Elasticidade - Demanda e Preço

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1 José Lásaro Cotta Elasticidade - Demanda e Preço Monografia aresentada ao Curso de Esecialização em Matemática Para Professores, elaborado elo Deartamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais como reuisito ara a conclusão da discilina Monografia. Orientador: ANTÔNIO ZUMPANO Belo Horizonte Detº de Matemática - UFMG 005

2 José Lásaro Cotta Elasticidade - Demanda e Preço Ao Grande Aruiteto do Universo, a uem chamamos Deus, ela saúde e ânimo. Aos meus colegas, rincialmente Getúlio e Kelson, ue se fizeram grandes amigos. Um carinho esecial a minha mulher, Marcilene, ue dedicou horas como escriba, me reforçando o ânimo e embelezando este trabalho. Ao rof. Zumano, ue com disonibilidade e interesse em ensinar coisas novas tornou-se um ícone de minha admiração. Belo Horizonte Detº de Matemática - UFMG 005

3 SUMÁRIO I INTRODUÇÃO... 4 Reflexão sobre a matemática; o ael da matemática nos roblemas da administração; o conceito de elasticidade; uma roosta ara análise. II DESENVOLVIMENTO ELASTICIDADE, DEMANDA E PREÇO A) A teoria econômica da elasticidade... B) Desenvolvimento Matemático... C) Problemas Práticos desenvolvimento III APONTAMENTOS FINAIS... 0 IV REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... Uma grande descoberta envolve a solução de um grande roblema, mas há uma semente de descoberta na solução de ualuer roblema. Seu roblema ode ser modesto; orém, se ele desafiar sua curiosidade e fizer funcionar sua caacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você oderá exerimentar a tensão e o razer do triunfo da descoberta. George Polya 3

4 I INTRODUÇÃO Quando o homem sentiu a necessidade de exlicar a natureza e seus fenômenos, tornou-se necessário a criação de símbolos reresentativos. Com o assar do temo, à medida em ue se desenvolvia determinada área, mais sofisticados e abstratos tornaram-se estes símbolos. Grandes vultos da humanidade dedicaram reciosas horas em estudos de teoremas ara formular outros, objetivando acrescentar cada vez mais conteúdo neste comlexo e erfeito modelo de reresentação da natureza. Neste contexto, a matemática surgiu ara servir de suorte de análise no ue se refere à conceitos uantitativos, já ue em se tratando de conceitos ualitativos, a reresentação ocorrerá através da lógica conceitual. A alicação da matemática nos diversos ramos científicos baseia-se em variáveis do mundo real, odendo essas variáveis ser determinadas or observação e hióteses cujas conclusões são obtidas através do método emírico, or dedução. No ue se refere à matemática alicada à administração, os conceitos matemáticos são essenciais ara definir o referencial lógico e sistemático das relações uantitativas, já ue estas revalecem no segundo ramo científico, como or exemlo as noções de custo, demanda, reço, investimento, lucro, dentre outras variáveis relevantes, além de imrimir validade e recisão lógica aos trabalhos e hióteses definidas elo administrador. Não se ode olvidar ue a matemática alicada à economia ou à administração retornará conceitos válidos no âmbito da lógica, o ue não é verdadeiro uanto à recisão emírica. Numa abordagem matemática da teoria econômica, interessa-nos neste trabalho relacionar os benefícios da alicação do conceito de elasticidade -demanda x reço ao aumento da receita, ou mesmo na diminuição desta, elo reflexo no faturamento das alterações sofridas em decorrência de variações no reço de uma mercadoria. Temos ue a elasticidade ode ser definida como a razão entre a variação relativa da variável deendente y e a variação relativa da variável indeendente 4

5 x. Essa variação demonstra a maneira como y resonde à variações de x, sendo freüentemente usadas ara medir o modo elo ual a demanda ou a oferta resondem às variações no reço ou na renda. Conclui-se ue, como as variações envolvidas são relativas, a elasticidade de uma função é uma grandeza adimensional, ou seja, traduz uma grandeza escalar ura, e não uantitativa. Assim, a roosta do resente trabalho é, em rimeiro lano, a aresentação do estudo e alicação da elasticidade em dadas situações em se ue conhece reviamente a euação da demanda em função do reço, utilizando ara tal os recursos do cálculo infinitesimal, com alicação de limites e derivadas, dentre outros. Em segundo lano, em análise suerficial, será demonstrada interretação geométrica nos casos em ue a euação da demanda e reço não se aresenta exlícita, e as conclusões teóricas também oderão ser conseguidas or essa análise geométrica. A curva de demanda e reço será elaborada or meio de coleta de dados em ue a elasticidade será obtida or rocessos gráficos ara alicação rática, sem necessidade de recurso à matemática diferencial, tratando-se de curva exerimental. 5

6 II DESENVOLVIMENTO ELASTICIDADE - DEMANDA E PREÇO A) A teoria econômica da elasticidade Necessário recordar os conceitos básicos da curva de demanda x reço. A uantidade demandada de uma determinada mercadoria, deende de uma série de fatores. Entre esses fatores, um dos mais relevantes é o reço da mercadoria. Quando o reço de uma mercadoria aumenta, mantidos constantes outros fatores, a uantidade demandada da mesma diminui, uma vez ue um reço mais elevado constitui um estímulo ara ue os comradores da mercadoria economizem seu uso. Vejamos um esboço da curva reresentativa desta relação. 0 Pelo exosto, vimos ue uando o reço de uma mercadoria sobe, a demanda ela mesma deve cair. Mas, não sabemos a magnitude desta variação, ou seja, ual o resultado na demanda uando o reço é majorado em 5% (cinco or 6

7 cento), or exemlo. Essa resosta veremos na análise matemática do conceito de elasticidade, a seguir. B) Desenvolvimento Matemático Consideremos uma euação de demanda envolvendo e, onde é o reço ara o ual unidades são demandas àuele reço. Se a euação de demanda for exlicitada em, obtemos a função de demanda g dada or g ( ) Assumimos ue é um número real não negativo e ue a função de demanda é contínua. Se o reço sofre uma variação isto imlica numa variação na demanda de d. As variações relativas do reço e da demanda exressam-se resectivamente or /, d/d. A variação relativa média em d (uantidade demandada) or unidade de variação relativa em (reço) é dada or ou. Mas, ( + ) g ( ) g logo,. g ( + ) g ( ) Fazendo o limite da exressão acima uando tende a zero, lim ( + ) g ( ) g ( + ) g ( ) g 0.. lim 0 7

8 Mas, ( + ) g ( ) g ' lim 0 g ( ) d, logo ( + ) g ( ) g ' d lim 0.. g ( ). A essa exressão denominados elasticidade de demanda em relação ao reço e será reresentada ela letra grega, cuja definição formal aresentamos: A elasticidade de demanda em relação ao reço dá a variação ercentual aroximada na demanda ue corresonde à variação de 1% (um or cento) no reço. Se a euação de demanda g() e é a elasticidade, então, d. A elasticidade é definida como uma roriedade de ualuer função diferenciável, orém, seu uso mais comum ocorre na análise de como a demanda or uma mercadoria resonde a variações de seu reço. Sabemos ue a curva de demanda tem declividade negativa, logo sua derivada rimeira também será negativa, e or conseguinte, a elasticidade será menor ou igual a zero ( 0). Como a elasticidade é adimensional, odemos comarar o comortamento das elasticidades de vários rodutos. Para isso curvas de demanda são agruadas em categorias, como sendo: 8

9 1) DEMANDA ELÁSTICA: Se > 1, dizemos ue a demanda é elástica. Isto indica ue a variação ercentual na uantidade demandada é maior ue a variação ercentual no reço. Em outras alavras, elevação no reço rovoca redução na uantidade demandada relativamente maior do ue a elevação no reço. Interreta-se como a sensibilidade relativamente alta da demanda em relação ao reço. ) DEMANDA INELÁSTICA: Se < 1, dizemos ue a demanda é inelástica. Isto indica ue a variação ercentual na uantidade demandada é menor ue a variação ercentual no reço. Em outras alavras, elevação no reço rovoca redução na uantidade demandada relativamente menor ue a elevação no reço. Interreta-se como a sensibilidade relativamente baixa da demanda em relação ao reço. 3) ELASTICIDADE UNITÁRIA: Se 1, dizemos ue a demanda é unitária. Isto indica ue a variação ercentual na uantidade demandada é igual à variação ercentual no reço. Imorta ressaltar ue, em geral, a elasticidade de uma função não é constante ao longo de todo seu domínio. Entretanto, a hiérbole euilátera, tem elasticidade constante ao longo de seu domínio. Se a função de demanda é dada ela hiérbole euilátera generalizada, temos: Então, a ( ) m ( ) d d. am m 1 9

10 m m a m 1 ( am ) Daui, conclui-se, ue a elasticidade de demanda é a constante -m, o ue indica ue um acréscimo de 1% (um or cento) no reço do roduto resulta num decréscimo de m or cento na demanda, em ualuer faixa de reço. Aenas uma hiérbole euilátera tem elasticidade constante ao longo de seu domínio. Muitas vezes torna-se imortante analisarmos a elasticidade de demanda e reço de determinada mercadoria em relação à outra. Ou seja, a elasticidade de demanda e reço cruzada da mercadoria x em relação à mercadoria y é dada ela relação entre as variações ercentuais na uantidade demandada do bem x e a variação ercentual no reço da mercadoria y, mantidos inalterados outros fatores. Assim, odemos exressar: x, y x, y y x y x. d. x y x y ou Também aui odemos levar em consideração três situações: 1) x,y > 0 Com este resultado concluímos ue um aumento no reço da mercadoria y leva a um aumento na demanda da mercadoria x, isto é, as duas mercadorias são substitutas. ) x,y < 0 Neste caso, uando ocorre um aumento no reço da mercadoria y, a demanda ela mercadoria x diminui, ou seja, x e y são mercadorias comlementares. 3) x,y 0 Isso só ode ocorrer se o reço da mercadoria y não 10

11 exercer nenhuma influência sobre a demanda da mercadoria x. Dizemos ue as mercadorias x e y são indeendentes. Um emrego muito interessante do estudo da elasticidade de demanda e reço é auele usado ara verificar ual seria o imacto sobre a receita de venda no caso de uma variação no reço da mercadoria. Se R é a função receita total, logo, R() é a receita total ara uma demanda de unidades ao reço unitário. Isto é: ( ). ( 1) R onde é uma função de ( g()). Diferenciando ambos os lados da euação (1) em relação à, teremos: ( ) dr + d. Multilicando e dividindo or a segunda arcela do segundo membro, teremos: ( ) dr +. d ( ) dr 1 + d mas, d. então, ( ) dr ( ) 1 11

12 ou melhor: R ' ( ) ( 1 ) Da exressão acima verifica-se ue a variação da receita marginal terá o mesmo sentido da variação do reço se < 1 (regime inelástico). Será contrária à variação do reço se > 1 (regime elástico). Será igual a zero se 1 (elasticidade unitária). Em outras alavras, uma redução no reço do roduto fará com ue sua receita de venda diminua, aumente ou ermaneça constante conforme a demanda dessa mercadoria seja inelástica, elástica ou tenha elasticidade unitária. Veremos agora um artifício geométrico do ual extrairemos uma forma fácil de calcularmos a elasticidade de demanda e reço uando já se conhece o traçado da curva demanda vs reço. Este rocesso torna-se rático nauelas situações em ue a relação entre a demanda e o reço é dificilmente exressa numa euação. Ou seja, naueles casos em ue usualmente a curva de demanda vs reço é conseguida or exerimentação. Consideremos a curva de demanda x reço conforme figura abaixo: 1

13 E F A 0 B C Pelo onto A da curva onde desejamos calcular o valor da elasticidade de demanda x reço () tracemos uma reta tangente à curva, de maneira ue cruze os eixos no onto E e o eixo no onto C. Consideremos as coordenadas do onto A como sendo A B e A F Usando a definição de elasticidade, ara a curva de demanda x reço teremos:. No onto A o reço é dado elo segmento OB e a uantidade demandada elo segmento OF. A inclinação da reta tangente à curva no onto A é dada or OF BC Logo, teremos ue: OB OF. OF BC OB BC 13

14 Mas os triângulos AEF e CAB são, logo, vale a relação. OB BC ue euivale a AE AC OB BC AE AC Portanto o valor de fica assim concluído: AE AC C) Problemas Práticos Desenvolvimento Vamos trabalhar agora exemlificando situações em ue odemos utilizar a teoria de elasticidade de demanda e reço aroximando do cotidiano das emresas. Este é o grande mérito dessa teoria da ual odemos tirar conclusão ara efetivo emrego. Consideremos um emreendedor do segmento de aarelhos de barbear, ue como ualuer outro emresário, busca incessantemente maximizar seus lucros. Para tal, contratou uma emresa de estatística e com o auxílio de matemáticos, conseguiram, deois de alguma temo, euacionar a relação ue melhor reresenta o comortamento da demanda em função dos reços. Ora, de osse dessa relação, o emreendedor oderá, se conhecendo a teoria da elasticidade, simular variações no reço de seu roduto e avaliar ual será, teoricamente, a reação da demanda. Em se tratando de emreendedor bem sucedido, ois sabe usar das ferramentas ue a matemática alicada lhe oferece, saberá conjugar tal informação com a realidade do mercado. 14

15 Vejamos, minuciosamente, os assos dessa alicação. Consideremos a euação ue reresenta a variação da demanda em função do reço como sendo: 18, onde uantidade demandada em milhões de unidades reço or unidade demandada O uestionamento do emreendedor, a riori, é saber uanto diminuiria a demanda se ele majorasse o reço do barbeador de R$,00 (dois reais) ara R$,06 (dois reais e seis centavos), ou seja, em 3% (três ontos ercentuais). Com a alicação direta da euação da demanda versus reço, ele obteve: Quando, teremos 10 Já uando,06, teremos 9,513 Logo, o decréscimo na demanda será de 0,487 e o decréscimo relativo será / 0,487/10 0,0487. Ou seja, 4,87% Analisando desta maneira, o emreendedor ode concluir ue, majorando o reço do roduto (barbeador) em 3% (três ontos ercentuais) acarretará um decréscimo na demanda de 4,87% (uatro vírgula oitenta e sete ontos ercentuais). De osse da variação da demanda uando alterou-se o reço, o emreendedor, fazendo uso da euação da demanda versus reço, obtém a estimativa em rimeira aroximação, da elasticidade demanda e reço: 15

16 4,87 3 4,87 3 1,633 (ue deve ser negativo, ois as variações de e são contrárias). Ora, elas análises reliminares, nosso emreendedor obteve uma noção do comortamento da demanda em função da variação no reço, mas é necessário algo tecnicamente mais aurado. Assim, vejamos o comortamento da elasticidade demanda e reço, uando utilizamos ara a análise do caso articular, em ue o reço do aarelho de barbear é de R$,00, o emrego do cálculo diferencial e seus resultados: d., onde 18 d 4 Logo,. ( 4 ) 4 16

17 Substituindo os valores de e 10, ,60 10 Relacionando o valor de encontrado ela alicação direta da euação 18 e auele encontrado ela alicação do cálculo diferencial d., identificamos uma diferença, onde no rimeiro caso, a elasticidade no onto era - 1,633 e no segundo, - 1,60. Esta diferença evidenciada elo cálculo diferencial ode arecer irrisória, mas, na rática, onde estão envolvidas milhões de unidades do roduto, torna-se relevante ara a maior ou menor rentabilidade do emreendimento. Por isso, ara maior clareza, comarando, no caso da alicação direta da euação, um aumento de 3% (três ontos ercentuais) no reço, acarretaria uma diminuição na demanda de 4,87% (uatro vírgula oitenta e sete ontos ercentuais). Já com a teoria diferencial, fácil erceber ue a mesma variação acarretaria uma diminuição na demanda de 4,9% (uatro vírgula nove ontos ercentuais). Ou seja, uma diferença de 0,03% (três centésimos ercentuais), ue num universo de milhões de unidades, torna-se significante. Entusiasmado com seus cálculos, nosso emreendedor uer saber mais. Ele retende aumentar a demanda elo barbeador em 5% (cinco or cento) e recisa, ara isso, estimar, teoricamente, a necessária redução, considerando ue o reço atual do roduto é R$,00 (dois reais). Fácil! 17

18 De osse do valor da elasticidade no onto,, ue é - 1,60, ele ode efetuar o cálculo: Considerando ue a variação de 1% (um or cento) no reço acarreta uma alteração de 1,60 na demanda, ara uma variação de 5% (cinco or cento) no reço, teremos: 5/-1,60-3,15 3,13% Então, conclui-se ue reduzindo em 3,13% (três vírgula treze or cento) no reço do barbeador, em tese, sua demanda será alavancada em 5% (cinco or cento). Sem os cálculos matemáticos essa conclusão não seria óbvia. Avançando, o emreendedor retende esuisar se ara ualuer valor atribuído ao roduto, o comortamento matemático acima relatado trará valores euivalentes. Caso isso não ocorra, como ode ele saber? Basta verificar os intervalos no domínio da função () 18 nos uais ela comorta-se de forma elástica ( > 1), unitária ( 1) ou inelasticamente ( < 1). Para tanto, tem-se: d d., 4 onde 18 Logo,. 4 4 ( ) ( ) 18 ( 18 ) Então: Para 1 18

19 teremos 4 18 ou seja, 1,73 Conclui-se ue ara valores do reço > 1,73 a demanda se comortará elasticamente em relação ao reço. Ou seja, um aumento relativo no reço ocasionará um decréscimo relativamente maior na demanda. Para o valor de 1,73 a elasticidade será unitária, ou seja, aumentos de reço rovocarão diminuição na demanda na mesma roorção. Por último, ara valores de <1,73 a demanda se comortará inelasticamente, o ue uer dizer ue aumentos relativos nos reços rovocarão diminuição relativamente menor na demanda. Por derradeiro, concluiu o emreendedor ue a variação da demanda rovocada or alteração no reço não significa aumento de receita e conseuentemente lucro, ois, em sendo a receita R().(), necessário avaliar sua alteração em função da variação nos reços e verificar se é válida a exressão ( ) dr ( 1 ). Então, temos: R ( ). ( ) onde ( ) 18 R ( ). ( ) onde ( ) 18 ( ) dr d. + Mas, 19

20 d 4 logo, ( ) dr 4 + dr ( ) ( ) Pela euação ( ) dr ( ) 1, teremos: Como 4 dr ( ) Mas, ()18- dr ( ) Logo, é válida a receita marginal uando se conhece a elasticidade ara um dado valor da demanda. Assim, de osse dos resultados de todas as indagações anteriormente aresentadas, o emreendedor oderá obter duas imortantes conclusões: 1) Trabalhando com valores em ue a demanda se comorta de forma elástica ( >1), ou seja, reços acima de R$ 1,73 (um real e setenta e três centavos), ualuer majoração acarretaria ueda de receita. Interretação a contrário sensu ermite concluir ue uma redução em ualuer reço ue esteja sendo raticado acima de R$1,73 (um real e setenta e três centavos) acarretaria aumento de demanda e, conseuentemente, de receita. ) Por outro lado, trabalhando no regime inelástico ( <1), ou seja, reços abaixo de R$1,73 (um real e setenta e três centavos), temos ue a variação da receita aresenta o mesmo sentido da variação do reço, significando dizer 0

21 ue variar ositivamente o reço rovoca aumento de receita e, redução de reço acarreta ueda de receita. Este regime traduz uma zona de conforto ara o emreendedor, ois a variabilidade no reço ara mais semre acarretará aumento de receita, ficando sua atividade aenas limitada ela concorrência do mercado, sem riscos matemáticos ue ossam rovocar ueda de receita. 1

22 III - APONTAMENTOS FINAIS Através da elaboração deste trabalho restou evidenciada a imortância da inter-relação entre as discilinas como forma de gerar a autorodutividade científica. Assim, o acolamento da matemática a outros ramos normativos, como or exemlo, à economia e à administração, odem gerar benefícios mercadológicos, ue imulsionam a economia. Essa ersectiva atende ao sistema de mercado caitalista reforçada ela atual era da globalização econômica. É certo ue a globalização rocura transformar o globo terrestre em um imenso e único mercado, sem contemlação de fronteiras e diferenças nacionais e locais. Tende a uma adronização e uniformização de condutas, rocedimentos e relevâncias relativamente aos objetivos de maximização econômica e de lucros, a artir dos interesses das nações centrais e emresas transnacionais ue, efetivamente, controlam o oder econômico mundial, sem recedentes na história. Se a globalização ossui asectos ositivos, como os aresentados acima, eles são normalmente ofuscados elos efeitos negativos ue um mercado global desregulamentado ocasiona ara as economias nacionais. A inserção de aíses em desenvolvimento na globalização sem ualuer roteção à suas emresas inciientes, já ue a regra é ue o mercado or si só regularia as transações e roorcionaria um euilíbrio entre os agentes macroeconômicos, tem gerado uma grave crise econômica e social em tais aíses. Essas medidas econômicas descritas acima são adotadas em todo o mundo e reresentam um consenso no sentido de ser tal olítica macroeconômica neoliberal inafastável e necessária, ainda ue alguns aíses do dito Primeiro Mundo, contraditoriamente, mantenham certos subsídios ara suas emresas uando as mesmas atuam no mercado global. Entretanto, é com vistas ao mercado ue a heteroreferência matemática é buscada neste trabalho. A simlicidade da abordagem não limita as ossibilidades oferecidas ela alicação científica da matemática aos emreendimentos, considerando ue é através de seu emrego ue as economias ditas desenvolvidas

23 atingiram o áice do controle mercadológico. Resta lembrar ue aresenta-se aui uma euena mostra do ue a alicação técnica da matemática ode gerar em termos de economia de mercado. Essa alicação retorna conceitos válidos no âmbito da lógica, o ue não é verdadeiro uanto à recisão emírica. Numa abordagem matemática da teoria econômica, ossível demonstrar os benefícios da alicação do conceito de elasticidade -demanda x reço ao aumento da receita, ou mesmo na diminuição desta, elo reflexo no faturamento das alterações sofridas em decorrência de variações no reço de uma mercadoria. Assim, a análise minudenciada dos arâmetros econômicos de ualuer emreendimento aliada às ferramentas matemáticas são caazes de reduzir os riscos do investimento, tornando ossível ao emreendedor uma visão anteciada dos rumos de seu negócio, e, tornando-o ato a articiar do mercado de forma cometitiva. A matemática é um sistema auto-referente!!! 3

24 IV REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS WEBER, Jean E. Matemática ara Economia e Administração. ed. São Paulo: Ed. Harbra Ltda, 001. LEITHOLD, Louis. Matemática alicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra Ltda, VASCONCELLOS, Marco Antônio Sandoval ; OLIVEIRA, Roberto Guena. Manual de Microeconomia. ª ed. São Paulo: Ed. Atlas, 4