Carlos H. B. Gonçalves USP Brasil. Thomás A. S. Haddad USP Brasil. (aceito para publicação em junho de 2008) Resumo

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1 Revista Brasileira Demonstração de História de da Certos Matemática Teoremas - Vol. Referentes 9 n o 17 (abril/2009 a Números -setembro/2009) Primos, de Leonhard ág Euler Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da Matemática ISSN X DEMONSTRAÇÃO DE CERTOS TEOREMAS REFERENTES A NÚMEROS PRIMOS, DE LEONHARD EULER: TRADUÇÃO E COMENTÁRIOS Carlos H. B. Gonçalves USP Brasil Thomás A. S. Haddad USP Brasil (aceito ara ublicação em junho de 2008) Resumo Aresentamos neste trabalho uma tradução ara a língua ortuguesa de um imortante texto de Leonhard Euler ( Theorematum quorundam ad numeros rimos sectantium demonstratio ), lido erante a Academia de Ciências de São Petersburgo em 1736 e ublicado em 1741 nos seus anais, contendo uma demonstração do chamado equeno teorema de Fermat, um resultado fundamental em teoria dos números. Palvras-chave: equeno teorema de Fermat, números rimos, Leonhard Euler. Abstract We resent in this work a translation to Portuguese of an imortant text by Leonhard Euler ( Theorematum quorundam ad numeros rimos sectantium demonstratio ), read at the Academy of Sciences of Saint Petersburg in 1736 and ublished in 1741 in the Academy roceedings, containing a roof of the so-called Fermat s little theorem, a fundamental result in number theory. Key words: Fermat s little theorem, rime numbers, Leonhard Euler. Introdução O texto de Euler que traduzimos e comentamos a seguir contém uma demonstração do chamado equeno teorema de Fermat. Um resultado fundamental da teoria dos números e da aritmética modular, bem com uma das ortas de entrada ara os RBHM, Vol. 9, n o 17, ,

2 Carlos H. B. Gonçalves e Thomás A. S. Haddad estudos de álgebra abstrata, o equeno teorema afirma que, sendo um número rimo e a um inteiro qualquer (não divisível or ), então a -1 1 é divisível or. Ele está na base do teste de rimalidade de Fermat e do método RSA de critografia e ode ser generalizado ara coros finitos abstratos; no início do século XIX, Sohie Germain encontrou uma conexão entre este e o celebrado último teorema de Fermat. Originalmente, Pierre de Fermat o enunciou em uma carta a Frénicle de Bessy, em 18 de outubro de Ainda que Leibniz tenha deixado uma demonstração comleta do teorema em um manuscrito nãodatado (mas necessariamente anterior ao eríodo de atividade de Euler), a rimeira rova efetivamente ublicada é a que consta do texto aqui traduzido (Weil 1984,. 56). Em outro trabalho, abordamos questões relativas ao ensino da matemática e à história da discilina que odem ser estimuladas a artir desse texto de Euler (Gonçalves e Haddad 2008). No resente trabalho, orém, nosso foco é a rória leitura do texto de Euler, com atenção aos roblemas de tradução que essa fonte ara a história da matemática ode trazer. Antes da leitura do artigo de Euler, cabe destacar o emrego dado or ele ao termo indução, que retém, em seu texto, o significado original de forma inferencial nãodedutiva, isto é, a intuição de uma verdade geral a artir de casos articulares (uma verdade não-necessária, deve-se salientar). O uso corrente do termo na matemática resultou em uma confusão, ois a indução de que se fala nas demonstrações matemáticas é um rocedimento lógico de dedução de verdades necessárias (sendo um dos antecedentes do silogismo o rório rincíio de indução finita). Na seção introdutória do texto, Euler afirma que muitos dos enunciados de Fermat foram obtidos a artir de induções na aceção rória da alavra, e admite ser esse o fundamento mesmo do rocesso criativo na matemática. No entanto, ele critica severamente a falta de demonstrações comletas, aludindo ao engano do rório Fermat com relação a muitos enunciados em que deositou confiança aenas or têlos tirado de inferências indutivas. Nesse sentido, o texto de Euler arece ser um testemunho de um onto de inflexão imortante na história da teoria dos números e da álgebra, que, à éoca da escrita, ainda se encontravam distantes dos adrões de rigor rórios da tradição geométrica, que viriam a se tornar redominantes. Demonstração de Certos Teoremas Referentes a Números Primos, de Leonhard Euler 1. Por vezes, muitos teoremas aritméticos de Fermat foram exibidos ara o úblico, mas sem demonstrações, nos quais, se verdadeiros fossem, não só estariam contidas roriedades notáveis dos números, mas também a rória ciência dos números, que grandemente é vista exceder os limites da análise, fortemente seria romovida. Por mais, entretanto, que esse insigne geômetra mantivesse, a reseito de grande número de teoremas que roôs, ou oder demonstrá-los ou elo menos estar certo da verdade deles, ainda em 1 Fermat, como em outras ocasiões, enuncia o resultado sem uma demontração, alegando falta de esaço ara tanto: Et cette roosition est généralement vraie en toutes rogressions et en tous nombres remiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n aréhendois d être tro long. (Fermat 1894, 209) 94 RBHM, Vol. 9, n o 17, , 2009

3 Demonstração de Certos Teoremas Referentes a Números Primos, de Leonhard Euler lugar nenhum, o quanto me consta, exôs as demonstrações. Ora, o grande Fermat arece ter comreendido a maior arte de seus teoremas numéricos or indução, tanto que ele arecia abrir as roriedades que deviam ser extraídas quase or via única desse modo. Mas em verdade quão ouco ode ser atribuído às induções nesse assunto, (como) eu oderia mostrar or muitos exemlos; desses, todavia, seja suficiente trazer um único roduzido elo rório Fermat. Falo, não é de se esantar, daquele teorema, cuja falsidade, já há um certo número de anos, us à vista 2, elo qual Fermat afirmou que todos os números comreendidos ela forma 2 2n + 1 são números rimos. Todavia, ara se convencer da verdade dessa roosição, arece ser comletamente suficiente uma indução. Pois, exceto elo fato que todos esses números menores do que sejam de fato rimos, ode também ser facilmente demonstrado que nenhum número rimo não excedente a 600 mede 3 esta fórmula 2 2n + 1, ainda que seja substituído o n or um número tão grande quanto se queira. Entretanto, mesmo que seja coisa assente que esta roosição não é conforme à verdade, facilmente entende-se o quanto a indução vale em eseculações desse modo. 2. Por essa razão, todas as roriedades dessa natureza dos números que se aóiam somente na indução, or muito temo julgo serem as que se devem ter na incerteza, até que elas ou sejam defendidas or evidentes demonstrações ou totalmente refutadas. Não julgaria, também, que se deve confiar mais naqueles teoremas que eu mesmo exus aressadamente naquele [trabalho] 4 em que tratei do lembrado teorema fermatiano e de números erfeitos, se reousassem somente nas induções, bem a única via ela qual cheguei naquele temo ao entendimento deles. Mas agora, uma vez que alcancei demonstrações firmíssimas desses teoremas or um método eculiar, não se deve mais duvidar da verdade deles. Por conseguinte, tanto ela verdade daqueles teoremas, a ser demonstrada, como elo rório método, com o qual cheguei às demonstrações, a ser exosto, que fortemente também em outras investigações de números oderá ter utilidade, nesta dissertação decidi exlicar minhas demonstrações. 3. A roosição, então, que aqui tomei ara ser demonstrada, é a seguinte: Significando um número rimo, a fórmula a -1 1 semre oderá ser dividida or, a menos que a ossa ser dividido or. De fato, a artir desta roosição demonstrada, a verdade dos teoremas restantes flui esontaneamente. Um certo caso da fórmula roosta, ara o qual a = 2, já dei demonstrado há algum temo; entretanto ainda não ude estender a demonstração ara a fórmula geral. 2 Euler refere-se aqui a seu Observationes de theoremate quodam Fermatiano, aliisque ad numeros rimos sectantibus (Observações sobre um Certo Teorema Fermatiano e sobre Outros que Dizem Reseito a Números Primos). Nesse trabalho (E26), Euler mostra que o quinto número de Fermat = não é rimo, ois é divisível or O conceito de medir remonta à tradição aritmética da Antiguidade. Euler o usa duas vezes nesse texto. Equivale a dividir. 4 Trata-se do já mencionado E26. RBHM, Vol. 9, n o 17, ,

4 Carlos H. B. Gonçalves e Thomás A. S. Haddad Por essa razão, convém, em rimeiro lugar, conduzir a verificação daquele caso elo qual mais facilmente o trânsito ara (coisas) mais gerais do que ele ode ser roduzido. A ser demonstrada, então, será a roosição seguinte: Significando um número rimo ímar qualquer, a fórmula semre oderá ser dividida or. DEMONSTRAÇÃO No lugar de 2, seja osto 1 + 1, e será ( ) ( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 11 + ) = ( ) ( 2)( 3) ( 4) + etc., 1234 < < < de cuja série 6 o número de termos é = e, ortanto, ímar. 7 Além disso, qualquer termo, ainda que tenha asecto de fração, dará um número inteiro; de fato, cada numerador, como é suficientemente claro, ode ser dividido or seu denominador. Então a série com o rimeiro termo removido será = 2 1 ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)( 4) = etc., 1234 < < < o número dos quais é = 1 e, or isso, ar. Então agruam-se cada dois termos em uma soma, com o que o número de termos faça-se o dulo menor 8 ; será ( 1) ( 1)( 2)( 3) 2 1 = + 12 < 1234 < < < ( 1) ( 2)( 3)( 4)( 5) + + etc., < < < < < de cuja série o último termo, or causa do número ímar, será ( ) ( ) < < ( ) = 5 5 Euler usa tanto a abreviação etc como reticências ara indicar termos que não estão exlicitamente escritos. Enquanto a rimeira é usada no final de exressões, as outras aarecem no interior das mesmas. 6 As séries de Euler odem ter aenas um número finito de termos. 7 Vemos nesse trecho um uso mais livre do sinal da igualdade, que aarece no meio do texto com o valor da exressão igual a. 8 Isto é, a metade. 96 RBHM, Vol. 9, n o 17, , 2009

5 Demonstração de Certos Teoremas Referentes a Números Primos, de Leonhard Euler Mas é evidente que os termos individuais são divisíveis or ; ois, como é número rimo e maior do que qualquer fator dos denominadores, em nenhuma arte oderá ser eliminado ela divisão. Por essa razão, se for um número rimo ímar, semre oderá ser dividida or ele. C.Q.D. 9 DE OUTRO MODO Se ode ser dividida or um número rimo, também seu dobro 2 2 oderá ser dividido e recirocamente. De sua arte, é ( 1) ( 1)( 2) 2 = ( 11 + ) = Cuja série, truncada do rimeiro e último termos, dá ( 1) ( 1)( 2) = 2 2 É claro, também, que qualquer termo dessa série é divisível or, uma vez que é número rimo. Por essa razão, também 2 2 semre oderá ser dividida or e, or causa disso, também or, a menos que seja = 2. C.Q.D. 4. Como, então, ode ser dividida elo número rimo ímar, é fácil entender que também esta fórmula 2 m(-1) 1 ode ser dividida or, denotando m um número inteiro qualquer. Por isso, também as fórmulas seguintes todas 4-1 1, 8-1 1, etc. oderão ser divididas elo número rimo. Está, então, demonstrada a verdade do teorema geral ara todos os casos, nos quais a é qualquer otência de dois 10 e qualquer número rimo além de dois Tendo demonstrado agora aquele teorema, com a ajuda dele demonstraremos também o seguinte TEOREMA Denotando um número rimo qualquer além do 3, esta fórmula semre oderá ser dividida or ele. 9 No original, Q.E.D.. A tradição em língua ortuguesa aresenta a exressão Como queríamos demonstrar como uma substituta ara a exressão latina Quod erat demonstrandum, cuja tradução mais literal é o que era necessário demonstrar. 10 Em latim, quaevis binarii otestas, isto é, qualquer otência do [número] binário. 11 Novamente, raeter binarium, isto é, exceto o [número] binário. RBHM, Vol. 9, n o 17, ,

6 Carlos H. B. Gonçalves e Thomás A. S. Haddad DEMONSTRAÇÃO Se ode ser dividida or um número rimo exceto 3, então 3 3 ode ser dividida or, desde que seja um número rimo qualquer, e recirocamente. É verdade que ( ) ( )( 2) 3 = ( 1+ 2) = 1+ < 2+ < 4+ < < 2 + 2, 1 de cuja série os termos individuais exceto o rimeiro e o último oderão ser divididos or, uma vez que é número rimo. Então ode ser dividida or esta fórmula 3 2 1, que é igual a esta Mas 2 2 semre ode ser dividida elo número rimo ; então também 3 3. Por isso, semre ode ser dividida elo, desde que seja um número rimo exceto 3. C.Q.D. 6. Do mesmo modo, será ossível rogredir a artir deste valor do rório a ara o seguinte, maior or uma unidade. Mas orque quero roduzir uma demonstração mais elegante e mais genuína do teorema geral, exonho o seguinte 12 TEOREMA Denotando um número rimo, se a a ode ser dividida or, então também a fórmula (a + 1) a 1 oderá ser dividida elo mesmo. DEMONSTRAÇÃO Seja resolvida (1 + a) conforme o costume em série; será ( ) ( ) ( )( ) a = 1 + < a + < a + < a < a + a, 1 de cuja série os termos individuais, exceto o rimeiro e o último, odem ser divididos or, uma vez que é um número rimo. Por essa razão, (1 + a) a 1 admite 13 a divisão or 12 Até esse onto, a exosição de Euler indica a ossibilidade de alicar os mesmo rocedimentos ara demonstrar a validade da roosição ara uma base a qualquer. Essa indicação de uma ossibilidade de demonstrar a generalidade é resente também nos textos de aritmética da Antiguidade, como nos Elementos de Euclides. A artir desse onto do texto, orém, Euler aborda a roblemática da demonstração or outro mecanismo, que é o método eculiar que ele mencionou no arágrafo 1. Como se ode ver do texto que segue, tal método eculiar é o rincíio da indução finita, com alicação da indução na variável a. 13 admite a divisão or, isto é, é divisível or. 98 RBHM, Vol. 9, n o 17, , 2009

7 Demonstração de Certos Teoremas Referentes a Números Primos, de Leonhard Euler ; mas esta fórmula é congruente 14 com esta (1 + a) a 1 a + a. Mas a a or hiótese ode ser dividida or, logo também (1 + a) a 1. C.Q.D. 7. Como, então, dado que a a ode ser dividida elo número rimo, também esta fórmula (a + 1) a 1 admite a divisão or, segue-se também que (a + 2) a 2, e mesmo (a + 3) a 3 e genericamente (a + b) a b odem ser divididas or. Dado ainda a = 2, como já demonstramos que 2 2 ode ser dividida or, é claro que a fórmula (b + 2) b 2 deve admitir a divisão or, qualquer que seja o número inteiro substituído no lugar de b. Então mede a fórmula a a e, conseqüentemente, também esta a -1 1, a menos que seja a = ou múltilo do rório. E essa é a demonstração do teorema geral, que tomei ara aresentar. Referências Euler, Leonhard Theorematum quorundam ad numeros rimos sectantium demonstratio. Commentarii academiae scientiarum Petroolitanae, vol. 8, Também em Oera Omnia, Series 1, volume 2, (Índice de Eneström 54). Fermat, Pierre de Léttre XLIV. Fermat a Frénicle, Jeudi 18 Octobre In: Paul Tannery e Charles Henry (eds.). Ouevres de Fermat. Tome 2éme: Corresondance. Paris: Gauthier-Villars ( ). Gonçalves, Carlos H. B. e Haddad, Thomás A. S A Demonstração de Euler do Pequeno Teorema de Fermat: Usos Didáticos e Questões Historiográficas. In: E. R. Pacheco e W. R. Valente (eds.). Anais do VII Seminário Nacional de História da Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática ( ). Weil, André Number Theory: An Aroach through History from Hammurai to Legendre. Boston: Birkhäuser. 14 Não se trata aqui da congruência módulo m, como seria deois sistematizada or Gauss. Ao afirmar que duas exressões são congruentes, Euler quer simlesmente dizer que são iguais. Carlos H. B. Gonçalves Escola de Artes, Ciências e Humanidades da Universidade de São Paulo bgcarlos@us.br Thomás A. S. Haddad Escola de Artes, Ciências e Humanidades da Universidade de São Paulo thaddad@us.br RBHM, Vol. 9, n o 17, ,