Em Mecânica, qualquer grandeza pode ser expressa

Transcrição

1 UNIDADE E Análise dimensional Capítulo 21 Análise dimensional Por meio da análise dimensional verificam-se as possíveis relações entre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Além disso, estabelecida experimentalmente uma fórmula matemática, que traduz uma dada lei física, a análise dimensional permite-nos constatar a coerência dessa fórmula: deve existir identidade entre as equações dimensionais dos dois membros. A análise dimensional permite que se faça a previsão de fórmulas que sintetizam as relações entre grandezas que fazem parte de um fenômeno físico As grandezas fundamentais da Física Em Física, além das grandezas fundamentais da Mecânica massa, comprimento e tempo, temos outras grandezas fundamentais, como temperatura, intensidade de corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, podemos expressar todas as demais grandezas físicas Equações físicas. Teorema de Bridgman A grandeza física G, que depende de outras grandezas físicas independentes (A, B, C...), pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C... Em Mecânica, qualquer grandeza pode ser expressa em função de três grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a determinados expoentes. Além dessas grandezas, temos ainda a temperatura (J), a intensidade de corrente elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensidade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser expressa em função das grandezas fundamentais.

2 Seção 21.1 As grandezas fundamentais da Física Objetivo Analisar equações dimensionais de grandezas estudadas no curso de Física. Termos e conceitos grandezas fundamentais 1 Grandezas fundamentais da Mecânica Em Mecânica, adotamos como grandezas fundamentais a massa, o comprimento e o tempo, que são representados, respectivamente, por M, L e T. Qualquer outra grandeza G da Mecânica pode ser expressa em função de M, L e T, elevados a expoentes a, d e D convenientes. Desse modo, obtemos a equação dimensional de G, que é indicada por [G] e dada por: [G] M a L d T D Os expoentes a, d e D são as dimensões da grandeza G em relação a M, L e T, respectivamente. Exemplos de equações dimensionais velocidade v 5 Ss ] [v] 5 [Ss] St [St] 5 L T ] [v] 5 M0 LT 21 aceleração a 5 Sv ] [a] 5 [Sv] St [St] 5 M0 LT 21 ] [a] 5 M 0 LT 22 T força F ma ] [F] [m] 3 [a] M 3 LT 2 ] [F ] MLT 2 trabalho (ou energia) D Fd ] [D] [F] 3 [d] MLT 2 3 L ] [D] ML 2 T 2 potência Pot 5 D ] [Pot] 5 [D] St [St] 5 ML2 T 22 ] [Pot] 5 ML 2 T 23 T impulso I F 3 St ] [I] [F] 3 [St] MLT 2 3 T ] [I] MLT 1 Unidade E Análise dimensional 498 quantidade de movimento Q mv ] [Q] [m] 3 [v] 5 M 3 L ] [Q] 5 MLT 1 T pressão p 5 F ] [p] 5 [F] A [A] 5 MLT22 L ] [p] 5 2 ML21 T 22 densidade d 5 m ] [d] 5 [m] v [v] 5 M L ] [d] 5 3 ML23 T 0

3 2 Outras grandezas fundamentais Em Física, além das grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T), temos ainda outras grandezas fundamentais, como a temperatura (J), a intensidade da corrente elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensidade luminosa (J). Exemplos de outras equações dimensionais quantidade de calor [Q] [D] ML 2 T 2 capacidade térmica C 5 Q ] [C] 5 [Q] SJ [SJ] 5 ML2 T 22 ] [C] 5 ML 2 T 22 J 21 J calor específico c 5 C ] [c] 5 [C] m [m] 5 ML2 T 22 J 21 ] [c] 5 M 0 L 2 T 22 J 21 M constante universal dos gases perfeitos R 5 pv ] [R] 5 [p] 3 [V] nt [n] 3 [T] 5 ML21 T 22 3 L 3 ] [R] 5 ML 2 T 22 N 21 J 21 N 3 J carga elétrica Sq i 3 St ] [Sq] [i] 3 [St] l 3 M 0 L 0 T ] [Sq] M 0 L 0 Tl tensão elétrica U 5 D ] [U] 5 [D] q [q] 5 ML2 T 22 M 0 L 0 Tl ] [U] 5 ML2 T 23 l 21 resistência elétrica r 5 U ] [r] 5 [U] i [i] 5 ML2 T 23 l 21 ] [r] 5 ML 2 T 23 l 22 l exercícios resolvidos R. 163 Adote como fundamentais as grandezas: massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Escreva a equação di men sio nal da: a) frequência; b) constante elástica de uma mola. a) A frequência f é o inverso do período: f 5 1 t ] [ f ] 5 1 [t] ] [ f ] 5 M0 L 0 T 21 b) De F el. kx (lei de Hooke), temos: k 5 F el. x ] [k] 5 [F el.] ] [k] 5 MLT22] [k] 5 ML 0 T 22 [x] L Capítulo 21 Análise dimensional Resposta: a) [ f ] M 0 L 0 T 1 ; b) [k] ML 0 T 2 499

4 R. 164 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Escreva a equação dimensional do: a) calor latente de fusão; b) coeficiente de dilatação linear. a) De Q m 3 L F, temos: L F 5 Q m ] [L F] 5 [Q] [m] ] [L F] 5 ML2 T 22 M ] [L F] 5 M 0 L 2 T 22 b) De SL a 3 L 0 3 SJ, temos: a 5 SL L 0 3 SJ ] [a] 5 [SL] [L 0 ] 3 [SJ] ] [a] 5 L L 3 J ] [a] 5 M0 L 0 TJ 21 Resposta: a) [L F ] M 0 L 2 T 2 ; b) [a] M 0 L 0 T 0 J 1 R. 165 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de corrente (I). Escreva a equação dimensional: a) do campo elétrico; b) da capacitância. a) Sendo F e qe, resulta: b) De C 5 Q, temos: U Resposta: a) [E] MLT 3 I 1 ; b) [C] M 1 L 2 T 4 I 2 R. 166 Na fórmula E hf, temos que E representa a energia e f a frequência. Qual a equação dimensional de h em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)? De E hf, temos: Resposta: [h] ML 2 T 1 E 5 F e q ] [E] 5 [F e] [q] ] [E] 5 MLT22 ] [E] 5 MLT 23 I 21 TI [C] 5 [Q] [U] ] [C] 5 TI ML 2 T 23 I 21 ] [C] 5 M21 L 22 T 4 I 2 h 5 EW ] [h] 5 [E] f [ f ] ] [h] 5 T 22 ML2 ] [h] 5 ML 2 T 21 T 21 exercícios propostos Unidade E Análise dimensional 500 P. 427 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Determine a equação dimensional: a) da velocidade angular; b) do momento de uma força; c) do coeficiente de condutibilidade térmica. P. 428 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de cor rente (I). Determine a equação dimensional: a) do campo de indução magnética; b) da permeabilidade magnética do meio; c) do fluxo magnético. P. 429 Na fórmula E p(el.) 5 kx2 2, temos que E p(el.) representa energia e x, um comprimento. Qual a equação dimensional de k em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?

5 Seção 21.2 Equações físicas. Teorema de Bridgman Objetivos Compreender a homogeneidade das equações físicas. Utilizar o teorema de Bridgman para fazer previsão de fórmulas. 1 Homogeneidade das equações físicas Considere uma equação envolvendo três grandezas físicas, A, B e C, dada por: A B C Note que a soma de B com C só é possível se B e C tiverem as mesmas dimensões, e a soma A obtida também. Portanto, os dois membros da equação A B C devem ter as mesmas dimensões. Trata-se da homogeneidade das equações físicas. Exemplo: Considere a equação s s 0 vt. A dimensão de s, assim como a de s 0, em relação a L, é 1. Logo, a dimensão de vt, em relação a L, também deve ser 1. De fato: [vt] [v] 3 [t] LT 1 3 T ] [vt] L Assim, s, s 0 e vt têm mesma dimensão em relação a L e seus valores deverão ser expressos numa mesma unidade, como o metro. Na tabela abaixo, apresentamos as sete unidades fundamentais do Sistema Internacional. Unidade Símbolo Grandeza metro m comprimento (L) quilograma kg massa (M) segundo s tempo (T) ampère A intensidade da corrente elétrica (I) kelvin K temperatura termodinâmica (J) mol mol quantidade de matéria (N) candela cd intensidade luminosa (J) Considere, por exemplo, a equação dimensional de força: [F] MLT 2. No Sistema Internacional, a unidade de força é kg 3 m 3 s 2, que recebe o nome de newton (N). Percy Williams Bridgman ( ), físico norte- -americano que recebeu o prêmio Nobel em 1946 por seus estudos em Física de altas pressões. Capítulo 21 Análise dimensional 501

6 2 Previsão de fórmulas. Teorema de Bridgman Vamos supor que um cientista descobre, realizando experiências, que uma grandeza física G depende de outras grandezas físicas A, B, C..., independentes entre si. O teorema de Bridgman afirma que a grandeza G pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C... Nessas condições, temos: G 5 K 3 A a 3 B d 3 C D 3... A determinação dos expoentes a, d, D,... é feita por meio da análise dimensional. Porém, a constante K não pode ser determinada por análise dimensional, e sim por meio de experiências ou de considerações teó ricas. Exemplo: Realizando experiências, um aluno descobre que o período de oscilação t de um pêndulo depende da massa m da esfera pendular, do comprimento c do pêndulo e da aceleração local g da gravidade. Supondo que t seja dado por t K 3 m a 3 c d 3 g D, em que K é uma constante adimensional, podemos determinar a, d e D. Dados: [t] M 0 L 0 T; [m] ML 0 T 0 ; [c] M 0 LT 0 ; [g] M 0 LT 2 Substituindo as expressões de [t], [m], [c] e [g] na equação [t] [m] a 3 [c] d 3 [g] D, temos: Identificando os expoentes, temos: M 0 L 0 T (ML 0 T 0 ) a 3 (M 0 LT 0 ) d 3 (M 0 LT 2 ) D ] ] M 0 L 0 T M a L d D T 2D a 0, d D 0 e 2D 1 Logo: a 0, D e d Assim, temos: t K 3 m a 3 c d 3 g D ] Unidade E Análise dimensional ] t 5 K 3 m 0 3 c g ll ] t 5 K 3 d c g A equação mostra que o período não depende da massa da esfera pendular. A constante K pode ser determinada por meio de considerações teóricas, encontrando se K 5 2s. Desse modo, temos: t 5 2s 3 d ll c g 502

7 exercícios resolvidos R. 167 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que o primeiro membro e o segundo têm as mesmas dimensões para cada equação. a) s 5 at2, em que s: espaço; a: aceleração e t: tempo 2 b) Pot U 3 i, em que Pot: potência; U: tensão elétrica e i: intensidade da corrente elétrica a) [s] M 0 LT 0 [at 2 ] [a] 3 [t 2 ] [a] 3 [t] 3 [t] M 0 LT 22 3 T 3 T M 0 LT 2 3 T 2 M 0 LT 0 b) [Pot] ML 2 T 3 [Ui] [U ] 3 [i] ML 2 T 3 I 1 3 I ML 2 T 3 R. 168 Num movimento oscilatório, a abscissa x da partícula varia com o tempo t de acordo com a fórmula x a b 3 cos (ct). Quais são as unidades, no Sistema Internacional, de x, t e dos parâmetros a, b e c? A unidade de x é o metro (m). Logo, as unidades de a e b são também o metro. Observe que o cosseno é adimensional. O produto ct é também adimensional. Logo, a unidade de c é o inverso da unidade de t, que é o segundo (s). Assim, a unidade de c é o inverso do segundo: s 1. Resposta: x, a e b: metro (m); t: segundo (s); c: inverso do segundo (s 1 ) R. 169 A velocidade v de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v d a 3 p d, em que d é uma densidade e p uma pressão. Determine os expoentes a e d. De v d a 3 p d, temos: [v] [d] a 3 [p] d ] M 0 LT 1 (ML 3 ) a 3 (ML 1 T 2 ) d ] M 0 LT 1 M a d L 3a d T 2d Identificando os expoentes, temos: a d 0 3a d 1 2d 1 Resolvendo o sistema, obtemos: d e a Resposta: a e d R. 170 Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento harmônico simples. O período t do MHS é dado por t C 3 m a 3 k d, em que C 2s é uma constante adimensional. Determine os expoentes a e d e escreva a fórmula do período. De t C 3 m a 3 k d, temos: [t] [m] a 3 [k] d 3 M 0 L 0 T M a 3 (MT 2 ) d ] M 0 L 0 T M a d L 0 T 2d Identificando os expoentes, temos: Logo: d e a a d 0 2d 1 A fórmula do período será: t C 3 m a 3 k d ] t 5 2s 3 m 1 23 k 2 1 m k 2 ] t 5 2s 3 d lll Capítulo 21 Análise dimensional Resposta: a ; d e t 5 2s 3 d lll m k 503

8 exercícios propostos P. 430 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que as dimensões do primeiro membro são iguais às do segundo em cada equação. a) v 2 2aSs, em que v: velocidade; a: aceleração e Ss: variação de espaço b) U Ed, em que U: tensão elétrica; E: campo elétrico e d: distância P. 431 Considere a equação x a bt ct 2 dt 3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Expresse os parâmetros a, b, c e d em função de M, L e T. P. 432 A aceleração a de um móvel é dada por a v a 3 h d, em que v é a velocidade linear e h a velocidade angular. Determine os expoentes a e d. P. 433 A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v g a 3 R d, em que g é a aceleração da gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de a e d, e escreva a fórmula da velocidade v do satélite. exercícios propostos de recapitulação P. 434 (EEM SP) As equações dimensionais das grandezas em Mecânica são do tipo: [G] 5 [M] a 3 [L] d 3 [T] D onde G é uma grandeza qualquer e M, L e T são as grandezas fundamentais. a) Quais são as grandezas M, L e T, e quais são suas unidades no SI? b) Como se chamam os expoentes a, d e D, e que valores têm quando G é uma potência mecânica? P. 435 (Vunesp) Num determinado processo físico, a quantidade de calor Q transferida por convecção é dada por: Q h 3 A 3 ST 3 St onde h é uma constante, Q é expresso em joules (J), A em metros quadrados (m 2 ), ST em kelvins (K) e St em segundos (s), que são unidades do Sistema Internacional (SI). a) Expresse a unidade da grandeza h em termos das unidades do SI que aparecem no enunciado. b) Expresse a unidade de h usando apenas as unidades kg, s e K, que pertencem ao conjunto das unidades de base do SI. P. 436 (IME RJ) Suponha que o módulo da velocidade v de propagação de uma onda sonora dependa somen te da pressão p e da massa específica do meio j, de acordo com a fórmula v p x 3 j y. Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo se que a constante adimensional vale 1. Unidade E Análise dimensional P. 437 (Inatel-MG) Leia com atenção o seguinte trecho extraído do livro Pensando a Física, do prof. Mário Schenberg: Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck descobriu a constante h, percebeu que, com a constante h, com a constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c), podia-se formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente pequeno, na ordem de cm. Hoje se compreende que esse comprimento deve ser importante para a compreensão da origem do universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais fundamental na Física. Responda agora à seguinte questão: Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma o comprimento de Planck, de acordo com o texto acima? São dados os seguintes valores no Sistema Internacional (SI): 504 h 6, J 3 s G 5 6, N 3 m2 c m/s kg 2

9 testes propostos T. 488 (PUC PR) Representando o comprimento por L, a massa por M e o tempo por T, as dimensionais LMT 2, L 2 MT 3 e L 1 MT 2 representam, respectivamente: a) o trabalho, a força e a massa específica. b) a potência, a aceleração e a pressão. c) a força, a potência e a pressão. d) o peso específico, a aceleração e a potência. e) a tensão, a potência e a energia. T. 492 (UFRGS-RS) Ao resolver um problema de Física, um estudante encontra sua resposta expressa nas seguintes unidades: kg 3 m 2 /s 3. Essas unidades representam: a) força b) energia c) potência d) pressão e) quantidade de movimento T. 489 (ITA SP) A força de gravitação entre dois corpos é dada por F 5 G m 1m 2. A expressão da constante de r 2 gravitação G em função de M, L e T é, então: a) L 3 M 1 T 2 d) L 2 M 1 T 1 b) L 3 MT 2 e) nenhuma c) LM 1 T 2 T. 490 (Fuvest SP) No Sistema Internacional de Unidades (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A lei de Coulomb da eletrostática pode ser expressa pela fórmula: F Q 1Q 2 4s 0 r 2 onde 0 é uma constante fundamental da Física e sua unidade, em função das unidades de base do SI, é: a) m 2 3 s 2 3 A 2 d) m 3 kg 3 s 2 b) m 3 3 kg 1 3 A 2 e) adimensional c) m 3 3 kg 1 3 s 4 3 A 2 Capítulo 21 Análise dimensional T. 491 Considere a equação dimensionalmente homogênea x at 2 bt 3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Então, as expressões de a e b em função de M, L e T são, respectivamente: a) M 0 L T e M 0 L T 1 b) M 0 L 2 T 3 e M 0 L 2 T 3 c) M 0 L T 2 e M 0 L T 3 d) M 0 L 2 T e M 0 L 0 T 3 e) M 0 L 2 T 3 e M 0 L T 3 T. 493 (ITA SP) A velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tensão F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que a velocidade poderia ser dada por: a) F md Fm d # 2 Fm 1 d # 2 Fd m # 1 2 md F # 2 T. 494 (Fuvest SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relacio na a velocidade v de propagação do som com a pressão p e a massa específica G (kg/m 3 ) num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo v a 5 Cpd, onde C é uma constante adimensional. G Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele concluiu que os valores corretos dos expoentes a e d são: a) a 1 e d 2 b) a 1 e d 1 c) a 2 e d 1 d) a 2 e d 2 e) a 3 e d 2 505