UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA -IE TEORIA DOS NÚMEROS. Texto de aula. Professor Rudolf R. Maier

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA -IE TEORIA DOS NÚMEROS Texto de aula Professor Rudolf R Maier Versão atualizada 005

2 Estas notas são o resultado da exeriência nas aulas do curso do mesmo título, roferido regularmente elo autor neste Deartamento de Matemática Durante o curso e na elaboração destas notas fizemos livre uso e seguimos com modificações e comlementações à linha do livro ELEMENTARY NUMBER THEORY de David M Burton Revised Printing University of New Hamshire Allyn and Bacon, Inc Boston London Sydney Toronto c 1980

3 Índice 1 Resultados Preliminares 1 O rincíio da indução O teorema binomial n As fórmulas ara S n (m = k m Os números triangulares Algumas observações sobre lógica elementar Diferença de dois quadrados Teoria de divisibilidade nos números inteiros 1 O algoritmo geral de divisão Máximo divisor comum de dois números Números relativamente rimos O algorítmo Euclidiano O mínimo múltilo comum Equações Diofantinas 3 Números rimos e sua distribuição 34 O teorema fundamental da aritmética A quantidade dos divisores de um número n A decomosição rimária de n! Estimativas sobre quantidades de rimos A função π dos números rimos Decomosição de números e o crivo do Eratóstenes A conjetura de Goldbach Progressões aritméticas e rimos Polinômios e rimos 4 Trilos Pitagóricos e a conjetura de Fermat 53 Trilos Pitagóricos A conjetura de Fermat i

4 5 Números deficientes-abundantes-erfeitos e de Mersenne 61 Números deficientes, abundantes e erfeitos O teorema de Euclides/Euler Números de Mersenne 6 A teoria das congruências 69 Divisibilidade e congruências Congruências lineares Congruências simultâneas e o teorema do resto chinês 7 Os Teoremas de Fermat e de Wilson 78 O equeno teorema de Fermat O teorema de Wilson 8 Congruências quadráticas e a lei da recirocidade quadrática de Euler/Gauss 85 Restos quadráticos Um Lema de Euler O símbolo de Legendre Um Lema de Gauss O símbolo de Legendre ( A lei da recirocidade quadrática Mais alguns símbolos de Legendre eseciais 9 Reresentação de inteiros como soma de quadrados 105 Soma de dois quadrados Soma de três quadrados Soma de quatro quadrados (o teorema de Lagrange 10 A função ϕ de Euler 114 Restos relativamente rimos e a função ϕ O teorema de Euler Mais algumas roriedades da função ϕ 11 Raízes rimitivas 13 Ordens módulo n e raízes rimitivas Existência de raízes rimitivas ii

5 TEORIA DOS NÚMEROS Notas de aula - Versão atualizada 005 Prof Rudolf R Maier 1 Resultados Preliminares A Teoria dos Números, a mais ura discilina dentro da mais ura das Ciências - da Matemática - tem uma longa história, originando-se nas antigas civilizações da humanidade Listamos rimeiro alguns nomes famosos de matemáticos que voltarão a aarecer no contexto do nosso curso: Pitagoras Euclides Eratóstenes Diofantos Plutarco ( a C ( 350 a C ( a C ( 50 d C ( 100 d C Marin Mersenne ( Pierre de Fermat ( Blaise Pascal ( Christian Goldbach ( Leonhard Euler ( Joseh Louis Lagrange ( John Wilson ( Adrien Marie Legendre ( Carl Friedrich Gauss ( Augustin Louis Cauchy ( Peter Gustav Dirichlet ( P L Tchebychef ( Frederick Nelson Cole ( Axel Thue ( Jacques Salomon Hadamard ( Charles de la Vallée Poussin (

6 Dedicaremos os nossos estudos durante este curso às roriedades dos Lidaremos então com o conjunto números inteiros racionais Z = {, 3,, 1, 0, 1,, 3, } dos números inteiros e seus subconjuntos, articularmente com os subconjuntos IN 0 = { 0, 1,, 3, } e IN = { 1,, 3, } dos números inteiros não-negativos e dos números naturais Iniciamos, lembrando exemlos de algumas seqüências imortantes no conjunto IN dos números naturais: 11 Exemlo Seqüências imortantes em IN são: A seqüência a (n n IN = (1,, 3,, n, de todos os números naturais, b (n n IN = (, 4, 6,, n, dos números naturais ares, c (n 1 n IN = (1, 3, 5,, n 1, dos números ímares, d e ( n ( n 3 n IN = ( 1, 4, 9,, n, dos quadrados erfeitos, n IN = ( 1, 8, 7,, n 3, dos cubos erfeitos, f ( n n IN = (, 4, 8,, n, das otências de g ( n n IN = (, 3, 5,, n, dos números rimos, h etc Dizemos também: n é o n-ésimo número natural, n é o n-ésimo número ar, n 1 é o n-ésimo número ímar, n é o n-ésimo quadrado erfeito, etc Temos duas oerações internas em IN 0 e também em Z a adição + e a multilicação as quais queremos admitir sem mais exlicações A ordem natural em Z é dada or: n, m Z temos m n a equação m + x = n ossui uma solução x IN 0 Uma fundamantal roriedade do conjunto IN dos números naturais é:

7 O rincíio da indução Todo conjunto não vazio S de números naturais ossui um elemento mínimo Em símbolos: S IN, S O, m S tal que m n n S Deste rincíio segue a imortante 1 Proosição Seja T um conjunto de números naturais (ie T IN satisfazendo às roriedades: a 1 T b Semre se n T, então também n+1 T Então T = IN é o conjunto de todos os números naturais Demonstração: Suonhamos T IN Para o conjunto comlementar S = IN \ T temos então O S IN Pelo rincíio da indução existe m S tal que m n ara todos os n S Como 1 T ela roriedade a, temos 1 S, articularmente m > 1 Daí concluimos n = m 1 T Pela roriedade b temos orém m = n+1 T, de onde sai o absurdo m S T = O Isto mostra que S O é imossível Temos que ter S = O e daí T = IN Proosição 1 alica-se ara verificar a validade geral de fórmulas as quais envolvem números naturais, como mostra o seguinte 13 Exemlo Para todos os números naturais n vale (n 3 + (n 1 = n ( Em alavras: A soma dos n rimeiros números naturais ímares é o n-ésimo quadrado erfeito Demonstração: Seja T = { n IN n (k 1 = n } o conjunto dos números naturais ara os quais a fórmula ( é verdadeira (o conjunto verdade ou o conjunto de validade de ( Para mostrar que T = IN, só é reciso verificar a e b 3

8 da Proosição 1 ara este T : Para n = 1 ( simlesmente afirma que 1 = 1, o que certamente é verdade, ou seja, 1 T Suonhamos n T ara algum número natural n, isto é, (n 1 = n Somando-se n+1 a ambos os lados, obtemos de onde segue (n 1 + (n+1 = n +n+1, (n 1 + ( (n+1 1 = (n+1 Isto or sua vez significa n+1 T Pela roosição concluimos que o conjunto verdade da fórmula ( é o conjunto T = IN de todos os números naturais 14 Exemlo Para todos os números naturais n e todo real a 1 vale 1 + a + a + a a n 1 + a n = an+1 1 a 1 Particularmente (quando a = obtemos n 1 + n = n+1 1 Demonstração: Mais uma vez temos que verificar a asserção ara n = 1 e ara n+1 sob a hiótese que ela já é válida ara algum n: Para n = 1 simlesmente afirma-se que 1+a = a 1, o que é verdade (orquê? a 1 Suonhamos, ara algum número natural n já esteja rovado 1 + a + a + a a n 1 + a n = an+1 1 a 1 Somando-se a n+1 a ambos os lados, obtemos 1 + a + a + + a n 1 + a n + a n+1 = an+1 1 a 1 + a n+1, 4

9 de onde segue 1 + a + a + + a n + a n+1 = an (a 1a n+1 a 1 = a(n a 1 Isto diz que a fórmula continua válida ara n+1 Concluimos que ela vale ara todo n IN Mencionamos que, às vezes é conveniente trabalhar com a seguinte generalização de 1: 1 Proosição Seja n 0 Z um inteiro fixo e seja T um conjunto de (alguns números inteiros maiores ou iguas a n 0 (ie T { n n 0 n Z }, satisfazendo às roriedades: a n 0 T b Semre se n 0 n T, então também n+1 T Então T = { n n 0 n Z } é o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a n 0 Isto é fácilmente verificado ela alicação de 1 ao conjunto T = { n n n T } Observamos que ara este T temos T IN e n 0 T é equivalente a 1 T (1 é obtido de volta a artir de 1 fazendo-se n 0 = 1 A título de ilustração mencionamos o seguinte exemlo A afirmação (correta que o leitor queira verificar: n > n ara todos os n 5 odemos substituir ela afirmação equivalente (ou também or n+4 > (n + 4 ara todos os n IN n+783 > (n ara todos os n Z com n 778, se quisermos 5

10 O teorema binomial Se n IN 0 entendemos or n! o roduto e acrescentamos n! = n k = 1 3 n, se n IN 0! = 1, se n = 0 (roduto vazio n! lê-se: n fatorial É imediato que se tem 0! = 1! = 1,! =, 3! =! 3 = 6, 4! = 3! 4 = 4,, n! = (n 1! n, (n+1! = n! (n+1, 15 Definição Para todo n IN e todos os k IN 0 com 0 k n colocamos ( n k = n! k!(n k!, número este que se chama o coeficiente binomial n sobre k Temos as seguintes roriedades dos coeficientes binomiais: 16 Observação Para todo n IN e todos os k IN 0 a b c ( n n(n 1 (n k+1 k = k! ( n ( n k = n k ( n ( n ( n+1 k + k 1 = k Demonstração: a ( n n(n 1 (n k + 1 k! sek 1 n! k = k!(n k! com 0 k n valem = n(n 1 (n k + 1 (n k 1 k!(n k! b Observamos rimeiro que com 0 k n temos também 0 n k n Pela definição temos de imediato ( n n! n k = (n k![n (n k]! = n! (n k!k! = ( n k 6 =

11 c Se k 1 calculamos ( n k ( n n! + k 1 = k!(n k! + n! n!(n k n!k = (k 1![n (k 1]! k!(n k + 1! = n!(n + 1 k!(n k + 1! = (n + 1! k![(n + 1 k]! = ( n+1 k = Eis alguns valores esecíficos de coeficientes binomiais: ( n ( n 0 = n = 1, ( n 1 ( n ( n ( n n(n 1 = n 1 = n, = n = Podemos enunciar e rovar agora o fundamental 17 Teorema teorema do desenvolvimento binomial: Para todo n IN e todos os números reais a, b temos or extenso: = ( n 0 a n b 0 + ( n 1 a n 1 b 1 + ( n (a + b n = n k=0 ( n k (a + b n = a n b + + ( n k a n k b k, a n k b k + + ( n n 1 a 1 b n 1 + ( n a 0 b n Demonstração: Demonstraremos isto or indução sobre o exoente n, isto é, rovaremos 1 T e a imlicação n T n+1 T, quando T é o conjunto de validade da fórmula Para n = 1 afirma-se que (a+b 1 = 1 k=0 igual a a + b de ambos os lados, ie 1 T ( 1 k a 1 k b k = ( 1 0 a 1 0 b 0 + ( 1 1 a 1 1 b 1, sendo Suonhamos então que, ara algum n IN, já esteja rovado (a + b n = n k=0 ( n k a n k b k ( n 7

12 e rovamos a validade ara n+1 Para isto multilicamos os dois lados de ( or (a + b e obtemos, usando-se a observação 16 c: (a + b n+1 n = a n k b k (a + b = n k=0 = a n+1 + n = a n+1 +b n+1 + n isto é, k=0 ( n k ( n k a n k+1 b k + n k=0 ( n k a n k+1 b k + n 1 k=0 ( n k a n k b k+1 = ( n k = a n+1 + b n+1 + n ( n k a n k+1 b k + n [( n k + ( n k 1 a n k b k+1 + b n+1 = ( n k 1 a n k+1 b k = ] a n+1 k b k = a n+1 +b n+1 + n = n+1 k=0 (a + b n+1 = n+1 ( n+1 k a n+1 k b k, k=0 ( n+1 k a n+1 k b k ( n+1 k a n k+1 b k = Isto significa que, a artir da suosta validade da fórmula ( ara algum n, conseguimos rovar a sua validade ara n+1 (ie n T n+1 T Concluimos que ( tem validade ara todo n IN É usual, escrever-se os coeficientes binomiais ( ( n 0 k (acrescentando-se ainda 0 = 1, ordenados no chamado Triângulo de Pascal, cuja n-ésima linha fornece então os coeficientes no desenvolvimento de (a + b n ara n = 0, 1,, 3, ( 0 0 ( ( ( ( 0 1 ( ( ( ( ( 3 3 ( ( ( ( ( ( n n n n n n 0 1 k 1 k n 1 n ( ( ( ( ( n+1 n+1 n+1 n+1 n k n n+1 8

13 Vemos ainda a visualização da fórmula 16 c, a qual diz como o termo ( n+1 da (n+1-ésima linha no triângulo de Pascal é obtido como soma dos termos vizinhos da linha anterior ( n k 1 e ( n k Disto conclui-se fácilmente or indução sobre n a 18 Conseqüência Os coeficientes binomiais são números inteiros k As fórmulas ara S n (m = n k m 19 Definição Para todo n IN e todo m IN 0 colocamos S n (m = n k m = 1 m + m + 3 m + + n m, isto é, S n (m é a soma das n rimeiras m-ésimas otências Por exemlo, S n (0 = n 0 = n, S n (1 = n 1 = n é a soma dos rimeiros n números naturais, S n ( = n = n é a soma dos rimeiros n quadrados erfeitos, S n (3 = n 3 = n 3 é a soma dos rimeiros n cubos erfeitos, etc Como odemos obter fórmulas fechadas ara S n (m? A seguinte fórmula recursiva ermite calcular S n (m a artir das fórmulas anteriores S n (0=n, S n (1, S n (,, S n (m 1: 9

14 110 Teorema Para todos os n, m IN vale (m+1 S n (m = (n+1 m+1 1 m 1 Por extenso: (m+1 S n (m = = (n+1 m+1 1 ( m+1 0 S n (0 ( m+1 1 S n (1 k=0 ( m+1 k Sn (k ( m+1 k S n (k ( m+1 m 1 S n (m 1 Demonstração: Desenvolvemos rimeiro a exressão (1 + x m+1 binomial: (1+x m+1 = m+1 ( m+1 k x k, or extenso, (1+x m+1 = 1 + ( m+1 1 x 1 + ( m+1 x + + k=0 ( m+1 k x k + + Colocando-se x = 1,,, l,, n, obtemos ( m+1 m 1 x m 1 + elo teorema ( m+1 m x m + x m+1 ( ( ( ( ( m+1 m+1 = m m k 1 k m m 1 1 m 1 m+1 + m 1 m + 1 m+1 ( ( ( ( ( 3 m+1 m+1 = m+1 + m k k m m 1 m 1 m+1 + m m + m+1 ( ( ( ( ( (l+1 m+1 m+1 = l 1 m+1 + l m k l k m m 1 l m 1 m+1 + m l m + l m+1 ( ( ( ( ( (n+1 m+1 m+1 = n 1 m+1 + n m k n k m m 1 n m 1 m+1 + m n m + n m+1 Somando-se estas n equações verticalmente, cancelando-se de ambos os lados os números m+1,, n m+1 e observando-se a definição de S n (k, obtemos (n + 1 m+1 = n + m 1 ( m+1 k Sn (k + (m + 1S n (m + 1 Lembrando ainda n = S n (0, isto dá a nossa fórmula afirmada (m + 1 S n (m = (n + 1 m+1 1 m 1 k=0 ( m+1 k Sn (k 10

15 Vejamos os rimeiros casos desta fórmula a m = 1 : (1 + 1 S n (1 = (n ou seja, S n (1 = (n S n (0 k=0 ou ainda S n (1 = n + n n = n(n + 1 ( 1+1 k Sn (k o que dá ara a soma dos n rimeiros números naturais: S n (1 = n(n + 1 b m = : ( + 1 S n ( = (n k=0 ou seja, 3 S n ( = (n S n (0 3 S n (1 ou ainda 3 S n ( = (n (1 + n 3 = (n + 1 [(n ] n n(n + 1 ( +1 k Sn (k = = (n + 1(n + n o que dá ara a soma dos n rimeiros quadrados erfeitos:, S n ( = n(n + 1(n c m = 3 : (3 + 1 S n (3 = (n k=0 ( 3+1 k Sn (k ou seja, 4 S n (3 = (n S n (0 4 S n (1 6 S n ( ou ainda 4 S n (3 = (n (1 + n 4 n(n n(n + 1(n = (n + 1 [ (n n n(n + 1 ] = (n + 1 [ n 3 + n ] = n (n + 1 o que dá ara a soma dos n rimeiros cubos erfeitos: = S n (3 = n (n Comarando-se os casos m = 1 e m = 3 vemos que S n (3 = ( S n (1 o que dá ainda a relação interessante válida ara todos os n IN ( n = n 3, 11

16 Uma fórmula fechada ara S n (m sem uso das anteriores odemos estabelecer em forma de um (m+1 (m+1-determinante: 111 Teorema Para todo n IN e m IN 0 S n (m = 1 (m + 1! temos ( (n ( ( (n+1 1 ( ( ( (n ( ( ( m m m 0 1 ( ( ( m+1 m+1 m ( m ( m m m 1 ( ( m+1 m+1 m m 1 (n+1 m 1 (n+1 m+1 1 Demonstração: Nossa fórmula de recursão (m + 1 S n (m = (n + 1 m+1 1 m 1 odemos reescrever, substituindo-se m = l, como k=0 ( m+1 k Sn (k l k=0 ( l+1 k Sn (k = (n + 1 l+1 1 Exlicitando-se esta ara l = 0, 1,,, m, obtemos um sistema de m + 1 equações lineares nas m + 1 incognitas S n (0, S n (1, S n (,, S n (m: ( 1 0 S n (0 ( ( 0 S n (0 + 1 S n (1 ( ( S n (0 + 1 S n (1 + ( 3 S n ( = (n = (n+1 1 = (n ( ( ( m m m 0 S n (0 + 1 S n (1 + + m 1 S n (m 1 = (n+1 m 1 ( ( ( ( m+1 m+1 m+1 m+1 0 S n (0 + 1 S n (1 + + m 1 S n (m 1 + m S n (m = (n+1 m+1 1 O determinante dos coeficientes deste sistema (o roduto dos coeficientes da diagonal neste caso é 1

17 ( 1 ( ( ( m m 1 ( m+1 m = (m + 1! A alicação da regra de Cramer fornece ara a incógnita S n (m, como afirmado: S n (m = 1 (m + 1! ( (n ( ( (n+1 1 ( ( ( (n ( ( ( m m m 0 1 ( ( ( m+1 m+1 m ( m ( m m m 1 ( ( m+1 m+1 m m 1 (n+1 m 1 (n+1 m+1 1 Os números triangulares 11 Definição Para todo m IN indicamos or t m = m(m + 1 t m chama-se o m-ésimo número triangular Desta definição decorre imediatamente: 113 Observação Para todo m IN temos t m = S m (1 = m = ( m+1 tal como t m+1 = t m + (m + 1 A seqüência dos números triangulares é ( (t m m IN = 1, 3, 6, 10,, m(m + 1, A denominação número triangular ara os números desta seqüência exlica-se elo seguinte triângulo equilâtero de lados m o qual contém exatamente t m ontos: 13

18 A seguinte caracterização dos números triangulares entre os números naturais é um resultado clássico devido a Plutarco (ca 100 d C 114 Proosição Para todo número natural n temos: n é um número triangular, se e somente se, 8n + 1 é um quadrado erfeito Demonstração: Nesta roosição duas coisas estão sendo afirmadas e têm que ser rovadas: 1 Semre quando n é um número triangular, 8n + 1 será um quadrado erfeito Semre quando 8n + 1 é um quadrado erfeito, n será um número triangular Seja rimeiro n um número triangular, ie n = t m ara algum m IN Segue que 8n + 1 = 8t m + 1 = 8 é um quadrado erfeito m(m = 4m + 4m + 1 = (m + 1 Seja agora n IN tal que 8n + 1 = k é um quadrado erfeito Como k é ímar 3 concluimos que k 1 IN Coloquemos m = k 1 e segue com esta escolha de m: ( k 1 k t m = t k 1 = = k 1 = n, 8 mostrando que n é um número triangular (mais exatamente: n é o k 1 -ésimo termo na seqüência dos números triangulares 14

19 Algumas observações sobre lógica elementar Suonhamos, A e B são asserções (ou roriedades - as quais odem ser verdadeiras ou falsas e cuja veracidade ou falsidade ode ser constatada de forma única Quando escrevemos A = B queremos dizer que A imlica em B, ou seja, semre quando A fôr verdadeira, também B será verdadeira Outra maneira de dizer isto é: (A validade de A é condição suficiente ara (a validade de B, ou B é condição necessária ara A, ou ou A vale somente se B vale, B vale se A vale, ou ainda Se A, então B É claro que B = A significa o mesmo quanto A = B Vejamos exemlos Seja A a asserção: um certo número natural n é múltilo de 4 (isto ode ser verdadeiro ou falso, B a asserção: n é ar Claramente temos neste caso A = B, ois semre se n é múltilo de 4, concluimos que n é ar Assim, odemos dizer: n ser múltilo de 4 imlica que n é ar, n ser múltilo de 4 é condição suficiente ara n ser ar, n ser ar é condição necessária ara n ser múltilo de 4 n é múltilo de 4 somente se n é ar, n é ar, se n é múltilo de 4 se n é múltilo de 4, então n é ar 15

20 Um outro exemlo Seja A a asserção: está chovendo, (também isto ode ser verdadeiro ou falso aqui e agora, B a asserção: a raça está molhada Também neste caso temos A = B, ois, se realmente está chovendo, temos certeza que a raça está molhada Assim, odemos dizer: estar chovendo imlica que a raça está molhada, estar chovendo é condição suficiente ara termos uma raça molhada, uma raça molhada é condição necessária ara estar chovendo, está chovendo somente se a raça está molhada, a raça está molhada se está chovendo, se está chovendo, então a raça está molhada Exercício: Pensando-se num certo quadrângulo Q, façam o mesmo com as asserções A: Q é um quadrado, B: Q é um losângo É claro que a seta numa imlicação A = B não ode ser simlesmente invertida: Se A é condição suficiente ara B, isto significa que B é condição necessária ara A, mas não que B é condição suficiente ara A: O fato de n ser ar é condição necessária mas não suficiente ara n ser múltilo de 4 O fato de n ser múltilo de 4 é condição suficiente mas não necessária ara n ser ar : Também 6 é ar sem ser múltilo de 4 O fato de termos uma raça molhada é condição necessária mas não suficiente ara estar chovendo O fato de estar chovendo é condição suficiente mas não necessária ara termos uma raça molhada : A raça ode estar molhada sem que esteja chovendo (or exemlo devido a uma oeração dos bombeiros Existem asserções A e B que ambas imlicam na outra, ou seja, as quais satisfazem simultâneamente 16

21 A = B e B = A Nesta situação temos então que A é suficiente ara B e também A é necessário ara B Dizemos que A é (condição necessário(a e suficiente ara B, ou também A vale se e somente se vale B Este fato indicamos or A B Dizemos também que A e B são asserções equivalentes, ou ainda que A constitui uma roriedade característica ara B (e vice versa Por exemlo: Seja A a asserção: n é múltilo de 6, B a asserção: n é um número ar que é múltilo de 3 Cada uma destas duas roriedades, as quais um número n ode ter ou não, é suficiente ara a outra Cada uma é necessária ara a outra Cada uma é necessária e suficiente ara a outra Cada uma vale se e somente se a outra vale Exercício: Pensar sobre as asserções equivalentes, quando Q é um certo quadrângulo: A: Q é um quadrado B: Q é um losângo que é um retângulo Se A é uma asserção, indicamos or A a asserção não-a, a qual é verdadeira se e somente se A é falsa Sejam A e B duas asserções e suonha A = B O que acontece com esta imlicação se negarmos as duas asserções? A resosta é que devemos também inverter a seta da imlicação, ou seja, teremos A = B Em outras alavras: Se A é suficiente ara B, então B é suficiente ara A Ou também: Se A é suficiente ara B, então A é necessário ara B Por exemlo, se negarmos a imlicação ser múltilo de 4 é suficiente ara ser ar, ( ser um quadrado é suficiente ara ser um retângulo, 17

22 a imlicação negada é: não ser múltilo de 4 é necessário ara ser ímar, ( não ser um quadrado é necessário ara não ser retângulo mas, não ser múltilo de 4 (não ser quadrado não é suficiente ara ser ímar (não ser retângulo Claro que numa equivalência odemos negar as assercões dos dois lados, ou seja, não imorta se escrevemos A B ou A B Na Proosição 114 já conhecemos mais um exemlo de duas roriedades equivalentes, a saber, uma caracterização de um número natural n ser triangular: Necessário e suficiente ara n ser triangular é a roriedade de 8n+1 ser um quadrado erfeito Existem teoremas que afirmam simlesmente imlicações, de modo que na sua demonstração deve ser verificado que uma certa roriedade B é conseqüência de uma roriedade A (a hiótese outros teoremas matemáticos afirmam equivalências de certas roriedades Eles tem a forma: Sob certas condicões são equivalentes: a Vale a roriedade A b Vale a roriedade B A demonstração de um tal teorema semre se divide em duas artes: a b : Aqui deve ser mostrado que A é suficiente ara B Isto ode ser mostrado diretamente, mostrando-se que B é verdade, suondo-se a veracidade de A Ou indiretamente, suondo-se a veracidade de B e concluindose que A é verdade b a : Aqui deve ser mostrado que A é necessário ara B (que B é suficiente ara A Isto ode ser mostrado, verificando-se que A é verdade, suondo-se a veracidade de B Ou indiretamente, suondo-se que A é falso e concluindo-se que B é falso 18

23 115 Observação Se n IN é um quadrado erfeito, então valem: a Se n fôr ar, então n é divisível or 4 b Se n fôr ímar, então n é da forma 8k + 1 com k IN 0, isto é, n deixa o resto 1 quando dividido or 8 (ver Demonstração: Seja n = m com m IN a Se m = k é ar, então n = 4k é divisível or 4 b Se m = l 1 é ímar, então n = (l 1 = 4l 4l + 1 = 4(l 1l + 1 Como o roduto (l 1l de dois números naturais consecutivos é ar, digamos (l 1l = k, concluimos n = 8k + 1 Convém frisar que, as afirmações de 115 não são equivalências Trata-se de duas imlicações: A condição de um número n ser quadrado erfeito ar (ímar é suficiente ara n ser divisível or 4 (ser da forma 8k + 1 Estas roriedades orém não são necessárias: n = 1 (n = 17 é divisível or 4 (é da forma 8k + 1 sem que n seja quadrado erfeito 116 Exemlo Na seqüência dos números 11, 111, 1111,, , não aarece nenhum quadrado erfeito Demonstração: Temos 11 = e n = = = 8l = 8k + 7 ara n 111 Isto quer dizer que nenhum dos números na seqüência é da forma 8k + 1, condição necessária ara ser um quadrado erfeito Diferença de dois quadrados Além dos rórios quadrados erfeitos existem muitos números naturais os quais odem ser escritos como diferença n = x y de dois quadrados erfeitos onde x IN e y IN 0 Por outro lado, os números e 6 or exemlo não gozam desta roriedade (orquê? Os números que são diferença de dois quadrados são fácilmente caracterizados: 19

24 117 Proosição Seja n IN Equivalentes são : a n = x y ara certos x, y IN 0 b n {, 6, 10, 14,, 4k +, } Em outras alavras: n é diferença de dois quadrados se e somente se n é ímar ou divisível or 4 (ie n não deixa resto quando dividido or 4 Demonstração: a b : Suonha n = x y Para rovar que n { }, 6, 10, odemos suor que n é ar Isto quer dizer que x e y ambos são ares ou ambos ímares: Se x = k e y = l, temos n = x y = (k (l = 4 ( k l {, 6, 10, } Se x = k 1 e y = l 1 temos também n = x y = (k 1 (l 1 = 4 ( k l k + l {, 6, 10, } b a : Suonhamos, recirocamente, n {, 6, 10, } Isto significa que n é ímar ou divisível or 4 Se n é ímar, n ± 1 é ar e ortanto n ± 1 (n+1 (n 1 4 = 4n 4 = n, concluimos que n = ( n + 1 IN 0 Como ainda ( n+1 ( n 1 é uma ossível decomosição de n como diferença de dois quadrados Se n = 4k, decomomos n = (k + 1 (k 1, ou seja, ( n ( n = n 4 1 ( n 1 = Pensando-se ainda na subdivisão do conjunto IN nos 4 subconjuntos IN = { 4, 8, 1, } { 1, 5, 9, 13, } {, 6, 10, 14, } { 3, 7, 11, 15, } (ver 5 e 6, vemos que entre estes somente os números de {, 6, 10, 14, } não são diferença de dois quadrados Simlificando odemos dizer: 75% dos números naturais são diferença de dois quadrados (Para mais detalhes, comarar 34 e 35 0

25 Teoria de divisibilidade nos números inteiros O algoritmo geral de divisão 1 Proosição (O algorítmo de divisão Sejam a, b dois números inteiros com b > 0 Então existem únicos números inteiros q, r tais que a = qb + r e 0 r < b q chama-se o quociente, r o menor resto não-negativo na divisão de a or b Demonstração: A existência de q e r: Dados a, b Z com b > 0 consideremos o conjunto S = { a bx x Z, a bx 0 } Temos obviamente S IN 0 Para x = a obtemos a bx = a b ( a = a + b a a + a 0 ois b 1 Isto mostra que S O Pelo rincíio da indução temos que existe um r S mínimo, ie r y y S Como r S existe um x = q Z com r = a bq Segue então a = bq + r Falta rovar que 0 r < b Como r S certamente r 0 Suondo-se r b segue a bq b = r b 0, ou seja, r > a (q +1b S contradizendo a minimalidade do r S Isto mostra que r b é imossível Temos que ter r < b A unicidade de q e r: Suonhamos que q, r e q, r são inteiros tais que a = bq + r = bq + r e 0 r, r < b Então r r = bq bq = b(q q e segue r r = b(q q = b q q Agora, adicionando-se as desigualdades ou seja, r r < b Daí temos a contradição Concluimos q = q e então r = r 0 r < b b < r 0 segue b < r r < b, b > r r = b q q b, no caso q q 1

26 Exemlo Para a = 100 e b = 7 temos q = 14 e r = ois 100 = Para a = 100 e b = 7 temos q = 15 e r = 5 ois 100 = 7 ( Teorema (Algoritmo de divisão geral Para quaisquer números a, b Z com b 0 existem únicos q, r Z tais que a = bq + r e 0 r < b Demonstração: Temos b > 0 Por 1, existem únicos q, r Z com a = b q + r com 0 r < b Se b > 0 então b = b e odemos considerar q = q junto com r Se b < 0 então b = b e odemos considerar q = q junto com r obtendo a = b q + r = ( bq + r = b( q + r = bq + r 4 Exemlo Para a = 100 e b = 7 temos q = 14 e r = ois 100 = ( 7 ( 14 + Para a = 100 e b = 7 temos q = 15 e r = 5 ois 100 = ( Conseqüência a Considerando-se b = temos ara qualquer a Z um q Z com a = q ou a = q + 1 e conseqüentemente Z = { q q Z } { q + 1 tal que { q q Z } { q + 1 q Z } q Z } = O, isto é, temos uma decomosição do conjunto Z dos inteiros em dois subconjuntos disjuntos - os inteiros ares e os inteiros ímares b De forma semelhante, considerando-se b = 3 temos ara qualquer a Z um q Z com a = 3q ou a = 3q + 1 ou a = 3q + e conseqüentemente Z = { 3q q Z } { 3q + 1 q Z } { 3q + uma decomosição de Z em três subconjuntos disjuntos c Para b = 4 obtemos q Z }, Z = { 4q q Z } { 4q + 1 q Z } { 4q + q Z } { 4q + 3 q Z }

27 d Em geral, ara b = n IN obtemos Z = { nq q Z } { nq + 1 q Z } { nq + (n 1 q Z } Observação: Os n conjuntos { nq q Z }, { nq + 1 q Z }, { nq + q Z },, { nq + (n 1 q Z } chamam-se as classes de resto módulo n (ver 6 6 Definição Dizemos que um inteiro b é divisível or um inteiro a (também: a divide b ou b é multilo de a se existe q Z com b = aq Notação: Escrevemos a b se a divide b e a b se isto não ocorre Por exemlo: 3 1, 5 15, 7 1 Vale 1 b ara todo b Z e a 0 ara todo a Z Porém: ±4 ± 10, ±49 ± 77 7 Proosição (Regras Para todos os números a, b, c, d Z valem a a 0, 1 b, a a b a 1 a = ±1; 0 b b = 0 c Se a b e c d então ac bd d Se a b e b c então a c e a b e b a a = ±b f Se a b e b 0 então a b g Se a b e a c então a bx + cy x, y Z Estas roriedades são conseqüências fáceis da definição e deixamos a sua demonstração como exercício Provemos, or exemlo, o item g: a b e a c significa que existem q 1, q Z tais que aq 1 = b e aq = c Segue então bx + cy = (aq 1 x + (aq y = a(q 1 x + q y com q 1 x + q y Z, mostrando 3

28 assim a (bx + cy Máximo divisor comum de dois números 8 Definição Sejam a, b Z dois números, elo menos um deles diferente de zero O máximo divisor comum entre a e b é o número natural definido elas duas roriedades: d = mdc(a, b a d a e d b ( i e d é divisor comum de a e b b Se algum c IN dividir ambos a e b então temos também c d 9 Teorema Sejam a, b Z não ambos zero e seja d = mdc(a, b Então existem x 1, y 1 Z tais que ax 1 + by 1 = d Demonstração: Consideremos o conjunto S = { ax + by x, y Z, ax + by > 0 } Seja rimeiro a 0 Fazendo-se y = 0 e x = 1 se a > 0 x = 1 se a < 0 vemos que ax + by = a(±1 + b 0 = a > 0 o que mostra que S O Se a = 0 então b > 0 e uma escolha análoga de x e y mostra S O também neste caso Pelo rincíio da indução, existe um d S minimal Como d S temos d > 0 e existem x 1, y 1 Z tais que d = ax 1 + by 1 Afirmamos que este d é o mdc(a, b: Dividamos a or d com resto: q, r Z tais que a = qd + r e 0 r d 1 Então r = a qd = a q(ax 1 + by 1 = a(1 qx 1 + b( qy 1 Se fosse r > 0 oderíamos concluir que r S, o que claramente é um absurdo já que r < d e d é o elemento mínimo de S Logo r = 0 e a = qd o que significa d a Da mesma forma mostra-se que d b Logo, d é divisor comum de a e b Seja c IN tal que c a e c b Por 7 g concluimos que c ax 1 + by 1 = d Logo 4

29 d = mdc(a, b 10 Conseqüência Sejam a, b Z, não ambos nulos e seja d = mdc(a, b Então { ax + by x, y Z } = { dz z Z } Em alavras: As combinações lineares inteiras de a e b são exatamente os múltilos do mdc(a, b Demonstração: Abreviemos T = { ax + by x, y Z } e R = { dz z Z } Pelo teorema 9 existem x 1, y 1 Z com d = ax 1 + by 1 Para todo z Z segue dz = a(x 1 z + b(y 1 z T Logo R T Como d (ax + by ara qualquer ax + by T, segue também T R Logo, T = R Números relativamente rimos 11 Definição Dois números a, b Z chamam-se relativamente rimos (ou rimos entre si se mdc(a, b = 1 Por exemlo, mdc( 1, 35 = 1 ie 1 e 35 são rimos entre si 1 Proosição Dois números a, b Z não ambos nulos, são relativamente rimos, se e somente se existem x 1, y 1 Z tais que ax 1 + by 1 = 1 Demonstração: Seja d = mdc(a, b Se d = 1, existem os x 1, y 1 Z com ax 1 + by 1 = 1 or 9 Recirocamente, seja ax+by = 1 ossível com x, y Z De d a e d b concluimos d 1 Isto dá d = 1 5

30 Mencionamos algumas conseqüências desta caracterização dos números relativamente rimos 13 Conseqüência Sejam a, b Z, não ambos nulos e d = mdc(a, b Então ( a mdc d d, b = 1 (Observamos que a d e b d são números inteiros! Demonstração: De ax + by = d ara certos x, y Z, segue a d x + b dy = 1 Por 1 concluimos a afirmação 14 Conseqüência Sejam a, b, c Z tais que a c e b c Se mdc(a, b = 1, então temos também ab c Demonstração: Existem r, s, x, y Z tais que ar = c = bs e ax + by = 1 Daí concluimos c = c 1 = c(ax + by = cax + cby = (bsax + (arby = ab(sx + ry, com sx + ry Z Segue ab c 15 Conseqüência (O Lema de Euclides Sejam a, b, c Z tais que a bc e mdc(a, b = 1 Então a c Demonstração: Temos r, x, y Z tais que ar = bc e ax + by = 1 concluimos Daí Segue a c c = c 1 = c(ax + by = cax + cby = cax + ary = a(cx + ry 16 Conseqüência Sejam a, b, c Z tais que mdc(a, b = mdc(a, c = 1 Então temos também mdc(a, bc = 1, 6

31 Demonstração: Temos x, y, u, v Z tais que ax + by = 1 = au + cv Daí concluimos 1 = 1 1 = (ax + by(au + cv = a xu + axcv + byau + bycv = = a(axu + xcv + byu + bc(yv, onde axu+xcv+byu, yv Z Concluimos mdc(a, bc = 1 O algoritmo Euclidiano Para dois números a, b Z com b 0 consideremos o seguinte rocesso: Colocamos r 0 = b Existem q 1, r 1 Z tais que Se r 1 = 0, o rocesso ára Se r 1 0 existem q, r Z tais que Se r = 0, o rocesso ára Se r 0 existem q 3, r 3 Z tais que Se o rocesso já chegou em o róximo asso é: Se r k = 0, o rocesso ára Se r k 0 existem q k+1, r k+1 Z tais que a = bq 1 + r 1 com 0 r 1 < r 0 r 0 = r 1 q + r com 0 r < r 1 r 1 = r q 3 + r 3 com 0 r 3 < r r k = r k 1 q k + r k com 0 r k < r k 1, r k 1 = r k q k+1 + r k+1 com 0 r k+1 < r k 7

32 Obtemos assim uma cadeia decrescente b = r 0 > r 1 > r > > r k > r k+1 > 0 de inteiros não-negativos Existe ortanto um determinado n IN 0 tal que Assim, este rocesso termina como r n 0 orém r n+1 = 0 r n 3 = r n q n 1 + r n 1 com 0 < r n 1 < r n r n = r n 1 q n + r n com 0 < r n < r n 1 r n 1 = r n q n+1 O rocesso o qual acabamos de descrever, chama-se o algoritmo Euclidiano ara a e b Temos o seguinte 17 Teorema No algoritmo Euclidiano ara a e b temos que r n = mdc(a, b Em alavras: O último resto não nulo no algoritmo Euclidiano é o máximo divisor comum de a e b Demonstração: Considerando-se a cadeia das equações estabelecidas a artir da última (r n 1 = r n q n+1, vemos que r n divide todos os restos anteriores Finalmente, r n divide r 1 e r 0 = b e a Isto torna r n um divisor comum de a e b Partindo da rimeira das equações com um qualquer divisor comum c de a e b vemos que c divide todos os restos, articularmente c r n Isto mostra a afirmação 18 Exemlo Determinar mdc(±7519, ±849 Podemos nos restringir a valores ositivos e encarar a = 7519 e b = 849 algoritmo Euclidiano dá O 8

33 Conclusão: mdc(±7519, ±849 = = = = = = 3 73 Ilustramos ainda neste exemlo como o algoritmo Euclidiano é útil ara se conseguir soluções x, y Z com ax+by = mdc(a, b : Subindo a artir da enúltima equação do algoritmo, vemos: 73 = = ( = = 31 ( = O mínimo múltilo comum 19 Definição Sejam a, b Z dois números, ambos não nulos O mínimo múltilo comum entre a e b é o número natural definido elas duas roriedades: m = mmc(a, b a a m e b m (i e m é múltilo comum de a e b b Se a c e b c ara algum c IN então temos também m c 0 Exemlo a = 6 e b = 8 Os múltilos comuns destes a e b são { ±4, ±48, ±7, } Entretanto 1 Proosição m = mmc(6, 8 = 4 Sejam 0 a, b Z, d = mdc(a, b e m = mmc(a, b Então vale a relação md = ab 9

34 Demonstração: Coloquemos m = ab d Existem r, t Z tais que dr = a e dt = b Temos m = a d b = ±rb e também m = a b d = ±at Isto mostra que m é múltilo comum de a e b Seja c IN tal que a c e b c Existem então u, v Z tais que au = c = bv Por 9 existem x 1, y 1 Z com ax 1 + by 1 = d Segue c m = cd ab = c ab (ax 1 + by 1 = c ax 1 b a + c by 1 a b = ± c b x 1 ± c a y 1 = ±vx 1 ± uy 1 Z Mostramos que c m Z o que significa m c Assim m = m Exemlo Sabemos mdc(±7519, ±849 = 73 Conseqüentemente mmc(±7519, ±849 = = Equações Diofantinas Uma relação em n incognitas x 1, x,, x n da forma f(x 1, x,, x n = 0 é considerada uma equação Diofantina, quando o interesse é dirigido às soluções inteiras x 1,, x n Z dela Por exemlo, a relação x 1 + x + + x n = 100 a equação da hier-esfera de raio 10 no esaço n dimensional, ode ser considerada uma equação Diofantina, quando as n-ulas de coordenadas inteiras x 1,, x n são rocuradas Uma equação Diofantina é linear se ela tiver a forma a 1 x 1 + a x + + a n x n = c Em articular, queremos tratar agora as equações Diofantinas lineares de grau ou seja, ax + by = c com a, b, c Z 30

35 3 Teorema Sejam a, b, c Z, a, b não ambos zero a A equação Diofantina ax + by = c ( admite elo menos uma solução x, y Z se e somente se d = mdc(a, b c b Suonha d c e seja (x 0, y 0 uma solução (articular de ( Então a solução geral (i e o conjunto de todas as soluções de ( é dada or x = x 0 + b d t y = y 0 a d t (t Z Demonstração: a Como d a e d b temos também d c ara qualquer ossível solução (x, y de ( Logo, d c é uma condição necessária ara a solubilidade de ( Recirocamente, seja d c, digamos dl = c ara algum l Z Por 9 sabemos que existem x 1, y 1 Z com d = ax 1 + by 1 Segue c = a ( lx 1 + b ( ly1 e vemos que (lx 1, ly 1 é uma solução articular de ( b Seja (x 0, y 0 uma solução articular e t Z Provamos rimeiro que qualquer x = x 0 + b d ar de números t y = y 0 a d t (t Z satisfaz a equação também: ax + by = a(x 0 + b d t + b(y a 0 d t = ax + ab 0 d t + by ba 0 d t = ax + by = c 0 0 Seja recirocamente (x, y uma qualquer solução de ( Temos então ax 0 +by 0 = c = ax + by e daí a(x x 0 = b(y 0 y Existem r, s Z tais que a = rd e b = ds e vale mdc(r, s = mdc ( a d, b d = 1 Segue dr(x x 0 = ds(y 0 y e daí r(x x 0 = s(y 0 y, ois d 0 Podemos suor a 0 Concluimos r s(y 0 y e daí r y 0 y ois mdc(r, s = 1 Logo existe t Z tal que rt = y 0 y de onde vem y = y 0 rt = y 0 a d t 31

36 Segue r(x x 0 = s(y 0 y = srt e então x x 0 x = x 0 + st = x 0 + b dt Logo temos x = x 0 + b d t = st, ois r 0 Isto dá y = y 0 a d t ara algum t Z, como afirmado 4 Exemlo Determinar a solução geral de 54x + 1y = 906 Solução: Temos mdc(54, 1 = Logo a equação é solúvel e simlifica ara 18x + 7y = 30 ( com mdc(18, 7 = 1 Temos que (, 5 é uma solução de 18x + 7y = 1 o que dá 30 (, 5 = (604, 1510 como solução articular de ( Isto dá como solução geral x = t y = t (t Z 5 Exemlo Um teatro vende ingressos e cobra RS 18 or adulto e RS 7, 50 or criança Numa noite, arrecada-se RS 900 Quantos adultos e crianças assistiram ao esetáculo, sabendo-se que eram mais adultos do que crianças? Solução Seja x o número de crianças, y o número de adultos que assistiram Temos que resolver então a equação Diofantina ou seja 7,5x + 18y = 900 sob a condição adicional y > x 0 15x + 36y = 1800 Observando-se ainda mdc(15, 36 = , esta equivale a 5x + 1y = 600 ( 3

37 Como (10, 0 é obviamente uma solução de (, vemos que a solução geral de ( é dada or x = t (t Z y = 5t De y > x 0 decorre 5t > t 0 e daí ou seja, o que dá As 3 ossíveis soluções são então: 7, 05 = > t 10 1 = 10, x = 0 y = t < 7, 05, t { 10, 9, 8 } x = 1 y = 45 x = 4 y = 40 33

38 3 Números rimos e sua distribuição O teorema fundamental da aritmética 31 Definição Um número IN é denominado rimo, se > 1 e se seus únicos divisores são e 1 Indicamos or IP = { IN é rimo } o conjunto de todos os números rimos Podemos dizer então IP ( a, b IN : = ab = a = e b = 1 ou a = 1 e b =, Um número n > 1 é dito comosto se ele não é rimo Assim, n é comosto, se existem r, s IN, 1 < s r < n com n = rs Os rimeiros números rimos são são os rimeiros números comostos, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Entretanto 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 15, O Lema de Euclides (Cons 15 dá a seguinte roriedade fundamental dos números rimos: 3 Proosição Seja IP Então a, b IN : ab = a ou b Em alavras: um rimo divide um roduto, somente se ele divide um dos fatores Demonstração: Suonhamos ab e a Agora, a significa mdc(, a = 1 Segue b or 15 34

39 Observamos que esta roriedade necessária dos números rimos é também suficiente ara que um n IN seja rimo: Pois, se n = rs é comosto (1 < s r < n, temos n rs orém tanto n r quanto n s Por exemlo: Se 5 ab então temos certeza que um dos fatores a ou b (ou ambos é múltilo de 5 Mas, temos 6 1 = 3 4, orém tanto 6 3 quanto O teorema fundamental da aritmética a Todo número 1 < n IN é roduto de números rimos, quer dizer, existem 1,,, r IP tais que n = 1 r b Se 1 r = q 1 q q s com 1,,, r, q 1, q,, q s IP e se 1 r tal como q 1 q q s, então r = s e 1 = q 1, = q,, r = q r Demonstração: a Se n = é um número rimo, a afirmação fica clara (r = 1 Mostramos a afirmação ara n comosto, suondo-se sua veracidade ara todo m IN com 1 < m < n Seja S = { t IN 1 < t } n Como n > 1 sabemos n S, ie S Pelo rincíio da indução existe um 1 S minimal É claro (rovar isto! que 1 é rimo e temos m IN com n = 1 m Como 1 > 1 e n não é rimo, segue 1 < m < n Como a afirmação já é válida ara este m, existem, 3,, r IP tais que m = 3 r Segue, como afirmado: n = 1 m = 1 3 r b Suonha 1 r = q 1 q q s com 1,,, r, q 1, q,, q s IP e 1 r tal como q 1 q q s Temos q 1 1 q q s de onde concluimos, alicando-se reetidas vezes a Proosição 3, que 1 tem que dividir algum dos fatores q 1, q,, q s Logo existe k (1 k s com q 1 k Como 1 e q k são rimos, temos 1 = q k q 1 Da mesma forma, q 1 l ara algum l (1 l r e segue q 1 = l 1 Assim 1 = q 1 Agora, de 1 r = 1 q q s segue r = q q s 35

40 Por indução concluimos r 1 = s 1 (ie r = s e = q, 3 = q 3,, r = q r Junto com 1 = q 1 isto dá a afirmação É comum, formular o teorema fundamental da aritmética da seguinte forma: 33 O teorema da decomosição rimária Para todo número 1 < n IN existem únicos rimos distintos 1,,, r (os quais odemos suor em ordem natural 1 < < r e únicos números a 1, a,, a r IN de tal maneira que n = a 1 1 a a r r = r a k k O roduto r a k k chama-se a decomosição rimária de n A quantidade dos divisores de um número n Como o conjunto dos divisores de um número n IN é finito, odemos nos interessar elo tamanho deste conjunto, isto é, ela quantidade dos divisores de n Dado n IN, vamos indicar or τ(n = { t IN t divide n } a quantidade dos divisores naturais de n Por exemlo, temos τ(n = 1 n = 1, τ(n = n = é rimo Lembrando-se que t n, s = n t IN tal que n = st vemos que também n t divide n Como ainda n n = t, temos que t { t t divide n } = { n t Por exemlo, ara os divisores de 1 temos t divide n } { } { 1,, 3, 4, 6, 1 = 1 1, 1, 1 3, 1 4, 1 6, 1 } 1 É fácil verificar a seguinte observação interessante: 36

41 34 Proosição Para todo n IN temos t n t = n τ(n/ ( = n τ(n Em alavras: O roduto formado sobre todos os divisores ositivos de n é a otência τ(n/-ésima de n Demonstração: Temos t n t = t n t n t = t n t n t n t = t n n = n τ(n, ois τ(n é a quantidade dos fatores n deste último roduto Extraindo-se ainda a raíz quadrada de ambos os lados, vemos a afirmação Podemos determinar τ(n também a artir da decomosição rimária de n 35 Observação Seja 1 < n IN escrito na decomosição rimária n = r com 1,, r rimos distintos, r, a 1,, a r IN Um número t IN é divisor de n se e somente se t = r a k k l k k com 0 l 1 a 1,, 0 l r a r Demonstração: Seja t = r onde r a k l k k t r a k l k k l k k = r com 0 l 1 a 1,, 0 l r a r Temos l k k r a k l k k = r a k k = n, IN, ois a k l k 0 Logo, t é divisor de n Recirocamente, qualquer divisor t de n tem que ter esta forma, ela unicidade da decomosição rimária de t e n Logo, a afirmação vale 37

42 36 Conseqüência Seja n IN escrito como n = r com 1,,, r rimos distintos e a 1, a,, a r IN Então a k k τ(n = r (a k + 1 Demonstração: Pela observação 35 temos que os divisores t IN de n corresondem, biunivocamente, às r-ulas (l 1, l,, l r com 0 l 1 a 1,, 0 l r a r Portanto τ(n é a quantidade destas r-ulas Mas, na k-ésima coordenada temos as a k + 1 ossibilidades 0, 1,,, a k ara escolhermos l k (1 k r Isto dá um total de (a 1 + 1(a + 1 (a r + 1 ecolhas e fornece a afirmação 37 Conseqüência Seja n IN Demonstração: Seja n = n é um quadrado erfeito τ(n é ímar r a k k a decomosição rimária de n Temos que n é um quadrado erfeito todos os exoentes a 1, a,, a r são ares todos os a 1 + 1, a + 1,, a r + 1 são ímares o roduto (a 1 + 1(a + 1 (a r + 1 = τ(n é ímar A decomosição rimária é útil ara determinar o mdce o mmcde dois números: Dados dois números n, m IN, existem rimos distintos 1,, r (os rimos que dividem em elo menos um de n ou m e exoentes não-negativos a 1,, a r, b 1,, b r IN 0 tais que, simultâneamente, n = r a k k e m = r b k k 38

43 38 Proosição Sejam n, m IN, escritos simultâneamente na forma indicada Então tal como mdc(m, n = r mmc(m, n = r min(a k,b k k max(a k,b k k Demonstração: Para o mdc: Como min(a k, b k a k e também b k, temos or 35, que o roduto r min(a k,b k k certamente é divisor comum de n e m Por outro lado, um qualquer divisor comum t de n e m, é da forma t = l k min(a k, b k Logo, t r r l k k com 0 l k a k e 0 l k b k e então 0 min(a k,b k Isto mostra mdc(m, n = r k Da mesma forma trata-se o mmc Fazer isto como exercício! min(a k,b k k A decomosição rimária de n! Estudamos em seguida qual é a decomosição rimária do número n! ara qualquer n IN Agora, se n! = 1 n ara algum rim, uma alicação reetida de 3 mostra que tem que dividir um dos fatores, 3,, n deste roduto Em articular, n! não ode ser divisível or nenhum rimo > n Por outro lado, qualquer rimo com n aarece em n! e odemos afirmar de antemão que a decomosição rimária de n! é da forma n! = r onde 1 =, =3, 3 =5,, r n < r+1, i e 1,, r são exatamente todos os rimos que são n e os exoentes a 1, a,, a r são números naturais os quais devemos determinar a k k Uma maneira mais elegante de escrever isto é n! = IP, a (n 39

44 Aqui é considerado seu rório índice e o índice dos exoentes a (n IN 0, sendo que varia sobre IP com a condição a (n = 0 se > n A ergunta é a (n =? se n? Vejamos um exemlo (escrevemos a = a (40 ara simlificar a notação: 40! = a 3 a 3 5 a 5 7 a 7 11 a a a a 19 3 a 3 9 a 9 31 a a 37 a, a 3,, a 37 =? É imediato que a 37 = a 31 = a 9 = a 3 = 1 Agora, 19 divide 19 e 38 Logo, a 19 =, ocorrendo o mesmo com a 17 Temos a 13 = 3, devido aos fatores 13, 6 e 39 De forma semelhante: a 11 = 3 e a 7 = 5 Agora temos 8 = 40 5 fatores 5 em 40!, devido aos divisores 5, 10, 15, 0, 5, 30, 35, 40 Mas vem mais um fator 5, ainda não contado, devido a 5 = 5 Logo a 5 = 9 O número 3 aarece 13 vezes nos divisores 3, 6, 9,, 39, mais 4 vezes nos divisores 9, 18, 7, 36 e mais uma terceira vez em 7 Isto dá um total de 18 fatores 3 em 40! Logo a 3 = 18 Finalmente contamos a = 38, devido a 0 = 40 fatores em, 4, 6, 8, 10,, 40, mais 10 fatores, ainda não contados em 4, 8, 1, 16,, 40, mais 5 fatores ainda não contados em 8, 16, 4, 3, 40, mais fatores, ainda não contados, em 16, 3, mais um fator devido a 3 Logo temos 40! = Como fica o caso geral? 39 Definição Para cada número real x indicamos or [x] = o maior inteiro contido em x (ie escrevemos x = [x] + r onde [x] Z e r IR com 0 r < 1 40

45 Por exemlo temos [ ] [ ] 17 4 = 19 [ ] 4 = 4, 5 =, [π] = 3, [ π] = 4 Quando x 0 tem a forma decimal x = n, com n IN 0, temos claramente [n, ] = n 310 Teorema Para cada n IN a decomosição rimária de n! é dada or n! = IP onde os exoentes a (n são calculados or Observamos que esta soma a (n = [ ] n k a (n, [ ] n k a qual é formalmente uma soma infinita, na verdade contém somente finitos somandos não-nulos, já que [ ] n k = 0, semre quando k > n Particularmente, a (n = 0, se > n Isto significa que no roduto (formalmente infinito ara n! na verdade aarecem automáticamente só os rimos n Demonstração: Seja um rimo qualquer Existe um único l 1 IN 0 tal que l 1 n < (l Da mesma forma, existe um único l IN 0 tal que l n < (l + 1, em geral, ara todo k IN existe um único l k IN 0 tal que l k k n < (l k + 1 k Agora, em n! aarecem l 1 fatores devido os fatores,, 3,, l 1, 41

46 mais l fatores, ainda não contados, devidos a,, 3,, l, mais l k fatores, ainda não contados, devido a k, k, 3 k,, l k k Isto dá um total de a (n = l 1 + l + + l k + fatores contidos em n! Mas, de l k k n < (l k + 1 k segue l k n < (l k k + 1, ou seja, l k = [ ] n k Logo temos como afirmado a (n = [ ] n k Observa-se que semre a (n a 3 (n a 5 (n a (n a q (n se < q Uma conseqüência disto é, or exemlo, que n! termina em a 5 (n zeros 311 Exemlo a Em quantos zeros termina 357!? b Qual é a maior otência de 165 que divide em 000!? Resostas: a Em a 5 (357 = [ ] k = [ ] [ ] b Temos 165 = e vale a 11 (000 = [ ] 357 = = 87 zeros 15 [ ] k = [ ] + [ ] [ ] 000 = = 198 Logo é a 198-ésima a maior otência de e também a maior de 11 - que divide 000! 4

47 Estimativas sobre quantidades de rimos 31 Teorema (Euclides O conjunto IP dos números rimos é infinito Demonstração: Suonhamos IP = { 1,,, r } fosse um conjunto finito Consideremos o número natural n = 1 r + 1 Pelo Teorema fundamental da aritmética, este n > 1 é divisível or algum rimo q Pela suosição, q = k ara algum k { 1,,, r } Daí segue o absurdo que q 1 Logo, nenhum conjunto finito ode abranger todos os rimos 313 Proosição Para o n-ésimo número rimo n vale a estimativa n n 1 Demonstração: Para n = 1 afirma-se = = 1 = o que certamente é verdade Suonhamos já rovadas as desigualdades n n 1 Se IP q 1 n + 1, então q > n, articularmente, n+1 q Segue n+1 1 n n = n n 1 + n 1 = n Convém observar que esta cota suerior ara o tamanho de n não é muito boa Uma cota melhor obtem-se, admitindo-se (sem demonstração o seguinte mais rofundo 43

48 314 Teorema (Tchebychef Para m IN temos que semre existe um rimo com m < < m 315 Conseqüência Para o n-ésimo número rimo n vale a estimativa n n Demonstração: Temos = 1 1 e or 314: n = 1,, 3 tem-se n < n+1 < n De n n segue então n+1 n = n Definição Um ar de números (, + é denominado um gêmeo de rimos se ambos, e + são rimos 317 Exemlo (3, 5, (5, 7, (11, 13, (17, 19, (9, 31, (41, 43, (59, 61, (71, 73 são os gêmeos de rimos com 97 Enquanto existem infinitos rimos, é interessante fazer a seguinte 318 Observação É desconhecido se existe uma quantidade infinita de gêmeos de rimos A função π dos números rimos 319 Definição Para todo 0 x IR define-se a função π(x or π(x = { IP x } isto é, π(x é a quantidade dos números rimos menores ou iguais a x Por exemlo temos π(x = 0 se 0 x <, π(x = 1 se x < 3 π(x = se 44

49 3 x < 5 Em geral: Se 1 =, = 3, 3 = 5, 4, 5,, 5 = 97, é a seqüência dos números rimos em ordem natural, então π(x = r se r x < r+1 (r = 1,, 3, Uma das grandes descobertas do final do século assado (1896, a qual citamos aqui sem aresentar sua mais rofunda demonstração, é o chamado Teorema dos números rimos e que leva os nomes dos matemáticos Cauchy/Hadamard/de la Valée Poussin Ele descreve o comortamento asintótico da função π(x 30 Teorema π(x lim x x ln x = 1 Isto quer dizer que, se x é grande, a quantidade dos números rimos x é dada, com aroximação cada vez melhor, or x ln x Decomosição de números e o crivo do Eratóstenes 31 Observação Sejam n, r, s IN tais que n = rs com 1 s r n a Temos s n r b Se n fôr comosto, então existem r, s IN tais que 1 < s n r < n e n = rs Demonstração: a De s r < n segue a contradição n = sr < n n = n Da mesma forma, de n < s r segue a contradição n = n n < sr = n Logo devemos ter s n r b é uma conseqüência de a 45

50 3 Conseqüência Se n IN é comosto, então n é divisível or algum rimo n Demonstração: Podemos escolher em 31 b um divisor rimo de s Esta última observação tem imortância rática na rocura de números rimos e é a base do chamado crivo do Eratóstenes: Desejamos deteminar os rimos n ara um dado n IN Para isto escrevemos os números, 3, 4, 5, 6,, n Guardamos o como rimo e riscamos todos os números ares 4 k n Deois guardamos o 3 e riscamos todos os múltilos de 3 com 6 3k n O roximo número não riscado é o rimo 5 Riscamos seus múltilos 10 5k n e continuamos desta maneira Vemos que, deois de riscar os múltilos de todos os rimos até o maior rimo n, sobram somente os números rimos até n Por exemlo, ara n = 100 : Deois de riscar entre os números, 3, 4, 5, 6,, 100 os múltilos (rórios de, 3, 5 e 7, sobram os 5 rimos, 3, 5, 7, 11, 13,, 83, 89, 97 Isto é claro or 3, ois qualquer n 100 comosto é múltilo de um dos rimos, 3, 5, 7 10 = 100 Também odemos ensar assim: Para se verificar se um dado número n é rimo ou comosto, só é reciso testar como ossíveis divisores os rimos n Se nenhum deles divide, n será rimo Portanto, ara ver se um n 100 é rimo ou não, os quatro testes n(?, 3 n(?, 5 n(?, 7 n(? são suficientes, dos quais n(? e 5 n(? têm resosta obvia Da mesma maneira, somente os testes com (no máximo os rimos 13 são suficientes ara conseguir uma ossível decomosição de um qualquer n ara qualquer n 1000, 97 ara n