MA21 (2015) - Teste - Gabarito comentado. Problema 1 (OBM 2005) Na sequência de números

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1 MA21 (2015) - Teste - Gabarito comentado Problema 1 (OBM 2005) Na sequência de números 1, a, 2, b, c, d,... dizemos que o primeiro termo é 1, o segundo é a, o terceiro é 2, o quarto é b, o quinto é c e assim por diante. Sabe-se que esta sequência tem 2005 termos e que cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética de todos os termos anteriores. Qual é o último termo desta sequência? A chave para entender este problema é explorar. Convem começar calculando a a partir da condição da média. 2 = 3o. termo = média dos anteriores = 1 + a a = 3. 2 A observação importante neste momento é que podemos calcular os termos da sequência na ordem em que aparecem. E o que ocorre? b = 1 + a = 2, c = 1 + a b = 2, 4 d = 1 + a b + c = O padrão salta aos olhos: aparentemente, todo termo a partir do b deve ser igual a 2! A seguir demonstraremos que isto é verdade. Chame de x 1 = 1, x 2 = a, x 3 = 2,... o termos da sequência. ( ) n 3 : x n = x x n 1. n 1 Vamos provar por indução que x n = 2 para todo n 3. A indução é em n e o caso base n = 3 é direto porque o terceiro termo foi definido como sendo 2. Para o passo indutivo, fazemos a hipótese de indução de que x n = 2. Vejamos o que acontece com x n+1. Usando a regra ( ), x n+1 = x x n 1 + x n. n Agora observe que, como x n é a média aritmética dos termos anteriores, x x n 1 = (n 1) x n 1

2 e podemos substituir isto na expressão anterior: x n+1 = (n 1) x n + x n n = n x n n = x n. Logo x n+1 = x n e, como supusemos x n = 2, temos x n+1 = 2, CQD. 2

3 Problema 2 (Adaptado da OBM 2005) Recorde que uma peça de dominó é um retângulo 2 1 dividido em dois quadrados e cada quadrado é preenchido com um número entre 0 e 6. Neste problema, imaginaremos um jogo modificado em que as peças têm números entre 0 e n, para um certo natural n N. Representaremos uma peça com os números i e j pela figura [i j]; assim como no jogo usual, cada par não ordenado de números entre 0 e n corresponde a exatamente uma peça. Eu gostaria de alinhar em sequência, em uma linha horizontal, todas as peças do meu dominó modificado, de modo que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da peça imediatamente à direita. Por exemplo, se os números fossem só de 0 a n = 2, eu poderia fazer: [0 0] [0 1] [1 1] [1 2] [2 2] [2 0]. Prove que é impossível achar um alinhamento deste tipo quando n 3 é ímpar. Uma coisa importante sobre este problema é que, quando fazemos um alinhamento do tipo pedido, as ocorrência de quadrados contendo um número i vêm aos pares, exceto nas pontas. Dito de outra forma, pense num alinhamento qualquer e considere um número i. Invariante 1 de todo alinhamento: excluindo as pontas do alinhamento, o número de quadrados contendo i é par. Isto vale para qualquer alinhamento. Agora lembre a nossa hipótese de que n é maior ou igual a três. Como o alinhamento só tem duas pontas, há pelo menos um número i que não ocorre nas pontas. A afirmação anterior implica que o número total de quadrados contendo i é par. Como todas as peças do dominó tem de ser usadas no alinhamento, isto significa o seguinte. Invariante 2 de todo alinhamento: Supondo que n 3 e que há um alinhamento, temos pelo menos um número i. Considerando todas as peças de dominó, este número i tem de aparecer num número par de quadrados. Agora suponha (para chegar a uma contradição) que existe um alinhamento com n 3 ímpar. Observe que todo número 0 i n aparece duas vezes na peça dupla [i i] e n vezes nas peças simples [i j] com 0 j n e j i. Portanto, o total de quadrados contendo i é n + 2, que é ímpar. Ou 3

4 seja, deduzimos que todo número ocorre numa quantidade ímpar de quadrados. Isto o que contradiz a afirmação anterior. Isto implica que não pode haver alinhamento com n 3 ímpar. 4

5 Problema 3 Considere uma sequência numérica de N elementos, cujos elementos estão entre os n primeiros números primos, possivelmente com omissões e repetições. Por exemplo, se N = 4 e n = 3, todas as sequências abaixo são válidas. (2, 2, 2, 2), (2, 3, 2, 5) (5, 3, 2, 3) (5, 3, 5, 5). Considere uma sequência (a 1,..., a N ) deste tipo com N 2 n. Mostre que existem índices 0 l < r N tais que o produto dos termos de a l+1 até a r, dado por a l a r, é quadrado perfeito (isto é, o quadrado de um número natural). Este é um problema difícil que usa o Princípio das Casas dos Pombos. Chame um trecho (a l+1,..., a r ) de especial se o seu produto é quadrado perfeito. Nosso objetivo é provar que existe ao menos um trecho especial. Para isto, tentaremos entender primeiramente quando um trecho é especial. Note que um trecho é especial exatamente quando cada primo aparece um número par de vezes neste trecho, o que nos permite tirar a raíz quadrada sem dificuldades. Logo, para provarmos que há um trecho especial, devemos mostrar que há um trecho em que cada primo ocorre um número par de vezes. Como transformar isto numa aplicação do PCP? O pulo do gato é notar o seguinte. Considere os trechos (a 1,..., a l ) (possivelmente com l = 0, o que resulta num trecho vazio ) e (a 1,..., a r ). Para que o trecho (a l+1,..., a r ) seja especial, precisamos exatamente do seguinte: Condição procurada:o número de ocorrências de cada primo no trecho de 1 a l deve ser da mesma paridade do número de ocorrências do mesmo primo trecho de 1 a r. Afinal, o número de ocorrências no trecho de l + 1 a r é a diferença dos dois números de ocorrências mencionados, e a paridade igual garante que a diferença é par. Agora podemos usar o PCP com clareza. Quem são os pombos? São os números 0 s N (N + 1 pombos). A cada pombo s associamos um vetor (i 1,..., i n ) de paridades: a coordenada i j é: zero, se o j-ésimo primo ocorre um número par de vezes em (a 1,..., a s ); e 5

6 um, em caso contrário. Os índices j vão de 1 a n porque consideramos n primos. Quem são as casas? São os 2 n vetores de paridades possíveis. Nossa hipótese N 2 n implica que há mais casas do que pombos, logo há dois pombos 0 l < r N com as mesmas paridades. Isto nos diz que l, r satisfazem a condição estipulada acima, que garante que o trecho (a l+1,..., a r ) é especial. 6