Análise Dimensional. Teoria de Semelhança e Modelos Reduzidos. G. Silva - DEC/FCT/UNL

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1 Análise Dimensional Teoria de Semelhança e Modelos Reduzidos G. Silva - DEC/FCT/UNL

2 . Revisão de conceitos da Física. Grandezas caracterizadoras de fenómenos físicos (velocidade, aceleração, ressão, força, atrito). Caracterização dimensional L a M b T c. Validade de leis físicas versus sistemas de unidades h Nº. Alunos x.85 (h em metros) i.e. valor numérico de grandezas deende de escala de medida de sistema de unidades Relações funcionais que reresentem leis físicas têm que ser dimensionalmente homogéneas 2

3 Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas Sedimentologia Fórmulas de Transorte Sólido Dynamique Fluviale, J. C. Lebreton, Eyrolles 3

4 Bridgman Qualquer grandeza secundária ode exrimir-se através de um roduto de otências das grandezas rimárias. # Quer relacionar-se o esaço z ercorrido na queda de um objecto de massa m, com o temo t consumido. Pode admitir-se que as quantidades envolvidas são (m, t, g, z) z α g a m b t c L LT 2 b c [ ] [ ] a M T a b 2a + c z α gt 2 i.e. z é roorcional a gt 2 sem intervenção de m. Passos associados à análise dimensional. Definir que variáveis devem integrar o modelo ara reresentar o fenómeno. 2. Definir as quantidades rimárias. 3. Exrimir, dimensionalmente, cada uma das restantes quantidades em termos das quantidades rimárias. 4

5 . Se quiser mudar as dimensões da barra, à escala h/h, o que fazer com as forças, ara gerar iguais tensões? 2. E se quiser usar escala transversal diferente, ao distorcer coluna, haverá outras consequências? H λ λ h 2 ( Area ) ( Area ) m P Força σ ( Força ) Area ( Area ) ( Area ) m ( Força) m 2 ( Força) λ ( Força) m H Q h P - Se a escala transversal for diferente de λ, é essa escala transversal que deve ser considerada ara converter as forças e garantir iguais tensões. Q - Não. Porém, se se retendesse estudar encurvadura, a distorção interviria: 2 I λ (P ) απe Euler 2 H λ λ σ σ m λ forças λ Euler 2 4 transversal longitudinal 2 transversal 5

6 Teorema de Buckingham ou dos Pis Buckingham, E. On hysically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, (94). Buckingham, E. The rincile of similitude. Nature 96, (95). Buckingham, E. Model exeriments and the forms of emirical equations Trans. A.S.M.E. 37, (95). É condição necessária e suficiente ara que haja homogeneidade dimensional que a relação entre as variáveis caracterizadoras de um fenómeno se ossa escrever sob a forma de exressão que deenda aenas de números adimensionais. Existindo n grandezas físicas a considerar, sendo as grandezas ou quantidades rimárias, então ode achar-se ou F (, Π,..., Π ) Π 2 n Π ( Π, Π, Π ) f , n Um enunciado mais dirigido a alicações aresenta-se a seguir 6

7 Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas Fórmula de Manning (889) V C R 2/3 S /2 (Velocidade, raio hidráulico, declive) Fórmula UBC Período fundamental de Edifício T.5h D n h n altura de rédio em és; D dimensão aralela à direcção de alicação de força em és; T eríodo fundamental estimado, em segundos 7

8 Enunciado 2 Teorema dos Pis Se a equação f(q,q 2,...,q n ) for a única relação entre q,q 2,...,q n e se for válida quaisquer que sejam as unidades em que são medidas aquelas quantidades, então existe f(π, Π 2,..., Π m ) em que Π, Π 2,...,Π n são rodutos adimensionais dos q's. Se k for o número mínimo de quantidades rimárias necessárias ara exrimir as dimensões dos q's, então é n-mk Langhaar, Dimensional Analysis and the Theory of Models, Wiley, 95, acrescenta que o número de Π's (indeendentes) é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica da matriz dimensional. 8

9 PROPRIEDADE Montando a matriz dimensional, o teorema imlica que o número de Π s indeendentes é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica dessa matriz. Exemlo # O escoamento de certos fluidos a artir de um reservatório deende de ressão, v velocidade, l característica geométrica longitudinal do contentor, λ característica geométrica transversal, η característica geométrica das irregularidades da arede, ρ massa volúmica do fluido, μ viscosidade dinâmica, σ coeficiente de tensão suerficial, e coeficiente de comressibilidade volumétrica grandezas : três da dinâmica do escoamento:, v, g; três da geometria: l, λ e η; e quatro do fluido:ρ, μ, σ, ε 3 quantidades rimárias; ortanto, 7 grandezas adimensionais e indeendentes 9

10 Matriz Dimensional v g l η λ ρ μ ε σ L 3 M T C vc 2 lc 3 λc 4 ηc 5 ρc 6 μc 7 σc 8 εc 9 gc constan te C vc 2 g C 3 ic 4 ηc 5 λc 6 ρc 7 μc 8 εc 9 σc constan te L C + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 + C 6 3C 7 C 8 C 9.MC +C 7 +C 8 + C 9 +C..T 2C C 2 2C 3 C 8 2C 9 2C L M T C C 2 C C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 C

11 Escolhendo or exemlo C 2, C 3 e C 8 como indeendentes, com menor 2 C 2 C 3 C 8 C + C 4 + C 5 + C 6 3C 7 C 9 C + C 7 + C 9 + C 2C 2C 9 2C Π Π 5 ρv 2, Π 2 λ l, Π 3 η l σ, Π ρvl 2 6 ε, Π ρv 2 7 gl v 2, Π 4 μ ρvl i.e. ou f( ρv 2, λ l, η l, μ ρvl, σ ρvl 2, ε ρv 2, gl v 2 ) ρv 2 Φ( λ l, η l μ ρvl, σ, ρvl 2 ε ρv 2, gl v 2 )

12 v gh F Froude ρvl m R σ ρvl 2 σ ρvh 2 W Reynolds Weber F v gl corresonde ao quociente das forças de inércia elas de gravidade [ρ dx dy dz (dv/dt)] : [ρ g dx dy dz], com dz/dtv. Por isso, se o número de Froude for alto é um índice revela maior imortância relativa das forças de inércia 2

13 λ geom Semelhança de Froude e resistência mecânica Em modelo construido ara satisfazer a semelhança de Froude, e.g. em casos de estudo de estabilidadede quebramares, a reservação de F v gl imlica l m t m l m l t l l m l t m t [ λ ] /2 geom [ λ ] temo Se se usar no modelo o mesmo material, como o volume diminui roorcionalmente a λ 3, as forças volúmicas também assim diminuem. Resulta que as tensões associadas a essas forças, orque as áreas aenas são divididas elo quadrado de λ, são diminuidas no modelo à 3 escala geométrica.

14 Satisfação simultânea de semelhança de Froude e de Reynolds? ρ m v m l m ρ v l μ m μ v m v g m h m g h v m l v l m v m v h m h v m l v l m v m h m v h [ λ v ]/λ geom [ λ v ] λ geom Imossível! Para escoamentos turbulentos, no modelo e no rotótio, se os números de Reynolds estiverem acima da zona de transição de escoamento laminar ara turbulento, ainda que diferentes, a semelhança é satisfatória (Teoria da Semelhança", V. F. Mota, ed. URGS). 4

15 Considerandos sobre Froude e Reynolds 5

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17 Reading Ocean Engineering- MIT Free Ware 7

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19 Ver ágina da cadeira! 9

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