ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Ágebra e Anáise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E TRANSFORMADA DE LAPLACE Séries de Fourier (1 Desenvova em série de Fourier as seguintes funções: (a f : [ 1, 1] R definida por 1 se 1 x f(x = +1 se < x 1 ; (b f : [ π, π] R definida por f(x = cos (x sin 3 (x. Resoução: (a A série de Fourier da função f é da forma onde a + (a n cos(nπx + b n sin(nπx a n = b n = f(x cos(nπx dx para n, f(x sin(nπx dx para n 1. Como f é uma função ímpar, todos os a n s são zero e b n = = 1 1 f(x sin(nπx dx sin(nπx dx = nπ (cos nπ cos = ( 1n nπ = 4 nπ se n é ímpar, se n é par. Logo, a série de Fourier de f é n ímpar 4 nπ sin(nπx = n= 4 sin((n + 1πx. (n + 1π

2 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 Comentário: Como a função f é seccionamente diferenciáve em [ 1, 1], a sua série de Fourier converge em [ 1, 1] para f(x se x ] 1, [ ou x ], 1[ 1 se x ] 1, [ = se x = ou x = ±1 se x = ou x = ±1 1 se x ], 1[ Nos pontos da forma x = k Z, a série converge para porque este vaor é a média dos imites aterais nestes pontos da extensão de f a R como função periódica de período : im x 1 f(x = im f(x = 1 e im f(x = x 1 x 1 + im f(x = 1. x 1 + (b A série de Fourier da função f é da forma a + (a n cos(nx + b n sin(nx Uma vez que o desenvovimento de Fourier é único, quaquer desenvovimento que obtenhamos para f em termos das funções base 1, cos(nx e sin(nx será o desenvovimento de Fourier de f. Ora tem-se cos x = 1 + cos(x e, pea fórmua de DeMoivre, = cos(x Im ( (cos x + i sin x 3 = Im(cos(3x + i sin(3x 3 cos x sin x sin 3 x = sin(3x 3(1 sin x sin x sin 3 x = sin(3x sin 3 x = 3 4 sin x 1 4 sin(3x portanto o desenvovimento de Fourier de f é cos(x 3 4 sin x sin(3x isto é, a = 1, a = 1, a n = para n, e b 1 = 3 4, b 3 = 1 4, b n = para n 1, 3. ( Desenvova as seguintes funções em série de Fourier: e x se x 1 (a f(x = e x se 1 x < ; (b f : [ π, π] R definida por f(x = sin 4 x ; x se x < (c f(x =. se x

3 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 3 (3 Desenvova a função f : [, π] R definida por f(x = e x em série de senos. Resoução: A série de senos da função f é da forma b n sin(nx onde, para n 1 se tem b n = π Logo, a série de senos de f é π π f(x sin(nx dx = e x sin(nx dx π = ( π π Im e ( 1+inx dx ( = π Im e ( 1+inx π 1 + in = ( e π π Im ( 1 n in = n (1 e π ( 1 n π(1 + n n (1 e π ( 1 n π(1 + n sin(nx. (4 Seja um número rea positivo. Desenvova a função f : [, ] R definida por x se x f(x = x se < x em série de cosenos. Resoução: A série de cosenos da função f é da forma a + a n cos ( nπx onde, para n se tem Assim, a n = ( a = x dx + f(x cos nπx dx ( x dx =

4 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 e, para n 1, a n = ( = + ( x cos ( nπx x nπ sin ( nπx ( x nπ dx + sin ( nπx ( x cos ( nπx dx nπ sin ( nπx dx ( = nπ sin ( ( nπ + nπ sin ( nπx dx n π cos ( nπx nπ sin ( ( nπ n π cos ( nπx ( ( = cos nπ ( n π 1 cos(nπ + cos nπ ( ( = cos nπ n π 1 ( 1 n Tendo em conta que cos ( nπ = se n é ímpar 1 se n = 4k para agum inteiro k 1 se n = 4k + tem-se 8 se n = 4k + a n = n π caso contrário Portanto a série de cosenos de f é ( (4k + π cos (4k+πx k= (5 Desenvova as seguintes funções em série de cosenos: 1 se x < 1 (a f(x = x se 1 para x [, 1]; x 1 (b f(x = cos x sin x para x [, π]. (6 Desenvova as seguintes funções em série de senos: (a f(x = 1 para x [, 1]; (b f(x = (π xx para x [, π]; (c f(x = 55 4x para x [, 1]; (d f(x = x(x 1 para x [, 1]. Comentário: As respostas às primeiras três aĺıneas deste exercício estão contidas nas resouções dos exercícios 1, 13 e 9 respectivamente.

5 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 5 Equações do caor, de Lapace e das ondas (7 Seja c um parâmetro rea positivo. Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine a soução do seguinte probema para a equação das ondas u = c u t x u(t, = u(t, 1 = u(, x =, (, x = 1 t para t e para x [, 1] (satisfazendo a equação diferencia para < x < 1. Resoução: para as quais Peo método de separação de variáveis, procura-se souções da EDP da forma u(t, x = T (tx(x, t T (tx(x = T ( (tx(x e x T (tx(x = T (tx ( (x. Substituindo na equação, e assumindo que T (tx(x, fica T ( (tx(x = c T (tx ( (x T ( (t T (t }} k = c X( (x X(x }} k onde cada um dos membros tem que ser uma constante rea k (porque o membro esquerdo não depende de x, o membro direito não depende de t e ees têm que ser iguais. Para que a condição na fronteira, T (tx( = T (tx(1 =, seja satisfeita por uma soução não identicamente nua, tem que ser X( = X(1 = (já que, se X( ou X(1, teria que ser T (t =, t. A soução gera de X ( (x = k c X(x é, consoante os casos, k X(x = c 1 e c x + c e k c x se k > X(x = c 1 + c x se k = X(x = c 1 cos( k c x + c sin( k c x se k <. Quando k, a única soução X(x que satisfaz a condição na fronteira é a soução identicamente nua, ou seja, nesses casos, X( = X(1 = = c 1 = c =. Quando k <, a condição X( = impõe c 1 = e depois a condição X(1 = impõe a uma soução não identicamente nua que k sin( =. c Esta condição pode ser satisfeita por uma soução não identicamente nua desde que k = nπ, n = 1,, 3,... c

6 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 ou seja, é Para k <, a soução gera de A condição inicia k = c n π, n = 1,, 3,... T ( (t = kt (t T (t = c 1 cos( kt + c sin( kt. T (X(x = impõe que seja T ( = para que a soução não seja identicamente nua. Quando T (t é uma combinação inear de sin e cos como acima, tem que então ser c 1 =. Obtêm-se assim todas as seguintes souções para o probema de vaor na fronteira conjugado com a primeira condição inicia: u n (t, x = sin(cnπt }} T (t sin(nπx, n = 1,, 3,... }} X(x definidas para t e para x [, 1]. Por inearidade, quaquer combinação inear finita desta souções é ainda soução e, mais geramente, quaquer série d n u n (t, x é uma soução forma. Para que a soução mais gera da forma acima satisfaça a segunda condição inicia tem que ser Como a condição fica n t (, x = 1, t d n n t = 1. t= = cnπ cos(cnπt sin(nπx, d n cnπ sin(nπx = 1. Para encontrar as constantes d n adequadas, desenvove-se a função 1 em série de senos. Isso é equivaente a estender esta função ao intervao [ 1, 1] como função ímpar, e desenvover a extensão em série de Fourier, trabaho esse que foi feito no exercício 1 onde se encontrou que a série de senos para a função 1 é n ímpar 4 nπ sin(nπx = n= 4 sin((n + 1πx. (n + 1π Logo, os d n s devem ser quando n é par e devem satisfazer d n cnπ = 4 nπ

7 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 7 quando n é ímpar. Concui-se que a série que dá a soução forma do probema posto é n ímpar 4 cn sin(cnπt sin(nπx π = n= 4 c(n + 1 sin (c(n + 1πt sin((n + 1πx. π (8 Use o método de separação de variáveis para determinar a soução do seguinte probema de vaor na fronteira para a equação de Lapace: para x π e y π. Resoução: forma u + u = x y u(x, = u(x, π = u(, y = u(π, y = sin(y Peo método de separação de variáveis, procura-se souções do probema da u(x, y = X(xY (y. Substituindo na equação obtém-se, para X(xY (y, X ( (xy (y + X(xY ( (y = X( (x X(x Concui-se que existe k R ta que X ( (x X(x Para que a condição na fronteira = k = Y ( (y Y (y X(xY ( = X(xY (π = = Y ( (y Y (y seja satisfeita por uma soução não identicamente nua, tem que ser A equação Y ( = Y (π = Y ( (y + ky (y = só tem souções não identicamente nuas que verifiquem a condição fronteira Y ( = Y (π = se k >. Nesse caso, a soução gera é Y (y = c 1 cos( ky + c sin( ky A condição Y ( = impica c 1 = e a condição Y (π = impôe sin( kπ = k = n para agum n inteiro Para que a soução não seja identicamente nua, tem que ser n e caramente basta considerar n >. A soução gera da equação é X ( (x n X(x = X(x = c 1 e nx + c e nx

8 8 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 Para uma soução não identicamente nua, a condição na fronteira X(Y (y = impica X( = c 1 + c = c = c 1 peo que ( e nx e nx X(x = c 1 = c 1 sinh(nx Obtêm-se assim as seguintes souções que verificam todas as condições na fronteira excepto possivemente a que foi imposta para x = π: u n (x, y = sinh(nx sin(ny, n = 1,, 3,... definidas para x π e y π. Por inearidade obtem-se a soução forma d n u n (x, y Para que esta série satisfaça a condição fronteira que resta devemos ter d n u n (π, y = sin y d n sinh(nπ sin(ny = sin y Concui-se que d n = para n e que d = 1 sinh(π. Isto é, a soução do probema do enunciado é u(x, y = 1 sinh(x sin(y. sinh(π

9 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 9 (9 Considere a equação do caor t = u α x, onde α é um parâmetro rea positivo, t e x [, L]. Uma soução estacionária da equação do caor é uma soução que não depende do tempo, t. (a Mostre que todas as souções estacionárias da equação do caor são ineares em x, i.e., são funções da forma u(x = ax + b. (b Determine uma soução estacionária para a equação do caor com a seguinte condição na fronteira: u(t, = T 1 e u(t, L = T. (c Ache uma soução da equação do caor (verificando a equação diferencia para < x < L com as seguintes condições de fronteira e inicia u(, x = 75 u(t, =, u(t, 1 = 6. Sugestão: Considere souções da forma u(t, x = v(x + w(t, x, onde v(x é uma soução estacionária do probema com condição na fronteira: u(t, = e u(t, 1 = 6. Resoução: (a Seja u(x uma soução estacionária da equação do caor. equação, obtém-se cuja soução gera é = α u ( u(x = c 1 + c x, Substituindo u(x na que é uma função inear. (b Procura-se os coeficientes c 1 e c tais que a correspondente soução estacionária, u(x = c 1 + c x, satisfaça u( = c 1 = T 1 u(l = c 1 + c L = T. A soução deste sistema inear é c 1 = T 1 c = T T 1 L. Encontra-se então a seguinte soução estacionária para a equação do caor com a condição na fronteira dada: u(x = T 1 + T T 1 L (c De acordo com a sugestão, procura-se uma soução da forma x. u(t, x = v(x + w(t, x,

10 1 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 onde v(x é uma soução estacionária do probema da aĺınea (b tomando T 1 =, T = 6 e L = 1. Então v(x = + 4x, e w(t, x = u(t, x v(x terá de ser uma soução do probema homogéneo w ( t = α w x w(t, = w(t, 1 =. Apica-se o método de separação de variáveis na pesquisa de souções de ( : procurase souções da forma T (tx(x, para as quais t T (tx(x = T (tx(x x T (tx(x = T (tx ( (x. Substituindo na equação, e assumindo que T (tx(x, fica T (tx(x = α T (tx ( (x T (t T (t }} k e = α X( (x X(x }} k onde cada um dos membros tem que ser uma constante rea k (porque o membro esquerdo não depende de x, o membro direito não depende de t e ees têm que ser iguais. A soução gera de T (t = kt (t é A soução gera de T (t = ce kt com c R. X ( (x k α X(x = é, consoante os casos, k X(x = c 1 e α x + c e k α x se k > X(x = c 1 + c x se k = X(x = c 1 cos( k α x + c sin( k α x se k <. Para que a condição homogénea na fronteira, T (tx( = T (tx(1 =, seja satisfeita por uma soução não identicamente nua, tem que ser X( = X(1 = (já que, se X( ou X(1, teria que ser T (t =, t. Quando k, a única soução X(x que satisfaz esta condição na fronteira é a soução identicamente nua, ou seja, nesses casos, X( = X(1 = = c 1 = c =. Quando k <, a condição X( = impõe c 1 = e depois a condição X(1 = impõe a uma soução não identicamente nua que k sin( α =.

11 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 11 Esta condição pode ser satisfeita por uma soução não identicamente nua desde que k = nπ, n = 1,, 3,... α ou seja, k = n π α, n = 1,, 3,... Obtêm-se assim todas as seguintes souções para o probema homogéneo ( : w n (t, x = e n π α t }} T (t sin(nπx, n = 1,, 3,... }} X(x definidas para t e para x [, 1]. Por inearidade, quaquer combinação inear finita desta souções é ainda soução e, mais geramente, quaquer série uniformemente convergente da forma b n w n (t, x é ainda soução. Obtêm-se assim as seguintes funções que verificam todas as condições do probema posto excepto a condição inicia: + 4x + b n w n (t, x. Finamente, impondo a condição inicia, u(, x = 75, terá que ser + 4x + b n w n (, x = 75, ou seja, b n sin(nπx = 55 4x. Para encontrar as constantes b n adequadas, desenvove-se a função 55 4x em série de senos. Isso é equivaente a estender esta função ao intervao [ 1, 1] como função ímpar, e desenvover a extensão em série de Fourier. Os coeficientes a n de uma função ímpar anuam-se e os coeficientes b n, para n 1, são dados por b n = = = f(x sin(nπx dx f(x sin(nπx dx (55 4x sin(nπx dx [ = 55 cos(nπx + 4x cos(nπx 4 sin(nπx ] 1 nπ nπ n π = [ 55 ( 1n nπ ] nπ + 4( 1n nπ = 11 3( 1n nπ.

12 1 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 Concui-se que a soução forma do probema posto é 11 3( 1 + 4x + n nπ e n π α t sin(nπx. Comentário: O probema anterior diz respeito à evoução da distribuição de temperatura numa barra situada entre os pontos x = e x = L. No instante inicia todos os pontos da barra estão à mesma temperatura (75 e as temperaturas nas extremidades são mantidas constantes igua a em x = e a 6 na extremidade x = 1. (1 (11 (1 Determine a soução do seguinte probema para a equação do caor: = 4 u t x se x 1 u(x, = 75 se 1 < x (, t = (, t = x x para t e x (satisfazendo a equação diferencia para < x <. Seja c um parâmetro rea positivo. Determine a soução do seguinte probema de vaor na fronteira para a equação das ondas: u = c u t x u(x, = x cos ( πx t (x, = u(, t = u(1, t = para t e x 1 (satisfazendo a equação diferencia para < x < 1. Use o método de separação de variáveis para determinar uma soução do seguinte probema para a equação de Lapace: para x 1, y 1. u + u x y x = y (x, = y (, y = sin(πy (x, 1 = x (1, y = Método de separação de variáveis (a Determine as souções para t e para x [, π] de (13 t = u x u u(t, = u(t, π = (satisfazendo a equação diferencia para x ], π[. (b Determine a soução que satisfaz a condição inicia u(, x = (π xx. Resoução: (a Peo método de separação de variáveis, procura-se souções da EDP da forma u(t, x = T (tx(x,

13 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 13 para as quais t T (tx(x = T (tx(x e x T (tx(x = T (tx ( (x. Substituindo na equação, e assumindo que T (tx(x, fica T (tx(x = T (tx ( (x T (tx(x T (t T (t }} k = X( (x 1 X(x }} k onde cada um dos membros tem que ser uma constante rea k (porque o membro esquerdo não depende de x, o membro direito não depende de t e ees têm que ser iguais. A soução gera de T (t = kt (t é A soução gera de T (t = ce kt com c R. X ( (x (k + 1X(x = é, consoante os casos, X(x = c 1 e k+1x + c e k+1x se k + 1 > X(x = c 1 + c x se k + 1 = X(x = c 1 cos( k 1x + c sin( k 1x se k + 1 <. Para que a condição na fronteira, T (tx( = T (tx(π =, seja satisfeita por uma soução não identicamente nua, tem que ser X( = X(π = (já que, se X( ou X(π, teria que ser T (t =, t. Quando k + 1, a única soução X(x que satisfaz esta condição na fronteira é a soução identicamente nua, ou seja, nesses casos, X( = X(π = = c 1 = c =. Quando k + 1 <, a condição X( = impõe c 1 = e depois a condição X(π = impõe a uma soução não identicamente nua que sin( k 1π =. Esta condição pode ser satisfeita por uma soução não identicamente nua desde que k 1π = nπ, n = 1,, 3,... ou seja, k = 1 n, n = 1,, 3,... Obtêm-se assim todas as seguintes souções para o probema de vaor na fronteira dado: u n (t, x = e (1+n t }} sin(nx, n = 1,, 3,... }} T (t X(x

14 14 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 definidas para t e para x [, π]. Por inearidade, quaquer combinação inear finita destas souções é ainda soução e, mais geramente, quaquer série b n u n (t, x é uma soução forma. (b Para que a soução gera da forma acima satisfaça a condição inicia tem que ser ou seja, u(, x = (π xx, b n u n (, x = (π xx, b n sin(nx = (π xx. Para encontrar as constantes b n adequadas, desenvove-se a função (π xx em série de senos. Isso é equivaente a estender esta função ao intervao [ π, π] como função ímpar, e desenvover a extensão em série de Fourier. Os coeficientes da série são b n = π = π π (π xx sin(nx dx x sin(nx dx π π x sin(nx dx = [ x n cos(nx + 1 sin(nx ] π n [ π x x n cos(nx + sin(nx + cos(nx n n 3 = 4 n 3 π [1 ( 1n ] ] π = 8 n 3 π se n é ímpar se n é par (onde as primitivas foram obtidas por primitivação por partes, uma vez no primeiro integra e duas no segundo. Logo, a soução pretendida é n ímpar 8 n 3 π e (1+n t sin(nx = n= 8 (n π e (1+(n+1 t sin((n + 1x.

15 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 15 (a Determine as souções para t e para x [, 1] de (14 t = u x + u u(t, =, u(t, 1 = sin 1 (satisfazendo a equação diferencia para x ], 1[. (b Determine a soução que satisfaz a condição inicia u(, x = 3 sin(πx 7 sin(4πx + sin x. Resoução: (a A soução gera deste probema com condições não homogéneas pode ser obtida somando a uma soução particuar do probema não homogéneo a soução gera do probema homogéneo associado. Vai-se procurar uma soução particuar entre as souções estacionárias, i.e., que não dependem do tempo t. Em resumo, procura-se escrever a soução gera na forma u(t, x = v(x + w(t, x, onde v(x é uma soução particuar estacionária do probema dado e w(t, x é a soução gera do probema homogéneo w ( t = w + w x w(t, = w(t, 1 =. Soução particuar estacionária: Substituindo v(x na equação, obtém-se cuja soução gera é = v ( + v v(x = c 1 cos x + c sin x. Para que a condição em x =, v( =, seja satisfeita, tem que ser c 1 =. Depois para que a condição em x = 1, v(1 = sin 1, seja satisfeita, tem que ser c = 1. Concui-se que v(x = sin x é uma soução particuar (estacionária do probema não homogéneo. Soução gera homogénea: Peo método de separação de variáveis, procura-se souções do probema homogéneo ( da forma w(t, x = T (tx(x, para as quais t T (tx(x = T (tx(x e x T (tx(x = T (tx ( (x. Substituindo na equação, e assumindo que T (tx(x, fica T (tx(x = T (tx ( (x + T (tx(x T (t T (t }} k = X( (x + 1 X(x }} k onde cada um dos membros tem que ser uma constante rea k (porque o membro esquerdo não depende de x, o membro direito não depende de t e ees têm que ser iguais.

16 16 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 A soução gera de é A soução gera de T (t = kt (t T (t = ce kt com c R. X ( (x (k 1X(x = é, consoante os casos, X(x = c 1 e k 1x + c e k 1x se k 1 > X(x = c 1 + c x se k 1 = X(x = c 1 cos( 1 kx + c sin( 1 kx se k 1 <. Para que a condição na fronteira, T (tx( = T (tx(1 =, seja satisfeita por uma soução não identicamente nua, tem que ser X( = X(1 = (já que, se X( ou X(1, teria que ser T (t =, t. Quando k 1, a única soução X(x que satisfaz esta condição na fronteira é a soução identicamente nua, ou seja, nesses casos, X( = X(1 = = c 1 = c =. Quando k 1 <, a condição X( = impõe c 1 = e depois a condição X(1 = impõe a uma soução não identicamente nua que sin( 1 k =. Esta condição pode ser satisfeita por uma soução não identicamente nua desde que 1 k = nπ, n = 1,, 3,... ou seja, k = 1 n π, n = 1,, 3,... Obtêm-se assim todas as seguintes souções para o probema homogéneo ( : w n (t, x = e (1 n π t }} T (t sin(nπx, n = 1,, 3,... }} X(x definidas para t e para x [, 1]. Por inearidade, quaquer combinação inear finita desta souções é ainda soução e, mais geramente, quaquer série b n w n (t, x é uma soução forma. Soução gera: sin x + b n w n (t, x. (b Para que a soução gera da forma acima satisfaça a condição inicia tem que ser u(, x = 3 sin(πx 7 sin(4πx + sin x, b n w n (, x = 3 sin(πx 7 sin(4πx,

17 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 17 ou seja, b n sin(nπx = 3 sin(πx 7 sin(4πx. As constantes b n adequadas são b = 3, b 4 = 7, todos os outros b n s são zero. (A função 3 sin(πx 7 sin(4πx já é dada em série de Fourier. A soução pretendida é sin x + 3e (1 4π t sin(πx 7e (1 16π t sin(4πx. (a Cacue a série de Fourier da função f(x = x(x 1 para x [ 1, 1]. (b Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as souções para t e para x [, 1] de (15 u t + + u = u t x u(t, = u(t, 1 =. (c Determine a soução que satisfaz a condição inicia u(, x = sin(πx e t (, x = x(x 1. (16 (a Cacue a série de Fourier da função f : R R definida por ( πx f(x = sin. (b Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as souções para t e para x [, 1] de t = u x x (t, = x (t, 1 =. (c Determine a soução que satisfaz a condição inicia u(, x = sin ( πx.

18 18 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 Transformada de Lapace (17 Utiizando a transformada de Lapace, resova o seguinte probema de vaor inicia: y ( 5ẏ + 4y = e t y( = 1, ẏ( = 1. Resoução: Seja Y (s a transformada de Lapace da soução y(t. Apicando a transformada de Lapace, a equação fica Ly ( } 5Lẏ} + 4Y (s = Le t } ( s Y (s sy( ẏ( 5 (sy (s y( + 4Y (s = 1 s s Y (s 5sY (s + 4Y (s s + 6 = 1 s ( s 5s + 4 Y (s = 1 s + s 6 Y (s = 1 (s (s 5s+4 + s 6 s 5s+4. Para reconhecer esta função como a transformada de Lapace de uma combinação de funções eementares, decompõe-se em fracções simpes. Cácuos auxiiares: Quanto à primeira parcea de Y (s, tem-se s 5s + 4 = s = 1 ou s = 4 1 (s 1(s (s 4 = A s 1 + B s + C s 4 1 = A(s (s 4 + B(s 1(s 4 + C(s 1(s. Quando s = 1, obtém-se que A = 1 3 ; quando s =, obtém-se que B = 1 ; quando s = 4, obtém-se que C = 1 6. Logo, (s (s 5s + 4 = 3 s 1 s + 6 s 4. Quanto à segunda parcea de Y (s, tem-se s 6 s 5s+4 = s 4 (s 1(s 4 = 1 s 1 (s 1(s 4 1 (s 1(s 4 = D s 1 + E s 4 1 = D(s 4 + E(s 1. Quando s = 1, obtém-se que D = 1 3 ; quando s = 4, obtém-se que E = 1 3. Assim, s 6 s 5s + 4 = 1 s s 1 3 s 4. Continuação da resoução: De acordo com os cácuos auxiiares, Y (s = 1 3 s 1 1 s s s s 1 3 s 4 = s 1 1 s 1 s 4 = Le t } 1 Let } 1 Le4t }

19 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 19 peo que y(t = e t 1 et 1 e4t. (18 Sabendo que y = y(t satisfaz a equação diferencia y ( ẏ + y = f(t e que a transformada de Lapace de y(t é dada por Y (s = (s 1(s (s 1, determine f e as condições iniciais de y(t, ou seja, os vaores de y( e ẏ(. Resoução: Soução 1: Apicando a transformada de Lapace, a equação fica Ly ( } Lẏ} + Y (s = Lf(t} ( s Y (s sy( ẏ( (sy (s y( + Y (s = Lf(t} ( s s + 1 Y (s sy( ẏ( = Lf(t} (s 1 ( (s 1(s (s 1 = Lf(t} + ẏ( + sy( s = Lf(t} + ẏ( + sy( s+1 = Lf(t} donde se concui que e t = f(t 1 = ẏ( = y( porque a transformada de Lapace de uma função não pode incuir termos da forma a + bs. Portanto, f(t = e t, ẏ( = 1 e y( =. Soução : Sabendo que Y (s = (s 1(s (s 1, pode-se cacuar y(t desenvovendo a expressão da direita em fracções simpes. Cácuos auxiiares: (s 1(s 1 = (s 1 (s + 1 (s 1(s 1 = A s 1 + B (s 1 + C s + 1 = A(s 1(s B(s C(s 1 Quando s = 1, obtém-se que B = 1; quando s = 1, obtém-se que C = 1. Derivando a expressão acima, = A(s 1 + A(s B + C(s 1,

20 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 5 e avaiando, por exempo, em s = 1, obtém-se que A = 1. Logo, donde se concui que Como os vaores em são: Y (s = 1 s s+1 + (s 1 = 1 Let } + 1 Le t } d ds Let } = 1 Let } + 1 Le t } + Lte t } y(t = 1 et + 1 e t + te t. ẏ(t = 3 et 1 e t + te t, y( = = e ẏ( = 3 1 = 1. A função f(t pode ser cacuada substituindo y(t na equação: peo que y ( ẏ + y y ( (t = 7 et + 1 e t + te t, = ( 7 et + 1 e t + te t ( 3 et 1 e t + te t + ( 1 et + 1 e t + te t = e t. (19 Utiizando a transformada de Lapace, resova o seguinte probema de vaor inicia: y ( 4ẏ + 4y = f(t y( =, ẏ( =, onde f(t = te t, se t 1 te t + (t 1e (t 1, se t 1. ( Utiizando a transformada de Lapace, resova o seguinte probema de vaor inicia: y ( + ẏ + y = (t 3H 3 (t y( =, ẏ( = 1, onde H 3 (t =, se t 3 1, se t 3.