PME5325-Fundamentos da Turbulência 2016

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1 79 CAPÍTUO A NATUREZA DA TURBUÊNCIA.. Trbência, Ordem e Caos: Agmas Considerações Fiosóficas Os conceitos de ordem, desordem e caos são mitas vezes ma definidos qando apicados à trbência em escoamentos. Em Termodinâmica desordem está associada a entropia do sistema (Segnda ei da Termodinâmica) e a maximização da desordem está associada à evoção do sistema. Não se pode estabeecer ma anaogia direta qando se trata da evoção de escoamento aminar para trbento. A iteratra é rica em exempos fenomenoógicos mostrando qe no caminhamento para a transição, a partir das pertrbações ineares, formam-se estrtras de coerência, qe são caracterizadas por organização espacia, o por certo padrão de ordem. Essas estrtras de coerência devem ser consideradas como parte do processo trbento, mas sa previsibiidade no tempo e no espaço não é possíve, apesar do consideráve gra de ordem. É errôneo, portanto, associar o conceito de imprevisibiidade com desorganização espacia. Portanto m escoamento é trbento porqe é imprevisíve no espaço (posição no espaço) e não porqe é simpesmente m movimento desordenado. Sendo assim, a anáise estatística da trbência contina sendo váida, tendo em vista a imprevisibiidade espacia. Essas idéias não são novas e crecis já as sava ao procrar interpretar o Universo (apd SERRES, 967). Em otras paavras, estrtras coerentes emergem do caos sob a ação de pertrbações externas. Ficamos, portanto, com a posição de John mey (ver GEORGE E ARNDT, 989) ao defender a importância da anáise estatística no estdo da trbência, o qe pode ser combinado com a idéia de coerência de estrtras e com a apicação da teoria dos sistemas dinâmicos. PME55-Fndamentos da Trbência 6 As considerações acima, de caráter até fiosófico, impicam qe no estdo da Trbência, não se pode aceitar cegamente nenhma afirmação. Não há m caminho único para a verdade absota, o há?.. Definição de Trbência No capíto apresento-se ma primeira definição de trbência de acordo com Corrsin (DAVIDSON, 7): A trbência em m escoamento incompressíve

2 8 corresponde a ma distribição espaciamente compexa de vorticidade qe é adveccionada aeatoriamente de acordo com a eqação. o.5. O campo de vorticidade é aeatório no espaço e no tempo, e exibe ma ampa faixa de distribição contína de escaas de comprimento e tempo. Essas escaas de trbência estão associadas ao qe se chama na iteratra de trbihões o eddies. Por otro ado, argmenta-se na iteratra científica qe a eqação de Navier- Stokes contém toda a informação da trbência, o, em otras paavras, para se resover m escoamento trbento basta resover a eqação de Navier-Stokes (FOIAS ET A, ). É por isso qe ma das prioridades científicas do séco XXI é a soção da eqação de Navier Stokes para qaqer número de Reynods. Enqanto essa meta não é acançada preferimos definir m escoamento com natreza trbenta, como aqee qe apresenta as segintes características, conforme disctido em Tennekes e mey (987): Irregaridade: Os escoamentos trbentos são irregares (o aeatórios), o qe torna difíci a anáise determinística. Poderíamos aperfeiçoar esse conceito, dizendo qe o escoamento trbento deve ser imprevisíve, no sentido qe as evoções das pertrbações (ampificações) no decorrer do tempo não possam ser previstas, embora m razoáve gra de coerência seja mantido no escoamento (ver figra.). Difsividade: A difsividade da trbência, qe casa m rápido processo de mistra amentando as taxas de transferência de qantidade de movimento, caor e massa, é ma otra importante característica dos escoamentos trbentos. Número de Reynods Atos: a trbência normamente se origina a partir PME55-Fndamentos da Trbência 6 das instabiidades geradas nos escoamentos aminares, qando o número de Reynods torna-se grande. Essas instabiidades estão reacionadas com a interação entre os termos viscosos e não-ineares das eqações do movimento.

3 8 Figra.. Visaização da instabiidade de m jato axissimétrico desenvovendo-se para m escoamento trbento.( Extraído de VAN DIKE, 98) Ftações de Vorticidade Tridimensiona: A trbência é rotaciona e tridimensiona, caracterizando-se, portanto, por atos níveis de ftações de vorticidade. Dessa forma, a dinâmica da vorticidade tem m pape mito importante na descrição dos escoamentos trbentos. Um importante mecanismo de mantenção de vorticidade, ( vortex-stretching ), em princípio, está asente nos escoamentos bidimensionais. Novos conceitos têm srgido com reação a esse assnto. Nas simações nméricas das instabiidades de Kevin-Hemhotz fico caro qe existem estrtras coerentes qe se formam e qe mantém certa coerência no caminhamento. A dinâmica dessas estrtras é essenciamente bidimensiona. É importante saientar qe o conceito de coerência está associado ao fato qe as estrtras são encontradas com ma forma aproximadamente semehante depois de certo intervao de tempo, e a certa distância da origem, no entanto, podemos notar qe essas estrtras, ainda assim, são imprevisíveis, como mostra a figra.. Nessa figra, estão mostrados os contornos de vorticidade, a partir de m cáco nmérico bidimensiona de ma camada de mistra variando temporamente, conforme Staqed et a em 985 (apd ESIEUR, 99). A evoção do escoamento no tempo é apresentada para qatro pertrbações PME55-Fndamentos da Trbência 6

4 8 iniciais independentes, sperpostas ao perfi de veocidade. É importante observar qe existem diferenças de instante para instante. Portanto a rapidez no desenvovimento de técnicas nméricas e de visaização de escoamentos trbentos tem provocado mdanças na interpretação da dinâmica da trbência, o qe não significa qe as teorias anteriores se tornaram obsoetas, mas devem ser interpretadas a partir dos novos conhecimentos. Dissipação: Os escoamentos trbentos são dissipativos, o seja, as tensões viscosas reaizam trabaho de deformação qe amenta a energia interna do fido à csta da energia cinética de trbência. A trbência necessita, portanto, de m contíno sprimento de energia, caso contrário ea decai rapidamente. Contíno: A trbência é m fenômeno qe se enqadra dentro da Mecânica dos Meios Contínos. Mesmo as menores escaas dos escoamentos trbentos são significativamente maiores qe as escaas do movimento moecar. Trbência Uma Propriedade do Escoamento: A trbência não é ma propriedade física do fido, mas sim, do escoamento. Em otras paavras, se o número de Reynods fosse sficientemente grande, a dinâmica do escoamento trbento seria a mesma, qaqer qe fosse o fido e sa representação seria através do espectro competo de trbihões. PME55-Fndamentos da Trbência 6

5 8 Figra.. Contorno de vorticidade de m escoamento bidimensiona em camada de mistra. (Extraído de ESIEUR, 99) Uma forma cássica para meditarmos sobre a trbência seria observamos o fxo de ága em torno de m eito rochoso assentado em m peqeno córrego, conforme reprodzido na figra. extraída de Briggs & David Peat (989). A observação da figra mostra m movimento aminar inicia da ága em torno do eito rochoso para vazões baixas, sendo qe as inhas de corrente passam por esse eito sem divergirem. Com o amento da vazão as veocidades são maiores e aparecem vórtices estacionários ogo a jsante do eito rochoso. Amentando-se ainda mais a vazão e, conseqüentemente a veocidade, os vórtices começam a se destacar formando-se ma esteira de vórtice (esteira de Von Kármán). Com vazões ainda mais atas rompe-se o movimento periódico de vórtices, e o escoamento a jsante da rocha torna-se trbento, com mitos gras de iberdade. Da Vinci já observava, no período do renascimento, qe o processo de geração de trbência em torno de m obstáco em m rio, ocorria com ma intensificação do processo de vorticidade e ma mtipicação de escaas de vórtices em fragmentos cada vez menores. PME55-Fndamentos da Trbência 6

6 PM E5 Pr 5-F of n.j d ay am m en e P. tos O da rti z T rb EP ê U nci SP a 6 8 Figra.. Representação esqemática da formação de m escoamento trbento de ága em torno de m eito rochoso de m córrego. (Extraído de BRIGGS AND DAVID PEAT, 989 )

7 85 Pode-se dizer qe o escoamento trbento envove a interação de várias escaas de movimento de trbihões (eddies). Embora seja difíci ma definição precisa de escaa de trbihão (eddy), a idéia intitiva, todavia, é bastante cara, como já observava Da Vinci (ver figras. e.5)... O Conceito de Trbência Pena e ivremente Desenvovida A trbência é penamente desenvovida qando está ivre de se desenvover sem a imposição de constraints ao escoamento, entendendo-se como constraints fronteiras de qaqer tipo, forças externas o a própria viscosidade, qe definem as maiores escaas de trbência. Dessa forma, só poderíamos pensar em ma estrtra niversa da trbência nas peqenas escaas, qando a viscosidade não tem m pape importante na dinâmica dessas escaas, o qe ocorre na camada inercia dos escoamentos trbentos com atos números de Reynods. Nenhm dos escoamentos trbentos mais comns podem ser considerados desenvovidos o niversais, mesmo para atos números de Reynods, em termos das maiores escaas (escaas energéticas), pois em todos esses casos, as condições de trbência são estabeecidas peas condições iniciais e de fronteira. Frisch (995) estabeece a diferença entre trbência e caos introdzindo o conceito de ma escaa H. Sendo H ma escaa imposta por constraints em m escoamento, existe m movimento aeatório significativo em escaas mito menores qe H e qanto maiores os vaores de Re, maiores serão as taxas de deformação e de vorticidade das menores escaas, qe nesses casos são maiores qe as taxas reativas ao movimento das maiores escaas. É isso qe caracteriza a Trbência e a diferencia do Processo Caótico, caracterizado para menores vaores de Re, onde, a taxa de deformação das menores escaas é menor do qe das maiores escaas, ocorrendo, nesse caso, dissipação direta, não podendo a estrtra das menores escaas ser considerada niversa. A trbência de grade gerada em m túne de vento é normamente referenciada como m caso cássico de trbência ivre, visto qe nesse caso não há interação entre o escoamento médio gerado peas mahas, qe é aproximadamente niforme, e a PME55-Fndamentos da Trbência 6

8 86 trbência propriamente dita. O probema é qe nesses ensaios o número de Reynods não é sficientemente ato para reprodzir a camada inercia. A figra. extraída de Davidson (7) mostra os estágios de escoamento a jsante de ma sistema de grade montado em m túne de vento. O estágio (i) representa a transição para a trbência desenvovida com a formação de pares de vórtices discretos a jsante das barras da grade. O estágio (ii) mostra a trbência desenvovida evoindo ivremente, cjos trbihões menores decaem mais rapidamente e, depois de certo intervao de tempo, percebe-se qe a trbência é dominada peas maiores escaas, com trbihões com rotação mais enta e com menores freqüências (estágio iii). A trbência na atmosfera terrestre e nas atmosferas geofísicas (Jpiter, Satrno), qe se originam com grandes escaas integrais são as qe mais se aproximam de ma trbência pena e niversamente desenvovida. Na trbência desenvovida em shear-fows com predominância de m escoamento médio nidimensiona (escoamento em camada imite, esteiras, jatos sbmersos, escoamentos em condtos) existe ma interação contína entre o escoamento médio e a trbência, diferentemente do qe ocorre na trbência de grade. PME55-Fndamentos da Trbência 6 Figra.. Visaização dos estágios de trbência de grade em túne de vento (extraído de DAVIDSON, 7).

9 87.. Métodos de Anáise de Escoamentos Trbentos Apresenta-se, a segir, agns dos métodos de anáise de trbência em escoamentos:... Método Determinístico Se em m determinado escoamento trbento conhecem-se as posições iniciais e as veocidades nm dado instante (t ) para todas as escaas do escoamento, então existe somente m estado possíve para o escoamento em m instante qaqer t> t. Matematicamente, significa tiizar a eqação de Navier-Stokes para resover o escoamento, o qe condz a ma única soção em m determinado instante. Sabe-se qe isto hoje é impossíve visto qe para atos vaores de Reynods com peqenas modificações nas condições iniciais de pertrbação ocorrem diferenças significativas nas soções, como disctido anteriormente. Apicações de técnicas de modeagem nmérica como ES arge Eddies Simation tem permitido a previsão da forma a partir da reprodção direta das maiores escaas de trbência, mas não a previsão da fase o da posição exata dessas estrtras.... Método Estatístico Na pbicação Advances in Trbence (ver GEORGE & ARNDT, 989) John mey rebate agmas posições dogmáticas dos deterministas da trbência. Dentre as afirmações apidares disctidas por mey encontram-se as segintes: (a) Yo can t earn anything abot trbence from averaged eqations. (b) We ooked and ooked for a typica eddy and finay fond one. Com reação a primeira afirmação (a), mey rebate com otra frase : Yo can t earn anything abot trbence from the sa eqations averaged the sa way, argmentando portanto a necessidade de determinação dos momentos de ordem sperior do processo aeatório, mitas vezes de difíci determinação prática. Com reação a segnda frase, (b), mey afirma qe é isto qe acontece qando se abandona a estatística. O qe é m trbihão típico senão ma ideaização qe exige m tratamento estatístico!! PME55-Fndamentos da Trbência 6

10 88 Portanto a anáise estatística dos processos trbentos constiti-se em ma forma imaginativa, podendo, incsive, incir idéias de estrtras de coerência e idéias provenientes da teoria de dinâmica de sistemas. Em otras paavras não há ma única trajetória para a verdade absota, o há?... Anáise Dimensiona A teoria de Komogorov de 9 qe será disctida a segir, nada mais é do qe ma série de reações obtidas com o axíio da anáise dimensiona, sendo ma ferramenta mito importante para o estdo da trbência..5. A Teoria de Komogorov Em 9, o matemático rsso Andrei Nikoaevich Komogorov apresento m trabaho qe de origem a ma nova teoria para o entendimento da trbência, teoria essa qe foi apresentada a partir da postação das hipóteses básicas, mencionadas a segir. A partir dessa data, ao ongo de qase 7 anos, esta teoria tem sido disctida e agmas vezes contestada, principamente por ser considerada peos ses críticos, não como m teoria niversa, mas sim como m conjnto de hipóteses baseadas na anáise dimensiona. Frisch (995) discte em detahe essa teoria tratada por ee como K. PME55-Fndamentos da Trbência A Hipótese de Isotropia oca de Komogorov Para números de Reynods sficientemente atos, os movimentos das peqenas escaas de trbência (λ< λ ) são estatisticamente isotrópicos. Portanto esta hipótese está associada com a isotropia nas peqenas escaas de trbência, definida por Komogorov como isotropia oca. Nas grandes escaas, todavia, o escoamento é tipicamente anisotrópico e infenciado peas condições de fronteira do escoamento. Komogorov argmento em sa teoria qe como a energia

11 89 trbenta extraída do escoamento médio é transferida em cascata das maiores escaas para as menores escaas (o conceito de cascata de trbihões será apresentado a segir) a informação sobre a geometria das maiores escaas, determinada peo escoamento médio e peas condições de fronteira, é perdida no processo de transferência em cascata e, em conseqüência, o movimento das peqenas escaas de trbência é estatisticamente independente do movimento das grandes escaas do escoamento (é gerido por atas freqüências, o atos números de onda). Em otras paavras, o movimento de peqena escaa tem ma peqena distância a percorrer de maneira a se ajstar às mdanças circnstanciais; ta ajste pode ocorrer em m crto espaço de tempo comparado com o tempo para o decaimento, e, portanto, as mdanças podem ser consideradas independentes do constraint qe gero a trbência. Essa hipótese, conhecida como hipótese de eqiíbrio niversa, é tanto mais verdadeira qanto maior o número de Reynods, qando o movimento nas peqenas escaas seria niversa e semehante para qaqer escoamento trbento com atos vaores de Reynods, independentemente do fido escoado..5.. A Primeira e a Segnda Hipóteses de Simiaridade de Komogorov Segnda Hipótese de Simiaridade de Komogorov: Em todo escoamento trbento com número de Reynods sficientemente ato, sob o ponto de vista estatístico, o movimento das peqenas escaas é única e niversamente determinado pea escaa integra e pea taxa média de dissipação de energia ε, sendo independente da viscosidade. Define-se ε como a taxa de dissipação de energia por nidade de massa, qe é determinada pea energia qe provém das maiores escaas e qe vai sendo transferida às escaas decrescentes até chegar às escaas dissipativas, o qe impica qe ε pode ser avaiado a partir do movimento das escaas energéticas. Presspõe-se, portanto, através desse modeo, qe a dissipação direta das maiores escaas é desprezíve. Em termos dimensionais, tem-se qe no sistema internaciona a nidade de ε corresponde, portanto, a m s -. [ ε ] PME55-Fndamentos da Trbência 6 [ E] [ TM ] [ F] [ TM ] [ MT ] [ TM ] [ ] T

12 9 Ao se conceitar a cascata de energia o termo de importância centra é a taxa de transferência de energia dos maiores trbihões para os menores, o qe é expresso por: [ ( ) ] τ ( ) ε (.) Portanto, de acordo com a segnda hipótese de Komogorov, niversaiza-se o espectro de trbência na zona inercia, podendo ser representado pea seginte eqação: 5 E ( κ) Cε κ (.) sendo k, o número de onda (inverso do comprimento de onda) reativo a escaa de trbência e C ma constante niversa adimensiona, normamente adotada iga a nidade. anda e ifshitz contestaram em se ivro de Mecânica dos Fidos, cja primeira edição foi ançada em 9, o caráter de niversaidade da Teoria de Komogorov (ver ANDAU & IFSHITZ-989), mas sas contestações não resistiram a anáise da crítica e embora a eqação (.) seja independente das eqações do movimento, ea tem sido penamente verificada, seja através de experimentos físicos, seja através de experimentos nméricos. A figra.5 é ma representação teórica dos espectros de número de onda E(k) e k E(k) sendo qe a zona inercia se forma entre os números de onda k e k. PME55-Fndamentos da Trbência 6 Figra.5 Representação teórica dos espectros de número de onda E(k) e k E(k)R. (extraído de DAVIDSON, 7). Primeira Hipótese de Simiaridade de Komogorov: Em todo escoamento trbento com número de Reynods sficientemente atos, mas não infinitos, sob o ponto de vista

13 9 estatístico, o movimento das peqenas escaas tem ma forma niversa qe é nicamente determinado pea viscosidade do fido, pea taxa de dissipação por nidade de massa ε e pea escaa integra. A partir de ma simpes interpretação dimensiona o espectro de energia neste caso (ver BARENBATT E CHORIN, 998), resta: F( κ ) Re κ E( k) (.) Para atos vaores de Re pode-se se esperar atos vaores de κ antes qe o espectro de dissipação κ E(κ) seja significativo. Na figra.5 κ corresponde a m número de onda reativo à escaa integra e κ corresponde a m número de onda reativo a escaa dissipativa, sendo a região entre κ e κ conhecida como zona inercia..6. A Fenomenoogia do Escoamento Trbento A apicação da Teoria de Komogorov presspõe escoamento trbento desenvovido com independência estatística nas peqenas escaas. Sob o ponto de vista fenomenoógico tem-se associado ao estdo dos escoamentos trbentos penamente desenvovidos imagens mentais e representativas da dinâmica e da física do escoamento. Dentro dessa ótica se enqadra o conceito de cascata de trbihões, atribído a ewis Fry Richardson em 9 (apd FRISCH, 995) qe se inspiro no movimento das nvens e no verso de Jonathan Swift: So, nat raists observe, a fea Hath smaer feas that on him prey; And these have smaer yet to bite em, And so proceed ad infinitm. Ths every poet, in his kind, Is bit by him that comes behind. PME55-Fndamentos da Trbência 6

14 9 As das útimas inhas desse poema, normamente não são mencionadas nas pbicações de trbência, mas conforme sgere Frisch (985), poderiam ser também reevantes, se a paavra poet fosse sbstitída pea paavra fid dynamicist. A figra.6 é ma representação esqemática da visão de Richardson incorporada pea Teoria de Komogorov. Figra.6. Representação esqemática da cascata de trbihões do escoamento trbento. (Extraído de FRISCH, 995) O fxo em cascata representado através do espectro de energia o de número de onda de m sina trbento caracteriza-se por três regiões: zona de prodção da trbência (grandes escaas), zona inercia (processo de transferência em cascata com menores escaas) e zona de dissipação (micro-escaas). A zona inercia, de acordo com a teoria, deve apresentar m decaimento dado por k -5/, o qe tem sido verificado em diversos trabahos experimentais. Verifica-se qe a energia é introdzida no topo da cascata com ma taxa de dissipação ε havendo m fxo contíno de energia das psações de grande escaa (baixa freqência e ata ampitde de psação) para as psações de peqena escaa (ata freqência e baixa ampitde de psação) até as psações de micro-escaas qando a energia cinética é dissipada em caor. Natramente não se deve interpretar esta figra iteramente: trbihões não tem necessariamente a forma apresentada no PME55-Fndamentos da Trbência 6

15 9 esqema e os menores trbihões, mitas vezes, estão embebidos dentro dos maiores trbihões. Uma eitra atenta das anotações de eonardo da Vinci, (referenciadas em Pimati 89,fo.7,v apd FRISCH, 995) reveam qe ee já pensava em termos da teoria da cascata de trbihões ao escrever: Doe a trboenza deacqa sigenera Doe a trboenza deaca simantiene pgho Doe a trboenza deacqa siposa Cja tradção para o ingês é apresentada abaixo: Where the trbence of water is generated. Where the trbence of water maintains for ong. Where the trbence of water comes to rest. A K não faz referência expícita às idéias de Richardson, mas em se trabaho de 96, Komogorov escreve qe as hipóteses de sa teoria foram fisicamente baseadas na idéia de cascata de Richardson (apd Frisch, 985). Portanto, o movimento trbento, sob o ponto de vista qaitativo, pode ser considerado como restante da sperposição de movimentos (psações trbentas) de diferentes escaas, entendendo-se aqi por escaa o movimento de ordem de grandeza das distâncias sobre as qais a veocidade do movimento varia notavemente. Dessa forma, poderíamos associar m número de Reynods oca para cada escaa de PME55-Fndamentos da Trbência 6 trbência o trbihão (o famoso eddie da iteratra ingesa): v R λλ e λ De acordo com a segnda hipótese de simiaridade de Komogorov : (.)

16 9 ε ε(,), qe com a ajda da anáise dimensiona resta na seginte fnção adimensiona: ε A sendo: A constante adimensiona; escaa de veocidades associada a escaa integra de trbihão; (.5) escaa de comprimento dos maiores trbihões (escaa integra de comprimento). Evidentemente qe a anáise dimensiona não prevê o vaor da constante de proporcionaidade, considerado iga a nas apicações práticas, sem maiores rigores teóricos. Já, de acordo com a primeira hipótese de Komogorov, os únicos parâmetros importantes na descrição da trbência nas peqenas escaas são: ε taxa de dissipação de energia por nidade de massa, já definida, qe corresponde à taxa com qe a energia fi através da cascata; viscosidade cinemática qe termina com o processo da cascata. Essa hipótese define as chamadas micro-escaas de Komogorov, qe serão apresentadas a segir. Sob o ponto de vista prático, a hipótese de isotropia presspõe vaores igais do desvio médio qadrático (root mean sqare - RMS) das ftações do sina trbento nas três direções: U + v V + v w W + w p P + p PME55-Fndamentos da Trbência 6 (.6) v w (.7) hipótese difíci de se observar no dia a dia das medições de trbência no mndo rea.

17 95.7. O Conceito de Difsividade e de Viscosidade Trbenta.7.. Histórico O transporte trbento de qantidade de movimento pode ser entendido fazendo-se ma anaogia com o transporte moecar, com os trbihões de peqena escaa fazendo o pape das moécas e a escaa integra fazendo o pape do caminho ivre das moécas da teoria moecar (mean free path). Esta visão foi apresentada por Prandt em 95 qando introdzi o conceito de comprimento de mistra formando o primeiro modeo de trbência. Na verdade, o conceito de viscosidade trbenta como ma propriedade do escoamento e não ma propriedade do fido no caso da teoria moecar é m conceito bastante antigo. Após a introdção do termo viscoso na eqação da hidrodinâmica em 8, restando na eqação de Navier-Stokes, a pergnta qe se fazia na época era se o coeficiente de viscosidade era o mesmo em todo o gar e neste sentido existem textos de Saint Venant de 85, qe foram ressatados por Bossinesq em 877. Bossinesq, qe era ano de Saint Venant, evo adiante a idéia de qe a trbência amentaria a viscosidade. Os trabahos pioneiros de Saint Venant e de Bossinesq se apoiaram em observações experimentais em canais na metade do séco XIX. O desenvovimento da aerodinâmica no começo do séco XX evo ao redescobrimento das idéias de Saint Venant e Bossinesq. Sob m ponto de vista mais fndamenta, parece qe a idéia de viscosidade trbenta emergi tendo em vista o fato de qe a grande maioria dos escoamentos da natreza são trbentos, de modo qe o conceito de viscosidade moecar não era PME55-Fndamentos da Trbência 6 apropriado para a descrição dos escoamentos em gera. Por otro ado, no séco XIX, a distinção conceita entre moécas verdadeiras e fictícias (fid bas) (ver SCHICHTING,979) não era mito cara, qando trbihões (eddies) eram considerados como ma forma particar de moécas..7.. A Anaogia entre Difsividade (o Viscosidade) Moecar e Trbenta

18 Difsão Moecar O processo de difsão moecar ocorre, por exempo, qando há gradiente de temperatra em m sistema fido qe ocasiona a migração de moécas de posições de maior temperatra para posições de menor temperatra. O processo de difsão moecar de caor é descrito na iteratra pea ei de Forier e, anaogamente, teríamos a ei de Newton da viscosidade para a transferência de qantidade de movimento e a ei de Fick para a transferência de massa. θ θ γ γ θ t x i x i onde: θ temperatra; (.8) γ coeficiente de difsividade térmica ( /T) Difsão Trbenta Admitindo-se váida ma anaogia entre o processo de difsão moecar e o processo de difsão trbenta, conforme mencionado anteriormente, poder-se-ia admitir a seginte eqação para a difsão trbenta: θ θ γ t t x x i i onde: γ t coeficiente de difsividade trbenta..7...exercício Apicativo (.9) O exercício apresentado abaixo, extraído de Tennekes & mey (97), istra a ordem de grandeza de processos de difsões moecar e trbenta. Considere-se o caso de m ambiente com geometria qadrada, sjeito a m aqecimento ponta, conforme representado na figra e admita-se qe não há nenhma movimentação do ar atmosférico no interior desse ambiente. Determinar o tempo para a difsão de caor (moecar o trbenta) no interior do ambiente. PME55-Fndamentos da Trbência 6

19 97 Figra.7 Representação esqemática de m ambiente fechado, com geometria qadrada, sjeito a m processo de aqecimento. Soção: Não havendo nenhma movimentação do ar no ambiente, o processo de transferência de caor é governado pea eqação da difsão moecar e considerando a apicação da ei de Forier, sob o ponto de vista da anáise dimensiona, resta: θ θ γ T T m m γ onde: T m escaa de tempo de difsão moecar; (97): escaa de comprimento (dimensão do ambiente). (.) Resovendo-se nmericamente, a partir dos dados de Tennekes & mney 5 m e γ, cm /s, resta: ( ) PME55-Fndamentos da Trbência s h, o qe mostra qe a difsão moecar é mito ineficiente no processo de transferência de caor no ambiente em qestão.

20 98 Se admitirmos agora qe há movimentação de ar no ambiente, temos m processo de difsão trbenta qe passa a ser descrito pea eqação.9, e cja escaa de tempo é dada por: T t (.) onde: escaa de comprimento dos maiores trbihões (escaa integra); escaa de veocidade desses trbihões (poderia estar associada ao desvio médio qadrático das ftações trbentas de veocidade); T t escaa de tempo trbenta. Nmericamente, tiizando os dados de TENNEKES & UMNEY (97), tem-se para a estimativa de 5 cm/s, o seginte restado: 5 T t s, o5 o qe impica: T m >>T t a difsão por movimento trbento é mito mais rápida qe a difsão por movimento moecar. Portanto: Tt T m γ (.) γ,7 γ γ Em termos de ordem de grandeza para o ar atmosférico: PME55-Fndamentos da Trbência 6 O qe significa qe T T T T t m m t R e R e (.)

21 99 de onde se conci qe o Número de Reynods de m escoamento trbento pode ser interpretado como ma reação entre a escaa de tempo moecar e a escaa de tempo trbenta, o qe seria ma aternativa a interpretação cássica do Número de Reynods, como ma reação entre força de inércia e força viscosa atantes no escoamento. Finamente considerando a eqação.9 sob o ponto de vista da anáise dimensiona: θ θ γ t Tt Tt γ t Comparando-se as eqações (.) e (.), resta: (.) γ t (.5) Portanto: γ t υt Re (.6) γ γ υ O Número de Reynods apresentado através da eqação (.6) é interpretado, portanto, como ma reação entre a viscosidade trbenta (aparente) e a viscosidade moecar e, dentro desse conceito, poderíamos interpretar a condição de R e para os trbihões mito peqenos tendendo as escaas moecares..8. Microescaas de Komogorov Partindo-se do conceito de Número de Reynods oca e tiizando-se as eqações. e.5, temos: / ( λ) vλλ ( ελ) λ Re Qe mtipicada por /, resta: / λ / λ / PME55-Fndamentos da Trbência 6 λ / / / λ λ λ Re λ Re / / (.8) Portanto o número de Reynods oca pode ser expresso peo prodto do número de Reynods do escoamento e a reação das escaas oca e integra de comprimento.

22 Para λ < λ escaas internas (dissipativas) Re t E sbstitindo na eqação (.8) resta: Re Re Re Re Re ε λ λ λ λ λ Portanto: ε η λ (.7a) qe é a chamada micro-escaa de comprimento de Komogorov e qe depende excsivamente da viscosidade e da taxa de dissipação de energia, de acordo com a primeira hipótese de Komogorov.. Anaogamente, poderiam ser obtidas as demais micro-escaas de Komogorov: ε τ micro-escaa de tempo; (.7b) ( ) ε v micro-escaa de veocidade. (.7c).9. Reações Entre as Micro-Escaas de Komogorov e a Escaa Integra PME55-Fndamentos da Trbência 6

23 ( ) ( ) ( ) Re Re Re v T ε ε τ ε η (.8) Essas reações mostram qe as escaas de comprimento, tempo e veocidade dos menores trbihões são mito menores do qe dos maiores trbihões. Verifica-se através dessas reações qe a separação entre essas escaas amenta com o amento do vaor de Re, o qe eva a crer qe a independência estatística do estado de eqiíbrio dinâmico da estrtra de peqenas escaas será mais evidente para vaores de Re mito atos. Aém disso, qanto maior o vaor de Re do escoamento, maior a distância entre a escaa de Komogorov e a escaa integra, conforme istrado nas figras.8,.9 e.. Figra.8 Representação esqemática de m jato ivre com Re do escoamento mais baixo (a) e Re mais ato (b).( Extraído de TENNEKES & UMEY, 97) PME55-Fndamentos da Trbência 6

24 Figra.9 Escoamento trbento em camada de mistra (nitrogênio escoando a m/s sobre ma camada de ma mistra de héio com argônio a veocidade de,8 m/s e pressão de atm). (Extraído de VAN DIKE,98) Figra. Mesmo escoamento trbento em camada de mistra representado na figra.9, mas dobrando o Re do escoamento. (Extraído de VAN DIKE, 98).. Micro-Escaa de Tayor A micro-escaa de Tayor é definida na iteratra para os peqenos trbihões na zona inercia, portanto não dissipativa: λ PME55-Fndamentos da Trbência 6 λ com ε, neste caso, dado por: ε (.9a) λ Tennekes & mey 97 sgerem para esta eqação:

25 ε 5 (.9b) λ.. A Hipótese do Contíno Para Escoamento Trbento A reação entre a escaa de comprimento de Komogorov η e o comprimento de mistra da teoria moecar ξ (número de Kndsen) é dada por: ξ η a a ( ) a Re ε a Ma (.) Pea eqação (.) pode-se concir qe a micro-escaa de Komogorov tende a escaa moecar para atos vaores de número de Mach e baixos vaores de número de Reynods, qe não é ma sitação mito viáve de ocorrer. Um exempo extremo citado em Tennekes & mey (97) é o caso de escoamento em nebosas gasosas: Ma e Re 7. Neste caso, temos: ξ Ma η Re 6 qe foge competamente a condição dos escoamentos incompressíveis, e portanto foge ao escôpo dessa pbicação. Dessa forma podemos concir qe a hipótese do contíno se apica à grande maioria dos casos práticos envovendo o estdo de escoamentos trbentos... Número de Reynods e Gras de iberdade PME55-Fndamentos da Trbência 6 Em sistemas dinâmicos ditos caóticos o número de gras de iberdade é mito inferior qando comparado com escoamentos trbentos qe dependem fortemente do número de Reynods e das condições iniciais (constraints), o qe torna difíci a simação nmérica de escoamentos sjeitos a atos números de Reynods. Da eqação (.8) tem-se qe a região inercia se estende a ma faixa de escaas crescendo a potência ¾ do número de Reynods:

26 Re η Para a descrição do escoamento tiizando a simação nmérica é necessário a tiização de ma maha, retangar, por exempo, com o número mínimo de nós representado a segir: qe: 9 N Re (.) η Admitindo-se m caso típico de escoamento trbento com Re 6, tem-se N 6 ( ) 9 5 o qe torna ainda impraticáve a reprodção nmérica de escoamentos trbentos com atos vaores de número de Reynods... Exercícios Seecionados... Extraído e Adaptado de TENNEKES & UMEY (97) Uma caixa cúbica com vome é preenchida com fido em movimento trbento. Nenhma fonte externa de energia está presente, de ta forma, qe a trbência decai no tempo. Como a trbência está confinada na caixa, a escaa integra de comprimento pode ser assmida iga a, para qaqer tempo. a) Derive ma expressão de decaimento da energia cinética da trbência ( na forma / ) como ma fnção do tempo. PME55-Fndamentos da Trbência 6 Como a trbência decai, o número de Reynods (Re) dimini e se Re / torna-se menor qe, então a estimativa não viscosa de Komogorov (segnda hipótese), ε /, deve ser sbstitída pea estimativa viscosa do tipo ε C /, porqe trbihões para número de Reynods mais baixos perdem energia diretamente pea dissipação viscosa. b) Cace C assmindo qe a taxa de dissipação é contína para Re.

27 5 c) Derive ma expressão de decaimento de energia cinética de trbência qando Re < (corresponde a sitação de período fina de decaimento). Admitindo: m; 5 x -6 m /s ; m/s;para o tempo t : d) Qanto tempo eva para qe a trbência entre em se período fina de decaimento? Assmir qe os efeitos de parede da caixa no decaimento da trbência podem ser ignorados. e) Esta hipótese é váida? Soção: a) Derive ma expressão de decaimento da energia cinética da trbência ( na forma / ) como ma fnção do tempo: Para Re > ε A / e considerando a variação de energia cinética de trbência com o tempo, tem-se qe: PME55-Fndamentos da Trbência 6 d ) ( A dt d A dt A d dt Integrando a eqação acima:

28 6 t t t t t t t A dt A d dt A d para t e A, tem-se qe: t t + + t + decaimento inear da trbência em fnção do tempo. ( ) + 9 t decaimento da energia cinética de trbência em fnção do tempo (estimativa não viscosa com Re > ). b) Cace C assmindo qe a taxa de dissipação é contína para Re : Sabe-se qe : Re Re C ε ε Portanto, admitindo-se a hipótese da continidade para Re, resta: Re ε C C C PME55-Fndamentos da Trbência 6

29 7 Portanto: C Observação: A taxa de dissipação correspondente à estimativa viscosa está associada a micro escaa de Tayor, conforme apresentado na eqação (.9b) diferindo apenas no vaor da constante C. c) Derive ma expressão de decaimento de energia cinética de trbência qando Re < (corresponde a sitação de período fina de decaimento). d ( ) C dt d C dt C d dt Integrando esta útima eqação: e Para t C d dt t C [ n] ( t t ) Portanto: C ( t t ) decaimento exponencia da trbência em fnção do tempo. Re C ( ) t t PME55-Fndamentos da Trbência 6 e decaimento exponecia da energia cinética da trbência em fnção do tempo (estimativa viscosa com Re < ). d) Admitindo: m; 5 x -6 m /s ; m/s; para o tempo t, qanto tempo ocorre para qe a trbência entre em se período fina de decaimento? Sabe-se para a estimativa não viscosa, com Re, qe:

30 8 + t t Considerando-se a hipótese de qe é constante para todo o tempo: 6 x5x,5 x m / s xx t x) 997s 5, 5h estimativa irrea a primeira vista!!,5 x d) Assmir qe os efeitos de parede da caixa no decaimento da trbência podem ser ignorados. Esta hipótese é váida? A hipótese de qe a taxa de decaimento da energia cinética é da ordem de / pode ser considerada correta drante o intervao de tempo em qe as forças de inércia são apreciáveis. Assmindo-se os efeitos de parede no decaimento da trbência, sabese qe as forças viscosas são predominantes jnto as paredes, e, nesse caso, a hipótese de decaimento de energia cinética citada anteriormente não é totamente verdadeira. Por otro ado, a teoria de Komogorov presspõe trbência desenvovida, homogênea e isotrópica, o qe não é o caso do exempo. Admitindo-se ma caixa mito grande de modo qe o vome de fido em contato com a parede é reativamente peqeno qando comparado com o restante do vome, nesse caso a teoria de Komogorov forneceria restados mais precisos, principamente se considerarmos o incremento do Re.... Exercício Adaptado dos Restados de Satara & Ortiz PME55-Fndamentos da Trbência 6 (99) Um ressato hidráico afogado é formado a jsante de ma comporta de fndo instaada no vertedor de m cana ( HO X -6 m /s). Sabendo-se qe o ressato hidráico é sbmerso com índice de sbmergência S sb,, número de Frode na entrada do ressato Fr 8,9, atra conjgada na entrada do ressato Y,5 m e veocidade média na entrada do ressato U, m/s, pede-se cacar as micro-

31 9 escaas de Komogorov, (comprimento, veocidade e tempo) nas seções x/y, e 8, a jsante do início do ressato. Soção: O trabaho de Satara & Ortiz 99 apresenta vaores de profndidades da âmina d ága ao ongo do ressato e de vaores de RMS de ftação da veocidade na direção do escoamento, para as condições de contorno acima discriminadas. Esses vaores foram obtidos a partir de m trabaho de mestrado envovendo simação nmérica tiizando modeo k-ε desenvovido por Satara (ver Satara & Ortiz, 99) e comparando-se os restados com vaores experimentais obtidos por ong et a, 99, a partir da medição com m sistema DV, conforme tabeas anexas: Dados: Y,5 m; x -6 m /s; U, m/s; Re U Y 6,x,5,7x Para x/y 9,8Y,7m. Profndidade Y (m) (m/s) / ε (m /s - ) η ε (m) v (m/s) ( ε ) τ ε,,7 6,96x -5,6,7,5,77,65,68x -5,6,7,,,579,65x -5,76,,5,,579,65x -5,76, PME55-Fndamentos da Trbência 6,6,,579,65x -5,76,,75,,579,65x -5,76,,9,8,6,86x -5,6,5 (s)

32 Para x/y 8 Profndidade Y (m), Y,95 m (m/s) / ε (m /s - ) η ε (m) v ( ε ) (m/s) τ ε,6, 9,9x -5,,985,5,57,98 8,x -5,9,7,,57,98 8,x -5,9,7,5,57,98 8,x -5,9,7,6,88, 7,x -5,6,5,75,88, 7,x -5,6,5,9,88, 7,x -5,6,5 COMENTÁRIOS: Verifica-se pea anáise dos restados qe as escaas de comprimento e de tempo de Komogorov são menores na região próxima a parede e na região crítica inicia do ressato. Por sa vez, as escaas de veocidade de Komogorov amentam nestas regiões, o qe comprova o processo de geração de trbência na região inicia do ressato, com maiores taxas de dissipação na região de parede.... Exercício adaptado de V iata Aonso & Ortiz Em m peqeno cana de aboratório medi-se o campo de veocidades de m escoamento de ága e do escoamento de ága mistrada com m poímero soúve (Iqapo). As medições do campo de veocidade foram feitas com m sistema DA PME55-Fndamentos da Trbência 6 (aser Dopper Anemometer) para número de Reynods do escoamento Re 8 x. As medições foram feitas na região de parede do cana para concentrações de poímero de 5,, 5, ppm. Determinar as escaas de Komogorov para estas sitações de escoamento, considerando constante e iga a da ága, a viscosidade cinemática da soção poimérica ( x -6 m /s). (s)

33 Soção: Adotando-se a argra do cana como sendo a escaa integra de comprimento tem-se qe: cm, m. Região de parede ESCOAMENTO ε (m /s ) (m) (m/s) Ága,57,,57 Iqapo 5 ppm,5,,6 Iqapo ppm,,, Iqapo 5 ppm,6,, Iqapo ppm,,, Utiizando-se a teoria de Komogorov restam para as micro-escaas os segintes vaores: Região de parede ESCOAMENTO η (m) v (m/s) τ(s) Ága,,89,89 Iqapo 5 ppm,,7,7 Iqapo ppm,,55,8 Iqapo 5 ppm,,6,57 Iqapo ppm,,6, Exercício apicado ao sistema vascar PME55-Fndamentos da Trbência 6 Determinar a micro-escaa de Komogorov para escoamento sangíneo na raiz da aorta, considerado tipicamente trbento. De qe forma estas escaas afetam o comportamento das céas vermehas e conseqüentemente, o processo de hemóise, após cirrgias tiizando endopróteses em anerismas. Dados: D aorta, cm ρ sange 6 kg/m V,65 m/s x kg / m. s µ sange x kg / m. s

34 Soção: Re Re ρvd µ ρvd µ 6x,65x, x 6x,65x, x 776,8 858, Os vaores de número de Reynods obtidos caracterizam m escoamento tipicamente trbento na entrada da aorta. Utiizando as condições abaixo estabeecidas em Pinotti (), com σ N 5 N/m, tem-se: σ N ( ) ρ η ρ η 6,x ρ η η,x ( ) σ N ρ,75 σ,75 σ,75 N,75,75 mm 6,µ m,75 N,5,5 6 6,75,75 mm,µ m x 6 (,89x ) x 5 6 (,77x ) 5,75,75,75,75 x,,5 x,,5 6,x 6,x Percebe-se qe, nesse caso, caracteriza-se m escoamento tipicamente trbento, de acordo com a teoria de escoamento em condto forçado, caracterizando-se as microescaa de Komogorov, como sendo da ordem de grandeza das dimensões médias das céas vermehas do escoamento ( µm). Microescaas da ordem de grandeza da dimensão média das céas vermehas podem casar danos a essas céas peo comportamento das tensões trbentas e viscosas. PME55-Fndamentos da Trbência 6 5 m..5. Extraído e adaptado de Keinstreer (997) Considere-se itro de ága a ser mistrado em m recipiente de cm de diâmetro, sendo a potência transmitida para a mistra nas segintes sitações: a) tiização de m mistrador mana de W;

35 b) tiização de m mistrador mecânico de W Determinar o tamanho das menores escaas de trbência e de qe forma eas afetam a eficiência do sistema. Dado: HO -6 m /s Respostas: - mistrador mana: ε W/kg; η, mm; - mistrador mecânica: ε W/kg ; η, mm. Observação: No segndo caso tem-se estabeecida ma maior taxa de dissipação e ma menor escaa de Komogorov, o qe significa ma maior geração de trbência e m processo mais eficaz de mistra... Comparação de agns restados dos exercícios seecionados Percebe-se qe para m espectro de escaas de escoamento trbento, partindo de sistemas vascares até escoamentos em canais hidráicos, as escaas de comprimento de Komogorov variam entre vaores da ordem de a µm. Nos casos em qe se dispõe de dados, jnto da parede as menores escaas de comprimento e tempo são menores, enqanto qe as menores escaas de veocidade são maiores, o seja a trbência é maior. É interessante também observar qe as escaas dissipativas de Komogorov são da ordem de grandeza das dimensões médias das céas sangíneas ( µm). PME55-Fndamentos da Trbência 6