Análise dimensional. Parte V. Niels Bohr ( ) Peter Higgs (1929-) Análise dimensional 377. TF3-377_386_P5T1_5P.indd /08/12 11:12

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1 Parte V Niels Bohr (885-96) Análise dimensional Xinhua/eyevine/atinstock SP/atinstock Peter Higgs (99-) Análise dimensional 377 TF3-377_386_P5T_5P.indd 377 0/08/ :

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3 ÍNDICE PARTE V ANÁISE DIMENSIONA TÓPICOS PÁGINA 0. Análise Dimensional 78

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5 78 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA Parte V ANÁISE DIMENSIONA [R] = [p] [V] [n] [τ] = F l 3 θ [R] F θ Resposta: [R] F θ Uma das principais equações da Mecânica quântica permite calcular a energia E associada a um fóton de luz em função da frequência f da respectiva onda eletromagnética: E = hf Nessa equação, h é a constante de Planck. Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), (comprimento) e T (tempo), determine a expressão dimensional de h. [E] = M T ; [f] = T h = E f [h] = [E] [f] = M T T [h] = M T Resposta: M T Conforme as teorias de Newton, dois astros de massas respectivamente iguais a M e m, com centros de massa separados por uma distância d, atraem-se gravitacionalmente trocando forças de intensidade F, dadas por: F = G Mm d em que G é a constante da Gravitação. Em relação às dimensões mecânicas fundamentais comprimento (), massa (M) e tempo (T), determine a equação dimensional, bem como a unidade SI de G. [F] = M T F = G M m G = Fd d M m [G] = [F] [d ] [M] [m] = M T M [G] = M 3 T Unidade SI de G: kg m 3 s Resposta: [G] = M 3 T ; kg m 3 s 3 A pressão p de um número de mols n de gás perfeito que ocupa um volume V a uma temperatura absoluta pode ser calculada pela equação de Clapeyron: p V = n R em que R é uma constante, denominada constante universal dos gases perfeitos. Adotando como fundamentais as grandezas F (força), (comprimento), T (tempo) e (temperatura), determine a expressão dimensional de R. [p] = F ; [n] = F 0 0 T 0 (adimensional) p V = n R τ R = p V n τ 4 (Unirio-RJ) Para o movimento de um corpo sólido em contato com o ar foi verif icado experimentalmente que a intensidade da força de resistência F r é determinada pela expressão F r = k v, na qual v é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar e k, uma constante. A unidade de k, no Sistema Internacional (SI), é dada por: a) kg m d) kg m s b) kg m e) kg m s c) kg m s [F r ] = M T ; [v] = T F r = k v k = F v [k] = [F ] r = M T [k] = M T [k] = M [v] (T ) T Unidade SI de k: kg m Resposta: a 5 (Unicamp-SP mod.) Quando um recipiente aberto contendo um líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento ondulatório na superfície do líquido. Para pequenos comprimentos de onda λ, a velocidade de propagação v de uma onda na superfície livre do líquido está relacionada à tensão superf icial σ, conforme a equação π σ v = ρ λ em que ρ é a densidade do líquido. Esta equação pode ser utilizada para determinar a tensão superf icial induzindo-se na superfície do líquido um movimento ondulatório com uma frequência f conhecida e medindo-se o comprimento de onda λ. Determine: a) a equação dimensional da tensão superf icial σ em relação à massa M, comprimento e tempo T. b) as unidades da tensão superf icial σ no Sistema Internacional de Unidades. a) [V] = T ; [ρ] = M 3 ; [λ] = V = π σ ρ λ σ = ρ λ V π [σ] = M 3 ( T ) Donde [σ] = M 0 T b) Unidade SI de σ: kg s = kg s Respostas: a) [σ] = M 0 T ; b) kg s

6 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA 79 6 (Uf la-mg) No estudo de F luidodinâmica, a intensidade da força viscosa pode ser dada pela equação F = η d v, sendo η o coef iciente de viscosidade, d a distância percorrida pelo f luido e v o módulo da sua velocidade de deslocamento. Considerando-se o Sistema Internacional, SI, o coef iciente de viscosidade η é dado pelas unidades: a) kg m s b) kg m s c) kg m s d) kg m s e) (kg) m s F = η d v η = F d v [F] = M T ; [d] = e [v] = T ogo: [η] = M T T Donde: [η] = M T Unidade do SI de η: kg m s Resposta: b 7 No Sistema Internacional (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A ei de Coulomb da Eletrostática permite calcular a intensidade (F) da força de interação (atração ou repulsão) trocada entre duas cargas puntiformes Q e Q, separadas por uma distância d, por meio de uma expressão do tipo: F = 4π ε 0 Q Q r em que ε 0 é uma constante fundamental da Física. Em relação a ε 0, é correto af irmar que: a) é uma grandeza adimensional. b) no SI, é medida em m s A. c) no SI, é medida em m 3 kg A. d) no SI, é medida em m 3 kg s 4 A. e) no SI, é medida em m 3 s 4 A. [F] = M T ; [Q] = I T; 4π é uma constante adimensional F = 4π ε 0 Q Q r ε 0 = [ε 0 ] = [Q ] [Q ] [F] [r ] [ε 0 ] = = Q Q 4πF r (IT) M T () I T M 3 T [ε 0 ] = M 3 T 4 I Unidade SI de ε 0 : kg m 3 s 4 A Resposta: d 8 Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), (comprimento), T (tempo) e I (intensidade de corrente elétrica), determine as expressões dimensionais e as respectivas unidades SI das seguintes grandezas físicas: a) carga elétrica; b) capacitância eletrostática. a) i = ΔQ Δt ΔQ = i Δt [Q] = I T Unidade SI de Q: A s = coulomb (C) b) U = E Q [U] = M T IT [U] = M T 3 I C = Q U [Q] [C] = [U] = IT M T 3 I [C] = M T 4 I Unidade SI de C: kg m s 4 A = farad (F) Respostas: a) I T; A s = coulomb (C); b) M T 4 I ; kg m s 4 A = farad (F) 9 (Mack-SP) Na equação dimensionalmente homogênea x = at bt 3, em que x tem dimensão de comprimento () e t tem dimensão de tempo (T), as dimensões de a e b são, respectivamente: a) T e T d) T e T 3 b) T 3 e T 3 e) T 3 e T 3 c) T e T 3 [a t ] = ; [b t 3 ] = [a] T = [a] = T [b] T 3 = [b] = T 3 Resposta: c 0 (ITA-SP) Os valores de x, y e z para que a equação: (força) x (massa) y = (volume) (energia) z seja dimensionalmente correta são, respectivamente: a) ( 3, 0, 3). d) (,, ). b) ( 3, 0, 3). e) (, 0, ). c) (3,, 3). (M T ) x M y = 3 (M T ) z M x + y x T x = M z x + 3 T z x + y = z z + 3 = x z = x z = x ogo: x + 3 = x x = 3 e z = 3 x + y = x y = 0 Resposta: b (Mack-SP) Considerando as grandezas físicas A e B de dimensões respectivamente iguais a M T e, onde M é dimensão de massa, é dimensão de comprimento e T é dimensão de tempo, a grandeza def inida por A B tem dimensão de: a) potência. d) quantidade de movimento. b) energia. e) pressão. c) força.

7 80 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA [A] = M T ; [B] = [G] = [A] [B] [G] = M T [G] = M T A grandeza G = A B tem a dimensão de pressão. Resposta: e (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som com a pressão P e a massa específ ica ρ (kg/m 3 ), em um gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo v α = C Pβ, em que C é uma constante adimensional. Analisando as ρ dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes α e β são: a) α =, β =. d) α =, β =. b) α =, β =. e) α = 3, β =. c) α =, β =. v α = C Pβ ρ [v] = T ; [P] = M T ; [p] = M 3 ( T ) α = (M T ) β M 3 M 0 α T α = M β 3 β T β β = 0 β = α = 3 β α = 3 α = Resposta: c 3 (ITA-SP) Durante a apresentação do projeto de um sistema acústico, um jovem aluno do ITA esqueceu-se da expressão da intensidade de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, ele concluiu que a intensidade média (I) é uma função da amplitude do movimento do ar (A), da frequência (f), da densidade do ar (ρ) e da velocidade do som (c), chegando à expressão I = A x f y ρ z c. Considerando-se as grandezas fundamentais massa, comprimento e tempo, assinale a opção correta que representa os respectivos valores dos expoentes x, y e z. a),, c),, e),, b),, d),, I = ΔE S Δt [ΔE] [I] = [S] [Δt] [I] = M T T Donde: [I] = M 0 T 3 I = A x f y ρ z c Observando que: [A] = ; [f] = T ; [ρ] = M 3 e [c] = T, vem: M 0 T 3 = x (T ) y (M 3 ) z T Donde: M 0 T 3 = M z x 3z + y T z = y = 3 y = x 3 + = 0 x = Resposta: d 4 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade de propagação V de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específ ica do meio µ, de acordo com a expressão: V = p x µ y Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale. [V] = [p] x [µ] y [V] = M 0 T ; [p] = M T ; [µ] = M 3 M 0 T = (M T ) x (M 3 ) y M 0 T = M x + y x 3y T x x + y = 0 x 3y = x = x = ogo: V = p µ Donde: V = Resposta: V = p µ p µ e y = 5 (ITA-SP) O módulo da velocidade de uma onda transversal, em uma corda tensa, depende da intensidade da força tensora F a que está sujeita a corda, de sua massa m e de seu comprimento d. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que o módulo da velocidade é proporcional a: a) b) c) F md Fm d Fm d d) e) Fd m md F v = k F x m y d (k é uma constante adimensional) [v] = M 0 T ; [F] = M T M 0 T = (M T ) x M y z M 0 T = M x + y x + z T x x + y = 0 x + z = x = x =

8 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA 8 ogo: y = Assim: v = k F m d e z = Identif icando-se os expoentes das potências de mesma base, vem: z = x + z = x + = x = y z = 0 y = 0 y = Donde: v = k Fd m ogo: φ = k C A Δθ e Por outros métodos, conclui-se que k =. Resposta: d 6 No meio rural, todas as fontes energéticas são importantes. Uma das fontes é o vento, do qual se pode obter potência por meio de um cata-vento. A potência do cata-vento depende, por meio de uma relação monômia, da densidade do ar µ, da área projetada do rotor A e do módulo da velocidade do ar V. Sendo k uma constante adimensional, determine a expressão da potência do vento P. P = k µ x A y V (k é uma constante adimensional) [P] = M T 3 ; [µ] = M 3 ; [A] = e [V] = T M T 3 = (M 3 ) x ( ) y ( T ) M T 3 = M x 3x + y + z T z Identif icando-se os expoentes das potências de mesma base, vem: x = 3x + y + z = z = 3 z = 3 ogo: 3 + y + 3 = y = Assim: P = k µ A V 3 Resposta: P = k µ A V 3 7 Verif ica-se experimentalmente que o f luxo de calor (φ) energia por unidade de tempo através de uma parede que separa dois ambientes mantidos em temperaturas constantes e diferentes depende da área (A) da parede, da diferença entre as temperaturas (Δθ) nos dois ambientes e do coef iciente de condutibilidade térmica (C) do material pelo qual o calor é conduzido, sendo, ainda, inversamente proporcional à espessura (e) da parede. Adotando uma constante adimensional (k), determine, por análise dimensional, a expressão de φ em função de C, A, Δθ e e. É dada a expressão dimensional do coef iciente de condutibilidade térmica: [C] = M T 3 θ, em que M é massa, é comprimento, T é tempo e θ é temperatura. φ = k A x (Δθ) y C z e φ = ΔE [φ]= M T [φ] = M Δt T T 3 [A] = ; [Δθ] = θ; [C] = M T 3 θ e [e] = M T 3 θ 0 = ( ) x θ y (M T 3 θ ) z M T 3 θ 0 = M z x + z T 3x θ y z Trata-se da ei de Fourier e, por outros métodos, obtém-se k =. Resposta: φ = k C A Δθ e 8 (ITA-SP) A f igura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse f luxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento do tubo por unidade de comprimento (ΔP/), do raio do tubo (a) e da viscosidade do f luido (η) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coef iciente de viscosidade (η) de um f luido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de f luido coletado por unidade de tempo é proporcional a: a) A η b) ΔP c) ΔP Fluido ΔP. Capila r d) ΔP a 4 η. e) η a 4. Z = k ΔP x a y η z [ΔP] = M T ; [] = [a] = η = F A d v [F] = M T ; [A] = ; [d] = e [v] = T [η] = M T [η] = M T T Z = ΔV (Z representa a vazão) Δt [Z] = 3 T [Z] = 3 T ogo: M 0 3 T = M T x y (M T ) z M 0 3 T = M x + z x + y z T x z η A. ΔP a4 η.

9 8 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA Identif icando os expoentes das potências de mesma base, temos: x + z = 0 z = x (I) x + y z = 3 x z = x + z = (II) (I) em (II): x x = x = e z = () + y ( ) = 3 y = 4 ogo: Z = k ΔP a4 η Donde: Resposta: b Z = k ΔP a4 η 9 (Unicamp-SP) Além de suas contribuições fundamentais à Física, Galileu é considerado também o pai da Resistência dos Materiais, ciência muito usada em engenharia, que estuda o comportamento de materiais sob esforço. Galileu propôs empiricamente que uma viga cilíndrica de diâmetro d e comprimento (vão livre), apoiada nas extremidades, como na f igura abaixo, rompe-se ao ser submetida a uma força vertical F, aplicada em seu centro, dada por F = σ d3, em que σ é a tensão de ruptura característica do material do qual a viga é feita. Seja γ o peso específ ico (peso por unidade de volume) do material da viga. d a) Quais são as unidades de σ no Sistema Internacional de Unidades? b) Encontre a expressão para o peso total da viga em termos de γ, d e. c) Suponha que uma viga de diâmetro d se rompa sob a ação do próprio peso para um comprimento maior que. Qual deve ser o diâmetro mínimo de uma viga feita do mesmo material com comprimento para que ela não se rompa pela ação de seu próprio peso? F a) F = σ d3 σ = F d 3 No SI, as unidades de F, e d são, respectivamente, N, m e m. ogo: Unidade (σ) = N m m 3 = N m embrando que a unidade de força newton (N) pode ser expressa por: N = kg m s, Temos: Unidade (σ) = kg m s m = kg m s Ou unidade (σ) = kg m s b) Conforme o enunciado: γ = P V P = γ V Sendo V = πd, segue que: 4 P = γ πd 4 c) O peso será a força vertical aplicada no centro da viga responsável pela sua f lexão e consequente ruptura. ogo: F = P σ d 3 = γ π d 4 Donde: 4σ γ π = d o caso: 4σ γ π = d (I) o caso: 4σ γ π = ( ) d (II) Comparando-se (I) e (II), vem: = 4 d d d = 4d Respostas: a) kg m s ; b) γ πd ; c) 4d 4