Gabarito da Lista 8 de exercícios - Microeconomia 2 Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira

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1 Gabarito da Lista de exercícios - Microeconomia Professora: Joisa Dutra Monitor: Rafaela Nogueira 1. No duoólio de Cournot, cada rma escolhe a quantidade que imiza o seu lucro dada a quantidade da outra rma (sendo que a escolha é simultânea). O roblema de imização de lucro da rma 1 é: q 1 q 1 cq 1 = q 1 (a q 1 q ) cq 1 CPO: a (q 1 + q ) c q 1 = 0 q 1 = a c q A rma resolve um roblema semelhante e tem como CPO: q = a c q 1 No equilíbrio de Nash, substituindo q, temos q 1 = a c 1 a c q1 Logo, ) q 1 = a c a c + q 1 q 1 = a c = q ois as rmas são idênticas. 3. (a) Verdadeiro. Suonha um duoólio em que a demanda de mercado é dada or (q) = a q, com q = q 1 + q, e seja c < a o custo marginal de ambas as rmas (são idênticas, ortanto). Como vimos na questão anterior, a quantidade de equilíbrio de Cournot-Nash é q 1 = q = (a c)=3. Em um cartel, as duas rmas imizam o lucro total como se fossem uma única rma monoolista e então dividem o lucro. O roblema delas é: q q cq = (a q)q cq q CPO Logo, a q c = 0 ) q = a c q 1 = q = a c 1

2 Note que em equilíbrio de Cournot cada rma tem um lucro de (a c) = 9 : No cartel, o lucro é c (a c) = : Assim, vemos que, ara cada rma, o lucro com o cartel é maior do que o lucro do equilíbrio de Cournot, sendo, ortanto, melhor ara ambas as rmas. No entanto, o equilíbrio de cartel ode ser imlementado somente se ambas as rmas se comrometerem a roduzir metade da quantidade de monoólio. Agora, veja como cam os lucros das rmas se uma honra o comromisso e a outra não. Seja i a rma que desvia do comromisso e j a que honra o comromisso (a c) (logo, q j = ). Abaixo está o roblema de imização da rma i. Substituindo q j ; Da CPO obtemos: c = (a q j ) c = 3(a c) 3(a c) Dessa forma, o reço é P = a q j = (3a+5c) e o lucro de cada rma é dado or i = 9(a c) 6 j = 3(a c) 3 Logo, i > c > > j. Ou seja, se uma rma se comromete à rodução do cartel e a outra desvia, esta última obtém um lucro maior do que obteria se tivesse honrado com o seu comromisso no cartel. Logo, o equilíbrio de cartel não ode ser um equilíbrio de Nash nesse jogo em que a decisão de rodução só se dá uma vez, já que há incentivo a desvio. (b) Verdadeiro. Em jogos em que as rmas tomam as suas decisões de rodução aenas uma única vez, o equilíbrio de cartel não tem como se sustentar, como vimos no item anterior. Se o mesmo jogo (de decisão da quantidade roduzida) é reetido um número nito de vezes, ainda assim tal equilíbrio não se sustenta. Para ver isso, suonha que o jogo se reita or T eríodos. Assim, uma rma i ode reseitar o acordo do cartel até o eríodo T 1 e no eríodo T desviar e obter um lucro maior. Mas sabendo disso, a rma j irá desviar em T 1 e assim or diante. Dessa forma, o equilíbrio de cartel não é estável em horizonte nito. Somente em horizonte in nito (em que o acordo não tenha um m de nido) com uma estratégia que una a rma que desviar do cartel (or exemlo, roduzindo semre a quantidade de equilíbrio de Cournot dali em diante) que esse equilíbrio de cartel ode se sustentar.

3 (c) Falso. Caso as rmas ossuam cutos marginais diferentes e roduzam bens homogêneos, a rma de custo mais baixo exulsa a outra rma cobrando o custo marginal da rma de custo alto menos um esilon arbitrariamente equeno. Assim, ca com todo o mercado (a outra rma não ode diminuir seu reço, ois teria rejuízo; com um reço mais alto or um bem que tem substituto erfeito, vende zero), cobrando o reço mais alto ossível tal que a outra rma não entre no mercado. 3. (a) = ; P = 9; = 576 (b) As rmas são idênticas logo o roblema da rma i é: (c) 5 (53 q j ) 5 CPO: 53 q j 5 = 0 Logo, a curva de reação da rma i é = 53 5 q j = q = 16; P = 1; 1 = = 56; = 1 + = 51 (d) É o mesmo que comarar com o resultado de monoólio da letra (a), ois em cartel as rmas decidem a rodução conjuntamente, como em um monoólio. Logo, no cartel o lucro agregado e or rma é maior, o reço maior e a quantidade roduzida menor do que em Cournot. (e) Seja j = P i6=j. Curva de Reação da j-ésima rma: q j (53 q j j ) q j 5q j CPO: 53 q j j 5 = 0 ) q j = j Como o jogo é simétrico a quantidade é igual ara todas as rmas, logo q j = (N 1)q j Logo, q j = 3

4 Assim, = N P = 53 N Veja que se N! 1 ) P = 5 (reço de concorrência erfeita). N j = N 1 i = ( i c) ( i ; j ); Se N! 1; j = 0. No duoólio de Bertrand, cada rma escolhe o reço que imiza o seu lucro dado o reço da outra rma. O lucro da rma i é dado or ( i c) ( i ; j ) em que ( i ; j ) é a demanda da rma i dados o seu reço e o reço da rma j. Ela está reresentada abaixo. >< a i se j > i a ( i ; j ) = i se i = j >: 0 se i > j Isso quer dizer que a rma i ca com toda a demanda do mercado se cobrar um reço menor que a rma j, divide a demanda com a rma j se cobrar o mesmo reço que ela e ca com demanda zero se cobrar um reço maior que a rma j (isso tudo é orque as rmas são idênticas e roduzem um bem homogêneo). Reare que se i < c, a rma terá rejuízo. Logo, devemos ter i > c. Agora, se i > c, a rma j ode cobrar um reço in nitesimalmente menor do que i e roubar todo o mercado ( j = i " > c, com "! 0). A rma i, ciente disso, vai querer cobrar um reço in nitesimalmente menor do que j e assim or diante. Logo, o único reço em que não vai haver incentivo a desvio é i = j = c (ois se uma rma cobrar mais erde todo o mercado ara a outra e se cobrar menos tem rejuízo, o que não ode ocorrer, já que a rma é imizadora de lucro). Logo, o equilíbrio de Nash desse jogo de Bertrand é i = j = c (o equilíbrio cometitivo). 5. Modelo de Bertrand signi ca concorrência em reço. Logo, as variáveis de escolha são i e j: Problema da rma i: CPO: a (a i + b j )( i c) i + b j + c = 0 ) i = a + c + b j Resolvendo roblema análogo ara rma j, encontro j = a+c+bi. Resolvendo o sistema de duas equações, obtenho: i = j = (a + c) b :

5 Já com rodutos homogêneos, a função demanda é descontínua: os bens são substitutos erfeitos. Se i > j, a demanda da rma i é zero. Em equilíbrio, i = j = c. 6. (a) Seja i = P j6=i q j. O roblema da rma é: (a b i ) c i CPO: a b i c i = 0 ) = a i c b = 1 < 0 (b > i b (b) Somando e subtraindo qi do lado direito da equação da curva de reação derivada em (a), temos = a c i b + (c) Seja L i = ci s i = a ) = a c i b s i = : Substituindo, c i 1 = a c i = 1 < 0: = c i. Multilicando e dividindo or temos L i = c i = s i Temos que " = 1 b Logo, L i = s i " i = i = 1 < 0 ois " D < i " i " D 5