25 2 1, Caso_0008 0, , , Caso_0016 0, , Caso_0032 0, , Caso_0064 0, , , Caso_0128 0, , , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , , Tabela 4.19: Ordens ráticas da solução numérica ara o fluxo de massa total (roblema de Shih) Nome da h (m) Razão de simulação refino Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0, Caso_0008 0, , , Caso_0016 0, , Caso_0032 0, , , Caso_0064 0, , , Caso_0128 0, , , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , ,

95 93 Tabela 4.20: Ordens ráticas da solução numérica ara o fluxo de massa com v n (roblema de Shih) Nome da h (m) simulação Razão de refino Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0,25 2 1, Caso_0008 0, , , Caso_0016 0, , , Caso_0032 0, , , Caso_0064 0, , , Caso_0128 0, , , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , , Tabela 4.21: Ordens ráticas da solução numérica ara a velocidade central u (roblema de Shih) Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0,25 2 1, Caso_0008 0, , , Caso_0016 0, , , Caso_0032 0, , , Caso_0064 0, , , Caso_0128 0, , , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , , Tabela 4.22: Ordens ráticas da solução numérica ara a velocidade central v (roblema de Shih) Nome da h (m) Razão de simulação refino Ordem efetiva E Ordem aarente U Caso_0002 0, Caso_0004 0, Caso_0008 0, Caso_0016 0, , Caso_0032 0, , , Caso_0064 0, , , Caso_0128 0, , , Caso_0256 0, , , Caso_0512 0, , , Caso_1024 0, , ,

96 94 Tabela 4.23: Ordens ráticas ara o erfil de velocidade u (roblema de Shih) Coordenadas Ordem efetiva E Ordem aarente U u ( 0,5;0,0625) 2, , u ( 0,5;0,125) 2, , u ( 0,5;0,1875) 2, , u ( 0,5;0,25) 1, , u ( 0,5;0,3125) 1, , u ( 0,5;0,375) 1, , u ( 0,5;0,4375) 1, , u ( 0,5;0,5 ) 1, , u ( 0,5;0,5625) 1, , u ( 0,5;0,625) 1, , u ( 0,5;0,6875) 1, , u ( 0,5;0,75) 1, , u ( 0,5;0,8125) 1, , u ( 0,5;0,875) 2, , u ( 0,5;0,9375) 1, , Tabela 4.24: Ordens ráticas ara o erfil de velocidade v (roblema de Shih) Coordenadas Ordem efetiva E Ordem aarente U v ( 0,0625;0,5) 1, , v ( 0,125;0,5) 1, , v ( 0,1875;0,5) 1, , v ( 0,25;0,5) 1, , v ( 0,3125;0,5) 1, , v ( 0,375;0,5) 1, , v ( 0,4375;0,5) 1, , v ( 0,5;0,5 ) 1, , v ( 0,5625;0,5) 1, , v ( 0,625;0,5) 1, , v ( 0,6875;0,5) 1, , v ( 0,75;0,5) 1, , v ( 0,8125;0,5) 1, , v ( 0,875;0,5) 1, , v ( 0,9375;0,5) 1, ,

97 95 Pode-se observar que as ordens aarente e efetiva não foram calculadas em alguns casos: ara a força da laca obtida com UDS (Caso_0064 e Caso_0128) e UDS-2 (Caso_0016 e Caso_0032), ara o fluxo de massa total (Caso_0016) e velocidade central v (Caso_0008 e Caso_0016). Isto ocorre devido a uma inversão de sinal dos resultados numéricos, o que ocasiona em um logaritmo negativo na obtenção destas ordens. Maiores detalhes sobre esta inversão de sinais odem ser obtidos no Aêndice A. Para os erfis de velocidade u e v são consideradas aenas as três malhas mais finas, ou seja, com 256X256, 512X512 e 1024X1024 nós ara o cálculo da ordem aarente, já ara o cálculo da ordem efetiva são consideradas aenas as duas malhas mais finas. Nas tabelas 4.25 e 4.26, ode-se comarar as ordens ráticas ara a força da laca e ara o fluxo de massa obtidas or Morais (2004) e neste trabalho. Tabela 4.25: Comaração entre as ordens ráticas ara a força da laca Morais (2004) Presente trabalho (Caso_1024) Presente trabalho (Caso_128) Ordem aarente 2, , Inexistente Ordem efetiva Inexistente 1, , Na tabela 4.25 ode-se observar que a ordem aarente que foi obtida or Morais (2004) está mais róxima do valor teórico, enquanto que a ordem efetiva aresentada neste trabalho é mais coerente do que a obtida or Morais (2004). Tabela 4.26: Comaração das ordens ráticas ara o fluxo de massa Morais (2004) Presente trabalho (Caso_1024) Presente trabalho (Caso_128) Ordem aarente 2, , , Ordem efetiva 1, , ,

98 96 Na tabela 4.26 ara o fluxo de massa, as ordens ráticas obtidas no resente trabalho mostraram-se bem mais róximas do valor teórico do que o obtido or Morais (2004). As ordens ráticas ara cada uma das variáveis de interesse também odem ser observadas nas figuras 4.11 a 4.16, que estão disostas a seguir, sendo que ara as variáveis globais e ara as velocidades centrais (variáveis locais), foram considerados os resultados obtidos em todas as malhas. Conforme se ode observar nas figuras 4.11 e 4.12, as ordens aarente e efetiva ara a força da laca não estão tendendo ara a ordem assintótica (teórica) à medida que a malha está sendo refinada, o que ode ser entendido levando-se em conta as considerações do Aêndice A. Ordens aarente, efetiva e assintótica Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva 1E-3 0,01 0,1 log (h) Ordens aarente, efetiva e assintótica Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.11: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara a força da laca com UDS Figura 4.12: Ordens efetiva, aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS-2 Ordens aarente, assintótica e efetiva 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0 1E-3 0,01 0,1 h Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva Figura 4.13: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara o fluxo de massa total

99 68 Ordens aarente, assintótica e efetiva 3,0 2,5 2,0 1,5 Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.14: Ordens aarente, assintótica e efetiva or h ara o fluxo de massa com v n Ordens aarente, assintótica e efetiva 2,2 2,0 1,8 1,6 Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva 1E-3 0,01 0,1 h Ordens aarente, efetiva e assintótica 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0 Ordem assintótica Ordem aarente Ordem efetiva 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.15: Ordens aarente, assintótica e efetiva ara a velocidade u central Figura 4.16: Ordens aarente, assintótica e efetiva ara a velocidade v central Na figura 4.13, ara o fluxo de massa total, não se ode concluir a que valor as ordens ráticas estão tendendo, ois tanto a ordem aarente, quanto a ordem efetiva estão oscilando. Nas figuras 4.14, 4.15 e 4.16, as ordens aarente e efetiva têm um comortamento eserado, ou seja, estão tendendo ara a ordem assintótica. As ordens assintóticas ráticas (valor a que a ordem aarente está tendendo) e ordem assintótica teórica (valor obtido com análises a riori) ara cada uma das variáveis de interesse odem ser observadas na tabela 4.27, onde estão listados os valores de teórico L (ordem assintótica teórica) e rático L (ordem assintótica rática).

100 98 Tabela 4.27: Ordens ráticas ara as variáveis de interesse ara o roblema de Shih Variável de interesse Ordem assintótica rática Ordem assintótica (teórica) Força da laca com UDS 2? (inconclusivo) 1 Força da laca com UDS Fluxo de massa total 2? (inconclusivo) 2 Fluxo de massa com v n 2 2 Velocidade central u 2 2 Velocidade central v 2 2 Na tabela 4.27, ara a força da laca obtida com UDS e o fluxo de massa total, a ordem assintótica rática resultou em valores inconclusivos, ois não se aroximam de um valor, estes valores estão oscilando, conforme ode ser visto na figura 4.11 ara a força da laca com UDS, e na figura 4.13 ara o fluxo de massa. Para o fluxo de massa obtido com UDS-2, observa-se na figura 4.12 que suas ordens ráticas estão tendendo ara um valor diferente ao da ordem assintótica, o que ode ser entendido com as análises feitas no aêndice A. 4.4 Verificação da solução numérica Para cada variável de interesse foi estimado o erro da solução numérica e foi também avaliada a acurácia e a confiabilidade do erro estimado, sendo que, cada estimador foi obtido com base nas três malhas mais finas, ou seja, 256X256, 512X512 e 1024X1024 nós. Na tabela 4.28, a variável força sobre a laca foi analisada com as duas aroximações numéricas utilizadas neste trabalho, e também foi avaliada com a ordem aarente e com o rático L, que é o valor a que a ordem aarente está tendendo. Tabela 4.28: Estimativa do erro da solução numérica ara as variáveis de interesse (roblema de Shih) ( φ ) U ( φ ) U GCI (, ) Variável de interesse Erro verdadeiro (malha U 1, L 1, U φ 1 mais fina) E E E Força da laca com -0, , , ,

101 99 teórico UDS ( L ) Força da laca com teórico UDS-2 ( L ) -0, , , , Força da laca com rático UDS ( L ) -0, , , , Força da laca com rático UDS-2 ( L ) -0, , , , Fluxo de massa total 0, , , , Fluxo de massa com v n -0, , , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , , v ( 0,5;0,5 ) -0, , , , n Na tabela 4.28, a força da laca com UDS-2 ( v, e as velocidades centrais, u ( 0,5;0,5 ) e ( 0,5;0,5 ) ou seja, ara a força da laca com UDS-2 ( ) e o fluxo de massa obtido com v n temse que U ( ) E U ( ) E U U < ( ) E U ( ) E L < < 1. L rático L ), o fluxo de massa obtido com v, já estão na faixa convergente de U, rático L < 1, e ara as velocidades centrais tem-se que U As estimativas obtidas com o extraolador de chardson obtidas or Morais (2004) ara o fluxo de massa, tanto ara a ordem aarente quanto ara a ordem assintótica, estão oscilando, e não tendendo ara a unidade como deveriam. Comortamento diferente ao obtido neste trabalho, onde estes valores se aroximam de 1 (Tabela 4.28). Para o estimador GCI, as estimativas obtidas também oscilam nos resultados obtidos or Morais (2004). Já os descritos neste trabalho tendem a um valor fixo. Para a força da laca, as estimativas obtidas com o estimador de chardson or Morais (2004) não aresentam um comortamento eserado, ois também estão oscilando. Comortamento arecido ao observado neste trabalho, onde estes valores não estão róximos da unidade. Para o estimador GCI, os resultados obtidos neste trabalho também não são satisfatórios, ois deendem do estimador de chardson, o mesmo ocorrendo ara os resultados obtidos or Morais (2004). Nas tabelas 4.29 e 4.30, ara os erfis de velocidade u e v, foram analisadas as estimativas do erro da solução numérica.

102 100 Tabela 4.29: Estimativa do erro da solução numérica ara o erfil de velocidade u (roblema de Shih) Nome da Erro verdadeiro U ( φ 1, L ) U ( φ 1, U ) U GCI ( φ 1, ) simulação E E E u ( 0,5;0,0625) 0, , , , u ( 0,5;0,125) 0, , , , u ( 0,5;0,1875) 0, , , , u ( 0,5;0,25) -0, , , , u ( 0,5;0,3125) -0, , , , u ( 0,5;0,375) -0, , , , u ( 0,5;0,4375) -0, , , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , , u ( 0,5;0,5625) -0, , , , u ( 0,5;0,625) -0, , , , u ( 0,5;0,6875) -0, , , , u ( 0,5;0,75) -0, , , , u ( 0,5;0,8125) -0, , , , u ( 0,5;0,875) -0, , , , u ( 0,5;0,9375) 0, , , , Tabela 4.30: Estimativa do erro da solução numérica ara o erfil de velocidade v (roblema de Shih) Nome da Erro verdadeiro U ( φ 1, L ) U ( φ 1, U ) U GCI ( φ 1, ) simulação E E E v ( 0,0625;0,5) 0, , , , v ( 0,125;0,5) 0, , , , v ( 0,1875;0,5) 0, , , , v ( 0,25;0,5) 0, , , , v ( 0,3125;0,5) 0, , , , v ( 0,375;0,5) 0, , , , v ( 0,4375;0,5) 0, , , , v ( 0,5;0,5 ) -0, , , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , ,

103 101 v ( 0,625;0,5) -0, , , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , , v ( 0,75;0,5) -0, , , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , , v ( 0,875;0,5) -0, , , , v ( 0,9375;0,5) -0, , , , Conforme ode ser observado na tabela 4.28, ara a força da laca obtida com UDS, as incertezas calculadas com o estimador de chardson, tanto com a ordem aarente como com a assintótica, mostrou-se confiável, mas de baixa acurácia, ois U E >> 1, o mesmo ocorrendo ara o estimador GCI. Para a força da laca obtida com UDS-2, as incertezas obtidas com o estimador de chardson mostraram-se inacuradas, ois U E << 1, já o estimador GCI é confiável, ois E >> 1. As razões obtidas com U GCI rático L ara a força da laca obtida com UDS mostraram-se inacuradas ois U E << 1, já a força da laca obtida com UDS-2 mostrouse acurada e confiável ois U E 1. Para os fluxos de massa, velocidades centrais e os erfis de velocidade, os resultados aresentaram um comortamento semelhante. As incertezas obtidas com o estimador de chardson, tanto com a ordem assintótica como com a aarente, aresentamse acuradas e confiáveis, ois U E 1, enquanto a incerteza obtida com o estimador GCI, é considerada confiável, mas de acurácia baixa, ois U E >> 1. Os resultados que estão disostos nas tabelas 4.28, 4.29 e 4.30 também odem ser observados através das figuras que seguem, sendo que rimeiro estão listados os gráficos com as razões dos estimadores elos erros (figuras 4.17 a 4.24), e na seqüência se encontram os gráficos com os estimadores utilizados neste trabalho (figuras 4.25 a 4.32), sendo que a forma de obtenção destes valores já foi descrita no Caítulo 3. As razões dos estimadores elo erro numérico utilizadas ara a construção das figuras abaixo relacionadas se encontram listadas no Aêndice C, bem como os estimadores de erros ara todas as malhas utilizadas.

104 Razões das incertezas U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E Razões dos estimadores U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E -20 1E-3 0,01 0,1 1E-3 0,01 0,1 h h Figura 4.17: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Figura 4.18: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Razões dos estimadores U ( L )/E U (P L rático )/E U GCI () Razões dos estimadores U ( L )/E U (P L rático )/E U GCI () 1E-3 0,01 0,1 1E-3 0,01 0,1 h h Figura 4.19: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS Figura 4.20: Razões dos estimadores de chardson (ordens assintótica - rática e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a força da laca com UDS-2

105 103 Razões dos estimadores U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E Razões dos estimadores U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E 1E-3 0,01 0,1 h -1 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.21: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara o fluxo de massa total Figura 4.22: Razões dos estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara o fluxo de massa com v n Razões dos estimadores 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E Razões dos estimadores U ( L )/E U ( U )/E U GCI ()/E 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.23: Razões do Estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a velocidade u central Figura 4.24: Razões do Estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e GCI elo erro numérico ara a velocidade v central Da observação das figuras 4.17 a 4.24 ode-se concluir que, as razões do estimador de chardson (ara as ordens aarente e assintótica) e estimador GCI elo erro numérico ara as variáveis globais (força da laca com UDS e UDS-2, e ara o fluxo de massa total e com v n ) têm um comortamento semelhante, figuras 4.17 a O mesmo ocorre ara as velocidades centrais, o que ode ser observado nas figuras 4.23 e 4.24.

106 104 Módulo da incerteza ,1 0,01 1E-3 1E-4 Erro Numérico U ( L ) U ( U ) U GCI () Módulo da incerteza ,1 0,01 1E-3 Erro Numérico U ( L ) U ( U ) U GCI () 1E-5 1E-3 0,01 0,1 h 1E-4 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.25: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.26: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS-2 10 Erro numérico U ( L ) 10 Erro numérico U ( L ) Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 U ( L rático ) U gci () Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 U ( L rático ) U GCI () 1E-5 1E-3 0,01 0,1 1E-4 1E-3 0,01 0,1 h h Figura 4.27: Estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS Figura 4.28: Estimadores de chardson (ordens assintótica rática e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a força da laca com UDS-2

107 105 Módulo da incerteza 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 Erro Numérico U ( L ) U ( U ) U GCI () Módulo da incerteza 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 Erro Numérico U ( L ) U ( U ) U GCI () 1E-7 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.29: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa total Figura 4.30: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara o fluxo de massa com v n Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 U ( L ) U ( U ) U GCI () Erro Numérico Módulo da incerteza 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 U ( L ) U ( U ) U GCI () Erro Numérico 1E-6 1E-3 0,01 0,1 1E-8 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 4.31: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a velocidade u central Figura 4.32: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI e erro verdadeiro ara a velocidade v central Da observação das figuras 4.25 a 4.32 se ode concluir que, os estimadores de chardson (ara as ordens aarente, assintótica e rática), estimador GCI e erro numérico ara as variáveis globais (força da laca com UDS e UDS-2 e fluxo de massa total e com v n ) têm um comortamento semelhante, figuras 4.25 a O mesmo ocorre ara as velocidades centrais, o que ode ser observado nas figuras 4.31 e A solução numérica ara cada variável de interesse com seu erro estimado, ode ser analisada nas tabelas 4.31 a 4.33, considerando-se φ 1 a malha mais fina (1024 nós). Para a

108 106 obtenção desta solução foi utilizado o estimador Convergente (MARCHI e SILVA, 2002) descrito no caítulo 3. Nas tabelas 4.31, a 4.33, a última coluna ressalta se a solução numérica com seu erro estimado com o estimador convergente envolve a solução analítica, ou seja, se a solução analítica ertence ao intervalo indicado. Tabela 4.31: Solução numérica com seu erro estimado ara o roblema de Shih Variável de interesse = φ ± φ Envolve Φ? C U C Força da laca com UDS ( L teórico) Não 2, ± 0, Força da laca com UDS-2 ( L teórico) Não 2, ± 0, Força da laca com UDS ( L rático) Sim 2, ± 0, Força da laca com UDS-2 ( L rático) Sim 2, ± 0, Fluxo de massa total 0, ± 0, Não Fluxo de massa com v n 0, ± 0, Não u ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim Sim v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Tabela 4.32: Solução numérica com seu erro estimado ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Shih Variável de interesse φ = φ ± Envolve Φ? C U C u ( 0,5;0,0625) 0, ± 0, Não u ( 0,5;0,125) 0, ± 0, Não u ( 0,5;0,1875) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,25) 0, ± 0, Não u ( 0,5;0,3125) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,375) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,4375) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,5625) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,625) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,6875) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,75) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,8125) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,875) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,9375) 0, ± 0, Sim

109 107 Tabela 4.33: Solução numérica com seu erro estimado ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Shih Variável de interesse φ = φc ± U C Envolve Φ? v ( 0,0625;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 012,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim v ( 0,1875;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,25;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,3125;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,375;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,4375;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim v ( 0,5625;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,625;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,6875;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,75;0,5) 0, ± 0, Não v ( 0,8125;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,875;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,9375;0,5) 0, ± 0, Sim A solução numérica ode também ser estimada com o uso do estimador GCI, também já descrito no caítulo 3. Esta estimativa da solução numérica ode ser observada nas tabelas 4.34, 4.35 e Nestas tabelas também aresentam na última coluna se a solução analítica ertence ou não ao intervalo obtido com o estimador GCI, sendo que esta informação é reassada como a resosta à ergunta feita na última coluna. Tabela 4.34: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih φ = ± U GCI, Envolve Φ? Variável de interesse ( ) φ 1 φ 1 Força da laca com UDS ( L teórico) Sim 2, ± 0, Força da laca com UDS-2 ( L teórico) Sim 2, ± 0, Força da laca com UDS ( L rático) Sim 2, ± 0, Força da laca com UDS-2 ( L rático) Sim 2, ± 0, Fluxo de massa total 0, ± 0, Sim Fluxo de massa com v n 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,5 ) Sim -0, ± 0, v ( 0,5;0,5 ) Sim 0, ± 0,

110 108 Tabela 4.35: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih Variável de interesse φ ± U ( ) GCI, = φ 1 φ Envolve 1 Φ? u ( 0,5;0,0625) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,125) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,1875) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,25) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,3125) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,375) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,4375) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,5 ) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,5625) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,625) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,6875) -0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,75) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,8125) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,875) 0, ± 0, Sim u ( 0,5;0,9375) 0, ± 0, Sim Tabela 4.36: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Shih Variável de interesse φ ± U ( ) GCI, = φ 1 φ Envolve 1 Φ? v ( 0,0625;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 012,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim v ( 0,1875;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,25;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,3125;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,375;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,4375;0,5) 0, ± 0, Sim v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Sim v ( 0,5625;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,625;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,6875;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,75;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,8125;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,875;0,5) -0, ± 0, Sim v ( 0,9375;0,5) -0, ± 0, Sim Nas figuras 4.33 e 4.34 odem-se observar os erfis de velocidade nas duas direções, na malha mais fina, com estimador GCI e com barra de erros ara a solução numérica.

111 109 1,0 0,8 0,3 0,2 Solução Numérica Solução Analítica 0,1 y(m) 0,6 0,4 Solução Numérica Solução Analítica v (m/s) 0,0-0,1 0,2-0,2 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 u (m/s) -0,3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x(m) Figura 4.33: Perfil de velocidade u em x=0,5m ara a malha com 1024X1024 nós com barra de erros Figura 4.34: Perfil de velocidade v em y=0,5m ara a malha com 1024X1024 nós com barra de erros 4.5 Conclusão Neste caítulo foi estudado o roblema do escoamento recirculante em uma cavidade quadrada roosto or Shih et al. (1989) descrevendo-se os resultados ara duas variáveis globais: o fluxo de massa que escoa dentro da cavidade (tanto o total quanto o obtido com v n ), que foi obtido através das linhas de corrente e or integração, e a força que é alicada ela laca suerior da cavidade ao fluido. Também foram aresentados os resultados ara as variáveis locais, que são as velocidades centrais em cada uma das direções, e os erfis de velocidade u e v. Os erfis foram calculados ara as três malhas mais finas utilizadas no estudo da incerteza numérica das soluções obtidas ara este roblema. As análises das variáveis globais, força da laca e fluxo de massa, mostraram que os resultados obtidos com as malhas escolhidas (2X2, 4X4, 8X8, 16X16, 32X32, 64X64, 128X128, 256X256, 512X512 e 1024X1024 nós) estavam convergindo ara a solução analítica do roblema. Isto ode ser comrovado ara o fluxo de massa, através da análise das ordens obtidas com a solução numérica do roblema (ordens aarente e efetiva), que se aroximaram da ordem assintótica (teórica), também através das incertezas obtidas com os estimadores de chardson (baseado nas ordens aarente e assintótica) e GCI. Também foram analisadas as razões dos estimadores elo erro numérico, ara que a acurácia e a confiabilidade do erro fossem estimadas. Todas estas análises foram feitas através de tabelas e gráficos, que uderam deixar mais clara a visualização dos resultados.

112 110 Para a força da laca, as ordens aarente e efetiva não convergiram ara o valor teórico (ordem assintótica), o que acabou afetando todas as outras análises (estimadores de chardson, GCI e Convergente, e também as razões dos estimadores elos erros numéricos), como ode ser observado na seção 4.4. Esera-se que, quando o tamanho médio do elemento tende a zero, as ordens aarente e efetiva tendam ao valor da ordem assintótica e que, a artir de um determinado valor do tamanho do elemento este comortamento seja monotônico (MARCHI, 2001). Entretanto, os valores demonstrados nas tabelas 4.17, 4.18 e 4.28, não refletem esta situação. Uma exlicação ara estes resultados ode ser obtida através da du areciação do Aêndice A, onde foram feitas análises ara a derivada, resente na dy discretização da força sobre a laca. Foram obtidos resultados ara duas aroximações desta derivada: UDS e UDS-2. Nestes resultados, observou-se que as ordens aarente e efetiva de UDS tendem a 2, quando deveriam tender a 1. Já as ordens aarente e efetiva de UDS-2 tendem a 1, quando deveriam tender a 2. Desta forma, ara esta variável de interesse observou-se que a ordem aarente está tendendo a outro valor (diferente da ordem rático assintótica), valor este chamado de ordem assintótica rática ( L ). Também foram feitas análises com o valor da ordem assintótica rática, onde os resultados se mostraram mais coniventes com o eserado. Para a força da laca tem-se que E UDS < E UDS 2, isto ode estar ocorrendo devido a aroximação UDS (com ordem 1), que arece se comortar como CDS, que ossui ordem 2. Este fato ode ser decorrente do uso de volumes fictícios ara a alicação das condições de contorno e também devido ao fato da ordem aarente de aroximações de roblemas unidimensionais ode aresentar um comortamento diferente em roblemas bidimensionais. Para as variáveis locais, os erfis de velocidade u e v e as velocidades centrais, odese observar que os resultados obtidos numericamente estão convergindo ara a solução analítica conforme o tamanho do elemento da malha é reduzido. Isto ode ser comrovado através da análise das ordens efetiva e aarente, que se aroximam do valor teórico (ordem assintótica) conforme a malha é refinada. Esta convergência também ode ser analisada quando se observam as incertezas do erro numérico obtidas com o estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e com o estimador GCI. Estas variáveis odem ainda ser analisadas com as razões dos estimadores elos erros numéricos, que estimaram a acurácia e a

113 111 confiabilidade dos erros. Estes resultados odem ser observados tanto em tabelas, como em gráficos nas seções anteriores. UDS-2 e com com O estimador convergente não se mostrou confiável ara as forças da laca obtidas com teórico L, também não se mostraram confiáveis ara os fluxos de massa total e v n (tabela 4.31). Já os erfis de velocidade em algumas coordenadas (u(0,5;0,0625),u(0,5;0,125), u(0,5;0,25) e v(0,75;0,5)), não se encontram na faixa convergente. Para o estimador GCI, todas as variáveis de interesse são confiáveis na malha mais fina, ois a solução analítica se encontra dentro do intervalo roosto or este estimador. Através de gráficos uderam ser observados ainda o camo de velocidades, bem como as linhas de corrente que ilustram o comortamento do escoamento na cavidade quadrada. Os resultados obtidos ara este roblema também uderam ser comarados aos de Morais (2004), sendo que os obtidos neste trabalho se mostraram mais acurados do que os obtidos naquele trabalho. As ordens ráticas aqui calculadas estão mais róximas dos valores teóricos do que os de Morais (2004), com aenas uma exceção ara a ordem aarente calculada ara a força da laca (Tabela 4.25). As estimativas de erro obtidas com os resultados deste trabalho também foram melhores que as obtidas or Morais (2004).

114 112 5 Problema de Ghia ara Re= Definição do roblema Neste caítulo será tratado um roblema cujo domínio de cálculo é uma cavidade quadrada descrito or Ghia et al. (1982), sendo que or brevidade, este roblema será entitulado aenas de Problema de Ghia. Para a sua resolução será considerado que a laca suerior da cavidade movimenta-se com uma velocidade constante, e as velocidades nos demais contornos são nulas. Para este roblema a solução analítica ainda não é conhecida. As variáveis de interesse aqui analisadas serão as mesmas do roblema anterior (Caítulo 4, roblema de Shih), ou seja: força da laca sobre o fluido F, fluxo de massa M &, obtido a artir das linhas de corrente e or integração, as velocidades centrais nas duas direções, e os erfis de velocidade u e v. As equações governantes ara este roblema também já foram descritas anteriormente (Eqs. (4.1), (4.2) e (4.3)), bem como as condições de contorno, com exceção da condição ara a velocidade na arede suerior, que agora é uma constante, ou seja, ( x, 1) = 1 u. As variáveis de interesse globais odem ser exressas elas Eqs. (2.68), (2.70) e (2.73). A forma de obtenção das variáveis locais, erfis de velocidade e velocidades centrais, também já está descrito no caítulo 2. O domínio de cálculo bem como as condições de contorno alicadas a este roblema, estão reresentadas esquematicamente na figura ,1 u = 1 y x 1,0 Figura 5.1: Domínio de cálculo ara o roblema de Ghia

115 113 Os dados fixos ara a resolução do roblema, ou seja, que não são variáveis odem ser observados na tabela 5.1. Os arâmetros variáveis estão listados na tabela 5.2. Tabela 5.1: Dados fixos ara o roblema de Ghia com Re=100 Comrimento do domínio de cálculo 1m Largura do domínio de cálculo 1m ρ 1kg/m 3 Massa esecífica do fluido ( ) Tabela 5.2: Parâmetros variáveis ara o roblema de Ghia com Re=100 Número de Reynolds 100 Viscosidade 0,01 Pa.s 5.2 Solução Numérica O modelo numérico utilizado ara a obtenção de cada variável de interesse é o mesmo descrito no caítulo 2. Naquele caítulo também foram aresentadas a discretização do domínio de cálculo, os tios de aroximações numéricas utilizadas e, as hióteses simlificativas consideradas. As exressões ara os coeficientes e termos fontes já estão descritas no caítulo 2. O termo fonte ara as velocidades dado ela Eq. (2.21), assumem os mesmos valores já descritos elas Eqs. (4.19) a (4.22), assumindo aenas que: S b v = 0 (5.1) As condições iniciais consideradas ara este roblema são: u = v = = 0 (5.2)

116 114 As variáveis de interesse globais foram obtidas numericamente a artir das Eqs. (2.74) a (2.77), e a obtenção das variáveis locais também já foi descrita no caítulo 2. Na tabela 2.1 odem ser observadas as ordens assintóticas ara todas as variáveis de interesse. Para se resolver o sistema de equações que surge da discretização das equações diferenciais envolvidas também foi utilizado o método MSI, já descrito anteriormente. O critério de convergência utilizado ara a resolução deste roblema também foi baseado no resíduo (quando o resíduo atinge o erro de máquina o rocesso iterativo ára), o mesmo critério utilizado ara o roblema resolvido anteriormente, e o algoritmo comutacional também foi o mesmo. O rograma comutacional também foi imlementado na linguagem FORTRAN/95, sendo que os arquivos de resultados foram gerados do dia 01/11/2005 ao dia 09/11/2005, com o software Comaq Visual Fortran 6.6. O rograma utilizado ara se obter os resultados descritos ao longo deste caítulo foi o mesmo utilizado anteriormente (Stokes_13.exe) e ara a obtenção dos resultados das variáveis globais e locais foi utilizada recisão dula. O comutador emregado ara a resolução deste roblema também foi o CFD4 do LENA 2. Os dados numéricos fixos ara este roblema odem ser observados na tabela 5.3. Tabela 5.3: Dados numéricos fixos do roblema de Ghia com Re=100 Tolerância do MSI ara u e v 0,1 Tolerância do MSI ara 0,01 Número de iterações internas no MSI ara u e v 5 Número de iterações internas no MSI ara 10 A forma de obtenção da memória comutacional ara cada simulação, bem como a obtenção do temo de rocessamento com sua incerteza, são as mesmas já descritas no caítulo anterior, sendo que ara este roblema, a incerteza do temo de rocessamento é de 0,35%. As identificações de cada simulação realizada ara cada um dos casos, com suas resectivas características odem ser observadas nas Tabelas 5.4 e 5.5.

117 115 Tabela 5.4: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação ST_0002_Re10E2 ST_0004_Re10E2 ST_0008_Re10E2 ST_0016_Re10E2 ST_0032_Re10E2 Número de volumes de controle Incremento de 4 1 0,5 0,2 0,2 t s temo ( ) Memória comutacional (MB) Número total de iterações externas Temo de rocessamento Tamanho dos volumes h (m) 1,6 1,6 1,6 1,63 1, ,03 s 0,06 s 0,09 s 0,66 s 1,86 s 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 Nome da simulação Número de volumes de controle Incremento de t s temo ( ) Memória comutacional (MB) Número total de iterações externas Temo de rocessamento Tamanho dos volumes h (m) Tabela 5.5: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re=100 ST_0064_Re10E2 ST_0128_Re10E2 ST_0256_Re10E2 ST_0512_Re10E2 ST_1024_Re10E ,1 0,2 0,1 0,1 0,05 2,6 5,4 16,8 61,6 241, ,80s 5min 39s 51min 50s 9h 43min 4dias 20h 0, , , , , As simulações descritas nas tabelas 5.4 e 5.5 geraram os resultados abaixo relacionados, que são mostrados ara cada variável de interesse. Para a força da laca e fluxo de massa que são as duas variáveis globais analisadas neste roblema, a identificação e os resultados são mostrados nas tabelas 5.6 a 5.9.

118 116 Tabela 5.6: Solução numérica ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25 0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125 0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625 0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15 Tabela 5.7: Solução numérica ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25 0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125 0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625 0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15 Tabela 5.8: Solução numérica ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25 0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125 0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625 0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15

119 117 Tabela 5.9: Solução numérica ara o fluxo de massa com v n ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25 0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125 0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625 0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15 Para as variáveis locais, ode-se observar nas tabelas 5.10 e 5.11 a identificação e os resultados ara as velocidades centrais em cada uma das direções, ou seja, ara u ( 0,5;0,5 ) e v ( 0,5;0,5 ). Nas tabelas 5.12 e 5.13 observam-se os resultados obtidos ara cada um dos erfis, sendo que serão analisadas as velocidades em coordenadas ré-determinadas ara cada uma das direções. Tabela 5.10: Solução numérica ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25-0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125-0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625-0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15

120 118 Tabela 5.11: Solução numérica ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E2 0,5 0, ,80E-16 ST_0004_Re10E2 0,25 0, ,40E-15 ST_0008_Re10E2 0,125 0, ,14E-15 ST_0016_Re10E2 0,0625 0, ,56E-15 ST_0032_Re10E2 0, , ,82E-16 ST_0064_Re10E2 0, , ,09E-15 ST_0128_Re10E2 0, , ,27E-15 ST_0256_Re10E2 0, , ,31E-15 ST_0512_Re10E2 0, , ,95E-15 ST_1024_Re10E2 0, , ,54E-15 Tabela 5.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas Solução Numérica ST_0256_Re_10E2 Solução Numérica ST_0512_Re_10E2 Solução Numérica ST_1024_Re_10E2 u -0, , , ( 0,5;0,0625) u ( 0,5;0,125) -0, , , u ( 0,5;0,1875) -0, , , u ( 0,5;0,25) -0, , , u ( 0,5;0,3125) -0, , , u ( 0,5;0,375) -0, , , u ( 0,5;0,4375) -0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , u ( 0,5;0,5625) -0, , , u ( 0,5;0,625) -0, , , u ( 0,5;0,6875) -0, , , u ( 0,5;0,75) 0, , , u ( 0,5;0,8125) 0, , , u ( 0,5;0,875) 0, , , u ( 0,5;0,9375) 0, , ,

121 119 Tabela 5.13: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas Solução Numérica ST_0256_Re_10E2 Solução Numérica ST_0512_Re_10E2 Solução Numérica ST_1024_Re_10E2 v 0, , , ( 0,0625;0,5) v ( 0,125;0,5) 0, , , v ( 0,1875;0,5) 0, , , v ( 0,25;0,5) 0, , , v ( 0,3125;0,5) 0, , , v ( 0,375;0,5) 0, , , v ( 0,4375;0,5) 0, , , v ( 0,5;0,5 ) 0, , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , v ( 0,625;0,5) -0, , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , v ( 0,75;0,5) -0, , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , v ( 0,875;0,5) -0, , , v ( 0,9375;0,5) -0, , , Os resultados obtidos neste trabalho uderam ser comarados com os resultados obtidos or Ghia et al. (1982) e também com os resultados obtidos or Nishida et al. (1992) ara algumas variáveis de interesse, conforme ode ser observado na tabela 5.14 e nas figuras 5.2 e 5.3 (ara os erfis de velocidade nas duas direções). Estes resultados serão comarados com a malha de 128 nós em cada direção. Tabela 5.14: Resultados obtidos no resente trabalho, or Ghia et al. (1982) e or Nishida et al. (1992) Variável de interesse Presente trabalho Ghia et al. (1982) Nishida et al. (1992) Fluxo de massa total mínimo -0, , , u 0,5;0,0625-0, , ( ) u ( 0,5;0,5 ) -0, , v ( 0,0625;0,5) 0, , v ( 0,5;0,5 ) 0, , Os erfis de velocidade também odem ser comarados através das figuras 5.2 e 5.3, onde estão disostos os resultados obtidos or Ghia et al. (1982) e o atual, obtido com o rograma no resente trabalho.

122 120 y(m) 1,0 0,8 0,6 0,4 Presente trabalho Ghia et al. (1982) v(m/s) 0,2 0,1 0,0-0,1 Presente trabalho Ghia et al. (1982) 0,2-0,2 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 u(m/s) -0,3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x(m) Figura 5.2: Soluções ara o erfil de velocidade u em x=0,5m Figura 5.3: Soluções ara o erfil de velocidade v em y=0,5m Na resolução deste roblema também se odem visualizar as curvas de nível ara as linhas de corrente assim como os camos de velocidades, conforme ode ser observado nas figuras 5.4 e 5.5 (linhas de corrente) e na figura 5.6 (camo de velocidades). Estes gráficos foram gerados a artir dos resultados obtidos na malha com 128 nós em cada direção. Figura 5.4: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re=100

123 121 Figura 5.5: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re=100 Figura 5.6: Camo de velocidades ara o roblema de Ghia com Re=100 Nas tabelas 5.15 a 5.20, ode-se observar que a ordem aarente é calculada com base em três malhas, sendo que o valor corresondente ao ST_0008_Re10E2, foi obtido com as seguintes malhas: 8X8 nós (malha fina), 4X4 nós (malha grossa) e 2X2 nós (malha suergrossa), ara Re=100. O valor corresondente a ST_0016_Re10E2 foi obtido com as malhas: 16X16 (malha fina), 8X8 (malha grossa) e 4X4 (malha suergrossa), também ara

124 122 Re=100, e assim sucessivamente. Nestas tabelas estão listadas as ordens ráticas obtidas ara todas as variáveis de interesse. Tabela 5.15: Ordem aarente ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, , ST_0032_Re10E2 0, , ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, , ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, , Tabela 5.16: Ordem aarente ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, , ST_0032_Re10E2 0, , ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, , ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, , Tabela 5.17: Ordem aarente ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, , ST_0032_Re10E2 0, , ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, , ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, ,

125 123 Tabela 5.18: Ordem aarente ara o fluxo de massa com v n ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, , ST_0032_Re10E2 0, , ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, , ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, , Tabela 5.19: Ordem aarente ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, , ST_0032_Re10E2 0, , ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, , ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, , Tabela 5.20: Ordem aarente ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re=100 Nome da h (m) Razão de refino simulação Ordem aarente U ST_0002_Re10E2 0, ST_0004_Re10E2 0, ST_0008_Re10E2 0, , ST_0016_Re10E2 0, ST_0032_Re10E2 0, ST_0064_Re10E2 0, , ST_0128_Re10E2 0, , ST_0256_Re10E2 0, ST_0512_Re10E2 0, , ST_1024_Re10E2 0, , Nas tabelas 5.15 e 5.16, as ordens aarentes obtidas ara a força da laca, tanto com UDS quanto com UDS-2, estão tendendo à zero. Isto ocorre quando a variação entre as soluções obtidas com diferentes malhas tende a um valor constante, ao invés de tender a zero como o eserado. No caso deste roblema, este fato ode ser devido às velocidades alicadas nos contornos, que encontram uma grande descontinuidade quando a malha é refinada, ois

126 124 em um equeno esaço a velocidade assa de zero (condição de contorno nas aredes direita e esquerda) à unidade (condição de contorno na arede suerior). Para as outras variáveis de interesse (fluxo de massa total e com v n, e velocidades centrais) ode-se observar que o valor da ordem aarente se aroxima da ordem assintótica, conforme é eserado. Pode-se observar que a ordem aarente não foi calculada em alguns casos ara a velocidade central v (ST_0016_Re10E2, ST_0032_Re10E2 e ST_0256_Re10E2). Isto ocorre devido a uma inversão de sinal dos resultados numéricos, o que ocasiona em um logaritmo negativo na obtenção destas ordens. Maiores detalhes sobre esta inversão de sinais odem ser obtidos no Aêndice A. Assim como no roblema anterior, os erfis de velocidade u e v aqui calculados são obtidos considerando aenas as três malhas mais finas, ou seja, com 256X256, 512X512 e 1024X1024 nós ara a obtenção da ordem aarente, que ode ser observada nas tabelas 5.21 e Tabela 5.21: Ordem aarente ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas Ordem aarente U u( 0,5;0,0625) 2, u ( 0,5;0,125) 1, u ( 0,5;0,1875) 1, u ( 0,5;0,25) 1, u( 0,5;0,3125) 1, u ( 0,5;0,375) 2, u( 0,5;0,4375) 2, u ( 0,5;0,5 ) 2, u( 0,5;0,5625) 1, u ( 0,5;0,625) 1, u ( 05;0,6875) 2, u ( 0,5;0,75) 2, u( 0,5;0,8125) 1, u ( 0,5;0,875) 1, u( 0,5;0,9375) 1,

127 125 Tabela 5.22: Ordem aarente ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas Ordem aarente U v ( 0,0625;0,5) 1, v ( 0,125;0,5) 1, v ( 0,1875;0,5) 1, v ( 0,25;0,5) 1, v ( 0,3125;0,5) 1, v ( 0,375;0,5) 2, v ( 0,4375;0,5) 2, v ( 0,5;0,5 ) 1, v ( 0,5625;0,5) 1, v ( 0,625;0,5) 1, v ( 0,6875;0,5) 1, v ( 0,75;0,5) 2, v ( 0,8125;0,5) 2, v ( 0,875;0,5) 2, v ( 0,9375;0,5) 1, As ordens ráticas ara cada uma das variáveis de interesse também odem ser observadas nas figuras 5.10 a 5.15 que estão disostas a seguir, sendo que ara as variáveis globais e ara as velocidades centrais (variáveis locais), foram considerados os resultados obtidos em todas as malhas. Ordens aarente, efetiva e assintótica 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5 Ordem assintótica Ordem aarente 1E-3 0,01 0,1 h Ordens aarente, efetiva e assintótica Ordem assintótica Ordem aarente 1E-3 0,01 0,1 h Figura 5.7: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS Figura 5.8: Ordens aarente e assintótica or h ara a força da laca com UDS-2

128 126 Ordens aarente, assintótica e efetiva 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Ordem assintótica Ordem aarente 1E-3 0,01 0,1 h Ordens aarente e assintótica 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Ordem assintótica Ordem aarente 1E-3 0,01 0,1 h Figura 5.9: Ordens aarente e assintótica or h ara o fluxo de massa total Figura 5.10: Ordens aarente e assintótica or h ara o fluxo de massa com v n Ordens aarente e assintótica 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Ordem assintótica Ordem aarente 1E-3 0,01 0,1 h Ordens aarente, efetiva e assintótica 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5 1E-3 0,01 0,1 h Ordem assintótica Ordem aarente Figura 5.11: Ordens aarente e assintótica or h ara a velocidade u central Figura 5.12: Ordens aarente e assintótica or h ara a velocidade v central Conforme se ode observar nas figuras 5.7 e 5.8, a ordem aarente não está tendendo ara a ordem teórica (assintótica) à medida que a malha está sendo refinada. Nas figuras 5.9, 5.10, 5.11 e 5.12, a ordem aarente aresenta um comortamento eserado, ou seja, se aroxima da ordem assintótica conforme a malha é refinada. 5.3 Verificação da solução numérica Nas tabelas 5.23, 5.24 e 5.25, ara cada variável de interesse foi estimado o erro da solução numérica, sendo que, cada estimador foi obtido com base nas três malhas mais finas, ou seja, 256X256, 512X512 e 1024X1024 nós.

129 127 Tabela 5.23: Estimativa do erro numérico ara as variáveis de interesse ara o roblema de Ghia com Re=100 Variável de interesse U ( ) φ 1, L U ( φ 1, U ) U GCI ( φ1, ) U ( φ, ) U ( φ, ) 1 L 1 L Força da laca com UDS 0, , Força da laca com UDS-2 0, , Fluxo de massa total 0, , , Fluxo de massa com v n 0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , v ( 0,5;0,5 ) -0, , , Tabela 5.24: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas U ( ) φ 1, L U ( φ 1, U ) U GCI ( φ1, ) U ( φ, ) U ( φ, ) ( 0,5;0,0625) u 0, , , u ( 0,5;0,125) -0, , , u ( 0,5;0,1875) -0, , , u ( 0,5;0,25) -0, , , u ( 0,5;0,3125) -0, , , u ( 0,5;0,375) -0, , , u ( 0,5;0,4375) -0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , u ( 0,5;0,5625) -0, , , u ( 0,5;0,625) -0, , , u ( 05;0,6875) 0, , , u ( 0,5;0,75) 0, , , u ( 0,5;0,8125) 0, , , u ( 0,5;0,875) 0, , , u ( 0,5;0,9375) 0, , , L 1 L

130 128 Tabela 5.25: Estimativa do erro numérico ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas U ( ) φ 1, L U ( φ 1, U ) U GCI ( φ1, ) U ( φ, ) U ( φ, ) ( 0,0625;0,5) v 0, , , v ( 0,125;0,5) 0, , , v ( 0,1875;0,5) 0, , , v ( 0,25;0,5) 0, , , v ( 0,3125;0,5) 0, , , v ( 0,375;0,5) 0, , , v ( 0,4375;0,5) 0, , , v ( 0,5;0,5 ) -0, , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , v ( 0,625;0,5) -0, , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , v ( 0,75;0,5) -0, , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , v ( 0,875;0,5) -0, , , v ( 0,9375;0,5) 0, , , L 1 L Conforme ode ser observado na tabela 5.23, ara a força da laca o erro estimado (U) se alica aenas ara a ordem assintótica, ois a ordem aarente é negativa. O mesmo ode ser observado nas figuras 5.13 e 5.14, onde os gráficos aresentam descontinuidades nestes ontos Razões dos estimadores U ( L )/ U ( U ) U GCI ()/U ( L ) Razões dos estimadores U ( U )/U ( L ) U GCI ()/U ( L ) 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 5.13: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS Figura 5.14: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a força da laca com UDS-2

131 Razões dos estimadores U ( U )/U ( L ) U GCI ()/U ( L ) Razões dos estimadores U ( U )/U ( L ) U GCI ()/U ( U ) 1E-3 0,01 0,1 1E-3 0,01 0,1 h h Figura 5.15: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa total Figura 5.16: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara o fluxo de massa com v n Razões dos estimadores U ( U )/U ( L ) U GCI ()/U ( U ) 1E h Razões dos estimadores U ( U )/U ( L ) U GCI ()/U ( L ) 1E-3 0,01 0,1 h Figura 5.17: Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade u central Figura 5.18:Razões dos estimadores de chardson (ordem aarente) e GCI elo estimador de chardson (ordem assintótica) ara a velocidade v central Observa-se nas figuras 5.15, 5.17 e 5.18 o comortamento semelhante dos estimadores aresentado ara o fluxo de massa total e ara as velocidades centrais. Na figura 5.16, que ilustra as razões dos estimadores ara o fluxo de massa com v n, ode-se observar que o valor que se destaca na figura corresonde à ordem aarente que se afasta do valor da ordem assintótica, ou seja, ara a ordem obtida com as malhas 32X32, 16X16 e 8X8 nós (malhas fina, grossa e suergrossa), conforme ode ser observado na tabela 5.18.

132 130 Módulo da incerteza ,1 U ( L ) U ( U ) U GCI () Módulo da incerteza U ( L ) U ( U ) U GCI () 1E-3 0,01 1E E-3 0,01 0,1 h h Figura 5.19: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS Figura 5.20: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a força da laca com UDS-2 Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 U ( L ) U ( U ) U GCI () Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 U ( L ) U ( U ) U GCI () 1E-7 1E-7 1E-3 0,01 0,1 h 1E-3 0,01 0,1 h Figura 5.21: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa total Figura 5.22: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara o fluxo de massa com v n

133 131 Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 U ( L ) U ( U ) U GCI () Módulo da incerteza 1 0,1 0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 U ( L ) U ( U ) U GCI () 1E-6 1E-3 0,01 0,1 1E-8 1E-3 0,01 0,1 h h Figura 5.23: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade u central Figura 5.24: Estimadores de chardson (ordens aarente e assintótica), GCI ara a velocidade v central Da observação das figuras 5.19 a 5.24 ode-se concluir que as variáveis de interesse (fluxo de massa total e obtido com v n e as velocidades centrais) aresentam um comortamento semelhante. A força da laca obtida com UDS e com UDS-2 (figuras 5.19 e 5.20) não aresentam um comortamento eserado, ois a ordem aarente não se aroxima da ordem assintótica, o que acaba comrometendo todas as análises que seguem. Na figura 5.24, os valores ara a ordem aarente que não uderam ser obtidos devido a uma inversão de sinal dos resultados, estão reresentados ela descontinuidade existente nos gráficos, conforme se ode observar ara três ontos. Os dados utilizados na construção das figuras 5.13 a 5.24 odem ser observados no Aêndice C, no formato de tabelas com todas as malhas aqui utilizadas. A solução numérica ara cada variável de interesse com seu erro estimado, odem ser analisadas nas tabelas 5.26, 5.27 e 5.28, considerando-se φ 1 a malha mais fina (1024 nós). Para a obtenção desta solução estimada foi utilizado o estimador Convergente (MARCHI e SILVA, 2002) descrito no caítulo 3.

134 132 Tabela 5.26: Solução numérica com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re=100 Variável de interesse φ = φ ± Emvolve solução de Ghia et al (1982) C U C Força da laca com UDS Força da laca com UDS Fluxo de massa total 0, ± 0, Não Fluxo de massa com v n 0, ± 0, u ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Não v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Não Tabela 5.27: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas φ = φc ± U C u ( 0,5;0,0625) 0, ± 0, u ( 0,5;0,125) 0, ± 0, u ( 0,5;0,1875) 0, ± 0, u ( 0,5;0,25) 0, ± 0, u ( 0,5;0,3125) 0, ± 0, u ( 0,5;0,375) 0, ± 0, u ( 0,5;0,4375) 0, ± 0, u ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, u ( 0,5;0,5625) 0, ± 0, u ( 0,5;0,625) 0, ± 0, u ( 05;0,6875) 0, ± 0, u ( 0,5;0,75) 0, ± 0, u ( 0,5;0,8125) 0, ± 0, u ( 0,5;0,875) 0, ± 0, u ( 0,5;0,9375) 0, ± 0,

135 133 Tabela 5.28: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador Convergente ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas φ = φc ± U C v ( 0,0625;0,5) 0, ± 0, v ( 0,125;0,5) 0, ± 0, v ( 0,1875;0,5) 0, ± 0, v ( 0,25;0,5) 0, ± 0, v ( 0,3125;0,5) 0, ± 0, v ( 0,375;0,5) 0, ± 0, v ( 0,4375;0,5) 0, ± 0, v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, v ( 0,5625;0,5) 0, ± 0, v ( 0,625;0,5) 0, ± 0, v ( 0,6875;0,5) 0, ± 0, v ( 0,75;0,5) 0, ± 0, v ( 0,8125;0,5) 0, ± 0, v ( 0,875;0,5) 0, ± 0, v ( 0,9375;0,5) 0, ± 0, Na tabela 5.26, o estimador convergente não se alica à variável de interesse, força da laca sobre o fluido, ois seu resultado numérico não se aresentou convergente conforme análise feita com base nas ordens ráticas. A solução numérica ode também ser estimada com o uso do estimador GCI. Esta estimativa da solução numérica ode ser observada nas tabelas 5.29, 5.30 e Na tabela 5.29, o estimador U GCI ( φ, ) 1, ara a força da laca com as duas aroximações numéricas foi obtido com base na ordem assintótica. Para as outras variáveis de interesse este estimador é obtido com a menor ordem entre a aarente e a assintótica. Tabela 5.29: Solução numérica com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re=100 Variável de interesse φ ± U ( ) GCI, = Envolve solução de Ghia et al. (1982) φ 1 φ 1 Força da laca com UDS 0, ± 0, Força da laca com UDS-2 0, ± 0, Fluxo de massa total 0, ± 0, Não Fluxo de massa com v n 0, ± 0, u ( 0,5;0,5 ) -0, ± 0, Não v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, Não

136 134 Tabela 5.30: Solução numérica ara o erfil de velocidade u com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas φ = ± U ( ) GCI, φ 1 φ 1 u ( 0,5;0,0625) -0, ± 0, u ( 0,5;0,125) -0, ± 0, u ( 0,5;0,1875) -0, ± 0, u ( 0,5;0,25) -0, ± 0, u ( 0,5;0,3125) -0, ± 0, u ( 0,5;0,375) -0, ± 0, u ( 0,5;0,4375) -0, ± 0, u ( 0,5;0,5 ) -0, ± 0, u ( 0,5;0,5625) -0, ± 0, u ( 0,5;0,625) -0, ± 0, u ( 05;0,6875) -0, ± 0, u ( 0,5;0,75) 0, ± 0, u ( 0,5;0,8125) 0, ± 0, u ( 0,5;0,875) 0, ± 0, u ( 0,5;0,9375) 0, ± 0, Tabela 5.31: Solução numérica ara o erfil de velocidade v com seu erro estimado com estimador GCI ara o roblema de Ghia com Re=100 Coordenadas φ = ± U ( ) GCI, φ 1 φ 1 v ( 0,0625;0,5) 0, ± 0, v ( 0,125;0,5) 0, ± 0, v ( 0,1875;0,5) 0, ± 0, v ( 0,25;0,5) 0, ± 0, v ( 0,3125;0,5) 0, ± 0, v ( 0,375;0,5) 0, ± 0, v ( 0,4375;0,5) 0, ± 0, v ( 0,5;0,5 ) 0, ± 0, v ( 0,5625;0,5) -0, ± 0, v ( 0,625;0,5) -0, ± 0, v ( 0,6875;0,5) -0, ± 0, v ( 0,75;0,5) -0, ± 0, v ( 0,8125;0,5) -0, ± 0, v ( 0,875;0,5) -0, ± 0, v ( 0,9375;0,5) -0, ± 0,

137 Conclusão Neste caítulo foi estudado o roblema do escoamento recirculante em uma cavidade quadrada roosto or Ghia et al. (1982), considerando Re=100 (número de Reynolds), descrevendo-se os resultados ara duas variáveis de interesse globais: fluxo de massa que escoa na cavidade (tanto o total quanto o obtido com v n ) que foi obtido através das linhas de corrente e or integração e a força que é alicada sobre a laca suerior da cavidade. Também foram exostos os resultados ara as variáveis de interesse locais, que são as velocidades centrais em cada uma das direções, e os erfis de velocidade u e v. Os erfis foram calculados ara as três malhas mais finas utilizadas no estudo da incerteza numérica das soluções obtidas ara este roblema. A variável de interesse força sobre a laca não aresentou um comortamento eserado, ois tanto a ordem aarente obtida com a aroximação UDS quanto a obtida com a aroximação UDS-2, não se aroximaram da ordem assintótica, nem aresentaram um comortamento arecido ao obtido no caítulo 4 (roblema de Shih). A ordem obtida a artir das simulações numéricas está tendendo à zero, isto ocorre quando o erro existente entre as soluções numéricas tende a um valor constante, ao invés de tender a zero. Isto ode ser exlicado devido à descontinuidade que há nas condições de contorno alicadas às aredes da cavidade. Desta forma, as análises dos erros numéricos que foram realizadas ara esta variável de interesse estão comrometidas, conforme ode ser observado nos gráficos e tabelas que se referem à força da laca. Já a outra variável global, fluxo de massa, aresentou um resultado eserado com sua ordem aarente se aroximando da ordem assintótica. O mesmo ocorrendo ara as variáveis locais: erfis de velocidade e velocidades centrais. Este comortamento também ode ser analisado quando se observam as incertezas do erro numérico obtidas com o estimador de chardson (ordens aarente e assintótica) e com o estimador GCI. Estas variáveis odem ainda ser analisadas com as razões dos estimadores elos erros numéricos, que estimam a acurácia e a confiabilidade dos erros. Todas estas análises foram feitas com base em tabelas e gráficos, que tornaram mais clara a visualização dos resultados.

138 136 Os erfis de velocidade e o fluxo de massa mínimo também uderam ser comarados aos resultados obtidos or Ghia et al. (1982) e Nishida et al. (1992) através de gráficos (erfis de velocidade) e tabelas, onde os resultados obtidos neste trabalho se mostraram muito róximos aos outros resentes na literatura. Neste trabalho também foram gerados resultados com malhas mais refinadas que as encontradas na literatura, com 1024X1024 nós contra 257X257 nós de Ghia et al. (1982). Para todas as variáveis de interesse uderam ser observadas a solução numérica com seu erro estimado elo estimador Convergente e também elo estimador GCI, com exceção da força sobre a laca, onde não se ode alicar o estimador Convergente, ois a solução numérica obtida ara esta variável de interesse se mostrou divergente. Neste caítulo odem-se observar ainda os gráficos ara as linhas de corrente e ara o camo de velocidades, o que torna mais clara a visualização do escoamento na cavidade quadrada.

139 137 6 Problema de Ghia ara Re= Definição do roblema O enfoque deste caítulo é o mesmo roblema tratado no caítulo anterior, ara Re=1000. O domínio de cálculo, as variáveis de interesse, as equações governantes e as condições de contorno são as mesmas já descritas no caítulo 5. Os dados fixos ara a resolução do roblema, ou seja, que não são variáveis são os mesmos que foram considerados no caítulo 5 e odem ser observados na tabela 5.1. Os arâmetros variáveis estão listados na tabela 6.1. Tabela 6.1: Parâmetros variáveis ara o roblema de Ghia com Re=1000 Número de Reynolds 1000 Viscosidade 0,001 Pa.s 6.2 Solução Numérica O modelo numérico e a forma de obtenção das variáveis de interesse é o mesmo já descrito ara o roblema anterior. Para se resolver o sistema de equações que surge da discretização das equações diferenciais envolvidas também foi utilizado o MSI. O critério de convergência utilizado ara a resolução deste roblema foi o mesmo já utilizado, assim como o algoritmo comutacional. O rograma comutacional utilizado foi o mesmo do caítulo anterior, sendo que os arquivos de resultados ara Re=1000 foram gerados do dia 11/11/2005 ao dia 12/12/2005, com o software Comaq Visual Fortran 6.6. Para a obtenção dos resultados das variáveis globais e locais foi utilizada recisão dula. O comutador emregado ara a resolução deste roblema também foi o CFD4 do LENA 2 (Laboratório de Exerimentação Numérica - UFPR). Os dados numéricos fixos ara este roblema odem ser observados na tabela 6.2.

140 138 Tabela 6.2: Dados numéricos fixos do roblema de Ghia com Re=1000 Tolerância do MSI ara u e v 0,1 Tolerância do MSI ara 0,01 A forma de obtenção da memória comutacional ara cada simulação, bem como a obtenção do temo de rocessamento com sua incerteza, são as mesmas já descritas nos caítulos anteriores. A incerteza do temo comutacional foi de 3,3%. A identificação de cada simulação realizada ara cada um dos casos, com suas resectivas características ode ser observada nas tabelas 6.3 e 6.4. Nome da simulação Número de volumes de controle Incremento de temo t () s Memória comutacional (MB) Número total de iterações externas Temo de rocessamento Tamanho dos volumes h (m) Iterações internas ara u e v Iterações internas ara Iterações ara o ciclo da massa Tabela 6.3: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re=1000 ST_0002_Re10E3 ST_0004_Re10E3 ST_0008_Re10E3 ST_0016_Re10E3 ST_0032_Re10E ,5 0,2 1,54 1,56 1,57 1,63 1, ,02 s 0,06 s 0,14 s 0,88 s 5,88 s 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,

141 139 Nome da simulação Número de volumes de controle Incremento de temo t () s Memória comutacional (MB) Número total de iterações externas Temo de rocessamento Tamanho dos volumes h (m) Iterações internas ara u e v Iterações internas ara Iterações ara o ciclo da massa Tabela 6.4: Identificação das simulações ara o roblema de Ghia com Re=1000 ST_0064_Re10E3 ST_0128_Re10E3 ST_0256_Re10E3 ST_0512_Re10E3 ST_1024_Re10E ,2 0,1 0,05 0,2 0,5 2,57 4,66 17,6 61,6 240, s 22min 36s 2horas 52min 18horas 13min 5dias 15horas 0, , , , , As simulações descritas nas tabelas 6.3 e 6.4 geraram os resultados abaixo relacionados, que são mostrados ara cada variável de interesse. Para a força da laca e fluxo de massa que são as duas variáveis globais analisadas neste roblema, a identificação e os resultados são mostrados nas tabelas 6.5 a 6.8. Tabela 6.5: Solução numérica ara a força da laca com UDS ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25 0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125 0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625 0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15

142 140 Tabela 6.6: Solução numérica ara a força da laca com UDS-2 ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25 0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125 0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625 0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15 Tabela 6.7: Solução numérica ara o fluxo de massa total ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25 0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125 0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625 0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15 Tabela 6.8: Solução numérica ara o fluxo de massa com vn ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25 0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125 0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625 0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15 Para as variáveis locais, ode-se observar nas tabelas 6.9 e 6.10 a identificação e os resultados ara as velocidades centrais em cada uma das direções, ou seja, ara u ( 0,5;0,5 ) e

143 141 v ( 0,5;0,5 ). Nas tabelas 6.11 e 6.12 observam-se os resultados obtidos ara cada um dos erfis, sendo que serão analisadas as velocidades em coordenadas ré-determinadas ara cada uma das direções. Tabela 6.9: Solução numérica ara a velocidade central u ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25-0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125-0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625-0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15 Tabela 6.10: Solução numérica ara a velocidade central v ara o roblema de Ghia com Re=1000 Nome da simulação h (m) Solução Numérica Número de algarismos significativos Iteração que convergiu (aroximada) Resíduo ST_0002_Re10E3 0,5 0, ,72E-15 ST_0004_Re10E3 0,25 0, ,07E-15 ST_0008_Re10E3 0,125 0, ,87E-15 ST_0016_Re10E3 0,0625 0, ,92E-15 ST_0032_Re10E3 0, , ,50E-15 ST_0064_Re10E3 0, , ,47E-15 ST_0128_Re10E3 0, , ,00E-15 ST_0256_Re10E3 0, , ,01E-15 ST_0512_Re10E3 0, , ,98E-15 ST_1024_Re10E3 0, , ,58E-15

144 142 Tabela 6.11: Solução numérica ara o erfil de velocidade u ara o roblema de Ghia com Re=1000 Coordenadas Solução Numérica ST_0256_Re_10E3 Solução Numérica ST_0512_Re_10E3 Solução Numérica ST_1024_Re_10E3 u -0, , , ( 0,5;0,0625) u ( 0,5;0,125) -0, , , u ( 0,5;0,1875) -0, , , u ( 0,5;0,25) -0, , , u ( 0,5;0,3125) -0, , , u ( 0,5;0,375) -0, , , u ( 0,5;0,4375) -0, , , u ( 0,5;0,5 ) -0, , , u ( 0,5;0,5625) 0, , , u ( 0,5;0,625) 0, , , u ( 0,5;0,6875) 0, , , u ( 0,5;0,75) 0, , , u ( 0,5;0,8125) 0, , , u ( 0,5;0,875) 0, , , u ( 0,5;0,9375) 0, , , Tabela 6.12: Solução numérica ara o erfil de velocidade v ara o roblema de Ghia com Re=1000 Coordenadas Solução Numérica ST_0256_Re_10E3 Solução Numérica ST_0512_Re_10E3 Solução Numérica ST_1024_Re_10E3 v 0, , , ( 0,0625;0,5) v ( 0,125;0,5) 0, , , v ( 0,1875;0,5) 0, , , v ( 0,25;0,5) 0, , , v ( 0,3125;0,5) 0, , , v ( 0,375;0,5) 0, , , v ( 0,4375;0,5) 0, , , v ( 0,5;0,5 ) 0, , , v ( 0,5625;0,5) -0, , , v ( 0,625;0,5) -0, , , v ( 0,6875;0,5) -0, , , v ( 0,75;0,5) -0, , , v ( 0,8125;0,5) -0, , , v ( 0,875;0,5) -0, , , v ( 0,9375;0,5) -0, , , Os resultados obtidos a artir do rograma Stokes_13.exe, uderam ser comarados com os resultados obtidos or Ghia et al. (1982) e or Nishida et al. (1992) ara algumas variáveis de

145 143 interesse, conforme ode ser observado na tabela 6.13 e nas figuras 6.1 e 6.2 (ara os erfis de velocidade nas duas direções). Os resultados da tabela 6.13 serão comarados na malha com 128 nós. Tabela 6.13: Resultados obtidos com Stokes_13, or Ghia et al. (1982) e or Nishida et al. (1992) Variável de interesse Stokes_13 Ghia et al. (1982) Nishida et al. (1992) Fluxo de massa total mínimo -0, , , u 0,5;0,0625-0, , ( ) u ( 0,5;0,5 ) -0, , v ( 0,0625;0,5) 0, , v ( 0,5;0,5 ) 0, , Os erfis de velocidade também odem ser comarados através das figuras 6.1 e 6.2, onde estão disostos os resultados obtidos or Ghia et al. (1982) e o atual, obtido com o rograma Stokes_13. 1,0 0,8 0,4 0,2 Presente trabalho Ghia et al. (1982) y(m) 0,6 0,4 0,2 Presente trabalho Ghia et al. (1982) v(m/s) 0,0-0,2-0,4 0,0-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 u(m/s) -0,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x(m) Figura 6.1: Soluções ara o erfil de velocidade u em x=0,5m Figura 6.2: Soluções ara o erfil de velocidade v em y=0,5m

146 144 Com os resultados obtidos também ode-se visualizar as curvas de nível ara as linhas de corrente assim como os camos de velocidades, conforme ode ser observado nas figuras 6.3 e 6.4 (linhas de corrente) e na figura 6.5 (camo de velocidades). Estes gráficos foram gerados a artir dos resultados obtidos na malha com 128 nós em cada direção. Figura 6.3: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re=1000 Figura 6.4: Linhas de corrente ara o roblema de Ghia com Re=1000